تابع درجه سوم چگونه محاسبه می شود؟
الگوریتم تقسیم
این بهترین تناسب درجه دوم برای 1 / "D است" و مقدار مطلق خطا را کمتر از یا برابر با ۱/۹۹ می‌دهد. انتخاب شده‌است تا خطا برابر با چند جملهای دوباره مرتبه سوم تغییر یافته Chebyshev از نوع اول باشد. ضرایب باید از پیش محاسبه شده و کدگذاری شوند.
تابع همگن
تابع formula_1 را همگن از درجه formula_2 میگوییم هرگاه به ازای هر عدد حقیقی formula_3 داشته باشیم : روش FEE
قضیه: فرض می‌کنیم که اگر formula_3 یک تابع استعلایی مقدماتی باشد، یعنی تابع نمایی باشد یا یک تابع مثلثاتی، یا یک تابع جبری ابتدایی، یا برهم نهی آنها، یا معکوس آنها، یا برهم نهی معکوس‌ها. و بعد داریم: حساب دیفرانسیل
مشتق تابع ، بهترین تقریب خطی ممکن آن را در نقطهٔ دلخواه ارائه می‌دهد؛ ولی این تقریب می‌تواند بسیار متفاوت از مقدار واقعی باشد. یکی از شیوه‌های بهبود تقریب، بهره‌گیری از تقریب درجه دوم است. به بیان ریاضی، تقریب خطی تابع حقیقی به صورت است، در حالی که ممکن است چندجمله‌ای درجه دوم به صورت تقریب دقیق‌تری از تابع باشد. با افزایش درجهٔ چندجمله‌ای می‌توان تقریب‌های بهتری را نیز به دست آورد. برای این چندجمله‌ای‌ها باید بهترین گزینهٔ ممکن برای تعیین ضرایب "a" و "b" و غیره موجود باشد که تقریب را تا جای ممکن بهبود بخشد. پلیمپتن ۳۲۲
در هر ردیف عدد واقع در ستون سوم، کوچک‌ترین ضلع مثلث (s)، و عدد واقع در ستون دوم وتر مثلث (d) هستند. ستون چهارم هم formula_2 را نشان می‌دهد که در آنها formula_3 ضلع بلندتر (بعد از وتر) همان مثلث را نشان می‌دهد. این عدد در واقع مجذور Sec زاویه مقابل ضلع کوچک‌تر است. در این اعداد نظم شگفت‌انگیزی قابل مشاهده است بدین ترتیب که وقتی از سطری به سطر دیگر جدول می‌رویم اندازه Sec زاویه مقابل ضلع کوچک‌تر به اندازه ۱/۶۰ کاهش می‌یابند و زاویه متناظر از ۴۵ درجه به ۳۱ درجه کاهش می‌یابد. بنابراین جدولی در دست داریم که Sec زاویه را از ۴۵ تا ۳۱ به ما می‌دهد و مثلث‌هایی با اضلاعی به طول صحیح در اختیار می‌گذارد. معادله مکعبی
معادله درجه سوم در حالت کلی به شکل زیر است: که باید formula_7 باشد. لم اسپرنر
فرض کنید یک مثلث، مثلث بندی شده و با رنگ‌های formula_133رنگ‌آمیزی شده باشد. دنبالهٔ چرخشی رنگ رأس‌های مرز مثلث را در نظر بگیرید. درجهٔ رنگ‌آمیزی را برابر با اختلاف تعداد تعویض‌ها از formula_20 به formula_51 و تعداد تعویض‌ها از formula_51به formula_20 در دنبالهٔ یاد شده تعریف کنید. دقت کنید درجه اگر به شکل تعداد تعویض‌ها از formula_51 به formula_49 منهای تعداد تعویض‌ها از formula_49 به formula_51 یا تعداد تعویض‌ها از formula_49 به formula_20 منهای تعداد تعویض‌ها از formula_20 به formula_49 نیز تعریف شود، مقدارش تغییری نمی‌کند. داریم تعداد مثلث‌هایی که سه رأس آن‌ها به formula_49 رنگ متفاوت رنگ شده‌اند حداقل برابر درجهٔ رنگ‌آمیزی است. به خصوص اگر درجه ناصفر باید یه مثلث وجود دارد که formula_49 ضلع آن با رنگ‌های متفاوتی رنگ شده‌اند. اگر رنگ‌آمیزی شرط اسپرنر را رعایت کند، درجهٔ رنگ‌آمیزی دقیقاً برابر formula_20 است. رویه مربعی
در هندسهٔ تحلیلی، رویه‌های درجهٔ دوم در فضای سه‌بعدی دسته‌ای از رویه‌ها هستند که به این صورت تعریف می‌شوند: مکان هندسی همهٔ نقاطی مانند formula_1 که در معادلهٔ formula_2 صدق کنند که formula_3 یک تابع درجهٔ دو است. تابع درجه چهار
تابع درجه چهار در جبر عبارت است از تابعی به شکل که در آن "a" عددی ناصفر است و این عبارت به شکل یک چندجمله‌ای درجهٔ چهار است. تابع هزینه تریپلت
ما به دنبال یک بردار ویژگی معیار و یک تابع شباهت متناسب با شرایط مسئله هستیم. در این فرمول، x1 و x از یک کلاس خواهند بود و x و x2 به کلاس‌های مختلفی تعلق خواهند داشت و معمولاً مثال‌های پیچیده و دشوار را به عنوان جفت کنار هم قرار می‌دهند. x و x را می‌توان به صورت x و x نیز نمایش داد. تمرکز ما روی یادگرفتن تابع شباهت برحسب یکی از معیارهای فاصله مانند اقلیدسی، کسینوسی و... است و معمولاً از یک شبکه عصبی عمیق انگلیسی:Deep Neural Networks) برای یادگیری استفاده می‌کنند.[2] تابع بسل-کلیفورد
