اعداد صحیح به چه اعدادی می گویند؟
عدد صحیح
عدد صحیح یا عدد درست، عددی است که می‌تواند بدون جزء کسری نوشته شود. برای مثال، ۲۱، ۴، ۰، و ۴− عدد صحیح هستند، در حالی که ۹٫۷۵، و عدد صحیح نیستند؛ مجموعه اعداد صحیح از صفر (۰)، اعداد طبیعی مثبت (۱، ۲، ۳، ...)، که همچنین "اعداد شمارشی" نیز گفته می‌شوند، و وارون جمعیشان (اعداد صحیح منفی، یعنی، ۱−، ۲−، ۳−، ...) تشکیل شده‌است. عدد طبیعی
اعداد طبیعی یا اعداد صحیح مثبت اعدادی هستند که از یک شروع و تا بینهایت ادامه دارند و برای شمارش (به‌طور مثال در «شش سکه روی میز است») و برای ترتیب (به‌طور مثال در «این سومین شهر بزرگ در کشور است») به کار می‌روند. در اصطلاح‌شناسی ریاضیات، لغت مورد استفاده برای شمارش اشیاء «اعداد ترتیبی» است. مجموعهٔ اعداد طبیعی همان مجموعهٔ اعداد صحیح مثبت یعنی {... ،۱٬۲٬۳} است. نظریه اعداد
اعداد صحیح را می‌توان به خودی یا به عنوان جواب معادلات (در هندسه سیاله‌ای) در نظر گرفت. سوالات حوزهٔ نظریه اعداد اغلب از طریق مطالعه بر روی اشیاء تحلیلی (به عنوان مثال تابع زتای ریمان) بهتر فهمیده می‌شوند. می‌توان اعداد حقیقی را با کمک اعداد گویا مطالعه کرد، به عنوان مثال با تقریب زدن به کمک اعداد گویا (تقریب سیاله‌ای).
افراز عدد صحیح
در این مقاله از افرازهای یک عدد صحیح یا از آنچه که با گردایه‌ای از اشیاء یکسان هم ارز است بحث می‌کنیم. در حالتی که اشیاء یکسان نباشند، مسئله تحت عنوان «افرازهای یک مجموعه» در می‌آید که در بحث این مقال نیست. عدد گنگ
در ریاضیات، اعداد گنگ (Irrational Numbers)، تمام اعداد حقیقی را شامل می‌شوند که گویا نباشند؛ یعنی، اعداد گنگ را نمی‌توان به صورت نسبت دو عدد صحیح نوشت. هنگامی که نسبت طول‌های دو پاره‌خط عددی گنگ باشد، آن پاره‌خط‌ها را می‌توان به عنوان «مقایسه ناپذیر» توصیف نمود، یعنی هیچ اندازه «مشترکی» ندارند، یا به عبارتی دیگر هیچ طولی (یا «اندازه»ای)، هرچقدر هم کوچک باشد، وجود ندارد که بتوان از آن جهت بیان طول دو پاره‌خط مد نظر استفاده نمود، به گونه‌ای که آن پاره‌خط‌ها به صورت مضارب صحیحی از آن طول باشند. عدد
در آغاز، مفهوم عدد بسیار محدود بود. حتی اعداد را تا ۲ بیشتر نمی‌توانستند بشمارند. نخستین اعدادی که انسان در جایی نگاشته اعداد صحیح مثبت مثل یک، دو، سه و … بوده. پیش از ابداع عدد صفر ریاضیات توان پیشرفت چندانی نداشت و این ریاضی دانان هندی بودند که در حدود سدهٔ هفتم میلادی به استفاده از عدد صفر سامان بخشیدند و موجب رواج آن شدند. برای عدد، مرزی برای شمار داشتند. برای نمونه، زمانی در بسیاری جاها، مرز شمار، عدد ۶ بود. تا ۶ می‌شمردند و پس از آن را «بسیار» می‌گفتند. در زبان روسی نیز ضرب‌المثلی به این مفهوم وجود دارد که «هفت نفر منتظر یک نفر نمی‌مانند»، که بازهم منظور این است که تعداد زیادی منتظر یک نفر نمی‌مانند. همچنین در داستان‌ها، وقتی از پادشاهی صحبت می‌شود که در قصری است که هفت برج و بارو دارد، یا هفت دریا، هفت سرزمین، هفت آسمان و… همه جا «هفت» به معنای بسیار به کار رفته‌است. عدد ثابت لاندو - رامانوجان
در ریاضیات و زمینه نظریه اعداد، عدد ثابت لاندو – رامانوجان عددی است که بنا بر قضیه ای بیان می کند که برای همه اعداد بزرگ x ، تعداد اعداد صحیح مثبت کمتر از "x" که مجموع دو مربع کامل است با عبارت زیر نسبت مستقیم دارد. تابع اعداد اول
در کل، برای هر عدد صحیح مثبت "n" همانند تابع اعداد اول، #"n" به صورت حاصل اعداد اول که ≤ "n": هستند، تعریف می‌شود. اصل خوش‌ترتیبی
بنا به اینکه اعداد طبیعی را در چه دستگاهی تعریف می‌کنیم، این ویژگی (خوش ترتیب بودن) اعداد طبیعی ممکن است یک «اصل» ویا یک «قضیه» باشد. برای مثال: در «دستگاه پئانو» اصل خوش ترتیبی اعداد طبیعی از «اصل» استقرای ریاضی نتیجه می‌شود. نظریه اعداد
در نظریه مقدماتی اعداد، اعداد صحیح را بی استفاده از روش‌های به‌کار رفته در سایر شاخه‌های ریاضی بررسی می‌کنند. مسائل بخش پذیری، الگوریتم اقلیدس برای محاسبه بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک (ب.م. م)، تجزیه اعداد به اعداد اول، جستجوی عدد کامل perfect number و همنهشتی‌ها در این رده هستند. برخی از یافته‌های مهم این رشته قضیه کوچک فرما، قضیه اعداد اول و قضیه اویلر، قضیه باقیمانده چینی و قانون تقابل درجه دوم هستند. خواص توابع ضربی مانند تابع موبیوس و تابع φ اویلر و دنباله اعداد صحیح و فاکتوریل‌ها و اعداد فیبوناچی در همین حوزه قرار دارند. زیبایی ریاضی
این ریاضی‌دانان معتقدند که نتایج دقیق و همراه با ریزه‌کاری‌های ریاضی، می‌تواند منطقا درست باشد، بدون اینکه هیچ گونه وابستگی به دنیای بیرونی که در آن زندگی می‌کنیم. برای نمونه آن بر سر این بحث می‌کنند که نظریهٔ اعداد طبیعی از پایه درست است چون هیچ نیازی به بستر یا شرایط ویژه ندارد. برخی ریاضی‌دان‌ها پا را از این نیز فراتر می‌نهند و می‌گویند که زیبایی ریاضی یک زیبایی حقیقی است و می‌توان گفت نوعی عرفان است. تابع ضربی
در نظریه اعداد، تابع ضربی یک تابع ریاضی روی اعداد صحیح مثبت است که در آن formula_1 و به ازاء هر دو عدد صحیح formula_2 و formula_3 که نسب به هم اول هستند: اعداد متعادل
اگر چند عدد دارای مجموع مقسوم علیه‌هایی یکسان باشند، «متعادل» خوانده می‌شوند؛ مانند ۱۵۹، ۵۵۹ و ۷۰۳ که مجموع مقسوم‌علیه‌های هر سه عدد برابر با ۵۷ است. گویا کهن‌ترین متن ریاضی که این اعداد را معرفی کرده، کتاب التکملة فی الحساب ابن طاهر بغدادی (درگذشته ۱۰۳۷ میلادی) است. پس از وی در چندین رسالهٔ حساب فارسی و عربی ریاضیات دورهٔ اسلامی روی این اعداد بحث شده‌است. یکی از ریاضی‌دانان متاخر که برخی هنوز بر این باور مانده‌اند که وی نخستین کسی است که این اعداد و قاعدهٔ استخراج آنها را ارائه کرده، محمدباقر یزدی (قرن هفدهم میلادی) است. نخستین زوج متعادل معرّفی شده توسّط وی در کتاب عیون الحساب ۳۹ و ۵۵ هستند. فرمت اعداد رایانه‌ای
در حالی که هر دو اعداد صحیح بدون علامت و علامت در سیستم‌های دیجیتال استفاده می‌شوند، حتی یک عدد صحیح ۳۲ بیتی برای مدیریت طیف وسیعی از اعدادی که یک ماشین حساب می‌تواند انجام دهد، کافی نیست، و این فقط شامل کسر نمی‌شود. برای تقریب محدوده و دقت بیشتر اعداد حقیقی، باید اعداد صحیح علامت دار و اعداد نقطه ثابت را کنار بگذاریم و به قالب " ممیز شناور " برویم. اوربیتال اتمی
