Mikä on avaruusgeometria?
Avaruusgeometria
Avaruusgeometria on geometrian alue, jossa käsitellään kolmiulotteisia kappaleita. Kappaleilla on siis tasogeometrian kahden ulottuvuuden lisäksi myös kolmas ulottuvuus, eli syvyys. Mm. pallo, kartio, lieriö ja kuutio ovat avaruuskappaleita.
Avaruuskappaleista voidaan pinta-alan lisäksi laskea myös tilavuus, jonka tunnus on V.
Pistetulo
Nykyaikaisessa analyyttisessä geometriassa avaruuden pisteet määritellään niiden karteesisten koordinaattien avulla, ja euklidinen avaruus itse samastetaan reaalisen koordinaatti­avaruuden formula_1 kanssa. Tällaisessa lähestymistavassa pituuden ja kulman käsitteitä ei oleteta annettuina, vaan ne määritellään vasta pistetulon avulla: vektorin pituus määritellään neliöjuurena sen piste­tulosta itsensä kanssa, ja vektorien välinen kulma määritellään siten, että sen kosini on vektorien pistetulo jaettuna vektorien pituuksien tulolla. Tällöin piste­tulon algebrallisen ja geometrisen määritelmän yhtä­pitävyys on oleellinen osa euklidisen geometrian klassisen ja modernin, analyyttiseen geometriaan perustuvan muotoilun yhtä­pitävyyttä. Neo-Geo (taidesuuntaus)
Neo-Geo on taidesuuntaus, joka sai alkunsa 1980-luvun alussa. Sana viittaa sanoihin "neo"=uusi ja "geo"=geometria, mutta kokonaisuudessaan suuntausta on kutsuttu sanoilla Neo-Geometric Conceptualism, eli uusgeometrinen käsitetaide. Termiä alkoivat käyttää Yhdysvalloissa muun muassa taiteilijat Peter Halley, Ashley Bickerton ja Jeff Koons. Erityisesti Halleyhin, joka näki geometrian yhteiskunnan metaforana, vaikutti ranskalainen filosofi Jean Baudrillard. Avoin joukko
Avoimen joukon käsite on eräänlainen reaalilukujen joukossa määritellyn avoimen välin käsitteen yleistys. Metrisessä avaruudessa avoin joukko määritellään sen metriikan avulla tietyt ehdot toteuttavaksi avaruuden osajoukoksi. Yleisessä topologiassa sen sijaan topologinen avaruus määritellään valitsemalla perusjoukosta kokoelma sen osajoukkoja, joita sanotaan "avoimiksi joukoiksi" ja jotka yhdessä määrittelevät avaruuden topologian. Avaruusrakenne
Bentseenirenkaan hiiliatomeihin on liittynyt kolme muuta atomia ja sidosten väliset kulmat ovat 120 astetta. Näin ollen hiiliatomit ovat sp2-hybridisoituneita ja avaruusrakenne on tasomainen. Homografia
Kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa keskeisprojektio pisteestä O (keskuksesta) tasolle P, johon piste O ei sisälly, on kuvaus, jolla piste A kuvataan tason P ja suoran OA leikkaus­pisteeseen, jos sellainen on olemassa. Projektio ei ole määritelty, jos piste A sijaitsee O:n kautta kulkevalla, P:n kanssa yhden­suuntaisella tasolla. Projek­tiivisen avaruuden käsite otettiin alun perin käyttöön euklidisen avaruuden laajennuksena lisäämällä siihen äärettö­myydessä olevat pisteet, jotta projektio voidaan määritellä kaikille muille pisteille paitsi O:lle. Vektorianalyysi
Vektorianalyysi voidaan määritellä muillekin kolmiulotteisille reaalisille vektori­avaruuksille, jos niissä on sisätulo, tai yleisemmin symmetrinen ei-degeneroitunut muoto ja orientaatio. Tällainen avaruus ei välttämättä ole isomorfinen euklidisen avaruuden kanssa, sillä siinä ei tarvitse olla koordinaatistoa mikä toisaalta osoittaa, että vektori­analyysi on invariantti avaruuden rotaatioissa, jotka muodostavat erityisen ortogonaalisen ryhmän SO(3). Vektorianalyysi
Missä tahansa useampi­ulotteisessa avaruudessa, jossa on ei-degeneroitu muoto, skalaarifunktionn gradientti on vektorikenttä ja vektorikentän divergenssi skalaarifunktio, mutta vain 3 ja 7 ulottuvuudessa (sekä triviaalisti 0 ulottuvuudessa) vektorikentän roottori on vektorikenttä, ja vain kolmi- tai seitsenulotteisessa avaruudessa voidaan vektorien ristitulo määritellä. Muissa tapauksissa tarvitaan joko formula_18 vektoria, jotta saadaan tulokseksi yksi vektori, tai kyseessä ovat vaihto­ehtoiset Lien algebrat, jotka ovat yleisempiä antisymmetrisiä bilineaarisia tuloja. Yleisesti roottori on bivektorikenttä, joka voidaan tulkita infinitesimaalisten rotaatioiden erityiseksi ortogonaaliseksi Lien algebraksi. Sitä ei kuitenkaan voida samastaa vektorikentän kanssa, koska sillä on eri määrä ulottuvuuksia: kolmiulotteisen avaruuden rotaatioavaruuskin on kolmiulotteinen, mutta esimerkiksi neliulotteisen avaruuden rotaatio­avaruus on kuusiulotteinen (ja yleisesti "n"-ulotteisen avaruuden rotaatioavaruus on formula_19-ulotteinen). Suorakulmio
Suorakulmio eli "suorakaide" on geometriassa yksinkertainen nelikulmio, jonka kaikki kulmat ovat määritelmän mukaan suoria eli 90°. Tästä seuraa, että nelikulmion vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät ja yhdensuuntaiset. Neliö on suorakulmio, jonka kaikki sivut ovat samanpituisia. Neliötä kutsutaan myös säännölliseksi tai tasasivuiseksi suorakulmioksi. Kaikki suorakulmiot ovat suunnikkaita. Lähin vastine suorakulmiolle avaruusgeometriassa on suora suuntaissärmiö. Suorakulmio merkitään formula_1. Yleinen topologia
Metriset avaruudet ovat tärkeä luokka topologisia avaruuksia, missä pisteiden välisiä etäisyyksiä mitataan epänegatiivisella luvulla.Tätä etäisyys-funktiota kutsutaan metriikaksi. Usein metrisessä avaruuksissa topologiset todistukset ovat helpompia kuin yleisissä topologisissa avaruuksissa, ja monet tavalliset topologiset avaruudet ovat metristyviä. Avaruusfysiikka
Avaruusfysiikka on avaruuden fysiikan ilmiötä tutkiva fysiikan haara. Tähtitiede tutkii siten osittain samoja kohteita. Suomessa tutkitaan avaruusfysiikkaa mm. Ilmatieteen laitoksella ja Oulun yliopistossa. Tutkimuksen kohteena ovat mm. revontulet ja avaruussää. Topologinen avaruus
Sovellusten kannalta tärkeimpiä metrisiä avaruuksia ovat joukot formula_60 (eriulotteiset euklidiset avaruudet) ja niiden osajoukot, joissa topologia on edellä sanotulla tavalla määritelty euklidisen metriikan avulla. Tästä yleistys on Hilbertin avaruus, joka on (mahdollisesti ääretönulotteinen) täydellinen sisätuloavaruus. Matematiikka
Avaruuksien tutkiminen saa alkunsa geometriasta. Ensin kehitettiin euklidinen geometria, josta trigonometria on eriytynyt omaksi erikoisalakseen. Myöhemmin osoittautui, ettei euklidinen geometria ole ainoa looginen mahdollisuus, ja sen ohella onkin kehitetty myös epäeuklidisia geometrioita. Projektiivinen geometria
