Найти все числа, которые в 12 раз больше суммы своих цифр. 
   Пусть искомое число содержит n цифр. Тогда оно не меньше чем 10n–1 (это наименьшее n-значное число). С другой стороны, сумма его цифр не больше 9n (так как каждая цифра не больше 9). Поэтому искомое число не превосходит  12•9n = 108n.  Но согласно неравенству Бернулли (см. задачу 30899) 
10n–1 = 1000·5·10n–4 > 200·5·(1 + 9(n – 4)) = 200(45n – 175) > 200n  при  n ≥ 4. 
   Однозначным искомое число, очевидно, быть не может. Осталось рассмотреть два случая. 
   1)  n = 2.  Но  10a + b < 12(a + b)  (a и b – цифры). 
   2)  n = 3.  В этом случае получаем  100a + 10b + c = 12(a + b + c),  откуда  11(8a – c) = 2b,  т.е. b делится на 11. Значит,  b = 0,  8a = c,  откуда  a = 1,  c = 8. 
108. 
Десятичная система счисления Перебор случаев Классические неравенства (прочее)