Дана выпуклая фигура и точка A внутри нее.  
 Докажите, что найдется хорда (т.е. отрезок,  
 соединяющий две граничные точки выпуклой фигуры), проходящая через  
 точку A и делящаяся точкой A пополам.  
   
 


			
Проведем какую-нибудь хорду через точку A. Обозначим  
 через a и b длины отрезков, на которые хорда разбивается точкой A.  
 Начинаем вращать хорду против часовой стрелки (тем самым непрерывно менять  
 направление хорды). При этом величина a непрерывно зависит от угла  
 поворота , т.е. .  
 Таким же образом, b непрерывно зависит от угла  
 поворота . Рассмотрим разность  как функцию  
 от . В начальный момент эта величина равна  
 , при повороте на 1800  
 отрезки, на которые точка A разбивает хорду, меняются местами,  
 т.е. .  
 Итак, на концах отрезка   
 функция  принимает значения разных  
 знаков, поэтому при некотором   
 выполнено равенство , т.е.  
 достигается равенство длин отрезков хорды.
			
Теорема о промежуточном значении. Связность Выпуклые многоугольники Поворот помогает решить задачу Соображения непрерывности