а) 2000 фишек расположены на плоскости в вершинах
  выпуклого 2000-угольника. За один ход можно разбить их на две группы
 и
  фишки первой группы сдвинуть на какой-нибудь вектор, а остальные
  фишки оставить на месте. Может ли случиться, что после 9
  ходов все фишки окажутся на одной прямой?

  б) А после 10 ходов?


			
а) Если после n-го хода фишки оказались на
  одной прямой, то после (n-1)-го хода они должны были лежать на
  двух прямых, после (n-2)-го - на 4-х прямых, и т.д., а
  изначально - должны лежать на 2n прямых. Поскольку никакие
  три вершины выпуклого многоугольника не лежат на одной прямой,
  наименьшее число прямых, содержащих все вершины 2000-угольника,
  равно 1000. Значит, 2n не меньше 1000, откуда
   n не меньше 10,  что решает
  пункт а).

  б) Рассмотрим 1024 параллельные прямые, расстояния между
  соседними среди которых равно 1. Расположим на этих прямых
  вершины выпуклого 2000-угольника. Векторы сдвига будем брать
  перпендикулярными прямым и будем каждым ходом совмещать пары
  соседних прямых так, что через 10 ходов останется лишь одна
  прямая.
			
Параллельный перенос Обратный ход