무한급수란?
급수 (수학)
수학에서, 급수(級數, , )는 수열의 모든 항을 더한 것이다. 항의 개수가 유한한 유한급수(有限級數, )와 항의 개수가 무한한 무한급수(無限級數, )로 분류된다. 무한급수의 경우, 항을 더해가면서 합이 어떤 값에 한없이 가까워지는 급수인 수렴급수</b>와 그렇지 않은 발산 급수</b>로 분류된다. 급수의 항은 실수 · 복소수, 또는 벡터 · 행렬 · 함수 · 난수 등일 수 있으며, 이들은 주로 공식이나 알고리즘으로 표현된다. 유한급수는 대수학의 초등적인 방법으로도 충분히 다룰 수 있으나, 무한급수에 대한 깊이 있는 분석은 해석학적 수단, 특히 극한의 개념을 필요로 한다. 수열의 합에는 Σ(시그마, sigma) 기호가 쓰인다.
집합의 크기
유한 집합의 크기는 단순히 그 원소 개수이다. 예를 들어, formula_27이다. 무한 집합의 크기는 자연수로 표현할 수 없다. 급수 (수학)
I ′ = ⋃ n = 0 ∞ { i ∈ I : a i > 1 n } {\displaystyle I'=\bigcup _{n=0}^{\infty }{\left\{i\in I\colon a_{i}>{\frac {1}{n}}\right\}}} 큰 수
상술의 수는 모두 매우 거대한 수이지만, 그런데도 유한이다. 수학의 일부의 분야에서는 무한대나 초한수 등의 정의를 하고 있는 수가 있다.
대수의 크기는 일반적으로 지수를 이용해 나타내지며 많은 현실적인 목적에서는 그것으로 충분하다. 그러나, 모자수나 그라함수 등은 '10의 10승의 10승의 … '를 우주의 끝까지 계속해도 따라붙지 않을 만큼의 터무니없고 거대한 수이며, 지수로는 다 표현할 수 없다. 그러한 매우 거대한 수를 표현하기 위해서, 많은 수학자가 독특한 표기법을 생각해 냈다. 오일러 공식
이때 x {\displaystyle x} 가 복소수일 때에 앞의 무한급수를 각각의 함수로 정의</b>한다. 그러면 0.999…
0.999…를 등비수열의 무한급수로 보고 공식을 이용해 풀 수 있다. 변수 변환
무한 급수의 변수 변환 공식이 성립하려면, 급수가 절대 수렴하여야 한다. 오일러의 연분수 공식
이것은 단순히 자연수에 대한 수학적 귀납법으로 증명할 수 있는 항등식이다. 이러한 공식은 무한 항까지 자연스럽게 확장될 수 있는데, 만약 좌변이 수렴하는 무한급수라면 우변도 역시 수렴하는 무한 연분수가 된다. 불교 용어 목록/ㅎ
한량없는 생각은 무량상(無量想)의 다른 말이다. 무한
이러한 수들을 ‘무한대(infinite)'라고 한다.또는 무한(infinity)이라고 한다.
발산의 무한formula_10
극한의 수렴의 무한 연분수
연분수(連分數)는 다음과 같은 꼴의 분수를 말한다.
식에서 formula_2 은 정수, 나머지 formula_3 은 양의 정수이다. 위 분수꼴의 수는 formula_4로 쓰기도 한다. 같은 방법으로 일반적인 연분수를 formula_5 로 쓴다. 이를 유한에만 한정하지 않고, 무한까지 확장하여, 무한 연분수를 다음과 같이 극한을 이용하여 정의할 수도 있다. 무한 집합
수학에서, 무한 집합(無限集合, )은 원소의 개수가 무한히 많은 집합으로, 원소의 개수가 유한한 유한 집합이 아닌 모든 집합이다. 무한 집합은 크게 가산 무한 집합과 비가산 집합으로 나눌 수 있다. 수 (수학)
수는 인류의 역사와 더불어 많아진다. 자연수는 물건의 개수를 세기 위해 먼 옛날 처음으로 만든 수다.
