Докажите, что уравнение  a1 sin x + b1 cos x + a2 sin 2x + b2 cos 2x + ... + an sin nx + bn cos nx = 0  имеет хотя бы один корень при любых значениях a1, b1, a2, b2, ..., an, bn. 
Обозначим левую часть уравнения через f(x). Заметим, что    Поэтому функция f(x) на отрезке 
[0, 2π]  принимает как неположительные, так и неотрицательные значения. В силу непрерывности f(x) имеет корень на этом отрезке. 
Тригонометрические уравнения Математический анализ (прочее)