Известно, что в тетраэдре две пары скрещивающихся ребер  
 перепндикулярны. Докажите, что и третья пара скрещивающихся ребер  
 обладает этим свойством.  
 


			
Обозначим три вектора, идущие вдоль ребер, выходящих из одной вершины  
 тетраэдра, за a, b, c. Тогда векторы, идущие вдоль оставшихся  
 трех ребер, равны b-c, c-a, a-b.  
 Условие перпендикулярности двух векторов запишем как  
 равенство нулю скалярного произведения.  
 Таким образом, перпендикулярность двух пар скрещивающихся ребер  
 запишется как система двух равенств  
 (a,b-c)=0, (b,c-a)=0.  
 Раскроем эти равенства, используя свойство линейности   
 скалярного произведения:  
 (a,b)-(a,c)=0, (b,c)-(b,a)=0.  
 Сложив эти равенства, получаем (с учетом (a,b)=(b,a)):  
 (b,c)-(a,c)=0 или (b-a,c)=0,  
 что означает перпендикулярность для оставшейся пары   
 скрещивающихся ребер.
			
Стереометрия (прочее) Скалярное произведение. Соотношения