미분이란?
미분
동사로서의 미분()은 이러한 극한이나 도함수를 구하는 일 즉 미분법을 뜻하기도 한다. 도함수로부터 미분의 역연산을 통해 원시함수(antiderivative)를 구하는 것 역시 미분법(differential calculus)의 주요주제이다. 역사적으로나 직관적으로나, 미분의 개념은 주어진 변위의 물체의 순간 속도를 구하는 물리학 문제 및 주어진 곡선의 접선의 기울기를 구하는 기하학 문제와 연관 있다. 즉, 순간 속도는 평균 속도의 극한이며, 접선의 기울기는 할선의 기울기의 극한인데, 서로 다른 이 두 문제의 수학적 실질은 미분으로 서로 같다. 전자는 아이작 뉴턴이, 후자는 고트프리트 빌헬름 라이프니츠가 연구하였다.
미적분학
콜린 매클로린(Colin Maclaurin)을 포함한 다수의 수학자들이 무한소의 사용이 정당하는 것을 증명하려고 시도했지만 그것은 150년이 지나서야 오귀스탱 루이 코시와 카를 바이어슈트라스에 의해서 증명됐고 무한소의 의미가 극히 작은 값이라는 관념을 막을 방법을 찾았다. 이것이 미분과 적분을 위한 기초를 놓았다. 코시의 필기에서 무한소의 형태로 적혀진 연속의 정의와 극한의 (ε-δ) 정의의 원형 등의 기초에 접근하기 위한 다양한 방법을 찾을 수 있다. 코시의 업적에서 바이어슈트라스는 극한의 정의를 공식화 시키고 무한소의 개념을 없애버린다. 바이어슈트라스의 작업에 따라서 미적분학은 무한소가 아닌 극한에 기초하는 것이 일반적이게 됐다. 베른하르트 리만은 바이어슈트라스의 개념을 사용해서 적분의 정확한 개념을 만들었다. 그리고 이 발견의 기간 동안 미적분학의 아이디어들은 유클리드 공간과 복소평면에서 일반화됐다.
현대 수학에서 미적분학의 기초는 미적분학의 정리에 대한 완전한 정의와 증명들을 포함하는 실해석 분야에 포함되어 있고 미적분학의 범위는 엄청나게 확대됐다. 앙리 르베그는 측도론을 만들어서 거의 모든Pathological function에서 적분을 가능하게 했다. 로랑 슈바르츠는 어떤 함수도 미분시킬 수 있는 분포 이론을 만들었다. 리 미분
formula_121차 미분 형식 formula_122는 formula_123차 텐서로 간주하여 그 리 미분을 정의할 수 있다. 이 경우, 리 미분은 다음과 같이 주어진다. 이 공식을 카르탕 마법 공식(Cartan魔法公式, )이라고 한다.
여기서 formula_125는 내부곱()을 나타낸다.
미분 형식에 대하여, 리 미분은 다음과 같은 항등식들을 만족시킨다. 분분
분분 (, BUNBUN) 미분
을 뜻하는 용어이며, 평균 변화율(平均變化率, )은 두 증분의 비 적분
한편, 데카르트가 제시한 좌표 평면과 해석기하학의 출현은 미적분학이 발전하는 중요한 밑거름이 되었다. 아이작 뉴턴과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 각자 독자적으로 미적분학을 수립하였으며 적분은 결국 미분의 역산으로 역도함수를 구하는 것과 같다는 점을 발견하였다. 이를 미적분학의 기본정리라고 한다. 미분
미분은 최적화(변분법)·미분 방정식·테일러 급수에서 응용된다. 미분
미분 가능 함수 f : I → R {\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} } ( I {\displaystyle I} 는 구간)가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 점 x ∈ I {\displaystyle x\in I} 에 f {\displaystyle f} 의 x {\displaystyle x} 에서의 미분(구간에 속하는 끝점의 경우 좌미분 또는 우미분) f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} 를 대응시키는 함수를 생각할 수 있다. 이 함수를 f {\displaystyle f} 의 도함수</b>라고 하거나, 똑같이 미분</b>이라고 한다. 즉, f {\displaystyle f} 의 도함수 f ′ {\displaystyle f'} 는 다음과 같은 함수이다. 적분
리만 적분은 주어진 구간에서 리만 합의 극한으로 적분을 정의한다. 폐구간 [a,b]는 다음과 같이 보다 작은 구간으로 분할 될 수 있다. 미분
어떤 물체의 시간에 따른 변위 s = s ( t ) {\displaystyle s=s(t)} 가 주어졌을 때, 시간 t ∼ t + Δ t {\displaystyle t\sim t+\Delta t} 동안의 평균 속도 v ¯ {\displaystyle {\bar {v}}} 는 이동한 거리와 소모한 시간의 비이며, 식을 써서 나타내면 다음과 같다. 미적분학
앞에서 말했듯이 뉴턴과 라이프니츠는 모두 미적분의 발명가로 인정받고 있다. 하지만 둘의 미적분의 성격은 다르다. 뉴턴은 미적분을 물리학에서 활용한 첫 번째 사람으로, 라이프니츠는 오늘날 사용하는 미적분 표기법의 대부분을 만든 사람으로 여겨진다. 또 라이프니츠는 뉴턴과는 달리 형식을 중시해서 알맞은 표현법을 만들어내는데 며칠을 쓰는 일도 종종 있었다고 한다. 두 사람의 미적분에서 규정한 기본적인 사항들로는 미분과 적분의 법칙들, 2계도 이상에서의 미분, 다항 함수 급수의 근사에 대한 개념들이 있다. 그런데 이 시대에 미적분학의 기본정리들은 이미 알려져 있었다. 만분율
만분율(萬分率)은 수를 10000과의 비로 나타내는 방법으로, 베이시스 포인트라는 단위(드물게 퍼 밀리아드로 사용되며, 유니코드에는 퍼 텐 싸우전드)를 사용하며, 기호는 ‱(U+2031)이다. 금리를 나타낼 때 쓰인다. 미적분학
