Барон Мюнхгаузен заявил Георгу Кантору, что он может выписать в ряд все натуральные числа без единицы так, что только конечное их число будет больше своего номера. Не хвастает ли барон? 
   Пусть a1, a2, a3, ... – выписанные в ряд все натуральные числа без единицы. Построим для этого новую последовательность (bn) натуральных чисел, заданную следующим образом:  b1 = 1,  bn+1 = abn  при  n ≥ 2. 
   Докажем, что все члены последовательности (bn) различны. Действительно, пусть  bk = bm , причём  k > m > 1,  то  abk–1 = abm–1,  откуда  
bk–1 = bm–1,  так как все члены последовательности (an) различны. Продолжая, получим  bk–2 = bm–2, ...,  	bk–m+1 = b1,  то есть  abk–m = 1.  Противоречие: последовательность (an) не содержит единицы. 
   Так как (bn) – бесконечная последовательность различных натуральных чисел, то в ней существует бесконечно много членов, больших предыдущего (в противном случае она бы убывала, начиная с некоторого места, что невозможно). Иными словами,  bk+1 > bk,  то есть  abk > bk  для бесконечного числа k. А это и значит, что бесконечное число членов последовательности (an) больше своего номера.
Хвастает. 
Рекуррентные соотношения (прочее) Доказательство от противного Последовательности (прочее)