Gödel's incompleteness theorems are two theorems of mathematical logic that are concerned with the limits of in formal axiomatic theories. These results, published by Kurt Gödel in 1931, are important both in mathematical logic and in the philosophy of mathematics. The theorems are widely, but not universally, interpreted as showing that Hilbert's program to find a complete and consistent set of axioms for all mathematics is impossible. The first incompleteness theorem states that no consistent system of axioms whose theorems can be listed by an effective procedure (i.e., an algorithm) is capable of proving all truths about the arithmetic of natural numbers. For any such consistent formal system, there will always be statements about natural numbers that are true, but that are unprovable within the system. The second incompleteness theorem, an extension of the first, shows that the system cannot demonstrate its own consistency. Employing a diagonal argument, Gödel's incompleteness the
Los teoremas de incompletitud de Gödel son dos teoremas de lógica matemática que se preocupan por los límites de las teorías axiomáticas formales. Estos resultados, publicados por Kurt Gödel en 1931, son importantes tanto en la lógica matemática como en la filosofía de las matemáticas. Los teoremas son ampliamente, pero no universalmente, interpretados como mostrando que el programa de Hilbert para encontrar un conjunto completo y consistente de axiomas para todas las matemáticas es imposible. El primer teorema de incompletitud afirma que ningún sistema consistente de axiomas cuyos teoremas pueden ser listados por un procedimiento eficaz (es decir, un algoritmo) es capaz de probar todas las verdades sobre la aritmética de los números naturales. Para cualquier sistema formal consistente, siempre habrá declaraciones sobre números naturales que son verdaderos, pero que no son probables dentro del sistema.