Mitä tarkoittaa kompleksiluku?
Luku
Korkeammalla abstraktiotasolla lukualuetta voidaan edelleen laajentaa muodostamalla kompleksiluvut. Historiallisesti ne otettiin ensimmäiseksi käyttöön yritettäessä muodostaa ratkaisukaavoja kolmannen ja neljännen asteen yhtälöille. Tässä yhteydessä otettiin käyttöön uusi luku, −1:n neliöjuuri, imaginaariyksikkö, jolle Leonhard Euler otti käyttöön merkinnän "i". Kompleksilukuja ovat kaikki muotoa 
olevat luvut, missä "a" ja "b" ovat reaalilukuja. Merkinnässä "a + bi" lukua "a" sanotaan kompleksiluvun reaaliosaksi ja lukua "b" sen imaginaariosaksi. Jos luvun reaaliosa on nolla, sitä sanotaan "puhtaasti imaginaariseksi". Jos taas imaginaariosa on nolla, luku on reaaliluku. Reaaliluvut muodostavat siis kompleksilukujen osajoukon. Kompleksilukuja, joiden sekä reaali- että imaginaariosa ovat kokonaislukuja, sanotaan Gaussin kokonaisluvuiksi. Kompleksiluku
Kompleksilukujen joukko ℂ on reaalilukujen luonnollinen laajennus. Kompleksiluku "z" on muotoa
Imaginaariluku
Fysiikan ja tekniikan jaksollisten ilmiöiden käsittely muuttuu imaginäärilukujen avulla yksinkertaiseksi. Siten värähtelyjen ja vaihtosähkösuureiden esitys tehdään perinteisesti kompleksilukujen avulla. Perussuunnikas
Olkoon formula_1 lattiisi. Tällöin formula_2:n perussuunnikkaaksi kutsutaan joukkoja, jotka ovat muotoa
missa formula_4 on kompleksiluku ja formula_5 muodostavat formula_2:n kannan. Perussuunnikasta käytetään elliptisten funktioiden teoriassa. Suurten lukujen laki
Kompleksifunktioita koskevan Taylorin lauseen mukaan minkä tahansa satunnais­muuttujan "X" karakteristinen funktio äärellisellä keskiarvolla μ voidaan kirjoittaa muotoon Kompleksiluku
Kompleksilukujen historia alkaa kolmannen ja neljännen asteen yhtälöiden ratkaisukaavojen keksimisestä. Italialainen matemaatikko Girolamo Cardano esitteli nämä kaavat vuonna 1545 julkaisemassaan "Ars Magnassa". Cardano ei keksinyt ratkaisukaavoja itse, vaan sai kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavan Niccolo Tartaglialta, jolle Cardano oli vakuuttanut ettei paljasta tämän salaisuutta, sillä tämä aikoi julkaista ratkaisun itse. Tartaglia katkeroitukin Cardanolle pahan kerran tämän petettyä lupauksensa. Tartagliakaan ei tosin ollut ratkaisukaavan alkuperäinen keksijä, vaan sen keksi ilmeisesti ensimmäisenä Scipione dal Ferro. Neljännen asteen yhtälön ratkaisukaavan taas keksi Cardanon apulainen Ludovico Ferrari. Signum-funktio
Signumin määrittäminen kompleksiluvuille voidaan tehdä eri tavoin. Jos luku formula_18 on kompleksiluku, määritetään sen merkki
missä itseisarvo formula_20, ja muuten formula_21. Sama asia voidaan kirjoittaa myös 
missä formula_23. Kun signum reaaliluvulla takoittaa yleensä arvoa "±1", on signum kompleksiluvuilla yleensä lukua, joka sijaitsee kompleksitason origokeskeisellä yksikköympyrällä eli formula_24 
Kun kompleksiluku esitetään muodossa formula_25, tulee kaava muotoon 
Kaikille kompleksiluvuille formula_27 ja niiden kompleksikonjugaateille formula_28 on voimassa formula_29. Itseisarvo
Kompleksiluvun "c = a + ib" itseisarvo on
formula_6. Tämä on sama kuin kompleksilukua "c" kompleksitasolla vastaavan pisteen etäisyys origosta. Kompleksilukujen itseisarvoa kutsutaan myös moduuliksi. Ryhmä (algebra)
Ehto 1. Joukon kahden alkion tulo on joukon alkio, mikä nähdään seuraavasta kertolaskutaulusta:
Ehto 2. Kompleksilukujen kertolasku on liitännäinen. Monikulmioluku
Muun muassa pythagoralaiset tutkivat noin 500 eaa. lukujen ominaisuuksia ja niihin liittyvää mystiikkaa. Kolmioluvut olivat keskeinen osa kuviolukujen oppirakennelmaa ja liittyi ilmeisesti oleellisella tavalla numerologiaan. Heidän lukuteoriansa piti pyhän tetraktyksen formula_17 kolmiorakennetta samassa arvossa kuin säännöllistä geometrista viisikulmiota eli pentagrammia. Etuoikeutettujen lukujen luokkia oli runsaasti. Filolaos totesi, että kaikkiin asioihin voidaan liittää luku ja että mitään ei voida kuvitella tai tietää ilman lukua. Kokonaisluku
Matematiikassa kokonaislukujen joukkoa merkitään kapiteelikirjaimella formula_2. Luonnollisten lukujen joukko on kokonaislukujen osajoukko. Näitä kutsutaan 
Näiden vastaluvut ovat 
Kun mukaan otetaan myös nolla, voidaan kokonaislukujen joukko esittää yhdisteenä Neliökunta
Tarkan määritelmän mukaan formula_2 tarkoittaa kompleksilukukunnan 
formula_3 suppeinta alikuntaa, joka sisältää alkion formula_4. Kompleksikonjugaatti
Kompleksikonjugaatti (myös liittoluku) kompleksiluvulle saadaan, kun vaihdetaan sen imaginaariosan etumerkki. Kompleksiluvun formula_1 kompleksikonjugaatista käytetään merkintää formula_2 tai formula_3. Komplementti (tietotekniikka)
Yksinkertaisempaa on muuttaa negatiivisten lukujen bitit vastakkaisiksi (ykkönen nollaksi ja päinvastoin) eli luvun yhden komplementiksi. Tällöin yhteenlasku voidaan laskea samalla tavalla positiivisille ja negatiivisille luvuille. Esimerkiksi +3 + -3 on kolmen bitin yhden komplementtiluvuilla esitettynä: Algebrallinen luku
Algebrallinen luku tarkoittaa sellaista reaali- tai kompleksilukua formula_1, joka on kokonaislukukertoimisen polynomin formula_2 nollakohta eli toteuttaa yhtälön formula_3. Polynomin
