Pi
Bilangan  (kadang-kadang ditulis pi) adalah sebuah konstanta dalam matematika yang merupakan perbandingan keliling lingkaran dengan diameternya. Nilai  dalam 20 tempat desimal adalah 3,14159265358979323846. Banyak rumus dalam matematika, sains, dan teknik yang menggunakan π, yang menjadikannya salah satu dari konstanta matematika yang penting.  adalah bilangan irasional, yang berarti nilai π tidak dapat dinyatakan dalam pembagian bilangan bulat (biasanya pecahan 22/7 digunakan sebagai nilai pendekatan ; namun sebenarnya tiada satupun pecahan yang dapat mewakili nilai yang sama persis dengan .) Oleh karena itu pula, representasi desimal  tidak akan pernah berakhir dan tidak akan pernah memiliki pola angka tertentu yang permanen. Digit-digit desimal  tampaknya terdistribusikan secara acak, walaupun sampai sekarang hal ini masih belum dibuktikan.  adalah bilangan transendental, yakni bilangan yang bukan akar dari polinom-polinom bukan nol manapun yang memiliki koefisien rasional. Transendensi  memiliki implikasi pada ketidakmungkinan teka-teki matematika kuno "mengkuadratkan lingkaran dengan hanya menggunakan jangka dan penggaris" untuk dapat dipecahkan.

Selama beribu-ribu tahun, matematikawan telah berusaha untuk memperluas pemahaman akan bilangan . Hal ini kadang-kadang dilakukan dengan menghitung nilai bilangan  hingga keakurasian yang sangat tinggi. Sebelum abad ke-15, para matematikawan seperti Archimedes dan Liu Hui menggunakan teknik-teknik geometris yang didasarkan pada poligon untuk memperkirakan nilai . Mulai abad ke-15, algoritme baru yang didasarkan pada deret tak terhingga merevolusi perhitungan nilai . Cara ini digunakan oleh berbagai matematikawan seperti Madhava dari Sangamagrama, Isaac Newton, Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss, dan Srinivasa Ramanujan.

Pada abad ke-20 dan ke-21, para matematikawan dan ilmuan komputer menemukan pendekatan baru yang apabila digabungkan dengan daya komputasi komputer yang tinggi, mampu memperpanjang representasi desimal  sampai dengan lebih 10 triliun (1013) digit. Penerapan bilangan  dalam bidang sains pada umumnya tidak memerlukan lebih dari beberapa ratus digit desimal  dan bahkan kurang. Motivasi utama penghitungan ini adalah menemukan algoritme yang lebih efisien untuk menghitung rangkaian bilangan panjang sekaligus memecahkan rekor. Perhitungan ekstensif seperti ini juga digunakan untuk menguji kemampuan superkomputer dan algoritme perkalian presisi tinggi. Pada tahun 1973, manusia berhasil menemukan 1 juta digit desimal dari π.

Karena definisi  berhubungan dengan lingkaran, maka pi banyak ditemukan dalam rumus-rumus trigonometri dan geometri, terutama yang menyangkut lingkaran, elips, dan bola.  juga ditemukan pada rumus-rumus bidang ilmu lainnya seperti kosmologi, teori bilangan, statistika, fraktal, termodinamika, mekanika, dan elektromagnetisme. Keberadaan  yang sangat umum menjadikannya sebagai salah satu konstanta matematika yang paling luas dikenal, baik di dalam maupuan di luar kalangan ilmuwan. Hal ini dibuktikan dari beberapa penerbitan buku yang membahas bilangan ini, perayaan hari Pi, dan pemberitaan-pemberitaan yang luas di mana perhitungan digit  berhasil memecahkan rekor perhitungan. Beberapa orang bahkan dengan kerasnya berusaha menghafal nilai bilangan  dengan rekor 70.030 digit (Suresh Kumar Sharma, India).

Tinjauan dasar

Nama 
Simbol yang digunakan oleh para matematikawan untuk mewakilkan rasio keliling suatu lingkaran terhadap diameternya adalah huruf Yunani "". Huruf tersebut dapat dituliskan sebagi pi menggunakan huruf latin. Huruf kecil  (atau π dalam gaya huruf sans-serif) berbeda dengan huruf besar , yang mewakili perkalian barisan.

Pemilihan simbol π didiskusikan pada bagian Penggunaan simbol π

Definisi 

 umumnya didefinisikan sebagai rasio keliling lingkaran  dengan diameternya :

Rasio  bernilai konstan tak tergantung pada ukuran lingkaran. Contohnya, jika suatu lingkaran memiliki diameter dua kali lipat daripada lingkaran lainnya, ia juga akan memiliki keliling yang dua kali lipat lebih besar, sehingganya nilai rasio  akan tetap sama. Definisi  seperti ini secara implisit menggunakan geometri Euklides. Walaupun gagasan akan lingkaran juga dapat diperluas ke dalam geometri non-Euklides, namun lingkaran yang baru ini tidak akan lagi memenuhi rumus . Terdapat pula definisi  lainnya yang tidak menyebut-nyebut lingkaran sama sekali, yakni:  adalah bilangan yang bernilai dua kali lipat dari bilangan positif terkecil  yang mana  sama dengan 0.

