Докажите, что нечётное число, являющееся произведением n различных простых сомножителей, можно представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел ровно 2n–1 различными способами. 
   Пусть  m = p1p2...pn,  где  p1, p2, ..., pn  – различные нечётные простые числа. Будем решать уравнение  x² – y² = m  в натуральных числах. Это уравнение приводится к виду  (x – y)(x + y) = p1p2...pn,  откуда следует, что сомножитель  x – y  есть произведение нескольких чисел (возможно ни одного, в этом случае  x – y = 1)  из набора   p1, p2, ..., pn,  а сомножитель  x + y  есть произведение оставшихся чисел из этого набора. При этом сомножителю  x – y   соответствует меньшее произведение. Таким образом, каждому решению  (x, y)  соответствует разбиение множества из n чисел на два подмножества.
   Наоборот, пусть есть некоторое разбиение чисел  p1, p2, ..., pn  на два подмножества. Обозначим через t и s  (t < s)  произведения чисел в этих подмножествах  (t ≠ s,  поскольку числа  p1, p2, ..., pn  различны). Тогда найдётся единственная пара натуральных чисел      для которой  x – y = t  и  x + y  = s  (x и y натуральные, так как t и s нечётны).
   Итак, число представлений m в виде разности квадратов
двух натуральных чисел равно числу способов разбить множество из n элементов на два подмножества, то есть 2n–1 (в два раза меньше числа 2n всех подмножеств).
Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители Разбиения на пары и группы; биекции Классическая комбинаторика (прочее) Теория множеств (прочее)