Miten summa määritellään?
Yhteenlasku
Yhteenlaskun tulosta kutsutaan summaksi. Yhteenlasku
Yhteenlasku on yksi aritmeettisista peruslaskutoimituksista ja se on ensimmäinen koululaisille opetettavista. Yhteenlaskuoperaatio yhdistää ainakin kaksi lukua, jotka ovat yhteenlaskettavat toiseksi luvuksi, summaksi. Esimerkiksi 1 + 2 = 3 (luetaan yksi plus kaksi on kolme tai yksi ynnä kaksi on kolme), jossa luku 1 on yhteenlaskettava, johon lisätään luku 2, eli yhteenlaskettava ja näin saadaan summa, eli luku 3. Yhteenlaskun käänteislaskutoimitus on vähennyslasku.
Integrointi moniulotteisessa avaruudessa
Joukolle formula_88 voidaan asettaa useita eri ala- ja yläsummia riippuen siitä, millä tavalla (ja kuinka monilla osaväleillä) jako formula_31 tehdään. Jos jakopisteitä lisätään, ei yläsumma kasva eikä alasumma pienene. Näin ollen, jos formula_31 on välin formula_88 jako, formula_107 on formula_31:n alajako (jako, joka sisältää (vähintään) kaikki jaon formula_31 jakopisteet) ja formula_110 on kummankin edellisen jaon alajako, niin: Aritmeettinen sarja
Aritmeettinen sarja on ääretön summalauseke, jonka jokaisen kahden peräkkäisen termin erotus on vakio. Aritmeettisen sarjan termit siis muodostavat aritmeettisen jonon. Esimerkki aritmeettisesta sarjasta on formula_1, jossa termien välinen vakioerotus on 1. Toinen esimerkki on formula_2, jossa vakioerotus on −0,5). Summain
Digitaalinen puolisummain laskee yhteen kaksi bittiä. Ulostulona saadaan summa ja myös muistinumero, mikäli yhteenlaskettavien lukujen summa on niin suuri, ettei sitä voi esittää yhdellä numerolla. Kokosummain huomioi sisäänsyötteessä myös muistinumeron, eli se laskee yhteen kolme bittiä. Kulma
Kaksi kulmaa ovat vierekkäiset, jos niillä on yhteinen kylki ja kärjet yhtyvät toisiinsa. Kulmien yhteenlasku voidaan määritellä vierekkäisten kulmien yhdistelmäksi. Vähennyslasku voidaan ratkaista myös piirtämällä. Kulmat piirretään päällekkäin siten, että kärjet ja vasemmat kyljet yhtyvät. Oikean puoleisten kylkien välinen kulma on erotuksen suuruus. 3 (luku)
Luku kolme on ainoa luku, joka on sitä edeltävien postiivisten kokonaislukujen summa eli formula_1. Se on myös ainoa luku, joka on sitä edeltävien positiivisten kokonaislukujen kertomien summa eli formula_2. Jos jokin luku korotetaan potenssiin kolme, sanotaan tätä lukua kyseisen luvun kuutioksi. Kokonaisluku
Luvun itseisarvo merkitään pystyviivoilla |a|. Silloin itseisarvojen tulokest voidaan kirjoittaa esimerkiksi |-4| = |+4| = 4. Kaksi erisuuruista kokonaislukua ovat toistensa vastalukuja, jos niillä on sama itseisarvo. Huomaa, että nollalla ei ole muotoja −0 ja +0, vaan on olemassa vain yksi nolla. Nollan itseisarvo on nolla itse. Normaalijakauma
Normaalijakauma on määritelty ja jatkuva kaikilla muuttujan reaaliarvoilla. Jos satunnaismuuttuja formula_7 on "normaalijakautunut", niin merkitään
formula_8
Parametri formula_9 on jakauman odotusarvo ja formula_10 on jakauman varianssi. Jakauman sijainti riippuu keskiarvoparametrista ja leveys varianssiparametrista. Jakauman tiheysfunktio on
formula_11
Normaalijakauman kertymäfunktio on integraali
formula_12
jota ei voida ratkaista analyyttisesti alkeisfunktioiden avulla. Kertymäfunktion arvoja voidaan kuitenkin laskea numeerisilla menetelmillä. Suhde
Janan jakaminen osiin voidaan ilmaista suhteilla. Jakopiste jakaa janan kahteen osaan, joiden pituuksien suhde annetaan tai se selvitetään. Jako voidaan suorittaa samalla tavalla myös luvulle. Alkuperäinen luku jaetaan kahdeksi luvuksi, joiden summa on alkuperäinen luku, ja joiden suhde on annettu suhdeluku. Päinvastoin on toimittu, kun lasketaan lukujen keskiarvo. Silloin keskiarvo "m" jakaa lukujen välin kahteen yhtäsuureen väliin. Esimerkiksi lukujen 4 ja 6 keskiarvo "m" saadaan suhteesta 
Keskiverto "k" voidaan määrittää kahden suhteen yhtälöllä eli verrannolla, joka on Sum
Sum () on Mongolian aluejaon yksikkö. Mongolia on jaettu "aimageihin" eli provinsseihin tai maakuntiin, jotka jakautuvat edelleen sumeihin. Sum on samantyyppinen yksikkö kuin piirikunta. Sumit jakautuvat edelleen "bag"-nimisiin yksiköihin: jokaisessa sumissa on vähintään yksi sumin keskuspaikkakunnan käsittävä bag ja yksi maaseutu-bag, mutta useimmiten jälkimmäisiä on kolme tai neljä. Mongolia jakautuu nykyään yhteensä 331 sumiin ja 1 671 bagiin (vuonna 2008). Kunta (matematiikka)
Joukko formula_1 on kunta, jos se täyttää seuraavat ehdot:Määritelmässä siis käytetään kahta laskutoimitusta. Vähennyslasku voidaan määritellä summan ja vasta-alkion avulla, formula_29, ja jakolasku vastaavasti tulon ja käänteisalkion avulla. Summa