여기서 음수를 포함하여 정수의 개념이, 정수의 나눗셈에서 유리수의 개념이 생겨났으며, 사칙연산을 자유롭게 할 수 있는 체계가 생겨났다. 나눗셈 같은 계산을 할 때, 표현할 수 없는 무리수로 인해 실수라는 개념을 만들었다. 무리수는 자유롭게 계산할 수 있는 수가 아니다. 그리고 무리수는 일반적인 사칙연산에서는 생겨나지 않는다. 대수 방정식의 해법을 찾는 과정에서 허수를 포함하여 복소수가 등장하게 되었다. 이로써 수는 양만을 기술하기 위한 개념이 아니게 되었다.일반적으로 수는 실수(또는 복소수) 전체의 집합의 원소를 가리키는 것으로 여겨진다. 한편, 이와는 다른 체계가 있어, 그 일부 또한 '수'로 불린다. 물건의 개수 개념인 자연수를 확장하여 기수, 물건의 순서를 의미하는 자연수를 확장해서 순서수가 정의된다. 또한, 유리수에서 실수로 확장되는 것과 병행하여 소수 p에 대하여 p진수가 존재하며, 복소수를 넘어서서 추가로 허수의 단위가 추가되면서 사원수, 팔원수, 16원수, 이원수, 분할복소수 등이 있다. 또한 실수에 더하여 무한소 또는 무한대를 포함한 초실수 체계도 있다. 수렴판정법
무한급수가 발산하는지 여부를 판단하는 가장 쉬운 방법은 급수를 구성하고 있는 수열의 n번째 항인 "a"이 "n"이 무한으로 갈 때 0으로 수렴하는지 여부를 체크하면 된다. 만약 0으로 가지 않는다면, 이 급수는 발산한다는 사실을 쉽게 확인할 수 있다. 하지만 그 극한값이 0으로 간다고 해도, 이 급수가 항상 수렴하는 것은 아니다. 다음의 급수의 경우 수열의 값은 0으로 수렴하지만, 급수는 수렴하지 않는다. 조제프 푸리에
어느 유한구간에서 정의된 함수를 삼각함수의 급수로 나타내는 것을 푸리에 전개라고 하며, 이것을 무한 구간으로 확장한 것을 푸리에 변환이라 한다. 급수 (수학)
절대 수렴급수가 아닌 수렴급수를 보고 조건 수렴급수라고 한다. L-함수
우선 무한 급수 표현(예를 들어, 리만 제타 함수에 대한 디리클레 급수)인, L-시리즈와 그 복소 평면에서의 해석 확장인 "L"-함수를 구별한다. 디리클레 급수에서 정의된 "L"-시리즈로 시작한다. 다음에 소수들 위에서의 오일러 곱을 만든다. 이것이 복소 상반평면의 오른쪽 일부에서 수렴하는 것을 증명할 수 있는지 확인한다. 그리고 복소 평면의 나머지 영역에서도 해석적 확장을 통해 정의될 수 있는지 확인한다 (몇몇 극점이 있을 수 있다). 수렴판정법
수학에서, 수렴판정법(收斂判定法, )은 무한급수의 수렴성을 판단하는 방법이다. 구체적으로, 급수가 수렴, 절대수렴, 조건수렴, 또는 발산할 충분, 필요, 또는 필요충분조건을 제시한다. 함수항급수의 점별수렴, 균등수렴 여부를 판정하거나 수렴역을 구하는 방법도 제공한다. 조화급수
이 무한급수는 리만 제타 함수에 1을 대입했을 때 얻어지는 수열이다. 따라서 리만 제타 함수는 1에서 특이점을 가지게 된다. 이항 계수
이항 계수의 정의는 임의의 기수에 대하여 확장할 수 있다. 임의의 기수 formula_60에 대하여, 초한 이항 계수(超限二項係數, )
는 크기가 formula_62인 집합의, 크기가 formula_63인 부분 집합들의 수이다. 만약 formula_62와 formula_63가 둘 다 유한 기수라면 이는 자연수의 이항 계수의 정의와 일치한다. 무한
무한(無限, ∞)이란 개념은 수학, 철학을 비롯한 여러 분야에서 서로 다른 의미로 쓰이며, 대체로 끝이 없거나 한없이 커지는 상태를 말한다. 무한요소법
수학에서, 무한요소법(無限要素法, )은 편미분 방정식이나 적분, 열 방정식등의 근사해를 구하는 유한요소법의 변형이다. 요소의 개수가 무한 개이다. 무제한급
무제한급(無制限級, Openweight)은 격투 스포츠나 프로 레슬링 등에서 사용되는 비공식 체급이다. 체중에 제한을 두지 않는 체급으로무차별급이라고도 한다.  급수 (수학)
도 수렴급수이므로, 절대 수렴급수이다. 난수
난수(亂數)란 정의된 범위 내에서 무작위로 추출된 수를 일컫는다. 난수는 누구라도 그 다음에 나올 값을 확신할 수 없어야 한다. 특히 난수의 추출에 대해 민감할 수 있는 복권 추첨에서는 난수를 발생하기 위하여 컴퓨터를 사용하지 않고 도구를 사용한다 칸토어-르베그 정리
E를 실수의 부분집합 [0, 2π)에 속하는 양측도의 가측 집합이라 하자. 만약 다음의 무한급수 극한비교판정법
는 기하급수 무한대 (음반)
《무한대》는 한대수의 세 번째 정규 음반이다. 대수적으로 닫힌 체
절대 초월 차수가 기수 formula_23인 대수적으로 닫힌 체 formula_1의 집합의 크기는 다음과 같다.
