एक अष्टभुज में कितने किनारे होते हैं?
अष्टभुज
अष्टभुज (Octagon)ज्यामिति की एक आकृति है  8 सरल रेखाओं से बंद आकृति को अष्टभुज कहते हैं। जिस बहुभुज की आठों भुजाएं समान हों तथा आठों अंतः कोण सामान हों उसे सम अष्टभुज कहते हैं। कूष्माण्डा
इनके तेज और प्रकाश से दसों दिशाएँ प्रकाशित हो रही हैं। ब्रह्मांड की सभी वस्तुओं और प्राणियों में अवस्थित तेज इन्हीं की छाया है। माँ की आठ भुजाएँ हैं। अतः ये अष्टभुजा देवी के नाम से भी विख्यात हैं। इनके सात हाथों में क्रमशः कमंडल, धनुष, बाण, कमल-पुष्प, अमृतपूर्ण कलश, चक्र तथा गदा है। आठवें हाथ में सभी सिद्धियों और निधियों को देने वाली जपमाला है। इनका वाहन सिंह है।
त्रिभुज
कोण A की कोज्या, उस कोण की आसन्न भुजा (आधार) की लंबाई और कर्ण की लंबाई का अनुपात होती है। चित्रानुसार विषमबाहु त्रिभुज
यदि त्रिभुज की भुजाएं a,b,c हों तथा p=(a+b +c)/2  तो त्रिभुज का क्षेत्रफल = formula_1 शेपर्ड टेबल्स
इस में दो समान्तर चतुर्भुज दिखते है जिसे तीन आयामी रुप में दो टेबल याने मेज के रुप में दिखाया गया हैं। दोनो समान्तर चतुर्भुज एक ही माप के होकर भी अलग अलग लगते हैं। त्रिभुज
समकोण त्रिभुजों में ज्या(sine), कोज्या(cosine) और स्पर्शज्या(tangent) अनुपातों का प्रयोग करके अज्ञात कोणों और अज्ञात भुजाओं की लंबाई को किया जा सकता है। त्रिभुज की भुजाएँ निम्नानुसार ज्ञात की जा सकती हैं:ज्या, कोज्या और स्पर्शज्या चतुर्भुज
अवतल चतुर्भुज त्रिभुज
तीनों भुजाओं के मध्य बिंदु और तीनों शीर्षलम्बों के पाद, सभी एक ही वृत्त पर होते हैं, जिसे त्रिभुज का नवबिन्दु वृत्त (Nine-point Circle) कहते हैं। शेष तीन बिंदु जिनके लिए इसका नाम नवबिन्दु (नौ बिन्दु) वृत्त है, वे शीर्ष और लंबकेन्द्र के बीच, शीर्षलंब के हिस्से के मध्यबिंदु हैं। नवबिन्दु वृत्त की त्रिज्या, परिवृत्त की त्रिज्या की आधी होती है। यह अन्तःवृत्त और तीनों बहिर्वृत्तों को स्पर्श करता है। त्रिभुज
समकोण त्रिभुज: एक कोण 90 डिग्री शेष दोनों कोण एक दूसरे के पूरक होते हैं। अष्टावक्र
अष्टावक्र के उत्तरों को सुकर राजा जनक प्रसन्न हो गये और उन्हें बंदी के साथ शास्त्रार्थ की अनुमति प्रदान कर दी। बंदी ने अष्टावक्र से कहा कि एक सूर्य सारे संसार को प्रकाशित करता है, देवराज इन्द्र एक ही वीर हैं तथा यमराज भी एक है। अष्टावक्र बोले कि इन्द्र और अग्निदेव दो देवता हैं। नारद तथा पर्वत दो देवर्षि हैं, अश्‍वनीकुमार भी दो ही हैं। रथ के दो पहिये होते हैं और पति-पत्नी दो सहचर होते हैं। बंदी ने कहा कि संसार तीन प्रकार से जन्म धारण करता है। कर्मों का प्रतिपादन तीन वेद करते हैं। तीनों काल में यज्ञ होता है तथा तीन लोक और तीन ज्योतियाँ हैं। अष्टावक्र बोले कि आश्रम चार हैं, वर्ण चार हैं, दिशायें चार हैं और ओंकार, आकार, उकार तथा मकार ये वाणी के प्रकार भी चार हैं। बंदी ने कहा कि यज्ञ पाँच प्रकार के होते हैं, यज्ञ की अग्नि पाँच हैं, ज्ञानेन्द्रियाँ पाँच हैं, पंच दिशाओं की अप्सरायें पाँच हैं, पवित्र नदियाँ पाँच हैं तथा पंक्‍ति छंद में पाँच पद होते हैं। अष्टावक्र बोले कि दक्षिणा में छः गौएँ देना उत्तम है, ऋतुएँ छः होती हैं, मन सहित इन्द्रयाँ छः हैं, कृतिकाएँ छः होती हैं और साधस्क भी छः ही होते हैं। बंदी ने कहा कि पालतू पशु सात उत्तम होते हैं और वन्य पशु भी सात ही, सात उत्तम छंद हैं, सप्तर्षि सात हैं और वीणा में तार भी सात ही होते हैं। अष्टावक्र बोले कि आठ वसु हैं तथा यज्ञ के स्तम्भक कोण भी आठ होते हैं। बंदी ने कहा कि पितृ यज्ञ में समिधा नौ छोड़ी जाती है, प्रकृति नौ प्रकार की होती है तथा वृहती छंद में अक्षर भी नौ ही होते हैं। अष्टावक्र बोले कि दिशाएँ दस हैं, तत्वज्ञ दस होते हैं, बच्चा दस माह में होता है और दहाई में भी दस ही होता है। बंदी ने कहा कि ग्यारह रुद्र हैं, यज्ञ में ग्यारह स्तम्भ होते हैं और पशुओं की ग्यारह इन्द्रियाँ होती हैं। अष्टावक्र बोले कि बारह आदित्य होते हैं बारह दिन का प्रकृति यज्ञ होता है, जगती छंद में बारह अक्षर होते हैं और वर्ष भी बारह मास का ही होता है। बंदी ने कहा कि त्रयोदशी उत्तम होती है, पृथ्वी पर तेरह द्वीप हैं।... इतना कहते कहते बंदी श्‍लोक की अगली पंक्ति भूल गये और चुप हो गये। इस पर अष्टावक्र ने श्‍लोक को पूरा करते हुये कहा कि वेदों में तेरह अक्षर वाले छंद अति छंद कहलाते हैं और अग्नि, वायु तथा सूर्य तीनों तेरह दिन वाले यज्ञ में व्याप्त होते हैं। त्रिभुज
"त्रिभुजों के हल (Solution of Triangles)" मुख्य त्रिकोणमितीय समस्या है: त्रिभुज की अज्ञात विशेषताओं (तीन कोण, तीन भुजाओं की लंबाई इत्यादि) को ढूंढना, जब इनमें कम से कम तीन विशेषताएँ दी गई हों। त्रिकोण एक समतल या गोले पर स्थित हो सकता है। यह समस्या अक्सर विभिन्न त्रिकोणमितीय अनुप्रयोगों में होती है, जैसे भूगर्भीय, खगोल विज्ञान, निर्माण, पथ प्रदर्शन इत्यादि। अष्टांग नमस्कार
अष्टाङ्ग नमस्कार या अष्टाङ्ग दण्डवत् प्रणाम्, सूर्य नमस्कार का एक चरण है जिसमें शरीर, आठ (अष्ट) अंगों के द्वारा भूमि को स्पर्श करती है। ये आठ अंग हैं- दोनों पाँव, दोनों घुटने, छाती, ठुण्डी (दाढ़ी) और दोनों हथेलियाँ। इसको 'दण्डवत प्रणाम' इसलिए कहा जाता है क्योंकि इस मुद्रा में शरीर 'दण्डवत' (= डंडे के समान (सीधा) ) हो जाता है। डाइगोन
डाइगोन (Digon)रेखागणित में दो शीर्षों और दो भुजाओं / कोरों से बनी आकृति (बहुभुज ) को डाइगोन (Digon) कहते हैं। इसमें दोनों सरल रेखाएं या तो एक दूसरे को ढक लेंगी या फिर दोनों रेखाएं वक्र होंगी। पेशीतन्त्र
पाँव के पृष्ठ पर केवल पादांगुलि प्रसारणी ह्रस्वा (extensor digitorum brevis) पतली, चिपटी, त्रिकोणाकार पेशी स्थित है, जिसकी कंडराएँ चार भागों में विभक्त होकर अंगुष्ठ और तीन अंगुलियों की अस्थियों में लग जाती हैं। पादतल में १८ पेशियाँ तीन स्तरों में स्थित हैं और त्वचा के नीचे पादतल कलावितान (panter aponeurosis) से ढकी रहती हैं। इस वितान को काटने पर पहले स्तर में अंगुष्ठाप्रवर्तनी (abductor pollicis), पादांगुलि संकोचनी ्ह्रस्वा (flexor digitorum brevis) और कनिष्ठापवर्तनी (abductor digiti quinti) हैं। दूसरे स्तर में पादतल चतुरस्रा (quadratus plantaris) और अनुकंडरिकाएँ (lumbricales) हैं। तीसरे स्तर में लघु पादांगुष्ठ आकुंचनी (flexor hallucis brevis), अंगुष्ठाभिवतैनी (abductor hallucis) और कनिष्ठाकुंचनी ह्रस्वा (flexor digiti quinti brevis) नामे तीन पेशियाँ हैं। चौथा स्तर सात शलाकांतरीया (interossei) पेशियों का बना हुआ है, जिनमें से चार अनुगुल्फिका के बीच में हैं और तीन अस्थियों के नीचे स्थित हैं। इनकी क्रिया इनके नाम से प्रकट है। त्रिभुज
त्रिभुज का शीर्षलंब (Altitude), एक शीर्ष से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा है, जो उस शीर्ष के सामने की भुजा पर लंब होती है। इस सामने की भुजा को, शीर्षलंब का आधार (Base of the altitude) कहा जाता है, और वह बिंदु जहां शीर्षलंब, आधार को प्रतिच्छेद करता है, शीर्षलंब का पाद (Foot of the altitude) कहलाता है। शीर्षलंब की लंबाई, आधार और शीर्ष के बीच की दूरी है। त्रिभुज के तीन शीर्षलंब होते हैं, जो एक ही बिंदु पर मिलते हैं (या प्रतिच्छेद करते हैं)। यह बिन्दु त्रिभुज का 'लंबकेंद्र (Orthocenter)' कहलाता है, जो H द्वारा दर्शाया जाता है। केवल न्यूनकोण त्रिभुजों में, लंबकेंद्र त्रिभुज के अंदर स्थित होता है। वर्ग
वर्ग (Square) ज्यामिति की एक आकृति है। यदि किसी चतुर्भुज की चारों भुजाएं बराबर हों और चारो कोण समकोण हों तो उस चतुर्भुज को वर्ग कहते है।यदि भुजा की लम्बाई 'क' इकाई है तो परिमाप = ४ X 'क' मानचित्र
अक्षांश रेखाएँ उत्तरी तथा दक्षिणी ध्रुवों से समान दूरी पर पृथ्वी के चारों ओर खीचीं जाती है और वृत्त बनाती है। इनकी मध्य रेखा भूमध्य अथवा विषुवत (equator) रेखा कहलाती है, जो 0° 0' 0² पर खिंची रहती है और जो पृथ्वी को उत्तरी तथा दक्षिणी दो गालार्द्धों में विभाजित करती है। इसके 23.5° उत्तर तथा 23.5° दक्षिण, क्रमश: कर्क (North tropic) तथा मकर (South tropic) रेखाएँ तथा 66.5° उत्तर तथा दक्षिण में क्रमश: उत्तरी तथा दक्षिणी ध्रुवीय वृत्त रेखाएँ होती है। चतुर्भुज
किसी चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल, सदिशों का प्रयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। माना सदिश AC और BD क्रमशः A से C और B से D तक के विकर्ण हैं। तब चतुर्भुज का क्षेत्रफल निम्न होगा: त्रिभुज
समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangle) - एक समबाहु त्रिभुज में, सभी (तीनों) भुजाओं की लंबाई बराबर होती है। एक समबाहु त्रिभुज, एक नियमित बहुभुज भी है जिसमें सभी (तीनों) कोण 60° के होते हैं। 20 अक्षांश उत्तर
20 अक्षांश उत्तर (20th parallel north) पृथ्वी की भूमध्यरेखा के उत्तर में 20 अक्षांश पर स्थित अक्षांश वृत्त है। यह काल्पनिक रेखा हिन्द महासागर (बंगाल की खाड़ी और अरब सागर), प्रशांत महासागर व अटलांटिक महासागर और उत्तर अमेरिका, दक्षिणपूर्वी एशिया (म्यान्मार, थाइलैण्ड, लाओस, वियतनाम, इत्यादि), चीन (हाइनान द्वीप), सउदी अरब, ओमान व अफ़्रीका के भूमीय क्षेत्रों से निकलती है। यह भारत के महाराष्ट्र, छत्तीसगढ़ और उड़ीसा के भूमीय क्षेत्रों से निकलती है। पाइथागोरस प्रमेय
इन त्रिकोण के "A"-पार्श्व कोण और "B"-पार्श्व कोण अनुपूरक कोण हैं, नीले क्षेत्र के प्रत्येक कोण समकोण हैं, इस क्षेत्र को एक वर्ग बनाते हुए जिसके पार्श्व की लंबाई "C" है। इस वर्ग का क्षेत्रफल है C"2".इस तरह समस्त का क्षेत्र दिया जाता है: हालांकि, बड़े वर्ग के पार्श्वों की लंबाई [7], हम उसके क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं जैसे [8], जो [9] में विस्तारित होता है। अक्षांश रेखाएँ
अक्षांश रेखाएँ काल्पनिक रेखाएँ है, इनकी संख्या अनन्त है। एक अंश (डिग्री) के अंतराल पर कल्पित किये जाने पर अक्षांश रेखाओं की कुल संख्या = ९० + ९० + १ = १८१ और यदि दोनों ध्रुवों को रेखा न माना जाय क्योंकि ये बिंदु हैं, तो 179 बतायी जाती है। 1° के अन्तराल पर खींचे जाने पर किन्हीं दो क्रमागत अक्षांश रेखाओं के बीच की लम्बाई 111 किलोमीटर होती है । 108 रेखांश पूर्व
108 रेखांश पूर्व (108th meridian east) पृथ्वी की प्रधान मध्याह्न रेखा से पूर्व में 108 रेखांश पर स्थित उत्तरी ध्रुव से दक्षिणी ध्रुव तक चलने वाली रेखांश है। यह काल्पनिक रेखा आर्कटिक महासागर, एशिया, हिन्द महासागर, दक्षिणी महासागर और अंटार्कटिका से गुज़रती है। यह 72 रेखांश पश्चिम से मिलकर एक महावृत्त बनाती है। अष्टांग योग
षडङ्ग योग- अर्थात "छः अंगों वाला योग"। इसका वर्णन मैत्रायणी उपनिषद् में आता है। ये छः अंग हैं - प्राणायाम, प्रत्याहार, ध्यान, धारणा, तर्क और समाधि। उंगली
मानव के एक हाथ में कुल पाँच अंगुलियों होती हैं, इनमें से सबसे पहली और अपेक्षाकृत मोटी अंगुली अंगूठा कहलाती है। अंगूठे के साथ वाली अंगुली को तर्जनी कहते हैं, हाथ के बीच वाली अंगुली का नाम मध्यमा है। मध्यमा और हाथ की सबसे छोटी वाली अंगुली कनिष्ठा के बीच की अंगुली अनामिका कहलाती है। चतुर्भुज
जहां formula_25, विकर्णों के मध्यबिंदुओं के बीच की दूरी है. इसे यूलर की चतुर्भुज प्रमेय के रूप में जाना जाता है और यही समांतर चतुर्भुज नियम का सामान्यीकरण होता है। त्रिभुज
यदि समकोण त्रिभुज के भुजों (कर्ण के अलावा अन्य दो भुजाएँ) की लंबाई समान है, तो उन भुजों के विपरीत (या सम्मुख) कोण समान होते हैं। चूंकि ये कोण पूरक होते हैं, अतः प्रत्येक कोण 45 अंश का होता है। पाइथागोरियन प्रमेय द्वारा, कर्ण की लंबाई, एक भुज की लंबाई की √2 गुनी होती है। तंग्राम
