Quels étaient les principes de l'école pythagoricienne?
Pythagore
Aristote : « Les Pythagoriciens s'appliquèrent tout d'abord aux mathématiques… Trouvant que les choses [dont les sons musicaux] modèlent essentiellement leur nature sur tous les nombres et que les nombres sont les premiers principes de la nature entière, les Pythagoriciens conclurent que les éléments des nombres sont aussi les éléments de tout ce qui existe, et ils firent du monde une harmonie et un nombre… Les éléments du nombre sont le pair et l'impair ; et l'un [impair] est fini [limité, structurant, comme une figure géométrique], tandis que l'autre [le pair] est infini [illimité, désordonné, comme l'air]. » Il y a « similitude du pair et du féminin, de l'impair et du mâle ». École pythagoricienne
Aristote dans le "Protreptique" cite Pythagore comme un fondateur, modèle de l'idéal de vie contemplative, , et ancêtre de la philosophie de Platon. Mieux encore, comme l'a reconnu Simone Weil, la doctrine pythagoricienne imprègne tous les aspects de la civilisation grecque, : c'est dire l'importance de la pensée pythagoricienne pour comprendre l'antiquité grecque. Philolaos de Crotone, figure centrale du pythagorisme ancien, est le premier pythagoricien à avoir laissé une œuvre écrite. Dans son livre, Philolaos rend compte du cosmos en ces termes à l'aide de ces deux types d'entités fondamentales :  On peut considérer les illimités comme des continus sans limite intrinsèque, parmi eux figurent l'air, l'eau, la terre, mais aussi le vide et le temps. Les limitants établissent des limites au sein d'un : ce sont par exemple les principes structurants comme les formes. Ainsi, un arbre est une combinaison d'un continu intrinsèquement illimité, le bois, et de principes structurants, la forme et la structure de l'arbre. Philoloas en conclut que les objets particuliers aussi bien que le cosmos sont des combinaisons de limitants et d'illimités qui obéissent à une harmonie, selon des rapports mathématiques. De même, l'origine du cosmos est un feu (illimité) au centre d'une sphère (limitant). Puisque le monde a besoin des contraires pour exister, Théophraste affirmeque les pythagoriciens ont pensé que le pouvoir divin est limité et qu'il ne peut ni ne veut ramener le bien au meilleur. École pythagoricienne
Au témoignage de Platon dans "la République", Pythagore aurait été un maître influent et bien-aimé, fondateur d'un style de vie apte à garantir une heureuse destinée de l'âme dans l'au-delà. On entrevoit son enseignement à travers les maximes pythagoriciennes citées par Aristote et transmises en grande partie par Jamblique; elles ont été désignées par les termes d’"akousmata" (), "choses entendues" et de "symbola" (), "mots de passe ou choses à interpréter". D'après une indication de Jamblique qui remonterait à Aristote, l’enseignement pythagoricien a pu ainsi être divisé en deux parties : une partie pour les « acousmaticiens », (), les non encore initiés, et une pour les initiés, les « mathématiciens ». Mais cette distinction pourrait aussi être le signe du schisme que connurent les communautés pythagoriciennes en crise, les « acousmaticiens » restant attachés aux enseignements orphiques, et tenant pour fondamentales les prescriptions et les interdictions de la confrérie, tandis que les « mathématiciens », plaçant la doctrine du nombre au centre du pythagorisme, s'orientaient vers la science, comme on le voit pour le pythagorisme très vivant de Tarente et des colonies de Thèbes et de Phlionte. L'enseignement est oral ; était-il secret ? Isocrate dans son "Éloge de Busiris" rapporte que les pythagoriciens étaient réputés pour leur silence, sans qu'on sache s'il fait allusion à leur maîtrise de soi ou bien à une interdiction de parler faite aux néophytes. Ce qui est sûr, c'est qu'à toutes les questions qu'on leur posait, les initiés répondaient, en se référant à leur Maître : . Une partie au moins de la doctrine devait rester secrète, par exemple la division des animaux rationnels en trois groupes, tandis que pouvaient être divulguées les idées philosophiques et les démonstrations mathématiques qui furent en effet publiées par Philolaos ou Archytas. Quant à la transmission du savoir entre disciples, elle est indissociable du respect des règles morales de l'amitié fraternelle dans son ensemble : règle du silence, respect du grade d’initiation des disciples. L’école pythagoricienne est ainsi une confrérie tant religieuse que scientifique. École pythagoricienne
La doctrine pythagoricienne du nombre est avant tout une symbolique numérique, qui a subi l'influence à la fois de la pseudo-science des Chaldéens et du symbolisme mathématique de la philosophie milésienne de la nature. Il ne s'agit pas d'une simple théorie arithmétique. Elle trouverait son origine dans la découverte par Pythagore des lois naturelles établissant un rapport entre la longueur de la corde de la lyre et la hauteur de la note émise par elle ; par extrapolation, il généralisa ces lois en déclarant que tout, dans la vie humaine comme dans le cosmos, était soumis au nombre, en tant qu'essence "qualitative" des choses, et non comme moyen d'exprimer des "quantités" mesurables. Le nombre est le principe de toute chose, et chaque nombre est associé à une figure ; toutes les choses créées ont chacune un nombre pour symbole, ainsi Aristote cite la formule pythagoricienne suivante : , en grec : , formule ayant pour clef les notions de moyenne proportionnelle et de médiation au sens théologique, d’où la restriction à l’étude des nombres entiers positifs :
Chamanisme
Ceci a conduit à une nouvelle conception de l'âme humaine et des capacités de l'âme chez les Grecs, qui a ensuite été reprise dans l'orphisme (la légende grecque associait Orphée à la Thrace) et le pythagorisme (la tradition ultérieure, souligne Dodds, a mis Pythagore en contact avec Abaris). Pour Dodds, Pythagore était un type de chamane grec, et ses pratiques et enseignements ont ensuite été formulés en termes philosophiques par Platon. Comme le dit Dodds : Platon a croisé la tradition du rationalisme grec avec des idées magico-religieuses dont les origines les plus lointaines appartiennent à la culture chamanique nordique. La Grande Morale
Aristote procède à une doxographie (une étude des thèses) de Pythagore, Socrate et Platon. Il soutient que Pythagore a été le premier à chercher à étudier la vertu, mais qu'il a échoué, car il a voulu intégrer la vertu dans sa théorie selon laquelle les nombres sont les principes fondamentaux de l'être. Or, la justice n'est pas réductible à un nombre. École pythagoricienne
Au le pythagorisme comme religion connaît une brillante renaissance, dont témoigne la Basilique souterraine de la porte Majeure à Rome. Les confréries pythagoriciennes célèbrent alors de véritables mystères, analogues à ceux de l'orphisme : les fameuses lames d'or, enterrées avec le mort, portant des formules eschatologiques et découvertes dans les tombes à Thurium, ainsi qu'à Pétalia et Éleutherne de Crète, en apportent peut-être la preuve. Académie de Platon
Il ne nous reste des ouvrages de ces philosophes que de rares fragments. Speusippe ramène les Idées aux nombres, et Xénocrate découvre dans les nombres l'essence des choses. Certaines directions du néopythagorisme étaient en liaison avec l'Ancienne Académie. L'Académie est considérée comme non dogmatique, puisqu'elle accepte Speusippe qui nie la théorie des Formes et Eudoxe de Cnide qui est hédoniste. Elle accueille également deux femmes, mentionnées par Diogène Laërce, Lasthénie de Mantinée et Axiothée de Phlionte. Maria Montessori
La pédagogie Montessori repose sur les principes suivants : le libre choix de l’activité, l’autodiscipline, le respect du rythme de chacun et l'apprentissage par l’expérience. affirme Maria Montessori. L'objectif est de donner une éducation aux enfants pour qu’ils deviennent des adultes responsables, indépendants et capable de s'adapter. L'Un
Pour Speusippe, qui nie les Idées de Platon et les remplace par les Nombres selon le pythagorisme, l'Un est le principe premier, au-dessus de l'être, il se distingue de la Monade, principe des nombres. Speusippe fait dériver le point de l'Un (puis, comme Platon, du deux : la ligne, du trois : le plan, du quatre : le volume. Ikhwan al-Safa
Leurs présentations de la philosophie et de la théologie formulées dans une syntaxe particulière ont un objectif téléologique. Elles ont été également influencées par les théories arithmétiques néo-pythagoriciennes, les auteurs ont élaboré leur théosophie selon ce principe pythagoricien : « les êtres sont selon la nature du nombre ». Ils se sont inspirés de Pythagore : « Dans la connaissance des propriétés des nombres et dans la manière dont ils sont classifiés et rangés en hiérarchie réside la connaissance des êtres de Dieu ». Chaque nombre dépend de celui qui le précède. Nous pouvons décomposer les nombres unité par l'unité jusqu'à ce que nous atteignions le premier. Mais à ce dernier « nous ne pouvons rien retirer […] parce qu’il est l'origine et la source du nombre  ». Selon eux, les êtres humains sont comme les nombres : ils viennent de Dieu et retournent finalement à Lui. C'est ainsi qu’ils ont adapté les théories pythagoriciennes à leur croyance fondamentale pour d’écrire le monde spirituel et physique selon une hiérarchie. Crotone
Vers 540, Pythagore s'y installe et y crée son école de sagesse, nommée "École italique", qui s'adonne surtout à la spéculation et à l'abstraction, de tout expliquer par les nombres et les rapports numériques, de professer une morale austère. Il donne des lois aristocratiques à la cité. Cependant, vers 450 le parti démocratique s'impose. Pythagore
D'après un écho marquant d’Héraclide du Pont évoqué par Cicéron, Pythagore serait le premier penseur grec à s’être qualifié lui-même de φιλόσοφος ("philosophos"), dont le sens est « ami du savoir ou de la sagesse » : Aucun écrit authentique de Pythagore n'a survécu et on ne sait presque rien de certain sur sa vie. Les premières sources sont brèves, ambiguës et souvent satiriques. La plus ancienne sur les enseignements de Pythagore est un poème satirique probablement écrit après sa mort par Xénophane, qui est l'un de ses contemporains. Dans le poème, Pythagore aide un chien qui se fait battre en professant reconnaître dans ses cris la voix d'un ami disparu. Alcméon de Crotone, un médecin qui vivait à Crotone à peu près à la même époque que Pythagore, incorpore de nombreux enseignements pythagoriciens dans ses écrits et fait allusion au fait qu'il a peut-être connu Pythagore personnellement. Le philosophe Héraclite d'Éphèse, qui naît à quelques kilomètres de Samos et qui est peut-être en vie au même moment que Pythagore, le traite de charlatan intelligent en remarquant que . Algèbre géométrique
Les Grecs finirent par s'apercevoir que leur postulat initial était faux. Toutes les longueurs ne s'expriment pas comme une fraction de deux nombres entiers. Une question, naturelle pour un pythagoricien, est la détermination de la fraction de nombres entiers décrivant la proportion entre une diagonale et son côté, pour un pentagone ou un carré. Ce rapport n'est pas une fraction de nombre entier. Les méthodes de l'algèbre géométrique sont adaptés pour appréhender cette question. En termes modernes, la question est algébrique car elle correspond à la nature d'une solution d'une équation du second degré. Pythagore
Le fonctionnement de la cité doit s'appuyer sur des lois d'origine divine auxquelles tous sont soumis, sénateurs compris. Le bon citoyen doit non seulement les respecter mais les protéger s'il le faut par la dénonciation et la répression. Pour lui, la loi, assimilée, conduit à la liberté. La justice doit s'appliquer de manière égalitaire selon le principe de réciprocité (loi du talion). Ce point est d'ailleurs désapprouvé par Aristote : « C’est la réciprocité qui constitue purement et simplement la justice. Telle était la doctrine des pythagoriciens, qui définissaient le juste simplement comme la réciprocité. Mais la réciprocité ne coïncide ni avec la justice distributive ni même avec la justice corrective ». Communauté de biens de l'Église de Jérusalem
C'est surtout à Pythagore qu'on attribue souvent une société idéale de philosophes qui pratiquerait aussi la communauté de biens. Dans son dialogue "Timée" (v. 360 av. J.-C.), Platon rapporte à Pythagore la maxime qui nous est parvenue : Aristote rapporte la maxime ("Éthique à Nicomaque", 1159b) : Cette tournure se trouve aussi dans les Codex XII : Sentences de Sextus (~180–200), qu'un auteur anonyme a rassemblées de plus anciennes sources hellénistiques (surtout du platonisme et de la Stoa). Antoine Diogène écrit sur Pythagore (vers 200) : Jamblique écrit dans son texte "Sur la vie pythagoricienne" (~300) : . Les Principes de la philosophie
Les "Principes de la philosophie" sont essentiellement une synthèse du "Discours de la méthode" et des "Méditations métaphysiques". Descartes revient sur le principe du "cogito" et réaffirme la nécessité de fonder de manière solide la connaissance. Métaponte
Les principes de la cité sont grandement influencés par l'école de pensée de Pythagore. Son influence dans la pensée au sein de cette cité est durable et se maintient même lorsque les pythagoriciens sont expulsés de Crotone. Ceux-ci peuvent d'ailleurs se réfugier à Métaponte, et le philosophe y meurt probablement à l'âge de 90 ans. La maison de Pythagore est consacrée à Cérès et sa sépulture y était encore visible du temps de Cicéron. Quatre éléments
Le pythagoricien Alcméon aurait fondé (vers 500 av. J.-C.) la théorie des quatre qualités élémentaires : chaud, froid, sec et humide. École pythagoricienne
D'après les maximes pythagoriciennes citées par Aristote, il était interdit de manger certains poissons comme le mulet et le bogue, et certains organes animaux comme le cœur et la matrice ; mais on ignore si ces interdictions étaient appliquées à la lettre ou s'il convenait de les interpréter pour leur donner un sens plus profond : ainsi, la règle qui demande de « ne pas manger le cœur » (ou, selon une autre traduction, « ne pas ronger son cœur ») a pu signifier dès le début du qu'il ne faut pas se tourmenter dans le malheur. L'une des interdictions alimentaires dont l'authenticité est le mieux attestée concerne la consommation des fèves. Aristote fournit à son sujet plusieurs explications obscures ; elle s'explique peut-être par une allergie à un certain acide aminé qu'elles contiennent. La question du végétarisme est plus délicate à trancher, les témoignages des Anciens se contredisant déjà au Il est possible que Pythagore ait été un végétarien strict, le philosophe Empédocle, dans la génération qui suivit Pythagore, ayant clairement condamné le régime carné qu'il assimilait au cannibalisme. Cette règle du végétarisme est encore présentée, à l'époque impériale, comme un dogme authentique du Maître par le néopythagoricien Ovide qui fait dire à Pythagore : Existait-il différents degrés d'initiation au sein des communautés pythagoriciennes, pouvant expliquer que la pratique du végétarisme variait selon le grade de ses adeptes ? La question reste ouverte. L’activité politique des pythagoriciens est — semble-t-il — très intense, en particulier dans les états-cités de Grande-Grèce. Le modèle social de la fraternité pythagoricienne impliquerait une prise de position en faveur du régime démocratique où traditionnellement, une aristocratie détient le pouvoir, et en l’occurrence, les savoirs. Néanmoins, cet engagement démocratique est contestable, puisque l’exemple d’Archytas de Tarente montre que l’équilibre politique recherché par les pythagoriciens n’impliquait pas nécessairement un régime démocratique. De plus, Platon fait une distinction tranchée entre Pythagore et les législateurs : il paraît donc très vraisemblable que le pythagorisme n'a pas prôné une ligne politique particulière. Mais, aux yeux de ses adversaires, il pouvait apparaître comme formant des cercles politiques suspects. En effet, les pythagoriciens se dotent au d'un mode de vie qui les sépare de la collectivité : interdits complexes et pratique d'une existence communautaire débutant, semble-t-il, par une règle de cinq années de silence. Ils exercent durant un temps le pouvoir à Crotone, du vivant de Pythagore, mais leurs concitoyens finissent par se révolter en incendiant leurs maisons et en massacrant les membres de leur secte. Le maître lui-même dut chercher refuge à Métaponte. Cette émeute populaire est à l’origine de la disparition de l’école pythagoricienne, mais les disciples, puis bientôt les néopythagoriciens, continuent d'entretenir pendant longtemps la doctrine de leurs maîtres. Modèle astronomique pythagoricien
Ce modèle est attribué par Aristote à l'école pythagoricienne. Aucune donnée plus précise ne permet de l'attribuer ; il n'existe pas de traces d'éventuels travaux de Pythagore lui-même sur l'astronomie. Sans plus de précision, il reste donc attribué à cette école, ce qui ne signifie aucunement qu'il était admis par l'unanimité de ses membres. L'attribution à Philolas s'appuie sur des fragments de documents dont l'authenticité est douteuse. Pythagore
Ce double héritage s'associe sur une idée fausse, celle selon laquelle toute longueur peut s'exprimer comme une fraction : Cette erreur est néanmoins fructueuse. Si toute longueur est une fraction et à condition de bien choisir l'unité de la figure, il devient possible de ne travailler que sur des figures dont les longueurs sont entières. Cette approche permet les premières preuves partielles, du théorème de Pythagore, déjà connu par les Égyptiens et les Mésopotamiens mais probablement jamais démontré, dans le bassin méditerranéen. Le type de démonstration est explicité sur la figure de gauche. Un triangle rectangle dont les côtés autres que l'hypoténuse sont de longueurs 3 et 4, possède une hypoténuse de carré (en bleu sur la figure) égal à 25. Jamblique
Font partie de la "Collection des dogmes pythagoriciens" ou "Sur la secte pythagoricienne" (vers 310) les neuf titres suivants : PSEUDO-JAMBLIQUE :Platon | Aristote | Stoïcisme | Longin | Plotin | Porphyre | Proclos | Ammonios, fils d'Hermias | Damascios le Diadoque | Simplicios de Cilicie | Asclepios | Olympiodore le Jeune | Théodote | Jean Philopon | saint Ambroise | saint Augustin | Boèce | Nicomaque de Gerasa | Syrianos | néoplatonisme | néopythagorisme | école néoplatonicienne de Pergame | école néoplatonicienne d'Apamée Les Principes de la philosophie
Le changement de représentation du monde a des retombées métaphysiques très importantes. Descartes pose donc comme fondement de sa philosophie le fameux cogito ergo sum. Le fait de penser est un principe premier, qui se substitue à la cause première de la pensée scolastique. Pédagogie Steiner-Waldorf
Une étude faite aux États-Unis sur l'enseignement des sciences dans les écoles Steiner précise que les écoles ne devraient pas se fonder sur les principes pseudo-scientifiques de Rudolf Steiner et de l'anthroposophie comme source pour les concepts scientifiques car ils ne passent pas les tests empiriques, ne sont pas vérifiables, n'ont pas évolué depuis qu'il les a introduits et reposent sur des affirmations paranormales. Le programme « scientifique » de ces écoles incorpore des contenus inexacts, ou , comme la notion que l'esprit de l'homme est physiquement incarné dans des qualités d'âme qui se manifestent elles-mêmes sous diverses formes animales, ou la division en quatre règnes (minéral, plante, animal et humain). Selon les chercheurs, cinq « grandes idées » doivent être acceptées prioritairement par les écoles Steiner : le modèle physique de l'atome, le tableau périodique des éléments, la théorie du Big Bang, celle de la tectonique des plaques et la théorie biologique de l'évolution. Dans ce travail de recherche David Jelinek et Li-Ling Sun concluent qu'il serait donc souhaitable d’extraire les bonnes idées de la pédagogie tout en mettant de côté les affirmations pseudoscientifiques. Ils terminent ensuite la conclusion en signalant la curiosité, la confiance, l'originalité et la perception artistique des élèves qu'ils ont rencontrés pour enfin s'imaginer jusqu'où ceux-ci pourraient aller avec des idées scientifiques intelligentes dans leur programme. Pythagore
