Докажите, что n! не делится на 2n.
Из чисел от 1 до n каждое второе делится на 2, то есть добавляет множитель 2 в разложение числа n! на простые множители. Таких чисел  [n/2].  Кроме того, каждое четвёртое число делится на  4 = 22,  то есть добавляет еще одну двойку в разложение числа n!. Таких чисел  [n/4].  Каждое восьмое число добавляет еще одну двойку и т.д. Таким образом, простой множитель 2 входит в разложение числа n! на простые множители с показателем, равным 
[n/2] + [n/4] + ... + [n/2k] + ... < n/2 + n/4 + ... + n/2k + ... = n  (мы воспользовались формулой для суммы бесконечной геометрической прогрессии). Таким образом, двойка входит в разложение числа n! на простые множители с показателем, меньшим n. 
Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители Геометрическая прогрессия Произведения и факториалы