مشتق در ریاضیات چگونه گرفته میشود؟
مشتق توابع مثلثاتی
مشتق‌گیری از تابع‌های مثلثاتی یک فرایند ریاضی است که برای یافتن مشتق یک تابع مثلثاتی یا نرخ تغییرات آن برحسب متغیر، انجام می‌شود. مشتق همه تابع‌های مثلثاتی را می‌توان برحسب مشتق سینوس و کسینوس به دست آورد. زیرا همه این تابع‌ها را می‌توان به صورت تابعی از سینوس یا کسینوس بیان کرد. قاعده خارج قسمت برای مشتق‌گیری از تابع مورد نظر به کار می‌رود. مشتق تابع‌های وارون مثلثاتی با استفاده از مشتق ضمنی و مشتق تابع‌های معمول مثلثاتی، قابل محاسبه است.
حساب دیفرانسیل
حسابان در فیزیک دارای اهمیت حیاتی است. بسیاری از فرایندهای فیزیکی با معادلات شامل مشتقات توصیف می‌شوند و معادلات دیفرانسیل خوانده می‌شوند. فیزیک به‌ویژه با تغییرات کمیت‌ها در زمان سر و کار دارد و مفهوم مشتق زمانی (نرخ تغییر در زمان) برای تعریف دقیق چند مفهوم مهم، ضروری است. به‌طور خاص، مشتقات زمانی موقعیت جسم در فیزیک نیوتنی دارای اهمیت هستند: برای نمونه، موقعیت جسم روی خط مستقیم به صورت زیر است: مشتق
مفهوم مشتق تا اوائل قرن ۱۷ میلادی، یعنی تا قبل از آنکه ریاضی‌دان فرانسوی، پییر دو فرما به تعیین اکسترمم‌های چند تابع خاص دست بزند، تنظیم نشده بود. فرما دریافت که خطوط مماس، در نقاطی که منحنی ماکزیمم یا مینیمم دارد، باید افقی باشد. از اینرو به نظرش رسید که مسئلهٔ تعیین نقاط اکسترمم تابع، به حل مسئلهٔ دیگر، یعنی یافتن مماس‌های افقی مربوط می‌شود، تلاش برای حل این مسئلهٔ کلی‌تر بود که فرما را به کشف برخی از ایده‌های مقدماتی مفهوم مشتق هدایت کرد. مشتق
نتیجهٔ قضیهٔ رول: اگر تابع formula_6 روی formula_241 پیوسته باشد و formula_243 آنگاه حداقل یک نقطهٔ اکسترمم نسبی در بازهٔ formula_182 وجود دارد. مشتق سوم
در فیزیک، به خصوص سینماتیک، خیز به صورت مشتق سوم از تابع موقعیت از یک شی تعریف شده‌است؛ که اساساً میزانی که در آن شتاب در حال تغییر است. به زبان ریاضی: که در آن (j("t" تابع جرک با توجه به زمان و (r("t" تابع موقعیت جسم نسبت به زمان است. مشتق
اگر تابع formula_6 در نقطهٔ formula_17 مشتق‌پذیر باشد، آنگاه در آن نقطه پیوسته نیز هست. مشتق
نیوتون برای نشان دادن مشتق اول از formula_36 و برای مشتق دوم از formula_37 استفاده می‌کرد. نمادهای نقطه‌دار نیوتون در برخی مسائل فیزیکی مانند سرعت و شتاب بکار می‌روند. مقدارویژه و بردارویژه
به عنوان یک مثال ساده و بسیار پر استفاده، عمل‌گر مشتق‌گیری از توابع مشتق‌پذیر ریاضی را در نظر می‌گیریم: formula_46 در این‌جا عمل‌گر formula_47 بر روی تابع مشتق‌پذیر formula_48 عمل نموده و تابع formula_49 را به دست داده‌است. مشتق
در مقابل رابطهٔ صریح تابع به شکل کلی formula_2، رابطهٔ ضمنی آن به صورت formula_153 قرار می‌گیرد. برای محاسبهٔ مشتق توابع ضمنی دو روش کلی وجود دارد: مشتق
اگر تابع formula_6 در همسایگی نقطهٔ formula_17 پیوسته و یک به یک بوده و formula_21 موجود و غیر صفر باشد، آنگاه تابع formula_206 در نقطهٔ formula_207 مشتق‌پذیر است و داریم: مشتق متقارن
در ریاضیات، مشتق متقارن یک عملیات است که مشتق معمولی را تعمیم می‌دهد. که با این رابطه مشخص می‌شود: مشتق
اگر در بازهٔ فوق نقطه‌ای مثل formula_244 وجود داشته باشد که تابع در آن نقطه ناپیوسته باشد، می‌بایست formula_321 و formula_322 را نیز بدست آورد و مانند موارد بالا وجود formula_312 یا formula_313 را بررسی کرد. مشتق
