Известно, что некоторый многочлен в рациональных точках принимает рациональные значения. 
Докажите, что все его коэффициенты рациональны.
   Индукцией по n докажем более сильное утверждение: 
       если многочлен степени n принимает рациональные значения в  n + 1  рациональной точке, то его коэффициенты рациональны. 
   База. Для любого многочлена нулевой степени (константы) утверждение очевидно. 
   Шаг индукции. Пусть многочлен P(x) степени n принимает рациональные значения в рациональных точках x0, x1, ..., xn. По теореме Безу (см. задачу 60965) 
       P(x) – P(x0) = (x – x0)Q(x),       (*)  
где Q(x) – некоторый многочлен степени  n – 1.  Значения в точках x1, ..., xn рациональны:      Согласно предположению индукции все коэффициенты многочлена Q(x) рациональны. Раскрывая скобки в равенстве (*), получаем, что и все коэффициенты многочлена P(x) рациональны. 
Свойства коэффициентов многочлена Рациональные и иррациональные числа Целочисленные и целозначные многочлены Индукция (прочее) Интерполяционный многочлен Лагранжа Интерполяционный многочлен Ньютона