Найдите все конечные множества точек на плоскости, обладающие таким свойством: никакие три точки множества не лежат на одной прямой и вместе с каждыми тремя точками данного множества ортоцентр треугольника, образованного этими точками, также принадлежит данному множеству. 
   Пусть M – некоторое такое множество точек. Рассмотрим выпуклую оболочку V этого множества. У многоугольника V не может быть тупого угла. В самом деле, если A, B, C – три последовательные вершины многоугольника V, и угол ABC тупой, то ортоцентр треугольника ABC лежит вне угла ABC, и следовательно, вне V. Итак, отсюда следует, что V – это прямоугольный или остроугольный треугольник или квадрат. 
   1) Пусть это остроугольный треугольник ABC. Обозначим через H его ортоцентр, принадлежащий M. Пусть кроме точек A, B, C, H есть еще одна точка K из множества M. K лежит в одном из треугольников ABH, BCH, CAH (поскольку лежит внутри V), для определенности, пусть в треугольнике BCH. При этом  ∠BAC  + ∠BHC = 180°.  Поскольку K лежит в треугольнике BCH, то  ∠BHC < ∠BKC  (докажите!). Ортоцентр L треугольника BCK лежит внутри V, поэтому 
 ∠BLC ≥ ∠A,  а ∠BKC + ∠BLC > 180°  вопреки свойству ортоцентра. Противоречие.  
   2) Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла. Аналогично 1) можно показать, что кроме вершин V ни одной точки не может принадлежать множеству M. 
   3) Пусть V – квадрат, то ортоцентр любого треугольника, образованного его тремя вершинами, совпадает с одной из этих вершин. Деля квадрат диагональю на две части и рассуждая аналогично 2), получаем, что множество M не содержит других точек, кроме вершин квадрата. 
Три вершины и ортоцентр остроугольного треугольника, три вершины прямоугольного треугольника или четыре вершины квадрата. 
Системы точек Ортоцентр и ортотреугольник Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)