Permukaan integral
Dalam matematika, Permukaan integral adalah generalisasi dari beberapa integral untuk integrasi di atas permukaan. Ini dapat dianggap sebagai analog integral lipat dari integral garis . Dengan adanya suatu permukaan, seseorang dapat mengintegralkan bidang skalar (yaitu, fungsi posisi yang mengembalikan skalar sebagai nilai) di atas permukaan, atau bidang vektor (yaitu, fungsi yang mengembalikan vektor sebagai nilai). Jika suatu daerah R tidak datar, maka itu disebut permukaan seperti yang diperlihatkan dalam ilustrasi.

Permukaan integral memiliki aplikasi dalam fisika, khususnya dalam teori elektromagnetisme klasik.

Integral permukaan bidang skalar 

Untuk menemukan rumus eksplisit untuk integral permukaan di atas permukaan S, kita perlu membuat parameter S dengan menentukan sistem koordinat lengkung pada S, seperti lintang dan bujur pada bola . Biarkan parameterisasi seperti itu menjadi x ( s, t ), di mana ( s, t ) bervariasi di beberapa daerah T di bidang . Kemudian, integral permukaan diberikan oleh 

di mana ekspresi antara bar di sisi kanan adalah besarnya dari produk silang dari turunan parsial dari x (s, t), dan dikenal sebagai permukaan elemen . Integral permukaan juga dapat dinyatakan dalam bentuk ekivalen

dimana g adalah determinan bentuk fundamental pertama dari pemetaan permukaan x ( s, t ).

Contohnya, jika kita ingin mencari luas permukaan grafik dari beberapa fungsi skalar, katakanlah , kita punya

rumus di atas adalah  . Yang seperti itu , dan  . Jika

Berikut salah satu merupakan rumus standar untuk luas permukaan yang dijelaskan dengan cara ini. Seseorang dapat mengenali vektor pada baris kedua terakhir di atas sebagai vektor normal ke permukaan.

Perhatikan, bahwa karena adanya perkalian silang, rumus di atas hanya berfungsi untuk permukaan yang tertanam dalam ruang tiga dimensi.

Hal ini dapat dilihat sebagai integrasi bentuk volume Riemannian pada permukaan berparameter, di mana tensor metrik diberikan oleh bentuk dasar pertama permukaan.

Permukaan integral bidang vektor 

Pertimbangkan bidang vektor v pada permukaan S, yaitu untuk setiap x dalam S, v (x) adalah vektor.

Integral permukaan dapat didefinisikan secara komponen sesuai dengan definisi integral permukaan dari suatu bidang skalar; hasilnya adalah vektor. Ini berlaku misalnya dalam ekspresi medan listrik di beberapa titik tetap karena permukaan bermuatan listrik, atau gravitasi di beberapa titik tetap karena selembar material.

Alternatifnya, jika kita mengintegrasikan komponen normal bidang vektor di atas permukaan, hasilnya adalah skalar, biasanya disebut fluks yang melewati permukaan. Bayangkan kita memiliki fluida yang mengalir melalui S, sehingga v (x) menentukan kecepatan fluida di x. Fluks didefinisikan sebagai jumlah fluida yang mengalir melalui S per satuan waktu.

Ilustrasi ini menyiratkan bahwa jika bidang vektor tangen ke S di setiap titik, maka fluksnya nol karena fluida hanya mengalir di paralel ke S, dan tidak masuk maupun keluar. Ini juga menyiratkan bahwa jika  'v'  tidak hanya mengalir di sepanjang S, yaitu, jika v memiliki komponen tangensial dan normal, maka hanya komponen normal yang berkontribusi fluks. Berdasarkan alasan ini, untuk mencari fluks, kita perlu mengambil perkalian titik dari v dengan satuan permukaan normal n menjadi S di setiap titik, yang akan memberi kita bidang skalar, dan mengintegrasikan bidang yang diperoleh seperti di atas. Kami menemukan rumusnya

Perkalian silang di sisi kanan ekspresi ini adalah permukaan normal (tidak harus unital) yang ditentukan oleh parametrisasi.

Rumus ini mendefinisikan integral di sebelah kiri (perhatikan titik dan notasi vektor untuk elemen permukaan).

Kami juga dapat menafsirkan ini sebagai kasus khusus untuk mengintegrasikan 2 bentuk, di mana kami mengidentifikasi bidang vektor dengan 1 bentuk, dan kemudian mengintegrasikan Hodge dual di atas permukaan.
Ini sama dengan mengintegrasikan  di atas permukaan yang terbenam, di mana  adalah bentuk volume yang diinduksi pada permukaan, diperoleh dengan perkalian interior dari metrik Riemannian dari ruang ambien dengan normal luar permukaan.

Sintegral permukaan dari bentuk-2 diferensial 
Bila

menjadi  
diferensial 2-bentuk yang didefinisikan pada permukaan S, dan jika

menjadi parameter pelestarian orientasi dari S dengan  di D. Mengubah koordinat dari 
untuk , bentuk diferensial berubah sebagai

Begitu  berubah menjadi , dimana  menunjukkan determinan dari Jacobian dari fungsi transisi dari  pada . Transformasi bentuk lainnya serupa.

Kemudian, Permukaan integral f pada S diberikan oleh

where

is the surface element normal to S.

Perhatikan bahwa integral permukaan bentuk-2 ini sama dengan integral permukaan bidang vektor yang memiliki komponen ,  dan .

Teorema yang melibatkan integral permukaan 
Berbagai hasil yang berguna untuk integral permukaan dapat diturunkan menggunakan geometri diferensial dan kalkulus vektor, seperti teorema divergensi, dan generalisasinya, teorema Stokes.

Lihat pula 
 Teorema divergensi
 Teorema Stokes
 Garis integral
 Elemen volume
 Integral volume
 Sistem koordinat Cartesius
 Elemen volume dan luas permukaan dalam sistem koordinat bola
 Elemen volume dan luas permukaan dalam sistem koordinat silinder
 Metode Holstein–Herring

Referensi

Pranala luar 
 Surface Integral — from MathWorld
 Surface Integral — Theory and exercises

Kalkulus multivariabel
Luas
Permukaan