Jos yhteenlaskettavana on useita lukuja tai lukujono, lukujen summaa voi merkitä yksinkertaisemmin seuraavasti:Kokonaislukujen summa: Binomilause
missä jokainen formula_11 on tietty positiivinen kokonaisluku, joka tunnetaan binomikertoimena. Tämä kaava liittyy myös binomikaavaan tai binomikuvaukseen. Käytettäessä summamerkintää se voidaan kirjoittaa Kokonaisluku
Matematiikassa kokonaislukujen joukkoa merkitään kapiteelikirjaimella formula_2. Luonnollisten lukujen joukko on kokonaislukujen osajoukko. Näitä kutsutaan 
Näiden vastaluvut ovat 
Kun mukaan otetaan myös nolla, voidaan kokonaislukujen joukko esittää yhdisteenä Suora summa
Suoraan summaan liittyvä käsite on suora tulo, joka on joskus sama asia kuin suora summa, mutta joskus se voi olla aivan erilainen. Summa (kirjallisuus)
"Summien" päämääränä oli kattaa joku ala, kuten logiikka, filosofia tai teologia, kokonaisuudessaan systemaattisessa muodossa. Luonteenomaista näille teoksille oli menetelmä, joka esiintyy ensimmäisen kerran Gerbert d’Aurillacin teoksessa "De rationali et ratione uti", ja jota myös Pierre Abélard käytti teoksessaan "Sic et non". Menetelmässä oli keskeistä vastakkaisten näkemysten, myöntävien ja kieltävien, esittäminen. Myöhemmin 1200-luvulle tultaessa, muodon kehittyessä huippuunsa, teokset pyrkivät selvittämään yhä huolellisemmin vastakkaisten näkemysten välisiä ristiriitoja. Brewerin summa
Brewerin summa määritellään summana Zeckendorfin lause
Zeckendorfin lauseen mukaan jokainen positiivinen kokonaisluku voidaan esittää yksikäsitteisesti yhden tai useamman Fibonaccin luvun summana siten, että summa ei sisällä kahta peräkkäistä Fibonaccin lukua. Summaa, joka täyttää tämän ehdon, kutsutaan Zeckendorfin esitykseksi. Formaalisti Zeckendorfin lause kuuluu muodossa: Lineaarikombinaatio
Lineaarikombinaatio tai lineaariyhdistely on matematiikassa lause, jossa joukko termejä kerrotaan kukin omalla kertoimellaan ja lasketaan yhteen. Kokonaisluku
Kokonaisluvut ovat arkipäiväiset luvut, joilla yleensä ilmoitetaan kohteiden lukumäärää. Määritelmä on sama kuin luonnollisilla luvuilla sillä erolla, että kokonaislukuihin luetaan positiivisten lukujen lisäksi myös luku nolla ja negatiiviset luvut. Kokonaislukujen negatiivisuudella on käyttöä lähinnä matematiikassa, vaikka negatiivisia reaalilukuja käytetään arjessa melko sujuvasti. Puhekielessä käytetään kokonaislukuja samassa merkityksessä kuin luonnollisia lukuja. Hajaantuva sarja
Kahden eri summausmenetelmän A ja B toivottava ominaisuus on jatkuvuus. A ja B ovat jatkuvia, mikäli jokaisella tutkitulla sekvenssillä s molempien arvot ovat samat eli A(s) = B(s). Summausmenetelmien vahvuuksia voidaan vertailla: Vahvempana pidetään sitä, joka soveltuu useamman sarjan summien laskemiseen. Kuutioluku
Kuutioluku on positiivinen kokonaisluku, joka on muotoa formula_1, jossa "n" on positiivinen kokonaisluku. Esimerkiksi 27 on kuutioluku, koska formula_2.
Kuutioluku saa nimensä siitä, että sen osoittamasta määrästä pisteitä voidaan muodostaa kuution muotoinen kappale. Kokonaisluku
Ne laskijat, jotka näkivät lausekkeen 3 − 7 hyödyllisyyden, sopivat vain, että erotuksen arvo on "neljä tappiota" tai "neljä velkaa". Tällaista tulosta kutsutaan "negatiiviseksi". Jos laskun tulos oli "neljä voittoa" tai "neljä tuottoa", kutsuttiin tulosta "positiiviseksi". Positiivisuus ja negatiivisuus olivat toisilleen "vastakkaisia" tuloksia. Postitiivisuutta merkittiin plus-merkillä (+) ja negatiivisuutta miinus-merkillä (−). Positiivisuus ilmaistaan usein luvulla ilman plus-merkkiä. Esimerkiksi laskutoimituksien "merkkisäännöillä" tarkoitetaan niitä päättelytapoja, joilla tuloksen positiivisuus tai negatiivisuus eli "tuloksen merkki" voidaan päätellä oikein. Negatiivisuus toimii edellä määritetyllä tavalla myös muilla luvuilla kuten esimerkiksi rationaaliluvuilla, reaaliluvuilla ja kompleksiluvuilla. Jakolasku
Jakolaskun vastausta, a:ta, nimitetään "osamääräksi"; lukua c "jaettavaksi" ja b "jakajaksi". Jakolaskua voidaan merkitä myös c / b tai formula_1 tai vanhahtavasti c ÷ b. Tšebyšovin summaepäyhtälö
ja Kertymäfunktio
Edellä esitelty määritelmä on eräs tapa ilmaista tapahtuma, jossa todennäköisyys lasketaan käyttämällä satunnaismuuttujan ylärajana formula_3 eli
Voidaan osoittaa, että sillä voidaan laskea kaikki sellaiset todennäköisyydet, jossa tapahtumat ovat välejä. Esimerkiksi, koska mielivaltaiselle satunnaismuuttujan arvolle formula_12 pätee
voidaan "vastatapahtuman todennäköisyys" laskea Luku
Korkeammalla abstraktiotasolla lukualuetta voidaan edelleen laajentaa muodostamalla kompleksiluvut. Historiallisesti ne otettiin ensimmäiseksi käyttöön yritettäessä muodostaa ratkaisukaavoja kolmannen ja neljännen asteen yhtälöille. Tässä yhteydessä otettiin käyttöön uusi luku, −1:n neliöjuuri, imaginaariyksikkö, jolle Leonhard Euler otti käyttöön merkinnän "i". Kompleksilukuja ovat kaikki muotoa 
olevat luvut, missä "a" ja "b" ovat reaalilukuja. Merkinnässä "a + bi" lukua "a" sanotaan kompleksiluvun reaaliosaksi ja lukua "b" sen imaginaariosaksi. Jos luvun reaaliosa on nolla, sitä sanotaan "puhtaasti imaginaariseksi". Jos taas imaginaariosa on nolla, luku on reaaliluku. Reaaliluvut muodostavat siis kompleksilukujen osajoukon. Kompleksilukuja, joiden sekä reaali- että imaginaariosa ovat kokonaislukuja, sanotaan Gaussin kokonaisluvuiksi. 1729 (luku)
Lisäksi luku on yksittäisten numeroidensa summan ja pienimmän sellaisen luvun tulo, joka voidaan ilmoittaa kahdella tavalla kahden (ei välttämättä positiivisen) kokonaisluvun kuutioiden summana: Arvonimet Suomessa
Suluissa olevat summat tarkoittavat arvonimestä maksettavan veron määrää. Jälkimmäinen summa osoittaa veron määrän silloin, kun arvonimen saaja on päätoimisessa virka- tai työsuhteessa taikka muussa siihen verrattavassa palvelussuhteessa valtioon, kuntaan tai kirkkoon. Muussa tapauksessa veroa maksetaan edellisen summan mukaan. Veron maksaa arvonimeä esittänyt taho, ei arvonimen saaja itse.Viimeksi arvonimiluetteloa on muutettu tasavallan presidentin asetuksella syyskuussa 2017. Tätä välittömästi edeltänyt muutos luetteloon tehtiin tammikuussa 2012. Tekijäryhmä
Kokonaisluvut formula_44 muodostavat ryhmän yhteenlaskun suhteen. Olkoon formula_45 mielivaltainen kokonaisluku ja joukko
luvun formula_45 monikertojen joukko. Tällöin aliryhmäkriteerin nojalla formula_48 ja koska kyseessä on Abelin ryhmä, niin formula_49 Nyt tekijäryhmä formula_50 on kertalukua formula_45 oleva syklinen ryhmä, jota kutsutaan kokonaislukujen yhteenlaskuryhmäksi modulo formula_52 Epämääräinen muoto
Esimerkiksi jakolaskun 0/0 tulos ei ole määritelty, koska jakolaskun määritelmän mukaan se voisi olla mikä luku tahansa - onhan mikä tahansa luku nollalla kerrottuna nolla. Nollalla jakaminen on myös intuitiivisesti outo tapahtuma. Potenssilaskennassa merkintä formula_1 ei ole määritelty, sillä eri tavoilla laskemalla siitä voidaan saada joko 1 tai 0. Matematiikassa jokaiselle lausekkeelle tulee voida osoittaa tulokseksi vain yksi lukuarvo. Karnaugh’n kartta
Kartasta muodostetaan sievennetty tulojen summa- tai summien tulo-muotoinen lauseke. Sieventämisessä kartalta etsitään vierekkäisiä soluja, joissa on sama arvo. Tarkastelun kohteeksi valitaan joko tosi- tai epätosi-solut riippuen siitä, kumman muotoinen lauseke halutaan johtaa: tosi-solut tulojen summaa varten ja epätosi-solut summien tuloa varten. Tarkoitus on jakaa kartta mahdollisimman isoihin suorakulmaisiin alueisiin, joiden solujen määrä on jokin kahden potenssi (1, 2, 4, 8...), joiden sisällä kaikissa soluissa on sama arvo, jotka voivat mennä päällekkäin, ja jotka sisältävät lopulta kaikki solut, joissa on tarkastelun kohteeksi valittu totuusarvo. Suunnattu derivaatta
Funktioiden summa: 
Vakiovektorin sääntö: 
Funktioiden tulon sääntö: 
Ketjusääntö: Jos "g" on differentioituva pisteessä p and "h" on differentioituva pisteessä "g"(p), silloin Arkhimedeen lause
Todistetaan ensin, että ylhäältä rajoitetulla kokonaislukujen joukolla on olemassa maksimi. Merkitään tätä joukkoa symbolilla "E" ja jotain sen ylärajaa kirjaimella "r". Tällöin joukko "E" määritellään seuraavasti "E" =: {m kuuluu kokonaislukuihin | "m" ≤ "r"} ("r" reaaliluku). Koska joukko "E" on ylhäältä rajoitettu, on sillä olemassa täydellisyysaksiooman mukaan pienin yläraja eli supremum, "G" =: sup "E". Supremumin määritelmän mukaan on olemassa joukon "E" alkio "x" siten että "x" > "G" - 1/2. Tällöin "x" on joukon "E" maksimi. Jos "x" ei olisi joukon "E" maksimi, olisi olemassa joukon "E" alkio "y" siten, että "y" ≥ "x" + 1 > "G" , mikä taasen olisi ristiriita, koska "G" (= sup "E") ≥ "x", kaikilla "x" kuuluu joukkoon "E". Summa summarum
Summa summarum (suom. 'Summien summa' eli 'loppujen lopuksi'), latinankielisiä termejä, on Arto Kivimäen toimittama sitaattikokoelma. Se on painettu Kariston kustantamana Hämeenlinnan kirjapainossa. "Summa summarum" kertoo latinankielisten sivistyssanojen sekä filosofisten ja tieteellisten termien taustoja ja opastaa niiden käyttöä. Newtonin summat
formula_10 Euro
Kun rahasummaan kirjoitetaan näkyviin myös sentit, summaa ei ole suotavaa kirjoittaa vain yhdellä desimaalilla (kymmenien senttien tarkkuudella) silloinkaan, kun toinen desimaali olisi nolla. Sentit on siis paras kirjoittaa kahdella desimaalilla (yksittäisten senttien tarkkuudella), esimerkiksi 12,30 € eikä 12,3 €, tai 8,00 € eikä 8,0 €. Tämä oli jo markka-aikana vakiintunut tapa merkitä rahasummia. Sen sijaan suurempia lukuarvoja käytettäessä desimaalien määrän voi valita halutun esitystarkkuuden mukaan (esim. 25,7 milj. euroa). Suoraan verrannollisuus
