Bir Örneklemin Varyansını Hesaplamak Bir Ana Kitlenin Varyansını Hesaplamak
Çoğu durumda, istatistikçiler yalnızca bir örneklemi ya da çalıştıkları ana kitlenin bir alt kümesini temin edebilirler. Örneğin, bir istatistikçi "Almanya'daki her arabanın maliyeti" ana kitlesini analiz etmek yerine, birkaç bin arabanın rastgele bir örneklem maliyetini bulabilir. İstatistikçi bu örneklemi Alman araba maliyetleri hakkında iyi bir tahminde bulunmak için kullanabilir ancak bu örneklem muhtemelen gerçek rakamlarla tam olarak eşleşmeyecektir.   Örnek: Bir kafeteryada her gün satılan kek sayısının analizini yaparken, rastgele altı gün seçiyorsun ve şu sonuçları elde ediyorsun: 38, 37, 36, 28, 18, 14, 12, 11, 10.7, 9.9. Bu bir ana kitle değil örneklemdir çünkü kafeteryanın açık olduğu her gün için veriye sahip değilsin.   Bir ana kitledeki bütün veri noktalarına sahipsen bunun yerine aşağıdaki yönteme geç. Bir veri setinin varyansı sana, veri noktalarının ne kadar dağılım gösterdiğini söyler. Varyans sıfıra ne kadar yakınsa veri noktaları o kadar yakın kümelenmiştir. Örneklem veri setleriyle çalışırken varyansı hesaplamak için aşağıdaki formülü kullan:   s2{\displaystyle s^{2}} = ∑[(xi{\displaystyle x_{i}} - x̅)2{\displaystyle ^{2}}]/(n - 1)   s2{\displaystyle s^{2}} varyanstır. Varyans, daima kare biriminde ölçülür.  xi{\displaystyle x_{i}} veri setindeki bir terimi ifade eder. "Toplam" anlamına gelen ∑, her bir xi{\displaystyle x_{i}} değerini hesaplamanı ve ardından bu değerleri birbiriyle toplamanı söyler. x̅ örneklemin ortalamasıdır. n veri noktalarının sayısıdır. X̅ veya "x-üzeri çizgi" sembolü, bir örneklemin ortalamasını ifade eder. Örneklemin ortalamasını herhangi bir ortalamayı hesapladığın gibi hesapla: Tüm veri noktalarını birbiriyle topla ve ardından veri noktalarının sayısına böl.   Örnek: Öncelikle veri noktalarını birbiriyle topla: 17 + 15 + 23 + 7 + 9 + 13 = 84. Daha sonra cevabını veri noktalarının sayısına böl, bu durumda altı: 84 ÷ 6 = 14.Örneklemin ortalaması= x̅ = 14. Ortalamayı verinin "orta noktası" olarak düşünebilirsin. Eğer veri ortalama etrafında kümelenirse varyans düşüktür. Eğer veri ortalamadan uzağa dağılırsa varyans yüksektir. Şimdi xi{\displaystyle x_{i}} - x̅’yi hesaplama zamanı, burada xi{\displaystyle x_{i}} veri setindeki her bir sayıyı ifade eder. Her cevap sana sayının ortalamadan sapmasını ya da daha açık ifadeyle ortalamadan ne kadar uzakta olduğunu söyler.   Örnek:x1{\displaystyle x_{1}} - x̅ = 17 - 14 = 3x2{\displaystyle x_{2}} - x̅ = 15 - 14 = 1x3{\displaystyle x_{3}} - x̅ = 23 - 14 = 9x4{\displaystyle x_{4}} - x̅ = 7 - 14 = -7x5{\displaystyle x_{5}} - x̅ = 9 - 14 = -5x6{\displaystyle x_{6}} - x̅ = 13 - 14 = -1 Cevaplarının toplamı sıfır olması gerektiğinden işlemini kontrol etmen basittir. Bu, ortalamanın tanımından kaynaklanır çünkü negatif cevaplar (ortalamadan daha küçük sayılara olan mesafe) pozitif cevapları (ortalamadan daha büyük sayılara olan mesafe) tamamen sıfırlar. Yukarıda belirtildiği gibi, mevcut sapmalarının listesi (xi{\displaystyle x_{i}} - x̅) toplamı sıfırdır. Bu, "ortalama sapma"nın da her zaman sıfır olacağı anlamına gelir, bu yüzden verilerin nasıl dağıldığına dair bize herhangi bir şey söylemez. Bu problemi çözmek için her bir sapmanın karesini bul. Bu işlem sapmaların hepsini pozitif sayılar yapar, dolayısıyla negatif ve pozitif değerler artık sıfırlanmaz.   Örnek:(x1{\displaystyle x_{1}} - x̅)2=32=9{\displaystyle ^{2}=3^{2}=9}(x2{\displaystyle (x_{2}} - x̅)2=12=1{\displaystyle ^{2}=1^{2}=1}92 = 81(-7)2 = 49(-5)2 = 25(-1)2 = 1 Artık örneklemindeki her bir veri noktası için bir değere (xi{\displaystyle x_{i}} - x̅)2{\displaystyle ^{2}} sahipsin. Şimdi sıra formülün tüm payını hesaplamaya geldi: ∑[(xi{\displaystyle x_{i}} - x̅)2{\displaystyle ^{2}}]. Büyük sigma ∑, her bir xi{\displaystyle x_{i}} değerini sonraki terimle toplamanı ifade eder. Örnekleminde her bir xi{\displaystyle x_{i}} değeri için (xi{\displaystyle x_{i}} - x̅)2{\displaystyle ^{2}}’yi zaten hesaplamıştın, dolayısıyla tek yapman gereken sonuçları birbiriyle toplamaktır.  Örnek: 9 + 1 + 81 + 49 + 25 + 1 = 166. Eskiden istatistikçiler örneklemin varyansını hesaplarken yalnızca n'ye bölerdi. Bu sana, buradaki örneklemin varyansıyla tam uyumlu olan kare sapmanın ortalama değerini verir. Ancak unutma, bir örneklem daha büyük bir ana kitlenin yalnızca tahminidir. Başka bir rastgele örneklem alsaydın ve aynı hesaplamayı yapsaydın farklı bir sonuç elde ederdin. Görünen o ki, n yerine n - 1'e bölmek sana, gerçekten ilgilendiğin, daha büyük ana kitlenin varyansının daha iyi bir tahminini verir. Bu düzeltme o kadar yaygındır ki artık bir örneklem varyansının tanımı olarak kabul edilmektedir.  Örnek: Örneklemde altı veri noktası bulunmaktadır, dolayısıyla n = 6.Örneklemin varyansı = s2=1666−1={\displaystyle s^{2}={\frac {166}{6-1}}=} 33.2 Formülde bir üs bulunduğundan varyansın orijinal verinin karesi biriminde ölçüldüğünü unutma. Bu, sezgisel olarak anlamayı zorlaştırabilir. Bunun yerine genellikle standart sapmayı kullanmak yararlıdır. Standart sapma, varyansın karekökü olarak tanımlandığı için çaban boşa gitmedi. İşte bu yüzden bir örneklemin varyansı s2{\displaystyle s^{2}} ve bir örneklemin standart sapması s{\displaystyle s} şeklinde yazılır. Örneğin, yukarıdaki örneklemin standart sapması = s = √33.2 = 5.76. "Ana kitle" terimi, konuyla ilgili gözlemlerin toplam setini ifade eder. Örneğin, İzmir’de oturanların yaşını inceliyorsan ana kitlen İzmir’de oturan her bir bireyin yaşını içerecektir. Normalde bunun gibi büyük bir veri seti için bir tablo oluştururdun ama burada daha küçük bir örnek veri seti var:  Örnek: Bir akvaryum odasında tam altı balık tankı bulunmaktadır. Bu altı tank aşağıdaki balık sayılarını içermektedir:x1=5{\displaystyle x_{1}=5}x2=5{\displaystyle x_{2}=5}x3=8{\displaystyle x_{3}=8}x4=12{\displaystyle x_{4}=12}x5=15{\displaystyle x_{5}=15}x6=18{\displaystyle x_{6}=18} Bir ana kitle, ihtiyacın olan tüm verileri içerdiğinden bu formül sana ana kitlenin kesin varyansını verir. Bu varyansı örneklem varyansından (yalnızca bir tahmin olan) ayırt etmek için istatistikçiler farklı değişkenler kullanırlar:  σ2{\displaystyle ^{2}} = (∑(xi{\displaystyle x_{i}} - μ)2{\displaystyle ^{2}})/n  σ2{\displaystyle ^{2}} = ana kitlenin varyansıdır. Bu küçük sigmanın karesidir. Varyans, kare birimlerinde ölçülür.  xi{\displaystyle x_{i}} veri setindeki bir terimi ifade eder. ∑ içindeki terimler her bir xi{\displaystyle x_{i}} değeri için hesaplanır ve ardından toplanır. μ ana kitlenin ortalamasıdır. n ana kitledeki veri noktalarının sayısıdır. Bir ana kitleyi analiz ederken, μ ("mü") sembolü aritmetik ortalamayı temsil eder. Ortalamayı bulmak için tüm veri noktalarını topla ve ardından veri noktalarının sayısına böl.  