Круг радиуса 1 покрыт семью одинаковыми кругами. Докажите, что их радиусы не меньше ½. 
Рассмотрим круги радиуса меньше ½ (будем называть их маленькими), которые покрывают границу большого круга радиуса 1. Докажем, что таких кругов не меньше семи. Как известно, в окружности радиуса 1 дуга, стягиваемая хордой длины 1, имеет градусную меру 60°. Рассмотрим дуги окружности радиуса 1, высекаемые маленькими кругами. Поскольку хорды, стягивающие эти дуги, не превосходят 1, градусная мера каждой из этих дуг меньше 60°. Так как градусная мера всей окружности равна 360°, то шести маленьких кругов не хватит для покрытия границы большого круга. Кроме кругов, покрывающих границу, потребуется
ещё один маленький круг для покрытия центра большого круга: расстояние от точки на границе большого круга до его центра больше диаметра маленького круга. Таким образом, для покрытия большого круга требуется не менее восьми маленьких кругов.

Покрытия Связь величины угла с длиной дуги и хорды