При каких  n > 3  набор гирь с массами 1, 2, 3, ..., n граммов можно разложить на три равные по массе кучки?
   Назовём число n хорошим, если набор гирь с массами 1, 2, 3, ..., n можно разложить на три равные по массе кучки. Для хорошего n суммарная масса гирь, равная  ½ n(n+1),  кратна 3. Поэтому n может давать только остатки 0 или 2 при делении на 3.
   Если число n хорошее, то число  n + 6  тоже хорошее, поскольку гири массами  n + 1,  n + 2,  ...,  n + 6  легко разложить на три равные по массе кучки. 
   Легко проверить, что числа 5, 8, 9 хорошие:  1 + 4 = 2 + 3 = 5;  1 + 2 + 3 + 6 = 4 + 8 = 5 + 7;  1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 6 + 9 = 7 + 8.  То, что 6 – хорошее число, показано выше. Значит, хорошими являются все числа вида  3k  (k ≥ 3)  и  3k + 2  (k ≥ 1).
При n, кратных 3 или дающих остаток 2 при делении на 3. 
Комбинаторика (прочее) Индукция (прочее) Деление с остатком