In category theory, a branch of mathematics, an initial object of a category is an object in such that for every object in, there exists precisely one morphism. The dual notion is that of a terminal object (also called terminal element): is terminal if for every object in there exists exactly one morphism. Initial objects are also called coterminal or universal, and terminal objects are also called final. If an object is both initial and terminal, it is called a zero object or null object. A pointed category is one with a zero object. A strict initial object is one for which every morphism into is an isomorphism. Examples The empty set is the unique initial object in Set, the category of sets. Every one-element set (singleton) is a terminal object in this category; there are no zero objects. Similarly, the empty space is the unique initial object in Top, the category of topological spaces and every one-point space is a terminal object in this category. In the category Rel of sets and relations, the empty set is the unique initial object, the unique terminal object,
En la teoría de categorías, una rama de la matemática, un objeto inicial de una categoría es un objeto en tal modo que para cada objeto en él, existe exactamente un morfismo. La noción dual es la de un objeto terminal (también llamado elemento terminal): es terminal si para cada objeto en él existe exactamente un morfismo. Los objetos iniciales también se llaman coterminales o universales, y los objetos terminales también se llaman finales. Si un objeto es tanto inicial y terminal, se llama un objeto cero o objeto cero. Una categoría apuntada es una con un objeto cero. Un objeto inicial estricto es uno para el cual cada morfismo en es un isomorfismo. Ejemplos El conjunto vacío es el objeto inicial único en el conjunto, la categoría de conjuntos. Cada conjunto de elementos (singleton) es un objeto terminal en esta categoría; no hay objetos cero. De la misma manera, el espacio vacío es el objeto inicial único en la categoría topológica y cada espacio-punto es un objeto terminal en la categoría. En este conjunto de objetos, el conjunto original y el conjunto