В окружность вписан треугольник ABC. Точка P пробегает дугу ACB.  
Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей  
всевозможных треугольников ABP.


			
Пусть I - центр вписанной окружности треугольника ABP.  
Тогда PI - биссектриса угла APB.  
Продолжим биссектрису до пересечения с описанной окружностью  
треугольника ABP в точке M. Точка M является серединой дуги AB,  
так как вписанные углы APM и BPM равны. В частности, M не зависит  
от положения точки P.  
Заметим, что AI и BI - биссектрисы соответственно углов PAB и PBA.  
Поэтому можно обозначить углы API и BPI за p,  
углы PAI и BAI за a, углы PBI и ABI за b.  
  
Угол AIM - внешний для треугольника AIP, отсюда угол AIM равен  
a+p.  
  
Далее, углы BAM и BPM вписанные и опираются на одну и ту же дугу,  
следовательно, они равны, т.е. угол BAM равен p.  
Угол IAM равен сумме углов BAI и BAM, т.е. равен a+p.  
Таким образом, углы AIM и IAM равны a+p. Следовательно,  
треугольник AIM равнобедренный (MI=MA), значит точка I лежит на  
дуге окружности с центром в точке M и радиусом MA.  
  
Наоборот, если I - любая точка дуги  
окружности с центром в точке M и радиусом MA, лежащей внутри  
данной окружности, то строим точку P на пересечении MI с  
окружностью и рассуждениями, обратными к приведенным, убеждаемся,  
что  
I - центр вписанной окружности треугольника ABP.  
  
Итак, искомое геометрическое место - указанная дуга окружности.
			
ГМТ - окружность или дуга окружности Вписанный угол (прочее)