Каково максимальное значение, которое может принимать 
 площадь проекции правильного тетраэдра с ребром 1?


			
Рассмотрим два возможных случая. 
 1. Проекция тетраэдра - треугольник. Тогда длина каждой из его 
 сторон не больше 1 (при проектировании длина отрезка может только 
 уменьшиться). 
 Обозначим две из сторон треугольника a и b, и пусть C - величина 
 угла между этими сторонами. Из формулы площади треугольника 
 вытекает, что площадь проекции равна ab*sin(С)/2, 
 что не превосходит 1/2. 
 2. Проекция тетраэдра - четырехугольник. 
 Диагонали этого четырехугольника являются проекциями некоторых 
 ребер тетраэдра, поэтому длина каждой из диагоналей не больше 1. 
 Обозначим длины диагоналей через d1, d2, 
 и пусть U - величина 
 угла между этими диагоналями. 
 Из формулы площади четырехугольника 
 вытекает, что площадь проекции равна d1d2*sin(U)/2, 
 что не превосходит 1/2. 
 Осталось убедиться, что найдется плоскость, проекция на которую 
 имеет площадь в точности 1/2. 
 Нетрудно проверить, что плоскость, параллельная паре 
 скрещивающихся ребер тетраэдра, обладает нужным свойством: 
 проекция тетраэдра на эту плоскость есть квадрат с диагональю 1.
			
0.50
Стереометрия (прочее) Экстремальные свойства (прочее)