در آمار و احتمالات چه عوامتی مورد بررسی قرار می گیرد؟
احتمالات
احتمال معمولاً مورد استفاده برای توصیف نگرش ذهن نسبت به گزاره‌هایی است که ما از حقیقت آن‌ها مطمئن نیستیم. گزاره‌های مورد نظر معمولاً از فرم "آیا یک رویداد خاص رخ می‌دهد؟" و نگرش ذهن ما از فرم "چقدر اطمینان داریم که این رویداد رخ خواهد داد؟" است. میزان اطمینان ما، قابل توصیف به صورت عددی می‌باشد که این عدد مقداری بین ۰ و ۱ را گرفته و آن را احتمال می نامیم. هر چه احتمال یک رویداد بیشتر باشد، ما مطمئن تر خواهیم بود که آن رویداد رخ خواهد داد. در واقع میزان اطمینان ما از اینکه یک واقعه (تصادفی) اتفاق خواهد افتاد. آمار
مقالهٔ اصلی: احتمالات در زبان محاوره، احتمال یکی از چندین واژه‌ای است که برای دانسته یا پیشامدهای غیر مطمئن به کار می‌رود و کم و بیش با واژه‌هایی مانند ریسک، خطرناک، نامطمئن، مشکوک و بسته به متن قابل معاوضه‌است. شانس، بخت، امتیاز و شرط‌بندی از لغات دیگری است که نشان دهنده برداشت‌های مشابهی است. همانگونه که نظریه مکانیک به تعاریف دقیق ریاضی از عبارات متداولی مثل کار و نیرو می‌پردازد، نظریه احتمالات نیز تلاش دارد تا مفاهیم و برداشت‌های مربوط به احتمالات را کمّی‌سازی کند. نظریه دورنما
تابع احتمال وزنی اندازهٔ تأثیر احتمال یک رخداد را بر درجهٔ اشتیاق و مطلوبیت یک دورنما مشخص می‌کند. این تابع، تابعی خطی برای احتمال نیست. وزن تصمیمات نیز احتمال نیستند. به صورت کلی وزن تصمیمات می‌تواند تحت تأثیر فاکتورهایی غیر از احتمالات قرار گیرد، فاکتورهایی مانند ابهام یا عدم اطمینان در مورد سطح عدم اطمینان یا ریسک. معنی‌داری آماری
زمانی یک رابطه از نظر آماری «معنادار» خوانده می‌شود که به احتمال کمتر از 5% رابطهٔ مورد نظر ناشی از تصادف بوده باشد. معنی‌ این گفته این است که اگر پژوهش تکرار شود، به احتمال 95% به همان نتیجهٔ قبلی خواهد انجامید. تعیین عدد 95% دلبخواهی است؛ و استانداردی است که ما انتخاب کرده‌ایم. یک نقطهٔ قراردادی دیگر که اهمیت دارد نقطهٔ 99% است. وقتی نتیجهٔ یک آزمایش همبستگی 99% باشد، گفته می‌شود که نتیجه از نظر آماری شدیداً معنادار است. آزمون نسبت درست‌نمایی
در آمار ، آزمون نسبت احتمال ، خوب بودن تناسب دو مدل آماری رقیب را بر اساس نسبت احتمالات آنها ارزیابی می کند ، به خصوص یکی با حداکثر سازی در کل فضای پارامتر و دیگری پس از اعمال برخی محدودیت ها پیدا شده است. اگر محدودیت (یعنی فرضیه صفر) توسط داده های مشاهده شده پشتیبانی شود ، دو احتمال نباید بیش از خطای نمونه گیری متفاوت باشد. [1] بنابراین آزمون نسبت احتمال آزمایش می کند که آیا این نسبت به طور قابل توجهی با یک تفاوت دارد یا به طور معادل آیا لگاریتم طبیعی آن از صفر تفاوت معناداری دارد.
زمین‌آمار
بسیاری از علوم در محدوده‌های مورد بررسی خود با عدم قطعیت مواجه هستند. لذا آمار و ساختن یک مدل برگرفته از جامعهٔ کل در اکثر علوم نقش موثری را ایفا می‌کند. به‌طور کلی برای شناخت هر جامعه‌ای نیاز به داشتن داده‌هایی از آن جامعه است. اگر جامعهٔ مورد بررسی را کل فرض کنیم، نمونه‌های برداشته شده از آن جامعه جزء تلقی می‌شود و در نتیجه می‌توان بر پایه قوانین آماری پارامترهای آن خاصیت را روی مقدار اندازه‌گیری شدهٔ آن در اجزاء برداشت شده از کل جامعه تخمین زده در اکثر تکنیک‌های اکتشافی اساس تجزیه و تحلیل خود را بر احتمال پذیر بودن نتایج و تصمیم گیری‌های حاصل از آن قرار می‌دهند و از تحلیل قطعیت پذیر اجتناب می‌کنند. پژوهشکده آمار
- تعیین نقش دولت در اقتصاد کشور با استفاده از جداول داده - ستانده - طبقه‌بندی استان‌ها، از نظر شاخص‌های برخورداری خانوارها از امکانات و وسایل رفاهی - بررسی و تحلیل نرخ مشارکت نیروی کار و عرضه نیروی کار در ایران و استان‌های کشور - تحلیل تمرکز جغرافیایی مهاجران (اتباع خارجی) در ایران بر اساس سرشماری سال ۱۳۸۵ - بررسی واحدهای مسکونی کشور - سرشماری۱۳۸۵ - بررسی وضعیت مسکن خانوارهای کشور و تاثیر برخی ویژگی‌های اقتصادی و اجتماعی خانوار بر آن - بررسی ویژگی‌های اجتماعی- اقتصادی اتباع خارجی - بررسی مهاجرت روستا به شهر در ایران در دهه 85-1375 - بررسی روند تحولات میانگین سن ازدواج و عوامل جمعیتی و اجتماعی موثر بر آن - بررسی ویژگی‌های اجتماعی، اقتصادی و جمعیتی سالمندان ایران - بررسی ویژگی‌های اجتماعی -اقتصادی جمعی بر حسب دین - بررسی وضعیت مهاجران خارجی در ایران - مطالعه ویژگی‌های جمعیتی و اجتماعی مناطق 22 گانه شهر تهران بر اساس سرشماری 85 - بررسی و تحلیل ویژگی‌های جمعیتی کشور و استان‌ها بر اساس سرشماری 85 - بررسی مقایسه‌ای شاخص‌های رفاه اجتماعی خانوارها در مناطق 22 گانه شهر تهران - تحلیل شاخص‌های اقتصادی و اجتماعی آبادی‌ها بر اساس سرشماری85 - برخورداری از رایانه و امکان دسترسی به اینترنت در خانوار از دیدگاه آمار - بررسی ویژگی‌های فیزیکی واحدهای مسکونی معمولی و تغییرات آن طی سه دهه - بررسی رابطه بین شاخص‌های جمعیتی و توسعه اقتصادی استان‌های بر پایه سرشماری85 - بررسی شیوع معلولیت به صورت ملی و استانی و رابطه آن با توسعه استان‌ها - بررسی و تحلیل وضعیت شاغلان دارای تحصیلات عالی بر اساس نتایج سرشماری نفوس و مسکن 1385 - روش‌های مناسب برای شناسایی داده‌های پرت و نحوه‌ی برخورد با آن‌ها در آمارگیری از هزینه و درآمد خانوار - شناوری جمعیت در ایران - جریان‌های مهاجرت داخلی و ویژگی‌های مهاجران به تفکیک استان - بررسی وضع زناشویی - توصیف و تبیین ویژگی‌های جمعیتی - نمونه‌گیری برینشی و به‌کارگیری آن در آمارگیری‌ از کارگاه‌های صنعتی - بازنگری طرح آمارگیری از قیمت و اجاره‌ی مسکن - روش‌های نمونه‌گیری مبتنی بر مجموعه‌های رتبه‌دار و کاربرد آن‌ها در نمونه‌گیری طبقه‌بندی شده - شاخص‌های مسکن امن با استفاده از نتایج سرشماری سال ۱۳۸۵ - براورد واریانس در نمونه‌گیری چرخشی - مشارکت زنان در نیروی کار به تفکیک استان های کشور بر اساس سرشماری های 1375 و 1385 - استفاده از مدل‌های انتقالی دو متغیره‌ی ترتیبی – اسمی برای تحلیل داده‌های طولی - آمارگیری از زائران آستان مقدس حضرت عبدالعظیم - ارائه الگوی تدوین و محاسبه حساب‌های فصلی - تحلیل نتایج سرشماری عمومی نفوس و مسکن نظریه احتمالات
یکی از نقدهایی که به نظریهٔ احتمال وارد است، مبتنی بودن آن بر فراوانی نسبی یک پیشامد به عنوان احتمال رخداد آن است. به دیگر بیان، نظریه احتمال، احتمال رخداد یک پیشامد را معادل با ایمان ما نسبت به رخداد آن پدیده می‌داند و ایمان به نسبت به رخداد آن پیشامد را معادل فراوانی نسبی آن پدیده در یک آزمایش آماری می‌داند. در این اعتقاد دو ایراد فلسفی وجود دارد: اولاً: ایمان ما نسبت به رخداد یک پیشامد برابر با احتمال رخداد پیشامد در نظر گرفته شده‌است. این به این معناست که ایمان درونی انسان به رخداد یک پیشامد برابر با احتمال حقیقتی است که در بیرون رخ خواهد داد؛ که این تطابق، فاقد هر گونه توجیه منطقی است. ثانیاً: احتمال رخداد را برابر با فراوانی نسبی آن پیشامد در آزمایش آماری در نظر می‌گیرد که این نیز محل بحث است. به عنوان مثال فرض کنید که شما در بازی قماری شرکت کرده‌اید که با محاسبهٔ احتمال‌ها بر اساس تئوری موجود، احتمال پیروزی شما ۲/۳ است؛ لذا سرمایه‌گذاری در این قمار در ۲/۳ اوقات به نفع شماست. فرض کنید که بازی ۱۵ دور است. در این صورت شما باید ۱۰ دور این بازی را احتمالاً پیروز شوید. شما بازی را شروع می‌کنید و تا دور ۱۱_ام شکست می‌خورید و و دور ۱۲ را می‌برید و دور ۱۳ و ۱۴ را شکست می‌خورید و دور ۱۵_ام را می‌برید. این اتفاق یک اتفاق کاملاً "ممکن" است. در این صورت شما ۰٫۳۶- = ۱۳/۱۵–۱/۲ واحد از سرمایهٔ خود را از دست داده‌اید. توجیهی که احتمال دان‌ها می‌آورند این است: "اگر تعداد دورها به بی‌نهایت میل می‌کرد شما در ۲/۳ حالات برنده بودید." در صورتی که در جهان واقعی هیچ‌گاه بازی‌هایی با تعداد دور بی‌نهایت وجود ندارد." در تصمیم گیری‌های اجتماعی و سیاسی نیز همین امر برقرار است. ریسک سرمایه‌گذاری بر اساس این نظریه در نظر گرفتنی است. اما این مسئله و شبیه این مسئله‌ها با "نظریه امکان" با دیدگاهی کاملاً منطقی قابل بررسی، تحلیل و تصمیم‌گیری است. توزیع لوی
در نظریه آمار و احتمالات، توزیع لِوی یک توزیع احتمالی پیوسته‌است که برای یک متغیر تصادفی غیر منفی تعریف می‌شود. در طیف‌سنجی، این توزیع که در آن فرکانس متغیر وابسته است، با نامِ پروفیل ون در والس شناخته می‌شود. همچنین این توزیع یک مورد خاص از توزیع گامای وارونه است. توزیع لِوی یک توزیع پایدار است. آمار زیستی