Pythagore dispense des principes exotériques, connus de tous, par exemple : « Il est interdit de prier pour soi-même », « Entre amis, tout est commun ». Mais d'autres enseignements sont ésotériques, c'est-à-dire réservés aux initiés et d'expression symbolique ; et ils portent sur les secrets de la nature et des dieux. Ces enseignements secrets sont appelés "Mémoires" ("hypomnêmata", Ύπομνήματα), car il faut s'en souvenir, sans les écrire. Ce sont, d'une part, les « "acousmates" » (άκούσματα), des dits (prononcés en grec dorien, la langue des pythagoriciens), des préceptes oraux ; ce sont, d'autre part, les « symboles » (σύμβολα), des formules codées, des sommaires ("kephalaia", κεφάλαια). Car « tout ne peut pas être dit à tout le monde. » « Il y avait chez eux [les pythagoriciens] la règle absolue du silence ». La République
La philosophie est théorétique : elle considère tous les êtres et la divinité. Un art, imitatif, ne considère qu'un objet en particulier : Les enseignements de la philosophie se préoccupent de l’âme. L’allégorie de la caverne est certainement un héritage de l'enseignement pythagoricien incitant les êtres humains à lâcher prise face à leur perception de base, cela, au moins dans tous les domaines qu'il est possible d'approcher de manière scientifique. Mais, plus encore, l'allégorie enseigne à ne s'attacher à aucune certitude définitive, puisque, à aucun moment, l’homme ne peut percevoir la réalité de ce qui lui est à jamais caché. En réalité, il ne s'agit donc pas d'une méthodologie pour une démarche scientifique, mais d'une démarche proprement philosophique et métaphysique qui le place face à l'infini. Symbolisme des nombres
Le plus grand et le premier représentant de la symbologie des nombres en Occident, c'est Pythagore (vers 530 av. J.-C.). Selon Aristote, pour les pythagoriciens, les choses sont des nombres ; par exemple, un et esprit sont identiques, en musique les intervalles des tons sont des rapports de nombres ; selon Philolaos de Crotone : les choses ont des nombres, sont faites de nombres ; par exemple, la pyramide contient le nombre 10, le ciel consiste en 10 corps célestes (étoiles, 8 planètes, Anti-Terre) ; selon Hippase, les choses ont pour modèles les nombres. La fameuse déclaration « Les choses sont nombre » signifie à la fois : a) c'est le nombre qui constitue la structure intelligible des choses (ce principe fonde en raison la physique mathématique) ; b) les éléments fondamentaux des mathématiques sont les éléments des choses (ce principe affirme la possibilité de définir une structure de l'esprit qui est une structure des choses et que constituent les notions de fini et d'infini, d'un et de multiple, etc.). Pythagore établit des correspondances ("omoiômata") entre nombres et choses, par exemple un et essence, deux et opinion, trois et tout, quatre et justice, cinq et mariage (Aristote, "Métaphysique", 985b27, 990a23, 1078b22 ; Plutarque "L'E de Delphes", 8). Philolaos de Crotone
Aristote a puisé dans les fragments de Philolaos l'essentiel des renseignements qu'il nous fournit sur le pythagorisme, mais en imprimant à sa matière des modifications importantes. Cependant on ne perdra pas de vue que Philolaos n'était peut-être pythagoricien que parce qu'il avait adopté un certain régime de vie. Ses vues sur le monde naturel ont pu subir l'influence d'Anaxagore ou d'Hippocrate de Chio qui n'étaient pas pythagoriciens. Il est également admis que ce livre de Philolaos a exercé une influence sur le "Philèbe" (16 c-d) de Platon, mais Platon use des fragments de Philolaos d'une manière purement platonicienne. Aristote cite une seule fois Philolaos en rapportant ces mots, à propos de l'interdiction du suicide par Philolaos : . Anti-Terre
L'école pythagoricienne du émet l'idée d'un système pyrocentrique où toutes les planètes et le Soleil tournent autour d'un feu central. Une anti-Terre tournerait autour de ce feu central à l'opposé de la Terre. École pythagoricienne
Voici un catalogue établi par Jamblique, qui comprend des noms de philosophes sur lesquels aucune information n'a été retrouvée : Jamblique donne les noms de dix-sept femmes qui suivirent la doctrine de Pythagore : Algèbre géométrique
Otto Neugebauer apporte, dans les années 1940, des arguments en faveur de la thèse de Zeuthen et Tannery. Ses études sur d'autres cultures mathématiques montrent que les Grecs de l'époque de Pythagore ont importé des techniques mésopotamiennes. Ce savoir se fonde sur des méthodes et des procédures de calcul (appartenant à la même famille que les fractions continues) permettant d'approximer des racines ou encore des méthodes de résolution de questions du second degré. Cette culture est "algébrique", au sens où elle se fonde sur des équivalents d'algorithmes (le mot sera inventé plus tard) dont l'objectif est calculatoire. À l'image de la construction de la section d'extrême et de moyenne raison, de nombreux travaux de l'école de Pythagore sont des traductions de résultats mésopotamiens dans le langage géométrique ionien. Le concept d"'algèbre géométrique" s'étend à cette branche de savoir, maintenant couverte par l'algèbre et qui se démontre chez les Grecs à l'aide de la mesure des aires. On y trouve la théorie des proportions, présente dans les livres V et VI qui décrivent des résultats maintenant contenus dans les axiomes d'un corps commutatif, des méthodes de résolution et d'analyse de la nature d'une solution d'une question de degré 2 présentes dans le livre II, ou encore l'application de l'algorithme d'Euclide à des proportions, dans le livre X, pour démontrer leur incommensurabilité. Elle contient aussi des démonstrations, déjà archaïques à l'époque d'Euclide, comme la théorie du pair et de l'impair. Pindare
Dans la foule des divinités grecques, Pindare semble accorder une importance particulière à celles qui président aux mystères. Peut-être a-t-il été lui-même initié à Éleusis, comme on peut le penser à la lecture de ce fragment de "Thrène" cité par Clément d'Alexandrie : Mais Pindare n'a certainement été l'esclave d'aucun système. C'était déjà l'opinion d'Alfred Croiset et d'Erwin Rohde, selon qui la théologie de Pindare demeure « laïque et trahit partout l'esprit d'un poète. » Il est certain en tout cas que, sans être adepte d'aucune secte ni école philosophique, il éprouve un indéniable attrait pour les questions eschatologiques et mystiques, et qu'il avait connaissance d'une doctrine sur les destinées de l'âme. Cette influence des courants orphico-pythagoriciens apparaît nettement d'abord dans la I "Olympique" qui semble bien faire allusion aux dogmes orphiques de la chute originelle et du relèvement personnel auquel accède l'initié ; l'on voit également développée la croyance en la métempsycose en particulier dans la "Olympique" dont le mythe opère une synthèse générale. La métempsychose accompagne l'affirmation de la survie dans les Enfers et de la rétribution des mérites. La transmigration des âmes, dogme le plus caractéristique enseigné par les disciples de Pythagore, s'ajoute dans cette ode à des préceptes de conduite morale comme, aux vers 76-77, l'exigence de « garder son âme absolument pure de mal » ; et un autre détail d'inspiration pythagoricienne apparaît au vers 72, à savoir le souci de vérité : le poète fait une place d'honneur, dans « l'île des Bienheureux », à « ceux qui aimèrent la bonne foi ». Or Pythagore exhortait ses disciples à éviter le mensonge, souci considéré comme un devoir essentiel dans la secte et maintes fois réitéré dans l'œuvre de Pindare : « Principe de grande vertu, Vérité, ô Souveraine, fais que jamais mon propos n'achoppe contre l'écueil du mensonge ! ». Enfin, la prédominance que Pindare accorde, dans ses mythes, aux héros, fait elle-même écho à leur culte traditionnel chez les sectateurs de Pythagore : on sait par Aristoxène qu'un parfait Pythagoricien devait accomplir quotidiennement des devoirs de piété non seulement envers les dieux, mais également envers les héros. Simone Weil
Les chefs-d'œuvre de la poésie et de la philosophie grecques, que Simone Weil avoue , ont nourri sa réflexion sur l'homme aussi bien que sur le devenir de la civilisation européenne après sa déchristianisation. La lecture qu'elle fait de la Grèce l'amène à penser, contre Nietzsche et Heidegger, que l'hellénisme est à la source du christianisme ; cette intuition fut déjà celle de Clément d'Alexandrie, pour qui la philosophie grecque est ; la même continuité organique entre le paganisme et le christianisme fut également reconnue par Schelling ; enfin, le philosophe Maurice Blondel considéra lui aussi la pensée pythagoricienne comme la première découverte d'une . Simone Weil estime, comme le grand helléniste Werner Jaeger, que cette source grecque peut seule rendre à l'Europe une spiritualité, et donner à la culture grecque un nouvel universalisme . Harmonie des sphères
L’harmonie des sphères ou Musique des Sphères est une théorie d'origine pythagoricienne, fondée sur l'idée que l'univers est régi par des rapports numériques harmonieux, et que les distances entre les planètes dans la représentation géocentrique de l'univers — Lune, Mercure, Vénus, Soleil, Mars, Jupiter, Saturne, sphère des fixes — sont réparties selon des proportions musicales, les distances entre planètes correspondant à des intervalles musicaux. Les pythagoriciens se partageaient entre mathématiciens (de "mathematikoi" en grec, « ceux qui s’adonnent à l’étude ») et acousmaticiens ("acousmatikoi", « ceux qui écoutent » les préceptes du maître Pythagore, et gardent le silence), mais les deux étaient intéressés par l’harmonie des sphères, notion à la fois scientifique étudiée à travers l’astronomie, les mathématiques, la musicologie, et métaphysique (notion de Tout, d'harmonie). Théorème de Pythagore
Cette preuve s'inscrit dans un contexte tout à fait différent. Dans un espace vectoriel euclidien, les définitions mêmes de la norme, du produit scalaire et de l'orthogonalité sont déjà d'une certaine façon associées à une forme du théorème de Pythagore (voir ci-dessus). Déterminisme (calculabilité)
Le mystère de l'existence de correspondances entre certains phénomènes naturels et des principes mathématiques fut exprimé pour la première fois au sein de l'école pythagoricienne sous la doctrine de l'harmonie des sphères. Il fallut par contre attendre Kant pour véritablement poser le problème. Speusippe
