На плоскости даны 2004 точки. Запишем все попарные расстояния между ними. 
Докажите, что среди записанных чисел не менее тридцати различных. 
Предположим, что имеется контрпример. Выберем одну из данных точек – A. Поскольку расстояние от точки A до любой другой точки принимает менее 30 различных значений, то оставшиеся 2003 точки лежат на 29 окружностях с центром A. Поскольку  69·29 = 2001 < 2003,  на одной из этих окружностей расположено не менее 70 точек.  Рассмотрим только точки на этой окружности (назовём её S) и выберем одну из точек – B. Оставшиеся 69 точек расположены на 29 окружностях с центром B. Однако каждая из этих окружностей имеет не более двух общих точек с окружностью S, а  2·29 < 69.  Противоречие. 
Измерение длин отрезков и мер углов. Смежные углы. Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)