aste tulee olla positiivinen, jolloin vähintään yksi kertoimista formula_5 poikkeaa nollasta. Jos vain formula_6 poikkeaa nollasta, on kyseessä vakiofunktio, joka ei täytä edellä mainittua ehtoa. Yleensä algebrallinen luku on kompleksinen, mutta tietyillä ehdoilla se voi olla myös reaalinen, rationaalinen tai kokonainen. Kompleksiluku
Kompleksilukujen jakolasku lasketaan jakajan "liittoluvun" eli "konjugaatin" avulla. Kompleksiluvun formula_14 liittoluku on formula_15. Määritellään kompleksiluvun "moduuli" eli "itseisarvo" formula_16. Kun kompleksiluku kerrotaan liittoluvullaan, saadaan luvun itseisarvon neliö, joka on reaaliluku: Matemaattinen merkintä
Reaali- tai kompleksiluvun merkintä Kompleksinen ulottuvuus
Sama pätee myös kodimensioon. Esimerkiksi sileä kompleksinen hyperpinta on "n"-ulotteisessa kompleksisessa projektiivisessa avaruudessa 2("n" − 1)-ulotteinen monisto. Kompleksinen hypertaso ei erottele kompleksista projektiivista avaruutta kahdeksi komponentiksi, koska sen kodimensio on 2. Luku
Reaali- ja kompleksiluvut voidaan jakaa algebrallisiin ja transkendenttisiin lukuihin. Luku on algebrallinen, jos se on jonkin sellaisen polynomiyhtälön ratkaisu, jossa kaikki kertoimet ovat kokonaislukuja. Algebrallisia lukuja ovat esimerkiksi kaikki rationaaliluvut sekä kaikki niistä juurenotolla saadut luvut. Transkendenttisiksi on voitu osoittaa muun muassa pii sekä Neperin luku "e". Kompleksikysymys
Kompleksikysymys on argumentointivirhe, jossa kysymys asetetaan niin, että se jo sellaisenaan sisältää vastausvaihtoehdot sulkien muut mahdolliset vastaukset pois. Sen yleinen muoto on:Tämä on klassinen esimerkki kompleksikysymyksestä. Se lähtee premissistä, että subjekti lyö vaimoaan, ja vastausvaihtoehdot ovat joko "kyllä" (eli subjekti on joskus lyönyt vaimoaan mutta lakannut) tai "ei" (eli subjekti yhä lyö vaimoaan). Se ei ota huomioon sitä premissiä, ettei subjekti ole koskaan lyönytkään vaimoaan. Holomorfinen funktio
Tämä on sama kuin derivaatan määritelmä reaalifunktioille, paitsi että kaikki muuttujan ja funktion arvot ovat kompleksilukuja. Erityisesti on huomattava, että raja-arvoa laskettaessa kompleksiluku "z" lähestyy kompleksilukua "z", ja raja-arvon on oltava sama riippumatta siitä, mistä kompleksitason suunnasta lukua "z" lähestytään. Jos raja-arvo on olemassa, sanotaan, että "ƒ" on derivoituva pisteessä "z". Kompleksifunktion ja reaalifunktion derivaatoilla on useita yhteisiä ominaisuuksia: molemmat ovat lineaarisia, ja kummassakin tapauksessa tulon ja osamäärän derivointisäännöt sekä ketjusääntö vastaavat toisiaan. Kompleksiluku
jossa "x" ja "y" ovat reaalilukuja ja "i" on "imaginaariyksikkö", joka voidaan merkitä formula_2. Lukua "x" kutsutaan kompleksiluvun "reaaliosaksi" (Re(z)) ja lukua "y" vastaavasti sen "imaginaariosaksi" (Im(z)). Kuutioluku
Kuutioluku on positiivinen kokonaisluku, joka on muotoa formula_1, jossa "n" on positiivinen kokonaisluku. Esimerkiksi 27 on kuutioluku, koska formula_2.
Kuutioluku saa nimensä siitä, että sen osoittamasta määrästä pisteitä voidaan muodostaa kuution muotoinen kappale. Eksponenttifunktio
Eksponenttifunktio tai eksponentiaalifunktio on matematiikassa transsendenttisiin alkeisfunktioihin kuuluva funktio. Se on määritelty kaikille reaaliluvuille ja saa arvoksi positiivisia reaalilukuja. Eksponenttifunktio kertoo, mikä on tietyn, "kantaluvuksi" kutsutun vakion arvo korotettuna muuttujan määräämään potenssiin. Kantaluku voi olla mikä tahansa positiivinen reaaliluku paitsi ykkönen. Kokonaisluku
Kokonaislukujen joukko on laskutoimituksen suhteen suljettu, jos kahden luvun laskun tulos kuuluu kokonaislukuihin. Yhteenlaskun suhteen näin onkin, sillä kahden luvun formula_20 ja formula_17 summa formula_37 on aina joko positiivinen- tai negatiivinen kokonaisluku tai nolla ja summa kuuluu siten kokonaislukuihin. Sama ominaisuus on myös kertolaskulla. Tämän vuoksi lukujoukko on suljettu yhteenlaskun ja kertolaskun suhteen. Negatiivinen luku
Negatiivisilla luvuilla ei ole reaalisia neliöjuuria, vaan kompleksisia. Sidoskertaluku
Useimmiten sidoskertaluku on kokonaisluku, mutta se voi olla myös murtoluku. Tämä on tyypillistä yhdisteille, joiden rakenteilla on useita resonanssimuotoja esimerkiksi bentseenin sidoskertaluku on 1,5. Sidoskertalukua voidaan käyttää sidoksen vahvuuden laadullisena mittarina. Mitä suurempi sidoskertaluku on sitä vahvempi sidos on ja tällöin myös sidospituus on lyhyempi ja sidosenergia suurempi kuin alemmalla sidoskertaluvulla. Äärettömyys
Kompleksianalyysissä käytetään laajennettua kompleksitasoa, jossa kompleksilukujen joukkoon on lisätty yksi ääretön ∞. Dedekindin zeetafunktio
Olkoon "K" algebrallinen lukukunta. Tällöin sen Dedekindin zeetafunktio kompleksiluvuille "s" niin että Re("s") > 1 määritellään Dirichlet'n sarjana Trigonometrinen funktio
Kompleksianalyysissä käytetyn teoreeman mukaan tällä funktiolla on yksikäsitteinen analyyttinen laajennus kompleksilukujen alueelle. Sen Taylorin polynomi on sama kuin reaaliluvuille määritelty, joten trigonometriset funktiot on määritelty kompleksiluvuille käyttämällä yllä olevia Taylorin sarjoja. Aritmeettinen funktio
