В банде 50 бандитов.  Все вместе они ни в одной разборке ни 
 разу  не участвовали, а каждые двое  встречались на разборках 
 ровно по разу.  Докажите, что один из бандитов был 
 не менее, чем на восьми разборках.


			
Допустим  противное. Выберем бандита А. Он участвовал не 
 более, чем в 7 разборках, причем  
 каждый из оставшихся бандитов присутствовал 
 ровно на одной из этих разборок. 
 Всего бандитов (без бандита А) 49, поэтому хотя  бы  в 
 одной из разборок (обозначим ее через Р) участвовало не меньше 7 
 бандитов, всего же на этой разборке (вместе с А) участвовало не 
 меньше 8 бандитов. Возьмем бандита Б, не участвовавшего в 
 разборке Р. Он искомый, так как он участвовал в разборках со всеми 
 бандитами разборки Р, причем все эти разборки различны.  Действительно, 
 пусть Х и У - бандиты, участвовавшие в разборке Р, а 
 С  - разборка, в которой участвовали Б, Х и У.  
 Тогда Х и У участвовали в двух разборках Р и С,  
 что противоречит условию задачи.
			
Принцип Дирихле (прочее) Математическая логика (прочее)