Пузатостью прямоугольника назовем отношение его меньшей  
 стороны к большей. Докажите, что если разрезать квадрат на  
 прямоугольники, то сумма их пузатостей будет не меньше 1.


			
Примем сторону квадрата за 1 (это возможно, так как 
 при этом значения пузатостей прямоугольников сохранятся). 
 Обозначим для каждого маленького прямоугольника через 
 ai длину его меньшей стороны, а через 
 bi длину его большей стороны. 
 Сумма пузатостей P 
 равна сумме величин ai/bi по всем  
 прямоугольникам из разбиения. 
 С другой стороны, площадь квадрата S равна сумме площадей 
 прямоугольников разбиения, поэтому 
 сумма величин aibi по всем  
 прямоугольникам из разбиения равна 1. 
 Если прямоугольник разрезан на конечное число прямоугольников, 
 то стороны прямоугольников из разбиения параллельны 
 сторонам исходного прямоугольника. 
 Поэтому, если квадрат со стороной 1 разбит на  
 конечное число прямоугольников, 
 то длина каждой стороны каждого прямоугольника не больше 1, 
 следовательно, каждое bi не превосходит 1. 
 Отсюда получаем, что P не меньше, чем S, т.е. 
 P не меньше 1.
			
Свойства частей, полученных при разрезаниях