Существует ли точка, удалённая от вершин некоторого квадрата на расстояния 1, 5, 7, 8? 
   Предположим что точка O удалена от вершин квадрата ABCD на расстояния  1, 5 , 7, 8, причём  OA = 1.  Если  OC = 5,  то  AC ≤ OA + OC = 1 + 5 = 6.  С другой стороны, OB равно 7 или 8, поэтому  AB ≥ OB – OA ≥ 6.  Итак, диагональ квадрата не больше его стороны. Противоречие. 
   Пусть  OB = 5.  Тогда  AB ≤ OA + OB = 1 + 5 = 6,  а   AD ≥ OD – OA ≥ 6.  Поскольку  AB = AD,  то  OA + OB = 6  и  OD – OA = 6,  то есть точка O одновременно лежит на прямых AB и AD. Но это невозможно в силу условия  OA = 1. 
Не существует. 
Неравенство треугольника (прочее) Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства