Simetri oktahedral
Sebuah oktahedron reguler memiliki 24 simetri rotasi (atau perluasan-orientasi), dan 48 simetri secara keseluruhan. Ini termasuk transformasi yang menggabungkan refleksi dan rotasi. Sebuah kubus memiliki himpunan simetri yang sama, karena merupakan polihedron ganda ke segi delapan.

Grup simetri perluasan-orientasi adalah S4, grup simetris atau grup permutasi dari empat objek, karena tepat satu simetri untuk setiap permutasi dari empat diagonal kubus.

Detail

Kiral dan penuh (atau akiral) simetri oktahedral adalah simetri titik diskret (atau, simetri pada bola) dengan grup simetri terbesar kompatibel dengan simetri translasi. Ia termasuk di antara grup titik kristalografi dari sistem kristal kubik.

Sebagai grup hiperoktahedral dari dimensi 3 grup oktahedral penuh adalah produk karangan bunga ,dan cara alami untuk mengidentifikasi elemen adalah pasangan  dengan  dan .Namun, karena ini juga merupakan produk langsung , apabila mengidentifikasi unsur-unsur subgrup tetrahedral Td sebagai  dan inversinya sebagai .

Jadi misalnya identitas  direpresentasikan sebagai  dan inversi  sebagai .
 direpresentasikan sebagai  dan  sebagai .

Sebuah rotorefleksi adalah kombinasi dari rotasi dan refleksi.

Simetri oktahedral kiral

O, 432, atau [4,3]+ urutan 24, adalah simetri oktahedral kiral atau simetri oktahedral rotasi.  Grup ini adalah kiral simetri tetrahedral T, namun sumbu C2 sekarang menjadi sebagai sumbu C4, dan selain itu ada 6 sumbu C2, melalui titik tengah tepi kubus. Td dan O isomorfik sebagai grup abstrak: keduanya sesuai dengan S4, grup simetris pada 4 objek. Td adalah gabungan dari T dan himpunan diperoleh dengan menggabungkan setiap elemen O \ T dengan inversi. O adalah grup rotasi dari kubus dan oktahedron reguler.

Simetri oktahedral penuh
Oh, *432, [4,3], atau m3m orde 48 - simetri oktahedral kiral atau simetri oktahedral penuh. Grup ini memiliki sumbu sama dengan O, namjn dengan bidang cermin, yang terdiri dari bidang cermin Td dan Th . Grup ini adalah isomorfik pada S4.C2, dan merupakan grup simetri penuh dari kubus dan oktahedron. Ini adalah grup hiperoktahedral untuk n = 3. Lihat pula isometri kubus.

Dengan sumbu lipatan-4 sebagai sumbu koordinat, domain dasar Oh diberikan oleh 0 ≤ x ≤ y ≤ z. Sebuah objek dengan simetri ini dicirikan oleh bagian objek dalam domain fundamental, misalnya kubus diberikan oleh z = 1, dan oktahedron oleh x + y + z = 1 (atau pertidaksamaan sesuai, untuk mendapatkan padatan alih-alih permukaan).
ax + by + cz = 1 diberikan polihedron dengan 48 wajah, misalnya disdiakis dodecahedron.

Wajah 8-kali-8 digabungkan ke wajah yang lebih besar untuk a = b = 0 (kubus) dan 6-kali-6 untuk a = b = c (segi delapan).

9 garis cermin simetri oktahedral penuh dapat dibagi menjadi dua subgrup 3 dan 6 (digambar dengan warna ungu dan merah), mewakili dalam dua subsimetri ortogonal: D2j, dan Td. D2h simetri digandakan menjadi D4j dengan 2 cermin dari salah satu dari tiga orientasi.

Matriks rotasi
Ambil himpunan semua 3x3 matriks permutasi dan diberikan tanda + atau - untuk masing-masing dari tiga ke-1. Ada 6 permutasi x 8 kombinasi tanda = 48 matriks total memberikan grup oktahedral penuh. Ada 24 matriks dengan determinan = +1 dan ini adalah matriks rotasi dari grup oktahedral kiral. 24 matriks lainnya sesuai dengan refleksi atau inversi.

Tiga matriks generator refleksi diperlukan untuk simetri oktahedral, yang mewakili tiga cermin dari diagram Coxeter-Dynkin. Produk dari refleksi menghasilkan 3 generator rotasi.

Subgrup simetri oktahedral penuh

Isometri kubus 

Kubus memiliki 48 isometri (elemen simetri), dalam bentuk grup simetri Oh, isomorfik ke S4 × C2. Ia dikategorikan sebagai berikut:
O (identitas dan 23 rotasi tepat) dengan kelas konjugasi berikut (dalam tanda kurung diberikan permutasi dari diagonal tubuh dan representasi kuaternion unit):
identitas (identitas; 1)
rotasi sekitar sumbu dari pusat wajah ke pusat wajah yang berlawanan dengan sudut 90°: 3 sumbu, 2 per sumbu, dengan 6 ((1 2 3 4), dll; ((1 ± i)/, dll)
sama dengan sudut 180°: 3 sumbu, 1 per sumbu, bersama-sama 3 ((1 2) (3 4), dst.; i, j, k)
rotasi sekitar sumbu dari pusat tepi ke pusat tepi yang berlawanan dengan sudut 180°: 6 sumbu, 1 per sumbu, dengan 6 ((1 2), dll.; ((i ± j)/, dll. )
rotasi terhadap diagonal benda dengan sudut 120°: 4 sumbu, 2 per sumbu, dengan 8 ((1 2 3), dst.; (1 ± i ± j ± k' ')/2)
Sama dengan inversi (x dipetakan ke x) (juga 24 isometri). Perhatikan bahwa rotasi dengan sudut 180° terhadap sumbu yang digabungkan dengan inversi hanyalah refleksi pada bidang tegak lurus. Kombinasi inversi dan rotasi terhadap diagonal benda dengan sudut 120° adalah rotasi terhadap diagonal benda dengan sudut 60°, dikombinasikan dengan refleksi pada bidang tegak lurus (rotasi itu sendiri tidak memetakan kubus ke sendiri; irisan bidang refleksi dengan kubus adalah segi enam biasa).

Sebuah isometri kubus dapat diidentifikasi dengan berbagai cara:
oleh wajah tiga wajah yang berdekatan yang diberikan (katakanlah 1, 2, dan 3 pada dadu) dipetakan ke
dengan gambar kubus dengan satu wajah tanda non-simetris: wajah dengan tanda, apakah itu normal atau bayangan cermin, dan orientasi
dengan permutasi dari empat diagonal tubuh (masing-masing dari 24 permutasi dimungkinkan), dikombinasikan dengan sakelar untuk inversi kubus, atau tidak

Untuk kubus dengan warna atau tanda (seperti yang dimiliki dadu), grup simetri adalah subgrup dari Oh.

Contoh:C4v, [4], (*422): jika satu wajah memiliki warna berbeda (atau dua wajah berlawanan memiliki warna berbeda satu sama lain dan dari empat lainnya), kubus memiliki 8 isometri, seperti persegi dalam 2D.D2h, [2,2], (*222): jika wajah yang berlawanan memiliki warna yang sama, berbeda untuk setiap himpunan dua, kubus memiliki 8 isometri, seperti kuboid.D4h, [4,2], (*422): jika dua wajah berlawanan memiliki warna yang sama, dan semua wajah lainnya memiliki satu warna yang berbeda, maka kubus memiliki 16 isometri, seperti persegi prisma (kotak persegi).C2v, [2], (*22):
jika dua wajah berdekatan memiliki warna yang sama, dan semua wajah lainnya memiliki satu warna yang berbeda, maka kubus memiliki 4 isometri.
jika tiga wajah, yang dua berhadapan satu sama lain, memiliki satu warna dan tiga lainnya satu warna lain, maka kubus memiliki 4 isometri.
jika dua wajah berlawanan memiliki warna yang sama, dan dua wajah berlawanan lainnya juga, dan dua yang terakhir memiliki warna berbeda, maka kubus memiliki 4 isometri, seperti selembar kertas kosong dengan bentuk dengan simetri cermin.Cs, [ ], (*):
jika dua wajah berdekatan memiliki warna berbeda satu sama lain, dan empat lainnya memiliki warna ketiga, maka kubus memiliki 2 isometri.
jika dua wajah berlawanan memiliki warna yang sama, dan semua wajah lainnya memiliki warna berbeda, maka kubus memiliki 2 isometri, seperti selembar kertas kosong asimetris.C3v, [3], (*33): jika tiga wajah, tidak berhadapan satu sama lain, yang memiliki satu warna dan tiga lainnya memiliki warna lain, maka kubus memiliki 6 isometri.