Projek­tiivinen geo­metria on geo­metrian ei-metrinen muoto, mikä tarkoittaa, että se ei perustu etäisyyden käsitteeseen. Kahdessa ulottuvuudessa se alkaa opilla tietyn­laisista pisteiden ja suorien muodostamista kuvioista. Kun Desargues ja muut kehittivät perspektiivioppia matemaattisesti selvittäessään projek­tiivisen geo­metrian, he osoittivat, että näinkin pienellä määrällä käsitteillä saatiin geo­metrisesti mielen­kiintoisia tuloksia. Useampi­ulotteisissa avaruuksissa käsitellään hypertasoja, jotka aina kohtaavat, ja muita lineaarisia ali­avaruuksia, joille on ominaista duaalisuusperiaate. Yksin­kertai­simmassa muodossaan duaalisuus ilmenee projek­tiivisella tasolla, jossa lauseet "kaksi eri pistettä määrittävät yksi­käsitteisesti suoran" (nimittäin molempien kautta kulkevan suoran) ja "kaksi eri suoraa määrittävät yksi­käsitteisesti pisteen" (nimittäin niiden leikkaus­pisteen) osoittautuvat rakenteeltaan saman­laisiksi. Projek­tiivinen geo­metria voidaan myös käsittää opiksi sellaisista geo­metrisista kon­strukti­oista, jotka voidaan suorittaa pelkän viivoittimen avulla. Koska harpin käyttöä ei sallita, eivät projek­tiiviseen geo­metriaan kuulu ympyrät, kulmat, etäisyyksien mittaus, suorien yhdensuuntaisuus eikä pisteen sijainti kahden muun pisteen välissä. Osoittautui, että teoreemat, jotka pätevät projek­tiivisessa geo­metriassa, ovat yksin­kertaisia lauseita. Esimerkiksi kaikki erilaiset kartio­leikkaukset ovat ekvi­valentteja kompleksisessa projek­tiivisessa geo­metriassa, ja jotkut ympyröitä koskevat teoreemat voidaan käsittää näiden yleisten teoreemojen erikois­tapauksiksi. Maailmankaikkeuden muoto
Maailmankaikkeuden muoto on epämuodollinen nimitys kosmologian osa-alueelle, joka tutkii kaikkeuden geometriaa. Osa-alue voidaan jakaa paikalliseen ja globaaliin tasoon. Paikallinen geometria liittyy havaittavan kaikkeuden kaarevuuteen ja globaali geometria liittyy koko kaikkeuden topologiaan, jota saattaa olla mahdotonta mitata. Vektorianalyysi
Vektorianalyysi määriteltiin alun perin kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessaformula_17, joka ei ole ainoastaan kolmiulotteinen vektori­avaruus vaan samalla myös normiavaruus. normi merkitsee geometrisesti janan pituutta, ja se määritellään sisätulon, tarkemmin sanottuna pistetulon avulla, joka samalla määrittelee myös kulman. Lisäksi siinä on määritelty orientaation käsite, jolla oikea- ja vasen­kätisyys erotetaan toisistaan. Näiden struktuurien avulla voidaan johtaa tilavuusmuoto ja samalla määritellä vektorien ristitulo, jota vektori­analyysissä runsaasti käytetään. Avaruussää
Avaruussäätä voidaan ennustaa tavallisten sääennustusten tapaan tarkkailemalla Auringon aktiivisuutta ja sen lähinnä aurinkotuulen välityksellä tapahtuvia vaikutuksia Maan lähiympäristöön. Avaruussään ennustaminen on uusi tieteenala, jonka tutkimusalueen perustan muodostavat geofysiikka, astrofysiikka ja meteorologia. Geometria
Geometrioita, joissa oletetaan jokin muu kuin euklidinen paralleeliominaisuus, kutsutaan epäeuklidisiksi geometrioiksi. Euklidista geometriaa on perinteinen euklidisen paralleeliaksiooman olettava geometria. Topologinen avaruus
Topologiset avaruudet ovat yksinkertaisimpia matemaattisia rakenteita, joissa voidaan määritellä sellaisia käsitteitä kuin avoimuus, jatkuvuus, homeomorfisuus ja yhtenäisyys. Metrinen avaruus
Metrinen avaruus on matematiikassa joukko, jossa on määritelty pisteiden välinen etäisyys. Metriset avaruudet ovat tärkeitä esimerkkejä topologisista avaruuksista. Topologiset avaruudet, joissa voidaan määritellä metriikka, ovat metristyviä avaruuksia. Avaruus
Maan ilmakehä ohenee ylöspäin mennessä, eikä ilmakehän ja avaruuden välillä siksi ole selkeää rajaa.400-luvulla kreikkalainen filosofi Parmenides totesi, että avaruudessa ei mitenkään voi olla tyhjiötä. Länsimaat uskoivat satoja vuosia tämän olevan totta. Vielä 1600-luvulla ranskalainen filosofi René Descartes väitti, että avaruuden on pakko koostua jostain. Säännöllinen avaruus
Säännöllinen avaruus on topologinen avaruus, joka toteuttaa seuraavat ehdot:Avaruus on siis säännöllinen, jos se on sekä T- että T-avaruus. Säännöllisen avaruuden määritelmä on esimerkki separaatioaksioomista. Metrinen avaruus
Avaruuden formula_31 osajoukko formula_50 on avoin, jos jokaisella pisteellä formula_51 on kuulaympäristö formula_38 siten, että formula_53. Metrisen avaruuden avointen joukkojen kokoelma muodostaa erään formula_2:n topologian, ns. tavallisen topologian formula_55; siten jokainen metrinen avaruus on luonnollisella tavalla topologinen avaruus. Itse asiassa kutsumme topologisen avaruuden formula_56 topologiaa formula_57 metristyväksi jos ja vain jos on olemassa jokin formula_2:n metriikka formula_15 siten, että formula_60. Geodeesi
Yksinkertainen esimerkki geodeesista on pallopinnalla isoympyrä. Kahta pallopinnan pistettä yhdistävä lyhin viiva kulkee pitkin isoympyrän kaarta, joten tällainen kaari on samalla tavoin pisteiden välinen "lyhin reitti" tai ”suorin mahdollinen reitti” kuin jana on tason pisteiden välillä. Nimi "geodeesi" viittaa geodesiaan eli maanmittausoppiin, joka tutkii maapallon kokoa ja muotoa. Esimerkiksi pitkillä meri- ja lentomatkoilla lyhin reitti kulkee pitkin isoympyrää (eikä pitkin loksodromia, joka kulkee koko ajan samaan ilmansuuntaan). Havaitseva kosmologia
Havaitseva kosmologia () on kosmologian haara, jossa keskitytään havaintojen järjestämiseen. Havainnoissa pyritään havaitsemaan maailmankaikkeuden rakennetta tarkoituksena saada tietoa sen alkuperästä ja kehityksestä. Havaitsevan kosmologian perustyökaluja ovat erilaiset kaukoputket, joilla havaitaan taivaankappaleiden lähettämää sähkömagneettista säteilyä. Koska Maan ilmakehä vaimentaa ja muuttaa tulevaa säteilyä, joudutaan havaintolaitteita viemään avaruuteen erilaisilla avaruusaluksilla. Tällöin havaintolaitteistosta käytetään yleisnimitystä avaruustutkimusasema tai avaruusobservatorio. Sivu (geometria)
Avaruusgeometriassa monitahokkaiden kärjet yhdistävät tahkojen kulmat toisiinsa ja tahkot rajoittuvat toisiinsa janaan, jota kutsutaan särmäksi (). Monitahokkaan tahkoja kutsutaan joskus myös sivuiksi (). Maailmankaikkeuden metrinen laajeneminen
Kaikkeuden metrinen laajeneminen eli avaruuden laajeneminen on kosmologian teoria, jonka mukaan kaikkeus laajenee. Täten kahden avaruuden pisteen välinen etäisyys kasvaa ajan kuluessa. Laajeneminen on avaruuden itsensä ominaisuus, jonka myötä avaruuden mitta­suhteet itsessään muuttuvat. Tässä suhteessa se poikkeaa muista laajenemis­ilmiöistä, esimerkiksi lämpö­laajenemisesta, ja räjähdyksistä, sillä sikäli kuin havainnoista voidaan päätellä, kyseessä on koko maailman­kaikkeuden ominaisuus, ei siis ilmiö, jota voitaisiin havainnoida ulkopuolelta. Geometria (Descartes)
La Géométrie on René Descartesin vuonna 1637 julkaisema geometriaa käsittelevä teos, joka on laajennus "Metodin esitys" -teokseen. "La Géométriessa" Descartes esittelee niin sanotun karteesisen koordinaatiston, jossa on vaakasuora x-akseli ja pystysuora y-akseli. Teos oli tietynlainen läpimurto matematiikassa, sillä aiemmin oli luultu geometrian ja algebran olevan kaksi toisistaan täysin erillistä matematiikan haaraa. Teos vaikutti muun muassa Gottfried Leibnizin ja Isaac Newtonin ajatteluun. Kehä (geometria)
Ympyrän kehä on kaksiulotteiseen avaruuteen piirretty kuvio. Yksiulotteinen vastine kehälle olisi lukusuoralla oleva pistejoukko, jonka etäisyys annetusta pisteestä on vakio. Lukusuoralla vain kaksi pistettä toteuttaa tämän ehdon. Kolmiulotteisessa avaruudessa eli tilassa kehän vastine on tyhjä pallokuori, koska kuoren pisteet sijaitsevat yhtä kaukana pallon keskipisteestä. Kosmiset etäisyystikapuut
Ensimmäinen askelma on etäisyys Maasta Aurinkoon, eli Maan kiertoradan säde. Tätä kutsutaan astronomiseksi yksiköksi (AU). Aurinkokunnan sisällä voidaan käyttää vielä tutkaa mutta sen ulkopuolisten kappaleiden määritykseen tarvitaan trigonometriaa ja tarkkaa kulman mittausta samaan tapaan kuin maanmittauksessa. Aika-avaruus
Aika-avaruus on neliulotteinen avaruus, jossa on kolme avaruudellista ulottuvuutta (pituus, leveys ja syvyys) ja yksi aikaulottuvuus. Maailmankaikkeus on efektiivisesti aika-avaruus. Suhteellisuusteoriassa aika-avaruus on keskeinen käsite kuten intervalli, joka kuvaa tapahtumien välistä 'etäisyyttä' tässä aika-avaruudessa.
Suhteellisuusteoriassa aika-avaruutta voidaan kuvata valokartiolla, jossa origon alapuolella on menneisyys, yläpuolella tulevaisuus ja origossa nykyisyys. Menneen valokartion ulkopuoliset tapahtumat eivät ole voineet vaikuttaa origon tapahtumaan, eikä origon tapahtuma voi vaikuttaa tulevan valokartion ulkopuolisiin tapahtumiin, sillä tämä vaatisi informaation etenemistä valoa nopeammin. Fysikaalinen avaruus
Fysikaalinen avaruus on klassisen fysiikan mukaan euklidinen, isotrooppinen sekä homogeeninen tila, jossa sijaitsevat kaikki materiset kappaleet. Avaruus on klassisessa mekaniikassa rakenteeltaan ja tilaltaan riippumaton siinä olevista kappaleista. Toisin sanottuna avaruus on absoluuttinen. Klassisessa mekaniikassa avaruus on myös kolmiulotteinen. Vektorianalyysi
Vektorianalyysille on kaksi merkittävää vaihto­ehtoista yleistystä. Ensimmäinen, geometrinen algebra, käyttää "k"-vektorikenttiä vektori­kenttien sijasta (enintään kolmiulotteisessa avaruudessa jokainen "k"-vektorikenttä voidaan samastaa skalaari- tai vektori­kentän kanssa, mutta useammassa ulottuvuudessa tämä ei käy päinsä.) Tämä korvaa vain kolmi­ulotteisessa avaruudessa käyvän ristitulon ulkoisella tulolla, joka on määritelty kaikissa ulottuvuuksissa. Kahden vektorikentän ulkoinen tulo on tällöin bivektorikenttä eli 2-vektorikenttä. Algebralliselta struktuuriltaan vektoriavaruudet ovat tällöin Cliffordin algebroja, joissa on myös orientaatio ja ei-degeneroitunut muoto. Geometrista algebraa käytetään enimmäkseen fysiikan ja muiden sovellettujen kenttien yleistyksiin korkeammissa ulottuvuuksissa. Projektiivinen geometria
Tämä 1800-luvun varhainen projek­tiivinen geo­metria oli tärkeä askel ana­lyytti­sestä geo­metriasta kohti algeb­rallista geo­metriaa. Homo­geenisilla koordi­naateilla käsiteltynä projek­tiivinen geo­metria näyttää koordi­naattien käytön laajennukselta tai tekniseltä parannukselta, jolla geo­metriset probleemat voidaan palauttaa algebraan ja jossa erikoistapausten lukumäärää saadaan vähennetyksi. Toisen asteen pintojen yksityiskohtainen tutkimus ja Julius Plúckerin "viivageo­metria" ovat esi­merkkejä monista yleisempien geo­metristen käsitteiden tutkimuksesta. Algebrallinen topologia
Algebrallinen topologia on matematiikan osa-alue, jossa topologisia avaruuksia tutkitaan abstraktin algebran keinoin. Geodesia
Geodesia eli maanmittausoppi on tiede, joka mittaa ja esittää maapallon kokoa ja muotoa ja kohteiden sijaintia sen pinnalla. Geodesia tutkii myös Maan painovoimakentän rakennetta, alanimeltään fysikaalinen geodesia. Avaruustutkimus
Avaruustutkimus on aurinkokunnan ja sitä ympäröivän maailmankaikkeuden tutkimista Maan ulkopuolella olevilla laitteilla. Avaruutta tutkitaan muun muassa avaruusteleskoopeilla, Maata kiertävillä satelliiteilla, sekä ulkoavaruuteen lähetetyillä robottiluotaimilla.Avaruusaika alkoi 1957 kun neuvostoliittolainen satelliitti Sputnik 1 lähetti Maahan radiosignaalin. Sitä seurasivat pian Neuvostoliiton Luna-ohjelma sekä Yhdysvaltain Pioneer- ja Ranger-ohjelmat. Nämä luotaimet ohittivat Kuun läheltä tai iskeytyivät sen pintaan. Homografia
Kollineaatioiden teoriassa projektiiviset suorat ovat erikois­asemassa yksi­ulotteisuutensa vuoksi. Kun suoraa pidetään itsenäisenä projek­tiivisena avaruutena, jokainen sen pisteiden permutaatio on kollineaatio, sillä mitkä tahansa pisteet ovat samalla suoralla. Jos projek­tiivinen suora kuitenkin upotetaan useampi­ulotteiseen projektiivisen avaruuteen, tätä avaruuden geometrista rakennetta voidaan käyttää muodostamaan suoralle geometrinen rakenne. Synteettisessä geometriassa käsitellään sen vuoksi vain niitä projek­tiivisen suoran homografioita ja kolline­aatioita, jotka saadaan tämän useampi­ulotteisen avaruuden homo­grafioista ja kollineaatioista. Tällöin projektiivisen geometrian peruslause pätee myös yksi­ulotteisessa tapauksessa. Projek­tiivisen suoran homo­grafia voidaan yhtä­pitävästi määritellä myös kuvaukseksi, jossa kaksoissuhde säilyy.
