مسئله حد در ریاضیات چگونه حل می شود؟
حد (نظریه رسته‌ها)
در نظریه رسته‌ها که شاخه ای از ریاضیات است، مفهوم مجرد حد خواص اساسی سازه های جهانی چون ضرب، عقب‌برها و حد معکوس را در خود جمع می کند. مفهوم دوگان آن یعنی هم‌حد سازه هایی چون اجتماعات مجزا، جمع‌های مستقیم، هم‌ضرب‌ها، برون‌برها و حد مستقیم را تعمیم می دهد.
حد (ریاضی)
formula_34 اگر formula_35 حد (ریاضی)
کوشی در ۱۸۲۱ و به دنبال او کارل وایراشتراس تعریفی که در بالا برای حد داده شد را ریاضی وار بیان کردند، این تعریف در سدهٔ ۱۹ میلادی با نام «تعریف (ε, δ) حد» شناخته شد. آن‌ها در این تعریف از اپسیلون، ε، برای نشان دادن یک مقدار مثبت بسیار کوچک بهره بردند. هنگامی که « به‌اندازهٔ دلخواه به نزدیک می‌شود» به این معنی است که مقدار کم‌کم در بازهٔ جای می‌گیرد. با کمک قدر مطلق چنین می‌نویسیم: .عبارت «هنگامی که به‌اندازهٔ کافی به نزدیک می‌شود» به این معنی است که مقدارهای حقیقی از را در نظر داریم که فاصلهٔ آن‌ها از کمتر از عدد مثبت دلتا، δ باشد؛ یعنی عضو یکی از دو بازهٔ یا است، نوشتار ریاضی این عبارت چنین است: . نامساوی نخست یعنی فاصلهٔ میان و بیشتر از صفر است و است در حالی که نامساوی دوم می‌گوید فاصلهٔ از کمتر از است. روش پنالتی
در معادله بالا formula_5 یک "تابع پنالتی" است که در آن formula_6 ضریب‌های پنالتی هستند. در هر تکرار "k" از متد، "ضریب پنالتی" formula_6 را افزایش می‌دهیم (مثلاً با ضریب ۱۰)، مسئله بدون قید را حل می‌کنیم و جواب را به عنوان حدس اولیه برای تکرار بعدی به کار می‌بریم. راه حل‌های مسائل بدون قید بعدی سرانجام به راه حل مسئله مقید اصلی می‌انجامد. حد (ریاضی)
یعنی: حد دنباله
به حد یک دنباله در بی‌نهایت «حد دنباله» می‌گویند. شاخه و حد
این الگوریتم تمام راه حل‌های یک مسئله را شمارش می‌کند که در این بین راه حل‌های بی‌ثمر بسیاری هستند که می‌توان با حذف آن‌ها با تخمین مرزهای بالایی و پایینی، بهینه شود. فهرست نمادهای ریاضی
formula_278: نماد حد. مثال: formula_279 می‌خوانیم «حد formula_280 وقتی که formula_281». حدس اردوش-استراوس
اگر formula_4 عددی مرکب باشد، formula_5 ، آنگاه می‌توان پاسخ معادله برای formula_2 را از روی پاسخ formula_7 یا formula_8 پیدا کرد؛ بنابراین، اگر مثال نقضی برای حدس اردوش-استراوس وجود داشته باشد، کوچکترین formula_4 مثال نقض باید عددی اول باشد، و با نتیجه‌گیری بیشتر می‌توان آن را به یکی از شش مدول تصاعد حسابی نامتناهی عدد formula_10 محدود کرد. تحقیق‌های رایانه ای نشان می‌دهد حدس بر روی اعداد تا formula_11 صادق است ، اما اثبات آن برای همهٔ formula_4 ها همچنان یک مسئلهٔ حل نشده‌است. برنامه‌سازی غیرخطی
روش‌ها و متدهای زیادی برای حل مسئله‌های غیر محدب وجود دارند. یکی از این روش‌ها استفاده از فرمولاسیون‌های ویژه مسائل برنامه‌نویسی خطی است. یکی دیگر از این روش‌ها استفاده از روش شاخه و حد است که مسئله در آن به زیر بخش‌هایی برای حل به صورت محدب یا تقریب خطی تقسیم می‌شود. حد (ریاضی)
یا formula_36 اگر formula_35 فرضیه ریمان
در ریاضیات، فرضیه ریمان ، حدسی است که ادعا می‌کند صفرهای تابع زتای ریمان فقط در اعداد منفی زوج حقیقی یا اعداد مختلطی با بخش حقیقی formula_1 می‌باشند. بسیاری این فرضیه را مهم‌ترین مسئله‌ی حل نشده در ریاضیات محض می‌دانند. این حدس در نظریه اعداد مورد علاقه و توجه زیادی است، چرا که نتایجی را در مورد توزیع اعداد اول ایجاب می‌کند. این حدس توسط برنهارت ریمان در ۱۸۵۰ ارائه و به نام خودش نامگذاری شد. شاخه و حد
تابع بازگشتی زمانی متوقف می‌شود که مجموعه راه حل پیشنهادی جاری S به یک عنصر کاهش یابد، و همچنین زمانی که حد بالای مجموعه S منطبق بر حد پایین شود. در هر صورت، هر عنصر از S حداقل تابع را در درون Sخواهد بود. پیش‌بینی آب و هوای عددی
معادلات مورد استفاده، معادلات دیفرانسیل جزئی غیر خطی هستند که به جز چند مورد ایده‌آل، حل آنها از طریق روشهای تحلیلی و دقیق غیرممکن است؛ بنابراین، روش‌های عددی راه‌حل‌های تقریبی را به دست می‌آورند. مدل‌های مختلف از روش‌های مختلف راه‌حل استفاده می‌کنند: برخی از مدلهای جهانی و تقریباً تمامی مدلهای منطقه ای از روشهای تفاضل محدود برای هر سه بعد فضایی استفاده می‌کنند، در حالی که سایر مدلهای جهانی و چند مدل منطقه ای از روشهای طیفی برای ابعاد افقی و روشهای تفاضل محدود در عمودی استفاده می‌کنند. ۰٫۹۹۹…
سپس ئو اثبات بر اساس مفهوم حد دنباله و ضرب در ۱۰ بیان شد. حدس کولاتز
این حدس را به نام لوتار کولاتز نامگذاری کرده‌اند که اولین بار ایده آن را در ۱۹۳۷ میلادی، دو سال پس از دریافت مدرک دکترایش معرفی نمود. همچنین این مسئله را به نام‌های زیر نیز می‌شناسند: مسئله formula_1، حدس formula_1، حدس اولام (به یاد استنی‌سواف اولام)، مسئله کاکوتانی (به یاد شیزو کاکوتانی)، حدس توایتس (به یاد برایان توایتس)، الگوریتم هاسه (به یاد هلموت هاسه) یا مسئله سیراکوس. دنباله اعداد ظاهر شده در این حدس را برخی مواقع دنباله تگرگی یا اعداد تگرگی (به این دلیل که مقادیرش اغلب همچون تگرگ درون یک ابر، چندین نزول و صعود دارند) یا اعداد شگرف می‌نامند. قانون دمیتر
در سطعِ متد، LoD، به سمتِ یک فاصلِ کمینه حرکت می‌کند؛ که باعثِ خواهد شد تا تنها اطلاعاتی که برایِ کارش نیاز دارد دسترسی داشته باشد که این شامل آگاهی اندکی از تعدادِ اندکی از متدهای سایر اشیایی است که با این شی رابطه نزدیک دارند. از طرفِ دیگر، در سطحِ کلاس LoD، منجر به بزرگ شدن فاصل خواهد شد؛ چراکه LoD نیازمندِ متدهای کمکی زیادی‌ست تا از ورودِ بیش از حد به داخلِ یک شی جلوگیری شود. راه‌حلی که برای این مسئله وجود دارد کمک گرفتن از رهیافتِ «برنامه‌نویسی جنبه‌گراست» حد (ریاضی)
یک تابع علاوه برداشتن حد در مقدارهای معین، می‌تواند در بی‌نهایت هم دارای حد باشد. برای نمونه:هرگاه مقدارهای بی‌نهایت بزرگ به خود گیرد، مقدار به سوی ۲ کشیده می‌شود. در این حالت می‌گوییم حد به ازای های رو به بی‌نهایت، برابر ۲ است. بیان ریاضی این گفته چنین است: توزیع مقدار حدی تعمیم‌یافته
نظریه مقدار حدی برای مدل کردن بیشترین یا کمترین مقدار تعدادی از داده‌های تصادفی بکار می‌رود. به‌طور کل سه نوع مقدار حدی وجود دارد که توزیع مقدار حدی تعمیم‌یافته هر سه گروه را دربرمی‌گیرد. این توزیع دارای سه پارامتر مکان formula_11، مقیاس formula_12 و شکل formula_13 است. زمانی که formula_14 آنگاه توزیع مقدار حدی معادل مقدار حدی نوع سوم است. وقتی که formula_15 توزیع مقدار حدی معادل مقدار حدی نوع دوم است. وقتی مقدار formula_13 به سمت صفر میل می‌کند توزیع مقدار حدی به مقدار حدی نوع اول میل می‌کند. بیضی
معادلهٔ بیضی را می‌توان بر اساس معادلهٔ دایره و با اعمال نگاشت خطی formula_51 بر آن به دست آورد. گیریم formula_52 نقطه‌ای بر روی دایره‌ای باشد که بر روی نقطهٔ formula_53 بیضی نگاشت شده است: از آنجا که دترمینان formula_54 صفر نیست، formula_54 وارون‌پذیر است. ماتریس وارون formula_54 را می‌توان با قاعده کرامر به‌دست آورد: با اعمال formula_57 بر نقاط formula_53 بیضی، نقاط formula_52 دایره حاصل می‌شود: و با قرار دادن formula_60 در معادله دایره (formula_61)، معادلهٔ بیضی حاصل می‌شود: معادله مربعی
formula_44 formula_54 ⇒ formula_55  مجموع و حاصل ضرب ریشه‌های یک معادله درجه دو در حل مسائل از اهمیت خاصی برخوردار است. معمولاً در ریاضیات مجموع ریشه‌ها را با s و ضرب ریشه‌ها را با p نمایش می‌دهند. مجموع و حاصل ضرب ریشه‌های معادله درجه دو به صورت زیر به دست می‌آیند: قاعده هوپیتال
قاعدهٔ هوپیتال یا لوپیتال () در حساب، روشی است که با استفاده از آن می‌توان حد تابع را، در صورت وجود، در نقطه‌ای که مقدار آن formula_1 است بدست آورد. در واقع برای رفع ابهام (formula_1) از این قاعده بهره می‌گیرند. مسئله مقدار مرزی
formula_61 formula_62 formula_63 formula_64معادلات دیفرانسیل معادلات انتگرالی ات-هاینریش کلر
زمینه پژوهشی کلر به‌طور عمومی هندسه بود و او دستاوردها و حدسهای فراوانی در این زمینه دارد. برای نمونه این حدس نامدار او که هر فضای formula_1 بُعدی را با مکعب‌های formula_1 بعدی با حج یکسان می‌توان پر کرد. خود او در رساله دکترایش این حدس را برای formula_3 ثابت کرده بود. این حدس همچنین می گوید که در یک چنین فضاپرکنی ای، همواره دستکم دو مکعب یافت می‌شوند که یک وجه مشترک formula_4 بعدی دارند. در سال ۱۹۹۲ جفری لاگاریاس و پیتر شر ثابت کردند که این حدس برای formula_5 نادرست است. در سال ۲۰۰۰ مثال نقض دیگری برای این حدس در حالت formula_6 داده شد و بنابراین تنها حالت formula_7 باقی می‌ماند که تا امروز باز مانده است. خود کلر نادرست بودن این حدس را در رساله اش حدس زده بود. مجموعه حدی
در ریاضیات، به ویژه در مطالعه سیستم‌های دینامیکی، یک مجموعه حدی، حالتی است که سیستم دینامیکی، پس از یک زمان نامتناهی بدان می رسد. مجموعه‌های حدی از این جهت مهم هستند که می‌توانند برای درک رفتار طولانی مدت یک سیستم دینامیکی مورد استفاده قرار گیرند.به‌طور کلی، مجموعه‌ها حدی در مورد جاذب‌های غریب می‌توانند بسیار پیچیده باشند، اما برای سیستم‌های دینامیکی ۲-بُعدی قضیه پوانکاره-بندیکسون یک توصیف ساده از همه موارد ناتُهی و مجموعه‌های حدی فشرده formula_1 را که شامل بسیاری از نقاط ثابت به‌طور متناهی به‌صورت یک نقطه ثابت، یک مدار دوره‌ای، یا یک اجتماع از نقاط ثابت و مدارهای هموکلینیک یا هتروکلینیک متصل کننده این نقاط ثابت وجود داشته باشد، ارائه می‌دهد. قاعده هوپیتال
