Докажите, что центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпадает с серединой гипотенузы. 
Первый способ. Пусть M – середина катета AC прямоугольного треугольника ABC, Q – точка пересечения серединного перпендикуляра к катету BC с гипотенузой AB. По теореме Фалеса Q – середина гипотенузы AB, то есть  QA = QB.  Аналогично  QC = QA.  Следовательно, Q – центр описанной окружности треугольника ABC.

Вписанные и описанные окружности Медиана, проведенная к гипотенузе Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках