Докажите, что на координатной плоскости можно провести окружность, внутри которой лежит ровно n целочисленных точек.
   Можно выбрать такую точку A плоскости, что на любой окружности с центром A лежит не более одной целой точки. Для этого достаточно, чтобы все расстояния от A до целых точек были различными. Заметим, что серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему целые точки, имеет рациональный угловой коэффициент. Кроме того, он проходит через середину этого отрезка – точку с рациональными координатами – и поэтому задаётся уравнением с рациональными коэффициентами. Если в качестве точки A взять точку с рациональной абсциссой и иррациональной ординатой, она не будет лежать ни на одном из этих серединных перпендикуляров. 
   Выпишем радиусы  окружностей с центром A, проходящих через целочисленные точки, в порядке возрастания:  R1 < R2 < R3 < ...  Если  Rn < R < Rn+1,  то внутри окружности радиуса R будет содержаться ровно n целочисленных точек. 
Малые шевеления