2D의 직교 좌표계를 좌표평면이라고 하나요?
직교 좌표계
직교 좌표계(直交座標系, ) 혹은 좌표평면(座標平面)은 임의의 차원의 유클리드 공간(혹은 좀 더 일반적으로 내적 공간)을 나타내는 좌표계 중 하나이다. 이를 발명한 프랑스의 수학자 르네 데카르트의 이름을 따 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)라고도 부른다. 직교 좌표계는 극좌표계 등 다른 좌표계와 달리, 임의의 차원으로 쉽게 일반화할 수 있다. 직교 좌표계는 나타내는 대상이 평행 이동에 대한 대칭을 가질 때 유용하나, 회전 대칭 등 다른 꼴의 대칭은 쉽게 나타내지 못한다. 일반적으로 주어진 유클리드 공간에 기저와 원점이 주어지면 이를 이용하여 직교 좌표계를 정의할 수 있다.
정역학
직교 좌표계에서 평형 방정식은 3 개의 모든 방향의 힘의 합이 0에 동일한 3개의 스칼라 방정식으로 나타낼 수 있다.
특정물체 또는 물체의조합을 해석대상으로 결정하면, 이러한 물체 또는 물체의 조합은 모든 주위의 물체로부터 분리된 단일물체로 취급한다. 동차좌표
사영기하학에서, 동차좌표(同次座標, )는 formula_1차원 사영 공간을 formula_2개의 좌표로 나타내는 좌표계다. UTM 좌표계
지구상의 지점은 UTM 세로 격자와 종·횡 좌표로써 표현된다. 종좌표는 대상점의 적도로부터의 투영 거리, 횡좌표는 대상점이 속한 구역의 중앙 자오선으로부터 대상점까지의 투영 거리이다. 대상점의 종좌표와 횡좌표는 미터로 표시하며, 좌표가 음수로 표시되는 것을 방지하기 위해 횡좌표에는 500,000m를 더하여 표시하며, 남반구의 종좌표에는 10,000,000m를 더하여 표시한다. 적도에서의 UTM 구역의 서쪽 경계는 167,000 m, 동쪽 경계는 833,000 m이나 남북으로 갈수록 경계는 달라진다. 곡선좌표계
또한, 다음과 같이, 곡선 직교정규 기저 벡터들(curvilinear orthonormal basis vectors)을 정의할 수 있다: 비례
x와 y가 정비례하고 비례상수를 k라고 하자.정비례 관계는 일차함수의 특수한 경우이다. 특히 직교좌표를 취해 함수의 그래프를 그리면, 그 그래프는 원점을 지나는 직선을 그린다. 타원
2차원 직교좌표계에서 원점 O가 타원의 장축과 단축의 교점이며, 각 축이 x축이나 y축과 일치할 때의 타원의 방정식은 다음과 같이 간단히 표현된다. 지리 좌표계
위도는 주어진 지구의 표면 지점의 수직선(추선)과 적도면이 이루는 각이다. 같은 위도의 지점을 연결한 선은 위선이라고 부르며 적도에 평행한 동심원이 된다. 북극은 북위 90°이다. 0° 위선은 적도이며 구면 좌표계의 기본 평면이 된다. 적도는 지구를 북반구와 남반구로 분할한다. 일반상대론 개론
중력과 가속도의 등가, 조석력의 역할을 탐구하던 아인슈타인은 표면 기하학에서도 상당한 유추거리들을 발견해냈다. 예컨대 관성기준계(자유 입자가 일정한 속력으로 직선 경로를 따라 운동)를 회전기준계(입자 운동을 설명하기 위해 겉보기힘에 해당하는 추가적 표현이 도입되어야 함)로 전환시키는 것은 직교 좌표계(모든 좌표선이 직선)를 곡선 좌표계(좌표선이 직선일 필요 없음)로 전환시키는 것과 같다. 곡선좌표계
여기서 formula_39 는 텐서 곱을 나타낸다. 성분들 "S" 은 상기 2차 텐서의 반변 성분들이라 불리고, "S " 은 혼합된 우-공변 성분들이라 불리고, "S " 은 혼합된 좌-공변 성분들이라 불리고, "S" 은 공변 성분들이라 불린다. 2차 텐서의 성분들은 아래의 식에 의해 관련지어진다. 천구좌표계
천구좌표계(, )는 천문학에서 위성, 행성, 항성, 은하 등 천체의 위치를 나타낼 때 사용하는 좌표계이다. 천구좌표계는 구면좌표계의 일종으로, 하늘을 둘러싼 가상의 구인 천구에서 천체의 방향을 가리키는 방식을 사용하는데, 이는 3차원으로 좌표를 표현하려면 해당 지점까지의 위치를 알아야 하는데, 천문학에서는 천체까지의 위치를 정확히 알 수 없거나, 거리가 중요하지 않은 경우도 많기 때문이다. 선도표
선도표, 라인 차트()는 직선 세그먼트로 연결된 '마커'(marker)라는 이름의 일련의 데이터 지점으로 정보를 표시하는 차트의 일종이다. 수많은 분야에서 일반화된 기본적인 유형의 차트이다. 측정 지점이 정렬되고(일반적으로 x축 값으로 정렬) 직선 세그먼트와 함께 병합된 것을 제외하고는 산점도와 비슷하다. 선도표는 시간 간격에 따라 데이터의 경향(트렌드)을 시각화하기 위해 종종 사용되는데 이를 시계열이라고 하며, 이에 따라 선은 시간 순서에 따라 표현되기도 한다. 이러한 경우에는 실행 도표(런 차트, run chart)라고 부른다. 직교 좌표
formula_1 천구좌표계
지평좌표계(고도-방위각 좌표계)는 지구의 관측자를 중심으로 하며, 관측자가 있는 지점의 이론상의 수평선과 별 사이의 관계를 나타낸다. 천체의 위치를 지평좌표계로 계산하면 위치가 계속해서 변하지만, 천체를 관측 및 추적하기에는 편리한 좌표계이다. 원통좌표계
3차원 공간의 점 P 는 formula_3로 표시된다. 이를 직교좌표계로 표시해 보면 다음과 같다.:
formula_1에 높이(height)란 의미를 주어 formula_1대신 formula_2를 사용한 formula_19란 표기도 자주 쓰인다. 곡선좌표계
φ = φ(x) 는 잘-정의된 스칼라 장이고, v = v(x) 는 잘-정의된 벡터 장이고, "λ", "λ"... 는 좌표들의 파라미터들이라고 하자. 다각형
직교 좌표계에서 각 꼭짓점의 좌표가 그 내부를 반시계방향으로 도는 순서대로 formula_2로 주어져 있는 단순한 다각형의 넓이 formula_3 는 다음과 같이 계산할 수 있다. 직교 좌표
여기서 "d"는 고려되는 공간의 차원이고 스케일 함수들(또는 스케일 인수들)은 쌍곡공간
formula_3차원 쌍곡공간 formula_2은 다양한 좌표계로 정의할 수 있다. 정칙 이차 미분
리만 곡면 formula_1 위의 정칙 이차 미분 formula_9가 주어졌다고 하고, 임의의 점 formula_10에 대하여 formula_11이라고 하자. 그렇다면, formula_12의 어떤 (충분히 작은) 근방 formula_13에 다음과 같은 국소 좌표계를 정의할 수 있다.
