Докажите, что для любого натурального n в десятичной записи чисел 2002n и  2002n + 2n  одинаковое число цифр.
Поскольку число 2002n не является степенью числа 10, то для некоторого k выполнено двойное неравенство  10k–1 < 2002n < 10k,  которое означает, что в числе 2002n  k цифр. При этом очевидно, что  k > n,  поэтому оба числа 2002n и 10k делятся на 2n. Рассмотрим следующее за 2002n число, кратное 2n – это число  2002n + 2n.  Из предыдущих рассуждений следует, что  2002n + 2n  не превосходит 10k. Если  2002n + 2n < 10k,  то  2002n + 2n  имеет в десятичной записи k цифр. Осталось показать, что равенство 
2002n + 2n = 10k  невозможно. Разделив обе части равенства на 2n, получим  1001n + 1 = 5k·2k–n.  Правая часть делится на 5, а левая – нет, следовательно, равенство невозможно.
Десятичная система счисления Делимость чисел. Общие свойства Показательные неравенства