Докажите, что дроби 1000/2001 и 1001/2001 имеют равную длину периодов.
   Заметим, что сумма двух данных дробей равна 1. Пусть первая дробь имеет десятичную запись 0,a1a2a3... Рассмотрим число R, выраженное десятичной дробью, меньшей 1, у которой на i-м месте после запятой, стоит цифра  9 – ai.  Тогда в сумме  1000/2001 + R  в каждом разряде после запятой будет стоять 9, то есть  1000/2001 + R = 0,9999... = 1.  Таким образом,  R = 1001/2001.  Теперь видно, что если ab...z – некоторая комбинация цифр, являющаяся периодом дроби 1000/2001, то комбинация цифр  (9 – a)(9 – b)...(9 – z)  есть период дроби 1001/2001. Следовательно, период дроби 1001/2001 не длиннее периода 1000/2001. 
   Аналогично показываем, что период дроби 1000/2001 не длиннее период дроби 1001/2001. Следовательно, периоды этих двух дробей равны. 
Периодические и непериодические дроби