오일러의 방정식은 무엇인가?
오일러 공식
오일러 공식(Euler's formula)은 수학자 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 공식으로, 복소수 지수를 정의하는 데에 출발점이 되며, 삼각함수와 지수함수에 대한 관계를 나타낸다. 오일러의 등식은 이 공식의 특수한 경우이다.
오일러 공식
g ( 0 ) = A = 1 g ′ ( 0 ) = B = i {\displaystyle {\begin{aligned}g(0)&=A&=1\\g'(0)&=B&=i\end{aligned}}} 오일러 변환
해석학에서 오일러 변환(Euler Transformation)이란 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 무한급수의 변환 기법이다. 이 변환은 수열의 이항 변환(Binomial Transformation)(혹은 마르코프 변환)을 이용한 중요한 응용 사례로 꼽힌다. 이 기법을 이용하면 일반적으로는 구하기 힘든 형태의 무한급수의 합을 구할 수 있는데, 특히 교대급수가 양수항 급수로 변환되는 경우가 많으므로 상당히 유용하다. 호인의 방법
오일러 방법은 호인의 방법의 기초가 된다. 오일러의 방법은 구간의 시작점에서의 함수의 접선을 구간 전체의 평균 기울기로 사용한다. 단계 크기가 충분히 작다고 가정하면 오차도 작을 것이다. 하지만 단계 크기가 극한으로 작다 하더라도 많은 단계에서는 오차는 축적되기 시작하고 추정값은 실제 함수값과 차이가 생긴다. 오일러 공식
x {\displaystyle x} 에 π {\displaystyle \pi } 를 대입하여, e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} 이라는 오일러의 등식을 구할 수 있다. 오일러 공식
양변을 x {\displaystyle x} 에 대해 미분하면: 오일러 특성류
대수적 위상수학에서, 오일러 특성류(Euler特性類, )는 유향 실수 벡터 다발에 의하여 정의되는 특성류이다. 벡터 다발이 어디서도 0이 아닌 단면을 갖는 것의 방해물이다. 접다발의 오일러 특성류는 오일러 지표와 같다. 균등 비압축성 오일러 방정식
오일러 방정식은 어떤 무한 차원 다양체 위의 측지선 방정식으로 표현될 수 있다. 오일러 공식
e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle e^{ix}\,=\,\cos x+i\sin x} 오일러 공식
그리고 여기에 함수 g ( x ) {\displaystyle g(x)} 의 초기 조건 중간점 방법
중간점 방법의 각 단계에서의 지역 오차는 formula_15이며,전체 오차는 formula_16로 나타난다. 따라서, 오일러의 방법보다는 더욱 계산이 많은 반면에, 방법의 중간점 방법의 오차는 일반적으로 formula_17일 때, 오일러의 방법보다 더욱 빠르게 감소한다. 오일러 수
오일러 수 formula_1은 다음과 같이 정의된다.
일부 저자들은 formula_3을 대신 오일러 수라고 부르기도 한다. 이렇게 하면 양의 정수로만 이루어진 수열을 얻는다.  오일러-라그랑주 방정식
그러므로 균등 비압축성 오일러 방정식
오일러 방정식은 레온하르트 오일러가 1757년에 발표하였으며, 최초로 연구된 편미분 방정식 가운데 하나이다. 뷔르거르스 방정식은 요하너스 마르티뉘스 뷔르거르스()의 이름을 땄다. 오일러의 정리 (기하학)
formula_4(길이가 같은 두 호 BM,CM의 원주각) 오일러의 네 제곱수 항등식
을 일반화한 결과이다. 오일러가 이 항등식을 처음으로 쓴 것은 크리스티안 골트바흐에게 보내는 1748년 5월 4일의 편지에서였다. 이 항등식은 단순한 식의 전개만으로 증명할 수 있어 일반적인 복소수체 위에서뿐 아니라 모든 가환환 상에서 성립하며, 주로 라그랑주의 네 제곱수 정리 등을 증명하는 데 이용한다. 또, 이 항등식은 그 자체로 사원수 a, b의 노름에 대해 formula_7 가 성립함을 의미하기도 한다. 보다 일반화된 형태로는 데겐의 여덟 제곱수 항등식이 있다. 오일러의 다면체 정리
따라서, formula_16 오일러 공식
허수단위 i {\displaystyle i} 는 상수이므로 g ( x ) {\displaystyle g(x)} 의 도함수와 이계도함수는 다음과 같다. 오일러 직선
