In commutative algebra, the Krull dimension of a commutative ring R, named after Wolfgang Krull, is the supremum of the lengths of all chains of prime ideals. The Krull dimension need not be finite even for a Noetherian ring. More generally the Krull dimension can be defined for modules over possibly non-commutative rings as the deviation of the poset of submodules. The Krull dimension was introduced to provide an algebraic definition of the dimension of an algebraic variety: the dimension of the affine variety defined by an ideal I in a polynomial ring R is the Krull dimension of R/I. A field k has Krull dimension 0; more generally, k[x1,..., xn] has Krull dimension n. A principal ideal domain that is not a field has Krull dimension 1. A local ring has Krull dimension 0 if and only if every element of its maximal ideal is nilpotent. There are several other ways that have been used to define the dimension of a ring. Most of them coincide with the Krull dimension for Noetherian rings, but can
En algebra conmutativa, la dimensión de Krull de un anillo conmutativo R, nombrado después de Wolfgang Krull, es el supremo de las longitudes de todas las cadenas de ideales primos. La dimensión de Krull no necesita ser finita incluso para un anillo Noetherian. Más generalmente la dimensión de Krull puede definirse para módulos sobre anillos posiblemente no conmutativos como la desviación del poset de submodulos. La dimensión de Krull se introdujo para proporcionar una definición algebraica de la dimensión de una variedad algebraica: la dimensión de la variedad de afinidad definida por un ideal I en un anillo polinomial R es la dimensión de Krull de R/I. Un campo tiene dimensión de Krull 0; más generalmente, kx1, xn tiene dimensión de Krull n. Un dominio ideal principal que no es un campo tiene dimensión de Krull 1. Un anillo local tiene dimensión de Krull 0 y si sólo cada elemento de su nilo ideal es nilpotente.