توزیع نرمال چند متغیره چه کاربردی دارد؟
توزیع نرمال چند متغیره
در نظریه احتمال و آمار، توزیع نرمال چند متغیره، توزیع گاوسی چند متغیره، یا توزیع نرمال توأم یک تعمیم از توزیع نرمال یک بعدی (تک متغیره) به ابعاد بالاتر است. یک تعریف این است که اگر هر ترکیب خطی از k عضو یک بردار، توزیع نرمال تک متغیره داشته باشد، به یک بردار تصادفی "k" متغیره گفته می‌شود که به‌طور نرمال توزیع شده‌است. اهمیت آن عمدتاً از قضیه حد مرکزی چند متغیره ناشی می‌شود. برای توصیف هر مجموعه ای از متغیرهای تصادفی با ارزش حقیقی که احتمالاً همبسته اند و هر کدام حول مقداری متوسط جمع می‌شوند، اغلب از توزیع نرمال چندمتغییره استفاده می‌شود.
تابع چندک
ارزیابی توابع چندک معمولاً شامل روش‌های عددی است، مثل توزیع نمایی بالا، که یکی از اندک توزیع‌هایی است که یک برای آن یک عبارت فرم بسته می‌توان یافت (دیگر توزیع‌ها شامل توزیع یکنواخت، ویبول، (که شامل است) و است). در موقعی که خود cdf یک عبارت فرم-بسته داشته باشد، همیشه می‌توان از یک الگوریتم پیداکردن ریشه عددی، مثل روش دوبخشی، برای وارون‌کردن cdf استفاده کرد. دیگر الگوریتم‌ها برای ارزیابی توابع چندک را می‌توان در سری کتاب‌های «» یافت. الگوریتم‌هایی برای توزیع‌های معمول در خیلی از پکیج‌های نرم‌افزار آماری ساخته شده‌اند. نمودار چندک-چندک
از نمودار چندک-چندک برای مقایسه اشکال توزیع‌ها، فراهم‌کردن یک دید گرافیکی از شباهت یا تفاوت ویژگی‌هایی مانند شاخص مرکزی، شاخص‌های پراکنده؛ و چولگی در دو توزیع استفاده می‌شود. می‌توان نمودارهای چندک-چندک را در مقایسه مجموعه‌هایی از داده، یا توزیع نظری به کار برد. می‌توان استفاده از دو نمودار چندک-چندک برای مقایسه دو نمونه داده را به چشم یک روش ناپارامتری برای مقایسه توزیع اساسی آن‌ها در نظر گرفت. یک نمودار چندک-چندک در مقایسه با روش رایج قیاس بافت‌نگار دو نمونه، روشی بسیار قدرتمندانه‌تر برای انجام این کار است، اما توانایی تفسیر بیشتری را طلب می‌کند. نمودارهای چندک-چندک به‌طور رایج برای مقایسه مجموعه‌ای از داده‌ها برای یک مدل تئوری استفاده می‌شوند. این نمودار می‌تواند امکان ارزیابی «برازش»، که نموداری است، را به‌جای کاهش به یک خلاصه آماری فراهم کند. از نمودارهای چندک-چندک همچنین برای مقایسه دو توزیع نظری استفاده می‌شود. , از آن‌جا که این نمودارها توزیع را مقایسه می‌کنند، نیازی به مشاهده ارزش‌ها به صورت جفت‌جفت وجود ندارد، زیرا در نمودار نقطه‌ای یا حتی برای تعدادی از ارقام در دو گروه، برای برابر بودن مقایسه می‌شوند. روابط میان توزیع‌های احتمال
تعدادی از توزیع های یک متغیره که در این گروه قرار دارند عبارتند از:توزیع نرمال،توزیع گاما،توزیع کوشی،توزیع نمایی،توزیع ارلنگ،توزیع وایبل،توزیع لاجستیک،توزیع خطا،توزیع توانی،توزیع رایلی. روابط میان توزیع‌های احتمال
تعدادی از توزیع های یک متغیره که در این گروه قرار دارند عبارتند از: توزیع نرمال،توزیع پواسون،توزیع دوجمله ای،توزیع گاما،توزیع دوجمله‌ای منفی،توزیع کی‌دو،توزیع کوشی،توزیع فوق نمایی. توزیع نرمال
formula_41 توزیع خی‌دو
مستقل از دو معیار: طبقه‌بندی کیفیت داده‌ها و برآورد فاصلهٔ اطمینان (همون یک سیگما دو سیگما) برای جمعیتی که انحراف استاندارش از یک توزیع نرمال برای یک نمونه انحراف استاندارد. بسیاری از آزمونهای آماری نیز از این توزیع استفاده می‌کنند مانند تحلیل فریدمان براساس رتبه‌ها. توزیع نامتمرکز تی
همانطور که می‌شود حدس زد، مهمترین کاربرد این توزیع، اندازه گیری قدرت آزمون تی است، گرچه که کاربرد های دیگری در اندازه گیری مقبولیت نمونه‌گیری (VASP)، بازه‌های تحمل (بازه اطمینان در بخشی از داده‌ها) و چند کاربرد تخصصی دیگر از این قبیل دارد. پراکندگی (آمار)
با نمایش داده‌ها می‌توان بررسی کرد که پراکندگی یک متغیر تصادفی به کدام توزیع نزدیک‌تر است. به عنوان مثال، پراکندگی داده‌برداری‌های استاندارد شده، اندازه‌گیری آی‌کیو و سایر داده‌هایی را که از جمع چند متغیر تصادفی یکسان به دست می‌آیند و بر اساس تئوری انتظار می‌رود که از توزیع نرمال پیروی کنند، می‌توان از طریق واریانس تابع توزیع نرمال به دست آورد. توزیع نرمال چند متغیره
