Внутри квадрата со стороной 2 расположено семь многоугольников площадью не менее 1 каждый. 
Докажите, что существует два многоугольника, площадь пересечения которых не менее 1/7. 
Предположим, что площадь пересечения каждых двух из данных семи многоугольников меньше 1/7. Оценим площадь фигуры 
Ai = M1 ∪ M2 ∪ ... ∪ Mi  (i = 1, 2, ..., 7),  исходя из нашего предположения. Площадь  S(A1) = S(M1) ≥ 1.  Далее, для каждого  i = 2, ..., 7  многоугольник Mi пересекается с каждым из многоугольников M1, ..., Mi–1 по площади, меньшей 1/7. Значит,  S(Mi ∩ Ai–1) < i–1/7,  S(Mi \ Ai–1) > 1 – i–1/7 = 8–i/7,
а  S(Ai) > S(Ai–1) + 8–i/7.  Следовательно,  S(A7) > 1 + 6/7 + 5/7 + ... + 1/7 = 4.  Но это противоречит тому, что все многоугольники лежат внутри квадрата площади 4. 
Неравенства с площадями Формула включения-исключения