대수학의 의미는 무엇인가?
대수학
대수학(代數學, 독일어,영어: Algebra)은 일련의 공리들을 만족하는 수학적 구조들의 일반적인 성질을 연구하는 수학의 한 분야이다. 이렇게 일련의 추상적인 성질들로 정의되는 구조들을 대수 구조라고 하며, 반군•군•환•가군•체•벡터 공간•격자 등이 있다. 대수학은 취급하는 구조에 따라서 반군론, 군론, 환론, 선형대수학, 격자론, 정수론 등으로 분류된다.
대수적 수
수론에서, 대수적 수(代數的數, )는 유리수 계수의 일계수 다항식의 근을 이루는 복소수이다. 가환대수학
이 두 종류의 환의 경우, 소 아이디얼이라는 개념이 공통적으로 존재한다. 수론적 관점에서, 소 아이디얼은 소수를 일반화한 개념이며, 기하학적 관점에서 소 아이디얼은 (기약) 부분 대수다양체를 일반화한 개념이다. 인수분해
대수론과 대수학에서, 인수분해(因數分解, )는 곱이 정의된 집합내의 어떤 원소를 다른 원소들의 곱으로 표현하는 것을 가리킨다. 특히, 정수집합에서 어떤 주어진 정수를 소수들의 곱으로 표현하는 것은 소인수 분해라고 부른다. 따라서 소인수 분해는 인수분해의 일종이 된다. 일반적으로는 한 다항식을 두 개 이상의 인수(factor)의 곱으로 분해하는 것을 말한다. 즉, 전개의 역이다. 이러한 관계를 표현한 것은 곱셈 공식이 되겠다. 덧셈
덧셈은 산술의 기본 연산 중의 하나이다. 두 개 이상의 수를 받아 한 수를 계산하는 이항 연산이다. 반대의 연산은 뺄셈이다. 현대 수학에서는 덧셈을 나타내는 기호로 더하기표(+)를 쓴다. 콰리즈미
그는 ‘대수학의 아버지’로 불리기도 한다. 알고리즘이라는 말은 그의 이름에서 나왔고, 대수학을 뜻하는 영어 단어 앨지브라(Algebra)는 그의 저서 로부터 기원한다. 그는 아버지로부터 수학을 배웠으며 뛰어난 재능을 보였다. 또한 엄청난 양의 책을 저술하였는데, 그 주제로는 천문학, 수학, 지리학 등이 있다. 무한소
수학에서, 무한소(無限小, infinitesimal)란 일반적으로 모든 양수보다 작지만 0보다는 큰 상태를 가리킨다. 대칭 함수
수학에서, 대칭 함수(對稱函數, )은 변수의 교환에 대하여 불변인 다변수 함수이다. 함자 (수학)
함자의 개념은 대수적 위상수학에서 위상 공간에 대해 기본군 등의 대수적 구조를 대응시키면서 나타났다. 현재는 현대 수학의 거의 모든 분야에서 다양한 범주들 사이의 관계를 나타내기 위해 함자의 개념을 사용한다. 선형성
선형대수학은 이러한 선형의 변환과 이로써 확보되는 공간의 성질에 대하여 연구를 하는 학문이다. 벡터 및 벡터 공간, 행렬을 이용하여 표시되는 선형사상 또는 선형방정식 계열에서 취급된다.  셈
셈()은 물체의 개수를 헤아리는 행동이다. “수를 센다”고 한다. 수를 세는 가장 전통적인 방법은 한 집단에 포함된 물체들을 차례대로 가리키며 마음 속으로, 또는 말로서 수를 계속 늘려나가는 것이다. 마지막 물체를 가리킬 때 최종적으로 물체의 수를 얻게 된다. 숫자의 개념이 없던 고대 사회에서는 양 한 마리에 돌 하나를 대응시키는 것과 같이 두 집단을 비교함으로써 셈을 하였는데, 이렇게 하면 실제의 숫자를 몰라도 양의 수가 줄어들었는가 아닌가 등을 알 수 있었다. 이것은 현대의 유럽 언어에서 ‘계산하다’는 의미의 calculate가 라틴어로 ‘조약돌’을 의미하는 단어인 calculus과 유사한 것에서도 드러난다. 거대과학
거대과학(巨大科學, )은 과학자 및 공학자 같은 인원, 연구기관, 예산을 대규모로 동원하는 과학 연구를 말한다. 빅 테크놀로지(巨大技術)와 구분하지 않고 사용하는 경우가 많다. 이는 국가적 규모의 재정 뒷받침을 전제로 해서 수행 가능한 연구이다. 그 대표적인 예로 미국과 소련이 경쟁적으로 벌이고 있는 우주개발이 있다. 거대과학은 군사우위를 차지함과 아울러 국가 기간산업을 활성하고 경제 발전을 가져오며, 국위선양 면에서도 큰 의미가 있다. 그런 의미에서 군관산학(軍官産學)이라는 구조를 가지는 것이 거대과학이 가지는 특징이 있다. 마그눔 오푸스
마그눔 오푸스()는 중세 유럽의 연금술에서 유래한 낱말로 납과 같은 비금속(卑金屬)을 금으로 변형하거나 철학자의 돌을 만드는 일을 성공적으로 완수하는 것 또는 그 일 자체를 의미한다. 마그눔 오푸스의 문자 그대로의 뜻은 영어로 "Great Work"인데, 한글 번역으로는 "위대한 일위대한 학문위대한 공부큰 일큰 학문큰 공부" 등의 의미가 된다.  수학적 구조
수학적 구조(數學的構造) 또는 수론적 구조는 임의의 집합이 주어졌을때에 여기에 부여한 수학적 성질로 인해 그 집합이 갖추게 되는 형태를 말한다. 수학적 성질을 제공하는 기능으로는 대수학, 위상수학, 순서론 등의 영역이 있다. 이들은 각각 대수적 구조, 위상 구조, 순서 구조로 나타난다. 대수학의 기본 정리
이다. 수학