یک بردار تصادفی حقیقی به صورتformula_1، بردار تصادفی معمولی نامیده می‌شود اگر بردار تصادفی نرمال استاندارد formula_18 با بعد formula_19 ، بردار formula_23 با بعد formula_24 و ماتریس formula_14 با ابعاد formula_15 وجود داشته باشد، به طوری که formula_27 . توزیع مقدار حدی تعمیم‌یافته
نظریه مقدار حدی برای مدل کردن بیشترین یا کمترین مقدار تعدادی از داده‌های تصادفی بکار می‌رود. به‌طور کل سه نوع مقدار حدی وجود دارد که توزیع مقدار حدی تعمیم‌یافته هر سه گروه را دربرمی‌گیرد. این توزیع دارای سه پارامتر مکان formula_11، مقیاس formula_12 و شکل formula_13 است. زمانی که formula_14 آنگاه توزیع مقدار حدی معادل مقدار حدی نوع سوم است. وقتی که formula_15 توزیع مقدار حدی معادل مقدار حدی نوع دوم است. وقتی مقدار formula_13 به سمت صفر میل می‌کند توزیع مقدار حدی به مقدار حدی نوع اول میل می‌کند. توزیع (ریاضیات)
توابع تعمیم‌یافته، و توزیعات کاربردهای فراوانی در زمینه‌های مختلف علوم و مهندسی دارد. از جملهٔ مهم‌ترین آن‌ها موارد زیر را می‌توان برشمرد: توزیع نرمال
formula_43 توزیع نرمال چند متغیره
اگرچه هیچ فرم بسته‌ای برای آن وجود ندارد formula_79 ، تعدادی الگوریتم وجود دارد که آن را به صورت عددی تخمین می‌زنند. بیشینه هموار
در ریاضیات تابع بیشینهٔ هموار یا تابع نمایی نرمال‌سازی‌شده  تعمیم تابع لجستیک است. تابع بیشینهٔ هموار یک بردار formula_1-تایی از اعداد حقیقی مانند formula_2 را به عنوان ورودی دریافت می‌کند و بردار formula_1-تایی formula_4 از مقادیر حقیقی formula_5 را به عنوان خروجی می‌دهد که جمع مولفه‌های آن ۱ می‌شود. ضابطه تابع به شرح زیر است: formula_6 for "j" = 1, …, "K". خروجی تابع بیشینه‌هموار، در نظریه احتمالات می‌تواند برای نمایش یک توزیع رسته‌ای استفاده شود. توزیع رسته‌ای، توزیع احتمالاتی بر روی formula_1 نتیجه مختلف است. توزیع باکس-کاکس
توزیع باکس-کاکس با توزیع نمایی-نرمال توزیع یک متغیر تصادفی است که متغیر تصادفی به همراه تبدیل باکس-کاکس از توزیع نرمال برش یافته پیروی کند.تایع چگالی احتمال به صورت زیر است: توزیع کی
اگر Xiهای k متغیر مستقل با توزیع احتمال نرمال باشند (با میانگین و واریانس ، formula_10 و formula_11) حاصل عبارت زیر بیانگر توزیع chi است. توزیع چندجمله‌ای
"(X ~ P(λ" توزیع نمایی
از توزیع نمایی بیشتر در تخمین زدن مدت زمان لازم برای رخداد یک پیشامد خاص استفاده می‌شود. برای نمونه، مدت زمان لازم (از هم‌اکنون) تا رخداد یک زمین‌لرزه، آغاز یک جنگ، دریافت یک تماس تلفنی اشتباه، و ... متغیرهای تصادفی با توزیع نمایی می‌باشند. آزمون مربع کای
آزمون توزیع نرمال یا ازمون مربع کای یا آزمون خی 2 که به صورت formula_1 نوشته میشود از آزمون‌های آماری است و برای ارزیابی میزان ارتباط متغیرهای اسمی نسبت به هم به کار می‌رود.برای تعیین اینکه بدانیم آیا از نظر آماری اختلاف معنی داری بین مقادیر فراوانی مشاهدات و فراوانی مورد انتظاردر یک یا چند گروه از جدول توافقی (دوطرفه) وجود دارد ، از آزمون کای-۲ پیرسون استفاده می شود.  در کاربردهای معمول این آزمون ، مشاهدات به کلاسهای جدا از هم تقسیم می شوند. اگر فرضیه صفر مبنی بر اینکه هیچ تفاوتی بین طبقات در جمعیت وجود ندارد درست باشد ، آمار آزمون محاسبه شده مشاهدات توزیع فراوانی formula_1 را دنبال می کند. هدف از این آزمون ارزیابی چگونگی احتمال فرضیه صفر در فراوانی مشاهدات است. که در آن توزیع احتمال
در این بخش به معرفی سه تابع بسیار مهم مرتبط با احتمال می‌پردازیم. این تابع‌ها، کاربردهای وسیعی در نظریهٔ احتمال و مباحث آماری دارند. توزیع نرمال چند متغیره
به طوری که formula_7 معکوس ماتریس کوواریانس را ماتریس دقت می‌نامند که به صورت formula_8 نمایش داده می‌شود. رگرسیون چندک
اگر formula_1 تابع توزیع تجمعیِ متغیر formula_2 باشد، و formula_3 عددی در formula_4 باشد، آنگاه چندک مرتبط با این عدد به این شکل تعریف می‌شود: formula_5 می‌توان نشان‌داد که: formula_6 که در اینجا formula_7است. حال اگر تابع توزیع تجمعی را نداشته باشیم و فقط formula_8 نمونه از توزیع متغیر داشته باشیم آنگاه چندک متغیر را با بهینه‌سازی پایین می‌توان به‌دست‌آورد. formula_9 این مسئله بهینه‌سازی با کمک برنامه‌ریزی خطی حل می‌شود. اگر formula_3 با formula_11 برابر باشد، رگرسیون خطی، میانه را تخمین خواهد زد و تابع هزینه به مجموع قدر مطلق تفاضل پیش‌بینی و داده وابسته تغییر شکل می‌یابد: formula_12 رگرسیون چندک در علوم بوم‌شناسی کاربرد فراوانی دارد. معمولاً به علت پیچیدگی و تعداد زیاد عوامل تأثیرگذار در یک رویداد طبیعی، توزیع‌های شرطی متغیرهای وابسته اغلب واریانس بالا و غیر همسانی دارند که باعث می‌شود رابطه بین متغیرهای مستقل و میانگین توزیع شرطی ضعیف شود؛ تقریب کل توزیع شرطی با استفاده از تخمین خطی چندک‌های توزیع شرطی حاوی اطلاعات بیشتری برای پژوهشگران این رشته‌است و این تقریب از طریق رگرسیون چندک به دست می‌آید. توزیع خی دو نامرکزی
آنگاه متغیر تصادفی توزیع دوجمله‌ای
متغیر تصادفی x، دارای توزیع دو جمله‌ای با پارامترهای n=۵ , p=۰٫۷ است که تابع احتمال آن را به صورت زیر می‌نویسیم: برآوردگر سازگار
از خواص توزیع نرمال ما می‌دانیم که "T" خود به صورت نرمال توزیع شده‌است، با میانگین μ و واریانس "σ"/"n". به‌صورتی معادل، formula_3 توزیع نرمال استاندارد دارد. پس: توزیع نرمال چند متغیره
یا برای اینکه با صراحت نشان دهیم X از بعد k است، قضیه حد مرکزی
مثال: در این مثال فرض شده‌است که formula_1 متغیر تصادفی، همگی دارای توزیع احتمال یکنواخت (Uniform Probability Distribution) هستند. بر اساس قضیه حد مرکزی اگر متغیر تصادفی جدیدی formula_2 تعریف شود به‌طوری‌که formula_3 ، می‌توان اثبات کرد که فارغ از نوع توزیع احتمال اولیهٔ متغیرهای تصادفی (در این مثال توزیع یکنواخت)، توزیع احتمال متغیر جدید، توزیع نرمال خواهد بود. توزیع نرمال چند متغیره
توزیع نرمال چند متغیره یک بردار تصادفی "k بعدی به صورت" formula_1 را می‌توان با نماد زیر نوشت: توزیع نرمال
تابع چگالی احتمال این توزیع دو پارامتر دارد که یکی تعیین کنندهٔ میانگین ("formula_3") و دیگری تعیین کنندهٔ واریانس ("formula_17") توزیع هستند. منحنی تابع چگالی احتمال حول میانگین توزیع متقارن است. در حالت خاص اگر "formula_18" و "formula_19" باشد توزیع، نرمال استاندارد نامیده می‌شود. حساب چندمتغیره
حساب چندمتغیره در بسیاری از زمینه‌های علوم طبیعی و اجتماعی و مهندسی برای شبیه‌سازی و مطالعه سیستم‌های چندبعدی که رفتار معین دارند، به‌کار می‌رود. سیستم‌های نامعین یا تصادفی با استفاده از بخش دیگری از ریاضیات یعنی حساب تصادفی مورد مطالعه قرار می‌گیرند. همچنین تحلیلگران بازار، غالباً از حساب چندمتغیره برای پیش‌بینی روند تغییرات سهام استفاده می‌کنند. رگرسیون خطی
رگرسیونهای خطی که بر کمترین مربعات استوارند، معمولاً سعی دارند که میانگین متغیر وابسته را بر اساس توزیع شرطی این متغیر و با کمک ترکیبی خطی از متغیرهای مستقل تخمین بزنند. در مقایسه، رگرسیون چندک هدف را بر محاسبه یک یا چند چندکِ متغیر وابسته می‌گذارد. رگرسیون چندک معمولاً با داده‌های پرت بهتر از رگرسیون معمولی کار می‌کند و پیش‌فرضهای کمتری دارد من‌جمله اینکه توزیع شرطی متغیر وابسته ضرورتاً لازم نیست توزیعی طبیعی باشد. همچنین رگرسیون چندک در مسائلی به کار می‌رود که هدف بدست آوردن توزیع مشروط متغیر وابسته باشد نه فقط یک آماره از آن مانند میانگین؛ چه که با استفاده از چندک‌های یک توزیع می‌توان کل توزیع را تقریب زد. اگر formula_169 تابع توزیع تجمعیِ متغیر formula_30 باشد، و formula_171 عددی در formula_172 باشد، آنگاه چندک مرتبط با این عدد به این شکل تعریف می‌شود:  formula_173 توزیع چندجمله‌ای
ابتدا احتمال رخدادها یعنی formula_13 را به صورت کاهشی مرتب کنید. این کار تنها برای افزایش سرعت محاسبات است. سپس در هر تکرار برای متغیر تصادفی "X" عددی تصادفی از توزیع یکنواخت در (۰، 1) انتخاب کنید. در هر مرحله برآمد توسط رابطهٔ زیر مشخص می‌شود. این یک نمونه‌گیری از توزیع چندجمله‌ای به ازای n=1 است. در صورتی که این آزمایش را n بار تکرار کنیم، یک نمونه‌گیری از توزیع چند جمله به ازای n تکرار داریم. تابع یکنوا
یک کاربرد مهم تابع یکنوا در نظریه احتمال است. اگر formula_31 یک متغیر تصادفی باشد، تابع توزیع تجمعی آن formula_32 صعودی یکنواست. توزیع نرمال