برای مقایسهٔ کارایی یک درمان از این علم استفاده می‌شود. به این منظور درصدی از بیماران که در آزمایش درمان شده‌اند، بهبود یافته‌اند یا فوت کرده‌اند با گروه کنترل مقایسه می‌شوند و تفاوت‌های در اثر شانس یا موارد دیگر با به‌کارگیری روش‌های آماری یافت می‌شوند. یک کاربرد دیگر آمار، یافتن وابستگی میان دو صفت (مانند سیگار کشیدن و وجود سرطان در فرد یا داشتن فیلاریاز و طبقهٔ اجتماعی بیمار) است. به این منظور از تست‌های آماری مناسب با توجه به موضوع مطالعه مورد استفاده قرار می‌گیرند. احتمال فراوانی‌گرا
توالی تاریخی: مفاهیم احتمال معرفی شدند و بسیاری از ریاضیات احتمالات (قبل از قرن بیستم) استخراج شدند، روش‌های استنتاج آماری کلاسیک توسعه یافتند، پایه‌های ریاضی احتمالات مستحکم شدند و اصطلاحات فعلی معرفی شدند (همه در قرن بیستم). منابع تاریخی اولیه در احتمالات و آمار از اصطلاحات فعلی احتمال کلاسیک، ذهنی (بیزی) و فراوانی‌گرا استفاده نکرده‌اند. توزیع خی‌دو
درتئوری آمار و احتمال chi-square distribution با k درجه آزادی توزیعی است از یک سری مجموع مربعات متغیرهای تصادفی نرمال مستقل از هم (یعنی شما یه توزیع نرمال داری ازش به‌طور تصادفی متغیرهایی رو برمی‌داری اینا رو به توان دو میرسونی و با هم جمع می‌کنی این میشه chi-square distribution) نظریه یادگیری محاسباتی
در این حالت فرض می‌کنیم که نمونه‌ها به صورت تصادفی و با توزیع احتمال formula_13 انتخاب می‌شوند. برای مثال، formula_13 ممکن است، توزیع احتمال نمونه افرادی باشد که از یک باشگاه ورزشی بیرون می‌آیند (توزیع احتمالی بر روی تمامی افراد). در کل formula_13 ممکن است، هر توزیع احتمالی باشد و درحالت کلی این توزیع برای یادگیر ناشناخته است. تمامی اطلاعات موجود در formula_13 این است که توزیع احتمالی ثابت است، بدین معنا که این توزیع احتمال با زمان تغییر نمی‌کند. نمونه‌های آموزشی با این توزیع احتمال انتخاب شده و به همراه مقدار تابع هدفشان (formula_17) به یادگیر داده می‌شوند. یادگیر formula_18 مجموعه‌ای از فرضیه‌های ممکن مانند formula_19 را در یادگیری مفهوم هدف در نظر می‌گیرد. برای مثال، formula_19 ممکن است، مجموعه تمامی فرضیه‌های قابل بیان به صورت عطف سن و قد باشد. بعد از مشاهده یک سری از نمونه‌های آموزشی، برای تابع هدف formula_3، باید فرضیه‌ای مانند formula_22 از formula_19 که تخمین آن از formula_3 است، به عنوان فرضیه‌ تخمینی خروجی دهد. موفقیت formula_18 را کارایی این فرضیه formula_22 بر روی نمونه‌های جدیدی که به صورت تصادفی از formula_1 و باتوزیع formula_13 انتخاب می‌شوند، می‌سنجیم. در چنین حالتی، علاقه ما به کارایی یادگیرهای مختلف formula_18 با فضای فرضیه‌های مختلف formula_19 در یادگیری مجموعه توابع هدف مختلف درون formula_2 است. زیرا ما می‌خواهیم یادگیر formula_18 به اندازه کافی جامع باشد تا بتواند هر تابع هدف درون formula_2 را مستقل از اینکه توزیع formula_13 چیست، یاد بگیرد. در بعضی مواقع نیز علاقه داریم که بدترین حالت توابع هدف درون formula_2 را برای تمامی توزیع‌های formula_13 بررسی کنیم. چون علاقه ما به نزدیکی فرضیه خروجی formula_22 به تابع هدف حقیقی formula_3 است، پس کار را با تعریف خطای واقعی یک فرضیه formula_22 بر روی formula_3 و توزیع احتمال formula_13 شروع می‌کنیم. خطای واقعی formula_22، حطای formula_22 در دسته‌بندی نمونه‌های جدید با توزیع formula_13 است. تقی اخوان نیاکی
نظریه احتمال و کاربرد آن نشر دانشگاه صنعتی شریف توزیع گمپرتز
در علم احتمالات و آمار، توزیع گمپرتز (Gompertz distribution) یک توزیع احتمال پیوسته است که به بزرگداشت بنجامین گمپرتز (۱۸۶۵–۱۷۷۹) چنین نامگذاری شده‌است. این توزیع برای توصیفِ توزیع بازهٔ زندگی بزرگسالان با کمک جمعیت‌شناسی و مرگر می‌پردازد. زمینه‌های دیگر مرتبط علمی مانند زیست‌شناسی و پیری‌شناسی نیز از توزیع گمپرتز برای تحلیل به جای ماندگان (زنده‌ها) استفاده می‌کنند. به تازگی در علوم رایانه برای مدل‌سازی نرخ شکست کدهای رایانه ای از توزیع گمپرتز استفاده می‌شود. همچنین در علم بازاریابی هم این توزیع برای شبیه‌سازی مدل ارزش طول عمر مشتری کاربرد دارد. توزیع دم‌کلفت
دم‌کلفت در علم آمار و احتمالات به دسته‌ای از توابع توزیع احتمال اطلاق می‌شود که کشیدگی بزرگی دارند. در چنین تابعِ توزیعی، مقادیری که از مقدار میان‌گین فاصلهٔ زیاد دارند (و بنابراین اصطلاحِ «دُم» به آن‌ها اطلاق می‌شود)، نسبتاً محتمل اند. به ویژه دم‌کلفتی یک تابع توزیع در مقایسه با یک توزیع نرمال تعیین می‌گردد. دم تابع توزیع نرمال به شکل نمایی است در حالیکه که توابع دم‌کلفت در فواصل دور از میان‌گین، به صورت توانی کاهش می‌یابند. به صورت ریاضی توزیع متغیر تصادفی "X" دم‌کلفت خوانده می‌شود اگر: اعداد تصادفی
تصادفیدگی نبود یک الگو یا پیش‌بینی‌پذیری در رویدادهاست. یک دنبالهٔ تصادفی از رویدادها، نمادها، یا گام‌ها، دارای هیچ نظمی نیست و از یک الگو یا ترکیب قابل فهم پیروی نمی‌کند. رویدادهای تصادفی یکتا در تعریف پیش‌بینی‌ناپذیر هستند، ولی در بسیاری از موارد بسامد نتیجه‌های گوناگون بر رویدادهای (یا «آزمون‌های») پرشمار پیش‌بینی‌پذیر است. برای نمونه، با انداختن دو تاس، نتیجهٔ هر انداختن به‌طور مشخص، پپیش‌بینی‌ناپذیر است، ولی مجموع ۷ بار، دو بار امکان ۴ آمدن دارد. در این دیدگاه، تصادفیدگی اندازه‌گیری عدم قطعیت یک نتیجه است تا اینکه تصادفی‌بودن محض باشد، و بر مفهوم‌های شانس، احتمالات، و انتروپی اطلاعات اعمال می‌شود. تابع تصادفی
در نظریه احتمال و کاربردهای آن مانند آمار و رمز نگاری یک تابع تصادفی تابعی است که به صورت تصادفی از بین توابع احتمالی انتخاب شده‌است. تحقق هریک از توابع تصادفی به توابع مختلف منجر می‌شود بنابراین مفهوم یک تابع تصادفی مثالی از یک عنصر تصادفی است و در نتیجه تعمیم این ایده ساده‌تر از متغیر تصادفی است. در آمار و احتمال یکی از انواع مهم توابع تصادفی تحت عنوان متغیر تصادفی مورد مطالعه قرار گرفت. که در آن مدل‌های مختلفی وجود دارد سیستم‌هایی که در آن تابع تصادفی را در زمان یا مکانی که مشاهده می‌کنند توصیف می‌نمایند با این حال کاربردهای دیگری نیز وجود دارد که در آن یک نیاز برای توصیف عدم قطعیت درباره یک تابع شناخته شده‌است. و دانشی درباره تابع حقیقی که می‌توان با گفتن اینکه تحقق نامعلوم درباره یک تابع تصادفی است را بیان کرد برای مثال Dirichlet process. حالت خاصی از یک تابع تصادفی یک جایگشت تصادفی است که تحقق آن می‌تواند به عنوان یک مدلی از یک تابع در مجموعه‌ای از اعداد صحیح که محل اصلی آی‌تمی را که در آن مقدار تابع محل جدید را میسر می‌کند, تفسیر شود. در رمز نگاری یک تابع تصادفی می‌تواند یک بلوک ساختمانی مفید در اختیار پروتکلهای رمز نگاری باشد. همبستگی و وابستگی
در آمار، وابستگی هر نوع رابطه آماری علی یا غیر علی بین دو متغیر تصادفی یا داده های دو متغیره می باشد. همبستگی در وسیع ترین معنای خود، هر نوع پیوند آماری را شامل می شود، اگر بیشتر از این اصطلاح برای درجه ارتباط خطی بین یک جفت متغیر استفاده می شود. مثال های آشنای پدیده های وابستگی شامل همبستگی بین قد والدین و اولادشان و همبستگی بین تقاضای یک عرضه محدود و قیمتش می باشد. بازه مورد قبول
یک بازه مورد قبول با فراوانی‌گرایی ۹۵ درصد بدین معناست که با تعداد فراوانی نمونه تکرار، ۹۵ درصد از این بازه‌های مورد قبول شامل مقادیر صحیحی از پارامتر مورد نظر خواهند بود. احتمال قرار گفتن پارامتر در بازه مفروض (۳۵-۴۵)، ۰ یا ۱ است (یا پارامتر امعین غیر تصادفی در آن قرار دارد یا نه). در آمار فراوانی‌گرایانه، پارامتر ثابت است (نمی‌توان فرض کرد که دارای توزیعی از مقادیر ممکن است) و بازه مورد قبول تصادفی می‌باشد (زیرا به نمونه تصادفی وابسته است). نمونه‌سازی مجدد (آمار)
اگر تنها هدف این آزمون رد یا رد نکردن فرضیه تهی باشد، می‌توانیم به عنوان یک نوع جایگزین اختلافات ثبت‌شده از آن استفاده کنیم و سپس ببینیم آیا T در وسط ۹۵ درصد از آن‌ها قرار دارد. اگر نه، فرضیه منحنی احتمال یکسان را در سطح مفهوم ۵ درصد، رد می‌کنیم. آزمون فرض آماری
