Дорожно-ремонтная организация "Тише едешь - дальше будешь"  
 занимается укладкой асфальта.   
 Организация взяла обязательство покрыть асфальтом 100-километровый  
 участок дороги.  
 В первый день был заасфальтирован  
 1 км дороги. Далее, если уже  
 заасфальтировано x км дороги, то в следующий день организация  
 покрывает асфальтом еще 1/x км дороги.  
 Докажите, что все же наступит тот день, когда организация   
 "Тише едешь - дальше будешь" выполнит свое обязательство.  
   
 


			
Пусть после n-ого дня асфальтом покрыто  
  an километров дороги.  
 Тогда по условию  a1=1 и   
  an+1=an+1/an.  
 Возведем данное равенство в квадрат, получим:  
  an+12 =   
 an2+2+(1/an)2.  
 Таким образом,  
 an+12 >  
 an2+2.  
 Мы видим, что последовательность an2  
 возрастает на каждом шаге по крайней мере на 2.  
 Отсюда следует, что a50012 >  
 2*5000 = 1002 и a5001 > 100.  
 Таким образом, обязательство будет выполнено не позже, чем на 5001  
 день.
			
Рекуррентные соотношения