Miten algebrallinen struktuuri määritellään?
Reaaliluku
Tarkastellaan abstraktia joukkoa formula_7, jossa on määritelty abstrakti yhteenlasku formula_8, abstrakti kertolasku formula_9 (missä piste jätetään usein kirjoittamatta) ja abstrakti järjestysrelaatio formula_10. Algebrallinen struktuuri formula_11 on "täydellinen järjestetty kunta" eli "reaalilukujen kunta", jos sillä on seuraavassa mainitut "algebralliset ominaisuudet", "järjestysominaisuudet" ja "täydellisyysominaisuus". Algebrallinen rakenne
Algebrassa algebrallisella rakenteella tarkoitetaan joukkoa tai joukkoja, jossa on määritelty yksi tai useampi "laskutoimitus"; tässä laskutoimitus on mikä tahansa sääntö, joka tuottaa annetuista joukon alkioista tuloksen. Joukko voi olla esimerkiksi merkkijonot ja laskutoimitus niiden yhdistäminen.
Tekijäavaruus (lineaarialgebra)
Olkoon "T" : "V" → "W" lineaarikuvaus. "T":n "ydin" (kernel), jolle käytetään merkintää ker("T") on niiden alkioiden "x" ∈ "V" joukko, joilla "Tx" = 0. Ydin on "V":n aliavaruus. Lineaarialgebran ensimmäisen isomorfialauseen mukaan tekijäavaruus "V"/ker("T") on isomorginen "V":n kuva-avaruuden kanssa, joka on "W":n aliavaruus. Äärellisulotteisten avaruuksien tapauksessa tästä seuraa myös, että "V":n dimensio on sama kuin "T":n ytimen kuva-avaruuden dimensioiden summa: Genus (matematiikka)
missä formula_15 on rakennelyhteen Eulerin–Poincarén karakteristika.
Kun X on algebrallinen käyrä, jonka kuntana on kompleksiluvut, ja X:llä ei ole singulaarisia pisteitä, molemmat määritelmät kuvaavat pinnan kahvojen lukumäärää. Sen sijaan yleisessä tapauksessa aritmeettinen genus voi olla myös negatiivinen luku. Algebra
Sana "algebra" on peräisin arabian kielestä ( "" ja tarkoittaa uudelleenyhdistymistä. Monet algebran menetelmistä ovat islamilaisten matemaatikkojen kehittämiä. Huomattavimpia heistä oli Al-Khwarizmi (noin 800–850). Hän kirjoitti teoksen, jossa algebraa käsitellään aritmetiikasta ja geometriasta riippumatta.. Algebrallinen rakenne
Voidaan luoda periaatteessa mielivaltaisen monta rakennetta esittämällä laskutoimitukselle tai -toimituksille mielivaltaisia ehtoja. Nimi on annettu yleensä enemmän käytetyille rakenteille. Esimerkiksi joukolle, jossa on liitännäinen laskutoimitus, on nimi puoliryhmä, joukolle jossa on vaihdannainen laskutoimitus ei ole erityistä nimeä. Tietorakenne
Tietorakenne on tietojenkäsittelyssä esiintyvä termi, joka tarkoittaa tapaa tallentaa tietokoneen käsittelemää dataa siten, että datan käyttö olisi mahdollisimman tehokasta. Toisaalta tietorakenne tarkoittaa sellaista abstraktia muistimallin primitiiveistä koostuvaa rakennetta, johon data on tallennettu.Taulukko on tietorakenne, jossa samantyyppiset tiedot on indeksoitu. Taulukko voi olla rekursiivinen tietorakenne, missä yksi taulukon alkio on toinen taulukko. Näin määritellään moniulotteinen taulukko. Proteiinin rakenne
Tertiaarirakenne on yksittäisen proteiinimolekyylin kolmiulotteinen järjestys, joka koostuu vuorovaikuttavista järjestyneistä ja järjestäytymättömistä sekundaarirakenteista. Peptidit voidaan erotella proteiineista myös sillä perusteella, että peptidien aminohapposekvenssien pituus ei riitä tuottamaan korkeampia tertiaari- ja kvaternaarirakenteen tasoja.
Aminohappotähteiden sivuketjujen väliset vuorovaikutukset ovat tärkeitä proteiinien muodon kannalta. Hyperelliptinen käyrä
Matematiikassa hyperelliptinen käyrä on aritmeettisen geometrian termi. Olkoon formula_1 sileä, geometrisesti yhtenäinen projektiivinen käyrä, jonka genus on vähintään yksi, yli kunnan k. Tällöin X on hyperelliptinen jos X:ssä on olemassa Cartierin divisori D jolle formula_2. Tässä määritellään jokaiselle Cartierin divisorille formula_3 ensiksi formula_4 ja formula_5.. Eksklusiivinen disjunktio
Propositiologiikassa lauseet muodostavat eräänlaisen algebrallisen struktuurin, jossa laskutoimituksina toimivat esimerkiksi formula_15 (konjunktio) ja formula_3. Vaikka nämä kaksi laskutoimitusta ovat hyvin hyödyllisiä loogisissa systeemeissä, seuraavassa mielessä niistä ei muodostaa yleistettävämpää struktuuria. Algebrallinen rakenne
formula_5 Abstrakti algebra
Historiallisesti algebralliset rakenteet ovat usein esiintyneet ensimmäistä kertaa matematiikassa muualla kuin itse abstraktissa algebrassa. Kun uusi käsite on todettu hyödylliseksi erottaa alkuperäisestä asiayhteydestään, se on voitu aksiomatisoida ja sitä on voitu tutkia abstraktin algebran keinoin. Tämän vuoksi abstraktilla algebralla on monia yhteyksiä muihin matematiikan osa-alueisiin. Abstrakti algebra
Esimerkkejä algebrallisista rakenteista, joissa on annettu yksi laskutoimitus:Monipuolisempia algebrallisia rakenteita:Kaikki yllä olevat esimerkit muodostavat yhdessä kunkin algebrallisen rakenteen homomorfismien kanssa kategorian, ja kategoriateoria antaa mahdollisuuden vertailla erilaisia algebrallisia rakenteita. Ryhmä (algebra)
Monoidi on määritelmän ehdot 1-3 täyttävä rakenne, joten ryhmä voidaan määritellä monoidiksi, jossa jokaisella alkiolla on käänteisalkio. Yhtäpitävästi ryhmä voitaisiin määritellä myös luupiksi, jonka laskutoimitus on liitännäinen. Algebrallinen geometria
Sanotaan että funktio Alirengas
Algebrassa alirengas on renkaaseen liittyvä käsite. Sen mukaan renkaan formula_1 osajoukkoa formula_2 sanotaan formula_3:n alirenkaaksi, jos formula_2 on rengas operaatioiden formula_5 ja formula_6 suhteen ja formula_2:n ykkösalkio on formula_3:n ykkösalkio. Algebrallinen topologia