فرض کنید تابع formula_3یک تابع کسری باشد؛ به طوری که صورت این کسر برابر تابع formula_4و مخرج آن برابر تابع formula_5باشد، اگر حد توابع formula_4 و formula_5، صفر یا بی‌نهایت شود(یعنی حد تابع formula_3 برابر formula_1 یا formula_10 باشد)، می‌توان برای رفع ابهام، از صورت ( formula_4) و از مخرج ( formula_5) به طور جداگانه مشتق گرفته و هر کدام را در جای خود قرار دهیم و سپس حد تابع جدید را در نقطه مدنظر محاسبه کنیم: مسئله مقدار مرزی
معادلات دیفرانسیل، شرایط مرزی به آن دسته از شرایطی گفته می‌شود که در یک مسئله مقدار مرزی اعمال می‌شود. خیام
خیام در مقام ریاضی‌دان و ستاره‌شناس پژوهش‌ها و نوشته‌های مهمی دارد. از جمله آن‌ها "رسالة فی البراهین علی مسائل الجبر و المقابله" است که در آن از جبر عمدتاً هندسی خود برای حل معادلات درجه سوم استفاده می‌کند. او معادلات درجه دوم را از روش‌های هندسی اصول اقلیدس حل می‌کند و سپس نشان می‌دهد که معادلات درجه سوم با قطع دادن مقاطع مخروطی با هم قابل حل هستند. برگن باور دارد که که «هر کس که ترجمهٔ انگلیسی [جبر خیام] به توسط کثیر را بخواند استدلالات خیام را بس روشن خواهد یافت و نیز، از نکات بسیار جالب توجهی در تاریخ انواع گوناگون معادلات مطلع خواهد شد.» مسلم است که خیام در رساله‌هایش از وجود پاسخ‌های منفی و موهومی در معادلات آگاهی نداشته‌است و جواب صفر را نیز در نظر نمی‌گرفته‌است. مسئله مقدار مرزی
formula_37 مسائل هیلبرت
برای مسائل ۳، ۷، ۱۰، ۱۱، ۱۳، ۱۴، ۱۷، ۱۹، ۲۰و ۲۱ که به صورت واضحی فرموله شده‌اند، راه‌حل‌هایی پیدا شده‌اند که توسط اجتماع ریاضی قبول شده‌اند؛ ولی برای مسائل ۱، ۲، ۵، ۹، ۱۵، ۱۸و ۲۲ راه‌حل‌هایی وجود دارد که مورد پذیرش بخشی قرار گرفته‌اند البته بحث‌هایی وجود دارد که آیا آن راه‌حل‌ها مسائل را حل کرده‌اند یا نه. علامت + در بالای ۱۸ برای این است که راه حل حدس کپلر یک اثبات به کمک کامپیوتر است. اشاره‌ای نامربوط و تا حدی بحث‌برانگیز به مسئلهٔ هیلبرت، به خاطر این که خواننده انسانی نمی‌تواند در زمانی منطقی اثباتی برای آن بیابد. سؤالات ۱۶، ۸ (حدس ریمان) و ۱۲ حل نشده‌اند. در این طبقه‌بندی سؤالات ۴، ۱۶ و ۲۳ به اندازه‌ای مبهم هستند که حل شده محسوب می‌شوند. مسئلهٔ ۲۴ که بعداً ارائه شد نیز در این دسته قرار می‌گیرد. سؤال ۶ نیز بیشتر سؤالی فیزیکی محسوب می‌شود تا ریاضی. مسئله ریاضی
مسائل ریاضیاتی عادی جهان واقعی، مسائل ملموسی هستند چون "شخصی پنج سیب دارد و سه تای آن را به دوستش می دهد. چند سیب برای او باقی می ماند؟". حل چنین مسائلی، حتی اگر شخص روش حل آن را بلد باشد اغلب سخت تر از حل تمرین های ریاضیاتی چون "3-5" است. چنین مسائلی که به آن مسائل کلامی نیز می گویند، در آموزش ریاضی برای آموزش نحوه اتصال مسائل جهان واقعی به زبان مجرد ریاضیاتی معمولاً به کار می روند. حد (نظریه رسته‌ها)
رسته formula_3 را می توان به صورت رسته اندیس و نمودار formula_9 را به عنوان اندیس‌گذار اشیاء و ریخت ها در formula_1 دید که الگوی اندیس‌گذاری اش را از رسته اندیس formula_3 می گیرد. اغلب به مواردی علاقه‌مندیم که در آن formula_3 رسته ای کوچک یا حتی متناهی باشد. یک نمودار را کوچک یا متناهی گوییم هرگاه formula_3 به ترتیب کوچک یا متناهی باشد. نظریه مقدار حدی
که در آن formula_2 می‌باشد. نظریه پیچیدگی محاسباتی
مسائلی که در تئوری قابل حل شدن می‌باشند ولی در عمل نمی‌توان آن‌ها را حل کرد، محال یا ناشدنی می‌نامند. در حالت کلی فقط مسائلی که زمان آن‌ها به صورت Polynomial می‌باشد و اندازه ورودی آن‌ها در حد کوچک یا متوسط می‌باشد قابل حل شدن می‌باشند. مسائلی که زمان آن‌ها به صورت توانی (EXPTIME-complete) می‌باشند به عنوان مسائل محال یا ناشدنی شناخته شده‌اند. همچنین اگر مسائل رده NP جز مسائل رده P نباشند، مسائل NP-Complete نیز به عنوان محال یا نشدنی خواهند بود. برای ملموس‌تر شدن این مسئله فرض کنید که یک مسئله formula_1 مرحله لازم دارد تا حل شود (n اندازه ورودی می‌باشد). برای مقادیر کوچک n=۱۰۰ و با در نظر گرفتن کامپیوتری که formula_2 (10 giga) عملیات را در یک ثانیه انجام می‌دهد، حل کردن این مسئله زمانی حدود formula_3 سال طول خواهد کشید، که این زمان از عمر فعلی جهان بیشتر است! حد دنباله
formula_48 مسئله مقدار مرزی
شرط مرزی نویمن، دسته‌ی دیگری از شرایط مرزی است که پس از نویمن به خاطر تلاش‌هایش برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی و عادی با اعمال این شرط بر روی مشتق پاسخ نام‌گذاری شده است. برای معادله‌ی دیفرانسیل عادی formula_27 شرط مرزی نویمن در بازه‌ی [a,b] به فرم formula_28 و formula_29است، که formula_30 و formula_31 مقادیر ثابت اند. شاخه و برش
