Биллиард имеет форму выпуклого четырехугольника 
 ABCD. Из точки K стороны AB выпустили биллиардный шар, 
 который отразился в точках L, M, N от сторон BC, CD, DA,  
 возвратился в точку K и вновь вышел на траекторию 
 KLMN. Докажите, что четырехугольник ABCD можно  
 вписать в окружность.


			
По условию четырехугольник KLMN, вписанный в четырехугольник  
 ABCD, является замкнутой биллиардной траекторией. 
 Пользуясь тем, что угол падения равен углу отражения,  
 можно ввести следующие обозначения: 
 углы AKN и BKL обозначим за x, 
 углы BLK и CLM обозначим за y, 
 углы CML и DMN обозначим за z, 
 углы DMN и ANK обозначим за t. 
 Пользуясь тем, что сумма углов в треугольнике равна 1800, 
 из треугольников NAK, KBL, LCM, MDN получаем, что 
 угол DAB равен 1800-t-x, 
 угол ABC равен 1800-x-y, 
 угол BCD равен 1800-y-z, 
 угол CDA равен 1800-z-t. 
 Отсюда следует, что в четырехугольнике ABCD  
 сумма углов DAB  и BCD равна сумме углов 
 ABC и CDA (и равна 3600-t-x-y-z). 
 Поскольку сумма углов четырехугольника равна 3600, 
 то каждая из этих сумм равна 1800. 
 Итак, мы получаем, что в четырехугольнике ABCD  
 сумма противоположных углов равна 
 1800, следовательно, ABCD - вписанный четырехугольник, 
 что и требовалось доказать.
			
Вписанные четырехугольники (прочее) Сумма внутренних и внешних углов многоугольника