Окружность пересекает сторону AB треугольника ABC в точках С1, С2, сторону BС – в точках A1, A2, сторону СA – в точках B1, B2. Известно, что перпендикуляры к сторонам AB, BC, CA, восставленные соответственно в точках С1, B1, A1, пересекаются в одной точке. Докажите, что перпендикуляры  к сторонам AB, BC, CA, восставленные соответственно в точках С2, B2, A2, также пересекаются в одной точке. 
Пусть P – точка пересечения перпендикуляров, восставленных в точках С1, B1, A1, O – центр окружности, Q – точка, симметричная P относительно O Точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку С1С2, поскольку O равноудалена от точек С1 и С2. Пусть С' – середина отрезка С1С2. Рассмотрим угол, образованный прямыми С1С2 и PQ. На сторонах этого угла имеются по три точки – С1, C', С2 и P, O, Q, причём C' – середина С1С2 и O – середина PQ. Кроме того, прямые С1P и C'O параллельны (обе перпендикулярны AB). Из теоремы Фалеса следует, что и С2Q перпендикулярна AB. Это означает, что точка Q лежит на перпендикуляре к AB, восставленном в точке С2. Аналогично Q лежит на перпендикуляре к BС, восставленном в точке A2 и на перпендикуляре к СA, восставленном в точке B2. 
Центральная симметрия помогает решить задачу Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) Диаметр, основные свойства