На какую максимальную степень тройки делится число, десятичная запись которого состоит из 3n единиц? 
   Обозначим через Аn число, состоящее из 3n единиц. Докажем по индукции, что Аn делится на 3n и не делится на 3n+1. База  (n = 1)  очевидна. 
   Шаг индукции. Число Аn+1 получается умножением числа Аn на число вида 10...010...01. Число 10...010...01 делится на 3 и не делится на  32 = 9,  поскольку сумма его цифр делится на 3 и не делится на 9. Следовательно, Аn+1 имеет в разложении на простые множители на одну тройку больше по сравнению с числом Аk, то есть делится на 3n+1, но не делится на 3n+2.
На n-ю степень. 
Индукция (прочее) Признаки делимости на 3 и 9