Автор: Шарыгин И.Ф.
В тетраэдре DABC  ∠ACB = ∠ADB,  ребро СD перпендикулярно плоскости АВС. В треугольнике АВС дана высота h, проведённая к стороне АВ, и расстояние d от центра описанной окружности до этой стороны. Найдите CD.
   Пусть в тетраэдре DABC точка Р – основание перпендикуляра, опущенного на прямую АВ из точки С, тогда по теореме о трёх перпендикулярах  DP ⊥ AB  (рис. слева).  Так как  ∠ACB = ∠ADB,  то равны и радиусы описанных окружностей граней ABC и ABD. Так как  СD ⊥ (АВС),  то эти грани не могут быть равными. 
   Рассмотрим треугольник АВС и треугольник АВD', 
равный треугольнику АВD, вписав их в одну окружность (рис. справа). 
Так как  ∠ACB = ∠AD'B,  то они расположены в одной полуплоскости относительно АВ. Кроме того, перпендикуляры, проведённые к прямой АВ из точек С и D', попадут в одну и ту же точку Р. 

Тетраэдр (прочее) Теорема Пифагора (прямая и обратная) Теорема о трех перпендикулярах Вспомогательные равные треугольники ГМТ - окружность или дуга окружности