Yleisesti kaikki algebrallisen topologian konstruktiot ovat funktoriaalisia. Juuri algebrallisen topologian tuloksena syntyivät käsitteet kategoria, funktori ja luonnollinen muunnos. Perusryhmät, homologia- ja kohomologiaryhmät eivät ole annetun topologisen avaruuden ainoita invariantteja siinä mielessä, että nämä ryhmät ovat samat kaikilla keskenään homeomorfisilla avaruuksilla. Avaruuksien välinen jatkuva kuvaus indusoi ryhmien välille ryhmähomomorfismin ja näitä homomorfismeja voidaan käyttää avaruuden rakenteen tutkimiseen. Vektoriavaruus
Vektoriavaruus eli lineaariavaruus on matemaattinen struktuuri, joka on lineaarialgebran peruskäsite. Niitä käytetään paljon erityisesti matriisilaskennassa ja funktionaalianalyysissa. Vektoriavaruutta ajatellaan joukkona, johon on määritelty kaksi laskutoimitusta: alkioiden summa ja ns. skalaarilla kertominen. Vektoriavaruuden alkioita kutsutaan vektoreiksi. Atomistinen kaava
Atomistinen sääntö eli atomistinen kaava on matemaattisessa logiikassa käytetty erikoistapaus kaavasta, jolla ei ole syvempiä sisärakenteita. Sitä kutsutaan lyhyesti myös atomiksi. Atomistisessa kaavassa ei siis ole alakaavoja sisällään. Atomit ovat siten yksinkertaisimpia hyvin-määriteltyjä logiikan kaavoja. Yhdistettyjä kaavoja voidaan muodostaa yhdistämällä atomistisia sääntöjä keskenään tyypillisillä logiikan konnektiiveilla. Taulukko (tietorakenne)
Tietojenkäsittelytieteessä taulukko () on alkeellinen tietorakenne, jota käytetään lähes kaikissa muutamaa riviä pidemmissä tietokoneohjelmissa. Sitä voi verrata numeroituun lokerikkoon, jonka jokaisessa lokerossa on yksi arvo. Luku
Abstraktissa algebrassa kompleksiluvut muodostavat algebrallisesti suljetun kunnan. Reaalilukujen tavoin nekin muodostavat kunnan, mutta niissä ei ole järjestysrelaatiota, toisin sanoen kahdesta kompleksiluvusta ei voida yleensä sanoa, kumpi niistä on suurempi. Proteiinin rakenne
Primaarirakenne kertoo peptidien ja proteiinien sisäiset kovalenttiset sidokset. Näin ollen primaarirakenne kuvaa sekä aminohappojärjestyksen että muut peptidin ja proteiini sisäiset kovalenttiset sidokset, kuten muodostuneet rikkisillat. Primaarirakenne ei siis määrittele proteiinin kolmiulotteista rakennetta, mutta käytännössä se määrää proteiinin kolmiulotteisen rakenteen ja siten myös proteiinin ominaisuudet. Ristitulo
Esimerkiksi Heisenbergin algebra antaa toisen Lien algebran mukaisen struktuurin avaruudelle formula_129 Tässä kannassa formula_130 tulo on formula_131 Kompositiojono
Abstraktissa algebrassa kompositiojono tarjoaa keinon jakaa algebrallinen rakenne, kuten ryhmä tai moduli, yksinkertaisempiin osiin. Kohomologia
Matematiikassa, erityisesti algebrallisessa topologiassa, kohomologia on nimitys Abelin ryhmien jonoille, joilla on ketjukompleksi. Siten kohomologia on näiden ketjujen abstraktia tutkimista. Kohomologia voidaan nähdä menetelmänä määrittää topologisten avaruuksien algebrallisia invariantteja, joilla on hienompi algebrallinen struktuuri kuin mitä homologia antaa. Kohomologia esiintyy homologian konstruoinnin algebrallisena duaalina. Algebrallinen geometria
Vaikka projektiivinen geometria löydettiin alun perin synteettisen geometrian kautta, homogeeninen koordinaatisto mahdollisti algebrallisten tekniikoiden käytön algebrallisen geometrian tutkimisessa. Edelleen projektiivisten tekniikoiden käyttö yksinkertaisti ja tiukensi monia algebrallisen geometrian tuloksia. Esimerkiksi tunnettu Bezout'n lause kahden variston leikkauspisteiden lukumäärästä voidaan esittää tiukimmassa muodossaan ainoastaan projektiivisessa avaruudessa. Tämän takia projektiivinen avaruus näyttelee keskeistä roolia algebrallisessa geometriassa. Ryhmä (algebra)
Ryhmä on tärkein yhden joukon ja yhden laskutoimituksen muodostama algebrallinen rakenne. Joukon on oltava laskutoimituksen suhteen suljettu siten, että laskutoimituksen tulos kuuluu samaan joukkoon, laskutoimitus on liitännäinen (mutta ei välttämättä vaihdannainen), laskutoimituksella on neutraalialkio ja jokaisella joukon alkiolla on käänteisalkio. Tyyppiesimerkki ryhmistä on kokonaisluvut ja yhteenlasku, jossa neutraalialkio on nolla ja käänteisalkio vastaluku. Homografia
Projektiivisen geometrian peruslause käsittää seuraavat kolme väitettä:Jos projektiiviset avaruudet määritellään aksioomien avulla, kuten synteettisessä geo­metriassa tehdään, lauseen kolmas osa on pelkkä määritelmä. Jos projek­tiiviset avaruudet sen sijaan määritellään lineaarialgebrallisesti, lauseen ensimmäinen osa seuraa suoraan määritelmästä. Rengas (matematiikka)
Kuten muillekin algebrallisille struktuureille, renkaiden välille voidaan määritellä rakenteen säilyttävä kuvaus eli homomorfismi. Algebrallisesti suljettu kunta
Siis yksinkertaisemmin muotoiltuna algebrallisesti suljettu kunta on sellainen kunta, jossa "n":nnen asteen polynomilla on "n" nollakohtaa. Esimerkiksi kompleksilukujen kunta on algebrallisesti suljettu algebran peruslauseen nojalla, mutta reaalilukujen kunta ei sitä ole, sillä kaikilla reaalikertoimisilla polynomeilla ei ole lainkaan reaalisia ratkaisuja. Rakenteen muodostuminen
Rakenteen muodostuminen tarkoittaa kosmologiassa siirtymistä alkuräjähdyksen jälkeistä, kosmisessa taustasäteilyssä havaittavasta, homogeenisesta ja isotrooppisesta kaikkeudesta epähomogeenisempaan suuntaan. Epähomogeenisuuden synty ja runsastuminen mahdollisti rakenteiden kuten galaksit ja tähdet muodostumisen. Ydin (algebra)
Kuvausta kutsutaan surjektioksi, kun lähtöavaruuden kuva on koko maalijoukko. Kuvaus on injektio, kun jokainen kuva-alkio on sama kuin toinen kuva vain, kun alkukuvat ovat samat. Jos kuvaus on sekä surjektio että injektio, se on bijektio. Lineaarinen kuvaus, joka on bijektio on isomorfismi, jonka lähtö- ja kuva-avaruuksien dimensiot ovat samat. Lineaarikuvaus on injektio silloin ja vain silloin, kun "Ker (f) " on nolla-alkio. Oliomalli
tai se voi olla tyhjä (eng. aggregation). Täysi neliö merkitsee voimakkaampaa sidontaa kuin tyhjä.
