Существуют ли такие иррациональные числа a и b,
 что степень ab - число рациональное?


			
Первое решение.
Примером могут служить числа a=101/2,
 b=2lg11.
 В самом деле,
 ab = (101/2)2lg11 =
 10(1/2)*2lg11 = 10lg11 = 11.
 
 Осталось показать, что числа 101/2 и lg11
 иррациональные.
 Если бы выполнялось равенство 101/2=m/n
 для некоторых натуральных m и n, то
 было бы верно равенство 10n2=m2,
 что невозможно, поскольку в левую часть простой множитель 2
 входит в нечетной степени, а в правую часть - в четной.
 Если бы выполнялось равенство lg11=m/n
 для некоторых натуральных m и n, то
 было бы верно равенство 10m=11n,
 что, очевидно, невозможно.

Второе решение.
Рассмотрим число A = √2√2. Если оно рационально, задача решена (число √2, как известно, иррационально). Если же A иррационально, то число A√2 = √22 = 2 рационально, поэтому A и √2 - искомые числа.
существуют.
			
Рациональные и иррациональные числа Корни. Степень с рациональным показателем (прочее) Показательные функции и логарифмы (прочее)