У правильного 5000-угольника покрашено 2001 вершина. 
Докажите, что найдутся три покрашенные вершины, лежащие в вершинах равнобедренного треугольника. 
В правильном 5000-угольнике разобьём все вершины на 1000 групп по пять вершин, расположенных через 999 последовательных вершин. Точки в каждой группе являются вершинами правильного пятиугольника. Покрашенных вершин всего  2001 = 2·1000 + 1,  следовательно, в какой-то из групп вершин покрашено не менее трёх. Но каждые три вершины правильного пятиугольника лежат в вершинах равнобедренного треугольника.
Правильные многоугольники Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) Разбиения на пары и группы; биекции