In axiomatic set theory, the axiom of empty set is a statement that asserts the existence of a set with no elements. It is an axiom of Kripke–Platek set theory and the variant of general set theory that Burgess (2005) calls "ST," and a demonstrable truth in Zermelo set theory and Zermelo–Fraenkel set theory, with or without the axiom of choice. Formal statement In the formal language of the Zermelo–Fraenkel axioms, the axiom reads: or in words: There is a set such that no element is a member of it. Interpretation We can use the axiom of extensionality to show that there is only one empty set. Since it is unique we can name it. It is called the empty set (denoted by { } or ∅). The axiom, stated in natural language, is in essence: An empty set exists. This formula is a theorem and considered true in every version of set theory. The only controversy is over how it should
En la teoría del conjunto axiomático, el axioma del conjunto vacío es una afirmación que afirma la existencia de un conjunto sin elementos. Es un axioma de la teoría del conjunto de Kripke-Platek y la variante de la teoría del conjunto general que Burgess (2005) llama "ST", y una verdad demostrable en la teoría del conjunto de Zermelo y la teoría del conjunto de Zermelo-Fraenkel, con o sin el axioma de elección. Declaración formal En el lenguaje formal de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, el axioma lee: o en palabras: Hay un conjunto tal que ningún elemento es miembro de él. Interpretación Podemos usar el axioma de la extensión para mostrar que solo hay un conjunto vacío. Debido a que es único podemos llamarlo. Se llama el conjunto vacío (denominado por { o } ∅). El axioma, declarado en lenguaje natural, es en esencia: un conjunto vacío.