مساحت مثلث چگونه محاسبه می شود؟
ارتفاع (مثلث)
از ارتفاع در محاسبهٔ مساحت مثلث استفاده می‌شود که برابر است با نصف حاصل ضرب طول ارتفاع در قاعدهٔ آن. در نتیجه بلندترین ارتفاع به کوتاه‌ترین قاعدهٔ مثلث عمود می‌شود. ارتفاع مثلث به مبحث توابع مثلثاتی نیز مرتبط است. یکی از ارتفاع‌های مثلث منفرجه، بیرون شکل است مثلث
مساحت یک مثلث برابر یک دوم طول یک ضلع، ضرب در طول ارتفاع وارد بر آن، یعنی فاصله رأس سوم تا خط شامل ضلع انتخاب‌شده، است. مساحت مثلث را از رابطه زیر به دست می‌آورند: ۲ ÷ (قاعده × ارتفاع) = مساحت مثلث
مساحت دایره
اگر فرض را بر این باشد که دایره به تعداد بی‌شمار قطاع مساوی مساوی تقسیم شده‌است، آن گاه شکل حاصل متوازی‌الأضلاعی خواهد بود که به مستطیل خیلی نزدیک است. با دانستن اینکه مساحت این متوازی‌الأضلاع با دایرهٔ مفروض برابر است، با ضرب کردن ارتفاع متوازی‌الأضلاع (که همان شعاع دایره است) در ضلع بزرگ متوازی‌الأضلاع مساحت دایره به دست می‌آید. قابل توجه است که اضلاع بزرگ متوازی‌الأضلاع همان کمان‌های نظیر قطاع‌ها را تشکیل می‌دهند؛ پس می‌شود گفت که هر ضلع بزرگ متوازی‌الأضلاع برابر با نصف محیط دایرهٔ مفروض خواهد بود؛ یعنی اندازهٔ آن formula_2 خواهد بود. اندازهٔ ضلع کوچک متوازی‌الأضلاع هم که formula_3 (شعاع دایره) است، پس مساحت دایره formula_4 خواهد بود. این اثبات را می‌توان با استفاده از مختصات قطبی به شکل صوری زیر نوشت: مثلثات
با استفاده از قانون کسینوس‌ها در هر مثلث دلخواه، با معلوم بودن اندازه دو ضلع و زاویه میان آن‌ها، اندازه ضلع سوم به صورت زیر تعیین می‌شود: تاریخ مثلثات
هرچند که زمان آغاز استفاده از دایره °۳۶۰ در ریاضیات مشخص نیست، ولی می‌دانیم که دایره °۳۶۰ مدت کوتاهی پس از آن که آریستارخوس ساموسی مقاله در اندازه‌ها و فاصله‌های خورشید و ماه را نوشت، به ریاضیات معرفی شد. زیرا او زاویه را برحسب نسبتی از ربع دایره، اندازه‌گیری کرد. به نظر می‌رسد که استفاده عملی از دایره °۳۶۰ بسیار تحت تأثیر جدول وترهای ابرخس بوده‌است. ممکن است که ابرخس ایده این تقسیم‌بندی را از هیپسیکلس که پیشتر روز را به ۳۶۰ بخش، تقسیم کرده‌بود گرفته باشد. این تقسیم‌بندی روز احتمالاً توسط ستاره‌شناسان بابلی پیشنهاد شده‌است. منلائوس اسکندریه سه کتاب اسفریکا را نوشت. در نخستین کتاب، بر پایه مثلثات صفحه‌ای اقلیدس، پایه‌ای برای مثلثات کروی قرار داد. او قضیه‌ای را که متناظر اقلیدسی ندارد، به این صورت برقرار نمود که دو مثلث کروی متجانس هستند، اگر زاویه‌های متناظر آن‌ها برابر باشند. ولی او بین مثلث‌های کروی متجانس و متقارن، تفاوتی قائل نشد. قضیه دیگر او، این است که جمع زاویه‌های یک مثلث کروی، از °۱۸۰ درجه بیشتر است. کتاب دوم اسفریکا هندسه کروی را در ستاره‌شناسی اعمال می‌کند و کتاب سوم، شامل قضیه منلائوس است. او بعدتر قانون مشهور شش مقدار را ارائه کرد. نوزده‌ضلعی
یک نوزده‌ضلعی منتظم دارای ضلع‌ها و زاویه‌های داخلی برابر است. اندازهٔ زاویه‌های داخلی هر رأس آن، در حدود ۱۶۱٫۰۵ درجه بوده و مساحت آن با استفاده از رابطهٔ زیر محاسبه می‌شود: بیضی
مساحت بیضی برابر است با: که در آن formula_1 و formula_2 به‌ترتیب نیم‌قطر بزرگ و نیم‌قطر کوچکند. فرمول مساحت بیضی را به‌سادگی می‌توان از فرمول مساحت دایره‌ای به شعاع formula_2 (یعنی formula_144) بدست آورد. اگر دایره از یک طرف به نسبت formula_145 کشیده شود، مساحت آن با در همین نسبت ضرب می‌شود: formula_146. گنبد مثلثی
در یک گنبد مثلثی با ارتفاع h و طول ضلع a و مساحت کل A و حجم V همواره روابط زیر برقرارند: دایره
مساحت دایره بر اساس محیط و شعاع آن تعیین می‌شود. اگر یک دایرهٔ مفروض به چهار قطاع مساوی تقسیم شود: بیست‌ضلعی
یک بیست‌ضلعی منتظم دارای ضلع‌ها و زاویه‌های داخلی برابر است. اندازهٔ زاویه‌های داخلی هر رأس آن، ۱۶۲ درجه بوده و مساحت آن با استفاده از رابطهٔ زیر محاسبه می‌شود: اندازه‌های دایره
مساحت دایره برابر است با حاصلضرب مساحت مربعی که ضلعش برابر شعاع دایره است در نسبت محیط دایره به قطر آن. چهارضلعی
اگر بخواهیم سطح یک چهارضلعی را محاسبه کنیم قطرهای آن را رسم می‌کنیم. چهارضلعی به دو مثلث تجزیه می‌شود. حال سطح این دو مثلث را محاسبه میکنیم ثابت کرده‌اند که اگر "d" «'d» طولهای دو قطر و a زاویه بینشان باشد سطح چهارضلعی مساوی است با: a nis' dd ۱۲ و نیز مجموع مجذورات چهار ضلع یک چهارضلعی مساوی است با: مجموع مجذورات اقطار و در ضمن چهار برابر مجذور خطی است که نقاط اوساط قطرها را وصل کند. سیزده‌ضلعی
یک سیزده‌ضلعی منتظم دارای ضلع‌ها و زاویه‌های داخلی برابر است. اندازهٔ زاویه‌های داخلی هر رأس آن، در حدود ۱۵۲٫۳ درجه بوده و مساحت آن با استفاده از رابطهٔ زیر محاسبه می‌شود (طول ضلع = formula_1): دایره واحد
دایره واحد، دایره‌ای به شعاع واحد است. معمولاً و به خصوص در مثلثات، دایرهٔ واحد دایره‌ای است با شعاعی به طول ۱ که مرکز آن نقطهٔ (۰،۰) در دستگاه مختصات دکارتی در صفحه اقلیدسی است. با استفاده از این دایره‌ی ساده می‌توان نسبت‌های مثلثاتی را به بدست آورد. عدد مثلثی
اگر هر دو عدد پشت سرهم در سری اعداد مثلثی را با هم جمع کنیم حاصل جمع یک عدد مربع می‌شود. مثلاً" ۴=۳+۱ یا ۹=۶+۳ یا ۱۶=۱۰+۶ و ... مثلث (ساز)
مثلث نوعی ساز کوبه‌ای است. این ساز یک سه‌ضلعی فلزی است که یک رأس آن باز است و با نواختن میلهٔ فلزی دیگری بر روی بدنهٔ آن، صدایی موسیقایی تولید می‌شود. این ساز در ارکستر سمفونیک با دیگر سازهای کوبه‌ای همراهی می‌کند. مساحت دایره
مساحت دایره بر اساس محیط و شعاع آن تعیین می‌شود. اگر یک دایرهٔ مفروض به چهار قطاع مساوی تقسیم شود: مثلث
در رابطهٔ فوق S=مساحت، b=قاعده، و h=ارتفاع محسوب می‌شود. مساحت مثلث را با انتخاب هرکدام از ارتفاع‌های آن بیابیم، حاصل یک عدد یکسان خواهد بود. مثلثات
ساده‌ترین کاربرد مثلثات در مثلث قائم‌الزاویه است. هر شکل هندسی دیگری را نیز می‌توان به مجموعه‌ای از مثلث‌های قائم‌الزاویه تبدیل کرد. شکل خاصی از مثلثات، مثلثات کروی است که برای مطالعه‌ی مثلثات روی سطوح کروی و منحنی به کار می‌رود. فرمول هاورسین
با توجه به یک کره واحد، یک «مثلث» روی سطح کره با دایره‌های بزرگی که سه نقطه , و روی کره به هم وصل می‌کنند، تعریف می‌شود. اگر طول این سه ضلع (از تا )، (از تا ) و (از به ) باشد و زاویه گوشه مقابل ضلع باشد، قانون هاورسین‌ها بیان می‌کند. فرمول هرون
در اینجا،p برابر نصف محیط مثلث، و a و b و c برابر اضلاع مثلث و S نشانه مساحت مثلث می‌باشند. هلال (ریاضیات)
اگر میخواهید که فرمولی کلی تر برای محاسبه این شکل داشته باشید میتوانید از فرمول زیر استفاده کنید.مثلا برای محاسبه مساحت هلال در شکل پایین، وسط ابتدا باید مرکز دو دایره را رسم کرد و سپس از مرکز به نقاط تقاطع دو دایره پاره خط رسم کرد به گونه ای که یک لوزی تشکیل شود.بعد مساحت لوزی را محاسبه میکنیم و بعد مساحت قطاع بزرگ تر یکی از دایره ها را محاسبه میکنیم و ضرب در دو میکنیم و در اخر هم مساحت لوزی را با ۲ برابر مساحت قطاع ها جمع میکنیم و حاصل را منهای مساحت یکی از دایره ها میکنیم.(البته میتوان از فرمول مذکور برای۳ شکل پایین عکس استفاده کرد) مثلث قائم‌الزاویه
محیط مثلث برابر است با مجموع اضلاع مساحت مثلث برابر است با (قاعده×ارتفاع÷۲) دوازده‌ضلعی
یک دوازده‌ضلعی منتظم دارای ضلع‌ها و زاویه‌های داخلی برابر است. اندازهٔ زاویه‌های داخلی هر رأس آن، ۱۵۰ درجه بوده و مساحت آن با استفاده از رابطهٔ زیر محاسبه می‌شود: یا اگر "R" شعاع دایره محیطی دوازده‌ضلعی منتظم باشد، و اگر "r" شعاع دایره محاطی آن باشد، یک فرمول ساده برای مساحت دوازده‌ضلعی منتظم به صورت formula_4 است، که formula_5 فاصلهٔ بین اضلاع موازی است که برابر با قطر دایره محاطی (formula_6) است. با استفاده از روابط مثلثاتی، رابطهٔ formula_7 بدست می‌آید. مکعب
مُکَعَّب به حجم بسته سه بعدی گویند که از ۶ مربع برابر تشکیل شده باشد. به صورتی که هر ضلع هریک از مربع‌ها با تنها یک مربع دیگر مشترک باشد و در رأس‌ها سه مربع با یکدیگر در ارتباط هستند. مکعب را می‌توان یک شش وجهی منظم نامید و یکی از پنج جسم افلاطونی است. اگر همه یا برخی از وجوه یک مکعب را از مربع به مستطیل تغییر بدهیم، شش وجهی به وجود آمده مکعب مستطیل نامیده می‌شود. گاه برای تمایز با مکعب مستطیل، مکعب (با وجوه مربع) را مکعب مربع نیز ممکن است بنامند؛ و حجم آن برابر است با مساحت قاعده در ارتفاع. مساحت گسترده مکعب مساوی است با (ضلع×ضلع)×۶. تابع مثلثی
formula_3 تربیع دایره
روش‌هایی برای تقریب مساحت یک دایره معین با یک مربع، که می‌توان آن را به‌عنوان مسئله‌ای اولیه برای تربیع دایره در نظر گرفت، قبلاً برای ریاضیدانان بابلی مطرح بود. پاپیروس رایند مصری( مورخ 1800قبل‌ازمیلاد) مساحت یک دایره را عنوان می کند:  که قطر دایره است. در اصطلاح مدرن، معادل تقریب به (تقریباً 3.1605)، عددی است که در پاپیروس قدیمی‌تر، پاپیروس مسکو ،ظاهر شده و برای تقریب حجم استفاده می‌شده‌است (یعنی هکات(واحد حجم) ). ریاضیدانان هندی نیز روشی تقریبی پیدا کردند که البته در "شولبا سوتراه" "ثبت شده‌است". ارشمیدس اثبات کرد فرمول مساحت یک دایره که در آن شعاع دایره است و مقدار را بین (تقریباً 3.1429) و (تقریباً 3.1408) درنظر گرفت. برای اطلاعات بیشتر در مورد تاریخچه، تقریب عددی مقدار را ببینید. دایره
از اشتراک سه قرص دایره با شعاع مساوی که مرکز هر کدام در نقطهٔ تقاطع دو تای دیگری قرار گرفته باشد مثلث رولو حاصل می‌شود. مثلث رولو حداقل مساحت برای عرض معین در میان منحنی‌هایی با عرض ثابت را دارد. مساحت مثلث رولو ساخته‌شده از دوایری با شعاع formula_9 عبات است از: مثلث رولو می‌تواند در داخل یک مربع بچرخد. قضیه فیثاغورس
اثبات دوم با استفاده از نگارهٔ پویای میانی است. مربع بزرگ اول، مساحتی برابر با "c" دارد با کنار هم قرار دادن چهار مثلث راست‌گوشهٔ یکسان و به دلیل اختلاف طول ضلع مثلث‌ها، یک مربع کوچک میان آن‌ها و در مرکز مربع بزرگ باقی می‌ماند. اگر یک بار دیگر نگاه کنیم می‌بینیم که با جابجایی مثلث‌ها، دو مستطیل با ضلع‌های "a" و "b" تشکیل شده‌است. با ادغام مربع کوچک میانی با یکی از مستطیل‌ها، دو مستطیل به دو مربع تبدیل خواهد شد و مساحت هریک از آن‌ها برابر با "a" و "b" خواهد بود؛ بنابراین است. دایره
اگر فرض را بر این باشد که دایره به تعداد بی‌شمار قطاع مساوی مساوی تقسیم شده‌است، آن گاه شکل حاصل متوازی‌الاضلاعی خواهد بود که به مستطیل خیلی نزدیک است. با دانستن اینکه مساحت این متوازی‌الاضلاع با دایرهٔ مفروض برابر است، با ضرب کردن ارتفاع متوازی‌الاضلاع (که همان شعاع دایره است) در ضلع بزرگ متوازی‌الاضلاع مساحت دایره به دست می‌آید. قابل توجه است که اضلاع بزرگ متوازی‌الاضلاع همان کمان‌های نظیر قطاع‌ها را تشکیل می‌دهند؛ پس می‌شود گفت که هر ضلع بزرگ متوازی‌الاضلاع برابر با نصف محیط دایرهٔ مفروض خواهد بود؛ یعنی اندازهٔ آن formula_36 خواهد بود. اندازهٔ ضلع کوچک متوازی‌الاضلاع هم که formula_9 (شعاع دایره) است، پس مساحت دایره formula_38 خواهد بود. این اثبات را می‌توان با استفاده از مختصات قطبی به شکل صوری زیر نوشت: قانون کتانژانت‌ها
با استفاده از نام‌گذاری متداول برای مثلث (مانند شکل روبرو) که "a و b و c" ضلع‌ها، "A و B و C" رأس‌ها و "α و β و γ" زاویه‌های مثلث، "s" نصف محیط مثلث (که مقدار آن برابر "s = (a+b+c)/2" است) و "r" شعاع دایره محاطی هستند، قانون کتانژانت‌ها به صورت زیر بیان می‌شود: تربیع دایره
البته می‌توان مربعی با مساحت دلخواه نزدیک به دایره ترسیم‌کرد. اگر یک عدد گویا به عنوان تقریبی از داده شود، بسته به مقادیر انتخاب شده، تربیع دایره ممکن می‌شود. با این حال، این فقط یک تقریب است و محدودیت های قوانین باستانی برای حل مشکل را ارضاء نمی‌کند. چندین ریاضیدان الگوریتم‌های قابل اجرا بر اساس تقریب‌های مختلف را نشان داده‌اند. مثلث
محیط مثلث را از رابطه زیر به دست می‌آورند: مجموع سه ضلع = محیط مثلث مثلثات
تابع‌های مثلثاتی برای زاویه‌های بزرگتر از ۳۶۰ درجه (۲π) و کوچکتر از صفر درجه نیز تعریف می‌شوند. برای هر زاویه 'θ مقدار تابع، برابر با مقدار تابع برای زاویه θ درون دایره (۰تابع وارون در بازه مشخصی که شرط یک به یک بودن تابع برقرار باشد، تعریف می‌شود. این تابع‌ها متناظر با تابع اصلی، آرک‌سینوس، آرک‌کسینوس و آرک‌تانژانت نامیده می‌شوند.بعضی از رابطه‌های مثلثاتی برای همه زاویه‌ها بر قرار هستند که به این رابطه‌ها، اتحاد مثلثاتی گفته می‌شود. از جمله، برخی از این اتحادها در تعیین مشخصات مثلث (مانند مساحت و شعاع دایره محیطی) کاربرد دارند و برخی برای محاسبه تابع‌های مثلثاتی برای مجموع یا تفاضل دو زاویه مورد استفاده قرار می‌گیرند. توابع مثلثاتی