오늘날 수학은 자연과학, 공학, 의학뿐만 아니라, 경제학 등의 사회과학에서도 중요한 도구로서도 사용된다. 수학을 이런 분야들에 적용한 응용수학은 그 결과로써 수학 자체의 발전을 이끌고 새로운 분야들을 낳았다. 응용이 아닌 수학 자체의 아름다움과 재미를 추구하며 연구하는 것을 순수수학이라 하는데, 긴 시간이 지난 뒤에 순수수학적 연구를 다른 분야에 응용할 방법이 발견된 경우도 많았다고 한다. 대수 (환론)
추상대수학에서, 대수(代數, )는 쌍선형 곱셈을 갖춘 가군이다. 동시에 환이자 가군인 대수 구조에서 곱셈 항등원과 곱셈 결합 법칙을 생략하여 얻는다. 추상대수학
역사적으로 볼 때, 대수 구조는 처음에는 수학의 몇몇 다른 영역에서 생겨난 것으로, 공리적으로 상술된 후에서야 추상대수학에서 제자리를 찾아 연구되기 시작하였다. 이 때문에 추상대수학은 수학의 다른 모든 분야와 수많은 관련성을 낳게 되었다. 체 (수학)
체(體, , , )는 추상대수학에서 사칙연산이 자유로이 시행될 수 있고 산술의 잘 알려진 규칙들을 만족하는 대수 구조이다. 모든 체는 가환환이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 체를 연구하는 추상대수학의 분야를 체론(體論, , ,)이라고 한다. 해석기하학
해석기하학(解析幾何學, analytic geometry)이란 여러 개의 수로 이뤄진 순서쌍(또는 좌표)을 기하학적으로 나타내는 방법인 좌표기하학 또는 카테시안 기하학을 달리 부르는 이름이다. n개의 수를 사용하여 나타낸 n-순서쌍의 수를 미지수로 하는 방정식의 형태로 도형의 성질을 설명한다. 이때 2차원 좌표계 평면에서는 n=2이고, 3차원 좌표계 공간에서는 n=3이다. 일반적으로 수학자들은 해석기하학에서 방정식을 대수적으로 나타내어 다룸으로써 도형의 위치 및 형태를 결정하거나 분류한다. 해석기하학은 수학에서 2가지 뜻으로 해석된다. 현대적인 의미에서는 해석적 다양체의 기하학을 가리킨다. 이 글은 고전적이고 기초적인 의미 위주로 설명한다. 대수 곡선
고전적으로, 대수 곡선은 차원이 1인 대수다양체이다. 현대 대수기하학에서는 스킴 이론의 발달로 이 정의가 더 일반화되었으며, 임의의 1차원 스킴을 일컫는다. 대수적 수
모든 대수적 정수는 어떤 대수적 수체의 대수적 정수환의 원소이며, 그 역 또한 성립한다. 즉, 대수적 정수의 집합은 모든 대수적 수체의 대수적 정수환들의 합집합이다. 소수 (기수법)
수학에서, 소수(小數, )는 각각의 자리에 놓인 숫자와 소수점을 통해 나타낸 실수이다. 소수점 왼쪽에 놓인 숫자들은 실수의 정수 부분, 소수점 오른쪽에 놓인 숫자들은 실수의 소수 부분을 나타낸다. 기수 (수학)
특정한 집합의 크기가 되는 순서수를 기수라고 한다. 예를 들어, 모든 자연수는 기수이며, 순서수 formula_9는 기수 formula_10이다. 반면, 순서수 formula_11이나 formula_12, formula_13, formula_14 따위는 formula_9와 같은 집합의 크기를 가지므로 기수가 아니다. 호몰로지 대수학
호몰로지 대수학은 대수적 위상수학에서 비롯되었고, 이 분야에서 매우 중요한 역할을 한다. 또한, 호몰로지 대수학은 위상 공간 말고도 층, 군, 환, 리 대수를 비롯한 수학의 여러 분야에서 나타나는 대상들에 대해 호몰로지와 코호몰로지를 정의하는 데 중요한 역할을 한다. 특히 층 코호몰로지가 없다면 현대 대수기하학의 연구는 거의 불가능할 것이다. 다각수
다각수는 수학 용어로, 점이나 조약돌로 표현 했을 때, 정다각형 모양으로 배열되는 수를 의미한다. 점들은 하나의 단위로 다뤄진다. 이것들은 이차원 도형수의 한 종류이다. 대수함수
대수함수(代數函數, algebraic function)는 수학에서 다항식의 근으로 정의할 수 있는 함수이다. 대체적으로 대수함수는 한정된 수를 사용하는 대수식이고 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈과 같은 대수적 연산만을 동반한다. 이러한 함수의 예는 다음과 같다: 알반상대론의 수학적 공식화 개론
수학, 물리학, 및 공학에서 유클리드 벡터 (종종, 기하 또는 공간 벡터라고 부름 - 여기서는 단순히 벡터라고 함)는 크기 (또는 길이)와 방향을 모두 갖는 기하학적 대상이다. 벡터는 점 A를 점 B로 "옮기는"데 필요한 것이다. 라틴어 단어 벡터(vector)는 "운반하는 사람"을 의미한다. 벡터의 크기는 두 점 사이의 거리이며, 방향은 A에서 B 로의 변위의 방향을 나타낸다. (덧셈, 뺄셈, 곱셈, 및 부정과 같은) 실수에 대한 수많은 대수적 연산은 벡터에 대해서도 아주 비슷하며, 교환, 결합, 및 분배 법칙들과 같은 친숙한 대수적 법칙들을 준수한다. 대수학
기하학, 해석학, 정수론과 함께 대수학은 수학의 한 분야라고 볼 수 있다. 일반점
대수기하학과 일반위상수학에서, 일반점(一般點, )은 공간 전체에 대하여 조밀한 점이다. 대수기하학에서, 어떤 대수다양체의 "거의 모든 점들"을 나타낼 때 쓰인다. 큰 수
상술의 수는 모두 매우 거대한 수이지만, 그런데도 유한이다. 수학의 일부의 분야에서는 무한대나 초한수 등의 정의를 하고 있는 수가 있다.
