Mitä ylinumeroituva joukko tarkoittaa matematiikassa?
Ylinumeroituva joukko
Ylinumeroituva joukko on matematiikassa joukko-opin termi ja se tarkoittaa joukkoa, joka ei ole numeroituva. Siinä on silloin merkittävästi enemmän alkioita kuin numeroituvassa joukossa eli se on mahtavampi joukko. Ylinumeroituva joukko
Koska numeroituva joukko voi olla alkiomäärältään joko äärellinen tai ääretön, on näitä joukkoja mahtavampi joukko aina alkiomäärältään ääretön. Kansantajuisesti ilmaistuna: kun numeroituvasti ääretön joukko sisältää aina "yhtä monta alkiota" kuin luonnollisten lukujen joukko formula_1, ylinumeroituvassa joukossa on huomattavasti enemmän lukuja. Numeroituvuus voidaan todeta asettamalla tutkittavan joukon alkiot yksi kerrallaan pariksi luonnollisten lukujen alkioiden kanssa siten, että kaikki joukon alkiot tulevat käsiteltyä yhden kerran. Ylinumeroituvan joukon alkioita on niin paljon, ettei sen alkioita pystytä edes luettelemaan missään järjestyksessä, jotta parinmuodostusta voisi suorittaa.
Hyperreaaliluku
Jokaista reaalilukua formula_90 vastaa hyperreaalilukujen joukossa oleva ekvivalenssiluokka formula_91. Muotoa 
formula_92 olevaa hyperreaalilukua sanotaan standardiksi hyperreaaliluvuksi. Hyperreaaliluvut, jotka eivät ole standardeja ovat epästandardeja hyperreaalilukuja eli siis kaikki joukon formula_93 alkiot. 
Epästandardit hyperreaaliluvut ovat siis niitä varsinaisia hyperreaalilukuja, jotka sisältävät jollain tavalla äärettömyyden. Ne voivat olla joko äärettömiä, äärellisiä tai infinitesimaalisia: Joukko-oppi
Yleis­kielessä joukko-opilla viitataan usein 1960- ja 1970-luvuilla toteutettuun, mutta lyhyt­aikaiseksi jääneeseen koulujen matematiikan opetuksen uudistukseen, niin sanottuun uuteen matematiikkaan, jossa joukko-oppi tuotiin uutena metodina matematiikan perusteiden koulu­opetukseen. Joukko-oppi
Jos joukossa on vain muutama alkio, se voidaan esittää luettelo­muodossa. Tällöin alkiot erotetaan toisistaan pilkuilla, ja luettelo ympäröidään aalto­suluilla. Esimerkiksi {1, 2, 3, 4} tarkoittaa joukkoa, johon kuuluvat luvut 1, 2, 3 ja 4. Joukon katsotaan olevan sama joukko, lueteltiinpa sen alkiot missä järjestyksessä tahansa; toisin on esimerkiksi järjestettyjen parien ja lukujonojen tapauksessa. Ylinumeroituva joukko
Jos joukon formula_2 osajoukko formula_24 on ylinumeroituva, niin myös joukko formula_2 on ylinumeroituva. Luonnollinen luku
Mahtavuuksia verrataan luettelemalla luonnollisten lukujen rinnalle vertailujoukon lukuja pareiksi. Jos havaitaan, että luettelointia voi jatkaa kummankin joukon avulla äärettömän monta kertaa, ovat lukujoukot yhtä mahtavia. Esimerkiksi parillisia lukuja verrataan siten, että sen pienin luku 2 kytketään luonnollisten lukujen pienimpään lukuun 1, parillisten seuraava 4 kytketään luonnollisten 2:een, parillisten 6 kytketään luonnollisten 3:een, ja niin edelleen. Tätä jatketaan äärettömän monta kertaa, mikä on mahdollista, koska kumpaakin lukujoukkoa on ääretön määrä. Tämän jälkeen todetaan vain, että kumpikin joukko on yhtä mahtava. Vertailua kutsutaan lukujoukon numeroimiseksi ja parillisia lukuja on numeroituvasti ääretön määrä. Yhteenlasku
Kymmenjärjestelmässä luvun desimaalit ovat numerot nollasta yhdeksään, 0,1...,9. Laskettaessa numeroita yhteen saadaan joskus summaksi yli kymmenen. Tällöin ylimenevä kymmenen on siirrettävä "muistiin" ja lisättävä seuraavana vasemmalla olevaan desimaalien summaan. Joukko-oppi
Eräitä matematiikassa keskeisen tärkeitä joukkoja ovat tyhjä joukko (ainoa joukko, jossa ei ole yhtään alkiota), luonnollisten lukujen joukko ja reaalilukujen joukko. Surreaaliluku
Surreaaliluku on matematiikassa luku, joka voi olla itseisarvoltaan myös pienempi tai suurempi kuin mikään positiivinen reaaliluku. Surreaalilukujen kunta sisältää reaalilukujen lisäksi sekä äärettömän suuret että äärettömän pienet luvut. Boolen algebra
Boolen algebran sanotaan olevan äärellinen, jos sen alkioiden määrä on äärellinen. Äärellisille Boolen algebroille saadaan hyvin yksinkertainen joukko-opillinen esitysmuoto, sillä silloin voidaan perusjoukoksi formula_21 valita äärellinen joukko ja Boolen algebran alkioiksi kaikki formula_21:n osajoukot. Äärellisen Boolen algebran kohdalla löydetään siis perusjoukko, josta voidaan käyttää kaikki osajoukot, mikä on yksinkertaisin tilanne. Tästä selvästi seuraa myös, että äärellisen Boolen algebran alkioiden lukumäärä on välttämättä muotoa formula_60, missä formula_61. Yllä esimerkkinä annetussa atomittomassa Boolen algebrassa osajoukko-alkioiden määrä sen sijaan ei ole äärellinen, vaan se on [[Numeroituvuus|numeroituvasti]] [[Äärettömyys|ääretön]]. Ylinumeroituva joukko
Tämän voi todistaa epäsuorasti. Olkoon formula_39 algebralliset luvut ja formula_28 transkendenttiluvut, jolloin formula_41. Koska formula_39 on numeroituva joukko, niin formula_29 tulisi olla numeroituva joukko, jos formula_28 on numeroituva. Koska formula_29 on kuitenkin ylinumeroituva, täytyy formula_28 olla myös ylinumeroituva. Äärettömyys
Joukkoa kutsutaan äärettömäksi, jos se sisältää rajattoman määrän eri alkioita. Vastakohtana on äärellinen joukko, jonka alkioiden määrä on jokin kokonaisluku. Esimerkkejä äärettömistä joukoista ovat luonnollisten lukujen muodostama joukko N ja reaalilukujen joukko R. Supremum
