Внутри круглого блина радиуса 10 запекли монету 
радиуса 1. Каким наименьшим числом прямолинейных  
разрезов можно наверняка задеть монету?


			
Каждому прямолинейному разрезу соответствует  
полоса шириной 2, отвечающая множеству возможных 
центров монеты, задетой этим разрезом. 
поэтому данная задача эквивалентна следующей: 
найти минимальное число полос ширины 2, покрывающих 
круг радиуса 10. 
Ясно, что десять полос будет достаточно. 
 
Покажем, что меньшим числом не обойтись. 
Построим на блине сферу как на диаметральной плоскости. 
К прямым, ограничивающим полосу, восставим перпендикулярные  
плоскости - получим слой между параллельными плоскостями 
шириной 2. 
 
Получена еще одна переформулировка исходной задачи - 
как покрыть сферу радиуса 10 минимальным числом слоев 
ширины 2? Используем замечательное свойство сферы -  
площадь сферы, заключенная между параллельными плоскостями, 
пересекающими сферу, зависит только от расстояния между  
этими плоскостями. (Докажите это замечательное свойство!)  
Отсюда следует, что слой ширины 2 покрывает не более 
1/10 площади сферы радиуса 10. 
В применении к исходной задаче мы доказали, что меньше, чем 
10 разрезами наверняка задеть монету не удастся.
			
10.00
Разные задачи на разрезания Выход в пространство