Quels sont les concepts principaux en géométrie?
Géométrie sphérique
En géométrie plane, les concepts de base sont les points et les droites. Sur une surface plus générale, les points gardent leur sens usuel ; par contre, les équivalents des droites sont définies comme les lignes matérialisant le chemin le plus court entre les points, qu'on appelle des géodésiques. Sur la sphère, les géodésiques sont les grands cercles, et les autres concepts géométriques sont définis comme dans le plan euclidien, mais avec les grands cercles remplaçant les droites.
Liste de publications importantes en mathématiques
La Géométrie a été publié en 1637 et écrit par René Descartes. Le livre était influent dans le développement du système de coordonnées cartésiennes et plus particulièrement de la représentation des points d'un plan, par des nombres réels; et la représentation des courbes, via des équations. Théorie des anneaux
Pour la géométrie, c'est l'intuition de Lasker et Macauley, qui a abouti à la notion de schéma avec Grothendieck, qui montre une équivalence entre l'étude des variétés algébriques et celle des anneaux commutatifs et notamment de leur spectre. La notion de module sur un anneau, qui généralise en un sens celle d'espace vectoriel, apparaît alors naturellement et s'avère être un moyen efficace d'étudier l'anneau en question ; les modules permettent notamment de construire des représentations. Pour la théorie des nombres, c'est toute une classification issue des recherches de Kummer et Dedekind sur la factorisation qui permet d'analyser finement les constructions généralisant les entiers relatifs, sur la base des résultats qui s'y transportent ou non : existence d'une division euclidienne, unicité de la factorisation en éléments premiers, validité du théorème de Bézout, etc. Théorie M
En géométrie il est souvent utile d'introduire des coordonnées. Dans le plan euclidien, par exemple, on définit les coordonnées "x" et "y" d'un point comme étant ses distances à une paire d'axes. En géométrie ordinaire les coordonnées sont des nombres, ces nombres peuvent être multipliés, et leur produit (le résultat de la multiplication) ne dépend pas de l'ordre dans lequel est effectuée la multiplication : ' '. On dit que la multiplication est commutative, et la relation entre la géométrie et l'algèbre commutative est le point de départ d'une grande partie de la géométrie moderne. Géomécanique
Or les théories fondamentales de la géomécanique sont circonstancielles : elles ont été formulées indépendamment les unes des autres par leurs auteurs respectifs qui étaient des ingénieurs praticiens pour résoudre des problèmes techniques très spécifiques que posaient la conception et la construction d’objets et/ou d’ouvrages nouveaux, en s’appuyant sur des observations de phénomènes qu’ils supposaient influents et sur des expériences simples, de courtes durées, que la géomécanique appelle essais. La formulation linéaire de ces théories est une schématisation qui correspond à de courts intervalles de définition, car les moyens d’expérimentation et de calcul dont ils disposaient n’en permettait pas davantage, et la simplicité relative des ouvrages qu’ils devaient construire n’en exigeait pas plus ; elles ont ensuite facilité les développements des théories ; elles facilitent toujours nos calculs pratiques. Théorème fondamental de la géométrie riemannienne
Le théorème fondamental de la géométrie riemannienne est un résultat de géométrie qui permet de bien fonder le champ de la géométrie riemannienne, c'est-à-dire l'étude des variétés, « espaces courbes » de toutes dimension, munies d'une métrique. Il affirme l'existence et l'unicité de la connexion de Levi-Civita sur toute variété riemannienne. Celle-ci permet de faire le lien entre les trois piliers du « triangle d'or » de la géométrie riemannienne : courbure, transport parallèle et calcul différentiel absolu. Zanis Waldheims
La géométrisation ici n’est pas seulement une technique de faire des figures représentatives, des formes réduites des objets concrets ou abstraits, mais elle est aussi l’art qui cherche l’harmonie entre le beau et le vrai dans la connaissance, de même qu’elle cherche la compréhension entre le bien particulier et le juste universel.Waldheims a vu la nécessité de faire converger l’esthétique et la science dans une expression holistique telle l’abstraction géométrique pour adresser les phénomènes sociologiques et humains. Il a développé son approche de la pensée exhaustive à partir de plusieurs sources. Il a exploré les domaines de la phénoménologie de Kant, Heidegger, Cassirer and Husserl. Il a équilibré ces idées avec celles de la science et des mathématiques présentées par de Broglie, Descartes, Heisenberg, and Poincaré. Il a conçu une architecture de base sur les principes de l’espace-temps formulé par Hermann Weyl et organisées selon le cône de lumière de Minkowski. Il a aussi inclus les éléments de logique de Bertrand Russell et Stéphane Lupasco. Il a adapté les principes dialectiques de Hegel pour développer son "unité de sens" qui conjugue deux points de vue opposés ou complémentaires avec un troisième élément central qui offre un lien logique ou de consensus entre les deux vers une piste de solution à un problème existentiel. Il a aussi exploré le domaine de la psychologie de Jung, Freud, Weizäcker et Adler. Finalement, ses perspectives artistiques ont été influencées par Goethe, Ostwald, Albers, Klee, Kandinsky et Vasarely . Waldheims a trouvé son inspiration pour géométriser la pensée humaine de ses lectures de Maine de Biran et de Max Scheler qui ont tous les deux proposé que la conscience peut être décrite sous forme d’une pyramide. Il a aussi incorporé l’épistémologie du développement intellectuel de Jean Piaget. Les idées de sa thèse de 1970 explorent les différentes facettes de cette pyramide de la conscience ou la Noosphère inspirée de Pierre Theilard de Chardin et Rudolph Arnheim. C’est sur ces fondements qu’il a réalisé des centaines de figures et dessins de couleur en une structure tridimensionnelle qu’il a nommé le "Schéma de l’entendement" qui représente la synthèse de toutes ses années de recherche pour géométriser la pensée. David Hilbert
Hilbert axiomatise la géométrie plane selon cinq grands groupes : Ces axiomes unifient dans un seul système la géométrie plane et la géométrie dans l'espace, toutes deux euclidiennes. Géométrie non commutative
L'approche moderne de nombreuses questions géométriques est de s'intéresser à des fonctions définies sur l'espace qu'on veut étudier. Par exemple, l'étude de la géométrie des variétés riemanniennes passe par celle des fonctions méromorphes définies sur la variété, avec comme outil central le théorème de Riemann-Roch et ses généralisations ; la géométrie algébrique, dans sa version refondue par Grothendieck, est tout entière consacrée à l'étude de fonctions généralisées (les schémas). Ces ensembles de fonctions forment, pour l'addition et la multiplication, des anneaux commutatifs, qui caractérisent dans de nombreux cas l'espace correspondant ; on peut dire ainsi que ces espaces ont, en un certain sens, une "topologie commutative." Théorème de l'axe principal
Dans les domaines mathématiques de la géométrie et de l'algèbre linéaire, un axe principal est une certaine ligne dans un espace euclidien associée à un ellipsoïde ou à un hyperboloïde, généralisant les axes majeur et mineur d'une ellipse ou d'une hyperbole. Le théorème de l'axe principal indique que les axes principaux sont perpendiculaires et donne une procédure pour les trouver. Géométrie
