На столе лежат монеты без наложений. Докажите, что одну из них можно выдвинуть, не задевая остальных. 
   Введём некоторую прямоугольную систему координат на плоскости. Рассмотрим монету, центр которой имеет наибольшую ординату. Обозначим через C и r её центр и радиус. Докажем, что эту монету можно выдвинуть вверх, не задевая оставшихся. 
   Предположим противное – в полосе, которую заметает монета при движении вверх, нашлась точка А, принадлежащая другой монете с центром С' и радиусом r'. Проведём через С горизонтальную прямую m и обозначим через А' проекцию точки А на m. Согласно выбору точки С, точка С' находится не выше прямой m. Поэтому  С'A' < C'A < r'.  Отсюда следует, что точка A' принадлежит как первой монете, так и второй, а это противоречит условию. 
Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)