근삿값에 대한 오차의 절댓값이 어떤 값 이하일 때, 그 값을 근삿값에 대한 오차의 한계라고 하나요?
근삿값
근삿값에 대한 오차의 절댓값이 어떤 값 이하일 때, 그 값을 근삿값에 대한 오차의 한계라고 한다.
편차
절대 편차(absolute deviation)는 관측값에서 평균 또는 중앙값을 빼고, 그 차이에 절대값을 취하고 그 값들의 대푯값을 구한 것이다. 근사 알고리즘
근사 알고리즘(approximation algorithm)은 어떤 최적화 문제에 대한 해의 근사값을 구하는 알고리즘을 의미한다. 이 알고리즘은 가장 최적화되는 답을 구할 수는 없지만, 비교적 빠른 시간에 계산이 가능하며 어느 정도 보장된 근사해를 계산할 수 있다. 근사 알고리즘은 NP-완전 문제등 현재 알려진 빠른 최적화 알고리즘이 없을 문제에 대해 주로 사용된다. 올림
특히, 오차의 한계가 1(formula_1)인 경우, 즉 소수점 첫째 자리에서 올림하는 경우 formula_2의 올림을 formula_3라고도 쓰며, 이것은 formula_2보다 작지 않은 최소 정수를 찾는 것과 같다. 관측값
상대오차(relative error)는 관측값과 잔차의 절댓값의 비이다. 상대오차는 관측의 정밀도를 나타낼 때 중요하게 쓰인다. 상대오차는 1/10000 등과 같이 나타낸다. 표준 오차
표준 오차(標準誤差, , SE)는 통계의 표본 분포의 표준 편차이다. 평균의 표준 오차(, SEM)는 표본 평균 분포의 표준 편차를 가리킨다. 표준오차는 단관측에 대한 표준편차를 formula_1로 나눈 것과 같다. formula_2를 표본 평균, ν를 잔차라 할 때,
만일 경중률이 다르다면 다음과 같이 계산한다. 경중률을 w라 할 때,
formula_5 근판정법
근 판정법은 멱급수의 수렴반지름을 논할 때 유용하다. 멱급수 절댓값
정역 위의 절댓값은, 정역에 정의되며, 음이 아닌 실숫값을 취하며, 양의 정부호성을 만족시키며, 곱셈을 보존하며, 삼각 부등식을 만족시키는 함수이다. 모든 체는 정역이므로, 실수 또는 복소수의 절댓값은 정역 위의 절댓값의 특수한 경우이다. 모든 정역 위의 절댓값 formula_54는 표준적인 거리 함수 formula_55를 유도한다. 로슈 한계
f가 최댓값을 가질 때의 이심률은 f의 도함수가 0일 때의 것이므로 수치적으로 계산할 수 있다. 계산 값은 오차 방정식
실제적인 문제에서 정확한 해석적 해는 종종 필요없을 때가 있다. 수치적인 근사치로 충분한 경우가 많으며 이를 위해 뉴턴의 방법, , 등 다양한 기법이 알려져 있다. 인접행렬
formula_2의 스펙트럼의 최댓값 formula_32은 formula_2의 최대 차수(한 꼭짓점에 연결된 변의 수의 최댓값)보다 같거나 작다.
또한, 유한 정규 그래프 formula_2에 대하여, 이 부등식이 포화된다.
정규 그래프의 경우 이 고윳값 formula_37의 중복수는 formula_2의 연결 성분의 수와 같다. 각 연결 성분 formula_39에 대응하는 고유 벡터 formula_40는 각 연결 성분 formula_41에 대하여
의 꼴이다. 특히,
는 항상 고윳값 formula_37의 고유 벡터를 이룬다. 연분수
이 때의 오차의 한계는 formula_18을 주어진 무리수, 각각 formula_19과 formula_20을 formula_17번째 근사분수의 서로소인 분자와 분모라 할 때, 다음과 같은 식으로 주어진다.
또한, 다음 식
을 만족하는 가장 작은 정수 formula_24에 대하여, 적당한 자연수 formula_25가 존재하여 formula_26와 formula_27를 만족한다. 역 오일러 방법
역 오일러 방법은 다음을 사용하여 근사치를 계산한다
이것은 (일반적인) 오일러 방법과는 formula_13 대신에 formula_14. 편차
편차는 양수일수도 있고 음수일 수 있으며, 이는 평균보다 크거나 작음을 나타낸다.
값의 크기는 관측값이 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는가를 나타낸다. 
편차는 오류 또는 잔차라고 할 수 있다. 모집단 평균에서의 편차는 오류이며, 표집 평균에서의 편차는 잔차이다. 허용 오차
위에서 ε의 단위는 평균값의 단위와 같다.
