Внутри треугольника ABC нашлись такие точки P и Q, что точка P удалена от прямых AB, BC, CA на расстояния 6, 7 и 12 соответственно, а точка Q удалена от прямых AB, BC, CA на расстояния 10, 9 и 4 соответственно. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC. 
Обозначим через D, E, F основания перпендикуляров, опущенных из точек P, Q, O на прямую AB соответственно. По условию  PD = 6,  QE = 10.  OF является средней линией в трапеции DPQE, поэтому длина OF равна  ½ (PD + QE) = ½ (6 + 10) = 8.  Следовательно, точка O удалена на расстояние 8 от прямой AB. Аналогично находим, что O удалена на расстояние  ½ (7 + 9) = 8  от прямой BC и на расстояние  ½ (12 + 4) = 8  от прямой CA. Таким образом, O – центр вписанной окружности треугольника ABC, и радиус этой окружности равен 8. 
8. 
Вписанные и описанные окружности Средняя линия трапеции Системы линейных уравнений