Автор: Фольклор
Найти количество нечётных чисел в n-й строке треугольника Паскаля. 
Рассмотрим над полем Z2 из двух элементов многочлен 
 (1 + x)n.  Нас интересует число его отличных от нуля коэффициентов (назовём это число весом многочлена). Действительно, коэффициент при xk равен 1, если    нечётно, и нулю в противном случае. Заметим, теперь, что над нашим полем 
(1 + x)² = 1 + x²,  (1 + x)4 = (1 + x²)² = 1 + x4,  ...,    (1 + x)2m = 1 + x2m.  Кроме того, если f(x) – многочлен степени, меньшей m, то вес многочлена  f(x)(1 + xm)  в два раза больше веса  f(x) (при раскрытии скобок не появляется подобных членов). Отсюда ясно, что если 
n = 2m1 + 2m2 + ... + 2mk  (m1 < m2 < ... < mk)  – двоичное разложение числа n, то вес многочлена  
(1 + x)n = (1 + x)2m1(1 + x)2m2... = (1 + x2m1)(1 + x2m2)...  равен 2k.

Треугольник Паскаля и бином Ньютона Четность и нечетность