미적분학(微積分學, )은 수학의 한 분야로 극한, 함수, 미분, 적분, 무한급수를 다루는 학문이다. 다른 명칭은 "무한소 해석학"이다. 미적분학은 속도, 가속도 같은 일정하게 변하는 양들의 값을 구한다. 그 값들은 곡선의 기울기로 해석한다. 또 넓이, 부피, 길이 등은 곡선으로 제한된다. 여기서 "곡선"은 직선을 의미할 수도 있으므로 주의해야 한다. 또 극한을 구하는 과정을 유도하는 무한 과정 또는 궁극점(일반적으로 구하는 값)에 접근해 가는 것과 관련이 있다. 이 2가지 방법은 수학적 해석학의 토대가 되고 있다. 기하학이 모양(Shape)에 중심을 둔 학문이고 대수학이 연산과 그 활용에 대한 학문이라면, 미적분학은 변화에 중점을 둔 학문이다. 미적분학은 크게 2개의 분야로 분류되는데, 미분과 적분이 바로 그것이다. 미분은 국소적인 변화를 다루는 분야이고, 적분은 국소적인 양의 집적을 다루는 분야이다. 사분음
사분음(四分音, )이란 온음의 절반인 반음을 다시 반으로 나눈 음정을 뜻한다. 미분 리 대수
물론, 만약 formula_25일 때, 모든 등급을 잊을 수 있으며, 이 경우 formula_26의 미분 리 대수() formula_27를 정의할 수 있다. 이는 formula_1-리 대수이다.
리 대수 이론에서, 리 대수 미분()은 리 대수 위의, 곱의 법칙을 따르는 자기 선형 변환이다. 일종의 무한소 자기 동형을 나타낸다. 미분
(합의 법칙) ( f ( x ) + g ( x ) ) ′ = f ′ ( x ) + g ′ ( x ) {\displaystyle (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)} (곱의 법칙) ( f ( x ) g ( x ) ) ′ = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)} (몫의 법칙) ( f ( x ) g ( x ) ) ′ = f ′ ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ′ ( x ) g 2 ( x ) {\displaystyle \left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)'={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}}} (연쇄 법칙) ( f ( g ( x ) ) ) ′ = f ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ) {\displaystyle (f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)} (역함수 정리) 만약 f {\displaystyle f} 가 f ′ ( x ) ≠ 0 {\displaystyle f'(x)\neq 0} 를 만족시킨다면, f − 1 ′ ( x ) = 1 f ′ ( f − 1 ( x ) ) {\displaystyle {f^{-1}}'(x)={\frac {1}{f'(f^{-1}(x))}}} (음함수 정리) 만약 음함수 F ( x , y ) = 0 {\displaystyle F(x,y)=0} 가 F {\displaystyle F} 가 연속 미분 가능 함수이며 F y ≠ 0 {\displaystyle F_{y}\neq 0} 임을 만족시킨다면, y x = − F x ( x , y ) F y ( x , y ) {\displaystyle y_{x}=-{\frac {F_{x}(x,y)}{F_{y}(x,y)}}} 만약 매개 변수 함수 x = x ( t ) {\displaystyle x=x(t)} , y = y ( t ) {\displaystyle y=y(t)} 가 x ( t ) {\displaystyle x(t)} 와 y ( t ) {\displaystyle y(t)} 가 미분 가능 함수이며, x ′ ( t ) ≠ 0 {\displaystyle x'(t)\neq 0} 임을 만족시킨다면, y x = y ′ ( t ) x ′ ( t ) {\displaystyle y_{x}={\frac {y'(t)}{x'(t)}}} 만약 극좌표 함수 r = r ( θ ) {\displaystyle r=r(\theta )} 가 일정 조건을 만족시킨다면, y x = tan ⁡ θ + r ( θ ) / r ′ ( θ ) 1 − r ( θ ) tan ⁡ θ / r ′ ( θ ) {\displaystyle y_{x}={\frac {\tan \theta +r(\theta )/r'(\theta )}{1-r(\theta )\tan \theta /r'(\theta )}}} 미적분학
적분은 기하학적으로 보면, 곡선 또는 곡면과 좌표축으로 둘러싸인 영역의 면적을 구하는 것에 해당된다.(단, 이때는 절댓값 기호를 씌워서 곡선 또는 곡면을 x축위로 꺾어올렸을때의 상태이다.)(실제 적분의 기하학적인 의미는 y좌표, 즉 길이들의 합이다.) 그러나 적분의 의미는 오랫동안 확실하게 파악되지 못하고 있었다. 적분의 확실한 정의를 내린 사람은 베른하르트 리만이 최초이다. 리만이 생각한 적분을 정식화한 것을 리만 적분이라고 한다. 말리아뱅 미분
확률론에서, 말리아뱅 미분(Malliavin微分, )은 위너 공간 위에 정의된 실수 값 함수에 대하여 정의되는 미분 연산이다. 말리아뱅 미분은 바나흐 공간의 프레셰 미분과 달리, 극한이 오직 위너 공간의 부분 힐베르트 공간의 방향에 대하여 존재하는 것만을 요구한다. 그 에르미트 수반은 스코로호드 적분(Скороход積分, )이라고 하며, 이는 이토 적분의 일반화이다. 미분
f ′ ( x ) = lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x = lim Δ x → 0 ( x + Δ x ) 2 − x 2 Δ x = lim Δ x → 0 x 2 + 2 x Δ x + ( Δ x ) 2 − x 2 Δ x = lim Δ x → 0 2 x Δ x + ( Δ x ) 2 Δ x = lim Δ x → 0 ( 2 x + Δ x ) = 2 x {\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {x^{2}+2x\Delta x+(\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {2x\Delta x+(\Delta x)^{2}}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}(2x+\Delta x)\\&=2x\end{aligned}}} 분포 (해석학)