이를 formula_16로부터 정의되는 표준 좌표계(瓢樽座標系, )라고 한다. 3차원
아래는 좌표계의 그림이다. 직교 좌표
기저 벡터들이 같은 길이일 필요는 없다. (좌표들의 스케일 인수들로서 알려진) 유용한 함수들은 기저 벡터들 formula_6의 길이들 formula_7이다(아래 표 참조). 스케일 인수들은 종종 라미 계수들(Lamé coefficients)로 불리기도 하는데, 선형 탄성 분야에서 더욱 잘 알려진 계수에 대해서도, 같은 이름이 사용되고 있으므로, 이러한 용어를 사용하지 않는 것이 바람직하다. 곡선좌표계
여기서, e = (1,0,0...,0), e = (0,1,0...,0), e = (0,0,1...,0)...,e = (0,0,0...,1)는 R 공간의 벡터들의 표준 기저 세트이고, "i" = 1, 2..."n" 는 인덱스-라벨링 성분들이다. 각 벡터는 각 차원(또는 "축")에서 정확하게 하나의 성분을 갖고, 이들은 서로 직교(수직)하며 정규화된다(즉, 단위 크기를 갖는다). UPS 좌표계
UPS 좌표계()은 지구상의 위치를 나타내기 위해 UTM 좌표계와 더불어 사용되는 지리 좌표계이다. UPS 좌표계는 지구의 양 극점 부근의 위치를 나타내는 데 사용되는데, UTM 좌표계에서 나타낼 수 없는 북위 84°보다 북쪽과 남위 80°보다 남쪽 지역에 해당된다. 단, 두 좌표계의 경계부가 중첩될 수 있도록 UPS 좌표계의 한계는 위도 30분씩 확장되어 있다. UPS 좌표계에서는 UTM 좌표계와 마찬가지로, 등각투영된 직교 격자망과 미터 단위를 사용한다. 극좌표계
세 가지 구면좌표계의 좌표들은 다음과 같은 공식으로 직교 좌표로 변환될 수 있다. 직교 좌표
삼차원 및 고차원에서의 직교 좌표계들은 직교하는 2차원 좌표계로부터 생성될 수 있다. 예를 들면, 2차원 직교 좌표계를 새로운 차원(원통 좌표)로 투영하거나 2차원 직교 좌표계를 그 대칭 축들 중의 하나에 대해 회전시킴으로써 삼차원 및 고차원에서의 직교 좌표계를 생성할 수 있다. 하지만 2차원 좌표계를 투영하거나 회전하는 방법을 통해서는 얻어질 수 없는 다른 3차원 직교 좌표계들도 있다(예를 들면, 타원 좌표). 보다 일반적인 직교 좌표는 필요한 좌표 곡면을 가지고 시작하되 그들의 직교 궤도들을 고려함으로써 얻어질 수 있다. 초구면 좌표계
일반적으로 4차원 초구면 좌표 변환은,
와 같이 쓸 수 있다. 모든 변수들은 서로 독립이며, 4차원 유클리드 공간에서 3-평입체의 방정식 formula_34 은 3차원 구면 좌표계와 동일하게 매개변수화되어야 하기 때문이다. 그런데, 유클리드 노름의 정의에 의해서,
처럼 쓸 수 있고, formula_36를 소거하고 삼각함수 항등식에 의해 식을 묶으면,
이 된다. 이 식은 각 변수들에 대해 독립적인 항등식이다.  UTM 좌표계
UTM 좌표계()는 전 지구상 점들의 위치를 통일된 체계로 나타내기 위한 격자 좌표 체계의 하나로 1947년에 개발되었다. UTM 좌표계에서는 지구를 경도 6° 간격의 세로 띠로 나누어 횡축 메르카토르 도법으로 그린 뒤, 위도 8° 간격으로 총 60×20 개의 격자로 나누어 각 세로 구역마다 설정된 원점에 대한 종·횡 좌표로 위치를 나타낸다. 지리 좌표계가 극지방으로 갈수록 직사각형이 크게 감소하는 반면 UTM 좌표계는 직사각형 모양을 유지하므로 거리, 면적, 방향 등을 나타내는 데 매우 편리하다는 장점이 있다. 보충 경계
2차원 연결 콤팩트 곡면은 표준적으로 formula_50개의 원환면과 2개 이하의 사영 평면의 연결합으로 나타낼 수 있다. 구 formula_99에 0-수술을 가하면 (즉, formula_100를 도려내고 formula_101를 붙이면) 수술 방법에 따라 원환면 또는 클라인 병 formula_102을 얻는다. 보다 일반적으로, 이를 통해 다음과 같은 보충 경계를 얻을 수 있다.
