Найдите максимальное значение выражения  |...||x1 – x2| – x3| – ... – x1990|,  где x1, x2, ..., x1990 – различные натуральные числа от 1 до 1990. 
   Оценка. Заметим, что модуль разности двух неотрицательных чисел не больше их максимума. Поэтому  |x1 – x2| ≤ max{x1, x2},
||x1 - x2| – x3| ≤ max{x1, x2, x3},  
|...||x1 – x2| – 
x3| – ... – x1990| ≤ max{x1, x2, ..., x1990}.  Данное выражение не может равняться 1990, поскольку чётность этого выражения совпадает с чётностью суммы  x1+x2 + ... + x1990 = 1 + 2 + ... + 1990,  а эта сумма содержит 995 нечётных слагаемых. 
   Пример. Заметим, что  ||||4k + 2| – (4k + 4)| – (4k + 5)| – (4k + 3)| = 0.  Поэтому 
|...|||2 – 4| – 5| – 3| – ... – (4k + 2)| – (4k + 4)| – (4k + 5)| – (4k + 3)| – ... – 1986| – 1988| – 1989| – 1987| – 1990| – 1| = ||0 – 1990| – 1| = 1989. 
1989. 
Модуль числа Четность и нечетность Разбиения на пары и группы; биекции Примеры и контрпримеры. Конструкции