Выпуклый многоугольник M переходит в себя при повороте на угол 
 900. Докажите, что найдутся два круга с отношением  
 радиусов, равным 21/2, один из которых 
 содержит M, а другой - содержится в M.


			
Рассмотрим центр O поворота, переводящего многоугольник 
 в себя. 
 Рассмотрим вершину A многоугольника, наиболее удаленную от O. 
 Весь многоугольник содержится в круге S с центром O  
 и радиусом R=OA. Вместе с точкой A вершинами многоугольника являются 
 точки B, C, D, которые получаются из A поворотами на углы 
 900, 1800, 2700 вокруг 
 точки O. 
 Точки A, B, C, D являются вершинами квадрата с центром O. 
 Поскольку многоугольник выпуклый, весь квадрат ABCD принадлежит 
 многоугольнику. Следовательно, вписанный в него круг s 
 также содержится в многоугольнике. 
 Радиус круга s равен r=OA/21/2=R/21/2. 
 Как видим, круги S и s удовлетворяют условию задачи.
			
Поворот на 90∘ Выпуклые многоугольники Вписанные и описанные окружности