Известно, что в тетраэдре ABCD окружности, вписанные в грани ABC и BCD, касаются. 
Докажите, что окружности, вписанные в грани ABD и ACD, также касаются. 
Пусть окружности, вписанные в грани ABC и BCD, касаются в точке O. Точка O, тем самым, является точкой касания вписанных окружностей треугольников ABC и BCD со стороной BC. По известной формуле расстояния от вершины треугольника до точки касания со вписанной окружностью 
½ (AB + BC – AC) = BO = ½ (BD + BC – CD),  то есть  AB – BD = AC – CD.  Обозначим через P и Q точки касания стороны AD с вписанными окружностями треугольников ABD и ACD соответственно. Тогда  AP = ½ (AB + AD – BD) = ½ (AC + AD – CD) = AQ.  Следовательно, точки P и Q совпадают, что и означает касание вписанных окружностей треугольников ABD и ACD. 
Тетраэдр (прочее) Вписанные и описанные окружности