В соревнованиях участвуют 10 фигуристов. Соревнования судят трое судей следующим способом: каждый судья по-своему распределяет между фигуристами места (с первого по десятое),	после чего победителем считается фигурист с наименьшей суммой мест. Какое наибольшее значение может принимать эта сумма у победителя (победитель единственный)?
   Оценка. Поскольку каждый из трёх судей распределил набор мест с первого по десятое, то сумма мест, присуждённых всеми судьями всем участникам соревнований, равна  3·(1 + 2 + ... + 10) = 165. 
   С другой стороны, если победитель получил сумму не меньше 16, то все остальные получили сумму мест не меньше 17, и рассматриваемая общая сумма не меньше чем  16 + 9·17 = 169.  Противоречие. Следовательно, сумма мест победителя не больше 15. 
   Пример. См. таблицу: 
15.
Турниры и турнирные таблицы Подсчет двумя способами Доказательство от противного Примеры и контрпримеры. Конструкции