Reaaliluvuille on tyypillistä, että ylhäältä rajoitetun epätyhjän reaalilukujen joukon osajoukon supremum on "aina" olemassa, ja tämä ns. täydellisyysominaisuus erottaa reaalilukujen joukon esimerkiksi rationaalilukujen joukosta. Painotettu aritmeettinen keskiarvo
Lukujoukon luvut ovat yleensä otos tutkittavana olevasta mitatusta ilmiöstä ja tarkoituksena on määrittää tutkittavaan ilmiöön liittyvä lukuarvo mahdollisimman tarkasti. Tällöin painokertoimien määräytymisessä huomioidaan ilmiön luonnollisia ominaisuuksia. Tällainen tarkoitus tekee painotetusta keskiarvosta estimaattorin. Estimaattorilla tarkoitetaan interpolaatiomenetelmää, joka pyrkii tuottamaan mahdollisimman hyviä luonnon ilmiötä seuraavia lukuarvoja. Painokertoimien määrittämiseen löytyy lukuisia strategioita. Äärellinen kunta
Äärellinen kunta tarkoittaa matematiikassa kuntaa, jonka alkioiden lukumäärä on äärellinen. Äärellisiä kuntia kutsutaan myös Galois'n kunniksi. Kuvioluku
Kuvioluku on mikä tahansa luonnollinen luku, jota vastaava määrä pisteitä tai kappaleita voidaan asetella tasavälein pinnalle tai tilaan niin, että niistä syntyy jokin geometrisesti tunnistettava kuvio. Tasolle asetetut kuviot voidaan muodostaa monikulmioita, jotka ovat säännöllisiä tai muulla tavalla merkittäviä. Kun kuviolukuja muodostetaan tilaan, korvataan pisteet esimerkiksi palloilla, jotka asetellaan toisiinsa nähden rinnalle, alle tai päälle, ja saadaan kappaletta muistuttava kuvio. Ylinumeroituva joukko
Cantorin ajatus oli, että mahtavuudeltaan pienimmällä ylinumeroituvalla joukolla olisi kardinaaliluku formula_12. Kun hän osoitti reaaliluvut ylinumeroituvaksi joukoksi, hän oletti aluksi, että reaalilukujen kardinaaliluku olisi formula_12. Tätä ei voitu osoittaa todeksi, joten varmuuden vuoksi kardinaaliluvuksi on otettu formula_18, joka on formula_19 . Numeerinen analyysi
Jatkuva tehtävä pitää joskus korvata diskreetillä tehtävällä, jonka ratkaisun tiedetään approksimoivan jatkuvaa ongelmaa. Tätä prosessia kutsutaan diskretoinniksi. Esimerkiksi differentiaaliyhtälön ratkaisu on funktio, joka diskretoituna kuvataan äärellisellä lukujoukolla. Tämä voi esimerkiksi olla sen arvojoukko äärellisessä pisteistössä, vaikka funktio olisikin määritelty jatkumossa. Numeroituva joukko
Joukko formula_2 on numeroituva kahdessa tapauksessa. formula_2 on "numeroituva", jos sen mahtavuus on äärellinen. Esimerkiksi suomalaiset aakkoset on numeroituva joukko, koska aakkoset voidaan lueteltuina (aakkosjärjestyksessä) laskea ja niitä on äärellinen määrä 29. formula_2 on "numeroituvasti ääretön", jos se on yhtä mahtava kuin luonnollisten lukujen formula_5 joukko. Parinmuodostus vertailujoukon formula_6 kanssa jatkuu äärettömän monta kertaa tai jää kesken, mutta jokaiselle joukon formula_2 alkiolle riittää joukosta formula_6 pari. Yhteenlasku
Yhteenlasku on yksi aritmeettisista peruslaskutoimituksista ja se on ensimmäinen koululaisille opetettavista. Yhteenlaskuoperaatio yhdistää ainakin kaksi lukua, jotka ovat yhteenlaskettavat toiseksi luvuksi, summaksi. Esimerkiksi 1 + 2 = 3 (luetaan yksi plus kaksi on kolme tai yksi ynnä kaksi on kolme), jossa luku 1 on yhteenlaskettava, johon lisätään luku 2, eli yhteenlaskettava ja näin saadaan summa, eli luku 3. Yhteenlaskun käänteislaskutoimitus on vähennyslasku. Reaaliluku
Joukolla formula_58 ei ole täydellisyysominaisuutta. Esimerkiksi niiden rationaalilukujen joukko, joiden neliö on lukua 2 pienempi, on epätyhjä ja ylhäältä rajoitettu, mutta sillä ei ole (rationaalista) pienintä ylärajaa. Äärettömyys
Kaikki äärettömät joukotkaan eivät ole yhtä mahtavia, vaan niiden mahtavuuksia voidaan vertailla. Ehkä hiukan yllättäen rationaalilukujen joukko on yhtä mahtava kuin luonnollisten lukujen joukko. Sen sijaan reaalilukujen joukko on niitä mahtavampi; sen alkioita ei voi asettaa pareittain luonnollisten lukujen kanssa, vaan reaalilukuja jää väistämättä "yli". Tämä voidaan todistaa Cantorin diagonaaliargumentilla. Numeroituva joukko
Numeroituvien joukkojen aidot osajoukot ovat myös numeroituvia. Jos esimerkiksi rationaaliluvut on numeroituva joukko, myös sen osajoukko kokonaisluvut on numeroituva. Myös numeroituva määrä numeroituvia joukkoja muodostaa unionina numeroituvan joukon. Parillinen luku
Kun parillisten lukujen formula_3 määritelmässä sallitaan myös formula_5:ksi kokonaisluvut, saadaan parilliset kokonaisluvut. Tämän osajoukon mahtavuus on myös numeroituvasti ääretön. Perusjoukko (todennäköisyys)
Jatkuvat perusjoukot sisältävät ylinumeroituvan määrän alkeistapauksia tai arvoja. Perusjoukon koko olisi myös ääretön, etllei käytettäisi mittana muita tapoja. Lukuvälin formula_15 pituus formula_16 kelpaa koon suuruuden arvioksi. Samalla tavalla tikkataulun pinta-ala (#5) kelpaa todennäköisyyden määrityksen pohjaksi. Tapaa kutsutaan geometriseksi todennäköisyydeksi. Avoin joukko
Jokaisessa metrisessä avaruudessa pätee:Avoimien joukkojen leikkaus, jossa on mukana äärettömän monta joukkoa, ei välttämättä ole avoin. Esimerkiksi reaalilukujen joukossa kaikkien avoimien välien ("a" - ε, "a" + ε) leikkaus, kun ε saa kaikki reaalilukuarvot, käsittää vain pisteen "a", eikä se ole avoin. Joukko-oppi
Kombinatorinen joukko-oppi on äärellisten joukkojen kombinatoriikan laajennus, jossa käsitellään myös äärettömiä joukkoja. Siihen kuuluvat kardinaaliaritmetiikka ja Ramseyn lauseen yleistykset kuten Erdósin-Radon lause. Ylinumeroituva joukko
Joukko formula_2 on ylinumeroituva, jos se ei ole äärellinen tai numeroituvasti ääretön joukko. Ylinumeroituvuuden osoittaminen on yleisessä tapauksessa vaikeaa, vaikka joitakin helppoja tapauksia tunnetaankin. Ylinumeroituva joukko
Karteesinen tulo formula_47 voidaan tulkita koordinaatiston "xy"-tasoksi, jossa jokainen tason piste on kahden reaaliluvun koordinaattipari. Onko tässä joukossa enemmän pisteitä kuin suoralla, jota edustaa koordinaattiakseli? Ei ole, vaan molemmilla joukoilla on sama kardinaaliluku. Hyperäärellinen kunta
Hyperäärellinen kunta on matematiikassa tietyt ehdot täyttävät algebrallinen rakenne. Kunnan formula_1 sanotaan olevan hyperäärellinen, jos se on ylinumeroituva, kvasiäärellinen ja jokaisella absoluuttisesti kokonaisella E-algebralla formula_2, missä formula_3 on kunnan formula_1 alikunta ja formula_5, on olemassa E-algebrahomomorfismi formula_6. James Ax käytti hyperäärellisiä kuntia todistaessaan äärellisten kuntien alkeisteorian olevan ratkeava. Georg Cantor
Cantorin onnistui osoittaa, että reaalilukujen joukon kardinaaliluku on yhtä suuri kuin luonnollisten lukujen joukon kaikkien osajoukkojen kokoelman kardinaaliluku. Pyrkiessään osoittamaan tämän ensimmäiseksi ylinumeroituvaksi kardinaaliluvuksi hän päätyi esittämään niin sanotun kontinuumihypoteesin. Hypoteesin mukaan ei ole olemassa joukkoa, jonka mahtavuus olisi suurempi kuin luonnollisten lukujen joukon numeroituva äärettömyys, mutta pienempi kuin sen osajoukkojen kokoelman. Lukuisista yrityksistä huolimatta kontinuumihypoteesia ei onnistuttu todistamaan eikä kumoamaan. Sen sijaan nykyisin tiedetään (Gödel, 1938, ja Cohen, 1963), että kumpikaan vaihtoehto ei ole ristiriidassa joukko-opin aksioomien kanssa. Näin ollen kontinuumihypoteesia ei voida joukko-opin aksioomien perusteella todistaa eikä kumota. Se on niistä riippumaton. Joukko
Rationaalilukujen joukko on myös ääretön, koska se sisältää kaikki luonnolliset luvut ja puuttuvat murtoluvut vielä niiden lisäksi. Kumpi on siten suurempi joukko: luonnolliset luvut vai rationaalit luvut? Arkinen järki sanoo rationaalilukujen joukkoa suuremmaksi, mutta matematiikassa voidaan esittää joukkojen vertailutilanne, jossa huomataan niillä olevan yhtä monta alkiota. Alkioita on molemmissa ääretön määrä. Erotukseksi äärelliselle lukumäärälle käytetään äärettömille joukoille lukumäärän mittana mahtavuutta. Sanotaan, että luonnolliset luvut, kokonaisluvut ja rationaaliluvut ovat yhtä mahtavat. Erilliset joukot
Erillisiksi joukoiksi kutsutaan matematiikassa sellaisia joukkoja "A" ja "B", joilla ei ole yhtään yhteistä alkiota. Eli joukkojen leikkaus on tyhjä joukko, formula_1. Esimerkiksi {1, 2, 3} ja {4, 5, 6} ovat erillisiä joukkoja, koska joukoissa ei esiinny samoja lukuja. Matematiikka
Nykyisen "korkeamman matematiikan" pääosiksi mainitaan tavallisesti abstrakti algebra, analyysi ja topologia, jotka jakaantuvat moniin osa-alueisiin. Matematiikan peruskäsitteiden tarkempi analysointi on johtanut joukko-opin kehittymiseen. Ylinumeroituva joukko
Funktioiden formula_63 joukko on ylinumeroituva. Tämän joukon kardinaaliluku on vielä reaalilukujenkin kardinaliteettia suurempi. Funktioita voidaan muodostaa kaikille reaalilukujen osajoukoille, mikä johtaa potenssijoukkojen mahtavuuteen. Funktioiden joukon mahtavuutta merkitään siksi formula_64. Korkeasti yhdistetty luku
Korkeasti yhdistettyjä lukuja on ääretön määrä, mikä on helppo todistaa seuraavasti:
Oletetaan, että on olemassa jokin n, joka on suurin korkeasti yhdistetty luku. Tarkastellaan lukua 2n. Luku 2n on itsensä jakaja ja sen jakajia ovat myös kaikki luvun n jakajat, joten sillä on ainakin yksi jakaja enemmän. Niinpä ei voi olla olemassa suurinta korkeasti yhdistettyä lukua n. Operaation suhteen suljettu joukko
Binäärioperaatioissa formula_7 on kyse kaksimuuttujaisesta funktiosta formula_8 eli merkinnästä formula_9, jonka tulos kuuluu tai ei kuulu samaan joukkoon formula_2. Vähennyslaskun laskuoperaatio luonnollisten lukujen joukossa eli pari formula_11 ei ole suljettu vähennyslaskuoperaation suhteen, koska vähennettäessä pienemmästä luvusta suurempi, saadaan tuloseksi negatiivinen kokonaisluku, joka ei kuulu luonnollisiin lukuihin. Yhteenlaskun suhteen luonnolliset luvut, eli pari formula_12, muodostavat suljetun joukon, koska kahden pienen luonnollisen luvun summa on aina suurempi luku, joka kuuluu aina luonnollisiin lukuihin. Vastaavasti voidaan todeta, että kahden luvun kertolasku formula_13 on suljettu operaation suhteen. Jakolasku formula_14 taas ei ole suljettu operaation suhteen, koska tulokseksi tuleva murtoluku ei ole aina luonnollinen luku. Ylinumeroituva joukko
