Докажите, что рациональные числа  
из отрезка [0;1] можно покрыть системой интервалов суммарной длины  
не больше 1/1000.


			
Рассмотрим конечные множества An, n=1, 2, ... , 
где через An обозначено множество рациональных чисел 
из отрезка [0;1], представимых в виде дроби m/n для некоторого целого m. 
Конечное множество точек можно покрыть системой интервалов сколь угодно  
малой длины. Поэтому мы можем покрыть множество  
A1 интервалами суммарной длины (1/2)*(1/1000), 
множество  
A2 -  интервалами суммарной длины (1/4)*(1/1000), и т.д. , 
множество  
Ak  - интервалами суммарной длины (1/2k)*(1/1000). 
Таким образом, все рациональные числа оказываются покрытыми системой  
интервалов, суммарная длина которых не больше, чем 
(1/2)*(1/1000)+(1/4)*(1/1000)+...+(1/2k)*(1/1000)+... = 
1/1000. (Здесь мы использовали формулу для суммы бесконечной геометрической  
прогрессии.)
			
Счетные и несчетные подмножества Покрытия