اوربیتال اتمی به‌طور خاص با مقادیر سه عدد کوانتومی شناخته می‌شود و هر مجموعه‌ای از سه عدد کوانتومی دقیقاً به یک اوربیتال مربوط می‌شود، اما اعداد کوانتومی تنها تحت شرایط و مقادیرمعینی با یکدیگر ترکیب می‌شوند.. قوانین حاکم بر مقادیر ممکن اعداد کوانتومی عبارتند از:عدد کوانتومی اصلی "n"، همیشه عدد صحیح مثبتی است. در واقع، می‌تواند هر عدد صحیح مثبتی باشد، ولی بنا به دلایلی که در ادامه مورد بحث قرار می‌گیرند، به ندرت با اعداد بزرگ مواجه می‌شویم. هر اتم در کل اربیتال‌های زیادی بسته به هر مقدار "n" دارد؛ این اوربیتال‌ها با یکدیگر گاهی لایه‌های الکترونی نامیده می‌شوند.عدد کوانتومیazimuthal (سمتی یا اوربیتالی) formula_2 عدد صحیح غیر منفی است. اگر عدد کوانتومی اصلی، عدد صحیح "n" باشد formula_2 می‌تواند هر مقداری که در شرط formula_4 صدق می‌کند، باشد. به عنوان مثال، برای "n" = ۱ لایه فقط اوربیتال formula_5 و برای "n" = ۲ لایه فقط اوربیتال‌های، 1 و 0 را خواهد داشت. مجموعه‌ای از اوربیتال‌های در ارتباط با یک مقدار خاص از گاهی در مجموع زیر لایه(subshell) نامیده می‌شوند.عدد کوانتومی مغناطیسی formula_6 همواره یک عدد صحیح است. درون زیرپوسته‌ای (subshell)که در آن formula_2 عدد صحیح formula_8 است، formula_6هایی که در شرط مقابل صدق کنند، وجود دارند: formula_10.نتایج فوق را می‌توان در جدول زیر خلاصه کرد. هر خانه نشان دهنده یک زیرلایه‌است، و لیست مقادیر مجاز formula_6 در آن خانه جای گرفته‌اند. اوربیتال محدوده‌ای از فضای اطراف هسته می‌باشد که احتمال یافتن الکترون در آن وجود دارد. این احتمال در نزدیکی هسته بیشترین مقدار را دارد؛ ولی برای تمام نقاطی از فضا که فاصله معینی از هسته دارند، احتمال معینی وجود دارد. هر اوربیتال می‌تواند حداکثر دو الکترون را در خود جای دهد. دو الکترونی که در یک اوربیتال جای می‌گیرند، دارای اسپین مخالف هستند. قضیه آخر فرما
در نظریه اعداد، قضیه آخر فِرما (که برخی مواقع از آن به حدس فِرما هم یاد شده‌است، به‌خصوص در متون قدیمی تر) بیان می‌دارد که هیچ سه عدد صحیح مثبتی چون formula_1، formula_2 و formula_3 وجود ندارند چنان‌که در معادله formula_4 برای هر عدد صحیح صدق کنند. این که حالات بی‌نهایت جواب دارند، از زمان باستان شناخته شده بود. عدد صحیح
همانند اعداد طبیعی، formula_1 نیز نسبت به دو عمل جمع و ضرب بسته‌است. این بدان معناست که حاصل جمع و حاصل ضرب دو عدد صحیح، خود، یک عدد صحیح است. برخلاف مجموعهٔ اعداد طبیعی، از آنجا که اعداد صحیح منفی، و به ویژه، عدد صفر هم به formula_1 تعلق دارند، این مجموعه، نسبت به عمل تفریق نیز بسته‌است. اما formula_1 تحت عمل تقسیم بسته نیست، زیرا خارج قسمت تقسیم دو عدد صحیح، لزوماً عددی صحیح نخواهد بود و به کسرهایی که از تقسیم دو عدد صحیح حاصل آمده باشد، اعداد گویا گفته می‌شود. افراز عدد صحیح
به افرازهای ۶ توجه کنید: زیبایی ریاضی
فیثاغورس (و تمامی مدرسهٔ فلسفه اش، مکتب فیثاغوری) بر این باور بود که اعداد (اعداد گویا) دارای حقیقتی اصیل اند، برای همین کشف اعداد گنگ ضربهٔ (روحی) بزرگی به این گروه وارد کرد. از دید آن‌ها وجود چیزی که نتوان آن را به صورت نسبت دو عدد بیان کرد نشان دهندهٔ وجود یک خدشه در طبیعت است. از دیدگاه امروزی، برخورد رازگونهٔ فیثاغورس با اعداد بیشتر شبیه رفتار یک عالم علم الاعداد بود تا ریاضی‌دان. به نظر می‌رسد، آنچه که فیثاغورسیان در جهان‌بینی خود بدان بی‌توجه بودند، حد یک دنبالهٔ نامتناهی از کسرهای گویا بود- چیزی که امروزه آن را عدد حقیقی می‌نامیم. تجزیه اعداد طبیعی
در عمل، سخت‌ترین اعداد برای تجزیه میان اعداد b بیتی، آنهایی هستند که برابر با حاصل‌ضرب دو عدد اول با اندازه‌ی مشابه هستند. به همین دلیل، از همین اعداد در کاربردهای رمزنگاری استفاده می‌شود. در فوریه‌ ۲۰۲۰، عدد که یک عدد ۸۲۹ بیتی با ۲۵۰ رقم است، با محاسباتی زیاد و بهینه‌سازی‌های فراوان الگوریتم‌های تجزیه‌ی اعداد، با موفقیت مورد تجزیه قرار گرفت و این بزرگ‌ترین عدد نیمه‌اولی است که تا مه ۲۰۲۱ تجزیه شده است. صفر (ابهام‌زدایی)
صفر یکی از اعداد صحیح است. اعداد موافق
اعداد موافق، "دنبالهٔ عادکننده” ای با دو جمله تشکیل می‌دهند. (دنبالهٔ عادکننده دنباله ای است که هر عدد مجموع مقسوم علیه های عدد قبلی، غیر از خودش، می‌باشد) درضمن، یک "عدد کامل" (که خودش مجموع مقسوم علیه هایش، به غیر از خودش، می‌باشد) یک دنبالهٔ عادکننده یک جمله ای تشکیل می‌دهد. اعدادی که جزوی از دنبالهٔ عادکننده ای با تعداد جملات بیش از ۲ هستند، “اعداد اجتماعی” نامیده می‌شوند. اعداد موافق
اعدادی به شکل ۳ × ۲n − ۱ به “اعداد ثابت” (منظور از ثابت، ثابت بن قره هست) معروف‌اند. برای این که این قاعده یک زوج موافق بدست بدهد، دو عدد ثابت متوالی باید عدد اول باشند. عدد صحیح
کاردینال (تعداد از اعضای مجموعه) مجموعهٔ formula_1، برابر الف-صفر است. این یعنی که تعداد اعضای این مجموعه با تعداد اعضای مجموعه‌های formula_12 ،formula_13 و formula_14 برابر است. ایده‌آل اولیه
در ریاضیات، بخصوص در جبر جابجایی، یک ایده‌آل محض formula_1 از یک حلقه جابجایی formula_2 را اولیه گویند اگر از formula_3 نتیجه شود که برای یک formula_4 حداقل یکی از formula_5 یا formula_6 عضو formula_1 باشند. به عنوان مثال، در حلقه اعداد صحیح formula_8، ایده‌آل formula_9 اولیه است اگر formula_10 یک عدد اول باشد. تعریف بازگشتی
مجموعه اعداد اول را می‌توان به عنوان مجموعه‌ای منحصر به فرد از اعداد صحیح مثبت توصیف کرد. کافی ست اعضای آن مطابق با تعریف بازگشتی زیر باشند: اول نبودن عدد یک، حالت پایه در این تعریف است. برای بررسی اول بودن هر عدد صحیح بزرگتر از یک مانند "X" با استفاده از این تعریف، باید اول بودن یا نبودن هر عدد صحیح بین ۱ و X را بدانیم. قضیه اعداد اول
اولین توزیع اینچنینی که پیدا شد formula_1 بود که در آن formula_2 تابع شمارنده تعداد اعداد اول و formula_3 لگاریتم طبیعی عدد formula_4 است. بدین معنی که با بزرگ شدن formula_4 به میزان کافی، احتمال این که یک عدد صحیح تصادفی کوچکتر مساوی formula_4 اول باشد بسیار به formula_7 نزدیک است. بنابراین، احتمال اول بودن یک عدد صحیح با حداکثر formula_8 رقم (برای formula_9 های به اندازه کافی بزرگ) حدوداً نصف عدد صحیح تصادفی با حداکثر formula_9رقم است. به عنوان مثال، در میان اعداد صحیح مثبت با حداکثر ۱۰۰۰ رقم، حدود یک عدد از هر ۲۳۰۰ تا اول است (formula_11)، در حالی که در میان اعداد صحیح با حداکثر ۲۰۰۰ رقم، حدود یکی از هر ۴۶۰۰ تا اول هستند (formula_12). به بیان دیگر، میانگین شکاف بین اعداد اول پشت سر هم در میان formula_4عدد صحیح (از یک تا formula_4) حدود formula_3است. اعداد کاتالان
