В классе 30 учеников. Докажите, что вероятность того, что у каких-нибудь двух учеников совпадают дни рождения, составляет больше 50%.
   Докажем, что вероятность того, что ни у каких двух учеников не совпадают дни рождения, меньше ½.
   Упорядочим учеников. Вероятность того, что второй ученик не родился в один день с первым, равна 364/365 (мы опускаем тонкости, связанные с тем, что днем рождения может быть 29 февраля). Вероятность того, что третий не родился в один день с первым или с вторым, равна 363/365, ..., вероятность того, что день рождения тридцатого не совпал с остальными 29 днями рождения, равна 336/365. Поэтому      Можно убедиться (вычислением на компьютере), что p гораздо меньше ½.
   Также можно предложить грубые оценки p.
Числовые неравенства. Сравнения чисел. Классические неравенства Дискретное распределение