तंग्राम को बाजार से खरीदकर लाया जा सकता है या इसे किसी स्कवॉयर गत्ते या कार्डबोर्ड से घर पर भी बनाया जा सकता है। इसकी सात ज्यामितीय आकृतियों में पांच त्रिकोण, एक वर्ग और एक सामानांतर चतुर्भुज होता है। इसके दो बड़े त्रिकोणों का आकार मध्यम आकार के त्रिकोण से दोगुना तथा मध्यम आकार के त्रिकोण का आकार छोटे आकार के त्रिकोण से दोगुना होता है। इसी तरह स्कवॉयर टुकड़े का क्षेत्रफल छोटे आकार के त्रिकोण के क्षेत्रफल से दोगुना और समानांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल स्कवॉयर टुकड़े के बराबर रखा जाएगा। चतुर्भुज
पतंगाकार चतुर्भुज (Kite): आसन्न भुजाओं के दो युग्म बराबर लंबाई के होते हैं। तात्पर्य यह है कि इसका एक विकर्ण, चतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है, और इसलिए समान भुजाओं के दो युग्मो के बीच के कोण बराबर होते हैं। इसके दोनों विकर्ण एक दूसरे के लम्बवत होते हैं। पाइथागोरस प्रमेय
जहाँ कोण "α" पार्श्व "a" के विपरीत है, कोण "β" पार्श्व "b" के विपरीत है और कोण "γ" पार्श्व "c" के विपरीत है। युक्लीडियन ज्यामिति के सिद्धांत से पायथागॉरियन प्रमेय से प्राप्त हुआ है, वास्तव में, ऊपर बताए पायथागॉरियन प्रमेय का युक्लीडियन प्रकार बिना युक्लीडियन ज्यामिति के नहीं होता है। (यह वास्तव में यूक्लिड के समांतर (पांचवां) स्वसिद्ध के बराबर दिखाया गया है।) उदाहरण के लिए, गोलीय ज्यामिति में, ओक्टेट से सीमित इकाई क्षेत्र के समकोण त्रिकोण के तीनों पार्श्वों की लंबाई formula_27 के बराबर है; युक्लीडियन पायथागॉरियन प्रमेय का उल्लंघन करती है क्यूंकि formula_27 पेशीतन्त्र
अग्रबाहु में सामने की ओर ८ पेशियाँ हैं, जिनमें ५ ऊपर और ३ उनके नीचे स्थित हैं। पीछे की ओर १२ पेशियाँ हैं, जिनमें ७ ऊपर, या बाहर की ओर और ५ उनके नीचे स्थित हैं। सामने की सब पेशियाँ बर्तुल अवताननी (pronatorteris) और दीर्घ करतला (palmaris longus) के अतिरिक्त आकोचनी (flexors) हैं, जो अग्रबाहु को बाहु के समीप खींच लाती हैं। वर्तुल अवताननी हथेली को नीचे, या पीछे की ओर, घुमाती है। दीर्घ करतला हथेली के कलावितान को तानती है, जिससे मणिबंध का स्वत: आकुंचन हो जाता है। नीचे के गंभी समूह में भी करावताननी चतुरस्रा हाथ को घुमाकर हथेली नीचे, या पीछे को, कर देती है। ये सब आकोचनी पेशियाँ प्रगंडास्थि के अधोप्रांत के अंत:अस्थिकंद (internal condyle) से एक सामान्य कंडरा तथा अस्थिकंद के ऊपर से निकलती हैं और नीचे पतली कंडराओं द्वारा हथेली की तथा अंगुलियों की अस्थियों में लग जाती हैं। इनके नाम ये हैं : वर्तुल अवताननी, दीर्घकरतला, बहि: और अंत: मणिबंध आकुचनी (flexor carpi radialis and ulnaris) पेशियाँ, उत्तर अंगुलि आकुंचनी (flexor digitorum sublimis), नितल अंगुलि आकुचनी, (flexor digitorum profundus), दीर्घा अंगुष्ठ आकुंचनी (flexor pollicis longus) और चतुरस्त्र अवताननी (pronator quadratus), चतुष्कोणकार पेशी, जो मणिबंध के पास अंत: और बहि: प्रकोष्ठास्थियों पर स्थित है और करावतानन करती है। वर्गाकार
मूल में केन्द्रित वर्ग जिसकी भुजा लम्बाई 2 है, की भुजाओं के निर्देशांक हैं (±1, ±1), जबकि उसके आंतरिक क्षेत्र में सभी बिंदु ("x", "x") सम्मिलित हैं, &ऋणात्मक;1 spherical geometry, a square is a polygon whose edges are great circle arcs of equal distance, which meet at equal angles. Unlike the square of plane geometry, the angles of such a square are larger than a right angle. सप्तभुज
जिस बहुभुज की 7 भुजाएं समान हों तथा 7 अंतः कोण सामान हों उसे सम सप्तभुज कहते हैं। बहुभुज
बहुभुज का अर्थ अनेक भुजाओं वाली आकृति। वैसी आकृति जिसमें जो तीन या तीन से अधिक रेखाओं से मिलकर बनी हो बहुभुज कहलाती है। भुज में संस्कृत मूल से बने गिनती के उपसर्गों को जोड़कर बहुभुज का नामकरण किया जाता है। बहुभुज में भुजाओं की संख्या के आधार पर उनका नामकरण किया जाता है। न्यूनकोण त्रिभुज तथा अधिककोण त्रिभुज
न्यूनकोण त्रिभुज (acute triangle) उस त्रिभुज को कहते हैं जिसके तीनों कोण, न्यूनकोण (90° से कम) हों। अधिककोण त्रिभुज (obtuse triangle) उस त्रिभुज को कहते हैं जिसका कोई कोण, अधिककोण (90° से अधिक) हो। चूँकि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग १८० डिग्री होता है, अतः किसी भी त्रिभुज में दो कोण, अधिककोण नहीं हो सकते। चतुर्भुज
यह आन्तरिक कोण योग सूत्र (n - 2) × 180° द्वारा प्राप्त होता है। (यहाँ n, बहुभुज की भुजाओं की संख्या है) आनन्दलहरी
इसका 11वां श्लोक विशेष महत्वपूर्ण है (तंत्रशास्त्र की दृष्टि से) जिसमें 43 दलोंवाले 'श्रीयंत्र' का वर्णन है। मध्य में बिंदु के स्थान पर शिव हैं। इसके बाद चतुरस्र यंत्र में श्रीकंठ आदि चार शंकर, पाँच कोणों में पाँच शिवयुवती, इसके बाद नौ कोणों में नौ मूल प्रकृति और बाद के आठ कोणों में कुसुमा आदि आठ देवियाँ। तब 16 कोणों में श्री आदि 16 देवियाँ और फिर तीन रेखाओं में चतुर्द्वार। इस प्रकार 43 कोणों को माँ भुवनेश्वरी के चरण बतलाकर प्रत्येक कोण में एक देवी की स्थापना की गई है। यह तांत्रिकों के अध्ययन साधना की सामग्री प्रस्तुत करता है। अष्टश्रवा
ब्रहमाजी का एक उपनाम है, इसका मतलब होता है, आठ कान वाला. चार मुख वाले ब्रहमाजी के दो दो कान हर मुख पर होने से कुल आठ कान माने जाते है। हर समय आठों दिशाओं का बोध उनको होता रहता है, लेकिन "तन्त्र-शास्त्र" के अनुसार सरस्वती के साथ होने पर दो दिशाओं के प्रति उनका भान और बढ़ जाता है, जिस से आकाश ऊर्ध्व और नीचे अध नाम की दो दिशाओं सहित दस दिशाओं का बोध होता है। चतुर्भुज
आयत (Rectangle): सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं, चारों कोण समकोण होते हैं, विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं और लंबाई में बराबर होते हैं। वर्ग, एक आयत होता है। ज्यामिति का इतिहास
समस्या 48 में किनारे की 9 इकाइयों के साथ एक वर्ग का उपयोग करना शामिल था। इस वर्ग को एक 3x3 के ग्रिड में काट दिया गया था। कोने के वर्गों के विकर्ण को 63 इकाइयों के एक क्षेत्रफल के साथ एक अनियमित अष्टकोण बनाने के लिए इस्तेमाल किया गया था। इसने π के लिए एक दूसरा मान 3.111... दिया। चतुर्भुज
