Докажите, что сумма всех чисел вида 1/mn, где m и n – натуральные числа,  1 < m < n < 1986,  не является целым числом. 
Среди чисел от 1 до 1986 имеются ровно два –  729 = 36  и  1458 = 2·36,  – делящиеся на 36; наибольшая степень 3, на которые могут делиться остальные числа – 35. Таким образом, всевозможные произведения mn  (1 < m < n <1986),  за исключением  729·1458 = 2·312,  содержат множителем число 3 самое большее в степени 11. Приведя сумму всех дробей 1/mn, кроме  1/729·1458,  к общему знаменателю, мы получим дробь вида      где a и b – натуральные числа, причём b не делится на 3. Пусть s – сумма, рассматриваемая в задаче, тогда      или  2·312sb – 6a = b.  При целом s левая часть кратна 3, а правая – нет. Поэтому s не может быть целым. 
Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители Обыкновенные дроби Суммы числовых последовательностей и ряды разностей Делимость чисел. Общие свойства Принцип крайнего  (прочее)