Fonksiyonun Genel Formu ile Başlamak Standart veya Tepe Noktası Formunu Kullanmak Minimum veya Maksimum Elde Etmek İçin Hesaplama Yapmak
İkinci dereceden bir fonksiyonda bir x2{\displaystyle x^{2}} terimi bulunur. Üssü olmayan bir x{\displaystyle x} terimi olabilir ya da olmayabilir. Fonksiyonda 2’den büyük bir üs bulunmaz. Genel form f(x)=ax2+bx+c{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} şeklindedir. Gerekirse, fonksiyonu bu genel formda yazmak için benzer terimleri birleştir ve yeniden düzenle. Örneğin, f(x)=3x+2x−x2+3x2+4{\displaystyle f(x)=3x+2x-x^{2}+3x^{2}+4} ile başladığını varsayalım. x2{\displaystyle x^{2}}’li ve x{\displaystyle x}’li terimleri birleştirerek aşağıdaki genel formu oluştur: f(x)=2x2+5x+4{\displaystyle f(x)=2x^{2}+5x+4} İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği parabol şeklindedir. Parabolün kolları ya yukarı ya da aşağı doğrudur. Eğer x2{\displaystyle x^{2}}’li terimin katsayısı a{\displaystyle a} pozitif ise o zaman parabolün kolları yukarı doğrudur. Eğer a{\displaystyle a} negatif ise parabolün kolları aşağı doğrudur. Aşağıdaki örneklere bak:   f(x)=2x2+4x−6{\displaystyle f(x)=2x^{2}+4x-6} için a=2{\displaystyle a=2}, yani parabolün kolları yukarı doğrudur.  f(x)=−3x2+2x+8{\displaystyle f(x)=-3x^{2}+2x+8} için a=−3{\displaystyle a=-3}, yani parabolün kolları aşağı doğrudur.  f(x)=x2+6{\displaystyle f(x)=x^{2}+6} için a=1{\displaystyle a=1},  yani parabolün kolları yukarı doğrudur. Eğer parabolün kolları yukarı doğru ise onun minimum değerini bulacaksın. Eğer parabolün kolları aşağı doğru ise onun maksimum değerini bulacaksın. −b2a{\displaystyle -{\frac {b}{2a}}}’nın değeri sana parabolün tepe noktasının x{\displaystyle x} değerini verir. İkinci dereceden fonksiyon ax2+bx+c{\displaystyle ax^{2}+bx+c} şeklinde genel formda yazıldığında, x{\displaystyle x} ve x2{\displaystyle x^{2}}’li terimlerin katsayılarını aşağıdaki gibi kullan:  Bir f(x)=x2+10x−1{\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1} fonksiyonu için a=1{\displaystyle a=1} ve b=10{\displaystyle b=10}. Bu sebeple, tepe noktasının x değerini şu şekilde bul:  x=−b2a{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}} x=−10(2)(1){\displaystyle x=-{\frac {10}{(2)(1)}}} x=−102{\displaystyle x=-{\frac {10}{2}}} x=−5{\displaystyle x=-5}   İkinci bir örnek olarak f(x)=−3x2+6x−4{\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4} fonksiyonuna bakalım. Bu örnekte a=−3{\displaystyle a=-3} ve b=6{\displaystyle b=6}. Bu sebeple, tepe noktasının x değerini şu şekilde bul:  x=−b2a{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}} x=−6(2)(−3){\displaystyle x=-{\frac {6}{(2)(-3)}}} x=−6−6{\displaystyle x=-{\frac {6}{-6}}} x=−(−1){\displaystyle x=-(-1)} x=1{\displaystyle x=1} Az önce hesapladığın x değerini f(x)'in karşılık gelen değerini bulmak için fonksiyonda yerine koy. Bu, fonksiyonun minimum ya da maksimumu olacaktır.  