Какую наименьшую сумму цифр может иметь число вида  3n² + n + 1  при натуральном n? 
При  n = 8  сумма цифр числа  3n² + n + 1  равна 3. Убедимся, что меньше сумма цифр быть не может. Действительно, число  3n² + n + 1  нечётно и больше 1, поэтому сумма его цифр не может быть равна 1. Если она равна 2, то это число должно иметь вид  10k + 1,  тогда  3n² + n = (3n + 1)n = 10k.  Числа  3n + 1  и n взаимно просты, следовательно либо меньшее из них (n) равно 1, а  3n + 1 = 10k,  либо  n = 2k,  а  3n + 1 = 5k.  Первый случай, как легко проверить, невозможен. Во втором случае значения  k = 0, 1  легко проверить непосредственно, а при  k ≥ 2  получаем, что  5k2–k > (5/2)2 > 4 > 3n+1/n. 
3.
Уравнения в целых числах Десятичная система счисления Разложение на множители Четность и нечетность