در این نقطه، بخش شاخه و حد الگوریتم آغاز شده‌است. مسئله به چندین (معمولاً دو) نسخه تقسیم می‌شود. برنامه‌های خطی جدید به وسیلهٔ روش غیر مرکب حل می‌شوند و فرایند تکرار می‌شود. در طول فرایند شاخه و حد، جواب‌های غیر انتگرالی برای، راحتی برنامه نویسی خطی، به عنوان حد بالا به کار گرفته می‌شوند و جواب‌های انتگرالی به عنوان حد پایین. یک گره می‌تواند هرس شود اگر یک حد بالا، پایین‌تر از حد پایین موجود باشد. همچنین در هنگام حل راحتی lp ممکن است سطح برش اضافی تولید گردد، که یا برش‌های سراسری هستند به عنوان مثال معتبر برای تمام جواب‌های صحیح، ویا برش‌های محلی، به آن معنی که آن‌ها به وسیلهٔ تمامی جوابهایی که قیود جانبی زیر درخت شاخه و حد در نظر گرفته شدهٔ کنونی را برآورده می‌کنند، ارضا می‌شوند. شاخه و حد
این رویکرد برای حل تعدادی از مسائل NP سخت استفاده می‌شود. از قبیل: ابن هیثم
سر انجام در ۱۹۶۵ میلادی جک الکین یک روش ریاضی برای حل مسئله پیدا کرد. وی برای نخستین بار معادلات کوشی-ریمان را در ریاضیات مطرح کرد حد (ریاضی)
حد یک دنباله و حد یک تابع رابطهٔ نزدیکی با هم دارند. حد تابع
حد تابع () در ریاضیات، یک مفهوم اساسی در حساب دیفرانسیل و آنالیز ریاضی است که به رفتار یک تابع در نزدیکی یک متغیر خاص می‌پردازد. حد (منطق)
به حدی که مشتمل بر همه ذاتیاتِ چیزی که در پی تعرف آن هستیم باشد، حد تام می‌گویند. حد تام بوسیلهٔ جنس قریب و فصل قریب است مثلاً در تعریف جسم می‌گوییم «جوهر ذو ابعاد ثلاثة» که «جوهر» جنس قریب و «ذو ابعاد ثلاثة» فصل قریب آن است.حد تام تمام ماهیت و حقیقت چیزی را بیان می‌کند بنابراین، ذاتیات را دربردارد و به همین دلیل، کاملترین و بهترین نوع تعریف است. مراحل حل مسئله رایانه‌ای
یک مسئله دارای پارامترهای مختلفی است که باید همه آن‌ها شناخته شده و پارامترهای زائد آن حذف شود. به‌طوری که بتوان مسئله را به صورت یک مدل ساده از آن انتزاع کرد. برای یک مسئله سطوح مختلفی از انتزاع را می‌توان تصور کرد و یک سطح از آن تبدیل مسئلهٔ واقعی به یک مدل ریاضی است. حد (ریاضی)
بدین معنا است که اگر "x" به‌اندازهٔ کافی به "c" نزدیک شود مقدار "f"("x") به‌اندازهٔ دلخواه به نزدیک خواهد شد. رابطهٔ ریاضی بالا را چنین می‌خوانیم: «حد از هنگامی که به نزدیک می‌شود برابر است.» حد دنباله
در این صورت می‌نویسیم: formula_14 حد (ریاضی)
مفهوم حد یک دنباله به حالت کلی تر حد شبکهٔ مکان‌شناسی گسترش می‌یابد و ارتباط نزدیکی با حد و حد مستقیم در نظریهٔ رده‌ها دارد. نظریه مقدار حدی
نظریه مقدار حدی یا آنالیز مقدار حدی (به انگلیسی: Extreme Value Theory/Analysis) شاخه ای از علوم آماری است که برای پیش‌بینی اتفاقات نادر و غیرطبیعی یک توزیع آماری مورد استفاده قرار می‌گیرد. این نظریه ابتدا در اوایل قرن بیستم توسط دو آماردان بریتانیایی به نامهای لیونارد تیپت و رانلد فیشر پایه‌گذاری شد و در سال‌های بعد از آن توسط تعدادی دیگر از دانشمندان از جمله امیل گامبل، ریاضی‌دان آلمانی، سازماندهی بیشتری پیدا کرد. درون مایه این نظریه تا حدودی در نقطه مقابل آمار کلاسیک قرار دارد. در آمار کلاسیک تمرکز بر روی میانگین فرآیندهای تصادفی می‌باشد در حالی که نظریه مقدار حدی اتفاقات نادر و پیش‌بینی نشده را مورد بررسی قرار می‌دهد. امروزه نظریه مقدار حدی کاربردهای بسیار متنوعی دارد. ریاضیات
دغدغهٔ منطق ریاضیاتی، ایجاد چارچوب مستحکم اصول موضوعه ای برای ریاضیات است. منطق ریاضی الزامات چنین چارچوبی را مطالعه می‌کند. به‌طور مثال قضایای عدم کمال گودل به‌طور ضمنی می‌گویند که هر نظام صوری اگر معنا دار باشد (یعنی تمام قضیه‌هایی که می‌توان آن‌ها را اثبات کرد درست باشند)، الزاماً ناکامل اند (یعنی قضیای درستی هستند که نمی‌توان آن‌ها را در این سیستم اثبات کرد). گودل نشان داد که هر گردایه متناهی از اصول موضوعه‌های نظریه اعداد را به عنوان اصول موضوعه در نظر بگیریم، می‌توان یک جمله صوری ساخت که از نظر حقایق نظریه اعداد صحیح باشد ولی از این اصول موضوعه بدست نیایند؛ لذا در نظریه اعداد هیچ نظام صوری که از نظر اصول موضوعه ای کامل باشد وجود ندارد. منطق نوین به چند بخش تقسیم می‌شود: نظریه بازگشت، نظریه مدل و نظریه اثبات و ارتباط نزدیکی با علوم رایانه و نظریه رسته‌ها دارد. در زمینهٔ نظریه بازگشت، عدم امکان وجود سیستم اصول موضوعه ای کامل را می‌توان به صورت صوری از طریق پیامدهای قضیه MRDP نشان داد. اصل برهم‌نهی
با استفاده از این واقعیت، اگر یک فهرست از پاسخ‌ها را بتوان پاسخی به معادلهٔ اول دانست، آنگاه این پاسخ‌ها را می‌توان با دقت کافی طوری به صورت برهم‌نهاده شده درآورد که بتواند معادلهٔ دوم را ارضا کند. این روش راهکاری معمول برای حل کردن مسائل مقدار مرزی است. حد دنباله
توجّه کنید که در بسیاری از موارد formula_35 برقرار است امّا formula_36 شاخه و حد
