Имеется n аэродромов, все попарные расстояния между которыми
 различны. С каждого аэродрома взлетел один самолет и совершил
 посадку на ближайшем аэродроме.
 Докажите, что на один аэродром не могло приземлиться более пяти
 самолетов.


			
Допустим противное - на некотором аэродроме O приземлилось 6
 самолетов, вылетевших с аэродромов A, B, C, D, E, F.
 Лучи OA, OB, OC, OD, OE, OF делят плоскость на 6 углов
 (один из них может быть больше развернутого).
 Поскольку в сумме эти углы дают 3600,
 наименьший из этих углов не превосходит 600.
 Для определенности предположим, что угол
 AOB не больше 600.
 Сумма углов треугольника равна 1800=3*600,
 поэтому угол AOB не является наибольшим углом
   в треугольнике AOB
   (равенство углов в треугольнике невозможно, поскольку
   в этом случае треугольник является равнобедренным и некоторые
   два расстояния между парами аэродромов равны).
 Как известно, в треугольнике против большей стороны лежит больший
 угол (это несложное следствие
 теоремы синусов).
 Отсюда следует, что сторона AB не является наибольшей
 стороной в треугольнике AOB.
 Пусть, для определенности, сторона OA больше стороны AB.
 Однако это противоречит тому, что аэродром O расположен
 ближе к A, чем аэродром B.
			
Системы точек Против большей стороны лежит больший угол