За круглым столом совещались 2n депутатов. После перерыва эти же 2n депутатов расселись вокруг стола, но уже в другом порядке.
Доказать, что найдутся два депутата, между которыми как до, так и после перерыва сидело одинаковое число человек. 
   Занумеруем депутатов числами  1, 2, ..., 2n  в том порядке (по часовой стрелке), в котором они сидели до перерыва; таким же образом пронумеруем места за столом. Обозначим через ai количество мест, на которое сдвинулся i-й депутат по часовой стрелке после перерыва. Таким образом, каждое из чисел  a1, a2, ..., a2n  принимает некоторое значение из множества  {0, 1, ..., 2n – 1}.
   Если некоторые два депутата сдвинулись после перерыва на одинаковое число мест, то между ними как до, так и после перерыва сидело одинаковое число человек, то есть утверждение задачи выполнено. 
   В противном случае числа  a1, a2, ...,  a2n  образуют перестановку чисел  0, 1, ..., 2n – 1.  Число  i + ai  сравнимо по модулю 2n с номером места, на которое сел после перерыва i-й депутат. Поскольку после перерыва каждое из 2n мест снова занято одним из депутатов, сумма  (1 + a1) + (2 + a2) + ... + (2n + a2n)  сравнима по модулю 2n с суммой номеров всех мест  1 + 2 + ... + 2n.  Отсюда следует, что сумма  a1 + a2 + ... + a2n  делится на 2n. Однако 
a1 + a2 + ... + a2n = 0 + 1 + 2 + ... + (2n – 1) = n(2n – 1),  что не делится на 2n. Противоречие. 
Принцип Дирихле (прочее) Деление с остатком Перестановки и подстановки (прочее) Четность и нечетность