따라서, 모든 콤팩트 매끄러운 곡면은 구 formula_99 또는 사영 평면 formula_106과 보충 경계적임을 알 수 있다. 그러나 구와 사영 평면 사이에는 보충 경계가 존재하지 않는데, 이는 구의 오일러 지표는 짝수이지만 사영 평면의 오일러 지표는 홀수이기 때문이다. 즉, 2차원에서 보충 경계류는 오일러 지표의 홀짝성에 의하여 완전히 분류되며, 2차원 보충 경계군은 2차 순환군이다.
모든 콤팩트 리만 곡면을 3차원 콤팩트 다양체의 경계로 나타낼 수 있다는 사실은 베스-추미노-위튼 모형에서 중요한 역할을 한다. 일반화 좌표
일반화 좌표()는 물리적 계를 더 쉽게 분석하기 위해 사용되는 매개변수의 집합을 말한다. 데카르트 좌표계가 표준이던 시절에 붙여진 이름이다. 알반상대론의 수학적 공식화 개론
곡선 좌표들은 축들 사이의 각도가 점마다 바뀔 수 있는 좌표들이다. 이 말은 (직선들의 그리드를 갖는 대신) 그리드가 곡률을 갖는다는 것을 의미한다. 이면각
이면각(二面角, dihedral angle)은 공간기하학에서 교차하는 두 평면이 이루는 각을 말한다. 일반상대론 개론
지구와 같은 구형 표면은 단순한 사례를 제공한다. 표면상의 모든 점의 위치는 위도와 경도라는 두 개의 좌표로 기술될 수 있다. 평면상의 직교좌표계와 달리, 좌표의 차이는 표면상 거리의 차이와 같은 것이 아니며, 이는 오른쪽 그림을 보면 쉽게 이해된다. 적도에 있는 사람이 서쪽을 향해 경도 30 도를 이동했을 때 이동 거리(자주색 선)는 약 3300 킬로미터이다. 반면 북위 55도에 있는 사람이 같은 방향으로 같은 경도만큼 이동했을 때 이동 거리(파란색 선)는 약 1900 킬로미터이다. 고로 구형 표면상의 기하를 설명하기에 이 두 좌표는 충분한 정보를 제공해주지 못하며, 구형 표면보다 더 복잡한 공간 또는 시공간에 대해서는 말할 것도 없다. 이때 모자란 정보가 바로 계량 속에 정밀하게 함축되어 있다. 계량은 표면(또는 공간, 또는 시공간)상의 각 점에서 정의되는 함수로서 좌표의 차이를 거리의 차이와 관계짓는다. 기하에서 알고자 하는 다른 모든 물리량, 예컨대 임의의 곡선의 길이 또는 두 곡선이 만나는 각도 등은 이 계량 함수로 계산될 수 있다. 오일러 지표
v를 꼭짓점, e를 모서리, f를 면의 수라고 할 때 오일러 지표 formula_1는 다음과 같다.
오일러 지표는 위상수학적 불변량이고, 모든 다면체는 구와 위상동형이므로, 다면체의 오일러 지표의 값은 그 모양에 관계 없이 항상 2이다.
일반적인 곡면이 주어지더라도 표면에 다각형을 그려서 오일러 지표를 계산할 수 있다.
레온하르트 오일러가 다면체에 대하여 정의하였다. 이후 이 개념은 대수적 위상수학을 통해 일반적인 위상 공간의 호몰로지에 대하여 일반화되었다. 타원곡선
실수체 상에서, 타원곡선은 실수 a와 b에 대해 방정식
로 정의되는 평면 곡선이다. 1이 아닌 3차항의 계수와 0이 아닌 2차항의 계수는 "x,y"를 다시 정의함으로써 흡수시킬 수 있기 때문에, 우변이 임의의 "x"의 3차식이면 언제나 이 형태로 만들 수 있다. 이런 형태의 식을 바이어슈트라스 방정식이라고 한다. 비유클리드 기하학
구면에서는 유클리드의 평행선 공리, 즉 한 직선이 있고 그 위에 있지 않은 어떤 점을 지나면서 그 직선에 평행한 직선은 오직 하나 있다는 것이 위배된다. 대신 타원기하학에서 평행선 공리는 한 직선이 있고 그 위에 있지 않은 어떤 점을 지나면서 그 직선과 만나지 않는 직선은 존재하지 않는다는 것이다. 타원 기하학의 모형으로는 좌표공간의 한 정점으로부터 같은 거리에 있는 점의 집합인 구를 생각할 수 있다. 이때 정점을 구 의 중심, 같은 거리를 구의 반지름의 길이라고 한다. 구에서 중심을 지나는 평면과 구의 교선을 직선으로 정의하면 평행공리의 불능이 성립함을 알 수 있다. 또한 타원기하학에서 구면에 그린 삼각형 내각의 합은 180도보다 크게 나타난다. 이러한 타원기하학은 도형을 도표에 의해 표현할 때마다 변형을 피할 수 없음을 의미한다. 하나의 관점, 즉 직선의 곧음성을 충실하게 표현하는 도표들은 다른 관점, 즉 길이나 각들을 변형시킬 것이다.
