Докажите, что сумма расстояний от любой точки, расположенной внутри правильного n-угольника, до его сторон не зависит от выбора точки. 
Пусть точка O расположена внутри правильного n-угольника A1A2...An со стороной a и площадью S. Обозначим через h1, h2, ..., hn расстояния от O до сторон A1A2, A2A3, ..., AnA1. Площадь n-угольника равна сумме площадей треугольников OA1A2, OA2A3, ..., OAnA1, то есть  2S = ah1 + ah2 + ... + ahn.  Отсюда 
h1 + h2 + ... + hn = 2S/a. 
Правильные многоугольники Вычисления. Метрические соотношения в многоугольниках Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу