Даны 10 чисел – одна единица и 9 нулей. Разрешается выбирать два числа и заменять каждое из них их средним арифметическим. 
Какое наименьшее число может оказаться на месте единицы? 
   Докажем индукцией по k следующее утверждение: если в некоторый момент среди чисел имеется ровно k отличных от нуля, то каждое из этих чисел не меньше 21–k.  
   База. Для  k = 1  это верно, так как после первой же нетривиальной операции появятся по крайней мере два ненулевых числа, а в дальнейшем число ненулевых чисел не уменьшается. 
   Шаг индукции. Пусть в некоторый момент имеется  k + 1  ненулевое число. Рассмотрим последовательность операций, в результате которой эти числа появились. В этой последовательности операций найдем последний момент, когда было ровно k ненулевых чисел. По предположению индукции каждое из этих чисел не меньше чем 21–k. При следующей операции один ноль и одно ненулевое число заменили на их среднее. После этого каждое из этих чисел стало не меньше чем 2–k. В дальнейшем в результате операций только с ненулевыми числами минимум ненулевых чисел не увеличивается. 
   Поскольку у нас всего 10 чисел, то каждое из них не меньше чем  2–9 = 1/512.  
   С другой стороны, нетрудно привести пример выполнения операций, при котором из единицы получается 1/512. Заменим  единицу и один из нулей на ½ и ½, затем заменим ½ и другой ноль на ¼ и ¼ и т.д.; в конечном итоге получаем из единицы 1/512. 
Средние величины Процессы и операции Полуинварианты Индукция (прочее)