مثلثات، پایهٔ بیشتر شیوه‌های نقشه‌برداری است. زاویه‌یابی با دستگاه یا بدون دستگاه، امتدادیابی با روش ژیزمان، سیستم تصویر برای تبدیل تصویر از سطح بیضوی به سطح مستوی، ارتفاع‌یابی با دستگاه ترازیاب، پیمایش باز و بسته، طراحی قوس‌ها در راهسازی و تبدیل‌های دوبعدی در نقشه‌برداری هوایی، بخشی از کاربردهای توابع مثلثاتی در نقشه‌برداری هستند. هزارضلعی
یک هزارضلعی منتظم دارای ضلع‌ها و زاویه‌های داخلی برابر است. اندازهٔ زاویه‌های داخلی هر رأس آن، ۱۷۹٫۶۴ درجه بوده و مساحت آن با استفاده از رابطهٔ زیر محاسبه می‌شود: نتیجه با مساحت دایره محیطی تنها ۰٫۰۰۰۴٪ اختلاف دارد. مساحت دایره
همچنین می‌توان با پیدا کردن انتگرال دو گانهٔ تابع ثابت ۱ روی ناحیهٔ دایره مساحت آن را حساب کرد: قضیه فیثاغورس
خلاصهٔ اثباتی که در کتاب اصول هندسهٔ اقلیدس نوشته شده چنین است: مربع بزرگ را به دو مستطیل سمت چپ و سمت راست تقسیم می‌کنیم. یک مثلث ساخته شده‌است که مساحتش نصف مساحت مستطیل سمت چپ است. سپس یک مثلث دیگر ساخته می‌شود که مساحتش نصف مساحت مربع سمت چپ است. می‌توان نشان داد که این دو مثلث با یکدیگر مساوی‌اند در نتیجه مساحت مربع با مساحت مستطیل سمت چپ برابر است. به دلیل مشابه، مطلب گفته شده برای مستطیل سمت راست و مربع دیگر نیز برقرار است. اگر دو مستطیل را کنار هم قرار دهیم تا یک مربع روی وتر مثلث تشکیل دهند، می‌بینیم که مساحت مربع بزرگ (مربعی که روی وتر تشکیل شد) با مجموع مساحت‌های دو مربع دیگر برابر است. جزئیات این مطلب در ادامه گفته شده‌است. مثلث
با دانستن خصوصیات بعضی از خطوط مانند ارتفاع یا عمود منصف یا میانه می‌توانیم به نتایج جالبی دست پیدا کنیم. برخی از این نتایج را بیان می‌کنیم: اگر بر سه ضلع مثلث خطوطی را عمود می‌کنیم به‌طوری‌که این خطوط اضلاع را نصف نمایند. (در واقع عمود منصف اضلاع را رسم کنیم) در این صورت محل برخورد این سه خط، مرکز دایره‌ای خواهد بود که مثلث را احاطه می‌کند. به این دایره، دایره محیطی گویند. این دایره طوری رسم می‌شود که از سه راس مثلث عبور کند. طبق قضیه فیثاغورث اگر مرکز دایره محیطی روی یکی از اضلاع قرار گیرد آنگاه زاویه مقابل آن ضلع قائم خواهد بود. به عبارتی دیگر مثلث ما قائم الزاویه خواهد بود. اگر مرکز دایره درون مثلث باشد، مثلث ما یک مثلث حاده الزاویه خواهد بود و اگر بیرون مثلث باشد، مثلث از نوع منفرجه الزاویه خواهد بود. ساخت با خط‌کش و پرگار
تثلیث زاویه سومین مسئلهٔ بزرگ کهن ریاضی است و هدف آن تقسیم زاویه به سه قسمت مساوی با خط‌کش و پرگار است. پیر ونزل در ۱۸۳۷ نشان داد که این مسئله جوابی ندارد. ترسیم میل مثلثات کروی
مثلثات کروی علمی است که به بررسی روابط بین زاویه‌‌ها و اضلاع یک مثلث کروی (در هندسه نااقلیدسی) می‌پردازد. مثلثات کروی شاخه‌ای از هندسه کروی است که با توجه به روابط بین توابع مثلثاتی دو طرف و زوایای چند ضلعی کروی (به ویژه مثلث کروی)؛ محدود شده توسط تعدادی از دایره‌های بزرگ، در کره را بررسی می‌کند. کاربرد عملی مثلثات کروی در محاسبه‌ها و براوردها در نجوم رصدی، زمین‌شناسی و ناوبری، و نیز قبله یابی، بسیار مهم است. دایره
تثلیث زاویه و تضعیف مکعب (یا «مسئلهٔ دلوسی») نیز دو مسئله کهن دیگر ترسیم با خط‌کش و پرگارند که هدف اولی تقسیم زاویه به سه قسمت مساوی است و هدف دومی ترسیم مکعبی که حجم آن دو برابر حجم مکعبی مفروض (هر ضلع آن formula_89 برابر ضلع مکعب مفروض) باشد. ترسیم هفت‌ضلعی منتظم با استفاده از خط‌کش و پرگار (یا تقسیم دایره به هفت کمان مساوی، موسوم به تسبیع دایره هم از مسائلی است که به‌ویژه دانشمندان عصر طلایی اسلام را به خود مشغول داشته بود. در سال ۱۷۸۶ کارل فریدریش گاوس گاوس نشان داد که هفت کوچکترین عدد ترسیم‌ناپذیر است و نمی‌توان هفت‌ضلعی منتظم را با پرگار و خط‌کش ترسیم کرد. مثلث سرعت
سه بردار formula_2 و formula_1 و formula_10 تشکیل مثلثی میدهند که آن را مثلث سرعتها در نقطه p و در لحظه t مینامند. اگر جریان در چرخ دائمی باشد، مثلث سرعتها در نقطه p بستگی به زمان ندارد و ثابت خواهد بود. به‌طور قراردادی، زاویه بین بردارهای formula_2 و formula_10 را با α و زاویه بین formula_1 و جهت مخالف formula_2 را با β نشان میدهند. در رسم مثلث سرعتها سرعت محیطی چرخ توربوماشین، formula_2 ، به عنوان قاعده مثلث انتخاب میشود . قضیه فیثاغورس
در نگارهٔ پویای سمت چپ، مساحت کل و مساحت مثلث‌ها همگی ثابت است؛ بنابراین، مساحت کل ناحیهٔ سیاه رنگ، ثابت است. اما ناحیهٔ اصلی سیاه رنگ با ضلع "c" را می‌توان به دو مربع با ضلع‌های "a" و "b" تقسیم کرد و نشان داد که: هشت‌ضلعی
یک هشت‌ضلعی منتظم دارای ضلع‌های و زاویه‌های داخلی برابر است. این شکل دارای هشت خط برای تقارن بازتابی و تفارن چرخشی (انتقال) است. اندازهٔ زاویه‌های داخلی هر راس آن ۱۳۵° است و اندازهٔ مجموع زاویه‌های داخلی آن ۱۰۸۰ درجه می‌باشد (این مقدار برای همهٔ هشت‌ضلعی‌ها صادق است.). مساحت یک هشت‌ضلعی منتظم با روش زیر محاسبه می‌شود. اگر از شعاع دایرهٔ محیطی استفاده شود: و اگر از شعاع formula_3 دایرهٔ محاطی استفاده شود: مساحت
با این اصل می‌توان اثبات ریاضی کرد که مساحت مربعی به ازای هر طولی در دسته اعداد حقیقی؛ با مجذور طول آن ضلع برابر است. برای اثبات این مسئله ریاضی باید یک بار طول ضلع مربع را یک عدد طبیعی بگیرید. سپس ثابت کنید می‌توانیم n² تا مربع به طول ضلع ۱ در این شکل قرار دهیم. سپس طول ضلع را یک عدد گویا بیان می‌کنیم مانند ۱/۲ (یک و دو دهم). بعد ثابت می‌کنید در مربعی به طول ضلع ۱ می‌توان ۲ تا از این مربع‌ها قرار داد. پس در بازه اعداد گویا هم مساحت مربع برابر است با n². بعد باید به سراغ اعداد گنگ برویم مانند رادیکال ۲. اینجا ۲ دنباله صعودی و نزولی تعریف می‌کنید که دنباله صعودی از رادیکال ۲ بزرگ‌تر و یکی دیگر از دنباله‌های کوچک‌تر. (دقت کنید ریاضی‌دان‌ها ابتدا قبل از این کار اثبات می‌کنند عدد رادیکال ۲ وجود دارد. اول تعریف رادیکال ۲ را می‌گویند که هست: عددی که ضربدر خودش می‌شود ۲، سپس ثابت می‌کنند این عدد وجود دارد! سپس حاصل‌ضرب دو عضو این دنباله رو که کمترین اختلاف رو دارند در نظر می‌گیریم. سپس اختلاف این دو دنباله رو کم می‌کنیم (تفریق) طوری که خیلی نزدیک به مساحت مربعی به اندازه ۲ واحد می‌شویم. اینجا با استفاده از قضیه‌های حد (که اثبات دارند) استفاده می‌کنیم و می‌فهمیم باز هم مساحت مربع شده‌است مجذور طول ضلع آن. بعد از اثبات مساحت مربع به همین ترتیب مساحت مستطیل را اثبات می‌کنیم که کمی ساده‌تر است و سپس مثلث و شکل‌های دیگر به همین ترتیب هستند. توابع مثلثاتی
بر پایه قضیهٔ تشابه هندسی، اگر دو مثلث دارای زاویه‌های برابر باشند، نسبت ضلع‌هایشان با یکدیگر برابر است. در نتیجه، توابع مثلثاتی که نسبت میان ضلع‌های مثلث را نشان می‌دهند، وابسته به اندازهٔ ضلع‌ها نیستند و مقدار آن‌ها با تغییر اندازهٔ ضلع‌ها تغییر نمی‌کند. مثلث‌بندی دیلانی
آسان‌ترین‌ترین راه برای محاسبه کارامد تثلیث دیلانی افزودن مکرر راس در یک زمان و تثلیث مجدد قسمت‌های تغییر یافته گراف است. وقتی یک راس v اضافه می‌شود ما مثلث شامل v را به سه قسمت تقسیم می‌کنیم سپس الگوریتم چرخاندن را اعمال می‌کنیم اگر اینکار به صورت اشتباه انجام شود از (O(n مرتبه زمان میبرد. ما بین تمام مثلث‌ها جستجو کرده تا v را پیدا کنیم سپس هر مثلث را یکبار میچرخانیم پس زمان اجرا کلی از اردر (O("n" است . اگر ما راس‌هایی به صورت تصادفی وارد کنیم معلوم می‌شود (با شواهد پیچیده) که هر ورود به‌طور متوسط فقط (O(1 مثلث را میچرخاند - با و جود اینکه امکان دارد گاهی اوقات تعداد بیشتری را بچرخاند. این هنوز زمان یافتن مکان نقطه را قابل بهبود می‌گذارد . ما می‌توانیم تاریخچه تقسیم‌ها و چرخاندن‌های انجام شده را ذخیره کنیم: هر مثلث یک اشاره گر به دو یا سه مثلث که جایگزین آن شده‌اند را ذخیره می‌کند . برای یافتن مثلثی که v را در بر دارد ما از مثلث پایه شروع می‌کنیم و اشاره‌گری که به مثلث شامل v اشاره می‌کند را  دنبال می‌کنیم تا جایی که به مثلثی برسیم که هنوز جایگزین نشده‌است به‌طور متوسط این عملیات (O(log n زمان می‌برد . برای تمام رأس‌ها این عملیات ازین (O(n logn زمان می‌برد . در حینی که این تکنیک به ابعاد بالاتر تعمیم می یابد (همانطور که توسط ادلزبرونر و شاح ثابت شده) ) زمان اجرا می‌تواند نسبت به بعد نمایی رشد کند اگر تثلیث دیلانی نهایی کوچک باشد. الگوریتم بویر واتسون یک رویکرد ساختار افزایشی دیگر را ارائه می‌دهد این رویکرد جایگزینی برای ضلع چرخان برای محاسبهٔ مثلث‌های دیلانی شامل یک راس تازه وارد شده می‌باشد. الگوریتم تبدیل به زیر مسئله ها برای تثلیث‌ها در ابعاد دو توسط لیی و شاختر ابداع شد و توسط گی باس و استولفی بهبود داده شد و بعدها توسط دویر. در این الگوریتم مکرراً خطی برای تقسیم رأس‌ها به دو مجموعه رسم می‌شود. تثلیث دیلانی برای هر مجموعه محاسبه می‌شود و سپس دو مجموعه در طول خط تقسیم ترکیب می‌شوند با استفاده چند شگرد هوشمندانه عملیات ترکیب می‌تواند در زمان (O(n انجام شود بنابراین زمان اجرا کل این (O(n logn است برای گونه خاصی مشخصی از مجموعه نقاط از قبیل توزیع یکنواخت تصادفی با انتخاب هوشمند خطوط تقسیم زمان مورده انتظار می‌تواند به (O(nlog logn کاهش یابد در حالی که هنوز اجرای بدترین حالت را در اختیار دارد.  الگوریتم تبدیل به زیر مسئله‌ها برای اجرای یک تثلیث در d بعد در قالب "دی وال : یک الگوریتم سریع تقسیم وغلبه تثلیث دیلانی در E"" توسط سیگنونی و منتانی و اسکوپینو ارائه شده‌است تقسیم و غلبه نشان داده که سریع‌ترین تکنیک تولید DT است.  الگوریتم شانس از تکنیک خط جاروب برای رسیدن به زمان اجرا (O(n logn در حالت صفحه‌ای استفاده می‌کنند.  پوش جاروب یک تکنیک ترکیبی برای تثلیث دیلانی دو بعدی است که از یک جاروب تکثیر شعاعی (به ترتیب به وجود امده از مجموعه نقاط دو بعدی مرتب شده با فرض تثلیث بدون تداخل ) استفاده می‌کند که با یک قدم چرخاندن مثلث مکرر تزویج شده‌است . همچنین یک متغیر منطقی صحیح دقیق برای الگوریتم ارائه می‌شود. درخت پوشای حداقل اقلیدسی یک مجموعه‌ای از نقطه‌ها زیرمجموعه‌ای از تثلیث دیلانی همان نقاط می‌باشد و این می‌تواند در کارایی محاسبات استفاده شود. تثلیث دیلانی برای مدل‌سازی زمینه و اشیای دیگر که به عنوان مجموعه‌ای از نقاط داده شده‌اند یک مجموعهٔ خوبی از مثلث‌ها را می‌دهد که می‌تواند به عنوان چند ضلعی در مدل استفاده شود. به‌طور خاص تثلیث دیلانی سعی دارد از مثلث‌های باریک استفاده نکند(که آن‌ها درمقایسه با مساحت شان دایره محیطی‌های بزرگی دارند). تثلیث دیلانی می‌تواند برای مشخص کردن چگالی یا شدت نقاط در مدل‌سازی نقاط به معنی Delaunay tessellation field estimator استفاده شوند. تثلیث دیلانی به دلیل تضمین زاویه و به دلیل الگوریتم‌های مثلث بندی سریع توسعه یافته اغلب مورد استفاده برای ایجاد شبکه برای حل فضای گسسته مانند روش المان محدود و روش حجم محدود که از روش‌های شبیه‌سازی فیزیکی قرار می‌گیرند. به‌طور معمول، دامنه شبکه بندی به عنوان یک مجموعه مختلط ساده ی درشت مشخص شده‌است، برای شبکه به صورت عددی پایدار، باید آن خالص‌سازی کرد. به عنوان مثال با استفاده از الگوریتم راپرت . افزایش محبوبیت استفاده از روش المان محدود و تکنیک‌های روش المان مرزی انگیزه برای بهبود الگوریتم‌های ی درگیر به صورت خودکار را افزایش می‌دهد. با این حال، همهٔ این الگوریتم‌ها می‌توانند عناصر شبکه نامنظم و حتی غیرقابل استفاده ایجاد کند. خوشبختانه، چندین روش وجود دارد که می‌تواند یک شبکه بندی موجود را بگیرد و آن را بهبود کیفیت بدهد. به عنوان مثال، صاف کردن ( همچنین به عنوان پالایش شبکه بندی نیز نامیده می‌شود) یکی از این روش هاست، که انباشتگی‌های محل گره‌ها را به منظور به حداقل رساندن اعوجاج عنصر می‌باشد . روش شبکه کشیده اجازه می‌دهد تا نسلی از شبکه شبه منظم که با ضوابط دیلانی سنخیت دارند و راه حل‌های یک مرحله ا ی دارند رشد کنند. عدد پی
