In mathematics, a real-valued function f on the interval [a, b] is said to be singular if it has the following properties: f is continuous on [a, b]. (**) there exists a set N of measure 0 such that for all x outside of N the derivative f ′(x) exists and is zero, that is, the derivative of f vanishes almost everywhere. f is non-constant on [a, b]. A standard example of a singular function is the Cantor function, which is sometimes called the devil's staircase (a term also used for singular functions in general). There are, however, other functions that have been given that name. One is defined in terms of the circle map. If f(x) = 0 for all x ≤ a and f(x) = 1 for all x ≥ b, then the function can be taken to represent a cumulative distribution function for a random variable which is neither a discrete random variable (since the probability is zero for each point) nor an absolutely continuous random variable (since the probability density
En matemáticas, una función real-valorada f en el intervalo [a, b] se dice que es singular si tiene las siguientes propiedades: f es continuo en [a, b]. (**) existe un conjunto N de medida 0 tal que para todos los x fuera de N la derivada f ′(x) existe y es cero, es decir, la derivada de f desaparece casi en todas partes. f es no constante en [a, b]. Un ejemplo estándar de una función singular es la función Cantor, que a veces se llama la escalera del diablo (un término también utilizado para funciones singulares en general). Hay, sin embargo, otras funciones que se han dado ese nombre. Uno se define en términos del mapa circular. Si f(x) = 0 para todos los x ≤ a y f(x) = 1 para todos los x ≥ b, entonces la función puede ser tomada para una distribución cumulativa representativa para una variable aleatoria que no es una variable aleatoria (porque la densidad de probabilidad de cada punto es absolutamente cero)