Ciri-ciri 
 adalah bilangan irasional, yang berarti bahwa ia tidak dapat ditulis sebagai rasio dua bilangan bulat. Karena  irasional, maka ia memiliki digit bilangan desimal yang tak terhingga banyaknya. Terdapat beberapa bukti bahwa  irasional. Umumnya pembuktian ini memerlukan kalkulus dan bergantung pada teknik reductio ad absurdum. Sejauh mana bilangan  dapat didekati menggunakan bilangan rasional tidaklah diketahui.

 adalah bilangan transendental, yang berarti bahwa ia bukanlah penyelesaian dari polinom non-konstan berkoefisien rasional manapun seperti  Transendensi  mempunyai dua konsekuensi penting. Pertama,  tidak dapat diekspresikan menggunakan kombinasi bilangan rasional dan akar kuadrat ataupun akar pangkat ke-n manapun seperti  atau  Kedua, oleh karena tiada bilangan transendental apapun yang dapat dikonstruksikan menggunakan jangka dan penggaris, tidaklah dimungkinkan untuk "mempersegikan lingkaran". Dengan kata lain, tidaklah mungkin untuk mengkonstruksi persegi yang luasnya sama dengan luas lingkaran tertentu hanya dengan menggunakan jangka dan penggaris. Pemersegian lingkaran merupakan salah satu teka-teki geometri yang penting pada zaman era klasik. Matematikawan amatiran pada zaman modern kadang-kadang masih berusaha mempersegikan lingkaran dan mengklaim berhasil menyelesaikannya, walaupun telah diketahui hal ini tidak mungkin dilakukan.

Digit-digit  tidak memiliki pola apapun dan telah melewati uji keacakan statistis meliputi uji normalitas; sebuah bilangan dengan panjang tak terhingga dikatakan normal apabila keseluruhan barisan digitnya muncul sama banyaknya. Hipotesis bahwa  adalah normal belum berhasil dibuktikan maupun dibantah. Sejak ditemukannya komputer, sejumlah besar digit  telah berhasil dikomputasi untuk dianalisis secara statistik. Yasumasa Kanada telah menganalisis secara detail digit-digit desimal  dan menemukannya konsisten dengan normalitas. Tiada bukti sepuluh digit 0 sampai dengan 9 yang ditemukan memiliki pola-pola apapun. Walaupun digit-digit  telah melewati uji keacakan statistik,  mengandung beberapa barisan digit yang tampaknya tidak acak, misalnya titik Feynman, yang merupakan barisan enam angka 9 secara beruruan yang dimulai dari desimal ke-762 .

Pecahan kontinu 

Sama seperti semua bilangan irasional lainnya,  tidak dapat diwakilkan sebagai pecahan sederhana. Namun setiap bilangan irasional, termasuk  dapat diwakilkan menggunakan deret pecahan bersarang tak terhingga yang disebut sebagai pecahan kontinu:

Penghentian pecahan kontinu pada titik pembagian manapun akan memberikan nilai pendekatan ; dua pecahan 22/7 dan 355/113 secara historis digunakan sebagai pendekatan terhadap . Walauapun pecahan kontinu yang sederhana (seperti pada contoh di atas) untuk  tidak memiliki pola-pola tertentu, matematikawan telah menemukan beberapa pecahan kontinu generalisasi yang memiliki pola tertentu, misalnya:

Nilai pendekatan/taksiran 
Beberapa pendekatan  meliputi:
 Bilangan bulat: 3
 Pecahan: Pendekatan pecahan meliputi: (diurutkan berdasarkan kenaikan akurasi) , , , , , dan . (Disarikan dari  and .)
 Desimal: Limapuluh desimal pertama adalah  
 Biner: Pendekatan basis 2 hingga 48 digit adalah 
 Heksadesimal: Pendekatan basis 16 hingga 20 digit adalah 
 Seksagesimal: Pendekatan basis 60 hingga lima digit seksagesimal adalah 3;8,29,44,0,47

Bilangan kompleks dan identitas Euler 

Suatu bilangan kompleks, katakan , dapat dinyatakan menggunakan pasangan bilangan real. Dalam sistem koordinat polar, jari-jari (dilambangkan ) digunakan untuk menyatakan jarak  dari titik pusat ke pusat bidang kompleks, sedangkan sudut (dilambangkan ) menyatakan putaran berlawanan arah jarum jam dari garis bilangan real positif:

 ,

dengan  adalah unit imajiner dari . Kemunculan penggunaan  dalam analisis kompleks dapat dihubungkan dengan perilaku fungsi eksponensial variabel kompleks, yang dijelaskan oleh rumus Euler:

 ,

dengan konstanta  adalah basis logaritma natural. Rumus ini menghasilkan hubungan antara  pangkat bilangan imajiner dan titik-titik pada lingkaran satuan yang berpusat pada titik pusat di bidang kompleks. Substitusi  dalam rumus Euler menghasilkan identitas Euler, disambut gembira oleh para matematikawan karena mengandung lima konstanta matematika paling penting:

 .

Sebanyak  bilangan kompleks  yang berbeda dalam persamaan , disebut "akar persatuan () ke-". Rumus di atas dinyatakan dalam persamaan:

 .

Sejarah

Zaman kuno 
Piramida Giza Mesir yang dibangun pada tahun 2589–2566 SM, dibangun dengan kelilingnya sekitar 1760 kubit dan tinggi sekitar 280 kubit. Perbandingan antara keliling dengan tinggi piramida ini adalah  ≈ 6,2857. Nilai ini mendekati 2 ≈ 6,2832. Berdasarkan rasio ini, beberapa ahli Mesir kuno menyimpulkan bahwa pendiri bangunan piramida ini memiliki pengetahuan akan  dan dengan sengaja mendesain piramida dengan rasio seperti ini. Beberapa ahli menyanggah hal tersebut dan menyimpulkan hal ini hanyalah kebetulan belaka karena tiada butki lain apapun yang mendukungnya.