اعداد کاتالان در ریاضیات ترکیبی، یک سری از اعداد طبیعی هستند که در مسائل شمارشی متنوع که معمولاً اشیا به صورت بازگشتی تعریف شده را در بر می‌گیرند، رخ می‌دهند. این اعداد به افتخار ریاضیدان بلژیکی شارل کاتالان (۱۸۹۴-۱۸۱۴) اعداد کاتالان نامیده می‌شوند. وی استنتاج مقدماتی از فرمول را کشف کرد. کاتالان مقالات متعددی در زمینه آنالیز، ترکیبیات، جبر، هندسه، احتمالات و نظریه اعداد منتشر کرد. درستی حدس او که اعداد ۰، ۱، ۸، ۹ تنها زوج اعداد کامل متوالی است که به صورت توانی می‌باشد در دهه ۱۹۷۰ ثابت شد. تابع افراز (نظریه اعداد)
در نظریه اعداد، تابع افراز formula_1، نمایانگر تعداد افرازهای ممکن یک عدد صحیح غیر منفی n است. به عنوان مثال، formula_2 زیرا عدد صحیح ۴ دارای پنج افراز است: ۱ + ۱ + ۱ + ۱، ۱ + ۱ + ۲، ۱ + ۳، ۲ + ۲ و ۴. دنباله صحیح
در ریاضیات، دنبالهٔ صحیح دنباله ای از اعداد صحیح است. روش‌های کدگذاری در رایانه
برای کد کردن اعداد صحیح از سه روش اندازه-علامت، مکمل یک و مکمل دو استفاده می‌شود. هر عدد صحیح مثبت نمایش یکتایی در مبنای دو دارد. پس برای نمایش اعداد صحیح مثبت و منفی به روش خاصی نیاز داریم: قضیه فیثاغورس
اعداد فیثاغورسی به سه عددی می‌گویند که مجموع مربع‌های دو تا از آن‌ها برابر با مربع سومی باشد، به بیان دیگر اعداد a و b و c را فیثاغورسی گویند هرگاه "a + b = c" باشد. اعداد فیثاغورسی ضلع‌های یک مثلث راست‌گوشه را تشکیل می‌دهند. بررسی‌ها نشان داده‌است که بناهایی در شمال اروپا وجود داشته که در آن‌ها از ویژگی اعداد فیثاغورسی استفاده می‌شده‌است و آن‌ها پیش از شناخت این قضیه، از اعداد فیثاغورسی استفاده می‌کرده‌اند و آن‌ها را می‌شناختند. نمونه‌های پرکاربرد این اعداد عبارتند از: (۳، ۴، ۵) و (۵، ۱۲، ۱۳). عدد جبری
به عدد مختلطی که جبری نباشد، یعنی هیچ معادلهٔ چندجمله‌ای با ضریب‌های گویا که ریشه‌اش شود نتوان یافت، یک عدد متعالی گوئیم. از عددهای متعالی مشهور می‌توان عدد نپر و عدد پی را نام برد. اولین عدد متعالی را ریاضی‌دان فرانسوی جوزف لیوویل در سال ۱۸۴۴ میلادی با اثبات معرفی کرد که گسترش آن اثبات خانوادهٔ بزرگی از اعداد متعالی را آشکار ساخت و به احترام او آن‌ها را اعداد لیوویل می‌گویند. عمل دوتایی
مجموعه اعداد صحیح و عمل جمع اعداد را در نظر بگیرید. عمل جمع اعداد یک عمل دوتایی روی مجموعه اعداد صحیح است و بدیهی است که با توجه به تعریف عمل دوتایی روی formula_2 برای هر دو عدد صحیح a و b عدد a+b نیز عددی صحیح است. عدد منفی
اعداد حقیقی یا منفی هستند یا مثبت یا صفر. در ریاضیات به اعداد مثبت، اعداد طبیعی و به مجموعه اعداد طبیعی، صفر و اعداد منفی، اعداد حقیقی می‌گویند. اعداد منفی در هر جایی معنی پیدا نمی کنند مانند حجم، وزن و طول. منتهی بنا به تعریفی جدید ما می توانیم سطح زمین را صفر در نظر گرفته بالاتر از سطح زمین را ارتفاع مثبت و پایین تر از سطح زمین را ارتفاع منفی در نظر بگیریم. در این حالت ما ارتفاع صفر و ارتفاع منفی را خواهیم داشت. جی (زبان برنامه‌نویسی)
انواع دیگر داده عددی شامل اعداد صحیح، اعداد اعشاری، اعداد مختلط، اعداد صحیح بزرگ و کسر گویا است. مانند بیت‌ها این انواع نیز می‌توانند در لیست‌ها یا آرایه‌های چند بعدی دلخواه قرار بگیرند. تمامیت اعداد حقیقی
اعداد حقیقی را می‌توان به صورت یک میدان مرتب تعریف کرد که نسخه‌ای از اصل موضوع تمامیت برای آن صادق است. نسخه‌های مختلف این اصل موضوع، به جز تمامیت کوشی و قضیه بازه‌های تودرتو که در برخی میدان‌های غیرارشمیدسی نیز صادقند، همگی معادلند. زمانی که اعداد حقیقی با استفاده از یک مدل ساخته شوند، تمامیت یک قضیه یا مجموعه‌ای از قضایاست. واحد پردازش مرکزی
اندازه و دقت اعداد صحیحی که یک پردازنده می‌تواند نمایش دهد، مربوط به نمایش عددی می‌شود. در رابطه با یک پردازنده باینری، این معیارها به وسیلهٔ تعداد بیت‌هایی (رقم‌های چشمگیر یک عدد صحیح کدگذاری شده به طریق باینری) که پردازنده می‌تواند در یک عملیات پردازش کند، اندازه‌گیری می‌شود، که در واقع، اندازهٔ کلمه، پهنای بیت، پهنای مسیر داده، دقت عدد صحیح، یا اندازه عدد صحیح نام دارد. اندازهٔ عدد صحیح یک پردازنده، محدودهٔ مقادیر صحیحی که پردازنده می‌تواند به‌طور مستقیم روی آن عملیات انجام دهد را مشخص می‌کند. برای مثال، یک پردازنده ۸ بیتی می‌تواند به‌طور مستقیم، اعداد صحیحی را که به شکل ۸ بیت نمایش داده شده‌اند و دارای یک محدوده مقادیر اعداد صحیح گسسته به میزان ۲۵۶ (2) هستند، دستکاری کند. محدوده اعداد صحیح، همچنین می‌تواند روی تعداد مکان‌هایی از حافظه که پردازنده می‌تواند به صورت مستقیم آدرس دهی کند تأثیر بگذارد (یک آدرس یک مقدار صحیح است که نشان دهنده یک مکان خاص از حافظه است). برای مثال اگر یک پردازنده باینری، از ۳۲ بیت برای نمایش یک آدرس حافظه استفاده کند، آنگاه می‌تواند به‌طور مستقیم 2 مکان حافظه را آدرس‌دهی کند. برای دور زدن این محدودیت، و به دلایل مختلف دیگر، برخی پردازنده‌ها از مکانیسم‌هایی (نظیر، bank switching) استفاده می‌کنند تا بتوانند حافظه بیشتری را آدرس دهی کنند. پردازنده‌هایی که دارای اندازه‌های کلمه بزرگتر هستند، نیاز به مداربندی بیشتر دارند و در نتیجه از لحاظ فیزیکی بزرگتر هستند و هزینهٔ بیشتری می‌برند و انرژی بیشتری مصرف می‌کنند (و بنابراین گرمای بیشتری تولید می‌کنند). در نتیجه، در کاربری‌های جدید، به‌طور رایج از میکروکنترلرهای ۴ یا ۸ بیتی استفاده می‌شود، با وجود اینکه پردازنده‌هایی با اندازهٔ کلمه بسیار بزرگتر (همچون ۱۶، ۳۲، ۶۴ و حتی ۱۲۸ وجود دارند). با این حال، زمانیکه نیاز به عملکرد بالا داریم، مزایای اندازهٔ بزرگ‌تر کلمه (محدوده‌های داده بزرگ‌تر و فضاهای آدرس بزرگتر) ممکن است بر معایب آن چیره شود. مسیرهای دادهٔ داخلی یک پردازنده می‌تواند باریک‌تر از اندازه کلمه باشد، تا اندازه و هزینه کاهش یابد. برای مثال، اگرچه IBM System/360، یک مجموعه دستورالعمل ۳۲ بیتی بود، اما System/360 Model 30 و Model 40 دارای مسیرهای دادهٔ ۸ بیتی در واحد محاسبه و منطق بودند، به گونه‌ای که یک عمل جمع ۳۲ بیتی، نیازمند