Polinomial karakteristik
Dalam aljabar linear, polinomial karakteristik dari matriks persegi adalah suatu polinomial yang invarian di bawah kesebangunan matriks dan memiliki eigennilai sebagai akar. Polinomial karakteristik dari matriks persegi memiliki determinan dan teras dari matriks di antara koefisiennya. Polinomial karakteristik dari endomorfisma ruang vektor dimensi terhingga merupakan polinomial karakteristik dari matriks endomorfisma atas sebarang basis, yang berarti tidak bergantung pada pilihan basis. Persamaan karakteristik atau juga dikenal sebagai persamaan determinan, adalah persamaan yang diperoleh dengan menyamakan polinomial karakteristik dengan nol.

Dalam teori graf spektral, polinomial karakteristik graf merupakan polinomial karakteristik dari matriks kedampingan.

Motivasi 
Dalam aljabar linear, nilai dan vektor eigen memainkan peran dasar, sebab eigenvektor adalah suatu vektor yang arahnya tidak dapat diubah melalui transformasi, serta nilai eigen yang sama adalah ukuran dari hasil besar perubahan vektor. Dalam penjelasan yang lebih presisi, jika transformasi dinyatakan dengan matriks persegi  maka vektor eigen  dan nilai eigen  harus memenuhi persamaan berikutataudengan  menyatakan matriks identitas, dan  (vektor nol tetap tidak dianggap sebagai vektor eigen, walaupun sudah memenuhi persamaan tersebut untuk setiap ). Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa matriks  harus singular, serta determinan-nya bernilai nol, ditulis sebagaiDengan kata lain, nilai eigen dari  merupakan akar dari  yaitu polinomial monik di  dengan derajat , jika  adalah matriks . Polinomial ini merupakan karakteristik polinomial dari .

Definisi formal 
Misalkan  adalah suatu matriks dengan ukuran . Polinomial karakterisitik , yang diberi notasi , adalah suatu polinomial yang didefinisikan dengan

dengan  melambangkan matriks identitas dengan ukuran .

Ada sebagian penulis yang mendefinisikan polinomial karakteristik menjadi . Polinomial tersebut berbeda dengan polinomial yang didefinisikan disini dengan sebuah tanda , jadi tidak ada perbedaan untuk sifat-sifat seperti memiliki nilai eigen sebagai akar dari . Akan tetapi, definisi di atas selalu memberikan suatu polinomial monik, sedangkan definisi lainnya hanya memberikan monik ketika  genap.

Contoh-contoh 
Misalkan ingin menghitung polinomial karakteristik dari matriksMaka diperlukan untuk menghitung determinan dari matriks tersebut

sehingga diperoleh suatu polinomial karakteristik dari matriks , yaitu .

Contoh lainnya adalah dengan menggunakan fungsi hiperbolik dari sudut hiperbolik . Untuk suatu matriksmaka polinomial karakteristik dari matriks tersebut adalah
.

Sifat-sifat 
Polinomial karakteristik  dari sebuah matriks  adalah monik (koefisien yang ditujunya adalah 1) dan derajatnya adalah . Fakta yang paling terpenting mengenai polinomial karakteristik sudah dibahas di bagian sebelumnya: nilai eigen  tepatnya merupakan akar dari  (ini juga berlaku untuk polinomial minimal , tetapi derajatnya dapat lebih kecil dari ). Semua koefisien dari polinomial karakteristik adalah ekspresi polinomial dalam entri matriks. Secara khusus, koefisien konstan  adalah , koefisien  bernilai satu, dan koefisien  adalah , dengan  melambangkan teras . (Tanda yang diberikan tersebut sama dengan definisi formal yang diberikan dalam bagian sebelumnya. Untuk definisi yang lain, masing-masing koefisien tersebut dapat diganti sebagai  dan .)