با مشتق گرفتن از تابع formula_13 نسبت به formula_14 به این نتیجه می‌رسیم که معادله خطی درجه دوم و همگن برای این تابع صدق می‌کند به این معنی که: ضریب میرایی
ضریب میرایی formula_3 است: احتمال منفی
formula_3 ، تابع هیون
formula_103 متغیر تصادفی مستقل
formula_3 قدر مطلق (ریاضی)
تابع علامت را می‌توان به گونه‌ای شبیه تابع پله‌ای هویساید دانست؛ این تابع عبارت است از: مقدارهای دقیق مثلثاتی
بعضی از مقدارهای مثلثاتی را می‌توان به صورت عبارت‌های جبری دقیق به دست آورد و در ساده‌کردن عبارت‌های ریاضی از آن‌ها استفاده کرد. همه مقدارهای مثلثاتی برای زاویه °۳ و همه مضرب‌های آن به صورت دقیق، قابل محاسبه است. هم‌چنین با استفاده از اتحادهای زاویه ۳ برابر، می‌توان مقدارهای مثلثاتی را برای زاویه °۱ به دست آورد. به این ترتیب، نسبت‌های مثلثاتی برای همه زاویه‌ها به دست می‌آید. کهاد
کوفکتور formula_8ام، با ضرب کِهادِ formula_8ام در formula_10، بدست می‌آید. برای درک بیشتر، به مثال زیر برای یک ماتریس ۳ در ۳، توجه کنید: تابع درجه چهار
گاهی تابع درجه چهار به شکل توان دو یک تابع درجه دو است در این حالت ضرایت "x"های با توان فرد، صفر خواهد بود در این صورت، عبارت به شکل زیر خواهد بود: یک معادلهٔ درجهٔ چهار، معادله ای است که در آن یک چندجمله ای با درجهٔ چهار برابر با صفر قرار داده شده باشد: در رابطهٔ بالا "a" عددی ناصفر است. اس‌اچ‌ای-۳
اندیس گذاری حسابی برای دو بعد اول، در پیمانه ۵ و برای بعد سوم در پیمانه w انجام می‌شود. سینوس (ریاضیات)
تابع سینوس تابعی است که زاویه را به عنوان متغیر می‌پذیرد و سینوس زاویه را برمی‌گرداند. دامنه این تابع اعداد حقیقی بوده و برد آن بازه‌ی formula_3 است. شکل تابع formula_4 گویاست که این تابع متناوب و فرد بوده و دوره تناوب آن formula_5 است. معادله مکعبی
در ریاضیات به معادلات جبری به شکل formula_1 با فرض formula_2 معادلهٔ درجهٔ سه گویند. راه‌های متفاوتی برای حل معادلات درجه سه وجود دارد. طبق قضیه آبل-روفینی ریشهٔ تابع‌های جبری تا درجهٔ ۴ (و نه بالاتر) را همواره می‌توان به صورت جبری (یعنی به صورت فرمولی از توابع ساده مانند ریشهٔ دوم و سوم) یافت. همچنین ریشه‌ها را می‌توان به صورت مثلثاتی یافت. روش‌های عددی ریشه‌یابی، مانند روش نیوتن، نیز قابل استفاده هستند. تابع مولد
و توان سوم آن به فرم اعداد مثلثی 1, 3, 6, 10, 15, 21, ... می‌باشد که در آن "n" ضرایب دو جمله ایformula_16 است . پس داریم : تابع گاما
formula_3 حاصل ضرب بهره در پهنای‌باند
اگر formula_3 یک تابع انتقال مرتبه اول باشد که توسط: متغیر تصادفی
formula_3 هذلولی
formula_3 مشتق سوم
در هندسه دیفرانسیل، پیچ خوردگی یک منحنی - یک خاصیت بنیادی از منحنی در سه بعد می‌باشد که با استفاده از مشتقات سوم از توابع مختصات (یا بردار موقعیت) توصیف منحنی محاسبه می‌شود. یادگیری متریک
در حالی که تابع هزینه سه‌گانه تنها برای محاسبه فاصله بین نمونه‌ها، نمونه‌های مثبت و منفی را در نظر می‌گیرد، از هیچ گونه اطلاعاتی از درجه تشابه استفاده نمی‌کند. با استفاده از تابع هزینه چهارگانه درجه نزدیکی بهتری بین اشیاء هنگام استفاده از نمونه‌های چهارتایی در هر مجموعه آموزشی بدست می‌آید. همان‌طور که در معادله زیر نشان داده شده‌است، یک نمونه ورودی جدید مشابه نمونه X به عنوان یک روش جایگزین برای از دست دادن سه‌گانه به تابع هزینه چهارگانه اضافه شده‌است. شکل زیر نشان می‌دهد نشان می‌دهد که تابع هزینه چهارگانه از دو مقدار حاشیه مختلف استفاده می‌کند. این مقادیر حاشیه با هدف برقراری روابط معنادارتر بین نمونه‌های مشابه و در بین نمونه‌های مختلف قرار داده شده‌اند. مدلهای شبکه چهارگانه نیز دارای ورودی دیگری مانند X هستند. X مانند ورودی X و ورودی X است. تابع هزینه چهارگانه به صورت زیر تعریف می‌شود: نرخ همگرایی
مثال سوم: ضرب خارجی
formula_3 تابع گاوسی
که در آن، b , a و c ضرایب ثابت حقیقی و e عدد اویلر است. شکل این تابع زنگوله‌ای متقارن است که به‌سرعت به صفر نزول می‌کند. ثابت a تعیین‌کنندهٔ ارتفاع قلهٔ منحنی، b تعیین‌کنندهٔ محلّ مرکز قلّه و c (انحراف معیار) تعیین‌کنندهٔ میزان کشیدگی یا پهن شدگی زنگوله است. مقیاس لگاریتمی
formula_3 تابع حسابی
تعریف می‌کنیم. تابع هزینه تریپلت