모든 적분 가능한 함수는 분포들의 공간에서 미분을 가지며, 이를 이용해 편미분 방정식의 해를 구할 수 있다. 물리학이나 공학에서 나타나는 비연속적인 문제들을 미분 방정식으로 나타나면 이는 분포를 해로 갖는 경우가 많으며, 대표적인 예로 디랙 델타 분포가 있다. 미분 리 대수
표수 0의 체 formula_1 위의 반단순 리 대수 formula_31 위의 모든 미분은 내부 미분이며, 이 경우 중심 또한 자명하므로, 다음이 성립한다.
반면, 표수 0의 체 위에서도, formula_40를 만족시키는 가해 리 대수 및 가해 리 대수도, 반단순 리 대수도 아닌 리 대수가 존재한다. 기하학사
페르마는 함수의 극한을 이용하여 그래프의 접선을 구하는 문제 역시 고찰하여 일반적인 풀이법을 발견하였다. 그러나 미적분학을 정립하고 완성시킨 것은 아이작 뉴턴과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠였다. 둘은 각자 독립적인 방법으로 미적분학을 완성하였다. 뉴턴은 기하학을 바탕으로 순간적인 변화량을 구하는 방법을 발견하고 이를 유율법()이라고 불렀다. 뉴턴은 유율법을 곡선에 대한 접선과 곡률의 견지에서 파악하였다. 뉴턴은 1687년 《자연 철학의 수학적 원리》에 유율법을 발표하였다. 한편, 라이프니츠는 함수 f(x)에서 x가 무한히 작은 증분인 미분()의 변화량을 가질 때 f(x)의 변화량을 구하는 방법으로서 미분을 발견하였다. 라이프니츠는 1677년 무렵에는 미분의 계산방법과 표기법을 완성하였다. 오늘날에는 보다 수학적으로 효율적인 라이프니츠의 방법이 주로 쓰인다. 뉴턴과 라이프니츠는 미분의 발견 공로를 놓고 오랫동안 다투었으며 이로 인해 유럽의 수학계는 둘 중 누구를 지지하는 가를 놓고 심한 대립을 보이기도 하였다. 뉴턴과 라이프니츠는 서로 상대방이 자신의 아이디어를 훔쳤다고 비난하였다. 이러한 대립은 라이프니츠가 사망한 이후에도 계속되었다. 오늘날에는 뉴턴과 라이프니츠가 각자 독자적인 방법으로 미분을 발견했다고 본다. 부분 적분
미적분학에서, 부분 적분(部分積分, )은 두 함수의 곱을 적분하는 기법이다. 미분
세제곱근 함수 x 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}} 는 연속 함수이며, 0이 아닌 어디서나 미분 가능하지만, 0에서 수직선 접선을 가지므로 미분 가능하지 않다. 미분 형식
미분 형식의 기호 및 외미분, 쐐기곱 등은 엘리 카르탕이 도입하였다. 미분
f : I → R {\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} } ( I {\displaystyle I} 는 구간)가 I {\displaystyle I} 에서 연속 함수, I ∖ { a } {\displaystyle I\setminus \{a\}} 에서 미분 가능 함수라고 하자. 만약 어떤 빠진 근방 J ∖ { a } ⊆ I {\displaystyle J\setminus \{a\}\subseteq I} 의 임의의 점 x ∈ J ∖ { a } {\displaystyle x\in J\setminus \{a\}} 에 대하여 f ′ ( x ) ( x − a ) < 0 {\displaystyle f'(x)(x-a)<0} 라면, f ( a ) {\displaystyle f(a)} 는 엄격 극댓값이다. 만약 어떤 빠진 근방 J ∖ { a } ⊆ I {\displaystyle J\setminus \{a\}\subseteq I} 의 임의의 점 x ∈ J ∖ { a } {\displaystyle x\in J\setminus \{a\}} 에 대하여 f ′ ( x ) ( x − a ) > 0 {\displaystyle f'(x)(x-a)>0} 라면, f ( a ) {\displaystyle f(a)} 는 엄격 극솟값이다. f : I → R {\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} } ( I {\displaystyle I} 는 구간)의 n {\displaystyle n} 계 도함수가 I {\displaystyle I} 에서 존재하며, 0 = f ( 1 ) ( a ) = f ( 2 ) ( a ) = ⋯ = f ( n − 1 ) ( a ) {\displaystyle 0=f^{(1)}(a)=f^{(2)}(a)=\cdots =f^{(n-1)}(a)} 이라고 하자. 만약 n {\displaystyle n} 이 홀수이며 f ( n ) ( a ) ≠ 0 {\displaystyle f^{(n)}(a)\neq 0} 이라면, f ( a ) {\displaystyle f(a)} 는 극값이 아니다. 만약 n {\displaystyle n} 이 짝수이며 f ( n ) ( a ) < 0 {\displaystyle f^{(n)}(a)<0} 이라면, f ( a ) {\displaystyle f(a)} 는 엄격 극댓값이다. 만약 n {\displaystyle n} 이 짝수이며 f ( n ) ( a ) > 0 {\displaystyle f^{(n)}(a)>0} 이라면, f ( a ) {\displaystyle f(a)} 는 엄격 극솟값이다. 미분 대수
미분체 확대(微分體擴大, )는 두 미분체 사이의 미분 대수 준동형이다. 이는 체의 확대이므로 항상 단사 함수이다. 적분
따라서 미분의 역연산으로부터 부정적분이 유도되고 이어서 부정적분에서 구간이 정하여지면 정적분이 연산된다.