formula_4 측정
정도(精度)는 원래 측정 기술의 분야에서 쓰이는 개념이며, 측정으로써 얻어진 결과가 어느 정도 정확히 참된 값을 표시하고 있는가를 나타내는 것이다. 이것을 알기 쉽게 설명하면 다음과 같다. 즉 측정에 의해 얻어진 값과 참된 값은 일반적으로 똑같지 않으며, 전자에서 후자를 뺀 차이를 오차라 한다. 그러나 참된 값이란 것은 특별한 경우를 제외하고는 관념적인 것으로서 엄밀히 우리가 알 수 없다. 때문에 실제로는 보다 정확하다고 생각하는 값을 참된 값으로 간주하여 그로써 오차를 수량적으로 표시한다. 측정
분해능이란 기계에 부속하고 있는 척도의 최소 1눈금에 해당하는 길이 혹은 각도를 말하며, 이 1눈금보다 가공오차를 작게 한다는 것은 기대할 수가 없다. 기계류가 원래부터 지니고 있는 오차로서는 극단적인 예로서, 주축이 정확하게 회전하지 못하고 네모난 형상을 그리며 돌고 있는 선반을 사용해서 진원의 철봉을 가공한다는 것은 불가능하다. 또 공구를 부착하는 왕복대를 안내하는 안내면이 정확한 직선이 아닐 때에는 깎여진 공작물은 정확한 원통이 되지 못한다. 선반으로 나사를 깎을 때 엄지나사를 사용하는데, 이 엄지나사가 정확하지 못하면 이에 따라서 만들어지는 나사도 결코 정확하게는 되지 않는다. 또 엄지나사가 정확하더라도 엄지나사의 축과 공작물을 고정하고 있는 주축을 연결하는 톱니바퀴가 불량할 경우에는 올바른 나사가 만들어질 수 없게 된다. 톱니바퀴를 만드는 경우에도 근본이 되는 엄지톱니바퀴가 정확하지 않으면 좋은 톱니바퀴는 만들 수 없다. 이상과 같이 오차가 생기는 원인에는 여러 가지가 있다. 통계학
절대 편차(absolute deviation)는 관측값에서 평균 또는 중앙값을 빼고, 그 차이에 절대값을 취하고 그 값들의 대푯값을 구한 것이다. 근삿값
근삿값[1]() 또는 근사치(近似値)는 어림수와 같이 참값에 가까운 값을 뜻한다. 근삿값의 대표적인 예로 측정값이 있다. 조금 더 쉽게 설명하자면 근삿값을 쓸 때 또는 양쪽 값이 거의 비슷할 때 사용한다고 할 수 있다. 한계대체율
한계대체율()은 소비자가 다른 재화를 얻기 위해 그 다른 재화가 동등한 만족을 준다는 조건 하에서 포기할 용의가 있는 재화의 양이다. 한계대체율은 소비자 이론에서 소비자의 행동을 규명하기 위해 사용된다. 무차별곡선에서는 한계대체율이 무차별곡선의 기울기를 결정하는데, 이때 한계대체율이 클 수록 시간선호율도 덩달아 높다. 평균 제곱근 편차
몇몇 학문 분야에서는 평균 제곱근 편차를 "표준"으로 인정되지 않는 다른 두 물건의 차이를 비교할 때 사용하기도 한다. 예를 들어, 두 길쭉한 물건의 평균 거리를 측정하는 경우를 랜덤 벡터로 표현하면,
이고, 식은:
이 된다. 표준 오차
표본 표준 편차 s를 이용하여 근사값으로 구하기
formula_7 오차 함수
오차 함수(誤差函數, error function)는 확률론, 통계학, 편미분 방정식등에서 사용하는 비초등 함수이다. 가우스 오차 함수라고도 하며 다음과 같이 정의한다. 허용 오차
원하는 오차 범위(허용 오차) ε이 나오기 위해서 필요한 표본 크기(sample size) n을 계산할 수 있다. 표본이 클 수록 오차는 작아지지만, 조사 비용이 늘어난다. 근관 치료
근관장은 측정할 때마다 다르게 나올 수 있는데 그 이유는 술자의 과실이 있을 수 있지만 근관의 길이가 조금씩 변하기 때문이다. 근관장은 같은 길이로 고정되어 있는 것이 아니라 확대 방법이나 변형 정도에 따라 다르기 때문에 수시로 확인이 필요하다. 근관장의 측정에는 방사선 사진 이용법과 전자 근관장 측정기가 사용된다.근관장 측정에 많이 사용되는 방법으로, 방사선 사진상에서 근관장은 해당 치아의 참조점(reference point)에서 치아뿌리 끝보다 0.5~1mm 상방에 도달한 근단공의 가장 좁은 부위까지의 거리를 잰 값이 된다. 임상에서는 방사선사진에서 측정한 치아의 길이에서 약 1mm를 뺀 길이를 작업장으로 산정하여 근관치료를 시행한다. 근관 길이 측정에 가장 많이 사용되는 기기이다. 전자 근관장 측정기는 인체 조직이 전기적 특성을 지닌다는 점을 이용하며, 저항이나 임피던스 등의 전기적 특성의 차이를 측정함으로써, 정확한 근관의 말단을 탐지할 수 있다. 출혈이나 배농이 많은 경우, 치경부에 우식증이 있는 경우, 수복물이 있는 경우, 근관이 건조하거나 반대로 액이 과도할 경우 등의 조건에서는 오작동 할 가능성이 있기 때문에 방사선 사진 이용법과 병행하여 근관장 측정의 정확도를 높일 수 있다.전자근관장측정기의 단점을 보완하여 최근에 개발된 근관 길이를 측정하는 제품이다. 환자의 불쾌감을 최소한으로 감소시키기 위해 만들어졌으며 서로 다른 두가지의 주파수를 활용한다는 특징이 있다. 두개의 다른 주파수를 활용하게 되면 두개의 다른 저항을 얻게 되는데 낮은 주파수는 높은 저항을, 높은 주파수는 낮은 저항을 얻게 된다. 이 두개의 저항은 파일이 치근단으로 갈수록 모두 떨어지지만 치근단공에 이르러서는 일정한 비율값을 가지게 된다. 수준측량
수준측량 오차는 기지점과의 폐합이나 왕복측량에 의해 점검한다. 직접 수준측량의 경우, 동일점에 대한 폐합오차 또는 표고 기지점에 대한 폐합오차는 해당점(기지점)의 원래 지반고에서 측정한 지반고를 빼서 구한다. 여기서 구한 폐합오차를 각각의 고저기준점에 거리에 따라 배분한다. 예를 들어 전 관측선의 길이를 L, E를 폐합오차, 출발점에서 수준점 A, B, …, Z에 이르는 거리를 a, b, …, z라 할 때 조정값들은 다음과 같다. 이분법 (수학)
이분법은 단일한 근의 추정위치를 가르쳐주기 보다는 오직 해가 존재하는 폐구간만을 결과로 제공한다. 따라서 다른 정보가 없을 때의 가장 좋은 근의 추정값은 찾아본 해 구간 중 가장 작은 해 구간의 중간 값이 된다. 이럴 경우, 이분법을 n번 반복하였을때 오차의 절댓값은 아래의 값과 같다.[2] 광학 수차
