In mathematics, de Moivre's formula (also known as de Moivre's theorem and de Moivre's identity) states that for any real number and integer it holds that where is the imaginary unit (). The formula is named after Abraham de Moivre, although he never stated it in his works. The expression is sometimes abbreviated to. The formula is important because it connects complex numbers and trigonometry. By expanding the left hand side and then comparing the real and imaginary parts under the assumption that is real, it is possible to derive useful expressions for and in terms of and. As written, the formula is not valid for non-integer powers. However, there are generalizations of this formula valid for other exponents. These can be used to give explicit expressions for the th roots of unity, that is, complex numbers such that. Example For and, de Moivre's formula asserts that or equivalently that In this example, it is easy to check the validity of the equation by multiplying out the left side. Relation to Euler's formula
En matemáticas, la fórmula de de Moivre (también conocida como el teorema de de Moivre y la identidad de de Moivre) establece que para cualquier número real y número entero tiene que donde está la unidad imaginaria (). La fórmula es nombrada después de Abraham de Moivre, aunque nunca lo declaró en sus obras. La expresión a veces se abrevia a. La fórmula es importante porque conecta números complejos y trigonometría. Al expandir el lado izquierdo y luego comparar las partes reales e imaginarias bajo la suposición de que es real, es posible derivar expresiones útiles para y en términos de y. Como está escrito, la fórmula no es válida para poderes no integradores. Sin embargo, hay generalizaciones de esta fórmula válida para otros exponentes. Estos pueden ser usados para dar expresiones explícitas para las raíces de la unidad, es decir, números complejos tales como. Ejemplo, y las fórmulas de Moivre que afirman que en este ejemplo equivalente, es fácil de comprobar la multiplicación del lado izquierdo de