Formaalisti aritmeettiset funktiot määritellään seuraavasti:
missä formula_2 tarkoittaa luonnollisten lukujen joukkoa formula_3 ja formula_4 kompleksilukujen joukkoa. Cauchyn–Riemannin yhtälö
Kompleksifunktio "f" on analyyttinen kompleksitason avoimessa osajoukossa "A", jos sillä on kompleksinen derivaatta jokaisessa "A":n pisteessä. Cauchyn–Riemannin yhtälöt ovat yksi tapa tutkia funktion kompleksista derivoituvuutta ja analyyttisuutta. Ne yhdistävät kompleksisen derivoituvuuden tavallisten reaaliarvoisten funktioiden differentioituvuuteen. Singulariteetti (matematiikka)
Kompleksianalyysissä singulariteetti esiintyy neljässä eri tilanteessa. Olkoon U kompleksilukujen avoin osajoukko ja piste `a` kuuluu joukkoon U siten, että funktio f on jatkuva ja differentioituva jossakin `a`:n ympäristössä pois sulkien itse a eli joukossa U \ {a}. Matemaattinen merkintä
Kompleksilukujen merkintä Kertolasku
Seuraavat laskulait pätevät kaikille kokonaisluvuille sekä myös reaaliluvuille ja kompleksiluvuille a, b ja c: Siirtofunktio
Jos reaalikertoimisen siirtofunktion navoissa on ei-reaalisia lukuja, niin ne esiintyvät kompleksikonjugaatteina. Systeemin vasteissa ilmenee värähtelyä, jos napojen joukossa on ei-reaalisia lukuja. Napaparien imaginääriosan itseisarvosta saadaan niitä vastaava värähtelyn kulmataajuus. On kuitenkin huomattava, että askelvasteessa voi esiintyä ylitys, vaikka navat olisivatkin reaaliset. Nikkeli
Nikkeli muodostaa komplekseja koordinaatioluvuilla kolmesta kuuteen. Pehmeät ligandit muodostavat komplekseja koordinaatioluvulla neljä. Nikkelillä on kuitenkin taipumusta muodostaa komplekseja koordinaatioluvulla viisi. Amiinit muodostavat heksakomplekseja. Kompleksikonjugaatti
Kompleksiluvun Funktioteoria
Tässä siis myös luku formula_6 on kompleksiluku. Osoittautuu, että analyyttisellä funktiolla on jopa kaikkien kertalukujen jatkuvat derivaatat eli se on äärettömän monta kertaa jatkuvasti derivoituva. Käänteisluku
Kompleksiluvut muodostettiin täydentämällä reaaliluvut imaginaariluvuilla muodostetuilla kompleksiluvuilla. Kompleksiluvun formula_25, missä formula_2 ja formula_3 ovat reaalilukuja ja formula_28 on imaginaariyksikkö, käänteisluku on, kun formula_29 on sen liittoluku: Kulman kolmiajako
Voidaan osoittaa, että jokainen kompleksiluku, jonka vastinpiste kompleksitasolla voidaan löytää pelkästään harpin ja viivoittimen avulla, kun pisteet 0 ja 1 on annettu, voidaan esittää jonkin toisen asteen yhtälön ratkaisuna, jonka kertoimet ovat rationaalilukuja. Tällaiset kompleksi­luvut muodostavat kunnan, joka on kompleksilukujen kunnan alikunta. On myös huomattava, että formula_2 radiaanin eli 60 asteen kulma voidaan piirtää harpilla ja viivoittimella, sillä tasa­sivuisen kolmion kulmat ovat sellaisia. Jos voidaan osoittaa, että 20°:n kulmaa ei voi samoilla välineillä piirtää, ei ole keinoa, jolla mieli­valtainen kulma voitaisiin jakaa kolmeen yhtä suureen osaan. Kompleksiluku
Kompleksiluku voidaan esittää napakoordinaatiston avulla muodossa formula_35, jossa formula_36 on kompleksiluvun itseisarvo formula_37, ja formula_38 on formula_39:n "argumentti", eli positiivisen reaaliakselin ja vektorin OP välinen suunnattu kulma. Napakoordinaattimuodossa kompleksilukujen kerto- ja jakolaskut saadaan havainnolliseen muotoon: Eulerin lause (funktioteoria)
Eulerin lause sanoo, että kompleksiluvulle "e" pätee yhtälö Murtoluku
Lukua 1 suuremmat rationaaliluvut ilmaistaan usein myös ns. "sekalukuina" eli kokonaisluvun ja varsinaisen murtoluvun summana; tällöin kuitenkin yhteenlaskumerkki (+) jätetään merkitsemättä. Esimerkiksi luku formula_3 on sekalukuna formula_5. Eulerin lause (funktioteoria)
missä formula_2 on imaginaariyksikkö ja φ on vaihekulma radiaaneina. Luku "z =" "e" on kompleksitason yksikköympyrällä sijaitseva kompleksiluku ja sen itseisarvo on yksi. Sen vaihekulma eli kulma suhteessa positiiviseen reaaliakseliin on φ. Muita kuin itseisarvoltaan ykkösen suuruisia kompleksilukuja kuvataan kertoimen "r" avulla: "z" = "re." Kulmaan perustuvalla kompleksiluvun esittämisellä on yhteys esitystapaan formula_3: Monisto
Kuten edellä, sanomme, että sileä monisto formula_10 on kompleksinen monisto, jos sen ulottuvuus on parillinen (formula_47) ja lisäksi kartastot toteuttavat seuraavat ehdot:Kokonaislukua formula_51 sanotaan moniston kompleksiseksi ulottuvuudeksi. Jos kompleksinen ulottuvuus on yksi, eli reaalinen ulottuvuus on kaksi, niin monistoa kutsutaan Riemannin pinnaksi. Sanaluokka
Numeraalit ovat lukusanoja, jotka ilmaisevat määrää ja järjestystä. Numeraalit jaetaan peruslukuihin ja järjestyslukuihin. Perusluvut kertovat lukumäärän ja vastaavat kysymykseen "kuinka monta". Järjestysluvut ilmaisevat järjestystä ja vatsaavat kysymykseen "kuinka mones". Lukusanat yhdestä kymmeneen kirjoitetaan tavallisesti tekstissä kirjaimin, kuten myös tasaluvut ("sata, miljoona"). Suuret luvut merkitään yleensä numeroilla. Vaikka lukusana kirjoitetaan numeroin, täytyy sen taivutuspääte kirjoittaa kirjaimin (14:nteen). 
