В выпуклом четырехугольнике найдите точку,  
 для которой сумма расстояний до вершин   
 минимальна.  
   
 


			
Пусть данный четырехугольник - ABCD, а   
 O - некоторая точка.  
 Сумма OA+OC не меньше, чем AC, согласно  
 неравенству треугольника,  
 причем равенство достигается в том и только в том случае,  
 когда точка O лежит на диагонали AC.  
 Аналогичным образом,  
 сумма OB+OD не меньше, чем BD,  
 причем равенство достигается в том и только в том случае,  
 когда точка O лежит на диагонали BD.  
 Итак, сумма OA+OB+OC+OD не меньше, чем  
 AC+BD, причем равенство достигается  
 тогда и только тогда, когда O  
 лежит одновременно на диагоналях AC и BD,  
 т.е. совпадает с точкой пересечения диагоналей   
 четырехугольника ABCD.
			
искомая точка - точка пересечения диагоналей.  
			
Четырехугольники (экстремальные свойства) Неравенство треугольника (прочее)