Радиус вписанной окружности треугольника равен 1. Докажите, что  
наименьшая высота этого треугольника не превосходит 3.


			
Пусть r=1 - радиус окружности, вписанной в данный треугольник,  
a, b, c - длины его сторон, причем a - наибольшая из сторон. 
Обозначим также за ha, hb, hc  
длины высот, опущенных соответственно на стороны a, b, c. 
Запишем выражение для площади S треугольника. 
С одной стороны, S=(a+b+c)r/2. 
С другой стороны, S=aha/2. 
Отсюда следует равенство ha/r=(a+b+c)/a=1+b/a+c/a. 
Так как a - наибольшая сторона, то каждое из выражений b/a, c/a не превосходит 1. 
Таким образом, ha=ha/r не превосходит 3, 
что и требовалось доказать.
			
Площадь треугольника (через высоту и основание) Подсчет двумя способами Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)