title: Divisibilidat
text: Se diz que un numero entero b ye divisible entre atro entero a (distinto de zero) si existe un tercer entero c tal que:
  b = a · c
  Gosa expresar-se d'a forma a|b, que se leye a divide a b, u a ye divisor de b, u tamién b ye multiplo de a. Por eixemplo, 6 ye divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero no ye divisible por 4, pues no existe un entero c tal que 6 = 4·c. Ye decir, o repui d'a división euclidia (entera) de 6 entre 4 no ye zero. Se veiga l'algorismo d'a división.
  
  Tot numero entero ye divisible por 1 y por sí mesmo. Os numeros mayors que 1 que no admiten más que istos dos divisors se dicen numeros primers. Os que admiten más de dos divisors se dicen numeros compuestos.
  
  Propiedatz 
  Sían , ye decir ,  y  son numeros enters. Tenemos as siguients propiedatz basicas:
  
    (Propiedat reflexiva).
   Si  y , alavez  (Propiedat transitiva).
   Si  , alavez .
   Si  y , alavez .
   Si  y , alavez 
   Si  y , alavez .
   Si  y , alavez .
   Ta ,  si y nomás si 
   Si  y , alavez .
   Si  y  cumple que  y , alavez .
  
  Como  y  se tien que  y  ta tot  entero. Si  no ye divisible por  escribimos . Notemos que  ta tot  distinto de zero, pues  ta tot  entero.
  
  Tipos de criterios de divisibilidat
  Os diferents criterios de divisibilidat se pueden clasificar en base a o tipo de manipulación que cada un fa con as zifras que representan o numero escrito en una base dada.
  
  Criterios basatos en as zagueras zifras
  Si un numero p ye divisor de 10n alavez ta saber si un numero qualsiquiera z ye divisible entre p nomas cal verificar que o numero z formato por as n-1 zagueras zifras de z sían multiplo de p.
  
  Como 
  
  y a la vegata o feito de que p sía divisor de 10n quiere decir que existe un numero natural c tal que
  
  por tanto
  
  Lo que evidencia que bi'n ha prou con que z sía divisible entre 'p' ta que z tamién lo sía. O mesmo razonamiento se puet fer ta qualsiquier base substituyindo 10 por a correspondient base.
  
  En o caso de base 10 isto nomas pasa con bells numeros d'a forma 2^n*5^m, por eixemplo o 2, 5, 10, 4, 8, 25, 125,...
  
  Por eixemplo 1000 ye multiplo de 125 por tanto ta saber si un numero ye multiplo de 125 bi'n ha prou con comprevar que o numero formato por as suyas tres zagueras zifras ye multiplo de 125.
  
  Por eixemplo 19.387.912.713.750 ye multiplo de 125 porque 750 en ye.
  
  En isto es basan os criterios de divisibilidat de 2 y 5 d'a tabla.
  
  Criterios basatos en a suma de zifras
  
  Un numero z escrito en un sistema de numeración posicional de base b tien a forma siguient:
  
  Si iste numero ye divisible entre unatro numero p quiere decir que o repui de dividir-lo entre p ye zero y por tanto que ye congruent con zero modulo p, asinas aplicando l'aritmetica modular se puet escribir:
  
  Pero parando cuenta en a representación posicional d'o numero y operando se puet escribir:
  
  Como bn mod p ye mas chicot que p a partir d'un determinato valor de n os numeros que resultan d'ista expresión son muito mas chicotz que z. Isto permitiría construyir un criterio de divisibilidat:
  
  Ta aplicar iste criterio aparentment caldría trobar o repui de dividir bn entre p ta tot n. A cinta de Pascal''' permite asegurar que isto nomás cal fer-lo ta una cantidat de valors que siempre ye mas chicota que p.
  
  A cinta de Pascal se construye calculando b<sup>1</sub> mod p, b<sup>2</sub> mod p ... dica que se repitan b<sup>1</sub> mod p. Alavez s'atura y se descarta o zaguer resultato ya que a partir d'aquí se repetirían totz.
  
   Eixemplos 
  Trobar un criterio de divisibilidat entre 11 por os numeros escritos en base 10.
  
  Primero se construye a cinta de pascal:
  
  A cinta de Pascal ye 10, 1 y a partit d'aquí se repite indefinidament.
  
  Con isto se puet definir o criterio de divisibilidat siguient:
  
  Por eixemplo: z=3.536.026.857, 
  suma de zifras pars: 5+6+0+3+3=17,
  suma de zifras impars: 7+8+2+6+5=28,
  pars x 10 + impars: 17x10+28=198
  
  Si se quiere se puet repetir ta veyer si 198 ye multiplo d'11:
  10x9+(1+8)=99 que ye multiplo de 11 (99=9x11) por tanto 3.536.026.857 ye multiplo d'11.
  
  Una observación que se fa servir a sobén en istos metodos ye que 10 mod 11 = -1 mod 11, por tanto ye o mesmo multiplicar por 10 as zifras pars que restar-las. En o caso anterior:
  
  pars - impars = 28-17=11 que ye multiplo d'11 y por tanto 3.536.026.857 tamién en ye.
  