آزمون یک فرض آماری عبارت از به کار گرفتن مجموعه قواعد صریحی برای آن است که تصمیم بگیریم که آیا فرض صفر را بپذیریم یا آن را به نفع فرض مقابل رد کنیم؛ مثلاً فرض کنید که آماردانی می‌خواهد فرض صفر formula_1 را در برابر فرض مقابل formula_2 آزمون کند. برای انجام یک انتخاب، وی به تولید داده‌های نمونه ای از طریق ترتیب دادن یک آزمایش و سپس محاسبه مقدار یک آماره آزمون دست می‌زند که این آماره به او خواهد گفت که به ازای هر برآمد ممکن فضای نمونه ای چه اقدامی بکند؛ بنابراین، روش آزمون، مقادیر ممکن آماره آزمون را به دو مجموعه افراز می‌کند؛ یک ناحیه قبول برای formula_3 و یک ناحیه رد برای formula_3. فرایند تصادفی
فرایندهای تصادفی جنبه‌های نظری و پایه‌های ریاضی مربوط به فرایندهای تصادفی را در حوزهٔ ریاضیّات احتمالات مورد مطالعه و تحلیل قرار می‌دهند. به عنوان ساده‌ترین مثال‌ها، می‌شود رکوردهای ثبت‌شده از سیگنال‌های مربوط به پدیده‌هایی همچون زلزله، سیل، امواج دریا، یا تغییرات بازارهای بورس، یا پیام‌های ارسال‌شده در یک شبکهٔ مخابرات را ذکرکرد. احتمالات
یکی از مهم ترین کاربردهای ان در علم کامپیوتر است. مخصوصا در حوزه هوش مصنوعی در بخش مهم از آن استفاده می شود و این علم اساس و پایه پیشروی ها در ان حوزه می باشد که یکی از آن ها بخش الگوریتم های تکاملی و ژنتیک است و بخش دیگر در بخش های یادگیری های سیستم های هوشمند توسط الگوریتم های یادگیرنده همچون شبکه های بیزین و شبکه مارکوف که بر پایه روش ها و مدل های احتمالاتی بنیاد شده است. احتمال پسین
در آمار بیزی، توزیع احتمال پسین یک کمیت احتمالاتی توزیع احتمالی است پس از مشاهده شواهد (داده). به عبارت دیگر، توزیع احتمال پسین احتمال شرطی آن کمیت است به شرط دیدن داده. آمار چندمتغیره
آمار چندمتغیره شاخه‌ای از آمار است که به تحلیل داده‌هایی می‌پردازد که از مشاهدهٔ چند متغیر تصادفی جمع‌آوری شده‌است. یکی از اهداف آمار چندمتغیره، بررسی وابستگی‌ها بین متغیرهای مشاهده‌شده است. آمار چندمتغیره به بررسی توزیع‌های احتمال چندمتغیره می‌پردازد تا آنهایی که برای مدل‌سازی داده و استنباط آماری مناسب هستند را تشخیص دهد. منطق احتمالاتی
اینکه احتمال و عدم قطعیت، دقیقاً یک چیز نیستند، می‌تواند این طریق درک شود که بر خلاف ریاضیاتی شدن احتمال در عصر روشنگری، نظریه احتمالات ریاضیاتی تا همین امروز در دادگاه‌های جزایی برای برآورد کردن احتمال مجرم بودن یک متهم، کاملاً بلااستفاده بوده‌است. احتمال پیشین
احتمال پیشین کاربرد مهمی در مکانیک آماری دارد. در نسخه کلاسیک احتمال پیشین به صورت عنوان نسبت تعداد ابتدایی رویدادها (مثلاً تعداد دفعات پرتاب تاس) به مجموع تعداد گل رویدادها تعریف شده‌است. در مورد پرتاب تاس همه رویدادهای ابتدایی احتمال یکسانی دارند—در نتیجه احتمال هر برآمد در پرتاب یک تاس (کامل) برابر با ۱/۶ است. هر روی تاس احتمال برابر ظاهر می‌شود—در اینصورت احتمال به عنوان یک معیار اندازه‌گیری برای تعداد دفعات مشاهده هر روی تاس در هر رویداد تعریف می‌شود. پژوهشکده آمار
ـ نشست آمار رسمی (فرهاد مهران، زهرا رضایی قهرودی، حسن عینی زیناب، علی‌اکبر حق‌دوست) ـ میزگرد سرشماری عمومی نفوس و مسکن 1395، تجربیات ایران و سایر کشورها، فرصت‌ها و چالش‌ها (علی‌رضا زاهدیان، زهرا رضایی قهرودی، محسن محمدزاده، فریباسادات هاشمی، کامبیر کبیری) ـ نشست اقتصاد مقاومتی، نظام آماری و حسابداری ملی (مجتبی خالصی، فیروزه خلعتبری، امیدعلی پارسا، محمد نور محمدی) ـ آینده‌پژوهی و شاخص‌های آن (حمیدرضا برادران شرکاء) ـ تشریح داده‌های بزرگ و نقش آن در زندگی روزمره (حمید پزشک) ـ نقش و کاربرد آمار در بیمه (امین حسن‌زاده) ـ چشم‌انداز پژوهش در آمار رسمی (محمد نورمحمدی) نظریه امکان
همانگونه که در مورد عینی یا ذهنی بودن احتمال اختلاف نظرهایی وجود دارد، در مورد امکان نیز به همین شکل است. در مفهوم امکان نیز هم می‌توان وجه ذهنی بودن و هم وجه عینی بودن را تصور نمود. قابلیت فازی نظریه امکان توان پوشش دو وجه را در قالب یک مفهوم داشته و مرزبندی بین این دو وجه را از حالت خشک و ترد خارج می‌سازد. تحلیل میزان سازگاری برداشتهای ذهنی و استنتاج‌های صورت گرفته از داده‌های مبهم، همراه با اطلاعات مبتنی بر شواهد و داده‌های عینی، امکان بازشناسی قضاوت‌های ناسازگار را فراهم می‌آورد (برای تحلیل ناسازگاری در قضاوتهای تصمیم گیرندگان، تکنیک فرایند تحلیل سلسله مراتبی مطالعه شود). آنچه مسلم است اینکه احتمال و امکان وجوه مختلفی از عدم قطعیت هستند و برای هر دو می‌توان دو وجه عینی و ذهنی بودن را تصور نمود اما امکان به دنبال میزان سازگاری و تطابق یک پیشامد با ماهیت نسبت داده شده‌است اما احتمال به مقطعی که وقوع یا عدم وقوع اتفاق می‌افتد اشاره دارد. همچنین جمع مقادیر هر تابع احتمال (توزیع احتمال) روی کل فضای مورد تحلیل یک است در حالی که برای تابع امکان این محدودیت وجود ندارد (یعنی در فضای کل امکان‌پذیری پیشامدها می‌تواند مجموعاً از یک هم بیشتر باشد) احتمال فراوانی‌گرا
کاربردها و تفسیرهای احتمال مورد توجه فلسفه، علوم و آمار است. همه به استخراج دانش از مشاهدات علاقه‌مند هستند - استدلال استقرایی. تفاسیر متفاوتی وجود دارد. همه مشکل دارند. تفسیر فراوانی‌گرا مشکلات تفسیر کلاسیک را حل می‌کند، مانند هر مشکلی که در آن تقارن طبیعی نتایج مشخص نیست؛ اما به مسائل دیگر مانند کتاب هلندی نمی‌پردازد. شبیه‌سازی تصادفی
در نظریه احتمال، فرایند تصادفی یک «شی ریاضی» است که معمولاً به‌عنوان مجموعه‌ای از متغیرهای تصادفی تعریف می‌شود. با استفاده از مدل تصادفی، ما قادر خواهیم‌بود پیش‌آمدهایی بر اساس مقادیر تصادفی بدست‌آوریم. داده‌های بدست‌آمده (خروجی) ثبت شده و دوباره مجموعه‌ای جدید از مقادیر تصادفی متغیرها تکرار می‌شود. این مراحل تا زمانی که اطلاعات کافی به‌دست آید، تکرار می‌شود. توزیع این خروجی‌ها، محتمل‌ترین برآوردها را نشان می‌دهد. هم‌چنین یک قاب از انتظارات را به ما نشان می‌دهد که چه بازه‌ای از داده‌ها، احتمال بیشتر یا کمتری را به خود اختصاص داده‌اند. در واقع این قاب انتظارات، بیان‌گر مقدار تابع جرم احتمال در حالت گسسته و تابع چگالی احتمال در حالت پیوسته‌است. تاریخچه آمار
مدت‌های مدید این علم محدود به کار در حوزه تخصصی خود بود و تنها در دهه‌های اخیر از این انحصار جدا شده و به کمک نظریه احتمال، شروع به بررسی روش‌های تحلیل داده‌های آماری و اثبات فرض‌های آماری کرد. روش‌های علم آمار با آشکار کردن قوانین جدید، به ابزاری مؤثر در علوم طبیعی و تکنولوژی تبدیل شده‌است. آمار و احتمالات
آمار و احتمالات دو شاخه از ریاضیات اند که ارتباطات نزدیکی با هم داشته و برخی مواقع نتایجشان با هم ترکیب می شود. مفاهیم این دو شاخه در مقالات متعددی پوشش داده شده است: آزمون اف
بسیاری از آزمون‌های F با در نظر گرفتن تجزیه واریانس برحسب جمع مربعات در گردایه ای از داده‌ها، صورت می‌پذیرند. آماره آزمون در یک آزمون F، نسبت ضرایبی از جمع مربعات است که هر کدام انعکاس گر منابع واریانسی متفاوتی اند. چنین جمع مربعاتی به گونه ای ساخته شده‌اند که هنگام نادرستی فرض صفر، آماره تمایل به بزرگ شدن داشته باشد. به جهت این که آماره تحت فرض صفر از توزیع F (یا F-توزیع) پیروی کند، جمع مربعات باید از نظر آماری مستقل بوده و هر کدام باید از توزیع خی‌دو مقیاس یافته (یعنی ضریبی از ) پیرونی کنند. در صورتی که مقادیر داده‌ها مستقل بوده و دارای توزیع نرمالی با واریانس مشترک باشند، شرط اخیر نیز تضمین شده خواهد بود. نمونه (آمار)
نمونه در آمار به تعدادی از اجزا انتخاب شده با روش تصادفی از یک جامعه آماری گفته می‌شود که با بررسی مشخصات در نمونه فرضیات آماری در جامعه مرجع قابل تحقیق می‌باشند. اگر بخواهیم موضوعی خاص را در مورد جامعه‌ای بررسی کنیم، می‌توانیم تک تک اعضای آن مجموعه را مورد بررسی قرار دهیم. اما در راهی ساده‌تر می‌توانیم موضوع را در مورد تعداد محدودی از جامعه آماری (که به تصادف، با دقت و مطالعه لازم انتخاب می‌شوند و تعدادشان به فراخور اندازه جامعه آماری تغییر می‌کند) بررسی کرده و نتیجه را به آن جامعه نسبت دهیم. در اینصورت مشکلاتی مانند در دسترس نبودن تمام اعضای جامعه، وقت‌گیر بودن، هزینه بالا و از بین رفتن جامعه در برخی مطالعات، مرتفع می‌گردند. آماره ترتیبی
در هنگام استفاده از نظریه احتمال برای آنالیز آماره ترتیبی یک نمونه تصادفی از توزیع مستمر، از تابع توزیع تجمعی برای کاهش آنالیز در شرایط آماره ترتیبی توزیع یکسان استفاده می‌شود. نظریه احتمالات