एक साधारण (और समतलीय) चतुर्भुज ABCD के आंतरिक कोणों का योग 360° होता है, अर्थात- चतुर्भुज
निम्नलिखित दोनों सूत्र भुजाओं a, b, c, d, अर्द्धपरिमाप s तथा विकर्णों p व q के पदों में क्षेत्रफल व्यक्त करते हैं- गणितीय प्रतिरूप
कुछ मनोरंजक तिर्यकछिन्न समबाहु फलकों के प्रति रूप बनाने की विधि यह है : किसी दफ्ती या कड़े कागज पर एक सम षड्भुज खींचे और इसकी प्रत्येक भुजा पर ऐसा ही षड्भुज खींचे। इन सात षड्भुजों से घिरे हुए क्षेत्र की परिसीमा में १८ भुजाएँ हैं। इनके अनुदिश तेज चाकू या ब्लेड से काट कर इस क्षेत्र को अलग कर ले। फिर इस क्षेत्र से बीचवाला षड्भुज भी काट कर अलग कर दें। अब हर जोड़ी षड्भुजों की उभयनिष्ठ कोरों में से पाँच को भीतर से आधी दूर तक काट दें और शेष अर्धभाग में शिकन बना दें। छठी उभयनिष्ठ कोर को पूरा काट दें। अब यदि इस कटी हुई कोरवाले षड्भुजों को एक दूसरे के ऊपर संपाती कर दिया जाय तो बीच में समपंचभुजाकार छिद्र मिलेगा। यदि ऐसे सिरे के दो षड्भुजों को दूसरे सिरे के दो षड्भुजों पर संपाती कर दिया जाय तो वर्गाकार छिद्र मिलेगा। यदि सिरे के तीन षड्भुजों को संपाती कर दिया जाय तो समबाहु त्रिभुजाकार छिद्र मिलेगा। तीन सलंग्न षड्भुजों की मुक्त कोरों को सटाकर चिपका देने से भी समबाहु त्रिभुजाकार छिद्र मिलेगा। यदि त्रिभुजाकार छिद्रवाले वलय के एक सिरे पर कटा हुआ षड्भुज बैठा दिया जाय तो ऐसा तिर्यकछिन्न समचतुष्फलक मिलेगा। जिसके चारों शीर्षों पर से ४ छोटे समान समचतुष्फलक काट दिए गए हैं। वर्गाकार छिद्रवाले दो वलयों को इस प्रकार रखने पर कि वर्गाकार छिद्र के संमुखवाले भाग संपाती हो जायँ, वह तिर्यकछिन्न अष्टफलक बनता है जो सम अष्टफलक के शीर्षों से समान वर्गाधारवाले सूचीस्तंभ काटने पर मिलता है। पंचभुजाकर छिद्रवाले १२ वलयों को इस प्रकार रखने पर कि षड्भुज होते जाए, वह तिर्यकछिन्न समविंशातिफलक बनता है जिसके शीर्षों से समपंचभुजाकारवाले सूचीस्तंभ काट लिए गए हैं। त्रिभुज
दो त्रिभुज समरूप (Similiar) होते हैं यदि एक त्रिभुज के प्रत्येक कोण का मान, दूसरे त्रिभुज के (तत्स्थानिक) कोणों के मान के बराबर होता है। समरूप त्रिभुजों में तत्स्थानिक भुजाओं की लंबाइयाँ समान अनुपात में होती हैं, और यह गुण त्रिभुजों में समरूपता स्थापित करने के लिए पर्याप्त है। चतुर्भुज
जहां formula_25, विकर्णों के मध्यबिंदुओं के बीच की दूरी है और formula_10 द्विमाध्यिकाओं के बीच का कोण है। आन्तरिक कोण तथा वाह्य कोण
ज्यामिति में, किसी बहुभुज के किसी भी शीर्ष पर दो कोण बनते हैं, एक कोण को आन्तरिक कोण और दूसरे को वाह्य कोण कहते हैं। सरल बहुभुज (अपने आप को न काटने वाले बहुभुज), चाहे वह उत्तल बहुभुज हो या नहीं, के जिस कोण के अन्दर स्थित कोई बिन्दु बहुभुज के अन्दर हो तो उस कोण को 'आन्तरिक कोण' (internal angle) कहते हैं। प्रत्येक बहुभुज के हरेक शीर्ष पर केवल एक ही आन्तरिक कोण होता है। 24 अक्षांश उत्तर
24 अक्षांश उत्तर (24th parallel north) पृथ्वी की भूमध्यरेखा के उत्तर में 24 अक्षांश पर स्थित अक्षांश वृत्त है। यह काल्पनिक रेखा हिन्द महासागर (अरब सागर), प्रशांत महासागर व अटलांटिक महासागर और उत्तर अमेरिका, एशिया (बंग्लादेश, म्यान्मार, चीन, ताइवान, सउदी अरब, ओमान, संयुक्त अरब इमारात, पाकिस्तान) व अफ़्रीका के भूमीय क्षेत्रों से निकलती है। यह भारत के त्रिपुरा, मिज़ोरम, राजस्थान, उत्तर प्रदेश, गुजरात, मध्य प्रदेश, पश्चिम बंगाल, छत्तीसगढ़ और झारखंड के भूमीय क्षेत्रों से निकलती है। कर्क रेखा इस अक्षांश रेखा और 23 अक्षांश उत्तर के बीच में स्थित है, यानि इस अक्षांश से ज़रा दक्षिण में स्थित है। भूगोलीय निर्देशांक प्रणाली
अक्षांश (अंग्रेज़ी:लैटिट्यूड, "Lat"., φ, या फ़ाई) पृथ्वी की सतह पर एक बिन्दु से भूमध्यीय समतल तक बना कोण होता है, जिसे ग्लोब के केन्द्र पर नापा जाता है। समान अक्षांश बिन्दुओं को जोड़ने वाली रेखाओं को अक्षांश रेखाएं कहते हैं। अक्षांश की रेखाएं इस प्रक्षेप में क्षैतिज एवं सीधी प्रतीत होती हैं, परंतु वे भिन्न अर्धव्यासों वाली और वृत्तीय होती हैं। एक अक्षांश पर स्थित सभी स्थान एकसाथ जुड़कर अक्षांश का वृत्त बनाते हैं। ये सभी वृत्त भूमध्य रेखा के समानांतर होते हैं। इनमें भौगोलिक उत्तरी ध्रुव ९०° उत्तर कोण पर रहता है; व भौगोलिक दक्षिणी ध्रुव ९०° दक्षिण कोण पर। शून्य अंश (0°) अक्षांश रेखा को भूमध्य रेखा कहते हैं। ये ग्लोब को उत्तरी व दक्षिणी, दो गोलार्धों में बांटती है। समान्तर चतुर्भुज
सामने के चित्र को देखें। इसका आधार "b" और ऊँचाई "h" है। यहाँ ऊपर और नीचे की भुजाओं के बीच की न्यूनतम दूरी ही ऊँचाई है। इस समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल अक्षांश रेखाएँ
8.सभी अक्षांश रेखाऐं समान दूरी (1° के अन्तराल पर लगभग 111 कि.मी.) पर खींची जाती हैं । चतुर्भुज
एक उत्तल चतुर्भुज में, सभी आंतरिक कोण 180° से कम होते हैं और दोनों विकर्ण चतुर्भुज के अंदर स्थित होते हैं। त्रिकोणीय सर्वेक्षण
यह कोण थियोडोलाइट नामक यंत्र से नापते हैं। आधार बिंदुओं से आरंभ करके क्रमश: सभी स्टेशन बिंदुओं पर थियोडोलाइट केंद्रित करके कोण पढ़ लिए जाते हैं। जैसे जैसे त्रिभुजमाला के एक एक त्रिभुज या चतुर्भुज के सारे कोण पूरे हो जाते हैं, सर्वेक्षक ज्यामितीय संबंधों, जैसे त्रिभुज के तीनों कोण (180°) या चतुर्भुज के चारों कोण (360°), की जाँच करता जाता है। पृथ्वी की सतह गोलाकार होने के कारण त्रिभुज बहुत बड़े होने पर उसके कोणों का योग 180 डिग्री से अधिक हो जाता है। इस प्रकार की बढ़ती को गोलीय आधिक्य (spherical excess) कहते हैं। 75 वर्ग मीलवाले त्रिभुज में यह आधिक्य 1"" होता है। प्रेक्षण त्रुटियों और गोलीय आधिक्य का शोधन करके गणना में कोण प्रयुक्त होते हैं। ऑटोकैड
