Длина каждой из диагоналей выпуклого четырехугольника
  больше 2. Докажите, что в этом четырехугольнике хотя бы одна
  сторона имеет длину, большую 21/2.


			
Пусть ABCD - данный четырехугольник и O - точка пересечения
   его диагоналей. Один из углов AOB,BOC не меньше 90
  градусов. Для определенности положим, что угол
  AOB не меньше 90 градусов.
  Обозначим AO=a,BO=b,CO=c,DO=d.
  По условию a+b+c+d больше 4, следовательно,
  одна из сумм a+b,c+d больше 2, для определенности,
  a+b больше 2.
  По теореме косинусов из треугольника AOB получаем:
  AB2=a2+b2-2ab*cos(AOB),
 что не меньше, чем
  a2+b2 (косинус
 угла AOB отрицательный). Далее, согласно
 неравенству о средних
  a2+b2 не меньше, чем (a+b)2/2.
 Но  (a+b)2/2>22/2=2.
  Отсюда следует, что
  AB больше 21/2; таким образом, в
  четырехугольнике ABCD найдена сторона длины
 больше, чем 21/2.
			
Четырехугольник (неравенства) Теорема косинусов