در روش‌های یادگیری مبتنی بر شباهت، هدف یاد گرفتن یک تابع شباهت یا معیار فاصله است که مقدار آن، نوسان کمی بین اعضای یک کلاس و نوسان زیادی در خارج از آن کلاس داشته باشد. تابع هزینه تریپلت (انگلیسی: Triplet loss)، نیز یکی از توابع هزینه محبوب در این نوع یادگیری‌ها محسوب می‌شود و موفقیت زیادی در بسیاری از وظایف بینایی رایانه‌ای مانند بازیابی تصویر، تشخیص هویت افراد، تشخیص چهره و غیره داشته است. این تابع هزینه به دلیل عملکرد خوب در مسائلی که با تعداد برچسب بالا و تعداد کم نمونه های آموزشی هر کلاس روبرو هستیم، محبوب شده است. در روش‌های مرسوم طبقه‌بندی، تعداد پارامترها به صورت خطی همراه با تعداد برچسب‌ها افزایش پیدا می‌کند و آموزش یک تابع سافت‌مکس برای میلیون‌ها برچسب کاری انجام نشدنی است. یک شبکه عصبی که در آن از تابع هزینه تریپلت، استفاده شده باشد، می‌تواند با یادگیری یک بردار ویژگی فشرده عملکرد بسیار خوبی در مسائل چند کلاسه همچون بازیابی تصویر داشته باشد. به شبکه عصبی که در آن از تابع هزینه تریپلت استفاده شده باشد، شبکه تریپلت(انگلیسی: Triplet Net) گفته می‌شود.[3] ضرب ماتریسی
formula_3. سری فوریه
نمایش زیر که در واقع شکل ویژه‌ای از نمایش مثلثی می‌باشد، نمایش کسینوس-با-فاز نام دارد. از این نمایش در رسم طیف خطی استفاده می‌شود. نمایش مثلثی بالا را در نظر بگیرید. همان‌طور که گفته شدformula_10 دوره تناوب و formula_26 هارمونی nام تابع می‌باشد. در تبدیل فوریه سه ضریب formula_14 و formula_16 و ضریب ثابت formula_15 مطرح است. ضریب‌ها با استفاده از روابط زیر قابل محاسبه هستند. بازه [formula_33-] یا در کل بازه‌هایی که طول آنها formula_34 است از مهمترین بازه‌هایی است که درمحاسبه ضرایب استفاده می‌شود. بدین ترتیب formula_35 پس ضرایب عبارتند از: در کاربردهای مهندسی، به‌طور کلی فرض می‌شود که سری‌های فوریه تقریباً در همه جا همگرا شوند (استثنائاتی در ناپیوستگی‌های گسسته وجود دارد) زیرا عملکردهایی که در مهندسی مشاهده می‌شوند رفتار بهتری نسبت به توابعی دارند که ریاضیدانان می‌توانند به عنوان نمونه‌های متضاد این فرض ارائه دهند. به‌طور خاص، اگر formula_39 پیوسته باشد و مشتق formula_40 (که ممکن است در همه جا وجود نداشته باشد) مربع انتگرال دار است، پس سری‌های فوریه به‌طور کامل و یکنواخت به formula_40 همگرا می‌شوند. تابع درجه چهار
مشتق یک تابع درجهٔ چهار، یک تابع درجه سه است. اگر "F" و "G" دو نقطه ی عطف تابع درجه ی چهار باشند و "H" محل تلاقی پاره خطی "FG" با منحنی باشد، نزدیک تر به "G" تا "F"، آنگاه "G" پاره خط "FH" را به نسبت طلایی تقسیم می کند توابع مثلثاتی
سه تابع دیگر مثلثاتی را می‌توان به عنوان عکس سه تابع بالا تعریف نمود: الگوریتم نیدلمن-وانچ
حال برای محاسبه امتیاز خانه سطر سوم و ستون سوم، 3 حالت وجود دارد:در نهایت بیشترین امتیاز در میان این 3 یعنی عدد 1 وارد این خانه می شود. هم چنین باید پیکان مربوط را ذخیره کرد که یک پیکان قطری از خانه(3,3) به خانه (2,2) است. تابع هزینه تریپلت
در توابع هزینه سنتی مثل یا خطای میانگین مربعات، هدف پیش‌بینی مستقیم یک برچسب، یک مقدار یا مجموعه‌ای از مقادیر است. در توابع هزینه رتبه‌بندی کننده، هدف پیش‌بینی فاصله میان ورودی‌هاست. به این عمل، «یادگیری متریک» (انگلیسی: metric learning) گفته می‌شود. توابع هزینه رتبه‌بندی کننده اسامی مختلفی دارند ولی کار همه آن‌ها شبیه به همدیگر است. معمولاً برای آموزش آن‌ها از دو جفت تصویر (انگلیسی:pairwise) یا یک سه‌تایی (انگلیسی: triplet) از تصاویر استفاده می‌شود. در هر دو روش، فاصله میان بردارهای استخراج‌شده از تصاویر بررسی می‌شود. این تابع هزینه، با تولید نمایش‌های قدرتمند و قابل استناد از داده‌ها، کارایی خودش را در وظایف مختلف ثابت کرده است.[1] شناسه تابع
تابعی که یک شناسه را به عنوان ورودی می‌گیرد، مثل formula_3 نامیده می‌شود. روش دوبخشی
برای بررسی شرط سوم باید از تابع مشتق بگیریم و اطمینان داشته باشیم در بازه مورد نظر مشتق تابع در هیچ نقطه ای صفر نیست. تابع متناوب
تابع formula_3 را متناوب گوییم، وقتی که عددی مثل formula_4 وجود داشته باشد، به‌نحوی که برای هر مقدار قابل قبول x، هر دو عدد formula_5 و formula_6 متعلق به دامنهٔ تعریف تابع باشد و، در ضمن، برابری formula_7 برقرار باشد. الگوریتم ضرب