Matemaattisesti tämä voidaan ilmaista yhtälöllä. Olkoon suureet "A" ja "B" verrannolliset, jolloin niiden arvojen suhde on aina "k". Silloin voidaan kirjoittaa 
Tällöin sanotaan, että ""suure A on suoraan verrannollinen suureeseen B"" ja tämä voidaan lyhentää joko formula_2 tai formula_3. Skolastiikka
Toinen kirjallisuuslaji oli "summa". Kyseessä oli laaja kaikki kysymykset sisältävä järjestelmä, jonka tarkoituksena oli vastata kaikkiin kristinuskoa koskeviin kysymyksiin joita vain voitaisiin esittää. Näin vastaus kysymykseen voitaisiin aina löytää summasta, ja sitä voitaisiin käyttää lähteenä, jos uusia kysymyksiä nousisi esille. Merkittävin ja laajin keskiajalla kirjoitettu summa on Tuomas Akvinolaisen "Summa theologiae", joka sisälsi koko kristinuskon teologian yhteenvedon. Luku
Kokonaisluvut muodostavat algebrallisessa mielessä renkaan, jossa kahdelle luvulle on aina määritelty yhteen-, vähennys- ja kertolasku. Suppeneva sarja
Sarjan summa määritellään sarjan äärellisten osasummien muodostaman lukujonon
raja-arvona. Jos tällainen summa löytyy, sarja suppenee. Jos sarja ei suppene, on se hajaantuva sarja. Suppenemisen voi osoittaa määritelmän avulla tai suppenemistesteillä Summa
Summaksi kutsutaan yhteenlaskun tulosta tai yhteenlaskutoimitusta. Supistaminen
Supistaminen on matemaattinen toimenpide, joka suoritetaan erityisesti murtoluvuille, tavoitteena niiden yksinkertaisempi jatkokäsittely. Toimenpiteessä murtoluvun osoittaja ja nimittäjä jaetaan samalla luvulla (tai termillä), jotta liian suurista luvuista päästäisiin eroon. Supistettaessa etsitään osoittajan ja nimittäjän suurin yhteinen tekijä eli suurin luku jolla osoittaja ja nimittäjä voidaan jakaa. Pienillä luvuilla tämä on melko helppoa suorittaa päässä kertotaululla, mutta monimutkaisempiin murtolukuihin on helpompi löytää suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmilla.
Yleensä supistamista ei kannata käyttää, jos osoittaja ja nimittäjä eivät ole jaollisia samalla luvulla.
Supistaminen ei muuta murtoluvun arvoa pienemmäksi tai isommaksi. Tšebyšovin summaepäyhtälö
on Algebrallinen kokonaisluku
Algebrallinen kokonaisluku on kompleksiluku, joka on sellaisen kokonaislukukertoimisen polynomin juuri, jonka korkeimman asteen termin kerroin on yksi. Algebrallisten kokonaislukujen joukko on suljettu yhteenlaskun ja kertolaskun suhteen, joten se muodostaa alirenkaan kompleksilukujen joukossa, merkitään A. Algebralliset kokonaisluvut muodostavat kokonaissulkeuman kokonaislukujen kunnan suhteen. Pienin yhteinen jaettava
Kahden tai useamman kokonaisluvun pienin yhteinen jaettava eli pienin yhteinen monikerta, p.y.j., on matematiikassa pienin kokonaisluku, joka on tasan jaollinen kyseessä olevilla luvuilla. Käytännössä p.y.j. ilmaantuu esimerkiksi murtolukujen yhteen- ja vähennyslaskussa (ks. esimerkki alla). Se on mahdollista määrätä jakamalla luvut alkutekijöihinsä ja kertomalla niiden tekijöiden korkeimmat potenssit. Tase
Tase on yksi yrityksen taloudellisen tilan arvioimiseen käytetyistä taloudellisista raporteista. Tase mittaa yrityksen omaisuuden ja velkojen arvoa tiettynä ajankohtana. Taseen pari on tuloslaskelma, joka mittaa yrityksen tuottoja, kuluja ja voittoa tai tappiota tietyn ajanjakson aikana. Kokonaisluku
Kokonaisluvun itseisarvon tulkinta voidaan johtaa reaaliluvuista. Reaaliluvun itseisarvo voidaan tulkita lukusuoralla olevan luvun "etäisyyttä" nollasta. Tätä tulkintaa voidaan soveltaa kokonaisluvuille, vaikka ne eivät olekaan reaalilukuja. Kokonaisluvut ilmaisevat määrää, joten negatiivisen luvun itseisarvolla on sama määrä kuin positiivisen vastaluvun itseisarvollakin. Itseisarvon tulos ilmaistaan positiivisella luvulla eli luonnollisella luvulla. Aggregointi
Aggregointi on tilastotieteessä pienemmille havaintoyksiköille laskettujen tunnuslukujen yhdistämistä tai summaamista laajempien havaintoyksiköiden tasolle. Aggregaattisuureita tarkastellaan etenkin makrotaloustieteessä. Esimerkiksi inflaation laskemiseksi muodostetaan hintaindeksi, jossa aggregoidaan yksittäisten hyödykkeiden hinnat koko kansantalouden tasolle. Samoin esimerkiksi tuotetut aineelliset ja aineettomat hyödykkeet aggregoituvat mm. bruttokansantuotteeksi, palvelutasoksi sekä uusiksi työpaikoiksi ja hyvinvoinnin lisäykseksi. Yhdistetty luku
Yhdistetty luku on yhtä suurempi kokonaisluku, joka ei ole alkuluku. Toisin sanoen yhdistetty luku on luku, jolla on useampia tekijöitä kuin se itse ja luku 1. Esimerkiksi 14 on yhdistetty luku, koska se jakautuu tekijöihin: 2 × 7. Newtonin summat
formula_6 Kokonaisluku
Kokonaislukuja on ääretön määrä. Matematiikassa voidaan verrata kahta lukujoukkoa ja päätellä, kummassa on enemmän alkioita, vai onko niitä yhtä paljon. Georg Cantor osoitti vertailemalla kokonaislukuja luonnollisiin lukuihin niiden olevan yhtä mahtavia joukkoja. Hän aloitti vertailun järjestämällä ensin kokonaisluvut itseisarvoltaan kasvavaksi jonoksi: formula_42. Tämän jälkeen hän "numeroi" jokaisen kokonaisluvun luonnollisella luvulla eli kirjasi vastaavuudet: formula_43 Lopulta hän totesi, että jokaiselle kokonaisluvulle (etumerkistä huolimatta) voidaan osoittaa luonnollinen luku pariksi, joten molemmat lukujoukot ovat yhtä mahtavat. Tämä voidaan merkitä formula_44 ja sanoa, että kokonaisluvut ovat numeroituvasti ääretön joukko. Tarkistussumma
Tarkistussumma on tietotekniikassa käytetty tarkistuskoodaustapa, jolla voidaan todeta, onko siirretty tai tallennusmedialta luettu tieto ehjää vai siirto-/tallennusvirheiden sotkemaa. Tarkistussumma toimii siten, että datasta muodostetaan tiivistealgoritmilla vakiokokoinen luku. Datan oikeellisuus voidaan selvittää laskemalla tarkistussumma uudelleen, ja jos se ei täsmää edellisen summan kanssa, data on virheellistä. Yhteinen tekijä
Kuten sivuttua, matematiikassa yhteinen tekijä merkitsee, että eri termit ovat jaollisia tällä kyseisellä tekijällä. Tällaisia tekijöitä voi olla useampia ja yhteinen tekijä voi myös olla eri termien summa (polynomifunktiot). Sulkeet
Esimerkiksi lausekkeessa 5 + 2 · 3 on suoritettava ensin kertolasku 2 · 3 = 6 ja sitten yhteenlasku 5 + 6 = 11, joten lausekkeen arvo on 11. Sen sijaan lausekkeessa (5 + 2) · 6 on suoritettava ensin yhteenlasku 5 + 2 = 7, minkä jälkeen tämä summa kerrotaan 6:lla, jolloin lausekkeen arvoksi saadaan 42. Kulma
Tasogeometriassa on ollut erityisasemassa sellaiset kahden kulman summat, jotka ovat yhteensä suora kulma, oikokulma tai täysi kulma. Jos kahden kulman summa on 90° niin kulmat ovat toistensa komplementtikulmia. Vastaavasti, jos kulmien summa on 180°, ovat kulmat toistensa suplementtikulmia, ja jos kulmien summa on 360°, ovat ne toistensa eksplementtikulmia. Kompleksikonjugaatti
Määritelmästä seuraa, että liittolukujen summa ja tulo ovat reaalilukuja Summa (kirjallisuus)
"Summa theologiae" koostuu kysymyksistä (kvestio, "quaestio"), jotka ovat ikään kuin disputaatioissa esitettyjä kysymyksiä. Kysymykset ovat kuitenkin keinotekoisia, eivätkä ne ole sidoksissa mihinkään todella käytyyn suulliseen väittelyyn. Näin kysymykset on voitu järjestää vapaasti aiheittain loogisesti ja retorisesti tehokkaaseen järjestykseen. Jokaiseen kysymykseen pyritään löytämään vastakkaisia näkökantoja esittäviä vastauksia. Päin vastoin kuin "Sentenssit", teos käyttää auktoriteetteja ainoastaan muodostettaessa vastauksia esitettyihin kysymyksiin, ei itsetarkoituksellisesti. Kokonaisluku
Lukujen positiivisuus- ja negatiivisuus vaikuttavat tulon ja osamäärän laatuun. Jos laskutoimituksen molemmat luvut ovat saman merkkiset, saadaan positiivinen tulos. Jos luvut ovat eri merkkiset, saadaan negatiivinen tulos. Tämä voidaan merkitä luonnollisten lukujen formula_20 ja formula_17 avulla, missä negatiivisuus ilmaistaan miinus-merkillä:
Kahden luvun jakolaskun tulos saadaan vastaavalla tavalla. Kumulaatio
Kumulaatio eli juttujen yhtyminen tarkoittaa, että samassa oikeudenkäynnissä tutkitaan ja ratkaistaan useita kanteita yhdessä. Tällä pyritään saavuttamaan oikeudenkäynnin päämäärä mahdollisimman nopeasti ja vähin kustannuksin (prosessiekonomia) sekä välttämään ristiriitaiset tuomiot. Kumulaatio esiintyy useassa muodossa sekä riita-asioiden että rikosasioiden oikeuskäsittelyssä. Kumulaatio edellyttää, että kanteet on nostettu samassa tuomioistuimessa ja tämä on toimivaltainen käsittelemään yhdistetytkin kanteet. Kumulaation edellytyksenä on yleensä myös se, että kanteet on nostettu ennen oikeudenkäynnin valmistelun päättymistä. Kombinatoriikka
Permutaatio on jokainen jono, joka sisältää annetun joukon alkiot lueteltuna jossakin järjestyksessä. Annetun äärellisen joukon permutaatioiden lukumäärä on sen alkioiden lukumäärän kertoma, eli luku, joka saadaan kertomalla keskenään kaikki kokonaisluvut yhdestä alkioiden lukumäärään saakka. Jos siis joukossa on formula_1 alkiota, ne voidaan luetella formula_2 eri järjestyksessä eli permutaatioita on formula_2 Kiinalainen jäännöslause
Nyt voimme muodostaa summan Ydin (algebra)