برای حل مسائل بهینه‌سازی لازم است ابتدا کمیت‌هایی مانند حجم، مساحت، فاصله و… که بیشترین یا کمترین مقدار آن مورد نیاز است، به صورت تابعی از متغیرهای دیگر نوشته شود و چنانچه معادلهٔ حاصل بیش از یک متغیر داشت با استفاده از فرضیات مسئله و ارتباط متغیرها با هم، معادله را به معادله‌ای با یک متغیر مستقل تبدیل کرد و در انتها به کمک مشتق، نقاط بحرانی را یافت، تا بتوان ماکزیمم و مینیمم مطلق تابع را مشخص کرد. مشتق
اگر formula_1 نقطه‌ای از نمودار تابع formula_2 و formula_3 نقطهٔ دیگری از این نمودار باشد، آنگاه formula_4 و شیب خط قاطع عبارت است از: مشتق
اگر formula_6 و formula_90 در formula_68 از راست مشتق داشته باشد از قاعدهٔ هوپیتال برای وقتی formula_403 می‌توان استفاده کرد و به همین ترتیب، اگر مشتق چپ داشته باشد برای formula_404. مشتق
تقریباً مشتق تمامی توابع نمایی مشهور و پر کاربرد به شکل زیر است: مشتق توابع مثلثاتی
با جایگذاری formula_26 و سپس (x=sin(y در معادله بالا: مشتق
برای یافتن زاویهٔ بین دو منحنی، ابتدا آن‌ها را با هم تلاقی داده و طول نقطهٔ تلاقی را می‌یابیم. سپس از دو منحنی مشتق گرفته و ضریب زاویه‌های بدست آمده را در رابطهٔ formula_297 قرار می‌دهیم تا زاویهٔ بین دو منحنی بدست آید. مشتق
هرگاه formula_6 تابعی از formula_192 به formula_193 باشد، آنگاه مشتق جهت‌دار formula_6 در یک جهت بخصوص، بهترین تقریب خطی formula_6 در آن نقطه و جهت است. اما هرگاه formula_196 باشد، دیگر مشتق جهت‌دار نمی‌تواند به تنهایی، تصویر کاملی از رفتار تابع نشان دهد. مشتق کل، که دیفرانسیل کل نیز نامیده می‌شود با در نظر گرفتن رفتار تابع در تمام جهت‌ها می‌تواند تصویر کاملی از رفتار تابع ارائه کند. مشتق‌گیری لگاریتمی
به دو طرف معادله لگاریتم طبیعی اعمال می‌شود تا ضرب‌ها به جمع تبدیل شوند: با اعمال قاعده زنجیری و قاعده جمع و پس از اعمال جبری و تبدیل y به تابعی از x، مشتق y به دست می‌آید: تابع حسابی
اگر f تابعی حسابی باشد مشتق f را برای هر عدد طبیعی n به صورت: مشتق پارامتری
می‌شود که فرمول آن به صورت زیر می‌شود مشتق
مشتق راست: اگر تابع formula_6 در فاصلهٔ formula_67 تعریف شده باشد آنگاه حاصل حد زیر، در صورت وجود، مشتق راست تابع در formula_68 می‌باشد: مشتق
در سال ۱۸۰۰ میلادی نماد دیگری توسط لوییس آربوگاست معرفی شد و توسط لئونارد اویلر مورد استفاده قرار گرفت. این نماد مشتق formula_6 را به شکل formula_59 نشان می‌دهد. علامت formula_60 یک عملگر دیفرانسیلی است و این فکر را القا می‌کند که formula_59 تابع جدیدی است که با مشتق‌گیری از formula_6 بدست آمده‌است. مشتق مراتب بالاتر به صورت formula_63 و مقدار آن در formula_7 به صورت formula_65 نوشته می‌شود. مشتق
تعبیر هندسی مشتق‌پذیری: تابع formula_6 در formula_68 مشتق‌پذیر است هرگاه بتوان در این نقطه یک خط کامل مماس و غیر موازی با محور yها بر منحنی رسم کرد. مشتق
اگر نمودار تابعی به صورت formula_372 باشد، تقعر آن به سمت بالاست. در این حالت منحنی بالای هر خطی که بر آن مماس شود، قرار می‌گیرد. به عبارت دیگر اگر formula_39 صعودی اکید باشد یا formula_53 روی بازهٔ formula_129 موجود و همواره مثبت باشد، آنگاه جهت تقعر نمودار formula_6 روی این بازه رو به بالاست. حساب دیفرانسیل
