میانگین اعداد را چگونه مخاسبه می کنند؟
نابرابری میانگین حسابی-هندسی
"میانگین حسابی" فهرستی از "n" عدد است ("x"،  "x"،  .  .  .،  "x"). حالت کسری تقسیم مجموع اعداد بر عدد "n" برابر است با:
میانگین متحرک
میانگین متحرک، میانگین قیمت را در یک بازه زمانی مشخص نشان می‌دهد. با این وجود، روش‌های مختلفی برای محاسبه میانگین وجود دارد. به همین دلیل است که انواع مختلف وجود دارد. به آنها «متحرک» گفته می‌شود زیرا، با حرکت قیمت، داده‌های جدیدی به محاسبه اضافه می‌شود؛ بنابراین میانگین تغییر می‌کند. SMA و EMA متفاوت محاسبه می‌شوند. این محاسبه باعث می‌شود EMA نسبت به تغییرات قیمت سریعتر واکنش نشان دهد؛ و SMA نیز کندتر واکنش نشان می‌دهد. این تفاوت اصلی این دو است. یکی لزوماً از دیگری بهتر نیست. قضیه مقدار میانگین
این قضیه مهم را در آثار آمپر(۱۷۷۵–۱۸۳۶) هم می‌توان یافت. هر چند شهرت آمپر به خاطر تحقیقاتی است که در الکتریسیته انجام داد، ولی تحقیقات اولیه وی در زمینه حساب دیفرانسیل و انتگرال بود و او به نقد و تصحیح ایده‌های لاگرانژ در مبادی حساب دیفرانسیل و انتگرال پرداخت. مدل‌های تولیدی عمیق
برای آموزش تفکیک‌کننده به تعداد مشخصی (formula_24 بار) از طریق گرادیان صعودی تصادفی سعی در بیشینه کردن تابع formula_25 داریم. برای این‌کار formula_26 را از توزیع formula_27 نمونه‌گیری می‌کنیم. همچنین formula_28 را از داده‌های آموزشی نمونه‌گیری می‌کنیم. با این داده‌ها میانگین گرادیان formula_25 را نسبت به پارامترهای formula_7 (مولد) که formula_3 باشد حساب می‌کنیم. پارامترهای formula_3 را در جهت این میانگین تغییر می‌دهیم تا باعث افزایش formula_25 شود. میانگین گرادیان با عبارت پایین برابر است: انتقال میانگین
مُد در آمار و ریاضیات، به ارزش یا مقداری که بیشترین بار (تکرار) در یک مجموعه داده آماری رُخ دهد (اتفاق افتد) گفته می‌شود. مد نوعی سنجش گرایش به مرکز است.مد یک توزیع احتمال گسسته مقداری همچون x می باشد که بیشترین مقدار تابع جرم احتمال را می گیرد. مد برای توزیع احتمال پیوسته مقدار x می باشد که تابع چگالی احتمال حداکثر مقدار است بنابراین مد در قله است. امید ریاضی
متغیر تصادفی گسسته، حالت قابل شمارش فرض کنید"X"یک متغیر تصادفی گسسته‌ای باشد که مقادیر "x", "x", … به ترتیب با احتمالات، "p", "p", … را در خود می‌گیرد. پس مقدار مورد انتظار این متغیر تصادفی جمع متناهی زیر می‌باشد: داده‌های گم‌شده
الگوریتم امید ریاضی–بیشینه کردن (EM) رویکردی است که مقادیر آماره‌ها که در صورت کامل بودن یک مجموعه‌داده برآورد می‌شود (جانهی می‌شود)، با توجه به الگوی داده‌های گم‌شده. در این روی‌کرد، مقدار داده‌های گم‌شده تکی به‌طور معمول جانهی نمی‌شوند. میانگین تفاضل قدر مطلق‌ها
میانگین قدر مطلق‌های تفاضل دو برابر ال-گشتاور است درحالی که انحراف معیار جذر واریانس می‌باشد.هر دو مقدار توزیع را اندازه‌گیری می‌کنند. میانگین قدر مطلق‌های تفاضل را به عنوان شاخص مرکزی در نظر نمی‌گیرند ولی انحراف معیار را به عنوان شاخص مرکزی در نظر می‌گیرند. چون انحراف معیار تفاوت را مجذور می‌کند و در مقایسه با میانگین قدر مطلق‌های تفاضل وزن بیشتری را به اختلاف‌های بزرگتر می‌دهد. وقتی میانگین حسابی متناهی است میانگین قدر مطلق‌های تفاضل هم متناهی است حتی اگر انحراف معیار نامتناهی باشد. اقتصادسنجی
اولین فرض این است که میانگین یا امید ریاضی جمله اخلال صفر است. متد middle square
این روش در ابتدا بدین صورت عمل می‌کرد: برای تولید یک دنباله از اعداد شبه تصادفی ۴ رقمی، یک عدد ۴ رقمی دلخواه انتخاب شده، به توان ۲ رسانده می‌شود و به‌این‌ترتیب یک عدد ۸ رقمی به‌دست می‌آید. اگر نتیجه کمتر از ۸ رقم داشت، باید با اضافه کردن صفر به اول آن، می‌توان کمبود رقم آن را جبران کرد. ۴ رقم وسط این عدد، مشخص‌کننده رقم بعدی دنباله است. این فرایند ادامه می‌یابد تا اعداد تصادفی بیشتری تولید شوند. برای یک مولد اعداد n رقمی، دوره تناوب نمی‌تواند بیش از 8 باشد. اگر ۴ رقم میانی صفر باشند، مولد تا آخر صفر برمی‌گرداند. اگر نیمه اول یک عدد در دنباله صفر باشد، اعداد بعدی به سمت صفر کاهش می‌یابند. روش میان-مربعی در اعداد غیر از صفر هم به همین ترتیب به دام می‌افتد. مثلاً برای n = ۴، این اتفاق برای اعداد ۰۱۰۰، ۲۵۰۰، ۳۷۹۲ و ۷۶۰۰ رخ می‌دهد. باقی مقادیر اولیه (seeds)، چرخه تکرار کوتاهی را می‌سازند، برای مثال ۰۵۴۰ → ۲۹۱۶ → ۵۰۳۰ → ۳۰۰۹. این پدیده‌ها در حالتی که "n" = ۲ باشد بیشتر دیده می‌شوند، چون هیچ‌یک از ۱۰۰ حالت ممکن برای مقدار اولیه، بیش از ۱۴ پیمایش را بدون رجوع به ۰، ۱۰، ۵۰، ۶۰ یا حلقه ۲۴ ↔ ۵۷ می‌سازد. میانگین حسابی
در آمار، میانگین حسابی یا متوسط حسابی نوعی سنجش گرایش به مرکز (شاخص مرکزی) است، و عبارت است از مجموع مقادیر موجود در یک مجموعه داده‌ها تقسیم بر تعداد آن‌ها. کاربردهای مشتق
در حساب دیفرانسیل و انتگرال کمتر قضیه‌ای به اندازه قضیه مقدار میانگین و تعمیمهایش کارساز است. این قضیه، ریاضیات لازم را برای برآورد کردن مقدار خطای ناشی از تقریب زدن خطی در اختیار ما می‌گذارد میانگین همساز
در دانش آمار میانگین همساز یا میانگین هارمونیک یا میانگین توافقی نوعی سنجش گرایش به مرکز است، و معمولاً هنگامی کاربرد دارد که محاسبهٔ میانگین نرخ‌ها اهمیت داشته باشد. این مقدار عبارت است از تعداد مقادیر بر مجموع معکوس مقادیر موجود در یک مجموعه داده‌ها. امید ریاضی
اگر تاس "n" بار پرتاب شود و میانگین نتایج محاسبه شوند پس با افزایش "n"، میانگین به مقدار مورد انتظار همگرا خواهد بود. به این موضوع قانون قوی مقادیر بزرگ می‌گویند. برای مثال دنبالهٔ ده تاس به صورت ۲, ۳, ۱, ۲, ۵, ۶, ۲, ۲, ۲, ۶ است که میانگین آن‌ها برابر ۳٫۱ با فاصلهٔ ۰٫۴ از مقدار مورد انتظار ۳٫۵ می‌باشند. همگرایی نسبتاً پائین است. احتمالی که میانگین در بین محدودهٔ ۳٫۵ ± ۰٫۱ افت می‌کند برای ده پرتاب ۲۱٫۶٪ و برای هزار پرتاب ۹۳٫۷٪ است. شکل که برای توضیح میانگین‌های دنباله‌های طولانی‌تر پرتاب‌ها نشان داده شده را ببینید و توجه کنید که چطور آن‌ها به مقدار مورد انتظار ۳٫۵ همگرا می‌شوند. عموماً نسبت همگرایی را می‌توان از طریق مثلاً نامساوی چبیشف و نظریهٔ بری-اسن (Berry-Esseen theorem) به سختی کمی کرد. آمار مقاوم
