Нескольким детям дали по карандашу одного из трех цветов. Дети как-то поменялись карандашами, после чего у каждого оказался не тот карандаш, который был у него вначале. Докажите, что цвета карандашей могли быть такими, что у каждого вначале и в конце карандаши были разных цветов.
Пусть карандаш, который был вначале у некоторого ребенка А,  
 достался в конце ребенку B,  
 карандаш, который был вначале у некоторого ребенка B,  
 достался в конце ребенку C и т.д.  
 Таким образом, когда-нибудь мы дойдем до ребенка Z, карандаш которого достался  
 в конце ребенку А.  
 Таким образом, группа детей A, B, C, ... , Z совершила циклический  
 обмен карандашами; можно считать, что  
 остальные дети в этом обмене не участвовали.  
 Если есть дети помимо A, B, C, ... , Z, начнем новый цикл и т.д.  
 Таким  образом, каждый обмен представляется в виде нескольких  
 циклических обменов.  
 Теперь достаточно решить задачу для  
 циклического обмена.  
 Если в цикле A, B, C, ... , Z четное число детей, то раздадим  
 вначале через одного красные карандаши, а затем оставшимся - синие.  
 После циклического обмена каждый  
 получит карандаш цвета, отличного от того, что был вначале.  
 Если в цикле A, B, C, ... , Z нечетное число детей, то  
 дадим ребенку А зеленый карандаш, дальше раздадим  
 через одного, начиная с B, красные карандаши, а затем оставшимся - синие.  
 Как нетрудно видеть, снова после циклического обмена каждый  
 получит карандаш цвета, отличного от того, что был вначале.
			
Группа перестановок