مشتق تابع ، بهترین تقریب خطی ممکن آن را در نقطهٔ دلخواه ارائه می‌دهد؛ ولی این تقریب می‌تواند بسیار متفاوت از مقدار واقعی باشد. یکی از شیوه‌های بهبود تقریب، بهره‌گیری از تقریب درجه دوم است. به بیان ریاضی، تقریب خطی تابع حقیقی به صورت است، در حالی که ممکن است چندجمله‌ای درجه دوم به صورت تقریب دقیق‌تری از تابع باشد. با افزایش درجهٔ چندجمله‌ای می‌توان تقریب‌های بهتری را نیز به دست آورد. برای این چندجمله‌ای‌ها باید بهترین گزینهٔ ممکن برای تعیین ضرایب "a" و "b" و غیره موجود باشد که تقریب را تا جای ممکن بهبود بخشد. عملگر دیفرانسیلی
در ریاضیات، عملگر دیفرانسیلی عملگری است که به صورت تابعی از عملگر مشتق تعریف می‌شود. مشتق سوم
مشتق سوم در حسابان، میزانی که در آن مشتق دوم، یا نرخ تغییرات نرخ تغییر، در حال تغییر است می‌باشد. در واقع مشتق سوم، مشتقِ مشتق دوم است. مشتق سوم با نمادهای زیر که رایج‌ترین آن هستند نشان داده می‌شود. مشتق
زاویهٔ بین یک خط و منحنی عبارت است از زاویهٔ بین مماس رسم شده بر منحنی در نقطهٔ تقاطع با خط. برای تعیین زاویهٔ بین خط و منحنی به ترتیب زیر عمل می‌کنیم: مشتق‌گیری لگاریتمی
برای تابعی به شکل لگاریتم طبیعی توان را به ضرب تبدیل می‌کند: با اعمال قاعده زنجیری و قاعده جمع و پس از اعمال جبری و تبدیل y به تابعی از x، مشتق y به دست می‌آید: با بازنویسی "f" به عنوان تابع نمایی و اعمال قاعدهٔ زنجیری نیز می‌توان همین نتیجه را به دست آورد. مشتق جزئی
مشتق پاره‌ای یا مشتق جزئی، در مورد توابع چند متغیره، به مشتق تابع نسبت به یکی از متغیرها با ثابت نگه‌داشتن سایر متغیرها گفته می‌شود. مشتق
نیوتون از شیوهٔ استدلال سینماتیک و با دیدگاه فیزیکی به بررسی مشتق پرداخته و از آن برای بدست آوردن سرعت لحظه‌ای استفاده می‌کرد. اما لایب‌نیتس با دیدگاهی هندسی، از مشتق برای بدست آوردن ضریب زاویهٔ مماس در منحنی‌ها استفاده می‌کرد. هر یک از این دو دانشمند نمادهای جداگانه‌ای را برای نشان دادن مشتق به کار می‌بردند. مشتق
اگر نمودار تابعی به صورت formula_377 باشد، تقعر آن به سمت پایین است. در این حالت منحنی پایین هر خطی که بر آن مماس شود، قرار می‌گیرد. به عبارت دیگر اگر formula_39 نزولی اکید باشد یا formula_53 روی بازهٔ formula_129 موجود و همواره منفی باشد، آنگاه جهت تقعر نمودار formula_6 روی این بازه رو به پایین است. نمادگذاری‌های مشتق
در نمادگذاری نیوتن ٬ مشتق با قرار دادن نقطه بالای تابع مورد نظر نمایش می‌یابد.این نوع نمایش مشتق٬ بیشتر برای مشتق زمانی و حداکثر تا مرتبه‌ی دوم کاربرد دارد: مشتق‌گیری لگاریتمی
مشتق‌گیری لگاریتمی برای تابع معمولاً با گرفتن لگاریتم طبیعی (لگاریتم به پایهٔ عدد e) قدر مطلق دو طرف معادله آغاز می‌شود: مشتق
بر طبق این تعریف، مقدار مشتق برابر نرخ تغییرات مقدار تابع است زمانی که تغییرات مربوط به متغیر مستقل به سمت صفر میل می‌کند. مشتق توابع مثلثاتی
برای محاسبه مشتق تابع کسینوس، از تعریف مشتق به صورت زیر بهره می‌بریم: با سود بردن از اتحاد داریم: با استفاده از حد تابع‌های سینوس و کسینوس (که بالاتر، اثبات شده‌اند): دیفرانسیل (ریاضیات)
دیفرانسیل ، در ریاضیات، به تفاوت‌های بی‌نهایت‌کوچک یا به مشتق توابع اشاره دارد. این اصطلاح در شاخه‌های متفاوتی از ریاضیات مثل حسابان، هندسه دیفرانسیل، هندسه جبری، و توپولوژی جبری استفاده می‌شود. مفهوم دیفرانسیل تابع پیش‌زمینه‌ای برای مشتق، شیب خط و انتگرال بوده و آموزش آن به منظور یادگیری مفاهیم حسابان ضروری است. ترکیب تابع
