title: Multiplicación
text: A multiplicación ye una operación aritmetica de composición en a que se suma reiteradament a primera cantidat tantas vegatas como indica a segunda. Asinas, 4 × 3 = 4 + 4 + 4. A multiplicación ye asociata a o concepto de aria cheometrica.
  
  O resultato d'a multiplicación de quantos numeros se diz producto. Os numeros que se multiplican se dicen factors u coeficients, y individualment: multiplicando (numero a sumar) y multiplicador (vegatas que se suma o multiplicando). Encara que ista diferenciación en bells contextos puet estar superflua quan en o conchunto a on sía definito o producto se tien a propiedat commutativa d'a multiplicación (por eixemplo, en os conchuntos numericos). Se veiga  ta una descusión sobre o tema.
  
  En Alchebra Moderna gosa emplegar-se a denominación cocient u multiplicación con a suya notación habitual "·" ta designar a operación externa en un modulo, ta designar tamién a segunda operación que se define en un aniello (aquella ta la que no ye definido l'elemento inverso d'o 0), u ta designar a operación que da a un conchunto estructura de grupo.
  
  Por eixemplo:
  
  Notación 
  A multiplicación s'indica con l'aspa × u o punto centrato ·. En ausencia d'istos caracters se gosa emplegar l'asterisco *, mas que mas en informatica (iste uso tien o su orichen en FORTRAN), pero ye desaconsellato en atros ambitos y nomás se be d'emplegar quan no bi ha atra alternativa. A vegatas se fa servir a letra x, pero isto ye desaconsellable porque creya una confusión innecesaria con a letra que por un regular s'asigna a una incognita en una equación. Amás tamién se podría omitir o signo de multiplicación a menos que se multipliquen numeros u se pueda chenerar confusión sobre os nombres d'as incognitas, constants u funcions (por eixemplo, quan o nombre de bella incognita tien más d'una letra y podría trafucar-se con o producto d'atras dos). Tamién gosan emplegar-se signos d'agrupación como o parentesis (), gafetz ([]) u claus ({ }). Isto mas que mas s'emplega ta multiplicar numeros negativos entre sí u por numeros positivos.
  
  Si os factors no s'escriben de traza individual y son definitos aintro d'un vector, se puet escribir o producto por meyo d'una elipsis, ye decir, escribir explicitament os primers termins y os zaguers, u, en caso d'un producto d'infinitos termins (u productos infinitos), nomás os primers, y substituir a resta por uns puntos suspensivos. Isto ye analogo a lo que se fa con atras operacions aplicatas a infinitos numeros (como as sumas). [O producto de infinitos termins se define como o limite d'o producto d'os n primers termins quan n creixe indefinidament].
  
  Asinas, o producto de totz os numeros naturales dende l'1 dica o 100 se puet escribir:
  
  Isto tamién se puet denotar escribindo os puntos suspensivos en a parti meya d'a linia de texto:
  
  En qualsiquier caso, han d'estar claros qualos son os termins omititos.
  
  Ta rematar, se puet denotar o producto por meyo d'o simbolo productorio, que proviene d'a letra griega Π (Pi mayúscla).
  
  Isto se define asinas:
   
  
  O subendiz i indica una variable que recorre os numeros enteros dende un valor minimo (m, indicato en o subendiz) y un valor maximo (n, indicado en o superendiz).
  
  Definición 
  
  A multiplicación de dos numeros enteros n y m s'expresa como:
  
  Ista no ye más que una traza de simbolizar a expresión "sumar m a sí mesmo n vegata". Puet facilitar a comprensión expandir a expresión anterior:
  
  tal que bi ha n sumandos. Asinas, por eixemplo:
  
  Propiedatz
  
  Propiedat commutativa 
  Fendo servir ista definición, ye fácil contrimostrar bellas propiedatz intresants d'a multiplicación. Como indican os dos primers eixemplos, l'orden en que se multiplican dos numeros ye irrelevant, lo que se conoixe como propiedat commutativa, y se cumple en cheneral ta dos numeros qualsiquiera x y y:
  
  Propiedat asociativa 
  A multiplicación también cumple a propiedat asociativa, que diz que, ta tres numeros qualsiquiera x, y, z, se cumple:
  
  En a notación alchebraica, os parentesis indican que as operacions adintro d'os mesmos han d'estar realizatas con preferencia a qualsiquier atra operación.
  
  por eixemplo:
  
  Propiedat distributiva 
  A multiplicación tamién tien lo que se diz propiedat distributiva con a suma, porque:
  
  Asinas tamién:
  
  Elemento neutro 
  También ye d'intrés que qualsiquier numero multiplicato por 1 ye igual a sí mesmo:
  
  ye decir, a multiplicación tien un elemento neutro que ye l'1.
  
  Zero 
  Respective a o zero, a definición inicial  no aduya muito porque 1 ye mayor que 0. De feito, ye más fácil definir o producto por cero emplegando a segunda definición:
  
  a on bi ha zero sumandos. A suma de zero vegatas m ye zero, asinas que
  
  sin importar lo que valga m, siempre que sía finito.
  
  Atra posibilidat ye emplegar a propiedat commutativa
  
  Conexión con a cheometría 
  Dende un punto d'anvista purament cheometrico, a multiplicación entre 2 valors produce un aria que ye representable. D'a mesma traza o producto de 3 valors produce un volumen igualment representable. Y en cheneral o producto de qualsiquier numero de valors mayors de 0 produce un resultato cheometrico representable sía iste mas u menos intuitivo y mas u menos fácil de representar.
  
  Producto de numeros negativos 
  O producto de numeros negativos tamién requiere parar cuenta un mica. en primeras, s'ha de considerar o numero -1. Ta qualsiquier entero positivo m:
  
  Iste ye un resultato intresant que amuestra que qualsiquier numero negativo no ye mas que un numero positivo multiplicato por -1. Asinas que a multiplicación d'enters qualsiquiera se puet representar por a multiplicación d'enters positivos y factors -1. L'único que queda por definir ye o producto de (-1)(-1):
  
  D'os numeros enters a os numeros complexos 
  D'ista traza, se define a multiplicación de dos enters. As definicions pueden enamplar-se a conchuntos cada vegata mayors de numeros: primero o conchunto d'as fraccions u numeros racionals, dimpués a totz os numeros reals y ta rematar a os numeros complexos y atras extensions d'os numeros reals.
  
  Definición recursiva 
  Una definición recursiva d'a multiplicación puet dar-se seguntes istas reglas:
  
  a on que x ye una cantidat arbitraria y y ye un numero natural. Una vegata o producto ye definito ta os numeros naturals, se puet enamplar a conchuntos más granes, como ya s'ha dito anteriorment.
  
  Calculo d'un producto 
   Consideremos un aniello R y a categoría de R-módulos a ezquierda. En iste caso a suma dreita existe y ye unica. A construcción se puet fer d'a siguient traza: sía  una familia de R-modulos a ezquierda, alavez  y fueras d'un numero finito totz os ai son zero  y  ye a inclusión de Ai en a i-ésima coordenata.
  
  A suma d'elementos de S ye coordenata a coordenata y o producto d'un elemento de R por un de S, tamién ye coordenata a coordenata.
  
   Un caso particular de l'anterior ye quan R ye cuerpo, ye decir quan somos en a categoría de espacios vectorials sobre un cuerpo dato. En iste caso, dato V espacio vectorial y W, U dos subespacios de V, tals que , podemos definir a suma dreita interna, denotata W \oplus U, como o subespacio chenerato por W y U. No ye dificil prebar que iste subespacio ye isomorfo a la suma dreita definita en o punto anterior.
  
  Atros productos 
   Producto de matrices: A multiplicación de matrices, que no tien propiedatz commutativas.
  
  Se veiga tamién 
   Inverso multiplicativo
   Tabla de multiplicar
   Pitatoria
   Algorismo de Booth
  
  Operacions aritmeticas