Edellä homo­grafiat on määritelty lineaari­algebran avulla. Synteetti­sessä geometriassa ne on vanhastaan määritelty tiettyjen "keskeis­kollineaatioiksi" nimitettyjen homo­grafioiden yhdistetyiksi kuvauksiksi. Projektiivisen geometrian perus­lauseen yksi osa on se, että nämä määritelmät ovat yhtä­pitävät. Avaruustutkimusasema
Avaruustutkimusasema eli avaruusobservatorio tai avaruusteleskooppi on ulkoavaruudessa sijaitseva laite, jota käytetään kaukaisten planeettojen, galaksien, tähtien ja muiden avaruuden kohteiden tutkimiseen. Aeronomia
Aeronomia on geofysiikan osa-alue, joka tutkii ilmakehän ylimpiä osia mesosfääristä lähtien, joidenkin lähteiden mukaan stratosfääristä alkaen.
Alkuperäisen määritelmän mukaan aeronomia tutkii niitä osia ilmakehistä, joissa Auringon säteilyn aiheuttama dissosiaatio ja ionisaatio johtavat merkittäviin fysikaalisiin ja kemiallisiin prosesseihin. Tämä määritelmä sisältää myös muiden planeettojen kaasukehät soveltuvissa osin. Tämän määritelmän Sidney Chapman esitteli kansainvälisen Geodesian ja Geofysiikan liiton yleiskokoukselle vuonna 1954, pari vuotta ennen ensimmäisiä satelliittimittauksia. Täysin epäyhtenäinen avaruus
Täysin epäyhtenäinen avaruus on matematiikassa topologinen avaruus, jolla ei ole muita yhtenäisiä osajoukkoja kuin yhden pisteen joukot sekä tyhjä joukko. Jokaisessa avaruudessa tyhjä joukko ja yhden pisteen joukot ovat yhtenäisiä; täysin epäyhtenäisessä avaruudessa nämä ovat "ainoat" yhtenäiset joukot. Homografia
Näin määriteltynä per­spek­tivi­teetti on vain osittaisfunktio, mutta projek­tiivi­siin avaruuksiin laajennettuna siitä tulee bijektio. Siksi tämä käsite määritellään tavallisimmin projek­tiivi­sille avaruuksille. Käsite voidaan seuraavasti myös helposti yleistää jokaiselle projektiiviselle avaruudelle, olipa sen ulottuvuus mikä tahansa tai olipa se muodostettu minkä tahansa kunnan yli: "jos on annettu kaksi n-ulotteista projek­tiivista avaruutta P ja Q," per­spek­tivi­teetti "on bijektio P:stä Q:lle, joka saadaan upottamalla P ja Q n+1 -ulotteiseen projek­tiivi­seen avaruuteen R ja rajoittamalla P:hen jokin keskeis­projektio Q:hun." Ominaisarvo, ominaisvektori ja ominaisavaruus
Algebrallinen kertaluku voidaan myös ajatella dimensiona. Se voidaan ajatella "yleistettynä ominaisavaruutena", joka on matriisin (λI − "A") nolla-avaruus kaikilla riittävän suurilla k. Se on siis "yleistettyjen ominaisvektoreiden" avaruus, missä yleistetty ominaisvektori on mikä tahansa vektori, joka kuvautuu nollaksi jos vektori kerrotaan matriisilla λI − "A" riittävän monta kertaa. Ominaisvektori on yleistetty ominaisvektori, joten jokainen ominaisavaruus sisältyy vastaavaan yleistettyyn ominaisvektoriin. Tämän ominaisuuden perusteella voidaan todistaa, että ominaisarvon geometrinen kertaluku on aina korkeintaan yhtä suuri kuin algebrallinen kertaluku. Tätä ei tule sekoittaa yleistettyyn ominaisarvo-ongelmaan. Elliptinen geometria
Pallogeometria eroaa perinteisestä, euklidisesta, tasoa käsittelevästä geometriasta monin tavoin ja se onkin differentiaaligeometrian kannalta yksinkertainen esimerkki kaarevasta avaruudesta. Pallogeometriassa esimerkiksi kolmion kulmien summa on aina enemmän kuin 180 astetta, eikä suoran vastine, "isoympyrä", ole äärettömän pitkä, vaan pallopinnan ympärysmitan mittainen. Perustavanlaatuinen ero on myös geometrian klassisiin aksioomiin kuuluvan paralleeliaksiooman pätevyys: pallogeometriassa ei ole lainkaan yhdensuuntaisia suoria, vaan kaikki suorat leikkaavat toisiaan. Täydellisyys
Täydellisyys on matematiikassa topologian peruskäsite, joka tarkoittaa sitä että metrisen avaruuden jokainen Cauchyn jono suppenee. Esimerkiksi avaruus formula_1 on täydellinen, ja täydellisen avaruuden X osajoukko A on täydellinen, jos ja vain jos A on suljettu. INTEGRAL
Satelliitti on tyypiltään avaruusteleskooppi, mutta se tutkii maailmankaikkeutta sähkömagneettisen spektrin voimakkaimpien säteiden avulla toisin kuin esimerkiksi NASAn Hubble. INTEGRALin havaintokohteina ovat galaksit, oletetut mustat aukot, supernovat ja muut tähtitieteen nk. äärimmäiset kohteet. Se on ESAn COS-B-satelliitin ja NASA:n Compton GRO-satelliitin seuraaja. Sen tarkoitus on tehdä kartta maailmankaikkeuden gammasäteilyn lähteistä. Tähtitiede
Avaruustähtitiede tarkoittaa tähtitieteen sitä osaa, jossa käytettävät mittalaitteet ovat avaruudessa satelliittien ja luotainten kyydissä vastakohtana perinteisemmälle kokonaan maasta käsin tehtävään tutkimukseen. Vastaava laajempi käsite on avaruustutkimus. Diskreetti avaruus
Diskreetti avaruus on topologinen avaruus, jossa avaruuden kaikki osajoukot ovat avoimia. Tällainen "diskreetti topologia" voidaan määritellä missä joukossa tahansa. Avaruuskulma
Tähtitieteessä mitataan avaruuskulmia usein neliöasteina, joka on huomattavasti steradiaania pienempi yksikkö. Yksi neliöaste on formula_4 steradiaania. Täysi avaruuskulma on noin 41 252,96 neliöastetta. Avaruuskulma
Geometrisesti avaruuskulman suuruutta mitataan SI-järjestelmässä steradiaaneina (sr). Avaruuskulma steradiaaneina on yhtä suuri kuin avaruuskulman määrittelevän kartion pallomaisen pohjan pinta-ala pallon säteen ollessa 1. Täysi avaruuskulma on formula_2 sr, sillä 1-säteisen pallon pinta-ala on formula_2. Geodesia
Nykyiset geodesian tutkimuskohteet ovat mm. tarkka satelliittipaikannus (GPS, GLONASS, Galileo), globaaliset vertausjärjestelmät, Maan muodon tarkka seuranta (geodynamiikka) GPS:n, satelliittilaserin ja pitkäkantainterferometrian (VLBI) avulla, Maan painovoimakentän tarkka mallinnus satelliittimittausten (CHAMP, GRACE, GOCE) avulla, ja henkilökohtainen navigointi. Yhtenevyys
Avaruusgeometriassa säännöllisten kappaleiden, kuten pallot, kuutiot, tetraedrit, jne. ovat yhtenevät, jos niiden eräs vastinkohta on molemmissa kappaleissa samanpituiset. Geometria
Babylonialaiset, egyptiläiset, intialaiset ja kiinalaiset käyttivät apunaan geometriaa jo paljon ennen ajanlaskumme alkua. Järjestelmälliseksi geometria kehittyi Kreikassa. Sieltä on myös peräisin sana geometria, joka tarkoittaa maanmittausta. Lävistäjä (geometria)