  Isto da o siguient criterio de divisibilidat equivalent a l'anterior pero más simple:
  
   Caso en que se suman grupos de zifras 
  Os criterios que resultan d'as cintas de Pascal aplicatos zifra por zifra tienen o inconvenient de que cada zifra cal multiplicar-la por un numero. O caso en que ye mas practico ye quan o numero ye 1 (u -1 ≡ p-1).
  
  Pero qualsiquier numero escrito en base b tamién se puet considerar escrito en base bm si as suyas zifras se chuntan en grupos de m en m. Por eixemplo 1253 que en base diez quiere decir:
  
  En base 100 quiere decir:
  
  Ta evitar fer multiplicacions a cinta de Pascal ye puet fer servir porque una vegata trobata pillar as posicions a on bi ha 1 (u 1 i -1) y creyar un criterio de divisibilidat basato en un bloque de zifras.
  
  Por eixemplo en calcular a cinta de Pascal de 7 ta numeros escritos en base diez obtenemos:
  
  Por o que no cal continar, 6 mod 7 = -1 mod 7. y 1.000.000 mod 7 = (1.000)2 mod 7 =(-1)2=1.
  
  Por tanto se puet definir o siguient criterio de divisibilidat entre 7 d'un numero expresau en base 10 (que se treballa como si fuese base 1000):
  
  Por eixemplo, ta saber si 2.250.198.909.861 ye multiplo de 7, se suman os grupos de zifras pars: 909+250=1159 y os grupos impars: 861+198+2=1061 y d'os pars se restan os impars: 1159-1061=98. Como 98 ye multiplo de 7 (98=7x14) alavez 2.250.198.909.861 tamién en ye.
  
  Criterios basatos en sumar a las primeras zifras un multiplo d'a zaguera
  Istos criterios buscan transformar o problema de saber si un numero z ye multiplo de p en o problema de saber-lo ta un numero z que tien una zifra menos que z. Asinas, aplicando repetidament o criterio, si z ye multiplo de p en zagueras se plega a un numero facil d'identificar si ye u no multiplo depO numero z se puet expresar como:
  
  A on a0 ye a zifra d'as unidatz de z i zp ye o numero que forman a resta de zifras (o numero de decenas que tien z).
  Si z ye multiplo de p alavez ha d'estar:
  
  A on  ye un numero que multiplicato por  da 1 mod p.
  
  Por tanto se puet definir o siguient criterio de divisibilidat:
  
  Ye evident que se puet fer un razonamient analogo en qualsiquier atra base.
  
  Por eixemplo, trobar un criterio ta saber si un numero ye divisible entre 7.
  
  Cal trobar un numero x que multiplicato por 10 mod 7 dé 1. Como 10 mod 7 =3 i 3x5=15 y como 15 mod 7 =1 o numero en qüestión ye o 5.
  
  Por tanto un criterio de divisibilidat entre 7 por un numero expresato en base diez sería:
  
  Por eixemplo ta veyer si 17.948 ye multiplo de 7 s'aplica repetidament o criterio y s'obtiene:
  
   1.794+5x8=1.834
     183+5x4=  203
      20+5x3=   35
  
  Como 35 ye multiplo de 7 (35=7x5) alavez 17.948 tamién en ye.
  
  O zaguer refinamiento d'iste metodo ye parar cuenta que 5 mod 7 = -2 mod 7 y por tanto en cuentas de multiplicar por 5 se puet restar o resultato de muliplicar por 2. (Isto tamién se cheneraliza ta qualsiquier base y ta qualsiquier numero p).
  
  D'ista traza se puet definir o criterio:
  
  En l'eixemplo anterior da:
   1.794-2x8=1.778
     177-2x8=  161
      16-2x1=   14
  
  Tabla de criterios de divisibilidat
  
  De contino s'amostra una tabla d'os criterios de divisibilidat entre os numeros primers mas chicotz que 20. Tamién bi ha criterios de divisibilitat entre os numeros compuestos y se pueden trobar fendo servir as tecnicas que s'han explicato antis. Pero ta saber si un numero ye divisible entre un numero compuesto a vegatas ye mas facil verificar si ye divisible entre totz os suyos factors primers, atras vegatas, si l'obchectivo d'aplicar o criterio de divisibilidat ye descomponer o numero en factors primers no tien sentito prebar os factors compuestos.
  
  Ista tabla s'aplica si os numeros son escrits en base 10.
  
  En a siguient tabla, ta bells numeros primers mas grans de 20, se dan o factor que multiplica as unidatz ta o caso d'o metodo basato en sumar a las decenas un multiplo d'as unidatz y ta o caso de deseparar o numero en bloques de zifras a largaria d'o bloque y o coeficient d'os bloques pars (o d'os bloques impars se considera siempre 1).
  
   Vinclos externos 
    Interactive Divisibility Lesson on these rules
    Divisibility Criteria en cut-the-knot  Divisibility by 9 and 11 en cut-the-knot  Divisibility by 7 en cut-the-knot  Divisibility by 81 en cut-the-knot''
    Divisibility by Three Explained
  
  Aritmetica