Pendekatan tertulis terhadap nilai  paling awal ditemukan di Mesir dan Babilonia, dengan nilai pendekatan berselisih lebih kurang 1 persen dari nilai sebenarnya. Sebuah lempeng liat dari Babilonia tahun 1900-1600 SM memuat penyataan mengenai geometri yang mengasumsikan  sebagai 25/8 = 3,1250. Di Mesir, Papirus Rhind yang berasal dari tahun 1650 SM (papirus ini sendiri merupakan salinan dari dokumen tahun 1850 SM) memiliki rumus luas lingkaran yang mengasumsikan nilai  sebagai ()2 ≈ 3,1605.

Di India sekitar tahun 600 SM, catatan Sutra Shulba dalam bahasa Sanskerta memuat nilai  sebesar ()2 ≈ 3,088. Pada tahun 150 SM, sumber-sumber catatan dari India memperlakukan  sama dengan  ≈ 3,1622.

Dua ayat dalam alkitab Ibrani (yang ditulis antara abad ke-8 dan ke-3 SM) medeskripsikan sebuah kolam seremonial dalam Bait Salomo yang berdiameter 10 kubit dan kelilingnya 30 kubit; ayat ini menyiratkan bahwa  adalah sekitar tiga apabila kolam tersebut berbentuk lingkaran. Rabbi Nehemiah menjelaskan bahwa diskrepansi ini diakibatkan oleh ketebalan pinggiran kolam. Hasil kerja paling awal Rabbi Nehemiah Mishnat ha-Middot yang ditulis sekitar tahun 150 mengambil nilai  sebesar tiga dan sepertujuh.

Zaman pendekatan poligon 

Algoritme paling awal yang tercatat secara cermat menghitung nilai  adalah pendekatan geometri menggunakan poligon. Algoritme ini ditemukan sekitar 250 SM oleh matematikawan Yunani Archimedes. Algoritme poligon ini mendominasi selama 1.000 tahun, dan karenanya  kadang-kadang dirujuk juga sebagai "konstanta Archimedes". Archimedes menghitung batas atas dan bawah  dengan menggambar poligon di luar dan di dalam sebuah lingkaran, dan secara perlahan melipatgandakan sisi-sisi poligon tersebut hingga mencapai 96-gon. Dengan menghitung keliling poligon-poligon tersebut, Archimedes membuktikan bahwa  <  <  (3,1408 <  < 3,1429). Batas atas Archimedes sekitar  membuat banyak orang percaya bahwa  sama dengan . Sekitar tahun 150, Ptolemaeus dalam Almagest-nya, memberikan nilai  sebesar 3,1416. Hasil ini kemungkinan dia dapatkan dari Archimedes ataupun dari Apollonius dari Perga. Para matematikawan kemudian menggunakan algoritme ini dan mencapai rekor 39 digit  pada tahun 1630 sebelum dipecahkan pada tahun 1699 menggunakan deret tak terhingga.

Pada zaman Cina kuno, nilai  adalah 3,1547 (sekitar tahun 1 Masehi),  (tahun 100, sekitar 3,1623), dan 142/45 (abad ke-3, sekitar 3,1556). Sekitar tahun 265, matematikawan dari Kerajaan Wei, Liu Hui, menemukan algoritma iteratif berbasis poligon yang digunakan dengan 3072-gon untuk menghasilkan nilai  sebesar 3,1416. Liu kemudian menciptakan metode yang lebih cepat dan mendapatkan nilai 3,14 dengan menggunakan 96-gon. Matematikawan Cina Zu Chongzhi sekitar tahun 480 menghitung bahwa  ≈  (pecahan ini dinamakan pecahan Milü dalam bahasa Cina) dengan menggunakan algoritme Liu Hui dan menerapkannya menggunakan 12.288-gon. Nilai yang didapatkannya adalah 3,141592920... dan akurat sebanyak tujuh digit. Nilai pendekatan ini merupakan nilai yang paling akurat selama 800 tahun ke depan.

Astronom India Aryabhata menggunakan nilai 3,1416 dalam Āryabhaṭīya (tahun 499). Fibonacci pada tahun  1220 menghitung nilai  dan mendapatkan hasil 3,1418 menggunakan metode poligon.

Astronom Persia Jamshīd al-Kāshī menghasilkan 16 digit nilai  pada tahun 1424 menggunakan poligon bersisi 3×228,. Ini kemudian menciptakan rekor untuk 180 tahun. Matematikawan Prancis François Viète pada tahun 1579 mencapai 9 digit menggunakan poligon bersisi 3×217. Matematikawan Flandria mencapai 15 digit desimal pada tahun 1593. Pada tahun 1596, matematikawan Belanda Ludolph van Ceulen mencapai 20 digit, dan rekor ini dipecahkan oleh dirinya sendiri mencapai 35 digit. Ilmuwan Belanda Willebrord Snellius mencapai 34 digit pada tahun 1621, dan astronom Austria Christoph Grienberger mencapai 38 digit pada tahun 1630, adalah nilai terakurat yang didapatkan secara perhitungan manual menggunakan pendekatan poligon.

