Назовем крокодилом шахматную фигуру,
  ход которой заключается в прыжке на m клеток по вертикали или по
  горизонтали, и потом на n клеток в перпендикулярном направлении.
  Докажите что для любых m и n можно так
  раскрасить бесконечную клетчатую доску в 2 цвета (для каждых
  конкретных m и n своя раскраска),
  что всегда 2 клетки, соединенные одним ходом крокодила,
  будут покрашены
  в разные цвета.


			
Предположим сначала, что числа m и n взаимно простые.
  Рассмотрим два случая. Первый случай: числа m и n
  разной чётности, т. е. одно чётное, а другое нечётное.
  Тогда искомой будет обычная шахматная раскраска.
  Второй случай: числа m и n оба нечётные.
  Тогда раскрашивать доску нужно полосами шириной в одну клетку,
  чередуя цвета полос.

  Пусть теперь m и n имеют наибольший общий делитель d > 1.
  Разобьем доску на квадратные блоки размером
  d*d клеток. Будем закрашивать доску блоками,
  считая каждый такой блок за отдельную клетку, для случая хода
  крокодила на m/d клеток в одном направлении,
  и на n/d клеток - в перпендикулярном. Поскольку числа m/d и
  n/d взаимно простые, мы это делать уже умеем.
			
Вспомогательная раскраска