İkinci Dereceden Denklemli Problemler İki Doğrunun Kesişimini Bulmak
İkinci dereceden bir denklemde bir veya iki değişken, kareli ifade şeklindedir (x2{\displaystyle x^{2}} ya da y2{\displaystyle y^{2}}) ve daha büyük üslü sayı yoktur. Bu denklemlerin belirttiği doğrular eğridir, yani bir doğru ile 0, 1 ya da 2 noktada kesişebilir. Bu bölüm, problemin için nasıl 0, 1 ya da 2 çözüm bulacağını öğretecek.  Parantezli denklemleri, ikinci dereceden olup olmadığını kontrol etmek için genişlet. Örneğin, y=(x+3)(x){\displaystyle y=(x+3)(x)} ikinci dereceden bir denklemdir, çünkü  y=x2+3x{\displaystyle y=x^{2}+3x} şeklinde genişler. Bir daire ya da elips denkleminde x2{\displaystyle x^{2}} ve y2{\displaystyle y^{2}}’li ifadelerin ikisi de vardır. Eğer bu özel durumlarla ilgil sorun yaşıyorsan aşağıdaki İpuçları bölümüne bak. Gerekirse her denklemi, y bir tarafta yalnız olacak şekilde yeniden yaz.   Örnek: x2+2x−y=−1{\displaystyle x^{2}+2x-y=-1} ve y=x+7{\displaystyle y=x+7} eğrilerinin kesişimini bul. İkinci dereceden denklemleri y cinsinden yeniden yaz:  y=x2+2x+1{\displaystyle y=x^{2}+2x+1} ve y=x+7{\displaystyle y=x+7}. Bu örnekte bir tane ikinci dereceden denklem ve bir tane doğrusal denklem vardır. İki tane ikinci dereceden denklem bulunan problemler benzer yoldan çözülür. İki denklemi de y’ye eşitledikten sonra y’nin bulunmadığı tarafların birbirine eşit olduğunu biliyorsun.   Örnek: y=x2+2x+1{\displaystyle y=x^{2}+2x+1} ve y=x+7{\displaystyle y=x+7}  x2+2x+1=x+7{\displaystyle x^{2}+2x+1=x+7} Tüm terimleri bir tarafta toplamak için standart cebirsel teknikleri kullan. Böylece problem bir sonraki adımda çözebileceğimiz hâle gelecektir.   Örnek: x2+2x+1=x+7{\displaystyle x^{2}+2x+1=x+7}  İki taraftan x çıkar: x2+x+1=7{\displaystyle x^{2}+x+1=7} İki taraftan 7 çıkar: x2+x−6=0{\displaystyle x^{2}+x-6=0} . Bir tarafı sıfıra eşitledikten sonra ikinci dereceden bir denklemi çözmek için üç yol vardır. Yöntemlerin kolaylığı kişiden kişiye göre değişir. İkinci dereceden formül veya "tam kareye tamamlama" konusunu okuyabilir ya da aşağıdaki çarpanlarına ayırma yöntemi örneğini takip edebilirsin:   Örnek: x2+x−6=0{\displaystyle x^{2}+x-6=0}  Çarpanlarına ayırmanın amacı bu denklemi oluşturacak iki çarpanı bulmaktır. İlk terimden başlayalım; x2{\displaystyle x^{2}}’nin x ve x şeklinde ayrılabileceğini biliyoruz. Bunu göstermek için (x    )(x    ) = 0 yaz. Son terim -6. Eksi altıyı veren çarpan çiftlerini listele: −6∗1{\displaystyle -6*1}, −3∗2{\displaystyle -3*2}, −2∗3{\displaystyle -2*3} ve −1∗6{\displaystyle -1*6}. Ortadaki terim x (1x şeklinde de yazılabilir). 1 cevabını elde edene kadar her çarpan çiftini topla. Doğru çarpan çifti −2∗3{\displaystyle -2*3} çünkü −2+3=1{\displaystyle -2+3=1}. Cevabındaki boşlukları şu çarpan çiftleriyle doldur: (x−2)(x+3)=0{\displaystyle (x-2)(x+3)=0}. Eğer çok hızlı çalışırsan problemin bir çözümünü bulabilir ve ikincisini fark etmeyebilirsin. İki noktada kesişen doğruların iki x değeri şöyle bulunur:   Örnek (çarpanlarına ayırma): Son olarak (x−2)(x+3)=0{\displaystyle (x-2)(x+3)=0} denklemini elde ettik. Eğer parantez içindeki çarpanlardan biri 0’a eşitse denklem doğrudur. Çözümlerden biri x−2=0{\displaystyle x-2=0} → x=2{\displaystyle x=2}. Diğer çözüm x+3=0{\displaystyle x+3=0} → x=−3{\displaystyle x=-3}.  