Известно, что середины сторон двух выпуклых четырехугольников  
 совпадают.  
 Докажите, что их площади равны.  
   
 


			
Пусть  K, L, M, N - середины сторон AB, BC, CD, DA четырехугольника  
 ABCD. Тогда KL - средняя линия треугольника ABC, поэтому  
 KL параллельна AС и равна AC/2.  
 Таким же образом, MN параллельна AС и равна AC/2,  
 LM параллельна BD и равна BD/2 и  
 NK параллельна BD и равна BD/2.  
 Таким образом, KLMN - параллелограмм, стороны которого параллельны  
 диагоналям четырехугольника ABCD и равны соответственно  
 половинам этих диагоналей.  
 По формуле площади четырехугольника площадь четырехугольника  
 KLMN равна AC*BD*sinX/2, где X - угол между диагоналями AC и BD.  
 Площадь параллелограмма KLMN равна  
 KL*LM*sinX = (AC/2)*(BD/2)*sinX = AC*BD*sinX/4.  
 Таким образом, площадь параллелограмма KLMN вдвое меньше площали  
 четырехугольника ABCD.  
 Из доказанного легко следует утверждение задачи:  
 площади обоих четырехугольников равны удвоенной площади  
 четырехугольника с вершинами в точках, являющихся их общими  
 серединами сторон.
			
Площадь четырехугольника