Viimeisenä ja analyysin kannalta vähäisimpänä on yleistys/erikoistus (periytyvyys). 
Tällä rakenteella voidaan kuvata käsitteiden hierarkioita. Tällä rakenteella voidaan luokkakaavioon tuoda useita tarkkenevia abstraktiotasoja samaan kaavioon. Strukturaalinen realismi
Strukturaalinen realismi ("rakenteellinen realismi") on tieteenfilosofinen kanta, joka liittyy keskusteluun tieteellisestä realismista ja antirealismista. Se on realistinen tieteellisten teorioiden kuvaamien rakenteiden suhteen. Algebrallinen topologia
Algebrallisten invarianttien teorian tavoitteena on kategorisoida tai luokitella topologisia avaruuksia. Aiheesta käytettiin ennen nimeä kombinatorinen topologia viitaten siihen, kuinka avaruus rakentuu yksinkertaisemmista avaruuksista (nykyään tähän rakentamiseen käytetty standardityökalu on CW-kompleksi). Algebrallisen topologian perusmenetelmä on tutkia avaruuksia algebrallisten invarianttien avulla. Invarianttien ideana on liittää topologiseen avaruuteen jollain menetelmällä ryhmä ja tutkia näin saadun ryhmän ominaisuuksia. Algebrallinen geometria
Vastaus ensimmäiseen kysymykseen saadaan Zariskin topologian avulla, topologia formula_4:ssa joka kertoo suoraan formula_8:n algebrallisen rakenteen. Tällöin "V" = "V"("I"("V")) jos ja vain jos "V" on Zariski-suljettu joukko. Toiseen kysymykseen vastauksen antaa Hilbertin Nullstellensatz. Lauseen erään muodon mukaan "I"("V"("S")) on "S":stä viritetyn ideaalin alkuradikaali. Toisin sanoen on olemassa Galois yhteys, joka yhdistää kaksi sulkeumaoperaattoria. Nämä voidaan samaistaa ja ovat luonnollisesti teorian keskeinen käsite. Erilaisista syistä johtuen emme aina halua tutkia annetun algebrallisen joukon "V" koko ideaalia. Hilbertin kantalauseesta seuraa, että formula_8:n ideaalit ovat aina äärellisesti viritettyjä. Proteiinin rakenne
Proteiinien ja peptidien aminohappojärjestystä kutsutaan primaarirakenteeksi. Sekundaarirakenteeksi kutsutaan atomien järjestystä polypeptidiketjun selkärangassa. Proteiinin tertiaarirakenteeksi kutsutaan sen kaikkien atomien kolmiulotteista järjestystä huomioiden myös prosteettiset ryhmät eli atomiryhmät, jotka eivät koostu aminohapoista. Kvaternaarirakenne tarkoittaa proteiinin eri alayksiköiden eli monomeerien muodostamaa kokonaisuutta. Boolen algebra
Minkä tahansa perusjoukon osajoukoille voidaan määritellä joukko-opilliset operaatiot unioni formula_13, leikkaus formula_14 ja komplementti formula_15. Nämä noudattavat myös Boolen algebran sääntöjä, kun unioni vastaa laskutoimitusta formula_2, leikkaus laskutoimitusta formula_1 ja komplementti operaatiota formula_11. Ykkösalkiona on tällöin perusjoukko, nolla-alkiona tyhjä joukko. Käänteisesti voidaan osoittaa, että jokainen Määritelmässä esitetyt "Boolen ehdot" toteuttava algebra on isomorfinen eli voidaan tulkita algebraksi, jonka alkioina ovat jonkin perusjoukon tietyt osajoukot ja laskutoimitukset on määritelty joukkojen unionin, leikkauksen ja komplementin perusteella. Tämä tulos seuraa Stonen esityslauseesta. Tämä Boolen algebran joukko-opillinen esitys ei ole yksikäsitteinen, mutta kaikki tiettyyn Boolen algebraan liittyvät joukko-opilliset esitykset ovat isomorfisia keskenään ja kyseisen Boolen algebran kanssa. Algebrallinen geometria
Osajoukko formula_4 joka on "V"("S") jollakin "S", on nimeltään algebrallinen joukko. "V" tulee nimestä "varisto" (tietyn tyyppinen algebrallinen joukko). Modulien suora summa
Modulien suora summa on abstraktissa algebrassa konstruktio, joka yhdistää moduleita uusiksi isommiksi moduleiksi. Tässä mielessä modulien suora summa on "yleisin" moduli, joka sisältää annetut modulit alimoduleinaan. Suoraa summaa merkitään ympyrällä, jonka sisällä on plus-merkki: formula_1. Skeema (algebrallinen geometria)
Modernissa algebrallisessa geometriassa skeema on keskeinen työkalu. Määritelmä mukaan skeema on renkainen topologinen avaruus formula_1, jolla on avoin peite formula_2 siten, että formula_2 of affiini skeema kaikilla indekseillä "i". Boolen algebra
mutta formula_64 koostuu vain yhdestä formula_40-perusjoukon pisteestä (formula_19), eikä se siis selvästikään voi olla alkioksi hyväksytty formula_21:n osajoukko, eli sigma-algebraa koskeva numeroituvasti äärettömän monen alkion leikkausta koskeva sääntö ei nyt toteudu, eli kyseinen Boolen algebra ei ole sigma-algebra.[[Luokka:Matemaattinen logiikka]]
[[Luokka:Algebralliset rakenteet]]
[[Luokka:Seulonnan keskeiset artikkelit]] Monoidi
Monoidi on algebrallinen rakenne, joka koostuu joukosta formula_1 ja sen alkioihin liittyvästä binäärioperaatiosta formula_2 (merkitään formula_3) jotka toteuttavat seuraavat ehdot:Toisin sanoen monoidi on puoliryhmä, jossa on neutraalialkio. Geometrinen konstruktiotehtävä
Geometriset konstruktiot askarruttivat jo antiikin matemaatikoita. Esimerkiksi Eukleideen "Elementa"-teoksessa esitetään suuri joukko konstruktiotehtäviä ja niiden ratkaistut. On kuitenkin osoittautunut, että kaikkia tällaisia tehtäviä ei voida ratkaista pelkästään harpilla ja viivaimella. Sen tutkiminen, mitkä tehtävät voidaan näin ratkaista ja mitkä ei, johti lopulta 1800-luvulla abstraktin algebran kehittymiseen. Puoliyksinkertainen moduuli
Puoliyksinkertainen moduuli on matemaattinen käsite, joka algebrassa tarkoittaa moduulia, joka on suora summa yksinkertaisista moduuleista. Yksinkertainen moduuli on moduuli formula_1, jonka ainoat alimoduulit ovat triviaali alimoduuli formula_2 ja formula_1 itse. Topologinen aliavaruus
Yleisemmin voidaan olettaa, että formula_5 on mikä tahansa injektio joukosta formula_10 topologiseen avaruuteen formula_11. Tällöin "S" :n relatiivitopologia määritellään karkeimpana topologiana, jossa formula_5 on jatkuva. Avoimia joukkoja tässä topologiassa ovat kaikki muotoa formula_13 olevat joukot, joissa formula_14 on formula_11:n avoin osajoukko. Tällöin formula_10 on homeomorfinen formula_11:ssä olevan kuvajoukkonsa kanssa, kun tämä joukko on varustettu relatiivitopologialla. Tällaista kuvausta formula_5 sanotaan topologiseksi upotukseksi. Ydin (algebra)
"y = formula_1a x
", "i = 1, … , m".
Muuttujat "x , ... , x" ovat riippumattomia muuttujia ja "y , ... , y" ovat riippuvia muuttujia, luvut "a" ovat kertoimia. Vektoriavaruus voi olla laajemmin rationaalinen, reaalinen tai kompleksinen, riippuen kertoimista "a". Muunnos voidaan esittää myös tauluesityksen avulla ja kirjoittaa matriisiesityksen avulla, "y=Ax", jossa "A" on kertoimien muodostama matriisi. Sitä voidaan kutsua myös tensoriksi. Muunnos voidaan kirjoittaa auki: Jälkistrukturalismi
Käsitteenä jälkistrukturalismi on vaikea määritellä tai tiivistää. Tähän on pääasiassa kaksi syytä. Ensiksikin jälkistrukturalismin olemukseen kuuluu, että se hylkää määritelmät, jotka väittävät sisältävänsä "totuuksia" maailmasta. Toiseksi hyvin harva filosofi on oma-aloitteisesti katsonut olevansa jälkistrukturalisti, sen sijaan he ovat saaneet nimityksen muilta. Tämä tarkoittaa, ettei kukaan ole varsinaisesti määritellyt jälkistrukturalismin ohjelmanjulistusta. Näin voidaan väitellä siitä, mikä on jälkistrukturalismin todellinen luonne tai voidaanko sitä varsinaisesti pitää yhtenä filosofisena suuntauksena tai koulukuntana. Homomorfialause
Homomorfialause eli homomorfismien peruslause on hyvin yleinen algebrallisten systeemien rakennelause. Se takaa, että homomorfismin formula_1 kuva on isomorfinen formula_1:n ytimen sivuluokkien muodostaman rakenteen kanssa. Algebrallinen luku
Luvun voi todeta algebralliseksi, jos keksii sille rationaalilukukertoimisen polynomiyhtälön, jonka juuri luku on. Luvun asteen voi päätellä retusoimalla polynomin tekijöitä. Seuraavassa on joitakin esimerkkejä lukuisasta soveltamiskentästä.
Jos polynomi formula_20 kerroin formula_21, saadaan pääpolynomi. Tämän polynomin algebralliset luvut ovat kokonaislukuja, joiden aste on 1. Tällöin voidaan merkitä formula_22. Kaikki rationaaliluvut ovat algebrallisia lukuja, jotka toteuttavat 1. asteen polynomiyhtälön 
Tästä nähdään, että formula_24. Strukturaalista semantiikkaa
Strukturaalista semantiikkaa () on A. J. Greimasin vuonna 1966 julkaisema, sittemmin strukturalismin ja semiotiikan klassikoksi ja koulukunnan lähtökohdaksikin katsottu strukturalismin esitys. Hermiittinen matriisi
Hermiittinen matriisi on neliömatriisi, jonka alkiot ovat kompleksilukuja ja joka on itsensä hermitoitu matriisi, eli matriisi on oman transpoosinsa kompleksikonjugaatti. Toisin sanoen rivillä formula_1 ja sarakkeella formula_2 oleva alkio on rivillä formula_2 ja sarakkeella formula_1 olevan alkion kompleksikonjugaatti: Projektiivinen geometria
Suoran käsite yleistyy tasoiksi ja useampiulotteisiksi aliavaruuksiksi. Aliavaruus, AB…XY, voidaan tässä määritellä rekursiivisesti aliavaruuden AB…X avulla, joka sisältää kaikkien suorien YZ pisteet, kun Z on välillä AB…X. Samalla suoralla oleminen yleistyy täten "riippumattomuuden" käsitteeksi. Pistejoukko {A, B, …, Z}, [AB…Z] on riippumaton, jos {A, B, …, Z} on pienin osajoukko, joka virittää aliavaruuden AB…Z. Kolme pistettä ovat riippumattomia, jos ne eivät ole samalla suoralla. Samaan tapaan voidaan määritellä, että neljä pistettä ovat samalla tasolla, jos ne eivät ole riippumattomia. Algebrallinen geometria
Ratkaistakseen ongelman on työskenneltävä niin sanotussa projektiivisessa avaruudessa. Projektiivisen avaruuden ominaisuudet ovat samat kuin kompaktin Hausdorffin avaruuden. Projektiivinen avaruus saadaan siis lisäämällä avaruuteen äärettömyyspisteitä ja määrittelemällä äärettömille topologiset ympäristöt. Tätä kutsutaan prosessia topologiassa nimellä Aleksandrovin kompaktisointi. Varistojen käyttäytyminen äärettömyydessä antaa lisätietoa varistoista. Osoittautuu, että V(y=x):lla on singulariteetti yhdessä lisätyssä pisteessä, mutta V(y=x) on sileä varisto. Reaaliluku
Jos algebrallisella struktuurilla on ominaisuudet (A1)–(A9), niin kyseessä on kunta. Jos sillä on lisäksi ominaisuudet (J1)–(J6), niin se on järjestetty kunta. Paitsi reaaliluvut myös rationaaliluvut muodostavat järjestetyn kunnan. Tarvitaan siis vielä sellainen ominaisuus, joka on reaalilukujen joukolla formula_7 mutta ei ole rationaalilukujen joukolla formula_58. Avaruusrakenne
Alifaattiset yhdisteet ovat orgaanisia yhdisteitä ja niitä ovat alkaanit, jotka sisältävät vain yksinkertaisia kovalenttisia sidoksia, alkeenit, joissa on ainakin yksi kaksoissidos ja alkyynit, joissa taas on ainakin yksi kolmoissidos. Lisäksi on olemassa edellä mainittujen johdannaisia. Bentseenin sisältävät yhdisteet eivät kuulu alifaattisiin yhdisteisiin. LU-hajotelma
