На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC выбраны соответственно
 точки C', A', B'. Докажите, что описанные окружности
 треугольников AB'C', BC'A', CA'B' проходят через одну точку.


			
Рассмотрим  точку P пересечения  описанных окружностей
 треугольников AB'C', BC'A', отличную от точки C'.
 Докажем, что окружность, описанная около треугольника
 CA'B' также пройдет через точку P.
 Предположим вначале, что точка P лежит внутри
 треугольника ABC. Тогда  AB'PC' и  BC'PA' - вписанные
 четырехугольники,
 поэтому сумма углов ВАС и B'PC', а также ABC и C'PA'
 равна 1800.
 Из того, что сумма углов ABC, BAC и BCA равна 1800
 (как сумма углов в треугольнике),
 а сумма углов B'PC', C'PA' и A'PB' равна 3600,
 следует, что сумма углов  B'CA' и B'PA' равна 1800.
 Это означает, что четырехугольник B'PA'C вписанный, т.е.
 P принадлежит окружности, описанной около треугольника CA'B'.
 Другие случаи расположения точки P рассматриваются аналогично
 с использованием теоремы о сумме углов
 вписанного четырехугольника
 или теоремы о
 вписанных углах.
			
Вписанные четырехугольники (прочее) Вписанные и описанные окружности