Внутри угла расположены три окружности S1,  
 S2, S3, каждая из которых касается  
 двух сторон угла, причем окружность S2 
 касается внешним образом окружностей S1  
 и S3. Известно, что радиус окружности 
 S1 равен 1, а радиус окружности 
 S3 равен 9. Чему равен радиус окружности 
 радиус окружности S2?


			
Рассмотрим гомотетию H с центром  
 в вершине угла, переводящую 
 окружность S1 в окружность S2. 
 Окружность S2 при применении этой гомотетии 
 переходит в окружность, касающуюся сторон угла и 
 касающуюся внешним образом окружности  
 H(S1)=S2; 
 таким образом, окружность S2 при  
 применении гомотетии переходит в окружность 
 S3. Обозначим через  
 Ri радиус окружности Si, i=1,2,3, 
 и через k коэффициент гомотетии H. 
 Тогда R2=kR1 и R3=kR2, 
 откуда R22=R1R3. 
 Подставляя значения R1=1 и R3=9, 
 окончательно получаем, что R22=9 
 и R2=3.
			
3.00
Гомотетичные окружности