Стороны треугольника равны a, b, c. Известно, что  
 a3=b3+c3.  
 Докажите, что этот треугольник остроугольный.  
   
 


			
Из равенства  
 a3=b3+c3  
 следует, что a - наибольшая сторона в данном треугольнике.  
 Поскольку против большей стороны лежит больший угол, достаточно  
 доказать, что угол, лежащий против стороны a - острый.  
 Предположим противное.  
 Тогда по теореме косинусов  
 a2=b2+c2-2bc*cos(A),  
 где A - угол против стороны a. Поскольку угол A неострый,  
 cos(A) неположителен, отсюда  
 a2 не меньше, чем b2+c2.  
 Следовательно,  
 a3 не меньше, чем ab2+ac2,  
 что в свою очередь больше  
 b3+c3, так как a - наибольшая сторона.  
 Итак, из предположения, что данный треугольник неостроугольный, мы  
 вывели, что  
 a3>b3+c3, а это противоречит условию.  
 
			
Неравенства для остроугольных треугольников Теорема косинусов