Несколько отрезков покрывают отрезок  [0, 1]. 
Докажите, что среди них можно выбрать несколько непересекающихся отрезков, сумма длин которых не меньше ½. 
   Используем индукцию по числу отрезков, покрывающих отрезок  [0, 1].   
   База. Для покрытия одним отрезком утверждение очевидно. 
   Шаг индукции. Пусть отрезок  [0, 1]  покрыт  n + 1  отрезком. Если среди них имеется отрезок, который покрыт остальными, то выкинем его из покрытия и воспользуемся предположением индукции.  
   Пусть таких отрезков нет. Обозначим отрезки  Ii = [ai, bi]  так, что  a1 <  a2 < ... < an.  Тогда  bi < bi+1  для каждого i. С другой стороны,  bi < ai+2,  иначе отрезки Ii и Ii+2 покрывали бы отрезок Ii+1.  Значит, отрезки с нечётными номерами попарно не  пересекаются, как и отрезки с чётными номерами. Поскольку все отрезки образуют покрытие отрезка  [0, 1],  либо сумма длин отрезков с чётными номерами, либо сумма длин отрезков с нечётными номерами не меньше ½. Тем самым найдена искомая система непересекающихся отрезков. 
Покрытия Индукция (прочее) Системы отрезков, прямых и окружностей