ته‌بریده کردن یک روش عمومی برای باثبات کردن آماره است. تحلیل رگرسیون
رگرسیون کاذب با فرض اینکه متغیرهای formula_15 و formula_16 مانا می‌باشند تخمین‌های ما از پارامترها و تست‌های formula_17و formula_18درست می‌باشد. برای نشان‌دادن سازگاری تخمین‌های حداقل مربعات معمولی، ما از این نتایج زمانی که اندازه نمونه افزایش می‌یابد و واریانس نمونه به واریانس جامعه همگرا می‌شود، استفاده می‌کنیم. متأسفانه وقتی سری نامانا باشد واریانس خوش تعریف نیست، زیرا حول یک میانگین ثابت نوسان نمی‌کند. برای توضیح بیشتر دو متغیر formula_15 و formula_16 را در نظر بگیرید که به وسیلهٔ یک فرایند گام تصادفی تعریف می‌شود. خطا
در محاسبات عددی تفاوت میان عدد محاسبه شده و مقدار مورد انتظار را خطا می‌نامند مانند خطای جذر میانگین مربعات آمار
الگوهای موجه در داده‌ها سازمان بندی می‌شوند تا نتیجه‌گیری در مورد جمعیت‌های بزرگ‌تر به دست آید که این کار با استفاده از آمار استنباطی صورت می‌گیرد و تصادفی بودن و عدم قاطعیت در مشاهدات را شناسایی می‌کند. این استنباط‌ها ممکن است به شکل جواب‌های بله یا خیر به سؤالات باشد (آزمون فرض)، خصوصیات عددی را برآورد کند (تخمین)، پیش‌گویی مشاهدات آتی باشد، توصیف ارتباط‌ها باشد (همبستگی) یا مدل‌سازی روابط باشد (رگرسیون). قضیه مقدار میانگین
پس formula_11 گرادیان کاهشی تصادفی
در این روش همانند گرادیان تطبیقی برای هر بُعدِ پارامتر نرخ یادگیری جداگانه‌ای در نظر گرفته می‌شود. ایده اصلی این است که نرخ یادگیری را برای یک بُعد بر میانگین گرادیان‌های آن بُعد تقسیم کنیم؛ بنابراین، ابتدا میانگین را به این شکل محاسبه می‌کنیم: آمار مقاوم
آمار باثبات در جستجوی بدست آوردن روش‌هایی آماری است که تحت تأثیر داده‌های انحرافی در نمونه یا داده‌های نامتعارف نسبت به فرضیات مدل، قرار نمی‌گیرد و در عین حال قابل انطباق با روش‌های متداول آماری باشد. روش‌های پایهٔ آماری بر فرضیاتی بنا می‌شوند که در عمل و در بیشتر موارد فراهم کردن آن‌ها دشوار است. به ویژه معمول است که فرض شود باقی مانده‌ها به صورت گوسی توزیع شده‌اند، حداقل به‌طور تقریبی، یا آنکه قضیه حد مرکزی معتبر باقی می‌ماند تا تخمین‌هایی با توزیع گوسی تولید کند، اما متأسفانه وقتی در میان داده‌ها تعدادی نقطهٔ نامتعارف وجود داشته باشد روش‌های پایه کارایی اندکی از خود نشان می‌دهند. آماره‌های پارامتری باثبات سعی می‌کنند فرض توزیع گوسی در روش‌های پایه را با توزیع تی-استیودنت با درجهٔ آزادی کم یا حتی ترکیبی از دو یا چند توزیع جایگزین کنند. برای برآورد کمی میزان ثبات یک روش آماری، سنجش‌های ثبات را تعریف می‌کنیم. دو سنجش بسیار متداول عبارتند از حد واژگونی و تابع تأثیر. عدد پی
ارقام اعشار هیچ الگوی مشخصی ندارند و شرایط تصادف آماری و اعداد نرمال را احراز می‌کنند. با این حال نرمال بودن ثابت نشده‌است. با ابداع کامپیوتر، تعداد انبوهی از ارقام برای تحلیل‌های آماری در دسترس ریاضی‌دانان قرار گرفت. یاسوماسا کانادا با انجام تحلیل‌های آماری روی ارقام آن‌ها را با شرایط نرمال هماهنگ دانست و نشانی از وجود الگو در آن‌ها نیافت. بنابر قضیه میمون نامتناهی، هر وقت دنباله‌ای تصادفی از ارقام به اندازه کافی بزرگ باشد، بخشی از آن شامل دنباله‌هایی است که به نظر غیر تصادفی می‌رسند. یک نمونهٔ دنباله‌های تصادفی در دنبالهٔ ارقام که به نظر غیرتصادفی می‌رسند از رقم ۷۶۲م در نمایش اعشاری آغاز می‌شود و در فولکلور ریاضی به نقطه فاینمن موسوم است. یکه موهومی
اعداد مختلط، مفهوم ریاضی مهمی هستند که با گسترش مجموعهٔ اعداد حقیقی (formula_4) به مجموعهٔ اعداد مختلط (formula_5)، اجازه می‌دهند هر چندجمله‌ای ناثابت حداقل یک ریشه داشته باشد. این ویژگی به عنوان قضیه اساسی جبر شناخته می‌شود. سامانه عددی نامتقارن
در ANS نسبت فشرده‌سازی در کدگذاری حسابی (که در این روش از توزیع احتمال نیمه دقیق استفاده می‌شود) با یک هزینه پردازشی ترکیب می‌شود، یعنی روشی مشابه کدگذاری هافمن دارد. در نوع جدول‌دار ANS که tANS نام دارد، این موضوع از طریق ساخت یک ماشین حالات متناهی انجام می‌شود، این ماشین بدون استفاده از ضرب، روی الفبای بزرگی اعمال می‌گردد. مادولا (زبان برنامه‌نویسی)
این برنامه اعداد را از یک فایل ورودی می خواند و میانگین آن‌ها را محاسبه می‌کند. متن برنامه: کد خودتغییردهنده
فرض کنید مجموعه ای از آمار مانند میانگین، بیشینه، موقعیت بیشینه، انحراف استاندارد و … برای برخی از مجموعه داده‌های بزرگ محاسبه می‌شود. در یک وضعیت کلی، ممکن است یک حالت مربوط به وزن با داده وجود داشته باشد، بنابراین هر x با aw و به جای آزمودن حضور وزن در هر مقدار شاخص، ممکن است دو نسخه از محاسبه، یکی برای استفاده با وزن و یکی برای استفاده بدون وزن، با یک آزموندن در آغاز کار، موجود باشد. حال یک گزینه دیگر را در نظر بگیرید که هر مقدار ممکن است با یک عدد بولین همراه باشد تا نشان دهد که آیا این مقدار باید حذف شود یا خیر. این روش می‌تواند با تولید چهار دسته از کد، برای هر permutation و نتایج نفوذ کد، مورد استفاده قرار گیرد. در عوض، وزن و آرایه‌های جست و جوی می‌توانند به یک آرایه موقت (با وزن صفر برای مقادیری که باید پر شوند)، با هزینه پردازش، ترکیب شوند و هنوز هم باد کردن وجود دارد. با این حال، با تغییر کد، به الگوی محاسبه آمار می‌تواند کد مورد نظر که برای پرش از مقادیر ناخواسته و برای اعمال وزن است، اضافه شود. تست‌های تکراری از گزینه‌ها وجود نخواهد داشت و به آرایه داده‌ها یک بار دسترسی انجام می‌شود، همچنین وزن و آرایه‌های جستجو می‌تواند به همین شکل باشد، اگر شامل کد باشند باشد. قضیه انحرافات بزرگ
