Докажите, что произведение ста последовательных натуральных чисел не может быть сотой степенью натурального числа.
   Предположим, что для некоторых натуральных n и k  n(n + 1)(n + 2)...(n + 99) = k100. 
   Тогда  n100 < k100 < (n + 99)100,  то есть  n < k < n + 99.  Поэтому число k входит множителем в левую часть исходного равенства. Число  k + 1,  также входящее множителем в левую часть этого равенства, взаимно просто с k. Поэтому k100 не делится на  k + 1.  Противоречие
Произведения и факториалы НОД и НОК. Взаимная простота Доказательство от противного