Какое максимальное число ладей можно расставить в кубе 8×8×8, чтобы они не били друг друга?
   Очевидно, что в каждом столбике из восьми кубиков-клеток может стоять только одна ладья, поэтому больше 64 ладей поставить нельзя. 
   Покажем, как поставить 64 ладьи, чтобы они не били друг друга. Введём систему координат с осями, направленными вдоль ребер куба так, чтобы каждая клетка имела координатами тройку  (x, y, z)  чисел от 0 до 7 и поставим ладьи в клетки, сумма координат которых делится на 8. 
   Предположим, какие-то две ладьи бьют друг друга. Значит, две их координаты (скажем, x и y) совпадают, а третьи – различны (обозначим их z1 и z2). Суммы  x + y + z1  и  x + y + z2,  а значит, и их разность  z1 – z2  кратны 8. Но это невозможно, так как z1 и z2 – различные неотрицательные числа, меньшие 8. 
   Заметим теперь, что в каждом вертикальном столбике находится по ладье, то есть что мы поставили 64 ладьи. Действительно, каждый такой столбик определяется своей парой координат x и y. Координата z для ладьи в этом столбике однозначно задается условием  x + y + z ≡ 0 (mod 8). 
64 ладьи. 
Шахматные доски и шахматные фигуры Арифметика остатков (прочее) Примеры и контрпримеры. Конструкции