Ortalama kelimesinin matematikte birçok tanımı olduğu için bu kelimeyi kullanırken dikkatli ol.  Örnek: ortalama = μ = 5+5+8+12+15+186{\displaystyle {\frac {5+5+8+12+15+18}{6}}} = 10.5 Ortalamaya yakın veri noktaları sıfıra yakın bir farka yol açacaktır. Her bir veri noktası için çıkarma işlemini tekrarla, böylelikle verinin nasıl dağılım gösterdiğine dair bir fikir edinmeye başlayabilirsin.  Örnek:x1{\displaystyle x_{1}} - μ = 5 - 10.5 = -5.5x2{\displaystyle x_{2}} - μ = 5 - 10.5 = -5.5x3{\displaystyle x_{3}} - μ = 8 - 10.5 = -2.5x4{\displaystyle x_{4}} - μ = 12 - 10.5 = 1.5x5{\displaystyle x_{5}} - μ = 15 - 10.5 = 4.5x6{\displaystyle x_{6}} - μ = 18 - 10.5 = 7.5 Şu anda, son adımdaki sayılarından bazıları negatif bazıları pozitif olacaktır. Verilerini bir sayı doğrusunda gösterirsen bu iki kategori ortalamanın solundaki sayıları ve ortalamanın sağındaki sayıları temsil eder. Bu iki grup birbirini sıfırlayacağından varyansı hesaplamak işe yaramaz. Bunun yerine her bir sayının karesini al böylece bütün sayılar pozitif olur.  Örnek: 1’den 6’ya kadar i nin her bir değeri için (xi{\displaystyle x_{i}} - μ)2{\displaystyle ^{2}}:(-5.5)2{\displaystyle ^{2}} = 30.25(-5.5)2{\displaystyle ^{2}} = 30.25(-2.5)2{\displaystyle ^{2}} = 6.25(1.5)2{\displaystyle ^{2}} = 2.25(4.5)2{\displaystyle ^{2}} = 20.25(7.5)2{\displaystyle ^{2}} = 56.25 Artık her bir veri noktası için bu veri noktasının ortalamadan ne kadar uzak olduğuna dair (dolaylı olarak) bir değerin var. Bu değerleri birbiriyle toplayarak ve ardından değerlerin sayısına bölerek ortalamasını al.  Example:Ana kitlenin varyansı = 30.25+30.25+6.25+2.25+20.25+56.256=145.56={\displaystyle {\frac {30.25+30.25+6.25+2.25+20.25+56.25}{6}}={\frac {145.5}{6}}=} 24.25 Eğer bunun, bu yöntemin başındaki formülle nasıl uyumlu olduğundan emin değilsen tüm problemi elle yazmayı dene:  Ortalamadan farkını bulduktan ve karesini aldıktan sonra  (xn{\displaystyle x_{n}} - μ)2{\displaystyle ^{2}}’ye kadar olan (x1{\displaystyle x_{1}} - μ)2{\displaystyle ^{2}}, (x2{\displaystyle x_{2}} - μ)2{\displaystyle ^{2}} vb. değeri elde edersin, burada xn{\displaystyle x_{n}} setin son veri noktasıdır. Bu değerlerin ortalamasını bulmak için değerleri toplarsın ve n’ye bölersin: ( (x1{\displaystyle x_{1}} - μ)2{\displaystyle ^{2}} + (x2{\displaystyle x_{2}} - μ)2{\displaystyle ^{2}} + ... + (xn{\displaystyle x_{n}} - μ)2{\displaystyle ^{2}} ) / n Payı sigma gösterimiyle yazdıktan sonra varyans için (∑(xi{\displaystyle x_{i}} - μ)2{\displaystyle ^{2}})/n formülünü elde edersin.
Örneklem veri setini yaz. Örneklemin varyans formülünü yaz. Örneklemin ortalamasını hesapla. Her veri noktasından ortalamayı çıkar. Her bir sonucun karesini al. Kare değerlerinin toplamını bul. n - 1'e böl, n veri noktalarının sayısıdır. Varyans ve standart sapmayı öğren. Bir ana kitle veri seti ile başla. Ana kitlenin varyans formülünü yaz. Ana kitlenin ortalamasını bul. Her bir veri noktasından ortalamayı çıkar. Her bir cevabın karesini al. Sonuçlarının ortalamasını bul. Bunu formülle tekrar ilişkilendir.
https://www.wikihow.com/Calculate-Variance https://www.wikihow.com/Calculate-Variance
Calculating Variance of a Sample Calculating Variance of a Population