a, b, c, d – стороны четырёхугольника (в любом порядке), S – его площадь. Докажите, что  S ≤ ½ (ab + cd). 
   Заметим, что достаточно ограничиться рассмотрением случая выпуклого четырёхугольника. Действительно, для любого невыпуклого четырёхугольника мы можем построить выпуклый с теми же длинами сторон, но большей площади, отразив две его стороны относительно диагонали, лежащей снаружи (рис. слева). Рассмотрим два случая. 
   1) Стороны a и b смежны. Разобьём четырёхугольник диагональю на два треугольника со сторонами a, b, l и c, d, l (рис. в центре). Площадь первого не превосходит ab/2, второго – cd/2. Сложив, получим требуемое неравенство.

Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон Симметрия помогает решить задачу Неравенства с площадями Площадь четырехугольника