아르키메데스 가 적분의 아이디어를 처음 생각해내었고 앙리 르베그가 적분론을 완성하였다. 미적분학
일반적으로 극한의 개념을 미적분학의 기초로 두지만 극한이 미적분학의 기초에 대한 유일한 접근법은 아니다. 에이브러햄 로빈슨(Abraham Robinson)의 비표준해석학이 대안책이다. 1960년대에 만들어진 로빈슨의 접근법은 뉴턴과 라이프니츠가 사용했던 개념인 무한소와 무한수로 실수체계를 늘린 체계를 사용한다. 그 결과로 나온 수를 초실수라고 부른다. 초실수는 미적분학의 일반적인 법칙들을 라이프니츠의 방식처럼 이끌어 낼 수 있다. 미분
k ¯ = Δ y Δ x = f ( x ) − f ( a ) x − a {\displaystyle {\bar {k}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}} 합의 법칙 (미적분학)
이고 와 가 각각 에서 미분 가능하다고 하자. 미분의 정의와 극한의 성질을 이용하면 가 에서 미분 가능하고 라는 것을 다음과 같이 증명할 수 있다. 편미분
벡터 미적분학과 미분기하학에서, 편미분(偏微分, )은 다변수 함수의 특정 변수를 제외한 나머지 변수를 상수로 생각하여 미분하는 것이다. 표기
는 변수 formula_2에 대한, 함수 formula_3의 편미분을 뜻한다. 표기
등은 함수로서 편미분이 종속되는 변수를 강조할 수 있다. 미분 (주요 부분)
이러한 formula_18가 존재할 필요충분조건은 그 점에서 미분 가능, 즉 formula_25가 존재한다는 것이다. 미분 대수
다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면, formula_8 값의, formula_11 위의 미분(微分, )은 다음과 같은 formula_1-선형 변환이다.
이는 다음과 같은 곱의 법칙을 만족시켜야 한다.
흔히, formula_15를 사용한다. 미분
f ′ : I → R {\displaystyle f'\colon I\to \mathbb {R} } f ′ : x ↦ lim I ∋ y → x f ( y ) − f ( x ) y − x {\displaystyle f'\colon x\mapsto \lim _{I\ni y\to x}{\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}} 미분
그 밖의 미분의 일반화에는 미분 연산자·미분 대수·두 매끄러운 다양체 사이의 미분 가능 함수 따위가 있다. 적분판정법
과 이상적분 미분음음악
미분음음악(微分音音樂)은 반음으로 나눈 평균율 (1옥타브를 12음)보다 더 작은 음으로 나눈 음계를 사용하는 음악이다. 해리 파치의 43음 음계 등이 있다. 미분
f : I → R {\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} } ( I {\displaystyle I} 는 구간)가 미분 가능 함수라고 하자. f {\displaystyle f} 가 증가 함수일 필요충분조건은 임의의 x ∈ I {\displaystyle x\in I} 에 대하여 f ′ ( x ) ≥ 0 {\displaystyle f'(x)\geq 0} 인 것이다. f {\displaystyle f} 가 감소 함수일 필요충분조건은 임의의 x ∈ I {\displaystyle x\in I} 에 대하여 f ′ ( x ) ≥ 0 {\displaystyle f'(x)\geq 0} 인 것이다. f {\displaystyle f} 가 엄격 증가 함수일 필요충분조건은 임의의 x ∈ I {\displaystyle x\in I} 에 대하여 f ′ ( x ) ≥ 0 {\displaystyle f'(x)\geq 0} 이면서, 임의의 부분 구간 J ⊆ I {\displaystyle J\subseteq I} 에 대하여 f ′ ( x ) ≠ 0 {\displaystyle f'(x)\neq 0} 인 x ∈ J {\displaystyle x\in J} 가 존재하는 것이다. f {\displaystyle f} 가 엄격 감소 함수일 필요충분조건은 임의의 x ∈ I {\displaystyle x\in I} 에 대하여 f ′ ( x ) ≤ 0 {\displaystyle f'(x)\leq 0} 이면서, 임의의 부분 구간 J ⊆ I {\displaystyle J\subseteq I} 에 대하여 f ′ ( x ) ≠ 0 {\displaystyle f'(x)\neq 0} 인 x ∈ J {\displaystyle x\in J} 가 존재하는 것이다. 미분 형식
formula_5차원 매끄러운 다양체 formula_6 위에 방향 및 formula_5차 미분 형식 formula_57가 주어졌다면, formula_57의 적분
을 정의할 수 있다. 구체적으로, formula_6의 좌표근방계 formula_61 및 이에 종속되는 단위 분할 formula_62가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 당김 formula_63으로서 각 formula_64에 방향을 줄 수 있으며, 이 방향을 통해 유클리드 공간 위의 formula_5차 미분 형식의 공간과 매끄러운 함수 공간 사이의 동형
을 정의할 수 있다. 그렇다면
이다. 여기서 formula_68는 formula_5차원 유클리드 공간 위의 르베그 측도에 대한 적분이다. 이 연산은 좌표근방계 및 단위 분할의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 그러나 다양체에 주어진 방향이 반대가 되면, 미분 형식의 적분은 formula_70배가 된다. 즉, 연결 다양체 위의 미분 형식의 적분의 절댓값은 방향에 의존하지 않는다. 적분
임의의 함수 formula_3의 정의역 가운데 일부 구간 formula_7에 대한 적분은 구간 내의 치역이 모두 formula_8 이상일 때 해당 구간의 넓이와 같다. 치역의 일부 구간이 음수일 경우 formula_8 이상인 구간과 상계되어 엄밀한 의미에서 적분과 구간의 넓이는 동일한 개념은 아니지만, 적분의 개요를 이해하기 위해 여기서는 넓이를 구하는 방법으로서 적분을 다룬다. 분수차 미적분
분수차 미적분학(Fractional calculus)은 해석학의 한 갈래로서 미분 연산자 미분
Δ y Δ x = f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x {\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}} 미분
아이작 뉴턴과 라이프니츠는 각각 독자적인 방법으로 미분적분학을 수립하였다. 뉴턴은 기하학을 바탕으로 순간적인 변화량을 구하는 방법을 발견하고 이를 유율법()이라고 불렀다. 뉴턴은 유율법을 곡선에 대한 접선과 곡률의 견지에서 파악하였다. 뉴턴은 1687년 《자연 철학의 수학적 원리》에 유율법을 발표하였다. 한편, 라이프니츠는 함수 f(x)에서 x가 무한히 작은 증분인 미분()의 변화량을 가질 때 f(x)의 변화량을 구하는 방법으로서 미분을 발견하였다. 라이프니츠는 1677년 무렵에는 미분의 계산방법과 표기법을 완성하였다. 오늘날에는 보다 수학적으로 효율적인 라이프니츠의 방법이 주로 쓰인다.[13] 심불상응행법 (아비달마순정리론)
동분(同分, )은 중동분(衆同分, )이라고도 하며, 온갖 유정이 존재로서의 동등함[類等]을 갖고 전전(展轉)하는 것을 말한다. 즉 동일한 취(趣)에서 태어난 유정은 모두 동일한 신체적 형태와 6근의 작용을 가지며 또한 먹고 마시는 것 등이 서로 유사한데, 이러한 유사성의 근거와, 또한 이들 유정이 전전하면서 욕락(欲樂: 원하고 즐겨함)하는 근거를 동분 또는 중동분이라 한다. '동(同)은' 신체적 형태나 업용, 욕락이 서로 유사하게 전전하는 것을 뜻하고 '분(分)'은 근거[因]를 뜻한다. 즉 어떤 개별적인 실체가 존재하여 바로 이러한 동등함의 근거가 되는데, 이 개별적인 실체를 '동분'이라 이름한 것이다. 완전 미분 방정식
이다. 중적분
미적분학에서, 중적분(重積分, )은 정적분을 다변수 함수에까지 확장한 것이다. 이변수 함수의 경우를 이중 적분(二重積分, )이라고 하며, 양의 함숫값의 함수의 이중 적분은 함수의 그래프 곡면과 formula_1 평면 사이의 부피라고 이해할 수 있다. 삼변수 함수의 경우를 삼중 적분(三重積分, )이라고 하며, 양의 함숫값의 함수의 삼중 적분 역시 (4차원 공간 속의) 초곡면과 좌표 초평면 사이의 초부피라고 생각할 수 있다. 미분
즉, 이는 다음과 같다. 적분
formula_4 미분
비슷하게, 임의의 유형의 구간에서의 미분 가능 함수를 정의할 수 있다. 즉, 구간에서의 미분 가능 함수는 내부점에서 미분 가능하며, 구간에 속하는 왼쪽 끝점에서 우미분이 존재하며, 구간에 속하는 오른쪽 끝점에서 좌미분이 존재하는 함수이다. 미분
일반적인 함수 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} 에 대하여, 증분(增分, )은 독립 변숫값의 변화량 변분법
변분법(變分法, )이란 미적분학의 한 분야로, 일반 미적분학과는 달리 범함수를 다룬다. 이런 미적분학은 알려지지 않은 함수와 이 함수의 도함수를 다루는데, 주로, 어떠한 값을 최대화 하거나, 최소화 하는 함수 모양이 어떻게 되는가를 다룬다. 미분
