Asal Çarpanlarına Ayırmayı Kullanmak
Bu yöntem, bir sayının karekökünü bulmak için sayının çarpanlarını kullanır (sayıya bağlı olarak tam bir sayısal cevap veya yaklaşık bir tahmin olabilir). Bir sayının çarpanları bu sayının oluşması için çarpılan herhangi bir sayı dizisidir. Örneğin; 8’in çarpanlarının 2 ve 4 olduğunu söyleyebilirsin çünkü 2 × 4 = 8. Diğer taraftan, tam kareler diğer tam sayıların çarpımı olan tam sayılardır. Örneğin; 25, 36 ve 49 tam karelerdir çünkü bunlar sırasıyla 52, 62 ve 72 değerlerine eşittir. Tam kare çarpanlar, tahmin edeceğin gibi, ayrıca tam kare olan çarpanlardır. Bir karekökü asal çarpanlarına ayırarak bulmaya başlamak için, önce sayını tam kare çarpanlarına ayırmaya çalış.  Hadi bir örnek yapalım. 400’ün karekökünü elle bulmak istiyoruz. Başlarken, sayıyı tam kare çarpanlarına böleriz. 400 sayısı 100’ün katı olduğuna göre, bu sayının 25’e tam bölünebildiğini (bir tam kare olduğunu) biliyoruz. Hızlı bir zihin hesabı yaparsak 400’de 25’in 16 kez olduğunu buluruz. 16 sayısı da ne tesadüftür ki bir tam karedir. Böylece, 400’ün tam kare çarpanları 25 ve 16 bulunur çünkü 25 × 16 = 400. Bunu şu şekilde yazarız: √(400) = √(25 × 16) Kareköklerin çarpım özelliğine göre verilen herhangi bir  a ve b sayısı için; √(a × b) = √(a) × √(b). Bu özellik sayesinde, cevabı elde etmek için tam kare çarpanlarımızın kareköklerini alarak onları birbiriyle çarpabiliriz. Örneğimizde; 25 ve 16’nın kareköklerini alıyoruz. Şöyle ki:  √(25 × 16) √(25) × √(16) 5 × 4 = 20 Gerçek hayatta çoğu kez kareköklerini bulman gerekecek sayılar 400 gibi tam kare çarpanları olan güzel sayılar olmayacaktır. Bu gibi durumlarda, tam sayı olan bir cevap bulmak mümkün olmayabilir. Bunu yerine, bulabildiğin tam kare çarpanları bularak daha küçük terimli, daha basit, düzenlenmesi daha kolay bir sonuç elde edebilirsin. Bunu yapmak için, sayını tam kare çarpanlar ile tam kare olmayan çarpanların birleşimi olan bir sayı haline getir, sonrasında sadeleştir. Örnek olarak 147’nin karekökünü kullanalım. 147 iki tam karenin çarpımı değildir, bu nedenle yukarıdaki gibi bir tam sayı elde edemeyiz. Ancak, bu sayı tam kare olan bir sayı (49) ile başka bir sayının (3) çarpımından oluşur. Bu bilgiyi kullanarak cevabımızı aşağıdaki gibi en basit haliyle yazabiliriz:  √(147) = √(49 × 3) = √(49) × √(3) = 7 × √(3) Kareköklü ifade en basit halindeyken, kalan herhangi bir karekök değerini tahmin edip bununla çarparak yaklaşık bir sayısal değer elde etmek genelde oldukça kolaydır. Yaklaşık değerleri belirlemene yardımcı olacak bir şey de karekök içerisindeki sayının iki tarafında da tam kareler bulmaktır. Karekök içerisindeki sayının ondalık değerinin bu iki sayı arasında bir yerde olduğunu bildiğinden, bu ikisi arasındaki değeri tahmin edebileceksin. Şimdi örneğimize dönelim. 22 = 4 ve 12 = 1 olduğundan, √(3)’ün 1 ve 2 arasında bir yerde - muhtemelen 2’ye daha yakın - olduğunu biliyoruz. Tahminimiz 1,7 olacak. 7 × 1,7 = 11,9. İşlemimizi hesap makinesinde kontrol edersek asıl cevap olan 12,13 değerine oldukça yakın olduğumuzu görebiliriz. Bu büyük sayılarda da işe yarar. Örneğin; √(35) değerinin 5 ve 6 arasında (muhtemelen 6’ya çok yakın) olduğu tahmininde bulunabilirsin. 52 = 25 ve 62 = 36. 35, 25 ve 36 arasındadır, bu nedenlekarekökü de 5 ve 6 arasında olmalıdır. 35 ile 36 arasında 1 sayı olduğundan, karekökünün 6’dan biraz küçük olduğunu çok rahat söyleyebiliriz. Hesap makinesi ile kontrol edildiğinde cevabın 5,92 olduğunu, yani haklı olduğumuzu görebiliriz. Eğer bir sayının asal çarpanlarını kolayca belirleyebiliyorsan (ayrıca asal sayı olan çarpanlar) tam kare çarpanlarını bulmak şart değildir. Sayını en küçük ortak katları şeklinde yaz. Sonra, çarpanların arasında eşleşen asal çarpan çiftlerine bak. Eşleşen iki asal sayı bulduğunda, bu sayıların ikisini de karekökten sil ve bu sayılardan birini karekökün dışına yerleştir.  Bir örnek olarak, bu yöntemi kullanarak 45’in karekökünü bulalım. 45 = 9 × 5 ve 9 = 3 × 3 olduğunu biliyoruz. Böylece, karekökümüzü çarpanları cinsinden şu şekilde yazabiliriz: √(3 × 3 × 5). Karekökü en basit haline getirmek için 3’leri kaldırarak 3’lerden birini karekök dışına koy: 3√(5). Buradan sonra tahminde bulunmak kolay. Son bir örnek olarak 88’in karekökünü bulmaya çalışalım:  √(88) = √(2 × 44) = √(2 × 4 × 11) = √(2 × 2 × 2 × 11). Karekök içerisinde birden fazla 2 var. 2 asal bir sayı olduğundan, bir çifti kaldırarak bunlardan birini karekök dışına taşıyabiliriz. = Karekökümüzün en basit hali 2 √(2 × 11) veya 2 √(2) √(11). Buradan da istersek √(2) ve √(11) değerleri için tahminde bulunarak yaklaşık bir değer bulabiliriz.
Sayını tam kare çarpanlarına böl. Tam kare çarpanların kareköklerini al. Eğer sayı çarpanlarına tam olarak ayrılamıyorsa cevabı en basit haline getir. Gerektiği durumda tahmin yürüt. İlk adım olarak sayını en küçük ortak katlarına indirge.
https://www.wikihow.com/Calculate-a-Square-Root-by-Hand
Using Prime Factorization