در این روش یک جدول مشبکی کشیده می‌شود و رقم‌های دو عددی که می‌خواهیم آن‌ها را در هم ضرب کنیم در بالا و سمت راست جدول کشیده می‌شود. جدول مشبکی ضرب دو عدد ۵۸ و ۲۱۳ به صورت زیر (تصویر مرحلهٔ اول) است. ما باید هر خانهٔ آن را به صورتی پر کنیم که با ضرب عدد بالای ستون و سمت راست سطر یکان عدد حاصل در پایین و دهگان آن در بالای خط موجود در خانه نوشته شود.پس از پر کردن تمامی خانه‌های جدول، جدول به تصویر مرحلهٔ دوم تبدیل می‌شود؛ که بعد از این مرحله باید از پایین راست جدول به سمت بالا حرکت کنیم و سپس به سمت چپ برویم و در هر مرحله جمع خانه‌های مثلثی همسایه (خانه‌های همسایه مثلث‌هایی هستند ساق‌هایشان مشترک است) را حساب کنیم. اگر این جمع بیشتر از نه شد یکان آن را نوشته و عدد دهگان را با عدد مرحلهٔ بعد جمع می‌کنیم.در آخر تصویر جدول به شکل جدول آمده در مرحلهٔ سوم است.همان‌طور که مشاهده می‌کنید جواب بدست آمده ۱۲۳۵۴ است. تابع متقارن
در ریاضیات، تابعی از n متغیر، متقارن است اگر مقدار آن در هر n-تایی از آرگومان ها (جایگشت مختلف از n-تایی ها) یکسان باشد. بنابراین، اگر f ( x ) = f ( x 1 , x 2 , x 3 )، تابع می‌تواند روی همه متغیرهایش یا تنها روی (x1,x2)، (x2,x3) یا (x1,x3 ) نامتقارن باشد. کادانس
درجات مهم دستگاه سه‌گاه عبارتند از درجهٔ یک (I)، درجهٔ سوم (III) یا (نت شاهد) و درجهٔ پنجم (V). فرود در سه‌گاه برخلاف معمول که باید روی تونیک باشد، روی درجهٔ سوم گام فرود کامل می‌کند و «نیم فرود» یا «کادانس ناقص» آن روی درجهٔ پنج است. در دانشِ هارمونی، نت شاهدِ سه‌گاه، سوم آکورد گام است و در صورت لزوم می‌توان از پایه آکورد همزمان در کنارِ نتِ شاهد، هنگام فرود استفاده کرد. ۳-منیفلد
پدیده‌های سه بعدی قادرند از پدیده‌های ابعاد دیگر به شدت متفاوت باشند، و بنابراین برای این بعد تکنیک های به شدت تخصصی وجود دارند که به ابعاد دیگر تعمیم پیدا نمی کنند. نقش خاصی که این بعد بازی می کند موجب کشف ارتباط نزدیک آن با دیگر زمینه های ریاضیاتی گشته چون: نظریه گره، نظریه گروه هندسی، هندسه هذلولوی، نظریه اعداد، نظریه تایشمولر، نظریه میدان کوانتومی توپولوژیکی، نظریه پیمانه، همولوژی فلوئر و معادلات دیفرانسیل جزئی. نظریه ۳-منیفلد به عنوان بخشی از توپولوژی بعد پایین یا توپولوژی هندسی در نظر گرفته می شود. دترمینان
formula_18 برای ماتریس‌های مرتبه سه (۳×۳) از روش زیرین می‌توان استفاده کرد. قاعده خارج‌قسمت
که برای نقطهٔ a چنین می‌شود: همچنین طبق این قاعده برای مشتق مرتبه سوم می‌توان اینگونه عمل کرد: غیاث‌الدین جمشید کاشانی
وی اولین کسی است که معادله درجه سوم را به روش تکرار حل کرد . پس از او قرنها طول کشید روش تکرار ساده و محاسبات عددی در اروپا کشف شوند معادله لاپلاس
در فضای سه بعدی، مسئله پیدا کردن تابع حقیقی دو بار مشتق‌پذیر φ بر حسب متغیرهای y ,x و z است بطوریکه: در مختصات دکارتی: در مختصات استوانه‌ای: در مختصات کروی: و در مختصات خمیده‌خط: یا: این معادله غالباً به صورت زیر نوشته می‌شود: یا در متون عمومی بصورت: که در آن ∇=Δ عملگر لاپلاس یا لاپلاسین است. که در آن div=. ∇ دیورژانس و grad=∇ گرادیان است. جواب‌های معادلهٔ لاپلاس تابع هارمونیک نامیده می‌شود. اگر در طرف راست بجای صفر یک تابع سه متغیره "(f(x,y،z" داشته باشیم: این معادله، معادله پواسون نامیده می‌شود. معادلهٔ لاپلاس و پواسون ساده‌ترین مثال‌های معادلات دیفرانسیل جزئی بیضوی‌اند. عملگر دیفرانسیل جزئی formula_11 یاformula_12 (که شاید در هر بعدی تعریف شده باشد) عملگر لاپلاس نامیده می‌شود. تابع لجستیک
تابع لُجستیک استاندارد همان تابع لُجستیک با پارامترهای formula_14، formula_15، formula_16، که منجر به زیر می‌شود: در عمل به دلیل طبیعت تابع نمایی formula_18، معمولاً فقط کافی است تا تابع لُجستیک استاندارد را برای formula_3 روی محدوده کوچکی از اعداد حقیقی، مثل محدوده موجود در [−۶, +۶] محاسبه کنیم، زیرا این تابع بسیار سریع به مقادیر نزدیک به اشباع یعنی ۰ و ۱ همگرا می‌شود. دستگاه (موسیقی)
آواز ابوعطا از درجهٔ دوم شور ساخته می‌شود. نت شروع و نت ایست ابوعطا، درجهٔ دوم شور است. درجهٔ چهارم نت شاهد است و می‌تواند به عنوان نت آغاز هم استفاده شود. درجهٔ پنجم شور در این آواز نت متغیر نیست و بیشتر آواز در فاصلهٔ درجهٔ دوم تا درجهٔ چهارم شور اجرا می‌شود. درجهٔ سوم شور در این آواز بسیار اجرا می‌شود اما فقط به عنوان‌گذاری بین درجات دوم و چهارم. آواز بیات ترک از درجهٔ سوم شور ساخته می‌شود؛ به آن معنا که نت شاهد در آواز بیات ترک، درجهٔ سوم دستگاه شور است. در خود دستگاه شور، درجهٔ سوم کمتر مورد استفاده قرار گرفته اما در بیات ترک، این درجه، مایهٔ اصلی محسوب می‌شود. تصنیف اندک اندک اثر شهرام ناظری، یکی از آثار ساخته شده در آواز بیات ترک است. آواز افشاری از درجهٔ چهارم شور ساخته می‌شود؛ به این معنا که نت شاهد در آواز افشاری، درجهٔ چهارم دستگاه شور است. نت ایست در روی درجهٔ دوم و توقف و خاتمه، روی نت زیر پایهٔ شور است و در واقع حالتی شبیه به گوشهٔ رهاب دارد. آواز دشتی از درجهٔ پنجم شور ساخته می‌شود؛ به این معنا که شاهد آواز دشتی، درجهٔ پنجم دستگاه شور است. نت شروع آواز دشتی درجهٔ سوم شور است و نت شاهد آن درجهٔ پنجم شور، که در عین حال نت متغیر هم هست، و نت ایست دشتی نت پایهٔ شور است. منحنی زد
formula_3 عدد مثلثی
formula_3 تابع مثلثی
هم‌چنین می‌توان این تابع را به‌صورت کانولوشن تابع مستطیلی در خودش تعریف کرد: معادله پائولی
formula_3 معادله مکعبی
در قرن یازدهم، خیام، ریاضی‌دان و شاعر ایرانی، به پیشرفت گسترده‌ای در نظریه معادلات درجه سوم دست یافت. وی ابتدا در مقاله‌ای که دربارهٔ این معادلات نوشت، بیان کرد که یک معادله درجه سوم می‌تواند بیش از یک ریشه داشته‌باشد. وی همچنین به یک جواب هندسی برای دسته‌ای از این معادلات دست یافت. در کتابی که بعدها نوشت وی معادلات درجه سوم را در حالت کلی طبقه‌بندی کرد و توانست جوابی عمومی با استفاده از مقاطع مخروطی ارائه کند. تابع خطی
نکته: اگر نمودار برابر با formula_2 باشد آنگاه برد تابع برابر است با formula_3 . تابع هزینه تریپلت
اساسی‌ترین بخش در آموزش تابع هزینه تریپلت، نمونه‌برداری دقیق و ایجاد سه‌تایی‌ها است. یک سه‌تایی از بخش‌های زیر تشکیل شده است: سوم آکورد
سومِ آکورد () در موسیقی، درجه سومِ یک آکورد یا گام است. فاصله «سومِ آکورد» از نت پایه محاسبه می‌شود مانند: تابع مرتبهٔ بالاتر
در ریاضیات و علوم رایانه، یک تابع مرتبهٔ بالاتر ، تابعی است که حداقل یکی از شروط زیر را داشته باشد: سایر توابع، "توابع مرتبهٔ اول" هستند. در ریاضیات توابع مرتبهٔ بالاتر با نام عملگرها یا تابعی‌ها نیز شناخته می‌شوند. عملگر دیفرانسیلی در حسابان که نگاشتی از یک تابع به مشتق آن تابع (که خود تابعی دیگر است) برقرار می‌کند، نمونه‌ای متداول از این گونه توابع است. زیان هابر
این تابع، برای مقادیر کوچک a درجه دوم و برای مقادیر بزرگ خطی است، با مقادیر برابر و دامنه‌های مختلف در دو نقطه که formula_2. مقدار a معمولاً به باقیمانده اشاره دارد که تفاوت بین ارزش‌های مشاهده شده و پیش‌بینی شده‌است، یعنی formula_3. بنابراین حالت قبل را به صورت زیر بسط می‌دهیم: بهینه سازی درون تابع
و در این حالت کپی کردن مقدار "p1” (که تغییر یافته‌است) در"b” بی‌معنی است، زیرا بلافاصله با مقدار "p2" بازنویسی می‌شود، که این مقدار اصلاح نشده‌است. در این رویه از مقدار اصلی "b" استفاده می‌شود، بنابراین جمله سوم می‌شود معادله انتگرالی
در تمام معادلات فوق، اگر تابع معلوم formula_3 متحد با صفر باشد، به آن "معادله انتگرال همگن" گویند. اگر formula_3 مخالف صفر باشد، آن را "معادله انتگرال ناهمگن" خواهند گفت. سه‌گاه
در گوشهٔ زابل درجهٔ سوم سه‌گاه که تا پیش از این هم مورد توجه بود، تبدیل به نت شاهد می‌شود و ملودی حول آن گردش می‌کند. در مقابل، نقش نت پایهٔ سه‌گاه نسبت به گوشه‌های قبلی کمرنگ‌تر می‌شود؛ اگرچه، گسترهٔ صوتی گوشه کماکان در همان درجات اول تا چهارم دستگاه باقی می‌ماند. تابع (ریاضیات)
به این ترتیب برای مشخص کردن یک تابع از مجموعه formula_13 به مجموعه formula_16 می‌نویسیم formula_69 و سپس ضابطه آن را ذکر می‌کنیم. تابع مربعی
در جبر، یک تابع درجه دوم،تابع کوادراتیک، چند جمله ای درجه دوم، چندجمله ای درجه ۲ یا به سادگی یک درجه دوم، یک تابع چندجمله ایبا یک یا چند متغیر است که در آن بالاترین درجه، درجه دوم است. به عنوان مثال، یک تابع درجه دوم با سه متغیر "x" , "y" و "z" به‌طور انحصاری از عبارت‌های "x" ، "y" ، "z" ، "xy" , "xz" , "yz" , "x"، "y" , "z" و یک متغیر ثابت استفاده می‌کند: تابع مثلثی