이제까지의 수차는 모두 화상의 초점 선명도와 관계가 있지만, 왜곡은 화상의 전체적인 모양(Shape)과 관련이 있다. 왜곡은 보통, 이상적인 상의 위치를 벗어난 거리에 대한 이상적인 상의 높이의 백분율로 표현된다. 왜곡은 피사체의 정확한 상과 같지 않은 Pincushion(실패형)이나 Barrel(원통형) 효과를 보여준다. 일반적으로 줌렌즈는 가장 짧은 초점길이(최대 광각점)일 때 음의(원통형) 왜곡을 보이며, 가장 긴 초점길이(최대 망원점)일 때 양의(실패형) 왜곡을 보인다. 실수의 완비성
formula_88가 열린 구간이므로, formula_89는 구간의 끝점이 아니다. 따라서 formula_88의 양끝점과 formula_89와의 거리는 모두 양수이다. 그 가운데 가장 작은 하나를 formula_92이라고 하자. 그렇다면, formula_93이므로,
이게 되는 formula_59이 존재한다. 이는 formula_96가 formula_97의 덮개라는 의미이며, 이는 formula_97이 유한 부분 덮개를 갖지 않는다는 것과 모순이 된다. 평균 절대 편차
평균 대신 중앙값을 쓸 경우 중앙값 절대 편차이다. 허용 오차
허용 오차(margin of error) 또는 오차 범위는 설문 조사 등의 결과에서 랜덤 샘플링 오차의 양을 나타내는 통계학 용어다. 한 설문에 대한 허용 오차가 클 수록 그 설문의 결과가 전체의 의견을 잘 반영하지 못할 수 있는 확률이 높다는 의미다. 절사평균
절사평균이란 편차가 큰(극단치가 존재) 자료의 경우, 산술평균이 적합하지 않으므로, 자료의 총 갯수에서 일정비율만큼 가장 큰 부분과 작은 부분을 제거 후 평균을 산출한다. 예를 들면 10% 절사 평균이란 자료의 총 수(n)에서 10%를 제외하므로, 상위 5%, 하위 5%까지 위치한 값까지 삭제한 뒤, 산술평균을 구한다. 만약 표본의 크기가 20인 표본집단의 경우의 10% 절사평균이라면, 20개×10%인 총 2개를 제외하며, 순서상 상위 1개, 하위 1개를 제외한 18개 표본의 산술평균을 구하는 것이다. 선형 근사
이다. 이는 실제값인 를 소숫점 다섯째 자리에서 반올림 한 값이다. 즉, 참값에 상당히 근접함을 알 수 있다. 함수의 극한
정의역의 특정 부분 집합에서 취하는 값들만을 생각하는 극한을 정의할 수 있다. 열린구간 formula_38 및 실수 함수 formula_39 및 formula_38의 부분 집합 formula_41 및 그 극한점 formula_42에 대하여, 부분 집합 formula_43의 범위에서 점 formula_3에서 함수 formula_4의 극한은 다음 조건을 만족시키는 실수 formula_46이다.
좌극한과 우극한은 이런 극한의 특수한 경우이다. 물론 유리수 점에서의 값들만을 생각하는 등 더 다양한 경우가 존재한다. 만약 formula_52인 열린구간 formula_1가 존재한다면, 이는 일반적인 극한과 동치이며, 이 경우 기호 formula_54를 생략할 수 있다. 오차
우연오차(偶然誤差, ) 또는 우차(偶差)란 착오를 제거하고 정오차를 보정하고 나서도 남아있는 오차를 말한다. 오차의 원인을 알 수 없거나, 알더라도 측정 당시의 순간적인 변화로 인해 수식으로 보정할 수 없는 오차이다. 우연오차는 확률에 의하여 통계적으로 처리한다. 우연오차는 크기와 방향이 일정하지 않아 서로 상쇄되는 경우도 있어서 상차(償差, )라고도 한다. 우연오차의 성질로는 다음과 같은 것들이 있다. 근계
근계의 정수성은 두 근 사이의 각들을 제한한다. 정수성 공리에 따라, 두 근 사이의 각의 코사인은 정수의 제곱근의 반이어야 한다.
formula_57이므로,
이다. 즉, formula_59는 90°, 60° 또는 120°, 45° 또는 135°, 30° 또는 150°, 0° 또는 180°이다. 측정
초등학교 2학년의 어린이는 자에 관해 학습하는데, 이 중에는 어린이가 가지고 있는 30 cm자를 사용하여 종이 테이프로 줄자를 만들어서, 그것으로 교실의 너비를 재는 연습이 들어 있다. 그런데 2학년 어린이는 신축성이 있는 종이 테이프에 연필로써 정밀하지 못한 선을 긋고 숫자를 써 넣어서 줄자를 만드는 것이 보통이다. 그런 줄자를 이번에는 제나름대로 당기면서 10 m 정도나 되는 교실의 너비를 재는 것이므로, 5 cm쯤의 착오, 즉 오차는 이내 생기게 마련이다. 오차라는 것은, 물건의 양을 측정했을 때의 측정치와 진정한 치와의 차를 가리키는 말이다. 30 cm자로써 연필의 길이를 잴 경우라면 오차가 훨씬 적게 생기지만, 그래도 눈금을 대는 방법이나 눈금 읽기를 조심하지 않으면 2∼3 mm의 오차는 이내 생긴다. 한편 비록 전문가가 정확한 자로써 측정한다고 해도 30 mm에 0.2 mm 정도의 오차가 생기는 것은 거의 어쩔 수 없는 일이다. 이것은 자의 눈금에 0.2 mm 정도의 폭이 있고, 연필의 양끝에도 0.2 mm쯤의 톱니 상태가 있어서 자를 대고 그 길이를 눈금으로 읽는다고 하는 공간적인 대응 조작에서는 정밀성 자체에 한계가 있기 때문이다. 그렇다면 눈금을 아주 세밀하게 넣은 정확한 자로서 블록게이지(block gauge)와 같이 그 자체의 치수가 일정한 것을 잴 때에는 어떠할까. 이 경우에도 역시 한도가 있어서 0.1 mm 이하의 세밀한 판별은 할 수 없는 것이다. 그 까닭은 인간의 눈이 지니는 구조상의 한계 때문이다. 오차
관측값 x가 서로 독립일 때, 함수 formula_3에 대하여, formula_4의 오차를 formula_9이라고 하자. 이때 y에 전파되는 우연오차 σ는 다음과 같다. 근삿값
측정값일 경우는 (측정 계기의 최소 눈금) × 0.5를 하면 오차의 한계를 구할 수 있다. 반올림한 경우는 (끝자리 단위 값) × 0.5 또는 (반올림한 자릿값)을 하면 오차의 한계를 구할 수 있다. 가격제한폭
가격제한폭이 15%일때, 상한가가 5번이면 주가는 약 2배가 되고, 하한가가 4번이면 주가는 약 절반이 된다. 통계학
표본 표준 편차(sample standard deviation) s는 표본의 표준 편차이다. 표본 분산 s에 제곱근을 씌워서 구한다.
