К кубику Рубика применили последовательность поворотов. 
 Доказать, что применяя ее несколько раз, 
 можно привести кубик в начальное состояние.


			
Обозначим начальное состояние кубика Рубика за A. 
 Пусть 
 P=P1P2...Pn - 
 некоторая последовательность поворотов. 
 Обозначим через P(X) результат применения последовательности 
 поворотов P к состоянию X, и через Pm(X) 
 результат m-кратного применения последовательности 
 поворотов P к состоянию X. 
 Рассмотрим последовательность состояний 
 A, P(A), P2(A), P3(A), ... 
 Поскольку имеется лишь конечное число состояний кубика Рубика, 
 то в этой последовательности встретится повторение, т.е. 
 Pk(A)=Pn(A)=B для некоторых  k, n, k<n. 
 Для каждого поворота Pi кубика есть обратный поворот 
 P-1i (т.е. такой поворот, что 
 P-1i(Pi) = Pi(P-1i) 
 есть тождественное преобразование). 
 Таким образом, для последовательности поворотов 
 P=P1P2...Pn имеется обратное 
 преобразование P-1, определяемое как последовательное выполнение 
 поворотов 
 P-1n, P-1n-1, ... , 
 P-11. 
 Применяя преобразование P-1 к состоянию 
 B=Pk(A)=Pn(A), мы получаем, что 
 P-1(B)=Pk-1(A)=Pn-1(A). 
 Проводя дальнейшие рассуждения подобным образом, мы получим 
 совпадение состояний Pk-2(A)=Pn-2(A), ... , 
 P1(A)=Pn-k+1(A). 
 Таким образом, начальное состояние повторится после (n-k+1)-кратного 
 выполнения последовательности поворотов P.
			
Теория групп (прочее)