The fundamental theorem of algebra also known as d'Alembert's theorem or the d'Alembert-Gauss theorem states that every non-constant single-variable polynomial with complex coefficients has at least one complex root. This includes polynomials with real coefficients, since every real number is a complex number with its imaginary part equal to zero. Equivalently (by definition), the theorem states that the field of complex numbers is algebraically closed. The theorem is also stated as follows: every non-zero, single-variable, degree n polynomial with complex coefficients has, counted with multiplicity, exactly n complex roots. The equivalence of the two statements can be proven through the use of successive polynomial division. Despite its name, there is no purely algebraic proof of the theorem, since any proof must use some form of the analytic completeness of the real numbers, which is not an algebraic concept. Additionally, it is not fundamental for modern algebra;
El teorema fundamental de la álgebra también conocido como el teorema de d'Alembert o el teorema de d'Alembert-Gauss afirma que cada polinomial único-variable no constante con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja. Esto incluye los polinomios con coeficientes reales, ya que cada número real es un número complejo con su parte imaginaria igual a cero. Equivalentemente (por definición), el teorema afirma que el campo de los números complejos es algebraicamente cerrado. El teorema también se declara de la siguiente manera: cada polinomial no cero, único-variable, grado n con coeficientes complejos tiene, contado con la multiplicidad, exactamente n raíces complejas. La equivalencia de las dos declaraciones puede ser probada a través del uso de la división polinomial sucesiva. A pesar de su nombre, no hay una prueba algebraica pura del teorema, ya que cualquier prueba debe usar la forma analítica de la completencia de los números reales, que no es algebraica