Nomineja voi taivuttaa sijamuodoissa. Suomen kielessä on 15 sijamuotoa eli taivutusmuotoa. Sijamuodon tunnistaa sanan lopussa olevasta sijapäätteestä: "kirjaksi. Monikon tunnus -i-" sijaitsee sanan ja sijapäätteen välissä: "autoista". Filosofisia tutkimuksia
Ei voida myöskään sanoa, että jokin, esimerkiksi shakkilauta, on ”selvästi ja ehdottomasti kompleksinen” (§47). Jotta sen voitaisiin sanoa olevan absoluuttisen kompleksinen, täytyisi olla yksi kompleksisuuden standardi ylitse muiden. Shakkilautaa voidaan kuitenkin sanoa kompleksiseksi esimerkiksi sen värin, sen sisältämien neliömäärän tai kuviokaavion suhteen. Filosofin esittämään, mihinkään tiettyyn kielipeliin kuulumattomaan kysymykseen, onko jokin olio kompleksinen, onkin Wittgensteinin mukaan vastattava: ”Tämä riippuu siitä, mitä ymmärrät kompleksisella.” (§47) Tällöin kysymykseen ei vastata, vaan se torjutaan. Neliöjuuri
Kompleksiluvut formula_48 ovat reaaliluvun formula_11 ja imaginaariluvun formula_50  summa  formula_51. Kompleksiluvun neliöjuuren määrittämiseksi kannattaa se muuttaa napakoordinaatiston esitysmuotoon kaavalla
ja soveltaa tähän de Moivren kaavaa
missä k = 0 ja 1. Kompleksilukujen neliöjuuria on siten kaksi yhtä aikaa eli  formula_54   ja   formula_55. Laplacen muunnos
Yleisessä tapauksessa muunnoksen argumentti formula_4 on kompleksiluku: formula_5, missä formula_6 on imaginääriyksikkö ja formula_7. Laplace-muunnoksen käänteismuunnos tunnetaan Bromwichin integraalina. Se on kompleksinen integraali:Tämän ominaisuuden avulla differentiaaliyhtälö voidaan muuttaa algebralliseksi yhtälöksi, jonka ratkaiseminen on tyypillisesti paljon differentiaaliyhtälöä yksinkertaisempaa. Kompleksinen ulottuvuus
Matematiikassa kompleksinen ulottuvuus tarkoittaa tavallisesti kompleksisen moniston "M" tai algebrallisen variston "V" ominaisuutta. Jos kompleksiulottuvuus on "d", reaaliulottuvuus on 2"d". Tällöin sileän moniston "M" ulottuvuus on 2"d" ja lähtien mistä hyvänsä singulaarisista pisteistä "V" on myös sileä monisto ulottuvuudeltaan 2"d". Luku
Abstraktissa algebrassa kompleksiluvut muodostavat algebrallisesti suljetun kunnan. Reaalilukujen tavoin nekin muodostavat kunnan, mutta niissä ei ole järjestysrelaatiota, toisin sanoen kahdesta kompleksiluvusta ei voida yleensä sanoa, kumpi niistä on suurempi. Reaaliluku
"Reaalilukujen" joukko formula_2 koostuu rationaaliluvuista ja irrationaaliluvuista. Rationaaliluvuksi kutsutaan lukua, jonka desimaalikehitelmä on päättyvä tai päättymätön jaksollinen, ja irrationaaliluvuksi lukua, jonka desimaalikehitelmä on päättymätön ja jaksoton. Esimerkiksi formula_3 ja formula_4 ovat rationaalilukuja, ja 0,1010010001... ja formula_5 ja formula_6 ovat irrationaalilukuja. Reaaliluvut ja suoran pisteet vastaavat täysin toisiaan. Derivaatta
Jos merkitään kompleksilukujen muuttujia formula_92, ja tietyssä alueessa "G" (sisältää luvun formula_93) määriteltyä kompleksifunktiota formula_94, pystytään joskus määrittämään funktion formula_95 derivaatta.
Derivaatta on olemassa, mikäli formula_95 toteuttaa Cauchyn–Riemannin yhtälöt ja sen osittaisderivaatat ovat pisteen formula_93 ympäristössä "G" jatkuvat. Tällaisia kompleksifunktioita kutsutaan holomorfisiksi funktioiksi. Silloin raja-arvo
voidaan määrittää yksikäsitteisesti. Z-muunnos
Muunnosta formula_4 kutsutaan jonon formula_5 z-tasoesitykseksi. Muuttuja formula_6 on mielivaltainen kompleksiluku.
