Zorn's lemma, also known as the Kuratowski–Zorn lemma, is a proposition of set theory. It states that a partially ordered set containing upper bounds for every chain (that is, every totally ordered subset) necessarily contains at least one maximal element. The lemma was proved by Kazimierz Kuratowski in 1922 and independently by Max Zorn in 1935. It occurs in the proofs of several theorems of crucial importance, for instance the Hahn–Banach theorem in functional analysis, the theorem that every vector space has a basis, Tychonoff's theorem in topology stating that every product of compact spaces is compact, and the theorems in abstract algebra that in a ring with identity every proper ideal is contained in a maximal ideal and that every field has an algebraic closure. Zorn's lemma is equivalent to the well-ordering theorem and also to the axiom of choice, in the sense that within ZF (Zermelo–Fraenkel set theory without
El lemma de Zorn, también conocido como el lemma de Kuratowski-Zorn, es una proposición de teoría de conjuntos. Se afirma que un conjunto parcialmente ordenado que contiene límites superiores para cada cadena (es decir, cada subconjunto totalmente ordenado) necesariamente contiene al menos un elemento máximo. El lemma fue probado por Kazimierz Kuratowski en 1922 e independientemente por Max Zorn en 1935. Se produce en las pruebas de varios teoremas de importancia crucial, por ejemplo el teorema de Hahn-Banach en análisis funcional, el teorema de que cada espacio vectorial tiene una base, el teorema de Tychonoff en topología afirmando que cada producto de espacios compactos es compacto, y el teorema en álgebra abstracta de que en un anillo con identidad propia cada ideal está contenido en un ideal máximo y que cada campo tiene un cierre algébrico.