На окружности радиуса 1 отмечено 100 точек. 
Докажите, что на окружности найдётся точка, сумма расстояний от которой до всех отмеченных точек будет не меньше 100. 
Пусть A1, A2, ... , A100 – отмеченные точки, O – центр окружности. Возьмём две диаметрально противоположные точки B и C. По неравенству треугольника  BAi + CAi ≥ BC = 2.  Сложив полученные оценки для всех точек A1, A2, ..., A100, получим  (BA1 + BA2 + ... + BA100) + (CA1  + CA2 + ... + CA100) ≥ 200 = 2·100.  Поэтому одна из скобок будет не меньше 100, то есть либо точка B, либо точка C обладает требуемым свойством. 
Неравенство треугольника (прочее) Системы точек Длины и периметры (геометрические неравенства)