Geometrisesti voidaan ajatella, että tässä operaatiossa projisoidaan kaksi ääretönulotteista vektoria toisiinsa. Z-muunnos voidaan siis esittää sisätulona Kompleksisuus
Kompleksisuuden tutkiminen vaatii useimmiten tietokonesimulointia, koska ihmisellä ei ole kykyä hallita yhtä aikaa 5–9 yksityiskohtaa tai muuttujaa kerrallaan. Tämän näkemyksen oleellisuudesta tieteen seuraavana paradigmana puhuu muun muassa amerikkalainen filosofi ja fyysikko Heinz R. Pagels. Myös kompleksisuustutkija Stuart Kauffman sekä John Gribbin ovat tutkineet kompleksisuutta nimenomaan tietokonesimuloinnin, matematiikan ja kosmologian kautta. Liukuluku
Seuraavassa "S" kuvaa suurta lukua, joka on lähes lukualueen ylärajalla, luku 3 on esimerkki tavallisesta luvusta, äärettömät on merkitty +inf ja −inf, nollat +0 ja −0, ja epäluku on NaN.Luvun formula_53 esitys perustarkkuudella tarkoittaa lukua, jossa formula_54 ja formula_55, eli heksadesimaalijonona: 3f80 0000. Sama luku kaksoistarkkuudella saa esitysmuodon: 3ff0 0000 0000 0000. Luvun formula_56 esitysmuoto perus- ja kaksoistarkkuudella on bf80 0000 ja bff0 0000 0000 0000. Rotaatio (geometria)
Erityisesti kompleksiluvin kertominen imaginaariyksiköllä "i" vastaa tason kiertoa 90 astetta vastapäivään ja kertominen "-i":llä kiertoa 90 astetta myötäpäivään. Monisto
Jokainen kompleksinen monisto on melkein kompleksinen, mutta ei toisinpäin. Melkein kompleksit monistot ovat luonnollisia objekteja, jotka yleistävät kompleksista geometriaa. Lisäksi tensorin formula_103 avulla voidaan ilmaista analyyttiset ja anti-analyyttiset vektorikentät ja funktiot. Kokonaisluku
Ne laskijat, jotka näkivät lausekkeen 3 − 7 hyödyllisyyden, sopivat vain, että erotuksen arvo on "neljä tappiota" tai "neljä velkaa". Tällaista tulosta kutsutaan "negatiiviseksi". Jos laskun tulos oli "neljä voittoa" tai "neljä tuottoa", kutsuttiin tulosta "positiiviseksi". Positiivisuus ja negatiivisuus olivat toisilleen "vastakkaisia" tuloksia. Postitiivisuutta merkittiin plus-merkillä (+) ja negatiivisuutta miinus-merkillä (−). Positiivisuus ilmaistaan usein luvulla ilman plus-merkkiä. Esimerkiksi laskutoimituksien "merkkisäännöillä" tarkoitetaan niitä päättelytapoja, joilla tuloksen positiivisuus tai negatiivisuus eli "tuloksen merkki" voidaan päätellä oikein. Negatiivisuus toimii edellä määritetyllä tavalla myös muilla luvuilla kuten esimerkiksi rationaaliluvuilla, reaaliluvuilla ja kompleksiluvuilla. Kokonaisluku
Edelleen, koska molemmat laskutoimitukset ovat assosiatiivisia eli toteuttavat liitännäislain, sanotaan, että kokonaisluvut ovat yhteenlaskun suhteen formula_38 ja kertolaskun suhteen formula_39 monoideja. Koska jokaisen luvun käänteisalkio, eli yhteenlaskussa vastaluku, kuuluu kokonaislukuihin, kutsutaan monoidia formula_38 myös ryhmäksi. Erityisesti se on vieläpä Abelin ryhmä, koska yhteenlasku on kommutatiivinen eli vaihdannainen. Kertolaskun suhteen kokonaisluvuilla ei ole yleisesti käänteisalkioita eli käänteislukuja, joten formula_39 ei muodosta ryhmää. Bitti
Binääriluvun bittisyys tarkoittaa yksinkertaisesti sitä, kuinka monesta bitistä (eli binäärinumerosta 1 tai 0) luku koostuu: 8-bittisellä binääriluvulla voi ilmaista 256 mahdollista arvoa, esimerkiksi kokonaislukujen 0–255 vastineet. Pistetulo
Sovellettuina vektoreihin, joiden komponentit ovat kompleksilukuja, edellä esitetyt pistetulon määritelmät antaisivat sille varsin erilaisia ominaisuuksia. Esimerkiksi vektorin pistetulo itsensä kanssa voisi olla mikä tahansa kompleksi­luku, ja se voisi myös olla nolla, vaikka kyseessä ei olisikaan nollavektori; sellaisia vektoreita sanotaan isotrooppisiksi; tällä taas olisi pituuden ja kulman käsitteisiin liittyviä seurauksia. On kuitenkin mahdollista määritellä kompleksi­vektoreillekin pistetulo siten, että se on ominaisuuksiltaan lähempänä reaali­vektoreiden pistetuloa ja että sillä esimerkiksi on aina positiivis-definiittinen normi. Tällöin pistetulo määritellään seuraavasti:
missä "b" on "b":n 
kompleksikonjugaatti. Subharmoninen funktio
Kompleksiluku "x" + "yi" voidaan käsittää reaalilukupariksi ("x","y") ja sen mukaisesti jokainen kompleksimuuttujan funktio kahden reaalimuuttujan funktioksi. Näin ollen edellä esitettyjä subharmonisen ja superharmonisen funktion määritelmiä voidaan soveltaa myös kompleksimuuttujien reaaliarvoisiin funktioihin. Voidaan osoittaa, että kompleksimuuttujan funktio, joka on määritelty alueella formula_24, on subharmoninen, jos ja vain jos jokaiselle suljetulle kiekolle formula_25, jonka keskipiste on formula_26 ja säde formula_7 pätee Kompleksiluku
Kompleksilukujen potenssit voidaan laskea käyttäen De Moivren kaavaa. Tällöin saadaan, että kompleksiluvun formula_20 formula_21:s potenssi on formula_22, missä formula_23 tarkoittaa kompleksiluvun formula_20 moduulia. Kompleksilukun formula_20 formula_26:s juuri saadaan seuraavasti: merkitään formula_27. Tällöin formula_28. Tällöin formula_26:s juuri on formula_30, missä formula_23 tarkoittaa kompleksiluvun formula_20 moduulia. Fourier’n muunnos
missä formula_4 on kulmataajuus. Muoto formula_5 liittyy trigonometrisiin funktioihin siten, että kompleksieksponentin määritelmä on formula_6. Holomorfinen funktio
Matematiikassa holomorfiset funktiot ovat kompleksianalyysin keskeinen tutkimuskohde. Holomorfinen funktio on yhden tai useamman muuttujan kompleksiarvoinen funktio, joka on kompleksisesti derivoituva jokaisen määrittelyjoukkonsa pisteen ympäristössä. Sotateollinen kompleksi
Sotateollinen kompleksi tarkoittaa taloudellisista toimijoista, poliitikoista ja sotilashenkilöistä koostuvaa verkostoa, jonka yhteinen etu on tavaroiden ja palveluiden tuottaminen sotilaallisiin tarkoituksiin ja jonka poliittinen ja taloudellinen vaikutusvalta on suuri. Sotateollisen kompleksin käsite yhdistetään erityisesti Yhdysvaltoihin ja muihin asevarusteluun panostaviin suurvaltoihin. Ensimmäisten sotateollisten kompleksien sanotaan muodostuneen Ranskassa ja Britanniassa 1870- ja 1880-luvuilla. Japanin zaibatsut vaikuttivat voimakkaasti Japanin joutumiseen sotaan Kiinan, Neuvostoliiton ja länsivaltojen kanssa. Funktion raja-arvo
Funktioteoriassa käsitellään funktioita, joiden muuttujat ovat kompleksilukuja (muodossa formula_64) ja joiden arvoksikin saadaan kompleksilukuja. Koska kahden kompleksiluvun suuruusjärjestys ei ole määritelty samalla tavalla kuin reaaliluvuilla, käytetään niiden vertailuun itseisarvon sijaan toista metriikkaa ja jota kutsutaan kompleksiluvun moduuliksi. Luvun "z" moduuli lasketaan formula_65 Moduuli merkitään samoilla pystyviivoilla kuin itseisarvo, jolloin kahden kompleksiluvun välinen ero (etäisyys kompleksitasolla) merkitään luonnollisella tavalla formula_66 Vastaluku
Kompleksiluvut muodostettiin täydentämällä reaaliluvut imaginaariluvuilla muodostetuilla kompleksiluvuilla. 
