Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют равенству  ab = cd.  Докажите, что число  a2000 + b2000 + c2000 + d2000   составное. 
Поскольку ab делится на c, число c можно представить в виде  c = uw,  где u – делитель a, a w – делитель b (в качестве u можно взять, например, НОД(a, с)).  Тогда  a = uv,  b = wt,  где v и t – натуральные числа, и поэтому  d = vt.  Отсюда a2000 + b2000 + c2000 + d2000 = (uv)2000 + (wt)2000 + (uw)2000 + (vt)2000 = (u2000 + t2000)(v2000 + w2000). 
Делимость чисел. Общие свойства Разложение на множители