تقریباً ۶۸٪ از کل اعدادی که از یک توزیع نرمال گرفته شوند، فاصله‌ای برابر یا کمتر از یک برابر انحراف معیار توزیع نسبت به میانگین توزیع دارند. تقریباً ۹۵٪ از کل اعدادی که از یک توزیع نرمال گرفته شوند، فاصله‌ای برابر یا کمتر از دو برابر انحراف معیار توزیع نسبت به میانگین توزیع دارند. تقريبا 99/7 % كل اعداد نيز در فاصله كمتر از سه برابر انحراف معيار توزيع نسبت به ميانگين توزيع قرار مي گيرند. توزیع گامبل
در نظریه احتمالات و آمار از توزیع گامبل (Gumbel distribution) استفاده می‌شود تا توزیع بیشینه یا کمینهٔ شماری از نمونه‌های توزیع‌های مختلف را مدل کند. برای نمونه اگر فهرستی از ارتفاع بیشینهٔ آب یک رودخانه در ده سال گذشته موجود باشد با استفاده از این توزیع، می‌توان توزیع حد بیشینهٔ آب رودخانه را در یک سال مشخص ارائه کرد. تک متغیره
این اصطلاح معمولاً در آمارها برای متمایز کردن توزیع یک متغیر از توزیع چندین متغیر استفاده می‌شود، اگرچه می‌تواند در جاهای دیگری نیز استفاده شود. به عنوان مثال، داده‌های تک متغیره از یک جزء اسکالر تک تشکیل شده‌است. در تجزیه و تحلیل سری زمانی، این اصطلاح با یک سری کل زمان به عنوان موضوع مورد استفاده قرار می‌گیرد: بنابراین یک سری زمان یک متغیره به مجموعه ای از مقادیر در طول زمان از یک مقدار واحد اشاره دارد. به همین ترتیب، یک «سری زمانی چند متغیره» به تغییر مقادیر چند مقدار در طول زمان اشاره دارد؛ بنابراین یک تعارض جزئی اصطلاحی وجود دارد زیرا مقادیر درون یک سری زمانی یک متغیره ممکن است با استفاده از انواع خاصی از تجزیه و تحلیل آماری چند متغیره حل شوند یا ممکن است با استفاده از توزیع احتمال توأم این کار صورت گیرد. توزیع نرمال
این توزیع گاهی به دلیل استفادهٔ کارل فردریش گاوس از آن در کارهای خود با نام توزیع گاوسی نامیده می‌شود؛ همچنین به دلیل شکل تابع چگالی احتمال این توزیع، با نام توزیع زنگوله‌ای (زنگ‌دیس) نیز معروف است. توزیع نرمال چند متغیره
تعاریف زیر معادل تعریف فوق می‌باشد. یک بردار تصادفی به فرم formula_32 اگر یکی از شرایط معادل زیر را برآورده کند، دارای توزیع نرمال چند متغیره است. توزیع نرمال
خصوصیاتی که معمولاً برای توصیف یک توزیع احتمال به کار می‌روند، عبارتند از تابع توزیع (یا چگالی) احتمال، تابع توزیع تجمعی، گشتاورها، تابع مشخصه و تابع مولد گشتاور. در جدول سمت چپ، این مشخصات برای توزیع نرمال آورده شده‌اند. در ادامه، جزئیات بیشتری دربارهٔ این خصوصیات ذکر می‌شود. توزیع چندجمله‌ای
برابر است با (Mult(n, π توزیع احتمال مرکب
در نظریه احتمالات، توزیع احتمال مرکب توزیعی است که وقتی در توزیع احتمالی، یک یا چند پارامتر نیز از توزیعی دیگر پیروی می‌کنند. به بیان ریاضی می‌توان توزیع حاصل را به صورت زیر توضیح داد: توزیع چندجمله‌ای
با داشتن معیار واگرایی کولبک-لیبلر
در آمار ریاضی از Kullback–Leibler واگرایی به عنوان معیاری برای اندازه‌گیری واگرایی یک توزیع احتمال از یک توزیع احتمال ثانویه، یاد می‌شود. از جمله کاربردهای این مفهوم شامل توصیف آنتروپی نسبی (Shannon) در سیستم‌های اطلاعاتی، رندمنس در سریهای زمانی پیوسته و بهره اطلاعاتی در زمانی که به مقایسه با مدلهای آماری استنباطی می‌پردازیم، می‌باشد. برخلاف تنوع اطلاعات، این معیار، یک معیار "نامتقارن" می‌باشد و در نتیجه نمی‌توان آن را به عنوان یک "معیار" پراکندگی معرفی کرد. به عبارت دیگر، مقدار ۰ برای Kullback–Leibler واگرایی نشان می‌دهد که ما می‌توانیم انتظار رفتار مشابهی (نه دقیقاً یکسان) از دو توزیع داشته باشیم در حالی که مقدار ۱ برای این معیار نشان می‌دهد که دو توزیع رفتارهای متضادی دارند. آزمون والد
به کمک آزمون والد می‌توان مقدار تخمین formula_1 به‌دست آمده از طریق درست‌نمایی بیشینه را با مقدار پیشنهادی formula_2 مقایسه کرد. مقایسه براساس این فرض است که تفاوت این دو مقدار توزیع نرمال و توان دوم این اختلاف توزیع کی‌دو خواهد داشت. در حالت تک متغیره، آمارهٔ والد به صورت زیر تعریف می‌شود: و با توزیع کی‌دو مقایسه می‌شود. می‌توان آمارهٔ زیر را نیز تعریف کرد و با توزیع نرمال مقایسه کرد: که در آن formula_5 انحراف معیار تخمین است. تخمین معقولی از انحراف معیار خطا توسط formula_6 داده می‌شود که در آن formula_7 اطلاع فیشر پارامتر است. توزیع خی‌دو