Kompleksiluvun formula_13, missä formula_2 ja formula_3 ovat reaalilukuja ja formula_16 on imaginaariyksikkö, vastaluku on:
Määritelmä ehto toteutuu, koska
Jos kompleksiluku on esitetty polaarimuodossa Eulerin kaavan avulla, eli 
niin sen vastaluku on Todennäköisyysamplitudi
Todennäköisyysamplitudi on kvanttimekaniikassa aaltofunktion amplitudia kuvaava kompleksiluku. Aaltofunktion avulla siis kuvataan, millä todennäköisyydellä hiukkanen löytyy tietystä paikasta formula_1. Kun todennäköisyystiheys paikan suhteen merkitään formula_2, voidaan todennäköisyysamplitudi merkitä formula_3. Gaussin kokonaisluku
Gaussin kokonaisluku (tai Gaussin luku) on kompleksiluku formula_1, jossa formula_2 ja formula_3 ovat kokonaislukuja ja formula_4 on imaginaariyksikkö. Gaussin kokonaisluvut on nimetty saksalaisen matemaatikon Carl Friedrich Gaussin mukaan. Juurifunktio
Jos lasketaan kompleksiluvun formula_55 neliöjuuri, muutetaan se ensin polaarimuotoon. Modulus on formula_56 ja napakulma formula_57 eli formula_58 Siten formula_59 Neliöjuureksi saadaan sitten kaksi arvoa Algebrallinen laajennus
Kuntaa, jolla ei ole aitoa algebrallista laajennusta, sanotaan algebrallisesti suljetuksi. Esimerkkinä tästä on kompleksilukujen kunta. Jokaisella kunnalla on olemassa algebrallinen laajennus, joka on algebrallisesti suljettu ja jota kutsutaan algebralliseksi sulkeumaksi. Tämän todistaminen kaikille kunnille vaatii valinta-aksiomin käyttöä. Negatiivinen luku
Negatiivinen luku on nollaa pienempi luku. Lukujen negatiivisuus ja epänegatiivisuus ovat kompleksi-, reaali-, rationaali- ja kokonaislukujen ominaisuuksia. Suurin negatiivinen kokonaisluku on −1. Negatiivisia lukuja merkitään etumerkillä − (miinus). Kompleksi (kemia)
Kompleksiyhdisteillä (myös koordinaatiokompleksi) tarkoitetaan molekyylejä, jotka ovat muodostuneita keskusatomista tai -ionista ja sitä ympäröivistä ioneista, molekyyleistä tai atomeista. Kompleksiluku
Reaalilukujen joukko on kompleksilukujen osajoukko, joka saadaan asettamalla kompleksiluvun imaginaariosa nollaksi: formula_3. Jos formula_4, kompleksilukua kutsutaan "puhtaasti imaginaariseksi". Kokonaisluku
Algebralla tarkoitetaan lukujen laskutoimitusten ominaisuuksia. Edellä todettiin, että vähennyslasku voidaan kokonaisluvuilla käsitellä aina vastalukujen yhteenlaskulla. Tämän vuoksi kokonaislukujen algebrassa käsitellään vain yhteenlaskusääntöjä. Kokonaislukujen kertolaskun tulos on aina kokonaisluku, mutta lukujen jakolaskun tulos ei aina ole kokonaisluku. Jakolaskun tulosten aukottomaan käsitteltyyn tulee käyttää rationaalilukujen algebraa. Seuraavat laskutoimituksien ominaisuudet ovat voimassa kaikille kokonaisluvuille a, b ja c. Niissä käytetään vain yhteenlaskua ja kertolaskua:Kokonaisluvuille on olemassa käänteisalkiot yhteislaskun suhteen, mutta ei kertolaskun suhteen. Yhteenlaskussa käänteisalkioita kutsutaan vastaluvuiksi ja sellainen voidaan osoittaa jokaiselle kokonaisluvulle. Positiivisen kokonaisluvun vasta-alkio on negatiivinen kokonaisluku, ja päinvastoin. Nollan vastaluku on nolla itse. Kertolaskussa käänteisalkioita eli käänteislukuja voidaan määrittää vasta rationaaliluvuille, tosin ykkösen käänteisluku on luku yksi itse. Laskostuminen
Radiotekniikassa laskostumisehdot ja Nyquistin teoreema saavat hieman erilaisen muodon käytettäessä kvadratuurinäytteistystä. Kvadratuurinäytteistyksessä signaali on kompleksinen ja jokainen näyte on kompleksiluku. Kompleksisille signaaleille voidaan määritellä myös negatiiviset taajuudet – kompleksinen siniaalto tavallaan sisältää signaalin pyörimissuunnan. Kompleksisten signaalien tapauksessa taajuuden ylittäessä korkeimman positiivisen taajuuden signaalin taajuus kiertyy negatiiviseksi taajuudeksi samaan tapaan kuin binääriluvut positiivisen lukualueen ylittyessä kiertyvät negatiivisiksi luvuiksi. Jotta laskostumista ei kvadratuurinäytteistystä käytettäessä tapahtuisi, näytteenottotaajuuden on oltava vähintään näytteistettävän signaalin kaistaleveyden suuruinen. Tällöinkin jokaisesta jaksosta otetaan vähintään kaksi näytettä koska jokainen kompleksinen näyte sisältää kaksi arvoa: reaali- ja imaginääriosan. Riemannin pallo
