На стол положили несколько одинаковых листов бумаги прямоугольной     
  формы. Оказалось, что верхний лист покрывает больше половины площади     
  каждого из остальных листов. Можно ли в таком случае воткнуть булавку     
  так,  чтобы она проколола все прямоугольники? 


			
Докажем, что булавка, воткнутая в центр верхнего листа  O, проколет все остальные листы. Действительно, если предположить, что
некоторый лист П не покрывается точкой O, то его можно симметрично отразить 
относительно O, и его образ П' не будет пересекать исходный лист.  Так как O - центр симметрии
верхнего листа, то пересечения П и П' с верхним листом имеют равные площади, в сумме
меньшие площади одного листа. А значит, верхний лист покрывает меньше половины площади 
листа П, что противоречит условию.


			
Покрытия Площадь (прочее)