I am looking at the paper



> 
> Covering homotopy properties of maps between CW complexes or ANRs
>  by 
>  Mark Steinberger and James West
> 
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and a claim is made in the proof of their first main theorem that (slightly rephrased)



> 
> since $U$ is a contractible subspace of the CW complex $B$, $U$ "is" a CW complex
> 
> 
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**Question:** Is it generally true that an open subspace of a CW complex can be given the structure of a CW complex? Is it true in general only for contractible subspaces? Why? Is there a reference?



Open subspaces of CW complexes
It is **not** generally true that each open subset of a CW complex admits the structure of a CW complex. Counterexamples were given in



```
\bib{MR1157891}{article}{
   author={Cauty, Robert},
   title={Sur les ouverts des CW-complexes et les fibr\'{e}s de Serre},
   language={French},
   journal={Colloq. Math.},
   volume={63},
   date={1992},
   number={1},
   pages={1--7},
   issn={0010-1354},
   review={\MR{1157891}},
   doi={10.4064/cm-63-1-1-7},
}

```

in response to the paper you mention by Steinberger and West. Here is the abstract:



> 
> M. Steinberger et J. West ont prouvé dans [7] qu'un fibré de Serre p:E
>  → B entre CW-complexes a la propriété de relèvement des homotopies par
>  rapport aux k-espaces. Malheureusement, leur démonstration contient
>  une légère erreur. Ils affirment que certains ensembles (notés U et
>  p−1U×U) sont des CW-complexes car ce sont des ouverts de CW-complexes.
>  Ceci est généralement faux, et notre premier objectif dans cette note
>  est de donner des exemples d'ouverts de CW-complexes n'admettant
>  aucune décomposition CW. Malgré cela, le théorème de Steinberger et
>  West est vrai, et notre deuxième objectif est de montrer comment leur
>  démonstration peut être rectifiée.
> 
> 
> 


