Внутри круга нарисована точка. Покажите, что можно разрезать круг на две    
  части так, чтобы из них можно было составить круг, в котором отмеченная    
  точка являлась бы центром.    
      
  


			
Пусть O - центр данного круга S, а A - нарисованная точка.    
  Если A совпадает с O, то перекраивать нечего.    
  Иначе проведем окружность S' с центром в A и радиусом, равным    
  радиусу круга S. Эта окружность разобьет круг S на две части.    
  Первая из этих частей содержит точки A и O и симметрична    
  относительно серединного перпендикуляра m, проведенного к отрезку AO.    
  Эту часть оставим на месте. Вторую часть (имеющую форму "месяца")    
  переложим так, чтобы она заняла положение, симметричное    
  своему начальному положению относительно m.    
  После этого первая и вторая часть заполняют внутренность    
  окружности S'.    
  Тем самым, требуемое перекраивание круга проделано.

Приведем также другое решение.

Сделаем разрез по окружности, проходящей
через точки O и А и целиком лежащей в заданном круге. Получается два куска: один — круг, а
другой — несимметричное кольцо. Теперь поворачиваем круг вокруг его центра до совпадения точки А с центром круга S — точкой O.

Разные задачи на разрезания