Vektorialkioiden välillä voidaan laskea summa ja tulo, se on siis näiden alkioiden suhteen rengas, jonka ykköselementti on identtinen kuvaus. Summan suhteen kuvaus on myös Abelin ryhmä. Kun kuvauksella on vektoriavaruuden ja renkaan struktuuri, se on algebra. Suora summa
Muita esimerkkejä suorista summista ovat Abelin ryhmien suora summa, modulien suora summa, renkaiden suora summa, matriisien suora summa ja topologisten avaruuksien suora summa. Newtonin summat
formula_7 Rekursio
Rekursio on matemaattinen keino määritellä funktioita niin, että funktion arvo tietyssä pisteessä riippuu funktion arvosta edellisessä pisteessä. Rekursioyhtälö annetaan yleensä kaksiosaisena: toinen osa määrittelee funktion arvon jollain tunnetulla alkuarvolla (alkuarvoja voi olla myös useita) ja toinen osa muulloin. Esimerkiksi kertoma on helppo määritellä luonnollisille luvuille rekursiivisesti seuraavaan tapaan: Hajaantuva sarja
Summa- eli summausmenetelmää voidaan kutsua säännölliseksi, mikäli se on yhtenevä suppenevan sarjan ehtojen kanssa. Säännöllistä summamenetelmää voidaan kutsua Abelin teoreemaksi. Alfred Tauberin kehittämiä Tauberin teoreemaa pidetään yleisesti matemaattisesti mielenkiintoisempina, mutta se soveltuu paremmin suppenevien sarjojen tutkimiseen. Suure
Suure on jonkin asian tai esineen mitattava ominaisuus (muun muassa fysiikassa). Suureen arvo mitataan käyttäen yksikköä, joka on sovittu määrä kyseistä ominaisuutta. Mittauksessa selvitetään kuinka moninkertainen mitattava arvo on yksikköön nähden. Suureen lukuarvo on tämä kerroin ja suure ilmoitetaan lukuarvon ja yksikön kertolaskuna. Liukuluku
Lopuksi standardi määrittelee tuloksen laskutoimitukselle, jolle ei ole mielekästä vastausta edes äärettömien tai nollien avulla esitettynä. Esimerkiksi positiivisen ja negatiivisen äärettömän summa on tällainen: taustalla on ajatus, jonka mukaan emme tiedä kumpi ääretön on suurempi, joten mikään vastaus ei kelpaa. Jokaisen luvun jokainen laskutoimitus epäluvun kanssa tuottaa epäluvun: esimerkiksi epäluku kertaa nolla "ei" ole nolla vaan epäluku. Einsteinin summaussääntö
Usein edellytetään, että summauksessa toisen indeksin on oltava ylhäällä ja toisen alhaalla (kontra- ja kovariantit indeksit). Tällöin jommankumman vektorin indeksi on yleensä nostettava tai laskettava metrisen tensorin avulla. Näin on esimerkiksi juuri suhteellisuusteoriassa, jossa avaruus ei yleisesti ottaen ole laakea ja jossa siksi formula_5 ja formula_6 ovat yleensä eri vektoreita. Kokonaisluku
Koska kokonaisluvut edustavat lukumäärää, on se samalla tavalla järjestetty joukko kuin luonnolliset luvut, jossa järjestysrelaatiolla voidaan ilmaista luonnollisten lukujen kaksi tärkeintä ominaisuutta. Kun kahta lukua verrataan keskenään, saadaan aina joko formula_45 tai formula_46 tai formula_47. Tätä ominaisuutta kutsutaan trikotomiaksi. Jos tarkastellaan kolmea luonnollista lukua, joille pätee ensin formula_45 ja formula_49, niin silloin voidaan päätellä myös, että formula_50. Tätä ominaisuutta kutsutaan transitiivisuudeksi. Järjestysrelaation toiminnasta johtuu se, että kokonaisluvut, ja kaikki sen osajoukot, ovat hyvinjärjestetty lukujoukko. Kokonaisluku
Kokonaislukujen joukko on laskutoimituksen suhteen suljettu, jos kahden luvun laskun tulos kuuluu kokonaislukuihin. Yhteenlaskun suhteen näin onkin, sillä kahden luvun formula_20 ja formula_17 summa formula_37 on aina joko positiivinen- tai negatiivinen kokonaisluku tai nolla ja summa kuuluu siten kokonaislukuihin. Sama ominaisuus on myös kertolaskulla. Tämän vuoksi lukujoukko on suljettu yhteenlaskun ja kertolaskun suhteen. Brewerin summa
Brewerin summa on matematiikassa eräs Jacobstahlin summiin liittyvä äärellinen karakteristikasumma. Yhdistetty funktio
Matematiikassa yhdistetyllä funktiolla tarkoitetaan kahta funktiota siten, että ensiksi muuttuja kuvataan ensimmäisellä funktiolla joksikin arvoksi ja sitten saatu tulos kuvataan toisella funktiolla uudeksi arvoksi. Täsmällisesti: Superpositioperiaate
Jos väliaineessa liikkuu useita aaltoja samanaikaisesti jonkin paikan kautta, aaltoliikkeet yhdistyvät summa-aalloksi. Periaatetta, jonka mukaan summa-aalto määräytyy osa-aalloista, sanotaan superpositioperiaatteeksi Termi (matematiikka)
summamuotoon Täydellinen luku
Täydellinen luku on luonnollinen luku, joka on itseään pienempien tekijöidensä summa. Täydellisiä lukuja ovat esimerkiksi 6 ja 28, koska 1 + 2 + 3 = 6 ja 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Positiiviset kokonaisluvut, jotka eivät ole täydellisiä, ovat joko runsaita tai vajaita. Todennäköisyysteoria