즉, 모든 대수적으로 닫힌 체는 무한 집합이다. 이는 formula_31이면 절대 초월 차수와 같으므로, 비가산 대수적으로 닫힌 체들은 집합의 크기와 체의 표수에 따라 분류된다. (물론, 이는 가산 대수적으로 닫힌 체에 대해서는 성립하지 않는다.)모든 유한체는 대수적으로 닫혀 있지 않다. 체의 원소가 formula_34인 경우, 다항식 formula_35은 해를 갖지 않는다. 소수 formula_22의 크기를 가진 유한체 formula_37의 대수적 폐포 formula_38는 귀납적 극한
이다. 즉, 만약 체의 확대
을 집합론적 부분집합으로 간주하여
로 쓴다면,
이다. 비교판정법
비교판정법(比較判定法, )은 무한급수의 수렴판정법으로, 두 급수의 수렴성 간의 함의 관계를 항의 크기 비교를 통해 얻어낸다. 조화급수
조화급수(harmonic series) 란 다음의 발산하는 무한급수를 가리킨다. 무한각형
기하학에서, 무한각형 (, "무한한, 끝없는"의 의미를 가지는 그리스 단어 ἄπειρος "apeiros"와 "각"이라는 의미의 γωνία "gonia"에서 합성된 단어이다)은 변이 가산 무한개인 일반화된 다각형이다. 이것은 "n"각형에서 "n"이 무한으로 가는 극한으로 볼 수 있다. 선형 무한각형의 내부는 꼭짓점의 유향 순서로 정의할 수 있고, 반평면을 내부로 정의한다. 급수 (수학)
∑ n = 0 ∞ 1 = 1 + 1 + 1 + ⋯ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }1=1+1+1+\cdots } 급수 (수학)
가산 무한 집합 I {\displaystyle I} 및, 자연수 집합 N {\displaystyle \mathbb {N} } 과 I {\displaystyle I} 사이의 일대일 대응 i : N → I {\displaystyle i\colon \mathbb {N} \to I} 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함수 a : I → R {\displaystyle a\colon I\to \mathbb {R} } 에 대한 급수 ∑ i ∈ I a i {\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}} 는 다음과 같이 정의된다. 절대 수렴 개정
절대수렴(絕對收斂, 영어: absolute convergence)은 수학에서, 무한급수의 항들의 절댓값들을 구하여 이의 합이 수렴할 때의 무한급수이다. 급수 (수학)
∑ n = 0 ∞ a n = lim N → ∞ ∑ n = 0 N a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=0}^{N}a_{n}} 코시 곱
수학에서 두 무한급수의 곱은 코시 곱(Cauchy product)임을 말한다. 디리클레 판정법
디리클레 판정법()은 무한급수의 수렴판정법 중 하나이다. 단조롭게 0으로 수렴하는 항들의 급수와 부분합이 유계인 급수를 항별로 곱한 것이 수렴급수라는 것으로 서술된다. 작자 페터 구스타프 르죈 디리클레의 사후인 1862년 《순수 및 응용수학 저널》()에 게재되었다. 축소환
축소환의 개념은 대수기하학에서 중요한 역할을 한다. 대수기하학에서, 멱영원은 무한소 함수로 해석된다. 즉, 거듭제곱을 하면 0이 되는 (즉, 무시할 수 있는) 무한소의 값을 갖는 함수이다. 원주율
1996년 데이빗 베일리는 피터 보어와인, 시몽 플루프와 공동으로 π에 관련된 새로운 무한급수를 발견했다. 극한 기수
집합론에서, 극한 기수(極限基數, )는 바로 다음 기수 연산만으로 도달할 수 없는 기수이다. 근판정법
근판정법(根判定法, )은 무한급수의 수렴판정법으로, 다음 식을 이용해 수렴성을 판정한다.
여기서 은 상극한, 은 급수의 항이다. 급수 (수학)
∑ n = 1 ∞ 1 n = 1 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 + ⋯ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}={1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+{1 \over 7}+{1 \over 8}+\cdots } = 1 1 + ( 1 2 ) + ( 1 3 + 1 4 ) + ( 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 ) + ⋯ {\displaystyle \;\;={1 \over 1}+\left({1 \over 2}\right)+\left({1 \over 3}+{1 \over 4}\right)+\left({1 \over 5}+{1 \over 6}+{1 \over 7}+{1 \over 8}\right)+\cdots } > 1 1 + ( 1 2 ) + ( 1 4 + 1 4 ) + ( 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ) + ⋯ {\displaystyle >{1 \over 1}+\left({1 \over 2}\right)+\left({1 \over 4}+{1 \over 4}\right)+\left({1 \over 8}+{1 \over 8}+{1 \over 8}+{1 \over 8}\right)+\cdots } = 1 1 + ( 1 2 ) + ( 1 2 ) + ( 1 2 ) + ⋯ {\displaystyle \;\;\;\;={1 \over 1}+\left({1 \over 2}\right)+\left({1 \over 2}\right)+\left({1 \over 2}\right)+\cdots } = 1 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + ⋯ {\displaystyle \;\;\;\;=1+0.5+0.5+0.5+0.5+\cdots } = 1 + 1 + 1 + ⋯ {\displaystyle \;\;\;\;=1+1+1+\cdots } ∴ 1 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 + ⋯ > 1 + 1 + 1 + ⋯ {\displaystyle \therefore \;{1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+{1 \over 6}+{1 \over 7}+{1 \over 8}+\cdots >1+1+1+\cdots } 무한
수학에서 무한대(無限大)는 어떤 실수나 자연수보다도 더 큰 상태를 뜻한다. 무량대수
무량대수는 시대와 사람에 따라 가리키는 값이 다르다. 일반적으로는 10의 68제곱(10)을 가리키지만, 10의 88제곱(10), 10의 128제곱(10)을 가리키기도 한다. 일본의 진겁기(塵劫記)의 판을 거듭하면서 무량과 대수 사이의 흠집이 난 것을 무량과 대수로 나누고, 대수는 이 수보다 10000배 더 큰 10의 72제곱(10)이라고 잘못 인식하게 되었으나 원래 같은 숫자로 보는 것이 일반적이다. 원래 한국에서는 무량수(無量數)로 나타내었으나 일본식 명수법의 영향을 받은 것으로 보인다. 아래의 표에서 이만체진(以萬遞進), 이억체진(以億遞進)은 단위가 얼마마다 바뀌는지 나타낸 것으로 만 단위로 바뀌면 이만체진, 억 단위로 바뀌면 이억체진이다. 무한도전 릴레이툰
무한도전 496회 무한상사 2번째 이야기를 하기전에 잠깐 배구선수 김연경이 나와 릴레이툰 순위를 발표했으며, 조회수 낮은 박명수와 평점이 낮은 하하가 극하알바를 받게 됐으며, 497회 무한상사 마지막 이야기 방영하기전 30분동안 하하와 박명수는 강화도에서 고추밭에서 극한알바를 받게 되었다. 인피니트 (동음이의)
인피니트(Infinite)는 무한을 뜻하는 영어 단어이다. 인피니트는 다음 뜻으로 쓰인다. 미적분학
일반적으로 극한의 개념을 미적분학의 기초로 두지만 극한이 미적분학의 기초에 대한 유일한 접근법은 아니다. 에이브러햄 로빈슨(Abraham Robinson)의 비표준해석학이 대안책이다. 1960년대에 만들어진 로빈슨의 접근법은 뉴턴과 라이프니츠가 사용했던 개념인 무한소와 무한수로 실수체계를 늘린 체계를 사용한다. 그 결과로 나온 수를 초실수라고 부른다. 초실수는 미적분학의 일반적인 법칙들을 라이프니츠의 방식처럼 이끌어 낼 수 있다. 배중률
일반적으로 직관주의는 유한한 집합에 관하여 배중률의 적용을 허용하지만, 무한집합 (이를테면 자연수)에 대해서는 불허한다. 따라서 「무한집합 "D"에 관한 모든 명제 "P"에 대하여, "P"인지 또는 "P"가 아닌지 중 하나이다」(Kleene 1952 : 48)라는 사고방식은 직관주의에서는 절대로 불가능하다. 자세한 것은 수학기초론과 수학적 직관론을 참조하기 바란다. 급수 (수학)
∑ n = 0 ∞ | a n | {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|} 도 수렴하는 수렴급수를 절대 수렴급수, 그렇지 않은 수렴급수를 조건 수렴급수라고 한다. 무한 루프
무한 루프(infinite loop)는 컴퓨터에서 프로그램이 끝없이 동작하는 것으로, 루프문에 종료 조건이 없거나, 종료 조건과 만날 수 없을때 생긴다. 다중작업을 지원한 오래된 운영 체제는 한 프로그램의 무한루프가 전체 프로그램이 응답할 수 없게 만들었다.  무한 집합
자연수의 집합 · 정수의 집합 · 유리수의 집합은 가산 무한 집합이다. 실수의 집합 · 복소수의 집합은 비가산 집합이다. 무한강하법
하지만, (0을 제외한) 정수의 해를 2로 무한히 나눌 수 없으므로 그러한 해는 원래부터 존재하지 않는다. 즉, formula_1는 유리수가 될 수 없는 무리수라는 것이 무한강하법에 의하여 증명된다. 초현실수
초현실수(超現實數, )란 무한과 무한소가 있는 전순서 집합이다. 임의의 양의 실수보다 절대값이 큰 수와 작은 수가 있다. E (상수)
삼각함수 역시 위와 같은 조건을 만족하므로 다음과 같은 무한 차수 다항식으로 표기할 수 있다. 삼각함수의 무한 차수 다항식이 실제 무한히 전개된다는 것은 영국의 브룩 테일러가 증명하였기 때문에 이 전개를 흔히 테일러 급수라고 한다. 사인 함수와 코사인 함수의 테일러 급수는 다음과 같다. 배중률
실제로, 힐베르트와 브라우어르는 저마다 배중률을 무한히 적용하는 예를 보였다. 힐베르트의 예는 「소수(素数)는 유한개인가 무한개인가」(Davis 2000:97)이며, 브라우어르의 예는 「모든 수학적 종(種)은 유한인가 무한인가」(Brouwer 1923 in van Heijenport 1967:336)이다. 발산 급수
수학에서 발산 급수(發散 級數)란, 부분합의 무한수열이 유한한 극한을 가지지 않는, 즉 수렴하지 않는 급수를 말한다. 오일러 변환
해석학에서 오일러 변환(Euler Transformation)이란 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 무한급수의 변환 기법이다. 이 변환은 수열의 이항 변환(Binomial Transformation)(혹은 마르코프 변환)을 이용한 중요한 응용 사례로 꼽힌다. 이 기법을 이용하면 일반적으로는 구하기 힘든 형태의 무한급수의 합을 구할 수 있는데, 특히 교대급수가 양수항 급수로 변환되는 경우가 많으므로 상당히 유용하다. 다음수 함수
다음수 함수는 (덧셈, 곱셈, 거듭제곱, 테트레이션, 등을 만들기 위한) 하이퍼 연산의 무한 계층의 0단계 기본이다. 수열의 극한
아이작 뉴턴은 그의 《무한 급수 해석》(1669년 작성, 1711년 원고 출판) · 《유율법과 무한 급수》(1671년 작성, 1736년 영어 번역본 출판) · 《곡선 구적법 논문》(1693년 작성, 1704년 그의 《광학》의 부록에 출판)에서 급수에 대해 다루었다. 집합의 크기
자연수 집합과 대등하지 않은 무한 집합을 비가산 집합이라고 한다. 실수 집합은 비가산 집합이다. 즉, 이는 자연수와 일대일 대응할 수 없다. 기수 (수학)
유한 집합의 크기인 기수를 유한 기수, 무한 집합의 크기인 기수는 무한 기수라고 한다. 유한 기수는 자연수(음이 아닌 정수)와 같으며, 선택 공리를 가정한다면 무한 기수는 알레프 수와 같다. 즉, 선택 공리를 가정하였을 때 기수의 열은
이다. 알레프 수의 경우, 임의의 순서수 formula_7가 알레프 수 formula_116의 첨수가 될 수 있으며, 따라서 어떤 의미에서 알레프 수는 순서수만큼이나 많다. 동시에, 자연수와 알레프 수는 순서수들의 고유 모임의 부분모임이다. 선택 공리를 가정하지 않을 경우에는 알레프 수가 아닌 무한 기수가 있을 수도 있다. 무한곱
리만 제타 함수의 formula_29에서의 값은 다음과 같은 수렴하는 급수와 같다.
여기에 formula_31를 곱하면 홀수에 대한 합이 남는다.
다시 formula_33를 곱하면 2나 3의 배수가 아닌 정수에 대한 합만 남는다.
이를 모든 소수 formula_35에 대하여 반복하면 우변은 결국 1이 된다.
즉, formula_29에서의 리만 제타 함수 값은 무한곱으로 다음과 같이 나타낼 수 있다. 코시 응집판정법
코시 응집판정법(-凝集判定法, )은 오귀스탱 루이 코시의 이름이 붙은 무한급수의 수렴판정법이다. 음이 아닌 실수의 감소수열에 대한 급수 비라소로 대수
비라소로 대수의 모든 기약 유니터리 표현은 formula_108을 제외하면 무한 차원 표현이다. (formula_108인 자명한 표현은 물론 1차원이다.) 기수 (수학)
모든 무한 기수는 극한 순서수이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, formula_59는 극한 순서수이지만, 그 크기는 formula_60이므로 기수가 아니다. 대부분의 순서수는 극한 순서수가 아니므로, 기수들은 순서수들 중에 상당히 드물게 분포한다. 미적분학
무한급수는 위의 formula_261, 즉 급수의 부분합으로 이루어지는 수열의 극한값으로 생각한다. formula_117이 무한대로 갈 때, 그 극한이 유한한 값을 갖는다면 이 급수가 수렴한다고 한다. 만약 이 값이 무한하거나 존재하지 않는다면, 이 급수는 발산한다고 한다. 기수 (수학)
수학에서, 기수(基數, )는 집합의 크기를 나타내는 수이다. 유한 집합의 크기는 자연수로 나타내어지는데, 이를 무한 집합에 대하여 일반화한 개념이다. 무한 집합의 진부분집합은 자신이 포함된 집합 전체와 같은 크기를 가질 수도 있다. 모든 무한 집합이 같은 크기를 갖는 것은 아니며, 무한히 많은 크기의 무한 집합들이 있다. 초실수
비표준 해석학에서, 초실수(超實數, )는 무한대와 무한소를 포함하지만 실수에 대한 모든 1차 논리 명제가 그대로 성립하는 수 체계이다. 기수 (수학)
순서수와 마찬가지로, 기수에 대하여 덧셈과 곱셈 등을 정의할 수 있다. 이러한 연산은 자연수에 국한하면 자연수의 연산과 같다. 무한 기수의 연산은 무한 순서수의 연산과 매우 다르며, 무한 기수 경우 이들 연산은 대부분 자명하다. 연분수
무한 연분수 중 꼬리들이 반복되어 나타나는 것을 순환 연분수라고 한다. 어떤 무리수가 순환 연분수로 표현가능할 필요충분조건은 그것이 어떤 이차방정식의 해가 되는 것이다. 즉, 이차 무리수()인 것이다. 리만 제타 함수
따라서,
리만 제타 함수는 규칙적으로 모든 자연수에 대한 무한급수로 정의되어 있기 때문에 많은 방법으로 성질을 탐구할 수 있다. 그리고 이 리만 제타 함수는 오일러 곱을 통해 소수와 연결된다. 따라서, 이 식을 이용하면 소수의 비밀을 수학적으로 파헤칠 수 있으며, 그렇기 때문에 이 식은 중요하게 이용된다. 초실수
무한대 초실수()는 다음을 만족시키는 초실수 formula_33이다.
무한소 초실수()는 무한대 초실수의 역수이다. 즉, 다음을 만족시키는, 0이 아닌 실수 formula_33이다.
무한대가 아닌 초실수를 유한 초실수()라고 한다. 유한 초실수의 집합 formula_37은 값매김환을 이루며, 유한 초실수환의 유일한 극대 아이디얼은 무한소 초실수의 유사환 formula_38이다. 이에 대한 몫환은 실수체와 표준적으로 동형이다.
즉, 모든 유한 초실수 formula_40는 실수 formula_41와 무한소 초실수 formula_42의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다. 여기서 formula_41를 formula_40의 표준 부분이라고 하며, formula_45라고 쓴다. 무상
무상(無常) 또는 비상(非常)은 끊임없이 변화하고 생멸(生滅)하며 시간적 지속성이 없음을 말한다. 즉 영원하지 않은 것을 말한다. 오일러 공식
지금과 같은 모양의 오일러 공식은 1748년 오일러가 무한급수의 좌우 극한값이 같음을 증명하면서 발표되었다. 그러나 로저와 오일러 모두 이 공식이 지닌 '복소수를 복소평면 위의 하나의 점으로 볼 수 있다'는 기하학적 의미를 눈치채지는 못하였고, 이것은 약 50년이 지난 후에나 발견되었다. 오일러는 현재의 교육과정에서 보다 훨씬 이른 시기에 학생들에게 복소수를 가르쳤다. 그의 기초 대수학 교재인 (Elements of Algebra)에 보면 교재의 거의 맨 앞부분부터 복소수를 도입하고 있고 교재 전체를 통틀어 자연스럽게 사용하고 있다. 점화식
formula_85이고 점화식이 아래와 같이 주어진 수열을 생각해보자.
이 수열을 계수로 갖는 다항식 formula_87은 다음 등식을 만족해야 한다.
그러므로 formula_89를 구할 수 있고 이를 다시 부분분수로 분해하여 무한급수로 표현한다. 자연수
자연수의 집합 formula_3은 무한 집합이다. 자연수의 집합의 크기를 알레프 0 formula_64으로 정의하며, 이는 최소 무한 기수이다. 즉, 임의의 무한 집합 formula_28에 대하여, formula_66인 부분 집합 formula_67가 존재한다. 자연수의 집합과 크기가 같은 집합(=전단사 함수 formula_68가 존재하는 집합 formula_28)을 가산 무한 집합이라고 한다. 예를 들어, 유리수의 집합 formula_70는 가산 무한 집합이며, 실수의 집합 formula_71는 비(非)가산 무한 집합이다. 급수 (수학)
∑ i ∈ I a i = ∑ n = 0 ∞ a i n {\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{i_{n}}} 무리수
무리수는 소수점 이하로 같은 수의 배열이 반복적으로 나타나지 않는(순환하지 않는) 무한소수이다. 무자력
무자력(無資力)이란 채무초과라는 의미로 채무자가 부담하는 채무의 합계가 현재 가지고 있는 적극재산의 합을 초과하는 경우를 뜻한다. 극한비교판정법
급수 무한곱
실수 수열 formula_1의 무한곱 formula_2의 값은 부분곱(部分-, ) formula_3의 열의 극한
으로 정의된다. 만약 위와 같은 극한이 존재하고 0이 아니라면, 무한곱 formula_2이 수렴(收斂, )한다고 한다. 만약 반대로 위와 같은 극한이 0이거나 존재하지 않는다면, 무한곱 formula_2이 발산(發散, )한다고 한다. 멱급수
해석학에서, 멱급수(冪級數, ) 또는 거듭제곱 급수(-級數)는 중심이 같은 일련의 멱함수를 항으로 갖는 급수이다. "무한차 다항식"이라고 할 수 있다. 무량대수
무량대수(無量大數)란 한자 문화권에서 사용되는 수의 단위이다. 한자 문화권에서 사용되는 수의 단위 중 가장 그 값이 큰 단위이기도 하다. 실수의 완비성
만약 서로 같은 무한 개의 항이 존재하지 않는다면, formula_108은 집합으로서 무한 집합이며, 따라서 극한점 formula_111를 갖는다. 즉, 임의의 formula_92에 대하여,
은 무한 집합이다. 따라서, 
로 정의된 formula_116은 formula_108의 수렴 부분 수열이다. 미적분학
무한급수의 수렴을 판정하는데는 비교판정법, 적분판정법, 일반항판정법, 멱근판정법, 비율판정법등이있다. 급수 (상하수도 공학)
급수량은 사용 목적에 따라 분류한다. 가정용수, 영업용수, 공업용수, 공공용수, 소화용수가 있으며 나머지 누수되는 양만큼의 급수량을 불명수량이라고 한다. 완전수
메르센 소수의 수가 유한한지 무한한지는 알려져 있지 않다. 그러므로 짝수 완전수의 수가 무한한지도 알려져 있지 않다. 무한상사
(표식)ᆢ
《무한상사》는 MBC에서 매주 토요일에 방송되고 있는 《무한도전》에서 비정기적으로 방송되는 콩트 코너이다. 최근에 장르를 스릴러로 하여 촬영하였다. 불 대수
멱집합과 동형이 아닌 무한 불 대수 또한 존재한다. 예를 들어, 집합 formula_85 및 기수 formula_49가 주어졌을 때,
로 정의하자. 만약 formula_50이거나 formula_97이라면, 이는 둘 다 불 대수를 이룬다. 예를 들어, formula_98일 경우, formula_99는 크기가 formula_100인 불 대수이며, 따라서 멱집합과 동형일 수 없다. 비 해석적 매끄러운 함수
위에서 정의한 매끄러운 전이 함수 g를 사용하여 정의 하면ː
이 함수 "h"역시 매끄럽다; 이 함수는 닫힌 구간 [−1,1]에서는 1이고 열린 구간 (−2,2)의 외부에서는 사라진다. "h"를 사용하여 0을 포함한 모든 자연수에 대하여 매끄러운 함수를 정의한다ː
이는 구간 [−1,1]에서 단항식 "x"과 일치하고 구간 (−2,2) 외부에서는 사라진다. 따라서 원점에서 "ψ"의 "k"차 미분계수는 다음을 만족한다
그리고 최대 최소 정리는 "ψ"과 "ψ"의 모든 도함수들이 유계함수라는 것을 내포한다. 따라서 상수
of "ψ"의 균등 수렴 위상과 그것의 첫번째 "n" 도함수를 포함해서 잘 정의된 실수이다. 크기를 조절한 함수를 정의한다ː
