На доске написано 10 натуральных чисел. Докажите, что из этих чисел можно выбрать несколько чисел и расставить между ними знаки "+" и "–" так, чтобы полученная в результате алгебраическая сумма делилась на 1001.  
Рассмотрим всевозможные суммы нескольких из выписанных чисел. Количество таких сумм будет равно  210 = 1024  (мы учитываем пустую сумму). Согласно принципу Дирихле некоторые две из этих сумм S1 и S2 дают одинаковый остаток при делении на 1001. Разность этих сумм  S1 – S2  делится на 1001 и представляет собой сумму нескольких данных чисел со знаками "+" или "–".
Принцип Дирихле (прочее) Деление с остатком Правило произведения