"Summaperiaate": jos satunnaiskoe koostuu formula_147:sta kappaleesta toisensa poissulkevia ryhmiä lopputuloksia siten, että ensimmäisessä ryhmässä on formula_148 tulosvaihtoehtoa, toisessa ryhmässä formula_149 tulosvaihtoehtoa, ja niin edelleen niin että viimeisessä ryhmässä on formula_150 tulosvaihtoehtoa, niin kokeella on formula_156 tulosvaihtoehtoa. Goursat’n lemma
sillä muodostettaessa viimeksi mainittu summa tulee funktio integroiduksi niiden alkuperäisen kolmion Δ keskipisteiden yhdistysjanojen yli kahteen kertaan, vastakkaisiin suuntiin, jolloi näiden janojen yli otetut integraalit ovat toistensa vastalukuja. Valitaan kolmioksi Δ se näistä kolmioista, jonka reunan ympäri otettuna funktion f integraali on itseisarvoltaan suurin. Jos tämän integraalin arvolle käytetään merkintää "I" on siis |"I"| = |"I"|. Käytetään kolmioiden Δ ja Δ pinta-aloille merkintöjä |Δ| ja |Δ|, jolloin |Δ| = 4 |Δ|. Tällöin saadaan: Summa (kirjallisuus)
"Sentensseissä" aiheet oli järjestetty neljään kirjaan seuraavalla tavalla: ensin aiheet jaetaan ”asioihin” ("res") ja ”merkkeihin” ("signa"). ”Asiat” jaetaan edelleen seuraavasti: autuutemme kohde, Jumala (ensimmäinen kirja); tämän päämäärän saavuttaminen, luodut (toinen kirja); hyveet, ihmiset ja enkelit, eli erityiset autuuden välineet ja autuuden subjektit (kolmas kirja). Neljäs kirja käsittää merkit eli sakramentit. Teoksen päämääränä oli koota auktoriteettien lauselmia eri aiheisiin liittyen. Sarja (matematiikka)
Osasumma formula_33
Summa on geometrinen summa; formula_34, termejä formula_35.
formula_36. Modulaarinen aritmetiikka
niin:Nämä lait pätisivät siinäkin tapauksessa, että teoria laajenne­ttaisiin käsittämään kaikki reaali­luvut, toisin sanoen vaikka luvut formula_11 eivät kaikki olisikaan kokonais­lukuja, mutta kongruenssi määriteltäisiin reaali­luvuille muutoin samaan tapaan kuin edellä. Seuraava ominaisuus pätee kuitenkin vain, jos ne kaikki ovat kokonais­lukuja:Modulaarisen aritme­tiikan käsite liittyy läheisesti jakoyhtälöön ja siinä esiintyvään jako­jäännökseen. Jako­jäännöksen määrittä­mistä nimite­täänkin joskus "modulo-operaatioksi", ja joskus näkee käytet­tävän sellaistakin merkintää kuin . Erona jako­yhtälöön verrattuna on kongruenssin käsite, jolle käytetään merkintää "≡" yhtäläisyys­merkin "=" asemesta. Lukujen kongruenssi on ekvivalenssirelaatio, johon liittyviä ekvivalenssi­luokkia sanotaan jäännös­luokiksi. Kunkin jäännös­luokan edustajaksi valitaan tavallisesti sen pienin ei-nega­tiivinen luku, esimerkiksi . Tätä sanotaan myös residyksi. Tästä seuraa, että vaikka on oikein merkitä , ja , on väärin merkitä (missä "=" esiintyy "≡" -merkin sijasta). Könttäsummavero
Könttäsummavero, könttävero tai tasasummavero on vero, jonka suuruus ei perustu yksilön toimintaan ja joka siten määrätään verovelvollisille maksettavaksi saman suuruisena. Könttäsummaveron suuruus ei riipu tuloista, varallisuudesta tai kulutuksesta. Operaation suhteen suljettu joukko
Kokonaisluvut on suljettu joukko yhteen-, vähennys- ja kertolukujen suhteen eli formula_15, formula_16 ja formula_17. Jakolasku on suljettu joukko kaikkien- tai positiivisten rationaalilukujen joukossa eli formula_18 ja formula_19. Summa (kirjallisuus)
Diminutiivimuoto "summulae" on myöhempää alkuperää kuin "summa". Sitä käytettiin enimmäkseen logiikan alan yhteenvedoista, joita käytettiin oppikirjoina 1200-luvulla. Tunnetuin näistä on Petrus Hispanuksen teos "Summulae logicales". Sarja (matematiikka)
Jos osasummien jonolle on olemassa raja-arvo, sarjan summa on
formula_12Sarja formula_13 on aritmeettinen, jos lukujono formula_14 on muotoa formula_15 eli jos kahden peräkkäisen termin erotus on vakio formula_16. Yhteismitallisuus (matematiikka)
Matematiikassa kahta reaalilukua "a" ja "b", joista kumpikaan ei ole nolla, sanotaan yhteismitallisia, jos niiden suhde formula_1 on rationaaliluku. Muussa tapauksessa niitä sanotaan yhteismitattomiksi. Rationaaliluvut ovat lukuja, jotka ovat yhtä suuria kuin joidenkin kahden kokonaisluvun suhde. Ryhmäteoriassa on määritelty myös yleisempi yhteismitallisuuden käsite. Gaussin kokonaisluku
Gaussin kokonaisluku (tai Gaussin luku) on kompleksiluku formula_1, jossa formula_2 ja formula_3 ovat kokonaislukuja ja formula_4 on imaginaariyksikkö. Gaussin kokonaisluvut on nimetty saksalaisen matemaatikon Carl Friedrich Gaussin mukaan. Integrointi moniulotteisessa avaruudessa
(ks. infimum ja supremum). Määritellään näiden avulla jakoon formula_31 liittyvä "alasumma" kaavalla Operaatiovahvistimen kytkennät
Summaaja eli summauskytkentä on operaatiovahvistinkytkentä, joka perustuu kääntävään takaisinkytkentään. Sitä voidaan käyttää useamman tulon yhdistämiseen, kun jokaiseen tuloon laitetaan tunnettu vastus. Lähtöjännite formula_12 on verrannollinen tulojänniteisiin formula_13 jne.
