Докажите, что уравнение  x² + y³ = z5  имеет бесконечно много решений в натуральных числах. 
Будем искать решение в виде  x = 2k,  y = 2m,  z = 2n.  Уравнение принимает вид  22k + 23m = 25n.  Положим  k = 3s,  m = 2s.  Тогда  26s + 26s = 25n,  или 
26s+1 = 25n.  Осталось подобрать значения s и n так, что  6s + 1 = 5n.  Для этого можно приравнять оба числа  6s + 1,  5n к числу  30t + 25  (числа вида 
30t + 25  делятся на 5 и дают остаток 1 при делении на 6). Тогда  s = 5t + 4,  n = 6t + 5.  Итак, нами получена бесконечная серия решений данного уравнения: 
x = 215t+12,  y = 210t+8,  z = 26t+5. 
Уравнения в целых числах Примеры и контрпримеры. Конструкции