Untuk suatu matriks  dengan ukuran , polinomial karakterisitiknya dirumuskan dengan

Dengan menggunakan bahasa aljabar eksterior, karakteristik polinomial dari  dengan ukuran  dapat dinyatakan sebagaidengan  menyatakan teras dari kuasa eksterior , yang memiliki dimensi . Teras ini dapat dihitung sebagai jumlah semua minor utama  dari ukuran . Algoritme Faddeev–LeVerrier rekursif menghitung koefisien-koefisien ini agar semakin lebih efisien. Saat karakteristik dari medan dari koefisien bernilai 0, setiap teras dapat dihitung sebagai suatu determinan tunggal dari matriks ,

Teorema Cayley–Hamilton menyatakan bahwa menggantikan  oleh  dalam polinomial karakteristik (dengan memandang hasil kuasa sebagai kuasa matriks, dan suku konstan  sebagai perkalian  dan matriks identitas), akan menghasilkan matriks nol. Secara informal, setiap matriks memenuhi persamaan karakteristik tersendiri. Pernyataan ini sama saja dengan mengatakan bahwa polinomial minimal  membagi polinomial karakteristik .

Dua matriks serupa memiliki polinomial karakteristik yang sama, tetapi pernyataan sebaliknya tidak benar secara umum: matrks dengan polinomial karakteristik tidaklah harus serupa.

Matriks  beserta transposnya memiliki polinomial karakteristik yang sama. Matriks  serupa dengan matriks segitiga jika dan hanya jika polinomial karakteristiknya dapat difaktorkan dengan lengkap menjadi faktor linear atas  (pernyataan yang sama juga benar dengan polinomial minimal ketimbang polinomial karakteristik). Dalam kasus ini,  serupa dengan matriks dalam bentuk normal Jordan.

Polinomial karakteristik dari darab dua matriks 
Jika  dan  adalah dua matriks persegi , maka polinomial karakteristik  dan  adalah sama. Dengan kata lain,Ketika  adalah matriks tak singular (terbalikkan), maka hasil berikut dapat disimpulkan bahwa  dan  adalah serupa:

Untuk kasus  dan  yang merupakan matriks singular, identitas yang diinginkan adalah persamaan di antara polinomial dalam  dan koefisien dari matriks. Dengan demikian, untuk memperlihatkan persamaan tersebut, cukup buktikan bahwa matriks tersebut valid pada subhimpunan buka tak kosong (untuk topologi biasa, atau lebih umumnya untuk topologi Zariski) dari ruang semua koefisien. Karena matriks tak singular membentuk subhimpunan yang bukan dari ruang semua matriks, maka hasil tersebut sudah dibuktikan.

Lebih umumnya, jika  adalah suatu matriks ordo  dan  adalah matriks ordo , maka  adalah matriks  dan  adalah matriks , sehingga memiliki

Untuk membuktikan hal tersebut, misalkan  dengan menukarkan  dan , kalaupun diperlukan. Dengan membatasi bagian bawah di matriks  oleh baris nol , dan membatasi bagian kanan di matriks  oleh kolom nol , maka didapatkan dua matriks , yaitu  dan , sehingga  dan  sama dengan  yang dibatasi oleh baris dan kolom nol . Dengan demikian, didapatkan hasil tersebut untuk kasus matriks persegi, dengan membandingkan polinomial karakteristik  dan .

Polinomial karakteristik dari Ak 
Jika  adalah nilai eigen dari matriks persegi  dengan vektor eigen , maka jelas bahwa  adalah nilai eigen dari , sebab 

Perkalian tersebut dapat ditunjukkan, dan memperumum untuk setiap polinomial selain :

Ini berarti bahwa perkalian aljabar  di  sama dengan jumlah perkalian aljabar  di  atas  sehingga . Secara khusus, dan . Sebagai contoh, polinomial  dievaluasi pada matriks , yang disederhanakan sebagai .

Teorema di atas berlaku untuk matriks dan polinomial atas setiap medan atau gelanggang komutatif.  Akan tetapi, terdapat asumsi bahwa  memiliki faktorisasi ke dalam faktor linear tidak selalu benar, kecuali untuk matriks atas suatu medan tertutup secara aljabar seperti bilangan kompleks.