Deret takhingga 
Perhitungan  direvolusi oleh berkembangnya teknik deret takhingga pada abad ke-16 dan 17. Deret takhingga merupakan penjumlahan deretan suku-suku yang tak terhingga banyaknya. Hal ini memungkinkan matematikawan menghitung nilai  dengan presisi yang melebihi metode Archimedes. Walaupun metode deret takhingga utamanya digunakan oleh matematikawan Eropa untuk menghitung nilai , pendekatan ini pertama kali ditemukan di India antara tahun 1400 dan 1500. Deskripsi tertulis pertama mengenai deret takhingga yang dapat digunakan untuk menghitung  terdapat dalam ayat Sanskerta yang ditulis oleh astronom India Nilakantha Somayaji dalam buku Tantrasamgraha sekitar tahun 1500. Deret ini diberikan tanpa pembuktian, walaupun pembuktian ini kemudian diberikan kemudian dalam Yuktibhāṣā sekitar tahun 1530. Nilakantha memberi kredit penemuan deret ini kepada matematikawan India Madhava dari Sangamagrama yang hidup antara tahun 1350 – c. 1425. Beberapa deret tak terhingga dijelaskan, meliputi deret untuk sinus, tangen, dan kosinus, yang dikenal sebagai deret Madhava atau deret Gregory-Leibniz. Madhava menggunakan deret takhingga untuk memperkirakan nilai  sampai dengan 11 digit sekitar tahun 1400. Namun rekor tersebut dikalahkan oleh matematikawan Persia Jamshīd al-Kāshī pada tahun 1430 menggunakan algoritme poligon.

Deret takhingga yang ditemukan di Eropa pertama kali adalah perkalian takhingga (daripada penjumlahan takhingga), yang ditemukan oleh matematikawan Prancis François Viète pada tahun 1593:

 

Deret takhingga kedua yang ditemukan di Eropa oleh John Wallis pada tahun 1655 juga merupakan perkalian takhingga. Penemuan kalkulus oleh Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz pada tahun 1660-an mendorong perkembangan banyak deret takhingga untuk menghitung nilai . Newton sendiri menggunakan deret arka sinus untuk menghitung  sampai dengan 15 digit pada tahun 1665 atau 1666.

Di Eropa, rumus Madhava ditemukan ulang oleh matematikawan Skotlandia James Gregory pada tahun 1671, dan oleh Leibniz pada tahun 1674:

 

Rumus ini, yang disebut deret Gregory-Leibniz, sama dengan  ketika dievaluasi bersama dengan  = 1. Pada tahun 1699, matematikawan Inggris Abraham Sharp menggunakan deret ini untuk menghitung  sampai dengan 71 digit, dan memecahkan rekor 39 digit sebelumnya. Deret Gregory-Leibniz cukup sederhana, namun konvergen sangat lambat, sehingga ia tidak digunakan pada zaman modern untuk menghitung .

Pada tahun 1706, John Machin menggunakan deret Gregory-Leibniz untuk menghasilkan algoritme yang berkonvergen lebih cepat:

Machin mencapai 100 digit  dengan rumus ini. Beberapa matematikawan kemudian menciptakan beberapa varian yang digunakan untuk memecahkan rekor digit  secara suksesif. Rumus bak-Machin ini merupakan metode perhitungan digit  yang terbaik sebelum ditemukannya komputer. Rekor penemuan digit  terus dipecahkan menggunakan rumus ini selama 250, sampai dengan 620 digit oleh Daniel Ferguson pada tahun 1946. Nilai pendekatan ini dihasilkan tanpa menggunakan alat hitung apapun.

Matematikawan Britania William Shanks terkenal akan usahanya selama 15 tahun untuk menghitung nilai  sampai dengan 707 digit. Namun ia membuat kesalahan pada digit ke-528, membuat digit-digit selanjutnya salah.

Laju konvergensi 
Beberapa deret takhingga untuk  berkonvergen lebih cepat daripada yang lainnya. Matematikawan biasanya akan menggunakan deret yang lebih cepat berkonvergen untuk menghemat waktu sampai dengan tingkat akurasi tertentu. Deret tak terhingga untuk  yang sederhana misalnya deret Gregory-Leibniz:

akan perlahan-lahan mendekati . Nilainya berkonvergen sangat lambat. Sampai dengan suku ke 500.000, deret ini hanya menghasilkan lima digit desimal yang benar untuk .

Deret yang lebih cepat berkonvergen adalah (digunakan oleh Nilakantha pada abad ke-15):

 

Perbandingan konvergensi kedua deret di atas adalah sebagai berikut:

Setelah lima suku, jumlah deret Gregory-Leibniz akurat dengan selisih 0,2 dari nilai  sebenarnya, manakala pada deret Nilakantha, selisihnya 0,0002. Deret Nilakantha berkonvergen lebih cepat dan lebih berguna dalam perhitungan . Deret lainnya yang berkonvergen lebih cepat meliputi deret Machin dan deret Chudnovsky. Deret Chudnovsky mampu menghasilkan 14 digit desimal yang benar setiap suku.

Irasionalitas dan transendensi 
Tidak semua penelitian matematika yang berhubungan dengan  ditujukan pada peningkatan akurasi nilai pendekatan . Ketika Euler menyelesaikan masalah Basel pada tahun 1735, ia berhasil menurunkan hubungan antra  dengan bilangan prima yang kemudian berkontribusi pada berkembangnya kajian mengenai fungsi zeta Riemann:

Ilmuwan Swiss Johann Heinrich Lambert pada tahun 1761 membuktikan bahwa  adalah irasional, yang berarti ia bukanlah hasil dari pembagian dua bilangan bulat manapun. Pembuktian Lambert menggunakan representasi pecahan kontinu dari fungsi tangen. Matematikawan Prancis Adrien-Marie Legendre pada tahun 1794 membuktikan bahwa 2 jugalah irasional. Pada tahun 1882, matematikawan Jerman Ferdinand von Lindemann membuktikan bahwa  adalah transendental, yang kemudian berhasil mengonfirmasi konjektur yang dibuat oleh Legendre dan Euler.

