ในทางคณิตศาสตร์อนุกรมมีความหมายว่าอะไร?
อนุกรม
ในทางคณิตศาสตร์ อนุกรม คือผลจากการบวกสมาชิกทุกตัวของลำดับไม่จำกัดเข้าด้วยกัน หากกำหนดให้ลำดับของจำนวนเป็น { a n } = a 1 , a 2 , a 3 , . . . {\displaystyle \{a_{n}\}=a_{1},a_{2},a_{3},...} อนุกรมของลำดับนี้ก็คือ a 1 + a 2 + a 3 + . . . {\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+...} อนุกรมสามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ของผลรวม ∑ เช่นตัวอย่างนี้เป็นอนุกรมของลำดับ { 1 / 2 n } {\displaystyle \{1/2^{n}\}}
การบวก
การแปลความหมายของการบวกในระดับเบื้องต้น สามารถแสดงได้ด้วยการรวมกลุ่มวัตถุเข้าด้วยกัน นั่นคือ
การแปลความหมายเช่นนี้สามารถแสดงให้เห็นได้ด้วยภาพ ซึ่งอาจจะมีความกำกวมบ้างเล็กน้อย ความหมายนี้มีประโยชน์ต่อคณิตศาสตร์ในระดับสูงขึ้นไป โดยเฉพาะการนิยามเป็นต้น อย่างไรก็ตามการอธิบายด้วยการรวมกลุ่มอาจให้ความหมายไม่ชัดเจน เมื่อขยายการบวกออกไปบนเศษส่วนหรือจำนวนลบเป็นอาทิ  การประลัย
การประลัย (อังกฤษ: Annihilation) มีนิยามว่า"การทำลายทั้งหมด"หรือ"การลบล้างเสร็จสมบูรณ์"ของวัตถุ มีรากศัพท์ในภาษาละตินว่า nihil (ไม่มี) แปลตามตัวอักษรเป็น "เพื่อให้กลายเป็นไม่มี"
ในฟิสิกส์ เป็นคำที่ใช้เพื่อแสดงกระบวนการที่เกิดขึ้นเมื่อมีการชนกันของอนุภาคย่อยของอะตอม กับ ปฏิยานุภาค เนื่องจากพลังงานและโมเมนตัมจะต้องมีการอนุรักษ์ จึงเป็นอนุภาคที่ไม่ได้ทำให้เกิดขึ้นจริงจนกลายเป็นความไม่มีอะไร แต่ค่อนข้างจะเป็นอนุภาคใหม่ ปฏิยานุภาคมีเลขควอนตัมที่ตรงกันข้ามเป็นสิ่งที่เพิ่มเติมจากอนุภาค ดังนั้นผลบวกของเลขควอนตัมทั้งหมดของคู่อนุภาคต้นฉบับจึงเป็นศูนย์ ดังนั้นชุดของอนุภาคใด ๆ อาจมีการผลิตที่มีเลขควอนตัมรวมทั้งหมดยังมีค่าเป็นศูนย์ตราบใดที่ยังมีการอนุรักษ์พลังงานและการอนุรักษ์โมเมนตัมตามที่เชื่อกัน เมื่ออนุภาคและแอนติอนุภาคของมันชนกัน พลังงานของพวกมันจะถูกแปลงเป็นอนุภาคพาหะแรงเช่น กลูออน, อนุภาคพาหะแรง W/Z, หรือโฟตอน อนุภาคเหล่านี้จะถูกเปลี่ยนแปลงในภายหลังเป็นอนุภาคอื่น ๆ ต่อไป  การดำเนินการ (คณิตศาสตร์)
การดำเนินการ ω นิยามโดยฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบ
เมื่อเซต "X" คือโดเมน เซต "Y" คือโคโดเมน และ "k" ที่เรียกว่า อาริตี้ (arity) คือจำนวนอาร์กิวเมนต์ของการดำเนินการ ซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ดังนั้นการดำเนินการเอกภาคจะมีอาริตี้เท่ากับ 1 และการดำเนินการทวิภาคจะมีอาริตี้เท่ากับ 2 เป็นต้น ส่วนการดำเนินการที่มีอาริตี้เท่ากับ 0 จะเรียกว่า "การดำเนินการสุญภาค" คือจะมีสมาชิกเพียงโคโดเมน "Y" ส่วนการดำเนินการที่มีอาริตี้เท่ากับ "k" จะเรียกว่า "การดำเนินการ k ภาค" ดังนั้น การดำเนินการ "k" ภาค จึงเป็นความสัมพันธ์ที่เป็นฟังก์ชัน "k"+1 ภาค จากโดเมนทั้งหมด "k" เซต ไปยังโคโดเมนเซตเดียว การอนุมาน
เราสามาถเห็นได้ว่า บทตั้งและบทสรุปนั้นเป็นความจริง แต่ว่า คำถามที่สำคัญเกี่ยวกับการอนุมานแบบนิรนัยก็คือว่า ค่าของความจริงจากบทสรุปนั้น ได้มาจากค่าความจริงของบทตั้งอย่างสมเหตุผลหรือไม่ คือ จริง ๆ แล้ว ความสมเหตุสมผล (validity) ของการอนุมาน ขึ้นอยู่กับรูปแบบของการอนุมาน ซึ่งก็หมายความว่า ความสมเหตุสมผลไม่ได้หมายถึงความจริงของบทตั้งหรือบทสรุป แต่มุ่งถึงรูปแบบของการอนุมาน บทอนุมานอาจจะสมเหตุผล แม้ว่าบทตั้งหรือบทสรุปอาจจะไม่จริง และบทอนุมานอาจจะไม่สมเหตุผล แม้ว่าบทตั้งหรือบทสรุปอาจจะเป็นจริง แต่ว่า บทอนุมานที่สมเหตุผล และบทตั้งที่เป็นจริง จะนำไปสู่บทสรุปที่เป็นจริงเสมอ เหมือนกับตัวอย่างที่ได้กล่าวมาแล้ว ประพจน์
ในตรรกศาสตร์และปรัชญา ประพจน์ (English: proposition) หมายถึงประโยคบอกเล่า (หรือประโยคปฏิเสธเชิงบอกเล่า) ที่มีเนื้อหาหรือความหมาย หรือหมายถึงรูปแบบของสัญลักษณ์ เครื่องหมาย หรือเสียงที่ทำให้เกิดประโยคบอกเล่าที่มีความหมาย ความหมายของประพจน์รวมไปถึงสมบัติที่บอกได้ว่าเป็นความจริงหรือความเท็จ (ตีความด้วยค่าความจริง) และประพจน์เช่นนั้นถือว่าเป็น truthbearer ส่วนประโยคคำถาม คำสั่ง ขอร้อง คำอุทาน หรือประโยคที่ไม่สามารถระบุค่าความจริงได้ ไม่เป็นประพจน์ อนุกรม
sup N | ∑ n = 0 N b n | < ∞ , ∑ | λ n + 1 − λ n | < ∞ and λ n B n converges {\displaystyle \sup _{N}{\Bigl |}\sum _{n=0}^{N}b_{n}{\Bigr |}<\infty ,\ \ \sum |\lambda _{n+1}-\lambda _{n}|<\infty \ {\text{and}}\ \lambda _{n}B_{n}\ {\text{converges}}} สเปกตรัม
สเปกตรัม (ละติน spectrum "ภาพ, การปรากฏ") หมายถึง เงื่อนไขอย่างหนึ่ง ที่ไม่ได้จำกัดเฉพาะกลุ่มของค่าหนึ่งๆ แต่สามารถแปรผันได้อย่างไม่สิ้นสุดภายใต้ความต่อเนื่อง (continuum) คำนี้มีการใช้เป็นครั้งแรกในเรื่องวิทยาศาสตร์ที่เกี่ยวกับทัศนศาสตร์ (optics) โดยเฉพาะแถบสีรุ้งที่ปรากฏจากการแยกแสงขาวด้วยปริซึม นอกจากนั้นแล้วสามารถใช้ในความหมายอื่นที่ไม่ใช่วิทยาศาสตร์ เช่น สเปกตรัมของความคิดเห็นทางการเมือง สเปกตรัมของการออกฤทธิ์ของยา ซึ่งค่าต่างๆ ในสเปกตรัมไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนที่นิยามไว้อย่างแม่นยำเหมือนในทัศนศาสตร์ แต่เป็นค่าบางค่าที่อยู่ภายในช่วงของสเปกตรัม อนุกรม
∑ n = 0 ∞ | a n | {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|} คำอนุภาค
