"Крокодилом" называется фигура, ход которой заключается в прыжке на клетку, в которую можно попасть сдвигом на одну клетку по вертикали или горизонтали, а затем на N клеток в перпендикулярном направлении (при  N = 2  "крокодил" – это шахматный конь). 
При каких N "крокодил" может пройти с каждой клетки бесконечной шахматной доски на любую другую? 
   Будем считать, что рассматриваемая бесконечная шахматная доска,
как и обычная, раскрашена в белый и чёрный цвета в шахматном порядке. Тогда при нечётном N "крокодил" будет ходить только по клеткам одного цвета, и, тем самым не может пройти на любую клетку. 
   Докажем, что при чётном N "крокодил" может пройти с
каждой клетки на любую. Достаточно доказать, что он может пройти с любой клетки на соседнюю (смежную по стороне). Покажем, например, как пройти из клетки в соседнюю с ней сверху. Первым ходом ходим на одну клетку вправо и N клеток вверх, а вторым – на одну вправо и N вниз. Так мы окажемся на две клетки правее исходной. Повторив эту пару ходов N/2 раз, мы окажемся на N клеток правее исходной. Теперь пойдем на одну клетку вверх и N влево. 
Шахматная раскраска Четность и нечетность Шахматные доски и шахматные фигуры Теория алгоритмов (прочее)