Penggunaan simbol  

Huruf Yunani  paling awal diketahui digunakan untuk mewakili rasio keliling lingkaran dengan diameternya oleh matematikawan William Jones dalam karya tahun 1706 "Synopsis Palmariorum Matheseos; or, a New Introduction to the Mathematics". Huruf Yunani ini pertama kali muncul dalam frasa "1/2 Periphery " (1/2 keliling ) dalam mendiskusikan suatu lingkaran berjari-jari satu. Jones mungkin memilih simbol  karena  adalah huruf pertama dari kata "keliling" dalam bahasa Yunani. Namun ia menulis bahwa persamaan untuk  tersebut berasal dari John Machin. Simbol ini sebenarnya pernah digunakan lebih awal sebagai konsep geometri. William Oughtred menggunakan  dan δ, huruf Yunani yang setara dengan p dan d, untuk mengekspresikan rasio keliling dengan diameter pada tahun 1647.

Setelah Jones memperkenalkan penggunaan huruf Yunani  ini pada tahun 1706, simbol ini tidak digunakan secara luas oleh matematikawan lain sampai dengan Euler yang mulai menggunakannya pada karya tahun 1736-nya, Mechanica. Sebelumnya, matematikawan kadang-kadang menggunakan simbol c atau p. Karena Euler memiliki banyak koneksi dengan matematikawan-matematikawan lainnya di Eropa, penggunakan huruf  meluas dengan cepat. Pada tahun 1748, Euler menggunakan simbol  dalam karyanya Introductio in analysin infinitorum (dia menulis: "untuk mempersingkat penulisan, kita akan menulis bilangan ini sebagai ; sehingga  sama dengan setengah keliling lingkaran berjari-jari 1"). Hal ini kemudian memicu penggunaan  yang universal di Barat.

Pencarian digit yang lebih banyak pada zaman modern

Zaman komputer dan algoritme iteratif 

Perkembangan komputer yang pesat pada pertengahan abad ke-20 merevolusi perhitungan digit desimal . Matematikawan Amerika John Wrench dan Levi Smith berhasil menghitung nilai pi sampai dengan 1.120 digit menggunakan kalkulator meja. Dengan menggunakan deret tak terhingga invers tangen (arctan), sekelompok tim yang dipimpin oleh George Reitwiesner dan John von Neumann pada tahun yang sama berhasil mencapai 2.037 digit menggunakan komputer ENIAC dengan lama perhitungan selama 70 jam. Rekor ini terus dipecahkan menggunakan deret arctan (7.480 digit pada tahun 1957; 10.000 digit pada tahun 1958; 100.000 digit pada tahun 1961), sampai dengan 1 juta digit pada tahun 1973.

Perkembangan lebih jauh sekitar tahun 1980 kemudian mempercepat kemampuan komputasi . Pertama, penemuan algoritme iteratif baru yang lebih cepat daripada deret tak terhingga; dan kedua, penemuan algoritme perkalian cepat yang mampu mengalikan bilangan besar dengan sangat cepat. Algoritme ini sangat penting karena waktu yang dihabiskan oleh komputasi komputer kebanyakan berkutat pada perkalian. Algoritme seperti ini contohnya algoritme Karatsuba, perkalian Toom–Cook, dan metode berbasis transformasi Fourier.

Algoritme iteratif secara independen dipublikasikan pada tahun 1975-1976 oleh fisikawan Amerika Eugene Salamin dan ilmuwan Australia Richard Brent. Algoritme ini membuat komputasi digit pi bebas dari deret tak terhingga. Algoritme iteratif mengulangi perhitungan tertentu dengan tiap iterasi menggunakan hasil iterasi sebelumnya sebagai input dan setahap demi setahap menghasilkan nilai perhitungan yang berkonvergen ke nilai yang kita inginkan.

Algoritme iteratif digunakan secara meluas setelah tahun 1980 karena algoritme ini lebih cepat daripada algoritme deret tak terhingga. Manakala algoritme deret tak terhingga meningkatkan jumlah digit yang benar setiap suku, algoritme iteratif pada umumnya melipatgandakan jumlah digit yang benar pada setiap iterasi. Sebagai contohnya, algoritme Brent-Salamin menggandakan jumlah digit yang benar pada tiap iterasi. Pada tahun 1984, John dan Peter Borwein berhasil menemukan algoritme iteratif yang menggandaempatkan jumlah digit pada tiap iterasi; dan pada tahun 1987 berhasil menggandalimakan jumlah digit pada tiap iterasi. Metode iteratif digunakan oleh matematikawan Yasumasa Kanada untuk memecahkan beberapa rekor komputasi  antara tahun 1995 sampai dengan tahun 2002. Konvergensi yang sangat cepat ini memiliki kelemahannya sendiri, yakni memerlukan memori komputer yang jauh lebih besar daripada yang diperlukan oleh deret tak terhingga.

Motivasi komputasi  

Dalam perhitungan numeris yang melibatkan , biasanya kita hanya memerlukan beberapa digit desimal  untuk mencapai tingkat presisi yang cukup tinggi. Menurut Jörg Arndt dan Christoph Haenel, 39 digit  sudah mencukupi untuk menghitung kebanyakan perhitungan kosmologi, karena ini merupakan jumlah digit yang diperlukan untuk menghitung volume alam semesta sampai dengan satu atom. Walau demikian, banyak orang telah bekerja keras untuk mengkomputasi  sampai dengan ribuan dan jutaan digit. Usaha ini sebagian dikarenakan dorongan manusia untuk memecahkan rekor, dan biasanya pencapaian seperti ini sering masuk ke dalam tajuk berita seluruh dunia. Perhitungan seperti ini juga memiliki kegunaan praktisnya, yaitu untuk menguji superkomputer, menguji algoritme analisis numeris; dan dalam lingkup matematika murni sendiri, data yang dihasilkan dapat digunakan untuk mengevaluasi keacakan digit-digit .

