Are all submodules of free modules free? I would like a reference to a proof or counterexample please.



Are submodules of free modules free?
Вот общий пример: неглавной идеал в кольце $A$. Кольцо $A$ -- свободный $A$-модуль. Идеал в кольце -- подмодуль, а он тоже свободный $A$-модуль только в случае, что он главной идеал: ненулевые элементы $a$ и $b$ в кольце удовлетворяют нетривиальному $A$-линейному соотношению $c\_1a + c\_2b = 0$, где $c\_1 = b$ и $c\_2 = -a$, поэтому если существует базис, то мощность является одним.


