Пусть O – точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника ABCD. 
Докажите, что если равны периметры треугольников ABO, BCO, CDO, DAO, то ABCD – ромб. 
Выберем на каждой диагонали AC, BD больший из отрезков, на которые она делится точкой O. Можно без ограничения общности считать, что  AO > OC,  BO > OD.  Тогда периметр треугольника AOB не меньше периметра треугольника COD, причём равенство возможно только если  AO = OC  и  BO = OD  (построим треугольник A'OB', симметричный треугольнику AOB относительно точки O, его периметр не меньше периметра треугольника COD, поскольку  CA' + A'B' + B'D > CD).  Но если  AO = OC  и  BO = OD,  то из равенства периметров сразу следует, что  AB = BC = CD = DA,  то есть ABCD – ромб. 
Ромбы. Признаки и свойства Периметр треугольника