На окружности отмечено n точек, причём известно, что для каждых двух отмеченных точек одна из дуг, соединяющих их, имеет величину, меньшую 120°. Докажите, что все точки лежат на одной дуге величиной 120°. 
   Среди всех  дуг (меньших 180°), соединяющих пары отмеченных точек, выберем наибольшую по величине дугу AB; по условию её величина меньше 120°. Пусть A' и В' – точки, диаметрально противоположные точкам A и B. Окружность разбивается на четыре дуги: AB, BA', A'B' и B'A. Никакая отмеченная точка C не лежит на дуге BA', иначе величина  ⌣AC > ⌣AB  вопреки выбору дуги AB. Аналогично никакая отмеченная точка не лежит на дуге B'A.  
   Пусть отмеченная точка C лежит на дуге A'B'. Тогда окружность разбивается на три дуги AB, BC, CA, меньшие 180°. Сумма величин этих трёх дуг равна 360°, поэтому хотя бы одна из этих дуг имеет величину, не меньшую  360° : 3 = 120°  вопреки условию. 
   Следовательно, все отмеченные точки расположены на дуге AB. 
Комбинаторная геометрия (прочее) Наименьший или наибольший угол Принцип Дирихле (углы и длины)