Polygon - तीन या तीन से अधिक line से एक बंद आकृति को Polygon कहते है । जैसे त्रिभुज ,चतुर्भुज आदि । इसको auto cad में कैसे बनाते है । इसके लिए दिए हुए लिंक पर click करे । त्रिभुज के अन्तर्वृत्त और बहिर्वृत्त
त्रिभुज का अन्तःवृत्त तीनों भुजाओं को स्पर्श करता है, अतः अन्तःकेंद्र की तीनों भुजाओं से लम्बवत दूरी भी समान होगी। यही तथ्य हाथ से अन्तःकेन्द्र निकालने के लिए उपयोग में लाया जाता है। किन्हीं दो कोणों का अर्धक खींचा जाता है और वे जहाँ काटते हैं वही इस त्रिभुज का अन्तःकेन्द्र होगा। यदि तीसरे कोण का भी अर्धक खींचा जाय तो वह भी पहले के दो अर्धकों के कटान-बिन्दु से होकर जाएगा। इस बिन्दु (अन्तःकेन्द्र) से किसी भी भुजा पर लम्बवत रेखा खींचते हैं, यह लम्ब उस भुजा को जहाँ काटता है वहाँ से अन्तःकेन्द्र की दूरी ही अन्तःत्रिजा है। बहुभुज
बहुभुज (Polygon) एक समतल सतह पर बनी ज्यामितीय आकृतियों का सामान्य नाम है। बहुभुज कई सरल रेखाओं से बंद होता है। इन सरल रेखाओं को बहुभुज की 'भुजा' कहते हैं। जहां दो भुजाएँ मिलती हैं वह कोण कहलाता है। समबाहु त्रिभुज
समबाहु त्रिभुज समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangle) ज्यामिति की एक आकृति है जिसकी कोई तीनो भुजाएं व तीनो कोण समान हों।माना कि समबाहु त्रिभुज की भुजा की लम्बाई "a" है, बौधायन प्रमेय का उपयोग करने पर हमे निम्न मान प्राप्त होते हैं: समबाहु त्रिभुज में लम्ब, कोण समद्विभाजक, भुज समद्विभाजक और माध्यिकाएं सभी सन्निपतित होते हैं। अक्षांश रेखाएँ
इस प्रकार, विषुवत वृत्त के सभी बिन्दुओं का अक्षांश शून्य होता है। अर्थात भूमध्य रेखा, शून्य डिग्री अक्षांश से होकर जाने वाली रेखा है। विषुवत वृत्त की उत्तरी एवं दक्षिणी दिशा में 1 डिग्री के अंतराल से खींचे जाने पर नंबर 90 अक्षांश वृत्त होते हैं यानी कि किसी भी स्थान का अक्षांश 90 डिग्री से अधिक नहीं हो सकता। विषुवत वृत्त के उत्तरी भाग को उत्तरी गोलार्ध और दक्षिणी भाग को दक्षिणी गोलार्ध कहा जाता है। न्यूनकोण त्रिभुज तथा अधिककोण त्रिभुज
जिस त्रिभुज का एक कोण ९० डिग्री का हो, उसे समकोण त्रिभुज कहते हैं। उंगली
हाथों तथा पैरों के अग्रभागों को अंगुलियाँ कहा जाता है। मनुष्य के प्रत्येक हाथ तथा पैर में पाँच-पाँच अंगुलियाँ होती हैं। इस प्रकार से मनुष्य की कुल बीस अंगुलियाँ होती हैं। चतुर्भुज
एक उत्तल चतुर्भुज ABCD में, जहाँ भुजा a = AB, b = BC, c = CD, d = DA हों, और उसके विकर्ण बिन्दु E पर प्रतिच्छेद करें, तब स्पर्शरेखा चतुर्भुज
ऐसा चतुर्भुज जिसकी सभी भुजाएं एक ही वृत्त की स्पर्श रेखाएं हों उसे स्पर्श रेखा चतुर्भुज कहते हैं। त्रिभुज
सभी त्रिभुजों के लिए कोण और भुजाएँ, ज्या(Sine) और कोज्या(Cosine) के नियमों द्वारा संबंधित हैं। त्रिभुज के अन्तर्वृत्त और बहिर्वृत्त
किसी त्रिभुज के तीनों शीर्षों से होकर जाने वाले वृत्त को उस त्रिभुज का परिवृत्त (Circumcircle) कहते हैं। माना त्रिभुज ABC के तीन कोण "A", "B", "C" हैं और इन कोणों के सामने की भुजाएँ क्रमशः "a", "b", "c" हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल S है; अन्तःत्रिज्या r है और तीन बहिर्वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः r, r, r हैं। इस त्रिभुज की अर्धपरिधि formula_1 है। तोformula_2formula_6formula_7formula_8इसके अतिरिक्त, पायथागॉरियन प्रमेय
"ABC" को एक त्रिकोण मानते हैं जिसके पार्श्वों की लम्बाई "a", "b" और "c" है, के साथ.हमें यह साबित करना है कि "a" और "b" पार्श्वों के बीच के कोण समकोण है। हम एक और त्रिकोण का निर्माण करते हैं जिसमें पार्श्वों के बीच एक समकोण है जिसकी लंबाई "a" और "b" है। पायथागॉरियन प्रमेय से, निम्नानुसार है कि इस त्रिकोण के कर्ण लंबाई भी "c" है। चूंकि दोनों त्रिकोण के पार्श्वों की एक ही लंबाई है a, b और c, वे अनुकूल हैं और इसलिए उनका एक ही कोण होना चाहिए.इसलिए, जिन पार्श्वों की लंबाई "a" और "b" है हमारे मूल त्रिकोण में उनके बीच का कोण एक समकोण है। महावीर (गणितज्ञ)
आदित्य और उनके पूर्व ब्रह्मगुप्त ने चक्रीय चतुर्भुजों के गुणों पर प्रकाश डाला था। इसके बाद महावीर ने चक्रीय चतुर्भुजों की भुजाओं (sides) एवं विकर्णों (diagonals) की लम्बाई ज्ञात करने के लिये समीकरण दिये। पेशीतन्त्र
पृष्ठच्छदा को ऊपर बताया जा चुका है। यह त्रिकोणाकार पेशी पश्चकपालास्थि की मध्यतोरणिकारेखा (mid. nychal line), अधोग्रैव स्नायु, सातों ग्रैवेयक और बारहों वक्षी से निकलकर बाहर को चली जाती है। ऊपरी भाग के सूत्र नीचे और बाह्य को, बीच के सूत्र सीधे बाहर को और नीचे के सूत्र ऊपर और बाहर को जाकर, कंडरा द्वारा जत्रुक और अंसफलक (scapula) के अंसप्राचीरक (acromial spine) और अंसकूट प्रवर्ध (acromial process) पर लगते हैं। दोनों ओर की ऐसी ही त्रिकोणकार पेशियाँ मिलकर एक समलंब (trapezium) बना देती हैं। यह पेशी कंधों को ऊपर को उठाती है तथा पीछे को खींचती है पीठ के निचले भाग में भी ऐसी ही एक विस्तृत पेशी, लैटिसिमस डॉर्साई (latissimus dorsii) है, जिसके सूत्र वक्ष के अंतिम छह कशेरुक कंटकों तथा कटि और त्रिक प्रांतों के कंटकों से उदय होकर, निचले वक्ष ओर कटि को ढकते हुए ऊपर को जाकर तीन इंच लंबी कंडरा बनाते हैं, जो ऊपर बाहु की प्रग्रडास्थि के ऊर्ध्व भाग में दोनों पिंडकों के बीच की परिखा में लगती है। यह पेशी बाहुओं को नीचे और पीछे को खींचती है, किंतु हाथों को ऊपर उठाकर किसी वस्तु पर स्थित कर देने पर सारे शरीर को ऊपर को खींच लेती है। त्रिभुज
समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles Triangle) - यदि किसी त्रिभुज की कोई दो भुजाएं बराबर होती हैं तो वो समद्विबाहु त्रिभुज कहलाता है। समद्विबाहु त्रिभुज के समान भुजाओं के आमने सामने के कोण भी बराबर होते हैं। एक समद्विबाहु त्रिभुज में, किन्ही दो भुजाओं की लंबाई बराबर होती है। एक समद्विबाहु त्रिभुज में एक ही माप के दो कोण भी होते हैं, अर्थात् समान लंबाई की दोनों भुजाओं और तीसरी असमान भुजा के मध्य बने कोण समान होते हैं; यह तथ्य समद्विबाहु त्रिभुज प्रमेय का है, जिसे यूक्लिड द्वारा ज्ञात किया गया था। समद्विबाहु त्रिभुज में कम से कम दो भुजाएँ समान होती हैं। अतः समबाहु त्रिभुज, समद्विबाहु भी होते हैं। चतुर्भुज
