а) Можно ли занумеровать рёбра куба натуральными числами от 1 до 12 так, чтобы для каждой вершины куба сумма номеров рёбер, которые в ней сходятся, была одинаковой? 
б) Аналогичный вопрос, если расставлять по рёбрам куба числа –6, –5, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 
   а) Предположим, что это возможно, и сумма номеров рёбер, сходящихся в каждой из восьми вершин, равна x. Сложив эти суммы для всех вершин, получим 8x. С другой стороны, эта сумма равна удвоенной сумме номеров всех рёбер, так как номер каждого ребра входит в неё дважды. Вычислим эту сумму:  2·(1 + 2 + ... + 12) = 156.  Отсюда следует, что  8x = 156,  то есть x – не целое. Противоречие. 
Подсчет двумя способами Степень вершины Куб Доказательство от противного Примеры и контрпримеры. Конструкции