대수의 크기는 일반적으로 지수를 이용해 나타내지며 많은 현실적인 목적에서는 그것으로 충분하다. 그러나, 모자수나 그라함수 등은 '10의 10승의 10승의 … '를 우주의 끝까지 계속해도 따라붙지 않을 만큼의 터무니없고 거대한 수이며, 지수로는 다 표현할 수 없다. 그러한 매우 거대한 수를 표현하기 위해서, 많은 수학자가 독특한 표기법을 생각해 냈다. 원소 (수학)
수학은 수를 다루는 학문이기 때문에,집합의 원소는 주로 숫자이다. 따라서 집합의 원소가 집합인 경우는 따로 부분집합ᆞ진부분집합과 같은 개념을 정의하여 원소의 정의를 구체화시켰다. 대수학
대수학은 대수(代數, 수를 대신함)라는 명칭 그대로, 수를 대신해서 문자를 사용하는 방법으로, 방정식을 푸는 방법을 연구하는 학문에서 시작되었다. 대수(algebra)의 어원은 9세기의 페르시아의 수학자 콰리즈미의 저서인 《약분·소거 계산론》(, 820년)에서 비롯되었다. 이 책의 원 제목에 있는 는 (흩어진 것을) 묶음을 의미하며, 방정식에서 항들을 묶어서 소거함을 뜻한다. 이 책은 체스터의 로버트 또는 배스의 아델라드(en:Adelard_of_Bath)가 《알게브라와 알무카발라의 서(書)》()란 제목으로 라틴어로 번역하여, 이후 500년 간에 걸쳐서 유럽의 대학에서 사용되었다. 여기서 "알게브라"()와 "알무카발라"()는 해당하는 아랍어 단어를 음역한 것이다. 또한 콰리즈미의 저서인 "인도 수의 계산법"이 라틴어로 번역되면서 2차 방정식, 사칙연산, 십진법, 0 등의 개념이 소개되었다. 탁월한 가환환
가환대수학과 대수기하학에서, 탁월한 가환환(卓越한可換環, )은 차원의 개념이 잘 정의되며(즉, 현수환이며), 완비화가 ‘잘 작동하며’, 거의 모든 점들이 특이점이 아니며 (즉, 특이점의 집합이 닫힌집합이며), 이 성질들이 가환대수학의 주요 연산(국소화, 다항식환, 몫환 등)에 대하여 보존되는 뇌터 가환환이다. 즉, 이러한 가환환은 대수기하학이나 대수적 수론에 등장하는 주요 가환환들과 유사한 성질을 갖는다. 대수학
대수학이란 용어는 학생 또는 전문 수학자에 따라, 다음 2가지 중 하나의 의미를 가진다. 학교 대수는 중학교와 고등학교에서 배우는 대수를 말하는 것으로, "산술"이라고도 하며, 문자를 이용해 수의 관계, 수의 법칙등을 연구하는 학문이며, 방정식이나 함수, 그래프등이 포함된다. 그러나 수학자들은 군, 환, 불변량 이론과 같이, 수 체계 및 그 체계 내에서의 연산에 대한 추상적 연구와 관련해서 "대수학"이라는 용어를 자주 사용한다. 종수
종수(種數, )는 수학에서 다음과 같은 뜻을 갖는다. 삼각함수
수학에서, 삼각함수(三角函數, )는 각의 크기를 삼각비로 나타내는 함수이다. 예각 삼각함수는 직각 삼각형의 예각에 직각 삼각형의 두 변의 길이의 비를 대응시킨다. 임의의 각의 삼각함수 역시 정의할 수 있다. 삼각함수는 복소수의 지수 함수의 실수 · 허수 부분이며, 따라서 복소수를 다룰 때 핵심적인 역할을 한다. 가장 근본적인 주기 함수이며, 각종 주기적 현상을 다룰 때 푸리에 급수의 형태로 등장한다. 초월함수
ƒ("z")가 대수함수이고, α가 대수적 수라면 ƒ(α)는 대수적 수이지만, 그 역인 "ƒ(α)가 모든 대수적 수인 α에 대해서 대수적 수일 경우에는 초월 전해석 함수 ƒ (z)가 있다"는 성립하지 않는다. 하지만 많은 경우에 ƒ(α)가 대수적 수가 되도록 하는 대수적 수 α의 집합의 크기는 상당히 작다. 예를 들어 ƒ("z")가 지수함수 "e"일 때, ƒ(α)가 대수적 수가 되도록 하는 유일한 대수적 수는 α=0 일 때, ƒ(α)=1인 경우 뿐이다. 주어진 초월함수에서 대수적 수를 결과로 갖는 대수적 의 집합을 그 함수의 예외 집합이라고 하며, 다음의 정의를 가진다.
이 집합이 계산 가능한 경우에는 초월수론으로 갈 수 있다. 예를 들어, 1882년에 페르디난트 폰 린데만이 지수함수의 예외집합은 {0}밖에 없다는 것을 증명했다. 특히 exp(1)= "e" 는 초월수이다. 또한 exp("i"π)=-1은 대수적이지만 "i"π는 대수적이라고 할 수 없다. "i"가 대수적이기 때문에 암시적으로 "π"가 초월수라는 것을 의미한다. 수학사
수학의 역사는 인류의 역사와 더불어 시작되었다고 할 만큼 오래 되었다. 수학사(數學史)로 알려진 학문 분야는 본래 수학의 새로운 발견에 대한 기원을 탐구하는 것이며, 더 작게는, 과거의 표준적인 수학 방법과 용어에 대한 탐구이다. 교역 ·분배 ·과세 등 인류의 사회 생활에 필요한 모든 계산을 수학이 담당해 왔고, 농경생활에 필수적인 천문 관측과 달력의 제정, 토지의 측량 또한 수학이 직접적으로 관여한 분야이다. 고대 수학을 크게 발전시킨 나라로는 이집트, 인도, 그리스, 중국 등이 있다. 상수
상수(常數)란 수식에서 변하지 않는 값을 뜻한다. 이것은 변하는 값 변수와 반대이다. 자연수
