Существует ли выпуклая фигура, не имеющая осей симметрии, но переходящая в себя при некотором повороте? 
Рассмотрим правильный треугольник ABC. Выберем на его сторонах AB, BC, CA точки C', A', B' так, что  AC' : BC' = BA' : CA' = CB' : AB' = 3 : 1;  далее выберем на сторонах AB, BC, CA точки C", A", B" так, что  AC" : BC" = BA" : CA" = CB" : AB" = 1 : 2.  Отрежем от треугольника  ABC треугольники B'AC", C'BA", A'CB".  Получим правильный треугольник с отрезанными "уголками". Полученная фигура выпукла, переходит в себя при повороте на 120° вокруг центра треугольника ABC, однако не имеет осей симметрии. 
Существует. 
Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее) Правильный (равносторонний) треугольник Свойства симметрий и осей симметрии Поворот (прочее)