Untuk beberapa subgrup lebih besar, kubus dengan grup dikenal sebagai grup simetri yabg tidak mungkin dilakukan hanya dengan mewarnai seluruh wajah. Apabila harus menggambar beberapa pola wajah.

Contoh:D2d, [2+,4], (2*2): jika satu wajah memiliki segmen garis pembagi wajah menjadi dua persegi panjang yang sama, dan berlawanan memiliki arah tegak lurus, maka kubus memiliki 8 isometri; bidang simetri dan simetri putar lipatan-2 dengan sumbu dengan bentuk sudut 45° pada bidang tersebut, dan sebagai hasilnya, apabila bidang simetri lain tegak lurus dengan yang pertama, dan sumbu lain dari simetri rotasi lipatan-2 tegak lurus terhadap yang pertama.Th, [3+,4], (3*2): jika setiap wajah memiliki segmen garis pembagi wajah menjadi dua persegi panjang yang sama, sehingga segmen garis dari wajah yang berdekatan "tidak" bertemu di tepi, maka kubus memiliki 24 isometri: permutasi genap dari diagonal tubuh dan kombinasi yang sama dengan inversi (x dipetakan ke x).Td, [3,3], (*332): jika kubus terdiri dari delapan kubus kecil, empat putih dan empat hitam, disatukan secara bergantian di ketiga arah standar, kubus memiliki lagi 24 isometri: kali ini permutasi genap dari diagonal tubuh dan kebalikan dari rotasi tepat lainnya.T, [3,3]+, (332): jika setiap wajah memiliki pola yang sama dengan simetri putar lipatan-2, apabila ia adalah huruf S, sehingga pada semua sisi salah satu sisi S bertemu dengan sisi S lainnya, maka kubus memiliki 12 isometri: permutasi genap dari diagonal tubuh.

Simetri penuh kubus, Oh, [4,3], (*432), apabila jika dan hanya jika semua wajah memiliki pola yang sama sehingga simetri penuh persegi, dengan untuk persegi suatu grup simetri, Dih4, [4], urutan 8.

Simetri penuh kubus bawah rotasi ketepatan, O, [4,3]+, (432), apabila jika dan hanya jika semua wajah memiliki pola yang sama dengan simetri putar lipatan-4, C4, [4]+.

Simetri oktahedral dari permukaan Bolza
Dalam teori permukaan Riemann, permukaan Bolza, biasanya disebut juga kurva Bolza, diperoleh sebagai penutup ganda bercabang dari bola Riemann, dengan lokus cabang pada himpunan simpul dari oktahedron tertulis biasa. Grup automorfisme termasuk involusi hiperelips invers antara dua lembar penutup. Hasil bagi subgrup urutan 2 dihasilkan oleh involusi hiperelips dengan grup simetri oktahedron tepat. Di antara banyak sifat luar dari permukaan Bolza adalah ia memaksimalkan sistolik di antara semua permukaan hiperbolik genus 2.

 Padatan dengan simetri kiral oktahedral 

 Padatan dengan simetri oktahedral penuh 

Lihat pula
Simetri tetrahedral
Simetri ikosahedral
Grup oktahedral biner
Grup hiperoktahedral

 Referensi 

 Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), p. 295
 The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, 
 Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995,  
 N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018)  Chapter 11: Finite symmetry groups'', 11.5 Spherical Coxeter groups

Pranala luar
 
 Grupprop: Produk langsung S4 dan Z2

Grup hingga
Simetri rotasi