На каждой клетке доски размером 9×9 сидит жук, По свистку каждый из жуков переползает в одну из соседних по диагонали клеток. При этом в некоторых клетках может оказаться больше одного жука, а некоторые клетки окажутся незанятыми. 
Докажите, что при этом незанятых клеток будет не меньше 9. 
Покрасим вертикали доски в чёрный и белый цвет через одну. В результате в чёрный цвет будет покрашено  5×9 = 45  клеток (5 вертикалей), а в белый – только 36. Заметим, что с чёрной клетки жук может переползти только на белую, а белой – только на чёрную. Следовательно, после того, как жуки переползли в соседние по диагонали клетки, на 45 чёрных клетках оказалось 36 жуков. Значит, по крайней мере 9 чёрных клеток оказались незанятыми. 
Вспомогательная раскраска (прочее) Принцип Дирихле (прочее) Таблицы и турниры (прочее)