평균 절대 편차(average absolute deviation 또는 mean absolute deviation)는 관측값에서 평균을 빼고, 그 차이값에 절대값을 취하고, 그 값들을 모두 더하여 전체 데이터 갯수로 나눠준 것이다. 절대값 편차의 평균이라고 생각하면 된다. 근계
기약 근계의 근은 모두 길이가 같거나, 길이가 두 가지가 있다. 길이가 두 가지가 있을 경우는 긴 것은 긴 근(), 짧은 것은 짧은 근()으로 분류한다. (만약 길이가 모두 같다면, 모든 근이 긴 근이다.) 이 경우, 긴 근과 짧은 근의 노름의 비는 formula_29이다. (통상적으로, 긴 근의 노름은 formula_29로, 짧은 근의 노름은 (만약 존재한다면) formula_30로 잡는다.) 절댓값 (대수학)
비아르키메데스 절댓값 formula_17을 갖춘 체 formula_25에 대하여, 절댓값이 1 이하인 원소들은 값매김환을 이룬다. 이를 formula_25의 formula_17에 대한 정수환()이라고 한다. 극값
함수 formula_39이 formula_80 함수이고 formula_81가 함수 formula_6의 임계점일 때, formula_83가 양의 정부호이면, 즉 모든 formula_69에 대하여 0 이상이고 formula_85일때만 0이라면 formula_41에서 극소이다. 반대로 formula_83가 음의 정부호이면, 즉 모든 formula_69에 대하여 0 이하이고 formula_85일때만 0이라면 formula_41에서 극대이다. 이를 이용하여 극대, 극소를 판별하는 방법을 이계 도함수 판정법이라고 한다. 근계
특히, 동형이 등거리 변환일 필요는 없다. 예를 들어, 항등 함수 formula_28 역시 허용된다. 이 때문에, 통상적으로, 근계에서 가장 긴 근의 노름을 formula_29로 놓는다. (이에 따라, 더 짧은 근의 노름은 formula_30 또는 formula_31이다.) 절댓값
이는 실수의 절댓값의 정의와 호환된다. 모든 실수 formula_1에 대하여, 이를 복소수로 여겼을 때, 그 켤레 복소수는 자기 자신과 같다. 즉,
이다. 따라서,
이다. 즉, formula_5의 실수로서의 절댓값과 복소수로서의 절댓값은 서로 같다. 다른 관점에서, 실수선은 복소평면의 좌표축으로 여길 수 있는데, 이 경우 실수와 원점 사이의 거리는 실수선에 국한되어서 보는지 복소평면에서 보는지와 무관하다. 따라서 실수의 절댓값은 복소수의 절댓값의 특수한 경우이다. 절댓값 (대수학)
절댓값의 공리에 따라, formula_14이다. 또한, 다음이 성립함을 보일 수 있다. 추정
2. 수학 용어 - 근삿값이나 추정은 일반적으로 쉽게 정확한 계산을 할 수 없는 수량의 상계와 하계를 찾는 것을 의미한다. 측정
일상생활에 흔히 쓰이는 물품 중 전구·필름·나사 등은 같은 종류의 것이라면 국내의 어디에서든 그대로 쓸 수 있다. 낡은 전구와 새 전구 사이에서는 정확히는 동일 치수가 아니지만 어떤 정해진 치수 범위 안에 들도록 만들어져 있기 때문이다. 이처럼 서로 바꿀 수 있는 성질을 호환성이라고 하며 공업의 발달에는 매우 중요한 사항이다. 서로 맞춰지는 암과 수의 부분품, 가령 암나사와 수나사 등에는 각각에 허용되는 오차가 국가규격(KS)으로 정해져 있다. 이 규격은 감합규격이라고 불린다. 가령 직경 40 mm의 구멍에 H7이라는 기호로 표시되는 감합 치수를 지시하면, 이것은 40.000 mm에서 40.025 mm까지의 범위로 구멍을 뚫으면 된다는 것을 의미하며, 이것과 짜맞추는 축에 G6이라는 지시를 하면 축은 39.975 mm에서 39.991 mm까지 사이로 만들면 된다. 구멍과 축을 짜맞추면 최소 0.009 mm, 최대0.050 mm의 틈새가 생겨서 빡빡하지도 않고 헐겁지도 않을 한쌍의 축과 축받이가 만들어지는 것이다. 보통의 톱니바퀴의 치면은 인벌류트라고 하는 곡선으로 마무리되는 것이 정상인데 잘못 제작하면 이 곡선이 제대로 잡히지 못할 수도 있으며 치면이 거칠고 요철이 생기거나 한다. 이처럼 오차가 큰 톱니바퀴를 서로 맞물리면 격심한 진동이나 소음이 생기게 된다. 이런 경우 역시 오차가 문제가 되는 경우이다. 근삿값의 순서
근삿값의 순서(Orders of approximation)는 과학이나 공학에서 근삿값을 더 정확히 표현할 것인지, 더 다듬어 나가기 위한 절차를 나타내기 위한 용어이다. 해당 순서는 각각 0 번째, 1 번째, 2 번째 순서 등으로 증가한다. K-최근접 이웃 알고리즘
"k"-NN은 매우 일관성 있는 결과를 도출한다. 이 알고리즘은 데이터의 수가 무한대로 증가할수록 오차율이 베이즈 오차율(주어진 데이터의 분포에서 달성할 수 있는 최소 오차율)의 두 배보다 항상 나쁘지 않음을 보장한다. "k"-NN은 어떤 "k"값에 대해 베이즈 오차율에 항상 접근함을 보장한다(여기서 "k"는 데이터 수에 따라 증가). 근접 그래프를 사용하면 "k"-NN의 결과를 다양하게 개선할 수 있다. 원판 덮기 문제
정수 formula_1에 대해 단위원판을 덮을수 있는 formula_1개의 원판의 반지름으로 가장작은 실수formula_3 을 구하는 문제이다.