가 존재하지 않으므로 0에서 미분 가능하지 않다. 적분
19세기에 이르러 베른하르트 리만은 적분에 대해 수학적으로 엄밀한 정의를 내렸다. 1823년 오귀스탱 루이 코시는 모든 연속함수는 적분 가능함을 증명하였고, 리만은 이를 확장하여 연속 함수 f(x)의 적분은 해당 구간에서 리만 합의 극한과 같다는 점을 증명하였다. 이렇게 정의된 적분을 흔히 리만 적분이라 한다. 리만 적분은 이후 토마스 요아너스 스틸티어스에 의해 보다 간단히 정리되었다. 미분
또한, 고계 도함수의 표기는 다음 가운데 하나이다. 적분
미적분학의 기본정리에 따라 적분은 미분의 역연산이다. 즉, 함수 formula_30를 도함수로 하는 원시함수 formula_32가 존재한다. 원시함수를 구하는 과정을 부정적분(不定積分)이라 한다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같은 관계가 성립한다. 미적분학
그의 아이디어들은 뉴턴이 자신을 표절했다고 고소한 고트프리트 라이프니츠에 의해서 참된 무한소 미적분으로 체계화됐다. 뉴턴은 그를 표절자로 여겼지만, 현재는 그도 독립적인 미적분의 발명자라는 것이 밝혀졌다. 그는 무한소를 다루는 규칙들을 명확하게 정리했고 2계도 이상의 미분을 가능하도록 해줬으며 곱의 미분법과 연계법칙을 미분 적분 형태로 모두 만들었다. 미분
따라서, 그 순간 속도를 다음과 같이 구할 수 있다.[2] 미분방정식
미분 방정식은 엔지니어링, 물리학, 경제학 등 수학 외의 학문에서도 중요한 역할을 차지하고, 유체역학, 천체역학 등의 물리적 현상의 수학적 모델을 만들 때에도 사용된다. 따라서 미분 방정식은 순수수학과 응용수학의 여러 분야에 걸쳐있는 넓은 학문이다. 물체의 운동이 물체의 위치와 시간값의 변화에 따른 속도로 표현되는 고전역학이 그 대표적인 예다. 뉴턴의 운동 법칙은 물체의 미지의 위치를 시간에 대한 함수로 표현하고, 물체의 위치·속도·가속도·그리고 물체에 작용하는 힘 등을 그 함수에 대한 미분 방정식으로 나타냄으로써 이 변량들을 역학적으로 표현할 수 있었다. 흔히 운동방정식이라고 부르는 이 미분 방정식은 아주 쉽게 풀리는 경우도 있다. 분
분은 다음을 일컫는 말이다. 미분
d f d x | x = a = d f d x ( a ) = d d x f ( a ) {\displaystyle \left.{\frac {df}{dx}}\right|_{x=a}={\frac {df}{dx}}(a)={\frac {d}{dx}}f(a)} 미분
절댓값 함수 | x | {\displaystyle |x|} 는 립시츠 연속 함수이며, 0이 아닌 어디서나 미분 가능하지만, 0이 첨점(좌미분과 우미분이 존재하지만 서로 다른 점)이므로 0에서 미분 가능하지 않다.[7] 미분
v = d h d t = lim Δ t → 0 1 2 g ( t + Δ t ) 2 − 1 2 g t 2 Δ t = lim Δ t → 0 ( g t + 1 2 g Δ t ) = g t {\displaystyle {\begin{aligned}v&={\frac {dh}{dt}}\\&=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {{\frac {1}{2}}g(t+\Delta t)^{2}-{\frac {1}{2}}gt^{2}}{\Delta t}}\\&=\lim _{\Delta t\to 0}(gt+{\frac {1}{2}}g\Delta t)\\&=gt\end{aligned}}} 미분 (주요 부분)
미적분학에서 함수의 미분(微分, )은 함수의 증분의 주요 선형 부분이다. 일반적으로 도함수가 존재하는 일변수 함수 formula_1의 증분 formula_2는 다음 관계를 만족한다. 미분
f − ′ ( a ) = lim x → a − f ( x ) − f ( a ) x − a = lim Δ x → 0 − f ( a + Δ x ) − f ( a ) Δ x {\displaystyle {\begin{aligned}f'_{-}(a)&=\lim _{x\to a^{-}}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0^{-}}{\frac {f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}}\end{aligned}}} 적분표
적분(積分)은 미적분학의 두 기본연산 중의 하나이다. 적분은 미분처럼 간단하지 않기 때문에, 여러 함수에 대한 적분을 모아 놓은 적분표는 매우 유용하게 사용된다. 수식
또한 formula_17는 formula_23이므로formula_24로 치환해서 대입 정리해도 등식이 성립한다. 
