In axiomatic set theory and the branches of logic, mathematics, and computer science that use it, the axiom of extensionality, or axiom of extension, is one of the axioms of Zermelo–Fraenkel set theory. It says that sets having the same elements are the same set. Formal statement In the formal language of the Zermelo–Fraenkel axioms, the axiom reads: or in words: Given any set A and any set B, if for every set X, X is a member of A if and only if X is a member of B, then A is equal to B. (It is not really essential that X here be a set — but in ZF, everything is. See Ur-elements below for when this is violated.) The converse, of this axiom follows from the substitution property of equality. Interpretation To understand this axiom, note that the clause in parentheses in the symbolic statement above simply states that A and B have precisely the same members. Thus, what the axiom is really saying is that two
En la teoría de conjuntos axiomática y las ramas de la lógica, la matemática y la ciencia de la computación que la usan, el axioma de extensión, o axioma de extensión, es uno de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. Se dice que los conjuntos que tienen los mismos elementos son el mismo conjunto. Declaración formal En el lenguaje formal de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, el axioma lee: o en palabras: Dado cualquier conjunto A y conjunto de cualquier B, si para cada conjunto de X, X es un miembro de A si y sólo si X es un miembro de B, entonces A es igual a B. (No es realmente esencial que X se establezca aquí un - pero en ZF, todo es. Ver Ur-elementos para cuando esto se viola.) El inverso, de este axioma se deriva de la propiedad de sustitución de la igualdad.