Дан выпуклый пятиугольник. Каждая диагональ
				отсекает от него треугольник. Докажите, что сумма площадей
				треугольников больше площади пятиугольника.
Будем двигать вершину A данного пятиугольника ABCDE
				параллельно диагонали BE. При этом площадь треугольника BEA и,
				тем самым, пятиугольника ABCDE не меняется. Действительно,
				основаниями всех получаемых при движении треугольников будет
				отрезок BE, а высоты равны между собой. Из всех рассматриваемых
				треугольников при таком движении площадь будет меняться лишь у
				DEA и EAB. Как меняются эти площади? Рассмотрим один из них.
				Пусть при сдвиге на
				величину x точка A перейдет в точку A′ (рис. a).
				Обозначим через h и h′ соответственно высоты, опущенные на
				сторону DE из точек A и A′ соответственно, а через 
				— угол между прямыми AA′ и DE. Тогда .  Таким
				образом, изменение площадей рассматриваемых треугольников
				пропорционально величине сдвига вершины A (до тех пор, пока
				какой-то из треугольников не выродится, то есть мы пересечем прямую
				DE или BC). Значит, при движении в одном направлении сумма
				площадей рассматриваемых треугольников возрастает, а в другом —
				убывает. Без ограничения общности можно считать, что эта сумма
				убывает при движении в направлении прямой DE. Значит,
				доказательство можно проводить для вырожденного пятиугольника
				ABCDE, у которого вершины A, E и D лежат на одной прямой
				(рис. б). Рассуждая аналогично, будем двигать вершину E в
				направлении вершины A или D. Таким образом мы сведем задачу к
				случаю вырожденного пятиугольника, у которого две вершины (E и
				A или D) совпадают. В этом случае утверждение очевидно,
				поскольку уже два из рассматриваемых треугольников ABE и BCD
				покрывают превратившийся в четырехугольник пятиугольник ABCDE.
Пятиугольники Неравенства с площадями Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой Перенос помогает решить задачу Монотонность и ограниченность