در بابل کهن بین ۱۶۰۰ تا ۱۹۰۰ سال پیش از میلاد عدد پی را به صورت = ۳٫۱۲۵ تخمین زدند. در مصر باستان نیز بین ۱۶۰۰ تا ۱۸۵۰ سال پیش از میلاد () ≈ ۳٫۱۶۰۵ برآورد کردند. عدد پی عدد پی حدود چهار هزار سال پیش نیز کشف شده بود، ولی نام خاصی برای آن تعیین نشده بود و در آن زمان نمی‌دانستند که عدد پی، عددی گنگ است. یکی از نظریه‌ها راجع به مساحت دایره بوده‌است که نمایان گر آن است عدد پی را به صورت نامحسوسی کشف کرده بودند؛ این نظریهٔ پاپیروس است که می‌گفت: اگر قطر دایره ای را به نه قسمت مساوی تقسیم کنیم و یک قسمت از آن را حذف کنیم، مربعی به ضلع آن، مساحتی برابر با مساحت آن دایره دارد. با این حساب عدد پی به صورت یک عبارت گویا و به صورت اعشاری تقریباً برابر است با "۳٫۱۶" که این عدد خیلی به عدد پی نزدیک است و دقتی تا این حد در آن زمان بسیار جالب توجه است. البته این قبل از آن است که مشخص شود عدد پی گنگ است. مقدارهای دقیق مثلثاتی
بعضی از مقدارهای مثلثاتی را می‌توان به صورت عبارت‌های جبری دقیق به دست آورد و در ساده‌کردن عبارت‌های ریاضی از آن‌ها استفاده کرد. همه مقدارهای مثلثاتی برای زاویه °۳ و همه مضرب‌های آن به صورت دقیق، قابل محاسبه است. هم‌چنین با استفاده از اتحادهای زاویه ۳ برابر، می‌توان مقدارهای مثلثاتی را برای زاویه °۱ به دست آورد. به این ترتیب، نسبت‌های مثلثاتی برای همه زاویه‌ها به دست می‌آید. مثلث
در مثلث مجموع هر دو ضلع، بزرگتر از ضلع سوم است. در مثلث هر ضلع، بزرگتر از تفاضل بین دو ضلع دیگر است. پنج‌ضلعی
مساحت یک پنج‌ضلعی منتظم از رابطهٔ زیر محاسبه می‌شود: مساحت
یکای مساحت بر پایهٔ سیستم SI متر مربع (m²) است و این یکا، برابر مساحت مربعی با ضلع یک متر است. قبله‌یابی
در روش محاسباتی با داشتن طول و عرض جغرافیایی خانه کعبه و مکان دیگر، به محاسبه زاویه بین خط واصل دو نقطه و امتداد شمال جنوب با استفاده از روابط مثلثات کروی می‌پردازند. تربیع دایره
پیدا کردن مساحت زیر یک منحنی، به عنوان مسأله انتگرال در حساب دیفرانسیل و انتگرال شناخته شده، یا به اسم مسأله مربع‌سازی در آنالیز عددی ، وقبلا از آن(مسأله انتگرال) به عنوان "تربیع"، پیش از اختراع حساب دیفرانسیل و انتگرال، یاد می‌شد. از آنجایی که تکنیک‌های حساب دیفرانسیل و انتگرال ناشناخته بودند، معمولاً فرض بر این بود که تربیع باید از طریق ساختارهای هندسی، یعنی توسط خط‌کش‌وپرگار، انجام شود. به عنوان مثال، نیوتن در سال 1676 به اولدنبورگ نوشت: "من معتقدم که لایب‌نیتس از قضیه ای که در ابتدای حرف من صفحه 4 است برای تربیع خطوط منحنی هندسی بدش نخواهد آمد." (تاکید شده است). پس از آنکه نیوتن و لایب‌نیتس حساب دیفرانسیل و انتگرال را اختراع کردند، هنوز از مسئله انتگرال به عنوان تربیع منحنی یاد می‌کردند. احتمال دو جمله‌ای
این اعداد یک مثلث تشکیل می‌دهند که به مثلث خیام-پاسکال موسوم است. هر عدد در یک سطر مثلث از جمع کردن جفت اعداد چپ و راست آن در سطر بالایی به دست می‌آید. این مثلث را تا بی‌نهایت می‌توان ادامه داد. اگر به ضرایب حاصل از بسط توان‌های طبیعی دو جمله‌ای a+b نگاه کنیم همین اعداد مو جود در مثلث فوق را می‌یابیم: نیکولو تارتالیا
فرمول محاسبه حجم چهاروجهی را بر حسب فاصله بین رأس‌های آن پیدا کرد که تعمیمی از فرمول هرون برای محاسبه مساحت مثلث بر حسب فاصله رأس‌ها (طول ضلع‌ها) است. مثلت تارتالیا (معروف به مثلت پاسکال و مثلث خیام) برای ضریب‌های بسط دوجمله‌ای و راهی برای حل معادله‌های درجه سه نیز از او است. ده‌ضلعی
یک ده‌ضلعی منتظم دارای ضلع‌ها و زاویه‌های داخلی برابر است. اندازهٔ زاویه‌های داخلی هر رأس آن، برابر با ۱۴۴ درجه بوده و مساحت آن با استفاده از رابطهٔ زیر محاسبه می‌شود (با طول ضلع formula_1): جدول مساحت تجمعی
اگر محاسبهٔ ماتریس تجمعی را از گوشهٔ بالا سمت چپ تصویر شروع کنیم با پیمایش هر سطر برای محاسبهٔ هر پیکسل کافی است از مقدار پیکسل‌های سمت چپ، بالا و بالا سمت چپ آن پیکسل که قبلا محاسبه شده‌اند استفاده کرده مقادیر کل جدول را محاسبه‌ کنیم. پس از محاسبه‌‌ٔ جدول مساحت تجمعی، ارزیابی مجموع مقادیر در مساحت هر ناحیه مستطیلی مستلزم جمع تنها چهار عنصر جدول صرف نظر از اندازه مساحت مورد نظر است. یعنی همان طور که در شکل نمایش داده شده است، با داشتن مقادیر A و B و C می‌توان مقدار D را با استفاده از رابطه‌ی زیر محاسبه کرد: قضیه فیثاغورس
برای ادامهٔ اثبات نیاز به دانستن چند نکته است: هر یک از دو مربع بالایی با یکی از آن دو مثلثِ هم نهشت مرتبط است و هر یک از این مثلث‌ها نیز به نوبهٔ خود با یکی از مستطیل‌های سازندهٔ مربع پایینی ارتباط دارد. ادامهٔ اثبات: این اثباتی بود که در کتاب "اصول هندسهٔ اقلیدوس" به عنوان گزاره ۴۷ در کتاب ۱ آمده‌است. و بیان می‌دارد که مساحت مربع ساخته شده روی وتر، برابر است با مجموع مساحت‌های دو مربع دیگر. اثبات اقلیدوس یک اثبات "مساحتی" است و برخلاف اثبات دانتزیگ وابسته به مساحت‌ها است و نه طول‌ها. این روش کاملاً با اثبات بوسیلهٔ تشابه مثلث‌ها که احتمال داده می‌شود روش مورد استفادهٔ خود فیثاغورس بوده، متفاوت است. مساحت
مَساحَت یا پَهنِه تمام سطح یا کف هر شکل است، که در هندسه یک کمیّت تعیین‌کنندهٔ بزرگیِ یک سطح شکل‌های دوبعدی و سه‌بعدی است. مثلث خیام-پاسکال
ایا دو عدددر مثلث پاسکال می‌توان یافت که مجموع یا تفاضلشان مربع کامل باشد؟ عناصر واقع در قطر ۳، اعداد مثلثی هستندو نیز مجموع ۲ عدد مثلثی متوالی یک مربع کامل است. اگر Tnنشان دهنده nامین عدد مثلثی باشد. داریم: واین نتیجه می‌دهد. برای تفریق داریم مثلث مدیریت پروژه
محدوده فرمول هرون
با استفاده از جبر و قوانین نسبت‌های مثلثاتی می‌توان این فرمول را اثبات کرد. این اثبات با اثباتی که هرون در کتابش (متریکا) در سال ۶۰ ق. م. منتشر کرده بود، متفاوت است. مثلثی با اضلاع a و b و c در نظر می‌گیریم که در آن زاویه مقابل ضلع به ترتیب A و B و C است. طبق قانون کسینوس‌ها از قانونی از کسینوس‌ها استفاده می‌کنیم که به اضلاع مثلث مرتبط باشد و متغیرهای اضلاع ان مثلث دران حضور داشته باشد زیرا می‌خواهیم با استدلال استنتاجی از اضلاع مثلث، مساحت آن را نتیجه بگیریم و کسینوس هر زاویه برابر است با: مجموع مربعات دو ضلعی که زاویه بین ان است منهای مربع ضلع دیگر تقسیم بر؛ ۲ برابر ضرب دو ضلعی که زاویه مورد نظر بین ان دو می‌باشد و به بیان ریاضی داریم: ضمناً مجموع مربع سینوس یک زاویه با مربع کسینوس همان زاویه برابر است با یک و از طریق همین رابطه سینوس بر حسب مربع کسینوس بدست می‌آید (رابطه دومی که در زیر ملاحظه می‌کنید) قضیه پیک