La réfutation de ce postulat a conduit à l'élaboration de deux géométries non euclidiennes : la géométrie hyperbolique par Gauss, Lobatchevski, Bolyai et la géométrie elliptique par Riemann. Dans la conception de Felix Klein (auteur du programme d'Erlangen), la géométrie est l'étude des espaces de points sur lesquels opèrent des groupes de transformations (appelées aussi symétries) et des quantités et des propriétés qui sont invariantes pour ces groupes. Le plan et la sphère, par exemple, sont l'un comme l'autre des espaces de dimension 2, homogènes (pas de point privilégié) et isotropes (pas de direction privilégiée), mais ils diffèrent par leurs groupes de symétrie (le groupe euclidien pour l'un, le groupe des rotations pour l'autre). Géométrie du solide
La géométrie du solide est une des branches de la géométrie euclidienne. Elle étudie toutes les propriétés affines et métriques des solides : aire, volume, sections, incidence, symétrie, dualité... Elle s'appuie sur les propriétés de la géométrie dans l'espace. Le support de réflexion étant plan (papier ou écran d'ordinateur), il faut en outre développer des moyens de représentations comme le développement (ou patron), la section, la représentation en géométrie descriptive ou en perspective. En conception assistée par ordinateur et infographie, l'étude de la géométrie du solide va conduire à la modélisation du solide en utilisant des outils puissant comme la topologie et la géométrie différentielle. Enfin les surfaces servant de frontières aux solides sont de bons candidats pour le développement des géométries non euclidiennes Histoire de la géométrie
Ce travail constitue une extension de l'approche de Riemann, et met en avant la notion de groupe continu, qui sera développée notamment par Sophus Lie. Selon la conception de Klein, la géométrie est l'étude des espaces de points sur lesquels opèrent des groupes de transformations et des quantités et des propriétés qui sont invariantes pour ces groupes. Fondements des mathématiques
Ce programme de fondation de la géométrie n’était cependant pas achevé pour deux raisons. D’une part, D’autre part, un des axiomes de la géométrie, relatif à la continuité de l’espace, posait des problèmes d’interprétation associés à ceux de la définition des nombres réels et de la théorie des ensembles de Cantor. Géométrie dans l'Égypte antique
et Introduction à la relativité générale
Les objets élémentaires de la géométrie : point, ligne, triangle, sont traditionnellement définis dans l'espace à trois dimensions, ou sur des surfaces à deux dimensions. Mais en 1907, le mathématicien Hermann Minkowski introduit une formulation de la relativité restreinte d'Einstein, dans laquelle la géométrie comprend non seulement l'espace mais aussi le temps. L'entité de base de cette nouvelle géométrie est un espace-temps à quatre dimensions. Les trajectoires de corps en mouvement sont des lignes dans l'espace-temps, appelées lignes d'univers ; les trajectoires de corps se déplaçant à vitesse constante sans changer de direction y correspondent à des lignes droites. Géométrie des nombres
Les deux exemples d’applications précédents font intervenir des formes algébriques (c’est-à-dire des polynômes homogènes), formes linéaires dans le premier cas, formes quadratiques dans le deuxième. La géométrie des nombres permet plus généralement d’étudier les valeurs aux points entiers de telles formes, en particulier de majorer leurs minima. La preuve repose sur le théorème fondamental de Minkowski appliqué au parallélépipède défini par formula_5 pour tout "i", dont le volume est 2. Jean-Henri Lambert
Le projet de Lambert est d’établir un plan ("Anlage") à partir duquel nous pourrons construire le système ("Lehrgebäude") des sciences "a priori". Pour cela il faut partir des concepts élémentaires et simples qui doivent ensuite être combinés entre eux afin de former des concepts plus complexes dont nous pourrons tirer les premiers principes de la connaissance "a priori". Lambert choisit huit concepts fondamentaux (solidité, existence, durée, étendue, force, mobilité, unité, identité) qu’il organise dans une "table de combinaisons" (voir ci-contre). La première colonne verticale énonce les différents concepts fondamentaux ; la dernière colonne horizontale énonce les différentes sciences "a priori" qui résultent de leurs combinaisons (avec le § correspondant dans l’"Architectonique") ; les cases dans le tableau indiquent le type de combinaison possible entre ces concepts fondamentaux. Géométrie
Lorsqu'il y a des classifications explicites des groupes de Lie ou algébriques ou des leurs espaces homogènes vérifiant certaines hypothèses (groupes de Lie ou algébriques simples, espaces symétriques, variétés de drapeaux généralisées, espaces de courbure constante, par exemple), les principaux éléments de ces classifications sont parfois issus de la géométrie classique, et les groupes auxquels sont associés ces géométries classiques sont liés aux groupes dits classiques (groupes linéaires, orthogonaux, symplectiques, par exemple). Histoire de la géométrie
Si les Grecs peuvent être considérés comme les fondateurs de la géométrie en tant que science et discipline mathématique, de nombreuses connaissances en géométrie, nécessaires à la topographie, l'architecture, l'astronomie et l'agriculture, ont précédé la civilisation grecque. Les premières notions de géométrie reconnues remontent à 3000 , du temps de l'Égypte ancienne, de l'ancienne civilisation hindoue, des babyloniens et peut-être (mais l'hypothèse reste controversée) au sein de peuplades mégalithiques de Grande-Bretagne et de Bretagne. Histoire de la géométrie
La Renaissance aux et voit un premier frémissement de nouveautés géométriques avec l'apparition de la perspective conique dont la théorie est attaquée par toute une série de savants, Italiens en majorité, et dont les plus connus sont probablement Piero della Francesca, Léonard de Vinci, et Luca Pacioli, les deux premiers devant d'ailleurs leur gloire sérieusement plus à leur génie artistique que mathématique. Géométrie
Les différents espaces de la géométrie classique peuvent être étudiés par la topologie, la géométrie différentielle et la géométrie algébrique. Jules Hoüel
Hoüel propose une révision délicate des premières propositions d’Euclide. Il s'agit de distinguer d’une façon précise les axiomes d’ordre purement géométrique, de déterminer le rôle de l’expérience dans l’établissement et dans le choix de ces axiomes et enfin d'organiser un enseignement rationnel et progressif de la géométrie. Il publie en 1863 son étude dans "Essai d’une exposition rationnelle des principes fondamentaux de la géométrie élémentaire". Cet ouvrage est ensuite publié sous une forme plus complète en 1867 et 1885 sous le titre d’"Essai critique sur les principes fondamentaux de la géométrie élémentaire, ou Commentaire sur les premières propositions d’Euclide". Émile Lemoine
La classification des constructions géométriques de Lemoine, la "Géométrographie", tente de créer un système méthodologique par lequel les constructions peuvent être jugées. Le système permet un procédé plus direct pour simplifier les constructions existantes. Dans sa description, il a listé cinq opérations principales : placer la pointe du compas sur un point donné, le placer sur une droite donnée, tracer un cercle avec le compas placé sur un point ou une droite donnée, placer la règle sur une droite donnée et prolonger la droite avec la règle. Topographie
La géodésie est la science qui étudie les formes et les dimensions de la terre, mais aussi ses propriétés physiques, gravité, champ de pesanteur, et dont les travaux aboutissent à la représentation plane de vastes étendues. Selon les textes, « elle comprend l’établissement des canevas de références horizontaux et verticaux des 3 premiers ordres, l’astronomie de position, les mesures gravimétriques et la détermination du champ de pesanteur en utilisant des instruments conventionnels et électroniques, la photogrammétrie, l’inertiel, les satellites et autres moyens appropriés ». Géométrie classique
