На плоскости нарисованы две окружности (см. рис.). Существует ли некоторая точка, лежащая вне каждой из этих окружностей, для которой любая прямая, проходящая через неё, пересекает хотя бы одну из окружностей? 

Проведём одну внутреннюю и одну внешнюю общие касательные к окружностям (на картинке это красные прямые). Обозначим их точки касания с первой окружностью через K и L, а точку пересечения этих прямых – через M. Рассмотрим любую точку, лежащую внутри "маленького" криволинейного треугольника KLM. Нетрудно убедиться, что она обладает требуемым свойством.

существует.   
			
Общая касательная к двум окружностям