missä formula_2 on alakolmiomatriisi ja formula_3 yläkolmiomatriisi. Lisäksi vaaditaan, että matriisin formula_2 diagonaalialkiot ovat ykkösiä. Alakolmiomatriisilla tarkoitetaan matriisia, jossa päädiagonaalin yläpuolella kaikki alkiot ovat nollia, ja yläkolmiomatriisilla vastaavasti matriisia, jossa päädiagonaalin alapuolella kaikki alkiot ovat nollia. Esimerkiksi formula_5-matriisille LU-hajotelma on siis Binäärioperaatio
Binäärioperaatiolla on merkittävä osa useassa abstraktin algebran rakenteessa. Esimerkiksi magma on pari formula_19, missä "A" on joukko ja formula_20 on joukon "A" binäärioperaatio. Magman johdannaisissa rakenteissa binäärioperaatiolta vaaditaan lisää ominaisuuksia. Esimerkiksi puoliryhmä on magma, jonka binäärioperaatio on assosiatiivinen. Muita magmasta lähteviä rakenteita ovat esimerkiksi monoidi, kvasiryhmä, luuppi ja ryhmä. Rengas, kokonaisalue ja kunta ovat taas kolmikkoja formula_21, missä "A" on joukko sekä formula_22 ja formula_20 ovat joukon "A" binäärioperaatiota tietyin lisäehdoin. Hyperreaaliluku
Hyperreaalilukujen formula_1 äärelliset alkiot formula_69 muodostavat renkaan ja sen yksikäsitteinen maksimaalinen ihanne formula_126 koostuu formula_1:n infinitesimaaleista; osamäärärengas formula_128 on isomorfinen reaalilukujen kanssa. Tästä saadaan homomorfismi formula_129, jonka ydin koostuu infinitesimaaleista ja joka kuvaa jokaisen formula_69:n alkion formula_34 yksikäsitteiseksi reaaliluvuksi formula_117, joka eroaa formula_34:stä infinitesimaalisen vähän ja tämä infinitesimaalinen erotus on ihanteessa formula_126. Toisin sanoen jokainen äärellinen epästandardi hyperreaaliluku on äärimmäisen lähellä jotain yksikäsitteistä reaalilukua; tarkemmin jos formula_34 on äärellinen epästandardi hyperreaaliluku, niin on olemassa yksikäsitteinen reaaliluku formula_136 sellainen, että formula_137 on infinitesimaali. Reaaliluku formula_136 on formula_34:n standardiosa eli intuitiivisesti sama kuin hyperreaaliluvun formula_34 lähin reaaliluku lukusuoralla. Homomorfismi on järjestyksen säilyttävä ja käyttäytyy hyvin algebrallisesti ja järjestysteoreettisesti.Hyperreaalilukujen järjestelmän ideana on laajentaa reaaliluvut formula_2 järjestelmäksi formula_1, johon kuuluvat infinitesimaaliset ja äärettömät luvut ja jossa kaikki algebran aksioomat olisivat voimassa. Eli siis mikä tahansa väite muodossa "jokaiselle luvulle formula_34...", joka on tosi reaaliluvuille, olisi tosi myös hyperreaaliluvuille. Esimerkiksi aksioomaa, joka sanoo, että "jokaiselle luvulle formula_151" voitaisiin yhä soveltaa. Sama olisi tosi useamman luvun kvantifioinneille, esim., "jokaiselle luvulle formula_152." Tätä ominaisuutta kuljettaa väitteet reaaliluvuilta hyperreaaliluvuille kutsutaan siirtoperiaatteeksi. Kuitenkin väitteet muodossa "jokaiselle lukujen joukolle formula_126 ..." eivät siirry. Ainoat eroavat ominaisuudet hyperreaalilukujen ja reaalilukujen välillä ovat ne, jotka pohjautuvat joukkojen yli kvantifiointiin tai muuhun korkeampaan rakenteeseen kuten funktioihin ja relaatioihin, jotka tyypillisesti konstruoidaan joukkojen avulla. Jokaisella reaalisella joukolla, funktiolla ja relaatiolla on luonnollinen hyperreaalinen laajennuksensa, joka täyttää samat ominaisuudet. Rengas (matematiikka)
Rengas on keskeinen algebrassa käytetty matemaattinen käsite, joka sijoittuu rakenteellisesti ryhmän ja kunnan väliin. Rengas sisältää kaksi laskutoimitusta: yhteen- ja kertolaskun. Yhteenlaskun suhteen se on Abelin ryhmä. Kertolaskun suhteen ryhmällä on olemassa neutraalialkio ja voimassa assosiatiivi- ja distributiivilait. Sen sijaan renkaan alkioilla ei tarvitse olla käänteisalkiota kertolaskun suhteen. Konfiguraatio
Konfiguraatio tarkoittaa atomien tai atomiryhmien järjestystä stereokemiallisen keskuksen ympärillä. Molekyylien stereoisomeerit poikkeavat toisistaan yhden tai useamman stereokeskuksen konfiguraation suhteen. Toisin kuin konformaatiot konfiguraatiot eivät voi muuttua toisikseen sidoksen katkeamatta. Nykyään eri konfiguraatioiden nimeäminen perustuu Cahn–Ingold–Prelog-prioriteettisääntöihin ja konfiguraatiolla on merkitystä erityisesti optisesti aktiivisilla yhdisteillä. Homografia
Kollineaatioiden teoriassa projektiiviset suorat ovat erikois­asemassa yksi­ulotteisuutensa vuoksi. Kun suoraa pidetään itsenäisenä projek­tiivisena avaruutena, jokainen sen pisteiden permutaatio on kollineaatio, sillä mitkä tahansa pisteet ovat samalla suoralla. Jos projek­tiivinen suora kuitenkin upotetaan useampi­ulotteiseen projektiivisen avaruuteen, tätä avaruuden geometrista rakennetta voidaan käyttää muodostamaan suoralle geometrinen rakenne. Synteettisessä geometriassa käsitellään sen vuoksi vain niitä projek­tiivisen suoran homografioita ja kolline­aatioita, jotka saadaan tämän useampi­ulotteisen avaruuden homo­grafioista ja kollineaatioista. Tällöin projektiivisen geometrian peruslause pätee myös yksi­ulotteisessa tapauksessa. Projek­tiivisen suoran homo­grafia voidaan yhtä­pitävästi määritellä myös kuvaukseksi, jossa kaksoissuhde säilyy.
