Можно ли расставить по кругу семь целых неотрицательных чисел так, чтобы сумма каких-то трёх расположенных подряд чисел была равна 1, каких-то трёх подряд расположенных – 2, ... , каких-то трёх подряд расположенных – 7? 
Предположим, что это возможно. Имеется всего семь различных сумм из трёх стоящих подряд чисел. Тогда среди этих семи сумм каждое из чисел 1, 2, ... , 7 должно  встретиться по разу. Сложим все эти семь сумм. С одной стороны, результат равен  1 + 2 + ... + 7 = 28,  а с другой стороны, результат должен делиться на 3, так как каждое из чисел на окружности входит ровно в три тройки идущих подряд чисел. Но 28 не делится на 3. Противоречие.
Нельзя.
Подсчет двумя способами Делимость чисел. Общие свойства