На плоскости отмечено 2000 точек. Можно ли провести прямую, по каждую сторону от которой лежит 1000 точек? 
Рассмотрим все прямые, соединяющие пары данных точек. Возьмём некоторую прямую l, которая не перпендикулярна ни одной из этих прямых. Введём на плоскости систему координат так, чтобы прямая l являлась осью Ox. Обозначим абсциссы данных точек в порядке возрастания x1, x2, ..., x2000 (эти числа различны в силу выбора прямой l). Проведём прямую, заданную уравнением  x = a,  где  a ∈ (x1000, x1001).  Как легко видеть, по каждую сторону от неё лежит ровно 1000 точек. 
Можно. 
Системы точек Соображения непрерывности