یک تأثیر مهم نظریه احتمال در زندگی روزمره در ارزیابی ریسک‌پذیری و در تجارت در مورد خرید و فروش اجناس می‌باشد. حکومت‌ها به‌طور خاص روش‌های احتمال را در تنظیم جوامع اعمال می‌کنند که به عنوان «آنالیز خط مشی» نامیده می‌شود و غالباً سطح رفاه را با استفاده از متدهایی که در طبیعت تصادفی اند اندازه می‌گیرند و برنامه‌هایی را انتخاب می‌کنند تا اثر احتمال آن‌ها را روی جمعیت به صورت کلی از نظر آماری ارزیابی کنند. این گفته صحیح نیست که آمار، خود در مدل‌سازی درگیر هست زیرا که ارزیابی‌های میزان ریسک وابسته به زمان هستند و بنابراین مستلزم مدل‌های احتمال قوی تر هستند؛ مثلاً «احتمال۹/۱۱ دیگری»؛ قانون اعداد کوچک در جنین مواردی اعمال می‌شود و برداشت اثر چنین انتخاب‌هایی است که روش‌های آماری را به صورت یک موضوع سیاسی درمی‌آورد. پژوهشکده آمار
- بررسی روند تغییرات ساختار اقتصادی کشور با استفاده از جداول داده- ستانده - مباحث نظری و فنی آمارهای مالی بخش عمومی - پیش‌بینی رشد اقتصادی ایران با استفاده از شبکه عصبی GMDH - نمونه‌گیری متعادل شده و امکان‌سنجی استفاده از آن در آمارگیری‌های ملی - شناخت وضعیت استان زنجان و تعیین جایگاه آن با توجه به شاخص‌ها و اهداف هزاره سوم - طراحی روش برآورد مصرف سوخت در بخش حمل و نقل - طراحی و آزمایش طرح آمارگیری از گردشگران ملی - بررسی روند شاخص‌های توزیع درآمد در استان‌های کشور به تفکیک شهری و روستایی طی دوره‌ی ۱۳۸۴-۱۳۶۰ - بررسی روش‌های مختلف کاهش اریبی در مطالعات مشاهده‌ای و کاربرد آن - ارایه‌ی شیوه‌ای برای محاسبه‌ی خط فقر رسمی در ایران - بررسی شاخص‌های فناوری اطلاعات و ارایه‌ی راهکارهای مناسب برای محاسبه‌ی آن‌ها - انطباق آماري ركوردها و به كارگيري آن در بهنگام سازي چارچوب كارگاه هاي كشور - شناسايي، طبقه بندي و اولويت بندي نيازهاي پايگاه اطلاعات آماري استان زنجان - امكان سنجي استفاده از PDA آمارگيري ها - تعيين ريسك افشا و نحوه‌ي انتشار ايمن داده‌هاي طرح آمارگيري از كارگاه‌هاي صنعتي - تعيين عوامل مؤثر بر مهاجرت به شهر تهران - تحليل داده هاي نيروي كار - تهیه‌ی حساب‌های ملی سلامت سال‌های ۱۳۹۴ نمونه‌گیری گلوله‌برفی
روش‌های نمونه‌گیری غیر احتمالی، برای نتیجه گرفتن رفتار یک جامعه بر اساس نمونهٔ آن استفاده نمی‌شوند، بلکه از آنها زمانی استفاده می‌شود که تمرکز تحقیق بر روی درک پیچیدگی یک قضیه یا اتفاق است. در آنها همهٔ اعضا شانس انتخاب شدن ندارند و شانس هر عضو هم مشخص نیست. پس میزان تعمیم پذیری به کل جامعه و میزان خطا نیزمشخص نیست. نمونه‌گیری‌های احتمالی بر اساس قانون احتمالات انجام می‌شوند و هر یک از اعضا شانس انتخاب شدن دارند. در آنها نظر محقق یا افراد نمونه تأثیری بر نتیجه ندارد و می‌توان از روی نمونه، نتیجه را برای کل جامعه استنباط کرد. قانون احتمال کامل
در آمار و احتمالات قانون احتمال کامل به شرح زیر است: آمار
از طرف دیگر می‌توان آن را به دو بخش آمار کلاسیک و آمار بیز (Bayesian) تقسیم‌بندی کرد. در آمار کلاسیک، ابتدا آزمایش و نتیجه را داریم و بعد بر اساس آن‌ها فرض‌ها را آزمون می‌کنیم. به عبارت دیگر ابتدا آزمایش انجام می‌شود و بعد فرض آزمون می‌گردد. در آمار بیزی ابتدا فرض در نظر گرفته می‌شود و داده‌ها با آن مطابقت داده می‌شوند به عبارت دیگر در آمار بیزی یک پیش داریم-توزیع پیشین- و بعد از مطالعه داده‌ها و برای رسیدن به آن توزیع پیشین، توزیع پسین را در نظر می‌گیریم. تابع چگالی احتمال
در آمار و احتمال، به بیان ساده، تابعِ چگالیِ احتمالِ یک متغیر تصادفی پیوسته به تابعی گفته می‌شود که انتگرال آن در هر بازهٔ معین، برابر با احتمال قرار داشتن متغیر تصادفی در آن بازه است. آنتروپی اطلاعات
در رابطهٔ بالا formula_5 تابع امید ریاضی و formula_6 تابع میزان اطلاعات رویداد است. formula_7 تابعی از یک متغیر تصادفی و در نتیجه یک متغیر تصادفی است. formula_8 پایهٔ لگاریتم است و مقادیر مختلف آن آنتروپی را در واحدهای متفاوتی محاسبه می‌کند. متداول‌ترین مقادیر برای formula_8 ، ۲ و e و ۱۰ هستند که به ترتیب آنتروپی را در واحدهای بیت و nat و hartley محاسبه می‌کند. امید ریاضی
اگر همهٔ جواب‌های "x" دارای احتمال یکسان باشند (یعنی "p" = "p" = … = "p"), پس میانگین وزن دار به میانگین ساده تبدیل می‌شود. این شهودی است: مقدار مورد انتظار یک متغیر تصادفی میانگین همهٔ مقادیری است که می‌توان گرفت؛ بنابراین، این مقدار مورد انتظار، مقداری است که شما انتظار دارید روی میانگین اتفاق بیفتد. اگر جواب‌های "formula_46" هم احتمال نباشند، بنابراین ممکن است میانگین ساده جایگزین میانگین وزن دار (که بعضی از جواب‌های محتمل تر از بقیه را در نظر می‌گیرد) شود؛ ولی با این حال این شهود و کشف به همین صورت باقی می‌ماند: مقدار مورد انتظار X، مقداری است که انتظار می‌رود روی میانگین اتفاق بیفتد. مثال ۱- فرض کنید "X" جواب یک تاس شش گوشه را نشان دهد. "formula_4" تعداد خال‌های روی وجه بالایی تاس بعد از پرتاب است می‌باشد. مقادیر ممکن برای "X"، ۱، ۲، ۳، ۴، ۵و۶ (که همگی دارای احتمال برابر ۱/۶ هستند) می‌باشند. امید "X"برابر است با: توزیع نرمال چند متغیره
در نظریه احتمال و آمار، توزیع نرمال چند متغیره، توزیع گاوسی چند متغیره، یا توزیع نرمال توأم یک تعمیم از توزیع نرمال یک بعدی (تک متغیره) به ابعاد بالاتر است. یک تعریف این است که اگر هر ترکیب خطی از k عضو یک بردار، توزیع نرمال تک متغیره داشته باشد، به یک بردار تصادفی "k" متغیره گفته می‌شود که به‌طور نرمال توزیع شده‌است. اهمیت آن عمدتاً از قضیه حد مرکزی چند متغیره ناشی می‌شود. برای توصیف هر مجموعه ای از متغیرهای تصادفی با ارزش حقیقی که احتمالاً همبسته اند و هر کدام حول مقداری متوسط جمع می‌شوند، اغلب از توزیع نرمال چندمتغییره استفاده می‌شود. پژوهشکده آمار
- راه‌اندازی پایگاه فعالیت‌ها و محصولات کارگاه‌های صنعتی و معادن کشور (2) - بررسی تاثیر رشد جمعیت بر مهاجرت و وضعیت مسکن - طرح آزمایشی جمع‌آوری اطلاعات ویژگی‌های محیط زیستی خانوار - بررسی وضعیت زنان سرپرست خانوار در ایران سال‌های ۱۳۷۵ و ۱۳۸۵ - امکان‌سنجی پیش‌بینی جمعیت استان فارس و شهرستان‌های آن با استفاده از مدل شبکه‌ی عصبی مصنوعی - تحلیلی بر حساب‌های منطقه‌ای هرمزگان - ارایه الگوی مناسب برای شناسایی شهرستان‌های کم‌تر توسعه‌یافته صنعتی در طرح عدالت صنعتی - تحلیل آماری عوامل موثر بر طول مدت بیکاری - پویایی فقر (ماهیت و کارکرد)  - پیاده‌سازی حساب‌های ملی سلامت بر اساس نظام تجدید نظر شده‌ی حساب‌های سلامت برای سال ۸۶ آمار اجتماعی
جامعه‌شناسی شامل تمام تفکرات علمی پیرامون انسان در جامعه می‌باشد. پس ارتباط عمیقی با موضوع‌هایی مثل اقتصاد٫ تاریخ، قوانین اجتماعی٫ روان‌شناسی و تحصیل دارد. در هر کدام از شاخه‌های بالا محققان راه‌های بسیاری برای مقابله با مشکلات یافته‌اند و آنچه مهمتر است کاربرد آمار در بررسی کارامدی هر یک از راه‌حل‌های زیر می‌باشد. میزان پیشرفت بررسی‌های آماری در شاخه‌های مختلف متفاوت می‌باشد. یعنی در بعضی از شاخه‌های بالا پیشرفت بسیاری داشته و در بعضی از آن‌ها پیشرفت کمتری داشته. علت این را می‌توان در میزان اطلاعت در دسترس جویا شد. میزان اطلاعات موجود و همچنین میزان کارامدی اطلاعات موجود بسیار مهم می‌باشد. مورد دیگری که در میزان پیشرفت تأثیر داشته میزان علاقهٔ مردم به مطالعه آماری در مورد آن شاخه می‌باشد. برای انجام مطالعه آماری محققان از تئوری آماری و روش‌های مشخص استفاده می‌کنند. شامل بررسی و اندازه‌گیری ، خلاصه‌سازی ، ارتباط دادن و نمونه‌گیری می‌باشد. پس تقریباً همه آمارگیری‌ها روند یکسانی دارند و میزان سختی آن‌ها مشابه می‌باشد و سختی آمارگیری تأثیری در میزان پیشرفت آن ندارد. آمار جبری
به طور سنتی ، آمار جبری با طراحی آزمایش ها و تجزیه و تحلیل چند متغیره (به خصوص سری های زمانی ) همراه بوده است.  در سالهای اخیر ، از اصطلاح "آمار جبری" برای محدود کردن استفاده از هندسه جبری و جبر جابجایی برای بررسی مشکلات مربوط به متغیرهای تصادفی گسسته با فضاهای حالت محدود استفاده شده است. جبر جابجایی و هندسه جبری کاربردهایی در آمار دارند زیرا بسیاری از کلاسهای متداول از متغیرهای تصادفی گسسته می توانند به عنوان واریته جبری مشاهده شوند. آزمون فرض آماری