formula_1 تابع مربعی
با حداقل یکی از ضرایب "a, b، c, d، e" یا "f" برای درجه دوم مقداری غیر صفر دارند. تحلیل مجانبی
تابع را در نظر بگیرید، تحلیل مجانبی به توصیف ویژگی این تابع وقتی خیلی بزرگ می‌شود، می‌پردازد. اگر داشته باشیم ، عبارت 3n وقتی خیلی بزرگ می‌شود، بی‌اهمیت می‌شود، بنابراین این چنین گفته می‌شود که این تابع به صورت مجانبی هم‌ارز است وقتی که → ∞" و چنین نوشته می‌شود . آدرس‌دهی باز
روشی که در آن ترتیب بررسی تابعی از درجه دوم می‌باشد، اگر H(k) , m , i را مانند بررسی خطی تعریف کنیم و a , b دو عدد دلخواه باشند برای بررسی درجه دوم تابعی مانند تابع زیر خواهیم داشت : حالتی که توالی جستجو برای هر کلید ثابت است اما به وسیله یک درهم‌ساز دیگر محاسبه می‌شود. , اگر H(k) , m , i را مانند بررسی خطی تعریف کنیم و (h(k نیز یک تابع درهم‌ساز باشد برای درهم‌سازی مضاعف تابعی مانند تابع زیر خواهیم داشت : در بررسی بین این سه روش، بررسی خطی بهترین عملکرد کش را دارد ولی وقوع تصادم در آن معمول‌تر است، درحالی که درهم‌سازی مضاعف عملکرد کش ضعیفی دارد ولی به‌طور تقریبی هیچ تصادمی در آن اتفاق نمی‌افتد و بررسی درجه دوم در ناحیه‌ای بین این دو حالت قرار می‌گیرد. همچنین درهم‌سازی مضاعف به محاسبه بیشتری نسبت به روش‌های دیگر نیاز دارد. تابع نمایی
تابع نمایی تابعی مهم در ریاضیات است و معمولاً به‌صورت formula_1 یا formula_2 نوشته می‌شود که formula_3 عدد اویلر(ثابت نپر) با مقدارِ تقریبی "۲٫۷۱۸۲۸۱۸۲۸" است. تابع ضربی
در نظریه اعداد، تابع ضربی یک تابع ریاضی روی اعداد صحیح مثبت است که در آن formula_1 و به ازاء هر دو عدد صحیح formula_2 و formula_3 که نسب به هم اول هستند: تابع چندمقداری
برای مثال توابع معکوس مثلثاتی توابع چند مقداری هستند زیرا توابع مثلثاتی دوره ای میباشند.برای مثال حاصلformula_1 میتواند هر یک از مقادیر formula_2 , formula_3 , formula_4 و غیره باشد. مثلث‌بندی دیلانی
آسان‌ترین‌ترین راه برای محاسبه کارامد تثلیث دیلانی افزودن مکرر راس در یک زمان و تثلیث مجدد قسمت‌های تغییر یافته گراف است. وقتی یک راس v اضافه می‌شود ما مثلث شامل v را به سه قسمت تقسیم می‌کنیم سپس الگوریتم چرخاندن را اعمال می‌کنیم اگر اینکار به صورت اشتباه انجام شود از (O(n مرتبه زمان میبرد. ما بین تمام مثلث‌ها جستجو کرده تا v را پیدا کنیم سپس هر مثلث را یکبار میچرخانیم پس زمان اجرا کلی از اردر (O("n" است . اگر ما راس‌هایی به صورت تصادفی وارد کنیم معلوم می‌شود (با شواهد پیچیده) که هر ورود به‌طور متوسط فقط (O(1 مثلث را میچرخاند - با و جود اینکه امکان دارد گاهی اوقات تعداد بیشتری را بچرخاند. این هنوز زمان یافتن مکان نقطه را قابل بهبود می‌گذارد . ما می‌توانیم تاریخچه تقسیم‌ها و چرخاندن‌های انجام شده را ذخیره کنیم: هر مثلث یک اشاره گر به دو یا سه مثلث که جایگزین آن شده‌اند را ذخیره می‌کند . برای یافتن مثلثی که v را در بر دارد ما از مثلث پایه شروع می‌کنیم و اشاره‌گری که به مثلث شامل v اشاره می‌کند را  دنبال می‌کنیم تا جایی که به مثلثی برسیم که هنوز جایگزین نشده‌است به‌طور متوسط این عملیات (O(log n زمان می‌برد . برای تمام رأس‌ها این عملیات ازین (O(n logn زمان می‌برد . در حینی که این تکنیک به ابعاد بالاتر تعمیم می یابد (همانطور که توسط ادلزبرونر و شاح ثابت شده) ) زمان اجرا می‌تواند نسبت به بعد نمایی رشد کند اگر تثلیث دیلانی نهایی کوچک باشد. الگوریتم بویر واتسون یک رویکرد ساختار افزایشی دیگر را ارائه می‌دهد این رویکرد جایگزینی برای ضلع چرخان برای محاسبهٔ مثلث‌های دیلانی شامل یک راس تازه وارد شده می‌باشد. الگوریتم تبدیل به زیر مسئله ها برای تثلیث‌ها در ابعاد دو توسط لیی و شاختر ابداع شد و توسط گی باس و استولفی بهبود داده شد و بعدها توسط دویر. در این الگوریتم مکرراً خطی برای تقسیم رأس‌ها به دو مجموعه رسم می‌شود. تثلیث دیلانی برای هر مجموعه محاسبه می‌شود و سپس دو مجموعه در طول خط تقسیم ترکیب می‌شوند با استفاده چند شگرد هوشمندانه عملیات ترکیب می‌تواند در زمان (O(n انجام شود بنابراین زمان اجرا کل این (O(n logn است برای گونه خاصی مشخصی از مجموعه نقاط از قبیل توزیع یکنواخت تصادفی با انتخاب هوشمند خطوط تقسیم زمان مورده انتظار می‌تواند به (O(nlog logn کاهش یابد در حالی که هنوز اجرای بدترین حالت را در اختیار دارد.  