В круге провели несколько (конечное число) различных хорд так,
  что каждая из них проходит через
  середину какой-либо другой из проведённых хорд.
  Докажите, что все эти хорды являются диаметрами
  круга.


			
Заметим, что чем меньше расстояние от центра O
  окружности до хорды, тем больше длина хорды. Так как
  хорд конечное число, то среди них есть наименьшая по длине,
  скажем, AB. По условию, она проходит через
  середину K некоторой другой хорды, скажем, CD.
  Если точка пересечения AB и CD не является также и
  серединой AB, то расстояние от точки O до CD будет,
  очевидно, больше, чем расстояние от O до AB (т. к. OK
  будет больше длины перпендикуляра, опущенного из точки O на AB),
  следовательно, хорда CD имеет
  меньшую, чем AB, длину - противоречие.
  Значит, CD проходит через середину AB,
  откуда перпендикуляры,
  опущенные из точки O на эти хорды, совпадают.
  Это возможно, только если AB и CD совпадают, или если AB
  и CD пересекаются в центре. Первое невозможно, значит
  AB и CD - диаметры. А раз наименьшая по длине хорда является диаметром, 
то и все проведенные хорды - диаметры.
			
Диаметр, хорды и секущие Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) Принцип крайнего