Множества чисел
Для начала, Множество - это неопределяемое понятие в математике. Это такая вещь, которая и может содержать в себе элементы, а может быть пустым (пустое множество). И конечно, все мы знаем такую вещь, как множество натуральных чисел.

Множество натуральных чисел - это все числа, использующиеся при счете (1, 2, 3, 4...), и конечно же, элементов этого множества бесконечно много. Если смело утверждать что, конкретное число является последним натуральным, всегда можно сказать число на единицу больше.Так вот, есть много множеств, которые имеют бесконечно элементов, и несмотря на это, их умудряются сравнивать. Обычное сравнение тут не сработает, нет множества, где элементов больше бесконечности, они не фиксированные чтобы сравнить количество. Именно для сравнения, и вводят понятие "мощности множества".

Множества называют равномощными, если есть алгоритм, по которому можно поставить каждому элементу одного множества, элемент второго. Множество А, называют мощнее множества В, если В является частью множества А.

То есть множество целых чисел (натуральные, обратные им и ноль) - равномощно множеству натуральных чисел. Так как если записывать целые так: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3..., то каждому в соответствие можно записать натуральное.( 0=1, 1=2, -1=3, 2=4, -2=5...).

Так вот о чем я. Есть такое множество чисел, называется множеством вещественных. Всем нам известная числовая прямая, у которой все точки являются вещественными числами. Так вот, существует, и имеет теорема Кантора, гласящая что, Множество вещественных чисел несчетно. Счетным множеством называют множество, которое равномощно натуральному (все элементы множества можно записать в определенном прядке).

Отсюда возникает вопрос, откуда это лишнее несчетное множество? Если из несчетного множества вычесть счетное, получится все равно несчетное.

Список множеств чисел:

- Множество натуральных чисел - это (1, 2, 3, 4...) - числа, использующиеся при счете.
- Множество целых чисел - (...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...) - это натуральные числа, обратные им и ноль
- Множество рациональных чисел - (1/2, 1/3, 1, 2, 2/3...) это все числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби.
- Множество алгебраических чисел - (2^(1/2)...) - это числа, для которых существует многочлен, корнем которого будет являться это число. Например (XX-2=0, это многочлен, его корни, плюс-минус корень из двух).
- Множество вычислимых чисел - (число е, число пи) это числа, к которым можно составить алгоритм вычисления. То есть можно придумать что-то, чтобы посчитать число.

Все приведенные множества счетны. И каждое последующее, включает в себя предыдущее. То есть все числа натуральные, также являются вычислимыми. И возникает вопрос, если множество вычислимых чисел счетно, а вещественных несчетно, следовательно существуют и невычислимые числа! То есть никто не сможет придумать какой-либо алгоритм, чтобы вычислить или записать эти числа.

Вся эта информация, является ужимками из многочисленной теории, что дали на первом курсе МГТУ им. Н. Э. Баумана.