Lävistäjä eli diagonaali on geometriassa jana, joka yhdistää monikulmion kulmat toisiinsa kulkien kokonaan tai osittain monikulmion sisäosan läpi taikka joskus monikulmion ulkopuolellakin. Kuitenkin, jos jana yhdistää monikulmion vierekkäiset kulmat toisiinsa, kutsutaan janaa monikulmion sivuksi. Lävistäjä on myös avaruusgeometriassa jana, joka yhdistää monitahokkaan kärjet toisiinsa. Jana voi tällöin kulkea kokonaan tai osittain monitahokkaan sisäosan läpi tai joskus monitahokkaan ulkopuolellakin. Silloin sitä kutsutaan avaruuslävistäjäksi. Joskus lävistäjä kulkee myös kokonaan tai osittain tahkon pintaa pitkin. Silloin sitä kutsutaan "tahkon lävistäjäksi". Kuitenkin, jos jana yhdistää kaksi tahkon vierekkäistä kärkeä ja kulkee kahden vierekkäisen tahkon reunaa pitkin, kutsutaan janaa monitahokkaan särmäksi. Projektiivinen geometria
Nämä aksioomat muotoili Alfred North Whitehead teoksessaan "The Axioms of Projective Geometry". Oletetaan että on kahdenlaisia olioita, pisteitä ja suoria, ja niiden välillä yksi "insidenssirelaatio": piste on suoralla. Kolme aksioomaa ovat:Ehto, että jokaisella suoralla on vähintään kolme pistettä, asetetaan joidenkin surkastuneiden tapausten poissulkemiseksi. Jokainen avaruuden, joka toteuttaa nämä kolme aksioomaa, joko sisältää vain yhden suoran tai on projektiivinen avaruus jossakin ulottuvuudessa jonkin jakorenkaan suhteen tai on ei-desarguesilainen taso. Neliulotteisuus
Matematiikassa neliulotteisuus ("4D") on abstrakti käsite, joka johdetaan yleistämällä kolmiulotteisen avaruuden säännöt. Algebrallisesti se muodostetaan soveltamalla vektorien ja analyyttisen geometrian sääntöjä neliulotteiseen avaruuteen. Avaruus on euklidinen avaruus, eli siinä on metriikka ja normi ja kaikki suunnat ovat samanlaisia: ylimääräinen ulottuvuus on samanlainen kuin muut kolme. Avaruuskulma
Avaruuskulma (tunnus Ω) on kolmiulotteinen kulmasuure, joka mittaa sitä, kuinka suurena havaitsija näkee tarkasteltavan kohteen. Se kuvastaa pallon pinnalla olevan pinta-alan A suhdetta säteen r neliöön ja se voidaan esittää muodossa formula_1. Avaruuskulma on kolmiulotteinen vastine kaksiulotteiselle tasokulmalle. Kulma
Kulma (josta käytetään erotukseksi avaruuskulmasta myös nimitystä tasokulma) on geometriassa kahden säteen väliin jäävän tason osa. Kulmalla tarkoitetaan myös osan suuruutta, joka ilmoitetaan lukuarvona. Kulmia syntyy kolmioiden kärkiin, suorien ja janojen väliin ja moniin geometrisiin kuvioihin. Janat, suorat ja kulmat muodostavat alkeisgeometrian perustan. Kulmia käytetään asentojen mittaamisessa tieteessä ja tekniikassa. Holografinen periaate
Yleismaallisesti teorian mukaan koko universumin voidaan ajatella olevan kaksiulotteinen informaatiostruktuuri, joka on "maalattu" kosmologiseen horisonttiin. Täten tutut kolme dimensiota olisivat pätevä määritelmä vain makroskooppisilla mittakaavoilla ja matalilla energioilla. Kosmologista holografiaa ei ole todistettu matemaattisen tarkasti, osaksi koska kosmologisella horisontilla on ajan kuluessa kasvava äärellinen alue. Avaruuslävistäjä
Avaruuslävistäjä on avaruusgeometriassa monitahokkaan kärkiä yhdistävä jana, joka ei ole samalla tahkon lävistäjä tai monitahokkaan särmä. Avaruuslävistäjä kulkee yleensä kappaleen sisällä, vaikka epässäännöllisissä monitahokkaissa se voi kulkea myös kappaleen ulkopuolella. Ajan ja avaruuden filosofia
Konventionalismin mukaan aika-avaruus on vain konventionaalinen eli sopimuksenvarainen asia. Ensimmäisenä tällaista näkemystä kannatti Henri Poincaré. Hänen näkemyksensä oli vaste epäeuklidisen geometrian synnylle. Hän katsoi, että se mitä geometriaa avaruuteen sovelletaan on sovinnainen asia, koska erilaiset geometriat kuvaavat jonkun oliojoukon yhtä hyvin. Ultrametrinen avaruus
Yllä olevasta määritelmästä voidaan johtaa useita ultrametriikan ominaisuuksi. Ultrametrisessä avaruudessa on voimassa muun muassa kaikilla "M":n alkiolla "x", "y" ja "z" sekä reaaliluvuilla "r" ja "s":
Tässä pallo tarkoittaa avointa palloa Astrometria
Astrometria on tähtitieteen osa-alue, joka tutkii tähtien sekä muiden taivaankappaleiden paikkoja, etäisyyksiä ja ominaisliikkeitä taivaalla. Astrometria on luonut perustan taivaanmekaniikalle, tähtien liikkeiden tutkimukselle ja galaktiselle tähtitieteelle. Kehä (geometria)
Kehä on geometriassa ympyrän reunaviiva eli piiri, joka sulkee ympyräkiekon sisäänsä. Kehän pisteet saadaan piirtämällä harpin kiinteällä säteellä rengas annetun ympyrän keskipisteen ympäri. Tasogeometrian määritelmä onkin, että kehä koostuu pisteistä, joiden etäisyys annetusta pisteestä on kaikilla sama. Kansainvälinen geodeettis-geofysikaalinen unioni
Kansainvälinen geodeettis-geofysikaalinen unioni (lyh. "IUGG", ) on kansainvälinen geofysiikan ja geodesian alojen yhteistyöjärjestö. Sen tavoite on edistää Maan ja lähiavaruuden tutkimusta. IUGG on perustettu vuonna 1919, mutta jotkin siihen kuuluvista järjestöistä ovat vanhempia. Se koostuu kahdeksasta alajärjestöstä:
"(suluissa pääasiallinen tieteen ala ja perustamisvuosi)"
Sekä neljästä komissiosta: Uniforminen avaruus
Topologiassa (matematiikka), uniforminen avaruus on joukko, jolla on tasainen rakenne. Uniformit avaruudet ovat topologisia avaruuksia, joita kuvataan lisäksi rakenteella, jotka määrittävät uniformit (tasaiset) ominaisuudet, kuten täydellisyyden, tasaisen jatkuvuuden ja tasaisen suppenemisen. Peilaus
Peilaus on matematiikassa avaruuden muunnos, missä on annettu piste ja joko peilaus­suora tai -piste, tai kolmi­ulotteisessa avaruudessa peilaustaso. Euklidisessa geometriassa peilaukset pisteen, suoran tai tason suhteen ovat yhtenevyys­kuvauksia. Planetaarinen geologia
Planetaarinen geologia eli astrogeologia on tieteenala, joka tutkii planeettojen, kuiden ja asteroidien pinnanmuotoja ja koostumusta pyrkien selvittämään Aurinkokunnan kappaleiden historiaa, rakennetta sekä niitä muokkaavia prosesseja. Käytännön tutkimus perustuu pitkälti avaruusluotainten ottamiin kuviin ja niiden tekemiin geofysikaalisiin mittauksiin. Einsteinin kenttäyhtälöt
Einsteinin kenttäyhtälöt tai "Einsteinin yhtälöt" ovat kymmenen Albert Einsteinin yleisen suhteellisuusteorian yhtälöä, jotka kuvaavat gravitaation massan ja energian aiheuttamana aika-avaruuden kaareutumana. Tarkalleen ottaen kenttäyhtälöt ilmaisevat yhteyden avaruuden geometrian ja siellä olevan massan ja energian välillä. 
