Автор: Френкин Б.Р.
На занятии кружка 10 школьников решали 10 задач. Все школьники решили разное количество задач; каждую задачу решило одинаковое количество школьников. Один из этих десяти школьников, Боря, решил задачи с первой по пятую и не решил задачи с шестой по девятую. Решил ли он десятую задачу?
   Если бы школьников было 11 и они решили разное количество задач, то были бы реализованы все возможные варианты (от 0 до 10 задач) и всего было бы решено  0 + 1 + ... + 10 = 55  задач. Так как школьников десять, то отсутствует один из вариантов, и количество решений равно  55 – x,  где x – целое число от 0 до 10. 
   Поскольку каждая из 10 задач решена одинаковым количеством школьников, количество решений всех задач кратно 10. Поэтому  x = 5,  то есть нет школьника, решившего ровно 5 задач. Так как Боря решил задачи с первой по пятую, он решил еще хотя бы одну задачу, и это может быть только десятая.
Арифметика остатков (прочее)