Даны 20 различных натуральных чисел, меньших 70.  
 Докажите, что среди их попарных разностей найдутся четыре одинаковых.  
   
 


			
Обозначим числа через  
 a1, a2, ... , a20  
 в порядке возрастания, таким образом  
 a1<a2<...<a20.  
 Допустим, что условие задачи не выполняется.  
 Тогда среди 19 разностей  
 d1=a2-a1,  
 d2=a3-a2, ... ,  
 d19=a20-a19  
 не больше трех разностей принимают значение 1,  
 не больше трех разностей принимают значение 2, и т.д.  
 Отсюда можно сделать вывод о том, что сумма всех  
 19 разностей  
 d1+d2+...+d19 =  
 a20-a1  
 не меньше, чем (1+1+1)+(2+2+2)+(3+3+3)+(4+4+4)+(5+5+5)+(6+6+6)+7=70.  
 Однако разность a20-a1,  
 очевидно, меньше 70, так как числа a20 и a1  -  
 натуральные, меньшие 70.  
 Полученное противоречие доказывает справедливость утверждения  
 задачи.
			
Последовательности (прочее) Доказательство от противного