Örnek (ikinci dereceden denklem ya da tam kareye tamamlama): Eğer denklemini çözmek için bu yöntemlerden birini kullandıysan bir karekök gelecektir. Örneğin, denklemimiz x=(−1+25)/2{\displaystyle x=(-1+{\sqrt {25}})/2} olur. Bir karekökün iki farklı şekilde sadeleştirilebildiğini unutma: 25=5∗5{\displaystyle {\sqrt {25}}=5*5} ve 25=(−5)∗(−5){\displaystyle {\sqrt {25}}=(-5)*(-5)}. Her olasılık için bir tane olacak şekilde iki denklem yaz ve her bir x’i çöz. Birbirine belli belirsiz dokunan iki doğru bir noktada kesişir ve hiç dokunmayan iki doğru hiç kesişmez. Bunları şöyle tanıyabilirsin:  Bir çözümlü: Problem çarpanlarına ayrıldığında iki benzer çarpan elde edilir ((x-1)(x-1) = 0). İkinci dereceden denklemde yerine konulduğunda kareköklü ifade 0{\displaystyle {\sqrt {0}}} olur. Sadece bir denklemi çözmen gerekir. Çözümsüz: Gereksinimleri karşılayan çarpan yoktur (toplamı orta terime eşit olan). İkinci dereceden denklemde yerine konulduğunda karekök işaretinin altında negatif bir sayı elde edersin (−2{\displaystyle {\sqrt {-2}}} gibi). Cevap olarak "çözüm yok" yaz. Kesişiminin x değerini elde ettiğinde, bu değeri başlangıçtaki denklemlerden birinde yerine koy. Denklemi y değerini bulmak için çöz. Eğer ikinci bir x değerin varsa bunun için de işlemi tekrar et.  Örnek: İki çözüm bulduk, x=2{\displaystyle x=2} ve x=−3{\displaystyle x=-3}. Doğrularımızdan birinin denklemi y=x+7{\displaystyle y=x+7}. y=2+7{\displaystyle y=2+7} ve y=−3+7{\displaystyle y=-3+7} değerlerini yerine koyup denklemleri çözdüğünde y=9{\displaystyle y=9} ve y=4{\displaystyle y=4} sonucuna ulaşırsın. Şimdi, cevabını kesişim noktasının x ve y değeri ile koordinat biçiminde yaz. Eğer iki cevabın varsa doğru x ve y değerlerini eşleştirdiğinden emin ol.  Örnek: x=2{\displaystyle x=2} değerini yerine koyduğumuzda, y=9{\displaystyle y=9} buluruz, yani kesişimlerden birisi (2, 9) noktasında. İkinci çözümümüz için aynı işlemi yaptığımızda diğer kesişimin (-3, 4) noktasında olduğunu buluruz. Eğer gerekliyse y{\displaystyle y}, eşittir işaretinin bir tarafında kalacak şekilde denklemi yeniden düzenle. Eğer denklemde y{\displaystyle y} yerine f(x){\displaystyle f(x)} veya g(x){\displaystyle g(x)} kullanılıyorsa o terimi ayır. Unutma, iki tarafa da aynı işlemi yaparak terimleri yok edebilirsin.  Eğer denklemleri bilmiyorsan elindeki bilgiye dayanarak onları bul.  Örnek: İki doğrun y=x+3{\displaystyle y=x+3} ve y−12=−2x{\displaystyle y-12=-2x}. İkinci denklemdeki y{\displaystyle y}’yi yalnız bırakmak için iki tarafa da 12 ekle: y=12−2x{\displaystyle y=12-2x} İki doğrunun da x{\displaystyle x} ve y{\displaystyle y} değerlerinin aynı olduğu bir noktayı arıyoruz; bu nokta doğruların kesiştiği noktadır. İki denklemin sol tarafında sadece y{\displaystyle y} var, yani sağ tarafların birbirine eşit olduğunu biliyoruz. Bunu ifade eden yeni bir denklem yaz.  