فرض کنید Z یک متغیر تصادفی است که از توزیع نرمال استاندارد نمونه برداری شده‌است standard normal distribution، که میانگین برابر با ۰ و واریانس: 1 Z ∼ N (0، ۱). اکنون متغیر تصادفی Q = Z ^ {2} را در نظربگیرید. توزیع متغیر تصادفی Q نمونه ای از توزیع کای-اسکور است: Q ∼ χ ۱ ۲. زیرنویس ۱ نشان می‌دهد این توزیع کای-اسکور خاص فقط از ۱ توزیع نرمال استاندارد ساخته شده. یک توزیع کای-اسکور ساخته شده از مربع یک توزیع نرمال استاندارد واحد استاندارد که دارای ۱ درجه آزادی است؛ بنابراین، با افزایش سایز نمونه برای یک hypothesis testing، توزیع آماری به یک توزیع طبیعی نزدیک می‌شود. همان‌طور که مقادیر شدید توزیع نرمال احتمال کمی دارند (و پی ولیو آن‌ها کوچک است)، مقادیر شدید توزیع کای-اسکور نیز احتمال کمی دارند. توزیع نرمال چند متغیره
نسخه متقارن دایره ای توزیع نرمال مختلط شکی با کمی تفاوت دارد. توزیع حاشیه‌ای
فرض کنید توزیع توأم دو متغیر تصادفی پیوسته و به ما داده شده‌است. تابع چگالی احتمال حاشیه‌ای را می‌توان از انتگرال احتمال توزیع توأم روی تمام حالات محاسبه کرد. و یا به‌طور شهودی تر داریم: به راحتی می‌توان تابع توزیع تجمعی حاشیه‌ای را از روی تابع چگالی احتمال حاشیه‌ای به دست آورد. تابع چندک
در آمار و احتمالات، تابع چندک مرتبط با توزیع احتمال یک متغیر تصادفی، مقدار متغیر تصادفی را طوری تعیین می‌کند که احتمال متغیر برای مقادیر کمتر یا مساوی آن مقدار، برابر احتمال داده شده باشد. از این رو به آن تابع درصد-نقطه یا تابع توزیع تجمعی وارون هم گفته می‌شود. توزیع نرمال چند متغیره
یک بردار تصادفی حقیقی به صورت formula_1، بردار تصادفی نرمال استاندارد نامیده می‌شود اگر تمام اعضای formula_10 مستقل و هر کدام یک متغیر تصادفی با میانگین صفر و واریانس ۱ باشند که به‌طور نرمال توزیع شده‌اند یعنی formula_11 برای همه formula_12ها. توزیع چندجمله‌ای
"(X ~ P(λ" متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان
فرض مستقل با توزیع یکسان (آی‌آی‌دی) بودن متغیرهای تصادفی به ما در ساده‌سازی بسیاری از روش‌های آماری کمک می‌کند ولی در کاربردهای عملی مدل سازی آماری این فرض ممکن است واقعی نباشد. توزیع نرمال
formula_42 چندمجموعه
توزیع نرمال استاندارد است مانند یک حد | بزرگ از اعداد. تابع گاوسی
تابع گاوسی در علوم احتمال، آمار، هوش مصنوعی و به‌ویژه در توزیع نرمال استفادهٔ فراوان دارد. توزیع خی دو نامرکزی
توزیع خی دو نامرکزی تعمیمی از توزیع خی دو است؛ در حقیقت توزیع خی دو (یا توزیع کی‌دو یا formula_8) حالت خاصی از توزیع خی دو نامرکزی است. درشاخهٔ آمار چندمتغیره و دیگر آمارها توزیع خی دو نامرکزی بسیار پرکاربرد است. این توزیع را معمولاً زمانی که فرض صفر در آزمون فرض آماری درست نباشد، می‌بینیم. نرم‌کننده مغزی‌دار
معمولاً از کانولوشن توزیع طبیعی روی متغیر تصادفی استفاده می‌شود. توزیع نرمال-ویشارت
فرض کنیم متغیر مربوط به میانگین دارای توزیع گوسی چند متغیره  و متغیر مربوط به ماتریس کواریانس دارای توزیع ویشارت باشد در اینصورت می گوییم زوج میانگین-واریانس دارای توزیع ویشارت-نرمال است و توزیع مشترک را به این صورت مشخص می کنیم: توزیع لجستیک
یکی از معمول‌ترین کاربردها در رگرسیون لجستیک است، که از آن برای مدل‌سازی متغیرهای وابسته رسته‌ای (مثل گزینه بله/خیر یا گزینه‌هایی از ۳ یا ۴ احتمال) استفاده می‌شود، اگرچه از رگرسیون خطی استاندارد برای مدل‌سازی (مثل درآمد یا جمعیت) استفاده می‌شود. مخصوصاً مدل‌های رگرسیون لجستیک را می‌توان به صورت مدل‌های متغیر پنهان با متغیرهای خطایی که از توزیع لجستیک آمده‌اند عبارت‌بندی کرد. این عبارت‌بندی در نظریه مدل‌های معمول است، که در آن توزیع لجستیک در رگرسیون لجستیک نقشی مشابه با توزیع نرمال در بازی می‌کند. در واقع، توزیع‌های لجستیک و نرمال شکل کاملاً مشابهی دارند. با این حال، توزیع لجستیک دنباله سنگین‌تری دارد، که این موضوع باعث افزایش مقاوم‌بودن تحلیل نسبت به استفاده از توزیع نرمال می‌شود. تابع توزیع تجمعی
در این قسمت تابع توزیع تجمعی چند توزیع معروف و نمودار توزیع تجمعی آن‌ها را بررسی می‌کنیم: توزیع لاگ-نرمال
\ \exp\left(-\frac{\left(\ln x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right) توزیع لاگ-نرمال در نظریه احتمال نوعی توزیع احتمال پیوسته برای یک متغیر تصادفی است، که لگاریتم آن به صورت نرمال توزیع شده‌است. توزیع نامتمرکز تی
