Докажите, что для любого числа d, не делящегося на 2 и на 5, найдётся число, в десятичной записи которого содержатся одни единицы и которое делится на d. 
Рассмотрим числа, в десятичной записи которых содержатся одни единицы: 1, 11, 111, ... Поскольку таких чисел бесконечно много, то среди них найдутся два числа, имеющие одинаковый остаток при делении на d. Разность этих двух чисел будет иметь вид  A = 1...10...0,  то есть будет записываться несколькими единицами, за которыми следуют нули; кроме того, число A делится на d. По условию d взаимно просто с 10, следовательно, число из одних единиц, полученное из A вычеркиванием нулей, также делится на d. 
Деление с остатком Принцип Дирихле (прочее) Десятичная система счисления