Внутри угла расположены две окружности  
 с центрами A, B, которые касаются  
 друг друга и сторон угла.  
 Докажите, что окружность с диаметром AB касается  
 сторон угла.  
   
   
 


			
Обозначим вершину  угла за O.  
 Обозначим меньшую окружность S1 и  
 большую - S2.  
 Пусть окружность S1 имеет центр A, а  
 S2 имеет центр B.  
 Окружность S2 получается из окружности  
 S1 гомотетией с центром O.  
 Коэффициент этой гомотетии равен OB/OA.  
 Рассмотрим биссектрису угла.  
 Точку пересечения окружности S1 с биссектрисой,  
 ближайшую к O, обозначим за M, точку касания окружностей -  
 за N.  
 При гомотетии точка M переходит в N, поэтому  
 OB/OA=ON/OM. Отсюда следует, что OA/OM=OB/ON.  
 Это означает, что при гомотетии H с центром O, переводящей  
 точку M в точку A,  точка N переходит в точку B.  
 Следовательно, при гомотетии H окружность S1  
 с диаметром MN переходит в окружность S с диаметром AB.  
 Это означает, что окружность S, так же как окружность  
 S1, будет касаться сторон угла.  
 Это и требовалось доказать.
			
Гомотетичные окружности