Докажите, что у любой треугольной пирамиды найдется сечение,  
 имеющее форму ромба.  
   
 


			
Пусть ABCD - данная пирамида.  
 Рассмотрим плоскости П1 и П2,  
 каждая из которых параллельна прямым AB и CD, и кроме того,  
 П1 содержит AB и П2 содержит CD.  
 Таким образом, тетраэдр оказывается заключенным между  
 парой плоскостей П1 и П2.  
 Рассмотрим плоскость П, параллельную П1 и П2,  
 лежащую между ними и такую, что расстояния  
 h1 и h2 от П до  
 П1 и от П до П2 относятся как AB к CD.  
 Покажем, что П - искомая плоскость, пересекающая  
 пирамиду по ромбу.  
 Обозначим через P, Q, R, S точки пересечения плоскости П  
 соответственно с ребрами AC, CB, BD, DA пирамиды.  
 Тогда PQ и AB параллельны как прямые пересечения параллельных  
 плоскостей П1 и П с плоскостью ABC.  
 Аналогично, RS и AB параллельны. Следовательно,  
 PQ  и RS параллельны. Таким же образом, прямые QR и SP параллельны.  
 Отсюда следует, что четырехугольник PQRS - параллелограмм.  
 Далее, треугольники CPQ и CAB подобны с коэффициентом подобия  
 h2/(h1+h2), следовательно,  
 PQ=AB*h2/(h1+h2).  
 Также QR=BC*h1/(h1+h2).  
 Но по выбору плоскости П  
 AB/BC=h1/h2, откуда  
 PQ=QR. Тем самым, четырехугольник PQRS - ромб.
			
Стереометрия (прочее)