Speusippe est un platonicien pythagorisant, encore que, contre le pythagorisme, il sépare les nombres et les choses sensibles. Il admet pour chaque genre d’être ( / ) des principes particuliers, un pour les nombres, un pour les grandeurs, un autre pour l’âme, "etc.", mais sans aucune liaison entre eux. En effet, en dépit de leur nature de principe suprême, les nombres pourraient totalement disparaître sans pour autant affecter l’existence des grandeurs, qui suivent les nombres, et à leur tour les grandeurs pourraient manquer sans pour autant altérer l’existence de la conscience ou celle du monde étendu matériellement : cette doctrine des principes selon Speusippe est jugée anarchique et sans structure par Aristote. Speusippe abandonne les Idées de Platon, à la place il met les nombres mathématiques et les entités mathématiques, déduits de deux principes, l'Un et le Multiple (alors que Xénocrate assimile les Idées aux Nombres). Speusippe fait correspondre Un, Deux, Trois et Quatre respectivement à point, ligne, plan, solide ; il est le premier à faire correspondre point et Un comme Xénocrate ligne et deux, dyade. Les êtres intelligibles (en grec, / ) deviennent des entités mathématiques. Pour Platon, le principe formel des grandeurs est la ligne insécable, pour Speusippe c'est le point, et pour Xénocrate les nombres mêmes. À la différence de Platon encore, il n'identifie pas l'Un avec le Bien, pour éviter de dire que la Multiplicité est le Mal. Selon Stobée, . Pythagore
L'école de Pythagore hérite d'une double culture mathématique. La mathématique ionienne, amorcée par Thalès de Milet, lui apporte une orientation géométrique, ainsi qu'une volonté de démonstration. L'héritage mésopotamien offre des procédures de calcul permettant la résolution de l'équation du second degré, ou encore l'évaluation approximative des racines carrées par des fractions. Pythagore
Première initiation : à 18 ans, en 551 av. J.-C., il quitte Samos. Il va s'instruire à Lesbos auprès de Phérécyde de Syros (vers 585/499 av. J.-C.), un sage, le premier à avoir dit que « les âmes des hommes sont éternelles » le premier à enseigner que l'homme a deux âmes, l'une d'origine terrestre, l'autre d'origine divine ; un magicien, aussi, qui fait des prédictions, reçoit des songes. Que les philosophies se ressemblent, c'est sûr ; que les hommes se soient rencontrés, c'est incertain, mais la théorie de l'âme immortelle, individuelle de Phérécyde autorise la théorie pythagoricienne de la transmigration (en grec ancien, ) des âmes. Orthogonalité
De nombreux théorèmes géométriques utilisent le théorème de Pythagore et donc l'orthogonalité pour pouvoir être démontrés. Le fait que les trois bissectrices d'un triangle soient concourantes et que leur point commun soit le centre du cercle inscrit dans le triangle provient de la propriété d'orthogonalité de la bissectrice déjà rencontrée pour construire deux droites perpendiculaires. De même, les trois hauteurs d'un triangle d'un triangle sont concourantes. Le point d'intersection s'appelle l'orthocentre. Une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé. Un autre résultat précise que les trois médianes sont aussi concourantes. Le point d'intersection est le centre de gravité. Ce qui signifie que si un triangle est matérialisé en un solide homogène, il est en équilibre sur une pointe posée exactement sur ce point d'intersection. Leonhard Euler trouve une droite remarquable. Le centre de gravité, le centre du cercle inscrit et l'orthocentre sont alignés. Cette droite passe par le centre d'un cercle étonnant appelé cercle d'Euler. Il passe par neuf points remarquables du triangle. Karl Wilhelm Feuerbach établit son théorème affirmant que le cercle d'Euler est tangent aux trois cercles exinscrits du triangle. Tous ces théorèmes utilisent les propriétés de l'orthogonalité pour pouvoir être démontrés. École pythagoricienne
Ce que nous savons des pythagoriciens anciens est très succinct. C'est seulement à partir d’Alcméon de Crotone que les témoignages disponibles sont plus fournis. École pythagoricienne
Archippos  D'après Jamblique, est le seul pythagoricien avec Lysis de Tarente à avoir échappé à l'incendie allumé par les hommes de Cylon de Crotone après le bannissement des fraternités pythagoriciennes. Plutarque dit que les rescapés sont Philolaos et Lysis de Tarente. Après l'incendie, Archippos retourna à Tarente et Lysis à Thèbes. École pythagoricienne
Le pythagorisme et la légende qui s'est formée autour de lui ne sont pas dénués d'obscurités et de sujets à controverse. En distinguant entre et Pythagore lui-même, Aristote évite de se prononcer sur les liens exacts entre leur pensée et celle du philosophe ; la tradition postérieure, ignorant cette distinction, a sans doute favorisé la fabrication d'un grand nombre de textes pseudépigraphes attribués à Pythagore ou aux Pythagoriciens anciens . Ce n'est qu'à partir du après J.-C. qu'apparaissent les premiers exposés relatifs au mode de vie pythagoricien. Après la mort de Pythagore, l'école a été dirigée par son épouse, la mathématicienne Théano. Pythagore
Dès Hippase (vers 450 ?), il semble qu'il y ait eu rivalité entre deux tendances idéologiques (et non plus degrés initiatiques) chez les pythagoriciens : les « acousmaticiens » et les « mathématiciens ». Il ne s'agit plus de la hiérarchie novice/initié, mais de la polarité moraliste/scientifique. D'un côté, les acousmaticiens insistent sur les paroles (« acousmates ») léguées par Pythagore et privilégient la morale, les prescriptions rituelles, le « mode de vie pythagoricien » ; entre 420 et 350, les auteurs de comédies (Cratinos, Mnésimaque, etc.) décrivent des « pythagoristes », dès Diodore d'Aspendos (vers -380) et Lycon d'Iasos, végétariens et buveurs d'eau, chevelus et barbus, pieds nus, vêtus d'un simple manteau ("tribôn"), un bâton à la main, faisant vœu de silence et ne se lavant pas. De l'autre côté, les « Mathématiciens » (Hippase, Philolaos, Archytas, Eurytos, Eudoxe de Cnide), au sens de savants, insistent sur les démonstrations et privilégient la science. Apollonios de Tyane
À quatorze ans, il est conduit par son père à Tarse, auprès du maître le Phénicien Euthydème, rhéteur célèbre de ce temps. De là, il se rend à Ægæ en Macédoine, où il rencontre des adeptes de différentes écoles philosophiques. Le penchant naturel de son esprit vers le mysticisme lui fait embrasser de préférence les doctrines de Pythagore, enseignées dans cette ville par Euxène d'Héraclée, qui s'adonnait aux plaisirs sensuels et prenait Épicure pour modèle. Cependant, Apollonios observera toute sa vie les pratiques les plus sévères du pythagorisme antique, tout en mêlant aux doctrines de cette école celles de Platon. On vante son désintéressement, sa tempérance, sa chasteté, qu'il poussera jusqu'à l'ascétisme. Il préconisait à ses disciples le végétarisme. École Bonaventure
Les Bonaventuriers, s’ils refusaient de sombrer dans le corporatisme et l’isolement narcissique, ne se faisaient pour autant pas d’illusions concernant la possibilité de « réformer » le système éducatif traditionnel, de l’intérieur comme de l’extérieur. La création d’une école libertaire n’avait donc pas pour but d’ « améliorer » ce système, mais bien de le contrer. Les membres de Bonaventure ne croyaient nullement dans la perspective de « changer les choses » dans le cadre institutionnel et de l’école telle qu’elle existait. Tout en ne niant pas le travail individuel qui pouvait être fait, même dans des écoles traditionnelles par quelques personnes inspirées par l’éducation nouvelle ou la pédagogie alternative, ils demeuraient convaincus que l’école classique n’avait pas d’autre objectif que celui de servir les intérêts de l’État, ou des entreprises en « produisant » à leur disposition les « outils » dont ils avaient besoin pour exister et que par conséquent il n’était pas possible d’espérer une éducation au service des enfants et de leur épanouissement personnel en son sein (Qu’il s’agisse d’écoles publiques ou privées, qui d’après eux, fonctionnaient sur les mêmes schémas de formatage et de conditionnement des esprits). Pythagore
S'il est désormais acquis que les pythagoriciens, organisés en hétairie, ont bien joué un rôle politique déjà du temps de Pythagore, le rôle de celui-ci est sujet à débat : chef politique? législateur? simple inspirateur? Pour Delatte, la conclusion est claire : le plan initial de Pythagore n'était pas politique mais moral mais progressivement ses idées, par le biais de son école, ont envahi le champ politique. École pythagoricienne
Les témoignages d'Ion de Chios et d'Hérodote attestent des liens de Pythagore avec l'orphisme et de sa connaissance des destinées de l'âme après la mort ; le zèle du philosophe en matière de rituels initiatiques et son souci de la survie de l'âme soulignent l'importance de la doctrine pythagoricienne de la métempsycose ou de la palingénésie. Elle promet à ses initiés qu'ils échapperont au cycle douloureux de la métempsycose s'ils savent mener une vie vertueuse, pratiquer un certain ascétisme et accomplir de nombreux rites de purification. L'idée capitale capable d'introduire une parfaite cohérence entre l'identité de l'âme et le cycle de ses destinées successives est celle du jugement des âmes par un dieu suprême : cette notion essentielle dans une doctrine mystique est déjà mentionnée par Platon. Un tel enseignement favorisait aussi le développement de vertus morales comme la maîtrise de soi, l'importance de l'amitié et de l'entraide mutuelle, même si les membres de la communauté ne se connaissaient pas, et une conduite bien réglée de la vie quotidienne par une éthique d'ascétisme et d'abstinences ; certains comportements étaient prescrits comme se mettre en mouvement du pied droit, porter tels vêtements, avoir tels comportements envers ses concitoyens : Pythagore à cet égard apparaît comme . Tradition primordiale
L'École de la Tradition se constitue autour du postulat selon lequel existe une "philosophie éternelle", c'est-à-dire, selon Joan Halifax, "une unité numineuse sous-jacente à toutes les formes et apparences, les différents mondes de la forme et des apparences étant en même temps conçus comme interdépendants." Cette idée s'enracine dans le programme de recherches qui existait chez les néoplatoniciens de l'école d'Athènes, qui avaient pour but, à partir de Plutarque et le plus nettement chez Proclus, de concilier entre elles les traditions théologiques orphique, pythagoricienne, platonicienne, aristotélicienne, homérique et chaldaïque. Du reste, à en croire Clément d'Alexandrie, Numénius, néoplatoncien du IIe siècle, aurait également déclaré : « Qu'est-ce que Platon, sinon Moïse qui parle grec ? » Si ce témoignage est avéré, les néoplatoniciens dits "païens" étendaient donc même leur sympathie intellectuelle au-delà de l'hellénisme. École Normale d'Instituteurs de Paris (1872-1991)
