В последовательности цифр 1234096... каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырёх цифр. 
Встретятся ли в этой последовательности подряд четыре цифры 8123? 
Заметим, что цифра, предшествующая четвёрке цифр, определяется этой четвёркой однозначно. Если в последовательности встретится ещё раз (не в начале   последовательности) четвёрка 1234, то цифра, предшествующая этой четвёрке, как легко убедиться, должна равняться 8, и таким образом в последовательности  встретится четвёрка 8123. Осталось доказать, что четвёрка 1234 встретится в последовательности ещё хотя бы один раз. Поскольку четвёрок цифр конечное число, в последовательности встретятся две одинаковые четвёрки цифр в разных местах. Тогда цифры, предшествующие этим четверкам, тоже одинаковы. Поэтому четвёрки, полученные из первоначальных сдвигом на одну цифру влево, тоже одинаковы. Рассуждая так и далее, мы придём к двум одинаковым четвёркам, одна из которых расположена в начале   последовательности (то есть эта четверка – 1234). 
Встретятся. 
Принцип Дирихле (прочее) Рекуррентные соотношения (прочее)