Натуральный ряд 1, 2, 3, ... разбит на несколько (конечное число) арифметических прогрессий. 
Докажите, что хотя бы у одной из этих прогрессий первый член делится на разность. 
Обозначим через a1, a2, ..., an первые члены прогрессий, на которые разбит натуральный ряд, через d1, d2, ..., dn – их разности. Произведение всех разностей d1d2...dn входит в одну из прогрессий (пусть i – номер этой прогрессии). Это означает, что для некоторого целого неотрицательного k выполнено равенство d1d2...dn = ai + kdi.  Из этого равенства следует, что ai делится на di. 
Арифметическая прогрессия Делимость чисел. Общие свойства