تابع حاصل که به صورت نماد می‌شود -که در بسیاری از منابع شامل این مقاله به صورت نیز نوشته می‌شود- برای تمام های عضو به صورت تعریف می‌شود. نماد به صورت‌های " در دایره "، " دور "، "ترکیب با "، " بعد از "، " به دنبال " و " ی " و " اُ "نیز خوانده می‌شود. مشتق ترکیب توابع مشتق پذیر از طریق قاعده زنجیره ای بدست می‌آید. مشتق‌های مراتب بالاتر از چنین توابعی از رابطهٔ فادی برونو به دست می آیند. نمادگذاری‌های مشتق
و مشتق‌های مرتبه‌های بالاتر چنین نمایش داده می‌شوند: formula_4 یکی دیگر از نمادگذاری های پرکاربرد ٬توسط ژوزف لویی لاگرانژ ابداع شده‌است.سه مرتبه‌ی اول مشتق چنین اند: formula_5 ٬formula_6 ٬ formula_7 مشتق
تقریباً مشتق تمامی توابع مثلثاتی مشهور و پر کاربرد به شکل زیر است: قاعده جمع
اگر تابع "(h(x) = f(x) + g(x" را در نظر گرفت و فرض کرد که "f" و "g" در هر نقطه‌ای مانند "x" مشتق پذیر هستند. آنگاه باید ثابت کرد که تابع "h" در "x" مشتق پذیر است و مشتق آن تابعی مانند "(h'(x" می‌باشد که از "(f'(x)+g'(x" حاصل شده‌است. کاربردهای مشتق
مشتق در ریاضی و سایر علوم کاربردهای بسیاری دارد مشتق کل
در حساب دیفرانسیل و انتگرال، عبارت مشتق کل یا مشتق تام یا مشتق کامل برای چند مفهوم مختلف به‌کار می‌رود: مشتق متقارن
formula_1 مشتق متقارن
اگر formula_2 و formula_3 دو نقطه در نمودار باشد شیب خط برابر رابطه یاد شده است که با نزدیک کردن formula_4 به صفر به شیب مماس در نقطه formula_5 یا مشتق در نقطه formula_5 نزدیک می‌شویم. مشتق مشتق
قضیهٔ لاگرانژ یا مقدار میانگین مشتق بیان می‌کند که هرگاه تابع formula_6 روی formula_241 پیوسته و روی بازهٔ formula_182 مشتق‌پذیر باشد، آنگاه حداقل یک نقطهٔ formula_244 در بازهٔ formula_182 وجود دارد که در آن:قضیهٔ کوشی که صورت تعمیم یافتهٔ قضیهٔ لاگرانژ است، بیان می‌کند که هرگاه توابع formula_6 و formula_90 روی بازهٔ formula_241 پیوسته و روی بازهٔ formula_182 مشتق‌پذیر باشند، آنگاه حداقل یک نقطهٔ formula_244 در بازهٔ formula_182 وجود دارد که در آن: مشتق (شیمی)
در گذشته، مشتق به معنی ترکیبی بود که می‌شد "تصور کرد" که از یک ترکیب دیگر بدست می‌آید، اگر یک اتم یا گروه اتم‌ها با یک اتم یا گروهی از اتم‌ها جایگزین شود. اما امروزه در زبان شیمی از عبارت آنالوگ ساختاری برای چنین مفهومی استفاده می‌شود. نمادگذاری‌های مشتق
و مشتق مرتبه formula_8 نیز به صورت "f" نشان داده می‌شود. قواعد دیفرانسیل گیری
در حساب دیفرانسیل برای گرفتن مشتق از یک تابع باید از یک سری قواعد پیروی کنیم. این قواعد به صورت‌های زیر طبقه‌بندی و خلاصه می‌شود. مشتق دوم
مشتق دوم تابع formula_3 را با نماد formula_4 نشان می‌دهند. هنگامی که با استفاده از نماد لایبنیتس برای مشتقات، مشتق دوم یک Y متغیر وابسته، با توجه به متغیر x مستقل نوشته می‌شود: این نماد از فرمول زیر بدست آمده‌است: مشتق ضمنی