اگر توزیع formula_38 را بدانیم، عبارتی صریح می‌توان برای تابع نرخ بدست آورد. این عبارت صریح توسط تبدیل لژاندر-فنشل به دست می‌آید:  که در آن  تابع cumulant generating یا GCF نامیده می‌شود و formula_41 امید ریاضی اماری است.  اگر formula_38 دارای توزیع نرمال باشد، تابع نرخ یک سهمی با مقدار حداکثر در میانگین توزیع نرمال خواهد بود. اگر formula_43 یک زنجیرهٔ ماکوف باشد، نسخه‌ای از قضیهٔ انحرافات بزرگ برای آن برقرار است. خطای استاندارد میانگین
باشد قانون اعداد بزرگ
قانون ضعیف اعداد بزرگ (قانون خینشین) بیان ‌می‌دارد که میانگین نمونه به صورت احتمالی مقدار امید ریاضی میل نابرابری میانگین حسابی-هندسی
در ریاضیات، نابرابری میانگین حسابی-هندسی یا نابرابری تیریث، نابرابری‌ای است که در آن میانگین حسابی فهرستی از اعداد نامنفی حقیقی، بزرگتر یا مساوی میانگین هندسی آن اعداد است. این دو با هم برابر می‌شوند، اگر و تنها اگر همهٔ عبارات با یک‌دیگر برابر باشند. فرمت اعداد رایانه‌ای
رمزگذاری اکتال و هگزادسیمال راه‌های مناسبی برای نمایش اعداد باینری هستند، همان‌طور که توسط رایانه‌ها استفاده می‌شود. مهندسان کامپیوتر اغلب نیاز به نوشتن مقادیر باینری دارند، اما در عمل نوشتن یک عدد باینری مانند ۱۰۰۱۰۰۱۱۰۱۰۱۰۰۰۱ خسته کننده و مستعد خطا است؛ بنابراین، کمیت‌های باینری در قالب اعداد در مبنای هشت، یا "اکتال"، یا به‌طور معمول، پایه ۱۶، "هگزادسیمال" ("هگز") نوشته می‌شوند. در سیستم دهدهی، ۱۰ رقم از ۰ تا ۹ وجود دارد که با هم ترکیب می‌شوند و اعداد را تشکیل می‌دهند. در یک سیستم هشتی فقط ۸ رقم از ۰ تا ۷ وجود دارد؛ یعنی مقدار اکتال "۱۰" همان عدد اعشاری "۸" است، یک اکتال "۲۰" یک اعشار "۱۶" و غیره. در یک سیستم هگزادسیمال، ۱۶ رقم وجود دارد، ۰ تا ۹، و طبق توافق ۶ رقم از A تا F. یعنی یک هگزادسیمال "۱۰" همان رقم اعشاری "۱۶" و یک هگزادسیمال "۲۰" یکسان است. مثال و مقایسه اعداد در پایه‌های مختلف در نمودار زیر توضیح داده شده‌است. کدهای دودویی
یکی از بزرگترین ضعف‌های اعداد باینری، طولانی بودن بیش از حد رشته‌‌ی باینری مربوط به اعداد دهدهی بزرگ است. در سیستم‌های دیجیتالی عظیم مثل کامپیوترها، استفاده از اعداد باینری 8، 16 و حتی 32 رقمی بسیار رایج است؛ اما خواندن و نوشتن تعداد زیادی عدد باینری 16 یا 32 بیتی، بدون پیش آمدن هیچ خطایی عملاً غیرممکن خواهد بود. یکی از روش‌های مرسوم برای غلبه بر این مشکل، دسته‌بندی اعداد باینری در گروه‌ها یا مجموعه‌های چهار بیتی و در نهایت استفاده از اعداد هگزادسیمال (Hexadecimal) است. حساب دیفرانسیل
کاربرد قضیهٔ مقدار میانگین، وارسی تابع با استفاده از مشتق آن است. آزمون خطای استاندارد میانگین
به عبارتی دیگر به احتمال ۰/۹۸۶ یک نمونه‌گیری تصادفی ۵۵ تایی از دانش‌آموزان میانگینی خواهند داشت که داخل بازه‌ی ۴ انحراف معیار از میانگین جمعیت است. یعنی با اطمینان ۹۸/۶٪ ما فرضیه‌ی صفر را رد می‌کنیم (چون میانگینی که به‌دست آوردیم فقط به احتمال ۰/۰۱۴ به وقوع می‌پیوندد) خطای میانگین مربعات
که در آن formula_2 عمل میانگین‌گیری را انجام می‌دهد و formula_3 مقدار مربع خطای هر داده را محاسبه می‌کند. پس MSE میانگین مربع خطاها است. مازاد-۳
یک عدد مانند ۱۲۷ کدگذاری می‌شود، کد هر یک از اعداد دهدهی آن به صورت (۰۱۰۰، ۰۱۰۱، ۱۰۱۰) می‌شود. مزیت اصلی کدینگ XS-3 روی کدینگ غیر مغرضانه است که یک عدد دهدهی مکمل ۹ (برای تفریق) را می‌توان به عنوان یک عدد دودویی مکمل یک که فقط تمام بیت‌های آن متمم شده‌اند در نظر گرفت. علاوه بر این، هنگامی که مجموع دو عدد XS-3 بیشتر از ۹ شود، بیت نقلی از چهار بیت اضافه شده، تنظیم خواهد شد. این کار به این دلیل، هنگامی که شما دو عدد بزرگتر یا برابر ۰ اضافه می‌کنید، مقدار مازاد از مجموع شش حالت ممکن است. از آنجا چهار بیت صحیح می‌تواند مقادیر ۰ تا ۱۵ را در خود نگه دارد، یک مازاد از ۶ یعنی هر جمعی بیش از ۹ سرریز خواهد کرد. افزودن مازاد-۳ کاری است روی یک الگوریتم متفاوت از سیستم دهدهی غیر مغرضانه یا وابسته به سیستم اعداد منظم دودویی است. هنگامی که شما دو عدد XS-3 با هم اضافه می‌کنید، نتیجه یک عدد XS-3 نیست. به عنوان مثال، هنگامی که در XS-3 صفر و یک اضافه می‌کنید، پاسخ به جای ۱، ۴ بنظر می‌رسد. به منظور حل این مشکل، هنگامی که اضافه کردن ارقام به پایان رسید، اگر نتیجه عددی کمتر از ۱۰ دهدهی باشد، شما باید بایاس اضافی را با تفریق دودویی ۰۰۱۱ (۳ دهدهی در باینری غیر مغرضانه) حذف کنید و اگر سرریز اتفاق افتاد تفریق دودویی ۱۱۰۱ (۱۳ دهدهی در باینری غیر مغرضانه) انجام می‌دهیم. توجه داشته باشید که در ۴ بیت دودویی، تفریق دودویی ۱۱۰۱ معادل جمع ۰۰۱۱ و بالعکس می‌باشد. BCD به افزونی ۳ به عنوان مثال تبدیل (کد VHDL). شماره استاندارد بین‌المللی کتاب
رایج‌ترین اشتباه در وارد کردن شابک‌ها آن است که یک رقم پس و پیش شود یا یکی از ارقام کلاً اشتباه نوشته شود. اثبات ریاضی وجود دارد که نشان می‌دهد که در مجموعهٔ تمام شابک‌های ده‌رقمی معتبر، هیچ کدامشان کمتر از دو رقم متفاوت با هم ندارند؛ بنابراین اگر اشتباه در یکی از ارقام رخ بدهد، محصول کار قطعاً یک شابک نامعتبر خواهد بود و این امر با استفاده از عدد کنترل قابل تشخیص خواهد بود. مجموعه مندلبرو
به طور طبیعی حاصل این جمع ها پس از 60 تا 400 بار انجام این حلقه ، بزرگ شده و به سرعت از مبدا مختصات فاصله می گیرد ولی در بازه -2 تا +2 دستگاه اعداد مختلط بعضی از نقاط پس از این آزمون چندان فاصله ای از مبدا نمی گیرند . برنامه های کامپیوتری این نقاط را بر حسب تعداد انجام عمل در این حلقه رنگ می کنند و به این ترتیب تصویر مجموعه در بازه مورد نظر بر اساس این آزمون تک تک نقاط شکل گرفته و رنگ آمیزی می شود. به طور معمول برای ترسیم هر شکل ، حلقه مرکزی این آزمون بین 100 تا 300 میلیون بار انجام می شود . ۰٫۹۹۹…
