The quantum harmonic oscillator is the quantum-mechanical analog of the classical harmonic oscillator. Because an arbitrary smooth potential can usually be approximated as a harmonic potential at the vicinity of a stable equilibrium point, it is one of the most important model systems in quantum mechanics. Furthermore, it is one of the few quantum-mechanical systems for which an exact, analytical solution is known. One-dimensional harmonic oscillator Hamiltonian and energy eigenstates The Hamiltonian of the particle is: where is the particle's mass, is the force constant, is the angular frequency of the oscillator, is the position operator (given by in the coordinate basis), and is the momentum operator (given by in the coordinate basis). The first term in the Hamiltonian represents the kinetic energy of the particle, and the second term represents its potential energy, as in Hooke's law. One may write the time-independent Schrödinger equation, where denotes a to-be-determined real number that
El oscilador armónico cuántico es el análogo cuántico-mecánico del oscilador armónico clásico. Debido a que un potencial liso arbitrario generalmente se puede aproximar como un potencial armónico en la vecindad de un punto de equilibrio estable, es uno de los sistemas de modelo más importantes en mecánica cuántica. Además, es uno de los pocos sistemas cuántico-mecánicos para los que se conoce una solución exacta, analítica. El oscilador armónico unidimensional Hamiltoniano y la energía eigenstates El Hamiltoniano de la partícula es: donde está la masa de la partícula, es la constante de fuerza, es la frecuencia angular del oscilador, es el operador de posición (dado en la base de coordenadas), y es el operador de momento (dado en la base de coordenadas). El primer término en el Hamiltoniano representa la energía cinética de la partícula, y el segundo término representa su energía potencial, como en la ley de Hooke.