وقتی معادله‌ای بر حسب y و y، x را به عنوان تابعی مشتق پذیر از x تعریف کند، حتی در مواردی که نتوان y را از معادله بدست آورد، اغلب می‌توان با استفاده از قواعد مشتق‌گیری dy/dx را محاسبه کرد. در این مقاله، نحوه این عمل را نشان می‌دهیم و به اختصار به ایده نهفته در پس این روش اشاره می‌کنیم، سپس از این روش استفاده می‌کنیم و نشان می‌دهیم که قاعده توان علاوه بر نماهای صحیح برای نماهای کسری هم برقرار است. معادله x = y۲ رادر نظر بگیرید همانطور که مشاهده می‌شود معادله مذکور دو تابع مشتق‌پذیر از x را تعریف می‌کند، یکی y = √x دیگری y = -√x. برای محاسبه dy/dx به‌طور ساده از دو طرف x = y۲ نسبت به x مشتق می‌گیریم و y را به عنوان یک تابع، هر چند نامشخص، مشتق‌پذیر از x تلقی می‌کنیم. با انجام این عمل داریم: مشتق
کسر فوق، خارج قسمت تفاضلی formula_6 در formula_7 نامیده می‌شود. اگر formula_7 ثابت نگه داشته شود و formula_9 به سمت صفر میل کند، آنگاه خارج قسمت تفاضلی formula_6 در formula_7 اگر فقط به formula_7 بستگی داشته باشد به مقداری میل می‌کند که به آن شیب خط مماس گفته می‌شود. به عبارت دیگر، حاصل حد زیر در صورت وجود ضریب زاویهٔ خط مماس نمودار تابع formula_6 در formula_7 را بدست می‌دهد: مشتق جهت‌دار
که formula_12 در طرف راست معادلهٔ بالا، نشان‌دهندهٔ گرادیان و «formula_13» ضرب داخلی است. مشتق جهت‌دار
مشتق جهت‌دار یک تابع نرده‌ای formula_5 در راستای بردار formula_6 تابعی است که با حد زیر تعریف می‌شود: مشتق توابع مثلثاتی
برای محاسبه مشتق تابع تانژانت، از تعریف مشتق به صورت زیر بهره می‌بریم: با استفاده از اتحاد جمع دو زاویه () داریم: پس از تبدیل حد حاصل‌ضرب به حاصل‌ضرب حدها: اکنون از حد تابع تانژانت و به صفر میل کردن تانژانت در نزدیکی صفر، بهره می‌بریم: رابطه بالا را به صورت زیر نیز می‌توان نوشت: مشتق
اگر تابع formula_90 در نقطهٔ formula_17 و تابع formula_6 در formula_99 مشتق‌پذیر باشد، آنگاه تابع formula_100 نیز در formula_17 مشتق‌پذیر است و داریم: حساب دیفرانسیل
مشتق‌گیری تقریباً در همهٔ علوم کمّی کاربرد دارد. برای نمونه، در فیزیک، مشتق جابجایی یک جسم متحرک برحسب زمان نشان دهندهٔ سرعت آن جسم و مشتق سرعت برحسب زمان بیانگر شتاب است. مشتق تکانهٔ یک جسم معادل با نیروی وارد بر آن جسم است و بازنویسی این مشتق‌گیری معادلهٔ معروف را که متناظر با قانون دوم حرکت نیوتن است، به دست می‌دهد. نرخ واکنش یک واکنش شیمیایی، یک مشتق است. مشتقات در تحقیق در عملیات، پربازده‌ترین روش‌های حمل مواد و طراح کارخانه‌ها را تعیین می‌کنند. مشتق
برای محاسبهٔ مشتق یک تابع برداری، می‌توان آن را برحسب مؤلفه‌های قائم خود، به صورت formula_185 و formula_186 نوشت و از هر کدام به‌طور جداگانه مشتق گرفت؛ یعنی اگر formula_187 و formula_188 وجود داشته باشند مشتق تابع برداری formula_104 به صورت زیر نوشته می‌شود: حساب دیفرانسیل
از سدهٔ هفدهم میلادی بسیاری از ریاضی‌دانان در زمینهٔ مشتق پژوهش کرده‌اند. در سدهٔ نوزدهم، ریاضی‌دانان دیگری از جمله آگوستین لویی کوشی، برنهارت ریمان و کارل وایرشتراس تحقیق در این زمینه را تکمیل کردند. در همین دوره، مشتق به فضای اقلیدسی و صفحهٔ مختلط تعمیم داده شد. حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی
این تکنیک برای مشتق تابع (y(t در t۰ از متد اویلر استفاده می‌کند. از k۱ نیز برای بدست آوردن مقدار اولیه (y(t+h استفاده می‌کنیم. از (y*(t+h می‌توانیم مقدار مشتق(y(t را در t+h حساب کنیم که آن را k۲ می‌نامیم. سپس میانگین این دو مشتق را k۳ می‌نامیم. مشتق
اگر formula_6 تابعی فرد و formula_21 موجود نباشد ولی formula_120 و formula_121 موجود باشند آنگاه خواهیم داشت: مشتق
اگر formula_139 آنگاه مشتق تابع formula_104 از رابطهٔ زیر بدست می‌آید: تصاعد هندسی
رابطه‌ای که در بالا بدست آمد تنها برای ۱> |"r"| معتبر است. در حالتی که یک مجموع متناهی داشته باشیم، می‌توانیم از مشتق‌گیری برای بدست آوردن مجموع استفاده کنیم. برای نمونه: نظریه عملگرها
عمل مشتق‌گیری از توابع پیوسته و مشتق‌پذیر ریاضی را می‌توان از جملهٔ ساده‌ترین نمونه‌های مورد بررسی و بحث در این مقاله به حساب آورد: formula_1 در این مورد عمل‌گر formula_2 بر روی تابع formula_3 عمل نموده و تابع formula_4 را نتیجه داده است. تابع هولومورفیک
این مشابه تعریف مشتق برای توابع حقیقی است، فقط همه کمیت‌هایش مختلط هستند. بخصوص، حد موقعی گرفته می‌شود که عدد مختلط به سمت میل می‌کند، و باید برای هر دنباله مقادیر مختلط برای که در صفحه مختلط به سمت میل می‌کند، مقدار یکسانی داشته باشد. اگر حد موجود باشد، می‌گوییم که در نقطه مشتق‌پذیر مختلط است. مفهوم مشتق‌پذیری مختلط ویژگی‌های مشترک زیادی با مشتق‌پذیری حقیقی دارد: خطی است و از قاعده ضرب، قاعده خارج‌قسمت، و قاعده زنجیره‌ای پیروی می‌کند. مشتق
مشتق به ازای مختصات نقطهٔ تماس برابر است با ضریب زاویهٔ خط مماس. پس برای تعیین شیب خط مماس یا قائم بر منحنی و تعیین معادلهٔ آن‌ها می‌توان از مشتق استفاده کرد. مشتق
هرگاه بخواهیم مشتق یک تابع مانند formula_6 را نسبت به تابع دیگری مانند formula_90 بدست آوریم، کافی است مشتق این توابع را نسبت به متغیرشان محاسبه نموده و سپس برهم تقسیم کنیم. مشتق
قاعدهٔ لایبنیتس بیان می‌کند که اگر دو تابع formula_6 و formula_90 روی بازهٔ formula_182 دارای مشتق‌های متوالی تا مرتبهٔ formula_57 باشند، آنگاه حاصل‌ضرب formula_237 نیز روی این بازه دارای مشتق‌های متوالی تا مرتبهٔ formula_57 است و داریم: مشتق
با تبدیل formula_9 به formula_25 تعریف دوم مشتق به صورت زیر حاصل می‌شود: کاربردهای مشتق
در حساب دیفرانسیل و انتگرال کمتر قضیه‌ای به اندازه قضیه مقدار میانگین و تعمیمهایش کارساز است. این قضیه، ریاضیات لازم را برای برآورد کردن مقدار خطای ناشی از تقریب زدن خطی در اختیار ما می‌گذارد مشتق
مشتق تمامی توابع جبری به شکل زیر است: مشتق ضمنی
با وجود این نیم دایره‌های بالایی و پایینی نمودار توابع f(x) = √۱-x۲ و g(x) = -√۱-x۲ هستند. هرگاه x بین ۱ و -۱ باشد، جفتهای (x,√۱-x۲) و (x,-√۱-x ۲) در معادله x۲ + y۲ = ۱ صدق می‌کنند. همانطور که مشاهده می‌شود توابع g و f به ازای x بین ۱ و -۱ مشتق پذیر نیز هستند، چون نمودارهای آن‌ها در x=±۱ مماس قائم دارند، این توابع در این نقاط مشتق پذیر نیستند. مشتق
اگر formula_6 تابعی زوج و formula_21 موجود نباشد ولی formula_120 و formula_121 موجود باشند آنگاه خواهیم داشت: مشتق سوم
اگر تابع formula_2 را فرض کنیم آنگاه مشتق آن تابع formula_3 و مشتق دوم آن formula_4 می‌باشد، و اگر از مشتق دوم مشتق گرفته شود مشتق سوم را نتیجه می‌دهد. زیرگروه جابه‌جاگر
در ریاضیات، به‌خصوص در جبر مجرد، زیرگروه جابه‌جاگر یا زیرگروه مشتق‌شده (یا زیرگروه مشتق) از یک گروه، زیرگروه تولیدشده توسط تمام جابه‌جاگران آن گروه است. مشتق‌گیری لگاریتمی
پس از گرفتن مشتق ضمنی:با ضرب دو طرف معادله در "y" عبارت 1/"y"حذف می‌شود و در دو طرف معادله تنها "dy"/"dx" می‌ماند: مشتق
تابع formula_6 در formula_68 مشتق‌پذیر است هرگاه در این نقطه پیوسته باشد و مشتق چپ و راست تابع با هم برابر و مساوی یک عدد حقیقی معین باشد. مشتق لی