مفهوم فرض‌های ساده و مرکب در مورد فرض‌های بالا نیز به کار می‌رود، و در مثال اول اینک می‌توانیم بگوییم که فرض مرکب formula_18 را در برابر فرض مقابل مرکب formula_24 آزمون می‌کنیم که در آن formula_12 پارامتر جامعه نمایی است. به همین نحو، در مثال دوم، فرض مرکب formula_13 را در برابر فرض مقابل مرکب formula_21 آزمون می‌کنیم، که در آن formula_14 و formula_15 میانگین‌های دو جامعه نرمال اند، ور در مثال فرض سوم، فرض ساده formula_17 را در برابر فرض ساده formula_31 آزمون می‌کنیم که در آن formula_32 پارامتر یک جامعه دو جمله ای است که برای آن formula_33 معلوم است. توزیع حاشیه‌ای
در نظریه آمار و احتمال، توزیع حاشیه‌ای از یک زیرمجموعه از یک مجموعه ای از متغیرهای تصادفی، توزیع احتمال از متغیرهای موجود در زیر مجموعه هست. احتمال مقادیر مختلف متغیرها را در زیرمجموعه بدون مراجعه به مقادیر سایر متغیرها ارائه می‌دهد. در حالی که توزیع شرطی، احتمالات را مشروط به مقادیر متغیرهای دیگر می‌کند. توزیع احتمال
تا این‌جا بیش‌تر دربارهٔ آزمایش‌ها و فضاهای نمونه‌ای بحث کردیم که هم‌شانس هستند. با این وجود، بسیاری از آزمایش‌ها در فضای‌های هم‌شانس اتفاق نمی‌افتند و در نتیجه برای محاسبهٔ احتمال آن‌ها نمی‌توان به سادگی فرمول لاپلاس را به کار برد. آمار پارامتری
آمار پارامتری به مجموعه روش‌های آماری‌ای گفته می‌شود که مدل‌ای پارامتری برای پدیدهٔ احتمالی مورد مطالعه فرض می‌شود و همهٔ استنتاج‌های آماری از آن پس بر اساس آن مدل انجام می‌شود. آزمون فرض آماری
بدین ترتیب یک فرض ساده باید نه تنها شکل تابع توزیع مبنا، بلکه مقادیر همه پارامترها را نیز مشخص کند؛ بنابراین در سومین مثال از مثال‌های بالا، یعنی مثالی که با کارایی داروی جدید سر و کار دارد، فرض formula_17 ساده است، البته با این فرض که اندازه نمونه و دو جمله ای بودن توزیع جامعه را بدانیم. اما، در اولین مثال از مثال‌های بالا، فرض مرکب است، زیرا formula_18 مقدار مشخصی به پارامتر formula_12 نمی‌دهد. توزیع احتمالی گسسته
در آمار و احتمالات، به دسته‌ای از توزیع‌ها توزیع گسسته گویند که در آنها متغیر تصادفی تنها می‌تواند تعداد محدود یا تعداد شمارایی از مقادیر را اختیار کند. از توزیع های گسسته میتوان توزیع دوجمله ای، توزیع هندسی، توزیع فوق هندسی و توزیع پواسون را نام برد. صدک
در آمار صدک به مقداری گفته می‌شود که درصد خاصی از نمونه‌های یک متغیر تصادفی کم تر از آن‌اند. به عنوان مثال ۲۰امین صدک یک متغیر تصادفی مقداری است که ۲۰ درصد از مشاهدات این متغیر کم تر از آن هستند.  ۲۵امین، ۷۵امین صدک یک متغیر نام‌های خاص چارک اول و چارک سوم را دارند. صدک دهم را نیز دهک اول می نامند . فضای نمونه
برای بسیاری از تجربیات فضای نمونه متفاوتی است مثل کارت‌های بازی که می خوانند فضای نمونه‌ای مثل ( اس تا شاه )داشته باشند یا بر حسب شماره که بر روی آن‌ها است فضای نمونه داشته باشند. رخدادهای هم شانس در بسیاری از فضاهای نمونه احتمال رخداد فضاهای عناصر هم شانس هستند. برای مثال شیر یا خط آمدن سکه‌ها یا احتمال افتادن یکی از وجوه تاس در پرتاب تاس در همین جهت برخی می‌توانند در بازی‌های هم شانس تقلب کنند مثلاً روی کارت‌ها علامت بگذارند ، لبه‌های تاس را تراش دهند و... که با این کار شانس را برای هر رخداد تغییر می دهند . اما بسیاری از آزمایش‌ها غیر هم شانس هستند مثل پرت کردن یک پونز که احتمال آنکه با ته یا سر به زمین برخورد کند هم شانس نیست. در حالت کل شانس هر رخداد به صورت زیر محاسبه می‌شود. احتمال رخداد کل عناصر/احتمال رخداد عناصر مورد نظر=( رخداد)p در علم آمار ، دانشمندان آمار با مطالعه با یک نمونه آماری در مورد یک جامعه آماری مطالعه می‌کنند. برای آنکه نتایج مربوط به این تحقیق در مورد یک جامعه آماری صحیح باشد آمار گیرها یک نمونه تصادفی را از جامعه آماری در فضا می‌گیرند . برای یک نزدیکی اولیه به احتمال ، هر زیر مجموعه از فضای نمونه یک رخداد نامیده می‌شود. اگرچه مشکلاتی را به وجود می‌آورد زمانی که فضای نمونه بی‌نهایت است. به همین دلیل تعریف دقیق تری برای رخداد نیاز است. تحت این تعریف فقط زیر مجموعه‌های منتهای فضای نمونه می‌توانند δ را در فضای نمونه تشکیل دهند. تفسیرهای مکانیک کوانتومی
هر نظریهٔ علمی مدرن، حداقل به یک توصیف ابزارگرایانه نیاز دارد که فرمولاسیون ریاضی را با آزمایشهای تجربی و پیش‌بینی ارتباط می‌دهد. در مورد مکانیک کوانتومی، رایج‌ترین توصیف ابزارگرایانه عبارت است از ادعای نظم آماری بین فرایندهای آماده‌سازی حالت و فرایندهای اندازه‌گیری. یعنی، اگر اندازه‌گیری یک کمیت دارای مقدار حقیقی به دفعات، و همواره با شرایط اولیهٔ یکسان انجام شود، نتیجه عبارت است از یک توزیع احتمالاتی کاملاً مشخص که با اعداد حقیقی همخوانی دارد. به علاوه، مکانیک کوانتومی ابزاری محاسباتی را برای تعیین ویژگی‌های آماری این توزیع، مانند میانگین آن، فراهم می‌آورد. محاسبات اندازه‌گیری‌های انجام شده بر روی یک سیستم S، یک فضای هیلبرت H را بر مجموعهٔ اعداد مختلط فرض می‌کنند. وقتی سیستم S در یک حالت خالص آماده شده باشد، این وضعیت با برداری در H ارتباط دارد. کمیتهای قابل اندازه‌گیری با عملگرهای هرمیتی ارتباط دارند که بر روی H عمل می‌کنند: اینها را "قابل مشاهده‌ها" می‌گویند. اندازه‌گیری پیاپی یک قابل مشاهدهٔ A، هنگامی که S در حالت Ψ آماده شده‌است، توزیعی از مقادیر را تولید می‌کند. مقدار مورد انتظار این توزیع با رابطهٔ ⟨ψ│A│ψ⟩ داده می‌شود. با روشن شدن چگونگی ارتباط دادن حالت اولیه با یک بردار حالت هیلبرت، و نیز چگونگی ارتباط دادن کمیت اندازه‌گیری‌شده با یک قابل مشاهده (یعنی یک عملگر مشخصی هرمیتی)، این روش ریاضی، راهی ساده و مستقیم را برای محاسبهٔ یک ویژگی آماری یک آزمایش فراهم می‌آورد. به عنوان مثالی از چنین محاسباتی، احتمال یافتن یک سیستم در یک حالت خاص |├ ϕ〉 ┤، با محاسبهٔ مقدار مورد انتظار "عملگر تصویر" دارای رتبهٔ (1- rank) به دست می‌آید: آمار
شبکه توصیف شده در بالا گاهی اوقات به عنوان آمار کاربردی اطلاق می‌شود. در مقابل، آمار ریاضی (یا ساده‌تر نظریه آماری) که از نظریه احتمال و آنالیز برای به‌کارگیری آمار بر روی یک پایه نظریه محکم استفاده می‌کند. توزیع تی مربع هاتلینگ
توزیع تی مربع هاتلینگ در نظریه احتمال و آمار یکی از توزیع‌های پیوسته است. این توزیع عمومی‌سازی توزیع تی استیودنت است. این توزیع به صورت زیر تعریف می‌شود: انتساب تصادفی
اگر گروهی که به‌طور تصادفی انتساب شده‌است، با میانگین مقایسه شود، درخواهید یافت که آن‌ها از نظر آماری متفاوتند، اگرچه آن‌ها از گروه یکسان منتسب شده بودند. برای توضیح آماری این ایده باید گفت، اگر یک آزمون معناداری آماری در گروه‌های به‌طور تصادفی انتساب شده، به کار روند، تا اختلاف بین میانگین نمونه و فرض صفر آزمایش شود که آیا با میانگین جامعه یکسان است، با داشتن احتمال توزیع، فرض صفر گاهی «رد» می‌شود، که این غیر محتمل می‌باشد. در نتیجه گروه به اندازه کافی در متغیرهای تست‌شده مختلف خواهد بود، تا از نظر آماری نشان دهد آن‌ها از جامعه یکسانی به‌دست نیامده‌اند، اگرچه، به‌طور رویه‌ای، آن‌ها از گروه کلی یکسانی انتساب شده بودند. در مثال بالا، استفاده از انتساب تصادفی موجب انتسابی به گروه می‌شود که دارای ۲۰ فرد چشم‌آبی و ۵ فرد چشم‌قهوه‌ای در یک گروه می‌باشد. در انتساب تصادفی این یک حالت نادر است، اما امکانش وجود دارد، و زمانی که این اتفاق روی دهد، ممکن است اندکی شک به فرضیه آزمایشی بیفزاید. پژوهشکده آمار