Kenttäyhtälöt julkaistiin ensimmäisen kerran vuonna 1915. Yhtälöissä käytetään tensoreita, mikä mahdollistaa niiden esittämisen ja käytön valitusta koordinaatistosta riippumatta. Isometria
Tason formula_6 ja kolmi­ulotteisen avaruuden formula_7 isometrioita itselleen ovat yhtenevyyskuvaukset. Algebrallinen topologia
Yleisesti kaikki algebrallisen topologian konstruktiot ovat funktoriaalisia. Juuri algebrallisen topologian tuloksena syntyivät käsitteet kategoria, funktori ja luonnollinen muunnos. Perusryhmät, homologia- ja kohomologiaryhmät eivät ole annetun topologisen avaruuden ainoita invariantteja siinä mielessä, että nämä ryhmät ovat samat kaikilla keskenään homeomorfisilla avaruuksilla. Avaruuksien välinen jatkuva kuvaus indusoi ryhmien välille ryhmähomomorfismin ja näitä homomorfismeja voidaan käyttää avaruuden rakenteen tutkimiseen. Homografia
Historiallisesti homografiat samoin kuin projek­tiiviset avaruudetkin on otettu käyttöön perspektiiviopin ja euklidisen geo­metrian projektioiden yhteydessä. Tähän viittaa myös nimitys homo­grafia, joka etymo­logisesti merkitsee suunnilleen "saman­laista piirtämistä". Myöhemmin 1800-luvun lopulla otettiin käyttöön muodolliset projek­tiivisten avaruuksien määritelmät, joiden mukaan nämä avaruudet erosivat euklidisista ja affiineista avaruuksista siinä, että niihin oli lisätty äärettö­myydessä olevia pisteitä. Näiden abstraktien kon­struk­ti­oi­den myötä otettiin käyttöön termi "projek­tiivinen muunnos". Nämä kon­struk­tiot jakautuvat kahteen luokkaan, jotka on osoitettu ekvi­valenteiksi. Projek­tiivinen avaruus voidaan konstruoida suorien joukkona jonkin kunnan yli muodostetussa vektori­avaruudessa; tähän kon­struk­tioon perustuen voidaan määritellä projektiiviset koordinaatit, ja homo­grafioiden tutkimukseen voidaan soveltaa lineaarialgebraa. Vaihtoehtoinen lähestymistapa perustuu siihen, että projektiivinen avaruus määritellään aksiooma­ryhmän avulla, jossa ei ekspli­siittisesti viitata mihinkään kuntaan (insidenssigeometria). Tältä pohjalta kollineaatio on helpompi määritellä kuin homo­grafia, ja homo­grafia määritellään tietyntyyppisenä kolline­aationa, minkä vuoksi sitä sanotaankin myös "projek­tiiviseksi kolline­aatioksi". Geodeesi
Yleisemmin geodeesi voidaan määritellä millä tahansa euklidisen avaruuden alimonistolla, esimerkiksi kolmiulotteisessa avaruudessa olevalla (mahdollisesti kaarevalla) pinnalla kuten ellipsoidilla, lieriöpinnalla jne. Elliptinen geometria
Elliptinen geometria eli pallogeometria käsittelee kaksiulotteista, palloksi kaartuvaa pintaa. Avaruus on siis positiivisesti kaareva. Hyperbolisen geometrian voidaan monien ominaisuuksiensa puolesta ajatella muodostavan vastakohdan pallogeometrialle, ja "tavallisen" euklidisen geometrian asettuvan rajatapauksena näiden kahden väliin. Lambertin oikeapintainen tasoprojektio
Jokaista suuntaa kolmi­ulotteisessa avaruudessa vastaa jokin origon kautta kulkeva suora. Kaikkien sellaisten suorien joukko on itsessään avaruus, jota matematiikassa sanotaan reaaliseksi projek­tiiviseksi tasoksi. Jokainen origon kautta kulkeva suora leikkaa yksikkö­kiekon kahdessa pisteessä, joista toinen on alemmalla pallonpuoliskolla formula_22. Poikkeuksena ovat vaaka­suorat viivat, joiden leikkaus­pisteet sijaitsevat kahdessa vastakkaisessa pisteessä ekvaattorilla, formula_23. Molemmat toistensa antipodissa olevat pisteet vastaavat samaa suoraa. Täten suunnat kolmi­ulotteisessa avaruudessa vastaavat lähes täysin alemman pallon­puoliskon pisteitä. Tämä pallon­puolisko voidaan sitten Lambertin oikea­pintaisella projektiolla kuvata kiekolle, jonka säde on formula_20. Geotieteet
Geotieteet, myös maatiede tai maatieteet, on yhteisnimitys luonnontieteille, jotka tutkivat Maan ja sen ilmakehän rakennetta sekä ilmiöitä. Niiden tutkimuksessa sovelletaan fysiikkaa, matematiikkaa, kemiaa ja biologiaa. Ne eivät siten kuulu selkeästi vain yhteen edellä mainituista neljästä luonnontieteen alasta, vaan ne luetellaan yleensä erillään muista luonnontieteistä. Geologia, ilmatiede ja maantiede ovat alueen keskeisimmät tutkimusalat. Metrinen avaruus
Metristä avaruutta formula_1 kutsutaan usein vain metriseksi avaruudeksi formula_2, jos käytössä oleva metriikka formula_15 on asiayhteydestä selvä. Metrisen avaruuden formula_2 alkioita kutsutaan yleensä pisteiksi, ja lukua formula_17 pisteiden formula_5 ja formula_6 väliseksi etäisyydeksi. Bernhard Riemann
Riemannin syvällinen panos geometriaan sisältyy hänen vuonna 1854 Göttingenin yliopiston dosentuuria varten pitämäänsä luentoon "Über die Hypthese welche der Geometrie zugrunde liegen". Riemannin näkemys geometriasta, jonka luonne saattaa vaihtua avaruuden eri paikoissa, tuli merkittäväksi Einsteinin yleisen suhteellisuusteorian myötä. Maantiede
Maan pinnan lisäksi maantieteessä käsitellään myös maan rakennetta ja maapalloa ympäröivää avaruutta, mutta näiden tarkempi tutkiminen kuuluu tähtitieteen ja geologian piiriin. Yhteistä näille moninaisille tutkimusnäkökulmille on alueellinen tarkastelutapa. Algebrallinen geometria
Vaikka projektiivinen geometria löydettiin alun perin synteettisen geometrian kautta, homogeeninen koordinaatisto mahdollisti algebrallisten tekniikoiden käytön algebrallisen geometrian tutkimisessa. Edelleen projektiivisten tekniikoiden käyttö yksinkertaisti ja tiukensi monia algebrallisen geometrian tuloksia. Esimerkiksi tunnettu Bezout'n lause kahden variston leikkauspisteiden lukumäärästä voidaan esittää tiukimmassa muodossaan ainoastaan projektiivisessa avaruudessa. Tämän takia projektiivinen avaruus näyttelee keskeistä roolia algebrallisessa geometriassa. René Descartes
