Найдите все целые решения уравнения  yk = x² + x,  где k – фиксированное натуральное число, большее 1.

yk = x(x + 1).  Числа x и  x + 1  взаимно просты, поэтому x и  x + 1  являются k-ми степенями целых чисел. Ясно, что имеется ровно две пары последовательных целых чисел, являющихся k-ми степенями при  k > 1  –  (–1, 0)  и  (0, 1).  Таким образом, x может принимать только два значения: 0 и –1. Остается проверить, что оба эти значения подходят и в обоих случаях  y = 0. 
(0, 0)  и  (–1, 0). 
Уравнения в целых числах Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители