Через точку, взятую внутри треугольника, параллельно его сторонам  
 провели прямые.  
 Вычисляются отношения длин отрезков, получающихся в пересечении  
 этих прямых с треугольником, к длинам параллельных им  
 сторон. Докажите, что сумма трех таких отношений равна 2.  
   
 


			
Пусть ABC - данный треугольник и O - точка внутри него.  
 Рассмотрим отрезок B'C', проходящий через O и параллельный  
 BC (B' - точка на стороне AB, C' - точка на стороне AC).  
 Тогда B'C'/BC - одно из отношений, о которых идет речь в условии.  
 Пусть прямая AO пересекает BC в точке D.  
 Из подобия треугольников AB'C' и ABC  
 получаем, что отношение B'C'/BC является коэффициентом подобия.  
 Отрезки AO и AD являются соответствующими элементами в подобных  
 треугольниках AB'C' и ABC. Отсюда следует, что отношение  
 AO/AD также является коэффициентом подобия: AO/AD=B'C'/BC.  
 Далее, DO/AD равно отношению площадей треугольников  
 OBC и ABC. В самом деле, у этих треугольников общее основание,  
 а высоты относятся как DO/AD.  
 Итак, DO/AD=S(OBC)/S(ABC).  
 Отсюда AO/AD = (AD-DO)/AD = 1-DO/AD = 1-S(OBC)/S(ABC).  
 Аналогичным образом находим, что второе и третье отношения,  
 о которых говорится в условии, равны  
 1-S(OAB)/S(ABC) и 1-S(OCA)/S(ABC).  
 Таким образом, сумма всех трех отношений равна  
 (1-S(OBC)/S(ABC))+(1-S(OAB)/S(ABC))+(1-S(OCA)/S(ABC)) =  
 3-(S(OBC)+S(OAB)+S(OCA))/S(ABC) = 3-1 = 2,  
 так как треугольники OBC, OAB и OCA составляют треугольник ABC.
			
Неопределено