Joukon formula_2 mahtavuutta merkitään matematiikan kirjallisuudessa joko formula_4 tai formula_5. Joukkojen mahtavuuden suuruus ilmaistaan heprean kielen aakkosilla formula_6 tai formula_7, joka lausutaan ""alef"" ja "'"beth"". Numeroituvan joukon formula_2, kuten myös luonnollisten lukujen joukon formula_9, mahtavuutta merkitään kardinaaliluvulla formula_10. Tämän arvo on formula_11 ja se on pienin ääretön kardinaaliluku. Bet
Matematiikassa betiä käytetään ylinumeroituvien joukkojen mahtavuuden kuvaamiseen. Reaalilukujen joukon R mahtavuutta merkitään formula_1. Numeroituvasti äärettömän joukon, esimerkiksi luonnollisten lukujen joukon mahtavuutta merkitään formula_2. Edelleen formula_3 ovat joukkojen formula_4 mahtavuudet, missä formula_5 on joukon N potenssijoukko. Perusjoukko (todennäköisyys)
Kun perusjoukko on "yksinkertainen", jos se on muodostunut diskreettisistä ja äärellisistä alkeistapauksista tai satunnaismuuttujan arvoista. Tällöin voidaan perusjoukon alkioden lukumäärä laskea. Esimerkiksi perusjoukossa #1 se on kaksi, perusjoukossa #2 se on kuusi ja #3 se on 52. Äärettömän mutta numeroituvan perusjoukon koko on ääretön. Joukko-oppi
Yhtä mahtavilla joukoilla sanotaan olevan sama "kardinaliteetti". Äärelliset joukot ovat yhtä mahtavia, jos ja vain jos niissä on yhtä monta alkiota. Mikään äärellinen joukko ei ole yhtä mahtava minkään aidon osa­joukkonsa kanssa. Sitä vastoin äärettömillä joukoilla on sellaisiakin aitoja osajoukkoja, joiden kanssa ne ovat yhtä mahtavia. Esimerkiksi voidaan osoittaa, että luonnollisten lukujen joukko formula_1 on yhtä mahtava kuin rationaalilukujen joukko formula_2, vaikka vain osa rationaali­luvuista on luonnollisia lukuja. Sitä vastoin reaalilukujen joukko formula_3 on aidosti mahtavampi kuin rationaali­lukujen joukko, sillä ei ole olemassa sellaista bijektiota, jolla nämä joukot voitaisiin kuvata toisilleen. Ääretöntä joukkoa sanotaan numeroitu­vaksi, jos se on yhtä mahtava kuin luonnollisten lukujen joukko, muussa tapauksessa yli­numeroituvaksi. Esimerkiksi rationaali­lukujen joukko on siis numeroituva, reaalilukujen joukko yli­numeroituva. Mahtavuus
Cantor oletti, että oli olemassa suurempia kardinaalilukuja ja että ne voitiin järjestää suuruusjärjestykseen formula_33. Suurempien joukkojen etsintä tuotti tulosta, kun hän osoitti reaalilukujen olevan suurempi joukko. Vieläkään ei tiedetä, onko reaalilukujen kardinaliteetti formula_34 tai formula_35 vai jokin muu. Toisin sanoen ei ole pystytty osoittamaan, onko olemassa ylinumeroituvaa joukkoa, jonka mahtavuus olisi pienempi kuin reaalilukujen joukon. Toistaiseksi reaalilukujen kardinaalilukuna käytetään merkintää "c" tai "C" (engl. continuum) tai joskus formula_36 (lue: "beth"-1) ja se oli ensimmäinen todettu ylinumeroituvasti ääretön lukujoukko. Koska ylinumeroituva lukujoukko on mahtavampi kuin numeroituva joukko, on sen kardinaaliluku aina ääretön. Ordinaali
Äärellisten kokoelmien tapauksessa ordinaali­luvut vastaavat täysin luonnollisia lukuja eli positiivisia kokonaislukuja. Sen sijaan äärettömille kokoelmille on olemassa useampiakin "järjestyksen" käsitteitä. Sitä niistä, joka lähinnä voidaan katsoa yleistykseksi äärellisen joukon järjestyksestä "yksi toisensa jälkeen", sanotaan hyvin­järjestykseksi. hyvin­järjestyksen voidaan ajatella merkitsevän sitä, että kohteet merkitään nimi- tai numerolapuilla "yksi toisensa jälkeen", mutta sallitaan, että jotkin nimilaput tulevat vasta äärettömän monen edeltäjän jälkeen. Esimerkiksi luonnollisten lukujen joukon {0,1,2...} jälkeen voidaan jonon loppuun lisätä symboli ω, joka on pienin ääretön ordinaali. Näin joukko {0,1,2...,ω) jatkuu ylös äärettömään. Jotkin ordinaalit ovat jonkin edeltäjänsä välitön seuraaja, "seuraajaordinaali"', kuten on laita luonnollisten lukujen {1,2...}, mutta toiset ordinaalit kuten ω eivät ole minkään toisen ordinaalin välittömiä seuraajia, ja sellaisia sanotaan "rajaordinaaleiksi". Pascalin kolmio
Pascalin kolmiolla on tärkeä merkitys myös kombinatoriikassa ja sen sovelluksena todennäköisyyslaskennassa. Minkä tahansa "n"-alkioisen joukon sellaisten osajoukkojen lukumäärä, jossa on "k" alkiota, saadaan Pascalin kolmion "n+1":nnen rivin "k+1":nnestä kohdasta. Esimerkiksi neli­alkioisella joukolla on 1 sellainen joukko, jossa ei ole yhtään alkiota (tyhjä joukko), 4 yksi­alkiosta, 6 kaksi­alkioista ja 4 kolmi­­alkioista osaj­oukkoa sekä 1 neli­alkoinen osa­joukko eli alku­peräinen joukko itse. Ylinumeroituva joukko
Mikäli reaaliluvuista muodostaa potenssijoukon formula_60, tulee sen mahtavuudesta vielä suurempi. Sen kardinaaliluku merkitään formula_61. Supremum
c) Osoitetaan, että joukko ei ole ylhäältä rajoitettu näyttämällä, että joukossa on mielivaltaisen suuria lukuja. Siis joukosta löytyy mielivaltaisesti valittua rajaa suurempia lukuja. Korkeasti yhdistetty luku
ja Transsendenttiluku
Suurin osa reaaliluvuista on transsendenttilukuja, sillä transsendenttilukujen joukko on ylinumeroituvasti ääretön kun taas algebrallisten lukujen joukko on numeroituvasti ääretön. Mikäli kompleksitasosta tai reaalilukusuoralta valitaan satunnainen luku, sen teoreettinen todennäköisyys olla algebrallinen luku on nolla. Monikulmioluku