헤르만 민코프스키가 19세기에 고안한 택시 기하학은 유클리드 좌표기하와 거의 유사하나 거리함수가 다르다. 예를 들어, 블록으로 이루어진 도로가 있는 경우 점과 점 사이를 구할 때, 유클리드 기하학은 점과 점 사이의 거리 공식을 이용하는 반면 택시기하학에서는 블록의 변을 센다. 곡선좌표계
결과적으로, 일반적인 곡선 좌표계는, 모든 점들에 대해, 두 종류의 기저 벡터들의 세트들을 갖는다: {b, b, b}는 공변 기저이고, {b, b, b}는 반변(또는 레시프로칼) 기저이다. 직교하는 곡선 좌표계에서, 공변 및 반변 기저 벡터들은 동일한 방향을 갖지만, 일반적으로, 서로에 대해 역수의 단위들을 갖는다. 3차원
3차원의 좌표는 직교 좌표계, 원통 좌표계, 구면좌표계로 나타낸다. 직교 좌표
이때 F/"h" 는 해당 표면에 수직한F의 성분이라는 점을 주목할 것. 변분법
2차원 좌표평면상에 두 점 formula_62와 formula_63가 있다고 하자. 그렇다면 이 두 점을 연결하는 가장 짧은 곡선은 다음과 같은 범함수 formula_64 를 최소로 만드는 곡선이다. 직교 좌표계
르네 데카르트 복소평면 극좌표계 직교 좌표
2차원에서 직교 좌표계들을 생성하기 위한 간단한 방법은 데카르트 좌표들("x", "y")의 표준적인 2차원 그리드의 등각 매핑을 통해서이다. 복소수 "z" = "x" + "iy" 는 실수 좌표"x" 와 "y"로부터 형성될 수 있다(여기서 i는 허수 단위를 나타낸다). 영이 아닌 복소 도함수를 갖는 임의의 정칙 함수 "w" = "f"("z")는 등각 매핑을 생성한다: 그렇게 만들어진 복소수가 "w" = "u" + "iv"로 쓰여진다면, u 및 v가 상수인 곡선들은 x 및 y가 상수인 원래의 선들과 마찬가지로 직각으로 교차한다. 구면좌표계
다른 3차원 좌표계로 변환하는 공식은 다음과 같다.각 단위벡터의 직교좌표에서의 표현은 다음과 같다. 극좌표계
초점 중 하나가 극에 있으며 다른 하나는 0°의 어딘가에 있는(원뿔 곡선의 주축이 극축에 있도록) 원뿔 곡선은 다음과 같이 정의된다. 허수
한 평면상에 직교 좌표계를 정하고 이에 대한 한 점 Z 의 위치 (x, y)를 formula_13로 정하여 복소수를 평면상의 점으로 표시할 수 있다. 이 때, 좌표와 복소수는 일대일 대응을 이룬다. 또한, 이렇게 나타낸 점 Z(x,y)는 극좌표를 사용하여 원점에서 부터 점 Z 사이의 반지름과 각도로서도 나타낼 수 있다. 즉,
가 된다. 해석기하학
일반적으로 직교 좌표계는 2~3차원으로 된 평면, 직선, 직사각형에 대한 방정식을 다루는 데 이용된다. 기하학적으로는 유클리드 평면 (2차원)과 유클리드 공간 (3차원)을 연구한다. 교과서에서 나온 바와 같이 해석기하학은 더 단순히 설명할 수 있다: 기하학적 모양을 수많은 방법으로 정의하고 결과로부터 수치 정보를 가져오는 것과 관련할 수 있다. 그러나 수치적인 결과는 벡터나 도형일 수도 있다. 실수의 대수가 기하학의 선형 연속체에 대하여 결과를 양산하는 데 이용할 수 있는 것은 칸토어 데데킨트 공리에 달려 있다. 차원
예를 들어, 평면에 포함된 한 점의 위치를 지정하는 데에는 두 개의 숫자가 필요하다. (보다 구체적으로 말해, 지구의 일부분을 묘사한 지도에서 특정한 위치를 찾아내기 위해서는 위도와 경도라는 두 개의 숫자를 알아야 한다.) 따라서 평면은 2차원이다. 수요
가격과 수요량의 관계는 수요곡선으로도 표현할 수 있다. 수요곡선은 우하향하는 모양을 띈다. 일반적으로 2차원 평면에 그리며, 가격과 수요량 단 두 변수사이의 관계를 보여준다. 다른 모든 변수들은 일정하다고 가정하지만 그 변수들 역시 수요곡선의 일부이며 변수들의 변화는 곡선의 위치를 결정한다. 수요곡선을 비롯한 대부분의 경제 그래프에서 독립변수는 세로 축에 표시되고 종속변수는 가로 축에 표현된다. 결과적으로 그래프는 P = f(Q)를 그린 꼴이 된다. 여기서 f(Q)는 수요함수의 역함수이지만 간편하게 이를 수요곡선이라 부르기도 한다. 곡선좌표계
이 공간의 좌표들은 x = ("x", "x"...,"x")로 표기된다. 이것은 벡터(벡터 공간의 한 원소)이기 때문에, 다음과 같이 쓰여질 수 있다: 곡선좌표계
점 "E" 는, 거리 "PE가" 극한적으로 작아지도록(infinitesimally small), P에 아주 가깝게 위치한다고 하자. 그러면, "q" 축 상에서 측정된 "PE"는 "q" 라인 상에서 측정된 "PE"와 거의 일치한다. 동시에, 비율 "PD/PE" ("PD" 는 x축에 대한 "PE" 의 투영 길이)는 formula_25와 거의 같아진다. 8차원 회전군
8차원 회전군은 8차원 실수 계수 직교군 formula_1이다. 그 딘킨 도표는
이다. 이 그래프는 중심 밖의 꼭짓점의 순열에 대하여 3차 대칭군 formula_3 대칭을 갖는데, 이를 삼중성()이라고 한다. 삼중성을 갖는 연결 딘킨 도표는 이것이 유일하다. 극좌표계
매개변수 "a"는 나선의 위치를 돌려 놓으며, "b"는 나선 사이의 폭을 조정한다. "r"("θ") = "bθ"일 경우, 각이 "θ" > 0일 때와 "θ" < 0일 때, 각각의 아르키메데스 소용돌이는 두 가지의 곡선을 그리며 이들은 극에서 매끄럽게 만난다. 90°/270°선(직교 좌표계의 y축과 같음)을 기준으로 좌우대칭상을 그리면 다른 쪽 곡선이 나온다. 이 곡선은 수학 관련 저술에서 원뿔 곡선 다음으로 등장하는 곡선이며 극좌표로 가장 잘 표현되는 예로 거론된다. 초구면 좌표계
