На плоскости имеется 1983 точки и окружность единичного радиуса. 
Доказать, что на окружности найдётся точка, сумма расстояний от которой до данных точек не меньше 1983.
Обозначим данные точки M1, M2, ..., M1983. Рассмотрим на окружности две произвольные диаметрально
противоположные точки N1 и N2. Согласно 
неравенству треугольника, учитывая, что  N1N2 = 2,  для каждой точки Mi можно записать  MiN1 + MiN2 ≥ 2.  Сложив эти неравенства, получим      Значит, хотя бы одна из двух сумм в левой части последнего неравенства не меньше 1983.
Неравенство треугольника (прочее) Принцип Дирихле (углы и длины) Линейные неравенства и системы неравенств