몇가지 값은 다음과 같다.
다섯 원판 문제는 단위원판을 덮을수 있는 formula_4개의 원판의 반지름으로 가장작은 실수 formula_5가 황금비의 역수인지를 논하는 문제이다. 원판이 정오각형의 꼭짓점에 있으면, 황금비의 역수가 된다. 더 작은 반례가 발견되었으며, 그 값은 약 0.609이다. 절댓값
실수를 formula_23, (실수일 수도 아닐 수도 있는) 복소수를 formula_24로 나타내자. 그렇다면, 절댓값의 성질을 다음과 같이 나타낼 수 있다. 원주율
조르주루이 르클레르 드 뷔퐁이 제기한 뷔퐁의 바늘 문제는 원주율의 근삿값을 구하는 경험주의적인 방법으로 거론된다. 길이가 L인 바늘을 일정 간격으로 그린 평행선에 떨어뜨린다고 가정해 보자. 이 때 평행선의 간격 S가 바늘의 길이보다 크다고 하면, 바늘을 떨어뜨린 횟수 n번에 대해 바늘이 평행선 밖으로 나간 횟수 x번(단, x>0)에는 몬테카를로 방법에 의해 다음과 같은 관계가 있다.
즉, 뷔퐁의 바늘 문제에서 바늘을 떨어뜨리는 횟수가 매우 많아지면 바늘이 평행선을 벗어나는 횟수에 대한 바늘을 떨어뜨린 전체 횟수의 비는 원주율에 근사한다. 버림
버림 또는 내림, 절단은 근삿값을 구하는 방법 중 하나이다. 제약된 극값 정리
A를 실수 성분만을 갖는 n×n인 대칭행렬이라 하고, 그 크기의 내림차순으로 배열된 고윳값을 formula_1 라 하자. 그러면, 제약된 극값 정리는 다음 세 명제가 성립하는 것으로 표현할 수 있다.여기서 조건인 ||x|| = 1를 제약(constraint)이라 하고, 이 제약에서 xAx 의 최댓값 또는 최솟값을 제약된 극값(constrained extremum)이라 한다. 반치전폭
그림에서와 같이, 어떤 함수가 formula_1에서 최댓값 formula_2를 가진다고 하자. 이때 formula_3, formula_4에서 함수의 값이 최댓값의 절반으로 감소한다면, 복굴절
전기장의 진동방향(즉, 빛의 편광방향)이 광축에 대해 수직한 방향의 굴절률을 "n", 수평한 방향의 굴절률을 "n"이라고 했을 때, 복굴절의 정도는 다음과 같이 정의한다.
여기서 o는 정상광선(正常光線), e는 이상광선(異常光線)을 뜻하는 것이다.
이때 formula_2인 경우 음의 복굴절()을, formula_3인 경우 양의 복굴절()을 갖는다고 한다. 평균
평균은 편차 제곱의 합이 최소가 되는 유일한 값이다. 중심성향을 평균이 아닌 다른 방식으로 측정하는 경우, 편차 제곱의 합을 구해 보면, 평균을 썼을 때 구한 값보다 크다. 이는 왜 통계 보고서에서 보통 평균과 표준편차를 인용하는지를 설명해 준다. 절댓값
실수 절댓값 함수는 0이 아닌 모든 실수점에서 해석 함수이다. 그 도함수는 다음과 같다.
복소수 절댓값 함수는 모든 복소수에서 연속 함수이지만, 모든 복소수점에서 비(非) 복소 미분 가능 함수이다. 이는
가 formula_41에서 항상 발산하기 때문이다. 제곱근
다음은 위의 방법에 따라 formula_40의 근삿값을 구한 것이다.