기하학에서 오일러 직선(Euler直線, )은 삼각형의 여러 중요한 중심을 지나는 직선이다. 그림에서, 오일러 직선(붉은색)은 수심(푸른색), 구점원의 중심(붉은색), 무게중심(주황색), 외심(초록색)을 지난다. 오일러는 어떤 삼각형에서든지, 수심, 구점원의 중심, 무게중심, 외심이 한 직선 위에 있다는 것을 증명하였다. 오일러 방정식
오일러 보존 방정식은 다음과 같다. 오일러 공식
이제 C = 0 {\displaystyle C=0} 이라는 것을 증명한다. x = 0 {\displaystyle x=0} 일 경우를 계산해보면 오일러 공식
d z d x = i 2 sin ⁡ x + i cos ⁡ x = i ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) = i z {\displaystyle {\frac {dz}{dx}}=i^{2}\sin x+i\cos x=i(\cos x+i\sin x)=iz} 오일러의 정리 (기하학)
formula_1가 성립한다. 오일러 공식
따라서 다음과 같은 식이 성립한다: 균등 비압축성 오일러 방정식
실수선 위의 1차원 균등 비압축성 오일러 방정식을 생각하자. 이 경우, 오일러 방정식은 뷔르거르스 방정식()이라고 하며, 다음과 같다.
이는 특성곡선법으로 간단히 풀 수 있다. 특성 곡선의 방정식은
이다. 둘째 방정식에 의하여, 어떤 한 특성 곡선 위에서 속도 formula_17는 상수이며, 첫째 방정식에 의하여 특성 곡선은 다음과 같은 꼴이다.
즉, 일반해는 다음과 같이 주어진다.
여기서 formula_134는 formula_17의 초기 조건인 임의의 formula_136 함수이다. 중간점 방법
중간점 방법은 다음의 오일러 방법의 구체화이다.
그리고 중간점 방법은 같은 방식으로 도출된다. 오일러 방법을 유도하는 핵심은 근사적으로 같은것이다.
이것은 기울기의 수식에서 얻은 것이다.
formula_21인 것을 기억하자. 균등 비압축성 오일러 방정식
마찬가지로, 만약 formula_14이 짝수 차원이라고 하고, 그 위에 부피 형식 formula_114이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 원소 formula_107 및 임의의 다항식 formula_116에 대하여, 다음과 같은 값을 정의할 수 있다.
이 역시 마찬가지로 실수 값 함수
를 정의한다. 오일러의 연분수 공식
그런데 이 함수는 z = i에서 값이 존재하고, 실제로 이렇게 된다. 오일러 공식
(여기에서 C {\displaystyle C} 는 적분 상수이다.) 오일러-라그랑주 방정식
레온하르트 오일러와 조제프루이 라그랑주가 1750년에 도입하였다. 호인의 방법
수학과 계산과학에서 호인의 방법은 개선된 또는 수정된 오일러 방법(즉, 명시적 사다리꼴 법칙)을 가리키거나 비슷한 두 단계 룽게-쿠타 방법을 가리킨다. 이는 카를 호인의 이름을 딴 것이며 주어진 초기값을 가지고 상미분방정식(ODE)을 푸는 수치적 절차이다. 두 변종은 오일러 방법의 두 단계의 이차 룽게-쿠타 방법으로의 확장으로도 볼 수 있다. 디리클레 베타 함수
오일러 수 formula_13은 formula_15이 홀수일 때 formula_10이기 때문에, formula_11가 홀수일 때 formula_18임을 알 수 있다. 오일러의 곱셈 공식
양변에 formula_13를 곱하면 formula_14이라는 지수법칙에 의해 오일러의 곱셈 공식
이 성립한다. 첫 번째 식에서 두 번째 식을 빼면 좌변은 formula_16로 정리되고 우변에는 홀수의 formula_17제곱 항만이 남게 되므로 오일러 공식
오일러 공식은 다음과 같다. 실수 x 에 대해, 허수 지수 ix를 다음과 같이 정의한다. 오일러 공식
여기서, e는 자연로그의 밑인 상수이고, i {\displaystyle i} 는 제곱하여 -1이 되는( i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} ) 허수단위, sin , cos {\displaystyle \sin ,\cos } 은 삼각함수의 사인과 코사인 함수이다. 오일러 수 (조합론)
오일러 다항식 formula_12은 오일러 수를 계수로 하는 다항식이다. 오일러 수
홀수 차수의 오일러 수 formula_4은 모두 0이다. formula_5의 꼴은 모두 양의 정수이고, formula_6의 꼴은 모두 음의 정수다. 소수의 역수의 합의 발산성
먼저 오일러는 조화급수(harmonic series)가 발산함을 발견하였다. 즉, 다음의 급수가 발산한다.