Yukarıdaki ilk örnek f(x)=x2+10x−1{\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1} için tepe noktasının x değerini x=−5{\displaystyle x=-5} olarak hesapladın. Maksimum değeri bulmak için −5{\displaystyle -5} değerini fonksiyondaki x{\displaystyle x} yerine koy:  f(x)=x2+10x−1{\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1} f(−5)=(−5)2+10(−5)−1{\displaystyle f(-5)=(-5)^{2}+10(-5)-1} f(−5)=25−50−1{\displaystyle f(-5)=25-50-1} f(−5)=−26{\displaystyle f(-5)=-26}   Yukarıdaki ikinci örnek f(x)=−3x2+6x−4{\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4} için tepe noktasının x=1{\displaystyle x=1}’de olduğunu buldun. Maksimum değeri bulmak için 1{\displaystyle 1} değerini fonksiyondaki x{\displaystyle x} yerine koy:  f(x)=−3x2+6x−4{\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4} f(1)=−3(1)2+6(1)−4{\displaystyle f(1)=-3(1)^{2}+6(1)-4} f(1)=−3+6−4{\displaystyle f(1)=-3+6-4} f(1)=−1{\displaystyle f(1)=-1} Sorulan soruyu gözden geçir. Tepe noktasının koordinatlarını girmen istenirse hem x{\displaystyle x} hem de y{\displaystyle y} (veya f(x){\displaystyle f(x)}) değerlerini belirtmen gerekir. Sadece maksimum veya minimum istenirse sadece y{\displaystyle y} (veya f(x){\displaystyle f(x)}) değerini belirtmen gerekir. Bir maksimum veya minimumun olup olmadığından emin olmak için a{\displaystyle a} katsayısının değerine bak.  İlk örnek f(x)=x2+10x−1{\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1} için a{\displaystyle a} değeri pozitif, bu nedenle minimum değeri belirteceksin. Tepe noktası (−5,−26){\displaystyle (-5,-26)} ve minimum değer −26{\displaystyle -26} olur. İkinci örnek f(x)=−3x2+6x−4{\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4} için a{\displaystyle a} değeri negatif, bu nedenle maksimum değeri belirteceksin. Tepe noktası (1,−1){\displaystyle (1,-1)} ve maksimum değer −1{\displaystyle -1} olur. Genel bir ikinci dereceden fonksiyonun standart formu - tepe noktası formu olarak da bilinir - şöyledir:  f(x)=a(x−h)2+k{\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k} Eğer fonksiyonun zaten bu formda verildiyse senin sadece a{\displaystyle a}, h{\displaystyle h} ve k{\displaystyle k} değişkenlerini tanıman gerekir. Eğer fonksiyonun f(x)=ax2+bx+c{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} genel formunda başlarsa onu tepe noktası formunda yeniden yazmak için kareyi tamamlaman gerekir. Tıpkı genel formdaki ikinci dereceden bir fonksiyonda olduğu gibi grafiğin yönünü a{\displaystyle a} katsayısına bakarak belirleyebilirsin. Eğer bu standart formdaki a{\displaystyle a} pozitifse parabolün kolları yukarı doğrudur. Eğer a{\displaystyle a} negatif ise parabolün kolları aşağı doğrudur. Aşağıdaki örneklere bak:   f(x)=2(x+1)2−4{\displaystyle f(x)=2(x+1)^{2}-4} için a=2{\displaystyle a=2} yani pozitif olduğu için parabolün kolları yukarı doğrudur.  f(x)=−3(x−2)2+2{\displaystyle f(x)=-3(x-2)^{2}+2} için a=−3{\displaystyle a=-3} yani negatif olduğu için parabolün kolları aşağı doğrudur. Eğer parabolün kolları yukarı doğru ise onun minimum değerini bulacaksın. Eğer parabolün kolları aşağı doğru ise onun maksimum değerini bulacaksın. Fonksiyon standart formda yazıldığında minimum ya da maksimum değeri bulmak k{\displaystyle k} değişkenini ifade etmek kadar kolaydır. Yukarıda verilen iki örnek fonksiyon için bu değerler:   f(x)=2(x+1)2−4{\displaystyle f(x)=2(x+1)^{2}-4} için k=−4{\displaystyle k=-4}. Bu, fonksiyonun minimum değeridir çünkü parabolün kolları yukarı doğrudur.  