یکی از دلایلی که اعداد اعشاری متناوب یک شکل گسترش‌یافته اعداد اعشاری مختومند، نشان‌دادن کسرها می‌باشد. استفاده از تقسیم طولانی، یعنی تقسیم ساده اعداد صحیحی مانند عدد تناوبی ۰٫۱۱۱… را حاصل می‌کند که در آن، ارقام بدون پایان، تکرار می‌شوند. این اعداد اعشاری یک اثبات سریع برای ۰٫۹۹۹…=۱ را ثمر می‌دهد. ضرب عدد ۱ در ۹، برابر ۹ است، لذا ۹ ×۰٫۱۱۱… برابر ۰٫۹۹۹… و برابر ۱ است، لذا ۰٫۹۹۹…=۱. آمار توصیفی
در محاسبات آماری لازم است که ویژگیها و موقعیت کلی داده‌ها تعیین شود. برای این منظور شاخص‌های مرکزی محاسبه می‌شوند. شاخص‌های مرکزی در سه نوع نما (Mode)، میانه (Median) و میانگین (Mean) هستند که هر یک کاربرد خاص خود را دارا می‌باشند. در تحقیقاتی که مقیاس اندازه‌گیری داده‌ها حداقل فاصله‌ای است میانگین بهترین شاخص است؛ ولی در تحقیقاتی که مقیاس اندازه‌گیری داده‌ها رتبه‌ای یا اسمی است، میانه یا نما مورد استفاده قرار می‌گیرند. میانگین وزنی
در محاسبه میانگین وزنی یک مجموعه عامل‌های نابرابر، برای هر یک از عامل‌ها، وزن یا ارزش معینی در نظر گرفته می‌شود و سپس آن عامل در وزن معین ضرب می‌گردد. آن‌گاه جمع این ارقام به دست آمده بر مجموع وزنها تقسیم می‌شود. الگوریتم امید ریاضی–بیشینه کردن
بر طبق برآورد درست نمایی بیشنه توزیع گاوسی، مقادیر میانگین و کوواریانس را به این شکل محاسبه می‌کنیم: میانگین هندسی موزون
در آمار، با داشتن یک مجموعه از داده‌ها، بیشینه هموار
تابع سیگموید بازه اعداد را به محدوده صفر تا یک نگاشت می‌کند. این تابع در محدوده میانگین تقریباً خطی است و در دو سر طیف مقادیر آن، شیب ملایمی دارد و به این ترتیب از محدود بودن برد آن و کراندار بودن آن اطمینان حاصل می‌شود. همچنین این خاصیت موجب می‌شود بیشتر مقادیر در فاصله یک واحد انحراف معیار نسبت به میانگین قرار گیرند. فرایند گاوسی
برخی از نویسندگان فرض می‌کنند که متغیرهای تصادفی "X" میانگین صفر را دارد؛ این کار باعث ساده‌سازی محاسبات بدون از دست دادن کلیت می‌شود. اعداد اول بزرگ
قضیه اساسی حساب (Fundamantal Theorem of Arithmethic) نشان می‌دهد که اعداد اول قالب‌هایی منحصربه‌فرد برای اعداد صحیح مثبت ایجاد می‌کنند: هر عدد صحیح مثبت از حاصل ضرب یک سری و فقط از اعداد اول ایجاد می‌شود (ترتیب مقسوم علیه‌ها را در نظر نمی‌گیریم.) این کلید نشان دهنده آن است که مقسوم علیه‌های اول هر عدد می‌توانند نماینده آن عدد باشند. عدد پی
از آنجا که formula_1 یک عدد گنگ است، نمی‌توان آن را به صورت کسر متعارفی بیان کرد، گرچه که کسرهایی چون را اغلب جهت تخمین آن به کار می‌برند. گنگ بودن آن را می‌توان به‌طور معادل اینگونه بیان کرد: نمایش مبنای ده (دسیمال) آن پایان ناپذیر بوده و هیچگاه الگوی تا ابد تکرار شونده ای نخواهد داشت. ارقام مبنای ده (و مبناهای دیگر) آن ظاهراً تصادفی بوده و حدس زده می‌شود که در نوع خاصی از تصادفی بودن آماری صدق می‌کند. فرمت اعداد رایانه‌ای
در حالی که هر دو اعداد صحیح بدون علامت و علامت در سیستم‌های دیجیتال استفاده می‌شوند، حتی یک عدد صحیح ۳۲ بیتی برای مدیریت طیف وسیعی از اعدادی که یک ماشین حساب می‌تواند انجام دهد، کافی نیست، و این فقط شامل کسر نمی‌شود. برای تقریب محدوده و دقت بیشتر اعداد حقیقی، باید اعداد صحیح علامت دار و اعداد نقطه ثابت را کنار بگذاریم و به قالب " ممیز شناور " برویم. برش‌نگاری با گسیل پوزیترون
آماری، احتمال مبتنی بر الگوریتم‌های تکرار انتظار-حداکثر سازی مانند الگوریتم Shepp-Vardi در حال حاضر روش ترجیحی بازسازی است. این الگوریتم‌ها برآورد توزیع احتمالی حوادث نابودی را محاسبه می‌کنند که به داده‌های اندازه‌گیری شده بر اساس اصول آماری منجر می‌شود. مزیت پروفیل نویز بهتر و مقاومت در برابر مصنوعات رگه ای است که با FBP معمول است، اما ضرورت این است که نیازهای منابع کامپیوتر بالا باشد. یک مزیت دیگر از تکنیک‌های بازسازی تصویر آماری این است که اثرات فیزیکی که باید قبل از اصلاح برای استفاده از الگوریتم بازنگری تحلیلی مانند فوتون‌های پراکنده، اتفاق‌های تصادفی، انقباض و آشکارساز زمان ماندگار، به احتمال زیاد مدل مورد استفاده در بازسازی، اجازه می‌دهد برای کاهش سر و صدای اضافی. نشان داده شده‌است که بازسازی واقعی، منجر به پیشرفت در حل و فصل تصاویر بازسازی شده می‌شود، از آنجا که مدل‌های پیچیده‌تر فیزیک اسکنر می‌تواند در مدل احتمال بیشتر از آنچه که توسط روش‌های بازسازی تحلیلی استفاده می‌شود، امکان سنجی بهبود یافته توزیع رادیواکتیویته را افزایش دهد. خطای میانگین مربعات
formula_7 قضیه مقدار میانگین
formula_31 شبیه‌سازی ترافیک شبکه
هنگامی که یک شبیه‌سازی کامل می‌شود (پایان می‌یابد) داده‌ها نیاز به تجزیه و تحلیل دارند. داده‌های خروجی شبیه‌سازی تنها یک برآورد احتمالی از حوادث رادر جهان واقعی تولیدمی‌کنند. روش‌های افزایش دقت و صحت داده‌های خروجی شامل: تکرار مکرر عمل شبیه‌سازی ومقایسه نتایج با هم وتقسیم رویدادها به دسته‌هایی و پردازش آن‌ها به صورت جداگانه و بررسی نتایج حاصل از شبیه‌سازیهای انجام شده در دوره‌های زمانی نزدیک به هم برای ایجاد یک دیدگاه جامع از سیستم. چون اکثرسیستم‌هادارای فرایندهای تصادفی هستند، ششبیه‌سازیاغلب ازمولد اعداد تصادفی برای ایجادداده‌های ورودی که تقریباً رویدادهای تصادفی دنیای واقعی هستند استفاده می‌کند. کامپیوتر تولیدکننده اعداد تصادفی به بیان دقیق تر معمولاً تصادفی عمل نمی‌کند بلکه آن‌ها از مجموعه‌ای از معادلات برای محاسبات استفاده می‌کنند. چنین اعدادی به عنوان اعداد شبه تصادفی شناخته می‌شوند. هنگام استفاده از اعداد شبه تصادفی تحلیلگرباید مطمئن باشد که اعدادتصادفی علامت زده شده درست باشد اگر اعداد تصادفی موجود در یک مد به اندازه کافی تصادفی نباشند یک روش دیگرباید استفاده شود.(از تولیدکننده اعدادتصادفی دیگری باید استفاده شود.)اعداد تصادفی برای شبیه‌سازی توسط یک مولد اعداد تصادفی تولید می‌شود. میانگین
میانگین در ریاضیات و آمار کاربرد متفاوت دارد، که شامل الگوریتم محاسبه واریانس
این موضوع می‌تواند زمانی مفید باشد که برای مثال، چندین واحد پرداش برای قسمت‌های مختلف از ورودی در نظر گرفته شده باشد. شیوه Chan روشی برای تخمین میانگین، زمانی که formula_22 و هر دو بسیار بزرگ باشند، از لحاظ عددی نامطمئن است، چراکه خطای عددی موجود در formula_23 متناسب با زمانی نیست که formula_24. در چنین مواردی، formula_25 ترجیح داده می‌شود. عدد گنگ
اعداد گنگ را همچون تمام اعداد حقیقی می‌توان برحسب ارزش مکانی (مثلاً در دستگاه ده‌دهی) بیان نمود. اعشار اعداد گنگ پایان ناپذیر است و دنباله متناوبی تشکیل نمی‌دهند. به عنوان مثال، نمایش ده‌دهی عدد formula_1 با ۳٫۱۴۱۵۹ شروع می‌شود، اما نمی‌توان با هیچ تعداد متناهی از ارقام، این عدد را نمایش داد و در ارقام اعشاری آن تکرار وجود ندارد. برعکس، بسط اعشاری که پایان پذیر بوده یا تناوب داشته باشد، لزوماً عدد گویایی است. این خواص اعداد گنگ و دستگاه ارزش مکانی را می‌توان اثبات نمود، با این حال از آن‌ها در ریاضیات به عنوان تعریف استفاده نمی‌شوند. انتساب تصادفی
اگر گروهی که به‌طور تصادفی انتساب شده‌است، با میانگین مقایسه شود، درخواهید یافت که آن‌ها از نظر آماری متفاوتند، اگرچه آن‌ها از گروه یکسان منتسب شده بودند. برای توضیح آماری این ایده باید گفت، اگر یک آزمون معناداری آماری در گروه‌های به‌طور تصادفی انتساب شده، به کار روند، تا اختلاف بین میانگین نمونه و فرض صفر آزمایش شود که آیا با میانگین جامعه یکسان است، با داشتن احتمال توزیع، فرض صفر گاهی «رد» می‌شود، که این غیر محتمل می‌باشد. در نتیجه گروه به اندازه کافی در متغیرهای تست‌شده مختلف خواهد بود، تا از نظر آماری نشان دهد آن‌ها از جامعه یکسانی به‌دست نیامده‌اند، اگرچه، به‌طور رویه‌ای، آن‌ها از گروه کلی یکسانی انتساب شده بودند. در مثال بالا، استفاده از انتساب تصادفی موجب انتسابی به گروه می‌شود که دارای ۲۰ فرد چشم‌آبی و ۵ فرد چشم‌قهوه‌ای در یک گروه می‌باشد. در انتساب تصادفی این یک حالت نادر است، اما امکانش وجود دارد، و زمانی که این اتفاق روی دهد، ممکن است اندکی شک به فرضیه آزمایشی بیفزاید. امید ریاضی
مشروط بر اینکه این سری مطلقاً همگرا است (که این جمع باید در صورتی متناهی باشد که ما همهٔ "x"'s را با مقادیر قدرمطلقشان جایگزین کنیم). اگر این سری مطلقاً همگرا نباشد می گوئیم که مقدار مورد انتظار "X" وجود ندارد. برای مثال فرض کنید که متغیر تصادفی X شامل مقادیر ۱, −۲, ۳, −۴, … به ترتیب با احتمالات , , , , … ,باشد که یک ثابت نرمال‌ساز است که مطمئن می‌سازد که مجموع احتمالات برابر یک است. پس جمع متناهی زیر همگرا است و جمعش برابر . می‌باشد: انتگرال
انتگرال‌های معین ممکن است با استفاده از روش‌های انتگرال‌گیری عددی، تخمین زده شوند. یکی از عمومی‌ترین روش‌ها، روش مستطیلی نامیده می‌شود در این روش ناحیه زیر نمودار تابع به یک سری مستطیل تبدیل شده و جمع مساحت آن‌ها نشان دهنده مقدار تقریبی انتگرال است. از دیگر روش‌هایی معروف برای تخمین مقدار انتگرال روش سیمپسون و روش ذوزنقه‌ای است. اگر چه روش‌های عددی مقدار دقیق انتگرال را به ما نمی‌دهند ولی در بعضی از مواقع که انتگرال تابعی قابل حل نیست یا حل آن مشکل است کمک زیادی به ما می‌کند. میانگین متحرک
دو نوع میانگین متحرک وجود دارد: میانگین متحرک ساده (Simple Moving Average: SMA) و میانگین متحرک نمایی (Exponential Moving Average: EMA). میانگین متحرک ساده تنها متوسطی از قیمت سهام، در بازه زمانی مورد نظر است (همانطوری که یک دانش آموز میانگین نمراتش را حساب کرده و نام آن را معدل می‌گذارد)، ولی نحوه محاسبه میانگین متحرک نمایی به صورتی است، که هر چه قیمت به انتهای بازه زمانی (قیمت فعلی) نزدیک‌تر می‌شود، وزن سنگین‌تری را در محاسبه میانگین ایفا می‌کند. به بیانی دیگر میانگین متحرک نمایی همان میانگین وزنی متوسط قیمت است، که قیمت‌های اخیر، وزن بیشتری را در محاسبه دربردارند. هر چند که نحوه محاسبه این شاخص‌ها مهم نیستند، چرا که بسیاری از سایت‌ها آن را برای شما فراهم می‌کنند. قضیه مقدار میانگین
پس اعداد تصادفی
یکی از کاربردهای روزانه از اعداد تصادفی در ریاضیات لگاریتم عدد ۲ و نیز عدد پی می‌باشد. ارقام اعشار عدد پی کاملاً به صورت تصادفی یافت می‌شوند و با الگوی خاصی ادامه پیدا می‌کنند. برای به دست آوردن مقادیر تصادفی در ماشین حساب‌ها و برنامه‌نویسی از متد تایمر استفاده می‌شود. برای مثال، اکس ثانیه، عدد(۷.)۹ را در خروجی نمایش می‌دهد، که می‌تواند به صورت زیر نوشته شود: انتشار باور
انتشار باور, که به عنوان مجموع-حاصلضرب انتقال پیام نیز شناخته می‌شود. یک الگوریتم انتقال-پیام برای انجام استنتاج در مدل‌های گرافی احتمالی همچون شبکه‌های بیزی و میدان تصادفی مارکوف است. به طور خلاصه این روش توزیع احتمال حاشیه ای مربوط به هر گره مشاهده نشده را مشروط بر هر گره مشاهده شده، محاسبه می‌کند. انتشار باور معمولاً در کاربردهای مختلف مربوط به زمینهٔ هوش مصنوعی یا تئوری اطلاعات مورد استفاده قرار می‌گیرد. برزدن فیشر یتس
به‌طور مثال فرض کنید مولد، عددی در بازهٔ [۹۹ ۰] تولید کند و ما عددی در بازهٔ [۱۵ ۱] بخواهیم. اگر اعداد صحیح بازهٔ [۹۹ ۰] را بر ۱۵ تقسیم و باقی‌مانده را با یک جمع کنیم، اعداد یک تا ده، ۷ مرتبه و سایر اعداد ۶ مرتبه ظاهر می‌شوند؛ زیرا ۱۰۰ بر ۱۵ بخش‌پذیر نیست. پس توزیع اعداد تصادفی تولید شده در بازهٔ [۱۵ ۱] یکنواخت نیست و اریب می‌باشد. آماره بسنده
آمارهٔ بسنده  برای یک پارامتر، آماره‌ای است از داده که تمام اطلاعات موردنیاز برای تخمین آن پارامتر را دربر دارد. به بیان دیگر، گوییم formula_1 آماره‌ای بسنده‌است اگر دانستن آن ما را از داشتن تمام نمونه‌ها برای تخمین پارامترهای توزیع نمونه‌ها بی‌نیاز سازد. به عنوان مثال، در تخمین میانگین نمونه‌های formula_2 که براساس توزیع نرمال با میانگین formula_3 و واریانس واحد توزیع شده‌اند، آمارهٔ زیر یک آمارهٔ بسنده‌است: آنالیز مختلط
این توابع بویژه در مطالعه هندسه فراکتال‌ها، و علوم مهندسی چون طراحی مدارات و سیستم‌های مختلف الکترنیکی و مخابراتی کاربرد بسیار فراوان دارند. توابع مختلط بر خلاف توابع حقیقی به صورت هندسی در صفحه قابل نمایش نیستند و به صورت دوبُعدی هستند. چندین روش برای نشان دادن اعداد مختلط وجود دارد. یکی از راه‌های نمایش این اعداد نمایش با استفاده از روش دکارتی می‌باشد. روش دوم نمایش این اعداد نمایش استاندارد می‌باشد. روش سوم و مهمترین روش نمایش اعداد مختلط نمایش قطبی می‌باشد. فرمول معروف اویلر ریاضی‌دان شهیر سوییسی نقش کلیدی در نمایش اعداد مختلط به گونه قطبی می‌باشد. توزیع احتمال
واریانس در محاسبات آماری، یک معیار برای سنجش میزان پراکندگی داده‌ها نسبت به میانگین داده‌هاست. ما در این مباحث، امیدریاضی را مشابه میانگین در نظر گرفتیم و به این ترتیب واریانس را چنین تعریف می‌کنیم: formula_38 حکم بسیار مهمی که در محاسبات بسیار راه‌گشاست و از تعریف بالا نتیجه می‌شود به قرار زیر است: formula_39 در این‌جا مقصود از formula_40 این است که مقدارهای متغیر تصادفی را به توان ۲ برسانیم. مثلاً برای محاسبهٔ واریانس متغیر تصادفی تعداد فرزندان دختر در یک خانواده با دو فرزند (که در بخش‌های قبل توزیع احتمال و امیدریاضی آن به دست آمد)، باید به این ترتیب عمل کنیم:formula_41 واریانس مجموع چند متغیر تصادفی مستقل را می‌توان برحسب واریانس تک‌تک این متغیرها حساب کرد: formula_42 تأکید می‌کنیم که این حکم فقط در صورتی قابل استفاده است که متغیرها "مستقل" باشند. قضیه مقدار میانگین
formula_28 مناسب برابر است با formula_29 چون در این صورت داریم: انتقال میانگین
انتقال میانگین در آمار و ریاضیات،، تکنیکی برای یافتن بیشینه‌های (Maxima) یک تابع توزیع میباشد. این تکنیک، در پردازش تصاویر، بینایی ماشین و خوشه‌بندی کاربرد دارد. امید ریاضی
یک نا تساوی مهم برای این موضوع نا تساوی جنسن است، که شامل مقدارهای مورد انتظار تابع‌های محدب می‌شود. استفاده‌ها و کاربردها مقدارهای مورد انتظار توان‌های "X"گشتاورهای "X"می‌نامند؛ گشتاورها نزدیک به میانگین "X" در واقع مقدارهای مورد انتظار توان‌های هستند. گشتاورهای بعضی از متغیرهای تصادفی می‌توانند برای تعیین توزیع‌هایشان از طریق تابع تولیدی گشتاوریشان استفاده شوند. برای تخمین تجربی مقدار مورد انتظار یک متغیر تصادفی، ما به‌طور پیوسته مشاهدات متغیر را اندازه‌گیری می‌کنیم و میانگین حسابی نتایج را محاسبه می‌کنیم. اگر مقدار مورد انتظار وجود دارد، این فرایند مقدار مورد انتظار حقیقی را با یک شیوهٔ غیر تعصبی و غیر طرفدارانه را تخمین می‌زند و ویژگی به حداقل رساندن مجموع مربع‌های باقی‌مانده‌ها دارد (جمع تفاضل‌های مربع بین مشاهدات و تخمین) قانون اعداد بزرگ نشان داد که تحت شرایط نسبتاً مناسب، هنگامیکه اندازهٔ نمونه بزرگتر می‌شود واریانس این تخمین کوچکتر می‌شود. این ویژگی در بسیار از مصارف استفاده می‌شود مانند: مسائل کلی تخمین آماری و آموزش ماشین، بریا تخمین مقدارهای (احتمالی) سود از طریق متود ها/روش‌های مونت کارلو، زیرا اکثر مقدارهای (کمیت‌های) سود می‌تواند از لحاظ امید ریاضی نوشته شوند یعنی، در اینجا تابع شاخصی برای مجموعهٔ است. در مکانیک کلاسیک، مرکز جرم یک مفهوم مشابه امید ریاضی است. برای مثال، فرض کنید "X" یک متغیر تصادفی گسسته با مقدارهای "x" و احتمالات مرتبط "p" است، حالا یک میلهٔ بدون وزن که بر روی آن وزن‌ها در موقعیت‌های "x" در طول میله قرار گرفته‌اند و جرم آنها "p" است (که مجموع آنها یک است) نقطه که در آن میله متعادل E["X"] است. مقدارهای مورد انتظار می‌توانند همچنین برای محاسبهٔ واریانس به وسیلهٔ فرمول‌های محاسباتی واریانس استفاده شوند. ریاضیات گسسته
با استفاده از همنهشتی می‌توان دنباله‌ای از اعداد شبه تصادفی تولید کرد. این اعداد تصادفی دارای این مزیت هستند که خیلی سریع ساخته می‌شوند و عیب آن در این است که در استفاده از این دنباله‌ها در کارهای مختلف باید پیشگویی‌های زیادی داشته باشیم. جدول درهمک‌سازی
وقتی زیرمجموعه‌ای تصادفی از یک مجموعهٔ بزرگ اعداد را درهم‌سازی می‌کنیم، جلوگیری از رخ دادن تصادم عملاً غیرممکن خواهد بود. برای مثال اگر بخواهیم ۲۵۰۰ کلید را در یک میلیون خانه هش کنیم، ۹۵٪ احتمال وجود دارد که حداقل دو کلید در یک مکان هش شوند. بنابر این، بسیاری از پیاده‌سازی‌های توابع هش، استراتژی خاصی برای تحلیل مسئله تصادم در نظر می‌گیرند تا این قبیل پیشامدها را کنترل کنند. تعدادی ازاستراتژی‌های رایج در زیر توصیف خواهند شد. همهٔ این متدها احتیاج دارند که تمام کلیدها یا ارجاعات آن‌ها به همراه مقدار هش آن‌ها با هم در جدول ذخیره شوند. عدد مختلط
اعداد مختلط را می‌توان به صورت زوج‌های مرتب (a, b) از اعداد حقیقی نیز تعریف کرد. با اعمال: بنابراین اعداد مختلط تشکیل یک میدان می‌دهند، میدان مختلط، که با C نشان داده می‌شود. از آنجایی که عدد مختلط "a" + "bi" به‌طور منحصربه‌فرد با یک زوج مرتب (a, b) نمایش داده می‌شود، پس اعداد مختلط یک تناظر یک به یک با نقاط در صفحه دارند. به آن صفحه مختلط گفته می‌شود. عدد حقیقی "a" را با عدد مختلط (a, 0) نشان می‌دهیم و در این حالت میدان اعداد حقیقی R یک زیر میدان از C می‌شود. واحد موهومی "i" عدد مختلط (0, 1) است. منظور از تقسیم دو عدد مختلط یعنی formula_19 یافتن عددی است مثل "x + iy" که در تساوی صدق نماید، پس از محاسبه رابطه بالا داریم: پس کافی است اعداد "x" و "y" را چنان پیدا کنیم که در روابط formula_20 formula_21 مگر آنکه "c = d = 0" بنابراین formula_22 البته همین نتیجه را می‌توانستیم از ضرب صورت و مخرج کسر formula_19 در "c - id" نیز بدست آوریم. مغالطه تعمیم ناروا
از این مشاهدات، فرد ممکن است ادعا کند که همه اعداد فرد یا اول هستند یا مربع، در حالی که در واقعیت، 15 مثال این ادعا را رد می کند. مغالطه علت شمردن همبستگی
