Можно ли расставить во всех точках плоскости с целыми координатами 
натуральные числа так, чтобы каждое натуральное число стояло в какой-нибудь 
точке, и чтобы на каждой прямой, проходящей через две точки с целыми координатами, но не проходящей через начало координат, расстановка чисел была периодической?

Можно. 
НОД и НОК. Взаимная простота Процессы и операции Целочисленные решетки (прочее) Периодичность и непериодичность Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения