Вокруг окружности описан пятиугольник, длины сторон которого – целые числа, а первая и третья стороны равны 1. 
На какие отрезки делит вторую сторону точка касания? 
Пусть данный пятиугольник - ABCDE, причём  AB = CD = 1,  BC = k,  DE = m,  EA = n.  Обозначим через a, b, c, d, e длины отрезков касательных, проведённых соответственно из вершин пятиугольника A, B, C, D, E до точек касания с окружностью. Тогда  a + b = 1,  b + c = k,  c + d = 1,  d + e = m, 
e + a = n.  Значит,  2b = (a + b) + (b + c) + (d + e) – (c + d) – (e + a)  – целое число. Поскольку  a + b = 1,  то  b < 1,  то есть  b = ½.  Аналогично  c = ½. 
На два отрезка длины ½. 
Вписанные и описанные многоугольники Пятиугольники Две касательные, проведенные из одной точки