Дан приведенный квадратный трёхчлен  f(x) = x² + bx + c,  имеющий два различных корня. Обозначим за D его дискриминант  (D = b² – 4c).  Сколько корней имеет уравнение    
Пусть      x1, x2  (x1 < x2)  – корни уравнения  f(x) = 0.  Из формулы корней видно, что  x2 = x1 + d.  График функции  f(x – d) получается из графика функции f(x) сдвигом на d вправо вдоль оси Ox. Поэтому во-первых, x2 является корнем уравнения  f(x – d) = 0  (и следовательно, корнем уравнения 
f(x) + f(x – d) = 0),  а во-вторых, графики функций f(x) и  f(x – d)  симметричны относительно вертикальной прямой  x = x2),  и, значит, график функции 
f(x) + f(x – d)  также симметричен относительно этой прямой. Получаем, что квадратный трёхчлен  f(x) + f(x – d)  имеет нечётное число корней (одним из корней является x2, а остальные разбиваются на пары симметричных относительно x2). Так как квадратное уравнение имеет не более двух корней, то есть единственная возможность – уравнение  f(x) + f(x – d) = 0  имеет в точности один корень. 
Один корень. 
Исследование квадратного трехчлена Квадратные уравнения. Формула корней Симметрия помогает решить задачу