Из произвольной точки круглого бильярдного стола пущен шар.  
Докажите, что внутри стола найдётся такая окружность,  
что траектория шара её ни разу не пересечёт. 


			
Заметим, что при отражении от "круглой стенки"  
угол падения шара (то есть угол между звеном и перпендикуляром  
к касательной к окружности бильярда в точке падения шара)  
равен углу отражения (то есть угол между следующим звеном  
и тем же перпендикуляром). Заметим, что расстояние от центра  
круга до звена ломаной из траектории не меняется.  
Если это расстояние R>0, то годится любая окружность  
с центром в центре бильярдного стола и радиусом r<R, например r=R/2.  
Если R=0, то траекторией шара является один из диаметров стола,  
всё остальное пространство свободно и там можно разместить  
какую-нибудь окружность. 
			
Хорды и секущие (прочее)