На клетчатой плоскости со стороной клетки 1 нарисован круг радиуса 1000. 
 Докажите, что суммарная площадь клеток, целиком лежащих внутри 
 этого круга, составляет не менее 99% площади круга.


			
Покрасим все клетки, целиком содержащиеся внутри исходного круга. 
 Рассмотрим круг S радиуса 998, имеющий тот же центр, что и исходный круг. 
 Покажем, что весь этот круг оказался покрашенным. 
 Пусть напротив, некоторая точка A круга S оказалась непокрашенной. 
 Это означает, что найдется точка B, лежащая вне исходного круга, 
 такая что A и B принадлежат одной клетке. 
 Обозначим через O общий центр кругов. Тогда длина OA не 
 больше 998, а длина OB не меньше 1000. 
 Согласно неравенству треугольника 
 AB не меньше, чем OB-OA, т.е. AB не меньше  2. 
 Однако нетрудно проверить, что максимальное расстояние между 
 двумя точками из одной клетки со стороной 1 не превосходит 
 длины диагонали клетки, равной 21/2, что меньше 
 2. Таким образом, мы пришли к противоречию, предположив, что 
 не весь круг S покрашен. Таким образом, круг S покрашен, и следовательно, 
 доля покрашенной части исходного круга оценивается снизу отношением  
 площадей круга S и исходного круга. 
 Отношение площадей кругов равно отношению квадратов радиусов, 
 поэтому покрашенная доля составляет не менее 
 9982/10002=(1-0,002)2, 
 что равно 1-2*0,002+0,0022, что в свою очередь больше 0,99.
			
Неравенства с площадями Арифметика. Устный счет и т.п.