Сумма двух натуральных чисел равна 201. Докажите, что произведение этих чисел  
не может делиться на 201.
Пусть данные числа – a и b. Тогда  a + b = 201.  Рассмотрим произведение ab. Предположим, что ab делится на  201 = 3·67.  Тогда либо a, либо b кратно 3. Но если a делится на 3, то  b = 201 – a  также делится на 3, и наоборот. Таким образом, оба числа a и b кратны 3. Аналогично доказывается, что оба числа a и b делятся на 67. Итак, каждое из чисел a, b делится на  3·67 = 201.  Но тогда каждое из них не меньше 201, и сумма не может равняться 201. 
Делимость чисел. Общие свойства Классические неравенства (прочее)