На какое наибольшее число частей могут разбить плоскость n окружностей? 
   Одна окружность делит плоскость на две части. Пусть уже проведены k окружностей. Рассмотрим (k+1)-ю окружность. Она пересекает предыдущие k окружностей не более чем в 2k точках (каждую окружность – не более чем в двух точках). Следовательно, (k+1)-я окружность разбивается первыми k окружностями не более чем на 2k дуг. Каждая дуга делит одну из частей, на которые плоскость была разделена k окружностями, еще на две части. Тем самым, каждая дуга прибавляет одну часть плоскости, и (k1)-я окружность прибавляет не более 2k частей плоскости. Более того, (k+1)-я окружность прибавляет ровно 2k частей плоскости тогда и только тогда, когда она пересекает каждую из предыдущих окружностей в двух точках и все эти точки различны. Таким образом, n окружностей делят плоскость не более чем на  2 + (2 + 4 + 6 + ... + 2(n – 1)) = n(n – 1) + 2  части, причём равенство достигается, если каждая пара окружностей пересекается в двух точках и все эти точки пересечения различны (то есть никакие три окружности не проходят через одну точку). 
   Можно указать пример такой системы n окружностей: возьмём одну окружность, а все остальные получим из неё сдвигами на вектора a, 2a, ...,  (n – 1)a,  где a – достаточно малый по длине вектор (настолько малый, что первая и последняя окружности пересекаются в двух точках). 
На  n(n – 1) + 2  части.
Разные задачи на разрезания Индукция в геометрии Пересекающиеся окружности Перенос помогает решить задачу