एक उत्तल चतुर्भुज ABCD में विकर्णों की लंबाई, एक विकर्ण द्वारा बनाए गए प्रत्येक (दोनों) त्रिभुज पर कोज्या नियम तथा चतुर्भुज की किन्हीं दो भुजाओं का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है। इस प्रकार समान्तरषटफलक
इस ठोस में छः सतहें होती हैं। प्रत्येक सतह के समान्तर सामने की सतह होती है। इसलिए इसे समान्तर षट्फलक कहते हैं।  यह भी एक प्रकार का समान्तर षट्फलक है जिसकी प्रत्येक सतह बराबर है और आमने सामने की सतहें अनुरूप और समान्तर हैं। आधार वर्ग है।  यह भी एक समान्तर षट्फलक ठोस है जिसका आधार एक आयत है। आमने सामने की सतहें समान्तर और आकार में अनुरूप होती हैं।  यह एक ऐसा समान्तर षट्फलक ठोस है जिसका आधार समचतुर्भुज(rhombus) है और आमने सामने की सतहें अनुरूप और समान्तर हैं।  यह एक ऐसा समान्तर षट्फलक ठोस है जिसका आधार समान्तर चतुर्भुज है। और आमने सामने की सतहें समान्तर और अनुरूप हैं। त्रिभुज
तीन सकारात्मक(Positive) कोण α, β, और γ (इनमें से प्रत्येक 180° से कम है), एक त्रिभुज के कोण होंगे यदि वे निम्न शर्तों में से किसी एक का पालन करें: समबाहु बहुभुज
समबाहु बहुभुज (Equilateral Polygon)ज्यामिति की एक आकृति है।  खण्डोंआकृतियों का सामान्य नाम है। बहुभुज कई सरल रेखाओं से बंद होता है। इन सरल रेखाओं को बहुभुज की 'भुजा' कहते हैं। जहां दो भुजाएँ मिलती हैं वह कोण कहलाता है। पायथागॉरियन प्रमेय
यह मात्रा "da" और "dc" क्रमशः "a" और "c" में अत्यंत छोटे परिवर्तन हैं। लेकिन हम इसके बदले वास्तविक संख्या Δa and Δc का उपयोग करते हैं, तब उनके अनुपात की सीमा da/dc है जब उनका आकार शून्य निकटता, व्युत्पन्नी और c/a भी निकटता है, त्रिकोण के पार्श्वों की लंबाई का अनुपात और विभेदक समीकरण का परिणाम पता चलता है।  इस प्रमेय का विपर्याय भी सच है:किसी भी तीन धनात्मक संख्या "a", "b" और "c" ऐसी है [10], वहाँ एक त्रिकोण मौजूद है जिसके पार्श्व हैं "a", "b" और "c" और हर ऐसे त्रिकोण में पार्श्वों के भीच एक समकोण है जिनकी लम्बाई "a" और "b" है। अवतल बहुभुज
जो बहुभुज सरल हों किन्तु उत्तल न हों उन्हें अवतल बहुभुज (concave या non-convex या reentrant) कहते हैं। अवतल बहुभुज का कम से कम एक कोण अवश्य ही १८० डिग्री तथा ३६० डिग्री के बीच होगा। चतुर्भुज
एक उत्तल चतुर्भुज की आकृति और आकार, उसकी भुजाओं और किन्हीं दो सम्मुख शीर्षों के बीच के विकर्ण की लंबाई से निर्धारित होता है। चतुर्भुज के विकर्ण p, q और चारों भुजाएँ a, b, c, d केली-मेंगर सारणिक द्वारा निम्नानुसार संबंधित हैं: विंशतभुज
ज्यामिति में विंशतभुज () बीस भुजाओं वाला बहुभुज है। किसी भी विंशतभुज के आंतरिक कोणों का योग 3240 डिग्री होता है। आयत
ऐसा चतुर्भुज जिसके चारों अन्तःकोण समकोण (=९० डिग्री के) हों उसे आयत (रेक्टैंगल) कहते हैं।  आयत एक ऐसा चतुर्भुज है जिसकी आमने सामने की भुजाएं समांतर होती है, "आयत" कहलाता है।आयत का क्षेत्रफल = लंबाई x चौड़ाई वर्गाकार
तलीय यूक्लिड ज्यामिति में वर्ग एक सम-चतुर्भुज है, जिसके चारो कोण ९० अंश के होते हैं। अष्टांगसंग्रह
इसके आठ भाग (स्थान) हैं- चक्रीय बहुभुज
चूंकि किन्हीं भी तीन बिन्दुओं से होकर एक वृत्त खींचना सम्भव है, इसलिये सभी त्रिभुज चक्रीय त्रिभुज होते हैं। किन्तु सभी चतुर्भुज, पंचभुज आदि चक्रीय हों, यह जरूरी नहीं है। चक्रीय चतुर्भुज के आमने-सामने के कोणों (सम्मुख कोणों) का योग १८० डिग्री होता है। 78 अक्षांश उत्तर
78 अक्षांश उत्तर (78th parallel north) पृथ्वी की भूमध्यरेखा के उत्तर में 78 अक्षांश पर स्थित अक्षांश वृत्त है। यह काल्पनिक रेखा आर्कटिक महासागर व अटलांटिक महासागर और उत्तर अमेरिका, यूरोप व एशिया के भूमीय क्षेत्रों से निकलती है। इस अक्षांश पर केवल चार ही देशों की भूमि स्थित है - रूस (सेवेर्नाया ज़ेमल्या द्वीपसमूह), कनाडा (कुछ द्वीप), ग्रीनलैण्ड और नॉर्वे (स्वालबार्ड द्वीपसमूह)। अर्ध दीर्घ अक्ष
मुख्य अक्ष (major axis) एक दीर्घवृत्त का सबसे लंबा व्यास है, एक रेखा जो केंद्र और दोनों नाभियों से होकर गुजरती है, इसके छोर आकार के सर्वाधिक दूरी के बिंदु है। मुख्य अक्ष का आधा अर्द्ध-मुख्य अक्ष (semi-major axis) है और इस तरह नाभि से होकर केंद्र से दीर्घवृत्त के किनारे तक जाती है; अनिवार्य रूप से, यह कक्षा के सबसे दूरस्थ बिन्दुओं से ली गई, कक्षा की त्रिज्या की एक माप है। वृत्त के विशेष मामले में, अर्द्ध-मुख्य अक्ष एक त्रिज्या है। एक तरह से सोचे तो अर्द्ध-मुख्य अक्ष एक दीर्घवृत्त की सबसे लम्बी त्रिज्या है। अष्टाङ्गहृदयम्
अष्टांगहृदय में 6 खण्ड, 120 अध्याय एवं कुल 7120 श्लोक हैं। अष्टांगहृदय के छः खण्डों के नाम निम्नलिखित हैं- 38 अक्षांश उत्तर
38 अक्षांश उत्तर (अंग्रेजी: 38th Parallel North) पृथ्वी की भूमध्यरेखा के उत्तर में 38 अक्षांश पर स्थित अक्षांश वृत्त है। यह काल्पनिक रेखा प्रशांत महासागर व अटलांटिक महासागर और उत्तर अमेरिका, यूरोप व एशिया (जापान, चीन, तुर्की, इराक, ईरान, अफ़्ग़ानिस्तान, ताजिकिस्तान, उज़्बेकिस्तान, तुर्कमेनिस्तान) के भूमीय क्षेत्रों से निकलती है। योग दर्शन