La géométrie classique est une branche de la géométrie fondée sur les "Éléments" d'Euclide et définie comme la science des figures de l'espace. Elle présuppose plusieurs notions comme l'alignement et la comparaison d'angles ou de longueurs, auxquelles elle attribue certaines propriétés qui définissent la géométrie euclidienne. Mathématiques chinoises
Le plus ancien traité de géométrie chinoise vient du "Mo Jing" (墨經), ensemble de textes philosophiques compilés vers par les disciples de Mozi (墨子). On y trouve des analyses de beaucoup de questions liées aux sciences physiques, et quelques informations purement mathématiques. Il donne une définition du point géométrique similaire à celle de l'atome de Démocrite, énonçant qu'une ligne se compose de parties, et que la partie qui ne peut se diviser en parties plus petites (et forme ainsi l'« extrémité » de la ligne) est un point. Tout comme dans la première et la troisième définition d'Euclide (ou dans les observations de Platon sur le « commencement d'une ligne »), le "Mo Jing" dit que « un point peut être à la fin (d'une ligne) ou à son début comme l'enfant peut se présenter par la tête à la naissance. (Pour son invisibilité) rien ne peut lui être comparé. ». Le "Mo Jing" affirme qu'un point est le plus petit concept, et ne peut être coupé en deux, puisque le « rien » n'a pas de moitié. Il donne ensuite des définitions pour la « comparaison des longueurs » et pour les « parallèles », des principes de mesure de l'espace et de l'espace borné. Il indique que des plans sans épaisseur ne peuvent être empilés, car ils se confondent dès qu'ils se touchent. Enfin, le livre donne des descriptions verbales des mots « circonférence », « diamètre », et « rayon », ainsi que la définition du volume. Géométrie projective
Plusieurs systèmes d’axiomes ont été énoncés pour fonder la géométrie projective, notamment par Enriques, Coxeter et Rossier, qui ne présentent que de légères différences. Les éléments fondamentaux sont les points. Les droites et les plans sont certains ensembles de points. Il existe une relation ternaire, dite d’ordre cyclique, entre les points appartenant à une même droite ou entre les plans passant par une même droite ou entre les droites appartenant à une même plan et passant par un même point. Mathématiques modernes
En classe de quatrième (13 ans), dans certaines écoles, la géométrie était détachée de la notion de dessin et de construction, pour endosser une structure axiomatique plus algébrique. Le théorème de Thalès a fini par être érigé en axiome à partir de la classe de quatrième. La notion de mesure algébrique, à mi-chemin entre la notion de distance et celle de vecteur, ajoutait à la confusion dans la formulation de cet axiome. En troisième (14 ans) et en seconde (15 ans), l'approche classique de la géométrie euclidienne était mêlée à des éléments théoriques inspirés du programme d'Erlangen. Géométrie euclidienne
Les deux théorèmes fondamentaux sont le théorème de Pythagore et celui de Thalès. Un peu d'analyse permet d'aller plus loin avec la trigonométrie. C'est le premier exemple de construction d'un "pont" entre la géométrie euclidienne pure et une autre branche mathématique, pour enrichir la palette d'outils disponibles. Éléments de géométrie algébrique
Les Éléments de géométrie algébrique, par Alexandre Grothendieck (rédigés avec la collaboration de Jean Dieudonné), ou EGA en abrégé, sont un traité inachevé de pages, en français, sur la géométrie algébrique, qui a été publié (en huit parties ou fascicules) entre 1960 et 1967 par l'Institut des hautes études scientifiques. Grothendieck tente d'y établir systématiquement les fondements de la géométrie algébrique, et y construit le concept des schémas, et le définit. Ces travaux sont de nos jours considérés comme la première pierre et la référence de base de la géométrie algébrique moderne.L'introduction mentionne, à titre informatif, que le plan général initialement prévu comprend huit autres chapitres.Il existe en outre un chapitre 0, nommé « préliminaires », et réparti entre différents volumes, placé en tête de chacun des autres chapitres. Histoire de la géométrie
Dans la seconde moitié du , le sujet devient à la mode, et un certain nombre de travaux célèbres (Beltrami, Christoffel...) voient le jour. On s'aperçoit que l'on peut essentiellement définir, dans le plan, deux types de géométries non euclidiennes : la géométrie hyperbolique et la géométrie elliptique. La somme des angles d'un triangle est inférieure à deux angles droits en géométrie hyperbolique ; elle est supérieure en géométrie elliptique. La géométrie analytique continue de se développer. Les découvertes fondamentales du début du siècle sur la résolution des équations polynomiales (Galois- Abel), et ceux de Gauss portant sur la constructibilité de certains polygones à la règle et au compas éclaircissent considérablement la question et permettent à Pierre-Laurent Wantzel d'énoncer en 1837 un théorème portant sur la non-constructibilité à la règle et au compas (théorème de Wantzel). L'impossibilité de la duplication du cube et celle de la trisection de l'angle en résultent. Euclide
Les six premiers livres sont consacrés à la géométrie plane. Le premier traite en particulier des triangles et des droites parallèles, et inclut une preuve du théorème de Pythagore ; le deuxième traite de la construction de figures planes de forme donnée, des carrés par exemple, et de surface égale à celle d’une figure rectiligne donnée ; le troisième traite des propriétés du cercle ; le quatrième étudie l’inscription de figures dans un cercle, ou de cercles dans des figures rectilignes, par exemple la construction de pentagones réguliers inscrits "dans" ou circonscrits "à" un cercle donné ; le cinquième traite de la théorie des rapports et des proportions entre grandeurs, théorie qui est appliquée à la géométrie dans le sixième livre. Géométrie synthétique
La géométrie synthétique ou géométrie pure est fondée sur une approche axiomatique (donc, « purement logique ») de la géométrie. Elle constitue une branche de la géométrie étudiant diverses propriétés et divers théorèmes uniquement par des méthodes d'intersections, de transformations et de constructions. Elle s'oppose à la géométrie analytique et refuse systématiquement l'utilisation des propriétés analytiques des figures ou l'appel aux coordonnées. Ses concepts principaux sont l'intersection, les transformations y compris par polaires réciproques, la logique. Un outil très puissant qu'elle utilise est la théorie des ensembles, par le biais des propriétés structurelles (groupe, groupe commutatif, etc.) de tel ou tel ensemble de transformations. Émile Lemoine
Ses principaux travaux de recherche concernent la géométrie, en particulier la géométrie projective, la géométrie descriptive et la statique graphique. Sous le terme de « géométrie "moderne" du triangle », il développe particulièrement la théorie des transversales et des polaires, obtenant quelques résultats célèbres parmi lesquels le « point de Lemoine » et le « cercle de Lemoine. » Géométrie plane
Les transformations géométriques dans le plan les plus communes sont les translations, symétries centrales ou axiales, rotations, homothéties, similitudes, affinités, projections et inversions. La plupart d’entre elles admettent une représentation sous forme de fonction d’une variable complexe. Jules Hoüel
