Let $X$ be a reduced projective hypersurface over a field $k$, which is defined by the homogeneous equation $f(T\_0,\ldots,T\_n)=0$. If the dimension of the singular locus of $X$ is $s$, $0\leq s\leq n-2$. For $\alpha=(a\_0,\ldots,a\_n)\in k^{n+1}$, we define
$$\partial \_\alpha f=\sum\_{i=0}^na\_i\frac{\partial f}{\partial T\_i}.$$
Can we always find $\alpha\_1,\ldots,\alpha\_{n-s-1}\in k^{n+1}$, such that 
$$V(f)\cap V(\partial\_{\alpha\_1}f)\cap\cdots\cap V(\partial\_{\alpha\_{n-s-1}} f)$$
is a complete intersection? Here $V(f)$ means the projective hypersurface defined by the homogeneous equation $f=0$. 


I think the hard part of this problem is when $k$ is a finite field. 


If you can solve the case when $k$ is infinite, that's enough. 



dimension of singular locus and complete intersection of a hypersurface
Il faut de supposer que $k$ est un corps assez grand. 


D'abord, on supposer que $k'$ est une cl\^oture alg\'ebrique du corps $k$, alors $k'$ est infini. Si on a l'assertion pour un tel $k'$, il existe une extension finie du corps $k$ qui satisfait le besoin aussi.


D'apr`es le crit`ere jacobien, on a
$$\dim\left(V(f)\cap V(\frac{\partial f}{\partial T\_0})\cap \cdots\cap V(\frac{\partial f}{\partial T\_n})\right)=\dim X^{sing}=s.$$


On raisonne par r\'ecurrence sur le nombre de combinations $k'$-lin\'eairs dans l'intersection. Soit
$$
 V\_{t}=V(f)\cap V(\partial\_{\alpha\_1}f)\cap\cdots\cap V(\partial\_{\alpha\_t}f)
$$
Le cas de $t=0$ est \'evident. Si on a d\'ej`a trouv\'e $\alpha\_1,\ldots,\alpha\_t\in k'^{n+1}$, tels que $V\_t$ est une intersection compl`ete, o`u $1\leqslant t\leqslant n-s$. Soient $U\_1,\ldots,U\_h$ toutes les composantes irr\'eductibles de $V\_{t}$ d\'efini au-dessus.


Si pour tout $\beta\in k'^{n+1}$, il toujours existe une $U\_i$, telle que $U\_i\subseteq V\_t$, alors on a
$$U\_i\subseteq V\_t\subset V(f)\cap V(\frac{\partial f}{\partial T\_0})\cap \cdots\cap V(\frac{\partial f}{\partial T\_n}),$$
qui contredit avec ce que $\dim X^{sing}=s<n-t-1$.


Si on peut trouver une famille de $\beta\_1,\ldots,\beta\_k\in k'^{n+1}$, tels que
[U\_i\nsubseteq V(\partial\_{\beta\_i}f)]
pour tout $i=1,\ldots,h$. On d\'efinit
$$L(U\_i)=\{\alpha=(a\_0,\ldots,a\_{n+1})\in k'^{n+1}|U\_i\subseteq V(\partial \_{\alpha}f)\}.$$
Alors dans ce cas, pour tout $i=1,\ldots,h$, $L(U\_i)$ est un sous-espace vectoriel propre de $k'^{n+1}$. Comme $k'$ est infini, il toujours existe un vecteur $\beta=(b\_0,\ldots,b\_{n+1})\in k'^{n+1}\smallsetminus\{0\}$, tel que
$$\beta\not\in\bigcup\_{i=1}^n L(U\_i).$$
Alors $U\_1,\ldots,U\_h\nsubseteq V(\partial\_{\beta}f)$, donc $V(\partial\_{\beta}f)\cap V\_t$ est une intersection compl`ete.


Donc on peut trouver $\alpha\_1,\ldots,\alpha\_{n-s-1}$, qui satisfont le besoin, et c'est la fin de la d\'emonstration.