한편 수식은 미분이나 적분과 같은 수학적 개념을 포함할 수도 있다. 다음은 미분의 정의를 나타내는 수식이다. 리 미분
1931년에 폴란드의 수학자 브와디스와프 실레보진스키가 도입하였다. 다비트 판 단지흐(, 1900~1959)가 1932년에 소푸스 리의 이름을 따 이 연산을 "리 미분"()이라고 명명하였다. 판 단치흐는 이 연산을 formula_137로 표기하였다. 미적분학
적분을 이끌어내기 위한 몇 가지 아이디어들은 고대에서부터 시작됐지만 이 시대의 방법들은 수학적으로 엄밀하지도 않고 체계적이지 않았다. 모스크바 수학 파피루스(Moscow mathematical papyrus)에서 적분의 목표 중 하나인 부피계산법들이 나와있으나 이것들은 방법으로서 설명이 부족하고 몇 가지는 틀렸다. 고대 그리스에서는 크니도스의 에우독소스(Eudoxus)가 극한의 개념과 비슷한 문제의 철저 검토법을 사용했고 아르키메데스는 이 방법을 발전시킨 발견적 교수법이라는 적분과 비슷한 방법을 만들었다. 중국에서는 유휘가 3세기에 원의 넓이를 구하기 위해 크니도스의 에우독소스와 같은 방법을 발명하였다. 미분
와 같이 표기할 수 있다. 미분소
는 곡선의 길이의 미분소라고한다. 미주 (술)
미주(米酒)는 쌀로 만든 양조주이다. 쌀의 녹말을 분해(당화)하여 당분을 얻고, 이 당분을 발효하여 알코올을 얻는다. 녹말의 당화에는 주로 누룩곰팡이가 사용된다. 맥주의 제법과 유사한 점이 많으나 맥주는 녹말의 당화에 누룩곰팡이가 아닌 몰트를 이용한다는 점이 다르다. 전통적으로 동아시아, 동남아시아, 남아시아에서 주로 생산되고 소비되었다. 미주는 일반적으로 18~25%의 알코올을 포함하고 있다. 타이완에서 미주(米酒)는 증류주를 가리킨다. 미분
함수 f : I → R {\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} } ( I {\displaystyle I} 는 구간)가 다음과 같은 n {\displaystyle n} 중 극한 f ( n ) {\displaystyle f^{(n)}} 을 가진다면, 이를 f {\displaystyle f} 의 n {\displaystyle n} 계 도함수( n {\displaystyle n} 階導函數) 또는 n {\displaystyle n} 계 미분( n {\displaystyle n} 階微分, )이라고 한다. 미분
기호 d y {\displaystyle dy} 의 의미는 문맥에 따라 다를 수 있다. 미적분학에서, 이는 선형 주요 부분을 뜻한다. 비표준 해석학에서, 이는 일종의 무한소로 정의된다. 미분기하학에서, 이는 외미분을 뜻한다. 미분
f {\displaystyle f} 는 열린구간 속 임의의 점 x ∈ ( a , b ) {\displaystyle x\in (a,b)} 에서 미분 가능하다. f {\displaystyle f} 는 a {\displaystyle a} 에서 우미분이 존재한다. f {\displaystyle f} 는 b {\displaystyle b} 에서 좌미분이 존재한다. 매끄러운 다양체
미분기하학에서, 매끄러운 다양체() 또는 미분 가능 다양체(微分可能多樣體, )는 미적분학을 전개할 수 있는 구조가 주어진 다양체이다. 매끄러운 다양체 위에서는 함수의 미분과 적분 및 벡터장이나 미분 형식과 같은 해석학적 대상들을 정의할 수 있다. 미분
v ( t ) = s ′ ( t ) {\displaystyle v(t)=s'(t)} 몫의 법칙
미적분학에서, 몫의 법칙() 또는 몫의 미분법은 두 함수의 몫을 미분할 때 쓰이는 공식이다. 미적분학
미분은 특정 함수의 어떤 지점에서의 접선, 혹은 접평면을 구하는 연산이다. 다시 말하면, 미분은 원래는 복잡한 함수를 선형근사해서 다루기 쉬운 형태로 바꾸어 파악하려는 것이다. 그렇기 때문에 미분은 선형사상이 된다.(단, 다변수 함수의 미분을 선형사상으로 취급하는 방식은 20세기에 들어서부터 확립됐다.) 미분방정식은 이런 사고의 자연스러운 연장 선상에 있다. 미분
는 연속 함수이며, 0이 아닌 어디서나 미분 가능하지만, 극한 미분소
그리고 그 길이 적분
적분은 여러 가지 형식으로 구분된다. 적분 계산에 대한 정의 방식이 달라 서로 다른 형식으로 분류되는 것이 대부분이지만, 교육적인 목적때문에 구분한 경우도 있다. 가장 일반적으로 널리 쓰이는 적분은 리만 적분과 르베그 적분이다. 분 (각도)
분(分)은 각도를 재는 단위이다. 1분은 1도를 60등분한 각도이다. 미분 (동음이의)
미분에는 다음과 같은 뜻도 있다. 외대수
미분기하학에서는 접다발의 각 올인 접공간에 각각 외대수를 취하여 얻는 벡터 다발의 단면을 미분 형식이라고 한다. 미분 형식은 현대 미분기하학에서 핵심적인 위치를 차지한다. 미분 (주요 부분)
즉 중동분
《구사론》에 따르면,
중동분 또는 동분은 유정동분(有情同分, )과 법동분(法同分, )의 2가지로 나뉜다. 유정동분은 중생동분(眾生同分, )이라고도 하는데 다시 무차별동분(無差別同分, )과 유차별동분(有差別同分, )의 2가지로 나뉜다. 치환 적분
미적분학에서, 치환 적분(置換積分, )은 기존의 변수를 새 변수로 치환하여 적분하는 기법이다. 단위 분할