수학에서, 자연수(自然數, )는 수를 셀 때나 순서를 매길 때 사용되는 수이다. 양의 정수(陽-整數, ) 1, 2, 3, ...로 정의되거나, 음이 아닌 정수(陰-整數, ) 0, 1, 2, 3, ...로 정의된다. 범자연수(汎自然數, , )라는 용어는 첫째 정의를 택할 경우에 음이 아닌 정수를 가리키는 데 사용되며, 이에 대응하는 문화어와 영어는 둘째 정의를 택할 경우에 정수를 가리키는 데 사용된다. 자연수의 집합은 대문자 N을 써서 표기하며, 보통 칠판 볼드체 ℕ를 사용한다. 대수기하학
대수기하학(代數幾何學, )은 대수적 방정식들로 정의될 수 있는 도형들 및 이들 사이의 관계를 연구하는 수학 분야이며, 현재 많은 수학 분야들 중 가장 복잡하고 발달된 분야 중 하나다. 수식
수학적 관계를 식으로 나타내기 시작한 것은 근대 이후의 일이다. 그 이전엔 세계의 모든 문화에서 수학적 관계를 문장으로 나타내었다. 예를 들어 대수학의 기반을 마련한 알콰리즈미는 《복원과 소거의 과학》에서 formula_1를 “제곱과 근의 열배는 39와 같다”로 기술하였다. 피에르 드 페르마 역시 그의 유명한 마지막 정리, 양의 정수인 x, y, z, n에 대하여 formula_2일때 formula_3를 만족하는 해는 존재하지 않는 다는 것을 문장으로 서술하였다. 역경
팔괘를 서로 겹쳐서 이루어지는 64괘를 대성괘(大成卦또는 중괘重卦)라고 하며, 주역의 본문을 구성하는 괘이다. 제1번 건괘에서 제30번 이괘까지가 상경이고, 우주의 선천적인 생성 원리를 상징한다. 제31번 함괘에서 제64번 미제괘까지는 하경이고, 인간의 후천적인 변화와 순환 과정을 상징한다. 아래는 이진법 순서에따른 64괘의 중복배열이다. 수학사
19세기는 추상대수학의 엄청난 시작을 경험했다. 영국의 해밀턴은 비가환대수를 개발하였다. 영국 수학자 불은 곧이어 숫자를 단지 0과 1로 표현한, 현재 불 대수학이라고 불리는 것으로 전개된 대수학을 고안했다. 불 대수학은 수리 논리학의 시작점이고, 컴퓨터 과학에서 중요한 응용을 가진다. 대수적 수체
대수적 수체 formula_2는 대역체이므로, 다음과 같은 곱 공식()이 성립한다.
여기서 formula_34는 formula_2의 모든 자리에 대한 곱이며, formula_36는 주어진 자리에 대응하는 정규화 절댓값이다. 또한, 위 곱에서 오직 유한 개의 항을 제외한 나머지는 모두 1이어서 곱이 잘 정의된다. 예를 들어, 유리수
의 경우
이므로
이다. 프랑수아 비에트
이러한 계산에서 문자와 결과에 작용하는 연산은 최종계산에서 미지수를 원하는 결과값으로 간단히 바꿔 놓음으로써, 현대 대수적 방법의 핵심인 접근 방식의 기본 단계를 보여주었다. 이것으로 비에트는 중세 대수학의 끝에서 근대 대수학의 장을 열었다.이것은 원에 내접하는 정사각형과 삼각형에 기반한 무한한 다각형의 확장이 원에 수렴하는 표현식이다. 큰 바른틀 앙상블
통계역학에서, 큰 바른틀 앙상블(grand canonical ensemble) 또는 대정준 앙상블(大正準-)이란 바른틀 앙상블에서 입자수가 고정되어 있지 않은 열린계로 이루어진 통계적 앙상블을 말한다. 따라서 계는 무한히 큰 열원과 열(에너지)뿐만 아니라 입자도 교환한다. 대신 입자수의 변동과 관련된 화학 퍼텐셜이 고정되어 있다. 따라서 계의 입자수를 확정하기 힘들 때 큰 바른틀 앙상블을 사용하는 것이 용이하다.  대수
대수는 다음을 뜻한다. 수리철학
수리철학(數理哲學)은 수학에 대한 철학이다. 수학의 기초(토대)에 대한 메타수학적인 탐구, 수학적 지식에 대한 인식론적 논의, 수학 언어의 진리이론 등 수학이라는 특수한 학문 분야의 문제로부터 일반적인 철학(형이상학, 인식론 등)적 문제로 확장될 수 있는 주제들을 다룬다. 철학적 사조에 따라 접근법이 다르지만 크게 플라톤주의와 반플라톤주의로 나눌 수 있다.  대수적 수
고대 수학에서는 대수적 수의 개념이 존재하지 않았다. 그러나 정수의 비로 나타낼 수 없는 수(무리수)의 발견과 거듭제곱근 및 사칙 연산으로 나타낼 수 없는 수(아벨-루피니 정리)의 발견 이후, 모든 수가 정수 또는 유리수 계수의 다항식의 근으로 나타낼 수 있는지, 즉 초월수가 존재하는지의 여부가 대두되었다. 수 (수학)
수(數)는 양을 기술하기 위해 사용해 온 추상적인 개념이다. 컴퓨터 등의 특정 분야에서는 수치(數値)라고도 한다. 군 (수학)
추상대수학에서, 군(群, )은 결합 법칙과 항등원과 각 원소의 역원을 가지는 이항 연산을 갖춘 대수 구조이다. 여기서 대수 구조는 일련의 연산을 갖춘 집합으로 정의되며, 결합 법칙은 괄호를 넣는 방식이 연산 결과에 영향을 주지 않음을 의미한다. 항등원은 곱셈의 1 또는 덧셈의 0과 같은 성질의 원소이며, 역원은 곱셈에서의 역수 또는 덧셈에서의 반수와 같다. 대수학의 기본 정리
복소 다항식 사영 공간
수학에서 사영 공간(射影空間, )은 벡터 공간의 원점을 지나는 직선들의 집합이다. 평행선들이 만나는 장소인 무한원직선이나 무한원평면 등의 개념을 엄밀히 다루기 위해 만들어진 개념이다. 사영 공간의 기하학을 다루는 학문인 사영기하학은 현대 대수기하학의 기초가 되었으며, 사영 공간 및 이를 확장한 개념인 그라스만 다양체와 깃발 다양체는 위상수학, 리 군론, 대수군론 및 이 대상들의 표현론에서 중요한 역할을 한다. 환 (수학)
