The Nash embedding theorems (or imbedding theorems), named after John Forbes Nash Jr., state that every Riemannian manifold can be isometrically embedded into some Euclidean space. Isometric means preserving the length of every path. For instance, bending but neither stretching nor tearing a page of paper gives an isometric embedding of the page into Euclidean space because curves drawn on the page retain the same arclength however the page is bent. The first theorem is for continuously differentiable (C1) embeddings and the second for embeddings that are analytic or smooth of class Ck, 3 ≤ k ≤ ∞. These two theorems are very different from each other. The first theorem has a very simple proof but leads to some counterintuitive conclusions, while the second theorem has a technical and counterintuitive proof but leads to a less surprising result. The C1 theorem was published in 1954, the Ck-theorem in 1956. The real analytic theorem was first
Los teoremas de incorporación de Nash (o teoremas de incorporación), nombrados en honor a John Forbes Nash Jr., afirman que cada múltiplo de Riemann puede ser incorporado isométricamente en algún espacio euclídeo. El teorema isométrico significa preservar la longitud de cada camino. Por ejemplo, doblar, pero no estirar ni rasgar una página de papel da una incorporación isométrica de la página en el espacio euclídeo porque las curvas dibujadas en la página conservan la misma longitud de caballo, pero la página está doblada. El primer teorema es para incorporación continuamente diferenciable (C1) y el segundo para incorporación que es analítica o suave de clase Ck, 3 ≤ k ≤ ∞. Estos dos teoremas son muy diferentes entre sí. El primer teorema tiene una prueba muy simple pero conduce a algunas conclusiones contraintuitivas, mientras que el segundo teorema tiene una técnica y contraintuitiva pero conduce a un resultado menos sorprendente.