Имеются 100 бесконечных геометрических прогрессий, каждая из которых состоит из натуральных чисел. 
Всегда ли можно указать натуральное число, которое не содержится ни в одной из этих прогрессий? 
   Пусть q – знаменатель прогрессии a1,  
a2, ..., где все ai – натуральные числа. Тогда  q = a2/a1  – число рациональное. Пусть q – нецелое, то есть  q = k/m,  где числа k и m – взаимно просты и  m > 1.  Тогда можно найти такую степень t, что a1 не 
делится на mt. При этом число  at+1 = a1ktm–t  не является целым. Это противоречие показывает, что q – натуральное число.  
   Теперь понятно, что в каждой геометрической прогрессии никакой член, на исключением первого, не может быть простым числом. Таким образом, 100 геометрических прогрессий могут покрыть не более 100 простых чисел из натурального ряда. Поскольку простых чисел бесконечно много, какое-то простое число не принадлежит ни одной из прогрессий. 
Всегда. 
Геометрическая прогрессия Простые числа и их свойства