Существуют ли такие 100 квадратных трёхчленов, что каждый из них имеет два корня, а сумма любых двух из них корней не имеет? 
Рассмотрим квадратные трёхчлены  fn(x) = (x – 4n)2 – 1  (n = 1, 2, 3, ...).  Очевидно, каждый из них имеет два действительных корня.  4n – 4m ≥ 4  при  n > m,  значит, при любом x либо  |x – 4m|,  либо  |x – 4n|  не меньше 2. Поэтому  fm(x) + fn(x) = (x – 4m)² + (x – 4n)² – 2 ≥ 2 > 0,  то есть квадратный трёхчлен 
fm(x) + fn(x)  принимает только положительные значения. 
Существуют. 
Квадратный трехчлен (прочее) Примеры и контрпримеры. Конструкции Свойства модуля. Неравенство треугольника