У выпуклого многогранника все грани - правильные пятиугольники или    
  правильные шестиугольники. Сколько среди этих граней пятиугольников?    
      
  


			
Обозначим через П число пятиугольников, через Ш - число    
  шестиугольников среди граней данного многогранника.    
  Обозначим также через Г, Р, В соответственно количества граней,    
  ребер и вершин данного многогранника. Тогда Г=П+Ш.    
  Далее, каждое ребро принадлежит ровно двум граням, а поскольку    
  пятиугольникам принадлежат 5 ребер, а шестиугольникам 6,    
  можно написать: Р=(5П+6Ш)/2.    
  В каждой вершине сходится по 3 грани.    
  Действительно, угол правильного пяти- и шестиугольника    
  не меньшее 1080; поэтому если бы в некоторой вершине    
  сходилось не менее четырех граней, то сумма плоских углов    
  многогранного угла, отвечающего этой вершине, была  бы не меньше    
  4*1080>3600, что невозможно.    
  (Для доказательства этого факта проведем прямую внутри многогранного    
  угла, спроектируем угол на плоскость, перпендикулярную    
  этой прямой; проекции плоских углов будут давать в сумме 3600,    
  а при проектировании величина угла не уменьшается.)    
  Отсюда следует, что В=(5П+6Ш)/3.    
  Воспользуемся формулой Эйлера,    
  связывающей число вершин, граней и ребер выпуклого многогранника:    
  В-Р+Г=2. Подставим значения В, Р, Г, выраженные через П и Ш,    
  получим:    
  (5П+6Ш)/3-(5П+6Ш)/2+(П+Ш)=2.    
  Преобразовывая это выражение, видим, что Ш сокращается, и равенство    
  принимает вид П/6=2, откуда П=12.    
  Хорошо известен пример одного из многогранников, о которых идет    
  речь в условии - "футбольный мяч".
			
12
Формула Эйлера. Эйлерова характеристика Эйлерова характеристика