На сфере радиуса 1 расположено n точек.  
  Докажите, что сумма квадратов попарных расстояний между ними  
  не больше n2.


			
Обозначим через a1, a2, ... ,   
  an векторы единичной длины, соединяющие  
  центр сферы с каждой из n точек.  
  Сумма квадратов попарных расстояний между точками S   
  тогда будет равна   
  сумме скалярных произведений   
  (ai-aj, ai-aj)  
  по всем парам i, j от 1 до n таким что ii-aj, ai-aj),  
  где  i, j независимо пробегают числа от 1 до n  
  (здесь используется, что   
  скалярное произвеение  
  (ai-aj, ai-aj)  
  равно 0 при i=j).  
  Далее,  
  (ai-aj, ai-aj) =   
  |ai|2 + |aj|2 -   
  2(ai, aj).  
  Таким образом, в сумме 2S  
  будет присутствовать каждое из слагаемых (равное 1)  
  |a1|2, |a2|2, ... ,  
  |an|2 по 2n раз,   
  и один раз слагаемое  
  -2(ai, aj)   
  для каждй пары i, j.  
  Сумма слагаемых вида -2(ai, aj)  
  равна   
  -2(a1+a2+...+an, a1+a2+...+an).  
  Окончательно,   
  2S =   
  2n*n-2|a1+a2+...+an|2,  
  отсюда получаем, что  
  2S не больше 2n2 (поскольку  
  скалярный квадрат неотрицателен), и S не больше n2,  
  что и требовалось.
			
Стереометрия (прочее)