با انتخاب مختصات "x" و با نوشتن :formula_8 که در آن formula_9 بردارهای یکه برای دسته(باندل) مماس‌ها هستند٬ خواهیم داشت: مشتق
تابع اولیه یا پادمشتق تابع formula_6 نامیده می‌شود. تابع formula_131 روی formula_129 مشتق‌پذیر است و برای هر formula_137 داریم: مشتق زمانی
به‌صورت برداری تعریف می‌شود که مؤلفه‌هایش مشتق زمانی مؤلفه‌های بردار اصلی هستند. بدین صورت که: مشتق
مشتق کل در حساب دیفرانسیل با مفهومی مشابه، به یک عملگر دیفرانسیلی نیز گفته می‌شود. این عملگر دیفرانسیلی، مشتق کل تابع را نسبت formula_7 به صورت زیر محاسبه می‌کند: مشتق جهت‌دار
اگر تابع formula_8 در نقطهٔ formula_2 مشتق‌پذیر باشد، سپس مشتق جهت‌دار آن در این نقطه، در راستای هر بردار formula_1 وجود داشته و می‌تواند از رابطهٔ زیر محاسبه شود: مشتق
از قاعدهٔ هوپیتال برای رفع ابهام formula_393 و formula_394 در حد استفاده می‌شود به‌طوری‌که اگر formula_6 و formula_90 در formula_68 مشتق‌پذیر باشند و formula_398 آنگاه: جواب ضعیف
در ریاضیات، جواب ضعیفِ (جواب تعمیم یافته ی) یک معادله دیفرانسیل معمولی یا معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی، تابعی است که مشتقات آن در ناحیه‌ای که معادله دیفرانسیل تعریف شده، ممکن است موجود نباشند با این حال، به مفهومی (که به شکل دقیقی تعریف می‌شود) در معادله داده شده صدق کند. تعاریف مختلفی از مشتق ضعیف موجود است که برای رده‌های مختلف معادلات مناسب هستند. یکی از مهم‌ترین این تعاریف، بر اساس مفهوم توزیع بیان می‌شود. مشتق
در این حالت برای تشخیص اکید یا غیر اکید بودن تابع formula_6 ریشه‌های مشتق را بدست می‌آوریم، اگر ریشه‌های مشتق، تمام نقاط روی یک بازه باشند، تابع صعودی غیر اکید است و در غیر این حالت صعودی اکید است. نمادگذاری‌های مشتق
معمول‌ترین نمادگذاری استفاده‌شده مربوط به لایب‌نیتز است.در این نمادگذاری مشتق formula_1 نسبت بهformula_2 می‌شود:  formula_3 مشتق
یک معادلهٔ دیفرانسیل معمولی صریح از مرتبهٔ n نامیده می‌شود. در حالت کلی تر فرم "ضمنی" معادلهٔ دیفرانسیل معمولی از مرتبهٔ n به صورت زیر می‌باشد: مشتق
لایبنیتس، نیوتون، لاگرانژ، آربوگاست و اویلر هر یک نماد جداگانه‌ای را برای نمایش مشتق بکار می‌بردند؛ اما در میان پیشگامان اولیهٔ آنالیز ریاضی، لایبنیتس بیش از هر کس دیگری به اهمیت علامات مناسب پی برده بود. او علامات را با حوصلهٔ زیادی آزمایش می‌کرد و با سایر ریاضی‌دانان مکاتبات بسیاری داشت و از این طریق معایب و محاسن نمادهای مختلف را برای آن‌ها مطرح می‌ساخت. پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال و گسترش ریاضیات نوین تا حدود زیادی بواسطهٔ علامت‌های پیشرفته‌ای است که بسیاری از آن‌ها توسط لایبنیتس ابداع شده‌اند. نمادگذاری‌های مشتق
برخی روش‌های دیگر برای نمایش مشتق ٬ در حساب چندمتغیره یا آنالیز تانسوری استفاده می‌شود.برای مثال: formula_29 اسم مشتق
اسم مشتق یکی از چهار گروه واژگان فارسی از نظر ساختاری است. این اسم‌ها از دو یا چند جزء تشکیل شده که دست کم یک جزء آن معنای مستقل دارد. یعنی پسوند یا پیشوند می‌باشد. مشتق‌ها از افزون وند به اسم و گاهی بن فعل ساخته می‌شوند و معنایی جداگانه و مستقل به وجود می‌آورند. همانند باغبانی و بارانی. مشتق