여기서 우선 formula_38 식에서 매개변수를 취해 formula_39로 둔다. 그러면 항등식의 나머지 부분에서,
를 얻는다. 이제 처음의 조건, 즉 formula_34은 3차원 구면 좌표계와 동일하게 매개변수화되어야 한다는 조건을 다시 적용하면,
와 같은 식을 얻는다. 이제까지의 결과를 이용해 다시 직교좌표에서 초구면좌표로의 변환식을 구성해 보면, formula_43의 범위에 관한 사항을 얻을 수 있다. 복소평면
수학에서, 복소평면(複素平面)은 복소수를 기하학적으로 표현하기 위해 개발된 좌표평면으로 서로 직교하는 실수축과 허수축으로 이루어져 있다. 이것은 복소수의 실수부가 실수축에, 허수부가 허수축에 대응된 형태의 데카르트 좌표로 볼 수 있다. 극좌표계
구면좌표계의 "r"은 원점과의 거리인 반면 원통 좌표계의 "r"은 "z"축과의 거리이다. 따라서 이를 구분하기 위해 원통 좌표계의 반지름을 "r"대신 "ρ"를 써서 표기하기도 한다. 원통 좌표계의 "θ"는 구면좌표계의 "θ"가 아닌, "φ"와 일치한다. 또한 이 좌표계는 지구의 지도에 사용되는 위도, 경도와 비슷하다. 위도 "δ"는 'θ'의 여각이며("δ" = 90° − 'θ'), 경도 formula_16은 formula_16 = 'φ' − 180°와 같이 정의된다. 직교
수학에서, 직교(直交, )는 기하학의 수직을 일반화하여 얻는 개념이다. 두 벡터의 내적이 0일 때, 다시 말해 이 둘이 직각을 이룰 때, 이 두 벡터가 서로 직교한다고 한다. 기호는 formula_1. 직교 좌표계
또한 이러한 직교좌표계의 정보는 고차원의 직교 좌표계뿐만 아니라 다른 좌표계의 정보로 확장될 수 있어 더욱 중요한 의미를 갖는다. 곡선좌표계
그 점은 곡선 좌표들("q", "q", "q")을 통해서도 정의될 수 있을 것이다(만일, 그러한 세개의 숫자들("q", "q", "q")이 애매함이 없는 방식으로 그 점을 정의하기만 한다면). 좌표들 사이의 이러한 관계는 아래의 가역적 변환 함수들을 통해 표현될 수 있다. 천구좌표계
밑의 표는 천문학계에서 사용하는 좌표계의 목록이다. 좌표계들은 공통적으로 기본평면을 통해 천구를 2등분하며, 이 기본평면이 위도 계산의 기준점이 된다. 이는 지구 표면에서 사요아는 적도와 같은 개념이다. 극은 기본평면에서 ±90°지점에 위치한다. 기준 방향(Primary direction)은 경도 계산의 기준점이 된다. 좌표의 원점은 천구의 중심이지만, 천구의 개념 자체가 중심의 정의가 명확하지 않다. 곡선좌표계
이러한 극한적으로 작은 길이들 "PD" 및 "PE"를 각각 "dx" 및 d"q"로 표기하기로 하자. 그러면, 곡선좌표계
일반적으로, 곡선 좌표계들은 자연 기저 벡터들 h 이 상호 간에 서로 수직하지 않은 것도 허용하며, 그들이 단위 길이일 것을 요구하지도 않는다. 즉, 이들은 임의의 길이와 방향을 가질 수도 있다. 직교하는 기저가 사용될 경우, 비직교 기저가 사용되는 경우에 비해, 벡터들은 더 단순하게 다뤄질 수 있다. 하지만, 물리학 및 공학의 일부 분야들(특히, 유체 역학 및 연속체 역학)에서는, 변형 및 유체 이동을 기술하기 위해, 물리량들의 복잡한 방향 의존성들을 설명 설명하기 위해, 비직교 기저들이 요구되기도 한다. 직교 좌표계
분류:좌표계 분류:초등 수학 분류:차원 분류:해석기하학 분류:르네 데카르트 평면
유클리드 공간에서 평면은 곡면의 일종으로서, 그 위에 있는 어느 두 점을 택하여도 그 두 점을 지나는 직선 전체를 항상 포함하는 것으로 정의할 수 있다. 평면은 직교 좌표를 도입하여 임의의 점을 두 실수의 순서쌍으로 유일하게 나타낼 수 있으며, 이 순서쌍을 그 점의 좌표라 한다. 극좌표계
극좌표계(極座標系)는 평면 위의 위치를 각도와 거리를 써서 나타내는 2차원 좌표계이다. 극좌표계는 두 점 사이의 관계가 각이나 거리로 쉽게 표현되는 경우에 가장 유용하다. 직교 좌표계에서는 삼각함수로 복잡하게 나타나는 관계가 극좌표계에서는 간단하게 표현되는 경우가 많다. 2차원 좌표계이기 때문에 극좌표는 반지름 성분과 각 성분의 두 성분으로 결정되며 주로 formula_1로 나타내는 반지름 성분은 극(데카르트 좌표에서 원점)에서의 거리를 나타낸다. 주로 formula_2로 나타내는 각 성분은 0°(직교 좌표계에서 x축의 양의 방향에 해당)에서 반시계 방향으로 잰 각의 크기를 나타낸다. 초구면 좌표계
가장 간단한 경우인 4차원 초구면 좌표계에서 좌표 변환식은 다음과 같다.(여기에서 4번째 직교 성분을 formula_15라 쓴다) 푸앵카레-호프 정리
2차원 구는 오일러 지표가 2이다. 따라서 구 위에는 영점을 가지지 않는 벡터장이 존재하지 않는다. 이 사실을 털난 공 정리()이라고 하기도 한다. 구 위에 다음과 같이 지표가 2인 하나의 영점을 가진 벡터장 또는 지표가 1인 두 개의 벡터장을 잡을 수 있다. 반면, 2차원 원환면은 오일어 지표가 0이므로, 다음과 같이 영점을 가지지 않는 벡터장이 존재한다.
