Стороны AB, BC, CD, DA пространственного четырёхугольника ABCD касаются некоторой сферы в точках K, L, M, N соответственно. 
Докажите, что точки K, L, M, N лежат в одной плоскости. 
   Поскольку отрезки касательных, проведённых из одной точки к сфере, равны, можно обозначить  AN = AK = a,  BK = BL = b,  CL = CM = c,
DM = DN = d.  Заметим, что точки K и L лежат в плоскости (ABC). Рассмотрим два случая.
   1)  KL || AC.  Тогда по теореме Фалеса  a = c;  значит, и  MN || AC || KL. 
   2) Прямые KL и AC пересекаются в точке O. По теореме Менелая (для треугольника ABC и секущей KL)  AK/KB·BL/LC·CO/AO = 1,  т.е.  CO/AO = b/a·c/b = c/a.  Значит,  AN/ND·DM/MC·CO/AO = a/d·d/c·c/a = 1.  По теореме Менелая точки O, M, N лежат на одной прямой, следовательно, точки K, L, M, N лежат в одной плоскости. 
Пространственные многоугольники Теоремы Чевы и Менелая Касательные к сферам Признаки и свойства равнобедренного треугольника.