می‌توان در شاخه و حد ابتکارات مختلفی بکار برد. برای مثال، ممکن است کسی بخواهد مرحله شاخه کردن را زمانی که شکاف بین حد پایین و بالا به کوچکتر از یک آستانه شد، پایان دهد. این هنگامی استفاده می‌شود که راه حل به اندازه کافی برای اهداف کاربردی خوب باشد و می‌تواند محاسبات لازم را تا حد زیادی کاهش دهد. این نوع راه حل قابل اجرا است بخصوص زمانیکه تابع هزینه به کار رفته شلوغ یا حاصل برآورد آماری باشد، و همچنین دقیقاً شناخته نشده باشد، بلکه در طیف وسیعی از ارزش‌ها با احتمال خاص شناخته شده‌اند. نمونه‌ای از کاربرد آن در زیست‌شناسی است. هنگام انجام تجزیه و تحلیل برای ارزیابی روابط تکاملی بین موجودات، که اغلب در آن مجموعه داده‌های غیرعملی بزرگی هستند. به همین دلیل روش شاخه و حد اغلب در الگوریتم درخت جستجو در بازی استفاده می‌شود که مهم‌ترین آن‌ها در هرس آلفا-بتا استفاده می‌شود. حد سوپریمم
یکی از مسایل حل نشده ریاضیات به شکل زیر است مسئله مقدار مرزی
مسئله مقدار مرزی عنوان دسته‌ای از مسائل ریاضیات است که در آن‌ها به حل معادلات دیفرانسیلی می‌پردازند که پاسخ معادله می‌باید در نقاط مرزیِ یک مجموعهٔ مفروض، شرایط مشخص‌شده را دارا باشد. جواب یک مسئله مقدار مرزی، پاسخی از معادله‌ی دیفرانسیل است که شرایط مرزی مسئله را ارضا می‌کند. مسائل مقدار مرزی در شاخه‌های مختلفی از فیزیک ظاهر می‌شوند. مسائلی شامل معادلات موج، مثلاً یافتن مدهای نرمال اغلب به عنوان یک مسئله‌ی مقدار مرزی شناخته می‌شود. دسته‌ی بزرگی از مسائل مهم مقدار مرزی، مسئله‌های اشتورم- لیوویل هستند.  مثالی از یک مسئلهٔ مقدار مرزی به صورت حد (موسیقی)
در نظام کوک خالص، نسبت بسامد نت‌های یک گام با استفاده از کسری از اعداد صحیح تعریف می‌شود. برای نمونه، بسامد نت‌هایی که با هم فاصلهٔ پنجم درست دارند نسبت ۳:۲ دارد. یا فاصلهٔ هفتم هارمونیک با نسبت ۷:۴ به دست می‌آید. تمام فواصل را نمی‌توان با نسبت‌های سادهٔ ریاضی تعریف کرد، چرا که نظام کوک خالص یک نظام مبتنی بر اعتدال مساوی نیست و لذا دایره پنجم‌ها در آن «بسته نمی‌شود» (یعنی با تکرار فواصل پنجم و رسیدن به نت‌های جدید در اکتاوهای بالاتر، به نت می‌رسیم که دقیقاً چند اکتاو بالاتر نت شروع است اما نسبت بسامد آن به بسامد نت پایه، مضربی از ۲ نیست). این که هر نظام کوک خالص تا چه فواصلی را از طریق نسبت اعداد صحیح تعریف می‌کند و از کجا به بعد این نسبت‌ها را با کمک اعداد صحیح تعریف نمی‌کند، توسط «حد» آن نظام کوک تعریف می‌شود. حد می‌تواند یک عدد فرد یا یک عدد اول باشد. نام نظام کوک هم بر اساس همین عدد مشخص می‌شود. مثلاً نظام کوک پنج حدی نظام کوکی است که بزرگترین عدد فرد استفاده شده در نسبت‌های آن عدد ۵ است. بدیهی است که یک نظام کوک هفت حدی، می‌تواند شامل نسبت‌هایی نظیر ۸:۵ نیز باشد، چرا که تنها عدد فرد این نسبت است که باید کمتر یا برابر با ۷ باشد. ریاضیات
مطالعهٔ کمیت با اعداد آغاز می‌گردد، ابتدا مطالعهٔ اعداد طبیعی و اعداد صحیح و عملیات حسابی روی آن‌ها که در شاخه حساب انجام می‌گردد. خواص عمیق‌تر اعداد در نظریه اعداد صورتی می‌پذیرد، که قضایای معروفی چون آخرین قضیه فرما از آن بیرون می‌آید. اعداد اول دوقلو و حدس گلدباخ دو تا از مسائل لاینحل نظریه اعدادند. نظریه مقدار حدی
نظریه مقدار حدی در زمینه‌های مختلفی از جمله اقتصاد و امور مالی، آب‌شناسی، زمین‌شناسی و علوم مهندسی کاربردهای گسترده‌ای دارد. به عنوان مثال در مسایل مالی و اقتصادی نظریه مقدار حدی می‌تواند برای پیش‌بینی ارزش در معرض ریسک و در علوم آب‌شناسی برای تخمین احتمال وقوع سیل‌های عظیم همانند سیل صدساله به کار برده شود. همچنین در حوزه فناوری اطلاعات این نظریه می‌تواند برای بررسی ترافیک‌های غیرعادی شبکه‌های کامپیوتری به منظور جلوگیری از حمله هکرها مورد استفاده قرار گیرد. حد مستقیم
حد مستقیم حالت خاصی از مفهوم هم‌حد در نظریه رسته‌هاست. حد مستقیم دوگان حد معکوس است که خود حالت خاصی از حد در نظریه رسته‌هاست. حد ادینگتون
برابری این دو مقدار این معادله را به دست می‌دهد: تقسیم بر صفر
حال اگر 6/0 دارای جواب باشد آن وقت باید عددی باشد که در 0 ضرب شود تا جواب 6 گردد از آنجایی که ضرب هر عدد در صفر می شود صفر پس هیچ عددی وجود ندارد که در صفر ضرب شود و جواب 6 گردد بنابراین 6/0 بی جواب است.  هرگاه عددی غیر صفر بر «صفر حدی» تقسیم گردد حاصل بی‌نهایت خواهد بود. (مثبت یا منفی‌بودن بی‌نهایت نیز باید بررسی شود.) مسئله مقدار اولیه
یک مثال ساده می‌تواند حل معادلهٔ دیفرانسیل formula_1 با formula_2 باشد. هدف یافتن formula_3 به گونه‌ای است که در هر دو برابری صدق کند. شاخه و حد
شاخه و حد یا تحدید و انشعاب، یک الگوریتم عمومی برای پیدا کردن راه حل‌های بهینه مسائل مختلف است، بخصوص در بهینه‌سازی گسسته و ترکیبی. حد دنباله
در نمایش مختصاتی، بازهٔ دوبعدی افقی حول مقدار formula_1 در نظر بگیرید (به شکل مستطیلی افقی که به سمت راست تا بی‌نهایت ادامه دارد)، اگر دنبالهٔ formula_2 به formula_3 میل کند، باید از یک اندیس مشخّص (formula_4) به بعد، همهٔ formula_5ها در این بازه باشند. این گزاره باید برای تمام بازه‌ها (هر چند نازک) (به عرض formula_6) صدق کند. حد (موسیقی)
