Докажите, что в пространстве найдётся гладкая кривая, которая пересекается с  
каждой плоскостью. 
Зададим кривую в параметрической форме:  x = t,  y = t³,  z = t5,  где t пробегает все действительные числа. Пусть  Ax + By + Cz + D = 0  – уравнение некоторой плоскости (здесь не все числа A, B, C одновременно равны нулю). Точка кривой, отвечающая параметру t, лежит в этой плоскости тогда и только тогда, когда 
At + Bt3 + Ct5 + D = 0.  Мы имеем уравнение пятой, третьей или первой степени относительно t (в зависимости от равенства нулю коэффициентов). Многочлен нечётной степени всегда имеет корень. Поэтому хотя бы одна точка пересечения кривой с плоскостью существует. 
Многочлен нечетной степени имеет действительный корень Уравнение плоскости Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее) Примеры и контрпримеры. Конструкции