앙리 푸앵카레와 하인츠 호프의 이름을 땄다. 푸앵카레는 2차원의 경우를 증명하였고, 호프는 이를 고차원으로 일반화하였다. 선형대수학
선형대수학은 2차원 혹은 3차원의 직교 좌표계에 대한 연구로 부터 시작되었다. 스칼라곱
두 벡터의 좌표가 각각 formula_5와 formula_6라면, 이 둘의 스칼라곱은 같은 위치의 성분을 곱한 뒤 모두 합하여 얻는 값이다.
예를 들어, 두 3차원 벡터 formula_8의 스칼라곱은 다음과 같다.
이 경우 스칼라곱의 정의는 벡터의 좌표에 의존하여 정의하지만, formula_2에 기존의 좌표계가 아닌 새로운 좌표계를 주더라도, 이 좌표계가 정규 직교 좌표계라면, 스칼라곱을 나타내는 공식은 바뀌지 않는다. 즉, 임의의 정규 직교 좌표계 아래 스칼라곱은 위치가 같은 두 좌표의 곱을 합한 것과 같다. 곡선좌표계
여기서, |e|, |b| 은 두 기저 벡터들의 크기들(즉, 변의 스칼라 길이들 "PB" 및 "PA")이다. 직교 좌표계
0에서 무한까지(크리스 워링,세종연구원, 2014.1.14) 변환행렬
이처럼 능동 변환과 수동 변환의 차이는 현실세계의 물리적인 현상과 좌표계를 통해서 구별될수있다. 일반적으로 변환이라는 표현은, 수학에서는 능동변환을 의미한다. 그러나 특히 물리학에서는 상황에 따라 그 중 하나를 의미 할 수 있다.단위 벡터 formula_3에 의해 정의된 축에 대해 각도 θ를 회전시키는 행렬 
좌표상에서 원점을 통과하는 반사된 점을 반영하기 위해 formula_5를 사용할 수 있다. formula_6는 다음과 같이 정의된다. formula_7는 3x3 단위행렬이고 그리고 formula_8은 좌표상의 벡터 노름 에 대한 3 차원 단위벡터이다. formula_9 및 formula_10의 노름 공간(L2)에서 변환 행렬은 다음과 같이 표현 될 수 있다. 구면좌표계
구면좌표계 (球面座標係, spherical coordinate system)는 3차원 공간 상의 점들을 나타내는 좌표계의 하나로, 보통 formula_1로 나타낸다. 원점에서의 거리 formula_2은 0부터 formula_3까지, 양의 방향의 z축과 이루는 각도 formula_4는 0부터 formula_5까지, z축을 축으로 양의 방향의 x축과 이루는 각 formula_6는 0부터 formula_7 까지의 값을 갖는다. formula_4는 위도로, formula_6는 경도로 표현되는 경우도 있다. 직교 좌표계
좌표평면의 사분면은 x축, y축으로 나뉘는 2차원 좌표평면 상의 네 부분을 말한다. 제1사분면 ~ 제4사분면으로 나뉜다. 쌍곡 좌표계
평면의 유클리드 위상과 "Q"를 상속받은 위상만을 고려하면, "Q"에 제한된 직선은 "Q"에 가까워 보인다. 측도 공간 "HP"에서 보면 열린 집합 "Q"가 경계로 대응하는 원점을 유일하게 가진다는 것을 나타낸다. 실제로 "HP"의 경계 "R"과 수직인 반직선인 "Q"의 원점에서 나가는 반직선과 그 이미지를 생각하라. "HP"에 있는 어떤 점이든지 "R"의 수직선의 최하부에 있는 점 "p"에 대해서 무한한 거리를 가지지만, 이 수직선에 있는 점의 수열은 "p"의 방향으로 나아가는 경향이 있을 수 있다. "Q"에 있는 대응하는 수열은 원점을 향하는 반직선을 따르는 경향이 있다. "Q"의 고전 유클리드 경계는 더이상 관련이 없다. 초구면 좌표계
여기에서는 간단한 예를 들기 위해서 4차원의 경우를 먼저 다루고, 다음으로 임의 차원을 다룬다. 스미스 차트
스미스 차트는 직교 좌표계를 한쪽 점을 기준으로 원형 좌표계로 변환한 것이라 할 수 있다. 반사계수와 부하 임피던스와의 관계식을 정리해 보면 복소수의 원의 공식으로 변환이 가능하고, 이것을 단계별로 그려 정리하면 된다. 그런데 이렇게 원형 좌표계로 변환하면, 직교 좌표계에서 볼 수 없었던 몇가지 편리한 점이 나타나서 유용하게 활용할 수 있게 된다. 복소 직교 좌표계에서는 사방이 무한대로 뻗어나가기 때문에 어느 정도 범위까지 한정된 그래프를 그려야 하지만, 원형 좌표로 하게 되면 무한대의 위치까지 비선형 형태로도 둥근 원 안에 다 표현할 수 있다. 바로 이러한 점이 스미스 차트와 같은 원형 좌표계의 중요한 장점 중 하나이며, 각 실수 또는 허수의 수치변화가 스미스 차트 내에서 임의로 움직이는 것이 아니라 그려진 궤적형상과 동일하게 이동한다는 점을 통해 계산기 없이도 여러 복소변화 계산을 가능하게 한다. 곡선좌표계
각 점에서, 우리는 작은 선 요소 를 구성할 수 있다. 이러한 선 요소의 길이의 제곱은 아래의 스칼라 곱 dx • dx 이며 그 공간의 메트릭으로 불린다. 지평좌표계
지평 좌표계에서는 천체의 위치를 고도와 방위각으로 나타낼 수 있는데, 고도는 지평선으로부터 그 천체까지 수직으로 잰 각, 방위각은 기준점(북점 또는 남점)으로부터 그 천체의 위치로부터 지평선에 내린 수직선과 지평선의 교점까지 시계 방향으로 잰 각으로 나타낸다. 원 (기하학)
2차원 직교 좌표계에서 원의 중심이formula_11이고 반지름이 formula_12인 원의 방정식은 곡선좌표계
그리고 직교 좌표
일반화된 곡선 좌표계 대신 직교 좌표계를 선호하는 이유는 단순성에 있다: 대부분의 복잡성은 좌표가 직교하지 않을 때 발생한다. 예를 들면, 직교 좌표계에서는 많은 문제들이 “변수 분리법”이라 불리는 수학적 기법을 사용하여 쉽게 풀려질 수 있다. 변수 분리법을 사용하면 복잡한 d차원의 문제가 알려진 함수들을 통해 풀려질 수 있는 d개의 일차원 문제들로 변환될 수 있다. 많은 방정식들은 라플라스 방정식 또는 헬름홀츠 방정식으로 환원될 수 있으며 라플라스 방정식은 13개의 직교 좌표계들에서 분리가능하고 헬름홀쯔 방정식은 11개의 직교 좌표계들에서 분리가능하다. 곡선좌표계
문제에 따라서는, 곡선 좌표계를 사용하는 것이 데카르트 좌표계를 사용하는 것보다 간단할 수 있다. 예를 들어, R 에서 정의되는 구 대칭성을 갖는 물리 문제(예 : 중심력 하에서의 입자의 운동)는 대부분 데카르트 좌표계에서보다 구형 극 좌표계에서 더 쉽게 풀린다. (그 경계 조건이 특정 곡선 좌표 시스템의 좌표 표면을 따라 주어지는) 방정식들은 그러한 곡선 좌표 시스템에서 보다 쉽게 풀린다. 예를 들어, 직사각형 상자 안에서의 입자의 운동은 직교 좌표계에서 기술하는 것이 편하고, 구 내부에서의 입자의 운동은 구 좌표계에서 기술하는 것이 선호된다. 구 좌표계는 지구 과학, 지도 제작, 물리학(특히 양자 역학, 상대성 이론), 및 공학과 같은 분야에서 가장 많이 사용되는 곡선 좌표계들 중의 하나이다. EIA-485
EIA-485(이전에는 TIA/EIA-485 또는 RS-485)는 2선식 반이중 다중점 직렬 연결에 대한 OSI 모델의 물리 계층 명세이다. EIA-485 표준은 차분 신호를 정의하는데, 두 선 사이의 전압차로 데이터를 표현한다.
전압의 한쪽이 「1」레벨이면, 다른 한쪽은 「0」레벨을 나타낸다. 올바른 신호로 인식하려면 적어도 전압의 차이가 0.2V 이상 이어야 한다. 수신측은 +12V 으로부터 -7V까지의 전압이면 올바른 것이라고 인식한다. 곡선좌표계
곡선 좌표들은 종종 (예를 들어 스칼라, 벡터, 또는 텐서와 같은) 물리량들의 위치 또는 분포를 정의하는 데 사용된다. (그래디언트, 발산, 회전, 및 라플라시안과 같은) 벡터 계산 및 텐서 해석에서, 이러한 양들과 관련된 수학 표현들은, 스칼라, 벡터, 및 텐서에 대한 변환 규칙에 따라, 한 좌표계에서 다른 좌표계로 변환될 수 있다. 그러한 표현들은 어떠한 곡선 좌표계에 대해서도 유효해진다. 축
물리학에서의 축은 2차원 또는 3차원 좌표계에서 좌표를 나타낼 때 기준이 되는 직선을 말한다. 알반상대론의 수학적 공식화 개론
기울어진 좌표계는 축들이 서로 직교할 필요는 없는 것으로, 즉, 축들은 직각이 아닌 각도들로 만난다. 앞서 기술된 좌표 변환을 사용할 때, 새로운 좌표계는, 이전 좌표계에 비해, 기울어진 축들을 갖는 것처럼 보일 것이다. 직교 좌표계
오늘날에 사용하는 3차원 좌표계는 xy, xz, 그리고 yz 평면으로 이루어지는데 이 세 평면은 서로 직교하며 평면을 이루는 x축(수평 방향)과 y축(수직 방향) 그리고 z축 또한 서로 직교한다. x, y, z축이 만나는 점을 원점이라고 부른다. 좌표계
좌표계(座標系, coordinate system) 혹은 자리표계는 유클리드 공간과 같은 다양체의 점이나 기타 기하학적 요소를 고유하게 결정하기 위해 하나 이상의 숫자인 좌표를 사용하는 체계이다. 스칼라 튜플을 이용해 n차원 공간의 각 지점을 표현하는 방법을 말한다. 여기서 스칼라는 보통 실수, 경우에 따라서는 복소수나 다른 일반적인 환(ring)의 원소를 말하기도 한다. 복잡한 우주에서 스칼라는 우주 전체에 대해 효과적인 좌표계를 산출하지 못하기도 한다. 이 경우 그래프로 이 좌표계를 우주 지도 책에 함께 수집하여 둔다. 좌표를 나타내는 방법 중 하나인 직교좌표계는 프랑스의 철학자이자 수학자인 르네 데카르트가 발명했다. 그는 천장에 붙어 있는 파리의 위치를 나타내는 방법에 대해 고민하다가 직교좌표계를 발명해 냈다고 한다. 쌍곡 좌표계
(e, 1/e)을 단위 면적을 가지는 직사각형의 꼭짓점으로 두고, 단위 정사각형을 그 사각형으로 만드는 누름 변환을 다시 적용 시키면 formula_17을 얻는다. 일반적으로 누름 변환을 n번 적용하면 formula_18을 얻는다. 알퐁스 안토니오 드 사라사(A. A. de Sarasa)는 그레고이르 드 세인트 빈센트의 발견과 유사하게 기하수열에서 가로 좌표가 늘어남에 따라 쌍곡선의 면적의 합은 등차수열로 증가하고, 이 특성은 곱셈을 덧셈으로 줄여주는 로그에 대응한다는 발견을 했다. 오일러의 작업은 자연로그를 표준 수학적 도구로, 그리고 고등 수학을 초월 함수의 영역으로 만들었다. 쌍곡 좌표계는 쌍곡선의 구적법을 제공하고 대수함수의 한계를 초월한 그레고이르 드 세인트 빈센트의 원본 그림을 기반으로 한다.
