С многоугольником разрешено проделывать следующую операцию.  
 Если многоугольник делится отрезком AB на на два многоугольника,  
 то один из этих многоугольников можно отразить симметрично  
 относительно серединного перпендикуляра к отрезку AB. (Операция  
 разрешается только в том случае, когда  
 в результате получается несамопересекающийся  
 многоугольник.) Можно ли путем нескольких таким операций получить  
 из квадрата правильный треугольник?  
   
 


			
Заметим, что при проведении данных операций не изменяются площадь и периметр  
 многоугольника.  
 Предположим, что нам удалось путем нескольких таких операций  
 получить из квадрата правильный треугольник.  
 Примем за 1 сторону квадрата. Тогда вначале площадь многоугольника  
 равнялась 1, а периметр равнялся 4.  
 В полученном правильном треугольнике. следовательно, периметр  
 также должен равняться 4 (т.е. сторона треугольника должна равняться  
 4/3), а площадь - 1.  
 Однако, площадь правильного треугольника со стороной  4/3 равна  
 (как легко посчитать) (4*31/2)/9, что не равно 1.  
 Получено противоречие, которое завершает доказательство.  
 
			
нельзя.   
			
Свойства симметрий и осей симметрии Инварианты Свойства частей, полученных при разрезаниях Многоугольники (прочее) Правильный (равносторонний) треугольник