Сколько существует пар натуральных чисел, у которых наименьшее общее кратное (НОК) равно 2000? 
   Рассмотрим две возможности.
   1) Одно из чисел равно 2000. Тогда другое число может быть  любым делителем числа 2000. Поскольку  2000 = 24·53,  оно имеет 20 делителей (см. задачу 30358).
   2) Ни одно из двух чисел a, b не равно 2000. Тогда в разложении одного из этих чисел a, b (для определенности, a) на простые сомножители должен присутствовать множитель 24, а в разложении другого – множитель 53. Таким образом,  a = 24·5m,   b = 2n·53,  где m может принимать 3 значения  (0, 1, 2) , и независимо от этого n может принимать 4 значения  (0, 1, 2, 3).  Таким образом, в этом случае имеется  3·4 = 12 возможностей.
   Итак, имеется  20 + 12 = 32  пары натуральных чисел, имеющие  НОК = 2000.
32 пары.
НОД и НОК. Взаимная простота Правило произведения Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители Количество и сумма делителей числа Перебор случаев