Monikulmioluku on mikä tahansa luonnollinen luku, jota vastaava määrä pisteitä voidaan asetella tasavälein pinnalle niin, että ne muodostavat säännöllisen monikulmion. Monikulmioluvut ovat eräs kuviolukujen ryhmä: niissä pisteitä asetellaan tasolle. Alternoiva ryhmä
Alternoiva ryhmä on ryhmäteoriassa äärellisen joukon parillisten permutaatioiden ryhmä. Permutaatio on parillinen, jos se saavutetaan parillisella määrällä transpositioita, kun lähdetään peruspermutaatiosta. Jos permutaatio saavutetaan parittomalla määrällä transpositioita, on se pariton. Kun permutaatiossa kaksi lukua vaihdetaan keskenään niin tehdään transpositio. Joukon {1, ..., "n"} alternoivaa ryhmää kutsutaan astetta "n" olevaksi alternoivaksi ryhmäksi ja sitä merkitään "A" tai Alt("n"). Numeroituva joukko
Kaikki rationaaliluvut formula_34 saadaan osajoukkojen formula_41 unionina, kun formula_42 käy läpi kaikki kokonaisluvut formula_33
missä osajoukkoja on numeroituvasti ääretön joukko. Joukko
Irrationaaliluvut ja reaaliluvut sen sijaan ovat lukujoukkona edellisiä joukkoja vielä mahtavampia. Kun edellisien joukkojen mahtavuus on formula_33 (lue: alef-0), on jälkimmäisillä mahtavuus jo formula_34. Reaalilukujen rakenne on sellainen, että jokaisessa lukuvälissä on "yhtä paljon alkioita" kuin koko reaalilukujen joukossa. Reaaliluvut ovat irrationaalisten lukujen tavoin äärettömän tiheä. Tilanne ei muutu oleellisesti, jos tarkastellaan karteesia tuloa formula_35, sillä jokaiselle reaalilukujoukon formula_36 alkiolle voidaan osoittaa yksi formula_35 alkio. Epälineaarinen
Epälineaarinen tarkoittaa matematiikassa systeemiä, jonka käyttäytyminen ei ole ilmaistavissa kuvailijoidensa summana. Erityisesti epälineaariseen systeemiin ei päde superpositioperiaate kuten lineaariseen. Karkeasti sanoen epälineaarinen systeemi ei ole yksinkertaisesti osiensa summa tai monikerta. Potenssiinkorotusalgoritmi
Potenssiinkorotusalgoritmi voidaan kirjoittaa myös rekursiiviseen muotoon. Helposti todetaan nimittäin, ettäOperaatio formula_19 tarkoittaa luvun k kokonaislukujakoa luvulla 2. Tämä operaatio on tietokoneella helposti suoritettavissa. Operaation suorittamiseksi lukua formula_16 yksinkertaisesti siirretään yhden askeleen verran vähemmän merkitsevien bittien suuntaan. Parittomalla luvulla ylivuotava ykkösbitti yksinkertaisesti unohdetaan. Aritmeettinen keskiarvo
Keskiarvon lisäksi lukujoukosta voidaan laskea ns. yläneliökeskiarvo tai alaneliökeskiarvo, jotka lasketaan esimerkiksi alaneliökeskiarvon tapauksessa laskemalla kaikkien niiden lukujen keskiarvo, jotka ovat pienempiä kuin laskettu aritmeettinen keskiarvo. Nämä siis muodostavat ns. "keskiarvon neliön", koska keskiarvo lasketaan kahteen kertaan ja näiden käyttö voi toisinaan olla mielekkäämpää, kun tutkitaan lukujoukkojen tiettyjä painotusalueita. Äärettömyys
Esimerkiksi luonnollisten lukujen joukko {0,1,2,3...} on tämän määritelmän mukaan ääretön, koska se on yhtä mahtava aidon osajoukkonsa parilliset luonnolliset luvut {0,2,4,6...} kanssa. Niiden alkiot voidaan asettaa toisiaan pareittain vastaaviksi: 0→0, 1→2, 2→4, 3→6 jne. Määrittelyjoukko
"Luonnollinen määrittelyjoukko" koostuu sellaisista luvuista, jotka sopivat funktion luonteeseen. Jos funktio määrittelee nopan heittojen lukumäärän perusteella onnistumisen todennäköisyyden, on luonnollista käyttää argumenttina (heittojen lukumäärä) vain positiivisia kokonaislukuja eikä reaalilukuja. Ylinumeroituva joukko
Transkendenttiluvut ovat sellaisia reaalilukuja, jotka eivät ole algebrallisia lukuja. Jos kerran algebrallisten lukujen on osoitettu olevan numeroituvasti ääretön joukko, ovatko transkendenttiluvut sitten ylinumeroituva joukko? Tällöin reaalilukujen ylinumeroituvuus johtuisi sen osajoukkona olevan transkendenttilukujen joukon ylinumeroituvuudesta. Joukko
Myös kokonaisluvut, rationaaliluvut, irrationaaliluvut reaaliluvut ovat perinteisiä matematiikassa käytettyjä lukuja. Niitä voidaan kuvata havainnollisesti lukusuoralla. Nämäkin ovat äärettömiä joukkoja. Numeroituva joukko
Jos parinmuodostusprosessissa huomataan tilanne, että joukossa formula_2 on alkioita, joita ei pystytä luetteloimaan joukon formula_6 alkioilla, kutsutaan joukkoa formula_2 ylinumeroituvaksi. Intuitiivisesti ajatellaan, että joukossa formula_2 on "enemmän alkioita" kuin joukossa formula_6 eli se on mahtavampi joukko. Esimerkiksi reaalilukujen joukko formula_14 on osoitettu mahtavammaksi kuin formula_6 eli se on ylinumeroituvasti ääretön. Heprealaiset numerot
Tuhannet ja sitä suuremmat luvut (yli 999) kirjoitetaan erillisinä ryhminä, joiden arvot kerrotaan tuhannella, miljoonalla ja niin edelleen. Siten esimerkiksi luku 1 234 567 kirjoitetaan hepreaksi א רלד תקסז tai א׳ רל״ד תקס״ז. Tästä voi seurata ongelmia luvuissa, joissa jonkun ryhmän arvo on nolla. Tällöin puuttuva ryhmä voidaan ilmaista sanallisesti. Yhdistetty luku
Yhdistetty luku on yhtä suurempi kokonaisluku, joka ei ole alkuluku. Toisin sanoen yhdistetty luku on luku, jolla on useampia tekijöitä kuin se itse ja luku 1. Esimerkiksi 14 on yhdistetty luku, koska se jakautuu tekijöihin: 2 × 7. Ylinumeroituva joukko