چند ضلعی ای را بر روی نقاط صفحهٔ نقطه گذاری شده با فاصلهٔ مساوی می‌سازیم.یا به عبارت دیگر مختصات رئوس چند ضلعی عددی صحیح است.قضیهٔ پیک فرمولی است که با آن می‌توان مساحت چنین چند ضلعی ای را محاسبه کرد. این فرمول کار محاسبه را راحت می‌کند زیرا مساحت را بر اساس تعداد نقاط داخلی و تقاط روی محیط چند ضلعی می‌دهد. مثلثات
مثلثات شاخه‌ ای از ریاضیات است که روابط میان طول اضلاع و زاویه‌های مثلث را مطالعه می‌کند. نخستین کاربرد مثلثات در مطالعات اخترشناسی بوده‌است. اکنون مثلثات کاربردهای زیادی در زمينه‌هاي ریاضیات محض و کاربردی، فيزيك و... دارد. مثلثات تعمیم‌یافته
مثلثات معمولی، مثلث‌ها را در صفحهٔ دوبعدی مطالعه می‌کند. در فضای دوبعدی، توابع مثلثاتی با یکی از روش‌های تعریف بر پایهٔ مثلث قائم‌الزاویه، دایرهٔ واحد، سری توانی یا معادلهٔ دیفرانسیل، تعریف می‌شوند. تعمیم توابع مثلثاتی معمولاً با یکی از روش‌های تعریف تابع مثلثاتی آغاز می‌شود و آن را با فضایی غیر از هندسهٔ اقلیدسی تطابق می‌دهد. به‌طور عام، می‌توان مثلثات را علم مطالعهٔ مجموعه‌ای از سه نقطه در هر هندسه یا فضای ممکن دانست. یکی از روش‌های تعمیم دادن، مطالعهٔ زاویه‌ها و چندضلعی‌ها در فضای چندبعدی است. میانه مثلث
هر میانه، مساحت مثلث را نیز همچون طول اضلاع آن به دو نیمه مساوی تقسیم بندی می کند. به همین دلیل است که اگر مثلثی را با چگالی یک دست بسازیم، مرکز ثقل آن همان محل برخورد میانه های مثلث می شود، به همین دلیل برخی مواقع به مرکزوار یا محل برخورد میانه های مثلث، مرکز ثقل مثلث هم می گویند(غیر از سه میانه، هیچ خط دیگری که از مرکزوار، یا مرکز ثقل عبور کند، مساحت مثلث را به دو نیم تقسیم نمی کند، هرچند که خطوط دیگر که از خارج مرکزوار عبور می کنند ممکن است مساحت مثلث را به دو نیم تقسیم کنند). سه میانه مثلث را به شش مثلث کوچکتر با مساحت های برابر تقسیم بندی می کنند. قطاع
مساحت سراسر دایره برابر formula_3 است پس مساحت یک قطاع برابر است با حاصل ضرب نسبت زاویه‌ای که دربر دارد به زاویهٔ کل دایره (۳۶۰ درجه) در مساحت کل دایره. اگر زاویهٔ θ به رادیان باشد، مساحت قطاع خواهد بود: عدد پی
غالباً به‌عنوان نسبت محیط یک دایره formula_17 به قطر formula_18 تعریف می‌شود. یعنی: نسبت formula_19 صرف‌نظر از اندازهٔ دایره ثابت است. مثلاً اگر قطر دایره دو برابر شود، محیط آن هم دو برابر خواهد شد و نسبت formula_19 ثابت خواهد ماند. این تعریف به‌شکل ضمنی از هندسه اقلیدسی (مسطح) استفاده می‌کند؛ یعنی بااین‌که مفهوم دایره را می‌توان به هندسه نااقلیدسی تعمیم داد، این «دایره»ها دیگر لزوماً در معادلهٔ formula_21 صدق نخواهند کرد. پارادوکس برتراند
باتوجه به تقارن برای رسم یک وتر تصادفی می‌توان ابتدا دو نقطهٔ تصادفی روی محیط دایره انتخاب می‌کنیم و آن‌ها را به‌هم وصل می‌کنیم تا وتر بین این دو نقطه حاصل شود. نقطهٔ اول را A و نقطهٔ دوم را D می‌نامیم. فرض کنید A یکی از رئوس مثلث متساوی‌الاضلاع ABC باشد؛ دراینصورت وتر AD وقتی و تنها وقتی بزرگتر از طول ضلع مثلث ABC خواهد بود که نقطهٔ D روی کمان BC قرار بگیرد. از آنجا که طول کمان BC به اندازهٔ ۱/۳ طول محیط دایره است و نقطهٔ D هم به‌طور تصادفی از محیط دایره انتخاب شده‌است با احتمال ۱/۳ روی کمان BC قرار می‌گیرد، لذا احتمال موردنظر نیز برابر ۱/۳ است. مثلثات
واژگان مثلثات در متون فارسی و عربی قدیم با امروزه تفاوت داشت: مجموع زاویه‌های داخلی مثلث برابر ۱۸۰ درجه است؛ بنابراین در مثلث قائم‌الزاویه با داشتن مقدار یک زاویه تند، می‌توان مقدار زاویه دیگر را به دست آورد. با مشخص بودن زاویه‌ها می‌توان نسبت میان اضلاع را یافت. به این ترتیب، اگر اندازه‌ی یک ضلع معلوم باشد، اندازه دو ضلع دیگر قابل محاسبه است. نسبت میان اضلاع مثلث، با استفاده از توابع مثلثاتی زیر، محاسبه می‌شود. در شکل روبرو، برای زاویه تند "A" که مجاور وتر "c" و ضلع "b" و روبرو به ضلع "a" است، داریم: توابع مثلثاتی برای زاویه "B" نیز به همین ترتیب قابل محاسبه هستند. از آن‌جایی که ضلع مقابل زاویه "A" مجاور زاویه "B" است و برعکس، سینوس یک زاویه برابر با کسینوس زاویه‌ی دیگر است. به عبارت دیگر: formula_4 و formula_5. قضیه فیثاغورس
نگارهٔ سوم سمت راست، نیز خود یک اثبات است. همان گونه که در نگاره نمایش داده شده‌است، دو مربع بالایی، با سایه‌های آبی و سبز به چندین بخش تقسیم شده‌اند. اگر این قسمت‌های سایه‌خورده را کنار هم بچینیم می‌بینیم که مربع پایینی روی وتر را به خوبی پر می‌کنند؛ عکس این مطلب نیز برقرار است یعنی مربع پایینی که روی وتر تشکیل شده را می‌توان چنان قسمت کرد که دو مربع بالایی به خوبی با این قسمت‌ها پر شود. با این کار نشان دادیم که مساحت مربع بزرگ برابر است با مجموع مساحت‌های دو مربع کوچک. توابع مثلثاتی
در ریاضیات و فیزیک، از بردارها برای نشان دادن یک کمیت برداری (که دارای اندازه و جهت است) استفاده می‌شود. بسیاری از کمیت‌های اصلی فیزیک مانند مکان، نیرو و میدان دارای ماهیت برداری هستند. در برخی محاسبات فضای برداری از توابع مثلثاتی استفاده می‌شود. برای نمونه، ضرب داخلی دو بردار x و y متعلق به را می‌توان به کمک قانون کسینوس‌ها به صورت زیر محاسبه کرد: قضیه فیثاغورس
فرض کنید "A" و "B" و "C" سه گوشهٔ یک مثلث راست‌گوشه‌اند که زاویهٔ "A" در آن ۹۰ درجه است. خطی را عمود از گوشهٔ "A" بر روی وتر "BC" رسم می‌کنیم و آن را امتداد می‌دهیم تا ضلع پایین مربع کشیده شده روی وتر را قطع کند. این خط مربع روی وتر را به دو مستطیل تقسیم می‌کند که هریک از این مستطیل‌ها مساحتی برابر با مساحت مربع‌های رسم شده بر روی دو ضلع زاویهٔ "A" دارند. ارتفاع (مثلث)
ارتفاع یک مثلث در هندسه عبارت است از پاره‌خطی که از یک رأس آغاز می‌شود و بر ضلع مقابل مثلث (یا امتداد آن) عمود است (زاویه قائمه تشکیل می‌دهد). محل برخورد ارتفاع با قاعده یا امتداد آن، "پای عمود" نام دارد. معمولاً به طول ارتفاع همان ارتفاع گفته می‌شود که برابر است با فاصلهٔ میان رأس و قاعده (یا قاعدهٔ امتدادیافته). تاریخ مثلثات
