Может ли произведение трёх последовательных натуральных чисел быть степенью натурального числа (квадратом, кубом и т.д.)? 
Пусть произведение чисел  n – 1,  n,  n + 1  является точной m-й степенью. Поскольку число n взаимно просто с числами  n – 1  и  n + 1,  то любой простой делитель числа n входит в разложение числа  (n – 1)n(n + 1)  с таким же показателем, с каким он входит в разложение числа n, то есть он  входит в разложение числа n в степени, кратной m. Поэтому n (а следовательно, и n²) является точной m-й степенью. Но и  (n – 1)(n + 1) = n² – 1  также является m-й степенью натурального числа, как частное от деления чисел  (n – 1)n(n + 1)  и n, являющихся  m-ми степенями. Таким образом, нами найдены два последовательных натуральных числа  (n² и  n² – 1),  являющихся m-ми степенями. Ясно, что это невозможно. Противоречие. 
Не может. 
НОД и НОК. Взаимная простота Уравнения в целых числах Доказательство от противного