Bukti ini hanya berlaku dengan matriks dan polinomal atas bilangan kompleks (atau suatu medan tertutup secara aljabar. Dalam kasus ini, polinomial karakteristik suatu matriks persegi dapat selalu difaktorkan sebagai
 
dimana  adalah eigennilai dari , kemungkinan berulang. Selain itu, teorema penguraian Jordan menjamin bahwa suatu matriks persegi  dapat diuraikan sebagai , dimana  adalah sebuah matriks terbalik dan  adalah matriks segitiga atas
dengan  pada diagonal (dengan setiap eigennili berulang menurut perkalian aljabarnya). (Bentuk normal Jordan memiliki sifat-sifat yang kuat, tetapi ini sudah cukup; secara alternatif penguraian Schur dapat digunakan, yang kurang populer tetapi agak lebih mudah untuk membuktikan).

Misalkan .
Maka
 .
Ini mudah diperiksa untuk sebuah matriks segitiga atas  dengan diagonal , matriks  adalah segitiga atas dengan diagonal  dalam , dan karena itu  merupakan matriks segitiga atas dengan diagonal . Oleh karena itu, eigennilai dari  adalah . Karena  serupa dengan , ini memiliki eigennilai yang sama, dengan perkalian aljabar yang sama.

Fungsi sekuler dan persamaan sekuler

Fungsi sekuler 
Istilah fungsi sekuler telah digunakan untuk apa yang sekarang disebut polinomial karakteristik (dalam beberapa sastra istilah fungsi sekuler masih digunakan). Istilahnya datang dari polinomial karakteristik digunakan untuk menghitung usikan sekuler (pada sebuah skala waktu mengenai sebuah abad, yaitu, dibandingkan dengan perlahan untuk gerakan tahunan) mengenai orbit planet, menurut teori Lagrange mengenai ayunan.

Persamaan sekuler 
Persamaan sekuler memiliki beberapa arti.

 Dalam aljabar linear, ini terkadang digunakan dalam tempat persamaan karakteristik.
 Dalam astronomi, ini adalah ekspresi aljabar atau numerik dari besaran mengenai pertidaksamaan dalam sebuah gerakan planet yang tetap setelah pertidaksamaan mengenai sebuah kala pendek telah dimungkinkan untuk.

 Dalam perhitungan orbital molekul mengaitkan dengan energi dari elektron dan fungsi gelombangnya juga digunakan sebagai gantinya dari persamaan karakteristik.

Untuk aljabar asosiatif umum 
Definisi di atas mengenai polinomial karakteristik mengenai sebuah matriks  dengan entri-entri dalam sebuah medan  merampat tanpa suatu perubahan dengan kasus ketika  hanyalah sebuah gelanggang komutatif.  mendefinisikan polinomial karakteristik untuk aljabar berdimensi hingga sembarang (asosiatif, tetapi tidak perlu komutatif) atas sebuah medan  dan membuktikan sifat-sifat standar dari polinomial karakteristik dalam keadaan umum ini.

Lihat pula 

 Persamana karakteristik (disambiguasi)
 Polinomial minimal (aljabar linear)
 Invarian tensor
 Matriks pendamping
 Algoritme Faddeev–LeVerrier
 Teorema Cayley–Hamilton
 Algoritme Samuelson–Berkowitz

Referensi 

 T.S. Blyth & E.F. Robertson (1998) Basic Linear Algebra, hlm. 149, Springer .
 John B. Fraleigh & Raymond A. Beauregard (1990) Linear Algebra 2nd edition, hlm. 246, Addison-Wesley .
 
 Werner Greub (1974) Linear Algebra 4th edition, pp 120–5, Springer, .
 Paul C. Shields (1980) Elementary Linear Algebra 3rd edition, hlm. 274, Worth Publishers .
 Gilbert Strang (1988) Linear Algebra and Its Applications 3rd edition, hlm. 246, Brooks/Cole .

Aljabar linear
Polinomial
Tensor