Reaalilukujen mahtavuuden määrittäminen on ollut ongelmallista niin sanotun kontinuumihypoteesin epämääräisyyden vuoksi. Siksi reaalilukujen kardinaaliluvuksi on merkitty formula_18, joka on suurempi tai yhtäsuuri kuin pienimmän ylinumeroituvan joukon kardinaaliluku formula_36. Eräs tulos kardinaaliluvulle saadaan, kun ajatellaan reaalilukujen joukon olevan yhtä mahtava kuin äärettömästi numeroituvan joukon osajoukkojen joukko. Tällöin reaalilukujen mahtavuus voidaan ilmaista formula_37:n avulla formula_38 Joukko-oppi
Joukko-oppi on myös lupaava perustava järjestelmä suurelle osalle matematiikkaa. Siitä lähtien kun teoksen "Principia Mathematica" ensimmäinen nide ilmestyi, on väitetty, että useimmat tai jopa kaikki matemaattiset teoreemat voidaan johtaa asianmukaisesti laaditusta joukko-opin aksiooma­järjestelmästä, johon on ensimmäisen ja toisen asteen logiikan avulla täydennetty monilla määritelmillä. Esimerkiksi luonnollisten ja reaalilukujen ominaisuudet voidaan johtaa joukko-opista, sillä jokainen luku­alue voidaan määritellä jossakin äärettömässä joukossa määriteltyyn ekvivalenssirelaatioon liittyvien ekvivalenssi­luokkien joukkona. Onnellinen luku
Onnellinen luku on positiivinen kokonaisluku, jonka numeroiden neliöiden summasta saadaan ennen pitkää 1 jatkamalla seuraavaa prosessia: otetaan positiivinen kokonaisluku ja lasketaan sen numeroiden neliöt yhteen. Siitä, saadaanko summaksi 1 vai toistuuko prosessi äärettömiin samanlaisena, ilmenee, onko luku onnellinen. 1 (luku)
Yksi on ensimmäinen luku monissa lukujonoissa, kuten Fibonaccin lukujonossa. Matemaattisessa logiikassa merkkiä 1 käytetään ilmaisemaan totuusarvoa "tosi". Luku 1 voidaan ilmaista myös joukkona {1}, jossa on siis vain yksi alkio. Permutaatio
Matematiikassa permutaatioilla tarkoitetaan alkioiden järjestystä. Esimerkiksi järjestetyn joukon (1,2,3,4) yksi permutaatio on (1,3,2,4). Permutaatioiden lukumäärä k-alkioisessa järjestetyssä joukossa on k:n kertoma formula_1. Tämä nähdään seuraavasti: Vastaluku
Edellinen esitys on koulumatematiikassa monelle tutuksi tullut määritelmä. Matematiikassa lukua nolla pidetään yhteenlaskuun liittyvänä kokonaislukujoukon neutraalialkiona eli 0-alkiona. Koska matematiikan neutraalialkion käsite on paljon laajempi, käytetään nimitystä 0-alkio vain luvuille ja sellaisille binäärioperaatioille, jotka ovat luonteeltaan additiivisia. Kofiniittinen topologia
Esimerkiksi luonnollisten lukujen joukon kofiniittisessä topologiassa mm. joukot ”suurempi kuin kolme” ja ”erisuuri kuin 7 tai 8” ovat avoimia. Kaikki äärettömät joukot eivät kuitenkaan ole avoimia: esimerkiksi kaikkien parillisten lukujen joukko ei ole avoin, koska sen komplementti eli parittomien lukujen joukko ei ole äärellinen. Analyyttinen lukuteoria
Muodostamme näiden kokonaislukujen numeroinnin siten, että valitsemme numerointiin vuorotellen alkuluvun ja yhdistetyn luvun niiden esiintymisjärjestyksessä. Näin saamme lukujonon
Näin saadusta lukujonosta toteamme helposti, että:
Tämän perusteella voitaisiin helposti vetää se johtopäätös, että lukua 1 suurempien luonnollisten lukujen joukossa esiintyisi alkulukuja tiheydellä 1/2, eli todennäköisyys sille, että joukosta "satunnaisesti" valittu luku on alkuluku, olisi 50%. Separoituva avaruus
Topologiassa ja vastaavilla matematiikan aloilla topologista avaruutta sanotaan separoituvaksi jos se sisältää numeroituvan tiheän osajoukon eli joukon, jossa on numeroituvan monta alkiota ja jonka sulkeuma on koko avaruus. Tämä ehto esiintyy tyypillisesti geometriassa ja matemaattisessa analyysissä. Esimerkiksi reaalilukuja voidaan approksimoida mielivaltaisella tarkkuudella rationaaliluvuilla. Rationaaliluvut ovat myös numeroituva joukko, joten reaalilukujen joukko on separoituva. Äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokittelu
Matematiikassa äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokittelu on lause, jonka mukaan jokainen äärellinen yksinkertainen ryhmä kuuluu johonkin alla olevista neljästä pääkategoriasta. Nämä ryhmät voidaan nähdä samanlaisina perusrakennuspaloina kuin alkuluvut toimivat ykköstä suuremmille kokonaisluvuille. Jordanin–Hölderin lause on tarkempi tapa ilmaista tämä äärellisten ryhmien ominaisuus. Kuitenkin luokittelulauseella ja alkutekijöihinjaolla on merkittävä eroavaisuus, sillä tällaiset "rakennuspalikat" eivät välttämättä määritä ryhmää yksikäsitteisesti, sillä on olemassa epäisomorfisia ryhmiä, joilla on sama kompositiojono. Toisin sanoen ryhmien laajentaminen ei ole yksikäsitteistä. Reaaliluku
Joukon formula_7 epätyhjä osajoukko formula_60 on "ylhäältä rajoitettu", jos on olemassa sellainen reaaliluku formula_61, että kaikilla formula_62 on formula_63. Tällöin formula_61 on joukon formula_60 "yläraja". Yksikkömurtoluku
Yksikkömurtoluvut eli käänteisluvut ovat tärkeitä lukuteoriassa, jossa lukujonojen teorian tulokset todistettiin aluksi näiden ominaisuuksien avulla. Kuuluisa on niin sanottu harmoninen sarja, jonka summa kasvaa äärettömän suureksi eli sarja hajaantuu :
Sen sijaan neliölukujen käänteislukujen sarja suppenee : Osittain järjestetty joukko
