На всех ребрах куба стоит по числу. На каждой грани (квадрате)
пишется сумма четырех чисел, расположенных на ее ребрах (сторонах квадрата). 
Расставьте числа 1 и -1 на ребрах так, чтобы все числа на гранях были различны.


Предположим, что нам это удалось. Тогда на каждой из граней куба стоит одно из пяти чисел: -4, -2, 0, 2 или 4. Но граней шесть, значит, на каких-то двух гранях стоит одно и то же число; противоречие. Значит, так расставить числа нельзя.
Этого сделать нельзя.
Принцип Дирихле (прочее)