Имеется пирог некоторой формы. Докажите, что его можно 
 разрезать на четыре равные по массе части двумя прямолинейными 
 перпендикулярными разрезами.


			
Можно переформулировать задачу следующим образом: на плоскости 
 дана некоторая фигура Ф площади S (для простоты можно предполагать, 
 что Ф - 
 многоугольник). Требуется найти две перпендикулярные прямые, 
 делящие Ф на 4 равные по площади части. 
 Вначале заметим, что для любого направления (или для любого вектора) 
 найдется прямая этого 
 направления, делящая площадь Ф пополам. 
 В самом деле, рассмотрим, например, горизонтальное направление. 
 Рассмотрим горизонтальную прямую, относительно которой Ф находится 
 в нижней полуплоскости. Начинаем непрерывно сдвигать прямую вниз 
 пока Ф не окажется целиком в верхней полуплоскости относительно 
 прямой. Площадь той части Ф, которая находится выше прямой, 
 изменяется при этом непрерывно от 0 до S, следовательно, в 
 некоторый момент эта площадь будет равна  S/2. 
 Итак, каждому единичному вектору a сопоставляется прямая l(a), 
 делящая площадь Ф пополам. 
 Выберем некоторый вектор a и обозначим за b вектор, который получается 
 из a поворотом на 900. 
 Рассмотрим прямые l(a) и l(b), удобно принять эти прямые соответственно 
 за оси Ox и Oy прямоугольной системы координат. Положительное направление 
 на этих осях выберем вдоль векторов a и b. Обозначим через 
 S1, S2, S3, S4 
 площади частей фигуры Ф, находящиеся  соответственно в первом, 
 втором, третьем и четвертом квадрантах. 
 Имеем: S1+S2=S3+S4 и 
 S1+S4=S2+S3. 
 Складывая и вычитая уравнения, получаем, что 
 S1=S3  и S2=S4, 
 а поскольку 
 S1+S2+S3+S4=S, 
 найдется такое число d ("дефект"), что 
 S1=S3=S/4-d  и 
 S2=S4=S/4+d. 
 Теперь будем непрерывно вращать вектор a (и соответственно вектор b) 
 и для каждого положения вычислять "дефект" d (который зависит от 
 положения вектора a). При непрерывном вращении вектора a прямые 
 l(a), l(b)  меняются непрерывно, соответственно площади частей, на 
 которые эти прямые делят Ф, меняются непрерывно. 
 Отсюда следует и непрерывное изменение "дефекта" d. 
 Для начального положения вектора a "дефект" равен d. 
 Когда a повернулся на 900 и совпал с вектором b, 
 "дефект" стал равен -d. Значит, для некоторого положения вектора a 
 "дефект" равен 0. Соответствующие прямые l(a) и l(b) разделят Ф на 
 равновеликие части.
			
Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) Соображения непрерывности Поворот на 90∘ Поворот помогает решить задачу Разные задачи на разрезания