L’existence d’un espace immobile et indéfini, où les corps peuvent être déplacés en conservant toutes leurs propriétés, est admise. La géométrie est fondée sur la notion indéfinissable et expérimentale de l’invariabilité des figures. L’idée d’invariabilité de forme émane de l’expérience. L’hypothèse de l’invariabilité de figure ne peut être assise sur des expériences susceptibles d’une approximation indéfinie et présentant une certitude objective. Celle-ci est acceptée parce qu’elle paraît plus conforme aux impressions physiologiques et qu’elle explique de la façon la plus simple les phénomènes affectant les sens. Hoüel prend alors pour base les axiomes suivants : Il établit ces axiomes en faisant appel à l’expérience et en introduisant l’idée du mouvement, abstraction faite du temps employé à l’accomplir, c’est-à-dire l’idée de mouvement géométrique. L’idée de mouvement n’est pas plus complexe que celle de grandeur et d’étendue et c’est à la notion de mouvement qu’on doit l’idée de grandeur. Géométrie algébrique
À proprement parler, il faut attendre le début du vingtième siècle pour que la géométrie algébrique devienne un domaine à part entière. Cela fut initié, d'une part, par les travaux de David Hilbert, notamment son théorème des zéros, qui permettent de s’affranchir des méthodes de l'analyse pour n'utiliser que des méthodes algébriques (algèbre commutative). Cela fut développé, d'autre part, par l' de la fin du (Enriques, Chisini, Castelnuovo, Segre…). Ces géomètres étudiaient courbes et surfaces de l'espace projectif (réel et complexe). Ils introduisirent les notions de "points voisins", "points proches", "points génériques" afin d'avoir une interprétation géométrique du théorème de Bézout. Le style assez libre de l'école italienne reste éloigné de la rigueur actuelle. Ce fut principalement André Weil qui introduisit, vers la fin des années 1930, un formalisme permettant de démontrer rigoureusement leurs résultats. Les travaux du Français Émile Picard conduisirent au groupe des diviseurs et au groupe qui porte son nom. On peut aussi mentionner les travaux de Max Noether en Allemagne. Géométrie discrète
Un exemple simple : la géométrie continue en deux dimensions permet de définir des droites, des cercles dans un plan. Ces objets sont des ensembles de points qui sont des couples de nombres réels. Dans ce contexte, la géométrie discrète se proposera de définir et de manipuler des ensembles de points à coordonnées entières qui formeront des droites ou des cercles discrets. L'essor de cette discipline est due à l'essor de l'informatique qui permet de manipuler exactement des objets discrets. Les principales applications de la géométrie discrète sont la synthèse d'image, l'analyse et la reconnaissance de formes. Géométrie différentielle classique
Les quantités géométriques les plus classiques dans le domaine sont les notions de courbure et de torsion (pour les courbes), ainsi que les notions de courbure de Gauss et de courbure moyenne définies en chaque point d'une surface. Ces quantités sont dérivées du tenseur de courbure normale. Histoire de la géométrie
La géométrie différentielle va connaître au un développement extraordinaire notamment sous l'impulsion des deux mathématiciens Gauss et Riemann. La possibilité découverte et développée par Gauss, d'écrire les équations des surfaces sous forme de systèmes de deux équations à deux inconnues et non pas sous forme d'une seule équation à deux inconnues introduit l'idée de carte d'une surface. Elle permettra de développer une géométrie intrinsèque aux surfaces, et les notions de formes fondamentales et de courbure de Gauss. La valeur de la courbure de Gauss ne dépend pas des fonctions utilisées pour paramétrer la surface : c'est le célèbre theorema egregium, c'est-à-dire théorème remarquable qui va inspirer Riemann et le conduire à introduire le concept de variété différentielle, en élargissant le concept de surface à des espaces mathématiques abstraits, les variétés, qui diffèrent des surfaces par leur dimension. Schéma (géométrie algébrique)
Dans les années 1950, Claude Chevalley, Masayoshi Nagata et Jean-Pierre Serre ont étendu les objets de la géométrie algébrique en généralisant les anneaux de base considérés, motivés en partie par les conjectures de Weil, qui relient la théorie des nombres à la géométrie algébrique. Le mot "schéma" a été utilisé pour le première fois dans le séminaire Chevalley en 1956, où Chevalley s'intéressait aux idées de Zariski. Selon Pierre Cartier, c'est André Martineau qui a suggéré à Serre la possiblité d'utiliser le spectre d'un anneau commutatif arbitraire comme fondement de la géométrie algébrique. Construction à la règle et au compas
Euclide a fondé sa géométrie sur un système d'axiomes qui assure en particulier qu'il est toujours possible de tracer une droite passant par deux points donnés et qu'il est toujours possible de tracer un cercle de centre donné et passant par un point donné. La géométrie euclidienne est donc la géométrie des droites et des cercles, donc de la règle (non graduée) et du compas. L'intuition d'Euclide était que tout nombre pouvait être construit, ou « obtenu », à l'aide de ces deux instruments. Histoire de la géométrie
Cependant, les développements majeurs de la géométrie au sont liés à ceux de la mécanique et sont relatifs à la géométrie différentielle. Ils constituent des raffinements des idées de Leibnitz et Newton. Clairaut ("Recherches sur les courbes à double courbure" - 1732) étudie les équations des courbes de l'espace qu'on appelle maintenant courbes gauches. En 1760, Euler publie ses "Recherches sur la courbure des surfaces", œuvre dans laquelle il montre l'existence des deux courbures principales et démontre ce qu'on appelle maintenant le théorème d'Euler. Des savants respectables comme Meusnier ou Dupin contribuent également par quelques apports intéressants aux travaux fondamentaux d'Euler sur la géométrie des surfaces. Les notions importantes de longueur d'un arc d'une courbe, de cercle osculateur sont découvertes. Les expressions différentielles de la courbure et de la torsion d'une courbe gauche seront données par Cauchy au début du . Géométrie hyperbolique
L'invention par René Descartes des systèmes de coordonnées qui portent son nom a donné naissance à la géométrie analytique, permettant de résoudre des questions de géométrie à l'aide des méthodes de l'algèbre. Il est possible de repérer de même les points du plan hyperbolique par des couples de nombres, le système le plus usité étant celui des coordonnées axiales (prenant pour coordonnées d'un point ses projections orthogonales sur deux axes perpendiculaires), mais ces systèmes sont loin d'être aussi commodes, en raison de la complexité des formules décrivant les figures usuelles (droites et cercles) ou permettant de calculer angles et distances ; c'est pourquoi la plupart des applications informatiques passent plutôt par des calculs dans le modèle du disque de Poincaré. Géométrie
La plupart des géométries classiques sont liées aux groupes de Lie ou algébriques simples, dit classiques (ils sont issus de l'algèbre linéaire). Il y a d'autres groupes de Lie ou algébriques simples, et ils sont dits « exceptionnels » et ils donnent lieu à la géométrie exceptionnelle, avec certaines analogies avec la géométrie classique. Cette distinction est due au fait que les groupes simples sont (sous certaines hypothèses) classés en plusieurs séries infinies (souvent quatre) et en un nombre fini d'autres groupes (souvent cinq), et ce sont ces derniers groupes qui sont exceptionnels, et ils ne relèvent pas de l'algèbre linéaire (du moins pas de la même manière) : ils sont souvent liés à des structures algébriques non associatives (algèbres d'octonions, algèbres de Jordan exceptionnelles, par exemple). Géométrie euclidienne
Le concept de géométrie est maintenant appliqué à un vaste ensemble d'espaces. Si la remise en question du cinquième postulat est l'exemple historique qui donne un contenu à la notion de géométrie non euclidienne, une analyse plus précise montre l'existence de quantité d'autres cas non envisagés par Euclide respectant néanmoins le cinquième postulat. Introduction à la relativité générale