این توزیع همچنین به عنوان توزیع نامتمرکز یکتای تی نیز شناخته می‌شود، و علاوه بر کاربردش در استنباط آماری، در آمار باثبات برای مدل کردن داده‌ها نیاز به کار می‌آید. توزیع نرمال چند متغیره
اگر ماتریس کوواریانس formula_37 رتبه کامل نباشد، پس توزیع نرمال چند متغیره منحط است و چگالی ندارد. به‌طور دقیق تر، توزیع مذکور با توجه به اندازه لبگ "k" "بعدی" (که معیار معمولی در دوره‌های احتمال در سطح حساب دیفرانسیل و انتگرال است) چگالی ندارد. گفته می‌شود که فقط بردارهای تصادفی که توزیع آنها نسبت به یک اندازه‌گیری کاملاً پیوسته‌است، چگالی دارند (با توجه به آن اندازه). برای صحبت در مورد چگالی اما ساده‌تر است که از پرداختن به عوارض تئوری اندازه‌گیری اجتناب کنیم و به زیر مجموعه ای از formula_72 از مختصات formula_73 به طوری که ماتریس کوواریانس برای این زیر مجموعه مثبت معین است توجه کنیم. سپس سایر مختصات را می‌توان به عنوان تبدیل افاینی از این مختصات انتخابی در نظر گرفت. توزیع نرمال چند متغیره
با بردار میانگین "k" بعدی توزیع نمایی
توزیع نمایی تنها توزیع پیوسته‌ای‌است که خاصیت بی‌حافظگی دارد و از این رو بیشتر در حل مسائل احتمال و تئوری صف به کار گرفته می‌شود. هم‌چنین از این توزیع برای مدلسازی کردن و آسان ساختن شیوهٔ حل مسائل واقعی استفاده می‌کنند. این ویژگی تابع را می‌توان اینطور تفسیر کرد که رویدادهایی را که در گذشته اتفاق افتاده می‌توانیم در نظر نگیریم و از زمان حال به بعد را مبدأ زمان قرار بدهیم. مثلاً لامپی که طول عمرش ۱۰ ساعت است و تا ساعت ۶ هنوز نسوخته است را می‌توان مثل یک لامپ نو بحساب آورد. توزیع احتمال دنباله بلند
مدتهاست که درک شده است که مدلسازی کارآمد و دقیق پدیده های مختلف دنیای واقعی نیاز به ترکیب این واقعیت دارد که مشاهدات انجام شده در مقیاس های مختلف هرکدام دارای اطلاعات اساسی هستند. در بیشتر اصطلاحات ساده ، نمایش داده ها در مقیاس های بزرگ با میانگین آن اغلب مفید است (مانند درآمد متوسط یا تعداد متوسط مشتری در روز) اما می تواند نامناسب باشد (به عنوان مثال در زمینه بافر یا صف های انتظار). توزیع احتمال توأم
توزیع احتمال توأم یا توزیع احتمال مشترک در بحث احتمالات مطرح می‌شود که در آن پدیدهٔ مورد نظر با مجموعه‌ای از متغیّرهای تصادفی که با آن در ارتباط هستند تفسیر و تغییرات این متغیرها در ارتباط با یکدیگر و به صورت توأم (مشترک) بررسی می‌شود. در بسیاری موارد علاقه‌مند هستیم که دو یا چند متغیر تصادفی را همزمان مطالعه کنیم. در این ارتباط برای هر دو متغیر تصادفی formula_1 و formula_2 تابع توزیع تجمعی را به صورت زیر تعریف می‌کنیم ۱.۹۶
و از آنجایی توزیع نرمال متقارن است: یک نماد برای این عدد "z". از تابع چگالی احتمال از توزیع نرمال مقدار دقیق "z" از طریق این فرمول تعیین می‌شود: متناسب‌سازی توزیع احتمال
وقتی مقادیر کوچکتر نسبت به مقادیر بزرگتر از میانگین فاصله داشته باشند، یک توزیع چولگی به سمت چپ دارد (یعنی چولگی منفی وجود دارد)، ممکن است به عنوان مثال "توزیع مربع نرمال" (به عنوان مثال توزیع نرمال اعمال شده به ربع مقادیر داده)، توزیع گامبل معکوس (آینه ای)، توزیع داگوم (توزیع Burr آینه ای)، یا توزیع گمپرتز، که به سمت چپ محدود می‌شود. توزیع مزدوج پیشین
فرم توزیع پیشین مزدوج عموماً می‌تواند با بررسی تابع چگالی احتمال یا تابع جرم احتمال آن توزیع مشخص گردد. به عنوان مثال، یک متغیر تصادفی را در نظر بگیرید که شامل تعداد موفقیت‌های formula_9 در formula_10 آزمایش برنولی با احتمال موفقیت نامعلوم formula_11 در بازهٔ [۰٬۱] است. این متغیر تصادفی با تابع جرم احتمال زیر از توزیع دوجمله ای تبعیت می‌کند: توزیع خی‌دو
از آنجا که آمار آزمون (مانند t) بصورت مجانبی به توزیع نرمال میل می‌کند، به شرط آنکه اندازه نمونه به اندازه کافی بزرگ باشد، توزیع مورد استفاده برای hypothesis testing ممکن است تقریباً توزیع نرمال باشد. hypothesis testing با استفاده از توزیع نرمال کاملاً شناخته شده و نسبتاً آسان است. ساده‌ترین توزیع کای-اسکور؛ مربع یک توزیع نرمال استاندارد است؛ بنابراین هر جا یک توزیع نرمال داشتیم می‌توان از hypothesis testing استفاده کرد و می‌توان از توزیع کای-اسکور استفاده کرد. شاخص پراکندگی
