Докажите, что ни при каком целом k число  k² + k + 1  не делится на  101. 
Предположим, что для некоторого k число  k² + k + 1  делится на 101. Тогда  (k –  1)(k² + k + 1) = k³ – 1  также делится на 101, то есть  k³ ≡ 1 (mod 101).  Поэтому  

k100(k – 1) = k101 – (k³)33k ≡ k – k = 0 (mod 101). Значит, k даёт остаток 0 или 1 при делении на 101, и  k² + k + 1  не делится на 101. Противоречие. 
Малая теорема Ферма Доказательство от противного