На бесконечной шахматной доске через каждые три клетки по 
горизонтали и по вертикали стоит фишка. Можно ли обойти конем 
оставшуюся часть доски, побывав при этом на каждом поле ровно один 
раз?


			
Предположим, что фишки расставлены на черных полях (см. 
картинку). 
Рассмотрим достаточно большой квадрат (4N-3)*(4N-3) 
(значение N уточним позже), в углах которого расставлены фишки, 
а также квадрат 
размером (4N+1)*(4N+1), полученный из квадрата (4N-3)*(4N-3) 
расширением на 2 клетки в каждую сторону. 
Число белых полей в квадрате (4N-3)*(4N-3) равно A(N) = ((4N-3)*(4N-3)-1)/2 = 
8N2-12N+4. 
Если бы конь обошел все не занятые фишками поля, то 
с каждого белого поля квадрата (4N-3)*(4N-3) он бы пошел на одно из 
черных полей квадрата (4N+1)*(4N+1), не занятых фишками 
(причем все эти черные поля должны быть различны). 
Всего внутри этого квадрата N2 полей заняты фишками, 
поэтому число незанятых черных полей равно 
B(N) = ((4N+1)*(4N+1)+1)/2-N2 = 7N2+4N+1. 
 
Итак, если конь обошел оставшуюся часть доски, то B(N) должно 
быть не меньше, чем A(N). 
Однако при N>16 
имеем: 
 
A(N)-B(N) = N2-16N+3 = N(N-16)+3 > 0. 
 
Таким образом, мы получили противоречие, показывающее, что искомый 
обход конем бесконечной доски невозможен.
			
нельзя.  
			
Комбинаторная геометрия (прочее) Разбиения на пары и группы; биекции