Les équations d'Einstein sont le nœud central de la relativité générale. Elles fournissent en langage mathématique une formulation précise de la relation qui existe entre la géométrie de l'espace-temps et les propriétés de la matière. Plus concrètement, elles sont formulées en termes de géométrie de Riemann, où les propriétés d'un espace (ici, d'un espace-temps) sont décrites par une quantité nommée métrique. Cette métrique contient l'information dont on a besoin pour calculer de proche en proche les grandeurs fondamentales de distance et d'angle dans l'espace en question. Géométrie projective
En mathématiques, la géométrie projective est le domaine de la géométrie qui modélise les notions intuitives de "perspective" et d"'horizon". Elle étudie les propriétés inchangées des figures par projection centrale. Géométrie
La géométrie admet de nombreuses acceptions selon les auteurs. Dans un sens strict, la géométrie est « l'étude des formes et des grandeurs de figures ». Cette définition est conforme à l'émergence de la géométrie en tant que science sous la civilisation grecque durant l'époque classique. Selon un rapport de Jean-Pierre Kahane, cette définition coïncide avec l'idée que se font les gens de la géométrie comme matière enseignée : c'est « le lieu où on apprend à appréhender l'espace ». Géométrie
Sans qualificatif particulier et sans référence à un contexte particulier (par opposition à la géométrie différentielle ou la géométrie algébrique), la "géométrie" ou encore "géométrie classique" englobe principalement : Géodésie
Selon l'acception francophone du terme, par ses formules de calcul (géodésie mathématique) la géodésie vise à déterminer la forme et les dimensions de la Terre dans son ensemble (autrement dit, de la figure de la Terre), ainsi que de son champ de pesanteur (pour l'étude duquel on emploie actuellement le terme de « géodésie physique »). Les progrès techniques ont permis d'y inclure la mesure de plus en plus fine des variations de ces paramètres. Les variations temporelles de la géométrie globale sont devenues incontournables dans les études tectoniques. Les missions de gravimétrie spatiale (Champ, Goce, Grace) permettent notamment de bien mieux apprécier les variations du champ de pesanteur. Géométrie riemannienne
Les concepts les plus notables de la géométrie riemannienne sont la courbure de l'espace étudié et les géodésiques, courbes résolvant un problème de plus court chemin sur cet espace. Arthur Cayley
Dans un article intitulé "(CMJ, 1843)", Cayley est le premier à parler de géométrie "n"-dimensionnelle et à poser la nécessité d'une étude systématique des espaces multidimensionnels, qu'il mène d'ailleurs dans des domaines aussi variés que l'analyse, la dynamique, l'algèbre ou la géométrie. Il soutient que les espaces géométriques de dimension "n" sont une généralisation naturelle des espaces de dimension deux et trois, aussi, distingue-t-il l'espace physique de l'espace mathématique. Pour lui, l'espace mathématique existe, sans être . En Grande-Bretagne, le développement de la géométrie projective, grâce à Cayley, Salmon et d'autres mathématiciens, est analytique, à l'exemple des Allemands Möbius et Julius Plücker. La géométrie analytique est l'un des domaines de recherche et d'intérêt majeurs de Cayley. Un des résultats classiques de la géométrie projective est le théorème de Pascal, que Cayley démontre par deux fois en 1843. La première de ces démonstrations, parue dans l'article "(CMJ)" repose sur l'intersection de courbes cubiques. Il obtient lui-même le théorème de Cayley-Bacharach qui dit que . Géométrie projective
Dans une approche issue du programme d'Erlangen, la géométrie projective se distingue de la géométrie euclidienne ordinaire en ne s'intéressant qu'à l'étude de ce qui, dans les figures, reste inchangé après projection, alors que la géométrie euclidienne est l'étude de ce qui reste invariant après déplacement (on peut la voir aussi comme la science des figures qui se tracent à la règle et au compas) ; de ce point de vue, la géométrie projective comporte moins d'axiomes que la géométrie euclidienne et par suite elle est plus générale. Histoire de la géométrie
Par ailleurs, Legendre publie en 1794 des "Éléments de géométrie" qui constituent un des derniers grands traités de géométrie euclidienne. Malheureusement pour lui, ce savant croit à la démontrabilité du cinquième axiome d'Euclide, et en donne plusieurs démonstrations toutes fausses, bien évidemment, quoique d'une intelligence remarquable... Les fondements de la géométrie, et notamment le d'Euclide, continuent à inspirer certains mathématiciens, comme Lambert ou Saccheri. Plan (mathématiques)
En géométrie classique, un plan est une surface plate illimitée, munie de notions d’alignement, d’angle et de distance, et dans laquelle peuvent s’inscrire des points, droites, cercles et autres figures planes usuelles. Il sert ainsi de cadre à la géométrie plane, et en particulier à la trigonométrie lorsqu’il est muni d’une orientation, et permet de représenter l’ensemble des nombres complexes. Géométrie euclidienne
La notion d'espace vectoriel apparaît petit à petit. René Descartes (1596-1650) et Pierre de Fermat (1601-1665) utilisent le principe de coordonnées comme un outil pour résoudre avec une approche algébrique des problèmes géométriques. La notion de repère orthonormal est utilisée en 1636. Bernard Bolzano (1781-1848) développe une première conception géométrique où les points, les droites et les plans sont définis uniquement par des opérations algébriques, c’est-à-dire l'addition et la multiplication par un nombre. Cette approche permet de généraliser la géométrie à d'autres dimensions que celles des plans et des volumes. Arthur Cayley (1821-1895) est un acteur majeur dans la formalisation des espaces vectoriels. Vecteur
La notion de vecteur est le fruit d'une longue histoire, commencée voici plus de deux mille ans. Deux familles d'idées, d'abord distinctes, sont à l'origine de la formalisation. L'une d'elles est la géométrie, traitant de longueurs, d'angles et de mesures de surfaces et de volumes. L'autre correspond à l'algèbre, qui traite des nombres, de l'addition ou la multiplication et plus généralement d'ensembles munis d'opérations. Un vieux problème d'algèbre nous vient par exemple des Égyptiens et s'exprime de la manière suivante :  Ces deux familles d'idées sont développées indépendamment, pour finir par converger vers la notion de vecteur. Géométrie non euclidienne
Il est remarquable que seul le cinquième postulat d'Euclide ait été levé ; les géométries non euclidiennes respectent par ailleurs toutes les autres définitions d'Euclide. En particulier, une droite est toujours définie comme la ligne de plus court chemin joignant deux points sur une surface. Il existe plusieurs modèles de géométrie hyperbolique à deux dimensions : le disque de Poincaré, le demi-plan de Poincaré… Théorème de Desargues
Dans son livre "Grundlagen der Geometrie" (Les fondements de la géométrie) publié en 1899, David Hilbert axiomatise la géométrie euclidienne (en dimension 2 ou 3), en identifiant plusieurs groupes d'axiomes qui fournissent une spécialisation progressive vers la géométrie euclidienne. Ses axiomes utilisent 3 sortes d'objets, les points, les droites et les plans, et des relations entre ces objets, dites depuis d'incidence (un point est sur la droite ou la droite passe par ce point). Dans le cas du plan, le premier groupe d'axiomes équivaut au suivant (voir plan affine (structure d'incidence)) : Le théorème de Desargues s'énonce en matière d'incidence, mais Hilbert met en évidence que ces axiomes ne permettent pas de le démontrer. Il faut soit considérer que ce plan est plongé dans l'espace , et les axiomes d'incidence de la géométrie dans l'espace sont alors suffisants, soit utiliser les axiomes de congruence (qui permettent d'introduire la longueur des segments, et la mesure des angles). Géométrie dans l'espace
