In mathematics, more specifically ring theory, the Jacobson radical of a ring is the ideal consisting of those elements in that annihilate all simple right -modules. It happens that substituting "left" in place of "right" in the definition yields the same ideal, and so the notion is left-right symmetric. The Jacobson radical of a ring is frequently denoted by or ; the former notation will be preferred in this article, because it avoids confusion with other radicals of a ring. The Jacobson radical is named after Nathan Jacobson, who was the first to study it for arbitrary rings in. The Jacobson radical of a ring has numerous internal characterizations, including a few definitions that successfully extend the notion to rings without unity. The radical of a module extends the definition of the Jacobson radical to include modules. The Jacobson radical plays a prominent role in many ring and module theoretic results, such as Nakayama's lemma. Definitions There are multiple equivalent definitions and characterizations of the Jacobson radical, but it
En matemáticas, más específicamente la teoría del anillo, el radical Jacobson de un anillo es el ideal consistente de esos elementos en que aniquilar todos los simples módulos de derecha. Sucede que la sustitución de "izquierda" en lugar de "derecha" en la definición da el mismo ideal, y por lo tanto la noción es de izquierda-derecha simétrica. El radical Jacobson de un anillo se denota a menudo por o ; la notación anterior será preferida en este artículo, porque evita la confusión con otros radicales de un anillo. El radical Jacobson es nombrado después de Nathan Jacobson, quien fue el primero en estudiarlo para anillos arbitrarios en. El radical Jacobson de un anillo tiene numerosas caracterizaciones internas, incluyendo algunas definiciones que extienden con éxito la noción de anillos sin unidad. El radical de un módulo amplía la definición del radical Jacobson para incluir módulos. El radical Jacobson juega un papel prominente en el anillo y muchos módulos de Nakoretic, tales como los resultados de Lemmaayama, las defini