شاخص پراکندگی فقط برای توزیع‌هایی تعریف‌شده‌است که میانگین غیرصفر داشته باشند و معمولاً برای متغیرهایی که همیشه مثبت هستند، مانند متغیر تصادفی نمایی، استفاده می‌شود. ثابت ریاضی
ثابت کاربردهای زیادی دارد. به عنوان مثال در نظریه احتمال در توزیع نمایی پدیدار می‌گردد. آزمون خطای استاندارد میانگین
وقتی از آزمون "Z" برای برآورد درست‌نمایی بیشینه استفاده می‌کنیم، مهم است بدانیم که نرمال بودن توزیع به‌صورت تقریبی ممکن است برای نمونه‌هایی که به اندازه‌ی کافی زیاد نیستند، ضعیف عمل کند و با تقریب خوبی نرمال نباشد. توزیع نرمال چند متغیره
به طوریکه که formula_78 وارون تعمیم یافته‌است و det* شبه دترمینان است. توزیع نرمال
تابع چگالی احتمال توزیع نرمال با پارامترهای "formula_3" و "formula_6" به صورت زیر است:گشتاورهای توزیع نرمال از هر مرتبه‌ای تعریف شده‌اند. یعنی "formula_27"برای هر "formula_28" که وجود دارد.در اینجا !!n نشان دهنده فاکتوریل دوبل است. توزیع برنولی
اگر formula_9 متغیرهای تصادفی با توزیع برنولی با پارامتر یکسان و مستقل باشند، آنگاه متغیر تصادفی formula_10 یک توزیع دوجمله‌ای خواهد بود. در واقع توزیع برنولی همان توزیع دوجمله‌ای با پارامتر "n=۱" یعنی formula_11 خواهد بود. در واقع، تابع جرم توزیع دوجمله ای به صورت زیر می‌باشد. انحراف معیار
معمولاً با افزایش تعداد داده‌ها توزیع آن‌ها به منحنی توزیع نرمال میل پیدا می‌کند. در توزیع نرمال، ۶۸٫۲٪ داده‌ها در فاصله کمتر از یک انحراف معیار نسبت به میانگین قرار دارند. این مقدار برای فاصله‌های دو و سه انحراف معیار، به ترتیب ۹۵٫۴٪ و ۹۹٫۷٪ است. به بیان دیگر، احتمال آن که اختلاف یک داده با میانگین، بیش از سه انحراف معیار باشد، تنها ۰٫۳٪ (تقریباً معادل ۱ در ۳۰۰) است. ۱.۹۶
اگر "X" یک توزیع نرمال استاندارد باشد یعنی "X" ~ N(0,1), چندجمله‌ای‌های برنشتاین
فرض کنید "K" است متغیر تصادفی به عنوان تعداد موفقیتها در "n را" مستقل توزیع برنولی با احتمال "x" از موفقیت در هر آزمایش به؛ به عبارت دیگر ، "K" دارای توزیع دوجمله ای با پارامترهای "n" و "x" سپس مقدار مورد انتظار را داریم formula_55 و توزیع نیم نرمال
توزیع نیم نرمال در نظریه احتمال و آمار یک توزیع پیوسته است. این توزیع در حقیقت برابر با توزیع قدر مطلق توزیع نرمال است.  تابع چگالی احتمال آن به صورت زیر است: تابع توزیع تجمعی آن به صورت زیر است: تابع امید ریاضی آن به صورت زیر است: واریانس آن به صورت زیر است: نظریه قابلیت اطمینان
نرخ مخاطره معمولاً با یکی از مدل‌های ثابت، خطی، یا چندجمله‌ای مدل می‌شود. مخاطرهٔ ثابت در بسیاری از کاربردها کافی است و معمولاً برای نشان داده رفتار وقوع خرابی تصادفی (وقوع خرابی در مراحل میانی عمر سیستم) از آن استفاده می‌شود. در این مدل قابلیت اطمینان و توزیع چگالی وقوع خرابی نمایی خواهند بود. ولی این مدل برای دوره کهولت سیستم (که در آن با مخاطره فزاینده مواجه هستیم) مناسب نیست. در این حالت از مخاطرهٔ خطی استفاده می‌کنیم. در این حالت توزیع چگالی وقوع خرابی یک توزیع رالی خواهد بود. مدل سوم (مخاطره چندجمله‌ای) حالت کلی تر دوحالت فوق است که دقت بیشتری دارد. در این حالت چگالی وقوع خرابی دارای توزیع ویبول خواهد شد، که توزیعی مهم در مبحث قابلیت اطمینان است. توزیع نرمال
به زبان ساده، در قضیهٔ حد مرکزی نشان داده می‌شود که مجموع متغیرهای تصادفی مستقل (independent)، که هرکدام میانگین و واریانس متناهی دارند، با افزایش تعداد متغیرها، دارای توزیعی بسیار نزدیک به توزیع نرمال است. برای مثال، با اینکه عوامل زیادی بر خطای اندازه‌گیریِ یک کمیت اثر می‌گذارند (مانند خطای دید، خطای وسیله اندازه‌گیری، شرایط محیط و …) اما در اندازه‌گیری‌های متعدد، خطای اندازه‌گیری همواره دارای توزیع نرمال است که حول مقدار ثابتی پراکنده شده‌است. مثال‌های دیگری از این کمیت‌های طبیعی، قد، وزن یا بهرهٔ هوشی افراد است. توزیع بتا
یکی از مهم‌ترین کاربردهای توزیع بتا استفاده از آن در آنالیز آماری بیزی توزیع دوجمله‌ای است.درواقع توزیع بتا به عنوان یک مدل برای احتمال موفقیت یک توزیع دوجمله‌ای استفاده می‌گردد،به این صورت که توزیع‌ بتا به عنوان یک توزیع پیشین یا پسین برای آنالیز مورد استفاده قرار می‌گیرد. توزیع لاگ-نرمال
