The Baire category theorem (BCT) is an important result in general topology and functional analysis. The theorem has two forms, each of which gives sufficient conditions for a topological space to be a Baire space (a topological space such that the intersection of countably many dense open sets is still dense). Versions of Baire category theorem were first proved independently in 1897 and 1899 by Osgood and Baire respectively. This theorem says that every complete metric space is a Baire space. Statement A Baire space is a topological space with the property that for each countable collection of open dense sets their intersection is dense. (BCT1) Every complete pseudometric space is a Baire space. Thus every completely metrizable topological space is a Baire space. More generally, every topological space that is homeomorphic to an open subset of a complete pseudometric space is a Baire space. (BCT2) Every locally compact Hausdorff space is a Baire space. The proof is similar to the preceding statement; the finite intersection property
El teorema de la categoría de Baire (BCT) es un resultado importante en topología general y análisis funcional. El teorema tiene dos formas, cada una de las cuales da condiciones suficientes para que un espacio topológico sea un espacio de Baire (un espacio topológico tal que la intersección de numerosos conjuntos abiertos densos es aún densa). Versiones del teorema de la categoría de Baire fueron probadas por primera vez de forma independiente en 1897 y 1899 por Osgood y Baire respectivamente. Este teorema dice que cada espacio métrico completo es un espacio de Baire. Declaración Un espacio de Baire es un espacio topológico con la propiedad de que para cada colección de conjuntos abiertos densos contables su intersección es densa. (BCT1) Cada espacio pseudométrico completo es un espacio de Baire. Por lo tanto, cada espacio topológico completamente métrico es un espacio de Baire. Más generalmente, cada espacio topológico que es homomórfico a un subconjunto abierto de un conjunto de pseudométricos completo es un espacio de Baire.