Докажите, что никакой выпуклый многоугольник нельзя разрезать на 100 различных правильных треугольников. 
Предположим, что выпуклый многоугольник разбит на 100 различных правильных треугольников. Рассмотрим наименьший из всех треугольников, примыкающих к границе многоугольника. Пусть это треугольник ABC, у которого сторона AB примыкает к границе многоугольника. Поскольку многоугольник выпуклый, то он весь лежит по одну сторону с точкой C от прямой AB. К одной из сторон AC, BC треугольника ABC должен примыкать еще хотя бы один треугольник (иначе многоугольник совпадал бы с треугольником ABC). 
Пусть, например, к стороне AC примыкает ещё один треугольник T. Тогда сторона треугольника T больше стороны треугольниика ABC, и поэтому его сторона, примыкающая к AC, продолжается за точку C. Если бы существовал треугольник, примыкающий к стороне BC треугольника ABC, то мы таким же образом заключили бы, что его сторона, примыкающая к BC, продолжается за точку C. Тем самым этот треугольник пересекался бы с треугольником T. Противоречие. Значит, нет треугольника, примыкающего к стороне BC треугольника ABC. Но это означает, что точка C является вершиной угла многоугольника, большего 180°. Противоречие с выпуклостью многоугольника. 
Разрезания на части, обладающие специальными свойствами Наибольший треугольник Выпуклые многоугольники