En mathématiques, la géométrie dans l'espace consiste à étudier les objets définis dans la géométrie plane dans un espace à trois dimensions et à y ajouter des objets qui ne sont pas contenus dans des plans : surfaces (plans et surfaces courbes) et volumes fermés. Il s'agit donc de géométrie dans un espace à trois dimensions. Géographie mathématique
Les principales branches de la géographie mathématique sont : la géodésie, la géographie astronomique, la cartographie, la photogrammétrie, l'analyse spatiale, la topographie et la géomatique.  La géographie mathématique est le berceau de la tradition spatiale de la géographie, en raison des questionnements sur la position et la représentation de la surface terrestre. Cela est mis en évidence par l'énorme contribution de la géométrie, la science de l'espace, à la géographie mathématique. La géographie mathématique fournit un cadre pour l'emplacement, la distribution et la représentation de l'espace géographique, cadre sur lequel peuvent se baser des analyses quantitatives d'autres branches de la géographie. Ainsi, les bases de la géographie mathématique sont souvent les premières à être traitées dans une note introductive de la géographie, puisqu'elles permettent de décrire l'emplacement de la Terre dans l'univers et le système solaire, les mouvements de terre, l'influence du soleil et de lune. Ces bases sont en effet le point de départ inévitable et indispensable pour des branches telles que la climatologie ou l'hydrologie. La définition et la compréhension du système de positionnement est en effet la base de toute étude géographique. Géométrie
La géométrie riemannienne peut être vue comme une extension de la géométrie euclidienne. Son étude porte sur les propriétés géométriques d'espaces (variétés) présentant une notion de vecteurs tangents, et équipés d'une métrique (métrique riemannienne) permettant de mesurer ces vecteurs. Les premiers exemples rencontrés sont les surfaces de l'espace euclidien de dont les propriétés métriques ont été étudiées par Gauss dans les années 1820. Le produit euclidien induit une métrique sur la surface étudiée par restriction aux différents plans tangents. La définition intrinsèque de métrique fut formalisée en dimension supérieure par Riemann. La notion de transport parallèle autorise la comparaison des espaces tangents en deux points distincts de la variété : elle vise à transporter de manière cohérente un vecteur le long d'une courbe tracée sur la variété riemannienne. La courbure d'une variété riemannienne mesure par définition la dépendance éventuelle du transport parallèle d'un point à un autre par rapport à la courbe les reliant. Géométrie euclidienne
La situation est devenue confuse, les "Éléments" ne sont pas en mesure de rendre compte d'une telle diversité. On compte nombre d'espaces géométriques : les espaces vectoriels euclidiens, les espaces affines euclidiens, les espaces projectifs, les géométries elliptiques et hyperboliques, plus quelques cas exotiques comme le ruban de Möbius. Chaque géométrie possède des définitions différentes, mais présentant de nombreuses analogies et aboutissant sur des séries de théorèmes plus ou moins différents selon les auteurs et les géométries. La fin de la suprématie euclidienne engendre un important désordre, qui rend la compréhension de la géométrie difficile. Un jeune professeur de 24 ans, Felix Klein (1848-1925), nouvellement nommé professeur à l'université d'Erlangen, propose une organisation pour toutes ces géométries dans son discours inaugural. Ces travaux ont cette fois un vaste retentissement sur la communauté scientifique, la suprématie euclidienne disparaît et la polémique née de la remise en cause du cinquième postulat s'éteint. Son travail implique une réforme de la formalisation des espaces euclidiens. Il utilise les travaux de James Joseph Sylvester (1814-1897) sur ce que l'on appelle maintenant les produits scalaires. La géométrie euclidienne reste d'actualité au prix d'une refonte profonde de sa construction. Schéma (géométrie algébrique)
La définition des schémas fut le point de départ d'une large refonte de la géométrie algébrique, qui donna lieu à l'introduction de notions telles que la cohomologie étale, les champs algébriques ou une formalisation géométrique de la théorie de Galois au travers du . Livre I des Éléments d'Euclide
Les définitions et les notions communes privilégient le cercle et la droite. La géométrie d'Euclide sera donc essentiellement attachée aux constructions à la règle et au compas. Euclide
La géométrie telle qu'elle est définie par Euclide dans ce texte fut considérée pendant des siècles comme "la" géométrie, et comme une représentation adéquate du monde physique. Or, parmi les postulats du livre I, figure celui connu sous le nom de « postulat d'Euclide » ou « postulat des parallèles », que l'on exprime de nos jours sous la forme : « par un point pris hors d'une droite il passe une et une seule parallèle à cette droite ». L’étude de ce postulat a conduit au au développement de géométries non euclidiennes, c’est-à-dire alternatives à celle d’Euclide et n’admettant pas ce postulat, et plus généralement au renouvellement de la notion même de géométrie et de ses liens avec la représentation du monde réel. Advances in Mathematics
Les thèmes principaux couverts sont : géométrie algébrique, théorie des groupes et généralisations, géométrie différentielle, combinatoire, équations aux dérivées partielles. Construction à la règle et au compas
La principale construction de la géométrie est sans doute le tracé de la médiatrice d'un segment. La médiatrice du segment ["AB"] est la droite "d" qui coupe perpendiculairement ["AB"] en son milieu mais c'est aussi l'ensemble des points équidistant des extrémités du segment. Il suffit donc d'ouvrir le compas sur une longueur supérieure à la moitié de la longueur du segment, puis de tracer deux cercles avec ce rayon, l'un centré sur "A", l'autre sur "B" (on peut se contenter de ne tracer que des arcs de cercle). L'intersection des deux cercles est constituée de deux points situés à égale distance de "A" et de "B", et qui définissent donc bien la médiatrice. Géométrie
Depuis le début du , certaines méthodes d'étude de figures de ces espaces se sont transformées en branches autonomes des mathématiques : topologie, géométrie différentielle et géométrie algébrique, par exemple. Si l'on veut englober toutes ces acceptions, il est difficile de définir ce qu'est, aujourd'hui, la géométrie. C'est que l'unité des diverses branches de la « géométrie contemporaine » réside plus dans des origines historiques que dans une communauté de méthodes ou d'objets. Géométrie descriptive
Ces problèmes sont pour une part ceux qui étaient posés dans les métiers de la taille des pierres de la charpente (exemple des escaliers débillardés, etc.), de l'usinage et, plus généralement, des métiers mettant en œuvre les métaux en feuille (tôlerie, carrosserie, dinanderie, chaudronnerie). Notons que dans ce dernier cas, l'application spécifique des principes de la géométrie descriptive prend le nom de « traçage des métaux en feuille » (ou simplement « traçage »). La géométrie descriptive a été théorisée par le mathématicien français Gaspard Monge (1746-1818), mais les méthodes de projection lui étaient antérieures. Géométrie dans l'Égypte antique
et Optique géométrique
Deux grands principes ont fondé l'optique géométrique : Algèbre géométrique (structure)
La définition et l'associativité du produit géométrique nécessitent le concept d'inverse d'un vecteur (ou division par un vecteur). Ainsi, on peut facilement établir et résoudre des équations algébriques vectorielles qui autrement seraient encombrantes à manipuler. De plus, on gagne une signification géométrique qui serait difficile à rechercher, par exemple, en utilisant les matrices. Malgré le fait que tous les éléments ne sont pas inversibles, le concept d'inversion peut être étendu aux multivecteurs. L'algèbre géométrique permet que l'on traite des sous-espaces directement, ainsi que leur manipulation. En outre, l'algèbre géométrique est un formalisme sans coordonnées. Espace topologique