- بررسی ویژگی‌های جمعیتی، اجتماعی واقتصادی کلان‌شهرها و مقایسه تغییرات آن در سالهای ۸۵ و ۹۰ - بررسی امکانات و تسهیلات خانوارها در سال۱۳۹۰ در مقایسه با سال ۱۳۸۵ - بررسی ویژگی‌های جمعیتی، اجتماعی و اقتصادی جمعیت‌های خاص (افراد دارای اقامتگاه دوم، جمعیت شناور، اتباع خارجی) با استفاده از اطلاعات سرشماری ۱۳۹۰-۱۳۸۵ - سطح و روند باروری و عوامل موثر اجتماعی-اقتصادی بر آن در ایران 90-1385 - بررسی ویژگی های اقتصادی اجتماعی جمعیت بر اساس سنین منفرد در سرشماری های 1385 و 1390 - بررسی ویژگی‌های جمعیت و مسکن در مناطق ۲۲ گانه‌ی شهر تهران در سرشماری عمومی نفوس و مسکن ۱۳۹۰ و مقایسه‌ی آن با سال‌های قبل - بررسی ویژگی های اجتماعی و جمعیت شناختی خانوارهای زن سرپرست - بررسی روند تغییرات ساختار و ترکیب جمعیت کشور و آینده‌ی آن تا سال ۱۴۳۰ - بررسی وضعیت سلامت خانوارهای زن سرپرست در ایران - ویژگی‌های فردی و خانواری کاربران اینترنت در سرشماری‌های عمومی نفوس و مسکن ۱۳۸۵ و ۱۳۹۰ - روند تحولات جمعیت ایران، گذشته حال و آینده - خصوصیات اجتماعی و اقتصادی خانوارهای تک فرزند در سرشماری‎های ۱۳۸۵ و ۱۳۹۰ - ارائه و تحلیل شاخص‌های اجتماعی و اقتصادی آبادی‌های کشور در سال ۱۳۹۰ و مقایسه‌ی آن با سال ۱۳۸۵ - بررسی فعالیت ها، خدمات و قوانین مربوط به خانوارهای زن سرپرست - ویژگی‌های اجتماعی، اقتصادی جمعیت ازلحاظ جنسیت ۱۳۸۵-۱۳۹۰ - بررسی شاخص های توسعه یافتگی استان ها با توجه به نتایج سرشماری های ۱۳۸۵ و ۱۳۹۰ - بررسی وضع سواد جمعیت شش ساله و بیشتر در سال‌های ۱۳۶۵ و ۱۳۹۰ - بررسی ویژگی‌های اجتماعی، اقتصادی و سلامت خانوارهای زن سرپرست با تأکید بر سیاست‌ها و برنامه‌های پشتیبانی - بررسی تاثیر هدفمند کردن یارانه ها بر الگوی مصرف خانوارها - طراحی سنجه‌ی اندازه‌گیری فرهنگ آماری و تدوین برنامه‌ی ارتقای فرهنگ آماری - بررسی ویژگی‌های اقتصادی خانوارهای زن‌سرپرست - بررسی روند تغییرات ویژگی‌های واحدهای مسکونی معمولی در سرشماری‌های ۱۳۷۵ تا ۱۳۹۰ - بررسی ساختار و ترکیب خانوار و روند تغییرات آن طی سال‌های ۱۳۵۵ تا ۱۳۹۰ - روند سالمندی جمعیت ایران از گذشته تا افق ۱۴۲۰ با رویکردی به ویژگی‌های جمعیتی، اجتماعی و اقتصادی سالمندان بر اساس داده‌های سرشماری ۱۳۵۵ تا ۱۳۹۰ - بررسی وضع زناشویی جمعیت کشور در سرشماری‌های ۱۳۸۵ و ۱۳۹۰ - راه‌اندازی پایگاه فعالیت‌ها و محصولات کارگاه‌های صنعتی و معادن کشور - امکان‌سنجی شیوه‌ی اطلاع‌گیری رایانه‌یار در طرح آمارگیری از هزینه و درامد خانوارها - انطباق آماری رکوردهای سرشماری عشایری ۱۳۸۷ و سرشماری عمومی نفوس و مسکن ۱۳۹۰ با رکوردهای سازمان ثبت احوال کشور - براورد خطای اندازه‌گیری درامد در طرح آمارگیری از هزینه و درامد خانوار - مروری بر نظرسنجی و آمارگیری، مفاهیم و روش‌ها - برآورد مصرف کل سیگار در کشور - ساخت جدول عمر سالانه برای ایران - بررسی وضعیت اجتماعی و اقتصادی جوانان طی سال‌های 1385-1390 - تعیین توزیع دو دهک پایین جامعه در مناطق جغرافیایی - تحولات باروری در ایران در چهار دهه‌ی اخیر، کاربرد و ارزیابی روش فرزندان خود در برآورد باروری با استفاده از داده‌های سرشماری ۱۳۶۵تا ۱۳۹۰ - بررسی سطح توسعه‌یافتگی استان‌ها در سال‌های ۱۳۸۵ و ۱۳۹۰ با استفاده از شاخص‌های سرشماری - بررسی جریان‌های مهاجرت داخلی و مقایسه‌ی ویژگی‌های مهاجران با غیر مهاجران در ایران طی فاصله‌ی زمانی ۱۳۸۵ تا ۱۳۹۰ - انطباق آماری رکوردهای سرشماری عمومی نفوس و مسکن ۱۳۹۰ با رکوردهای سازمان ثبت احوال کشور - محاسبه شاخص‌های کنفرانس بین المللی جمعیت و توسعه (ICPD)و اهداف توسعه‌ی هزاره (MDG) ... - بررسی و تعیین روش‌های شناخت و اصلاح داده‌های دور افتاده‌ی طرح آمارگیری از کارگاه‌های صنعتی نظریه آمار
زمانی که یک رویه آماری در پروتکل مطالعه مشخص می‌شود، در هنگام به کارگیری در تمام جامعه برخاسته از انتخاب تصادفی که برای ایجاد داده به کار می‌رود، نظریه آمار جملات احتمال به‌خوبی‌تعریف‌شده‌ای را برای ان روش فراهم می‌کند. این کار سبب ایجاد راهی هدفمند برای تخمین پارامترها، تخمین فاصله اطمینان، آزمون فرضیات، و انتخاب بهترین گزینه می‌شود. حتی در داده‌های مشاهده‌ای، نظریه آمار روش محاسبه ارزشی را که می‌توان برای تفسیر نمونه‌ای از داده‌ای از یک جامعه را فراهم می‌کند و می‌تواند ابزار نشان‌دادن چگونگی معین‌شدن با استفاده از نمونه را ایجاد نماید. توزیع احتمال
واریانس در محاسبات آماری، یک معیار برای سنجش میزان پراکندگی داده‌ها نسبت به میانگین داده‌هاست. ما در این مباحث، امیدریاضی را مشابه میانگین در نظر گرفتیم و به این ترتیب واریانس را چنین تعریف می‌کنیم: formula_38 حکم بسیار مهمی که در محاسبات بسیار راه‌گشاست و از تعریف بالا نتیجه می‌شود به قرار زیر است: formula_39 در این‌جا مقصود از formula_40 این است که مقدارهای متغیر تصادفی را به توان ۲ برسانیم. مثلاً برای محاسبهٔ واریانس متغیر تصادفی تعداد فرزندان دختر در یک خانواده با دو فرزند (که در بخش‌های قبل توزیع احتمال و امیدریاضی آن به دست آمد)، باید به این ترتیب عمل کنیم:formula_41 واریانس مجموع چند متغیر تصادفی مستقل را می‌توان برحسب واریانس تک‌تک این متغیرها حساب کرد: formula_42 تأکید می‌کنیم که این حکم فقط در صورتی قابل استفاده است که متغیرها "مستقل" باشند. آمار
یکی از مهم‌ترین کاربردهای آمار و احتمال با استفاده از رایانه شبیه‌سازی است. آمار
علم آمار، مبتنی است بر دو شاخه آمار توصیفی و آمار استنباطی. در آمار توصیفی با داشتن تمام اعضا جامعه به بررسی خصوصیت‌های آماری آن پرداخته می‌شود در حالی که در آمار استنباطی با بدست آوردن نمونه‌ای از جامعه که خصوصیات اصلی جامعه را بیان می‌کند در مورد جامعه استباط آماری انجام می‌شود. در نظریهٔ آمار، اتفاقات تصادفی و عدم قطعیت توسط نظریهٔ احتمالات مدل‌سازی می‌شوند. در این علم، مطالعه و قضاوت معقول در بارهٔ موضوع‌های گوناگون، بر مبنای یک نمونه انجام می‌شود و قضاوت در مورد یک فرد خاص، اصلاً مطرح نیست. پراکندگی (آمار)
در آمار و احتمال منظور از سنجش‌های پراکندگی اعدادی است که تغییرات یک متغیر تصادفی را حول امید ریاضی آن نشان می‌دهند. استنباط علیت
طرفداران رویکردهای روش‌شناسی متنوع استدلال می‌کنند که روش‌های مختلف برای موضوعات مختلف مطالعه مناسب‌تر هستند. جامعه‌شناس هربرت اسمیت و دانشمندان علوم سیاسی جیمز ماهونی و گری گورتز با اشاره به مشاهدات پاول هولند، آماردان و نویسنده مقاله «آمار و استنباط علّی» در ۱۹۸۶، اشاره کردند که استنباط آماری برای ارزیابی «معلول‌های علت‌ها» در مقایسه با «علت‌های معلول‌ها» مناسب‌تر است. آزمون فرض آماری
آزمون فرض آماری در علم آمار روشی است برای بررسی ادعاها یا فرض‌ها دربارهٔ پارامترهای توزیع در جوامع آماری. در این روش فرض صفر یا فرض اولیه، مورد بررسی ست که متناسب با موضوع مطالعه، فرض ای به عنوان فرض بدیل یا فرض مقابل انتخاب می‌شود تا درستی هر کدام نسبت به هم مورد آزمون قرار گیرد. اقتصادسنجی
مهمترین نکته در مورد formula_10 تصادفی بودن آن است. با توجه به تعریفی که از formula_10 ارائه شد، بدیهی است که این فرض قابل قبول است و خلاف آن را نمی‌توان تصور نمود. formula_10 یک متغیر تصادفی است و مثل همه متغیرهای تصادفی دارای یک تابع توزیع احتمال و در نتیجه میانگین و واریانس (و بقیه گشتاورها) است. سؤال مهمی که می‌توان مطرح کرد این است که خصوصیات آماری و شکل تابع توزیع احتمال متغیر تصادفی formula_10 چیست؟ پاسخ به این سؤال فروض کلاسیک نامیده می‌شود. فروض کلاسیک عبارتند از: آزمون فرض آماری
مانند مثال‌های بالا، اغلب آزمون‌های آماری به پارامترهای توزیع‌ها می‌پردازند، ولی گاهی آن‌ها به نوع، یا ماهیت خود توزیع‌ها نیز می‌پردازند. به عنوان مثال، در اولین مثال از سه مثال بالا، آن مهندس همچنین ممکن است بخواهد نظر دهد که آیا واقعاً با نمونه ای از توزیع نمایی سر و کار دارد، یا اینکه آیا داده‌های او مقادیر متغیرهای تصادفی ای هستند که، مثلاً، دارای توزیع وایبول هستند. با احتمال بالا
در ریاضیات، رویدادی که با احتمال بالا (به اختصار w.h.p یا WHP) رخ می‌دهد، رویدادی است که احتمال آن به متغیری همچون n وابسته است و با میل n به سمت بینهایت، احتمال رویداد مورد نظر به ۱ میل می‌کند. یعنی می‌توان با انتخاب n به اندازه‌ی کافی بزرگ، مقدار آن را به اندازه‌ی دلخواه به ۱ نزدیک کرد. توزیع گامای وارونه
در نظریه احتمالات و آمار، توزیع گامای وارونه توزیعی پیوسته و دو پارامتری است که تنها روی متغیرهای با مقدار مثبت تعریف می‌شود. بسیاری از کاربردهای توزیع گامای در مدل سازی بیزی است زمانی که واریانس توزیع نرمال نامعلوم است که به عنوان توزیع پسین حاشیه‌ای ظاهر می‌شود. مدل سازی سلسله‌مراتبی بیزی
روش‌ها و مدل‌های آماری معمولاً شامل چندین پارامتر هستند که می‌توانند به هم مرتبط یا متصل در نظر گرفته شوند به گونه ای که مسئله در واقع به پیدا کردن وابستگی مدل احتمال مشترک برای این پارامترها تبدیل می‌شود. درجات اعتقادی فردی، که در قالب احتمالات بیان می‌شود، با عدم اطمینان همراه هستند. قلب این قضیه تغییر میزان اعتقاد در طول زمان است. آزمایش برنولی
