Постройте функцию, определенную во всех точках вещественной 
 прямой и непрерывную ровно в одной точке.


			
Определим функцию f(x) равенствами f(x)=0 при рациональном x 
 и f(x)=x при иррациональном x. 
 Для любого положительного d при |x|<d |f(x)-f(0)|=|f(x)|<d, 
 поэтому функция f(x) непрерывна в точке x=0. 
  С другой стороны пусть a не равно 0. 
  В любой окрестности точки x=a найдутся две 
  точки x=b и x=c, такие что b рационально, а c - иррационально, 
  причем иррациональное число c можно выбрать так, что  
 |c-a|<|a|/2. 
  Тогда в любой окрестности числа a для этих b и c из рассматриваемой 
 окрестности выполнено |f(b)-f(c)|>|0-a/2|=|a/2|, 
  что противоречит непрерывности функции f(x) в точке a.
			
Функции одной переменной. Непрерывность