Jos tulovastukset formula_14 jne. ovat keskenään identtisiä, pätee yhtälö: Tulovero
Yhtymiä ovat verotuksessa eräät yhtiöt kuten kommandiittiyhtiö ja avoin yhtiö sekä tietyt muut yhteenliittymät. Yhtymät ovat verotuksessa ns. laskentasubjekteja. Ne eivät ole erillisiä verovelvollisia, vaan niille lasketaan tulo, joka jaetaan verotuksessa yhtymän osakkaiden tuloksi. Suurin yhteinen tekijä
Matematiikassa kahden kokonaisluvun "a" ja "b" suurin yhteinen tekijä, merkitään syt("a", "b") tai pelkästään ("a", "b"), tarkoittaa suurinta sellaista lukua, joka jakaa molemmat luvut "a" ja "b" niin, että lopputulos on kokonaisluku. Suurin yhteinen tekijä voidaan etsiä jakamalla tarkasteltavina olevat luvut alkutekijöihin. Tällöin lukujen suurin yhteinen tekijä saadaan ottamalla ne alkuluvut, jotka esiintyvät molempien lukujen alkutekijähajotelmassa korotettuna siihen potenssiin, joka on pienempi tämän kyseisen alkuluvun eksponentti lukujen alkutekijähajotelmissa. Suurin yhteinen tekijä on tällöin saatujen lukujen tulo.
Siis jos Sumea säätö
Sumeassa sääntökannassa esitetään säädön perusajatus päättelysääntöjen kokoelmana. Sääntö koostuu ehto-osasta, joka voi sisältää yhden tai useampia ehtoja, ja seurausosasta, joka voi sisältää joko sanallista tai funktiomuotoista tietoa. "Mamdanin mallissa" seurausosa on määritelty sumeana joukkona. Huomaa, että sumeassa logiikassa säännöllä tai seurausosalla voi olla diskreetin totuusarvon (tosi tai epätosi) sijasta reaalinen totuusarvo jollakin suljetulla välillä. Cesàron yhteenlasku
Cesàron yhteenlasku määrittelee jatkuvien sarjojen yhteenlaskua. Se tunnetaan myös nimellä "Cesàron summakaava". Kunta (matematiikka)
Vaikka nimitykset (yhteenlasku, kertolasku, summa, tulo) antavat mielikuvan, että kunnassa pelataan luvuilla, niin näin ei välttämättä ole – alkiot voivat olla muitakin käsitteitä kuin lukuja. Nollalla merkityn alkion formula_5 ei senkään tarvitse olla "oikea nolla", vaan se on vain yhteenlaskussa vaikuttamaton alkio (yhteenlaskun neutraalialkio); samaten on ykkösellä merkitty formula_19 vain kertolaskussa vaikuttamaton alkio(kertolaskun neutraalialkio). Tšebyšovin summaepäyhtälö
on Kulma
Myös suunnatuilla kulmilla voidaan laskea yhteen- ja vähennyslaskua. Yhteenlaskun laskutoimitus voidaan suorittaa piirtämällä ensimmäinen kulma paperille. Summan toinen kulma piirretään niin, että ensimmäisen kulman loppukylkelle sijoitetaan toisen kulman alkukylki ja toisen kulman loppukylki piirretään suunnatun kulman määräämään suuntaan. Vähennyslaskussa toisen kulman alkukylki piirretään ensimmäisen kulman loppukylkeen, mutta toisen kyljen loppukylki piirretään vastakkaiseen kiertosuuntaan kuin sen oma kiertosuunta on. Kulmien yhteen- ja vähennyslaskut suoritetaan kulmien lukuarvoilla ja huomioimalla kulmien suunnat lukuarvojen etumerkeillä, saadan summat reaalilukujen laskusääntöjä noudattamalla. Newtonin summat
formula_6 Kolmioepäyhtälö
Kolmioepäyhtälö on hyödyllinen matemaattisessa analyysissä arvioimaan kahden luvun summan suuruutta. Myös summan alarajalle saadaan arvio. Tätä nimitetään toisinaan käänteiseksi kolmioepäyhtälöksi. Sen mukaan kaikilla reaaliluvuilla "x" ja "y" on voimassa Yhteinen tekijä
Murtoluvuilla yhteen- ja vähennyslaskuja tehtäessä tulee murtoluvut saada vertailukelpoisiksi, ne tulee laventaa/supistaa samannimisiksi, jolloin nimittäjä on luvuilla yhteinen tekijä.
Jos olemme eri mieltä, väitämme, että puolikas jostain kokonaisuudesta on sama asia kuin sadasosa tästä samasta kokonaisuudesta. Konjunktio (logiikka)
Konjunktio on propositiologiikassa kaksipaikkainen looginen konnektiivi, joka vastaa yleiskielen sanaa "ja". Sillä muodostettu yhdistetty lause on tosi, jos molemmat sen yhdistämät lauseet ovat tosia, muussa tapauksessa epätosi. Lauseiden "A" ja "B" konjunktiolle käytetään merkintää formula_1.