Les espaces topologiques forment le socle conceptuel permettant de définir ces notions. Elles sont suffisamment générales pour s'appliquer à un grand nombre de situations différentes : ensembles finis, ensembles discrets, espaces de la géométrie euclidienne, espaces numériques à "n" dimensions, espaces fonctionnels plus complexes, mais aussi en géométrie algébrique. Ces concepts apparaissent dans presque toutes les branches des mathématiques ; ils sont donc centraux dans la vision moderne des mathématiques. Axiomes de Hilbert
Ces présuppositions ont été mises en évidence à la fin du par Pasch et Hilbert. Celui-ci a donné, avec "Les fondements de la géométrie", un exposé axiomatique complet et rigoureux, s'attachant à clairement identifier tous les axiomes implicitement utilisés dans la géométrie traditionnelle. Une des notions fondamentales de la théorie d’Euclide est donc celle d’égalité, ou congruence entre figures. Deux figures sont égales si elles peuvent représenter deux positions différentes d’un même corps rigide. Pour savoir si deux distances AB et CD sont égales, on peut repérer deux points E et F sur une règle rigide, et s’assurer que EF peut être ajusté à la fois sur AB et sur CD. Cela conduit à un problème de circularité : au sens géométrique, une règle est rigide lorsque les distances entre ses points ne varient pas au cours d'un déplacement. Mais pour savoir que deux distances sont égales, on se sert d’un corps rigide qu'on déplace. Géométrie algébrique
En une décennie, le domaine se développa, répondant à des questions classiques sur la géométrie des variétés algébriques. Des applications furent très vite trouvées en théorie des nombres. Jean-Pierre Serre et Alexandre Grothendieck établirent les bases de la théorie des faisceaux, et la notion de schéma s'imposa vers 1960. Espace à quatre dimensions
Une approche rigoureuse de toutes ces questions est proposée par Bernhard Riemann dans sa thèse de 1854, "" [« Sur les hypothèses qui sont à la base de la géométrie »], dans laquelle il considère un « point » d'un espace à "p" dimensions comme étant simplement une suite de "p" nombres ("x", …, "x"), ce qui permet une géométrie dans un espace à un nombre quelconque de dimensions. Les idées de Riemann amènent également à considérer des coordonnées dites "curvilignes" (un exemple simple dans l'espace usuel étant les coordonnées sphériques) ; pour le mathématicien, il n'y a désormais plus de sens à parler d'une dimension individuelle (comme la quatrième dimension) ; il peut seulement définir la dimension d'un espace comme étant le nombre de coordonnées nécessaires pour le décrire. Théorie de Galois
Un nouvel axe d'analyse enrichit la théorie de Galois. En 1872, Klein se fixe comme objectif de classifier les différentes géométries de l'époque. Il dégage, dans son célèbre programme d'Erlangen, le principe général qu'une géométrie est définie par un espace et un groupe opérant sur cet espace, appelé groupe des isométries. Un pont est ainsi établi entre la théorie des groupes et la géométrie. Ces premiers groupes correspondent à des groupes de Lie et n'appartiennent pas directement à ceux de la théorie de Galois. Géométrie
En ce sens, la géométrie intervient en ingénierie dans l'étude de la stabilité d'un système mécanique. Mais elle intervient encore plus naturellement dans le dessin industriel. Le dessin industriel montre les coupes ou les projections d'un objet tridimensionnel, et est annoté des longueurs et angles. C'est la première étape de la mise en place d'un projet de conception industrielle. Récemment, le mariage de la géométrie avec l'informatique a permis l'arrivée de la conception assistée par ordinateur (CAO), des calculs par éléments finis et de l'infographie. Hermann Günther Grassmann
L’étude de la géométrie dans un cadre général, où s'abolissent les particularités des dimensions 2 et 3, est l’idée forte de Grassmann. La notion de vecteurs, apparue pour la première fois chez Simon Stevin à la fin du , avait déjà pleinement évolué. Imitant François Viète, le philosophe Leibniz développe en 1679 (dans une lettre à Huygens) l'exposé de premiers calculs sur les entités géométriques. Toutefois, cette intuition demandait à être formalisée dans le cadre d'une théorie qui la dépouille des points, et en donne une axiomatique rigoureuse. Géométrie
La géométrie est à l'origine la branche des mathématiques étudiant les figures du plan et de l'espace (géométrie euclidienne). Depuis la fin du , la géométrie étudie également les figures appartenant à d'autres types d'espaces (géométrie projective, géométrie non euclidienne, par exemple). Plan (mathématiques)
À la fin du , après la découverte des géométries non euclidiennes, un mouvement se dessine pour axiomatiser encore davantage la géométrie en cherchant à la vider de son contenu ontologique. David Hilbert, dans son "Grundlagen der Geometrie" ("Base de la géométrie"), définit points, droites et plans de l'espace par les relations qui les unissent (les axiomes d'incidences): Une réduction des axiomes de Hilbert permet de fonder la géométrie plane en dehors du contexte de la géométrie dans l'espace : La structure d’incidence ainsi définie est satisfaite par tous les espaces affines de dimension 2 quel que soit le corps sous-jacent, mais aussi par d’autres structures comme le plan de Moulton. Science formelle
Traditionnellement, la géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures dans le plan et l'espace à 3 dimensions. Maintenant, la géométrie est le nom donné à plusieurs branches des mathématiques, qui puisent leurs sources dans la géométrie au sens traditionnel, mais qui divergent par leurs méthodes, et qui se sont constituées en disciplines autonomes. Il est donc difficile de définir ce qu'est la géométrie de manière à englober toutes ces géométries. Géométrie riemannienne
Certains concepts introduits en géométrie riemannienne ont été étendus à des domaines d'application plus large, dans le cadre des espaces métriques. On peut par exemple généraliser la notion de géodésique dans un graphe, notamment un graphe pondéré. On s'intéressera plus particulièrement aux espaces métriques géodésiques, pour lesquels il y a unicité du plus court chemin entre deux points. Alors qu'en géométrie riemannienne on utilisait une estimation sur la courbure sectionnelle pour obtenir un résultat de comparaison des distances entre les points de deux triangles isométriques, sur ces espaces métriques on peut renverser la démarche. On définit une notion de "courbure majorée par k" ou "courbure minorée par k" à partir de la comparaison des triangles. Cette idée est à la base de l'introduction des espaces CAT(k) de Cartan-Alexandrov-Toponogov. Ces espaces ont par ailleurs l'avantage, contrairement aux variétés riemanniennes, d'être compatibles avec la convergence pour la distance de Gromov-Hausdorff. Géométrie euclidienne
Cependant, seules les propriétés d'incidence sont modélisées, une grande partie de la géométrie euclidienne classique n'est pas atteinte : il manque essentiellement une notion de mesure. Un outil linéaire permet de combler cette lacune ; c'est le produit scalaire. Un espace affine réel muni d'un produit scalaire est appelé espace euclidien, toutes les notions géométriques classiques sont définies dans un tel espace, et leurs propriétés issues de l'algèbre vérifient tous les axiomes euclidiens : les théorèmes géométriques issus du corpus classiques, portant sur n'importe quels objets vérifiant ces axiomes, deviennent donc en particulier des théorèmes pour les points, droites, cercles, tels que définis dans un espace euclidien. Géométrie non euclidienne