ภาษาไทยมีคำอนุภาคจำนวนหนึ่ง ซึ่งหลักภาษาดั้งเดิมถูกกำหนดให้เป็นคำวิเศษณ์ เช่น นะ จ๊ะ เถอะ เถิด หรอก ซิ สิ น่ะ แน่ะ หนอ ละ ล่ะ กระมัง ครับ ค่ะ คะ ไหม หรือ เหรอ ฯลฯ เพื่อเน้นเจตนาของผู้พูดว่าต้องการเนื้อความบอกเล่า สั่ง ถาม ขู่ อ้อนวอน ขอร้อง แนะนำ เชิญชวน บังคับ เป็นต้น สามารถแบ่งเป็นสองกลุ่มได้แก่ คำอนุภาคที่เติมท้ายประโยค เพื่อแสดงเจตนาของผู้พูด และคำอนุภาคที่ไม่เติมท้ายประโยค คืออาจอยู่ต้นประโยคหรือระหว่างประโยคก็ได้ เพื่อเน้นความให้เด่นชัด มิติ
มิติ ความหมายโดยทั่วไปหมายถึง สิ่งที่บอกคุณสมบัติของวัตถุ ได้แก่ ความกว้าง ความยาว และ ความสูง ส่วนในทางคณิตศาสตร์ มิติ หมายถึงจำนวนตัวเลขที่ต้องการเพื่อระบุตำแหน่งและคุณสมบัติของวัตถุใด ๆ ในปริภูมิ ในศาสตร์ต่าง ๆ อาจนิยามความหมายของคำว่า มิติ แทนจำนวนพารามิเตอร์ที่เกี่ยวข้อง เช่น ต้นทุน และ ราคา ในทางเศรษฐศาสตร์ อนุกรม
วิธีที่ง่ายที่สุดที่จะทำให้อนุกรมไม่จำกัดเป็นอนุกรมลู่เข้า นั่นคือ a n {\displaystyle a_{n}} ทุกพจน์มีค่าเป็นศูนย์ ซึ่งสังเกตได้จากผลรวมบางส่วนของอนุกรม ส่วนการลู่เข้าของอนุกรมที่พจน์ต่างๆ ไม่เป็นศูนย์ เป็นสาระสำคัญของการศึกษาอนุกรม ลองพิจารณาตัวอย่างนี้ อนุพันธ์
นิพจน์สุดท้ายแสดงให้เห็นว่าอัตราส่วนของผลต่างเท่ากับ เมื่อ และไม่นิยามเมื่อ เนื่องจากนิยามของอัตราส่วนของผลต่าง อย่างไรก็ตาม นิยามของลิมิตกล่าวว่าอัตราส่วนของผลต่างไม่จำเป็นต้องนิยามเมื่อ ลิมิตก็คือผลลัพธ์จากการให้ เข้าสู่ศูนย์ ซึ่งหมายถึงแนวโน้มของค่า เมื่อ มีค่าน้อยลงมาก ๆ อนุกรม
x = 0.111 … {\displaystyle x=0.111\dots } สูตร
ในทางคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ สูตร หมายถึง แนวทางสั้นๆ ที่ใช้อธิบายความรู้ด้วยสัญลักษณ์ (เช่นสูตรคณิตศาสตร์หรือสูตรเคมี) หรือความสัมพันธ์ทั่วไปในเรื่องปริมาณ หนึ่งในสูตรต่างๆ ที่เป็นที่รู้จักกันดีคือ สูตรของอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ ที่ว่า formula_1 เป็นต้น เหตุผลวิบัติโดยอัตราพื้นฐาน
ในรูปแบบการแสดงปัญหาเช่นนี้ ข้อมูลตัวเลขที่เกี่ยวข้องคือ "p" (เมา), "p" (เครื่องแสดงว่าเมา | เมา), และ "p" (เครื่องแสดงว่าเมา | ไม่เมา) เป็นการแสดงโดยอัตราส่วนที่มีตามธรรมชาติ
งานวิจัยโดยการทดลองพบว่า เราจะอนุมานใกล้เคียงกับกฎความน่าจะเป็นของ Bayes มากกว่าเมื่อแสดงปัญหาอย่างนี้ ซึ่งช่วยแก้ปัญหาการละเลยอัตราพื้นฐานทั้งในคนทั่วไป และทั้งในผู้ชำนาญการและนักวิชาการ 
และดังนั้น องค์กรต่าง ๆ รวมทั้งองค์กรความร่วมมือคอเครนแนะนำให้ใช้รูปแบบเช่นนี้ในการสื่อสารบทความสุขภาพที่มีการกล่าวถึงค่าสถิติ 
และการสอนให้คนแปลปัญหาที่ต้องใช้เหตุผลโดยกฎความน่าจะเป็นของ Bayes ให้เป็นปัญหาที่แสดงรูปแบบอัตราส่วนโดยธรรมชาติ เป็นวิธีการสอนที่ได้ผลดีกว่าสอนให้ใส่ตัวเลขค่าความน่าจะเป็น (หรืออัตราร้อยละ) เข้าไปใน Bayes' theorem 
นอกจากนั้นแล้ว ยังมีงานวิจัยที่แสดงด้วยว่า การแสดงอัตราส่วนโดยใช้ตัวแทนสัญลักษณ์ (เช่น แสดงรูปคนตามจำนวนประชากร) จะช่วยเราให้สามารถทำการอนุมานได้ดีขึ้น
ทำไมการแสดงปัญหาเป็นอัตราส่วนโดยธรรมชาติจึงช่วยแก้ปัญหา เหตุผลสำคัญอย่างหนึ่งก็คือเพราะช่วยทำการคำนวณให้ง่ายขึ้น ซึ่งสามารถเห็นได้ถ้าใช้วิธีการคำนวณค่าความน่าจะเป็นที่ต้องการคือ "p" (เมา|เมื่อเครื่องแสดงว่าเมา) หรือ "p" (drunk|D) 
โดยมี "N" (drunk ∩ D) หรือ "N" (เมา ∩ เครื่องแสดงว่าเมา) หมายถึงจำนวนคนขับที่เมาด้วยและเครื่องแสดงว่าเมาด้วย
และ "N" (D) หรือ "N" (เครื่องแสดงว่าเมา) หมายถึงจำนวนคนขับทั้งหมดที่เครื่องจะแสดงว่าเมา
สูตรนี้เท่าเทียมกับสูตรที่แสดงในตัวอย่างที่ผ่านมาแล้ว ซึ่งเป็นไปตามกฎของทฤษฎีความน่าจะเป็น
ว่า "N" (drunk ∩ D) = "p" (D | drunk) × "p" (drunk) คือ "N" (เมา ∩ เครื่องบอกว่าเมา) = "p" (เครื่องบอกว่าเมา | เมา) × "p" (เมา)
ที่สำคัญก็คือว่า แม้ว่าจริง ๆ แล้วสูตรนี้จะเท่าเทียมกับสูตรที่เป็นไปตามกฎของ Bayes โดยรูปนัย แต่ว่า ตามความรู้สึกหรือตามความคิดแล้ว จะไม่เท่าเทียมกัน
การใช้อัตราส่วนโดยธรรมชาติทำการอนุมานให้ง่ายขึ้น เพราะว่า 
ถึงกระนั้น อย่าเข้าใจว่า รูปแบบอัตราส่วนทุก ๆ แบบจะช่วยในการคิดหาค่าความน่าจะเป็น 
คือ อัตราส่วน "โดยธรรมชาติ" จะหมายถึงข้อมูลที่มีรูปแบบเหมือนกับการชักข้อมูล/การหาข้อมูลโดยธรรมชาติจริง ๆ (เช่นตัวอย่างที่สองในแบบปัญหาที่พึ่งแสดง) ไม่ใช่ค่าอัตราส่วนที่ได้มีการทำให้เป็นบรรทัดฐาน (normalized) อนันต์
อนันต์ (; ใช้สัญลักษณ์ ∞) เป็นแนวคิดในทางคณิตศาสตร์และปรัชญาที่อ้างถึงจำนวนที่ไม่มีขอบเขตหรือไม่มีที่สิ้นสุด ในประวัติศาสตร์ ผู้คนต่างพัฒนาแนวคิดต่าง ๆ เกี่ยวกับธรรมชาติของอนันต์ ในทางคณิตศาสตร์ มีการจำกัดความของคำว่าอนันต์ในทฤษฎีเซต ภาษาอังกฤษของอนันต์ที่ว่า Infinity มาจากคำในภาษาละติน "infinitas" ซึ่งแปลว่า "ไม่มีที่สิ้นสุด" ค่าสัมบูรณ์
นิยามได้ดังนี้: สำหรับจำนวนจริงใดๆ "a", ค่าสัมบูรณ์ของ "a" เขียนแทนด้วย |"a"| เท่ากับ "a" ถ้า "a" ≥ 0 และเท่ากับ −"a" ถ้า "a" อสมการ) |"a"| จะไม่เป็นจำนวนลบ ค่าสัมบูรณ์จะเป็นจำนวนบวกหรือศูนย์เสมอ นั่นคือจะไม่มีค่า "a" ที่ |"a"| ระยะทางในคณิตศาสตร์มักเขียนในรูปค่าสัมบูรณ์อยู่เสมอ เมื่อจำนวนจริงถูกพิจารณาเหมือนเป็นเวกเตอร์หนึ่งมิติ ค่าสัมบูรณ์คือขนาด และ p-นอร์มสำหรับ p ใดๆ ที่ตัวประกอบคงที่ ทุกๆนอร์มใน R จะเท่ากับค่าสัมบูรณ์: ||x||=||1||•|x| อนุกรม
อนุกรม ∑ a n {\displaystyle a_{n}} จะเรียกว่า ลู่เข้า (converge) เมื่อลำดับ { S N } {\displaystyle \{S_{N}\}} ของผลรวมบางส่วนมีลิมิตที่ไม่เป็นอนันต์ แต่ถ้าลิมิตของ S N {\displaystyle S_{N}} เป็นอนันต์หรือไม่มีลิมิต อนุกรมนั้นจะเรียกว่า ลู่ออก (diverge) และเมื่อผลรวมบางส่วนมีลิมิต เราเรียกลิมิตนั้นว่าเป็น ผลรวมของอนุกรม อนุภาค
อนุภาค หมายถึงสสารที่มีปริมาณน้อยมากหรือเล็กมาก อาจหมายถึง ช่วง (คณิตศาสตร์)
ในวิชาคณิตศาสตร์ ช่วง (ของจำนวนจริง) เป็นเซตของจำนวนจริงที่มีสมบัติว่าจำนวนใด ๆ ที่มีค่าระหว่างสองจำนวนในเซตก็คือสมาชิกในเซตนั้น ตัวอย่างเช่น เซตของทุกจำนวน ที่ คือช่วงที่ประกอบด้วย และ รวมทั้งจำนวนระหว่างจำนวนทั้งสองนี้ด้วย ตัวอย่างอื่น ๆ เช่น เซตของทุกจำนวนจริง formula_1, เซตของทุกจำนวนจริงลบ, และเซตว่าง อนุกรม
กำหนดให้ลำดับไม่จำกัดของจำนวนจริง { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} เรานิยามให้ แฮมิลโทเนียน (กลศาสตร์ควอนตัม)
ในวิชากลศาสตร์ควอนตัม แฮมิลโทเนียนเป็นตัวดำเนินการที่สอดคล้องกับผลรวมของพลังงานในระบบของเหตุการณ์ที่พบเจอเป็นส่วนใหญ่ มักจะใช้สัญลักษณ์เป็น "H" หรือ "Ȟ" หรือ "Ĥ" โดยสเปกตรัมคือชุดของค่าที่หาออกมาได้เมื่อทำการวัดค่าพลังงานรวมของระบบ เพราะสิ่งเหล่านี้จะมีความสอดคล้องกับความสัมพันธ์ของเวลา (time-evolution)ของระบบนั้นๆ ซึ่งมีความสำคัญมากกับสูตรการคำนวณของควอนตัมเป็นส่วนใหญ่ อนุภาคมูลฐาน
สสารในชีวิตประจำวันจะประกอบด้วยอะตอม ที่ครั้งหนึ่งเคยถูกสันนิษฐานว่ามันเป็นอนุภาคมูลฐานของสสาร คำว่า "อะตอม" แปลว่า "แบ่งไม่ได้" ในภาษากรีก แม้ว่าการมีอยู่ของอะตอมยังคงเป็นที่ถกเถียงกันจนถึงประมาณปี 1910 อย่างที่นักฟิสิกส์ชั้นนำบางคนถือว่าโมเลกุลเป็นภาพลวงตาทางคณิตศาสตร์ และถือว่าสสารอย่างสุดขั้วที่สุดจะประกอบด้วยพลังงาน ในไม่ช้า มีการค้นพบว่าอะตอมประกอบด้วยองค์ประกอบย่อย เมื่อเริ่มทศวรรษที่ 1930 อิเล็กตรอนและโปรตอนได้ถูกค้นพบ พร้อมกับโฟตอนซึ่งเป็นอนุภาคของรังสีแม่เหล็กไฟฟ้า ในช่วงเวลานั้น การค้นพบล่าสุดของกลศาสตร์ควอนตัมได้มีก​​ารเปลี่ยนแปลงอย่างรุนแรงของแนวคิดของอนุภาค อย่างเช่นอนุภาคเดี่ยวดูเหมือนจะสามารถขยายสนามได้อย่างที่คลื่นสามารถทำได้ (ทวิภาคของอนุภาคกับคลื่น ()) ข้อความที่ขัดแย้งยังคงหลีกเลี่ยงคำอธิบายที่น่าพอใจ ปฏิยานุพันธ์
ในแคลคูลัส ปฏิยานุพันธ์ หรือ ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต ของฟังก์ชัน คือ ฟังก์ชัน ซึ่งอนุพันธ์ของมันมีค่าเท่ากับฟังก์ชัน เดิม ดังประโยคสัญลักษณ์ ' กระบวนการแก้ปัญหาของปฏิยานุพันธ์ เรียกว่า การหาปฏิยานุพันธ์ (หรือ การหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขต) และกระบวนการในทางตรงข้าม เรียกว่า การหาอนุพันธ์ ไฟฟ้า
ประจุบนอิเล็กตรอนและโปรตอนจะมีเครื่องหมายตรงกันข้ามกัน ดังนั้นจำนวนของประจุอาจจะแสดงเครื่องหมายเป็นได้ทั้งบวกหรือลบ โดยธรรมเนียมปฏิบัติ ประจุที่ถูกนำพาโดยอิเล็กตรอนจะถือว่าเป็นลบ และนำพาโดยโปรตอนจะเป็นบวก เป็นธรรมเนียมที่มีต้นกำเนิดมาจากงานของเบนจามิน แฟรงคลิน[29] จำนวนของประจุมักจะได้รับสัญลักษณ์เป็น Q และมีค่าเป็นคูลอมบ์[30] อิเล็กตรอนแต่ละตัวจะนำพาประจุจำนวนเดียวกันคือประมาณ −1.6022×10−19คูลอมบ์ โปรตอนจะมีประจุที่มีค่าเท่ากันแต่เครื่องหมายตรงกันข้าม ดังนั้นจึงเท่ากับ +1.6022×10−19คูลอมบ์ ประจุไม่ได้อยู่แค่ในสสารเท่านั้น แต่ยังอยู่ในปฏิสสารอีกด้วย แต่ละปฏิอนุภาคจะแบกประจุที่เท่ากันและตรงข้ามกันกับอนุภาคที่สอดคล้องกัน[31] 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·
แต่ละพจน์ของอนุกรม 1, −2, 3, −4, 5, −6, ... มีรูปแบบที่เรียบง่าย เราจึงสามารถจัดการขยับพจน์ต่าง ๆ ในตำแหน่งที่เหมาะสม เพื่อให้รวมกันแล้วเป็นค่าคงที่ได้ ถ้าหากกำหนดให้ สำหรับบางจำนวน "s" เราจะสามารถสร้างปฏิทรรศน์ที่แสดงว่า "s" = ได้ดังนี้ ปริมาตร
ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ปริมาตรถูกอธิบายด้วยความหมายของรูปแบบปริมาตร (volume form) และเป็นตัวยืนยงแบบไรมันน์ (Riemann invariant) ที่สำคัญโดยรวม ในอุณหพลศาสตร์ ปริมาตรคือตัวแปรเสริม (parameter) ชนิดพื้นฐาน และเป็นตัวแปรควบคู่ (conjugate variable) กับความดัน อนุพันธ์
สัญกรณ์ของนิวตันสำหรับการหาอนุพันธ์ เรียกได้อีกอย่างหนึ่งว่าสัญกรณ์จุด โดยการเขียนไว้เหนือชื่อฟังก์ชันเพื่อแทนจำนวนครั้งของอนุพันธ์ ถ้า แล้ว
หมายถึง อนุพันธ์อันดับหนึ่งและสองของ "y" เทียบกับ "t" ตามลำดับ สัญกรณ์นี้นำไปใช้อย่างเฉพาะทางอย่างเช่น อนุพันธ์เทียบกับเวลา หรือเทียบกับความยาวส่วนโค้ง ซึ่งใช้กันทั่วไปในฟิสิกส์ สมการเชิงอนุพันธ์ และเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ โดยสัญกรณ์นี้ไม่สามารถที่จะเขียนได้เมื่ออนุพันธ์มีอันดับที่สูงขึ้น ในทางปฏฺบัติ จะใช้เพียงอนุพันธ์ไม่กี่อันดับที่จำเป็นเท่านั้น อนุกรมสลับ
โดยที่ "a" > 0 สำหรับทุก "n" แต่ละพจน์ของอนุกรมจะมีเครื่องหมายบวกและลบสลับกัน เช่นเดียวกับอนุกรมอื่นๆ อนุกรมสลับจะลู่เข้าก็ต่อเมื่อลำดับของผลบวกจำกัดพจน์ลู่เข้า นิคหิต
ในภาษาสันสกฤตเรียกว่า อนุสวาร (เทวนาครี अनुस्वार, อนุสวาร (อนุ + สฺวาร) หมายถึง เสียงข้างหลัง) เป็นเครื่องหมายที่ใช้กำกับเสียงนาสิก การออกเสียงขึ้นกับสระที่อยู่ข้างหน้า เช่น ผลํ ออกเสียง ผะลัม, ปุริ ออกเสียง ปุริม, มีมำสา ออกเสียง มีมามสา เป็นต้น สมการเชิงอนุพันธ์
เป็นรูปแบบสมการหนึ่งในคณิตศาสตร์ เป็นพื้นฐานที่สำคัญในสาขาคณิตศาสตร์ประยุกต์ ในทางวิศวกรรมศาสตร์ และวิทยาศาสตร์ เพราะว่ากฎเกณฑ์และปัญหาต่างๆ ในสาขาวิขาเหล่านี้ล้วนพิจารณาเป็นสมการคณิตศาสตร์ที่อยู่ในรูปของสมการเชิงอนุพันธ์แทบทั้งสิ้น เช่นกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน ปัญหาของการนำความร้อนในแท่งโลหะ การหาปะจุหรือกระแสในวงจรไฟฟ้า เหล่านี้เป็นต้น อนิยาม
สำหรับวิชาคณิตศาสตร์ ตรรกศาสตร์ และระบบรูปนัย อนิยามคือแนวคิดที่ไม่ได้นิยาม ที่สำคัญอนิยามไม่ได้นิยามโดยแนวคิดที่นิยามไว้ก่อนหน้า แต่เกิดจากแรงบันดาลใจโดยวิสาสะ โดยมากเกิดจากสหัชญาณ และประสบการณ์ในชีวิตประจำวัน บทบาทของอนิยามในทฤษฎีบทสัจพจน์หรือระบบรูปนัยอื่นๆ เหมือนกันกับบทบาทของอนิยาม อนิยามในวิชาทฤษฎีสัจพจน์ บางครั้งจะกล่าวว่า"ได้นิยาม"โดยอนิยามอย่างน้อยหนึ่งอนิยาม แต่อาจทำให้เข้าใจผิดได้ ระบบรูปนัยไม่สามารถกำจัดอนิยามทั้งหลายได้เพราะ อนุกรม
และโดยทั่วไป อนุกรมเรขาคณิต อนุกรม
∑ a n = ∑ λ n b n {\displaystyle \sum a_{n}=\sum \lambda _{n}b_{n}} ปริมาตร
ปริมาตร หมายถึง ปริมาณของปริภูมิหรือรูปทรงสามมิติ ซึ่งยึดถือหรือบรรจุอยู่ในภาชนะไม่ว่าจะสถานะใดๆก็ตาม บ่อยครั้งที่ปริมาตรระบุปริมาณเป็นตัวเลขโดยใช้หน่วยกำกับ เช่นลูกบาศก์เมตรซึ่งเป็นหน่วยอนุพันธ์เอสไอ นอกจากนี้ยังเป็นที่เข้าใจกันโดยทั่วไปว่า ปริมาตรของภาชนะคือ ความจุ ของภาชนะ เช่นปริมาณของของไหล (ของเหลวหรือแก๊ส) ที่ภาชนะนั้นสามารถบรรจุได้ มากกว่าจะหมายถึงปริมาณเนื้อวัสดุของภาชนะ โลกัส (คณิตศาสตร์)
ในทางคณิตศาสตร์ โลกัส ( พหูพจน์: loci มาจากภาษาละตินแปลว่า "สถานที่") คือการรวบรวมจุดทางเรขาคณิตที่มีคุณสมบัติอย่างหนึ่งอย่างใดร่วมกัน คำนี้มักใช้เป็นเงื่อนไขในการนิยามรูปร่างที่ต่อเนื่องกัน โดยเฉพาะเส้นโค้ง (curve) ตัวอย่างเช่น เส้นตรงคือโลกัสของจุดที่อยู่ในระยะห่างเท่ากับสองจุดที่กำหนดตายตัวไว้ หรือจากเส้นขนานสองเส้น อนุภาค
อนุภาคที่เล็กกว่าอะตอม ซึ่งอาจหมายถึงอย่างใดอย่างหนึ่งต่อไปนี้: อนุภาคมูลฐาน คืออนุภาคซึ่งเป็นองค์ประกอบของอนุภาคที่ใหญ่กว่า หรือเรียกอีกอย่างว่า อนุภาคพื้นฐาน Composite particle คือสถานะที่ติดตรึงกันระหว่างอนุภาคมูลฐานต่าง ๆ อนุภาคจุด คือ อนุภาคในอุดมคติที่ไม่มีปริมาตร E (ค่าคงตัว)
e เป็นค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่ว่า ฟังก์ชัน "e" มีค่าเท่ากับความชันสำหรับทุกจำนวนจริง "x" หรือกล่าวได้ว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าวมีค่าเท่ากับตัวมันเองเสมอ ซึ่งฟังก์ชันที่สอดคล้องกับเงื่อนไขดังกล่าวจะอยู่ในรูป "ce" เสมอ เมื่อ "c" เป็นค่าคงตัวใด ๆ โดย e มีค่าประมาณ 2.71828 18284 59045 23536... อนุกรม
∑ n = 1 ∞ ( b n − b n + 1 ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})} ปริพันธ์
ปริพันธ์ (English: integral) คือ ฟังก์ชันที่ใช้หา พื้นที่, มวล, ปริมาตร หรือผลรวมต่างๆ. เราอาจหาปริพันธ์ได้หลายวิธี แต่ไม่ว่าหาด้วยวิธีใด ก็จะได้ผลลัพธ์เท่ากันเสมอ. การหาปริพันธ์ (integration) เป็นกระบวนการที่ต่างจากการหาอนุพันธ์ แต่ก็มีความเกี่ยวข้องกัน ทวิภาคคลื่น–อนุภาค
ทวิภาคของคลื่น–อนุภาค () เป็นสมมติฐานที่กล่าวว่าอนุภาคทุกชนิดมีคุณสมบัติที่เป็นทั้งคลื่นและอนุภาค และในทางกลับกันคลื่นก็จะมีทั้งคุณสมบัติของคลื่นเองและอนุภาคด้วย แนวคิดนี้เป็นศูนย์กลางของกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งเกิดขึ้นเนื่องจากการที่แนวคิดแบบดั้งเดิมเกี่ยวกับ "อนุภาค" และ "คลื่น" ไม่สามารถใช้อธิบายพฤติกรรมของวัตถุในระดับของควอนตัมได้ การแปลความกลศาสตร์ควอนตัมมาตรฐานอธิบายปฏิทรรศน์นี้ว่าเป็นคุณสมบัติพื้นฐานของเอกภพ ขณะที่การแปลความแบบอื่นๆ อธิบายลักษณะทวิภาคนี้ว่าเป็นผลสืบเนื่องที่เกิดขึ้นมาจากขีดจำกัดต่างๆ อันหลากหลายของผู้สังเกตการณ์เอง ในที่นี้จะมุ่งประเด็นไปที่การอธิบายพฤติกรรมนี้จากมุมมองของการตีความโคเปนเฮเกน (Copenhagen interpretation) ซึ่งนิยมใช้กันอย่างกว้างขวาง โดยถือว่าความเป็นทวิภาคของคลื่น-อนุภาค เป็นรูปแบบหนึ่งของหลักการการเติมเต็ม (complementarity) ว่าปรากฏการณ์หนึ่งๆ สามารถมองได้ทั้งในทางหนึ่งหรืออีกทางหนึ่งก็ได้ แต่จะไม่สามารถมองได้ทั้งสองทางพร้อมๆ กัน พหุนาม
พหุนาม ในคณิตศาสตร์ หมายถึง นิพจน์ที่สร้างจากตัวแปรอย่างน้อยหนึ่งตัวและสัมประสิทธิ์ โดยใช้การดำเนินการแค่ การบวก การลบ การคูณ และการยกกำลังโดยที่เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบเท่านั้น ตัวอย่างของพหุนามตัวแปรเดียวที่มี เป็นตัวแปร เช่น ซึ่งเป็นฟังก์ชันกำลังสอง อนุกรม
เหมือนว่าเรากำลังพูดถึงอนุกรม 0.1 + 0.01 + 0.001 + . . . {\displaystyle 0.1+0.01+0.001+...} แต่เมื่ออนุกรมเหล่านี้ลู่เข้าบนจำนวนจริงเสมอ การอธิบายอนุกรมก็เหมือนกับการอธิบายค่าที่แท้จริงของจำนวนนั้น (ดูเพิ่มที่ 0.999...) การหารด้วยศูนย์
สิ่งหนึ่งที่เป็นที่ยอมรับในหมู่นักคณิตศาสตร์ด้วยกันว่า วิธีธรรมดาที่สุดที่จะใช้อธิบายความหมายของการหารด้วยศูนย์ คือการนิยามการหารด้วยการกระทำทางเลขคณิต กฎเกณฑ์พื้นฐานของเลขคณิตคือจำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ จำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งภายใต้กฎเกณฑ์ดังกล่าวการหารด้วยศูนย์จะไม่ถูกนิยาม และจะต้องคงไว้อยู่อย่างนั้นในระบบคณิตศาสตร์ใดๆ เพื่อให้เป็นกฎเกณฑ์ที่ยอมรับกันโดยทั่วไปในฟีลด์ เหตุผลคือการหารถูกนิยามให้เป็นอินเวิร์สของการคูณ นั่นหมายความว่า ค่าของ formula_6 จะมีค่าเท่ากับคำตอบของ "x" ในสมการ "bx" = "a" ตราบใดที่ค่านั้นยังคงมีคำตอบและมีเพียงหนึ่งเดียว นอกเหนือจากนั้นจะปล่อยให้เป็นไม่นิยาม จุลภาค
จุลภาคคืออะไร อนุกรม
∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} ทฤษฎีสตริง
ทฤษฎีสตริง เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ สำหรับฟิสิกส์เชิงทฤษฎี ที่มี บล็อกโครงสร้าง (building blocks) เป็นวัตถุขยายมิติเดียว (สตริง) แทนที่จะเป็นจุดศูนย์มิติ (อนุภาค) ซึ่งเป็นพื้นฐานของแบบจำลองมาตรฐานของฟิสิกส์อนุภาค นักทฤษฎีสตริงนั้นพยายามที่จะปรับแบบจำลองมาตรฐาน โดยการยกเลิกสมมุติฐานในกลศาสตร์ควอนตัม ที่ว่าอนุภาคนั้นเป็นเหมือนจุด ในการยกเลิกสมมุติฐานดังกล่าว และแทนที่อนุภาคคล้ายจุดด้วยสตริงหรือสาย ทำให้มีความหวังว่าทฤษฎีสตริงจะพัฒนาไปสู่ทฤษฎีสนามโน้มถ่วงควอนตัมที่เข้าใจได้ง่าย นอกจากนี้ทฤษฎีสตริงยังปรากฏว่าสามารถที่จะ "รวม" แรงธรรมชาติที่รู้จักทั้งหมด (แรงโน้มถ่วง, แรงแม่เหล็กไฟฟ้า, แรงอันตรกิริยาแบบอ่อน และแรงอันตรกิริยาแบบเข้ม) โดยการบรรยายด้วยชุดสมการเดียวกัน โคมไฟของทอมสัน
สำหรับผลรวมของอนุกรมข้างต้น หาก n เป็นจำนวนคู่ ผลรวมจะเท่ากับ 1 แต่หาก n เป็นจำนวนคี่ ผลรวมจะได้ 0 หรือก็คือ ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวก ลำดับอนุกรมจะเป็น {1, 0, 1, 0...} ซึ่งแสดงถึงสถานะของหลอดไฟ อนุกรมนี้จะไม่บรรจบกัน แต่ก็ไม่ใช่อนุกรมอนันต์ อนุกรม
∑ n ≥ 1 1 n 2 {\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{2}}}} การลู่เข้าสัมบูรณ์
ในทางคณิตศาสตร์ การลู่เข้าสัมบูรณ์ () ของอนุกรมหรือปริพันธ์ใดๆ จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อ ผลลัพธ์ของค่าสัมบูรณ์ของตัวบวกหรือปริพัทธ์ (integrand) นั้นมีค่าอยู่ในเซตจำกัด คุณสมบัติของการลู่เข้าสัมบูรณ์เป็นสิ่งหนึ่งที่สำคัญ เนื่องจากเป็นสิ่งที่จำเป็นสำหรับการจัดเรียงใหม่ของผลคูณของผลบวก เวกเตอร์
เวกเตอร์ () เป็นปริมาณในทางคณิตศาสตร์ ซึ่งมีลักษณะไม่เหมือนกับ สเกลาร์ ซึ่งเป็นจำนวนที่มีทิศทาง เวกเตอร์มีการใช้กันในหลายสาขานอกเหนือจากทางคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะในทางวิทยาศาสตร์ฟิสิกส์ และเคมี เช่น การกระจัด จำนวนเฉพาะ
ในคณิตศาสตร์ จำนวนเฉพาะ (อังกฤษ : prime number) คือ จำนวนเต็มบวกที่มีตัวหารที่เป็นบวกอยู่ 2 ตัว คือ 1 กับตัวมันเอง ตรงข้ามกับจำนวนประกอบ อนุกรม
อนุกรมของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนจะเรียกว่าลู่เข้าตามเงื่อนไข (หรือกึ่งลู่เข้า) ถ้าอนุกรมนั้นลู่เข้า แต่ไม่ได้ลู่เข้าสัมบูรณ์ ตัวอย่างที่เห็นได้ชัดคืออนุกรมสลับเครื่องหมาย เช่น อนุกรม
จะเป็นอนุกรมลู่เข้าก็ต่อเมื่อ | z | < 1 {\displaystyle |z|<1} ตัวดำเนินการในกลศาสตร์ควอนตัม
การคำนวณทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ควอนตัม ถูกสร้างขึ้นตามแนวคิดของตัวดำเนินการ กล่าวคือ ปริมาณที่สังเกตหรือที่วัดได้ในทางกายภาพของอนุภาคจากการทดลอง เช่น ตำแหน่ง โมเมนตัมเชิงเส้น พลังงาน โมเมนตัมเชิงมุม เป็นต้น สามารถแทนได้ด้วยตัวดำเนินการ A ใด ๆ ในกลศาสตร์ควอนตัม หากต้องการทราบข้อมูลหรือปริมาณดังกล่าวจะต้องใช้ตัวดำเนินการทางคณิตศาสตร์มากระทำกับฟังก์ชันไอเกนของอนุภาคนั้น ๆ ดังนั้น ผลของการวัดจะทำให้ฟังก์ชันไอเกนของอนุภาคกลายเป็นฟังก์ชันไอเกนที่สอดคล้องกับตัวดำเนินการ ตามสมการ  ผลรวม
ในทางคณิตศาสตร์ ผลรวม () หมายถึงการบวกของเซตของจำนวน ซึ่งจะให้ผลลัพธ์เป็น "ผลบวก" (sum, total) จำนวนที่กล่าวถึงอาจเป็นจำนวนธรรมช
าติ จำนวนเชิงซ้อน เมตริกซ์ หรือวัตถุอื่นที่ซับซ้อนกว่านั้น ผลรวมไม่จำกัดของลำดับเรียกว่าเป็นอนุกรม อะตอม
"อะตอม" มาจากภาษากรีกว่า ἄτομος/átomos, α-τεμνω ซึ่งหมายความว่า ไม่สามารถแบ่งได้อีกต่อไป หลักการของอะตอมในฐานะส่วนประกอบที่เล็กที่สุดของสสารที่ไม่สามารถแบ่งได้อีกต่อไปถูกเสนอขึ้นครั้งแรกโดยนักปรัชญาชาวอินเดียและนักปรัชญาชาวกรีก ซึ่งจะตรงกันข้ามกับปรัชญาอีกสายหนึ่งที่เชื่อว่าสสารสามารถแบ่งแยกได้ไปเรื่อย ๆ โดยไม่มีสิ้นสุด (คล้ายกับปัญหา discrete หรือ continuum) ในคริสต์ศตวรรษที่ 17-18 นักเคมีเริ่มวางแนวคิดทางกายภาพจากหลักการนี้โดยแสดงให้เห็นว่าวัตถุหนึ่งๆ ควรจะประกอบด้วยอนุภาคพื้นฐานที่ไม่สามารถแบ่งแยกได้อีกต่อไป ระหว่างช่วงปลายคริสต์ศตวรรษที่ 19 และต้นคริสต์ศตวรรษที่ 20 นักฟิสิกส์ค้นพบส่วนประกอบย่อยของอะตอมและโครงสร้างภายในของอะตอม ซึ่งเป็นการแสดงว่า "อะตอม" ที่ค้นพบตั้งแต่แรกยังสามารถแบ่งแยกได้อีก และไม่ใช่ "อะตอม" ในความหมายที่ตั้งมาแต่แรก กลศาสตร์ควอนตัมเป็นทฤษฎีที่สามารถนำมาใช้สร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของอะตอมได้เป็นผลสำเร็จ[2][3] พหุนาม
นอกจากนี้ ยังมีการนิยาม "พหุนาม" ในรูปแบบจำกัด กล่าวคือ พหุนามคือนิพจน์ที่เป็นผลรวมของผลคูณระหว่างตัวแปรกับค่าคงที่ ยกตัวอย่างเช่น formula_7 อย่างไรก็ตาม ข้อจำกัดนี้เป็นเพียงข้อจำกัดที่ผิวเผิน เนื่องจากสามารถใช้กฎการแจกแจงแปลงพหุนามภายใต้นิยามแรกให้เป็นพหุนามภายใต้นิยามที่สองได้ ในการใช้งานทั่วไปมักไม่แยกแยะความแตกต่างทั้งสอง นอกจากนี้ในบริบททั่วไปมักนิยมถือว่าโดยทั่วไปพหุนามจะอยู่ในรูปแบบจำกัดนี้ แต่เมื่อต้องการแสดงว่าอะไรเป็นพหุนาม มักใช้รูปแบบแรกเนื่องจากสะดวกมากกว่า56 การก้าวหน้าเรขาคณิต
อนุกรมเรขาคณิตไม่จำกัด คืออนุกรมเรขาคณิตที่มีจำนวนพจน์ไม่จำกัดหรือเป็นจำนวนอนันต์ อนุกรมนี้จะลู่เข้าค่าใดค่าหนึ่งก็ต่อเมื่อ ค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนทั่วไปมีค่าน้อยกว่าหนึ่ง (formula_14) ค่าของอนุกรมเรขาคณิตไม่จำกัดสามารถคำนวณได้จากสูตรของผลรวมจำกัด 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·
