Докажите, что существуют числа, не менее чем 100 способами представимые в виде  суммы 2001 слагаемого, каждое из которых является 2000-й степенью целого числа.
Рассмотрим числа  1, 2, 3, ..., N.  Из 2000-х степеней этих чисел будем составлять всевозможные суммы, в каждой из которых участвует 2001 слагаемое.  Таких сумм (без учета порядка слагаемых) всего будет не меньше чем N2001/2001! (каждое слагаемое может быть выбрано N способами, и в результате перестановки слагаемых одинаковыми оказываются не более 2001! сумм). С другой стороны, каждая из рассматриваемых сумм не больше чем 2001N2000. Поэтому если  N2001/2001! > 100·2001N2000  (то есть  N > 100·2001·2001!,  то не менее 100 сумм принимают одно и то же значение (что нам и требуется).
Принцип Дирихле (прочее) Правило произведения Перестановки и подстановки (прочее)