Может ли сумма  1 + 2 + 3 + ... + (n – 1) + n  при каком-нибудь натуральном n оканчиваться цифрой 7? 
1 + 2 + 3 + ... + (n – 1) + n = ½ n(n + 1).  Чтобы это число оканчивалось на цифру 7, нужно, чтобы число  ½ n(n + 1) – 2 = ½ (n(n + 1) – 4)  делилось на 5, следовательно, число  n(n + 1) – 4 = n² + n + 1 – 5  должно делиться на 5. Но это не так (см. задачу 30606). 
Не может. 
Арифметика остатков (прочее) Арифметическая прогрессия