Рассмотрим все натуральные числа, 
 в десятичной записи которых отсутствует ноль. 
 Докажите, что сумма обратных величин любого количества из 
 этих чисел не превосходит некоторого числа C.


			
Зафиксируем некоторое натуральное k. 
 Рассмотрим все k-значные натуральные числа, в десятичной записи 
 которых нет нуля. 
 Каждое из этих чисел не меньше, чем 10k-1. 
 Найдем количество этих чисел. В первом разряде может стоять любая 
 цифра от 1 до 9, во втором разряде - тоже независимо от первого, 
 и т.д. - всего 9k чисел. 
 Таким образом, сумма обратных величин  Sk всех этих чисел 
 не превосходит 9k/10k-1. 
 Если рассмотреть любое конечное множество M чисел, не содержащих 
 ноль в десятичной записи, то сумма обратных величин этих чисел 
 не превосходит суммы 
 S1+S2+...+Sn, где n - количество 
 цифр у максимального числа из множества M. 
 Таким образом, сумма обратных величин чисел множества M не 
 превосходит суммы убывающей геометрической прогрессии 
 9+92/10+...+9n/10n-1+... = 
  9/(1-9/10) = 90.
			
Геометрическая прогрессия Десятичная система счисления