а) На отрезке  [0, 1]  задано такое множество M, являющееся объединением нескольких отрезков, что расстояние между любыми двумя точками из M не равно 1/10. Докажите, что сумма длин отрезков, составляющих M, не больше ½. 
. При сдвиге на 1/10 точка множества M не может перейти в другую точку множества M.
   а) Разобьём отрезок  [0, 1]  на пять отрезков длины ⅕. Пусть  A = M ∩ [0, 1/10],  B = M ∩ [1/10, ⅕].  Через A' обозначим множество, полученное из A сдвигом на 1/10 (он совмещает отрезок  [0, 1/10]  с отрезком  [1/10, ⅕]).  Множества A' и B не пересекаются, иначе между некоторыми двумя точками из множеств A и B расстояние было бы равно 1/10. Поэтому сумма длин отрезков, составляющих множества B и A не превосходит 1/10. Рассуждая таким же образом и для других отрезков длины ⅕, получим требуемое. 
   б) Контрпример. Возьмём  M = [0, ⅕ – 1/100] ∪ [⅖, ⅗ – 1/100] ∪ [⅘, 1 – 1/100]. 
Разбиения на пары и группы; биекции