Некоторый текст зашифровали, поставив в соответствие каждой букве  
 некоторую (возможно, ту же самую букву) букву так, что текст можно  
 однозначно расшифровать. Докажите, что найдется такое число N, что  
 после N-кратного применения шифрования заведомо получится исходный  
 текст. Найдите из всех таких значений N наименьшее, годящееся для всех шифров (при условии,  
 что в алфавите 33 буквы).  
 (Задача с сайта www.cryptography.ru.)        
   
   
 


			
По условию шифрование допускает однозначную расшифровку.  
 Это означает, что шифрование - это просто некоторая перестановка  
 33 букв алфавита, (т.е. в каждую из букв некоторая буква шифруется).  
 Пусть буква a1 шифруется в букву a2,  
 буква a2 шифруется в букву a3, и т.д. ,  
 буква ak шифруется в букву ak+1, ...  
 В последовательности букв  
 a1, a2, ... в некоторый момент возникнет  
 первое повторение, т.е. буква ak+1 совпадет с одной из  
 букв a1, a2, ... , ak, а буквы  
 a1, a2, ... , ak - различны.  
 Но ak+1 не может совпасть с одной из букв  
 a2, ... , ak, поскольку в них шифруются  
 соответственно  
 a1, a2, ... , ak-1, а в  
 ak+1 шифруется ak.  
 Таким образом, ak+1=a1.  
 Итак, мы имеем следующий цикл:  
 a1 шифруется в букву a2,  
 буква a2 шифруется в букву a3, ... ,  
 буква ak шифруется в букву a1.  
  При k-кратном шифровании буквы  
  a1, a2, ... , ak  
  будут стоять на тех же местах, как и в исходном тексте.  
    
 Вся перестановка букв тем самым разбилась на циклы.  
 Длина цикла может быть от 1 до 33.  
 Если взять N, делящееся на каждое из чисел  
 1, 2, ... , 33, и сделать N-кратное шифрование,  
 то буквы каждого цикла будут стоять на своих местах,  
 т.е. мы получим исходный текст.  
 Наоборот, если N не делится на одно из чисел k от 1 до 33,  
 то в случае, если шифрование содержит цикл длины k,  
 после N-кратного применения шифрования мы не получим исходный  
 текст. Итак, искомое число N - наименьшее общее кратное чисел 1,  
 2, ... , 33. Это число огромно, оно равно 144403552893600.
			
наименьшее искомое число - 144403552893600.   
			
Группа перестановок Криптография