In real analysis the Heine–Borel theorem, named after Eduard Heine and Émile Borel, states: For a subset S of Euclidean space Rn, the following two statements are equivalent: S is closed and bounded S is compact, that is, every open cover of S has a finite subcover. History and motivation The history of what today is called the Heine–Borel theorem starts in the 19th century, with the search for solid foundations of real analysis. Central to the theory was the concept of uniform continuity and the theorem stating that every continuous function on a closed interval is uniformly continuous. Peter Gustav Lejeune Dirichlet was the first to prove this and implicitly he used the existence of a finite subcover of a given open cover of a closed interval in his proof. He used this proof in his 1852 lectures, which were published only in 1904. Later Eduard Heine, Karl Weierstrass and Salvatore Pincherle used similar techniques. Émile Borel in 1895 was the first
En análisis real, el teorema de Heine-Borel, nombrado después de Eduard Heine y Émile Borel, afirma: Para un subconjunto S del espacio euclídeo Rn, las siguientes dos afirmaciones son equivalentes: S es cerrado y limitado S es compacto, es decir, cada cubierta abierta de S tiene una subcoberta finita. Historia y motivación La historia de lo que hoy se llama el teorema de Heine-Borel comienza en el siglo XIX, con la búsqueda de bases sólidas de análisis real. Central a la teoría fue el concepto de continuidad uniforme y el teorema afirmando que cada función continua en un intervalo cerrado es continuada uniformemente. Peter Gustav Lejeune Dirichlet fue el primero en demostrar esto e implicitamente utilizó la existencia de una subcoberta finita de una cubierta abierta dada de un intervalo cerrado en su prueba. Él usó esta prueba en sus conferencias de 1852, que sólo fueron publicadas en 1904.