Положительные иррациональные числа a и b таковы, что 1/a+1/b=1. 
Докажите, что среди чисел [ma], [nb] каждое натуральное число 
встречается ровно один раз.


			
Докажем, что среди чисел вида ma и nb для натуральных m и n ровно 
k-1 число, меньшее k. 
Применив затем это утверждение для k=1, 2, ... , получим, что в каждом 
промежутке от 1 до 2, от 2 до 3, ... , от k-1 до k добавляется 
ровно одно число вида [ma] или [nb]. 
 
Итак, зададимся некоторым натуральным k. 
Найдем числа M и N такие, что Ma<k<(M+1)a 
и Nb<k<(N+1)b. (Здесь мы имеем право взять строгие 
неравенства, поскольку a и b - иррациональные числа.) 
Тогда имеется ровно M+N чисел вида [ma] или [nb], меньших k. 
В самом деле, число [ma] меньше k в точности при m = 1, 2, ... , M; 
и аналогично число [nb] меньше k в точности при b = 1, 2, ... , N. 
Осталось понять, что M+N=k-1. 
 
Разделим неравенства Ma<k<(M+1)a 
и Nb<k<(N+1)b на a и b соответственно, а затем сложим их. 
Получим: 
M+N < k/a+k/b < M+N+2. 
По условию k/a+k/b=1, поэтому 
 
M+N < k < M+N+2. 
Таким образом, натуральное k заключено между натуральными числами 
M+N и M+N+2. Отсюда однозначно k=M+N+1, т.е. M+N=k-1, что мы и 
хотели доказать.
			
Целая и дробная части. Принцип Архимеда Рациональные и иррациональные числа Неопределено