Докажите, что система неравенств   
 |x|<|y-z|,  |y|<|z-x|, |z|<|x-y|   
 не имеет решений.  
   
 


			
Рассмотрим две возможности.  
 Если все числа одного знака, то выберем наибольшее по модулю  
 из чисел x, y, z. Пусть это число  - x.  
 Но тогда величина |y-z| не превосходит максимума из чисел  
 |y|, |z|, что в свою очередь не превосходит |x|.  
 Таким образом, неравенство  
 |x|<|y-z| не выполнено.  
 Пусть не все числа одного знака, скажем, знаки  чисел y и z  
 одинаковы и отличны от знака числа x.  
 Пусть, для определенности, |y| не меньше, чем |z|.  
 Тогда на числовой прямой точки 0 и z расположены между точками x и  
 y. Поэтому можно записать равенство  
 |x|+|y|=|x-z|+|z-y|  
 (обе части этого равенства равны |x-y|).  
 Из полученного равенства следует, что одновременно не могут  
 выполняться неравенства  
 |x|<|y-z|,  |y|<|z-x|.
			
Модуль числа Перебор случаев