Решите в натуральных числах уравнение  3x + 4y = 5z. 
Правая часть при делении на 3 должна давать тот же остаток, что и левая, то есть 1. Поэтому z чётно. Аналогично левая часть делится на 4 с остатком 1, поэтому x тоже чётно. Итак,  4y = 5z – 3x = 52u – 
32v, то есть  22y = (5u – 3v)(5u + 3v).  Обе скобки справа являются степенями двойки. Пусть 
 5u – 3v = 2k  и 
5u + 3v = 2l,  где  k, l ≥ 0  и  k + l = 2y.  Тогда 
 5u = ½ (2k + 2l)  и  3v = ½ (2l – 2k).  Поэтому  l > k,  значит,  2l делится на 4, а 2k – не делится,  то есть  k = 1,  2k = 2 
и  3v = 2l–1 – 1.  Отсюда следует, что число  l – 1  чётно,  l – 1 = 2s.  Тогда  3v = (2s – 1)(2s + 1)  – произведение двух чисел, отличающихся на 2 и являющихся степенями тройки. Следовательно, эти множители – 1 и 3. Значит,  s = 1,  l = 3,  2y = 4. 
(2, 2, 2). 
Уравнения в целых числах Арифметика остатков (прочее) Разложение на множители