Yerine Koyma Yöntemini Kullanmak Eleme Yöntemini Kullanmak Denklemin Grafiğini Çizmek
Bu "yerine koyma" yöntemi denklemlerden birindeki "x’i bularak" (ya da başka bir bilinmeyeni) başlar. Örneğin, denklemlerimiz 4x + 2y = 8 ve 5x + 3y = 9 olsun. Sadece ilk denkleme bakarak başla. Her iki taraftan 2y çıkararak denklemi yeniden düzenlersek 4x = 8 - 2y eşitliğini elde ederiz. Bu yöntemde ileriki adımlarda çoğunlukla kesirler kullanılır. Eğer kesirlerden hoşlanmıyorsan bunun yerine aşağıdaki eleme yöntemini deneyebilirsin. Denklemin bir tarafına x’li terimi (ya da kullandığın değişkeni) taşıdıktan sonra değişkeni yalnız bırakmak için denklemin her iki tarafını da böl. Örneğin:  4x = 8 - 2y (4x)/4 = (8/4) - (2y/4) x = 2 - ½y İşlem yaptığını değil de, diğer denklemi kullandığından emin ol. O denklemde çözdüğün değişkenin değerini yerine koy ve böylece sadece bir bilinmeyen kalsın. Örneğin:   x = 2 - ½y olduğunu biliyorsun. Henüz değiştirmediğin ikinci denklemin: 5x + 3y = 9. İkinci denklemde x’i "2 - ½y" ile değiştir: 5(2 - ½y) + 3y = 9. Şimdi sadece tek bilinmeyenli denklemin var. O bilinmeyeni çözmek için cebirsel teknikleri kullan. Eğer bilinmeyenler birbirini götürürse son basamağa geç. Aksi takdirde bilinmeyenlerinden bir tanesi için bir cevap bulacaksın:  5(2 - ½y) + 3y = 9 10 – (5/2)y + 3y = 9  10 – (5/2)y + (6/2)y = 9 (Bu adımı anlamadıysan kesirlerin nasıl toplandığını öğren. Bu, her zaman olmasa da çoğu zaman bu yöntem için gereklidir.) 10 + ½y = 9 ½y = -1 y = -2 Problemi yarım bırakmak gibi bir hata yapma. Diğer bilinmeyeni çözmek için cevabı asıl denklemlerin birinde yerine koyman gerekir:   y = -2  olduğunu biliyorsun. Asıl denklemlerden biri 4x + 2y = 8. (Bu adımda her iki denklemi de kullanabilirsin.) y’nin yerine -2 koy: 4x + 2(-2) = 8. 4x - 4 = 8 4x = 12 x = 3 Diğer denklemde x=3y+2 veya benzer bir cevabı yerine koyduğunda tek bilinmeyenli bir denklem elde etmeye çalışırsın. Bazen sıfır bilinmeyenli bir denklem elde edersin. İşlemlerini iki kez kontrol et ve ilk denklemi (yeniden düzenlenmiş) tekrar birinci denklemde değil ikinci denklemde yerine koyduğundan emin ol. Herhangi bir hata yapmadığından eminsen aşağıdaki sonuçlardan birini elde edersin:  Eğer değişken bulunmayan bir denklem elde edersen ve bu denklem doğru değilse (örneğin, 3=5) problemin çözümü yoktur. (Eğer her iki denklemin grafiğini çizersen onların birbirine paralel olduğunu ve hiç kesişmediklerini göreceksin.) Eğer değişken bulunmayan doğru bir denklem elde edersen (3=3 gibi) problemin sonsuz çözümü vardır. İki denklem birbiriyle tamamen aynıdır. (Eğer iki denklemin grafiğini çizersen aynı doğru olduklarını görürsün.) Bazen, denklemleri topladığında değişken "sıfırlanır". Örneğin, 3x + 2y = 11 ve 5x - 2y = 13 denklemlerini birleştirdiğinde "+2y" ve "-2y" birbirini götürür ve tüm "y"ler denklemden gider. Problemindeki denklemlere bak ve değişkenlerden birinin bu şekilde sıfırlanıp sıfırlanmadığını bul. Eğer her ikisi de sıfırlanmıyorsa tavsiye için sonraki adımı oku. (Eğer değişken zaten sıfırlanıyorsa bu adımı atla.) Eğer denklemde doğal olarak sıfırlanan bir değişken yoksa denklemlerden birini öyle olacak şekilde değiştir. Bunu bir örnekle takip etmek daha kolaydır:  Elinde 3x - y = 3 ve -x + 2y = 4 denklem sistemi olsun. İlk denklemi y değişkeni sıfırlanacak şekilde değiştirelim. (x’i seçmen durumunda da sonuçta aynı