Натуральный ряд разбит на n арифметических прогрессий (каждое натуральное число принадлежит ровно одной из этих n прогрессий). Пусть d1, d2, ..., dn – разности этих прогрессий. Докажите, что   1/d1 + 1/d2 + ... + 1/dn = 1. 
Положим  N = d1d2...dn.  Возьмём N последовательных натуральных чисел, меньшее из которых больше всех первых членов n прогрессий. Тогда среди этих N чисел ровно N/d1 чисел принадлежат первой прогрессии, ровно N/d2 – второй, и т.д., ровно N/dn – n-й прогрессии. Поскольку каждое из этих N чисел принадлежит ровно одной прогрессии, отсюда следует нужное равенство.
Арифметическая прогрессия