Osittain järjestetty joukko on matemaattinen rakenne. Osittaisuus tarkoittaa, ettei joukon kaikista alkiopareista voi välttämättä sanoa kumpi on "suurempi", "järjestyksessä ensin" tms; järjestys ei välttämättä tarkoita mitään tavanomaista suuruusjärjestystä. Esimerkiksi tason pisteiden etäisyys origosta muodostaa osittaisen järjestyksen. Jos formula_1 on kauempana kuin formula_2 ja formula_2 kauempana kuin formula_4, niin formula_1 on kauempana kuin formula_4. Järjestys ei ole täydellinen, koska esimerkiksi pisteistä formula_7 ja formula_8 kumpikaan ei ole kauempana kuin toinen. Numeroituva joukko
Rationaalukujen todistelu on samantapainen myös kahden numeroituvan joukon karteesisen tulon numeroituvuuden todistelussa. Esimerkiksi kahden luonnollisen joukon karteesinen tulo formula_51 on siten myös numeroituva joukko. Itse asiassa kaikki numeroituvien joukkojen kaikki karteesiset tulot formula_52 ovat numeroituvia joukkoja. Luonnollinen luku
Luonnollisia lukuja ovat tavalliset arkipäiväiset luvut, joilla ilmaistaan "lukumäärää" ("minulla on "kuusi" omenaa") tai "sijoittumista" ("tulin "kolmantena" maaliin"). Nykyään on tavallista nimittää eli "nominalisoida" kohteita numeroilla ("tulin ensin bussilla "32" ja vaihdoin sitten "6":een"). Positiivisten kokonaislukujen yhteenlaskeminen perustuu luonnollisiin lukuihin, josta matematiikan moninaisuus on alkujaan lähtöisin. Joukko
Matematiikassa lukujoukoilla on erityisasema. Suurin osa matematiikasta käsittelee lukuja ja niiden muodostamat joukot ovat analyysin perusta. Tarkastelun kohteeksi voidaan valita tunnettujen lukujen osajoukko, esimerkiksi alle 100 olevien parillisten lukujen joukkoa. Tämän joukon koko on 50 alkiota ja joukkoa kutsutaan äärelliseksi joukoksi. Kokonaisluku
Koska kokonaisluvut ovat joukko-opillinen laajennus luonnollisista luvuista, perivät kokonaisluvut suuren osan luonnollisten lukujen ominaisuuksista. Kokonaislukujen ominaisuudet onkin helppo ymmärtää, kun ensin tuntee luonnollisten lukujen ominaisuudet ja rajoitteet.
Menneisyydessä vähennyslaskussa syntyi helposti tilanne, jossa vastausta ei saatu normaalilla tavalla. Vaikka erotuksella selvitetään lukujen suuruuseroa, halutaan joskus laskea erotus "nurinpäin". Jos verrataan lausekkeiden formula_10 ja formula_11 tuloksia, tulee vain jälkimmäisestä tulokseksi neljä. Edellinen lauseke yrittää vähentää kolmosesta liikaa ja vähennyslasku "epäonnistuu". Näitä lausekkeita kutsuivat muinaiset laskijat "absurdeiksi". Alkeistapaus
Äärellisen perusjoukon tapauksessa, joka siis sisältää äärellisen määrän tapauksia, jokainen perusjoukon osajoukko muodostaa tapauksen. Joukko-opissa perusjoukon potenssijoukon jokainen alkio on siten tapahtuma. Tämä periaate toimii, vaikka joukko olisi numeroituvasti ääretön. Lähestystapa ei toimi automaattisesti kaikilla ylinumeroituvien perusjoukkojen kohdalla. Kun satunnaisilmiöstä muodostetaan todennäköisyysavaruus, on usein välttämätöntä karsia osa tapahtumista. Runsas luku
Runsas luku, abundantti luku tai rikas luku on positiivinen kokonaisluku, jonka positiivisten tekijöiden (lukua itseään lukuun ottamatta) summa on suurempi kuin luku itse. Puoliluku
Puolilukujen joukkoa merkitään Etumerkki (matematiikka)
Etumerkki on matematiikassa reaaliluvun positiivisuuden ja negatiivisuuden osoittava merkki. Mikäli luku on positiivinen, luvun etumerkki on + (plus). Negatiivisen luvun etumerkki on − (miinus). Nollalla ei ole etumerkkiä. Negatiivisen luvun etumerkki on aina merkittävä näkyviin lukua kirjoitettaessa, mutta positiivisella luvulla tämä ei ole välttämätöntä. Etumerkitön reaaliluku on siis nolla tai positiivinen. Jonkin luvun kertominen luvulla −1 aiheuttaa luvun etumerkin vaihtumisen. Lukujonon raja-arvo
Lukujonon raja-arvo on matematiikassa lukujonojen käyttäytymista ilmaiseva peruskäsite. Lukujono on järjestetty lukujen luettelo, joka voi olla äärettömän pitkä. Äärettömille lukujonoille on luontevaa tutkia mitä lukuarvoa kohti sen jonon jäsenet lähestyvät. Jos ne lähestyvät yhtä tiettyä lukua, sanotaan lukujonon "suppenevan" kohti tätä raja-arvoa. Muussa tapauksessa lukujono "hajaantuu". Hyperreaaliluku
Hyperreaalilukujen järjestelmä on eräs tapa käsitellä äärettömiä ja äärettömän pieniä eli infinitesimaalisia kvantiteetteja. Hyperreaaliluvut tai epästandardit reaaliluvut, formula_1, ovat reaalilukujen formula_2 laajennus, joka sisältää suurempia lukuja kuin mikään muotoa Ylinumeroituva joukko
Äärettömästi numeroituvan joukon osajoukkojen joukko on yhtä mahtava kuin formula_29. Ylinumeroituva joukko on kaikkien luonnollisten lukujen joukon osajoukkojen joukko eli luonnollisten lukujen joukon potenssijoukko formula_58. Sen kardinaaliluku on formula_59. Bairen lause
Baire1 osoittaa myös, että jokainen täydellinen metrinen avaruus, jossa ei ole erakkopisteitä, on ylinumeroituva. (Jos "X" on numeroituva täydellinen metrinen avaruus, jossa ei ole erakkopisteitä, on jokainen yksiö {"x"} "X":ssä ei-missään tiheä, joten "X" kuuluu ensimmäiseen kategoriaan. Tämä osoittaa, että reaalilukujen joukko on ylinumeroituva. Symmetrinen ryhmä
Symmetrinen ryhmä, jota merkitään formula_1, on matematiikassa "n"-alkioisen joukon kaikkien permutaatioiden muodostama ryhmä. Toisin sanoen ryhmä kuvaa kaikki eri tavat järjestää "n" alkiota uudelleen. Ryhmässä on formula_2 alkiota (luvun "n" kertoma), ja ryhmän laskutoimitus on permutaatiokuvausten yhdistäminen. Kunta (matematiikka)
