На плоскости дана окружность S и фиксирована некоторая дуга AСB
 (С - точка на дуге AB)
 этой окружности. Некоторая окружность S' касается хорды AB в точке P и
 дуги
 ACB в точке Q. Докажите, что прямые PQ проходят через
 фиксированную точку плоскости независимо от выбора окружности S'.


			
Пусть D - середина дуги AB окружности S, дополнительной к дуге
 ACB. Покажем, что прямая PQ всегда проходит через точку D.
 Поскольку окружности S и S' касаются в точке Q, существует
 гомотетия с центром в Q, переводящая окружность S' в окружность S.
 При этой гомотетии точка P перейдет в некоторую точку P'
 дуги ADB окружности S, лежащую на прямой PQ.
 Кроме того, касательная к окружности S, проведенная в точке P',
 должна быть параллельна касательной к окружности S', проведенной в
 точке P (т.е. хорде AB).
 Единственная точка на дуге ADB окружности S, касательная в которой
 параллельна хорде AB - это точка D.
 Поэтому P' совпадает с D, тем самым, утверждение задачи доказано.
			
Гомотетичные окружности Инверсия помогает решить задачу