مغالطه علت شمردن مقارن یا تسبیب مایقارن در منطق سنتی، از مغالطه‌های مشهور است که از این پیش‌فرض نادرست ناشی می‌شود که هرگاه دو رویداد با هم اتفاق بیافتند، می‌توان یکی از آن دو را علت دیگری دانست. این مغالطه، نوعی کج‌فکری در فهم علیت است زیرا چه بسا که هم‌زمانی دو حادثه برای این است که "علت سومی" سبب پیدایش آن‌ها می‌گردد، یا دو حادثه هم‌زمان رخ می‌دهند، ولی هیچ ارتباط علّی میان آن‌ها برقرار نیست. تحقیقات آماری نیز در این زمینه‌ها، می‌تواند مغالطه‌آمیز باشد. بوت‌استرپینگ (آمار)
برای هموار کردن گسستگی میانه، ما می‌توانیم مقدار کمی از "N"(۰، "σ") نویز تصادفی را در هر نمونه بوت استرپ وارد کنیم. برای نمونه‌ای با اندازهٔ "n" انتخاب می‌کنیم formula_6. هیستوگرام‌های توزیع بوت استرپ و توزیع هموار شدهٔ بوت استرپ در زیر مشخص‌اند. توزیع بوت استرپ بسیار دندانه دار است زیرا میانه تنها مقادیر کمی را می‌تواند بپذیرد. اما توزیع بوت اترپ نرم شده بر این مشکل غلبه می‌کند. متوسط
متوسط یا در گفتار عامه، معدل () عددی منفرد است که به عنوان نمایندهٔ فهرستی از اعداد گرفته می‌شود. در بافتارهای مختلف مفاهیم مختلفی در مورد معدل وجود دارد. گاه معدل به میانگین حسابی (مجموع مقادیر موجود در یک مجموعه داده‌ها تقسیم بر تعداد آن‌ها) اشاره دارد. در آمار، میانگین، میانه، و مد همه به عنوان شاخص‌های اندازه‌گیری مرکزی شناخته می‌شود و در گفتار روزمره معدل ممکن است به هر یک از این‌ها اشاره داشته باشد. نمونه‌سازی مجدد (آمار)
بعداً، اختلاف بین میانگین نمونه محاسبه و برای هر روش ممکن تقسیم این مقادیر مخلوط به دو گروه به اندازه formula_4 و formula_5 ثبت می‌شود (مثلاً، برای تمام جایگشت برچسب‌های گروه‌های A و B). مجموعه این اختلافات محاسبه شده، توزیع دقیق اختلافات ممکن تحت این فرضیه تهی، که برچسب گروه اهمیتی ندارد، می‌باشد. کسر
معمولاً کسرهای متعارفی بزرگتر از ۱ را به صورت اعداد مخلوط نشان می‌دهند. در این حالت عدد مخلوط شامل یک قسمت عدد صحیح و یک کسر متعارفی کوچکتر از واحد است. قسمت عدد صحیح همان خارج قسمت تقسیم و صورت کسر، باقی‌مانده تقسیم و مخرج کسر متعارفی نیز مقسومٌ علیه خواهد بود. درهم‌سازی میانی
فرض کنید "h" یک تابع درهم‌سازی باشد که اعضای و را به اعداد صحیح متمایز نسبت می‌دهد، و برای هر مجموعه "S" تعریف می‌کنیم که عضو از است با مقدار میانی . بنابراین دقیقاً زمانی که مقدار درهم سازی میانی اجتماع داخل تلاقی قرار گیرد. از همین رو، به عبارتی دیگر، اگر یک متغیر تصادفی باشد که وقتی است برابر ۱ و در غیر این صورت ۰ باشد، آنگاه یک برآوردگر بی‌غرض از است، با اینکه واریانس بالایی برای اینکه در نوع خود مفید باشد، دارد. هدف روش درهم‌سازی میانی برای کاهش واریانس، میانگین‌گیری از چندین متغیر است که به صورت یکسان تولید شده‌اند. کسر مسلسل
} در ریاضیات، کسر مسلسل ، عبارتی است که در فرایندی تکراری بدست می آید و نمایشی از یک عدد به صورت جمع جزء صحیح آن عدد و وارون عددی دیگر است، به گونه ای که آن عدد دیگر خود به صورت جمعی از یک عدد صحیح و معکوس عددی دیگر است و ... این فرآیند به همین ترتیب ممکن است تا بی نهایت ادامه یابد. در کسر مسلسل متناهی، تکرار/بازگشت بعد از تعداد مراحل متناهی متوقف می شود (برعکس کسر مسلسل نامتناهی). در نتیجه کسر مسلسل نامتناهی، اصطلاحاً "عبارتی نامتناهی" است. در هر صورت، تمام اعداد صحیح درون دنباله اعداد بکار رفته در عبارت کسر مسلسل، به غیر از اولین عدد، باید مثبت باشند. اعداد صحیح formula_3 را ضرایب یا جملات کسر مسلسل گویند. یکه موهومی
یکه موهومی، ، یکی از دو ریشه معادله formula_1 است که معمولاً با formula_2 نمایش داده می‌شود. با توجه به این‌که هیچ‌یک از اعداد حقیقی نمی‌تواند ریشه این معادله باشد، formula_2 موهومی خوانده می‌شود. با فرض این‌که خواص اعمال جمع و ضرب (بستار، شرکت‌پذیری، جابه‌جایی و توزیع‌پذیری) در مورد اعداد موهومی نیز صدق می‌کنند، از ترکیب این اعداد و اعداد حقیقی، دستگاه اعداد مختلط ایجاد می‌شود. آنالیز عددی
تخمین خطاهای موجود در حل مسائل از مهم‌ترین قسمت‌های محاسبات عددی است این خطاها در روش‌های تکرارشونده وجود دارد چون به هرحال جواب‌های تقریبی به‌دست آمده با جواب دقیق مسئله، اختلاف دارد یا وقتی‌که از روش‌های مستقیم برای حل مسئله استفاده می‌شود خطاهایی ناشی از گرد کردن اعداد به‌وجود می‌آید. در محاسبات عددی می‌توان مقدار خطا را درآخر روش که برای حل مسئله به کار می‌رود، تخمین زد. میانگین (ابهام‌زدایی)
میانگین ممکن است به یکی از معانی زیر بکار رود: داگلاس دبلیو. میچل
دستاوردهای میچل به‌طور چشم‌گیری متنوع است. علاوه بر مقالات او در حوزه‌های فرعی اقتصاد و مالی، کارهای او شامل دستاوردهای در حوزه‌های ریاضی، آمار، نظریه آشوب، کنترل بهینه و رمزنگاری است. کار او در حوزه آمار که مشخصه تأخیر معکوس چندجمله‌ای (PIL) برای تخمین مدل‌های رگرسیون سری زمانی را معرفی نمود، (میچل و اسپیکر، ۱۹۸۶ و اسپیکر، میچل و جیلیس، ۱۸۹۸) به‌طور گسترده‌ای کاربرد دارد. به عنوان مثال، به کینیدی (۲۰۰۳، صفحه ۲۲۴) و بسته رگرسیون شازام که شامل طرزالعمل PIL میچل و اسپیکر به عنوان گزینه‌ای در رگرسیون OLS (کم‌ترین مربعات معمولی) است، مراجعه نمایید. قضیه مقدار میانگین
پس formula_27. اقتصاد مهندسی
مونت کارلو نام معروفی برای تکنیک شبیه‌سازی است که از تولید اعداد تصادفی برای انتخاب رویدادهای معین، با توجه به توزیع احتمالی وقوع آن رویداد استفاده می‌کند. برای تولید اعداد تصادفی می‌توان از سکه، تاس، چرخ گردان و غیره استفاده کرد. رایج‌ترین نوع، جدول اعداد تصادفی است که در آن اعداد به‌طور تصادفی و بدون ترتیب و الگوی خاص توزیع شده‌اند. الگوریتم اعداد تصادفی در کلیه میکرو کامپیوترها نیز موجود است. امید ریاضی
