На листе бумаги нарисован выпуклый многоугольник M периметра P и площади S. Закрасили каждый круг радиуса R с центром в каждой точке, лежащей внутри этого многоугольника. Найдите площадь закрашенной фигуры. 
Закрашенную фигуру можно разбить на части трёх типов: 
     1) сам многоугольник M; 
     2) прямоугольники с высотой R, построенные "наружу" на каждой стороне многоугольника M; 
     3) сектора круга радиуса R с центрами в вершинах M. 
Поскольку все прямоугольники имеют одинаковую высоту R, а сумма их оснований равна периметру P многоугольника M, суммарная площадь прямоугольников равна PR. Градусная мера каждого сектора дополняет градусную меру соответствующего угла до 180°. Таким образом, сумма градусных мер всех секторов равна сумме внешних углов многоугольника M, то есть равна 360°. Значит, сектора составляют полный круг радиуса R, следовательно, их суммарная площадь равна πR². 
S + PR + πR². 
Вычисление площадей Перегруппировка площадей Выпуклые многоугольники Сумма внутренних и внешних углов многоугольника