На шахматной доске расставлены 8 ладей так, что они не бьют друг друга.  Докажите, что на полях чёрного цвета расположено чётное число ладей. 
   Первый способ. Пронумеруем все вертикали, начиная с самой левой, и все горизонтали, начиная с самой нижней, числами от 1 до 8. Тем самым каждой ладье приписывается пара "координат". Сумму этих координат назовем весом ладьи. На каждой вертикали и на каждой горизонтали стоит по одной ладье (поскольку ладьи не бьют друг друга), поэтому сумма S координат всех ладей равна  2·(1 + 2 + ... + 8),  то есть чётна. С другой стороны, чтобы вычислить сумму S, нужно просуммировать веса всех ладей. Однако вес ладьи, стоящей на чёрной клетке, чётен, а вес ладьи, стоящей на белой клетке, нечётен. Поскольку S чётно, то количество нечётных слагаемых-весов чётно, то есть число ладей на чёрных полях чётно. 
Подсчет двумя способами Четность и нечетность Шахматные доски и шахматные фигуры