چهار چرخه بود که برای هر ۸ بیت یک عملوند، یک چرخه لازم بود. اگرچه مجموعه دستورالعمل Motorola 68، یک مجموعه دستورالعمل ۳۲ بیتی بود، اما Motorola 68000 و Motorola 68010 دارای مسیرهای داده ۱۶ بیتی در واحد محاسبه و منطق بود، به گونه‌ای که یک عمل جمع ۳۲ بیتی نیازمند دو چرخه بود. برای بهره‌گیری از برخی از مزایای طول‌های کمتر و بیشتر بیت، بسیاری از مجموعه دستورالعمل‌ها دارای پهناهای بیت متفاوتی برای دادهٔ صحیح و ممیز شناور هستند. در این حالت، پردازنده‌هایی که از این مجموعه دستورالعمل‌ها استفاده می‌کنند، می‌توانند پهناهای بیت متفاوتی برای قسمت‌های مختلف کامپیوتر داشته باشند. برای مثال، مجموعه دستورالعمل System/360 شرکت آی بی ام اساساً ۳۲ بیتی بود، اما از مقادیر ممیز شناور ۶۴ بیتی هم پشتیبانی می‌کرد تا دقت و محدودهٔ بیشتری را در رابطه با اعداد ممیز شناور فراهم کند. مدل System/360 Model 65 دارای یک جمع‌کننده ۸ بیتی برای محاسبات دسیمال و باینری ممیز ثابت بود و همزمان دارای یک جمع‌کننده ۶۰ بیتی برای محاسبات ممیز شناور نیز بود. بسیاری از طراحی‌های بعدی پردازنده از پهنای بیت ترکیبی مشابهی استفاده می‌کنند. علی‌الخصوص، زمانی که پردازنده برای اهداف عمومی استفاده می‌شود، باید یک تعادل منطقی بین قابلیت صحیح و نقطه شناور برقرار شود. رابطه بازگشتی
دنباله اعداد حقیقی نظریه جبری اعداد
نظریه جبری اعداد (یا نظریه اعداد جبری)، شاخه ای از نظریه اعداد است که از تکنیک های جبر مجرد برای مطالعه اعداد صحیح، اعداد گویا و تعمیمشان استفاده می کند. سؤالات نظریه اعدادی بر اساس خواص اشیاء جبری چون میدان اعداد جبری و حلقه های اعداد صحیحشان، میدان های متناهی و میدان توابع بیان می شود. چنین خواصی مثل خاصیت تجزیه یکتایی یک حلقه، رفتار ایده‌آل‌ها و گروه های گالوای میدان ها می تواند مسائل مهم نظریه اعداد چون وجود جواب برای معادلات سیاله ای را حل کند. نظریه جبری اعداد
یک خاصیت مهم حلقه اعداد صحیح، ارضاء قضیه اساسی حساب است، یعنی هر عدد صحیح (مثبت) را می توان به صورت ضرب عوامل اولش تجزیه کرد، و این تجزیه در حد ترتیب عوامل یکتاست. اما این خاصیت ممکن است برای حلقه اعداد صحیح جبری formula_11 از یک میدان اعداد جبری formula_12 دیگر برقرار نباشد. ارقام معنی‌دار
حال می‌خواهیم نتیجه اندازه‌گیری را برای استفاده در موارد علمی بر روی کاغذ بیاوریم. برای اینکه به دیگران نشان بدهیم اندازه‌گیری ما از چه میزان دقتی برخوردار است، از ارقامی استفاده می‌کنیم که به آنها ارقام بامعنا می‌گویند. این ارقام شامل تمام رقم‌هایی هستند که با قطعیت مشخص نموده‌ایم به علاوه آخرین رقم که بیشتر یک رقم تقریبی یا غیرقطعی است. برای مثال عدد ۹۳۷٬۶۰۵ دارای ۶ رقم معنی‌دار است که آخرین رقم آن یعنی ۵ یک رقم غیرقطعی است. ۴۴ (عدد)
۴۴(چهل و چهار) یک عدد طبیعی و یک عدد صحیح مثبت است که بعد از ۴۳ و قبل از ۴۵ قرار دارد.چهل و چهار به انگلیسی می‌شود فُرتی فُر برابر با forty four یا 44 افراز عدد صحیح
در شمردن تعداد جواب‌های یک معادله، ترتیب در نظر گرفته می‌شود؛ ولی در شمردن تعداد افرازها، ترتیب جمع‌وندها مفهومی ندارد. برنامه‌نویسی پویا
ورودی‌ها : اعداد صحیح و مثبت formula_39 و formula_95 که در آن formula_96 است. نظریه جبری اعداد
ایده‌آلی که در حلقه اعداد صحیح جبری یک میدان عددی اول باشد، ممکن است هنگام توسیع به میدان عددی بزرگتر دیگر اول نباشد. مثلاً، اعداد اول را در نظر بگیرید. ایده‌آل های متناظرشان یعنی formula_67 در formula_68 اول اند. در حالی که زمانی که این ایده‌آل ها را به اعداد صحیح گاوسی توسعه می دهیم تا به formula_69 برسیم، ممکن است در آنجا اول باشند یا نباشند. به عنوان مثال، تجزیه formula_70 نتیجه می دهد: عدد مؤدب
به تعداد دفعاتی که می‌توان یک عدد صحیح مثبت را به صورت حاصل‌جمع دو یا چند عدد صحیح مثبت متوالی نشان داد ادب آن عدد می‌گویند. برای مثال ادب عدد ۷ برابر با یک و عدد ۱۵ برابر با ۳ است. مفهوم ادب اعداد صحیح خود تشکیل دنباله‌ای نامتناهی می‌دهد که به شکل زیر است: ۰، ۰، ۱، ۰، ۱، ۱، ۱، ۰، ۲، ۱، ۱، ۱، ۱، ۱، ۳، ۰، ۱، ۲، ۱، ۱، ۳، ۱، ۱، ۱، ۲، ۱، ۳، ۱، ۱، ۳، ۱، ۰، ۳، ۱، ۳، ۲، ۱، ۱، ۳، ۱، ۱، ۳، ۱، ۱، ۵، ۱، ۱، ۱، ۲، ... برای هر عدد صحیح و مثبت x، ادب x برابر است با تعداد مقسوم‌علیههای فرد بزرگتر از یک آن عدد. شماره ثبت سی‌ای‌اس
CAS.NUMBER یک شماره یا کد است که حداکثر از ۱۰ رقم تشکیل شده‌است این اعداد توسط پاره خط‌هایی به سه قسمت تقسیم می‌شود. عدد تک رقمی سمت راست را (check digit) یا رقم کنترلیزه می نامند. نحوهٔ محاسبهٔ رقم کنترلیزه: به ترتیب ارقام را (شروع از رقم دوم از سمت راست) در اعداد طبیعی (1،2،3،...) ضرب کرده و حاصل جمع را بدست آورده و عدد یکان حاصل جمع به عنوان رقم کنترلیزه در نظرگرفته می‌شود. ایده‌آل اول
در جبر، یک ایده‌آل اول زیر مجموعه ای از یک حلقه است که در خواص مهمی با اعداد اول در حلقه اعداد صحیح مشترک است. ایده‌آل های اول برای اعداد صحیح مجموعه هایی هستند که شامل تمام ضرایب یک عدد اول اند. ایده‌آل صفر نیز در اعداد صحیح یک ایده‌آل اول است. مسئله دهم هیلبرت
واژه‌های "فرایند" و "تعداد متناهی عملگرهاً برای توضیح سؤال هیلبرت درمورد الگوریتم به کار رفته‌است. واژه " عدد صحیح" به اعدادی بر می‌گردد که صحیح، مثبت یا منفی یا صفر باشند مثل: ۰، ±۱، ±۲، …. پس هیلبرت به دنبال یک الگوریتم کلی است تا بتواند ادعا کند که داده‌های چندجمله‌ای دیوفانتی با ضرایب صحیح در اعداد صحیح جواب دارند. اکنون پاسخ به این مسئله منفی است: چنین الگوریتمی به‌طور کلی نمی‌تواند وجود داشته باشد، بر خلاف هیلبرت که به امکان وجود آن معتقد بود. قبل از رفتن به سراغ لیست مسائل، وی چنین اظهار می‌دارد: " گاهی ما با داشتن فرضیه‌های غلط به دنبال پاسخ به مسائل هستیم و به خاطر همین موفق نمی‌شویم و مسئلهٔ اثبات غیرممکن بودن حل، تحت فرضهای داده شده ظاهر می‌شود ." کار بر روی این مسئله برای یافتن راه حل بر اساس اعداد طبیعی بوده‌است نه تمام اعداد صحیح، اما به سادگی می‌توان دریافت که الگوریتم درهر دو حالت می‌تواند برای دیگری به کار رود. اگر مشخص شود یکی از الگوریتم‌ها با اعداد طبیعی قابل حل است، این می‌تواند برای مشخص کردن اینکه آیا معادلهٔ n مجهولی با قراردادن الگوریتم مفروض در 2 معادله دارای پاسخ صحیح است. برعکس، یک الگوریتم برای تست کردن حل پذیری، با اعداد صحیح دلخواه، با به کارگیری الگوریتم مفروض برای معادلهٔ حاصل از جایگزینی هر مجهول در معادلهٔ داده شده به وسیلهٔ مجموع مربعات چهار مجهول جدیدمی تواند برای اینکه معادلهٔ داده شده با اعداد طبیعی حل پذیر است استفاده شود. این کار بر اساس قضیه چهار مجذور لاگرانژ است تا نشان دهد که تمام اعداد طبیعی می‌توانند به صورت مجموع چهار مجذور نوشته شود. حلقه (ریاضیات)
آشناترین مثال یک حلقه، مجموعه اعداد صحیح، formula_3 شامل اعداد زیر است: formula_4 خواص آشنای جمع و ضرب اعداد صحیح، مدلی برای اصول موضوعه حلقه هاست. عدد متقارن
عدد متقارن عددی است که از هر دو طرف یکسان خوانده می‌شود یا به عبارتی یک تقارن آینه‌ای دارد. با وارونه کردن ارقام یک عدد متقارن، خود عدد حاصل می‌شود. قضیه اساسی حساب
اگر عدد formula_4 را به‌صورت formula_5 به حاصل ضرب عوامل اول بنویسم، این کار را اصطلاحاً تجزیه عدد formula_4 به عوامل اول می‌گوئیم. پس قضیهٔ اساسی حساب بیان می‌کند که هر عدد صحیح بجز formula_1 و formula_2، قابل تجزیه به عوامل اول است و این تجزیه صرف نظر از ترتیب عوامل یکتا است. حلقه نیم-اول
به عنوان مثال، در حلقه اعداد صحیح، ایده‌آل‌های نیم-اول، ایده‌آل صفر و تمام ایده‌آل‌هایی به شکل formula_1 اند که در آن formula_2 یک عدد صحیح مربع-آزاد است. بنابر این، formula_3 یک ایده‌آل نیم-اول از اعداد صحیح است (چون formula_4 و در تجزیه آن هیچ عامل اول تکراری مشاهده نمی‌شود)، اما formula_5 نیم-اول نیست (چون formula_6، و تجزیه آن دارای عامل اول تکراری است). تمامیت اعداد حقیقی
که عبارت‌هایش از ارقام عدد پی گرفته شده‌اند، یک دنباله تودرتو از بازه‌های بسته است که اشتراک آن تهی است. (در اعداد حقیقی اشتراک این بازه‌ها عدد پی است.) ایفوریا
Integer (عدد صحیح) - یک اتم، محدود به مقادیر صحیح امضا شده ۳۱ بیتی در محدوده -۱۰۷۳۷۴۱۸۲۴ تا ۱۰۷۳۷۴۱۸۲۳ (-۲ ^ ۳۰ تا ۲ ^ ۳۰–۱). انواع داده‌های عدد صحیح کارآمدتر از انواع داده‌های اتمی هستند، اما نمی‌توانند حاوی مقادیر یکسانی از مقادیر باشند. کاراکترها به صورت عدد صحیح ذخیره می‌شوند، به عنوان مثال، کدگذاری ASCII-'A دقیقاً همان کدگذاری ۶۵ است. عدد گنگ
نسبت طلایی یا عدد فی در ریاضیات هنگامی است که «نسبت بخش بزرگتر به بخش کوچکتر، برابر با نسبت کل به بخش بزرگتر» باشد. فی، نخستین حرف از نام «فیدیاس»، پیکرتراش زبدهٔ یونان باستان است که به احتمال زیاد این نسبت عددی را ده‌ها سال پیش از اقلیدس، در شیوهٔ هنری‌اش لحاظ می‌کرده‌است. بسیاری از مراجع علمی، حرف یونانی φ یا عدد فی را برای این عدد انتخاب کرده‌اند. مقدار عددی عدد طلایی برابر به‌طور تقریبی برابر است با ۱٫۶۱۸۰۳۳۹۸۸۷ اصول موضوعه پئانو
فرمول بندی اصلی پئانو از اصول موضوعه، ۱ را بجای ۰ به عنوان «نخستین» عدد طبیعی در نظر می‌گرفت. این انتخاب، اختیاریست، چرا که اصل موضوعه ۱، عدد ۰ را به خواص بیشتری تجهیز نمی‌کند. اگرچه چون ۰ در حساب، همانی جمعی است، اغلب فرمول بندی‌های مدرن از اصول پئانو از ۰ آغاز می‌شوند. اصول ۱، ۶، ۷ و ۸ یک نمایش یکانی از مفهوم شهودی اعداد طبیعی تعریف می‌کنند: عدد ۱ می‌تواند به عنوان "S(۰)"، عدد ۲ به عنوان S(S(۰))، و … تعریف شوند. اگرچه، با فرض گرفتن اعداد طبیعی ای که از اصول موضوعه استخراج می‌شوند، اصول ۱، ۶، ۷ و ۸ تنیجه نمی‌دهند که تابع تالی کل اعداد طبیعی بجز "۰" را تولید می‌کند. به بیان دیگر، اینها تضمین نمی‌کنند که هر عدد طبیعی به غیر از صفر باید از یک عدد طبیعی دیگر پیشی بگیرد. عدد طبیعی
برای بودن یا نبودن عدد صفر در مجموعه اعداد طبیعی سه تعریف موجود می‌باشد. در تعریف اول طبق استاندارد ISO 80000-2 عدد صفر با عنوان اعداد صحیح غیر منفی پذیرفته شده‌ است. اما در تعریف دیگر صفر به عنوان یک عضو شناخته نمی‌شود و با اضافه کردن آن، مجموعه اعداد حسابی به وجود می‌آید. این مجموعه یک مجموعه نامتناهی است. پس تنها تفاوت بین اعداد طبیعی و اعداد حسابی وجود صفر در اعداد حسابی است . در ریاضیات، مجموعه شمار نهادی (اعداد طبیعی) را با نماد N نمایش می‌دهند و اعداد صحیح و حسابی به ترتیب با حروف Z و W نمایش داده می‌شوند. این حرف از آغاز واژه انگلیسی Natural، به معنای نهادی(طبیعی)، گرفته شده‌است. مجموعه‌ی اعداد طبیعی دارای بی‌شمار عضو می‌باشد. حساب لامبدا
و ما می‌بینیم که عدد درست عدد برابر با FALSE است. دنباله صحیح
دنبالهٔ اعداد صحیح ممکن است به‌طور "صریح و" با دادن فرمولی برای جملهٔ "n"ام آن مشخص شود، یا به‌طور "ضمنی" و با دادن رابطه‌ای بین جملات آن. به عنوان مثال، دنبالهٔ ۰، ۱، ۱، ۲، ۳، ۵، ۸، ۱۳، … (دنبالهٔ فیبوناچی) با شروع از ۰ و ۱ و سپس جمع کردن دو جملهٔ متوالی برای به دست آوردن مورد بعدی شکل می‌گیرد: که این تعریفی ضمنی است و دنبالهٔ ۰، ۳، ۸، ۱۵، … مطابق فرمول "n" -1 تشکیل شده‌است: که تعریفی صریح است. نیمه‌صحیح
باید توجه داشت که نصف هر عدد صحیحی یک نیمه‌صحیح نیست. نصف یک عدد زوج خود عددی صحیح است نه نیمه‌صحیح، در نتیجه تنها نصف اعداد فرد نیمه‌صحیح هستند. به صورت کلی اعداد نیمه‌صحیح را به شکل زیر نمایش می‌دهیم: راستین‌نماد (برنامه‌نویسی)
راستین‌نمادها، دربرابر «متغیرها» یا «» هستند که می‌توانند یکی از مقادیر کلاس‌های با مقدار ثابت را بگیرند، «ثابت‌ها» این محدودیت را دارند که دیگر تغییر نمی‌کنند. راستین‌نمادها معمولا برای مقداردهی اولیه به متغیرها، به کار می‌روند، مثلا، در کد زیر، 1 مقدار یک راستین‌نماد عدد صحیح و رشته سه حرفی cat یک راستین‌نماد رشته‌ای است: int a = 1; string s = "cat"; راستین‌نماد یا لیترال به نشانه‌هایی در کد منبع برنامه گفته می‌شود که در زمان کامپایل به مقادیر مشخصی تفسیر می‌شوند. به عبارت دیگر لفظ‌ها مقادیر ثابتی هستند که به صورت نشانه‌هایی در کد برنامه نوشته می‌شوند. برای نمونه در زبان برنامه‌نویسی پایتون، 4 یک راستین‌نماد عدد صحیح، "ABC" یک راستین‌نماد رشته‌ای، False یک راستین‌نماد بولی و {1, 2} یک راستین‌نماد تاپل است. کلیهٔ مقادیر قابل تعریف در یک زبان از هر نوعی که باشند باید به وسیلهٔ راستین‌نمادها قابل نوشتن باشند. اعداد زائد
حال، به انجام رساندن قضیه ۱ کار ساده ایست. واضح است که اگر عدد صحیح زوجی بر ۶ تقسیم شود، باقی‌مانده اش یکی از اعداد ۰، ۲، یا ۴ خواهد بود؛ یعنی هر عدد صحیح زوجی به یکی از صورت‌های زیر است: n=۶k یا n=۶k+۲ یا n=۶k+۴ . عدد صحیح
همچنین در جبر مجرد، بر اساس خواصی که در بالا ذکر شد، formula_1 یک دامنه اقلیدسی است و در نتیجه formula_1 دامنه ایده‌آل اصلی می‌باشد و هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک را می‌توان به‌طور یکتا به حاصل‌ضرب اعداد اوّل تجزیه کرد (قضیه اساسی علم حساب). ۳۰ (عدد)
۳۰ به حروف سی از اعداد طبیعی و بیست ویکمین عدد از اعداد طبیعی دورقمی است. جزو اعداد صحیح نیز می باشد. نظریه تحلیلی اعداد
در ریاضیات، نظریهٔ تحلیلی اعداد شاخه ای از ریاضیات است که از روش‌های آنالیز ریاضی برای حل مسائل مربوط به اعداد صحیح بهره می‌برد. اغلب گفته می‌شود که این شاخه با کارهای پیتر گوستاو لژیونه دیریکله در ۱۸۳۷ و با معرفی L-توابع دیریکله شروع شده‌است. او از این توابع برای ارائه اولین اثبات قضیه دیریکله روی تصاعدهای حسابی سود جست. معروف‌ترین نتیجه در این شاخه، نتایج و بحث‌هایی است که در ارتباط با اعداد اول (مثل قضیه اعداد اول و تابع زتای ریمان) و نظریه جمعی اعداد (مثل حدس گلدباخ و مسئله وارینگ) مطرح شده‌اند. تابع شمارش اعداد اول
در قرن ۱۸ گاوس و لژاندر توانستند تقریب دقیق formula_2 را برای تعداد اعداد اول به دست آورند که بعدها این تقریب به نظریه اعداد اول مشهور شد و بر اساس آن ثابت شد که: اعداد زائد
اعداد کوچکتر از ۴۶ عبارت اند از ۱۲، ۱۸، ۲۰، ۲۴، ۳۰، ۳۶، ۴۰ و ۴۲. به آسانی دیده می‌شود که مجموع هیچ دو تا از این اعداد، ۴۶ نیست. در نتیجه، ۴۶ بزرگترین عدد صحیح زوجی است که نمی‌توان آن را به صورت مجموع دو عدد زائد نوشت. هر عدد صحیح ناکمتر از ۸۳۱۶۰ را می‌توان به صورت مجموع دو عدد زائد نوشت. ؛ اثبات قضیه ۲: بنابر قضیه ۱، هر عدد زوج ناکمتر از ۸۳۱۶۰ را می‌توان به صورت مجموع دو عدد زائد نوشت. پس کافی است اعداد فرد بزرگتر از ۸۳۱۶۰ را در نظر بگیریم. گروه رده ایده‌آل
در نظریه اعداد ، گروه رده ایده‌آل (Ideal Class Group) (یا گروه رده‌ای) (Class Group) از یک میدان عددی چون formula_1، گروه خارج قسمتی formula_2 است که در آن formula_3 گروه ایده‌آل‌های کسری حلقه اعداد صحیح formula_1 و formula_5 زیرگروه ایده‌آل‌های اصلی آن است. گروه رده‌ای، میزان شکست در تجزیه یکتای حلقه اعداد صحیح formula_1 را می سنجد. مرتبه این گروه که عددی متناهی است را عدد رده‌ای formula_1 می‌نامند. اعداد سورئال
در ریاضیات، دستگاه اعداد سورئال یک کلاس محض کاملاً مرتب شامل اعداد حقیقی به علاوه اعداد بی نهایت و بی‌نهایت‌کوچک‌ها است که به ترتیب از نظر قدر مطلقی از هر عدد حقیقی مثبتی بزرگتر و کوچکتر اند. اعداد سورئال در بسیاری از خواص با اعداد حقیقی مشترکند، شامل خواصی چون عملیات حسابی معمولی (جمع، تفاضل، ضرب و تقسیم)؛ به علاوه این که آن ها تشکیل یک میدان مرتب را می دهند. اگر از فرموله بندی نظریه مجموعه های فون نویمان-برنیز-گودل استفاده شود، اعداد سورئال تبدیل به میدان ترتیبی جهانی می شوند، بدین معنا که تمام میدان های ترتیبی چون اعداد گویا، اعداد حقیقی، توابع گویا، میدان لوی-چیویتا، اعداد ابرحقیقی (superreal) و اعداد فراحقیقی (hyperreal) را می توان بر اساس چنین فرموله بندی به عنوان زیرمیدانی از اعداد سورئال در نظر گرفت. همچنین سورئال ها شامل تمام اعداد ترتیبی ترامتناهی نیز می شوند؛ چنان که حساب روی آن ها توسط عملیات طبیعی صورت می پذیرد. همچنین نشان داده شده است که (در بستر نظریه مجموعه‌های فون نویمان-برنیز-گودل) کلاس ماکسیمال میدان فراحقیقی یک ریخت با کلاس ماکسیمال میدان سورئال است؛ در نظریات، بدون استفاده از اصل انتخاب سرتاسری ممکن است این حالت ایجاد نشود، در چنین نظریاتی الزاماً سورئال ها میدان مرتب جهانی نیستند. خوش‌ترتیب
مشاهده می‌شود که اعداد طبیعی به واسطه ی اصل خوش ترتیبی، خوش ترتیب هستند. اعداد متعادل
اعداد متعادل عدد اول
عددی طبیعی (۱، ۲، ۳، ...) را «"عدد اول"» (یا "اول") نامند اگر بزرگتر از ۱ بوده و نتوان آن را به صورت ضرب دو عدد طبیعی کوچکتر نوشت. اعداد بزرگتر از ۱ که اول نباشند را مرکب نامند. به بیان دیگر، formula_7 اول است اگر نتوان آن را به بیش از یک گروه با اندازه مساوی تقسیم‌بندی نمود، یا امکان آرایش formula_7 نقطه به شبکه ای از نقاط مستطیل‌گونه که طول و عرضی بزرگتر از یک داشته باشند، امکان‌پذیر نباشد. به عنوان مثال، در میان اعداد ۱ تا ۶، اعداد ۲، ۳ و ۵، اعداد اول می‌باشند، چرا که هیچ عددی آن‌ها را به گونه‌ای تقسیم نمی‌کنند که باقیمانده صفر شود. ۱ اول نیست، چرا ه به‌طور ویژه از تعریف مستثنی شده. ۴=۲×۲ و ۶=۲×۳، هردو اعدادی مرکب اند. مقسوم‌علیه‌های یک عدد طبیعی چون formula_7، اعداد طبیعی هستند که formula_7 را به بخش‌های مساوی تقسیم می‌کنند. برای هر عدد طبیعی، ۱ و خود عدد همیشه جزو مقسوم‌علیه‌ها می‌باشند. اگر مقسوم‌علیه دیگری وجود داشته باشد، آن عدد اول نخواهد بود. این ایده منجر به تعریف متفاوت ولی معادلی برای اعداد اول می‌گردد: آن‌ها اعدادی هستند که دقیقاً دو مقسوم‌علیه دارند، ۱ و خود عدد. هنوز روش دیگری جهت بیان همین مفهوم وجود دارد، این که عدد formula_7 اول است اگر بزرگتر از یک بوده و بر هیچ‌یک از اعداد formula_12 بخش‌پذیر نباشد. عدد صحیح
مجموعهٔ ویژگی‌های ذکر شده حاکی از این است که formula_1، به همراه عملیّات ضرب و جمع، یک حلقه است. امّا به دلیل نداشتن وارون ضربی، میدان نیست. مجموعهٔ اعداد گویا را باید کوچک‌ترین میدانی دانست که اعداد صحیح را در بر می‌گیرد. عدد منفی
اعداد منفی به تمام اعداد حقیقی گفته می‌شود که کوچک‌تر از صفر هستند. اعداد منفی در دستگاه مختصات در سمت چپ صفر قرار دارند. هر عددی که کوچکتر از صفر باشد حتی به اندازه ∋ یک عدد منفی است. اعداد منفی مانند اعداد مثبت و صفر جزء اعداد هستند. به عبارتی می توان اعداد را به سه دسته تقسیم کرد: 1) اعداد مثبت 2) اعداد منفی 3) عدد صفر این اعداد معمولاً معرف ضرر، خسارت، اتلاف، فقر، عدم، ضایعات و فقدان در اندازه هستند. به عنوان مثال بدهی که یک شخص دارد ممکن است به صورت یک دارایی منفی تلقی شده و با عدد منفی نمایش داده شود، برای نمونه می‌گوییم کسی ۴۵۰۰۰- تومان در یک ماه سرمایه‌گذاری کرده‌است. یعنی این اندازه بدهکار است. در کمیت‌ها نیز اعداد منفی به معنای یک افزایش منفی محسوب می‌شوند که به نوعی همان کاهش است. در مورد درجه حرارت نیز اعداد منفی کاربرد زیادی دارند. نشانه اعداد منفی یک علامت منفی - است. مثلاً «عدد ۳-» یعنی یک مقدار منفی با بزرگی و اندازه عدد ۳ که منفی سه تلفظ می‌شود. به عبارتی، به همان اندازه که صفر از ۳ کوچک‌تر است، به همان اندازه از ۳- بزرگ‌تر است. قضیه اساسی حساب
