Две окружности пересекаются в точках A и B.
 К этим окружностям проведена общая касательная, которая касается
 окружностей в точках C и D.
 Докажите, что прямая AB делит отрезок CD пополам.


			
Пусть прямая AB пересекает отрезок CD в точке O.
 Отрезок OC является отрезком касательной, проведенной из точки O к
 первой окружности. Секущая OA пересекает первую окружность в
 точках A и B.
 Воспользуемся тем фактом, что
 квадрат длины касательной равен произведению длин отрезков
 секущей. Имеем: OC2=OA*OB
 (это равенство можно получить из подобия
 треугольников OCB и OAC, при этом не ссылаясь
 на теорему о касательной и секущей).
 Аналогичным образом, рассматривая касательную OD и секущую
 OA для второй окружности,
 получаем равенство OD2=OA*OB.
 Отсюда  OC2=OD2 и OC=OD,
 что и требовалось доказать.
			
Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть