اعداد حقیقی و اعداد حسابی چگونه متمایز می شوند؟
عدد حسابی
اعداد حسابی همان اعداد طبیعی در دستگاه اعداد عربی هستند که صفر هم به آنها اضافه شده‌است. به اعداد حسابی اعداد صحیح نامنفی هم گفته می‌شود.  مجموعه اعداد طبیعی {... ، ۴، ۳ ،۲ ،۱} است. در این مجموعه عدد صفر وجود ندارد و با اضافه کردن آن، مجموعه اعداد حسابی- {... ،۳ ،۲ ،۱ ،۰} - به وجود می‌آید؛ و به صورت W که میان آن یک ممیز می‌باشد نشان داده می‌شود. در حقیقت W حرف اول کلمه انگلیسی Whole به معنی کامل است تمامی مجموعه‌هایی که از این نوع اعداد درست شده را با I نشان می‌دهند.
سور تو در تو
به ازای اعداد حقیقی x و y بیانگر برابری formula_9 است، این برابری همان قانون جابجایی است، گزارهٔ جمع اعداد حقیقی است، به طور مشابه گزاره: جمله (منطق ریاضی)
یک «جمله» است. این جمله در اعداد حقیقی مثبت ℝ درست است، اما در اعداد حقیقی ℝ نادرست است، و در اعداد مختلط ℂ درست است. (به صورت ساده، این جمله به این صورت تفسیر می‌شود که هر عضو یک ساختار مورد نظر مربع یک عضو از آن ساختار خاص است). از جهت دیگر فرمول تابع حسابی
در نظریه اعداد، تابع حسابی تابعی است با دامنه اعداد طبیعی. گاه‌شماری حسابی
گاه‌شماری حسابی، گاه‌شماری قراردادی یا گاه‌شماری جدولی الگوریتمی جانشینی است که برای محاسبه دقیق آغاز، تقسیمات و کبیسه‌گیری گاه‌شماری‌های مبتنی بر محاسبات نجومی یا طبیعی از جمله تقویم هجری خورشیدی و تقویمهای قمری هلالی (گاه‌شماری هجری قمری هلالی) به کار می‌رود. فهرست اعداد اول
عدد اول ، عددی طبیعی بزرگتر از ۱ است که نتوان آن را به صورت ضرب دو عدد طبیعی کوچکتر نوشت. (یعنی یکی از آن‌ها نمی‌تواند با خود عدد برابر باشد). عدد طبیعی بزرگتر از ۱ که اول نباشد را عدد مرکب گویند. به عنوان مثال ۵ یک عدد اول است، چون تنها روشی که می‌توان آن را به صورت ضرب دو عدد طبیعی نوشت به صورت formula_1 یا formula_2 است که شامل خود ۵ می‌شود (دو عددی که در ضرب می‌آیند باید از خود ۵ کوچکتر باشند)؛ اما برای نمونه ۶ یک عدد مرکب است، چرا که می‌توان آن را به صورت formula_3 نوشت که هردوی آن‌ها از ۶ کوچکترند. اعداد اول در نظریه اعداد به دلیل قضیه اساسی حساب نقش محوری دارند، این قضیه می‌گوید: هر عدد طبیعی بزرگتر از ۱ یا اول است یا می‌توان آن را به ضرب اعداد اول تجزیه کرد، که این تجزیه در حد ترتیب یگانه است. مجموع اعداد متوالی
فرمول ساده و کاربردی‌ای که برای محاسبهٔ n عدد اول وجود دارد را می‌توان با استقرای ریاضی ثابت کرد. بنابر این فرمول: formula_2. برای اثبات این فرمول، نخست باید توجه کرد که فرمول برای ۱ صادق است (formula_3). سپس فرض می‌شود که فرمول برای k عدد طبیعی اول صادق باشد: formula_4 آن‌گاه: formula_5 formula_6 formula_7 formula_8(تجزیهٔ دوجمله‌ای صورت) بنابراین فرمول برای formula_9 صدق می‌کند. بنابر استقرای ریاضی این امر نشان‌دهندهٔ این است که فرمول فوق برای هر کدام از اعداد طبیعی صادق است. فهرست نمادهای ریاضی
formula_268: به معنی اعداد حقیقی به جز صفر. قدر مطلق (ریاضی)
در ریاضیات، قدر مطلق یا مقدار مطلقِ یک عددی حقیقی "x"، که با علامت |"x"| نشان داده می‌شود، مقدارِ "x" به صورت غیر منفی و بدون توجه به علامت آن است. پس قدر مطلق یک عدد همواره نامنفی است؛ یعنی یا مثبت است یا صفر. به بیان دیگر، قدر مطلقِ یک عدد برابر است با فاصله آن عدد تا صفر. قضیه اساسی حساب
که همان مجموع مقسوم علیه‌های عدد formula_4 است که اکنون می‌خواهیم آن را بررسی کنیم. ابتدا فرض می‌کنیم formula_4 توانی از عدد اول formula_87 چون formula_88 باشد. در این صورت مقسوم علیه‌های formula_4 عبارت‌اند از: اعداد اول بزرگ
در سال ۱۹۸۴ ساموئل یتس (Samuel Yates) عدد اول غول پیکری تعریف کرد که حداقل ۱۰۰۰ رقم دارد. وقتی او این معرفی کرد تنها ۱۱۰ عدد اول از این گونه وجود داشت اما اکنون ۱۰۰۰ برابر این رقم از این گونه اعداد اول وجود دارد. با توجه تلاش رایانه‌ها برای یافتن اعداد اول بزرگتر این رقم مطمئناً افزایش خواهد یافت. ما در انتظار دیدن نخستین عدد اول ده میلیون رقمی هستیم. سختی در تشخیص اعداد اول و مرکب از هم و بدست آوردن فاکتورهای اول اعداد مرکب، این کار را یکی از مهم‌ترین و کاربردی‌ترین فعالیت‌ها در ریاضیات کرده‌است. جی (زبان برنامه‌نویسی)
انواع دیگر داده عددی شامل اعداد صحیح، اعداد اعشاری، اعداد مختلط، اعداد صحیح بزرگ و کسر گویا است. مانند بیت‌ها این انواع نیز می‌توانند در لیست‌ها یا آرایه‌های چند بعدی دلخواه قرار بگیرند. پاسکال (زبان برنامه‌نویسی)
۵ - جفت کاراکترها: مانند <>، =>، =شناسه (Identifier): از شناسه‌ها برای نام‌گذاری استفاده می‌شود. شناسه ترکیبی از حروف، ارقام و کاراکتر زیر خط (-) است که می‌تواند دارای طول دلخواهی باشد اما پاسکال فقط ۶۳ کاراکتر اول را در نظر خواهد گرفت. شناسه حتماً باید با یک حرف یا علام زیر خط (-) آغاز شود. شناسه‌های به دو دسته تقسیم می‌شوند: لازم است ذکر شود که پاسکال در تعریف شناسه‌ها تفاوتی میان حروف بزرگ و کوچک قائل نمی‌شود بنابراین شناسه‌های counter و COUNTER با یکدیگر معادل اند . ۷ - برچسب (برچسب): از برچسب برای مشخص نمودن خطوط خاصی از برنامه استفاده می‌شود. با استفاده از دستور goto می‌توان کنترل برنامه را به خط مشخصی از برنامه منتقل نمود. برچسب‌ها می‌توانند عدد صحیح در محدوده ۰ تا ۹۹۹۹ یا یک شناسه باشد . ۸ - اعداد: اعداد می‌توانند حقیقی یا صحیح، مثبت یا منفی باشند. هرکدام به چند نوع تقسیم می‌شوند. باید توجه داشت که اعداد صحیح می‌توانند از نوع هگزادسیمال نیز باشند که در این صورت باید اولاً با علامت $ شروع شوند و ثانیاً طول آن نباید از هشت رقم هگزادسیمال بیشتر باشد بنابراین محدوده قابل قبول برای اعداد صحیح هگزادسیمال از ۰۰۰۰۰۰۰۰$ تا FFFFFFFF$ است و در ضمن نباید شامل علامت + یا – باشند . ۹ - ثابت‌های رشته‌ای (string constants): ثابت رشته‌ای، عبارت از تعدادی کاراکتر است که درون دو علامت آپوستروف (') قرار می‌گیرند. استفاده از کاراکترهای کنترلی (کاراکترهایی که دارای کد اسکی (استاندارد) تا ۳۰ می‌باشند) در یک ثابت رشته‌ای مجاز است اما استفاده از کاراکترهای آپوستروف (') و carriage Return () غیرمجاز است. همچنین در صورتی که از علامت # به همراه یک عدد مثبت بین ۰ تا ۲۵۵ استفاده شود باعث جایگزینی کاراکتر متناظر با عدد مربوط در جدول کدهای ASCII خواهد شد. کلمات رزرو شده (Reserved words): به مجموعه‌ای از کاراکترها اطلاق می‌شود که برای پاسکال دارای معنای خاصی می‌باشند و هرگز نمی‌توان از آن‌ها به عنوان شناسه غیراستاندارد استفاده نمود. مسئله ریاضی
مسائل ریاضیاتی عادی جهان واقعی، مسائل ملموسی هستند چون "شخصی پنج سیب دارد و سه تای آن را به دوستش می دهد. چند سیب برای او باقی می ماند؟". حل چنین مسائلی، حتی اگر شخص روش حل آن را بلد باشد اغلب سخت تر از حل تمرین های ریاضیاتی چون "3-5" است. چنین مسائلی که به آن مسائل کلامی نیز می گویند، در آموزش ریاضی برای آموزش نحوه اتصال مسائل جهان واقعی به زبان مجرد ریاضیاتی معمولاً به کار می روند. عدد گویا
دو عدد formula_37 و formula_38 به‌صورت زیر مقایسه می‌شوند: formula_39 برای جمع و تفریق اعداد گویا ابتدا مخرج کسرها یکسان شده، سپس صورت‌ها با هم جمع یا تفریق می‌شوند: formula_40 قضیه اساسی حساب
تجزیۀ یک عدد به عوامل اول در مطالعۀ توابع حسابی مانند تابع مقسوم علیهی کاربرد فراوان دارد. برای هر عدد طبیعی formula_4، مجموع قوای formula_75-ام مقسوم علیه‌های formula_4 را با formula_77 نشان می‌دهیم که در آن formula_75 عددی حقیقی یا مختلط است. پس: تابع حسابی
گاهی به این توابع تابع نظریه اعدادی نیز می‌گویند اما این لفظ بیشتر به توابع حسابی با برد اعداد حقیقی یا مختلط استفاده می‌شود. قدر مطلق (ریاضی)
رابطه‌های بالا نشان می‌دهد که قدر مطلق فاصله برای اعداد حقیقی یا مختلط در هر دو حالت با فاصلهٔ استاندارد اقلیدوسی آنان برابر است. قضیه اساسی حساب
این قضیه به‌طور ساده بیان می‌کند که هر عدد صحیح به‌جز formula_1 و formula_2، به‌صورت حاصل‌ضربی از عوامل اول قابل نمایش است. همچنین این نمایش اعداد به‌صورت حاصل‌ضرب عوامل اول، صرف نظر از ترتیب عوامل یکتا است. به عنوان مثال، عدد ۶۰ را می‌توان به‌صورت formula_3 به حاصل‌ضرب عوامل اول نوشت. جدول ارزش
در منطق، جدول ارزش یا جدول درستی به جدولی اطلاق می‌شود، که در آن درستی و نادرستی گزاره‌ها درج گردد. منظور از درستی یا صدق در هر گزاره، مطابقت آن با واقع؛ و منظور از نادرستی یا کذب عدم مطابقت آن با واقع است. هر گزاره درست در این جدول‌ها با «د» یا «T» و هر گزاره غلط با «ن» یا «F» نشان داده می‌شود. عملگر همانی ورودی را بدون تغییر به خروجی می‌برد. نقیض عملگری است که هرگاه قضیه‌ای (گزاره‌ای) صادق و درست باشد، آن را به قضیه‌ای کاذب و نادرست تبدیل خواهد کرد. معمولاً نقیض گزارهٔ p را با عبارت «p~» یا «p¬» نشان می‌دهند که خوانده می‌شود: «نه p» یا «چنین نیست که p». در اینجا جدول عملگرهای دودویی برای 16 تابع ممکن آمده‌است. اعداد فازی
یک عدد فازی تعمیمی از اعداد معمولی و حقیقی است به صورتی که یک عدد فازی نه به یک مقدار بلکه به مجموعه همبندی از مقادیر ممکن اشاره می‌کند به‌طوری‌که هر هر مقدار ممکن، وزنی بین ۰ و ۱ دارد . به این وزن اشاره شده، تابع عضویت گفته می‌شود. به این ترتیب، یک عدد فازی نوع خاصی از مجموعه فازی نرمال شده محدب خط حقیقی است. همان‌طور که منطق فازی بسط منطق بولین است، اعداد فازی نیز بسط اعداد حقیقی می‌باشند. محاسبات مبتنی بر اعداد فازی امکان به کارگیری مفهوم عدم قطعیت را در تعریف پارامترها، مشخصات، هندسه، شرایط ابتدایی و غیره می‌دهد. نظریه اعداد
اصطلاح قدیمی برای نظریه اعداد، "حساب" بود. اوایل سده بیستم، عبارت «نظریه اعداد» جایگزین آن شد. (واژه «حساب» نزد عوام به عنوان «محاسبات مقدماتی» پنداشته می‌شود. همچنین این اصطلاح در منطق ریاضیات به معنای "حساب پئانو" و در علوم رایانه به معنای حساب ممیز شناور می‌باشد) استفاده از اصطلاح "حساب" برای "نظریه اعداد" در نیمه دوم سده بیستم رواج پیدا کرد، ادعا می‌شود که ترویج آن تحت تأثیر فرانسوی‌ها بوده‌است. به‌خصوص، اصطلاح "حسابی" به عنوان یک صفت نسبت به "نظریه اعدادی" ترجیح داده می‌شود. فرمت اعداد رایانه‌ای
در حالی که هر دو اعداد صحیح بدون علامت و علامت در سیستم‌های دیجیتال استفاده می‌شوند، حتی یک عدد صحیح ۳۲ بیتی برای مدیریت طیف وسیعی از اعدادی که یک ماشین حساب می‌تواند انجام دهد، کافی نیست، و این فقط شامل کسر نمی‌شود. برای تقریب محدوده و دقت بیشتر اعداد حقیقی، باید اعداد صحیح علامت دار و اعداد نقطه ثابت را کنار بگذاریم و به قالب " ممیز شناور " برویم. تجزیه اعداد طبیعی
در نظریه اعداد به فرایند شکستن یک عدد مرکب و نوشتن آن به صورت حاصل ضرب چند عدد اول تجزیه اعداد طبیعی گفته می‌شود. هیچ الگوریتم کارآمدی برای تجزیهٔ اعداد خیلی بزرگ شناخته نشده. تلاشی که اخیراً برای تجزیه یک عدد ۲۰۰ رقمی صورت گرفته ۱۸ ماه به طول انجامید. دشواری این مسئله در برخی الگوریتم‌های رمزنگاری مانند آر‌اس‌ای می‌باشد. بسیاری از زمینه‌های ریاضیات و علوم رایانه، از جمله رایانش کوانتومی و نظریه‌ی جبری اعداد، برای بهبود روش حل این مسئله به کار گرفته شده‌اند. تجزیه همه اعداد با طول یکسان به یک اندازه مشکل نیست. مشکل‌ترین مثال‌ها (برای روش‌های فعلی) هستند. اعداد نیمه اول به اعدادی گفته می‌شود که می‌توان آنها را به صورت ضرب دو عدد اول نوشت. وقتی دو عدد بسیار بزرگ باشند و به‌طور تصادفی انتخاب شده باشند و مقدار نسبتاً نزدیکی داشته باشند حتی سریع‌ترین الگوریتم‌ها بروی سریع‌ترین رایانهها به قدری زمان می‌گیرند که در واقع ناکارآمد هستند. مربع کامل
در ریاضیات، مربع کامل عددی صحیح است که به صورت یک عدد صحیح دیگر باشد، یا به عبارتی بتوان آن را به صورت ضرب یک عدد طبیعی در خودش نوشت. به طور مثال عدد ۲۵ یک مربع کامل است چون می‌توان آن را به صورت ۵×۵ نوشت. مربع کامل غیر منفی است و روش دیگر تعریف آن این است که بگوییم ریشه دوم آن عددی صحیح باشد، مثلاً formula_1 می‌باشد، پس ۹ یک مربع کامل است. این اعداد خاصیت‌های جالبی دارند از جمله اینکه تعداد مقسوم علیه‌های این اعداد فرد است؛ بنابراین یکی از راه‌های تشخیص این اعداد همین نکته است. نکته دیگر اینکه حاصل جمع اعداد فرد متوالی مربع کامل است، یعنی: ۱=۱ ویتچ یارنیک
یارنیک همچنین نتایج متعددی را در مورد تقریب سیاله‌ای و مطالعه تقریب اعداد گویا به اعداد حقیقی، را منتشر کرد. وی ثابت کرد (1928-1929) که اعداد اعشاری که به‌طور درست قابل تقریب نیستند (اعدادی که دارای جملاتی از نوع کسر مسلسل هستند) دارای بُعد هاوسدورف یک هستند. این بعد همانند تمامی اعداد حقیقی است و این را می‌رساند که مجموعه اعدادی که به خوبی قابل تقریب نیستند، مجموعه بزرگی را تشکیل می‌دهند. همچنین اعدادی چون x که برایشان بی‌نهایت تقریب خوب گویا p/q وجود دارد را با فرمول ذیل در نظر گرفت: در این فرمول k > 2 دلخواه است و ثابت کرد (1929) که این اعداد دارای بُعد هاوسدورف کوچک‌ترِ formula_3 هستند. دومین نتیجه آن توسط بیسیکویچ مجدداً کشف شد. بیسیکویچ از روش‌های متفاوتی برای اثبات آن استفاده کرد و نتیجه آن معروف به قضیه یارنیک-بیسیکویچ گردید. اعداد اول بزرگ
به عدد صحیح بزرگتر از یک عدد اول گفته می‌شود اگر تنها مقسوم علیه (فاکتور) آن یک و خود آن عدد باشد. برای مثال مقسوم علیه‌های اول عدد ۱۰ اعداد ۲ و ۵ هستند. و شش عدد اول نخست ۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱و ۱۳ هستند. قسمت حقیقی
در ریاضیات، قسمت حقیقی یا بخش حقیقی یا مؤلفهٔ حقیقی ، برای یک عدد مختلط، مؤلفهٔ نخست در زوج مرتب نشان‌دهندهٔ آن عدد مختلط است. برای مثال، برای عدد مختلط formula_1 یا به بیان دیگر formula_2 (که formula_3 و formula_4 اعداد حقیقی هستند)، قسمت حقیقی عدد formula_5 برابر است با formula_3. در مقابل، قسمت موهومی، مؤلفهٔ دوم در زوج مرتب نشان‌دهندهٔ عدد مختلط است؛ بنابراین برای عدد مختلط formula_1، قسمت موهومی برابر است با formula_4. قضیه اساسی حساب
به عبارت دیگر، ب. م. م دو عدد formula_17 عبارت است از حاصل‌ضرب عوامل اول مشترک آن‌ها با کمترین توان. حدس کولاتز
اعداد طبیعی می‌توانند با به‌کارگیری روشی مشخص، به اعداد گویا تبدیل شوند. براای به دست آوردن مدل گویا، بزرگترین عدد توان ۲ که کمتر مساوی عدد اصلی است پیدا کنیدو آن را به عنوان مخرج در نظر بگیرید. سپس آن را از عدد اصلی کم کنید و به عنوان صورت در نظر بگیرید (۱۵/۵۱۲→۵۲۷). برای به دست آوردن مدل طبیعی عدد صورت و مخرج کسر را با هم جمع کنید (۵۱۱→ ۲۵۵/۲۵۶). اعداد اول بزرگ
قضیه اساسی حساب (Fundamantal Theorem of Arithmethic) نشان می‌دهد که اعداد اول قالب‌هایی منحصربه‌فرد برای اعداد صحیح مثبت ایجاد می‌کنند: هر عدد صحیح مثبت از حاصل ضرب یک سری و فقط از اعداد اول ایجاد می‌شود (ترتیب مقسوم علیه‌ها را در نظر نمی‌گیریم.) این کلید نشان دهنده آن است که مقسوم علیه‌های اول هر عدد می‌توانند نماینده آن عدد باشند. عدد موهومی
یک عدد موهومی را می‌توان به یک عدد حقیقی مانند formula_5 اضافه کرد که پس از آن یک عدد مختلط به شکل formula_6 که در آن formula_5را قسمت حقیقی عدد گفته و با formula_8 نشان می‌دهیم و b را قسمت موهومی نامیده و با formula_9 نشان می‌دهیم. همچنین می‌توان گفت که اعداد موهومی، اعداد مختلطی هستند که قسمت حقیقی آن‌ها صفر باشد؛ و اعداد حقیقی نیز اعداد مختلطی هستند که قسمت موهومی آن‌ها صفر باشد. مربع یک عدد موهومی، یک عدد حقیقی منفی است. ۰٫۹۹۹…
در برش ددکیند، هر عدد حقیقی مانند x با مجموعه نامتناهی اعداد گویای کوچک‌تر از x نمایش داده می‌شود. به ویژه، عدد حقیقی ۱، مجموعه‌ای از تمام اعداد گویا است که کمتر از ۱اند. هر بسط اعشاری یک برش ددکیند را مشخص می‌کند: مجموعه‌ای از اعداد گویا که کمتر از برخی مراحل توسعه‌اند؛ لذا عدد حقیقی ۰٫۹۹۹… مجموعه‌ای از اعداد گویا مانند r است که r<0، یا r<0.9، یا r<0.99، یا rهای کمتر از برخی اعداد دیگرند که به شکل زیر می‌باشند: هر عنصری از ۰٫۹۹۹… کوچک‌تر از ۱ است لذا عنصری از عدد حقیقی ۱ می‌باشد. برعکس، عنصر ۱ یک عدد گویا است. که بر این دلالت دارد که از آن‌جا که اعداد ۰٫۹۹۹… و ۱ مجموعه اعداد گویای یکسانی دارند، این دو عدد برابرند: ۰٫۹۹۹…=۱. عدد صحیح
شاخه‌ای از ریاضیات که به مطالعهٔ اعداد صحیح می‌پردازد، نظریهٔ اعداد نام دارد. در واقع می‌توان گفت اعداد طبیعی و حسابی زیر مجموعه اعداد صحیح هستند؛ و اعداد صحیح هم زیر مجموعه اعداد گویا هستند. ۰٫۹۹۹…
از آنجا که مسئله ۰٫۹۹۹… در پیشرفت رایج ریاضی نقشی ندارد، می‌توان اثبات آن را به عهده قضایای استاندارد آنالیز حقیقی موکول کرد. نیاز ما مشخص کردن اعداد حقیقی است که می‌توان به شکل اعشار نشان داد، که شامل یک علامت اختیاری، دنباله محدودی از اعداد که جزء صحیح آن را نمایش می‌دهند، یک علامت اعشار، و دنباله‌ای از اعداد که بخش اعشاری را نشان می‌دهند. برای عدد ۰٫۹۹۹… بخش صحیح را با عبارت "b" نشان می‌دهند، که این عدد می‌تواند منفی نیز باشد، شکل کلی آن به صورت زیر است: ۰٫۹۹۹…
در ریاضیات، ۰٫۹۹۹… (که با علامت‌هایی مانند formula_1 یا formula_2 نیز نمایش می‌یابد) یک عدد اعشاری متناوب از نوع ساده متشکل از تعداد بی‌نهایت ۹ بعد از ممیز را نشان می‌دهد. این عدد برابر با عدد یک است. به عبارتی دیگر، "۰٫۹۹۹…" و "۱" عددی یکسان را نشان می‌دهند. شیوه‌های متنوعی برای اثبات این برابری با درجات مختلفی از دقت ریاضی وجود دارد. هر عدد اعشاری مختوم غیر صفر، با یک عدد اعشاری متناوب دوقلوی خود برابر است که می‌توان آن را با بی‌نهایت ۹ نشان داد (برای مثال ۸٫۳۲ برابر است با ۸٫۳۱۹۹۹…). تقریباً، همواره عدد اعشاری مختوم ترجیح داده می‌شود، که این موضوع به افزایش این تصور غلط که تنها شکل نمایش همان عدد مختوم است، دامن می‌زند. چنین مفهومی در تمام مبناهای دیگر (با بزرگترین عدد ممکن)، یا اعداد حقیقی مشابه وجود دارد. تساوی ۰٫۹۹۹… و عدد ۱ به نبود مقادیر غیر صفر بی‌نهایت کوچک در سیستم اعداد حقیقی مربوط می‌شود؛ این سیستم رایج‌ترین سیستم در آنالیز ریاضی است. برخی سیستم اعداد جایگزین، مانند اعداد فراحقیقی شامل مقادیر بسیار کوچک غیر صفر نیز می‌باشند. در بسیاری از این سیستم‌ها، مفهوم ۰٫۹۹۹… معادل عدد یک است، اما در برخی از این سیستم‌ها، حتی بی‌نهایت ۹ نیز همواره اندکی کوچک‌تر از مقدار ۱ می‌باشد. قضیه اساسی حساب
از قضیه اساسی حساب نشان می‌دهد چگونه اعداد اول مانند بلوک‌های ساختمان در تولید سایر اعداد صحیح نقش دارند. تجزیه یک عدد به عوامل اول می‌تواند اطلاعات زیادی را در مورد مقسوم علیه‌های آن عدد و به‌طور کلی ساختار آن عدد در اختیار ما بگذارد. E (عدد)
عدد formula_1، در کنار ۰، ۱، formula_22 و formula_23 اهمیت قابل توجهی در ریاضیات دارد. تمام پنج عدد مذکور، نقش‌های مهمی را در کل ریاضیات داشته و مکرر ظاهر می‌شوند. تمام این پنج عدد در یک فرمول، یعنی اتحاد اویلر ظاهر می‌گردند. عدد formula_1، همچون formula_22 یک عدد گنگ (یعنی نمی‌توان آن را به صورت نسبتی از دو عدد صحیح نمایش داد) و متعالی (یعنی نمی‌توان آن را به صورت ریشه ای از یک چندجمله‌ای ناصفر با ضرایب گویا نوشت) است. عدد formula_1 تا پنجاه رقم در مبنای ده به صورت زیر است: اعداد ترتیبی (زبان‌شناسی)
در زبان‌شناسی، اعداد ترتیبی کلماتی هستند که دربرگیرنده موقعیت یا رتبه در شمارش ترتیبی است. شمارش ممکن است اندازه، ارزش، گاه‌نگاری و … باشد. تفاوت این سری اعداد با اعداد اصلی در ارزش آنها است. فهرست عددها
اعداد طبیعی اعدادی هستند که برای شمارش (بطور مثال در «شش سکه روی میز است») و برای ترتیب (بطور مثال در «این سومین شهر بزرگ در کشور است») به کار می‌روند. حساب دیفرانسیل
فرض کنید "x" و "y" دو عدد حقیقی هستند و "y" تابعی از "x" است، یعنی برای هر مقدار "x" یک مقدار متناظر "y" وجود دارد. این رابطه را می‌توان به صورت نوشت. اگر معادلهٔ خط راست باشد، دو عدد حقیقی "m" و "b" وجود دارند که . در این رابطه، "m" شیب نامیده می‌شود و از رابطهٔ زیر قابل محاسبه است: ریاضیات
مطالعهٔ کمیت با اعداد آغاز می‌گردد، ابتدا مطالعهٔ اعداد طبیعی و اعداد صحیح و عملیات حسابی روی آن‌ها که در شاخه حساب انجام می‌گردد. خواص عمیق‌تر اعداد در نظریه اعداد صورتی می‌پذیرد، که قضایای معروفی چون آخرین قضیه فرما از آن بیرون می‌آید. اعداد اول دوقلو و حدس گلدباخ دو تا از مسائل لاینحل نظریه اعدادند. نظریه اعداد
اعداد صحیح را می‌توان به خودی یا به عنوان جواب معادلات (در هندسه سیاله‌ای) در نظر گرفت. سوالات حوزهٔ نظریه اعداد اغلب از طریق مطالعه بر روی اشیاء تحلیلی (به عنوان مثال تابع زتای ریمان) بهتر فهمیده می‌شوند. می‌توان اعداد حقیقی را با کمک اعداد گویا مطالعه کرد، به عنوان مثال با تقریب زدن به کمک اعداد گویا (تقریب سیاله‌ای). یکه موهومی
یکه موهومی، ، یکی از دو ریشه معادله formula_1 است که معمولاً با formula_2 نمایش داده می‌شود. با توجه به این‌که هیچ‌یک از اعداد حقیقی نمی‌تواند ریشه این معادله باشد، formula_2 موهومی خوانده می‌شود. با فرض این‌که خواص اعمال جمع و ضرب (بستار، شرکت‌پذیری، جابه‌جایی و توزیع‌پذیری) در مورد اعداد موهومی نیز صدق می‌کنند، از ترکیب این اعداد و اعداد حقیقی، دستگاه اعداد مختلط ایجاد می‌شود. عدد اول
اگر در تعریف عدد اول تغییر ایجاد شده به گونه‌ای که ۱ نیز عدد اول محسوب شود، بسیاری از گزاره‌ها در مورد اعداد اول نیاز به بازنویسی خام و ناشیانه‌ای خواهند داشت. به عنوان مثال، قضیه بنیادین حساب را باید به گونه‌ای بازنویسی کرد تا فاکتورگیری برحسب اعداد اول بزرگتر از یک صورت گیرند، چرا که با ظهور تعداد متفاوت و تکراری از عدد ۱ در تجزیه اعداد، فاکتورگیری‌های مختلفی برای هر عدد تولید می‌شوند. به‌طور مشابه، اگر ۱ به عنوان عدد اول در نظر گرفته شود، غربال اراتوستن به خوبی کار نمی‌کند، چرا که تمام مضارب ۱ (یعنی تمام اعداد دیگر) حذف شده و خروجی تنها شامل ۱ خواهد بود. برخی از خواص فنی‌تر اعداد اول نیز برای عدد ۱ برقرار نیستند: به عنوان مثال، فرمول‌های تابع فی اویلر، یا تابع جمع مقسوم‌علیه‌ها، برای ۱ ضوابط متفاوتی نسبت به ضابطه‌شان برای اعداد اول دارند. تا اوایل قرن بیستم میلادی، ریاضی‌دانان شروع به توافق بر سر این موضوع کردند که ۱ نباید به عنوان عدد اول فهرست شود، بلکه برایش رده مخصوصی به نام «یکه» (unit، عضو معکوس‌دار در ساختارهای جبری چون حلقه) را تعریف نمودند. تمامیت اعداد حقیقی
تمامیت کوشی با ساخت اعداد حقیقی با استفاده از دنباله‌های کوشی است. این روش یک عدد حقیقی را به عنوان حد یک دنباله کوشی از اعداد گویا تعریف می‌کند. عدد اول
عددی طبیعی (۱، ۲، ۳، ...) را «"عدد اول"» (یا "اول") نامند اگر بزرگتر از ۱ بوده و نتوان آن را به صورت ضرب دو عدد طبیعی کوچکتر نوشت. اعداد بزرگتر از ۱ که اول نباشند را مرکب نامند. به بیان دیگر، formula_7 اول است اگر نتوان آن را به بیش از یک گروه با اندازه مساوی تقسیم‌بندی نمود، یا امکان آرایش formula_7 نقطه به شبکه ای از نقاط مستطیل‌گونه که طول و عرضی بزرگتر از یک داشته باشند، امکان‌پذیر نباشد. به عنوان مثال، در میان اعداد ۱ تا ۶، اعداد ۲، ۳ و ۵، اعداد اول می‌باشند، چرا که هیچ عددی آن‌ها را به گونه‌ای تقسیم نمی‌کنند که باقیمانده صفر شود. ۱ اول نیست، چرا ه به‌طور ویژه از تعریف مستثنی شده. ۴=۲×۲ و ۶=۲×۳، هردو اعدادی مرکب اند. مقسوم‌علیه‌های یک عدد طبیعی چون formula_7، اعداد طبیعی هستند که formula_7 را به بخش‌های مساوی تقسیم می‌کنند. برای هر عدد طبیعی، ۱ و خود عدد همیشه جزو مقسوم‌علیه‌ها می‌باشند. اگر مقسوم‌علیه دیگری وجود داشته باشد، آن عدد اول نخواهد بود. این ایده منجر به تعریف متفاوت ولی معادلی برای اعداد اول می‌گردد: آن‌ها اعدادی هستند که دقیقاً دو مقسوم‌علیه دارند، ۱ و خود عدد. هنوز روش دیگری جهت بیان همین مفهوم وجود دارد، این که عدد formula_7 اول است اگر بزرگتر از یک بوده و بر هیچ‌یک از اعداد formula_12 بخش‌پذیر نباشد. دستگاه اعداد پایه ۸
برای تبدیل اعداد حسابی در پایه ۱۰ به اعداد در پایه ۸ باید عدد اصلی را بر بزرگترین توان ۸ تقسیم کنید و به همین ترتیب تا توان ۱ عدد ۸ ادامه می‌دهید. عدد مورد نظر در پایه ۸ همان خارج‌قسمت تقسیم‌هاست که به ترتیب نوشته شده‌است. نظریه جبری اعداد
یک خاصیت مهم حلقه اعداد صحیح، ارضاء قضیه اساسی حساب است، یعنی هر عدد صحیح (مثبت) را می توان به صورت ضرب عوامل اولش تجزیه کرد، و این تجزیه در حد ترتیب عوامل یکتاست. اما این خاصیت ممکن است برای حلقه اعداد صحیح جبری formula_11 از یک میدان اعداد جبری formula_12 دیگر برقرار نباشد. قضیه اعداد اول
در نظریه اعداد، قضیه اعداد اول (PNT) توزیع مجانبی اعداد اول بین اعداد صحیح مثبت را توصیف می کند. این قضیه ایده شهودی کم شدن چگالی اعداد اول در اعداد صحیح بزرگ را به صورت صوری و دقیق تر بیان می کند. قضیه اعداد اول به صورت مستقل و جداگانه توسط ژاک آدامار و چارلز پوسین در ۱۸۹۶ با استفاده از ایده های معرفی شده از سوی برنارد ریمان (بخصوص تابع زتای ریمان) اثبات شد. نمای اول
نماهای اول اعداد صحیح مثبتی هستند که دقیقاً توسط یک عدد اول قابل‌تقسیم هستند؛ به نماهای اول اعداد اساسی هم گفته می‌شود، مثلاً در این موضوع رخ می‌دهد. ۱ (عدد)
۱ یا یک، یکی از رقم‌ها و نیز اولین عدد طبیعی و دومین عدد حسابی است که بعد از ۰ و قبل از ۲ قرار دارد. میدان بسته جبری
اعداد حقیقی یک میدان بسته نیست زیرا برای مثال چندجمله ایِ x + ۱ = ۰ در اعداد حقیقی دارای ریشه نیست در حالیکه تمام ضرایب جملات آن حقیقی هستند و x دارای توانی بزرگتر مساوی یک می باشد. به همین ترتیب می توان گفت که هیچ زیرمیدانی از اعداد حقیقی هم میدان بسته ای نیست پس مجموعه ی اعداد گویا نیز میدان بسته ای نمی‌باشد. همچنین؛ هیچ میدان متناهیِ "F" نیز بسته نمی‌باشد. صدق‌پذیری در پیمانه نظریات
صدق‌پذیر هست یا نه. سپس این مسائل به صورت کلی تصمیم‌ناپذیر می‌شوند. (نظریه ، و از این رو نظریه مرتبه اول از اعداد حقیقی، توسط حذف سور تصمیم‌پذیر هستند. این موضوع را مدیون آلفرد تارسکی هستیم) نظریه مرتبه اول اعداد طبیعی با جمع (اما بدون ضرب) نامیده می‌شود، که آن هم تصمیم‌پذیر است. به دلیل آنکه ضرب کردن با ثابت‌ها را می‌توان به صورت جمع‌های تودرتو پیاده‌سازی کرد، حساب در بسیاری از برنامه‌های رایانه‌ای قابل بیان به کمک حساب پرسبورگر است، که این موضوع منجر به فرمول‌های تصمیم‌پذیر می‌شود. عدد مختلط
اعداد مختلط را می‌توان به صورت زوج‌های مرتب (a, b) از اعداد حقیقی نیز تعریف کرد. با اعمال: بنابراین اعداد مختلط تشکیل یک میدان می‌دهند، میدان مختلط، که با C نشان داده می‌شود. از آنجایی که عدد مختلط "a" + "bi" به‌طور منحصربه‌فرد با یک زوج مرتب (a, b) نمایش داده می‌شود، پس اعداد مختلط یک تناظر یک به یک با نقاط در صفحه دارند. به آن صفحه مختلط گفته می‌شود. عدد حقیقی "a" را با عدد مختلط (a, 0) نشان می‌دهیم و در این حالت میدان اعداد حقیقی R یک زیر میدان از C می‌شود. واحد موهومی "i" عدد مختلط (0, 1) است. منظور از تقسیم دو عدد مختلط یعنی formula_19 یافتن عددی است مثل "x + iy" که در تساوی صدق نماید، پس از محاسبه رابطه بالا داریم: پس کافی است اعداد "x" و "y" را چنان پیدا کنیم که در روابط formula_20 formula_21 مگر آنکه "c = d = 0" بنابراین formula_22 البته همین نتیجه را می‌توانستیم از ضرب صورت و مخرج کسر formula_19 در "c - id" نیز بدست آوریم. ۰٫۹۹۹…
معمولاً در آموزش متوسطه ریاضیات، یک عدد حقیقی را به صورت ترکیبی از یک عدد صحیح، علامت ممیز، و یک دنباله نامتناهی نشان می‌دهند که این بخش، قسمت اعشاری آن را نمایان می‌سازد. در این ساختار، مجموعه اعداد صحیح بعد ممیز مجموعه از اعداد حقیقی‌اند. این ساختار می‌تواند بعد از بیان یک رابطه هم‌ارزی برای مجموعه‌ای که نشان می‌دهد ۰٫۹۹۹…=۱، به شکل دقیقی مخاطب را راضی کند. اسکیم (زبان برنامه‌نویسی)
درون نوع داده‌های عددی، به وسیله تضاد، مقادیر عددی همپوشانی می‌کنند. برای مثال، یک عدد صحیح تمامی انواع زیر را در یک زمان راضی می‌کند : integer?, rational?, real?, complex? و number?. (R5RS sec 6.2)[3] اصول موضوعه پئانو
فرمول بندی اصلی پئانو از اصول موضوعه، ۱ را بجای ۰ به عنوان «نخستین» عدد طبیعی در نظر می‌گرفت. این انتخاب، اختیاریست، چرا که اصل موضوعه ۱، عدد ۰ را به خواص بیشتری تجهیز نمی‌کند. اگرچه چون ۰ در حساب، همانی جمعی است، اغلب فرمول بندی‌های مدرن از اصول پئانو از ۰ آغاز می‌شوند. اصول ۱، ۶، ۷ و ۸ یک نمایش یکانی از مفهوم شهودی اعداد طبیعی تعریف می‌کنند: عدد ۱ می‌تواند به عنوان "S(۰)"، عدد ۲ به عنوان S(S(۰))، و … تعریف شوند. اگرچه، با فرض گرفتن اعداد طبیعی ای که از اصول موضوعه استخراج می‌شوند، اصول ۱، ۶، ۷ و ۸ تنیجه نمی‌دهند که تابع تالی کل اعداد طبیعی بجز "۰" را تولید می‌کند. به بیان دیگر، اینها تضمین نمی‌کنند که هر عدد طبیعی به غیر از صفر باید از یک عدد طبیعی دیگر پیشی بگیرد. محور اعداد
در ریاضیات مقدماتی، محور اعداد از یک خط مستقیم درجه‌بندی شده تشکیل شده‌است که نمونه‌ای انتزاعی از مجموعهٔ اعداد حقیقی را ارائه می‌کند. هر نقطه بر روی محور اعداد تنها مطابق با یک عدد از مجموعهٔ اعداد حقیقی فرض می‌شود و بالعکس هر عدد از مجموعهٔ اعداد حقیقی مطابق با یک نقطه بر روی محور اعداد فرض می‌شود. عدد پی-ادیک
در ریاضیات، دستگاه اعداد p-ادیک برای هر عدد اول p، حساب معمولی اعداد گویا را به شکل متفاوتی به اعداد حقیقی و مختلط توسعه می دهد. این توسعه با تفسیر دیگری از مفهوم "نزدیکی" یا قدر مطلق یک عدد بدست می آید. بدین شکل که دو عدد p-ادیک را نزدیک به هم در نظر می گیرند، وقتی تفاضلشان بر توان بالایی از p بخش پذیر باشد: هرچه توان p بیشتر باشد، آن دو عدد به هم نزدیک ترند. این خاصیت موجب می گردد که اعداد p-ادیک اطلاعات همنهشتی را در خود بگنجانند. به همین دلیل اعداد p-ادیک در نظریه اعداد کاربرد های قدرتمندی پیدا می کنند، مثل اثبات قضیه آخر فرما توسط اندرو وایلز. حساب لامبدا
و ما می‌بینیم که عدد درست عدد برابر با FALSE است. قضیه اساسی حساب
در ابتدا مفهوم تجزیه به عوامل اول را توضیح دادیم و دیدم که بنابر قضیه اساسی حساب، هر عدد صحیح بجز یک و منفی یک، به حاصل ضرب اعداد اول قابل تجزیه است، اما این عوامل اول ممکن است متمایز نباشند. اگر عدد صحیح formula_4 را به صورت formula_52 بنویسم که در آن formula_24ها اعداد اول متمایز هستند، این تجزیه به عوامل اول را تجزیه استاندارد یا کانونیک formula_4 به عوامل اول می‌گوئیم. به عنوان مثال formula_55. تمامیت اعداد حقیقی
می‌توان با استفاده از برش‌های ددکیند اعداد حقیقی را از روی اعداد گویا ساخت؛ برای مثال برش بالا formula_9 را تعریف می‌کند. اگر همین فرایند را بر روی مجموعه اعداد حقیقی انجام بدهیم به هیچ عدد جدیدی نمی‌رسیم زیرا اعداد حقیقی دارای ویژگی تمامیت ددکیند هستند. فیزیک دیجیتال
می‌تواند قابل بحث باشد این که هر نظریهٔ فیزیکی که شامل اعداد حقیقی باشد (و اکثریت نظریه‌ها در لحظهٔ نوشتن همین‌طور هستند) مشکلاتی را ایجاد می‌کند. فیزیک شناخته شده بر اساس محاسبه پذیری نگاه داشته شده، اما این حکم در روش‌های مختلف نیاز به اصلاح دارد. یک عدد (به‌طور خاص فکر کردن در مورد یک عدد حقیقی، با تعداد بی‌نهایتی از ارقام) محاسبه‌پذیر خوانده می‌شود اگر یک ماشین تورینگ کار با ارقام را دائماً ادامه دهد. به بیان دیگر، هیچ سؤالی برای به رسیدن به «رقم پایانی» نیست. اما این با ایدهٔ فیزیک شبیه‌سازی شده در زمان حقیقی (یا هر مدل قابل پذیرش از زمان) ناخوشایند به نظر می‌رسد. قوانین فیزیکی شناخته شده (شامل آن‌هایی که در مکانیک کوانتومی هستند) خیلی خوب با اعداد حقیقی و پیوستگی وصل شده‌اند. کسر
گویا صفت فاعلی از مصدر گفتن می‌باشد و در ریاضی هر شمار کسری مانند و یا هر عددی که بتوان آن را به شکل یک کسر نوشت را یک عدد گویا می‌نامیم. مانند ۲-، ۰، ۳+ ،۲/۳ -، ۲۵/- که به ترتیب به شکل کسرهای می‌توان نوشت. به‌طور کلی هر عددی که بتوان آن را به صورت کسر نوشت، به‌طوری‌که صورت و مخرج آن متعلق به اعداد صحیح باشند و مخرج آن مخالف صفر باشد یک عدد گویا می‌گویند. مجموعه اعداد گویا را با حرف Q حرف اول کلمهٔ Quotient به معنی «خارج قسمت» نمایش می‌دهند. سیستم کدگذاری حفظی
در حالی که پیوند اسم های قافیه دار با اعداد، رایج است ، اما به هیچ عنوان تنها سیستم نیست. همچنین سیستم اصلی (عمده) نیز وجود دارد که صداها را به اعداد پیوند می دهد. یادگیری سیستم اصلی از قافیه های ساده یا کلید(کد) های الفبایی پیچیده تر است ، زیرا اعداد 0-9 را با یک حرف یا صدا خاص ارتباط می دهد ، سپس اعداد بزرگتر می توانند برای ایجاد کلمات از اصوات، ترکیب شوند. از نظر تعداد کد هایی که می تواند تولید کند، نامحدود است. بعلاوه ، اصلاحی که اخیراً در سیستم عمده انجام شده است، مفهوم ابعاد را معرفی می کند. متداول ترین ارتباط بین اعداد و حروف به شرح زیر است: عدد منفی
اعداد منفی به تمام اعداد حقیقی گفته می‌شود که کوچک‌تر از صفر هستند. اعداد منفی در دستگاه مختصات در سمت چپ صفر قرار دارند. هر عددی که کوچکتر از صفر باشد حتی به اندازه ∋ یک عدد منفی است. اعداد منفی مانند اعداد مثبت و صفر جزء اعداد هستند. به عبارتی می توان اعداد را به سه دسته تقسیم کرد: 1) اعداد مثبت 2) اعداد منفی 3) عدد صفر این اعداد معمولاً معرف ضرر، خسارت، اتلاف، فقر، عدم، ضایعات و فقدان در اندازه هستند. به عنوان مثال بدهی که یک شخص دارد ممکن است به صورت یک دارایی منفی تلقی شده و با عدد منفی نمایش داده شود، برای نمونه می‌گوییم کسی ۴۵۰۰۰- تومان در یک ماه سرمایه‌گذاری کرده‌است. یعنی این اندازه بدهکار است. در کمیت‌ها نیز اعداد منفی به معنای یک افزایش منفی محسوب می‌شوند که به نوعی همان کاهش است. در مورد درجه حرارت نیز اعداد منفی کاربرد زیادی دارند. نشانه اعداد منفی یک علامت منفی - است. مثلاً «عدد ۳-» یعنی یک مقدار منفی با بزرگی و اندازه عدد ۳ که منفی سه تلفظ می‌شود. به عبارتی، به همان اندازه که صفر از ۳ کوچک‌تر است، به همان اندازه از ۳- بزرگ‌تر است. عدد طبیعی
فرمول ساده و کاربردی‌ای که برای محاسبهٔ n عدد اول وجود دارد را می‌توان با استقرای ریاضی ثابت کرد؛ بنابراین فرمول: formula_11 برای اثبات این فرمول، نخست باید توجه کرد که فرمول برای ۱ صادق است (formula_12). سپس فرض می‌شود که فرمول برای k عدد طبیعی اول صادق باشد: formula_13 آن‌گاه: formula_14 formula_15 formula_16 formula_17(تجزیهٔ دوجمله‌ای صورت) بنابراین فرمول برای formula_18 صدق می‌کند. بنابر استقرای ریاضی این امر نشان‌دهندهٔ این است که فرمول فوق برای هر کدام از اعداد طبیعی صادق است. ریشه عدد
هر عدد مختلط ناصفر n ریشه متفاوت مختلط nام از جمله ریشه‌های حقیقی (حداکثر دو ریشه حقیقی) دارد. ریشهٔ nام صفر به ازای هر عدد حقیقی مثبت n صفر می‌باشد، زیرا formula_5. به صورت کلی اگر n زوج و x عددی حقیقی و مثبت باشد، یکی از ریشه‌های nام آن عددی مثبت و حقیقی، یکی منفی، و بقیه ریشه‌ها (اگر formula_6) اعداد مختلط غیر حقیقی خواهند بود؛ اگر n زوج و x عددی حقیقی و منفی باشد، هیچ‌یک از ریشه‌های آن حقیقی نیستند. اگر n فرد و x حقیقی باشد، یک ریشه nام آن حقیقی و هم علامت با x است، در حالی که بقیه formula_7 ریشهٔ آن حقیقی نیستند. در نهایت، اگر x حقیقی نباشد، هیچ‌یک از ریشه‌های nام آن حقیقی نیستند. ۰٫۹۹۹…
این ایده‌ها در زمینه اعداد حقیقی استاندارد نادرستند، اگرچه ممکن استر برخی در سایر سیستم‌های عددی درست باشند، سیستم‌هایی که یا برای کاربرد عمومی ریاضیات ایجاد شده‌اند، یا به عنوان مثال نقض برای درک بهتر ۰٫۹۹۹… به کار می‌روند. عدد گنگ
از اثبات کانتور در مورد ناشمارا بودن اعداد حقیقی و شمارا بودن اعداد گویا نتیجه می‌شود که تقریباً تمام اعداد حقیقی گنگ اند. فرمت اعداد رایانه‌ای
فرمت اعداد رایانه ای نحوه قرار گرفتن و مدل شدن اعداد در سخت‌افزار و نرم‌افزار یک دستگاه دیجیتال است (مانند رایانه‌های قابل برنامه‌ریزی و ماشین حساب‌ها). مقادیر عددی به صورت گروه‌های بیت‌ها مانند بایت‌ها (۸ بیت) و کلمات ذخیره می‌شوند. رمزگذاری بین مقادیر عددی و الگوهای بیت برای راحتی کار رایانه انتخاب شده‌است. رمزگذاری مورد استفاده توسط مجموعه دستورالعمل کامپیوتر معمولاً برای استفاده خارجی مانند چاپ و نمایش نیاز به تبدیل دارد. انواع مختلف پردازنده‌ها ممکن است نمایش‌های داخلی متفاوتی از مقادیر عددی داشته باشند و قراردادهای متفاوتی برای اعداد صحیح و طبیعی استفاده می‌شود. اکثر محاسبات با فرمت‌های اعدادی انجام می‌شوند که در یک رجیستر پردازنده قرار می‌گیرند، اما بعضی از سیستم‌های نرم‌افزاری امکان نمایش اعداد بزرگ دلخواه را با استفاده از چندین کلمه حافظه را ممکن می‌سازند. ثابت ریاضی
ثابت ریاضی عددی خاص و معمولاً حقیقی است. ثابت‌ها در قسمت‌های مختلفی از ریاضیات مانند هندسه، نظریه اعداد، حساب دیفرانسیل و انتگرال و ... ظاهر می‌شوند. برخی ثابت‌ها مانند عدد پی یا "e" برای ویژگی‌های یکتا و زمینه تاریخیشان مورد توجه ریاضی‌دان‌ها قرار دارند. ثابت‌های شناخته شده‌تر برای سال‌ها مورد مطالعه قرار گرفته‌اند و برای محاسبه مقدار آن‌ها تلاش‌های زیادی صورت گرفته‌است. عدد گنگ
اعداد گنگ را همچون تمام اعداد حقیقی می‌توان برحسب ارزش مکانی (مثلاً در دستگاه ده‌دهی) بیان نمود. اعشار اعداد گنگ پایان ناپذیر است و دنباله متناوبی تشکیل نمی‌دهند. به عنوان مثال، نمایش ده‌دهی عدد formula_1 با ۳٫۱۴۱۵۹ شروع می‌شود، اما نمی‌توان با هیچ تعداد متناهی از ارقام، این عدد را نمایش داد و در ارقام اعشاری آن تکرار وجود ندارد. برعکس، بسط اعشاری که پایان پذیر بوده یا تناوب داشته باشد، لزوماً عدد گویایی است. این خواص اعداد گنگ و دستگاه ارزش مکانی را می‌توان اثبات نمود، با این حال از آن‌ها در ریاضیات به عنوان تعریف استفاده نمی‌شوند. آنالیز عددی
آنالیز عددی (Numerical analysis) به تنظیم، مطالعه، و اعمال شیوه‌های تقریبی محاسباتی برای حلّ آن دسته از مسائل ریاضیات پیوسته (در مقابل ریاضیات گسسته) می‌پردازد که با روش‌های تحلیلی و دقیق قابل حلّ نیستند. برخی از مسائل مورد نظر محاسبات عددی به‌طور مستقیم از حسابان می‌آید. جبر خطی عددی (بر روی میدان‌های حقیقی یا مختلط) و نیز حلّ معادلات دیفرانسیل خطی و غیر خطی مربوط به فیزیک و مهندسی از جملهٔ زمینه‌های دیگر برای کاربرد محاسبات عددی‌ست. چهار عمل اصلی
چهار عمل اصلی (یا حساب مقدماتی: Elementary Arithmetic) به چهار عمل پایه‌ای حساب یعنی جمع، تفریق، ضرب و تقسیم گفته می‌شود. چهار عمل اصلی برروی اعداد طبیعی، کسرها و اعداد منفی اعمال می‌شوند. تمامیت اعداد حقیقی
از اعداد گویا دارای یک کران بالایی است، اما هیچ کوچکترین کران بالایی در میان اعداد گویا ندارد. به ازای هر کران بالایی formula_2یک کران بالایی دیگر formula_3 وجود دارد که formula_4. فرمت اعداد رایانه‌ای
رابطه بین اعداد و الگوهای بیت برای راحتی در کارهای رایانه انتخاب شده‌است. هشت بایت ذخیره شده در حافظه کامپیوتر ممکن است نشان دهنده یک real64 بیتی، دو عدد real32 بیتی، یا چهار عدد صحیح علامت دار یا بدون علامت، یا نوع دیگری از داده‌ها باشد که در هشت بایت قرار می‌گیرند. تنها تفاوت این است که چگونه کامپیوتر آنها را تفسیر می‌کند. اگر رایانه چهار عدد صحیح بدون علامت را ذخیره می‌کرد و سپس آنها را از حافظه به عنوان واقعی ۶۴ بیتی می‌خواند، تقریباً همیشه یک عدد واقعی کاملاً معتبر خواهد بود، اگرچه داده‌های ناخواسته است. تابع اعداد اول
در ریاضیات، به‌طور ویژه در نظریه اعداد، تابع اعداد اول، تابعی از اعداد طبیعی به اعداد طبیعی همانند تابع فاکتوریل می‌باشد که به جای ضرب اعداد صحیح مثبت، اعداد اول صرفاً ضرب می‌شوند. دو تعریف متضاد وجود دارد که تفسیر این استدلال را متفاوت می‌کند: تعبیر استدلال اول بیان می‌دارد که در دنباله اعداد اول شاخص[اعداد اول] وجود دارد (پس این تابع اکیداً صعودی است) درحالیکه تعبیر استدلال دوم بیان می‌دارد که اعداد اول برای ضرب، معین اند (پس مقدار تابع در هر عدد مرکب، مشابه مقدار قبلی خود[تا عدد اول ماقبل] می‌باشد) این مقاله از تعبیر دوم استفاده می‌کند. عبارت «تابع اعداد اول»، منسوب به Harvey Dubner، با اعداد اول متناسب است همان‌طور که تابع عوامل (فاکتوریل) با عوامل رابطه دارد. هندسه حسابی
در ریاضیات، هندسه حسابی به بیان نادقیق، کاربردی از فنون هندسه جبری جهت حل مسائل نظریه اعداد است. هندسه حسابی حول هندسه سیاله‌ای متمرکز شده و به مطالعه نقاط گویای واریته‌های جبری می‌پردازد. رایانه
دستگاه اعداد دودویی شامل عددهای ۰ (صِفر) و ۱ (یک) است. دستگاه اعداد دودویی زبان اصلی رایانه است. ۰ بمعنای خاموش و ۱ بمعنای روشن است. یادگیری زبان دودویی امری غیرقابل یادگیری است. برای مثال یک نرم‌افزار خیلی ساده شامل تعداد بیشماری ۰ و ۱ است. زبان‌های برنامه‌نویسی با زبان اصلی رایانه که، ۰ و ۱ است کاملاً تفاوت دارد. کد را با زبان برنامه‌نویسی نوشته و آن را با نرم‌افزارهایی به‌نام همگردان ویا مفسر به ۰ و ۱ موردنظر تبدیل می‌کنیم. الگوریتم تقسیم
در واقعیت نمونه نقطه حسابی ثابت از اعداد صحیح بدون علامت ۳۲ بیتی، تقسیم‌شده توسط ۳ می‌تواند بوسیله یک ضرب با جایگزین شود. یک ضرب با ۲۸۶۳۳۱۱۵۳۱ (هگزادسیمال 0xAAAAAAAB) با یک تغییر ۳۳ بیت راست بیان‌می‌شود. ارزش ۲۸۶۳۳۱۱۵۳۱ به عنوان محاسبه شده‌است، پس از آن گرد می‌شود. اعداد متباین
در نظریه اعداد، دو عدد صحیح را متباین یا هم‌اول یا نسبت به هم اول گویند؛ چنانچه بزرگترین مقسوم علیه مشترک (ب.م.م) این دو عدد، برابر یک باشد؛ یا به عبارتی هیچ مقسوم‌علیه مشترکی جز یک نداشته باشند. کسر مسلسل
کسرهای مسلسل خواص قابل توجهی در ارتباط با الگوریتم اقلیدسی اعداد حقیقی دارند. از روی هر عدد گویا چون formula_6، دو عبارت مرتبط با کسرهای مسلسل بدست می آید. این دو عبارت ضرایبی چون formula_3 دارند که با اعمال الگوریتم اقلیدسی بر روی formula_8 تعیین می گردند. مقدار عددی کسر مسلسل نامتناهی همیشه عددی گنگ است؛ این مقدار عددی به صورت حد دنباله اعداد صحیح حاصل از مقادیر بدست آمده از کسرهای مسلسل متناهی آن، تعریف می گردد. هر کدام از این کسرهای مسلسل متناهی (که از روی کسر مسلسل نامتناهی مورد نظر بدست می آیند)، با استفاده از پیشوندهای متناهی از کسر مسلسل نامتناهی مورد نظر تعریف می شوند. به علاوه، هر عدد گنگ چون formula_9، برابر با یک کسر مسلسل نامتناهی "منحصر به فرد"ی است که ضرایبش را می توان با استفاده از اعمال نسخه پایان-ناپذیری از الگوریتم اقلیدسی بر روی مقادیر مقایسه ناپذیر (یعنی هیچ یک ضریب گویایی از دیگری نیست) formula_9 و 1 بدست آورد. بیان اعداد حقیقی (چه گویا و چه گنگ) با این روش را "نمایش کسر مسلسل" می نامند. ۷۴ (عدد)
همچنین ۷۴ در مجموعه اعداد حقیقی،اعداد صحیح و اعداد حسابی قرار دارمجموع ارقام این عدد ۱۱میشود.این عدد بر اعداد ۲و۳بخش پذیر است. فرمت اعداد رایانه‌ای
نمایش دقت محدودی دارد. به عنوان مثال، تنها ۱۵ رقم اعشاری را می‌توان با واقعی ۶۴ بیتی نشان داد. اگر یک عدد ممیز شناور بسیار کوچک به عدد بزرگ اضافه شود، نتیجه فقط عدد بزرگ است. عدد کوچک آنقدر کوچک بود که حتی با وضوح ۱۵ یا ۱۶ رقمی نشان داده نمی‌شد و کامپیوتر عملاً آن را کنار می‌گذارد. تجزیه و تحلیل اثر دقت محدود یک مسئله به خوبی مطالعه شده‌است. برآورد بزرگی خطاهای دور کردن و روش‌هایی برای محدود کردن تأثیر آنها بر محاسبات بزرگ، بخشی از هر پروژه محاسباتی بزرگ است. حد دقت با حد دامنه متفاوت است، زیرا بر ضریب علمی تأثیر می‌گذارد، نه توان. نظریه اعداد
در نظریه مقدماتی اعداد، اعداد صحیح را بی استفاده از روش‌های به‌کار رفته در سایر شاخه‌های ریاضی بررسی می‌کنند. مسائل بخش پذیری، الگوریتم اقلیدس برای محاسبه بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک (ب.م. م)، تجزیه اعداد به اعداد اول، جستجوی عدد کامل perfect number و همنهشتی‌ها در این رده هستند. برخی از یافته‌های مهم این رشته قضیه کوچک فرما، قضیه اعداد اول و قضیه اویلر، قضیه باقیمانده چینی و قانون تقابل درجه دوم هستند. خواص توابع ضربی مانند تابع موبیوس و تابع φ اویلر و دنباله اعداد صحیح و فاکتوریل‌ها و اعداد فیبوناچی در همین حوزه قرار دارند. زبان عربی
اعداد اصلی عددهایی هستند که نشان دهنده تعداد و کثرت معدود هستند. برخلاف اعداد ترتیبی که نشان دهنده ترتیب و جایگاه معدود هستند. قسمت کسری
برای یک عدد مثبتِ نوشته‌شده در یک دستگاه اعداد ارزش مکانی معمولی (مانند دودویی یا اعشاری)، قسمت کسری آن با ارقامی که بعد از جداکنندهٔ اعشار ظاهر می‌شوند مطابقت دارد. نتیجه، یک عدد حقیقی در بازهٔ نیمه باز formula_6 است. بستار (ریاضی)
در ریاضی یک مجموعه را نسبت به یک عمل بسته می‌گویند، اگر آن عمل روی اعضای مجموعه یک عضو از همان مجموعه را تولید کند. برای نمونه اعداد حقیقی نسبت به عمل تفریق بسته هستند اما اعداد طبیعی نه. اگر یک مجموعه مانند S نسبت به عملی مثل * بسته نباشد، کوچکترین مجموعه‌ای شامل S که نسبت به * بسته باشد، یک بَستار برای S خوانده می‌شود. حساب
حِساب (معادل انگلیسی آن یعنی Arithmetic از یونانی ἀριθμός با تلفظ "arithmos"، به معنای "عدد" و τική [τέχνη]، با تلفظ tiké [téchne] به معنای "هنر" می آید) شاخه ای از ریاضیات است که شامل مطالعه اعداد، به‌خصوص خواص عملیات سنتی روی آن ها یعنی جمع، تفاضل(تفریق)، ضرب و تقسیم می باشد. حساب قسمت مقدماتی نظریه اعداد می باشد و نظریه اعداد امروزه به عنوان یکی از اصلی ترین شاخه های ریاضیات (که جایگاه آن در بالاترین قسمت درخت تقسیم بندی گرایش های ریاضی قرار دارد) در نظر گرفته می شود. در کنار نظریه اعداد جبر، هندسه و آنالیز نیز جزو این شاخه های اصلی قرار دارند. عبارت "حساب" و "حساب مرتبه بالاتر" تا اوایل قرن بیستم به عنوان کلمه هم معنی "نظریه اعداد" به کار برده می شد و هنوز هم برای اشاره به قسمت اعظم نظریه اعداد به کار برده می شود. محور اعداد
اغلب اعداد صحیح به صورت نقاطی بر روی محور اعداد با فواصل مساوی مشخص می‌شوند. گرچه تصویر زیر تنها اعداد صحیح مابین اعداد ۹− و ۹ را نشان می‌دهد، با این وجود محور اعداد شامل تمام مجموعه اعداد حقیقی می‌باشد که در دو جهت محور اعداد قابل بسط دادن هستند، همچنین اعداد مابین اعداد صحیح مشخص شده، در تصویر زیر مشخص نشده‌اند که در صورت لزوم می‌توان آن‌ها را تا جایی که مقیاس محور اجازه دهد نمایش داد. از محور اعداد بیشتر به جهت آموزش دادن جمع و تفریق‌های ساده استفاده می‌شود، بخصوص زمانی که اعداد مورد نظر شامل اعداد منفی باشند. قضیه اساسی حساب
اگر formula_4 اول باشد در این صورت چیزی برای اثبات نمی‌ماند و حکم برقرار است. اگر formula_4 اول نباشد در این صورت اعداد صحیح formula_17 وجود دارند که formula_18 و formula_19. چون formula_20 بنابر فرض استقراء formula_17 به حاصل‌ضرب عوامل اول تجزیه می‌شوند. پس formula_22 و formula_23 که در آن formula_24 و formula_25ها اعداد اول و نه لزوماً متمایز هستند؛ بنابراین formula_26 و لذا formula_4 نیز به حاصل‌ضرب عوامل اول تجزیه می‌شود. نظریه جبری اعداد
در کل، اگر formula_19 یک عنصر معکوس پذیر باشد، یعنی عددی که در formula_11 معکوس ضربی دارد، آنگاه اگر formula_13 یک عنصر اول باشد، formula_22 هم عنصری اول خواهد بود. اعدادی چون formula_13 و formula_22 را "شریک" یا "مرتبط" (associate) گویند. در اعداد صحیح، اعداد اول formula_13 و formula_26 شریکند، اما تنها یکی از آن ها مثبت است. این که مثبت بودن اعداد اول را الزامی در نظر بگیریم، منجر به این می شود که عنصر یکتایی در بین مجموعه عناصر اول متناظر با آن (شریک با آن) انتخاب شود. با این حال، زمانی که formula_12 میدان اعداد گویا نباشد، مثبت بودن بی معنی خواهد بود. به عنوان مثال در اعداد صحیح گاوسی formula_28، اعداد formula_29 و formula_30 شریک هستند، چون اگر عدد اولی را در formula_31 ضرب کنیم به دومی می رسیم، اما راهی برای انتخاب میان یکی از آن ها وجود ندارد، از این دو عدد به معادله زیر می رسیم: ارقام معنی‌دار
حال می‌خواهیم نتیجه اندازه‌گیری را برای استفاده در موارد علمی بر روی کاغذ بیاوریم. برای اینکه به دیگران نشان بدهیم اندازه‌گیری ما از چه میزان دقتی برخوردار است، از ارقامی استفاده می‌کنیم که به آنها ارقام بامعنا می‌گویند. این ارقام شامل تمام رقم‌هایی هستند که با قطعیت مشخص نموده‌ایم به علاوه آخرین رقم که بیشتر یک رقم تقریبی یا غیرقطعی است. برای مثال عدد ۹۳۷٬۶۰۵ دارای ۶ رقم معنی‌دار است که آخرین رقم آن یعنی ۵ یک رقم غیرقطعی است. تمامیت اعداد حقیقی
اعداد حقیقی را می‌توان به صورت یک میدان مرتب تعریف کرد که نسخه‌ای از اصل موضوع تمامیت برای آن صادق است. نسخه‌های مختلف این اصل موضوع، به جز تمامیت کوشی و قضیه بازه‌های تودرتو که در برخی میدان‌های غیرارشمیدسی نیز صادقند، همگی معادلند. زمانی که اعداد حقیقی با استفاده از یک مدل ساخته شوند، تمامیت یک قضیه یا مجموعه‌ای از قضایاست. عدد ابرحقیقی
سیستم اعداد ابرحقیقی(نماد: R* و به انگلیسی: Hyperreal number) یک راه رفتار با کمیت‌های بی‌نهایت بزرگ و کوچک است. اعداد ابرحقیقی یا حقیقی‌های غیر استاندارد یک توسعه اعداد حقیقی هستند که شامل اعدادی بزرگتر از هرچیز به قالب قسمت کسری
هر عدد حقیقی را می‌توان اساساً منحصر به فرد به‌صورت یک کسر مسلسل نشان داد، یعنی به عنوان مجموع قسمت صحیح آن و وارون ضربی از قسمت کسری آن است که به‌عنوان مجموع قسمت صحیح آن و وارون ضربی قسمت کسری آن"،" و غیره نوشته‌شده‌است. عدد حقیقی
عدد حقیقی به مجموعهٔ همهٔ اعداد گویا و اعداد گنگ با یک‌دیگر در دستگاه اعداد گفته می‌شود، که با formula_1 نمایش داده می‌شود. قضیه اساسی حساب
فرض کنید formula_17 دو عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک باشند و formula_119 و formula_120 تجزیۀ استاندارد formula_17 به عوامل اول باشد. در این صورت اگر ب. م. م formula_17 را با formula_123 نشان دهیم، داریم: ۲ (عدد)
۲ یا دو، یکی از رقم‌ها و نیز دومین عدد طبیعی است. سومین عدد حسابی می باشد. عدد ۲ نخستین عدد از اعداد اول است.