Täten jokainen kompleksiluku, joka kompleksitasolla on samalla etäisyydellä origosta eli jolla on sama itseisarvo, sattuu Riemannin pallolla samalle "leveyspiirille". Erityisesti jokaista kompleksilukua, jonka itseisarvo on 1, vastaa piste Riemannin pallon "päiväntasaajalla", jossa formula_13 = 0. Kompleksitason nollapistettä vastaa Riemannin pallon "etelänapa", jossa formula_22, ja äärettömyyspistettä pallon "pohjoisnapa", jossa formula_23. Mitä suurempi on kompleksiluvun itseisarvo, sitä lähempänä sen vastinpiste Riemannin pallolla on sen pohjoisnapaa. Kaksoissuhde
Kompleksiluvuille kaksoissuhde määritellään samaan tapaan lausekkeena
formula_12
Termien järjestys määritelmässä ei ole vakiintunut, vaan tämän lisäksi yleisesti käytetään myös muita vastaavia määritelmiä kaksoissuhteelle. Rotaatio (geometria)
Tason kiertoa kulman "θ" verran vastaa jokaisen kompleksiluvun kertominen vakiolla 
joka Eulerin kaavan mukaan on sama kuin
Tätä muotoa olevien kompleksilukujen itseisarvo on 1. Täten saadaan: Ordinaali
Ordinaali eli ordinaaliluku on joukko-opissa käytetty luonnollisen luvun käsitteen yleistys, jolla kuvataan tapoja sijoittaa johonkin kokoelmaan kuuluvat kohteet peräkkäiseen järjestykseen, yksi toisensa jälkeen. Jokainen äärellinen määrä kohteita voidaan asettaa järjestykseen yksinkertaisesti laskemalla ne: tällöin jokainen kohde saa järjestys­luvukseen jonkin kokonaisluvun. Käytännössä ordinaaliluvut voidaan ajatella vaikkapa numerolapuiksi, joiden avulla kohteet voidaan asettaa määrättyyn järjestykseen. Kieliopillinen luku
Kieliopillinen luku (tai lyhyesti "luku"; latinaksi "numerus") on kieliopillinen kategoria, joka ilmaisee asioiden määrää. Useimmissa kielissä on yksikkö (singulaari) ja monikko (pluraali). Monissa kielissä on kuitenkin myös ns. monikollisia sanoja ("plurale tantum"), joita käytetään vain monikossa. Jotkut kielet kuten kiina eivät merkitse monikollisuutta, vaan se on pääteltävä asiayhteydestä. Joissain kielissä on lisäksi kaksikko (duaali) tai jopa kolmikko (triaali), jotka ilmaisevat täsmällistä määrää asioita tai esineitä. Vastaluku
Kokonaislukujen joukko on muodostettu lisäämällä luonnollisiin lukuihin negatiiviset luvut. Negatiiviset luvut sisältävät jokaisen luonnollisen luvun vastaluvun eli negaation. Kokonaislukujen joukko onkin yksinkertaisin lukujoukko, jossa vastaluvut ovat olemassa. Jos kokonaislukuja kuvataan lukusuoralla olevilla pisteillä, sijoittuvat vastaluvut nollapisteestä katsottuna yhtä etäälle positiivisten- tai negatiivisten lukujen puolille. "Luvun etäisyys nollasta" kutsutaan luvun itseisarvoksi, jolloin positiivisuus ja negatiivisuus ovat luvun itseisarvoon liitettäviä erottelevia lisämääreitä. Funktion raja-arvo
Jos merkitään kompleksilukujen muuttujia formula_64, ja tietyssä alueessa "G" (sisältää luvun formula_68) määriteltyä kompleksifunktiota formula_69, pystytään joskus määrittämään funktion formula_70 raja-arvo
Kompleksilukujen luonteeseen kuuluu, että alue "G" voi olla pisteen formula_68 ympäröimä epämääräinen kaksiulotteinen alue, mutta yleensä pitäydytään ympyrän muotoiseen alueeseen. Luku "z" voi lähestyä alueen sisällä olevaa lukua formula_68 mistä suunnasta hyvänsä. Siksi etäisyys lukuun formula_68 määritelläänkin kompleksilukujen erotuksen modulina Kompleksiluku
Jokaiselle ℂ-kertoimiselle polynomiyhtälölle voidaan algebran peruslauseen mukaan löytää sen astetta vastaava määrä kompleksiratkaisuja, jotka tosin eivät ole välttämättä keskenään erisuuria. Alun perin kompleksiluvut kehitettiinkin osin tarpeesta saada entistä suurempi osa polynomiyhtälöistä ratkeaviksi. Esimerkiksi yhtälöllä formula_5 ei ole reaalisia juuria, sillä formula_6 on positiivinen kaikilla reaalisilla formula_7:n arvoilla. Kompleksilukujen joukosta sille sen sijaan löytyy ratkaisut formula_8 ja formula_9. Luonnollinen logaritmi
Eksponenttifunktio voidaan laajentaa kompleksilukujen joukkoon niin, että jokaiselle kompleksiluvuille "z" saadaan funktion arvo "e" samalla Taylorin sarjalla kuin reaaliluvuillekin. Tämän laajennetun funktion käänteisfunktiona voidaan kompleksi­luvuille määritellä myös luonnollinen logaritmi, jolla pätevät useimmat reaalisen luonnollisen logaritmin ominaisuudet. Kaksi seikkaa aiheuttaa kuitenkin vaikeuksia: ensinnäkään millekään luvulle "z" ei ole "e" = 0, ja toiseksi osoittauutuu, että "e" = 1 = "e". Koska kerto­lasku­ominaisuus kuitenkin toimii kompleksisellakin eksponentti­funktiolla, on
kaikilla kompleksiluvuilla "z" ja kokonaisluvuilla "n". Komplementti (tietotekniikka)