f(x)=−3(x−2)2+2{\displaystyle f(x)=-3(x-2)^{2}+2} için k=2{\displaystyle k=2}. Bu, fonksiyonun maksimum değeridir çünkü parabolün kolları aşağı doğrudur. Eğer minimum ya da maksimum değerin koordinatları istenirse nokta (h,k){\displaystyle (h,k)} olacak. Ancak, denklemin standart formunda parantez içindeki terimin  (x−h){\displaystyle (x-h)} olduğuna dikkate et, bu yüzden x{\displaystyle x}'ten sonraki sayının ters işaretine ihtiyacın var.   f(x)=2(x+1)2−4{\displaystyle f(x)=2(x+1)^{2}-4} için parantez içindeki terim (x+1)’dir, ki bu (x-(-1)) şeklinde yazılabilir. Böylece, h=−1{\displaystyle h=-1}. Bu sebeple, bu fonksiyon için tepe noktası koordinatları (−1,−4){\displaystyle (-1,-4)} olur.  f(x)=−3(x−2)2+2{\displaystyle f(x)=-3(x-2)^{2}+2} için  parantez içindeki terim (x-2)’dir. Bu sebeple, h=2{\displaystyle h=2}. Tepe noktası koordinatları (2, 2) olur. İkinci dereceden denklemini f(x)=ax2+bx+c{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} şeklinde genel formda yaz. Gerekirse benzer terimleri topla ve doğru formu elde etmek için yeniden düzenle.  f(x)=2x2−4x+1{\displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1} örnek fonksiyonu ile başla. Temel yüksek matematik kullanarak genel ikinci dereceden fonksiyonun ilk türevini f′(x)=2ax+b{\displaystyle f^{\prime }(x)=2ax+b} olarak bulabilirsin.  f(x)=2x2−4x+1{\displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1} örnek fonksiyonunun türevi şöyledir: f′(x)=4x−4{\displaystyle f^{\prime }(x)=4x-4} Bir fonksiyonun türevinin seçilen o noktadaki fonksiyonun eğimini belirttiğini hatırla. Bir fonksiyonun minimum veya maksimumu eğim sıfır olduğunda oluşur. Bu sebeple, minimum veya maksimumun nerede olduğunu bulmak için türevi sıfıra eşitle. Yukarıdaki örnek problemle devam et:  f′(x)=4x−4{\displaystyle f^{\prime }(x)=4x-4} 0=4x−4{\displaystyle 0=4x-4} Fonksiyonu yeniden düzenlemek ve türev sıfıra eşit olduğunda x değerini çözmek için temel cebir kurallarını kullan. Bu çözüm, maksimum veya minimumun olduğu fonksiyonun tepe noktasının x koordinatını söyleyecektir.  0=4x−4{\displaystyle 0=4x-4} 4=4x{\displaystyle 4=4x} 1=x{\displaystyle 1=x} Fonksiyonun minimum veya maksimum değeri, seçilen x{\displaystyle x} konumunda f(x){\displaystyle f(x)}’in değeri olacaktır. Asıl fonksiyonda x{\displaystyle x} değerini yerine koy ve minimum veya maksimumu bul.  x=1{\displaystyle x=1} noktasındaki f(x)=2x2−4x+1{\displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1} fonksiyonu için,  f(1)=2(1)2−4(1)+1{\displaystyle f(1)=2(1)^{2}-4(1)+1} f(1)=2−4+1{\displaystyle f(1)=2-4+1} f(1)=−1{\displaystyle f(1)=-1} Çözüm, maksimum veya minimum noktasının tepe noktasını verir. f(x)=2x2−4x+1{\displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1} örnek fonksiyonu için tepe noktası (1,−1){\displaystyle (1,-1)} noktasındadır. a{\displaystyle a} katsayısı pozitiftir, yani fonksiyon yukarı yönlüdür. Bu sebeple, fonksiyonun minimum değeri, tepe noktasının y koordinatı yani −1{\displaystyle -1}’dir.
Fonksiyonu genel formda yaz. Grafiğin yönünü belirle. -b/2a’yı hesapla. Karşılık gelen f(x) değerini bul. Sonuçlarını yaz. İkinci dereceden fonksiyonunu standart veya tepe noktası formunda yaz. Grafiğin yönünü belirle. Minimum ya da maksimum değeri belirle. Tepe noktasını bul. Genel formda başla. İlk türevi bulmak için kuvvet kuralını kullan. Türevi sıfıra eşitle. x’i çöz. Bulunan x değerini asıl fonksiyonda yerine koy. Çözümünü yaz.
https://www.wikihow.com/Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily https://www.wikihow.com/Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily https://www.wikihow.com/Find-the-Maximum-or-Minimum-Value-of-a-Quadratic-Function-Easily
Beginning with the General Form of the Function Using the Standard or Vertex Form Using Calculus to Derive the Minimum or Maximum