Örnek: y=x+3{\displaystyle y=x+3} ve y=12−2x{\displaystyle y=12-2x} olduğunu biliyoruz, bu sebeple x+3=12−2x{\displaystyle x+3=12-2x}. Yeni denklemde sadece bir değişken var, yani x{\displaystyle x}. Bunu, her iki tarafta aynı işlemi yaparak çöz. x{\displaystyle x}’li terimleri denklemin bir tarafına al, ardından x=??{\displaystyle x=??} biçimine getir (eğer mümkün değilse bu bölümün en sonuna geç).   Örnek: x+3=12−2x{\displaystyle x+3=12-2x}  İki tarafa da 2x{\displaystyle 2x} ekle: 3x+3=12{\displaystyle 3x+3=12} İki taraftan da 3 çıkar: 3x=9{\displaystyle 3x=9} İki tarafı da 3’e böl:  x=3{\displaystyle x=3}. Her iki doğru için denklemi seç. Denklemdeki her x{\displaystyle x}’in yerine bulduğun cevabı koy. y{\displaystyle y}’yi bulmak için gereken işlemi yap.   Örnek: x=3{\displaystyle x=3} ve y=x+3{\displaystyle y=x+3}  y=3+3{\displaystyle y=3+3} y=6{\displaystyle y=6} Aynı sonucu elde edip etmeyeceğini görmek için bulduğun x{\displaystyle x} değerini diğer denklemde yerine koymak iyi bir fikirdir. Eğer y{\displaystyle y} için farklı bir sonuç elde edersen geri dön ve işlemindeki hataları kontrol et.   Örnek: x=3{\displaystyle x=3} ve y=12−2x{\displaystyle y=12-2x}  y=12−2(3){\displaystyle y=12-2(3)} y=12−6{\displaystyle y=12-6} y=6{\displaystyle y=6} Bu öncekiyle aynı cevap. Herhangi bir hata yapmamışız. İki doğrunun kesiştiği noktanın x{\displaystyle x} ve y{\displaystyle y} değerlerini çözmüş olduk. İlk nokta x{\displaystyle x} olacak şekilde noktayı bir koordinat çifti olarak yaz.   Örnek: x=3{\displaystyle x=3} ve y=6{\displaystyle y=6}  İki doğru (3,6) noktasında kesişir. Bazı denklemlerde x{\displaystyle x}’i çözmek imkânsızdır. Bu, her zaman hata yaptığın anlamına gelmez. Bir çift doğrunun özel bir çözüme sahip olmasının iki yolu vardır:  Eğer iki doğru paralel ise kesişmez. x{\displaystyle x}’li terimler birbirini götürür ve denklem yanlış bir ifade verir (0=1{\displaystyle 0=1} gibi). Cevap olarak "doğrular kesişmiyor" ya da "bir çözüm yok" yaz. Eğer iki denklem de aynı doğruyu tanımlıyorsa her yerde "kesişirler". x{\displaystyle x}’li terimler birbirini götürür ve denklem doğru bir ifade verir. (3=3{\displaystyle 3=3} gibi). Cevap olarak "iki doğru birbirine eşit" yaz.
İkinci dereceden denklemleri tanı. Denklemleri y cinsinden yaz. y’yi yok etmek için iki denklemi birleştir. Bir taraf sıfıra eşit olacak şekilde yeni bir denklem kur. İkinci dereceden denklemi çöz x’in iki çözümünü gözden kaçırma. Bir çözümlü veya çözümsüz problemleri çöz. x değerlerini asıl denklemlerden birinde yerine koy. Nokta koordinatlarını yaz. Her doğru için y{\displaystyle y} solda olacak şekilde denklemi yaz. Denklemin sağ taraflarını birbirlerine eşitle. x’i bul. Bu x{\displaystyle x} değerini y{\displaystyle y}’yi bulmak için kullan. İşlemini kontrol et. Kesişimin x{\displaystyle x} ve y{\displaystyle y} koordinatlarını yaz. Beklenmedik sonuçların üstesinden gel.
https://www.wikihow.com/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines https://www.wikihow.com/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines
Problems with Quadratic Equations Finding the Intersection of Two Straight Lines