Kahden komplementtiluvuissa on aina yksi negatiivinen luku enemmän kuin on positiivisia lukuja (pois lukien luku 0). Esimerkiksi kolmella bitillä esitettävät luvut ovat: Yksikkömurtoluku
Yksikkömurtoluku on murtoluku, jonka osoittajana on luku yksi. Yleisin syy muodostaa yksikkömurtoluku on ottaa kokonaisluvusta käänteisluku:
Tämän vuoksi yksikkömurtoluvun käänteisluku on kokonaisluku. Luvulla viisi
Yksikkömurtoluvuilla laskeminen ja murtolukujen esittäminen niiden avulla on hankalaa. Tämä lienee perussyy muinaisten egyptiläisten matematiikan heikolle tasolle. Ryhmä (algebra)
Ehto 3. Kompleksilukujen kertolaskun neutraalialkio on 1, ja se kuuluu joukkoon "G". Siispä on 1 · 1 = 1, 1 · (-1) = -1, 1 · i = i ja 1 · (-i) = -i. Komplementti (tietotekniikka)
Negatiiviset luvut voidaan esittää binäärilaskennassa lisäämällä luvun esitysmuotoon yksi bitti, merkkibitti, jonka toinen arvo tarkoittaa positiivista lukua ja toinen arvo negatiivista lukua. Tällöin kuitenkin positiivisten ja negatiivisten lukujen yhteenlasku täytyy käsitellä erikoistapauksena ja muuttaa se esimerkiksi tarvittaessa vähennyslaskuksi. Esimerkiksi +3 + -3 täytyy muuttaa vähennyslaskuksi 3 - 3. Ei ole myöskään kovin yksinkertaista käsitellä negatiivisia tuloksia antavia laskutoimituksia. Yhdeksänkulmioluku
Yhdeksänkulmioluku on positiivinen kokonaisluku, joka on muotoa formula_1, jossa n on positiivinen kokonaisluku. Esimerkiksi 24 on yhdeksänkulmioluku, koska formula_2.
Yhdeksänkulmioluku saa nimensä siitä, että sen osoittamasta määrästä pisteitä voidaan muodostaa yhdeksänkulmion muotoinen kuvio. Yhdeksänkulmioluku on yksi monikulmioluvuista. Cauchyn–Riemannin yhtälö
Kompleksifunktio on analyyttinen jossain kompleksitason pisteessä tai alueessa, jos se voidaan kirjoittaa muodossa formula_4 ja jos funktiot "u" ja "v" toteuttavat Cauchyn–Riemannin yhtälöt (1a) ja (1b). Osittaisdifferentiaaliyhtälöt esitetään useissa oppikirjoissa myös muodossa formula_5 ja formula_6.
Cauchyn–Riemannin yhtälöt ovat välttämätön ehto sille, että kompleksifunktiolla on derivaatta. Voidaan myös osoittaa, että jos ensimmäinen derivaatta on olemassa, funktiolla on samalla kaikkien kertalukujen derivaatat. Pistetulo
Sisätulo on pistetulon yleistys abstarkteihin vektori­avaruuksiin, joiden kerroin­kuntana
on joko reaalilukujen (formula_48) tai kompleksilukujen kunta (formula_49). Sisätulolle käytetään yleensä merkintää formula_50. Eksponenttifunktio
Tätä sarjakehitelmää voidaan käyttää myös eksponenttifunktion määritelmänä. Sen avulla funktio voidaan määritellä myös, kun argumenttina on kompleksiluku. Eksponenttifunktio
Näissä määritelmissä formula_21 on luonnollinen luku, formula_11 on mielivaltainen reaaliluku tai kompleksiluku ja formula_23 on kertoma. Ryhmä (algebra)
Esimerkki 1. Joukko "G" = {1, -1, i, -i} varustettuna kompleksilukujen kertolaskulla on ryhmä. Järjestysrelaatio
"Järjestetty kunta" on kunta, jossa on määritelty järjestysrelaatio, joka edellisten lisäksi toteuttaa myös seuraavat ehdot:Järjestettyjä kuntia ovat esimerkiksi rationaalilukujen joukko formula_3 ja reaalilukujen joukko formula_4. Sitä vastoin kompleksilukujen kunnassa formula_5 ei järjestysrelaatiota voida määritellä niin, että se toteuttaisi kaikki nämä ehdot. Kantalukujärjestelmä
Kokonaislukujärjestelmässä luku kirjoitetaan paikkamerkintänä numeroiden jonona formula_5, missä pilkun vasemmalla puolella olevat numerot muodostavat luvun kokonaisosan ja oikealla puolella olevat sen murto-osan (desimaalijärjestelmässä "desimaaliosan"). Kokonaislukuosasta jätetään merkitsemättä alkunollat. Voidaan osoittaa, että tällä tavalla voidaan ilmaista kaikki erilaiset reaaliluvut, kunhan numeroiden merkitsemiseen on riittävästi tilaa ja aikaa. Desimaalijärjestelmässä pilkku merkitään toisissa maissa myös desimaalipisteellä. Perheyhtäläisyys
Vastaavasti Wittgenstein katsoi, ettei ole olemassa mitään sellaista, mikä olisi yhteistä kaikille ”luvuille”. Sen sijaan laajennamme useinkin käsitystämme luvuista. Voimme aloittaa ajattelemalla luonnollisia lukuja, ja myöhemmin oppia laajentamaan tämän rationaalilukuihin, kokonaislukuihin ja kardinaalilukuihin; lopulta irrationaalilukuihin, kompleksilukuihin, surkompleksilukuihin, surreaalilukuihin ja niin edelleen. Ainoana rajana vaikuttaa olevan matemaatikkojen kekseliäisyys. Kompleksikonjugaatti
kompleksikonjugaatti on