منظور از دامنهٔ تابع مشتق مجموعهٔ نقاطی است که تابع در آن‌ها مشتق‌پذیر است. به‌طور کلی برای تابع formula_6 داریم: حساب دیفرانسیل
توسعهٔ نوین حسابان مدیون آیزاک نیوتن و گوتفرید لایبنیتس است که رویکردهای مستقل و یکسانی را برای مشتق‌گیری و مشتقات فراهم کردند. نکتهٔ اصلی که این اعتبار را به آن‌ها داد، قضیهٔ اساسی حسابان بود که مشتق و انتگرال را به یکدیگر مرتبط می‌کرد. این قضیه، بسیاری از روش‌های پیشین برای محاسبهٔ سطح‌ها و حجم‌ها را که از دوران ابن هیثم توسعهٔ چندانی نیافته بودند، منسوخ کرد. نیوتن و لایبنیتس تحقیقات خود دربارهٔ مشتق را بر کارهای مهم انجام شده توسط ریاضی‌دانان پیشین از جمله پیر دو فرما، آیزاک بارو، رنه دکارت، کریستیان هویگنس، بلز پاسکال و جان والیس بنا کردند. نیوتن نخستین کسی بود که از مشتق در فیزیک نظری بهره گرفت. لایبنیتس بسیاری از نمادها را توسعه داد که اکنون نیز به کار می‌روند. مشتق جهت‌دار
در ریاضیات، مشتق سویی یا مشتق جهتی یک تابع مشتق‌پذیر چند متغیره در راستای یک بردار formula_1 در نقطهٔ formula_2، به‌طور شهودی نشان‌دهندهٔ نرخ تغییرات لحظه‌ای آن تابع در حال عبور از نقطهٔ formula_2 با سرعتی معادل با بردار formula_1 است. بنابراین، مشتق جهت‌دار، مفهوم مشتق پاره‌ای را که در آن نرخ تغییرات در راستای یکی از محورهای مختصات خمیده‌خط با ثابت در نظر گرفتن سایر مختصات محاسبه می‌شود، تعمیم می‌دهد. نمادگذاری‌های مشتق
در حساب برداری ٬ابتدا یک عملگر دیفرانسیلی با نام عملگر دل تعریف می‌کنیم: formula_16 بهینه‌سازی (اقتصاد)
آزمون مشتق اول، نقاطی را که ممکن است بهینه باشد مشخص می‌کند، اما نمی‌تواند تمایزی بین نقاط بیشینه، کمینه و دیگر نقاط بحرانی ایجاد کند. زمانی‌که تابع هدف دو بار مشتق‌پذیر است، این تمایز در مسائل غیرمقید، با توجه به مشتق دوم یا ماتریس مشتق‌های دوم (ماتریس هشین) حاصل می‌شود و در مسائل مقید، این تمایز، با ماتریس مشتق‌های مرتبه دوم تابع هدف و قیود (ماتریس هشین مرزدار) یه دست می‌آید. شرایطی که تمایز بین این نقاط بیشینه و کمینه را نشان می‌دهد، اغلب «شرایط مرتبه دوم» خوانده می‌شود. فهرست نمادهای ریاضی
formula_287 (∂): نماد مشتق جزئی. مشتق توابع مثلثاتی
با جایگذاری مقادیر بالا در نامعادله، داریم: کاربردهای مشتق
پیدا کردن بازه‌هایی که در آن مشتق ویژگی خاصی مثلاً مثبت بودن، عددی خاص مثل صفر بودن یا از درجه خاصی بودن تابع مشتق یا … دارد، در رسم نمودار اهمیت دارد. برای رسم نمودار هر تابعی باید تابع خصوصیات زیر را دارا باشد مشتق (علم اصول)
واژهٔ مشتق را در دو علم مورد بررسی قرار می‌دهند: یکی علم نحو که در آن مشتق مقابل جامد به کار می‌رود و دیگری علم اصول فقه. منظور از مشتق در علم نحو و در اصطلاح ادبی، کلمه‌ای است که از اصل فعل گرفته شده و ریشهٔ فعلی دارد. مانند "کاتب" و "مکتوب" و "مکتب" که از «کَتَبَ» گرفته شده‌اند. از نظر صرفی، فعل‌ها واسم‌های فاعل و مفعول و صفت مشبهه و صیغهٔ مبالغه، مشتق محسوب می‌شوند؛ ولی مراد دانشمندان علم اصول از کلمهٔ مشتق، مشتق صرفی نیست. مشتق در علم اصول به معنای چیزی است که عارض بر یک ذات می‌شود و با زوال آن چیز، ذات از بین نمی‌رود. مشتق در واقع آن حالت یا صفتی است که در مورد یک شخص یا یک شیء است و می‌توان آن را بر شیء یا شخص حمل کرد. دو شرط برای مشتق در علم اصول ذکر شده است: نخست این که بر ذات حمل شود و دوم، زوال ذات آن، زوال مبدأ را به دنبال نداشته باشد.