साधारणत: योग को अष्टांग कहा जाता है परंतु यहाँ अब तक आसन से लेकर समाधि तक छह अंगों का ही उल्लेख किया गया है। शेष दो अंगों को इसलिये नहीं छोड़ा कि वे अनावश्यक हैं वरन्‌ इसलिए कि वह योगी ही नहीं प्रत्युत मनुष्य मात्र के लिए परम उपयोगी हैं। उनमें प्रथम स्थान यम का है। इनके संबंध में कहा गया है कि यह देश काल, समय से अनवच्छिन्न ओर सार्वभौम महाब्रत हैं अर्थात्‌ प्रत्येक मनुष्य को प्रत्येक स्थान पर प्रत्येक समय और प्रत्येक अवस्था में प्रत्येक व्यक्ति के साथ इनका पालन करना चाहिए। दूसरा अंग नियम कहलाता है। जो लोग ईश्वर की सत्ता को स्वीकार नहीं करते उनके लिये ईश्वर पर निष्ठा रखने का कोई और नहीं है। परंतु वह लोग भी प्राय: किसी न किसी ऐसे व्यक्ति पर श्रद्धा रखते हैं जो उनके लिये ईश्वर तुल्य है। बौद्ध को बुद्धदेव के प्रति जो निष्ठा है वह उससे कम नहीं है जो किसी भी ईश्वरवादी को ईश्वर पर होती होगी। एक और बात है। किसी को ईश्वर पर श्रद्धा हो या न हो, योग मार्ग के उपदेष्टा गुरु पर तो अनन्य श्रद्धा होनी ही चाहिए। योगाभ्यासी के लिये गुरु का स्थान किसी भी दृष्टि से ईश्वर से कम नहीं। ईश्वर हो या न हो परंतु गुरु के होने पर तो कोई संदेह हो ही नहीं सकता। एक साधक चरणादास जी की शिष्या सहजोबाई ने कहा है: चतुष्फलकी
Note that with respect to the base plane the slope of a face (formula_5) is twice that of an edge (formula_6), corresponding to the fact that the "horizontal" distance covered from the base to the apex along an edge is twice that along the median of a face. In other words, if "C" is the centroid of the base, the distance from "C" to a vertex of the base is twice that from "C" to the midpoint of an edge of the base. This follows from the fact that the medians of a triangle intersect at its centroid, and this point divides each of them in two segments, one of which is twice as long as the other (see ). 6 अक्षांश उत्तर
6 अक्षांश उत्तर (6th parallel north) पृथ्वी की भूमध्यरेखा के उत्तर में 6 अक्षांश पर स्थित अक्षांश वृत्त है। यह काल्पनिक रेखा हिन्द महासागर, प्रशांत महासागर व अटलांटिक महासागर और दक्षिण अमेरिका, दक्षिणपूर्वी एशिया (मलेशिया, इंडोनेशिया, इत्यादि), दक्षिण एशिया (माल्दीव, श्रीलंका) व अफ़्रीका के भूमीय क्षेत्रों से निकलती है। समचतुर्भुज
समचतुर्भुज चार समान भुजाओं वाली एक समतल आकृति है।  ऐसा समचतुर्भुज जिसके सभी कोण ९० अंश के हों, वर्ग होता है।Area = 1/2×d•1×d•2 Parameter=4xa=4x(भुजा) चतुष्फलकी
ठोस ज्यामिति में चार समतल फलकों वाले ठोस को चतुष्फलकी (चतुः + फलकी = चार फलकों वाली / tetrahedron) कहते हैं। चारों फलक त्रिभुजाकार होते हैं। इसमें से कोई तीन फलक एक बिन्दु पर मिलते हैं जिसे 'शीर्ष' (vertex) कहते हैं। चतुष्फलकी में चार फलक, चार शीर्ष एवं छः कोर (edges) होतीं हैं। साधारण उत्तल बहुफलकियों में चतुष्फलकी ही सबसे सरल ठोस है। अष्टबाहु
अष्टबाहु दुनिया का सबसे बुद्धिमान अकशेरुकी जीव माना जाता है। समुद्री जलचर विशेषज्ञों के एक दल ने अपने शोध के दौरान दो हजार से अधिक अष्टबाहु का अध्ययन किया। इस दल का नेतृत्व करने वाले विशेषज्ञ ओलिवर वेलेंसियक ने बताया कि अष्टबाहु अपने पहले तीन जोड़ी टेंटेकल का इस्तेमाल चीजों को पकड़ने में करता है। इसे इस तरह कह सकते हैं कि अष्टबाहु अपने अगले छह टेंटेकल को हाथ और सबसे पीछे वाले दो टेंटेकल को पैर की तरह इस्तेमाल करता है। अष्टबाहु की पकड़ उसकी देखने की शक्ति से जुड़ी होती है। जब अष्टबाहु की एक आंख कमजोर होने लगती है तो उसकी दूसरी तरफ की बाहें उसका सहारा बनती हैं। 16 अक्षांश उत्तर
16 अक्षांश उत्तर (16th parallel north) पृथ्वी की भूमध्यरेखा के उत्तर में 16 अक्षांश पर स्थित अक्षांश वृत्त है। यह काल्पनिक रेखा हिन्द महासागर (बंगाल की खाड़ी और अरब सागर), प्रशांत महासागर व अटलांटिक महासागर और मध्य अमेरिका, दक्षिणपूर्वी एशिया (म्यान्मार, थाइलैण्ड, फ़िलिपीन्स, लाओस, वियतनाम, इत्यादि), यमन व अफ़्रीका के भूमीय क्षेत्रों से निकलती है। यह भारत के महाराष्ट्र, कर्नाटक, तेलंगाना और आंध्र प्रदेश के भूमीय क्षेत्रों से निकलती है। अष्टबाहु
अष्टबाहु मांसाहारी होते हैं। बहुत से अष्टबाहु एक साथ रहते हैं। और अपने लिए पत्थरों या चट्टानों का एक आश्रयस्थल बना लेते हैं। वे एक साथ रात को खाने की खोज में निकलते हैं और फिर अपने आश्रयस्थल पर लौट आते हैं। मोती के लिए डुबकी लगानेवाले गोताखोर, या समुद्र में नहानेवाले, बहुधा इनकी शक्तिशाली बाहुओं और चूषकों के फंदों में पड़कर घायल हो जाते हैं। यूरोप के दक्षिणी किनारे की बहुत सी मछलियाँ इनके कारण नष्ट हो जाती हैं। अष्टबाहु जब अपनी आठ बाहुओं को फैलाकर समुद्र तल पर रेंगता सा तैरता है तो एक बड़े मकड़े के सदृश दिखाई देता है। इसका पानी में तैरकर एक स्थान से दूसरे स्थान तक जाना भी बड़े विवित्र ढंग से होता है। तैरते समय अष्टबाहु अपने कीप से मुंह से बड़े बल से पानी को बाहर फेंकता हैं और इसी से जेट विमान की तरह पीछे की ओर चल पाता है। साथ ही उसकी आठों बाहुएँ भी, जो अब पांव का कार्य करती हैं, उसे उसी तरफ बढ़ने में सहायता पहुँचाती हैं। इस प्रकार वह सामने देखता रहता है और पीछे हटता रहता है। इसका तंत्रिकातंत्र और आंखें इसी वर्ग के अन्य प्राणियों की तुलना में अधिक विकसित होती हैं। संतुलन तथा दिशा बतानेवाले अंग, उपलकोष्ठ (स्टैटोसिस्ट) और घ्राणतंत्रिका भी सिर पर पाई जाती हैं इसकी त्वचा में रंग भरी कोशिकाएँ होती हैं, जिनकी सहायता से यह अपनी परिस्थिति के अनुसार रंग बदलता है। इस विशेषता से इसको बहुधा अपने शत्रुओं से बचने में सहायता मिलती है। चतुर्भुज
समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज (isosceles trapezium): सम्मुख भुजाओं का कम से कम एक युग्म समानांतर होता है और आधार कोण माप में बराबर होते हैं। वैकल्पिक परिभाषा के अनुसार, यह समान लंबाई के विकर्णों वाला समलंब चतुर्भुज होता है। 18 अक्षांश उत्तर
18 अक्षांश उत्तर (18th parallel north) पृथ्वी की भूमध्यरेखा के उत्तर में 18 अक्षांश पर स्थित अक्षांश वृत्त है। यह काल्पनिक रेखा हिन्द महासागर (बंगाल की खाड़ी और अरब सागर), प्रशांत महासागर व अटलांटिक महासागर और मध्य अमेरिका, दक्षिणपूर्वी एशिया (म्यान्मार, थाइलैण्ड, फ़िलिपीन्स, लाओस, वियतनाम, इत्यादि), सउदी अरब, ओमान, यमन व अफ़्रीका के भूमीय क्षेत्रों से निकलती है। यह भारत के महाराष्ट्र, छत्तीसगढ़, उड़ीसा, कर्नाटक, तेलंगाना और आंध्र प्रदेश के भूमीय क्षेत्रों से निकलती है। त्रिभुज के अन्तर्वृत्त और बहिर्वृत्त