오일러는 오일러의 곱셈 공식(Euler product formula)를 이용하여 소수가 무한함을 증명하였다.
여기서 곱은 모든 소수에 대해 계산한다. 위 결과는 산술의 기본정리 때문에 성립한다. 오일러 직선
증명은 다음과 같다. 오일러의 곱셈 공식
을 얻는다. 지수법칙에 의해 formula_25이므로, 위 식은 균등 비압축성 오일러 방정식
그렇다면, 여기에는 formula_60 위의 양의 정부호 쌍선형 형식
으로부터 자연스러운 이차 형식
을 정의할 수 있다. 이를 푸아송 다양체 위의 해밀토니언으로 삼아, 다음과 같은 해밀턴 방정식을 적을 수 있다.
여기서
구체적으로, 이 방정식은 formula_95에 정의된다. 이를 formula_96 위에 제약()을 가한 계로 생각할 수 있다. 이 경우, formula_97인 임의의 1차 미분 형식 formula_89에 대하여, 해밀턴 방정식은 다음과 같다.
여기서 formula_100은 formula_17의 제약을 위한 보정항이다. E (상수)
오일러 공식은 테일러 급수를 통해 유도될 수 있다. 아래는 오일러 공식의 유도 과정을 소개한 것이다. 오일러 상수
오일러 상수는 다음 두 수학 상수를 칭한다.(오일러는 자신의 이름을 딴 두 개의 상수를 가지고 있는 유일한 수학자이다.) 변분법
오일러-라그랑주 방정식은 함수 formula_11의 함수인 범함수 formula_12를 최소나 최대로 하는 함수 formula_13를 찾기 위한 것이다. 여기서 formula_12는 관성 좌표계
이것을 이용하여 오일러 방정식에 적용하면 다음과 같은 결과가 나온다. 삼각함수
오일러의 공식 formula_21에 formula_22를 대입하면, 오일러의 정리 (기하학)
기하학에서 오일러의 정리란, 삼각형의 외접원의 반지름 R, 내접원의 반지름 r이라 할 때, 외심과 내심의 거리 formula_1 이라는 정리이다. 오일러 프로젝트
파이썬 구현
산술 연산당 고정된 시간이 걸린다고 가정하면 대문자 O 표기법에 따르면 조잡하게 풀면 O(n) 이고 효율적인 알고리듬은 O(1) 이다. 오일러 방법
다시 말해 미지의 곡선이 주어졌을 때, 시작점(초기값) formula_1를 알고 있다면, 미분 방정식에서 formula_1지점의 접선과 그 기울기를 구할 수 있다. (오른쪽 그림을 참고) 오일러 운동 방정식
3차원 공간에서 한 점이 고정된 강체에 돌림힘 formula_1가 가해진다고 하자.
편의상, 관성 모멘트 텐서의 고유기저로 직교좌표계를 잡자. 즉, 관성 모멘트 텐서는 다음과 같은 꼴이다.
그렇다면 강체의 운동은 오일러 운동 방정식이라 불리는 다음 세 방정식을 만족한다.
여기서 formula_6은 강체의 각운동량, formula_7은 강체의 각속도, formula_8은 강체에 가해진 돌림힘이다. 오일러 방정식
유체 동역학에서, 오일러 방정식()은 유체의 비점성() 흐름을 다루는 미분방정식이다. 레온하르트 오일러의 이름을 따라 명명되었다. 오일러의 오각수 정리
formula_1 오일러 각
오일러 각(Euler角, )은 강체가 놓인 방향을 3차원 공간에 표시하기 위해 레온하르트 오일러가 도입한 세 개의 각도이다. 즉, 3차원 회전군 SO(3)의 한 좌표계다. 3차원 공간에 놓인 강체의 방향은 오일러 각도를 사용하여 세 번의 회전을 통해 얻을 수 있다. 오일러 항등식
오일러 항등식은 다음과 같은 오일러 공식의 특수한 경우이다.