특수 상대성이론에서 관심은 주어진 고유시간 이후에 다양한 속도로 도달할 수 있는 미래 시공간의 3차원 초표면에 있다. 월터 스콧 은 1907년 11월에 헤르만 민코프스키가 Göttingen Mathematical Society에서 이야기 하던 중에 사차원이 아니라 잘 알려진 삼차원 쌍곡 기하학을 언급했다고 설명한다. 표준 입문 우주단위 상대성 이론에 대한 교과서의 저자인 볼프강 린들러에 대한 경의를 표하며, 시공간의 쌍곡 좌표계는 린들러 좌표계라고 부른다. 관성 좌표계
‘Absolute space, in its own nature, without relation to anything external, remains always similar and immovable. Relative space is some movable dimension or measure of the absolute spaces: which our senses determine by its position to bodies; and which is commonly taken for the immovable space’ 격자 그래프
이러한 격자 그리드는 정수(formula_4)뿐만아니라 실수(formula_5)로도 표현가능하며 때에 따라서는 데카르트 좌표와 같은 2차원 평면(formula_6)뿐만아니라 입체 3차원(formula_7) 또는 그 이상(formula_8)을 사용하기도 한다. 라플라스 연산자
초구면 좌표계
에서 라플라스 연산자는 다음과 같다.
여기서 formula_61은 초구 위의 라플라스-벨트라미 연산자로, 다음과 같다.
예를 들어, 2차원 초구면 좌표계(=극좌표계)에서의 라플라스 연산자는 다음과 같다. 직교 좌표
비-데카르트 좌표들의 주된 장점은 주어진 문제의 대칭성을 고려하여 이에 적합한 좌표계를 선택하는 것에 있다. 예를 들면, 지상 또는 다른 장벽으로부터 먼 곳에서 발생한 폭발에 의해 만들어지는 압력파는 데카르트 좌표계에서 3차원적으로 기술될 수 있겠지만 압력은 주로 중심으로부터 멀어지는 방향으로 전파된다는 점에서 이 현상은 구좌표계에서는 거의 1차원적 문제처럼 다뤄질 수 있다. 다른 예로는 원통형의 직선 파이프 내에서 천천히 움직이는 유체가 있다. 데카르트 좌표계에서 이 현상을 기술하기 위해서는 편미분 방정식을 포함하는 어려운 2차원 경계값 문제를 푸는 것이 필요하지만 원통 좌표계에서는 편미분 방정식 대신에 상미분 방정식을 사용하여 1차원적으로 다뤄질 수 있다. 극좌표계
위의 방정식에서 "φ"는 극을 통과하는 선의 기울기를 각도로 표현한 것이며("φ" = arctan "m"), "m"은 데카르트 좌표에서의 기울기이다. 직선 "θ" = "φ"에 수직이면서 점 ("r ","φ")를 지나는 직선은 formula_12로 나타낼 수 있다. 직선
3차원 직교 좌표 공간부터는 직선이 낱개의 일차 방정식으로 주어지지 않는다. 이는 추상적인 관점에서 1차원 공간이 더 이상 초평면이 아니기 때문이다. 곡선좌표계
일단은, 3차원 공간부터 고려해보자. 3차원 공간에서 한 점 "P" (또는 그것의 위치 벡터 r)은 데카르트 좌표들 ("x", "y", "z") [또는 ("x", "x", "x")]를 사용하여, 아래와 같이, 정의될 수 있다. formula_1, 여기서 e, e, e 는 표준 기저 벡터들(standard basis vectors)이다. 지평좌표계
정해진 시각에 특정 천체의 고도와 방위각을 알아 그 방향으로 바르게 향하게 할 수 있는 망원경, 또는 그 반대로 어떤 방향의 천체를 관측하여 그때의 고도와 방위각을 측정할 수 있는 망원경을 경위대식 망원경이라고 한다. 극좌표계
원통 좌표계는 평면 극좌표로 (0,0)을 제외한 "xy" 평면 전체를 일대일 대응시킬 수 있으므로, 여기에 "z"축을 더하여, 3차원 공간을 표현할 수 있다. 평면 극좌표계의 "r, θ," 그리고 "z"로 이루어지는 이 좌표계를 원통 좌표계라고 한다. 원통 좌표계란 이름이 붙은 이유는, 세 좌표 중 "r"이 고정되고, "θ, z"가 임의의 값을 취할 수 있을 때의 자취가 원통이기 때문이다. 원통 좌표계의 특이점은 "z"축 위의 점들이다. 곡선좌표계
3차원 유클리드 공간 (R)에서의 잘 알려진 곡선 좌표계의 예들로는, 데카르트, 원통, 및 구 극좌표계들이 있다. 이 공간에서, 데카르트 좌표 표면은 좌표 평면(coordinate plane)이다. 예를 들어, z = 0은 x-y 평면을 정의한다. 같은 공간에서, 구 극 좌표계에서, r = 1인 좌표 표면은 (휘어진 모양을 갖는) 단위 구의 표면이다. 곡선 좌표계의 정식화는 표준적인 좌표계들에 대한 통일적이면서 일반적인 설명을 제공한다. 직교 좌표
여기서 Σ가 합을 나타내는 것과 같은 방식으로 Π는 곱을 나타낸다. 모든 스케일 인수들의 곱은 야코비 행렬식이라는 것을 주목할 것. 곡선좌표계
위 선형 시스템의 계수 행렬이 변환의 야코비안 행렬(및 그 역행렬)이다. 이들은 데카르트 기저를 곡선 기저로 변환하기 위해 또는 그 반대의 과정을 위해 사용되는 방정식들이다.