Стороны BC, CA, AB треугольника ABC касаются вписанной в него окружности в точках D, E, F. Докажите, что треугольник DEF – остроугольный. 
Будем обозначать через α, β, γ углы треугольника ABC. Треугольник DFB равнобедренный, поскольку отрезки BD и BF 
равны как отрезки касательных, проведённых к вписанной окружности из точки B. Поскольку сумма углов треугольника DFB равна 180°,  ∠BDF = ∠BFD = (180° – β) : 2 = 90° – β/2.  Аналогично,  ∠CDE = 90° – γ/2.  Отсюда  ∠FDE = 180° – (90° – β/2) – (90° – γ/2) = β/2 + γ/2 < 90°.  Мы показали, что угол FDE – острый.  Аналогично доказывается, что и остальные углы треугольника FDE – острые. 
Вписанные и описанные окружности Две касательные, проведенные из одной точки Признаки и свойства равнобедренного треугольника. Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.