Deret konvergen cepat 

Kalkulator  modern tidak menggunakan algoritme iteratif secara eksklusif. Deret tak terhingga baru yang ditemukan pada tahun 1980-an dan 1990-an mampu berkonvergen secepat algoritme iteratif, namun lebih sederhana dan memerlukan memori yang lebih sedikit. Penemuan algoritme iteratif cepat terdahului oleh penemuan deret konvergen cepat pada tahun 1914, ketika matematikawan India Srinivasa Ramanujan mempublikasikan lusinan rumus-rumus baru untuk  yang berkonvergen sangat cepat. Salah satu rumusnya yang didasarkan pada persamaan modular adalah sebagai berikut:

Deret ini berkonvergen lebih cepat daripada kebanyakan deret-deret arctan, meliputi rumus Machin. Bill Gosper adalah orang yang pertama kali menggunakan rumus ini untuk menghitung  dan memecahkan rekor 17 juta digit pada tahun 1985. Penemuan rumus-rumus Ramanjuan mendahului penemuan algoritme-algoritme modern yang dikembangkan Borwein bersaudara dan Chudnovsky bersaudara. Rumus Chudnovsky yang dikembangkan pada tahun 1987 adalah sebagai berikut

Rumus ini menghasilkan 14 digit  setiap sukunya, dan telah digunakan dalam berbagai perhitungan  yang memecahkan rekor, meliputi yang pertama kali memecahkan 109 digit pada tahun 1989 oleh Chudnovsky bersaudara, 2,7 triliun (2.7×1012) digit oleh Fabrice Bellard pada tahun 2009, dan 10 triliun (1013) digit pada tahun 2011 oleh Alexander Yee dan Shigeru Kondo.

Pada tahun 2006, matematikawan Kanada Simon Plouffe menggunakan algoritme relasi integer PSLQ untuk menghasilkan beberapa rumus baru untuk , yang memiliki bentuk acuan sebagai berikut:

dengan  adalah  (konstanta Gelfond),  adalah bilangan ganjil, dan  adalah bilangan rasional tertentu yang dikomputasi Plouffe.

Metode Monte Carlo 

Metode Monte Carlo, yang mengevaluasi hasil dari banyak percobaan acak, dapat digunakan untuk membuat aproksimasi . Jarum Buffon adalah salah satu tekniknya: Jika sebuah jarum dengan panjang  dijatuhkan  kali di atas permukaan yang di atasnya digambar garis paralel yang dipisahkan sebesar  satuan, dan jika dari  kali ia jatuh melintasi garis ( > 0), maka aproksimasi  dapat ditentukan berdasarkan perhitungan:

 
Metode Monte Carlo lainnya untuk menghitung  adalah dengan menggambar sebuah lingkaran dalam sebuah persegi, dan meletakkan noktah-noktah secara acak di dalam perseegi. Perbandingan noktah di dalam lingkaran terhadap jumlah noktah total akan kira-kira sama dengan .

Metode Monte Carlo untuk memperkirakan  sangat lambat dibandingkan metode lainnya, dan tidak pernah digunakan untuk memperkirakan  ketika diperlukan kecepatan atau akurasi.

Algoritme keran 
Dua algoritme baru yang ditemukan pada tahun 1995 membuka jalan baru bagi riset . Algoritme ini dinamakan algoritme keran, karena seperti air yang menetes dari sebuah keran, algoritme ini menghasikan satu digit tunggal  yang tidak akan digunakan kembali setelah dihitung. Algoritme ini berbeda dari algoritme-algoritme deret tak terhingga dan iteratif yang menyisakan dan menggunakan semua digit-digit intermediat sampai penyelesaian akhirnya dihasilkan.

Matematikawan Amerika Stan Wagon dan Stanley Rabinowitz menemukan algoritme keran sederhana pada tahun 1995. Kecepatan konvergensi algoritme ini sebanding dengan algoritme arctan, namun tidak secepat algoritme iteratif.

Algoritme keran lainnya, algoritme ekstraksi digit BBP ditemukan pada tahun 1995 oleh Simon Plouffe:

Rumus ini, tidak seperti rumus lainnya, dapat menghasilkan digit  heksadesimal individu tanpa menghitung digit-digit sebelumnya. Digit-digit individu oktal maupun biner dapat diektraksi dari digit-digit heksadesimal. Variasi algoritme ini telah ditemukan, namun tiada satupun algoritme ekstraksi digit yang dapat menghasilkan digit desimal dengan cepat. Aplikasi penting dari algoritme ekstraksi digit ini adalah untuk memvalidasi klaim rekor komputasi  yang baru; Setelah suatu rekor baru diklaim, hasil bilangan desimal ini kemudian diubah menjadi bilangan heksadesimal, dan kemudian algoritme ekstraksi digit digunakan untuk menghitung beberapa digit heksadesimal tersebut secara acak dekat bagian akhir digit  yang terhitung; apabila hasilnya cocok, maka dapat digunakan sebagai tolok ukur keyakinan bahwa perhitungan yang dilakukan telah benar

Antara tahun 1998 dan 2000, proyek komputasi terdistribusi PiHex menggunakan rumus Bellard (modifikasi algoritme BBP) untuk mengkomputasi bit ke-kuadriliun (ke-1015) , yang hasilnya adalah 0. Pada bulan September 2010, seorang karyawan Yahoo! menggunakan aplikasi Hadoop perusahaan dalam seribu komputer selama 23 hari untuk menghitung 256 bit  pada bit ke-dua kuadriliun (ke-2×1015), yang hasilnya juga nol.

