На столе - куча из 1001 камня. Ход состоит в том, что из  
 какой-либо кучи, содержащей более одного камня, выкидывают камень,  
 а затем одну из куч делят на две.  
 Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучки,  
 состоящие из трех камней?  
   
 


			
Заметим, что при выполнении одного хода  
 число камней на столе уменьшается на 1, а число кучек  
 увеличивается на единицу.  
 Таким образом, при выполнении хода или нескольких ходов  
 сумма числа камней и числа кучек остается  
 постоянной, равной 1002 (так как вначале число кучек было равно 1,  
 а число камней - 1001).  
 Если бы в конце концов мы получили n кучек по 3 камня,  
 то в этот момент число камней на столе было  бы равным 3n,  
 и следовательно,  
 сумма числа камней и числа кучек была бы равна 3n+n=4n.  
 Но ни при каком натуральном n число 4n не может быть равно 1002,  
 так как 1002 не делится на 4. Тем самым, получено противоречие,  
 доказывающее, что требуемое в условии задачи не возможно.
			
нельзя.   
			
Теория алгоритмов (прочее) Инварианты