Докажите, что всякую замкнутую ломаную периметра Р можно заключить в круг, радиус которого не превосходит Р/4. 
   Рассмотрим на ломаной две точки A и B, делящие периметр ломаной пополам. Рассмотрим некоторую точку C на ломаной. Сумма длин отрезков AC и BC не превосходит периметра одной из двух ломаных с концами A и B, то есть  AC + BC ≤ P/2.  Отразив точку C симметрично относительно точки O, получим точку C'. Четырёхугольник ACBC' – параллелограмм, поскольку его диагонали делятся точкой O пополам. Значит,  BC' = AC,  и из треугольника BCC' получаем, что  2CO = CC' ≤ BC + BC' = BC + AC ≤ P/2,  и, следовательно,  СО ≤ P/4. 
   Таким образом, каждая точка C ломаной лежит внутри круга радиуса P/4 с центром в точке O. 
Ломаные Неравенство треугольника (прочее) Симметрия помогает решить задачу