این قضیه به‌طور ساده بیان می‌کند که هر عدد صحیح به‌جز formula_1 و formula_2، به‌صورت حاصل‌ضربی از عوامل اول قابل نمایش است. همچنین این نمایش اعداد به‌صورت حاصل‌ضرب عوامل اول، صرف نظر از ترتیب عوامل یکتا است. به عنوان مثال، عدد ۶۰ را می‌توان به‌صورت formula_3 به حاصل‌ضرب عوامل اول نوشت. عدد اول
یکی از مسائل مورد توجه ریاضی‌دانان، چگونگی توزیع و ترتیب قرارگرفتن اعداد اول درون رشته اعداد طبیعی است. این چگونگی دارای الگوهایی است که یکی از آنها به «الگوی پیشرفت عددی» معروف است. مثلاً اگر به عدد ۵ که عددی اول است، ۶ واحد اضافه کنیم به ۱۱ و اگر به ۱۱، ۶ واحد اضافه کنیم به ۱۷ و اگر دوباره اضافه کنیم، به ۲۳ و ۲۹ می‌رسیم که همگی اعدادی اولند. اما با اضافه کردن ۶ واحد دیگر به ۳۵ می‌رسیم که عددی اول نیست و الگو متوقف می‌گردد. عدد اول رامانوجان
به عبارت دیگر اعداد اول رامانوجان اعداد صحیحی هستند که به ازای هر کدام از آن‌ها حداقل n عدد اول بین "x" و "x"/2 وجود دارد جایی که "x" ≥ "R" عدد
اعداد طبیعی اعدادی هستند که برای شمارش (بطور مثال در «شش سکه روی میز است») و برای ترتیب (بطور مثال در «این سومین شهر در کشور است») به کار می‌روند. مجموعهٔ اعداد طبیعی نسبت به جمع و ضرب بسته‌است ولی نسبت به دیگر اعمال جبری بسته نیست. این امر و دیگر نارسایی‌های اعداد طبیعی (از جمله وجود عدد همانی جمع (صفر) و وارون جمعی یک عدد، که هیچ‌کدام در مجموعهٔ اعداد طبیعی نیستند) سبب شد سامانهٔ اعداد به مجموعهٔ اعداد صحیح گسترش یابد: مجموعهٔ اعداد صحیح با formula_2 نشان داده می‌شود که حرف اول کلمهٔ آلمانی Zahl به معنای «عدد» است. توابع جزء صحیح و سقف
formula_5 معنی آن به زبان عامیانه این است: جزء صحیح X بیشترین عدد صحیحی است که کمتر یا مساوی X است.بعضی مواقع جزء صحیح یک عدد را به صورت [x] هم نشان می‌دهند. عدد گویا
عدد گویا یا عدد کسری در علم ریاضیات، عددی است، که می‌تواند به صورت کسر formula_1 (یا formula_2) از دو عدد صحیح formula_3 و formula_4 ( به طوری که formula_3 صورت کسر و formula_4 مخرج کسر باشد.) بیان شود. به عبارت دیگر اعداد گویا کسرهایی هستند که از تقسیم عدد صحیح بر عدد صحیح دیگر (به جز صفر) پدید آمده باشد. از آن‌جایی که formula_4 می‌تواند برابر با عدد یک باشد؛ پس تمامی اعداد صحیح، طبیعی و حسابی، عدد گویا نیز هستند. نظریه جبری اعداد
به طور تاریخی، ایده تجزیه ایده‌آل ها به ایده‌آل های اول، قبل از معرفی اعداد ایده‌آل توسط ارنست کومر معرفی شد. این ها اعدادی هستند که در یک توسیع میدانی formula_63 از formula_12 قرار دارند. این توسیع میدانی را به نام میدان کلاس هیلبرت می شناسند. بر اساس قضیه ایده‌آل اصلی، هر ایده‌آل اول از formula_11 یک ایده‌آل اصلی از حلقه اعداد صحیح جبری formula_63 را تولید می کند. یک مولد از این ایده‌آل اصلی را عدد ایده‌آل می نامند. کومر ازین مفاهیم به عنوان جایگزینی برای نقض تجزیه یکتا در میدان های دوری استفاده کرد. این ها نهایتاً منجر شد که ریچارد ددکیند مفهوم ایده‌آل ها را معرفی کرده و تجزیه یکتایی ایده‌آل ها را به کمک آن اثبات کند. دامنه سخن
دامنه سخن معمولاً در ابتدا مشخص می شود، به طوری که نیازی نیست هربار محدوده متغیرهای مرتبط را تعیین کنیم. بسیاری از منطق دانان، گاهی اوقات، تلویحاً بین دامنه یک علم و جهان سخن یک صوری سازی از آن علم تمایز قائل می‌شوند. جوزپه پئانو، نظریه اعداد (حساب اعداد صحیح مثبت) را صوری سازی کرد، به نحوی که دامنه اش را اعداد صحیح مثبت قرار داده و جهان سخن را شامل همه اعداد، و نه فقط اعداد صحیح در نظر گرفت. اسکیم (زبان برنامه‌نویسی)
درون نوع داده‌های عددی، به وسیله تضاد، مقادیر عددی همپوشانی می‌کنند. برای مثال، یک عدد صحیح تمامی انواع زیر را در یک زمان راضی می‌کند : integer?, rational?, real?, complex? و number?. (R5RS sec 6.2)[3] بزرگ‌ترین عدد اول شناخته‌شده
بزرگترین عدد اول شناخته شده، بزرگترین عدد صحیحی می‌باشد که می‌دانیم عددی اول است. اقلیدس ثابت کرد که بینهایت عدد اول وجود دارد، بنابراین همیشه عدد اولی بزرگتر از بزرگترین عدد اول شناخته شده وجود دارد. بسیاری از ریاضی‌دانان و محققین تفننی سرگرم جستجوی بزرگترین عدد اول شناخته شده هستند؛ این ممکن است مفید نیز باشد چرا که جایزه‌هایی به وسیله بنیاد مرز الکترونیک برای کشف اعداد اول ارائه شده‌است. مسئله دهم هیلبرت
هرچند هیلبرت این مسئله را برای اعداد گویای صحیح مطرح کرد، اما مطرح کردن آن برای خیلی از حلقه‌ها می‌تواند مفید باشد (مخصوصاً برای هر حلقه‌ای که اعضای آن قابل فهرست کردن باشد). مثال‌های واضح آن حلقه‌های اعداد صحیح در میدان‌های اعداد جبری و همچنین اعداد گویا هستند. یک الگوریتیم مانند چیزی که وی به دنبال آن بود می‌تواند برای پوشاندن دامنه‌های دیگر بسط داده شود. به عنوان مثال معادله زیر: وقتی که formula_31 یک چندجمله‌ای با درجه d باشد، در اعداد گویای غیر منفی قابل حل است اگر و تنها اگر:formula_32 در اعداد طبیعی قابل حل باشد. (اگر کسی یک الگوریتیم داشته باشد تا بتواند قابل حل بودن در اعداد گویای غیر منفی را نشان دهد، به راحتی می‌تواند قابل حل بودن آن را در اعداد گویا نیز نشان دهد) به هر حال دانستن اینکه چنین الگوریتیمی که هیلبرت آرزویش را داشت وجود ندارد، چیزی پیرامون زمینه‌های دیگر نمی‌گوید. کارهای بسیاری پیرامون مسئله دهم هیلبرت برای حلقه‌های صحیح از میدان‌های اعداد جبری انجام گرفته‌است. بر اساس کارهای اولیهٔ جان دنف و لئونارد لیپسچیتز و با استفاده از نظریهٔ class field هارولد ان شاپیرو و الکساندر شاپینتاخ توانستند اثبات کنند: "مسئله دهم هیلبرت برای حلقه‌های صحیح از هر میدان اعداد جبری که گروه گالوا روی اعداد گویا آبلی اند غیرقابل حل‌اند." شلاپینتاخ و ثاناسیس فیداس (مستقل از یکدیگر) به نتیجه یکسانی در زمینهٔ میدان‌های اعداد جبری دست یافتند و آن پذیرفتن یک زوج مزدوج مختلط تعبیه شده‌است. مسئله حلقه اعداد صحیح از میدان‌های اعداد جبری به غیر از نتایجی که در بالا مطرح شد هنوز برای پاسخ گویی باز است. همچنین با وجود تلاش‌های بسیار، مسئله معادلات در اعداد گویا نیز هنوز برای پاسخ گویی باز است. باری مازور حدس زده که برای هر متغیری در اعداد گویا، بستار توپولوژیکی روی اعداد حقیقی از مجموعه جواب‌ها، دارای مؤلفه‌های زیاد اما متناهی است. این حدس می‌گوید که اعداد صحیح روی اعداد گویا دیوفانتی نیستند و همچنین اگر این حدس درست باشد، پاسخ منفی به مسئلهٔ دهم هیلبرت مستلزم رویکردی متفاوت برای حلقه‌های دیگر است. مکعب (جبر)
[[رده:اعداد صحیح]] [[رده:اعداد شکل‌دار]] [[رده:چهار عمل اصلی]] [[رده:دنباله اعداد صحیح]] [[رده:نظریه اعداد]] خوش‌ترتیب
یک رابطه خوش ترتیب دیگر اعداد صحیح به این صورت تعریف می‌شود: x ≤ y اگر و تنها اگر |x| اعداد حقیقی مثبت، خوش ترتیب نیست، زیرا برای مثال، بازهٔ باز صفر تا یک شامل کوچکترین عنصر نیست. مجموعه اعداد اعداد طبیعی خوش ترتیب است. عدد صحیح
در مبحث جبر مجرد، پنج خاصیّت اوّل در مورد جمع، نشان می‌دهد که مجموعهٔ formula_1 به همراه عمل جمع یک گروه آبلی است. امّا، از آن جا که formula_1 نسبت به ضرب عضو وارون (یا معکوس) ندارد، مجموعهٔ اعداد صحیح، به همراه عمل ضرب، گروه نمی‌سازد. حلقه صحیح‌ها
ساده‌ترین مثال بعدی، حلقه صحیح‌های گاوسی formula_14 است که شامل اعداد مختلطی است که بخش حقیقی و موهومی آن اعداد صحیح می‌باشد. این حلقه، حلقه صحیح‌های میدان عددی formula_15 از اعداد مختلطی است که بخش‌های موهومی و حقیقی آن عضو اعداد گویا اند. این حلقه نیز همچون صحیح‌های گویا، یک حوزه اقلیدسی است. عدد صحیح
شاخه‌ای از ریاضیات که به مطالعهٔ اعداد صحیح می‌پردازد، نظریهٔ اعداد نام دارد. در واقع می‌توان گفت اعداد طبیعی و حسابی زیر مجموعه اعداد صحیح هستند؛ و اعداد صحیح هم زیر مجموعه اعداد گویا هستند. اعداد چینی
اعداد چینی (به انگلیسی: Chinese numerals ) (به چینی: 中文数字 | پین یین: Zhōngwén shùzì ) مجموعه ای از اعداد هستند که در نوشتار چینی از آنها استفاده می‌شود. از اعداد چینی عمدتاً در نامه های اداری، مبالغ چک، اسکناس، مناسبت های تشریفاتی و برخی تبلیغات استفاده میشود. عدد نرمال
در ریاضیات، عدد نرمال () عددی حقیقی است که دنبالهٔ نامتناهی ارقام آن در هر مبنای عدد صحیح مثبت formula_1 به شکلی همگن توزیع شده باشد، یعنی هر ارزش رقمی formula_1 تراکم طبیعی formula_3 داشته باشد و همچنین همهٔ جفت رقم‌های ممکن formula_4 تراکم طبیعی formula_5، همهٔ formula_6 تراکم طبیعی formula_7 و … داشته باشند. به عبارت ساده‌تر هیچ رقم یا ترکیب متناهی از ارقامی بیشتر از بقیه روی ندهد و این امر چه در مبنای ۱۰ و چه در مبناهای دیگر صدق کند. می‌توان ثابت کرد که تقریباً همهٔ اعداد حقیقی نرمال هستند. باور بر آن است که اعدادی مثل ریشه دوم ۲، عدد پی، و عدد e هم نرمال هستند، ولی هنوز اثباتی برای نرمال بودن این اعداد در دست نیست. ۳ (عدد)
۳ یا سه، عددی در اعداد طبیعی و سومین عدد از اعداد طبیعی یک رقمی می‌باشد. عدد سه ، چهارمین عدد حسابی می باشد.این عدد در مجموعه اعداد اول جای دارد. ریاضیات
با پیشرفت دستگاه اعداد، اعداد صحیح به عنوان زیر مجموعه ای از اعداد گویا ("کسر ها") شناخته شدند. خود اعداد گویا زیر مجموعهٔ اعداد حقیقی می‌باشند که از آن‌ها برای نمایش مفهوم کمیت‌های پیوسته استفاده شده‌است. خود اعداد حقیقی زیر مجموعهٔ اعداد مختلط اند. این‌ها اولین قدم‌ها در سلسله مراتب اعداد است که شامل چهارگان‌ها و هشتگان‌ها باشد. با در نظر گرفتن اعداد طبیعی، می‌توان به اعداد ترامتناهی رسید که مفهوم "بی نهایت" بودن را صوری می‌کنند. بر اساس قضیه بنیادی جبر، تمام جواب‌های چند جمله ای‌های تک متغیره با ضرایب مختلط، صرف نظر از درجه‌شان مختلط هستند. یکی دیگر از قلمروهای مطالعاتی مربوط به اندازه مجموعه‌ها می‌شود، که در اعداد کاردینال توصیف گشته‌اند. مثل اعداد الف که امکان مقایسهٔ مجموعه‌های نامتناهی را با هم می‌دهند. ۰٫۹۹۹…
از آنجا که مسئله ۰٫۹۹۹… در پیشرفت رایج ریاضی نقشی ندارد، می‌توان اثبات آن را به عهده قضایای استاندارد آنالیز حقیقی موکول کرد. نیاز ما مشخص کردن اعداد حقیقی است که می‌توان به شکل اعشار نشان داد، که شامل یک علامت اختیاری، دنباله محدودی از اعداد که جزء صحیح آن را نمایش می‌دهند، یک علامت اعشار، و دنباله‌ای از اعداد که بخش اعشاری را نشان می‌دهند. برای عدد ۰٫۹۹۹… بخش صحیح را با عبارت "b" نشان می‌دهند، که این عدد می‌تواند منفی نیز باشد، شکل کلی آن به صورت زیر است: عدد لیوویل
عدد لیوویل را می‌توان به نسبت دقیقی با استفاده از دنباله از اعداد گویا تقریب زد. در ۱۸۴۴، ژوزف لیوویل ثابت کرد که همهٔ اعداد لیوویل اعداد متعالی هستند و اینگونه برای بار اول وجود اعداد متعالی را نشان داد. توابع جزء صحیح و سقف
در ریاضیات و علوم کامپیوتر دو تابع «جزء صحیح یا کف (یا براکت)» و «سقف» توابعی هستند که به ترتیب هر مقدار حقیقی که به آن‌ها داده شود را به بزرگترین عدد صحیح کوچکتر (یا مساوی) و کوچکترین عدد صحیح بزرگتر (یا مساوی) گرد می‌کنند. به عبارت دیگر تابع جزء صحیح که به صورت formula_1 نمایش داده می‌شود به بزرگترین عدد صحیح قبل از آن گرد می‌کند یعنی به طور مثال ۲٫۶ را به ۲ و ۳٫۴- را به ۴- گرد می‌کند اما تابع سقف که به صورت formula_2 نمایش داده می‌شود به کوچکترین عدد صحیح بعد از آن گرد می‌کند یعنی ۲٫۶ را به ۳ و ۳٫۴- را به ۳- گرد می‌کند. کدنویسی امن
سرریز عدد صحیح زمانی اتفاق می‌افتد که عملیات محاسباتی یک عدد صحیح که در فضای موجود نمایش داده می‌شود بسیار بزرگ باشد. برنامه ای که به درستی برای سرریز عدد صحیح بررسی نمی‌شود، اشکالات و سوء استفاده‌های نرم‌افزاری بالقوه را به همراه دارد. عدد صحیح
این مجموعه شامل اعداد مثبت و صفر و اعداد منفی است. در ریاضیات، معمولاً این مجموعه را با Z یا formula_1 (یونی کد U+2124 ℤ) (ابتدای کلمهٔ آلمانی Zahlen ( به معنی اعداد) نشان می‌دهند. همانند مجموعهٔ اعداد طبیعی، مجموعهٔ اعداد صحیح نیز یک مجموعهٔ نامتناهی‌ست. حوزه صحیح
در ریاضیات، بخصوص در جبر مجرد، حوزه صحیح (یا قلمرو صحیح)، حلقه جابجایی ناصفری است که در آن ضرب هر دو عنصر ناصفر، ناصفر شود. حوزه های صحیح، تعمیم حلقه اعداد صحیح بوده و بستری طبیعی برای مطالعه تقسیم پذیری را فراهم می آورند. در حوزه صحیح، هر عنصر ناصفر formula_1 دارای خاصیت حذف است، یعنی اگر formula_2، از برابری formula_3 نتیجه می شود formula_4. زبان عربی
اعداد اصلی عددهایی هستند که نشان دهنده تعداد و کثرت معدود هستند. برخلاف اعداد ترتیبی که نشان دهنده ترتیب و جایگاه معدود هستند.