Какую минимальную сумму цифр может иметь натуральное число, делящееся на 99?

   Пример с суммой цифр 18 очевиден – это само число 99. Покажем, что числа с меньшей суммой цифр, делящегося на 99, не существует. Если число n делится на 99, то оно делится на 9, следовательно, его сумма цифр делится на 9. Осталось показать, что сумма цифр не может быть равной 9. 
   По признаку делимости на 11 разность между суммами цифр на чётных 
и на нечётных местах в числе n должна делиться на 11. Пусть сумма цифр, стоящих на чётных местах, равна A, а сумма цифр, стоящих на нечётных местах, равна B, то есть  A – B  кратно 11. Предположим, сумма цифр  A + B  числа n равна 9. Тогда  |A – B| ≤ 9 < 11.  Кроме того,  A – B ≠ 0,  поскольку из чисел A, B ровно одно нечётно. Противоречие.
18.
Признаки делимости на 3 и 9 Признаки делимости на 11