Edellä homo­grafiat on määritelty lineaari­algebran avulla. Synteetti­sessä geometriassa ne on vanhastaan määritelty tiettyjen "keskeis­kollineaatioiksi" nimitettyjen homo­grafioiden yhdistetyiksi kuvauksiksi. Projektiivisen geometrian perus­lauseen yksi osa on se, että nämä määritelmät ovat yhtä­pitävät. Algebrallinen geometria
siten että jokaiselle pisteelle Avaruusrakenne
Molekyylien avaruusrakenteella tarkoitetaan atomien kolmiulotteista järjestymistä molekyyliksi. Molekyylien avaruusrakenteeseen vaikuttaa oleellisesti keskusatomin hybridisaatio. Proteiinin rakenne
Proteiinin rakenne määräytyy aminohappojen sitoutuessa kovalenttisesti toisiinsa amidi- eli peptidisidoksilla muodostaen molekyylejä, joita kutsutaan peptideiksi ja proteiineiksi. Aminohappoketjun järjestystä kutsutaan proteiinin "primaarirakenteeksi", proteiinin "sekundaarirakenne" muodostuu aminohappojen sivuketjujen liittyessä toisiinsa vetysidoksin. Proteiinin "tertiaarirakenteeksi" puolestaan kutsutaan yksittäisen proteiinimolekyylin kolmiulotteista järjestystä ja "kvaternaarirakenne" muodostuu yhteenliittyneistä eri aminohappoketjuista. Homologia
Homologia rakennelma vaikuttaa kenties mielivaltaiselta, mutta se tulee esiin luonnollisella tavalla, kun käsitellään simpleksejä ja topologisia avaruuksia. Lyhyesti, standardi formula_11-simpleksi formula_12 on joukko vektoreita formula_9-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa 
ja formula_9-simpleksi formula_16 topologisessa avaruudessa formula_10 on jatkuva kuvaus formula_12:stä formula_10:ään:
formula_16:n reuna formula_22 on määritelty formaaliksi summaksi formula_16 rajoitettu formula_12:n alisimplekseihin, missä suunnistus vaikuttaa etumerkkiin. Esimerkiksi, jos formula_10 on viiva formula_26, niin silloin formula_27 ja formula_28. Olkoon formula_29 rengas. Tällöin voidaan konstruoida formula_29-moduuli, jonka virittäjät ovat kaikki formula_11-simpleksejä formula_10:ssä formula_33. Nyt meillä on formula_29-moduleista koostuva ketjukompleksi, jonka jäsenten välillä on määritelmässä vaaditut homomorfismit. Rengasteoria
Rengasteoria on algebran osa-alue, jonka tutkimuskohteena ovat renkaat – algebralliset rakenteet, joille on määritelty yhteen- ja kertolasku. Algebrallinen rakenne
Jotkut algebralliset rakenteet voi nähdä yleistyksenä tutuista rakenteista. Esimerkiksi rengas yleistää kokonaislukujen joukon, yhteenlaskun ja kertolaskun muodostaman rakenteen. Ominaisarvo, ominaisvektori ja ominaisavaruus
Algebrallinen kertaluku voidaan myös ajatella dimensiona. Se voidaan ajatella "yleistettynä ominaisavaruutena", joka on matriisin (λI − "A") nolla-avaruus kaikilla riittävän suurilla k. Se on siis "yleistettyjen ominaisvektoreiden" avaruus, missä yleistetty ominaisvektori on mikä tahansa vektori, joka kuvautuu nollaksi jos vektori kerrotaan matriisilla λI − "A" riittävän monta kertaa. Ominaisvektori on yleistetty ominaisvektori, joten jokainen ominaisavaruus sisältyy vastaavaan yleistettyyn ominaisvektoriin. Tämän ominaisuuden perusteella voidaan todistaa, että ominaisarvon geometrinen kertaluku on aina korkeintaan yhtä suuri kuin algebrallinen kertaluku. Tätä ei tule sekoittaa yleistettyyn ominaisarvo-ongelmaan. Organisaatio
Organisaatio, struktuuri, on yleisesti systeemin (yritys, hallinto, järjestö, valtio, yhteiskunta) rakenne: miten systeemin osat liittyvät toisiinsa ja vaikuttavat toisiinsa. Systeemin rakenne vaikuttaa keskeisesti systeemin toimintaan: muuttamalla systeemin rakennetta muutetaan myös systeemin toimintaa. Organisaatio koostuu ihmisistä, usein työntekijöistä, mutta myös vapaaehtoisista. Organisaatioon liittyvät organisoiminen ja organisoituminen. Carathéodoryn konstruktio
Lisäksi voimme saada Carathéodoryn konstruktiolla ns. integraaligeometriset mitat avaruuteen formula_50. Olkoon formula_51 luonnollinen luku, jolla formula_52. Asetetaan kokoelmaksi formula_2 formula_50:n Borelin perhe formula_55. Määritellään parametrille formula_56 esimitta formula_57,
formula_58
ja
formula_59,
missä 
formula_60 (ns. Grassmannin avaruus)
ja jokaiselle formula_61 kuvaus formula_62 on ortogonaalinen projektio aliavaruudelle formula_63. Annetuissa integraaleissa integroidaan yli Grassmannin avaruuden formula_64 varustettuna rotaatioinvariantilla mitalla formula_65. Magma (matematiikka)
Algebrassa magma on yksinkertaisin algebrallinen rakenne. Mikä tahansa joukko ja joukon sisäinen "laskutoimitus" ovat yhdessä magma. Esimerkiksi kokonaislukujen joukko laskutoimituksena yhteenlasku on magma, samoin merkkijonot laskutoimituksena merkkijonojen yhdistäminen. Joukko ei siis tarkoita vain lukujoukkoja, ja laskutoimitus tarkoittaa mitä tahansa sääntöä, joka kuvaa parin joukon alkioita jollekin saman joukon alkiolle. Joukko voi olla myös äärellinen, esimerkiksi kokonaisluvut 1-10 laskutoimituksena suuremman valinta on magma. Algebrallinen sulkeuma