किसी त्रिभुज के तीन बहिर्वृत्त होते हैं। ये तीनों वृत्त उस त्रिभुज के बाहर होते हैं। इनमें से प्रत्येक वृत्त, त्रिभुज की किसी एक भुजा को तथा शेष दो भुजाओं को आगे बढाने से बनी दो रेखाओं को स्पर्श करता है। अतः बहिर्केन्द्र निकालने के लिए त्रिभुज के बहिर्कोणों के अर्धक खींचे जाते हैं और दो अर्धक जहाँ मिलते हैं वही तीन बहिर्केन्द्रों में से एक होगा। (सबसे पहला चित्र देखें) समलम्ब चतुर्भुज
समलम्ब चतुर्भुज(trapezoid) चार भुजाओं वाली एक ज्यामितीय आकृति (चतुर्भुज) है जिसकी कोई दो सम्मुख भुजाएँ समान्तर किन्तु असमान होतीं हैं। त्रिभुज
एक त्रिभुज की किसी भुजा का लंब समद्विभाजक (Perpendicula Bisector), उस भुजा के मध्यबिन्दु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है जो भुजा के लम्बवत होती है, यानी भुजा के साथ समकोण बनाती है। त्रिभुज के तीन लंब समद्विभाजक होते हैं, जो एक ही बिंदु पर मिलते हैं (या प्रतिच्छेद करते हैं)। यह बिन्दु त्रिभुज का 'परिकेन्द्र (Circumcenter)' कहलाता है, इसे आमतौर पर O द्वारा दर्शाया जाता है; यह बिंदु त्रिभुज के परिवृत्त(Circumcircle) का केंद्र होता है (यह वृत्त त्रिभुज के तीनों शीर्षों से होकर गुजरता है)। इस वृत्त का व्यास, जिसे परिव्यास (Circumdiameter) कहा जाता है, उपरोक्त ज्या के नियम द्वारा ज्ञात किया जा सकता है। परिवृत्त की त्रिज्या को परित्रिज्या (Circumradius) कहा जाता है। अष्टाध्यायी
अष्टाध्यायी में आठ अध्याय हैं और प्रत्येक अध्याय में चार पाद हैं। पहले दूसरे अध्यायों में संज्ञा और परिभाषा संबंधी सूत्र हैं एवं वाक्य में आए हुए क्रिया और संज्ञा शब्दों के पारस्परिक संबंध के नियामक प्रकरण भी हैं, जैसे क्रिया के लिए आत्मनेपद-परस्मैपद-प्रकरण, एवं संज्ञाओं के लिए विभक्ति, समास आदि। तीसरे, चौथे और पाँचवें अध्यायों में सब प्रकार के प्रत्ययों का विधान है। तीसरे अध्याय में धातुओं में प्रत्यय लगाकर कृदंत शब्दों का निर्वचन है और चौथे तथा पाँचवे अध्यायों में संज्ञा शब्दों में प्रत्यय जोड़कर बने नए संज्ञा शब्दों का विस्तृत निर्वचन बताया गया है। ये प्रत्यय जिन अर्थविषयों को प्रकट करते हैं उन्हें व्याकरण की परिभाषा में वृत्ति कहते हैं, जैसे वर्षा में होनेवाले इंद्रधनु को वार्षिक इंद्रधनु कहेंगे। वर्षा में होनेवाले इस विशेष अर्थ को प्रकट करनेवाला "इक" प्रत्यय तद्धित प्रत्यय है। तद्धित प्रकरण में 1,190 सूत्र हैं और कृदंत प्रकरण में 631। इस प्रकार कृदंत, तद्धित प्रत्ययों के विधान के लिए अष्टाध्यायी के 1,821 अर्थात् आधे से कुछ ही कम सूत्र विनियुक्त हुए हैं। छठे, सातवें और आठवें अध्यायों में उन परिवर्तनों का उल्लेख है जो शब्द के अक्षरों में होते हैं। ये परिवर्तन या तो मूल शब्द में जुड़नेवाले प्रत्ययों के कारण या संधि के कारण होते हैं। द्वित्व, संप्रसारण, संधि, स्वर, आगम, लोप, दीर्घ आदि के विधायक सूत्र छठे अध्याय में आए हैं। छठे अध्याय के चौथे पाद से सातवें अध्याय के अंत तक अंगाधिकार नामक एक विशिष्ट प्रकरण है जिसमें उन परिवर्तनों का वर्णन है जो प्रत्यय के कारण मूल शब्दों में या मूल शब्द के कारण प्रत्यय में होते हैं। ये परिवर्तन भी दीर्घ, ह्रस्व, लोप, आगम, आदेश, गुण, वृद्धि आदि के विधान के रूप में ही देखे जाते हैं। अष्टम अध्याय में, वाक्यगत शब्दों के द्वित्वविधान, प्लुतविधान एवं षत्व और णत्वविधान का विशेषत: उपदेश है। पाइथागोरस प्रमेय
इस प्रमेय का विपर्याय भी सच है:किसी भी तीन धनात्मक संख्या "a", "b" और "c" ऐसी है [10], वहाँ एक त्रिकोण मौजूद है जिसके पार्श्व हैं "a", "b" और "c" और हर ऐसे त्रिकोण में पार्श्वों के भीच एक समकोण है जिनकी लम्बाई "a" और "b" है। त्रिभुज
त्रिभुज की माध्यिका (Median), एक शीर्ष और उस शीर्ष के सामने की भुजा के मध्यबिंदु से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा है। माध्यिका, त्रिभुज को दो बराबर क्षेत्रों में विभाजित करती है। त्रिभुज की तीन माध्यिकाएँ होती हैं, जो एक ही बिंदु पर मिलती हैं (या प्रतिच्छेद करती हैं)। यह बिन्दु त्रिभुज का 'केंद्रक (Centroid)' कहलाता है, जो G द्वारा दर्शाया जाता है। एक दृढ़ त्रिभुजाकार वस्तु (जो एकसमान घनत्व की पतली शीट से काटा गया है) का केंद्र, उसका द्रव्यमान केंद्र (Center of Mass) भी होता है: एकसमान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में, वस्तु अपने केंद्रक पर संतुलित रह सकती है। केंद्रक, प्रत्येक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है, यानी एक शीर्ष और केंद्रक के बीच की दूरी, केंद्रक और सामने की भुजा के मध्यबिंदु के बीच की दूरी से दोगुनी होती है। चतुर्भुज
नोट 2: पतंगाकार चतुर्भुज में, एक विकर्ण दूसरे विकर्ण को समद्विभाजित करता है। सामान्य पतंगाकार चतुर्भुजों में असमान विकर्ण होते हैं, लेकिन कई ऐसे पतंगाकार चतुर्भुज होते हैं जिनमें विकर्णों की लंबाई बराबर होती है। बहुभुज
बहुभुज अंग्रेजी शब्द 'पोलीगोन' का हिंदी रूपांतरण है। अंग्रेजी में पोलीगोन शब्द ग्रीक भाषा के दो शब्दों को मिलने से बना है। इसमें पहला शब्द पोली यानी बहुत और गोनिया यानी कोण. इस तरह पोलीगोन का अर्थ बहुकोण है। इसी तरह बहुभुज संस्कृत के दो शब्दो के मेल से बनाया गया है। जिसमें बहु यानी अनेक और भुज यानी भुजा अर्थ देता है। हिंदी में अंग्रेजी के कोण की जगह भुजा को स्वीकार किया गया है। और इस तरह बहुभुज का जन्म हुआ है।  आमतौर पर दो सरल रेखाओं के मिलने से कोण बनता है। लेकिन इसका मान 180 डिग्री नहीं होता है, क्योंकि ऐसा होने से ये कोण सरल रेखा बन जाएगा. त्रिभुज
न्यूनकोण त्रिभुज: वह त्रिभुज जिसमें प्रत्येक कोण 90 डिग्री से कम होता है।