Kegunaan 

Karena  berhubungan dekat dengan lingkaran, ia banyak ditemukan dalam rumus-rumus geometri dan trigonometri, utamanya yang menyangkut lingkaran, bola, dan elips.  juga ditemukan dalam berbagai cabang ilmu lainnya meliputi statistika, fraktal, termodinamika, mekanika, kosmologi, teori bilangan, dan elektromagnetisme.

Geometri dan trigonometri 

 muncul dalam rumus-rumus perhitungan luas dan volume yang berkaitan dengan lingkaran, misalnya elips, bola, kerucut, dan torus. Beberapa rumus-rumus umum yang melibatkan  misalnya:
 Keliling lingkaran dengan jari-jari  adalah 
 Luas lingkaran dengan jari-jari  adalah 
 Volume bola dengan jari-jari  adalah 
 Luas permukaan bola dengan jari-jari  adalah 

 muncul dalam integral tertentu yang mendeskripsikan keliling, luas, dan volume bentuk yang dihasilkan oleh lingkaran. Sebagai contohnya, integral yang mendeskripsikan luas setengah lingkaran dengan jar-jari satu adalah:

Dalam integral tersebut, fungsi  mewakili kurva setengah lingkaran, dan integralnya  menghitung luas antara setengah lingkaran dengan sumbu x.

Fungsi trigonometri bergantung pada sudut, dan para matematikawan umumnya menggunakan radian sebagai satuan pengukuran sudut tersebut.  memainkan peran penting dalam sudut yang diukur dalam radian, yang didefinsikan sedemikian rupanya satu lingkaran penuh memiliki sudut 2 radian. Hal ini berarti 180° sama dengan  radian, dan 1° = /180 radian.

Fungsi-fungsi trigonometri pada umumnya memiliki periode yang merupakan kelipatan dari , sebagai contohnya sinus dan kosinus memiliki periode 2, sehingga untuk suautu sudut θ dan suatu bilangan bulat ,  dan

Rumus integral Cauchy 
Rumus integral Cauchy mengelola fungsi integral kompleks dan menghasilkan hubungan penting antara integrasi dan diferensiasi, termasuk kenyataan bahwa nilai fungsi kompleks dalam suatu batas tertutup seluruhnya ditentukan oleh nilai pada batasan:

Himpunan Mandelbrot 

Keberadaan  dalam fraktal himpunan Mandelbrot ditemukan oleh warga negara Amerika David Boll pada tahun 1991. Dia mempelajari perilaku humpunan Mandelbrot dekat "leher" pada . Jika dianggap titik dengan koordinat , dengan  cenderung nol, jumlah iterasi sampai perbedaan untuk jalur dikalikan dengan  konvergen menuju . Titik  di titik puncak "lembah" besar di sisi kanan himpunan Mandelbrot berperilaku sama: jumlah iterasi sampai divergensi dikalikan dengan akar kuadrat  cenderung mendekati .

Fungsi gamma 
Fungsi gamma memperluas konsep faktorial (biasanya didefinisikan hanya untuk bilangan bulat taknegatif) ke semua bilangan kompleks, kecuali bilangan bulat real negatif. Ketika fungsi gamma dievaluasi untuk bilangan setengah bulat, hasilnya berisi ; sebagai contoh

 
 dan
 .

Fungsi gamma dapat digunakan untuk membuat pendekatan sederhana seperti  untuk  besar:

 

yang dikenal sebagai aproksimasi Stirling.

Teori bilangan dan fungsi zeta Riemann 
Fungsi zeta Riemann  digunakan dalam banyak bidang matematika. Ketika dievaluasi pada , fungsi ini dapat ditulis sebagai:

Menemukan penyelesaian sederhana untuk deret tak hingga ini merupakan masalah populer dalam matematika yang disebut masalah Basel. Leonhard Euler memecahkannya pada tahun 1735 ketika ia menunjukkan bahwa itu sama dengan . Hasil Euler mengarah pada teori bilangan yaitu probabilitas dua angka acak yang relatif prima (tidak memiliki faktor bersama) adalah sama dengan . Probabilitas ini berdasarkan pengamatan bahwa probabilitas bilangan sembarang dapat dibagi dengan suatu bilangan prima  adalah  (sebagai contoh, setiap bilangan bulat ke-7 dapat dibagi dengan 7.) Sehingga probabilitas dua bilangan yang keduanya dapat dibagi dengan bilangan prima ini adalah , dan probabilitas bahwa sekurang-kurangnya satu di antaranya tidak dapat dibagi adalah . Untuk bilangan prima yang berbeda, kasus dapat dibagi ini bersifat independen; sehingga probabilitas bahwa dua bilangan adalah prima relatif diberikan oleh hasil pembagian seluruh bilangan prima:

 

Probabilitas ini dapat digunakan bersamaan dengan generator bilangan acak untuk memperkirakan  menggunakan pendekatan Monte Carlo.