ریاضی‌دانان مسلمان، روش مثلث‌سازی را ایحاد کردند و از آن در کارهای عملی مانند نقشه‌برداری و جغرافیا (که در آغاز سده یازدهم میلادی توسط ابوریحان بیرونی شرح داده شده) استفاده نمودند. بیرونی شیوه‌های مثلث‌سازی برای اندازه‌گیری ابعاد زمین و فاصله میان مکان‌های مختلف را معرفی کرد. در پایان سده یازدهم، عمر خیام معادلات درجه سوم را با حل عددی تقریبی که از درونیابی جداول مثلثاتی به دست می‌آمد، حل کرد. خواجه نصیرالدین طوسی در سده سیزدهم، نخستین کسی بود که مثلثات را به عنوان یک شاخه ریاضیات و مستقل از ستاره‌شناسی در نظر گرفت و مثلثات کروی را به شکل امروزی آن درآورد. او فهرستی از شش حالت مثلث قائم‌الزاویه در مثلثات کروی تهیه کرد و قانون سینوس‌ها را برای مثلث‌های مسطح و کروی بیان نمود، قانون تانژانت‌ها را برای مثلث‌های کروی کشف کرد و اثبات‌هایی برای این دو قانون ارائه کرد. مثلث مدیریت پروژه
ارزش واقعی مثلث پروژه نشان دادن پیچیدگی موجود در هر پروژه است. مساحت صفحه مثلث بیانگر ترکیب های تقریباً نامتناهی اولویتهایی است که می تواند بین سه مقدار رقیب وجود داشته باشد. با اذعان به تنوع بی حد و حصر ممکن در مثلث ، استفاده از این کمک گرافیکی می تواند تصمیمات و برنامه ریزی های بهتر پروژه را تسهیل کند و هم ترازی بین اعضای تیم و صاحبان پروژه را تضمین کند. مدل STR یک مدل ریاضی است که "مدل مثلث" را به عنوان یک برداشت گرافیکی از رابطه مشاهده می کند: تبدیل هاف دایره‌ای
دایره در فضای گسسته با استفاده از رابطه (4) مستقیماً رسم می‌شود، اما یک مشکل وجود دارد. چگونه مقادیر گسسته یا وضوح formula_4 انتخاب شود ؟ یک راه حل اینست که وضوح بالای formula_4 استفاده شود و مقادیر گرد شوند. اما این کار سبب ترسیم بیش از یک بار پیکسل‌های لبه شده یا اگر شعاع خیلی بزرگ باشد سبب کمبود پیکسل‌ها می‌شود. راه دیگر گرد کردن sin و cos پس از ضرب مقادیر با شعاع می‌باشد. برای اطمینان از ترسیم تمام پیکل‌ها، وضوح formula_4 بایستی بسیار بالا باشد، اما این کار سبب افزایش یافتن هزینه محاسباتی می‌شود. یک روش که می‌تواند هزینه محاسبات را پایین بیاورد، محاسبه سریع مقادیر برای توابع sin و cos با استفاده از جدول مراجعه می‌باشد. اگر چه روش‌های عنوان شده عملی هستند، ولی راه حل‌های بهتری نیز وجود دارد. به جای استفاده از رابطه (4)، الگوریتم بِرزِنهام را می‌توان برای رسم دایره استفاده کرد. این الگوریتم جهت ترسیم خط یا دایره برای مانیتورهای دیجیتالی بدون مشکل ترسیم بیش از یک بار پیکسل‌ها طراحی شده و برای تبدیل هاف دایره‌ای مناسب می‌باشد . یک ویژگی خوب در این الگوریتم اینست که می‌توان فهمید که تعداد دقیق پیکسل‌های مورد استقاده برای ترسیم دایره چقدر است و این اطلاعات زمانی می‌تواند مناسب باشد که مرکز دایره‌ها از داده‌های انباره پیدا می‌شوند. کد پیاده‌سازی این الگوریتم در [] موجود است. مثلثات
با استفاده از قانون سینوس‌ها در هر مثلث دلخواه، می‌توان با معلوم بودن اندازه یک ضلع و دو زاویه مجاور آن، اندازه دو ضلع دیگر را محاسبه نمود. هم‌چنین می‌توان مساحت مثلث (Δ) و شعاع دایره محیطی آن (R) را به دست آورد: بر اساس اتحاد بالا، مساحت مثلث با معلوم بودن اندازه دو ضلع و زاویه میان آن‌ها از رابطه زیر، قابل محاسبه است: مساحت دایره
در هندسه، مساحت دایره (یا به عبارت دقیق‌تر مساحت قرص دایره) برابر است با حاصلضرب «مساحت مربعی که ضلعش برابر شعاع دایره است» در «نسبت محیط دایره به قطر آن» (که همیشه عددی ثابت است و با حرف formula_1 نشان داده می‌شود). یعنی: دایره حداکثر مساحت ممکن برای مقدار معین محیط را دارد. فهرست موضوعات بنیادی مثلثات
مثلثات، شاخه‌ای از ریاضیات است که به مطالعه رابطه‌های میان اضلاع و زاویه‌های مثلث‌ها می‌پردازد. برای این منظور، توابع مثلثاتی تعریف می‌شوند که روابط یادشده را توضیح می‌دهند و در پدیده‌های تناوبی مانند موج، کاربرد دارند. ذوزنقه
در این شکل، زاویه‌های مجاور به دو ضلع موازی با هم مکمل هستند. مساحت ذوزنقه از طریق فرمول زیر به‌دست می‌آید: هفت‌ضلعی
هفت ضلعی منتظم، هفت‌ضلعی محدبی است که اندازه اضلاع آن با هم برابر است. اندازهٔ زاویه‌های داخلی هر رأس آن، برابر با ۵π/۷ رادیان یا ۱۲۸٫۵۷۱۴۲۸۶ درجه بوده و مساحت آن با استفاده از رابطهٔ زیر محاسبه می‌شود (با طول ضلع formula_1): هشت‌وجهی بریده‌شده
اگر بریدن از یک سوم ضلع صورت گرفته باشد، مساحت "A" و حجم "V" آن نسبت به ضلع "a" عبارتند از: ارتفاع (مثلث)
اگر محل برخورد ارتفاع‌ها با اضلاع به‌ترتیب formula_13 باشد، مثلث formula_14 مثلث پادک می‌گوییم. ارتفاع‌های مثلث، نیمساز‌های مثلث پادک هستند، و مرکز ارتفاعیِ مثلث، مرکز دایره محاطی مثلث پادک است. مثلث خیام-پاسکال
در مثلث پاسکال قطر از اعداد طبیعی، قطر ۲ از اعداد مثلثی وقطر۳ از اعداد ۴وجهی تشکیل شده‌اند. با نگاه به قطرهای مثلث ملاحظه می‌شود که هر عدد مثلثی مجموع چند عدد طبیعی وهر عدد ۴ وجهی مجموع چند عدد مثلثی است. به‌طور کلی می‌توان گفت که قطر kام از اعداد مصور kبعدی تشکیل شده‌اند که به صورت (c(n,kمی‌باشد. در ضمن داریم: مثلث
در تمامی مثلثات،اندازه ی زاویه ی خارجی یکی از رئوس مثلث،برابر است با اندازه ی مجموع زوایای غیر مجاور با زاویه ی آن راس. ارتفاع (مثلث)
فرض کنید مثلثی با اضلاع "a, b، c" و ارتفاع‌های "h", "h", و "h" داریم. اگر شعاع دایرهٔ محاطی را "r" بنامیم، رابطهٔ زیر برقرار خواهد بود: بیست‌وجهی بریده‌شده
اگر برش از یک سوم ضلع صورت گرفته باشد مساحت "A" و حجم "V" نسبت به ضلع "a" عبارتند از: مثلث‌بندی دیلانی
الگوریتم‌های زیادی برای محاسبهٔ تثلیث دیلانی بر اساس عملیات سریع برای یافتن نقطه‌ای درون دایره محیطی مثلث و یک داده ساختار کارامد برای ذخیره سای مثلث‌ها و اضلاع وجود دارد. در دو بعد یک راه برای فهمیدن اینکه آیا نقطه d درون دایره محیطی A و B و C قرار دارد محاسبه دترمینان این ماتریس به ما نشان می‌دهد. . وقتی A و B و C به ترتیب پاد ساعت گرد مرتب شوند این دترمینان مثبت است اگر و تنها اگر d درون دایره محیطی باشد . همان طور که در بالا ذکر شد اگر یک مثلث غیر دیلانی باشد ما می‌توانیم یکی از ضلع‌های ان را بچرخانیم کنیم. این منجر به یک الگوریتم راحت می‌شود : هر تثلیث از نقاط را بسازید و سپس اضلاع را بچرخانید تا زمانی که هیچ مثلثی غیر دیلانی نباشد. متأسفانه این عملیات ازین (O("n" چرخاندن ضلع لازم دارد و به سه یا بیش از آن قابل تعمیم نیست.. مثلث
در رابطهٔ فوق a اندازهٔ ضلع اول، c اندازهٔ ضلع دوم، b اندازهٔ ضلع سوم و 2P محیط است. مساحت