"A l'école normale, nous occupions une position privilégiée pour comprendre le sens et la nature de l'enseignement que nous avions reçu: nous étions élèves-maîtres, au point de rencontre de deux situations pédagogiques antagonistes: celle d'enseigné qui allait disparaître, celle d'enseignant, qui commençait. Cette situation dialec­tique dévoilait systématiquement la pédagogie que mes instituteurs et professeurs avaient appliquée à mon usage et à laquelle, précisément, l'enseignement de l'école normale entendait apporter une pleine justifi­cation. Il fallut du temps pour prendre conscience de la contradiction fondamentale sur laquelle vivait l'école: entre les prin­cipes généraux de l'école publique que véhiculait le discours officiel et la pratique du vécu qui était la négation de ces principes à l'égard de nous-mêmes, à l'égard des enfants". Quadrature du cercle
La démarche hypothético-déductive, qui substitua aux recueils de problèmes résolus des énoncés démontrés à partir de quelques propriétés prises comme axiomes, ne s'est imposée en mathématiques qu'à partir du , et encore uniquement dans le monde grec. Déjà apparente dans les raisonnements attribués à Thalès de Milet, elle est clairement élevée au rang de méthode avec Pythagore de Samos et l’École pythagoricienne. La découverte, au tournant du au , de segments incommensurables entre eux, attribuée au présumé pythagoricien Hippase de Métaponte, avait prouvé qu'il existe des objets constructibles qui ne sont pas une fraction simple d'entiers : par exemple, la diagonale d'un carré n'est pas une fraction simple du côté du carré. Il suivit de là que l'arithmétique fut reléguée chez les Grecs au second plan derrière la géométrie : pour décider de l'égalité de deux rapports de longueurs, on s'en remit désormais aux constructions géométriques, c'est-à-dire à la comparaison de figures, et à la décomposition des surfaces en triangles rectangles ou en carrés. Les trois grands problèmes classiques de construction géométriques naissent au : ce sont la quadrature du cercle, la trisection de l'angle et le « problème délien » de la duplication du cube. Métaphysique (Aristote)
Le Stagirite passe par une rapide doxographie : Socrate a cherché à étudier les vertus morales pour en trouver une définition universelle ; Démocrite a abordé la question de l'universel, mais s'est arrêté trop tôt, au chaud et au froid ; les Pythagoriciens, enfin, se sont arrêtés aux nombres. Platon, lui, a dépassé ces penseurs en donnant le nom d'Idée aux réalités séparées et universelles. L'Idée est donc . Prijono
En Prijono introduit le principe de Pancawardhana («cinq principes de développement») dans l'enseignement primaire et secondaire. Cela a été suivi par la liaison du Pancawardhana de Prijono au principe de Pancacita («cinq amours») en . Le fondement laïque du Pancacita a été développé par l'Institut national de l'Éducation, une institution dominée par le Parti communiste. Cependant la politique de Prijono rencontre l'opposition du général Nasution. À partir de 1961, Prijono partagera le ministère de l'Éducation avec Sjarif Thajed (un officier hautement gradé affilié à des organisations islamiques). Prijono était pro-soviétique alors que Sjarif Thajeb était pro-américain. Et pendant que Prijono promouvait la laïcité dans le primaire et le secondaire, Sjarif Thajeb introduisait des cours obligatoires de religion dans les universités. Ainsi la confrontation politique plus large entre l'armée et le Parti communiste se reproduisait au sein même des murs du ministère de l'Éducation. Algèbre géométrique
L'école de Pythagore fournit un savoir encore loin de celui que l'on trouve, en matière d'algèbre géométrique, dans les "Éléments" d'Euclide. Pour atteindre ce but, on peut ranger les difficultés en trois catégories. Accord pythagoricien
Cet accord tient son nom du philosophe et mathématicien grec Pythagore, à qui la découverte a été attribuée par des textes médiévaux, même si les premiers textes décrivant l'utilisation d'accords similaires remontent aux Babyloniens, vers le . L'école pythagoricienne a théorisé la gamme heptatonique dans l'harmonie des sphères, en utilisant les rapports de nombres entiers les plus simples sur le monocorde : l'octave (rapport 1/2, la corde est partagée en deux), la quinte (rapport 2/3, la corde vibre sur ses deux tiers) et la quarte (rapport 3/4). Ces intervalles étant alors considérés comme les seuls consonants. Soi (philosophie)
Les philosophes milésiens (Milet, ville d'Ionie) sont les premiers, dans la philosophie grecque, à avoir orienté la réflexion vers l'ontologie, le discours sur l'être (qu'est-ce qu'il y a derrière l'apparence?). Ils recherchent le principe originaire commun à toute chose et source des transformations dont on peut faire l'expérience à travers les phénomènes. Dans leur cosmogonie, les explications naturelles se substituent petit à petit aux explications mythologiques. Précisons que la plupart des présocratiques ont écrit une œuvre ayant pour titre "De la nature".Pythagore vécut de 570 à 500 av. J.-C. à Crotone, Italie du Sud, il fait du nombre l'élément primordial. L'essence de la réalité tout entière est le nombre car il crée l'ordre du monde en définissant et délimitant l'indéfini ("apeiron"). L'Un est tenu pour supérieur aux autres nombres car il en est l'origine. Somme pythagoricienne
résultat ← p Égypte antique
En géométrie, les mathématiciens égyptiens avaient une bonne connaissance des principes qui sous-tendent le théorème de Pythagore, sachant, par exemple, qu'un triangle a un angle droit en face de l'hypoténuse lorsque ses côtés se trouvaient dans un ratio 3-4-5. Ils ont été en mesure d'estimer l’aire d'un cercle en mettant au carré le diamètre auquel on a retiré un neuvième soit formula_1 qui vaut aussi formula_2 soit une approximation de formula_3. Euclide de Mégare
L'organisation de l'école mégarique reste méconnue. Elle semble avoir été assez lâche. Par contraste avec l'école platonicienne ou aritotélicienne, elle n'est pas centrée autour d'une institution pérenne comme l'Académie ou le Lycée. La doctrine philosophique des mégariques n'a pas fait l'objet d'une formulation systématique et demeure assez ouverte. Pour autant, Robert Muller récuse certaines conceptions négatives de l'école de Mégare qui, à l'instar du scepticisme, se serait contentée d'une évaluation critique sans aucun apport propre des principales théories philosophiques de son temps. L'attention portée aux enjeux de la dialectique semble avoir débouché sur une authentique théorie logique. Mythologie grecque
Dès l'époque archaïque, les philosophes s'écartent parfois beaucoup des récits les plus répandus, beaucoup parce qu'ils proposent leurs propres systèmes, eux-mêmes fortement imprégnés de religion : Pythagore est ainsi, au , le fondateur du pythagorisme. D'autres se montrent plus critiques et à la limite de l'impiété, tel Anaxagore poursuivi en justice à Athènes au pour avoir affirmé que le soleil était une pierre incandescente. Platon oppose parfois le "muthos" considéré comme récit mensonger et le discours rationnel (le "logos") qui doit guider le philosophe ; mais cette opposition est loin d'être systématique et ne se retrouve pas dans tous ses dialogues. Platon lui-même, dont la pensée s'inscrit par ailleurs dans la continuité de la religion traditionnelle, ne rejette pas le concept de "muthos" conçu comme récit et ne s'interdit nullement d'y recourir. Loin de supprimer totalement les mythes de son œuvre, il en invente de nouveaux qui font partie intégrante de ses démonstrations philosophiques et consistent soit en des allégories destinées à mieux faire comprendre une argumentation (comme l'allégorie de la caverne), soit en des récits élaborés sur le modèle des mythes anciens dont ils reprennent les thèmes et les fonctions, et qui permettent de rendre compte de la composante non rationnelle de certains sujets. C'est dans ce contexte que s'inscrivent par exemple le mythe d'Er au livre X de "La République" et les différents récits du "Banquet", dont le mythe de l'androgynie placé dans la bouche d'Aristophane. Platon utilise aussi le mythe à des fins politiques, par exemple en élaborant le mythe de l'Atlantide qui met en scène une Athènes idéalisée, conforme aux vœux politiques de Platon, luttant victorieusement contre une Atlantide qui incarne tout ce que Platon réprouve dans la thalassocratie athénienne de son temps. Platon
Aristote dans sa "Métaphysique" indique que la philosophie de Platon suit étroitement les enseignements des pythagoriciens. Analogies et correspondances