Probabilitas dan statistik 

Bidang probabilitas dan statistik sering kali menggunakan distribusi normal sebagai model sederhana untuk fenomena kompleks; sebagai contoh, ilmuwan umumnya berasumsi bahwa kesalahan pengamatan dalam kebanyakan percobaan mengikuti sebuah distribusi normal. Fungsi Gauss (yang merupakan fungsi kepekatan probabilitas distribusi normal) dengan rata-rata  dan simpangan baku , pada dasarnya adalah :

 

Agar ini dapat menjadi kepekatan probabilitas, wilayah di bawah grafik f harus sama dengan satu. Hal ini diperoleh dari perubahan variabel dalam integral Gauss:

,

sehingga luas daerah yang berada di bawah kurva lonceng sederhana sama dengan akar kuadrat π.

Di luar matematika

Penggambaran fenomena fisika 
Meskipun bukan konstanta fisika,  hadir secara rutin dalam persamaan-persamaan yang menjelaskan prinsip-prinsip fundamental alam semesta, sering karena hubungan antara  dengan lingkaran dan dengan sistem koordinat sferis. Rumus sederhana dari bidang mekanika klasik memberikan aproksimasi periode  pendulum sederhana dengan panjang , yang mengayun dengan amplitudo  adalah percepatan gravitasi bumi):

Salah satu rumus kunci dalam mekanika kuantum adalah Prinsip ketidakpastian Heisenberg, yang menunjukkan bahwa ketidakpastian dalan pengukuran posisi suatu partikel (Δ) dan momentum (Δ) keduanya tidak dapat sama persis pada saat yang bersamaan (dengan  adalah tetapan Planck):

Dalam ranah kosmologi,  muncul dalam persamaan medan Einstein, suatu rumus fundamental yang menjadi dasar teori relativitas umum dan menjelaskan interaksi fundamental gravitasi sebagai hasil pelengkungan ruang waktu oleh materi dan energi:

dengan  adalah tensor lengkungan Ricci,  adalah lengkungan skalar,  adalah tensor metrik,  adalah tetapan kosmologi,  adalah tetapan gravitasi Newton,  adalah kecepatan cahaya dalam ruang hampa, dan  adalah tensor energi tegangan.

Hukum Coulomb, dari disiplin ilmu elektromagnetisme, menjelaskan medan listrik antara dua muatan listrik ( dan ) yang dipisahkan oleh jarak  (dengan  mewakili permitivitas ruang hampa:

Fakta bahwa nilai  mendekati 3 memainkan peran dalam ortopositronium dalam waktu yang relatif panjang. Kebalikannya hingga orde paling rendah dalam tetapan struktur halus  adalah

dengan  adalah massa elektron.

 hadir dalam beberapa formula rekayasa struktur, seperti rumus buckling yang diturunkan oleh Euler, yang memberikan muatan aksial  maksimum dengan panjang kolom , elastisitas modulus , dan momen inersia area  dapat mengangkut tanpa buckling:

Bidang dinamika fluida menyertakan  dalam hukum Stokes, yang mengaproksimasi gaya friksi  yang muncul pada objek sferis kecil dengan radius , bergerak dengan kecepatan  dalam fluida yang mempunyai viskositas dinamis :

Transformasi Fourier, dijelaskan di bawah, adalah operasi matematika yang menyatakan waktu sebagai fungsi dari frekuensi, dikenal karena spektrum frekuensinya. Ini mempunyai banyak aplikasi dalam fisika dan rekayasa, terutama dalam pemrosesan sinyal.

Mengingat digit 

Banyak orang telah mengingat sejumlah besar digit angka , suatu praktik yang disebut pifilologi. Satu teknik umum untuk mengingat adalah melalui cerita atau puisi yang mana panjang kata-kata mewakili angka digit : Kata pertama terdiri dari tiga huruf, kata kedua memiliki satu huruf, kata ketiga empat huruf, kata keempat satu huruf, kata kelima lima huruf, dan seterusnya. Contoh awal cara mengingat, diprakarsai oleh ilmuwan Inggris James Jeans, adalah How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. Ketika sebuah puisi (poem) digunakan, itu terkadang dirujuk sebagai piem. Puisi untuk mengingat  telah digubah dalam beberapa bahasa selain bahasa Inggris.

Rekor mengingat digit , yang dicatat oleh Guinness World Records, adalah 70.000 digit, dibacakan di India oleh Rajveer Meena selama 9 jam 27 menit pada tanggal 21 Maret 2015. Pada tahun 2006, Akira Haraguchi, seorang pensiunan insinyur Jepang, mengklaim telah membacakan 100.000 desimal , tetapi klaim tersebut tidak diverifikasi oleh Guinness World Records. Peraturan rekor pengingat  biasanya tidak berdasarkan puisi, tetapi malahan menggunakan metode semacam mengingat pola angka dan metode loci.

Beberapa penulis telah menggunakan digit  sebagai dasar bentuk baru tulisan terbatas (), di mana diperlukan panjang kata yang mereprentasikan digit . Cadaeic Cadenza mengandung 3.835 digit pertama , dan satu buku penuh berjudul Not a Wake mengandung 10.000 kata, yang masing-masing mereprentasikan satu digit .

Lihat pula 
 Aproksimasi Stirling
Daftar tetapan matematis

Referensi 
Referensi

Catatan kaki

Daftar pustaka

  English translation by Catriona and David Lischka.
 
 
 
 
 
 
 , English translation by Stephen Wilson.
 
 
 
 
 . [http://www.jstor.org/discover/10.2307/3029284 issue 3 Jan/Feb], issue 4 Mar/Apr, issue 5 May/Jun

Pranala luar 
 Program dalam Pascal tentang pemakaian π
 Sejarah singkat tentang π
 Pi-memory 

Matematika
Huruf Yunani