여기에
를 대입하면 오일러 항등식을 얻는다. 오일러 공식
z = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle z=\cos x+i\sin x\,} 오일러의 정리 (기하학)
즉 formula_6 오일러 방법
오일러 방법(Euler's Method)은 수치해법을 통해서 미분방정식을 푸는 방법이다. 테일러 급수에서 유도된 방법으로, 비교적 오차가 크게 나는 방법이다.
형태가 알려지지 않은 미지의 곡선을 계산하는 문제를 생각해보자. 우리는 시작점(초기값)을 알고, 이 미지의 곡선이 주어진 미분 방정식을 만족한다고 가정한다. 이때, 이 미분 방정식은 미지의 곡선의 어떤 점에서도 접선의 기울기를 구할 수 있는 공식으로 생각할 수 있다. 양력
1754년 레온하르트 오일러는 뉴턴 운동 법칙의 제2법칙을 응용하여 아래와 같은 압력차 계산 공식을 정리하였다. 오일러 공식
g ( x ) = e i x {\displaystyle g(x)=e^{ix}} 예측자-수정자 방법
오일러 방법(양해법)을 예측자로, 사다리꼴 공식(음해법)을 수정자로 이용한 간단한 예측자-수정자 방법을 헤운 방법이라 하며, 대략적인 내용은 다음과 같다. 오일러 공식
cis 함수 또는 복소 지수 함수</b>는 오일러 공식으로부터 바로 유도되는 함수로, 다음과 같이 정의되는 것이다. 오일러 프로젝트
1000 미만의 자연수 중 3과 5의 배수를 모두 더한 값은 얼마인가요?
이 문제는 일반적인 문제에 비해 훨씬 쉽기 때문에 효율적인 알고리듬을 만드는 잠재적인 차이를 설명하는 데 쓰인다. 조잡한 알고리듬으로는 1000보다 작은 모든 자연수를 검사해 기준을 만족하는 수를 계속 더해 나가면 된다. 이 방법은 다음 서로 다른 언어를 통해 보는 예제와 같이 구현하기 쉽다. 오일러 변환
이때, 오일러 변환의 가능성을 보장해주는 정리는 다음과 같다.
즉, 교대급수 판정법에 의해 formula_1 이 0으로 수렴하는 감소수열이기만 하면 오일러 변환은 수렴하고, 위 정리를 이용할 수 있다. 오일러의 연분수 공식
또 여기서 급수 표현이 수렴하므로 아벨의 극한 정리에 의해 급수 표현과 이 값은 같고, π를 남기고 연분수로 표현하여 이항하면 바로 π의 연분수 표현을 얻는다. 오일러 방법
접선을 타고 조금 이동한 점을 formula_3이라고 하자. 만약 formula_3이 여전히 곡선 위에 있다고 가정한다면, formula_1에서와 같은 추론을 이용할 수 있다. 이렇게 몇차례를 반복하면, 다각형곡선 formula_6을 구할 수 있다. 일반적으로 이 곡선은 원래의 미지의 곡선에서 너무 멀리 발산하지 않는다. 그리고 두 곡선사이의 오차는 단계의 크기를 작게 하고, 구하고자 하는 범위는 유한으로 했을 때 줄일 수 있다. 오일러의 부등식
그런데 산술-기하 평균 부등식에 의해 formula_12 가 성립하므로, 이 세 식을 변변 곱하면 위 부등식이 성립한다. 오일러 변환
오일러 변환은 수열 formula_1에 이항 변환 formula_2을 적용하여, 다음과 같이 정의된다. 오일러 피 함수
수론에서, 오일러 피 함수(Eulerϕ函數, )는 정수환의 몫환의 가역원을 세는 함수이다. 즉, "n"이 양의 정수일 때, ϕ("n")은 "n"과 서로소인 1부터 "n"까지의 정수의 개수와 같다. 예를 들어, 1부터 6까지의 정수 가운데 1, 5 둘만 6과 서로소이므로, ϕ(6) = 2이다. 1부터 10까지의 정수는 모두 11과 서로소이며, 11은 자기 자신과 서로소가 아니므로, ϕ(11) = 10이다. 1은 자기 자신과 서로소이므로, ϕ(1) = 1이다. 오일러 변환
우선 수열 formula_9 에 이항 변환을 적용하여 formula_10을 구하면,
이 된다.(이는 재귀 관계를 조금만 생각해보면 명백하다. 파스칼 삼각형과 유사한 도식을 그리고, 맨 왼쪽 변과 그 바로 오른쪽 줄을 고려하면 된다) 따라서, formula_1 의 오일러 변환은,
이 되고, 맨 우변의 식은 물론 formula_18 가 된다. 오일러 공식
다음과 같은 복소수 z {\displaystyle z} 를 생각하자: 오일러 공식
양변을 적분하면: 오일러의 연분수 공식
그러므로 오일러의 연분수 공식을 적용하면 이 함수의 연분수 표현은 이렇게 된다. 중간점 방법
중간점 방법의 경우, (3)이 더욱 정확하게 된다.
(2)를 대신 할 때, 우리는 다음을 찾는다.
formula_24에서 formula_25의 값을 모르는 경우에는 이 방법을 사용해서 formula_26를 구할 수 없다. 이 솔루션은 오일러 방법을 사용하여 formula_27을 구할 때 처럼 테일러 급수를 사용한다:
(4)에 적용할 때, 다음과 명시적 중간점 방법 (1e)를 얻을 수 있다.
내재적 방법 (1i)은 formula_30에서 formula_31까지의 선분의 중간점으로 반 단계인 formula_32에서의 값을 근사해서 얻을 수 있다.
따라서
formula_35에 formula_36를 대입한 결과는 암시적 룽게-쿠타 방법이 된다.
첫번째 부분에서 단계 크기  암시적 오일러 방법이 포함된다.
암시적인 방법의 시간대칭성 때문에 지역 오차의 짝수 차수 항이 지워지기 때문에 자동적으로 지역오차는 formula_39이다. 명시적 오일러 방법이 암시적 방법으로 대체되면 명시적인 중간점 방법에서 k의 결과를 재결정한다. 오일러 공식
(1)에 x = 0 {\displaystyle x=0} 을 대입하면, 오일러 치환
오일러 치환이 처리하는 꼴의 적분을 구하는 데에는 계산량을 줄여주는 요령과 보다 더 간편할 수 있는 대안적인 방법이 존재한다. 예를 들어, 다음과 같은 공식은 특수한 꼴의 함수의 적분의 계산을 단순화한다.
여기서 formula_27는 각각 formula_28차 다항식 및 formula_29차 이하 다항식이며 formula_30는 상수이다. 각 formula_31에 대하여 이러한 조건을 만족시키는 formula_32 및 formula_33는 위 식 양변에 도함수를 취한 뒤 다시 양변에 formula_2을 곱하여 양변의 다항식의 계수를 비교하면 구할 수 있다. 다음과 같은 꼴의 적분은 formula_35와 같이 치환하면 위와 같은 꼴의 적분으로 귀결된다.
다음과 같은 꼴의 적분은 치환 formula_37 및 formula_38을 통해 구할 수 있다.
다음과 같은 꼴의 적분에서 formula_40일 경우, 적절한 치환 formula_41를 통해 1차항을 없앤 뒤, 부분 분수 분해의 각 항에 치환 formula_42 및 formula_43을 사용하여 구할 수 있다.
오일러 치환이 처리하는 꼴의 적분은 완전 제곱꼴을 만든 뒤 삼각 치환 또는 쌍곡 치환을 통해 구할 수도 있다. 정리된 루트 부분이 formula_45일 경우 formula_46 또는 formula_47와 같이 치환하며, formula_48일 경우 formula_49 또는 formula_50와 같이 치환하며, formula_51일 경우 formula_52 또는 formula_53와 같이 치환한다. 그러면 적분하려는 함수는 삼각 함수 또는 쌍곡선 함수에 대한 유리 함수로 변하며, 이는 바이어슈트라스 치환 등을 통해 구할 수 있다. 소수의 역수의 합의 발산성
오일러 곱셈 공식을 이용하여 약간의 논리적인 갭을 수반하는 다음의 계산이 가능하다. 먼저 formula_5의 테일러 전개를 통해 다음과 같이 계산한다.
마지막 등식의 formula_7는 어느 상수이다. 이로써 발산하는 속도가 formula_8에 근접함을 알 수 있다. 오일러 공식
g ″ ( x ) = − g ( x ) {\displaystyle g''(x)=-g(x)\ } 또는 g ″ ( x ) + g ( x ) = 0 {\displaystyle g''(x)+g(x)=0\ } 라는 2차 선형 미분방정식이 만들어지고, 오일러 수 (조합론)
낮은 차수의 오일러 수는 다음과 같다. 이러한 표를 오일러 삼각형이라고 하며, 파스칼 삼각형과 여러 유사한 성질을 가진다. "n"번째 행의 수들의 합은 formula_16이다. 균등 비압축성 오일러 방정식
유체 동역학에서, 균등 비압축성 오일러 방정식(均等非壓縮性Euler方程式, )은 비압축성 비점성 유체를 다루는 편미분 방정식이다. 보다 일반적인 오일러 방정식에서, 유체의 밀도가 상수 함수인 경우이다. 오일러 피 함수
오일러 피 함수는 곱셈적 함수다. 즉, 만약 두 정수 formula_7이 서로소라면, 다음이 성립한다.
오일러 피 함수 값은 소인수를 통해 다음과 같이 구할 수 있다. 이를 오일러 곱 공식()이라고 한다.
특히, 소수 formula_10의 거듭제곱 formula_11의 오일러 피 함수 값은
이다. 특히 소수 formula_10의 경우
이다. 오일러의 부등식
이 부등식은 삼각형 기하학에 대한 오일러의 정리로 불리는 다음 등식을 이용하면 자명하다.여기서 d는 임의의 삼각형 ABC에 대해 외접원과 내접원 사이의 거리이다. d=0이 되는 경우는 ABC가 정삼각형이 될 때뿐인데, 이 경우 정확하게 R=2r이 성립하므로 모든 경우에 대해 formula_7 을 얻는다. 오일러 공식
g ( 0 ) = − A cos ⁡ 0 + B sin ⁡ 0 = A g ′ ( 0 ) = − A sin ⁡ 0 + B cos ⁡ 0 = B {\displaystyle {\begin{aligned}g(0)&={\color {White}-}A\cos 0+B\sin 0&=A\\g'(0)&=-A\sin 0+B\cos 0&=B\end{aligned}}} 오일러의 곱셈 공식
과 같이 정리할 수 있다. 이제 좌변에 formula_27만을 남기고 모든 인수를 우변으로 이항하면, 원주율
원주율이 초월수임은 오일러 등식을 이용하여 다음과 같이 증명할 수 있다. 오일러 등식은,
이다. 이 때 π가 정계수 대수방정식 formula_14의 근이라면 formula_15이다. 따라서 formula_16 역시 성립하여야 한다. 이제 y=iπ라 하면 π=-iy 이고 -π=iy 이므로, iπ는 다음 식으로 나타낼 수 있는 정계수 대수방정식을 만족시켜야 한다.
이제 formula_18을 ν차원의 방정식이라 하면 그 근인 y, y,……, y에는 iπ가 존재하여야 하므로, 식 (1)에 따라 다음과 같이 나타낼 수 있다.
그런데 이러한 관계를 만족하는 대수방정식의 근이 유리수라고 가정하면 무한히 약분할 수 있어서, 이를 기약분수로 표현할 수 없는 모순이 생긴다. 유리수를 기약분수로 표현할 수 없다는 것은 유리수의 정의에 어긋나므로 π가 정계수 대수방정식 formula_14의 근이라는 최초의 가정이 잘못되었다고 볼 수밖에 없다. 즉, 원주율은 초월수이다. 자세한 증명은 링크한 주석을 참고하기 바란다. 힐베르트 변환
[[오일러 공식]]에 의해, 오일러의 연분수 공식
또는 이를 조금 보기 좋게 쓰면 다음과 같다. 오일러 수 (조합론)
조합론에서, 오일러 수(Euler數, )는 주어진 개수의 역행을 가지는 순열을 세는 수이다. 오일러 공식
g 1 ( x ) = cos ⁡ x g 2 ( x ) = sin ⁡ x {\displaystyle {\begin{aligned}g_{1}(x)&=\cos x\\g_{2}(x)&=\sin x\end{aligned}}} 오일러의 다면체 정리
formula_1 호인의 방법
오일러의 방법은 대략적으로 솔루션의 다음 점의 위치를 계산하는데 사용되고 이 지식을 바탕으로 원래의 예측을 재-예측하거나 "수정"한다. 방정식의 오른쪽에 있는 양 formula_8formula_9, 이것은 다음 점의 오일러 예측과 결합하여 오른쪽 끝 접선의 기울기를 얻을 수 있다. 다음으로 두 기울기의 평균은 구간의 오른쪽 끝의 위치를 교정하는데 사용된다. 균등 비압축성 오일러 방정식
리만 계량을 갖춘 경계다양체 formula_1이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 균등 비압축성 오일러 방정식은 어떤 시간 의존 스칼라장
과 시간 의존 벡터장
에 대한, 다음과 같은 1차 편미분 방정식이다.
여기서
formula_11는 보통 변수가 아니라 주어진 배경장으로 취급한다. 오일러 방정식에는 formula_11의 도함수만이 등장하므로, 만약 어떤 상수 formula_31에 대하여 formula_32와 같이 치환하더라도 formula_33의 해는 바뀌지 않는다. 또한, 만약 둘째 및 셋째 방정식을 만족시키는 (즉, 경계에 평행한 무발산 벡터장 formula_33가 주어지면), formula_11는 상수항을 무시하면 유일하게 결정된다. 오일러 프로젝트
오일러 프로젝트(Project Euler)는 컴퓨터 프로그램으로 수학 문제를 풀기 위해 만들어진 웹사이트이다. 이 프로젝트는 수학과 컴퓨터 프로그래밍에 흥미를 돋우기 위해 만들어졌다. 2009년 5월, 이 프로젝트는 250개 이상의 다양한 난이도의 문제를 포함하고 있다. 각 문제는 효율적인 알고리즘이라면 현대의 컴퓨터로 1분 내에 풀 수 있다. 새 문제를 2001년부터 주기적으로 추가하고 있다. 문제에 바른 답을 제출한 사용자는 각 문제에 딸린 포럼을 볼 수 있다.로그인 한 사용자는 문제를 푼 수에 따른 고득점자 순위를 볼 수 있다. 25문제를 풀 때마다 레벨이 올라가며, 독특한 앰블럼이 주어진다. 특정 조합의 문제들을 풀면 '상'을 얻을 수도 있다. 오일러 공식
d z d x = − sin ⁡ x + i cos ⁡ x {\displaystyle {\frac {dz}{dx}}=-\sin x+i\cos x} 균등 비압축성 오일러 방정식
오일러 방정식은 또한 무한 차원 선형 푸아송 다양체 위의 해밀턴 방정식으로 간주할 수 있다. 역 오일러 방법
미분방정식 formula_1을 formula_20formula_21
적분을 직사각형이 하나뿐인 우측 직사각형 방법으로 오른쪽에서 적분을 근사하자:
마지막으로 formula_24은 formula_25를 근사하고 역 오일러 방법의 공식은 다음을 따른다. 오일러 방법
이 방법의 목적은 다음과 같은 조건이 주어졌을 때 함수 formula_7의 값을 추정하는 것이다. 오일러의 연분수 공식
이 복소 연분수이고 어느 b 도 0이 아니라면, 그 비의 열 {r}은 다음과 같이 정의할 수 있다. E (상수)
한편 formula_22인 지수함수의 테일러 급수는
이다. 이때, formula_24라 하면 이 테일러 급수의 전개는 다음과 같이 변환될 수 있다.
위 식에서 짝수 차수 항과 홀수 차수 항을 따로 모아 정리하면
가 된다. 위 식을 살펴 보면 실수항은 코사인 함수의 테일러 급수이고 허수항은 사인 함수의 테일러 급수임을 알 수 있다. 따라서, 다음과 같은 오일러 공식이 성립한다. 오일러 공식
ln ⁡ 1 = C C = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\ln 1&=C\\C&=0\end{aligned}}} 오일러의 오각수 정리
formula_2