در تئوری موسیقی، حد روشی است برای توصیف هارمونی یک قطعهٔ موسیقی، یا برای توصیف خصوصیات هارمونیک یک گام موسیقی. قضیه فشردگی
در حسابان، قضیهٔ فشردگی یا ساندویچ قضیه‌ای مهم راجع به حد یک تابع است. معمولاً از این قضیه برای تأیید حد یک تابع از طریق مقایسهٔ آن با دو تابع دیگر که حدودشان معلوم یا به سادگی قابل محاسبه است، استفاده می‌شود. اولین بار ارشمیدس و اودوکسوس برای محاسبهٔ عدد π از این قضیه به صورت هندسی استفاده کردند و گاوس آن را با اصطلاحات امروزی فرمول‌بندی کرد. حد (ریاضی)
بنابراین، مقدار به ۲ نزدیک می‌شود هرگاه بتوانیم را به‌اندازهٔ کافی به ۱ نزدیک کنیم. نقطه تعادل
در ریاضیات، به‌طور خاص در معادلات دیفرانسیل، نقطه تعادل یک جواب ثابت برای یک معادله دیفرانسیل است. مسائل هیلبرت
از سال ۱۹۰۰ ریاضیدانان و مراکز ریاضی لیست‌هایی از مسائل را منتشر می‌کردند ولی این لیست‌ها به اندازهٔ مسائل هیلبرت تأثیر نداشت و برای ریاضی‌دانان کار ایجاد نمی‌کرد! یکی از موارد استثنای این لیست‌ها سه حدسی بودند که توسط آندره وِیل در اواخر دههٔ چهل میلادی ارائه شد (حدس‌های وِیل). حدس‌های ویل در زمینهٔ هندسهٔ جبری و نظریهٔ اعداد و ارتباط بین این دو بسیار مهم بودند. حدس اول توسط برنارد دیوُرک اثبات شد و اثباتی کاملاً متفاوت برای حدس اول و دوم توسط الکساندر گروتندیک با استفاده از همریختی مرتبهٔ اول ارائه شد. آخرین و عمیق‌ترین حدس وِیل توسط پییِر دلین! اثبات شد. هر دوی گروتندیک و دلین! مدال فیلدز گرفتند؛ ولی حدس‌های ویل در زمینهٔ خود به اندازهٔ یک سؤال هیلبرت اهمیت دارند و ویل هرگز آن‌ها را برنامه‌ای برای ریاضیات نخواند. این کمی طعنه‌آمیز است زیرا به اقرار بسیاری ویل ریاضی‌دان دهه‌های چهل و پنجاه میلادی بود که در شاخه‌های مختلف ریاضی نظری وارد شد و در گسترش آن‌ها اهمیت داشت و به بهترین نحو نقش هیلبرت را در آن برهه از زمان بازی کرد. پال اردوش به خاطر طرح صدها بلکه هزاران سؤال ریاضی مشهور است. بعضی از سؤالات وی عمیق هستند. اردوش برای مسائلش بسته به سختی پیش‌بینی شده‌اش جایزه‌ای در نظر می‌گرفت. پایان هزارهٔ دوم که مصادف با صدمین سالگرد انتشار مسائل هیلبرت بود زمان طبیعی مناسبی برای ارائهٔ مجموعهٔ جدید مسائل هیلبرت به‌شمار می‌رفت. چند تن از ریاضی‌دانان از جمله استیو اسمیل، برندهٔ مدال فیلدز درخواست ولادیمیر آرنولد را پذیرفت و لیستی شامل ۱۸ مسئله را پیشنهاد داد. جامعهٔ ریاضی اقبال چندانی به مسائل اسمیل نشان نداد و هنوز روشن نیست این مسائل چقدر مورد توجه ریاضی‌دانان قرار گیرند. حداقل در جریان اصلی جامعه متناظر مسائل هیلبرت برای قرن بیست‌ویکم لیستی از هفت مسئله جایزهٔ هزاره است که توسط مؤسسهٔ ریاضی کلِی در سال ۲۰۰۰ انتخاب شدند. بر خلاف مسائل هیلبرت که جایزهٔ اصلی آن‌ها تحسین هیلبرت و جامعهٔ ریاضی بود، هر سؤال به اندازهٔ یک میلیون دلار جایزه دارد. مانند سؤالات هیلبرت یکی از مسائل جایزه هزاره (حدس پوانکاره) نیز تقریباً با فاصلهٔ اندکی از زمان انتشار حل شد. نقطه حدی
نقطهٔ حدی در تعریف مفاهیمی چون حد، بستار و مجموعه بسته پدیدار می‌گردد. مشتق توابع مثلثاتی
در نامعادله دوم خط بالا، طرف‌های نامعادله معکوس شدند و از آن‌جایی که هر سه طرف مثبت هستند، پس از معکوس کردن، علامت نامساوی نیز عکس می‌شود. اگر از این نامعادله را در نزدیکی صفر حد بگیریم: اکنون با استفاده از قضیه فشردگی، می‌توان حد در x→۰ را به دست آورد. از آن‌جایی که این تابع بین دو تابع دیگر قرار دارد که حد هر دو در صفر، برابر یک است، پس حد این تابع نیز برابر با یک خواهد بود: برای مقدارهای منفی نزدیک به صفر نیز می‌توان از ویژگی فرد بودن تابع سینوس استفاده کرد: قضیه فالتینگز
در هندسه حسابی، حدس موردل حدسی از لوئیس موردل است که می‌گوید: خمی با گونای (genus) بزرگتر از ۱ روی میدان formula_1 اعداد گویا تنها دارای تعداد متناهی از نقاط گویا است. در ۱۹۸۳ میلادی، گرد فالتینزگ این حدس را اثبات نمود، فلذا از آن زمان به این حدس، قضیه فالتینگز گفته می‌شود. این حدس بعدها با جایگزینی formula_1 با یک میدان عددی دلخواه تعمیم یافت. قضیه بیکر
در نظریه اعداد متعالی، قضیه بیکر () تعمیمی بسیار کلیتر از این پرسش صورت مسئلهٔ مسئله هفتم هیلبرت (اینکه «اگر formula_1 عددی جبری و formula_2 عددی جبری ولی گنگ باشد آیا formula_3 همواره متعالی است؟») برای هر فرم خطی از لگاریتم‌ها است. قضیهٔ بیکر به وسیله آلن بیکر در سال ۱۹۶۶ به اثبات رسید. بیکر به خاطر حل این مسئله مدال فیلدز سال ۱۹۷۰ را از آن خود کرد. قضیهٔ بیکر کاربرد وسیعی در شاخه‌های مختلف نظریه اعداد و به‌خصوص در حل معادله‌های دیوفانتی داراست. تفاضل محدود
"مشتق" تابع f در نقطه x به صورت "حد" تعریف می‌شود: در حد
