Докажите, что в любой арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, найдутся два члена с одинаковой суммой цифр. 
Пусть a – первый член прогрессии, состоящий из k цифр, d – разность прогрессии. Рассмотрим член прогрессии с номером  10m + 1,  где  m > k.  Он равен  10md + a.  Десятичная запись этого числа выглядит так: вначале записана десятичная запись числа d, затем несколько нулей и в конце – десятичная запись числа a. Таким образом, при всех  m > k  сумма цифр членов с номерами  10m + 1  одинакова и равна сумме сумм цифр чисел d и a. 
Арифметическая прогрессия Десятичная система счисления