Olkoon formula_1 kuntalaajennus. Jos formula_2 ovat algebrallisia yli formula_3:n (ks. algebrallinen laajennus), niin voidaan helposti osoittaa, että myös formula_4, formula_5, formula_6 ja (jos formula_7) formula_8 ovat algebrallisia. Siis kunnan formula_9 osajoukko formula_10 = {a | a on algebrallinen yli formula_3:n} on kunta, ja siis laajennuksen formula_1 välikunta. Algebrallinen luku
Algebrallisten lukujen joukkoa merkitään joskus formula_10 tai formula_11. Niitä kompleksilukuja, jotka eivät ole algebrallisia lukuja eli formula_12, kutsutaan transkendenttiluvuiksi. Algebrallinen rakenne
Osa rakenteista voidaan nähdä luokkien hierarkiana, jossa jokainen lisäehto laskutoimituksille määrittää aliluokan. Näin saadaan esimerkiksi hierarkia magma ⊃ kvasiryhmä ⊃ luuppi ⊃ ryhmä. Kiderakenne
Kiderakenne on atomien järjestys kiteisessä aineessa. Kiderakenne koostuu "alkeiskopeista", jotka toistuvat tasavälisessä avaruushilassa. Alkeiskopin särmien pituuksia kutsutaan "kideakseleiksi" ja niiden muodostamia kulmia "hilakulmiksi". Joukko-oppi
Monet matemaattiset käsitteet voidaan määritellä täsmällisesti vain joukko-opin käsitteiden avulla. Esimerkiksi niinkin erilaiset matemaattiset struktuurit kuin graafit, monistot, renkaat ja vektori­avaruudet voidaan kaikki määritellä joukoiksi, jotka toteuttavat tietyt (aksiomaattiset) ehdot. ekvivalenssi- ja järjestysrelaatiot ovat yleisiä kaikilla matematiikan aloilla, ja matemaattisten relaatioiden teoria voidaan esittää joukko-opin avulla. Kompleksiluku
Jokaiselle ℂ-kertoimiselle polynomiyhtälölle voidaan algebran peruslauseen mukaan löytää sen astetta vastaava määrä kompleksiratkaisuja, jotka tosin eivät ole välttämättä keskenään erisuuria. Alun perin kompleksiluvut kehitettiinkin osin tarpeesta saada entistä suurempi osa polynomiyhtälöistä ratkeaviksi. Esimerkiksi yhtälöllä formula_5 ei ole reaalisia juuria, sillä formula_6 on positiivinen kaikilla reaalisilla formula_7:n arvoilla. Kompleksilukujen joukosta sille sen sijaan löytyy ratkaisut formula_8 ja formula_9. Algebrallinen luku
Algebrallinen luku tarkoittaa sellaista reaali- tai kompleksilukua formula_1, joka on kokonaislukukertoimisen polynomin formula_2 nollakohta eli toteuttaa yhtälön formula_3. Polynomin
aste tulee olla positiivinen, jolloin vähintään yksi kertoimista formula_5 poikkeaa nollasta. Jos vain formula_6 poikkeaa nollasta, on kyseessä vakiofunktio, joka ei täytä edellä mainittua ehtoa. Yleensä algebrallinen luku on kompleksinen, mutta tietyillä ehdoilla se voi olla myös reaalinen, rationaalinen tai kokonainen. Monisto
Algebrallisessa geometriassa on samanlainen määritelmä kuin yllä, missä koordinaattimuunnokset ovat rationaalisia kuvauksia ja koordinaattijoukko formula_1 korvataan jollakin varistolla formula_53. Tällöin ei käytetä yllä esitetyn kaltaista topologiaa, vaan nk. Zariskin topologiaa . Jälkistrukturalismi
Strukturalismiin oleellisesti liitetty teoria oli binaarinen vastakohtapari. Se esitti, että on olemassa tiettyjä teoreettisia ja käsitteellisiä vastakohtia, jotka kuvataan usein hierarkkisina, ja jotka ovat osaltaan muodostamassa tekstin rakennetta. Tällaisiin vastakohtapareihin voisivat kuulua esimerkiksi mies/nainen, puhuttu/kirjoitettu ja järki/tunne. Algebrallinen käyrä
Algebrallinen käyrä kunnassa "F" voidaan käsittää niiden pisteiden uraksi tuloavaruudessa "F"', jotka saadaan vähintään "n" − 1 toisistaan riippumattoman polynomifunktion avulla, joiden kertoimet "g"("x", …, "x") kuuluvat kuntaan "F", kun käyrän muodostavat ne pisteet, joissa "g" = 0. Osittain järjestetty joukko
Osittain järjestetty joukko on matemaattinen rakenne. Osittaisuus tarkoittaa, ettei joukon kaikista alkiopareista voi välttämättä sanoa kumpi on "suurempi", "järjestyksessä ensin" tms; järjestys ei välttämättä tarkoita mitään tavanomaista suuruusjärjestystä. Esimerkiksi tason pisteiden etäisyys origosta muodostaa osittaisen järjestyksen. Jos formula_1 on kauempana kuin formula_2 ja formula_2 kauempana kuin formula_4, niin formula_1 on kauempana kuin formula_4. Järjestys ei ole täydellinen, koska esimerkiksi pisteistä formula_7 ja formula_8 kumpikaan ei ole kauempana kuin toinen. Alkuideaali
Abstraktissa algebrassa alkuideaali on renkaan osajoukko, jolla on monia vastaavia tärkeitä ominaisuuksia kuin alkuluvuilla kokonaislukujen renkaassa. Alkuideaalien määritelmä kommutatiivisissa eli vaihdannaisissa renkaissa on yksinkertaisempi, joten sitä käsitellään tässä yhteydessä ensin. Algebrallinen geometria
on voimassa Hila (matematiikka)
Matematiikassa hila on osittain järjestetty joukko (kutsutaan myös "posetiksi" englanninkielisen termin "partially ordered set" mukaan), jossa jokaisella "kahdella alkiolla" on yksikäsitteiset supremum (alkioiden pienin yläraja); ja infimum (suurin alaraja). Hilat voidaan myös määritellä algebrallisina struktuureina, jotka toteuttavat tietyt aksiomaattiset ehdot. Koska nämä kaksi määritelmää ovat yhtäpitävät, niin hilateoriaa voidaan tutkia sekä järjestysteoreettiselta että algebralliselta kannalta.