Lambert obtient notamment la formule formula_1, où est une constante, qui donne l'aire d'un triangle dont les trois angles sont , et dans une géométrie fondée sur l'angle aigu (nommée de nos jours une géométrie hyperbolique). Gauss, dès 1813, a formulé la possibilité qu'il existe d'autres géométries que celle d'Euclide. Cependant il n'a jamais osé publier les résultats de ses réflexions en ce sens « par crainte des cris des Béotiens », comme il l'écrivit lui-même. Schéma (géométrie algébrique)
Le théorème des zéros de Hilbert suggère une approche pour fonder la géométrie algébrique sur un corps algébriquement clos formula_5 quelconque : les idéaux maximaux de l'anneau de polynômes en formula_6 variables formula_7 sont en bijection avec l'ensemble formula_8de formula_6-uplets d'éléments de formula_5, et les idéaux premiers correspondent aux ensembles algébriques irréductibles de formula_8, aussi appelés variétés algébriques affines. Motivés par ces idées, Emmy Noether et Wolfgang Krull développèrent l'algèbre commutative dans les années 1920 et 1930. Leurs travaux a généralisé la géométrie algébrique dans une direction purement algébrique : au lieu d'étudier les idéaux premiers d'un anneau de polynôme, on peut étudier les idéaux premiers d'un anneau commutatif quelconque. Ainsi, Krull a défini la dimension d'un anneau commutatif quelconque en termes de ses idéaux premiers. Si l'anneau est de plus supposé noethérien, il a montré plusieurs propriétés attendues d'une notion géométrique de dimension. Sylvestre II
La troisième branche des mathématiques était alors la géométrie, pour laquelle Gerbert composa un célèbre traité de géométrie ("Isagoge Geometriae, Liber geometriae artis"), longtemps égaré à la bibliothèque de Salzbourg et retrouvé par Bernard Petz, savant bénédictin du . Le traité de Gerbert établit de manière moderne les axiomes, les théorèmes du point, de la ligne droite, des angles et des triangles, dont les termes techniques sont expliqués par Gerbert : base, hauteur, côté perpendiculaire à la base, hypoténuse. À ce sujet, Gerbert correspond ("Epistola ad Adelbodum") avec Adalbold (Adalboldus, Adelboldus, Adeobaldo) formé à Lobbes et à Liège et évêque d'Utrecht (970-1026), sur l'aire du triangle équilatéral, le volume de la sphère, un passage arithmétique de la "Consolation philosophique" ("De consolatione philosophiae") de Boèce. Géométrie des nombres
En mathématiques, la géométrie des nombres est une discipline qui interprète des problèmes arithmétiques en termes de réseaux discrets et les résout en utilisant des propriétés géométriques. Elle a été fondée à la fin du par Hermann Minkowski. Le point de départ est une observation élémentaire : si on dessine un quadrillage dans le plan et un cercle dont le centre est un des sommets du quadrillage, alors, si le cercle est assez grand, son intérieur contient d'autres points du quadrillage. Un trait important de la géométrie des nombres est donc l’interaction entre discret (les points du quadrillage) et continu (l'intérieur du cercle). En changeant le cercle en d'autres figures, en variant la forme du maillage, en généralisant à des dimensions supérieures, on obtient des applications variées, qui concernent l’analyse fonctionnelle, l’approximation diophantienne, la géométrie et l’analyse convexes, l’algorithmique, la combinatoire, la théorie algébrique des nombres, les empilements de sphères, la cristallographie. Géométrie euclidienne
La notion d'espace vectoriel fournit une première structure purement algébrique dans laquelle le langage géométrique peut s'exprimer. La notion de coordonnée devient centrale, et le plan, par exemple, est en partie modélisé par un espace vectoriel de dimension deux, qui s'identifie essentiellement à l'ensemble de tous les couples de coordonnées ("x", x), où "x" et "x" sont deux nombres réels ; un point est alors simplement un tel couple. La généralisation se fait facilement à l'espace de dimension 3 en considérant des triplets de coordonnées, mais aussi aux espaces de dimension "n". Dans cette modélisation, le plan abstrait tel que décrit par les axiomes a été muni arbitrairement d'une origine. Liste des principales conférences d'informatique théorique
Ces conférences acceptent un large spectre de thèmes en informatique théorique, incluant les algorithmes, structures de données, la calculabilité, la complexité informatique, la théorie des automates et des langages formels :Conférences dont les thèmes principaux sont les algorithmes et structures de données au sens large :Conférences en géométrie algorithmique, tracé de graphes, et autres applications du calcul géométrique : Symposium on Computational Geometry
Les thèmes de la conférence couvre les aspects théoriques et pratiques de la géométrie algorithmique. C'est la conférence principale dans ce domaine. Albrecht Dürer
Il commence à rassembler de la documentation pour rédiger un grand ouvrage sur les mathématiques et ses applications dans l'art. Ce mémoire ne paraîtra jamais, mais les matériaux rassemblés lui serviront pour ses autres traités. Son écrit majeur reste les "Instructions pour la mesure à la règle et au compas" (1538), qui développe en quatre livres les principales constructions géométriques comme la spirale d'Archimède, la spirale logarithmique, la conchoïde, l'épicycloïde, le limaçon de Pascal, des constructions approchées des polygones réguliers à 5, 7, 9, 11 ou 13 côtés et de la trisection de l'angle et de la quadrature du cercle, des constructions de solides géométriques (cylindre, solides de Platon), une théorie de l'ombre et de la perspective. Il laissera son nom sur un perspectographe simple à œilleton. Géométrie différentielle
La géométrie symplectique est l'étude des formes symplectiques, i.e. des « formes différentielles fermées non dégénérées ». Ces objets ont été introduits dans l'optique d'une formulation mathématique de la mécanique classique. Si les motivations physiques remontent à Lagrange et Hamilton, la géométrie symplectique s'est formée comme domaine d'études à part entière depuis les années 1960 et est aujourd'hui devenu un domaine actif de recherche. Contrairement à la géométrie riemannienne, des questions d'existence des structures se posent. Les principaux moteurs de recherche sont la conjecture d'Arnold, la conjecture de Weinstein et la quantification. Géomorphométrie
Un certain nombre de critères géomorphométriques ont été développés, par exemple ceux définis en chaque point d'une surface topographique. Parmi les plus courants sont les suivants : l'altitude, la pente, la courbure des lignes de niveau, l'exposition d'un point (N-E-S-O). Histoire de la géométrie
Les "Éléments" d'Euclide déroulent l'ensemble des connaissances de géométrie de l'Antiquité à partir de 5 axiomes fondamentaux. Parmi ces axiomes, le cinquième présente l'aspect d'un simple théorème, en sorte que les générations successives de géomètres se sont efforcées de le démontrer, on le sait maintenant, en vain. Histoire de la géométrie
Une autre contribution originale du , due surtout à Desargues, et à un titre moindre à Pascal, se trouve inspirée par le développement des travaux de géométrie relatifs à l'étude de la perspective conique. La principale innovation consiste en l'introduction de points à l'infini dans des raisonnements de géométrie autres que ceux effectués pour la justification des constructions de vue en perspective. Mathématiques
La géométrie tente de comprendre en premier lieu les objets dans l'espace, puis par extension s'intéresse aux propriétés d'objets plus abstraits, à plusieurs dimensions, introduits selon plusieurs approches, relevant autant de l'analyse que de l'algèbre. Géométrie euclidienne
Les conceptions géométriques connaissent, depuis les travaux d'Euclide, des évolutions suivant trois axes principaux :