추상대수학에서, 환(環, )은 덧셈과 곱셈이 정의된 대수 구조의 하나이다. 환은 덧셈에 대하여 아벨 군을 이루고, 분배법칙과 곱셈의 결합법칙을 만족시키지만, 곱셈에 대한 역원은 존재하지 않을 수 있다. 환을 연구하는 추상대수학의 분야를 환론(環論, )이라고 한다. 대수적 순환
대수기하학에서, 대수적 순환(代數的循環, )은 어떤 대수다양체 "V"의 부분 다양체들의 선형 결합으로 나타내어지는 호몰로지류이다. 이를 이용하여, 대수적 위상수학과 대수기하학을 연관시킬 수 있다. 급수 (수학)
수학에서, 급수(級數, , )는 수열의 모든 항을 더한 것이다. 항의 개수가 유한한 유한급수(有限級數, )와 항의 개수가 무한한 무한급수(無限級數, )로 분류된다. 무한급수의 경우, 항을 더해가면서 합이 어떤 값에 한없이 가까워지는 급수인 수렴급수</b>와 그렇지 않은 발산 급수</b>로 분류된다. 급수의 항은 실수 · 복소수, 또는 벡터 · 행렬 · 함수 · 난수 등일 수 있으며, 이들은 주로 공식이나 알고리즘으로 표현된다. 유한급수는 대수학의 초등적인 방법으로도 충분히 다룰 수 있으나, 무한급수에 대한 깊이 있는 분석은 해석학적 수단, 특히 극한의 개념을 필요로 한다. 수열의 합에는 Σ(시그마, sigma) 기호가 쓰인다. 기하종수
대수기하학에서, 기하 종수(幾何種數, )는 대수다양체를 특정짓는 수의 하나다. 쌍유리 동치에 대한 불변량이다. 대수학의 기본 정리
이 정리는 복소수체가 실수체와는 달리 대수적으로 닫힌 체임을 뜻한다. 카를 프리드리히 가우스
1799년 박사 학위 논문으로, "대수방정식의 근의 존재 증명"을 저술하였다. 1변수의 모든 유리정함수(integral rational algebraic function)는 1차 또는 2차의 소인수로 분해된다는 것을 보였다. 요한 카를 프리드리히 가우스는 복잡한 숫자들을 넘어서, 모든 일정하지 않은 하나의 변수 다항식은 적어도 하나의 근을 가진다는 대수학의 기본 정리를 증명했다. 장 르 롱 달랑베르를 비롯한 수학자들은 요한 카를 프리드리히 가우스에 앞서 잘못된 증명들을 내놓았는데, 가우스는 논문에서 달랑베르의 증명을 비판하였다. 오늘날의 관점에서는 조르당 곡선 정리를 증명 없이 사용한 가우스의 증명 역시 엄밀하지 못했지만, 요한 카를 프리드리히 가우스는 그 뒤에 세 개의 다른 증명들을 내놓았다. 1849년의 마지막 증명은 오늘날에도 엄밀하게 여겨지며, 가우스의 증명들을 통해서 복소수의 개념이 명확하게 정의되었다. 대수군
대수기하학에서, 대수군(代數群, )은 대수다양체를 이루는 군이다. 측도
수학에서, 측도(測度, )는 특정 부분 집합에 대해 일종의 ‘크기’를 부여하며, 그 크기를 가산개로 쪼개어 계산할 수 있게 하는 함수이다. 측도의 개념은 유한 집합의 원소의 수 · 실수 구간의 길이 · 평면 도형의 넓이 · 3차원 입체의 부피의 개념을 공통적으로 일반화한다. 측도가 부여된 집합을 측도 공간(測度空間, )이라고 한다. 이와 같이 측도와 측도 공간을 연구하는 수학 분야를 측도론(測度論, )이라고 한다. 수학
대부분 자료를 보면, "mathematics"는 "수리적인"이라는 뜻을 가진 라틴어 mathmaticus와 그리스어 mathematikos에서 유래되었거나, "학식있는"을 뜻하는 mathema와 "배우다"를 뜻하는 manthanein에서 유래되었다고 한다.줄여서 "math"라고도 포함된다.  괴델의 불완전성 정리
수학은 공리적 방법을 통해 확실성과 엄밀성이 특징인 학문으로 발전해왔다. 수학은 19세기 초에 상식과 동떨어진 새로운 형태의 기하학과 대수학이 출현하면서 스스로의 진리 여부를 검토하게 되었다. 19세기 후반 수학의 엄밀화를 위한 운동이 진행되지만, 새로 구성한 수학에서 역설이 발견되었고 이 모순을 해결하기 위해 수학기초론의 세 가지 접근방식이 발전하였다. 수학적 존재에 대한 인간의 직관에 의해 수학이 도출된다고 하는 직관주의, 수학을 내용이나 의미가 없는 하나의 형식적 조작으로 귀착시키려는 형식주의, 수학의 개념과 정리가 논리학의 공리계에서 연역될 수 있다고 보는 논리주의가 그것이다. 소수 (수론)
소수(素數, 발음: [소쑤], , )는 자신보다 작은 두 개의 자연수를 곱하여 만들 수 없는 1보다 큰 자연수이다. 예를 들어, 5는 1x5 또는 5x1로 수를 곱한 결과를 적는 유일한 방법이 그 수 자신을 포함하기 때문에 5는 소수이다. 그러나 6은 자신보다 작은 두 숫자(2×3)의 곱이므로 소수가 아닌데, 이렇듯 1보다 큰 자연수 중 소수가 아닌 것은 합성수라고 한다. 1과 그 수 자신 이외의 자연수로는 나눌 수 없는 자연수로 정의하기도 한다. 대수적 순환