در تئوری آمار و احتمالات، توزیع دو جمله‌ای سلبی، توزیعی با احتمال گسسته‌است. توزیع پاسکال و توزیع پولیا حالت‌های خاص دوجمله‌ای سلبی هستند. احتمالات
نظریه احتمال در زندگی روزمره در ارزیابی ریسک و در تجارت در بازار کالاها اعمال می‌شود. دولت‌ها به‌طور معمول روش‌های احتمالاتی را در تنظیم محیط زیست اعمال می‌کنند، که آن را تجزیه و تحلیل مسیر می‌نامند. یک مثال خوب اثر احتمال هر گونه درگیری گسترده در خاورمیانه بر قیمت نفت است، که اثرات موج واری روی اقتصاد کل جهان می‌گذارد. ارزیابی که توسط یک معامله گر کالا زمانی‌که احتمال جنگ بیشتر باشد، در مقابل حالتی که احتمال کمتری دارد، قیمت‌ها را بالا و پایین می‌فرستد و معامله گران دیگر را نیز از نظرات خود آگاه می‌کند. در واقع، احتمالات (در تجارت) به‌طور مستقل ارزیابی نمی‌شوند و لزوماً عقلانی نیستند. تئوری‌های رفتار مالی برای توصیف اثر فکر گروهی در قیمت‌گذاری، در سیاست، و در صلح و درگیری ظهور کردند. توزیع احتمال
امیدریاضی، در حقیقت یک نوع میانگین‌گیری از متغیر تصادفی است. یعنی این‌که اگر یک آزمایش را بی‌نهایت‌بار تکرار کنیم و از مقدارهای متغیر تصادفی مرتبط با نتایج میانگین بگیریم، چه عددی به دست خواهد آمد. تعریف دقیق ریاضی این تابع به صورت زیر است: formula_30 برای نمونه، اگر همان مثال گفته شده در بخش قبل را در نظر بگیریم، امیدریاضی تعداد دختران یک خانواده با دو فرزند به صورت زیر خواهد بود: formula_31 یکی از مهم‌ترین ویژگی‌های تابع امیدریاضی، خطی بودن آن است؛ یعنی اگر n متغیر تصادفی به صورت formula_32 داشته باشیم، تساوی‌های زیر برقرار هستند: formula_33 formula_34 تابع جرم احتمال
در نظریه آمار و احتمال ، تابعی تابع جرم احتمال است که در ابتدا ، تعریف یک تابع توزیع احتمال گسسته درموردش صادق باشد و توابعی از این جمله برای هر دو اسکالر یا متغیرهای تصادفی چند متغیره که دامنه اش گسسته است وجود داشته باشد. تابع جرم احتمال با تابع چگالی احتمال متفاوت است. تفاوت تابع جرم احتمال با تابع چگالی احتمال در آن است که دومی به جای متغیرهای تصادفی گسسته با متغیرهای تصادفی پیوسته مرتبط است. برخلاف تابع جرم احتمال، تابع چگالی احتمال می‌تواند مقادیر بیشتر از یک را نیز اختیار کند. احتمالات
به گفته ریچارد جفری، «قبل از اواسط قرن هفدهم، اصطلاح ‘’ احتمالی’’ به معنای قابل تأیید (تصویب) و در آن معنا چه برای عقیده افراد و چه برای عمل مورد استفاده بود. در واقع افکار یا اقدام احتمالی، رفتاری بود که مردم معقول درآن شرایط از خود نشان می‌دادند.» البته به خصوص در زمینه‌های قانونی، احتمالی همچنین می‌تواند به گزاره‌ای که شواهد خوبی برای اثبات آن وجود دارد، اطلاق شود. پژوهشکده آمار
- طراح و اجرای آمارگیری بهره‌مندی خانوارها از خدمات سلامت در سال ۱۳۹۴ - رویکردی نوین در طراحی پرسشنامه‌ی آمارگیری‌ها با تاکید بر امکان گردآوری پارادیتا - تهیه‌ی حساب‌های ملی سلامت سال‌های ۱۳۹۱و ۱۳۹۲ - براورد درآمد دائمی در اقتصاد ایران - پیش‌بینی تورم در ایران با استفاده از دو مدل شبکه‌ی عصبی و ARIMA - بررسی روند مهاجرت روستا به شهر - شبیه‌سازی جمعیتی در سال‌های بین دو سرشماری در سه شهرستان نمونه - تهیه‌ی فایل پشتیبان سرشماری عمومی نفوس و مسکن ۱۳۹۵ از طریق اتصال داده‌های دستگاه‌های اجرایی به داده‌های سرشماری عمومی نفوس و مسکن - تدوین نظام جامع آمار شهر تهران - براورد فرصت شغلی در ایران - طراحی و اجرای آمارگیری شاخص‌های چندگانه جمعیت و سلامت در کشور، ۱۳۹۴ - بررسی ویژگی‌های اجتماعی، اقتصادی و سلامت خانوارهای زن‌سرپرست برحسب وضع زناشویی سرپرست خانوار - امکان‌سنجی پیاده‌سازی نظام حساب‌های سلامت (ویرایش ۲۰۱۱) - آمارگیری از بخش خانوار و افراد در حوزه‌ی فاوا در چارچوب محاسبه‌ی شاخص‌های مرتبط با سازمان جهانی مخابرات - ۱۳۹۴ آزمون فرض آماری
آمار دانان اغلب، به عنوان فرض‌های خود، ضد آنچه را که به باور آن‌ها درست است بیان می‌کنند؛ مثلاً، اگر بخواهیم نشان دهیم که دانش آموزان یک مدرسه بهره هوشی بالاتری نسبت به مدرسه دیگری دارند، می‌توانیم این فرض را فرمول بندی کنیم که تفاوتی در بین نیست، یعنی اینکه formula_21. با این فرض می‌دانیم که چه انتظاری می‌توانیم داشته باشیم، اما اگر فرض را به صورت formula_13 فرمول بندی می‌کردیم، وضعیت این گونه نمی‌بود؛ مگر اینکه حداقل فاصله واقعی بین formula_14 و formula_15 را مشخص کنیم. آزمون فرض آماری
یک آزمون خوب آن است که در آن formula_9 و formula_11 هر دو کوچک باشند و بنابراین به ما شانس بالایی برای اتخاذ تصمیم درست بدهد. احتمال خطای نوع II (formula_11) در مثال بالا نسبتاً زیاد است، اما می‌توان آن را با تغییر مناسب ناحیه بحرانی کم کرد؛ مثلاً اگر ناحیه قابل قبول formula_53 را در مثال بالا به کار ببریم، به طوریکه ناحیه بحرانی formula_54 باشد، به آسانی می‌توان تحقیق کرد که با این کار formula_55 و formula_56 خواهد شد؛ بنابراین، گرچه احتمال خطای نوع II کوچکتر شده‌است، احتمال خطای نوع I بزرکتر شده‌است. تنها راهی که می‌توان احتمال‌های هر دو نوع خطا را کم کرد افزایش دادن اندازه نمونه است، اما مادامی که formula_57ثابت گرفته شود، این رابطه متقابل بین احتمال‌های خطای نوع I و نوع II از خصوصیات روش‌های تصمیم آماری است. به عبارت دیگر، اگر احتمال یک نوع خطا کاهش یابد، احتمال خطای نوع دیگر افزایش می‌یابد. توزیع احتمال
در نظریه احتمال و آمار تابع توزیع احتمال بیانگر احتمال هر یک از مقادیر متغیر تصادفی (در مورد متغیر گسسته) یا احتمال قرار گرفتن متغیر در یک بازه مشخص (در مورد متغیر تصادفی پیوسته) میباشد. توزیع تجمعی احتمال یک متغیر تصادفی تابعی است از دامنهٔ آن متغیر بر بازهٔ formula_1. به طوری که احتمال رخدادن پیشامدهای با مقدار عددی کمتر از آن را نمایش می‌دهد. و به صورت دقیق به شکل زیر تعریف می‌شود: بر اساس این که این متغیر گسسته یا پیوسته باشد توزیع گسسته یا پیوسته نام می‌گیرد. مطلوبیت
این تئوری، تئوری مطلوبیت انتظاری نام دارد. فروض لازم، چهار اصل بدیهی در مورد خواص رابطه ترجیحات فرد بر بخت آزمایی‌های ساده (بخت آزمایی‌هایی با ۲ بازیکن) هستند. formula_20 به این معناست که A غالب ضعیف B است و بر B ترجیح داده می‌شود. (یا به عبارت دیگر حداقل به اندازهٔ B ترجیح داده می‌شود) بدیهیات عبارتند از: تنها زمانی formula_34 است که بخت آزمایی تشکیل شده از طریق ترکیب احتمالی formula_21 و formula_38 نسبت به بخت آزمایی تشکیل شده از طریق ترکیب احتمالی formula_32 و formula_40 ارجحیت نداشته باشد. ضریب تغییرات
در نظریه احتمال و آمار ضریب تغییرات یک معیار بهنجار است که برای اندازه‌گیری توزیع داده‌های آماری به کار می‌رود. که از تقسیم انحراف معیار بر میانگین مطابق فرمول زیر به دست می‌آید: توزیع حاشیه‌ای
احتمال حاشیه‌ای، احتمال رخ دادن یک رخداد مستقل از رخدادهای دیگر است. از سمت دیگر احتمال شرطی، احتمال رخ دادن یک رخداد به شرطی که رخدادهای مشخص دیگری اتفاق افتاده باشند است. این بدین معنا است که در چنین احتمالی محاسبات مربوط به یک متغیر تصادفی به محاسبات متغیرهای تصادفی دیگر وابسته می‌باشد. قضیه انحرافات بزرگ
در نظریهٔ احتمال، تئوری انحرافات بزرگ مربوط است به بررسی رفتار حدی دنباله‌ای از توزیع‌های آماری، در طی مشاهدهٔ داده‌های جدید. برخی از ایده‌های اساسی تئوری را می‌توان به لاپلاس یا کرامر نسبت داد. اگرچه این تئوری به شیوه‌ای که امروزه می‌شناسیم توسط وارادهان در سال ۱۹۶۶ معرفی شد. این تئوری، مقهوم همگرایی اندازهٔ توزیع‌های احتمالی را پایه‌ریزی می‌کند. اگر بخواهیم این تئوری را کمی غیررسمی تر توصیف کنیم، این قضیه درگیر است با بررسی رفتار حدی توزیع‌های آماری، بخصوص رفتار دنباله‌ای ، در شرایطی که داده‌های جدید مشاهده می‌شود. متغیر تصادفی
