Докажите, что в любом многоугольнике найдутся две стороны,  
 отношение которых заключено между числами 1/2 и 2.  
   
   
 


			
Обозначим через a1, a2, ... , an  
 длины сторон многоугольника в порядке убывания  
 (таким образом, a1 - самая длинная сторона).  
 Предположим, что условие задачи не выполняется.  
 Тогда a2<a1/2,  
 a3<a2/2<a1/4, ... ,  
 an<an-1/2<...<a1/2n-1.  
 Отсюда следует, что  
 a2+a3+...+an <  
 a1/2+a1/4+...+a1/2n-1 <  
 a1.  
 Таким образом, получаем, что в данном многоугольнике сторона  
 a1 больше суммы остальных сторон, что неверно  
 (отрезок, соединяющий две точки, не длиннее любой ломаной, соединяющей  
 эти точки).
			
Алгебраические задачи на неравенство треугольника Геометрическая прогрессия