이 용어는 1950년~60년대 몇가지 근본적인 추측이 이루어지기 시작하여 대수적 순환은 대수기하학의 주요 목표가 되었다. 문제의 본질은 매우 설명하기 쉬워 대수적 순환의 존재를 예측하긴 쉽지만, 현재 그것들을 구성하는 게 무엇인지는 불확실하다. 이러한 대수적 순환의 주요 추측으로는 호지 추측 및 테이트 추측이 있다. 또한, 대수적 순환은 대수적 K이론과도 밀접하게 연관되어 있는 것으로 추측된다. 호몰로지 대수학
호몰로지 대수학(homology代數學, )이란 수학의 한 분야로 대수적 위상수학에서 비롯된 호몰로지와 코호몰로지를 더 일반적인 상황에서 연구하는 것을 말한다. 추상대수학
추상대수학(抽象代數學, )은 대수 구조를 다루는 여러 수학적 대상을 연구하는 분야이다. 이들 대수 구조들로는 군, 환, 체가 있으며, 이들 대상을 다루는 각 영역에는 가환대수와 호몰로지대수가 포함된다. 또 선형대수와 기초 수론을 추상대수학에 포함시키기도 한다. 추상대수학은 군, 환, 체, 가군, 벡터 공간, 그리고 대수학에 대해서 공부한다. "추상대수학"이란 이름은 20세기에 처음 만들어졌다. 그 이전까지 추상대수학과 사칙연산, 방정식 풀기, 그리고 실수, 복소수 계산을 다루는 "기초대수학"은 함께 뭉뚱그려서 대수학이라 불렀다. 이에 수학을 전공하지 않은 사람들이 대수학에 대해 일반적으로 떠올리는 기초대수학과 추상대수학이 다루는 분야는 다르다는 사실을 확실히 하기 위하여, 새로이 추상대수학이라는 용어를 만들었다. 그러나 최근의 저작물에서는 그 구분이 다시 모호해지고 있다. 가환대수학
가환대수학에서는 대수적 수론과 대수기하학에서 등장하는 환들을 공통적으로 다룬다. 대수적 수론에서 등장하는 환들은 대수적 수체의 대수적 정수환이며, (유리) 정수환 formula_1 · 가우스 정수 환 formula_2 · 아이젠슈타인 정수 환 formula_3 등이 있다. 대수기하학에서 등장하는 환들은 대수다양체 위의 정칙함수들의 환이며, 이들은 formula_4의 꼴이다 (formula_5는 체, formula_6는 아이디얼). 대홍수
대홍수(大洪水)는 비가 많이 내려 홍수가 크게 생긴 것을 말한다. 절댓값 (대수학)
대수학 및 대수적 수론에서, 절댓값(絶對값, )은 정역의 원소의 크기를 측정하는 실수 함수이다. 초등 수학에서의 절댓값을 일반화한다. 수학
수학의 각 분야들은 상업에 필요한 계산을 하기 위해, 숫자들의 관계를 이해하기 위해, 토지를 측량하기 위해, 그리고 천문학적 사건들을 예견하기 위해 발전되어왔다. 이 네 가지 목적은 대략적으로 수학이 다루는 대상인 양, 구조, 공간 및 변화에 대응되며, 이들을 다루는 수학의 분야를 각각 산술, 대수학, 기하학, 해석학이라 한다. 또한 이 밖에도 근대 이후에 나타난 수학기초론과 이산수학 및 응용수학 등이 있다. 추상대수학
현대수학과 수리물리학에서 추상대수학의 개념을 특히 많이 차용한다. 예를 들어, 이론물리학에서는 추상대수학의 한 분야인 리 대수를 깊이 사용한다. 대수적 수론, 대수적 위상수학, 그리고 대수기하학을 통해 여러 다른 수학 분야에 대수학을 접목시키기도 한다. 표현론(Representation theory)은 추상대수학에서 다루는 대수 구조와 벡터 공간 위의 선형 변환들의 관계를 연구하는 분야이다. 환 (수학)
가환환은 비가환환보다 훨씬 많은 성질이 알려져 있으며, 이들의 연구를 가환대수학이라고 한다. 가환대수학은 대수기하학 및 대수적 수론과 깊은 관련이 있다. 1980년대 이후에는 비가환 기하학과 양자군 등의 이론이 나타나면서 비가환환에 대해서도 상당한 연구가 이루어지고 있다. 분수 (수학)
수학에서, 분수(分數, )는 부분이 전체를 차지하는 비율을 나타내는 수식이다. 예를 들어, 전체를 4등분하였을 때 3조각이 차지하는 비율은 분수 로 나타내며, 이를 '사분의 삼'이라고 읽는다. 3과 같이 가로줄 위에 쓰여 몇 조각을 취하는지를 나타내는 정수를 분자(分子, )라고 하며, 4와 같이 가로줄 아래에 쓰여 1로 둔 전체를 몇 등분하였는지를 나타내는 0이 아닌 정수를 분모(分母, )라고 하며, 분자와 분모 사이의 가로줄은 분수 막대(分數-, )라고 한다. 대수기하학
그보다 작은 두 대수 집합의 합집합으로 나타낼 수 없는 대수 집합을 기약 대수 집합(irreducible algebraic set)이라 하며, 이를 또한 대수다양체라고도 부른다. 대수 집합이 대수다양체가 될 필요충분조건은 그 집합을 정의하는 다항식들의 집합이 다항식환 내에서 소 아이디얼을 생성한다는 것이다. 은 비율
수론및 대수학에서 큰 경우의 양(formula_8)에대한 작은 경우의 양(formula_9)과의 두 비율이 작은 양과 큰 양의 두 배가 더하여진 경우에대한 큰 양의 비율과 같으면 이것은 백은 비율 (백은비 평균 또는 백은비 상수)이 된다. 이것으로 백은 비율을 무리수인 수학 상수로 정의하며, 해석학 (수학)
