Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри
 равностороннего треугольника до его сторон не зависит от положения
 точки.


			
Пусть точка P находится внутри равностороннего треугольника ABC.
 Обозначим за a сторону треугольника и за S его площадь, также
 обозначим
 за h1, h2, h3
 расстояния от точки P до сторон AB, BC, CA соответственно.
 Приравняем площадь треугольника ABC к сумме площадей треугольников
 APB, BPC, CPA.
 Запишем:
 S = AB*h1/2+BC*h2/2+CA*h3/2
 = a(h1+h2+h3)/2.
 Отсюда h1+h2+h3=2S/a.
 Таким образом,
 сумма расстояний от любой точки внутри
 равностороннего треугольника до его сторон равна 2S/a независимо от
 положения
 точки.
			
Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу Правильный (равносторонний) треугольник Площадь треугольника (через высоту и основание)