Дано n попарно взаимно простых чисел, больших 1 и меньших  (2n – 1)².  Докажите, что среди них обязательно есть простое число.
Пусть a1, a2, ..., an – попарно взаимно простые составные числа. Обозначим через pi наименьший простой делитель числа ai. Тогда  ai = piqi,  причём  pi ≤ qi.  Поскольку  ai < (2n – 1)²,  то  pi < 2n – 1.  Кроме того, числа p1, p2, ..., pn различны, так как числа a1, a2, ..., an попарно взаимно просты. Однако существует не более  n – 1  простых чисел, больших 1 и меньших  2n – 1:  все такие числа содержатся среди чисел 2, 3, 5, 7, ...,  2n – 3.  Противоречие. 
НОД и НОК. Взаимная простота Принцип крайнего  (прочее) Простые числа и их свойства Доказательство от противного