Найдите сумму 6+66+666+...+666..6, где в записи последнего числа
  присутствуют n шестерок.


			
Число, записываемое c помощью k девяток, равно
  (10k-1), следовательно,
  число, записываемое c помощью k шестерок, равно
  6(10k-1)/9=2(10k-1)/3.
  Поэтому сумма 6+66+666+...+666..6
  равна
  2/3((10-1)+(102-1)+...+(10n-1)) =
  2/3((10+102+...+10n)-n).
  Во внутренних скобках стоит геометрическая прогрессия.
  Ее сумма равна 10+102+...+10n =
  (10n+1-10)/9.
  Итак, окончательно получаем, что исходная сумма равна
  2(10n+1-10)/27-2n/3.
			
Геометрическая прогрессия