Kunta () matematiikassa on epäformaalisti sanottuna joukko, johon on määritelty neljä peruslaskutoimitusta siten, että laskutoimitukset noudattavat tavallisia laskulakeja, ja laskutoimitusten tulos kuuluu samaan joukkoon. Esimerkiksi rationaaliluvut muodostavat kunnan, mutta kokonaisluvut eivät, koska jakolaskun tulos ei ole välttämättä kokonaisluku. Kuntia tutkiva matematiikan ala on algebra. Kieliopillinen luku
Kieliopillinen luku (tai lyhyesti "luku"; latinaksi "numerus") on kieliopillinen kategoria, joka ilmaisee asioiden määrää. Useimmissa kielissä on yksikkö (singulaari) ja monikko (pluraali). Monissa kielissä on kuitenkin myös ns. monikollisia sanoja ("plurale tantum"), joita käytetään vain monikossa. Jotkut kielet kuten kiina eivät merkitse monikollisuutta, vaan se on pääteltävä asiayhteydestä. Joissain kielissä on lisäksi kaksikko (duaali) tai jopa kolmikko (triaali), jotka ilmaisevat täsmällistä määrää asioita tai esineitä. Hyperreaaliluku
Luonnollisten lukujen joukkoa voidaan laajentaa ottamalla lähtökohdaksi vaikkapa yhtälön ratkaisun. Yhtälö formula_39 ei ratkea aina luonnollisten lukujen formula_40 joukossa, vaan se täytyy laajentaa kokonaislukujen joukoksi formula_41, jossa yhtälö ratkeaa aina. Ja edelleen yhtälö formula_42 ei ratkea aina kokonaislukujen joukossa, vaan se on laajennettava rationaalilukujen formula_43 joukoksi. Konstruktiot voidaan tehdä tarkasti ekvivalenssirelaation avulla, mutta yksityiskohdat sivuutetaan. Aritmetiikka
Aritmetiikka on matematiikan osa-alue, joka tutkii laskuoperaatioiden ominaisuuksia luvuille. Aritmetiikkaa kutsutaan myös laskuopiksi ja varsinkin entisissä kansakouluissa laskennoksi.
Nimitys "aritmetiikka" tulee kreikan lukua tarkoittavasta sanasta "αριθμός" ("arithmos").
Kuuluisa saksalainen matemaatikko Carl Friedrich Gauss nimitti lukuteoriaa ”korkeammaksi aritmetiikaksi” (). Pariton luku
Parittomien luonnollisten lukujen joukko on mahtavuudeltaan numeroituvasti ääretön, koska se on yhtä mahtava joukko kuin luonnolliset luvut. Annettu joukkojen välinen kuvaus formula_14 on bijektio, mikä riittää perusteluksi. Arkhimedeen lause
Todistetaan ensin, että ylhäältä rajoitetulla kokonaislukujen joukolla on olemassa maksimi. Merkitään tätä joukkoa symbolilla "E" ja jotain sen ylärajaa kirjaimella "r". Tällöin joukko "E" määritellään seuraavasti "E" =: {m kuuluu kokonaislukuihin | "m" ≤ "r"} ("r" reaaliluku). Koska joukko "E" on ylhäältä rajoitettu, on sillä olemassa täydellisyysaksiooman mukaan pienin yläraja eli supremum, "G" =: sup "E". Supremumin määritelmän mukaan on olemassa joukon "E" alkio "x" siten että "x" > "G" - 1/2. Tällöin "x" on joukon "E" maksimi. Jos "x" ei olisi joukon "E" maksimi, olisi olemassa joukon "E" alkio "y" siten, että "y" ≥ "x" + 1 > "G" , mikä taasen olisi ristiriita, koska "G" (= sup "E") ≥ "x", kaikilla "x" kuuluu joukkoon "E". Numeroituva joukko
Numeroituvuuden termin otti käyttöön joukko-opin luoja Georg Cantor vuonna 1874 julkaistussa kirjoituksessaan ja hän todisti sillä monien joukkojen mahtavuuden olevan sama kuin luonnollisten lukujen joukolla. Numeroituva joukko
Edellisen esimerkin mukaisesti parilliset positiiviset luvut ovat numeroituvasti ääretön joukko. Samoin ovat esimerkiksi kokonaislukujen (formula_33), algebrallisten lukujen ja rationaalilukujen joukot (formula_34) numeroituvia.. Sitä vastoin esimerkiksi reaalilukujen joukko formula_14 ei ole numeroituva vaan ylinumeroituva eli aidosti mahtavampi kuin mikään edellä mainituista. Numeroituva joukko
Joukon formula_2 mahtavuutta merkitään matematiikan kirjallisuudessa joko formula_17 tai formula_18. Joukkojen mahtavuuden suuruus ilmaistaan heprean kielen aakkosella formula_19, joka lausutaan ""alef"". Numeroituvan joukon formula_2, kuten myös luonnollisten lukujen joukon formula_6, mahtavuutta merkitään kardinaaliluvulla formula_22. Tämän arvo on formula_23 ja se on pienin ääretön kardinaaliluku. Irrationaaliluku
Vaikka rationaalilukuja on ääretön määrä, on irrationaalilukuja tavallaan vieläkin enemmän, minkä todisti Georg Cantor muutamaa vuotta Dedekindin jälkeen. Hän osoitti, ettei irrationaalilukujen joukkoa voida järjestää loputtomaksi jonoksi, toisin kuin kokonaislukujen ja rationaalilukujen joukot. Tätä kutsutaan ylinumeroituvuudeksi. Alkeistapaus
Yksittäisillä alkeistapauksilla saattaa olla mitätön merkitys, jos niitä on paljon tai äärettön määrä. Käytännön elämän ongelmia voidaan tutkia paremmin monien alkeistapausten muodostamilla joukoilla eli luokilla. Tällaisia joukkoja voisivat olla ikäluokat, painoluokat tai ylioppilasarvosanat. Todennäköisyyslaskennassa tapausten joukkoja on kutsuttu tapahtumiksi (). Joukko
Jos lukuja on äärettömän monta, voidaan luettelo aloittaa tai päättää kolmeen pisteeseen. Näin voidaan helposti esittää kaikki joukon formula_4 parittomat kokonaisluvut Ylinumeroituva joukko
Jos joukko on ylinumeroituva, joukon mahtavuus ilmaistaan kardinaaliluvuilla formula_12, formula_13, ..., missä kaikki kardinaaliluvut ovat formula_14, ylinumeroituvuuden laadun mukaan. Kardinaaliluvuilla on suuruusjärjestys formula_15