Let $K$ be a finite extension of $\mathbf{Q}\_p$, with integer ring $R$ and residue field $k$. Say $G/R$ is a finite flat (commutative) group scheme of order $p^2$, killed by $p$. Say the special fibre of $G$ is isomorphic to the $p$-torsion in a supersingular elliptic curve over $k$. Is there some finite extension $L/K$ and an elliptic curve $E$ over $R\_L$, the integers of $L$, such that $G$ becomes isomorphic to $E[p]$ over $R\_L$?


The reason I ask is that in a lemma in Vincent Pilloni's thesis (which I unfortunately cannot find online) he proves that if the special fibre of $G$ is as above then the "degree" of such a $G$ is 1 (see Fargues' work on Harder-Narasimhan filtrations, for example, for the definition of "degree") via a brute force calculation. Pilloni's assertion would however also be a consequence of an affirmative answer to my question (and provided the motivation for my question). People are so good at deformation theory of finite flat group schemes nowadays that I thought this might be well-known to some people nowadays.



Lifting the p-torsion of a supersingular elliptic curve.
La réponse est oui. La raison est la suivante. Si $S$ est un schéma sur p est localement nilpotent, par définition (cf. thèse de Messing, chapitre I), un groupe de Barsotti-Tate tronqué d'échelon $1$ sur $S$ est un schéma en groupes fini localement libre sur $S$ annulé par $p$ tel que si $G\_0$ désigne la réduction de $G$ modulo $p$ on ait 
$$
Im (F\_{G\_0}) = \ker (V\_{G\_0})
$$
comme faisceaux fppf sur $S\_0$, $S\_0$ désignant la réduction modulo $p$ de $S$. Cependant, il résulte du critère de platitude fibre à fibre de EGA IV que le morphisme de $S\_0$-schémas en groupes de présentation finie
$$
F:G\_0 \rightarrow \ker (V\_{G\_0})
$$
est fidèlement plat si et seulement si il en est de même fibre à fibre sur $S\_0$. De cela on déduit que dans la définition d'un $BT\_1$ on peut remplacer $S\_0$ par $S\_{red}$ !


Dans les considérations précédentes j'ai pris un schéma $S$ sur lequel $p$ est localement nilpotent, mais il en résulte que l'on a le même type de définition-résultat sur une base qui est un schéma formel $p$-adique.


Revenons maintenant à nos moutons, c'est à dire la question de Kevin. On a donc $G$ un schéma en groupes fini et plat sur l'anneau des entiers de $K$
 dont la fibre spéciale sur le corps résiduel de $K$ est un $BT\_1$. Le schéme en groupes $G$ est donc un $BT\_1$.


Nous allons maintenant utiliser le théorème suivant (cf. l'article d'Illusie aux journées arithmétiques de Rennes: "Déformations de groupes de Barsotti-Tate (d'après A. Grothendieck)", Astérisque 127). Si $\mathcal{BT}\_1$, resp. $\mathcal{BT}$, désigne le champ des groupes de Barsotti-Tate tronqués d'échelon $1$, resp. des groupes de Barsotti-Tate, sur des bases qui sont des schémas sur lesquels $p$ est localement nilpotent, alors le morphisme "points de $p$-torsion"


$$
\mathcal{BT} \longrightarrow \mathcal{BT}\_1
$$


est formellement lisse. De cela on déduit la chose suivante. Soit $k$ un corps parfait de caractéristique $p$ et $H$ un groupe $p$-divisible sur $k$. Soit $\mathfrak{X}$ l'espace des déformations de $H$, un $spf (W(k))$-schéma formel non-canoniquement isomorphe à 
$spf \big (W(k)[[x\_1,\dots,x\_{d(h-d)}]]\big )$ où $h$ désigne la hauteur de $H$ et $d$ sa dimension. 
Soit $\mathcal{H}$ la déformation universelle sur $\mathfrak{X}$. Alors, $\mathcal{H}[p]$ est une déformation verselle de $H[p]$. 


Pour conclure et répondre à la question de Kevin il suffit maintenant d'invoquer le théorème de Serre-Tate qui montre que si $H=E[p^\infty]$ où $E$ est une courbe elliptique supersingulière sur $k$ alors $\mathfrak{X}$ est également l'espace des déformation de $E$. Appliquant le théorème d'algébrisation de Grothendieck (GAGF) on en déduit que si $\mathfrak{X}= spf (R)$, la déformation universelle de la courbe elliptique $E$ sur $\mathfrak{X}$ provient en fait d'une courbe elliptique sur $spec (R)$. Le résultat s'en déduit par spécialisation sur $\mathcal{O}\_K$.


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