Можно ли найти 57 различных двузначных чисел, чтобы сумма никаких
двух из них не равнялась 100?
			
Предположим, что такие 57 двузначных чисел выбрать можно. Тогда из каждой пары вида (n, 100-n), где n принимает значения от 10 до 49, выбрано не более одного числа; таких пар - 40, значит, из чисел от 10 до 90 выбрано не более 41 числа (могло быть выбрано также и число 50). Остается еще 9 чисел от 91 до 99; значит, всего выбрано не более 50 чисел, но мы предположили, что выбрано 57 чисел, - противоречие. Значит, наше предположение было неверно.
Нет, нельзя.
Принцип Дирихле (прочее) Разбиения на пары и группы; биекции Десятичная система счисления