در قدیم در ایران برای اندازه‌گیری مساحت از یکاهای بومی ایرانی مانند گریب (جریب) استفاده می‌شد. همچنین از واحدهای بزرگتری چون هکتار (معادل ۱۰۰۰۰ متر مربع) و کیلومترمربع برای اندازه‌گیری مساحت استفاده می‌شود. واحد ایکر در سیستم انگلیسی برای اندازه‌گیری سطح به کار می‌رود و هر ایکر برابر ۴۰۴۶٫۸۵۶۴۲ متر مربع می‌باشد. در مورد اندازه جریب نظرهای متفاوتی وجود دارد و در مناطق مختلف این اندازه متفاوت است. معمولاً در گذشته هر جریب معادل با ۱۶۰۰ متر مربع بود. در ایران دوره صفویه، هر جریب معادل ۹۵۶ متر مربع بوده‌است. در دوره قاجار هر جریب تقریباً ۱۰۰۰متر مربع محاسبه می‌شده‌است. در سال ۱۳۰۲ محمدحسن خان صنیع الدوله پیشنهاد نمود اوزان و مقیاسهای سنتی ایران، از جمله جریب، با مقادیر متناسب آن‌ها در نظامهای بین‌المللی برابر شود؛ بنابراین از ۱۳۰۲ به بعد ۱۰ جریب معادل ۱هکتار در نظر گرفته شد. دایره محیطی
مرکز دایره محیطی یک مثلث را می توان با ترسیم دو عمود منصف دلخواه از آن بدست آورد. برای سه نقطه غیر-هم‌خط (یعنی رئوس مثلث)، این دو خط نمی‌توانند موازی باشند و مرکز دایره محیطی محل برخوردشان خواهد بود. هر نقطه روی عمود منصف از رأس انتهای ضلع مورد نظر به یک فاصله اند، در نتیجه محل برخوردشان (مرکز دایره محیطی) از هر سه رأس به یک فاصله می‌باشد، لذا شعاع دایره محیطی، فاصله آن از هر سه رأس مثلث است. ده‌ضلعی
یک فرمول معادل برای مساحت ده‌ضلعی منتظم به صورت formula_3 که "d" فاصلهٔ بین اضلاع موازی ده‌ضلعی است. با استفاده از روابط مثلثاتی می‌توان formula_4 را به صورت زیر تعیین کرد: formula_5 روش افنا
مساحت دایره بر اساس محیط و شعاع آن تعیین می‌شود. اگر یک دایرهٔ مفروض به چهار قطاع مساوی تقسیم شود: قضیه فیثاغورس
فرض کنید "ABC" مثلثی با اضلاع "a" و "b" و "c" باشد که . حال باید ثابت کرد که زاویهٔ میان "a" و "b" زاویه‌ای راست است. مثلث دیگری می‌سازیم با ضلع‌های "a" و "b" و با یک زاویهٔ راست میان دو ضلع آن، چون می‌دانیم قضیهٔ فیثاغورس درست است پس طبق این قضیه باید وتر مثلث طولی برابر با "c" = √("a" + "b") داشته باشد. پس وتر مثلث دوم طولی برابر با وتر مثلث اول دارد. پس دو مثلث با یکدیگر برابرند از هم نهشتی دو مثلث می‌توان نتیجه گرفت که زاویه‌های دو به دو برابر نیز دارند. پس زاویهٔ میان ضلع‌های "a" و "b" در مثلث اصلی خود، زاویه‌ای راست است. دایره واحد
نقطه‌ای مانند formula_5 با مختصات formula_6 بر روی محیط دایره در نظر بگیرید (شکل روبرو). طبق تعاریف سینوس و کسینوس می‌دانیم که formula_7 و formula_8. از طرفی برای مثلث قائم‌الزاویه formula_9 که وتر آن یک واحد است، داریم formula_10 که این رابطه یکی از پایه‌ای‌ترین مفاهیم مثلثات است. توابع مثلثاتی
قدمت اولین متن‌های به جا مانده از توابع مثلثاتی به دوران پیش از میلاد در مصر و یونان بازمی‌گردد. قضیهٔ تالس توسط تالس در سدهٔ ششم پیش از میلاد در مصر مطرح شد، همچنین از قضیهٔ فیثاغورس به عنوان سنگ بنای مثلثات یاد می‌شود. علاوه بر مصر و یونان، کشورهای دیگری از جمله چین، هند، کشورهای اسلامی و کشورهای اروپایی پیشبردهای مطرحی در زمینه مثلثات داشتند که می‌توان به افرادی چون خوارزمی، بتانی، ابوالوفا محمد بوزجانی، شن کو، گو شوجینگ و رتیکوس اشاره کرد. تعاریف متفاوتی از توابع مثلثاتی بیان شده‌است، ساده‌ترین آن‌ها بر پایهٔ دایرهٔ واحد است که در این تعریف دایره‌ای با شعاع ۱ ترسیم می‌شود و شعاعی با زاویهٔ مشخص نسبت به محور افقی روی آن رسم شده و یک مثلث را تشکیل می‌دهد. هر یک از توابع مثلثاتی را می‌توان با پاره‌خطی در این دایره نشان داد. تعاریف دیگری از توابع مثلثاتی نیز بر پایهٔ انتگرال، سری توانی و معادلهٔ دیفرانسیل بیان شده‌است که هر یک از آن‌ها کاربرد خاص خود را دارند. برای نمونه در تعریف بر پایهٔ سری توانی، از سری مکلورن استفاده می‌شود که در محاسبهٔ مقدار تقریبی آن‌ها توابع مثلثاتی استفاده فراوان دارد. توابع مثلثاتی بر روی یک زاویه عملیات انجام می‌دهند و یک عدد حقیقی را برمی‌گردانند و هر یک از آن‌ها ویژگی‌های خاص خود را دارند، از جمله زوج یا فرد بودن، متناوب بودن، پیوسته بودن، متعامد بودن. کاربرد اصلی این تابع‌ها در محاسبهٔ اندازهٔ ضلع‌ها و زاویه‌های یک مثلث و سایر عوامل مرتبط با آن‌ها است. این کاربرد، در دانش‌های مختلفی مانند نقشه‌برداری، ناوبری و زمینه‌های گوناگون فیزیک مورد استفاده قرار می‌گیرد. در نقشه‌برداری، با استفاده از اندازه‌گیری زاویهٔ یک نقطه نسبت به دو نقطه معین، مختصات آن نقطه را محاسبه می‌کنند که امروزه از این روش برای اندازه‌گیری سه‌بعدی نوری استفاده می‌شود یا در ناوبری، تنظیم خط سیر کشتی‌ها و سایر شناورها بر پایهٔ اجسام ثابت مانند فانوس دریایی با بهره‌گیری از توابع مثلثاتی انجام می‌شود. هم‌چنین به علت خاصیت تناوبی بودن این تابع‌ها، از آن‌ها در مدل‌سازی فرایندهای نوسانی مانند نور و موج استفاده می‌شود. برای نمونه قانون اسنل بنیادی‌ترین کاربرد توابع مثلثاتی است که در پدیدهٔ شکست نور به کار می‌رود. از دیگر کاربردهای توابع مثلثاتی می‌توان به استفاده آن در صنعت برق و مخابرات اشاره کرد. از جمله کاربرد امواج سینوسی در جریان‌های متناوب و همچنین انواع مدولاسیون که برپایه همین امواج سینوسی انجام می‌شود. ارتفاع (مثلث)
برای هر نقطهٔ دلخواه "P" در یک مثلث متساوی‌الاضلاع، مجموع خط‌های عمود رسم شده از آن نقطه بر روی اضلاع مثلث برابر است با طول ارتفاع مثلث. به این مطلب، قضیهٔ ویویانی می‌گویند. قضیه پیک
برای محاسبهٔ مساحت یک چند ضلعی به مساحت و نقاط داخلی و نقاط مرزی (نقاط روی اضلاع یا رئوس) فرمول زیر را داریم: تربیع دایره
دو خط مرکزی عمود بر یکدیگر از یک دایره با شعاع = 1 رسم کنید و نقاط تقاطع A و B را بگذارید. پاره خط = formula_4 را ثابت کرده و E را به A وصل کنید. روی پاره‌خط و از A نقطه F را به گونه‌ای تعیین کنید که خط = formula_5شود. راموازی با رسم کنید و E را به G وصل کنید. را موازی با بکشید، آنگاه =formula_6 . سپس ۴ پاره‌خط را به‌گونه‌ای رسم که = و = . سپس را در L نصف کنید و از قضیه تالس حول L از A استفاده کنید که نقطه تقاطع M را به دست می‌آورد. پاره خط جذر و در نتیجه طول ضلع است. formula_7 اندازه ضلع مربع جستجو شده تقریباً با همان مساحت می‌باشد.