На сторонах AB, BC, CD  и DA выпуклого четырёхугольника ABCD отметили точки E, F, G, H соответственно. 
Докажите, что описанные круги треугольников HAE, EBF, FCG и GDH покрывают четырёхугольник ABCD целиком. 
Рассмотрим произвольную точку O внутри четырёхугольника ABCD. Сумма углов четырёхугольника ABCD равна 360°, сумма углов HOE, EOF, FOG, GOH также равна 360°. Следовательно, сумма углов в одной из четырёх пар углов HAE и HOE, EBF и EOF, FCG и FOG, GDH и GOH не меньше 
(360° + 360°) : 4 = 180°.  Пусть, например, это углы HAE и HOE. Тогда описанный круг треугольника HAE отрезка покрывает точку O. 
Вписанные четырехугольники (прочее) Покрытия Принцип Дирихле (углы и длины)