Пусть f(x) - некоторый многочлен, про который известно, что  
 уравнение f(x)=x не имеет корней.  
 Докажите, что тогда и уравнение f(f(x))=x  не имеет корней.  
   
 


			
Из условия следует, что уравнение f(x)-x=0 не имеет решений.  
 Поскольку  f(x)-x - непрерывная функция, то она либо всюду  
 положительна, либо всюду отрицательна, иначе она бы в некоторой точке  
 принимала значение 0 (по теореме о промежуточном значении).  
 Пусть f(x)-x всюду положительна. Это значит, что для любого x  
 выполнено неравенство f(x)>x.  
 Пусть f(x)=y. Тогда f(f(x))=f(y)>y=f(x)>x.  
 Таким образом, при любом x f(f(x))-x>0, т.е. уравнение  
 f(f(x))=x не имеет корней.   
 Аналогичным образом, показываем, что  
 уравнение f(f(x))=x не имеет корней и в том случае, когда  
 для любого x выполнено неравенство f(x)<x.
			
Функции одной переменной. Непрерывность Итерации