اگر همهٔ جواب‌های "x" دارای احتمال یکسان باشند (یعنی "p" = "p" = … = "p"), پس میانگین وزن دار به میانگین ساده تبدیل می‌شود. این شهودی است: مقدار مورد انتظار یک متغیر تصادفی میانگین همهٔ مقادیری است که می‌توان گرفت؛ بنابراین، این مقدار مورد انتظار، مقداری است که شما انتظار دارید روی میانگین اتفاق بیفتد. اگر جواب‌های "formula_46" هم احتمال نباشند، بنابراین ممکن است میانگین ساده جایگزین میانگین وزن دار (که بعضی از جواب‌های محتمل تر از بقیه را در نظر می‌گیرد) شود؛ ولی با این حال این شهود و کشف به همین صورت باقی می‌ماند: مقدار مورد انتظار X، مقداری است که انتظار می‌رود روی میانگین اتفاق بیفتد. مثال ۱- فرض کنید "X" جواب یک تاس شش گوشه را نشان دهد. "formula_4" تعداد خال‌های روی وجه بالایی تاس بعد از پرتاب است می‌باشد. مقادیر ممکن برای "X"، ۱، ۲، ۳، ۴، ۵و۶ (که همگی دارای احتمال برابر ۱/۶ هستند) می‌باشند. امید "X"برابر است با: نشاندن (ریاضیات)
اگر formula_1 و formula_2 داده شده باشند، ممکن است به طرق مختلفی بتوان formula_1 را در formula_2 نشاند. در بسیاری از موارد علاقه‌مندیم که به شکل استانداردی (یا به اصطلاح به روش "کانونی") این نشاندن را انجام دهیم، مثل نشاندن اعداد طبیعی در اعداد صحیح، نشاندن اعداد صحیح در اعداد گویا، نشاندن اعداد گویا در اعداد حقیقی یا نشاندن اعداد حقیقی در اعداد مختلط. در چنین مواردی اغلب formula_1 را با تصویرش formula_13 که مشمول در formula_2 است را یکی می گیرند. لذا رابطه آن‌ها را اینگونه در نظر می گیریم: formula_15. قضیه مقدار میانگین
پس تابع کد تکراری
قطعه کد زیر را که میانگین آرایهای از اعداد صحیح را محاسبه می‌کند، در نظر بگیرید  extern int array_a[]; extern int array_b[]; قضیه مقدار میانگین
صورت این قضیه چنان ساده است که ممکن است در نگاه اول متوجه اهمیت نتایج فراوان آن نشوید. این قضیه، ریاضیات لازم را برای برآورد کردن مقدار خطای ناشی از تقریب زدن خطی در اختیار ما می‌گذارد و به‌وسیله آن می‌توان آزمون مشتق اول برای صعودی و نزولی بودن را توجیه کرد. اولین قدم برای درک این قضیه، دانستن صورت اولیه آن یعنی قضیه رل است. حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی
این تکنیک برای مشتق تابع (y(t در t۰ از متد اویلر استفاده می‌کند. از k۱ نیز برای بدست آوردن مقدار اولیه (y(t+h استفاده می‌کنیم. از (y*(t+h می‌توانیم مقدار مشتق(y(t را در t+h حساب کنیم که آن را k۲ می‌نامیم. سپس میانگین این دو مشتق را k۳ می‌نامیم. نظریه اعداد
در نظریه تحلیلی اعداد از حسابان و آنالیز مختلط برای بررسی سؤالاتی در مورد اعداد صحیح استفاه می‌شود. مثال‌هایی در این مورد قضیه اعداد اول و حدس ریمان هستند. مسئله وارینگ (یعنی نمایش هر عدد صحیح به صورت جمع چند مربع یا مکعب)، حدس اعداد اول تؤامان (یافتن بینهایت عدد اول با اختلاف ۲)، و حدس گلدباخ (نمایش هر عدد زوج به‌صورت مجموع دو عدد اول) نیز با روش‌های تحلیلی مورد حمله قرار گرفته‌اند. اثبات متعالی (ترافرازنده) بودن ثابت‌های ریاضی مانند "π" و "e" نیز در بخش نظریه تحلیلی اعداد قرار دارند. اگرچه حکم‌هایی در مورد اعداد ترافرازنده خارج از محدوده مطالعات اعداد صحیح به نظر می‌آید، در واقع مقادیر ممکن برای چندجمله‌ای‌ها با ضریب‌های صحیح مانند "e" را بررسی می‌کنند. همچنین این‌گونه مسائل با مبحث تقریب دیوفانتین نیز ارتباط نزدیک دارند که موضوع آن این است که چگونه می‌توان یک عدد حقیقی داده شده را با یک عدد گویا تقریب زد؟ نابرابری میانگین حسابی-هندسی
پس جمع آن‌ها "nx"، میانگین حسابی آن‌ها "x" و عدد زیر رادیکال "x" می‌باشد. هم‌چنین میانگین هندسی آن‌ها "x" است؛ از این رو، نابرابری میانگین حسابی-هندسی برای این حالت اثبات می‌شود. شبکه‌های زایای دشمنگونه
formula_34 حال بهینه‌سازی را برای مولد اعمال می‌کنیم. برای این‌کار میانگین گرادیان formula_25 را نسبت به پارامترهای formula_36 (مولد) که formula_4 باشد حساب می‌کنیم. مانند مرحله قبلی یکی سری نویز جدید که از formula_27 نمونه‌گیری کرده‌ایم را برای محاسبه میانگین به کار می‌بریم. پارامترهای formula_4 را در خلاف جهت این میانگین تغییر می‌دهیم تا باعث کاهش formula_25 شود. میانگین گرادیان با عبارت پایین برابر است: قضیه مقدار میانگین
و برهان قضیه کامل می‌شود. نمره استاندارد
نمره استاندارد، با کسر میانگین جمعیت از یک نمره خام فردی و سپس تقسیم آن بر انحراف معیار جمعیت محاسبه می‌شود. این فرایند تبدیل نمره خام به یک نمره استاندارد، نرمال سازی نامیده می‌شود (اگرچه نمره استاندارد تنها راه نرمال سازی نیست). شبکه‌های زایای دشمنگونه
برای آموزش تفکیک‌کننده به تعداد مشخصی (formula_24 بار) از طریق گرادیان صعودی تصادفی سعی در بیشینه کردن تابع formula_25 داریم. برای این‌کار formula_26 را از توزیع formula_27 نمونه‌گیری می‌کنیم. همچنین formula_28 را از داده‌های آموزشی نمونه‌گیری می‌کنیم. با این داده‌ها میانگین گرادیان formula_25 را نسبت به پارامترهای formula_7 (مولد) که formula_3 باشد حساب می‌کنیم. پارامترهای formula_3 را در جهت این میانگین تغییر می‌دهیم تا باعث افزایش formula_25 شود. میانگین گرادیان با عبارت پایین برابر است: میانگین
چندین گونه برای میانگین در ریاضیات و به‌ویژه در آمار وجود دارد. در مطالعه توزیع یک جامعه آماری مقدار نماینده که اندازه‌ها در اطراف آن توزیع شده‌اند را مقدار مرکزی می‌نامند و هر معیار عددی را که معرف مرکز مجموعه داده‌ها باشد، معیار گرایش به مرکز می‌نامند. میانگین و میانه از متداول‌ترین معیارهای گرایش به مرکز هستند. فهرست نمادهای ریاضی
formula_92: نماد مقدار میانگین. مثال: formula_93 می‌خوانیم «میانگین همهٔ formula_94ها» یا «formula_5ِ میانگین» یا «formula_5 بار». زیان هابر
دو تابع زیان بسیار معمول توابع، زیان مربع یعنی formula_5و زیان قدرمطلق formula_6هستند. تابع زیان مربع نتیجه ای در برآوردگر بی بایاس میانگین محاسباتی است و تابع زیان قدرمطلق، نتیجه ای در تخمین‌گر بایاس نشده میانه و تخمین‌گر بایاس نشده میانه ژئومتری است. زیان مربع دارای مزیت‌های بسیاری است که تمایل به غربالگری دارد و این برای زمانی است که جمع روی مجموعه ای از aها یعنی formula_7میانگین نمونه تحت تأثیر چندین مقدار بزرگ و خاص است.