Дана  последовательность чисел x1, x2, ... .  
 Известно, что 0<x1<1 и  
 xk+1=xk-xk2  
 для всех k>1.  
 Докажите, что  
 x12+x22+...+xn2<1  
 для любого n>1.  
   
 


			
Поскольку квадрат положительного числа, меньшего 1, меньше самого  
 числа, то из условия 0<x1<1 и рекуррентной формулы  
 последовательно получаем, что  
 0<x2<1, 0<x3<1, и т.д.  
 Далее, по условию  
 xk2=xk-xk+1, поэтому  
 выражение  
 x12+x22+...+xn2  
 можно переписать в виде  
 (x1-x2)+(x2-x3)+...+(xn-xn+1),  
 что равно x1-xn+1.  
 Так как x1<1 и xn+1>0, то  
 x1-xn+1 меньше 1, что и требовалось  
 доказать.
			
Рекуррентные соотношения