در ریاضیات، عبارت در حد () در بحث در مورد عناصر یک مجموعه (S) و شرایط لازم برای مساوی در نظر گرفتن زیرمجموعه‌های این مجموعه به کار می‌رود. عبارت «عناصر a و b از مجموعهٔ S درحد X با هم معادل اند» به این معناست که a و b معادل اند، اگر معیار X (مثل دوران یا جایگشت) نادیده گرفته شود، یعنی a و b را می‌توان با اعمال یک تبدیل متناسب با X (دوران، جایگشت، و …) به یکدیگر تبدیل کرد. فرضیه ریمان
حدس ریمان و برخی از تعمیمات آن، به همراه حدس گلدباخ و حدس اعداد اول دوقلو، مسئله هشتم هیلبرت را در فهرست مسائل ۲۳ گانه حل نشده دیوید هیلبرت تشکیل می‌دهند؛ همچنین این مسئله یکی از مسائل جایزه هزاره مؤسسه ریاضیاتی کِلِی است. برخی مواقع این عنوان را برای فرض‌های مشابهی چون فرضیه ریمان برای منحنی‌های روی میدان‌های متناهی نیز به کار می‌برند. مسائل جایزه هزاره
حدس برچ و سوینرتون-دایر در مورد نوع خاصی از معادلات است که منحنی‌های بیضوی را بر روی اعداد گویا تعریف می‌کنند. حدس این است که راهی ساده وجود دارد که می‌توان مشخص کرد آیا چنین معادله‌ای دارای تعداد متناهی یا غیر متناهی جواب گویا است یا خیر. مسئلهٔ دهم هیلبرت در مورد یک نوع کلی‌تر معادله هم هست که در آن شرایط ثابت شده‌است که هیچ راهی وجود ندارد که توسط آن مشخص شود یک معادلهٔ دیوفانتی دارای جواب است یا خیر. مسئله مقدار اولیه
و شرایط اولیه حد (ریاضی)
آنگاه تعریف نشده‌است (بخش بر صفر) حال هر چه به ۱ نزدیک می‌شود، متناسب با آن نیز به ۲ نزدیک می‌شود: حد دنباله
در حسابان، حد یک دنباله مقداری است که در صورت وجود، جمله‌های آن دنباله با پیش‌روی، به قدر دلخواه به آن نزدیک می‌شوند؛ اگر چنین مقداری وجود داشته باشد، دنباله را همگرا و در غیر این صورت دنباله را واگرا می‌نامیم. مسئله مثلث فوجیمورا
سابورو تامورا ثابت کرد که بزرگترین عدد صحیح که بزرگ‌تر از "k"("k"−2)/3 نباشد، حد بالایی را در حداکثر تعداد مثلث‌های غیر همپوشان با چینش "k" خط به دست می‌دهد. در سال ۲۰۰۷، با اثبات اینکه حد بالایی تامورا برای هیچ k همنهشت با ۰ و ۲ (به پیمانه ۶) به دست نمی‌آمد، حد بالایی محدودتری توسط یوهانس بادر و ژیل کلمان پیدا شد. پس برای این دو حالت حداکثر تعداد مثلث‌ها یکی کمتر از حد بالایی تامورا است. راه حل‌های کامل (راه حل‌های مثلث فوجیمورا با حداکثر تعداد مثلث) برای k = ۳، ۴، ۵، ۶، ۷، ۸، ۹، ۱۳، ۱۷ شناخته شده‌است. برای k = ۱۰، ۱۱، ۱۲، بهترین راه حل‌های شناخته شده یکی کمتر از حد بالایی است. حد (ریاضی)
حد در ریاضیات عبارت است از مقداری که یک تابع یا یک دنباله به آن نزدیک می‌شود هنگامی که ورودی آن یا ایندکس آن به مقداری ثابت نزدیک می‌شود. به عبارت دیگر، در حد، مقادیری از تابع سنجیده میشوند که برای دامنه آن مقدار مطلق و قابل شناسایی وجود ندارد، و اعدادی بسیار نزدیک به یک عدد خاص(که آن عدد خاص میتواند جزء دامنه تابع نباشد) یا اعدادی بسیار بزرگ (بینهایت) مقدار سنجی میشوند. فرض کنید در تابع f مقدار متغیر به یک عدد ثابت به نام a میل کند (یعنی به آن نزدیک شود ولی به آن نرسد) آن‌گاه اگر مقدار تابع آن، به عددی ثابت به نام L میل کند، L حد تابع f در نقطهٔ a خواهد بود؛ گرچه a می‌تواند در دامنهٔ تابع وجود نداشته باشد. به عبارت خیلی ساده‌تر می‌توان گفت حد یک تابع برای یک عدد معین روی محور xها، به ما نشان می‌دهد که در صورت قرار دادن مجموعه اعدادی که در همسایگی خیلی خیلی نزدیک آن عدد معین هستند در xهای ضابطه تابع، yها به چه عددی خیلی خیلی نزدیک می‌شوند (تابع در نهایت به چه عددی خواهد رسید). حد سوپریمم
در ریاضیات حد سوپریمم را با نماد formula_1 نمایش می‌دهند. قضیه
با این حال، درجه‌هایی از تجربه گرایی و جمع‌آوری داده‌هایی که در کشف قضیه‌های ریاضی شرکت داشتند، وجود دارند. با انتشار یک الگو، بعضی مواقع با استفاده از کامپیوتر قدرتمند، ریاضیدان‌ها ممکن است ایده‌ای از آنچه می‌خواهند اثبات کنند، و در بعضی موارد، برنامه‌ریزی برای چگونگی راه در مورد آنچه می‌خواهند اثبات کنند داشته باشند. برای مثال، حدس کلتز برای شروع اعداد تا حدود ۲٫۸۸ *۱۰۱۸ تأیید شده‌است. فرضیه ریمن برای ۱۰ تریلیون صفر تابع زتا تأیید شده‌است. هیچ‌یک از این گزاره‌ها اثبات شده به حساب نمی‌آیند. چنین شواهدی اثبات را تشکیل نمی‌دهند. برای مثال، حدس مرتنز گزاره‌ای است دربارهٔ اعداد طبیعی که الان می‌دانیم غلط است اما هیچ مثال نقضی شناخته نشده‌است (عدد طبیعی n برای تابع M(n) که برابر ریشه دوم n است). تمام اعداد کمتر از ۱۰۱۴ خاصیت مرتنز را دارند و کوچکترین عددی که این خاصیت را ندارد تنها معلوم است که از تابع نمایی عدد 1.59x1040 که تقریباً برابر ۱۰ به توان ۴٫۳*۱۰۳۹ کمتر می‌باشد. چون تعداد ذرات در جهان به‌طور کل کمتر از ۱۰ به توان ۱۰۰ به حساب می‌آیند، امیدی نیست که یک مثال نقض با جستجوهای خسته‌کننده پیدا بشود. در نظر داشته باشید که کلمه نظریهدر ریاضیات نیز وجود دارد؛ برای معنی کردن اصل موضوع ریاضیات، تعاریف و قضایا مثلاً در قضیه گروه. چندین قضیه در علوم به ویژه فیزیک و در مهندسی وجود دارد اما آن‌ها اغلب گزاره‌ها و اثبات‌هایی دارند که در فرضیات فیزیکی و شهود نقش مهمی ایفا می‌کند؛ قاعده کلی فیزیکی برای چنین قضایایی بر این پایه هست که خودشان باطل هستند. مسئله مقدار مرزی
