На плоскости даны четыре точки, не лежащие на одной прямой. Докажите, что существует неостроугольный треугольник с вершинами в этих точках.
   Рассмотрим различные случаи расположения четырёх данных точек на плоскости. 
   1) Четыре данные точки являются вершинами выпуклого четырёхугольника. Сумма углов этого четырёхугольника равна 360°. Поэтому хотя бы один из его углов не острый. Обозначим вершину, угол при которой не острый, через A. Тогда треугольник с вершинами в точке A и двух соседних с ней вершинах
четырёхугольника будет неостроугольным (рис. слева). 
   2) Одна из точек (обозначим ее A) лежит внутри треугольника BCD, образованного остальными тремя точками (рис. в центре). Сумма углов BAC, CAD и DAB равна 360°. Поэтому по крайней мере один из них имеет величину не меньше 120°. Неостроугольный треугольник найден и в этом случае. 
   3) Три точки лежат на одной прямой. Обозначим эти точки A, B и C в порядке их следования на прямой, четвёртую точку обозначим D (рис. справа). Тогда сумма углов DBA и DBC равна 180°. Значит, один из этих углов не меньше 90°. В этом случае требуемый треугольник тоже найден.

Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) Сумма внутренних и внешних углов многоугольника Принцип Дирихле (углы и длины) Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. Перебор случаев