توزیع لاگ-نرمال مدلی مفید و مناسب برای اندازه‌گیری‌ها در علوم دقیق و مهندسی، مثل پزشکی، اقتصاد و دیگر عناوین است (مثلا انرژی، غلظت، طول، بازدهی مالی، و دیگر سنجه‌ها). توزیع حاشیه‌ای
به‌طور ساده‌تر گاهی نیاز داریم توزیع مستقل دو متغیر تصادفی را هم از توزیع توأم به دست آوریم. جواب این سؤال ما در توزیع حاشیه‌ای نهفته‌است. آماره ترتیبی
در هنگام استفاده از نظریه احتمال برای آنالیز آماره ترتیبی یک نمونه تصادفی از توزیع مستمر، از تابع توزیع تجمعی برای کاهش آنالیز در شرایط آماره ترتیبی توزیع یکسان استفاده می‌شود. توزیع نرمال چند متغیره
توزیع نرمال کروی را می‌توان به عنوان توزیع منحصربفردی توصیف کرد که در آن اجزا در هر سیستم مختصات متعامد مستقل هستند. روابط میان توزیع‌های احتمال
تعدادی از توزیع های یک متغیره که در این گروه قرار دارند عبارتند از:توزیع برنولی،توزیع هندسی،توزیع نمایی،توزیع مقادیر نهایی،توزیع پارتو،توزیع وایبل،توزیع رایلی. آزمون یو مان-ویتنی
هرگاه شرایط استفاده از آزمونهای پارامتری در متغیرها موجود نباشد، یعنی متغیرها پیوسته و نرمال نباشند از این آزمون استفاده می‌شود. دو نمونه باید مستقل بوده و هر دو کوچکتر از ۱۰ مورد باشند. در صورت بزرگتر بودن از ۱۰ مورد باید از آماره‌های Z استفاده کرد (در محاسبات کامپیوتری، تبدیل به Z به طور خودکار انجام می‌شود). در این آزمون شکل توزیع، پیش فرضی ندارد یعنی می‌تواند نرمال یا غیر نرمال باشد. توزیع رایلی
| توزیع ریلی یا رایلی معمولاً در مواردی مشاهده می‌شود که متغیری دارای دو عضو بوده که هر دو دارای توزیع نرمال با واریانس مشابه بوده و از هم مستقل باشند. به‌طور مثال می‌توان سرعت باد که دارای دو مؤلفه (در جهت شرقی−غربی و شمالی−جنوبی) می‌باشد را دارای این توزیع دانست. همچنین اندازه اعداد مختلطی که مقادیر حقیقی و موهومی آنها دارای توزیع یکسان نرمال بوده و از هم مستقل باشند، دارای توزیع ریلی است. این توزیع به نام لرد ریلی نامیده شده است. توزیع نرمال چند متغیره
برای صحبت معنادار در مورد چگالی‌ها در موارد منفرد، باید یک معیار پایه متفاوت را انتخاب کنیم. با استفاده از قضیه فروپاشی می‌توانیم محدودیتی از اندازه‌گیری Lebesgue را به مقداری تعریف کنیم که زیرفضای متناظر با formula_74 که به ابعاد formula_72 از توزیع گاوسی پشتیبانی کند، یعنی formula_76 . با توجه به این معیار، توزیع دارای چگالی موتیف زیر است: توزیع خی‌دو
رتبه‌بندی به کار می‌رود و نیز برای مقایسه میانگین رتبه‌بندی گروه‌های مختلف کاربرد دارد) متغیر تصادفی
یک توزیع همچنین می‌تواند از نوع مختلط (mixed) باشد به این صورت که بخشی از آن مقادیر خاصی را بگیرد و بخش دیگر آن مقادیر روی یک بازه را بگیرد. توزیع فراوانی
توزیع فراوانی در آمار، اقتصاد، و علوم تجربی، نوعی خلاصه‌سازی پرسودی از داده است. توزیع نرمال چند متغیره
در حالت دو متغیره، اولین شرط معادل برای بازسازی چند متغیره نرمال بودن را می‌توان کمتر محدود کرد، زیرا نشان دادن اینکه تعداد شمارایی از ترکیبات خطی متمایز formula_55 و formula_56 نرمال هستند، برای نتیجه‌گیری این که بردار formula_52 دو متغیره نرمال است کافی است. توزیع دوجمله‌ای منفی
\!| نرمال-نمایی-گاما
در نظریه احتمالات و آمار توزیع نرمال-نمایی-گاما (یا توزیع NEG ) یک توزیع احتمال دارای سه پارامتر هست. این توزیع دارای سه پارامتر مکان formula_1، پارامتر مقیاس formula_2 و پارامتر شکل formula_3 است. توزیع احتمال
در نظریه احتمال و آمار تابع توزیع احتمال بیانگر احتمال هر یک از مقادیر متغیر تصادفی (در مورد متغیر گسسته) یا احتمال قرار گرفتن متغیر در یک بازه مشخص (در مورد متغیر تصادفی پیوسته) میباشد. توزیع تجمعی احتمال یک متغیر تصادفی تابعی است از دامنهٔ آن متغیر بر بازهٔ formula_1. به طوری که احتمال رخدادن پیشامدهای با مقدار عددی کمتر از آن را نمایش می‌دهد. و به صورت دقیق به شکل زیر تعریف می‌شود: بر اساس این که این متغیر گسسته یا پیوسته باشد توزیع گسسته یا پیوسته نام می‌گیرد. توزیع نرمال چند متغیره
در حالت غیر منفرد ۲ بعدی (formula_51)، تابع چگالی احتمال یک بردار formula_52 به صورت زیر است: توزیع خی‌دو
standard normal random variables