ถึงแม้ในความเป็นจริง เราจะไม่สามารถหาผลรวมของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + ... ได้ แต่สมการ ก็เป็นคำตอบที่เป็นธรรมชาติที่สุดหากต้องนิยามผลรวมขึ้นมา ในกรณีทั่วไป การหาวิธีนิยาม "ผลรวม" ของอนุกรมลู่ออกต่าง ๆ เรียกว่าวิธีหาผลรวม ซึ่งมีอยู่หลายวิธี และสามารถแบ่งหมวดหมู่ได้ตามสมบัติของมันที่เหมือนกับการหาผลรวมปกติ การหาผลรวมของอนุกรมตามวิธีการข้างต้นนั้นได้แสดงว่า วิธีหาผลรวมใด ๆ ที่เป็นเชิงเส้นและเสถียร จะหาผลรวมของ 1 − 2 + 3 − 4 + ... ได้เท่ากับ เสมอ นอกจากนี้ วิธีการข้างต้นยังได้แสดงถึงความสัมพันธ์ของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … และอนุกรมแกรนดี 1 - 1 + 1 - 1 + … กล่าวคือ 2
2 (สอง) เป็นจำนวน ตัวเลข และเป็นชื่อของสัญลักษณ์ภาพ เป็นจำนวนธรรมชาติที่อยู่ถัดจาก 1 (หนึ่ง) และอยู่ก่อนหน้า 3 (สาม)
เลขสองมีสมบัติหลายอย่างในคณิตศาสตร์ จำนวนเต็มที่เรียกว่าจำนวนคู่จะหาร 2 ลงตัว สำหรับจำนวนเต็มที่เขียนในระบบตัวเลขจะยึดจากจำนวนคู่ เช่น เลขฐานสิบ และเลขฐานสิบหก การหารสองสามารถตรวจสอบได้ง่ายเพียงดูที่ตัวเลขหลักสุดท้าย ถ้าเป็นจำนวนคู่ ตัวเลขทั้งจำนวนจะเป็นจำนวนคู่ เมื่อเขียนในระบบเลขฐานสิบผลคูณของสองทั้งหมดจะลงท้ายด้วย 0, 2, 4, 6 หรือ 8 พจนานุกรมภาษาไทย
อักขรานุกรม มาจากคำว่า "อักขร (ตัวหนังสือ)" สนธิกับคำว่า "อนุกรม (ลำดับ)" แปลตามศัพท์ว่า "ลำดับอักษร" เป็นหนังสืออ้างอิงอีกประเภทหนึ่ง คล้ายคลึงกับพจนานุกรมหรือสารานุกรม เช่น อักขรานุกรมภูมิศาสตร์ แปลตามศัพท์ว่า "เรื่องภูมิศาสตร์ที่ลำดับตามตัวอักษร" แต่ทั้งนี้อักขรานุกรมภูมิศาสตร์ไม่ใช่หนังสือตำราภูมิศาสตร์ แต่เป็นหนังสือคู่มือประเภทพจนานุกรมที่จะสอบค้นว่า สถานที่ทางภูมิศาสตร์นั้น ๆ คืออะไร อยู่ที่ใด มีเส้นทางจะไปถึงได้อย่างไร ฯลฯ อนุกรม
1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ 1 n {\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}} อนุกรมสลับ
ในทางคณิตศาสตร์ อนุกรมสลับ คืออนุกรมอนันต์ที่อยู่ในรูป อนุกรมเรขาคณิต
และโดยทั่วไป อนุกรมเรขาคณิต
จะเป็นอนุกรมลู่เข้าก็ต่อเมื่อ formula_3 อนุกรม
จะเป็นอนุกรมลู่เข้า ถ้าลำดับ b n {\displaystyle b_{n}} ลู่เข้าไปยังขอบเขต L ค่าหนึ่ง เมื่อ n มีค่าเข้าใกล้อนันต์ และค่าของอนุกรมนี้จะเท่ากับ b 1 − L {\displaystyle b_{1}-L} การอนุมาน
การอนุมานแบบอุปนัย (inductive inference) เป็นการสรุปผลจากข้อตั้งหรือข้ออ้างที่เป็นจริงหรือสมมุติว่าจริง โดยเหตุผล โดยหลักทางตรรกศาสตร์[4] หรือเป็นการสรุปผลว่าเป็นจริง อาศัยประพจน์หรือการประเมินที่เป็นจริง[5] การอนุมานแบบนิรนัย (deductive inference)เป็นการสรุปนัยทั่วไปจากข้อมูลที่สังเกตได้ หรือจากสัจพจน์[6]* การอนุมานเชิงสถิติ (statistical inference) เป็นการสรุปผลหรือนัยทั่วไป จากข้อมูลตัวอย่างทางสถิติ โดยมีระดับความไม่แน่นอนในระดับหนึ่ง[5][6] ซึ่งอาจมองได้ว่า เป็นนัยทั่วไปของการอนุมานแบบอื่น สมการ
สมการ หมายถึงประโยคสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ ที่ใช้แสดงว่าสองสิ่งเหมือนกัน หรือเทียบเท่ากัน ที่เชื่อมด้วยเครื่องหมายเท่ากับ ดังตัวอย่างต่อไปนี้ นิวตรอน
นิวตรอน (English: neutron) เป็น อนุภาคย่อยของอะตอม ตัวหนึ่ง มีสัญญลักษณ์ n หรือ n0 ที่ไม่มี ประจุไฟฟ้า และมีมวลใหญ่กว่ามวลของ โปรตอน เล็กน้อย โปรตอนและนิวตรอนแต่ละตัวมีมวลประมาณหนึ่งหน่วย มวลอะตอม โปรตอนและนิวตรอนประกอบกันขึ้นเป็น นิวเคลียส ของหนึ่งอะตอม และทั้งสองตัวนี้รวมกันเรียกว่า นิวคลีออน[1] คุณสมบัติของพวกมันถูกอธิบายอยู่ใน ฟิสิกส์นิวเคลียร์ อนุกรม
เป็นอนุกรมลู่เข้า (และมีผลรวมเท่ากับ ln 2) แต่อนุกรมของค่าสัมบูรณ์กลายเป็นอนุกรมฮาร์มอนิกซึ่งลู่ออก ทฤษฎีบทอนุกรมของรีมันน์กล่าวไว้ว่า อนุกรมลู่เข้าตามเงื่อนไข สามารถจัดเรียงให้กลายเป็นอนุกรมลู่ออก และยิ่งไปกว่านั้น ถ้า a n {\displaystyle a_{n}} เป็นจำนวนจริง และ S ก็เป็นจำนวนจริง เราสามารถจัดเรียงใหม่เพื่อให้อนุกรมนั้นลู่เข้าและมีผลรวมเท่ากับ S พจนานุกรมภาษาไทย
อนุกรมวิธาน มาจากคำว่า "อนุกรม (ลำดับ)" สมาสกับคำว่า "วิธาน (การจัดแจง, การทำ; กฎ, เกณฑ์)" แปลตามศัพท์ว่า "การจัดแบ่งตามลำดับ" เป็นศัพท์ที่บัญญัติขึ้นเพื่อให้ตรงกับคำอังกฤษว่า "taxonomy" หนังสืออนุกรมวิธาน คือหนังสือเกี่ยวกับการจำแนกสิ่งมีชีวิต พืช สัตว์ เห็ด รา สาหร่าย แบคทีเรีย และไวรัส โดยเฉพาะพืชและสัตว์ แบ่งออกเป็นอาณาจักร (kingdom) หมวด (phylum) ชั้น (class) อันดับ (order) วงศ์ (family) สกุล (genus) ชนิด (species) ฯลฯ ตามกฎหลักเกณฑ์ทางวิทยาศาสตร์ โดยพรรณาลักษณะของพืชและสัตว์นั้น ๆ อนุกรม
อนุกรมเรขาคณิต เป็นอนุกรมที่พจน์ต่างๆ ถูกสร้างขึ้นโดยการคูณพจน์ก่อนหน้าด้วยค่าคงตัวค่าหนึ่ง นั่นคือมาจากลำดับเรขาคณิต ตัวอย่างเช่น อนุกรม
∑ n = 1 ∞ 1 2 n = 1 2 + 1 4 + 1 8 + ⋯ + 1 2 n + ⋯ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}+\cdots } อุตรภาพ
คำว่า "อุตรภาพ" ในภาษาอังกฤษใช้คำว่า transcendence ซึ่งมีความหมายในทางคณิตศาสตร์ หมายถึงอดิศัย คอมพิวเตอร์
คอมพิวเตอร์ (English: computer) หรือในภาษาไทยว่า คณิตกรณ์[2][3] เป็นเครื่องจักรแบบสั่งการได้ที่ออกแบบมาเพื่อดำเนินการกับลำดับตัวดำเนินการทางตรรกศาสตร์หรือคณิตศาสตร์ โดยอนุกรมนี้อาจเปลี่ยนแปลงได้เมื่อพร้อม ส่งผลให้คอมพิวเตอร์สามารถแก้ปัญหาได้มากมาย พจนานุกรม
คำว่า "พจนานุกรม" เป็นการคิดคำขึ้น จาก "พจน" (คำพูด) และ "อนุกรม" (ลำดับ ระเบียบ ชั้น) รวมกันด้วยวิธีสมาส เป็น "พจนานุกรม" หมายถึง หนังสือที่รวบรวมและเรียงลำดับคำ(พูด) เอาไว้ อย่างไรก็ตาม คำว่า "พจนานุกรม" เป็นการสร้างขึ้นมาเพื่อแปลศัพท์ "dictionary" ในภาษาอังกฤษนั่นเอง อนุกรมวิธาน
