На плоскости даны пять точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Докажите, что некоторые четыре из этих точек являются вершинами выпуклого четырёхугольника. 
   Рассмотрим выпуклую оболочку данных пяти точек. Это может быть пятиугольник, четырёхугольник или треугольник. В первом случае любые четыре из данных пяти точек являются вершинами выпуклого четырёхугольника. Во втором случае можно взять четыре точки, являющиеся вершинами выпуклой оболочки.  
   В третьем случае пусть A, B, C – вершины выпуклой оболочки, а M, N – оставшиеся две из данных пяти точек (они лежат внутри треугольника ABC). Прямая MN не пересекает одну из сторон треугольника ABC, скажем, сторону BC. Тогда точки B, C, M, N лежат в вершинах выпуклого четырёхугольника. 
Системы точек Выпуклые многоугольники