شرایط مرزی در معادلات دیفرانسیل به آن دسته از شرایطی اطلاق می‌شود که روی پاسخ معادله در مرزها اعمال می‌شود. حد (ریاضی)
برای تعریف غیر صوری باید گفت حد تابع formula_7 ،formula_20 است اگر وقتی formula_21، formula_7 به حد formula_9 نزدیک بشود، یا formula_7 در formula_25 دارای حد formula_9 است، اگر هنگامی که formula_27 به formula_25 میل می‌کند، formula_7 به formula_9 نزدیک شود. مشتق
از قاعدهٔ هوپیتال برای رفع ابهام formula_393 و formula_394 در حد استفاده می‌شود به‌طوری‌که اگر formula_6 و formula_90 در formula_68 مشتق‌پذیر باشند و formula_398 آنگاه: مسئله مقدار مرزی
formula_55 حدس اردوش-استراوس
بعضی از محققان شرط متمایز بودن این اعداد صحیح را نیز لازم می‌دانند، در حالی که برخی دیگر اجازه می‌دهند برابر باشند. برای formula_20 ، مهم نیست اعداد با هم متفاوت باشند: اگر یک راه حل برای هر سه عدد صحیح formula_14 , formula_15 و formula_16 وجود داشته باشد، یک راه حل برای اعداد صحیح مجزا نیز وجود دارد. برای formula_24 ، تنها راه حل formula_25 ، است با در نظر گرفتن جایگشت جمع‌شونده‌ها. وقتی formula_14 , formula_15 و formula_16 سه عدد متفاوت باشند، این کسرهای واحد کسر مصری عدد formula_2 را نمایش می‌دهند. حد (ریاضی)
formula_38 اگر formula_35 نظریه مقدار حدی
که در هر دوی آنها μ پارامتر مکان، σ>۰ پارامتر مقیاس و ξ پارامتر شکل است. معادله مربعی
در این روش با استفاده از حدس مقادیر مختلفی را برای متغیر در [معادله] قرار می‌دهیم و بررسی می‌کنیم که آیا این مقدار در معادله صدق می‌کند یا خیر. درجه آزادی (مکانیک)
در واقع درجات آزادی برابر است با تعداد مجهولاتی که می توان با آن معادله مربوط را حل کرد. حد دنباله
که formula_9 مقدار نازک بودن بازه را نشان می‌دهد و formula_10 در فضای متریک به معنای فاصلهٔ formula_11 و formula_12 است و به صورت formula_13 تعریف می‌شود. نظریه مقدار حدی
formula_3 مسئله مقدار اولیه
مسئلهٔ مقدار اولیه یا مسئلهٔ مقدار آغازی به مسئله‌ای در ریاضیات گفته می‌شود که در آن هدف یافتن پاسخی از یک معادلهٔ دیفرانسیل است به طوری که این پاسخ در نقطه‌ای مفروض شرایط مشخصی را دارا باشد.مسائل مقدار اولیه در شاخه‌های مختلفی از علم ظاهر می‌شود. مثلا معادلات حرکت نیوتونی در فیزیک، نمونه‌ای از مسائل مقدار اولیه هستند. هدف این دسته از معادلات یافتن تحول سیستم با زمان بر اساس شرایط اولیه است. سرعت حد
حل کامل معادلات پایستگی جرم و اندازه حرکت برای ذرهٔ در حال سقوط در سیالات غیرنیوتنی به دلیل مکانیزم متفاوت انتقال تنش برشی در این سیالات بسیار پیچیده و حل‌های عددی تنها برای سرعت‌های بسیار پایین ممکن است. استفاده از روابط تجربی برای پیش‌بینی روند سقوط ذرات در این محیط‌ها، رایج‌ترین شیوهٔ حل مسائل مهندسی مربوط به کنش و واکنش بین ذرات جامد و سیالات است. حد معکوس
در ریاضیات، حد معکوس (به آن حد تصویری هم می گویند) ساختاریست که امکان "به هم چسباندن" چندین شیء به هم مرتبط را فراهم می آورد، این به هم چسباندن به طور دقیق توسط ریخت بین اشیاء مد نظر تعیین می‌گردد. حد معکوس را می توان در هر رسته تعریف کرد، و این حد مورد خاصی از مفهوم عام تر حد در نظریه رسته‌هاست. مسئله مقدار مرزی
formula_34 formula_35 معادله درجه چهار
معادله ای با درجهٔ بیشتر از چهار که بتوان آن را به وسیلهٔ ریشه‌های عددی حل کرد وجود ندارد و درجهٔ چهار بالاترین درجه ای است که می‌توان آن را به وسیلهٔ ریشهٔ عددی حل کرد. حد (ریاضی)
برای نمونه اگر داشته باشیم: مسئله مقدار مرزی
formula_18 formula_19 نظریه میدان متوسط
حل یک مسألهٔ بس-ذره‌ای با وجود کنش و واکنش بین اجزای آن به غیر از مواردی خاص (مثل مدل آیزینگ ۱ بعدی و نظریهٔ میدان تصادفی) بسیار دشوار است. یک مسألهٔ N ذره‌ای با انتخاب یک میدان خارجی مناسب به یک مسألهٔ ۱ ذره‌ای تبدیل خواهد شد. میدان خارجی جایگزین اثرات تمام اجزا بر یک ذرهٔ دلخواه می‌شود. دشواری اصلی (مثلاً هنگام محاسبهٔ تابع پارش سیستم) سر و کله زدن با جملات ترکیبی تولید شده توسط اثرات متقابل اجزا در هامیلتونی، هنگام جمع بر روی تمام حالات می‌باشد. هدف نظریهٔ میدان متوسط حل مشکل این جملات ترکیبی است. نظریه میدان متوسط تحت نام‌های زیادی شناخته می‌شود. تکنیک‌های مشابه شامل تقریب براگ-ویلیامز، مدل‌های لتیس بت، نظریه لاندائو، تقریب پییر-ویس، نظریه سولوشن فلوری-هیوگینز و نظریهٔ شجن-فلیر می‌شوند.