متغیرهای تصادفی که با اعداد حقیقی مقداردهی می‌شوند، در علوم برای پیش‌بینی براساس داده‌های بدست آمده از آزمایش‌های علمی استفاده می‌شوند. علاوه بر کاربردهای علمی، متغیرهای تصادفی برای آنالیز بازی‌های قمار و پدیده‌های تصادفی به وجود آمدند. در چنین مواردی تابعی که خروجی را به یک عدد حقیقی می‌نگارد معمولاً یک تابع همانی یا به‌طور مشابه یک تابع بدیهی است و به‌طور صریح توصیف نشده‌است. با این وجود در بسیاری از موارد بهتر است متغیر تصادفی را به صورت توابعی از سایر متغیرهای تصادفی در نظر بگیریم که دراینصورت تابع نگاشت استفاده شده در تعریف یک متغیر تصادفی مهم می‌شود. به عنوان مثال، توان دو یک متغیر تصادفی با توزیع استاندارد (نرمال) خود یک متغیر تصادفی با توزیع کی دو است. شهود این مطلب بدین صورت است که تصور کنید اعداد تصادفی بسیاری با توزیع نرمال تولید کرده و هرکدام را به توان دو برسانیم و سپس هیستوگرام داده‌های بدست آمده را بکشیم در اینصورت اگر داده‌ها به تعداد کافی باشند، نمودار هیستوگرام تابع چگالی توزیع کی دو را با یک درجه آزادی تقریب خواهد زد. توزیع احتمال دنباله بلند
مدتهاست که درک شده است که مدلسازی کارآمد و دقیق پدیده های مختلف دنیای واقعی نیاز به ترکیب این واقعیت دارد که مشاهدات انجام شده در مقیاس های مختلف هرکدام دارای اطلاعات اساسی هستند. در بیشتر اصطلاحات ساده ، نمایش داده ها در مقیاس های بزرگ با میانگین آن اغلب مفید است (مانند درآمد متوسط یا تعداد متوسط مشتری در روز) اما می تواند نامناسب باشد (به عنوان مثال در زمینه بافر یا صف های انتظار). آمار ناپارامتری
برای انجام تجزیه و تحلیل‌های آمار پارامتریک نیاز به یک سری از پیش فرض‌ها می‌باشد؛ که عبارتند از: چنانچه این فرض‌ها برقرار باشد از آمار پارامتری استفاده می‌کنیم در غیر اینصورت بایستی از آمار ناپارامتری استفاده نمود. تاریخ احتمال
بعبارت دیگر، نظریه احتمال به شاخه‌ای از ریاضیات گویند که با تحلیل وقایع تصادفی سروکار دارد. هسته تئوری احتمال را متغیرهای تصادفی و فرایندهای تصادفی و پیشامدها تشکیل می‌دهند. نظریه امکان
نظریه احتمال تنها در موقعیت‌هایی از عدم اطمینان کاربرد دارد که نامطمئنی شرایط ناشی از وجوه تصادفی پیشامدهای یک سیستم یا یک فرایند بوده و فقدان روند در تغییرات یا پیچیدگی و گستردگی عوامل تأثیرگذار به خوبی قابل شناسایی و برآیند این تأثیر به صورت مجزا قابل بررسی نباشد یا به دلیل وجود محدودیت‌های مطالعاتی و تصمیم سازی، تمایلی به کشف روند در برآیند تأثیر عوامل گسترده مؤثر بر پیشامدها وجود نداشته باشد. رویکرد تصمیم گیران در بکاربردن نظریه احتمال، دستیابی به الگوریتمی جهت پیش‌بینی تغییرات رفتار جامعه آماری بر اساس شاخص‌هایی است که از تحلیل نمونه‌های جامعه به دست می‌آید. میانه (آمار)
میانه در آمار و نظریه احتمالات یکی از سنجش‌های گرایش به مرکز است. میانه عددی است که یک جمعیت آماری یا یک توزیع احتمالی را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند. یکی از مزیت‌های مهم میانه نسبت به میانگین این است که میانه از اعداد بسیار بزرگ و بسیار کوچک مجموعهٔ اندازه‌ها متأثر نمی‌شود. کاربردهای آمار
آمار شاخه‌ای از ریاضیات است که به جمع‌آوری، تحلیل و تفسیر داده می‌پردازد. شاخه‌های تخصصی مختلفی برای استفاده از آمار در حوزه‌های مختلف شکل گرفته‌اند. از سوی دیگر، برخی شاخه‌هایی که واژهٔ «آمار» در نامشان وجود دارد، عملاً به توزیع‌های احتمالات می‌پردازند و نه به تحلیل آماری. این تاریخ احتمال
آمار و احتمال از طریق آزمون فرض آماری انجام شده توسط فیشر و جرزی نیمن تا حد زیادی بهم نزدیک شدند. این روش، امروزه به‌طور گسترده در آزمایش‌های زیست‌شناسی و روان‌شناسی و حتی امور اقتصادی به کار می‌رود. انباشتک
در نظریه احتمالات و آمار، انباشتک یا یک توزیع احتمال عبارت است از مجموعه ای از کمیت‌هایی که جایگزینی برای گشتاور توزیع ارائه می‌کند. روش گشتاورها (آمار)
در آمار، روش گشتاورها روشی است برای تخمین مقادیر پارامترهای یک توزیع احتمال که نمونههایی از آن مشاهده شده‌است. در این روش، تخمین گشتاورهای توزیع احتمال با مقدار نظری گشتاورها (که تابعی از پارامترها هستند) برابر قرار داده شده و مقدار پارامترها تخمین‌زده می‌شوند. معیار واگرایی کولبک-لیبلر
در آمار ریاضی از Kullback–Leibler واگرایی به عنوان معیاری برای اندازه‌گیری واگرایی یک توزیع احتمال از یک توزیع احتمال ثانویه، یاد می‌شود. از جمله کاربردهای این مفهوم شامل توصیف آنتروپی نسبی (Shannon) در سیستم‌های اطلاعاتی، رندمنس در سریهای زمانی پیوسته و بهره اطلاعاتی در زمانی که به مقایسه با مدلهای آماری استنباطی می‌پردازیم، می‌باشد. برخلاف تنوع اطلاعات، این معیار، یک معیار "نامتقارن" می‌باشد و در نتیجه نمی‌توان آن را به عنوان یک "معیار" پراکندگی معرفی کرد. به عبارت دیگر، مقدار ۰ برای Kullback–Leibler واگرایی نشان می‌دهد که ما می‌توانیم انتظار رفتار مشابهی (نه دقیقاً یکسان) از دو توزیع داشته باشیم در حالی که مقدار ۱ برای این معیار نشان می‌دهد که دو توزیع رفتارهای متضادی دارند. چولگی
در آمار و نظریه احتمالات چولگی یا خمیدگی (Skewness) نشان دهنده میزان عدم تقارن توزیع احتمالی است. اگر داده‌ها نسبت به میانگین متقارن باشند، چولگی برابر صفر خواهد بود. کامل بودن
در آمار، کامل بودن یک ویژگی آماره در ارتباط با یک مدل برای مجموعه‌ای از داده‌های مشاهده شده می‌باشد. اساساً، این شرایطی است که اطمینان می‌دهد که پارامترهای توزیع احتمال که مدل را نشان می‌دهند، را می‌توان بر پایه آمار تخمین زد؛ این اطمینان می‌دهد که توزیع مربوط به مقادیر مختلف این پارامترها متمایراند. استنباط علیت
مطالعات همه‌گیری‌شناسانه، از روش‌های مختلف اپیدمیولوژیک برای جمع‌آوری و سنجش شواه موجود در ارتباط با عوامل خطر و اثر آن بر روشهای مختلف اندازه‌گیری ارتباط بین این دو استفاده می‌کند. ابتدا یک فرضیه تدوین می‌شود و سپس با روش‌های آماری مورد آزمایش قرار می‌گیرد. این استنباط آماری است که کمک می‌کند تا مشخص شود که آیا داده‌ها بر اساس تصادف و شانس به وجود آمده‌اند -که به آن تغییرات تصادفی نیز گفته می‌شود- یا در واقع با یکدیگر همبستگی دارند و این همبستگی چقدر شدت دارد و در واقع چقدر می‌توان روی آن حساب کرد. در هر صورت، همبستگی به معنای علیت نیست و درک تفاوت این دو بسیار اهمیت دارد؛ بنابراین برای استنباط علیت باید از روش‌های بعدی استفاده کرد. نسبت شانس‌ها
نسبت شانس‌ها (Odds ratio) عبارت است از مقدار ارتباط بین یک مشخصه خاص همچون A با یک مشخصه دیگر همچون B در جامعه. به عبارت دیگر این آمار می‌خواهد بداند، وجود یا عدم وجود مشخصه‌ای چون A چگونه بر وجود یا عدم وجود مشخصه ای چون B اثر می‌گذارد. همچنین از این آمار جهت شناسایی و مقایسهٔ عوامل خطر مختلف یک بیماری استفاده می‌شود، مانند اینکه آیا مصرف مداوم گوشت قرمز می‌تواند به عنوان یک عامل خطر برای ابتلا به سرطان کولون در نظر گرفته شود؟ یا اینکه چه میزان مصرف الکل می‌تواند منجر به بروز بیماری‌های کبدی گردد؟ یا اینکه آیا استفاده از تلفن همراه می‌تواند با سرطان مغز در ارتباط باشد؟ آمار بعدبالا
بررسی‌های ریاضی گسترده‌ای انجام شده‌است که منجر به‌وجود آمدن نظریهٔ سیستماتیک برای بهبود نسخه‌های غیرقابل بهبود فرایندهای آماری چندمتغیره شدند. (مرجع را ببینید).کشف شد که که پارامتر ویژهٔ formula_9 که یک تابع از گشتاور چهارم متغیرهاست، این ویژگی را داراست که مقادیر پایین formula_9 تعدادی از پدیده‌های چندپارامتری را تولید می‌کند. برای formula_2 و formula_4 در حال افزایش، به‌طوری که formula_3 به یک مقدار ثابت میل کند و formula_14، جملات اساسی چرخش توابع ناوردا در اثبات آماری رخ می‌هد تا تنها از دو گشتاور اول متغیر مستقل باشد. تحت شرایطی که formula_4 و formula_2 به بی‌نهایت میل می‌کنند، formula_17 و formula_14، این توابع واریانس و کوواریانس محوشونده در یک مقدار ثابت را دارند که نشان‌دهندهٔ مقدار حدی میانگین و واریانس تجربی است. به‌عنوان نتیجه، برخی روابط انتگرالی پایدار بین توابع و پارامترها و توابع متغیرهای قابل مشاهده تولید شده‌اند. آن‌ها «معادلات متعارف تصادفی» یا «معادلات پراکندگی» نامیده می‌شوند. با استفاده از آن‌ها، می‌توان قسمت‌های اصولی توابع کیفی استاندارد آمار چندمتغیره منظم را به‌عنوان توابعی از متغیرهایی که تنها مشاهده شده‌اند، بیان کرد. این مسئله قابلیت انتخاب فرایندهای بهتر و پیدا کردن راه‌حل‌های به‌طور مجانبی غیرقابل بهبود را فراهم می‌سازد. متغیر (ریاضیات)
متغیرها در زیر شاخه‌های مختلف ریاضیات همچون جبر آمار و احتمالات ریاضیات گسسته برای عمومیت دادن (صوری کردن) به مفاهیم گوناگون مورد استفاده واقع می‌شوند. همبستگی جزئی
در آمار و احتمال، همبستگی جزئی یا همبستگی پاره‌ای میزان پیوستگی بین دو متغیر تصادفی را اندازه می‌گیرد در حالی که تأثیر دیگر متغیرها حذف شده‌اند.