formula_40의 참값과 소수점 아래 23자리까지 일치한다. 추정
추정(推定)은 입력된 자료가 불완전하거나 불확실하더라도 사용할 수 있는 계산된 결과의 근삿값이다. 오차
오차(誤差, )란 참값과 근삿값의 차이로, 근삿값에서 참값을 뺀 값이다. 예를 들어 참값 formula_1(원주율)을 근삿값 3.14에서 뺀 값, formula_2는 오차이다. 오차는 양숫값, 0, 음숫값을 모두 가질 수 있다. 그리고 오차의 절댓값이 작을수록 근삿값은 참값에 가깝다. 수준측량
한편 시준 거리를 동일하게 함으로써 지구 곡률에 의한 오차(구차, 球差)와 대기 굴절에 의한 오차(기차, 氣差) 역시 제거할 수 있다. 두 지점 간 거리를 D(곡률을 고려한 거리이든 직선 거리이든 거의 같다), 지구 반지름을 R, 대기 중 굴절계수를 k라고 할 때, 구차 formula_2이고 기차 formula_3이다. 구차와 기차는 동시에 발생하며 서로 반대방향으로 발생하는 오차이다. 구차와 기차를 통틀어 양차라고 하며, 다음 식으로 나타낸다. 올림
올림은 근삿값을 구하는 방법 중 하나이다. 길이
실제 직선 위에 있는 두 점 사이의 거리는 두 점의 좌표의 차이의 절댓값과 같다. "x"와 "y"가 실제 직선 위의 두 점이라고 하면, 두 점 사이의 거리는 다음과 같다. 멱평균
0이 아닌 실수 formula_1와 양의 실수 formula_2에 대해, 멱평균은 다음과 같이 정의된다.
이때 formula_1가 1일 때는 산술평균, -1일 때는 조화평균이 된다. 또한, formula_1가 0에 가까워지는 극한의 경우에는 기하평균이 된다. 근계
유한 차원 실수 내적 공간 formula_1 속의 부분 집합 formula_2가 다음 다섯 조건들을 모두 만족시킨다면, 근계라고 한다.
근계의 원소는 근이라고 부른다. 근계의 계수(階數, )는 formula_4의 차원이다. 제약된 극값 정리
제약된 극값 정리(制約된 極값 定理, )는 선형대수학의 정리로, 이차 형식의 최댓값과 최솟값을 단위구 상에서 구할 때의 조건에 관한 내용이다. 절댓값
노름은 벡터 공간에 정의되며, 음이 아닌 실숫값을 취하며, 양의 정부호성을 만족시키며, 양의 동차성을 만족시키며, 삼각 부등식을 만족시키는 함수이다. 실수체와 복소수체는 벡터 공간의 특수한 경우이므로, 실수 또는 복소수의 절댓값은 노름의 특수한 경우이다. 모든 노름 formula_52는 표준적인 거리 함수 formula_53를 유도한다. 사다리꼴 공식
사다리꼴 공식 근사의 오차
를 생각하자. 만약 formula_9가 formula_10 함수라면 (즉, 그 2차 도함수가 존재하며 연속 함수라면), 다음 조건을 만족시키는 formula_11가 존재한다. 한계대체율
x재와 y재의 무차별곡선의 가장자리로 갈수록 기울기의 절대값이 감소하는데, 이를 한계대체율 체감이라고 한다. x재의 양이 감소하고 y재의 양이 증가할수록 y재의 희소성이 감소하여 효용도 덩달아 감소하는 한편 x재는 흔해진 y재에 비해 상대적으로 높이 평가하게 되므로 한계대체율 체감의 법칙이 나타난다고 해석할 수 있다. 반대의 경우도 마찬가지이다. 교대급수판정법
부분합 근사의 오차는 이 홀, 짝인 두 경우로 나눠 분석하여 얻어진다. 이분법 (수학)
만일 해 구간의 양 끝 점이 하나라도 사용되었으며, 오차의 최댓값의 절댓값은 해 구간의 전체 길이인 아래와 같다. 분기 절단법
이 시점에서 분기 한정법을 시작한다. 이 문제는 두 가지로 나눌 수 있다. 구해야 할 변수가 중간 결과값보다 큰 정수 중에서 가장 작은 정수값 이상이라는 추가 제약 조건이 있는 경우하고, 중간 결과값보다 작은 정수 중에서 가장 큰 정수값 이하인 경우이다. 여기서 원래의 제약 조건에 따르면 정수가 되어야 하지만 중간 결과에서는 정수값이 아닌 기본 변수의 수에 따라서 새로운 변수들을 도입한다. 이 새로운 선형 계획 문제를 심플렉스법으로 풀고, 이 과정을 해가 모든 정수 제약 조건을 만족할 때까지 반복한다. 분기 한정법을 푸는 도중 또다른 절단 평면으로 나눌 수 있는 경우가 있다. 이 절단 평면은 "전역 절단면" 즉, 모든 정수해에 유효한 절단면이거나 "지역 절단면" 즉, 현재 고려하는 분기 한정 부분트리에 적용되는 제약 조건을 만족하는 해에 유효한 절단면이다. 펠 방정식
펠 방정식의 기본해는 다음과 같이 계산할 수 있다. 우선
이므로, formula_9는 formula_10을 근사하는 것을 알 수 있으며, 그 오차는 (formula_11이라면)
이다. 따라서, formula_9는 formula_10의 최적 유리 근사이다. 따라서, 기본해는 formula_10의 연분수 전개를 계산하여, 이를 주어진 차수에서 절단한 유리 근사들을 계산한 뒤, 이들이 펠 방정식을 만족시키는지 시험하여 얻을 수 있다. 엡실론-델타 논법
실수 부분 집합 formula_1에 정의된 실숫값 함수
가 formula_3의 극한점(=집합의 점들이 모여드는 점)
에서 가지는 극한
을 엡실론-델타 논법을 통해 다음과 같이 정의할 수 있다.
이 조건의 기호 표기는 다음과 같다.
즉, 임의의 오차 범위를 시험하였을 때, 독립 변수가 일정 값과 어떤 작은 거리 이내인 일이, 함숫값과 극한값이 그 오차 범위 이내인 것을 보장한다는 뜻이다. 여기서 사용된 표현 및 기호의 의미는 다음과 같다. 베르누이 수
formula_28일 경우 리만 제타 함수는 극을 갖지만, 이 경우 다음과 같이 극한을 취할 수 있다.
