Дан тетраэдр, у которого периметры всех граней равны между собой. 
Докажите, что сами грани равны между собой. 
   Обозначим длины рёбер одной из граней через a, b, c. Рёбра, скрещивающиеся с a, b, c обозначим соответственно через a', b', c'. 
Запишем равенство периметров граней, имеющих общее ребро a:  a + b + c = a + b' + c',  откуда  b + c = b' + c'.  Аналогично получаем  a + b = a' + b',  c + a = c' + a'.  Из этих трёх уравнений выводим:  b – b' = c' – c = a – a' = b' – b.  Таким образом,  b' – b = b – b',  откуда следует, что b = b'.  Аналогично  a = a'  и  c = c'.  Значит, пары скрещивающихся рёбер тетраэдра равны, и тетраэдр является равногранным. 
Тетраэдр (прочее) Системы линейных уравнений