Докажите, что число разложений натурального числа n
  в сумму различных натуральных слагаемых равно
  числу разложений числа n в сумму
  нечетных (возможно, повторяющихся) натуральных слагаемых.


			
Пусть имеется разложение
  n=(a1+...+a1)+(a2+...+a2)+...+(ak+...+ak),
  где
  a1,a2,...,ak - различные
  нечетные числа, причем ai повторяется в разложении
  li раз.
  Рассмотрим разложение чисел li по различным степеням
 двойки
  (т.е. рассмотрим двоичную запись чисел li):
  li=2ti+2si+... .
  Тогда легко видеть, что число n разлагается в сумму
  n=(2t1a1+2s1a1+...)+...+(2tkak+2skak+...),
  причем все слагаемые в этой сумме различны.

  Наоборот, если имеется разложение числа n на различные натуральные
  слагаемые, то каждое слагаемое представим в виде 2pq,
  где p - целое, а q - нечетное, можно заменить это слагаемое на
  2p слагаемых, равных q. Получим разложение n на нечетные
  слагаемые.

  Нетрудно видеть, что нами построено взаимно однозначное соответствие
  между разложениями первого и второго вида, следовательно количества
  разложений первого и второго типа равны.
			
Разбиения на пары и группы; биекции