미분기하학에서, 단위 분할은 유클리드 공간 위의 함수에 대하여 정의되는 성질들을 매끄러운 다양체 전체로 짜깁기하기 위하여 쓰인다. 예를 들어, 부피 형식의 적분을 정의하려면, 다양체의 좌표근방계에 종속되는 단위 분할을 찾아서, 각 단위 분할을 국소 좌표계를 사용하여 유클리드 공간으로 보내어 정의한다. 그 뒤, 이 정의가 좌표근방계의 선택 및 단위 분할의 선택에 의존하지 않음을 보여야 한다. 미분 (주요 부분)
따라서 함수의 미분은 그 점과 가까운 곳에서의 증가량을 근사하는 데에 사용된다: 미분 형식
미분기하학에서, 미분 형식(微分形式, )은 매끄러운 다양체의 여접다발의 외승의 단면이다. 적분의 라이프니츠 표기법에 등장하는 formula_1, formula_2 따위를 엄밀하게 정의한 것으로, formula_3차원의 다양체에서는 formula_3-형식을 자연스럽게 적분할 수 있다. 기약분수
기약분수(Irreducible fraction)는 분자와 분모의 공약수가 1뿐이어서 더이상 약분되지 않는 분수이다. 분자와 분모를 1 이외의 공통된 약수로 나누는 행위를 약분이라고 한다. 정수 formula_1에 대해, 분수 formula_2가 기약분수라는 것과, formula_1가 서로 소(coprime), 즉, 최대공약수(greatest common divisor)가 1이라는 것은 같은 말이다.(약분이 더이상 1이외에 가능하지 않다는 뜻이다.) 리만 적분
예를 들어, 닫힌구간 formula_22을 3등분하는 분할 0 < 1/3 < 2/3 < 1은 각 구간의 길이가 1/3이므로 메시가 1/3이며, 2등분 분할 0 < 1/2 < 1과의 공통 세분은 0 < 1/3 < 1/2 < 2/3 < 1이다. (1/6, 1/2, 5/6)은 3등분 분할의 한 가지 태그이다. 미분
f {\displaystyle f} 는 열린구간 속 임의의 점 x ∈ ( a , b ) {\displaystyle x\in (a,b)} 에서 미분 가능하다. 미분
기하학적 관점에서, 미분은 주어진 곡선의 접선을 구하는 문제와 동치이다. 접선의 기하학적 의미는 곡선과 스치듯이 만나는 직선이다. 즉, 접선에 미세한 변화를 가하면 곡선과의 교점의 개수가 변화하게 된다. 예를 들어, 직선 y = 0 {\displaystyle y=0} 과 x = 0 {\displaystyle x=0} 모두 포물선 y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} 과 유일한 교점을 갖지만, 전자는 약간 흔들었을 때 교점을 잃거나 얻으므로 접선이며, 후자는 약간 흔들어도 유일한 교점을 가지므로 접선이 아니다. 미분
v ( t ) = lim Δ t → 0 Δ s Δ t = lim Δ t → 0 s ( t + Δ t ) − s ( t ) Δ t {\displaystyle v(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta s}{\Delta t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}}} 미분
f ′ ( a ) = lim x → a f ( x ) − f ( a ) x − a = lim Δ x → 0 f ( a + Δ x ) − f ( a ) Δ x {\displaystyle {\begin{aligned}f'(a)&=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}}\end{aligned}}} 선분
선분(線分, segment)은 양쪽에 끝나는 점이 있는, 직선의 부분이다. 즉, 수학에서의 모든 종류의 선 중에서, 오직 선분만 양쪽의 끝나는 점이 존재하므로 어떤 선분을 수학적으로 표현하려면 양 끝의 점을 이용하여 나타내는게 간단하고 효율적이다. 따라서 점 A, B를 양끝으로 하는 선분을 선분 AB라 정의한다. 또한 선분은 양 끝이 존재하기때문에, 무한의 길이를 가지는 직선, 반직선과 달리 길이를 잴 수 있는 고유한 특징도 있다. 심불상응행법 (유가사지론)
중동분(衆同分, )은 줄여서 동분(同分, )이라고도 하고, 중생동분(衆生同分, ) 또는 유정동분(有情同分, )이라고도 하는데, 3계 내의 각 처소(地 또는 處)에 태어나는 유정들은 계(界: 3계9지), 취(趣: 6취), 생(生: 태생난생습생화생의 4생), 종류[類], 성질[性], 모습[形] 등이 서로 유사한 것을 말한다. 적분
적분(積分, )은 리만 적분에서 다루는 고전적인 정의에 따르면, 실수의 척도를 사용하는 측도 공간에 나타낼 수 있는 연속인 함수 f(x)에 대하여 그 함수의 정의역의 부분 집합을 이루는 구간 [a, b] 에 대응하는 치역으로 이루어진 곡선의 리만 합의 극한을 구하는 것이다. 이를 정적분(定積分, )이라 한다. 구간 [a, b]에 대하여 formula_1 이면 적분은 곡선의 면적과 동일하다. 그러나, 오른쪽 그림과 같이 구간 가운데 일부가 음수인 치역을 갖는다면 적분 값은 서로 상쇄되어 곡선이 이루는 면적과는 다를 수 있다. 대한민국의 고등학교 수학 교과목
자연계열의 학생들이 이수하도록 되어 있는 신설 과목. 기존 미분과 적분 과목에 있는 '적분법'과 다른 일부 단원들로 편성되어 있는 과목이다.