Докажите, что уравнение  xx + 2yy = zz  не имеет решений в натуральных числах. 
Заметим, что  z > x  и  z > y  (иначе левая часть больше правой). Таким образом, левая часть не превосходит числа  (z – 1)z–1 + 2(z – 1)z–1 = 3(z – 1)z–1.  Если 
z ≥ 3,  то  3(z – 1)z–1 < z·zz–1 = zz,  то есть левая часть меньше правой. Если же  z = 2,  то  3(z – 1)z–1 = 3,  а  zz = 4,  и снова левая часть меньше правой. 
Уравнения в целых числах