Существуют ли 100 таких прямоугольников, что ни один из них нельзя
 покрыть остальными 99-ю?


			
Будем выбирать прямоугольники последовательно один за другим.
 В качестве первого прямоугольника возьмем квадрат со стороной 1.
 Пусть si - площадь i-го прямоугольника,
 li - длина его большей стороны
 (по параметрам si,li прямоугольник
 восстанавливается, причем однозначно).
 Обозначим также через di длину диагонали i-го
 прямоугольника,
 таким образом, di есть максимальная возможная длина
 проекции i-го прямоугольника на
 прямую.
 Имеем:
 s1=1, l1=1, d1=21/2.
 Если первые k-1 прямоугольников заданы (т.е. определены значения
 si, li для всех i от 1 до k-1), то
 определяем sk, lk следующим образом.
 Положим sk=sk-1/4 (таким образом,
 si=4-(i-1));
 также в качестве lk выберем некоторое число, большее
 2(d1+d2+...+dk-1).
 (Можно представлять себе, что каждый следующий прямоугольник намного
 тоньше и меньше по площади, чем предыдущий.)
 Покажем, что определенные таким образом прямоугольники удовлетворяют
 условию,
 т.е. для каждого k от 1 до 100 прямоугольник с номером k невозможно
 покрыть
 остальными прямоугольниками.
 Предположим противное - прямоугольник с некоторым номером n покрыт
 остальными прямоугольниками.
 Условие
 ln>2(d1+d2+...+dn-1)
 означает, что прямоугольники с номерами 1,2,...,n-1
 при проектировании их на большую сторону прямоугольника с номером n,
 покрывают меньше половины этой стороны.
 Это означает, что не менее половины площади n-ого
 прямоугольника не покрывается
 прямоугольниками с номерами 1,2,...,n-1, т.е. покрывается
 прямоугольниками с
 номерами n+1,n+2,...,100.
 Отсюда следует следующее неравенство на площади:
 sn/2<sn+1+sn+2+...+s100
 или
 4-(n-1)/2<4-n+4-(n+1)+...+4-
 99.
 Последнее неравенство преобазуется к виду
 2-2n+1<2-2n+2-2n-2+...+2-
 198,
 откуда получаем (сокращая на 2-2n+1):
 1<1/2+1/8+...+2-199+2n,
 что неверно (число 1 разлагается в бесконечную сумму
 1=1/2+1/4+1/8+...).
			
существуют.
			
Покрытия Примеры и контрпримеры. Конструкции