อนุกรมวิธานวิทยา () ซึ่งมีรากศัพท์จากคำในภาษากรีกโบราณว่า (การจัดเรียง) และ (กฎ, ธรรมเนียม) เป็นการจัดจำแนกสิ่งมีชีวิตออกเป็นหมวดหมู่ตามสายวิวัฒนาการ
อนุกรมวิธานเป็นวิชาที่ว่าด้วยกฎเกณฑ์เกี่ยวกับ
ในการศึกษาอนุกรมวิธานจะมีศัพท์ที่ใช้เรียกแตกต่างกันออกไป ถ้าหากการศึกษาเป็นไปในทางรวบรวมตัวอย่าง (specimen)
บิดาแห่งอนุกรมวิธานวิทยา คือ คาร์ล ลินเนียส นักพฤกษศาสตร์ชาวสวีเดน 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
กล่าวโดยทั่วไป เป็นการอันตรายที่จะจัดรูปอนุกรมอนันต์ราวกับเป็นผลบวกจำกัด และอันตรายเป็นพิเศษสำหรับอนุกรมลู่ออก หากแทรกศูนย์เข้าไปในตำแหน่งคงค่าของอนุกรมลู่ออกหนึ่ง ก็เป็นไปได้ที่จะได้ผลออกมาไม่ต้องกันกับตัวเอง (not self-consistent) ไม่ต้องกล่าวถึงความต้องกับวิธีอื่นเลย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ขั้น 4c = 0 + 4 + 0 + 8 + · · · ไม่เพียงแต่ให้เหตุผลโดยกฎเอกลักษณ์การบวกอย่างเดียว สำหรับตัวอย่างแบบสุดโต่ง การเพิ่มศูนย์ตัวเดียวเข้าไปหน้าอนุกรมนี้อาจนำไปสู่ผลที่ไม่ต้องกันได้ทีเดียว หน่วยอนุพัทธ์เอสไอ
หน่วยอนุพันธ์เอสไอ () คือหน่วยที่เกิดจากการรวมกันของหน่วยฐานเอสไอโดยการคูณหรือหาร เพื่อใช้ในเรื่องการวัดและการแสดงปริมาณต่างๆ ซึ่งหน่วยอนุพันธ์สามารถมีได้มากมายไม่จำกัด เนื่องจากปริมาณต่างๆในโลกนี้ที่คนเราอยากรู้ก็ไม่สามารถจำกัดได้ เพียงแต่เลือกหน่วยพื้นฐานมาประกอบเข้าด้วยกันให้ถูกต้อง สมการเชิงอนุพันธ์
สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (Ordinary Differential Equation) หมายถึงสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีฟังก์ชันไม่ทราบค่าของตัวแปรอิสระเพียงตัวเดียว สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (Partial Differential Equation) หมายถึงสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีฟังก์ชันไม่ทราบค่าของตัวแปรอิสระมากกว่าหนึ่งตัวแปร ปฏิยานุภาค
ปฏิยานุภาค () เป็นอนุภาคที่มีความสอดคล้องมากที่สุดกับอนุภาคปกติธรรมดา มีความสัมพันธ์กันคือมีมวลเท่ากันและมีประจุไฟฟ้าที่ตรงกันข้าม ยกตัวอย่างเช่น ปฏิยานุภาคของอิเล็กตรอนเป็นอิเล็กตรอนที่มีประจุบวก, หรือเรียกว่าโพซิตรอนที่ถูกสร้างขึ้นในการสลายตัวของสารกัมมันตรังสีบางชนิดตามธรรมชาติ ส่วนลงตัว
ในทางคณิตศาสตร์ ส่วนลงตัว (aliquot part หรือ aliquot) คือจำนวนเต็มบวกใดๆ ที่นำไปหารจำนวนเต็มบวกอีกจำนวนหนึ่งแล้วสามารถหารได้ลงตัว หรือเรียกได้ว่า "เป็นตัวหาร" เช่น 2 เป็นส่วนลงตัวของ 12 ผลบวกของส่วนลงตัวทั้งหมดของ "n" จะมีค่าเท่ากับ σ("n") ซึ่งหมายถึงฟังก์ชันตัวหาร (divisor function) ของ "n" คำว่า "aliquot" มาจากคำในภาษาละติน "aliquoties" แปลว่า "หลายครั้ง" อนุกรม
อนุกรมนี้อาจ มองว่า เป็นอนุกรมลู่เข้าบนเส้นจำนวนจริง เราอาจจินตนาการถึงเส้นตรงยาว 2 หน่วย และมีขีดกำกับแบ่งครึ่งไว้ที่ความยาว 1 หน่วย, ½ หน่วย, ¼ หน่วย ฯลฯ ซึ่งเราจะมีที่ว่างเสมอสำหรับขีดกำกับครั้งถัดไป เพราะว่าความยาวของเส้นที่เหลือจะยังคงมีอยู่เหมือนกับขีดกำกับก่อนหน้า เช่น เมื่อกำกับขีดไว้ที่ ½ หน่วย ก็ยังคงเหลือที่ว่างอีก ½ หน่วยที่ยังไม่มีขีด ดังนั้นเราจึงสามารถขีดกำกับที่ ¼ หน่วยลงไปได้อีก เช่นนี้เรื่อยไป คำอธิบายข้างต้นมิได้เป็นข้อพิสูจน์ว่าผลรวมดังกล่าว เท่ากับ 2 (ถึงแม้ว่าจะเป็นเช่นนั้น) แต่เป็นการพิสูจน์ว่าผลรวมนั้นมีค่า มากที่สุด คือ 2 หรือกล่าวอีกทางหนึ่งคือ อนุกรมนี้มีขอบเขตบนที่ 2 พหุคูณ
ในบางตำรา "a เป็น พหุคูณย่อย (submultiple) ของ b" มีความหมายว่า "b เป็นพหุคูณจำนวนเต็มของ a"[1][2] ศัพท์นี้ยังใช้ในหน่วยวัด (เช่น โดย สำนักงานชั่ง ตวง วัดระหว่างประเทศ[3] และสถาบันมาตรฐานและเทคโนโลยีแห่งชาติ[4]) ซึ่งพหุคูณย่อยของหน่วยเล็กเป็นหน่วย ซึ่งได้ชื่อตามการเติมคำหน้าหน่วยหลักที่นิยามว่าเป็นผลหารของหน่วยหลักกับจำนวนเต็มหนึ่ง ส่วนมากเป็นกำลัง 103 ตัวอย่างเช่น มิลลิเมตรเป็นพหุคูณย่อย 1000 เท่าของหนึ่งเมตร[3][4] เศษส่วน
ในทางคณิตศาสตร์ เศษส่วน คือความสัมพันธ์ตามสัดส่วนระหว่างชิ้นส่วนของวัตถุหนึ่งเมื่อเทียบกับวัตถุทั้งหมด เศษส่วนประกอบด้วยตัวเศษ (numerator) หมายถึงจำนวนชิ้นส่วนของวัตถุที่มี และตัวส่วน (denominator) หมายถึงจำนวนชิ้นส่วนทั้งหมดของวัตถุนั้น ตัวอย่างเช่น อ่านว่า เศษสามส่วนสี่ หรือ สามในสี่ หมายความว่า วัตถุสามชิ้นส่วนจากวัตถุทั้งหมดที่แบ่งออกเป็นสี่ส่วนเท่าๆ กัน นอกจากนั้น การแบ่งวัตถุสิ่งหนึ่งออกเป็นศูนย์ส่วนเท่า ๆ กันนั้นเป็นไปไม่ได้ ดังนั้น 0 จึงไม่สามารถเป็นตัวส่วนของเศษส่วนได้ (ดูเพิ่มที่ การหารด้วยศูนย์)  พหุนามเลอจองดร์
สมการเชิงอนุพันธ์ของเลอจองดร์มักจะนำไปใช้แก้ปัญหาของอนุกรมกำลัง (power series)สมการที่มีค่า regular singular points ที่ x= ±1 แต่โดยทั่วไปแล้วผลเฉลยของอนุกรมที่จุดเริ่มต้นจะมีค่าลู่เข้าที่ |"x"| คณิตศาสตร์
เนื่องจากคณิตศาสตร์นั้นใช้ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์และสัญกรณ์คณิตศาสตร์ ซึ่งทำให้กิจกรรมทุกอย่างกระทำผ่านทางขั้นตอนที่ชัดเจน เราจึงสามารถพิจารณาคณิตศาสตร์ว่า เป็นระบบภาษาที่เพิ่มความแม่นยำและชัดเจนให้กับภาษาธรรมชาติ ผ่านทางศัพท์และไวยากรณ์บางอย่าง สำหรับการอธิบายและศึกษาความสัมพันธ์ทั้งทางกายภาพและนามธรรม ความหมายของคณิตศาสตร์นั้นยังมีอีกหลายมุมมอง ซึ่งหลายอันถูกกล่าวถึงในบทความเกี่ยวกับปรัชญาของคณิตศาสตร์ ปริภูมิ
