Пусть H - точка пересечения высот в треугольнике ABC.  
 Докажите, что если провести прямые, симметричные прямым AH, BH, CH  
 относительно биссектрис углов A, B, C, то эти прямые пересекутся в  
 центре O описанной окружности треугольника  ABC.  
   
 


			
Пусть вначале ABC - остроугольный треугольник, как на картинке (в случае тупоугольного  
 или прямоугольного треугольника  
 рассуждения претерпевают лишь незначительные изменения).  
 Угол BAH дополняет угол B треугольника ABC до 900.  
 Далее, угол AOC равен удвоенному углу B, поскольку угол AOC -  
 центральный, а угол B - вписанный, и оба эти угла опираются на  
 одну дугу.  
 Тогда из равнобедренного треугольника AOC находим (пользуясь тем,  
 что сумма углов треугольника равна 1800),  
 что угол CAO также, как и угол BOH, дополняет угол B треугольника  
 ABC до 900.  
 Таким образом, прямые AH и AO симметричны относительно биссектрисы  
 угла A.  
 Аналогично, прямые BH и BO симметричны относительно биссектрисы  
 угла B, а также прямые CH и CO симметричны относительно биссектрисы  
 угла C. Ясно, что отсюда следует утверждение задачи.
			
Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. Вписанный угол (прочее)