sonucu elde edersin.) İlk denklemdeki - y ikinci denklemdeki + 2y ile sıfırlanmalı. Bunun için - y’yi 2 ile çarpabiliriz. İlk denklemin her iki tarafını da şu şekilde 2 ile çarp. 2(3x - y)=2(3), yani 6x - 2y = 6. Şimdi - 2y ikinci denklemdeki +2y’yi götürecektir. İki denklemi birleştirmek için sol tarafları birbiriyle ve sağ tarafları birbiriyle topla. Eğer denklemi doğru kurarsan değişkenlerden biri sıfırlanmalıdır. Son adımdaki denklemleri kullanan bir örnek:  Denklemlerin 6x - 2y = 6 ve -x + 2y = 4. Sol tarafları birleştir: 6x - 2y - x + 2y = ?  Sağ tarafları birleştir: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4. Birleştirilen denklemi sadeleştir, ardından son değişkeni çözmek için temel cebiri kullan. Eğer sadeleştirmeden sonra hiç değişken kalmazsa bu bölümdeki son adıma geç. Aksi takdirde, değişkenlerinden biri için basit bir cevap elde etmen gerekir. Örneğin:  Elindeki denklem: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.  x ve y değişkenlerini grupla: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4. Sadeleştir: 5x = 10  x’i çöz: (5x)/5 = 10/5, yani x = 2. Bilinmeyenlerden birini buldun fakat işin bitmedi. Cevabını asıl denklemlerden birinde yerine koyarak diğer bilinmeyeni bulabilirsin. Örneğin:   x = 2 olduğunu ve asıl denklemlerinden birinin 3x - y = 3 olduğunu biliyorsun. x yerine 2 koy: 3(2) - y = 3. Denklemdeki y’yi çöz: 6 - y = 3   6 - y + y = 3 + y, yani 6 = 3 + y  3 = y Bazen, iki denklem birleştirildiğinde anlamsız ya da en azından problemi çözmene yardımcı olmayan bir denklem elde edilir. İşlemlerini baştan itibaren kontrol et fakat eğer bir hata yapmamışsan aşağıdakilerden birini cevap olarak yaz:  Eğer birleştirilen denkleminde bilinmeyen yoksa ve doğru değilse (2=7 gibi) her iki denkleme uyan bir çözüm yoktur. (Eğer her iki denklemin grafiğini çizersen onların birbirlerine paralel olduğunu ve hiç kesişmediklerini göreceksin.) Eğer birleştirilen denkleminde bilinmeyen yoksa ve denklem doğru ise (0=0 gibi) denklemin sonsuz çözümü vardır. İki denklem aslında aynıdır. (Eğer iki denklemin grafiğini çizersen aynı doğru olduklarını görürsün.) Bilgisayar ya da grafik hesap makinesi kullanmıyorsan çoğu denklem sistemi bu yöntemi kullanarak sadece yaklaşık olarak çözülebilir. Öğretmenin ya da matematik ders kitabın denklemlerin doğru şeklinde grafiğini çizmeye aşina olman için senden bu yöntemi kullanmanı isteyebilir. Ayrıca diğer yöntemlerden biriyle elde ettiğin cevabı kontrol etmek için de bu yöntemi kullanabilirsin. Buradaki temel fikir her iki denklemin de grafiğini çizmek ve kesiştikleri noktayı bulmaktır. Bu noktadaki x ve y değerleri bize denklem sistemindeki x’in ve y’nin değerlerini verecektir. İki denklemi ayrı tutarak her iki denklemi "y = __x + __" formuna getirmek için cebiri kullan. Örneğin:  İlk denklemin 2x + y = 5. Bunu y = -2x + 5 şeklinde yaz. İkinci denklemin  -3x + 6y = 0. Bunu 6y = 3x + 0 yaz, ardından sadeleştir: y = ½x + 0.  Eğer her iki denklem aynıysa iki doğrunun tamamı "kesişecektir". Sonsuz çözüm yaz. Kareli bir kâğıda dikey bir "Y ekseni" ve yatay bir "X ekseni" çiz. Kesiştikleri noktadan başlayarak Y ekseninden yukarı ve yine X ekseninde sağa doğru hareket ederek eksenleri 1, 2, 3, 4, vb. şekilde numaralandır. Y ekseninde aşağı ve X ekseninde sola doğru hareket ederek eksenleri -1, -2, vb. şekilde numaralandır.  Eğer kareli kâğıdın yoksa bir cetvel kullanarak numaraların eşit aralıklarla yazıldığından emin ol. Eğer büyük ya da ondalık sayılar kullanıyorsan grafiğini farklı şekilde ölçeklendirmen gerekebilir. (Örneğin; 1, 2, 3 yerine 10, 20, 30 veya 0,1, 0,2, 0,3). y = __x + __ formunda bir denklem elde ettikten sonra doğrunun Y eksenini kestiği yere bir nokta çizerek grafiği çizmeye başlayabilirsin. Bu daima bu denklemdeki son sayıya eşit bir y değerinde olacaktır.  Önceki örneklerimizde doğrulardan biri (y = -2x + 5) y eksenini 5’te keser. Diğeri (y = ½x + 0) 0’da kesişir. (Grafikte (0,5) ve (0,0) noktaları var.) İki doğru için mümkünse farklı renkte kalemler kullan. y = __x + __ formunda x'in önündeki sayı doğrunun eğimidir. x bir arttığında, y değeri eğim miktarı kadar artacaktır. Bu bilgileri kullanarak her doğru için grafik üzerine x = 1 noktasını çiz. (Alternatif olarak, her denklemde x yerine 1 koy ve y’yi çöz.)  Örneğimizde, y = -2x + 5 doğrusu -2 eğime sahiptir. x = 1 olduğunda, doğru x = 0 noktasından 2 birim aşağı hareket eder. (0,5) ve (1,3) arasındaki doğru parçasını çiz.  y = ½x + 0 doğrusu ½ eğime sahiptir. X = 1 olduğunda, doğru x = 0 noktasından ½ birim yukarı hareket eder. (0,0) ve (1,½) arasındaki doğru parçasını çiz.  Eğer doğruların eğimi aynıysa doğrular hiç kesişmez, bu nedenle denklem sisteminin bir cevabı yoktur. Çözüm yok yaz. Dur ve grafiğine bak. Eğer doğrular kesiştiyse sonraki adıma geç. Aksi takdirde, doğruların durumuna göre bir karar ver:  Eğer doğrular birbirlerine doğru hareket ediyorsa noktaları o doğrultuda çizmeye devam et. Eğer doğrular birbirlerinden uzaklaşıyorsa geri dön ve x = 1’den başlayarak noktaları diğer yönde çiz. Eğer doğrular birbirlerine yakın değilse ileri giderek x = 10 gibi daha uzak noktaları çizmeye çalış. İki doğru kesiştikten sonra noktadaki x ve y değerleri probleminin cevabıdır. Eğer şanslıysan cevap tam sayı olacaktır. Örneğin, örneğimizdeki iki doğru (2,1) noktasında kesişiyor, bu nedenle cevap x = 2 ve y = 1 olur. Bazı denklem sistemlerinde doğrular iki tam sayının arasındaki bir değerde kesişir ve grafiğin son derece kesin değilse bunun nerede olduğunu söylemek zor olacaktır. Eğer böyle olursa "x, 1 ve 2 arasındadır" gibi bir cevap yazabilirsin ya da tam cevabı bulmak için yerine koyma veya eleme yöntemini kullanabilirsin.
Bilinmeyenleri denklemin farklı taraflarına taşı. "x’i bulmak" için denklemin her iki tarafını da böl. Bunu diğer denklemde yerine koy. Diğer değişkeni çöz. Diğer bilinmeyeni çözmek için cevabı kullan. Her iki bilinmeyen de birbirini götürdüğünde ne yapacağını öğren. Sıfırlanan değişkeni bul. Denklemin birini bir değişken sıfırlanacak şekilde çarp. İki denklemi birleştir. Son bilinmeyeni çöz. Diğer bilinmeyeni çöz. Her iki değişken sıfırlandığında ne yapacağını öğren. Bu yöntemi sadece böyle yapman istediğinde kullan. Her iki denklemi y için çöz. Koordinat eksenlerini çiz. Her doğru için y kesimini çiz. Doğru çizimine devam etmek için eğimi kullan. Kesişene kadar doğruları çizmeye devam et. Kesişimde cevabı bul.
https://www.wikihow.com/Solve-Systems-of-Algebraic-Equations-Containing-Two-Variables https://www.wikihow.com/Solve-Systems-of-Algebraic-Equations-Containing-Two-Variables https://www.wikihow.com/Solve-Systems-of-Algebraic-Equations-Containing-Two-Variables
Using the Substitution Method Using the Elimination Method Graphing the Equations