а) Каждую сторону четырёхугольника
  в процессе обхода по часовой стрелке продолжили на её длину.
  Оказалось, что концы построенных отрезков служат вершинами
  квадрата. Докажите, что исходный четырёхугольник -
  квадрат.

  б) Докажите, что если в результате той же процедуры из
  n-угольника получится правильный n-угольник, то и исходный
  n-угольник - правильный.


			
Будем решать сразу задачу б).
   Очевидно, из правильного
  многоугольника A1A2...An
  после продолжения сторон
  получится правильный многоугольник
  B1B2...Bn . Поскольку
  все правильные n-угольники подобны, то любой из них можно
  получить такой процедурой из некоторого правильного
  n-угольника. Осталось доказать, что по многоугольнику
  B1B2...Bn
  многоугольник A1A2...An
  определяется однозначно.

   Пусть многоугольник B1B2...Bn
   получен указанным способом из многоугольника
  A1A2...An, и при
  этом точка A2 - середина отрезка
  A1B1,
  точка
  A3 - середина отрезка A2B2,
   точка
  A1 - середина отрезка AnBn.

  Докажем, что описанным в задаче способом ни из какого другого
  многоугольника, кроме A1A2...An,
  многоугольник B1B2...Bn
  не мог получиться. Поместим в вершины B1,
   B2,..., Bn  грузики массами
  1,2,...,2n и покажем,
  что точка A1 - центр масс этой системы.

  Для этого поместим
  ещё в точку A1 грузик массы 1.  Теперь центр масс точек
  A1 и B1 находится в точке A2.
  Поэтому можно убрать массы из
  точек A1 и B1, поместив массу 2 в точку
  A2.

  Аналогично,
  уберем массы из точек A2 и B2, поместив массу 4
  в их
  центр масс - точку A3. В конце концов, центр масс окажется
  в точке A1.  Значит, и центр масс исходной системы
  находится
  там же.

  Поскольку центр масс определяется по системе масс
  однозначно, точка A1 определена однозначно.
 Следовательно,
  и
  весь многоугольник
  A1A2...An определен
  многоугольником B1B2...Bn.
			