الگوریتم تبدیل به زیر مسئله‌ها برای اجرای یک تثلیث در d بعد در قالب "دی وال : یک الگوریتم سریع تقسیم وغلبه تثلیث دیلانی در E"" توسط سیگنونی و منتانی و اسکوپینو ارائه شده‌است تقسیم و غلبه نشان داده که سریع‌ترین تکنیک تولید DT است.  الگوریتم شانس از تکنیک خط جاروب برای رسیدن به زمان اجرا (O(n logn در حالت صفحه‌ای استفاده می‌کنند.  پوش جاروب یک تکنیک ترکیبی برای تثلیث دیلانی دو بعدی است که از یک جاروب تکثیر شعاعی (به ترتیب به وجود امده از مجموعه نقاط دو بعدی مرتب شده با فرض تثلیث بدون تداخل ) استفاده می‌کند که با یک قدم چرخاندن مثلث مکرر تزویج شده‌است . همچنین یک متغیر منطقی صحیح دقیق برای الگوریتم ارائه می‌شود. درخت پوشای حداقل اقلیدسی یک مجموعه‌ای از نقطه‌ها زیرمجموعه‌ای از تثلیث دیلانی همان نقاط می‌باشد و این می‌تواند در کارایی محاسبات استفاده شود. تثلیث دیلانی برای مدل‌سازی زمینه و اشیای دیگر که به عنوان مجموعه‌ای از نقاط داده شده‌اند یک مجموعهٔ خوبی از مثلث‌ها را می‌دهد که می‌تواند به عنوان چند ضلعی در مدل استفاده شود. به‌طور خاص تثلیث دیلانی سعی دارد از مثلث‌های باریک استفاده نکند(که آن‌ها درمقایسه با مساحت شان دایره محیطی‌های بزرگی دارند). تثلیث دیلانی می‌تواند برای مشخص کردن چگالی یا شدت نقاط در مدل‌سازی نقاط به معنی Delaunay tessellation field estimator استفاده شوند. تثلیث دیلانی به دلیل تضمین زاویه و به دلیل الگوریتم‌های مثلث بندی سریع توسعه یافته اغلب مورد استفاده برای ایجاد شبکه برای حل فضای گسسته مانند روش المان محدود و روش حجم محدود که از روش‌های شبیه‌سازی فیزیکی قرار می‌گیرند. به‌طور معمول، دامنه شبکه بندی به عنوان یک مجموعه مختلط ساده ی درشت مشخص شده‌است، برای شبکه به صورت عددی پایدار، باید آن خالص‌سازی کرد. به عنوان مثال با استفاده از الگوریتم راپرت . افزایش محبوبیت استفاده از روش المان محدود و تکنیک‌های روش المان مرزی انگیزه برای بهبود الگوریتم‌های ی درگیر به صورت خودکار را افزایش می‌دهد. با این حال، همهٔ این الگوریتم‌ها می‌توانند عناصر شبکه نامنظم و حتی غیرقابل استفاده ایجاد کند. خوشبختانه، چندین روش وجود دارد که می‌تواند یک شبکه بندی موجود را بگیرد و آن را بهبود کیفیت بدهد. به عنوان مثال، صاف کردن ( همچنین به عنوان پالایش شبکه بندی نیز نامیده می‌شود) یکی از این روش هاست، که انباشتگی‌های محل گره‌ها را به منظور به حداقل رساندن اعوجاج عنصر می‌باشد . روش شبکه کشیده اجازه می‌دهد تا نسلی از شبکه شبه منظم که با ضوابط دیلانی سنخیت دارند و راه حل‌های یک مرحله ا ی دارند رشد کنند. سهمی‌گون
formula_3 پارامتر تأثیر
formula_3 ارزش اطلاعات
formula_3 تابع مثلثی
formula_4 توابع معکوس مثلثاتی
برای نمونه اگر تعریف کنیم formula_1 یا به شکل دیگر formula_2 آنگاه formula_3 است اما به ازای یک "x" یکتا می‌توان چندین "y" پیدا کرد که به ازای آن formula_3 شود، مانند "y" مساوی صفر، π و ۲π که به ازای همهٔ آن‌ها مقدار سینوس یا "x" برابر با صفر است و این به این معنی است که تابع وارون سینوس یا arcsin یا formula_5 می‌تواند چندین جواب داشته باشد formula_6 درحالی که این خلاف مفهوم تابع بودن است. برای همین برای تمامی تابع‌های وارون مثلثاتی محدودیت بُرد یا خروجی قرار می‌دهیم تا به ازای یک ورودی چندین خروجی نداشته باشند. تابع مثلثی
formula_3 شرف‌الدین طوسی
وی اولین کسی است که معادله درجه سوم را به «روش محاسبات عددی رافینی - هورنر» ۵ قرن قبل از رافینی و هورنر حل کرد. تابع هزینه تریپلت