연쇄 법칙을 반복적으로 적용한다
이전에 계산한 0에서 "ψ"의 "k"차 미분계수를 사용하면
우리가 구하고자 하는 함수는 다음과 같다ː
이것은 잘 정의되어 있고, 순차적으로 무한히 미분할 수 있다. 이를 위해 모든 "k"에 대해서 보자
남은 무한급수는 비판정법에 의해 수렴한다 급수 (수학)
예를 들어, 기하급수 무한강하법
그러한 formula_9이 존재한다고 가정하면, formula_10는 2의 배수이므로, formula_11은 2의 배수가 되어야 한다. 그러면 formula_12인 자연수 formula_13이 존재하여야 하고(formula_13 은 정수) 식을 정리하면
가 된다. 앞과 마찬가지로 formula_16은 2의 배수이므로 formula_17인 자연수 formula_18 (formula_18 은 정수) 이 존재한다. 즉, formula_7이 방정식의 해라면 formula_21도 정수쌍이고 이 역시 방정식의 해가 된다. 유수 (복소해석학)
유수의 정의를 확장하여, 무한대의 경우에도 적용시킬 수 있다. 고립특이점이 formula_12개 존재하는 함수 formula_17의 로랑 급수에 약간의 대수적 조작을 가하여, 이것을 함수 formula_18에 관한 로랑 급수와 연관시킬 수 있기 때문이다. 이 함수의 formula_19에서의 유수에 대하여 모든 고립특이점을 밖에서 감싸는 임의의 단순 닫힌 경로 formula_5를 생각하면 다음과 같은 식이 성립한다.
이 때 경로 formula_5 안쪽에서 역시 모든 고립특이점을 밖에서 감싸는 반지름 formula_23인 원을 그릴 수 있다면, 이것은, formula_18 을 formula_25에서 로랑 급수로 전개했을 때의 formula_3 항이라고 할 수 있다. 이것을 무한대에서 formula_17의 유수로 정의한다. 이것을 이용하면 유수 정리를,
와 같이 간략하게 쓸 수 있다. 꽃차례
무한 꽃차례(무한화서, 無限花序)는 꽃이 꽃대의 아래쪽에서 위쪽으로 향해 피는 꽃차례이다. 이것은 꽃대가 자라는 동안에는 꽃이 무한히 필 수 있으므로 이와 같은 이름이 붙여졌다.
유한 꽃차례(유한화서, 有限花序)는 꽃이 꽃대의 위에서부터 아래쪽을 향해 피어나가는 꽃차례이다. 비 해석적 매끄러운 함수
지수 함수의 멱급수 표현에 의해, 우리는 0을 포함한 모든 자연수 "m"에 대하여 다음과 같은 식을 얻는다:
왜냐하면 "n" ≠ "m" + 1인 모든 양의 항들이 더해지기 때문이다. 따라서 지수 함수의 함수식을 이용하면 다음과 같다:
이제 수학적 귀납법으로 f 의 n차 미분에 대한 공식을 증명한다..연쇄 법칙과 역함수의 미분 법칙, 지수함수의 도함수가 다시 도함수인 성질을 이용해서 "x "> 0이고, "p"1(x)가 0차 다항식일 때 "f"의 일계도함수의 식이 성립함을 볼 수 있다. 당연히 "f"의 일계도함수는 "x"  0일 때 우리는 다음 도함수를 얻을 수 있다:
여기서" p"("x")은 "n" = ("n" + 1) − 1차 다항식이다. 물론 "x" < 일 때, "f"의 ("n" + 1)계도함수는 0이다. "x" = 0일 때 "f"의 우미분계수는 다음과 같다: 망원급수
와 같은 급수는 급수 (수학)
이므로, I ′ {\displaystyle I'} 이 가산 개 유한 집합의 합집합이 되어 가산 집합이 되기 때문이다. 이에 기초하여, 함수 a : I → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle a\colon I\to [0,\infty ]} 에 대한 급수 ∑ i ∈ I a i {\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}} 는 다음과 같이 가산 집합에 대한 정의로 귀결된다. 연분수
이를 반복하면, 무한 연분수
를 얻는다. 절대적 무한
절대적 무한은 초한수 중에서 가장 크고, 그보다 큰 수는 존재하지 않는 무한수를 가리킨다. 절대적 무한을 가리켜 "오메가"라고도 한다.
초한수 수열은 formula_1와 같이 무한히 계속될 수 있다. 또 formula_2 등의 초-초한수들도 정의할 수 있고, 이러한 과정을 무한히 반복하면 절대적 무한에 다다를 수 있다. 급수
급수의 다른 뜻은 다음과 같다.