In mathematics, non-Euclidean geometry consists of two geometries based on axioms closely related to those that specify Euclidean geometry. As Euclidean geometry lies at the intersection of metric geometry and affine geometry, non-Euclidean geometry arises by either replacing the parallel postulate with an alternative, or relaxing the metric requirement. In the former case, one obtains hyperbolic geometry and elliptic geometry, the traditional non-Euclidean geometries. When the metric requirement is relaxed, then there are affine planes associated with the planar algebras, which give rise to kinematic geometries that have also been called non-Euclidean geometry. The essential difference between the metric geometries is the nature of parallel lines. Euclid's fifth postulate, the parallel postulate, is equivalent to Playfair's postulate, which states that, within a two-dimensional plane, for any given line and a point A,
En matemáticas, la geometría no euclidiana consiste en dos geometrías basadas en axiomas estrechamente relacionados con los que especifican la geometría euclidiana. Como la geometría euclidiana se encuentra en la intersección de la geometría métrica y la geometría afín, la geometría no euclidiana surge por sustituir el postulado paralelo con una alternativa, o relajar el requisito métrico. En el caso anterior, uno obtiene la geometría hiperbólica y la geometría elíptica, las geometrías tradicionales no euclidianas. Cuando el requisito métrico se relaja, entonces hay planos afinos asociados con las algebras planas, que dan lugar a geometrías cinémicas que también han sido llamadas geometría no euclidiana. La diferencia esencial entre las geometrías métricas es la naturaleza de líneas paralelas.