Авторы: Николаев С.А., Ивлев Ф.
Дан правильный 4n-угольник A1A2...A4n площади S, причём  n > 1.  Найдите площадь четырёхугольника A1AnAn +1An+2.
A1 и A2n+1 – противоположные вершины многоугольника. Следовательно, диагональ A1A2n+1 проходит через центр O (см. рисунок). 
В силу равенства дуг A1An и An+2A2n+1 описанной окружности  A1A2n+1 || AnAn+2.  Значит, площади треугольников A1AnAn+2 и OAnAn +2 равны. Отсюда  SA1AnAn+1An+2 = SOAnAn+1An+2 = S/2n .
Правильные многоугольники Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой Перегруппировка площадей