따라서, 스털링 공식에 따라 짝수차 베르누이 수의 절댓값에 대하여 다음과 같은 점근 공식이 성립한다. 수준측량
만약 레벨이 수평을 이루지 못하고 α만큼 기울어져 있는 경우(불완전 정준), 전시와 후시의 시준거리를 같게 할 경우 오차를 없앨 수 있다. 발생되는 오차는 b-b, c-c이다. 이것을 각 α와 d, d로 나타내면
여기서 d=d이면 b-b=c-c가 되어 불완전 정준에 의한 오차가 상쇄된다. 함수의 극한
실수 극한 대신 무한대 극한을 정의할 수 있다. 다만, 무한대 극한은 더 넓은 의미의 극한이다. 다시 말해, 무한대 극한을 갖는 경우 극한이 존재한다고 보지 않는다. 열린구간 formula_1 및 실수 함수 formula_2가 다음 조건을 만족시킨다면, 점 formula_3에서 함수 formula_4의 극한이 무한대라고 하며, formula_73라 표기한다.
비슷하게, formula_4가 다음 조건을 만족시킨다면, 점 formula_3에서 함수 formula_4의 극한이 음의 무한대라고 하며, formula_81라 표기한다.
이와 마찬가지로, 무한대 좌극한 · 무한대 우극한 · 무한대에서의 무한대 극한 등을 정의할 수 있다. 편차
표준 편차(standard deviation)는 분산을 제곱근한 것이다. 제곱해서 값이 뻥튀기 된 분산을 제곱근해서 다시 원래 크기로 만들어준다. 수열의 극한
실수 수열 formula_1의 극한은 다음 조건을 만족시키는 실수 formula_2이다.
이를
또는
와 같이 표기한다. 즉, 실수 수열의 극한은 항이 궁극적으로 임의 오차 범위 이내로 근접하는 값이다. 불법행위 판례 목록
[3] 공동불법행위자 상호간의 구상금채권을 인정하기 위하여는 우선 각 공동불법행위자들의 가해자로서의 과실 내용 및 비율을 정하여야 할 것이고, 한편 불법행위에 있어 손해액을 정함에 참작하는 피해자의 과실, 즉 과실상계에 있어서의 과실은 가해자의 과실과 달리 사회통념이나 신의성실의 원칙에 따라 공동생활에 있어 요구되는 약한 의미의 부주의를 가리키는 것이므로, 그러한 과실 내용 및 비율을 그대로 공동불법행위자로서의 과실 내용 및 비율로 삼을 수는 없다. 절댓값
실수 formula_1의 절댓값 formula_2은 다음과 같이 정의된다.
여기서
즉, 실수의 절댓값은 그 실수의 숫자 부분만 남겨두고 부호를 버려 얻는 음이 아닌 실수이다. 실수선 위에서 보면, 이는 실수와 0 사이의 거리와 같다. 절댓값
복소수의 절댓값은 곱셈·나눗셈을 보존한다.
복소수 절댓값 함수는 멱등 함수이며, 회전 대칭과 반사 대칭을 만족시킨다. 특히, 실수 절댓값 함수는 짝함수이다. 퀵 정렬
여기서 참고로, 'x 이상의 값을 가지는 것들'은 수학에서 x의 상계라 하고 'x 이상의 값을 가지는 것들 중 최솟값'은 x의 상한이라고 한다. 그리고 x는 n개의 자료의 값 가운데 있을 필요는 없다. x를 임의의 수로 놓는 이유는 퀵정렬 알고리즘들이 피봇이라는 수를 다양한 방식으로 고를 수 있기 때문이다. 증명 방법은 수학적 강귀납법이다.
자료의 배열이 가지는 원소의 수가 유한하므로 x가 자료 중 하나의 값일 경우, x 이상의 값을 가지는 것들 중 최솟값의 자료는 항상 찾을 수 있다. 퀵 정렬 알고리즘은 분할의 결과로 x 이상의 값을 가지는 것들 중 최솟값의 자료의 배열 상 위치를 함께 표시하여 정렬의 대상에서 제외한다. 그러므로 알고리즘이 무한히 반복되지 않음을 보장한다. 분할한 부분 배열이 정렬되므로 전체 배열이 정렬된다는 것도 수학적 귀납법으로 쉽게 보일 수 있다. 미분
절댓값 함수 | x | {\displaystyle |x|} 는 립시츠 연속 함수이며, 0이 아닌 어디서나 미분 가능하지만, 0이 첨점(좌미분과 우미분이 존재하지만 서로 다른 점)이므로 0에서 미분 가능하지 않다.[7] 신뢰 구간
0과 1 사이의 실수 formula_1가 주어졌다고 하자. 또한, 각 모수 formula_2에 대한 확률 변수 formula_3가 주어졌다고 하자. 이 경우, formula_4의, 신뢰계수(信賴係數, ) formula_5의 신뢰 구역 formula_6는 다음과 같은 성질을 가지는, formula_7의 부분집합의 값을 갖는 확률변수이다.
만약 하나만의 확률 변수 formula_9를 고려할 경우, 보통 formula_10는 구간이 된다. 이 경우, formula_10를 신뢰 구간이라고 한다. 절댓값 (대수학)
정역 formula_1 위의 절댓값 formula_17에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 절댓값을 비아르키메데스 절댓값()이라고 한다.
비아르키메데스 절댓값이 아닌 절댓값을 아르키메데스 절댓값()이라고 한다. 실질이자율
실질이자율은 명목이자율과 인플레이션율을 통해 계산된 값으로, 피셔 방정식에 따르면 명목 이자율에서 인플레이션을 뺀 값인데, 이는 정확한 값이 아니라 근사값이다. 그러나 거시경제분석의 많은 경우 피셔 방정식에 의한 근사값과 실제 값이 큰 차이가 없기 때문에, 근사값을 이용하여 분석한다. 예를 들어 명목이자율이 10%이고, 인플레이션율이 5%라면 실질이자율은 5%가 된다. 길이
비규칙적인 호 부분의 길이를 결정하는 것은 곡선의 길이 조정(영어:rectification)이라고 불린다. 역사적으로 독특한 곡선들에 대해서 여러 가지 방법이 사용되었는데 미적분학의 출현은 몇 가지 경우에 대하여 호의 길이가 정형화된 공식으로 나타나도록 이끌었다.
