Известно, что  x + 2y + 3z = 1.  Какое минимальное значение может принимать выражение  x² + y² + z²? 
Рассмотрим прямоугольную систему координат в пространстве. Проведем плоскость П, заданную уравнением  x + 2y + 3z = 1.  Выражение
x² + y² + z²  равно квадрату расстояния от начала координат O до точки с координатами  (x, y, z).  Расстояние от начала координат до точки 
(x, y, z),  лежащей в плоскости П, не превосходит расстояния от начала координат до плоскости П. Поэтому минимальное значение выражения  x² + y² + z²  при условии  x + 2y + 3z = 1  достигается тогда, когда точка  (x, y, z)  является основанием перпендикуляра, опущенного из O на плоскость П, и равно квадрату расстояния от O до плоскости П. Это расстояние можно вычислить по известной формуле. В результате получим   
1/14. 
Геометрические интерпретации в алгебре Максимальное/минимальное расстояние Расстояние от точки до плоскости