Descartes oli merkittävä matemaatikko. Tutkielmassaan "Geometria" Descartes kehitti analyyttisen geometrian ja avasi tietä nykyaikaiselle matematiikalle. Descartesin analyyttinen geometria muodostaa sillan algebran ja geometrian välille. Analyyttisen geometrian tavallinen kehys, suorakulmainen koordinaatisto, on nimetty Descartesin mukaan karteesiseksi koordinaatistoksi, vaikkei Descartes itse koordinaatistoa käyttänytkään. Suunnikas
Suunnikas on geometriassa nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat määritelmän mukaan pareittain yhdensuuntaiset. Tästä seuraa, että suunnikkaalla ovat myös vastakkaiset sivut yhtä pitkät ja vastakkaiset kulmat yhtä suuret. Jokainen suunnikas on yksinkertainen. Suunnikkaan lähin vastine avaruusgeometriassa on suuntaissärmiö. Maailmankaikkeuden metrinen laajeneminen
Avaruuden lopullinen topologia on määritettävissä vain "a posteriori", havaintojen perusteella, koska ei ole olemassa sellaisia ehdottomia edellytyksiä, joiden nojalla voitaisiin päätellä "a priori", onko fysikaalinen avaruus esimerkiksi yhdesti yhtenäinen tai kompakti. Vaikka jotkin kosmo­logiset mallit kuten Gödelin maailmankaikkeus sallivat jopa eris­kummallisia, itsensä leikkaavia maailman­viivoja, lopulta kysymys siitä, elämmekö jonkin­laisessa "Pac-Man-avaruudessa", jossa riittävän kauas tiettyyn suuntaan matkattaessa palaisimme lopulta lähtö­paikkaamme, on empiirinen kysymys, joka on tai ei ole ratkaistavissa riippuen koko maailman­kaikkeuden geo­metriasta. Toistaiseksi havainnot ovat sopusoinnussa sen käsityksen kanssa, että avaruus on ääretön ja yhdesti yhtenäinen, vaikka emme kykenekään selvittämään, ovatko kosmologiset horisontit yksin­kertaisen vai mutkikkaampien ehdotettujen mallien mukaiset. Maailman­kaikkeus saattaa olla mitta­suhteiltaan ääretön tai äärellinen, mutta havainnot, joiden pohjalta kosminen inflaatio on päätelty, viittaavat myös siihen, että "maailmankaikkeus koko­nai­suu­des­saan" on paljon laajempi kuin havaittava maailmankaikkeus, ja siten mitkään reunat tai epä­tavalliset geo­metriat tai topo­logiat eivät ole suoraan havaittavissa, koska valo ei ole vielä ehtinyt kulkea niin pitkiä matkoja, joilla sellaiset ilmiöt, jos niitä esiintyy, ovat yhä mahdollisia. Käytännön kannalta voidaan hyvällä syyllä otaksua, että maailman­kaikkeus on avaruudellisilta ulottuvuuksiltaan ääretön eikä sillä ole reunaa tai tavan­omaisesta käsityksestä poikkeavia yhtenäisyys­ominaisuuksia. Avaruuslento
Avaruuslennolla tarkoitetaan avaruuteen suuntautuvaa, yleensä kantoraketin avulla tapahtuvaa lentoa. Yhdysvaltalaisen määritelmän mukaan avaruus alkaa 50 mailista (noin 80 km) ja kansainvälisen ilmailuorganisaation, Fédération Aéronautique Internationalen (FAI), mukaan 100 kilometristä. Tätä korkeammalle yltäneen lennon suorittanutta ihmistä kutsutaan avaruuslentäjäksi. Normiavaruus
Normiavaruus on matematiikassa lineaariavaruus, joka on varustettu normilla. Normi on matemaattinen yleistys kaksi- tai kolmiulotteisten Euklidisten avaruuksien intuitiivisesta "pituuden" käsitteestä, ja siten normiavaruuden yhteydessä voidaan puhua vektorien pituudesta tai koosta (jotka siis ovat kyseisten vektorien normeja), sekä niiden välisestä etäisyydestä. Tarpeen mukaan tietyn lineaariavaruuden voi varustaa erilaisilla normeilla, ja siksi normiavaruuden määrittämiseksi täytyykin esittää pari ("V",||formula_1||), missä formula_2 on lineaariavaruus ja ||formula_1|| normi. Itseisarvo |formula_1| on erikoistapaus normista, ja myös itseisarvoa vastaavaa merkintää käytetään joistakin normeista. Jos normi on asiayhteydestä selvä, tai sen valinta ei ole tärkeää, voidaan se jättää mainitsematta. Projektiivinen geometria
Projektiivinen geometria on vähemmän rajoittavaa kuin euklidinen tai affiini geometria. Se on oleellisesti ei-metristä geometriaa, jonka tulokset eivät riipu mistään metrisestä struktuurista. Projektiivisissa muunnoksissa insidenssistruktuuri ja projektiivinen harmoninen konjugaatti säilyvät. Sen yksiulotteisena perustana on pisteiden muodostama projektiivinen jono. Projektiivisessa geometriassa yksi perspektiivin perusperiaatteista muotoillaan näin: yhdensuuntaiset suorat leikkaavat toisensa äärettömyydessä, ja sen vuoksi ne piirretään niin tietyllä tavalla. Oleellisesti projektiivinen geometria voidaan käsittää euklidisen geo­metrian laajennukseksi, jossa jokaista keskenään yhden­suuntaisten suorien luokkaa kohti on lisätty yksi ylimääräinen "piste" ja jossa tason suoria tällä tavoin vastaavien pisteiden muodostamaa "horisonttia" käsitellään "suorana". Täten yhden­suuntaiset suorat leikkaavat toisensa jossakin horisontti­suoran pisteessä. Metrinen avaruus
ja Avaruuskappale
Avaruuskappale on kolmiulotteinen, äärellinen eli suljettu kappale. Avaruuskappaleen rajaa kaksiulotteinen pinta. Avaruuskappale on äärellinen, joten esimerkiksi tason halkaiseman avaruuden kaksi eri puoliskoa eivät ole avaruuskappaleita, sillä ne ovat äärettömän kokoisia. Sääntönä voi pitää myös sitä, että avaruuskappaleesta voi aina, ainakin teoriassa, laskea sen tilavuuden. Normaali (matematiikka)
Normaali on geometriassa vektori tai suora, joka leikkaa tasossa kohtisuorasti toista janaa, suoraa, vektoria tai käyrää vasten, taikka tilassa myös tasoa tai pintaa vasten. Tasogeometriassa suoran, janan tai vektorin normaali on toinen suora tai vektori, joka on kohtisuorassa tätä vasten. Jos kohteena on mutkitteleva käyrä, on normaali kohtisuorassa tässä kohdassa olevaa käyrän tangenttia vasten. Avaruusgeometriassa suorien, janojen ja vektorien normaali määritellään samoin kuin tasogeometriassa. Tilassa voi vielä esiintyä tasoja, joiden normaali on suora tai vektori, joka on kohtisuorassa tasoa vastaan katsottiinpa sitä tasossa miltä suunnalta hyvänsä. Tällöin normaali on kohtisuorassa tasoa vastaan. Tila-avaruudessa mutkittelevan pinnan normaali on kohtisuorassa pinnan tangenttitasoa vasten. Absoluuttinen aika ja avaruus
