На листе бумаги нарисован график функции y = sin x. Лист  свернут 
  в цилиндрическую трубочку так, что все точки, абсциссы  которых 
  отличаются на 2п, совмещены. Докажите, что все точки графика 
  синусоиды при этом лежат в одной плоскости.


			
Для того, чтобы свернуть лист в цилиндр так, 
 чтобы все точки, абсциссы которых отличаются на 2п, были совмещены, 
 достаточно добиться совмещения точек  с абсциссами x=0 и x=2п. 
 Очевидно, что тогда радиус основания цилиндра равен единице, т.к. 
 длина окружности основания равна 2п.  
 Чтобы показать,что все точки графика лежат в одной плоскости, 
 введем в пространстве систему координат Ouvz следующим образом:  ось 
 Oz направим вдоль оси цилиндра, а оси Ou и Ov проведем в плоскости, 
 перпендикулярной оси цилиндра так, чтобы ось Ou проходила через 
 точку цилиндра, имевшую координаты (0;0) до свертывания листа. 
 Рассмотрим некоторую точку A(u,v) на окружности 
 {z=0; u2+v2=1}, являющейся сечением 
 цилиндра плоскостью z=0. 
 Пусть x - угол между положительным направлением оси Ou  и 
 радиусом OA (x может принимать значение от 0 до 2п). 
 Тогда после свертывания листа в цилиндр точка (u, v, sin x) 
 лежит на синусоиде и все точки свернутой синусоиды представимы 
 в таком виде. 
 Так как tg x = v/u, то 
 sin x = v/(u2+v2)1/2 = v. 
 Отсюда видно, что точки вида (u, v, sin x) на самом деле имеют вид 
 (u, v, v), и, следовательно, 
 лежат в плоскости z=v.
			
Тригонометрия (прочее) Стереометрия (прочее)