Le premier théoricien, en Occident, est Pythagore, vers 530 av. J.-C. Il pose le principe : Autrement dit, on retrouve les mêmes forces aux divers niveaux de la nature, avec équivalences. Pythagore établit des correspondances ("omoiômata" ὁμοιὠματα) entre nombres et choses, par exemple un et essence, deux et opinion, trois et tout, quatre et justice, cinq et mariage (Aristote, "Métaphysique", 985b27, 990a23, 1078b22). Surtout il établit des corrélations entre nombres et figures, lorsqu'il parle de nombres linéaires, triangulaires, carrés, rectangulaires, cubiques ; cette analogie entre nombres et figures, donc entre arithmétique et géométrie, pose les correspondances entre trois et triangle, quatre et carré, sept et rectangle, huit et cube. Les néo-pythagoriciens vont plus loin : Dans ses dialogues, Platon va faire correspondre ("prosphérein") l'âme et la société. La cité est l'image agrandie de l'âme. Il y a donc "nécessité à accorder en chacun de nous les mêmes formes, les mêmes dispositions morales qui justement existent dans l'État" ("La République", IV, 435a) : les trois fonctions de l'âme correspondent aux trois fonctions sociales : désir/travailleurs, ardeur/guerriers, raison/philosophes. "S'il y a cinq espèces d'États [monarchie, timocratie, oligarchie, démocratie, tyrannie], il doit y avoir aussi, chez les simples particuliers, cinq comportements de l'âme" ("La République", VIII, ) : la monarchie va de pair avec un homme bon et juste, la timocratie avec un homme soucieux d'honneurs, l'oligarchie avec un homme avide de richesses, la démocratie avec un homme plein de désirs, la tyrannie avec un homme rempli de violences. La cosmologie de Platon pose que "la nature entière est d'une même famille" ("Ménon", 81d), et "le Ciel et la Terre, les dieux et les hommes sont liés entre eux par une communauté, faite d'amitié et de bon arrangement, de sagesse et d'esprit de justice" ("Gorgias", 508a). - Dans son enseignement oral ésotérique, Platon établit des analogies entre les nombres de la Décade pythagoricienne (1, 2, 3, 4, dont la somme fait 10), les dimensions géométriques (unité, ligne, surface, volume), les niveaux de réalité (l'Un, les Idées, l'Âme avec les êtres mathématiques, les choses sensibles), les connaissances (esprit, science, opinion, sensation), les Éléments (Feu, Air, Eau, Terre), de sorte qu'il y a correspondances entre un/unité/Nombres idéaux/connaissance par l'esprit/Élément Feu, puis deux/ligne/Idées particulières/connaissance par la science/Élément Air, ensuite trois/surface/Âme du monde et êtres mathématiques/connaissance par l'opinion droite/Élément Eau, enfin quatre/volume/monde sensible/connaissance par la sensation/Élément Terre. Les platoniciens de l'ancienne Académie (Speusippe, Xénocrate) ont systématisé les correspondances entre les quatre dimensions géométriques (points, lignes, surfaces, volumes) et les quatre modes de connaissance (intellect, science, opinion, sensation). Aristote : "Platon [dans son enseignement oral ésotérique] s'exprime autrement : l'intellect est l'un [le point, aussi], la science est le deux car elle s'avance d'une direction unique vers un seul point [la ligne], le nombre de la surface est l'opinion, et celui du volume est la sensation" ("De l'âme", I, 2). Pythagore
Au , les poètes grecs Ion de Chios et Empédocle expriment tous deux dans leurs poèmes leur admiration pour Pythagore. La première description concise de Pythagore provient de l'historien Hérodote, qui le décrit comme des sages grecs et affirme que Pythagore a enseigné à ses disciples comment atteindre l'immortalité. L'exactitude des travaux d'Hérodote est controversée. Les écrits attribués au philosophe pythagoricien Philolaos de Crotone, qui a vécu à la fin du cinquième siècle avant J.-C., sont les premiers textes à décrire les théories numérologiques et musicales qui ont été attribuées plus tard à Pythagore. Le rhétoricien athénien Isocrate est le premier à décrire Pythagore comme ayant visité l'Égypte. Aristote écrit un traité sur les Pythagoriciens, qui n'existe plus, dont une partie est peut-être conservée dans le "Protreptique". Les disciples d'Aristote, Dicéarque, Aristoxène et Héraclide du Pont, ont également écrit sur le même sujet. Grèce antique
L'école, privée et payante le plus souvent, commence vers l'âge de 7 ans. Les écoliers athéniens sont accompagnés d'un esclave (le "paidagogos") dédié à les aider dans leurs tâches. Les maîtres sophistes, à partir du milieu du , font payer cher leurs services pour enseigner la rhétorique à des jeunes gens d'au moins 17 ans ; le plus connu de ces sophistes est Protagoras. L"Iliade" et l"Odyssée" forment la base des études littéraires, la mémorisation de la poésie paraissant faire office de méthode pédagogique. La géométrie est également enseignée. Il a probablement existé des maîtres qui enseignent les bases de l'écriture et de la lecture et d'autres qui enseignent une connaissance plus poussée de la langue grecque. Apparemment, des maîtres sont aussi spécialisés en musique et d'autres en athlétisme. À Sparte, l'enseignement scolaire semble lui avoir été délaissé au profit d'un enseignement athlétique et militaire à travers l"agôgè". Sparte se distingue néanmoins des autres cités en développant l'éducation des filles. Dans "Les Lois", Platon promeut une scolarisation universelle, même pour les filles ; Aristote se montre lui plus réservé sur ce sujet. Monde (univers)
Vers la même époque, en revanche, Pythagore, et ensuite Parménide (philosophe grec présocratique de l'école éléatique), pensaient que la Terre était sphérique. Platon et Aristote, et la plupart des grands philosophes grecs de la période classique et des périodes ultérieures, se rangèrent à cette représentation sphérique de la Terre, de même, bien sûr, que les astronomes (Eudoxe, Ératosthène, Hipparque, Ptolémée...), qui la fondèrent sur des bases plus scientifiques que philosophiques. Pythagore
Entre -440 ou -454, vers -450, se produit une émeute anti-pythagoricienne, amalgamée par certains historiens à la guerre pro-pythagoricienne de -510. Un noble de Crotone, Cylon de Crotone, gouverneur de Sybaris, fomente un complot. Il veut se venger de Pythagore qui l'aurait jugé inapte à suivre les enseignements de l'école. Il soulève la population contre les pythagoriciens, partisans d'un régime aristocratique et conservateur. Le feu est mis à la maison de Milon de Crotone où sont réunis 40 pythagoriciens. Trois seulement réussissent à se sauver : Philolaos de Crotone, Lysis de Tarente et Archippe de Tarente, ou Lysis et Philolaos. Ces persécutions conduisent à la dispersion des membres de l'école pythagoricienne, qui fondent des centres ailleurs, surtout à Rhegium, Phlionte et Thèbes de Lucanie. Le déclin de l'influence pythagoricienne en Italie commence. Le dernier bastion fut Tarente, avec Archytas de Tarente, stratège, philosophe, mathématicien, inventeur, mais aussi ami et sauveur de Platon en -388 et -361. Les autres versions de la mort de Pythagore semblent douteuses : Diogène Laërce et Porphyre soutiennent que Pythagore serait mort dans l'incendie de la maison de Milon, Hermippe de Smyrne déclare que Pythagore aurait été tué par les Syracusiens, lors de sa fuite, devant un champ de fèves qu'il refusait, par tabou des fèves, de traverser. Allégorie de la caverne
En ce qui concerne les conceptions qu'il exprime dans le "Timée" ; la tradition propagée par Diogène Laërce voudrait que Platon ait acheté ses livres à l'un des derniers philosophes de l'école pythagoricienne décimée, le philosophe Philolaos de Crotone. En effet, Pythagore a suivi les enseignements de Phérécyde de Syros, qui enseignait dans une caverne. Pythagore . Porphyre rappelle que, pour les pythagoriciens, la grotte symbolise le monde réel. Selon les différentes hypothèses examinées par Robert Baccou, auteur d'une traduction de la "République", le Livre VII aurait probablement été écrit par Platon après un voyage en Sicile, ce qui correspond à la période de l'achat évoqué ci-dessus des livres à Philolaos de Crotone. Hiéroclès d'Alexandrie
Son "Commentaire sur les Vers d'or des pythagoriciens", intégralement conservé, ne constitue pas un exposé doctrinal du pythagorisme, mais une éthique pour se purifier et se préparer à connaître. S'exprimant dans une langue simple, il se caractérise par l'élévation morale et la ferveur sincère du sentiment religieux. Il contient également de précieuses informations sur ce que pouvait être la règle de vie des pythagoriciens, leur ascèse purificatrice, leur éthique sacrée, leur théorie de la connaissance et leur conception du salut obtenu par la déification ou le retour à Dieu. Hiéroclès s'y signale comme l'un des esprits les plus modérés du néoplatonisme (selon le Répertoire des sources philosophiques antiques). Pythagore
La fameuse déclaration « Les choses sont nombre » signifie à la fois : a) c'est le nombre qui constitue la structure intelligible des choses (ce principe fonde en raison la physique mathématique) ; b) les éléments fondamentaux des mathématiques sont les éléments des choses (ce principe affirme la possibilité de définir une structure de l'esprit qui est une structure des choses et que constituent les notions de fini et d'infini, d'un et de multiple, etc.). Religion grecque antique
Le pythagorisme est un courant apparu en Italie du Sud au autour de Pythagore, qui est à la fois un philosophe, un mathématicien, un maître voire une sorte de fondateur de secte, son courant étant prolongé par ses disciples. Le pythagorisme est documenté par des sources indirectes, surtout Platon et Aristote. Présentant des similitudes avec l'orphisme, il apparaît comme De fait, les règles de vie et de vertu semblent y supplanter les rites. La croyance en la réincarnation (métempsycose) passe pour être une innovation propagée par ce courant. Le pythagorisme rencontre un certain succès en Italie du Sud, avant de subir une forme de persécution qui se traduit par le massacre de plusieurs de ses membres lors d'épisodes de violence au Il ne survit que de façon marginale avant d'être revivifié sous de nouvelles formes à l'époque romaine, avec le « néopythagorisme », plus vu comme une philosophie que comme une religion. Fondement de la morale (Schopenhauer)
L’impératif catégorique repose en réalité sur un principe (il serait mieux de dire "fondement' premier) très "surprenant" pour le lecteur naïf de Kant: l’égoïsme ! En effet, si cet impératif est tellement mis en avant par Kant c'est pour prévoir le cas où le "je" se retrouverai en situation d'agent "passif", c'est-à-dire pâtissant des actions des autres. S’il s’agissait seulement de fonder la société, l'impératif catégorique pourrait suffire, mais pas pour "la signification morale" de l'existence. Il est à noter ici que pour Schopenhauer, le devoir moral et la vertu éthique, bien qu'ils ne soient pas des impératifs "catégoriques" ou "absolus", ne sauraient, en aucun cas, être réduits à un devoir ou une vertu "civil" ou social car les exigences sociales n'ont, en elles-mêmes, rien de morales ou d'éthiques.  Donc Schopenhauer conclut que la règle kantienne n'est, bel et bien, qu'un impératif hypothétique (cf impératif catégorique) dicté en "réalité", au mieux par la prudence de l'intérêt bien compris, et au pire et le plus communément par l'égoïsme. Théorème de Pythagore
La datation et l'origine exacte des tablettes d'argile n'est pas toujours évidente, beaucoup de celles-ci ont été achetées sur le marché des antiquités comme la tablette Plimpton 322, mais les historiens peuvent s'appuyer sur des éléments linguistiques, et les similarités avec celles dont l'origine est connue, ayant été obtenues par des fouilles archéologiques régulières. Les traces que l'on a des cultures antérieures rendent peu vraisemblable la découverte de la « règle de Pythagore », avant -2300, celle-ci pourrait apparaître entre -2025 et -1825. Allégorie de la caverne
Selon toute vraisemblance, Platon s'est inspiré de mythes et récits antérieurs pour créer l'allégorie de la caverne. Il semblerait que les principaux éléments de cette allégorie faisaient partie des enseignements pythagoriciens (tout comme le mythe d'Er le Pamphylien). Platon emprunte plusieurs éléments aux traditions orphiques et pythagoriciennes. École pythagoricienne
Iccos de Tarente Fils de Nicolaïodas, médecin, athlète vainqueur du pentathlon aux Jeux olympiques, théoricien de la lutte et maître de gymnastique. Son "acmé" est datée de la olympiade, de 472 à 469 Platon rapporte que son mode de vie pendant sa carrière est très strict en ce qui concerne le commerce avec les femmes et les adolescents. Le régime alimentaire — désigné par l’expression  — devient proverbial pour désigner un régime parfait qui ne comprend rien de superflu, ce qui semble correspondre aux mœurs et au mode de vie pythagoriciens, mais il était peut-être sophiste. Littérature grecque archaïque
Au , des penseurs commencent à s'interroger sur les origines et le fonctionnement du monde, sans plus se cantonner aux mythes, et recourent à des principes abstraits universels pour expliquer le "cosmos". On les a regroupés par la suite sous le nom de présocratiques car ils vivent et écrivent avant Socrate, figure majeure de la philosophie grecque qui vit plus tard, à l'époque classique. Les philosophes présocratiques écrivent des traités, souvent en vers. Thalès de Milet, par ailleurs astronome, n'est connu que par ce qu'ont écrit de lui des auteurs postérieurs comme Aristote ou Platon ; il pense que l'eau se trouvait à l'origine de tout. Après lui viennent deux autres penseurs milésiens : Anaximandre, qui conçoit l'Illimité comme principe universel, et Anaximène pour qui c'est l'air. À Éphèse, en Ionie, Héraclite formule, dans des aphorismes obscurs, des vérités sur le monde dans lesquelles il développe une doctrine de la mobilité cosmique, dominée par la lutte entre les contraires. Originaire de la même région, Pythagore, fondateur de la secte religieuse du pythagorisme, recherche l'harmonie cosmique dans les nombres et donc les mathématiques et la musique. Plus tard, Empédocle d'Agrigente, probablement influencé par le pythagorisme et par l'orphisme, cherche les fondements de l'univers dans quatre éléments (le feu, l'eau, la terre et l'éther) qu'il dit animés par deux principes universels que sont l'amour et la haine (Eros et Eris), dans un système philosophique empreint de mysticisme (il croit notamment à la réincarnation des âmes). Pythagore
Pythagore donne des nombres une représentation géométrique. Arithmétique et géométrie sont sœurs. Les démonstrations arithmétiques s'appuient sur des figures et cette méthode porte le nom d'arithmétique géométrique. Chaque unité est figurée par un point, de sorte qu'on a des nombres plans (1, 4, 9, 16, etc. sont carrés ; 1, 3, 6, 10, etc. sont triangulaires), rectangulaires, solides (cubiques, pyramidaux, etc.), linéaires, polygonaux. Le premier nombre pyramidal est 4 (selon Philolaos). Cette méthode permet le calcul de la somme des premiers entiers, des premiers entiers impairs ou encore le calcul de triplets pythagoriciens. Résonance
Par ailleurs, plusieurs explications (philosophiques et scientifiques) dues à l'école Pythagoricienne étaient précisément basés sur des rapports géométriques. Ces derniers sont, par exemple, à l'origine des mathématiques de l'Antiquité. En particulier, Pythagore percevait les nombres entiers comme étant à l'origine de tout principe fondamental, traduisant notamment l'harmonie. École mégarique
L'école mégarique s'occupa surtout de logique et de métaphysique ; dans la logique, elle donna la préférence à la dialectique, ce qui fit donner aux Mégariques le surnom d'éristiques (disputeurs), parce qu'ils faisaient dégénérer en dispute la science du raisonnement. Ils se rattachaient, par la suite, aux Sophistes et aux Éléates. Comme ces derniers, ils repoussaient la certitude des sens, les considérant comme trompeurs, et ne voulant s'en rapporter qu'à la raison. Ce principe logique conduisait nécessairement à la négation du mouvement, du changement, de la pluralité, et à l'affirmation de l'immutabilité. C'est ce que firent les Mégariques, en suivant sur ce point Zénon d'Élée. En outre, l'impossiblité, selon eux, de prédiquer un être d'un autre être conduit à l'affirmation de Parménide : l'être est — . L'École d'Athènes
Pythagore est assis plus en avant, au premier plan, avec un livre, un encrier et un crayon, en train d’annoter ses impressions sur la figure représentée sur l'ardoise noire à ses pieds tenue par un de ses disciples. Ce diagramme montre les rapports mathématiques qu’il y a entre l’harmonie de la musique et les lois mathématiques "(epogdoon)". Les signes symboliques, reproduits par Zarlino, ont été vus comme des schémas de concordances musicales, soit la subdivision typiquement pythagoricienne de l'octave musicale et la forme symbolique des Tetraktys. Cycle des quintes
Pythagore a fondé les bases de l’harmonique en découvrant que la musique s’articule autour de rapports algébriques. Il a mis en évidence le principe des quintes, grâce auquel on élabore les gammes pythagoriciennes. Théorème de Pythagore
Le théorème de Gougu de "gou" (base) et "gu" (hauteur) est reconstitué d’après les commentaires du mathématicien chinois Liu Hui () sur le "Jiuzhang suanzhu" « Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique » (206 av.–220 apr. J.-C.), et le "Zhoubi Suanjing" , « Le Classique mathématique du Gnomon des Zhou » (un livre d’astronomie). Le neuvième chapitre du livre "Les neuf chapitres", classique mathématique de la Chine ancienne, s’ouvre sur un énoncé du théorème de Pythagore avec le commentaire laconique : . Cette preuve utilise le principe du puzzle : deux surfaces égales après découpage fini et recomposition ont même aire. Euclide, dans sa propriété de cisaillement, utilise le même principe. École pythagoricienne
Originaire de Métaponte, il semble avoir été le père de Théanô, femme de Pythagore. Selon certaines traditions mises en doute dès l’Antiquité, il aurait eu Empédocle pour disciple. On lui attribue "Le Péplos", "Le Filet" et "Les Éléments de la nature" selon la Souda ; et un traité "De l’intellect et de l’entendement" également. Pythagore
Cet usage du calcul, permettant de traiter des questions du second degré, met en évidence des proportions qui ne sont pas des fractions. On peut construire ainsi des longueurs, comme la diagonale et le côté d'un pentagone régulier, telles qu'il n'existe aucune unité permettant d'exprimer ces deux longueurs comme des entiers. De telles longueurs sont dites incommensurables. La découverte de ces proportions est probablement l'œuvre des premiers pythagoriciens. On l'attribue parfois à Hippase à l'aide d'un raisonnement sur le pentagone. Cette découverte, que les historiens et Itard qualifient de "viol fécond" engendre initialement une grave crise, puis nourrit et enrichit pendant deux siècles les mathématiques grecques. Algèbre géométrique
Si l'histoire de l'algèbre géométrique commence avec Pythagore, comme l'indique Maurice Caveing : . Pour cet auteur, l'école pythagoricienne hérite à la fois de l'école ionienne avec les travaux de Thalès de Milet et du patrimoine égyptien et mésopotamien. Les travaux de l'école de Thalès modifient déjà l'orientation des mathématiques grecques. Elle introduit la notion de preuve. Elles n'étaient surement pas aussi sophistiquées que celles que l'on trouve chez Euclide, cependant cette spécificité grecque est déjà présente, les différenciant de leurs prédécesseurs. Une deuxième spécificité des mathématiques ioniennes est son inclinaison à la géométrie. Les résultats prêtés à cette école sont, par exemple, le fait qu'un triangle isocèle possède deux angles égaux ou qu'un triangle de base le diamètre d'un cercle et dont le dernier sommet est situé sur le cercle est rectangle. Pythagore
La vie énigmatique de Pythagore permet difficilement d'éclaircir l'histoire de ce réformateur religieux, mathématicien, philosophe et thaumaturge. Il n’a jamais rien écrit, et les soixante et onze lignes des "Vers d’Or" qu'on lui attribue sont apocryphes et sont le signe de l'immense développement de la légende formée autour de son nom. Orphisme
L'orphisme est antérieur au pythagorisme. Les comparaisons entre l'orphisme et le pythagorisme suggèrent que l'orphisme a influencé Pythagore et ses disciples. L'écrivain Simonne Jacquemard se pose la question de savoir si Pythagore était un adepte de l'orphisme. Elle écrit que Les points communs entre l'orphisme et le pythagorisme sont l'utilisation de rites de purification, repris ensuite par Empédocle qui donne le titre de "Purifications" à son poème, et l'idéal de maîtrise de soi obtenue par une certaine ascèse en partie secrète. Dans l'orphisme en effet, il s'agit de contrôler ses désirs et son sommeil. Esthétique
La redécouverte de Platon par Gémiste Pléthon et Marsile Ficin n'est pas sans conséquence sur la conception des arts et de l'architecture. Dans le "Compendium in Timaeum", Ficin élabore la norme du pythagorisme et du platonisme esthétiques : la participation du sensible au règne des formes pures se fait par l'intermédiaire des figures géométriques et des proportions. La réalité physique étant d'essence mathématique, le but de l'esthétique est de définir les lois mathématiques de la beauté (spéculations sur le nombre d'or, volumes pythagoriciens, triangle d'harmonie musicale, etc.). Alberti sera le maître d'œuvre de ce programme. Dans le "De re aedificatoria", il s'inspire du Timée pour établir les principes de la construction. Dans le "De pictura", il aborde les notions de perspective légitime qui fait de la peinture le prolongement de la réalité et de beauté picturale dans la juste composition par le dessin des contours (ligne de circonscription) qui conditionne l'ordre de la couleur et de la lumière (clair-obscur). Si dans ses "Carnets", Léonard de Vinci conçoit lui aussi la peinture comme l'imitation de la nature, cette mimèsis passe par une analyse conceptuelle complexe des dix attributs de la vue suivie d'une synthèse picturale et plastique d'éléments aussi divers que l'étude des proportions et attitudes humaines, du mouvement et du repos, de la forme et de la position, de la matière et des couleurs, de la perspective linéaire ou atmosphérique, de la distribution de l'ombre et de la lumière dont les lois de l'optique et les mathématiques sont les instruments d'étude privilégiés. Dans son traité d'architecture inspiré de Vitruve, Serlio défend des idéaux de régularité et de symétrie qui préfigurent l'esthétique classique. Histoire des mathématiques