روند یادگیری یک شبکه عصبی برای تشخیص چهره را در نظر بگیرید. الگوریتم طبقه‌بندی که برای کلاس‌بندی نمونه‌های قبلی آموزش دیده است، با ورود هر شخص جدید به پایگاه داده شبکه باید دوباره آموزش ببیند. اگر این مساله به جای مساله طبقه‌بندی، به صورت یک مساله‌ی یادگیری شباهت مطرح شود، دیگر نیازی به آموزش‌های مجدد همه شبکه نخواهد بود. در این جا، شبکه با استفاده از تابع هزینه مقایسه‌ای(انگلیسی: contrastive loss)، طوری آموزش دیده است که اگر تصویر متعلق به فرد شناخته شده‌ای باشد، یک فاصله‌ی کوچک را به عنوان خروجی بدهد و اگر تصویر متعلق به فرد ناشناسی باشد، این فاصله‌ی خروجی بزرگ باشد. البته اگر بخواهیم در خروجی نزدیک‌ترین تصویر به تصویر داده شده داده شود، باید علاوه بر محاسبه شباهت، قادر به رتبه‌بندی تصاویر نیز باشد و برای این کار می‌توان از یک تریپلت استفاده کرد.[4] تابع چندضابطه‌ای
formula_3 درخت چپ‌گرا
قسمت سوم پیچیده‌ترین بخش است که در آن تابع بازگشتی ادغام دو بار فرآخوانی می‌شود(هر بار با زیردرخت فرزند راست که خاکستری نشده‌اند). در اینجا از روند ذکر شده در بخش دوم استفاده می‌شود. تابع پوشا
تابع formula_20 با ضابطهٔ f(x) = x3 - 3x پوشا است زیرا تصویر معکوس هر عدد حقیقی formula_22 مجموعه جواب معادلهٔ درجه سه x3-3x-y=۰ است و هر چند جمله‌ای درجهٔ سه با ضرایب حقیقی حداقل یک ریشهٔ حقیقی دارد. اگر چه این تابع یک به یک (و در نتیجه دوسویی) نیست زیرا برای مثال تصویر معکوس formula_27 مجموعهٔ formula_28 است. (درحقیقت، تصویر معکوس این تابع به ازای هر formula_29 بیشتر از یک عضو دارد) قاعده سیمپسون
این قانون یکی دیگر از روش‌های محاسبهٔ انتگرال است. این قانون با درونیابی یک چندجمله‌ای درجه ۳ و استفاده از قاعده سیمپسون بدست می‌آید. نمودار سه‌گانه
روش سوم نیاز به محاسبات و اندازه‌گیری‌های بیشتری دارد اما در آن احتیاجی به رسم خطوط عمود نیست. خطوط مستقیم گذرنده ازهر گوشه و نقطه مورد نظر، به ضلع مقابل مثلث کشیده می‌شوند. طول این خط‌ها، و همچنین طول بخش‌های محصور بین نقطه و ضلع‌های متناظر، به صورت جداگانه اندازه‌گیری می‌شوند. تابع (ریاضیات)
که عبارت است از مجموعه همه عناصری از formula_16 است که تصویر عضوی از formula_13 تحت formula_9 باشند که بنابه تعریف همان برد تابع formula_9 یعنی formula_120 است. به این ترتیب برد formula_9 را می‌توان تصویر formula_13 تحت تابع formula_9 تعریف کرد. روز درجه
یک روز درجه به صورت انتگرال تابعی از زمان که به‌طور کلی با دمای هوا تغییر می‌کند، محاسبه می‌شود. این تابع اختلاف بین حدهای بیشینه و کمینه را که توسط اجزاء تغییر می‌کند یا برای محدوده‌هایی که تهویه مطبوع مناسب است، کاهش می‌دهد. این تابع از طریق یکی از روش‌های زیرمی‌تواند تخمین زده یا اندازه‌گیری شود که در هر مورد با توجه به دمای پایه انتخاب شده‌است: ماتریس پوچ‌توان
برای عدد صحیح مثبتی همچون formula_3. کوچکترین چنین formula_3ی شاخص ماتریس formula_1 نامیده می‌شود، گاهی اوقات درجهٔ formula_1 نیز خوانده می‌شود. تبدیل فوریه کسری
در صورتی که زاویهٔ formula_3 مضرب صحیحی از عدد formula_9 باشد، تابع‌های کتانژانت و کسکانت در فرمول بالا واگرا خواهند شد. با این حال این مشکل با قرار دادن حد تابع که تابع زیر انتگرال را به یک تابع دلتای دیراک تبدیل می‌کند، حل خواهد شد. قطب (آنالیز مختلط)
یک قطب از مرتبهٔ صفر یک تکین برداشتنی است. در این حالت حد lim formula_8 به صورت یک عدد مختلط وجود دارد. اکر مرتبهٔ قطب بزرگ‌تر از 0 باشد، آنگاه lim formula_3(formula_1) = ∞. اگر مشتق اول تابع formula_3 یک قطب ساده در formula_7 داشته باشد، آنگاه formula_7 یک نقطهٔ انشعاب formula_3 است. (عکس آن ممکن است برقرار نباشد). تابع مربعی
اگر تابع درجه دوم برابر صفر باشد، یک معادله درجه دوم شکل می‌گیرد. جواب‌های معادله تک متغیره، «ریشه‌های تابع» نامیده می‌شوند. متمایز
formula_3 به صورت نابرابری چبیشف
نابرابری سوم با استفاده از نابرابری جنسن (حالت تابع کاو) با بکار بردن تابع ریشه دوم (که تابعی کاو است) بدست می‌آید. غیاث‌الدین جمشید کاشانی
محاسبهٔ سینوس (جِیب) زاویهٔ یک درجه با روش ابتکاری حل یک معادله درجه سوم (sin1=۰٫۰۱۷۴۵۲۴۰۶۴۳۷۲۸۳۵۱۰۳۷۱۲)، که هفده رقم اعشاری عدد به دست آمده با مقداری که امروزه محاسبه می‌شود، همخوانی دارد. تابع دودویی
که در آن formula_3 حاصلضرب دکارتی formula_4 و formula_5 است. مشتق سوم
اگر تابع formula_2 را فرض کنیم آنگاه مشتق آن تابع formula_3 و مشتق دوم آن formula_4 می‌باشد، و اگر از مشتق دوم مشتق گرفته شود مشتق سوم را نتیجه می‌دهد.