Существует ли треугольник с вершинами в узлах клетчатой бумаги,
каждая сторона которого длиннее 100 клеточек, а площадь меньше площади
одной клеточки?

			
Да. Например, треугольник с вершинами в точках (-1, 0), (100, 1) и (200, 2).
Да.
Комбинаторная геометрия (прочее)