해석학(解析學, )은 대수학과 기하학에 대하여, 미분과 적분을 기초로 함수의 연속성에 관한 성질을 연구하는 수학의 분야이다. 미적분학을 엄밀하게 형식화하는 것을 목적으로 시작된 수학의 한 분야로, 수열이나 함수의 극한 및 무한급수, 미분, 적분, 측도 및 해석함수 등의 개념을 다룬다. 위의 개념들은 주로 실수체나 복소수체 및 그 위의 함수에 대해 적용되나, 보다 일반적으로는 어떤 수학적 공간 혹은 대상이든 "가까움"(위상 공간 참고)이나 조금 더 구체적으로는 "거리"(거리 공간 참고)의 개념이 주어지기만 하면 적용될 수 있다. 해석학은 정수론, 기하학, 대수학과 함께 수학의 주요한 분야들 중 하나이다. 초한수
수학에서, 초한수(超限數, )는 유한한 수를 제외한 순서수와 기수를 뜻한다. 모든 유한한 수보다 크지만, 절대적 무한은 아니다. 게오르크 칸토어가 절대적 무한과 구별하기 위해 처음 사용한 용어이다. 과학
숫자와 기호를 사용하여 수량과 도형 및 그것들의 관계를 다루는 학문인 수학은 (실험과 그에 대한 검증으로 이루어지는) 과학적 방법이 사용되지 않는 특성이 있다. 그러나 수학은 과학의 여러 분야에 걸쳐 매우 중요한 요소로서 이용되었고, 수학적 사고는 자연과학·사회과학·인문과학을 낳았으며, 역사적으로 수학과 과학(특히 물리학)은 서로 다양한 영향을 주고 받으며 함께 성장해 왔다. 추상대수학
다른 수학 분야와 마찬가지로, 추상대수학 역시 구체적인 문제와 예시를 통해 발전해왔다. 19세기 말엽까지는 대수 방정식의 이론에 관련된 문제들이 주류를 이뤘다. 몇 가지 예를 아래에 적는다.추상대수학을 가르치는 다수의 교과서들은 다양한 대수 구조에 대한 공리들을 소개하면서 시작한다. 공리들을 다 나열하고 나서야 각 대수 구조의 성질에 대해 논하기 시작한다. 이는 각 대수 구조들은 공리가 먼저 성립되고 난 후, 연구가 지속됨에 따라 성질들이 차례차례 발견되어 나아갔다는 잘못된 인상을 주기 쉽다. 사실 역사적으로 대수 구조의 발전 과정은 대다수의 교과서 진행구조와 상반되게 진행되어 왔다. 현재 대수학의 일부라고 여겨지는 대다수의 학문들은 여러 다른 수학 분야의 서로 공통점이 없어 보이던 개념들을 조합한 후, 각 개념들이 가지는 공통적인 부분들을 체계화하는 과정에서 탄생했다. 대표적인 예로는 군론을 들 수 있다. 대수학의 기본 정리
을 얻는다. 즉, formula_7 는 유계인 전해석함수이다. 따라서 리우빌의 정리에 의해 formula_15는 상수함수이다. 그러나 가정에서 formula_16는 상수가 아니라고 하였으므로 formula_15 도 상수함수가 될 수 없다.(모순) 그러므로 formula_16 는 적어도 하나의 영점을 갖는다. 미적분학
급수(級數)란 수학에서 수열들의 각 항의 합을 의미한다. 즉, 급수란 여러 수들의 합연산으로 표현된다. 급수의 예로는 아래와 같은 등차수열의 합이 있다.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 99 + 100
급수에 더해지는 각 항들이 어떤 공식이나 알고리즘에 의해 표현되는 경우도 있다. 난수들로 이루어진 급수도 생각할 수 있다.
급수는 유한 급수와 무한급수로 나눌 수 있다. 유한 급수의 경우 기초적인 대수학의 법칙들만 사용하여도 그 값을 구할 수 있다. 하지만 무한급수는 그 정확한 합을 구하기 위해서는 해석학의 여러 정리들이 필요하다. 예를 들어 등차수열들의 합으로 이루어진 급수의 경우, 다음과 같이 나타낼 수 있다.formula_258 수 (수학)
수에 관한 중요한 점으로, 더하거나 빼거나, 곱하거나 나누는 등의 여러가지 연산을 수행할 수 있다는 점을 들 수 있다. (사칙연산 참조) 이런 연산에 대해서는 수학의 한 분야인 추상대수학에서 군, 환, 체 등의 형태로 일반화되어 논의되고 있다. 기수 (수학)
수학에서, 기수(基數, )는 집합의 크기를 나타내는 수이다. 유한 집합의 크기는 자연수로 나타내어지는데, 이를 무한 집합에 대하여 일반화한 개념이다. 무한 집합의 진부분집합은 자신이 포함된 집합 전체와 같은 크기를 가질 수도 있다. 모든 무한 집합이 같은 크기를 갖는 것은 아니며, 무한히 많은 크기의 무한 집합들이 있다. 대수학의 기본 정리
실수체 위에서 실계수 다항식을 기약다항식들로 인수분해할 때, 기약다항식이 갖는 최대의 차수는 formula_32 이다. 이는 실계수 다항식의 근이 갖는 켤레성, 즉 formula_33가 실계수 다항식의 근이면 이의 복소켤레 formula_34도 그 다항식의 근이 되는 성질 때문이다. 두 개의 복소계수 일차식의 곱은
와 같이 (formula_36는 실수) 실계수 이차식으로 환원된다. 수학적 대상
이 접근은, 수학의 존재론은 실천이나 교육법의 영향을 받아야 하는 것일지라는 근원적으로 철학적인 물음이 생긴다. 수학자는 그러한 부호화에 대한 연구는 실시하지 않고, 부호화는 규범적이지도 실천적이지도 않다. 그들은 어떤 대수학의 교과서에도 나타나지 않고, 대수학의 교정의 학생이나 지도자도 그러한 부호화에는 전혀 정통하고 있지 않다. 그러므로, 만약 존재론이 실천을 반영해야 할 것이라면, 수학적 대상은 이 방법으로는 집합에 환원할 수 없다.
그렇지만, 만약 수학적 존재론이 수학의 내부무모순성을 성립시키기 위해서 만들어져 있다면, 수학적 대상은 그 역설의 본질을 드러내기 위해서, 실제의 실천과는 관계없는 것으로, 어느 단일의 방법으로 (예를 들면, 집합으로서) 정의를 할 수 있는 것은 보다 중요하다. 이는 수학기초론에 의해서 놓쳐 온 관점이다. 수학기초론은 전통적으로, 수학적 대상을 집합으로서 정의하는 것에 대한 정당화로서 역설을 잘 취급하는 것에 수학적 실천의 상세를 정확하게 반영하는 것보다도 높은 우선 순위를 주어 왔다. 대수학의 기본 정리
수학자들은 17세기에 이미 이 정리가 옳으리라 생각하였으나 증명에는 성공하지 못하였다. 복소수의 개념이 없던 당시에는 “모든 실계수 다항식은 실계수 일차식들과 실계수 이차식들의 곱으로 나타낼 수 있다”라는 예상이었다. 장 르 롱 달랑베르와 레온하르트 오일러 등이 증명을 시도하였으나 모두 불완전하였고, 최초로 엄밀한 증명에 성공한 수학자는 19세기 초의 카를 프리드리히 가우스였다. 그 이후 이 정리는 복소수 계수 다항식으로 확장되었다. 가우스는 생애 동안 몇 가지의 다른 증명을 발표했다. 현재까지 순수하게 대수적인 증명은 아무도 발견하지 못했으며, 약간의 해석학 또는 위상수학을 도입해야 증명할 수 있다. 테트레이션
수학에서, 테트레이션()은 거듭제곱의 다음 차례에 오는 하이퍼 연산으로, 거듭제곱의 반복으로 정의된다. 이 단어는 루벤 루이스 굿스타인이 4를 뜻하는 tetra-와 반복함수를 의미하는 iteration을 합성한 것이다. 테트레이션은 보통 큰 수를 표기하는 데 이용한다. 표기법 formula_1은 formula_2에서 거듭제곱이 formula_3번 적용된 것을 의미한다. 대수학의 기본 정리
에 대해 formula_2 인 복소수 formula_3 가 적어도 하나는 존재한다는 것이다. 대수적 위상수학
대수적 위상수학(代數的位相數學, )은 추상대수학적 도구를 사용하여 위상 공간과 다양체들을 다루는 위상수학의 분야다. 산술
산술(算術, arithmetic)은 수학의 가장 역사 깊은 분야로, 수의 개념이나 수에 대하여 간단한 계산을 하는 방법, 그 성질이나 계산의 법칙 등의 이론적인 방법을 다루는 학문이다. 특히 정수, 유리수, 실수, 복소수를 사용하여 계산하는 방법을 말한다. 정수론이라고도 한다. 대수기하학
formula_15의 부분 집합이 적당한 formula_28에 대해 formula_31와 일치할 경우, 이를 대수적 집합이라 한다. 여기에서 formula_37는 아래에서 설명할 특수한 종류의 대수적 집합인 대수다양체()의 첫 글자를 딴 것이다. 수학
산술은 자연수와 정수 및 이에 대한 사칙연산에 대한 연구로서 시작했다. 수론은 이런 주제들을 보다 깊게 다루는 학문으로, 그 결과로는 페르마의 마지막 정리 등이 유명하다. 또한 쌍둥이 소수 추측과 골드바흐 추측 등을 비롯해 오랜 세월 동안 해결되지 않고 남아있는 문제들도 여럿 있다. 수학
수 대신 문자를 써서 문제해결을 쉽게 하는 것과, 마찬가지로 수학적 법칙을 일반적이고 간명하게 나타내는 것을 포함한다. 고전대수학은 대수방정식 및 연립방정식의 해법에서 시작하여 군, 환, 체 등의 추상대수학을 거쳐 현대에 와서는 대수계의 구조를 보는 것을 중심으로 하는 선형대수학으로 전개되었다. 수의 집합이나 함수와 같은 많은 수학적 대상들은 내재적인 구조를 보인다. 이러한 대상들의 구조적 특성들이 군론, 환론, 체론 그리고 그 외의 수많은 대수적 구조들을 연구하면서 다루어지며, 그것들 하나하나가 내재적 구조를 지닌 수학적 대상이다. 이 분야에서 중요한 개념은 벡터, 벡터 공간으로의 일반화, 그리고 선형대수학에서의 지식들이다. 벡터의 연구에는 산술, 대수, 기하라는 수학의 중요한 세개의 분야가 조합되어 있다. 벡터 미적분학은 여기에 해석학의 영역이 추가된다. 텐서 미적분학은 대칭성과 회전축의 영향 아래에서 벡터의 움직임을 연구한다. 눈금없는 자와 컴퍼스와 관련된 많은 고대의 미해결 문제들이 갈루아 이론을 사용하여 비로소 해결되었다. 통계학
수리 통계학은 수학의 방법을 통계학에 적용한 것이다. 통계학은 원래 국가에 대한 과학으로 생각되었는데 즉, 국가의 땅, 경제, 군력, 인구 등에 관한 사실을 수집하고 분석하는 것이었다. 사용되는 수학적 방법은 해석학, 선형 대수학, 확률분석, 미분 방정식과 측도 이론적 확률이론 등을 포함한다. 복소수
대수학의 기본 정리에 따르면, 복소수 계수 다항식의 근은 모두 복소수이다. 예를 들어,
는 여전히 복소수이다. 따라서, 복소수는 다항식의 가상의 근을 새로운 원소로서 첨가하는 방식으로는 더 이상 확장되지 않는다. 추상대수학의 용어를 사용하면, 복소수체는 대수적으로 닫힌 체이다. 크기
수학 용어에서 "크기는 더 길거나 더 짧은 것을 비교함으로써 측정하는 과정에서 추상화된 개념"이다. 크기는 물건을 비교하거나 측정하는 과정으로 결정되며 이로써 측정 단위와 상대적으로 길이나 질량과 같은 양의 등급을 결정하게 된다. 이러한 등급은 일반적으로 미터나 인치처럼 이전에 확립해 놓은 공간 스케일의 단위의 수치값으로 표현된다. 대수학자
또한 이 책은 웅장한 스케일에도 불구하고 과학적으로 탄탄한 배경을 가지고 있어, 과학 기술의 다양한 가능성을 탐구하여 과학 소설의 선구자라 할 수 있는 쥘 베른의 전통을 이어받았다는 평가를 받고 있다. 인간이 거대 가스 행성에서 호흡할 수 있도록 폐와 호흡 기관에 주입하는 액체인 '아가미액'의 개념이 흥미롭다. 특히 중력에 관한, 이미 널리 알려져 있으나 사람들이 실제 문제 해결에 적용하기는 어려워 하는 흥미로운 물리학 이론들은 줄거리를 이끌고 있으며 작품 속 수수께끼의 단서가 된다. 수학
수학(數學)은 양, 구조, 공간, 변화 등의 개념을 다루는 학문이다. 현대 수학은 형식 논리를 이용해서 공리로 구성된 추상적 구조를 연구하는 학문으로 여겨지기도 한다. 수학은 그 구조와 발전 과정에서는 자연과학에 속하는 물리학을 비롯한 다른 학문들과 깊은 연관을 맺고 있다. 하지만, 어느 과학의 분야들과는 달리, 자연계에서 관측되지 않는 개념들에 대해서까지 이론을 일반화 및 추상화시킬 수 있다는 차이가 있다고 한다. 수학자들은 그러한 개념들에 대해서 추측을 하고, 적절하게 선택된 정의와 공리로부터의 엄밀한 연역을 통해서 추측들의 진위를 파악한다.