ปริภูมิ () คือส่วนที่ไร้ขอบเขต เป็นปริมาณสามมิติในวัตถุและเหตุการณ์ และมีตำแหน่งสัมพัทธ์และทิศทาง ปริภูมิในทางฟิสิกส์มักจะถูกพิจารณาในรูปแบบของสามมิติเชิงเส้น และนักฟิสิกส์ในปัจจุบันก็มักจะพิจารณาพร้อมกับเวลาในฐานะส่วนหนึ่งของสี่มิติต่อเนื่องหรือที่เรียกว่า ปริภูมิ-เวลา 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
แม้ว่าอนุกรมนี้ไม่มีค่าที่มีความหมายใด ๆ เมื่อแรกเห็น แต่อนุกรมนี้สามารถเปลี่ยนรูปให้ผลลัพธ์ที่น่าสนใจทางคณิตศาสตร์ ซึ่งบางผลลัพธ์นั้นมีการใช้ในสาขาอื่น เช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน ทฤษฎีสนามควอนตัมและทฤษฎีสตริง มีการใช้วิธีการรวมยอดจำนวนมากในวิชาคณิตศาสตร์เพื่อกำหนดค่าตัวเลขให้แม้แต่กับอนุกรมลู่ออก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง วิธีการทำให้ปรกติของฟังก์ชันซีตา (zeta function regularization) และการรวมยอดรามานุจันกำหนดให้อนุกรมมีค่า −1/12 ซึ่งแสดงโดยสูตรอันขึ้นชื่อ เส้นโค้ง
ทุกวันนี้เราให้ความหมายว่า "เส้นตรง" ไม่ได้เป็นเส้นโค้ง แต่ในทางคณิตศาสตร์ ทั้งเส้นตรงและส่วนของเส้นตรงก็คือเส้นโค้งที่ไม่มีความโค้งนั่นเอง สำหรับส่วนโค้งอาจเรียกได้ว่าเป็น "ส่วนของเส้นโค้ง" หมายถึงส่วนหนึ่งของเส้นโค้งที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ อนุกรม
เมื่อผลรวมบางส่วน B N = b 0 + . . . + b N {\displaystyle B_{N}=b_{0}+...+b_{N}} ถูกจำกัดขอบเขต, λ n {\displaystyle \lambda _{n}} เป็นตัวจำกัดความแปรผัน และ λ n B n {\displaystyle \lambda _{n}B_{n}} มีลิมิต พจนานุกรม
พจนานุกรม เป็นหนังสืออ้างอิงประเภทหนึ่ง โดยทั่วไป หมายถึง หนังสือที่รวบรวบคำศัพท์ในวงศัพท์ที่กำหนด และนิยามความหมายเอาไว้ เพื่อใช้เป็นที่ค้นหาความหมายของคำ โดยมีการเรียงลำดับคำศัพท์ตามตัวอักษร ตามเสียง หรือตามลำดับอื่น ๆ ที่เหมาะสมสอดคล้องกับการใช้พจนานุกรมนั้น ๆ พจนานุกรมยังมีนัยถึงหนังสือที่ให้รายละเอียด ครอบคลุมวงศัพท์ที่กว้าง ขณะที่หนังสือรวบรวมและอธิบายคำศัพท์ในวงแคบและมีจำนวนจำกัด มักจะเรียกว่า ปทานุกรม อย่างไรก็ตาม คำว่าปทานุกรมและพจนานุกรมอาจใช้สลับกันได้  การก้าวหน้าเรขาคณิต
ผลรวมของสมาชิกในการก้าวหน้าเรขาคณิต เรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต () ฮาร์มอนิก
ฮาร์มอนิก
เป็นสมาชิกอันใดอันหนึ่งก็ได้ของอนุกรมฮาร์มอนิก (harmonic series) ซึ่งเป็นอนุกรมแบบอนันต์และลู่ออก (divergent infinite series)
ชื่อของมันมาจากแนวคิดเกี่ยวกับ overtone หรือฮาร์มอนิกที่เกิดในเครื่องดนตรี ซึ่งก็คือ ความยาวคลื่นของเสียง overtone จากสายเครื่องดนตรีหรือคอลัมน์อากาศในเครื่องดนตรี (เช่นในทูบา) ที่กำลังสั่น จะเป็นอนุพันธ์จากความยาวคลื่นมูลฐานของสายเครื่องดนตรี อนุกรม
นักคณิตศาสตร์ได้นำวิธีเดียวกันนี้ไปใช้อธิบายสิ่งอื่นๆ เป็นแนวความคิดแบบอนุกรม เช่นเมื่อเราพูดถึงทศนิยมซ้ำจำนวนนี้ อนุกรม
1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ 1 2 n {\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}} การดำเนินการ (คณิตศาสตร์)
การดำเนินการสามารถเกี่ยวข้องกับวัตถุทางคณิตศาสตร์อย่างอื่นที่นอกเหนือจากจำนวนก็ได้ ตัวอย่างเช่น ค่าเชิงตรรกะ "จริง" และ "เท็จ" สามารถใช้กับตัวดำเนินการทางตรรกศาสตร์อย่าง "and, or, not"; เวกเตอร์สามารถบวกและลบกันได้; ฟังก์ชันประกอบสามารถใช้เป็นการหมุนของวัตถุหลาย ๆ ครั้งได้; การดำเนินการของเซตมีทั้งแบบทวิภาคคือยูเนียน อินเตอร์เซกชัน และแบบเอกภาคคือคอมพลีเมนต์ เป็นต้น รายการสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์
รายการต่อไปนี้เป็นตารางซึ่งแสดงสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ โดยสัญลักษณ์ดังกล่าวตัวแทนของความหมายต่างๆ โดยเมื่อเวลาผ่านไป สัญลักษณ์และความหมายของสัญลักษณ์จะเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ อาทิ "≡"อาจจะแทนความหมายว่า "สอดคล้อง" หรือ "เป็นนิยามของ" ก็ได้ อย่างไรก็ตาม ในคณิตศาสตร์ในเชิงตัวเลข บางกรณี ความเท่าเทียม อาจแทนที่ด้วย"≡"แทน"=" หรือเป็นตัวแทนถึงความเท่าเทียมของ well-formed formulas (WFF's) เพื่อแทนความหมายนั้นๆ อนุพันธ์
ในบางครั้งเราก็กล่าวถึง "สัญกรณ์ไพรม์" หนึ่งในสัญกรณ์ยุคใหม่ที่ใช้กันมากที่สุดสำหรับการหาอนุพันธ์ ซึ่งมาจากโฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากร็องฌ์ โดยใช้เครื่องหมายไพรม์ กล่าวคือ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน "f"("x") เขียนได้ในรูป "f"′("x") หรือ "f"′ ในทำนองเดียวกันอนุพันธ์อันดับสองและสามก็เขียนได้ในรูปดังนี้
เพื่อที่จะเขียนอนุพันธ์อันดับที่สูงกว่านี้ ผู้เขียนบางคนก็จะใช้เลขโรมันเป็นตัวยก หรือบางคนอาจใช้จำนวนนับในวงเล็บ:
สัญกรณ์ด้านหลัง ถ้าอยู่ในรูปทั่วไปก็คือ "f" สำหรับอนุพันธ์อันดับ "n" ของ "f" สัญกรณ์นี้มีประโยชน์มากที่สุดเมื่อเราต้องการจะกล่าวถึงอนุพันธ์ในอยู่ในรูปฟังก์ชันของมันเอง ดังเช่นในกรณีนี้ สัญกรณ์ไลบ์นิซอาจกลายเป็นเรื่องยุ่งยาก ดีเทอร์มิแนนต์
ในสาขาพีชคณิต ดีเทอร์มิแนนต์ () คือฟังก์ชันหนึ่งที่ให้ผลลัพธ์เป็นปริมาณสเกลาร์ ซึ่งขึ้นอยู่กับค่าของ "n" ในมิติ "n"×"n" ของเมทริกซ์จัตุรัส "A" ส่วนความหมายทางเรขาคณิตเบื้องต้น ดีเทอร์มิแนนต์คือตัวประกอบมาตราส่วน (scale factor) ของปริมาตร เมื่อ "A" ถูกใช้เป็นการแปลงเชิงเส้น ดีเทอร์มิแนนต์ถูกใช้ประโยชน์ในเรื่องพีชคณิตเชิงหลายเส้น (multilinear algebra) และแคลคูลัส ซึ่งใช้สำหรับกฎการแทนที่ (substitution rule) ในตัวแปรบางกลุ่ม