Selon l'école pythagoricienne, « tout est nombre ». Les deux branches d'étude privilégiées sont l'arithmétique et la géométrie. La recherche d'objets parfaits conduit les Grecs à n'accepter d'abord comme nombres que les nombres rationnels matérialisés par la notion de longueurs commensurables : deux longueurs sont commensurables s'il existe une unité dans laquelle ces deux longueurs sont entières. L'échec de cette sélection matérialisée par l'irrationalité de la racine carrée de deux les conduit à n'accepter que les nombres constructibles à la règle et au compas. Ils se heurtent alors aux trois problèmes qui vont traverser l'histoire : la quadrature du cercle, la trisection de l'angle et la duplication du cube. En arithmétique, ils mettent en place la notion de nombre pair, impair, parfait et figuré. Religion grecque antique
Les premiers philosophes (les « présocratiques ») proposent des discours sur l'origine et l'ordre du monde résultant de leurs réflexions personnelles. Ils présentent plusieurs points communs : , , et Le « principe » est généralement considéré comme d'essence divine. Chez les premiers philosophes ioniens, il est identifié à un élément du monde naturel, omniprésent (l'eau chez Thalès, l'« illimité » chez Anaximandre, l'air chez Anaximène), puis chez les suivants le « divin », ou du moins ce qui s'en approche, est moins clairement identifié : une entité unique impossible à connaître et à nommer pour Héraclite, un être parfait à tous les égards pour Parménide. Si leurs discours sur l'origine et l'organisation du cosmos présentent d'évidentes continuités par rapport à ceux d'Homère et d'Hésiode, ils s'en distinguent en présentant l'organisation du monde de façon plus abstraite, notamment en tournant le dos à l'anthropomorphisme des dieux, Xénophane portant cette critique le plus loin. C'est aussi à cette période que se développe le pythagorisme évoqué plus haut, qui a des aspects philosophiques, et dont la pensée influence des philosophes postérieurs, dont Platon. Philolaos de Crotone
Philolaos plongea profondément dans la théorie des nombres de Pythagore, s’intéressant particulièrement aux propriétés inhérentes au nombre dix, la somme des quatre premiers nombres et le quatrième nombre triangulaire, la "tetractys", qu’il qualifiait de grande, toute-puissante et qui produit tout. On prenait le grand serment pythagoricien sur la "tetractys" sacrée. La découverte des polyèdres réguliers est attribuée à Pythagore et on dit qu’Empédocle fut le premier à prétendre qu’il existait quatre éléments. Philolaos, reliant ces idées, soutenait que la nature élémentaire des corps dépendait de leur forme. Il associa le tétraèdre au feu, l’octaèdre à l’air, l’icosaèdre à l’eau et le cube à la terre. Le dodécaèdre régulier fut attribué à un cinquième élément, l'éther, ou selon d’autres, l’univers. Cette théorie, quoique superficielle, démontrait une connaissance considérable de la géométrie et encouragea fortement l’étude des sciences. Pythagore
L'école pythagoricienne de Crotone devint par la suite une "hétairie" (en grec ancien, = confrérie) politique de courant aristocratique. Il s'agit d'une fraternité philosophique, religieuse et scientifique, proche de l'orphisme. Métaphysique (Théophraste)
Commentaire sur la conception pythagorisante de Speusippe et des pythagoriciens, critiquée et examinée par Aristote : Speusippe admettait plusieurs plans de réalité, et le Bien n’est pas dans les principes comme c'est le cas chez Platon, mais dans les êtres dérivés ; Théophraste, en accord avec la conception aristotélicienne du monde, voit le bien comme étant partout, et non seulement dans la fin. Angelo Zulatti
En 1752, il publie à Florence "Una lettera ad un medico sopra le riflessioni sul vitto pitagorico di Giuseppe Pujati medico di Feltre", dans laquelle il combat les opinions de , qui avait attaqué les principes émis par dans sa "Dissertation sur le régime pythagoricien", et soutient avec ce dernier que Pythagore connaissait les vrais principes de la génération des animaux, la forme sphérique de la terre, les véritables lois astronomiques, etc. Collège Fridericianum
En , l'école est cérémonieusement rouverte en tant que premier lycée royal de Prusse, organisé selon les idées de réforme néo-humanistes de Wilhelm von Humboldt. Son est l'une des sources centrales de la pédagogie prussienne : « Le but de l'instruction scolaire est de pratiquer des compétences et d'acquérir des connaissances sans lesquelles la perspicacité scientifique et l'art sont impossibles. Les deux doivent être préparés par lui ; le jeune doit être mis réellement en mesure de collecter le matériel, sur lequel toute sa propre créativité doit toujours être connectée, en partie maintenant et en partie pour pouvoir le collecter au fur et à mesure qu'il plaît à l'avenir et de former les pouvoirs intellectuels-mécaniques. Elle est double, d'abord avec l'apprentissage lui-même, . Mais toutes ses fonctions ne sont que relatives, toujours subordonnées à quelque chose de supérieur, ne faisant que collecter, comparer, ordonner, vérifier, etc. L'Absolu est seulement stimulé. » Le Masure et plus tard professeur "Wilhelm Herrmann" écrit dans l': « Le Fridericianum était le purgatoire vers le ciel à Albertina. » L'Un
Chez les pythagoriciens comme Alcméon de Crotone, l'Un n'est plus premier. Selon J.-P. Dumont, il faut alors établir l'ordre suivant : 1) Principes (Limite et Illimité) ; 2) Éléments : impair et pair ; 3) l'Un, mélange ; 4) le nombre (et par conséquent le Ciel, qui est nombre, ainsi que tous les êtres qu'il enveloppe). Selon Aristote, ("Métaphysique", A, 5). Théorème de Pythagore
Les premières démonstrations historiques reposent en général sur des méthodes de calcul d’aire par découpage et déplacement de figures géométriques. Inversement, la conception moderne de la géométrie euclidienne est fondée sur une notion de distance qui est définie pour respecter ce théorème. Triplet pythagoricien
Pythagore, au avant notre ère, n’a laissé aucun texte écrit et les sources diverses le concernant se contredisent. Il est cependant à peu près certain qu'il connaissait le triplet (3, 4, 5). Le philosophe Proclus de Lycie, au de notre ère, dans son commentaire sur le livre I des "Éléments" d’Euclide (rédigé vers 300 avant notre ère), attribue à Pythagore la découverte de la formule générale que nous notons aujourd’hui formula_2, où formula_3 est un entier strictement positif. Arithmologie
Les grands spécialistes, en Occident, de l'arithmologie sont les pythagoriciens : Pythagore et Nicomaque de Gerasa. Pythagore établit des correspondances ("omoiômata") entre nombres et choses, par exemple un et essence, deux et opinion, trois et tout, quatre et justice, cinq et mariage (Aristote, "Métaphysique", 985b27, 990a23, 1078b22). Surtout il établit des corrélations entre nombres et figures, lorsqu'il parle de nombres linéaires, triangulaires, carrés, rectangulaires, cubiques ; cette représentation géométrique des nombres, cette analogie entre nombres et figures, lie trois et triangle, quatre et carré, sept et rectangle, huit et cube. Platon a repris ces théories dans le "Timée" et "La République". Alimentation en Grèce antique
L'enseignement de Pythagore () est plus difficile à cerner. Les auteurs de la Comédie moyenne, comme Alexis ou Aristophon, décrivent des pythagoriciens strictement végétariens, certains subsistant même au pain et à l'eau. Cependant, d'autres traditions se contentent d'interdire la consommation de certains légumes, comme la fève, d'animaux sacrés comme le coq blanc, ou même seulement certaines parties d'animaux. En outre, même des pythagoriciens mangent de la viande de temps à autre dans le cadre des banquets sacrificiels, afin d'obéir à leurs devoirs religieux : « c'est uniquement dans les animaux qu'il est permis de sacrifier que l'âme de l'homme ne peut pas pénétrer ; c'est pourquoi il faut manger les animaux du sacrifice, si nécessaire, et jamais les autres. » Académie platonicienne de Florence
Marsile Ficin, contre Thomas d'Aquin qui les séparait, reprend l'idée platonicienne selon laquelle le Beau est identique à l'Idée suprême, au-delà de l'essence, Idée qui est aussi le Bien dans d'autres dialogues. Il fond dans la pensée platonicienne le dogme chrétien : la beauté des choses provient de la splendeur divine. De plus Ficin reconnaît une valeur d'enseignement non seulement aux écrits chrétiens, mais aussi aux mythes grecs rapportés par Pythagore ou Platon. Pythagore
Selon Aristote, pour les pythagoriciens, les choses sont des nombres ; par exemple, un et esprit sont identiques, en musique les intervalles des tons sont des rapports de nombres ; selon Philolaos de Crotone : les choses sont des nombres, sont faites de nombres ; par exemple, la pyramide contient le nombre 10, le ciel consiste en 10 corps célestes (étoiles, 8 planètes, Anti-Terre) ; selon Hippase, les choses ont pour modèles les nombres. Cause première
Nombre de philosophes antiques ont avant Aristote et les néoplatoniciens tenté de déterminer le Premier Principe ou la Cause première de toute chose. Les plus anciens étaient peut-être les pythagoriciens, pour qui les Nombres et en particulier l'Un étaient le Premier principe, et les Physiciens, qui leur préféraient en général un ou plusieurs des quatre éléments ; certains, même, ont pu considérer comme Premier principe le Chaos, à commencer par Hésiode. Sextus Empiricus donne une liste longue et pourtant incomplète de leurs diverses opinions : Orphisme
Quant à la vie après la mort, l'orphisme défend une forme de palingénésie, toujours selon Platon. Le pythagorisme croit plus précisément en la transmigration des âmes : la métempsycose d'une âme individuelle. La théorie du corps-tombeau, qui dit que le corps ("sôma") est un tombeau ("sêma") pour l'âme n'est pas orphique, mais pythagoricienne.