In topology, Urysohn's lemma is a lemma that states that a topological space is normal if and only if any two disjoint closed subsets can be separated by a continuous function. Urysohn's lemma is commonly used to construct continuous functions with various properties on normal spaces. It is widely applicable since all metric spaces and all compact Hausdorff spaces are normal. The lemma is generalized by (and usually used in the proof of) the Tietze extension theorem. The lemma is named after the mathematician Pavel Samuilovich Urysohn. Discussion Two subsets and of a topological space are said to be separated by neighbourhoods if there are neighbourhoods of and of that are disjoint. In particular and are necessarily disjoint. Two plain subsets and are said to be separated by a function if there exists a continuous function from into the unit interval such that for all and for all Any such function is called a Urysohn function for and In particular and are necessarily disjoint. It follows that
En topología, el lemma de Urysohn es un lemma que afirma que un espacio topológico es normal si y sólo si cualquier dos subconjuntos cerrados disjuntivos pueden ser separados por una función continua. El lemma de Urysohn se utiliza comúnmente para construir funciones continuas con diversas propiedades en espacios normales. Es ampliamente aplicable ya que todos los espacios métricos y todos los espacios compactos de Hausdorff son normales. El lemma es generalizado por (y usualmente utilizado en la prueba de) el teorema de extensión de Tietze. El lemma es nombrado después del matemático Pavel Samuilovich Urysohn. Discusión Dos subconjuntos y de un espacio topológico se dice que se separan por vecindades si hay vecindades de y de que son disjuntivos. En particular y son necesariamente disjuntivos. Dos subconjuntos y se dice que se separan por una función si existe una función continua desde el intervalo en que para tal unidad y para todas tales funciones se llama disjuntivos y disjuntivos en particular.