Absoluuttinen avaruus, oman luontonsa nojalla, pysyy aina saman­laisena ja liikkumattomana riippumatta mistään ulkoisesta. Suhteellinen avaruus on jokin liikkuva absoluuttisen avaruuden ulottuvuus tai mitta, jonka aistimme määrittelevät suhteessa kappaleisiin ja jota usein pidetään liikkumattomana avaruutena ... Differentiaaligeometria
Riemannin geometria on monistojen differentiaaligeometrian tärkein osa. Tarkasteluun otetaan mukaan eräänlainen metriikka, joka mahdollistaa muun muassa käyrien pituuksien ja alimonistojen pinta-alojen laskemisen, sekä erilaisten variaatio-ongelmien asettelun ja ratkaisemisen. Tältä pohjalta voidaan puhua esimerkiksi geodeeseista tai minimaalipinnoista, jotka ovat usein keskeisiä differentiaaligeometrian sovelluksissa. Kaarevuuden käsitteellä on erityisen tärkeä rooli Riemannin geometriassa, sillä tutkittavan moniston kaarevuustensori sisältää muun muassa informaatiota Riemannin moniston globaaleista ominaisuuksista. Projektiivinen geometria
Näihin voidaan lisätä muita aksioomia, jotka rajoittavat koordinaattirenkaan ulottuvuutta. Esimerkiksi Coxeterin teoksessa "Projektiivinen geometria" viitataan Veblenin teokseen, jossa esiintyvät nämä kolme aksioomaa, mutta niihin lisätään vielä viisi aksioomaa, jotka kiinnittävät avaruuden kolmiulotteiseksi ja määrittävät koordinaatti­renkaan kommutatiiviseksi kunnaksi, joka karakteristika ei ole 2. Projektiivinen geometria
Projek­tiivisen geo­metrian geo­metrian yhtenä virikkeenä on ollut perspektiivioppi. Perspek­tiivisesti sellaisetkin suorat, jotka todellisuudessa ovat yhden­suuntaisia, esimerkiksi rata­kiskot, näyttävät kaukana kohtaavan toisensa. Tämän vuoksi niiden voidaan ajatella leikkaavan toisensa "äärettömän kaukana". projek­tiivisessa geo­metriassa tavan­omaiseen avaruuteen lisätäänkin kutakin yhden­suuntaisten suorien ekvivalenssiluokkaa kohti yksi "äärettömän kaukainen" piste. Kun tasoon lisätään tällaiset äärettömän kaukaiset pisteet, saadaan projektiivinen taso, ja vastaavasti kun kolmi­ulotteiseen avaruuteen lisätään tällaiset pisteet, saadaan kolmi­ulotteinen projektiivinen avaruus. Aritmeettis-geometrinen epäyhtälö
Aritmeettis-geometrinen epäyhtälö on reaalilukuja koskeva epäyhtälö, jonka mukaan ei-negatiivisten lukujen aritmeettinen keskiarvo on aina vähintään yhtä suuri kuin niiden geometrinen keskiarvo. Muodollisesti, jos pätee formula_1, niin on voimassa
formula_2.
Aritmeettis-geometrinen epäyhtälö voidaan todistaa esimerkiksi suuruusjärjestysepäyhtälön tai Jensenin epäyhtälön avulla. Epäyhtälössä pätee yhtäsuuruus jos ja vain jos formula_3. Geometria
Geometrian varhaisia merkittäviä tekstejä oli Eukleideen noin vuonna 300 eaa. kirjoittama oppikirja Alkeet. Teos koostuu 13 kirjasta, joissa käsitellään euklidista geometriaa ja aikakauden lukuteoriaa. 1600-luvun alkupuolella René Descartes ja Pierre de Fermat kehittivät analyyttisen geometrian. Venäläinen matemaatikko Nikolai Lobatševski kehitti 1800-luvun alussa epäeuklidisen geometrian, jossa euklidisen geometrian viides aksiooma ei pitänyt paikkaansa. 1800-luvun aikana geometrian edistykseen vaikuttivat myös analyysin ja differentiaaligeometrian parissa työskennellyt Bernhard Riemann ja algebrallisen topologian luoja Henri Poincaré. Projektiivinen geometria
Idealisoituja suuntia sanotaan äärettömyydessä oleviksi pisteiksi, kun taas eri tasoja vastaavia horisontteja sanotaan äärettömyydessä oleviksi suoriksi. Kaikki tällaiset suorat taas sijaitsevat äärettömyydessä olevalla tasolla. Äärettömyys on kuitenkin metrinen käsite, joten puhtaasti projek­tiivinen geo­metria ei sulje pois mitään pisteitä – äärettömyydessä olevia käsitellään samalla tavoin kuin muitakin pisteitä. Metafysiikka
René Descartes ja Gottfried Leibniz katsoivat, että avaruus on vain kehys, joka mahdollistaa aineellisten kappaleiden suhteellisen sijainnin ymmärtämisen; ilman aineellisia kappaleita sitä ei olisi. Esimerkiksi Isaac Newton puolestaan katsoi avaruuden olevan itsessään olemassa oleva, absoluuttinen ”säiliö”. Käsitys avaruuden suhteellisuudesta tuli uudelleen vallitsevaksi Albert Einsteinin ja Ernst Machin töiden myötä. Euklidinen avaruus
Euklidinen avaruus on "n"-ulotteinen reaalikertoiminen vektoriavaruus, jolle pätevät euklidisen geometrian aksioomat. Euklidista avaruutta voidaan merkitä formula_1 tai formula_2, missä formula_3. Metrinen avaruus
Tasossa ja kolmiulotteisessa avaruudessa tämä vastaa tavanomaista euklidisen geometrian mukaista pisteiden välistä etäisyyttä. Väli
Esimerkiksi avaruudessa formula_27 tulovälit (kutsutaan tässä tapauksessa myös "n-välit") ovat "n":n reaaliakselin välin tuloja eli eräänlaisia useampiulotteisia laatikoita (avaruudessa formula_21 tulovälit ovat suorakaiteita ja avaruudessa formula_29 tulovälit ovat särmiöitä). Vektori
Geometriassa ja fysiikassa vektoreita käytetään kuvaamaan suureita, joihin suuruuden lisäksi liittyy määrätty suunta. Käytettyjen vektorien alkiot ovat reaalilukuja. Tasogeometriassa käytetyt vektorit voidaan esittää kahden, kolmiulotteisessa avaruusgeometriassa ja useimmissa fysikaalisissa sovelluksissa käytetyt vektorit kolmen reaaliluvun järjestettyinä joukkoina. Geometrisesti vektoreita voidaan kuvata janoilla, joiden toiseen päähän on tapana merkitä nuolenkärki. Tällöin kuitenkin kaikki suunnatut janat, jotka ovat yhtä pitkiä ja samansuuntaisia, katsotaan ekvivalenteiksi, toisin sanoen ne esittävät samaa vektoria. Lukujonona tällaisissa vektoreissa on vain kolme tai tasogeometriassa kaksi lukua, joista ensimmäinen vastaa tämän janan projektiota x-akselin suunnassa, toinen y-akselin suunnassa ja kolmas z-akselin suunnassa. Erikoistapauksena on nollavektori, jossa kaikki nämä luvut ovat nollia. Sen suunta on määräämätön (mielivaltainen) ja pituus 0.