Известно, что сумма трех плоских углов при
  каждой вершине тетраэдра равна 1800.
  Докажите, что все его грани - равные треугольники.


			
Пусть данный тетраэдр - ABCD.
  Рассмотрим его развертку на плоскость ABC.
  Пусть грани ABD, BCD и CAD при разворачивании тетраэдра перешли в
  треугольники ABE, BCF и CAG.
  Сумма углов EAB, BAC, CAG равна 1800, поскольку
  эти углы равны трем плоским углам тетраэдра при вершине A.
  Следовательно, точка A лежит на прямой EG.
  Аналогично доказывается, что точка B лежит на прямой EF и
  точка C лежит на прямой FG.
  Таким образом, развертка представляет собой треугольник EFG.
  Точки A, B, C лежат на его сторонах GE, EF, FG.
  Кроме того EA=AG, поскольку отрезки EA и AG равны ребру AD тетраэдра.
  Аналогично, EB=BF и FC=CG.
  Это означает, что AB, CB, CA - средние линии треугольника EFG.
  Средние линии делят треугольник EFG на 4 равных треугольника
  ABE, BCF, CAG и ABC, которые равны, соответственно граням
  ABD, BCD, CAD и ABC тетраэдра ABCD.
  Итак, все грани - равные треугольники.
			
Стереометрия (прочее)