В квадрате со стороной 1 расположено 100 фигур, суммарная площадь  
 которых больше 99. Докажите, что в квадрате найдется точка, 
 принадлежащая всем этим фигурам.


			
Обозначим данные 100 фигур A1,A2,...,A100, 
 а их площади - S1,S2,...,S100 
 соответственно. 
 По условию S1+S2+...+S100>99. 
 Обознчим через Bi фигуру, дополняющую фигуру 
 Ai до квадрата (т.е. состоящую из всех точек 
 квадрата, не принадлежащих фигуре Ai). 
 Тогда площадь фигуры Bi равна 1-Si 
 (для i=1,2,...,100). 
 Тогда сумма площадей фигур  
 B1,B2,...,B100 
 равна  
 (1-S1)+(1-S2)+...+(1-S100)= 
 100-(S1+S2+...+S100), 
 что меньше 1. Итак, сумма площадей фигур 
 B1,B2,...,B100 
 меньше площади квадрата. Это означает, что в квадрате найдется  
 точка, не принадлежащая не одной из фигур  
 B1,B2,...,B100. 
 Как легко понять, эта точка принадлежит каждой из фигур 
 A1,A2,...,A100.
			
Неравенства с площадями Принцип Дирихле (площадь и объем) Разбиения на пары и группы; биекции