Пусть p – простое число, большее 2, а  m/n = 1 + ½ + ⅓ + ... + 1/p–1.  Докажите, что m делится на p. 
Достаточно доказать это утверждение для несократимой дроби m/n. В сумме  1 + ½ + ⅓ + ... + 1/p–1  сгруппируем первое слагаемое с последним, второе – с предпоследним и т.д. Получим p–1/2 сумм вида  1/k + 1/p–k = p/k(p–k). При приведении суммы таких дробей к общему знаменателю в числителе останется число, кратное p, а в знаменателе –  (p – 1)!.  Поскольку p просто, оно не сократится при приведении к несократимому виду. 
Разбиения на пары и группы; биекции Делимость чисел. Общие свойства Обыкновенные дроби