평면에서 곡선은 다각형의 직선 성분을 이용하여 곡선 위에 있는 유한개의 점을 연결하는 것에 의해 정의된다. 각각의 직선 성분의 길이를 측정하는 것은 간단하기 때문에 곡선의 길이는 각각의 직선 성분 길이를 더하는 것의 근사치에 의해 구해질 수 있다.
다각형적 근삿값은 몇몇 선택적인 경우에 곡선 위에서 선형종속이다. 이러한 예로는 점함수로 이루어진 곡선과 선형함수로 이루어진 곡선 등이 있다. 선형함수로 이루어진 곡선의 경우에는 근사치 또한 선형이고 따라서 곡선과 근사치가 포개진다. 다각형적 근사치가 선형종속적이지만 고윳값이 0과 일치하는 경우도 존재하는데 다각형적 근사의 모든 점들이 원점에 위치하고 있는 꽃잎 모양 함수일 때이다.
곡선의 길이를 정밀하게 구하기 위해 매끄러운 곡선에 대해서 각 부분들의 길이를 임의로 충분히 작게 만든다. 어떤 곡선들에 대해서 다각형적 근사치의 길이 보다 큰 범위에 있는 가장 작은 수 L이 존재한다면, 그 곡선은 길이를 구할 수 있다고 말할 수 있으며 호 길이 L를 갖는다고 말할 수 있게 정의된다.
유클리드 거리는 자로 인해 측정된 두 점 사이의 거리를 피타고라스 공식에 의해 정의된다. 이 공식을 사용함으로써, 유클리드 공간은 거리 공간이 된다. 파동 함수
위 식을 이용하여 파동 함수의 절댓값을 계산하면 다음과 같다.
따라서 계산결과는 항상 양의 실수가 나오게 된다. 과학적 방법
특성화 과정을 거쳐 조작적으로 정의된 양에 대한 측정은 여러 가지 이유로 불확정성을 지닌다. 우선 양 자체가 무리수의 형태를 띄는 경우에는 적당한 오차 범위의 근삿값을 이용하는 것이 효율적이다. 뿐만아니라, 측정 도구나 기법의 한계 때문에 정확한 값을 측정하기 어려운 경우도 있다. 이럴 경우에는 여러 번 측정한 값들의 평균을 근삿값으로 이용할 수 있다. 한편, 전자 궤도와 같이 관찰 자체가 상태에 영향을 주어 본질적으로 불확정성을 지니는 현상도 있다. 이런 경우에는 대개 확률적 분포나 통계적 해석을 근삿값으로 사용한다. 오차
정오차(定誤差, ) 또는 계통오차(系統誤差, )란 오차의 발생 원인이 분명하고 오차의 발생 방향과 크기가 일정하여 수식에 의해 보정이 가능한 오차를 말한다. 예를 들어 줄자로 거리를 잴 때, 줄자가 온도나 장력 등에 의하여 길이가 변화했을 경우 정오차가 발생한다. 정오차는 기계오차, 자연오차, 개인오차로 세분할 수 있다. 허용 오차
이를테면, 분산을 모르는 경우의 오차 범위 formula_6이 된다. 유효숫자
x를 x의 근삿값이라 할 때 formula_1이면 x는 x를 k자리 유효숫자로 근사한다고 한다. 여기서 k는 0이 아닌 가장 큰 정수이다. 측정
측정의 오차이든 가공의 오차이든, 도저히 피할 수 없는 오차와 조심하면 피할 수 있는 오차가 있다. 우선 주의하면 피할 수 있는 것으로서는, 작업자의 과실로부터 오는 오차, 그리고 측정기·공작기계·공구의 적절하지 못한 사용에서 파생되는 오차 등이 있다. 측정기의 적절하지 못한 사용이란 필요 이상으로 큰 힘을 가한다든지 온도차가 큰 상태에서 측정한다든지 하는 경우로 측정물이 변형되어 오차가 생긴다. 가공의 잘못인 경우에는 적절한 절삭 조건을 선정치 않으면 공작물의 표면이 매끈하게 마무리되지 않고, 치수라든가 형상적인 오차가 생긴다. 도저히 회피할 수 없는 것으로서는 측정기구·공작기계 등의 분해능이라든가, 이것들이 원래부터 지니고 있는 오차이다. 질권
은행과 상인 사이에 예를 들면 2년간에 최고 100만원까지를 융자한다는 당좌 대월계약(여신계약)이 체결되면 일정한 기간과 금액의 최고 한도 내에서 은행은 상인의 수요에 응하여 자금을 대출한다. 이러한 장래의 대출금의 반환의무를 당초에 담보하기 위하여 설정된 질권을 근질(根質)이라 한다(357조 참조). 구간연산
구간연산은 수치해석에서 수치계산의 결과 범위를 예측하는 데 쓰는 연산이다. a < a인 실수에 대해서 [a, a] = { x | formula_1}라고 하자. A = [a, a], B = [b, b]라 하면 항력
항력 방정식은 근사식일 뿐이며, 어떤 경우에 있어서는 오차가 클 수도 있는 식이라는 점에 유의하여야 한다. 따라서 이 식을 사용하기 위한 가정을 할 때는 주의를 기울여야 한다. 제곱근 2
2의 제곱근은 기약분수로 나타낼 수 없는 무리수이다. 기하학에서는 피타고라스 정리에 따라 한변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이로 나타낼 수 있다. 2의 제곱근에 대한 근삿값으로는 이 쓰인다. 이 값은 2의 제곱근 참값과 사이에 오차가 0.00001 로 매우 정확한 편이다. 실제 2의 제곱근의 값은 순환되지 않는 무한 소수로 소수점이하 65자리까지의 근삿값은 다음과 같다.