Osittain järjestetty joukko ("L", ≤) on hila, jos se toteuttaa kaksi seuraavaa aksioomaa.Koska formula_7 ja formula_8 ovat olemassa kaikille alkioille formula_9, niin tällöin formula_10 and formula_11 ovat binäärisiä laskutoimituksia. Projektiivinen geometria
Projek­tiivisen geo­metrian perusteet tulivat ymmärretyiksi, kun alalta oli runsaan tutkimuksen avulla saatu johdetuksi erittäin monia teoreemoja. Perustavia invariantteja projek­tiivisessa geo­metriassa ovat insidenssistruktuuri ja kaksoissuhde. Projek­tiivista geo­metriaa voidaan mallintaa affiinisella tasolla (tai affiinisella avaruudella), johon lisätään "äärettömyydessä" oleva suora (tai hypertaso) ja käsittelmällä tätä suoraa (tai hypertasoa) "tavallisten" suorien (tai tasojen) tavoin. Homo­geeniset koordinaatit tarjoavat algerallisen mallin, jolla projek­tiivista geo­metriaa voidaan tutkia analyyttisen geo­metrian tapaan.
Projek­tiivinen geo­metria ja järjestetty geometria ovat perustavalla tavalla yksin­kertaisimpia, sillä niissä on pienin määrä aksioomia, ja kumpaakin voidaan käyttää affiinin ja euklidisen geo­metrian perustana. projek­tiivinen geo­metria ei ole "järjestetty", ja näin ollen se muodostaa oman perustansa geo­metrialle. Kiderakenne
Bravais'n hilat määritellään kolmella hilavektorilla (hilavakio) "a", "b" ja "c" ja niiden välisillä kulmilla α, β ja γ. Koordinaatistona on yleensä oikeakätinen koordinaatisto. Bravais'n hiloja on edellä mainitut seitsemän, joiden sisällä esiintyy 1–4 variaatiota.Kiderakenteen tärkeä tekijä sen ominaisuuksien kannalta on "tiivispakkauksellisuus", joka kertoo hilassa olevan tyhjän tilan määrästä, jos atomit oletetaan koviksi, pyöreiksi palloiksi. Yleisesti voidaan sanoa, että aineen kiderakenne määräytyy siten, että kiteen energia tulee mahdollisimman pieneksi. 
Tasossa tiivein pakkaus saadaan aikaan siten, että jokaisella atomilla on kuusi naapuri­atomia, jotka muodostavat sen ympärille säännöllisen kuusikulmion. Tällaista tasoa sanotaan "tiivispakkaustasoksi", ja "tiivispakkaussuunta" on suunta, jossa tällaisen rakenteen atomit sijaitsevat peräkkäin jonossa toisiaan koskettaen. Kolmi­ulotteisessa avaruudessa tiivein pakkaus saadaan Keplerin konjektuurin mukaan siten, että tällaisia tasoja pinotaan päällekkäin. Tämä voidaan tehdä kahdella tavalla. Jos ne pinotaan toisensa päälle siten, että joka toisessa atomi­kerroksessa atomit tulevat vastaaviin kohtiin, muodostuu "heksagonaalinen tiivispakkausrakenne" (ns. ABABAB-pinous). Ne voidaan kuitenkin pinota myös siten, että vain joka kolmannessa tasossa atomit sattuvat samoihin kohtiin (ns. ABCABC-pinous), jolloin syntyy pintakeskeinen kuutiollinen rakenne (PKK). Nimensä mukaisesti tämä voidaan käsittää muodostuvaksi myös kuution muotoisista yksikkö­kopeista, joiden halki tiivis­pakkaus­tasot kulkevat niiden avaruus­lävistäjien suuntaisesti. Kiteissä voi kuitenkin esiintyä myös pinousvirheitä, jotka ovat tyypillisiä kidevirheitä. Ryhmä (algebra)
Ryhmiä itsessään tutkiva matematiikan ala on ryhmäteoria. Toisaalta ryhmä on algebran peruskäsite, joka toimii "rakennuspalikkana" määriteltäessä sellaisia matematiikan rakenteita kuten rengas ja kunta. Hila (matematiikka)
Algebrallinen struktuuri ("L", formula_12), jossa L on joukko ja formula_13, sekä formula_14 ovat laskutoimituksia joukossa "L", on hila, jos se toteuttaa seuraavat ehdot kaikilla alkioilla formula_15. Geometrinen konstruktiotehtävä
On myös monia tehtäviä, joita ei ole mahdollista suorittaa klassisten sääntöjen mukaan harpilla ja viivoittimella. Algebran avulla voidaan selittää, mitkä tehtävät ovat mahdollisia ratkaista, mitkä eivät. Apuna voidaan käyttää karteesista koordinaatistoa ja vektoreita, jotka voidaan käsittää myös kompleksiluvuiksi. Euklidinen taso käsitetään siis kompleksitasoksi. Kun tasolta valitaan kaksi pistettä, joista toiselle käytetään merkintää 0 ja toiselle merkintää 1 ja valitaan jompikumpi mahdollisista orientaatioista, jokaista tason pistettä vastaa jokin kompleksiluku ja kääntäen. Algebrallinen rakenne
Tällainen yleistys on aina luonteeltaan varsin abstrakti. Esimerkiksi tason 2-ulotteiset vektorit ja tilan 3-ulotteiset vektorit on helppo yleistää 4-, 5- jne. ulotteisiksi vektoreiksi. Abstrakti yleistys on vektoriavaruus, jossa on kaksi joukkoa, kaksi laskutoimitusta ja tietyt rajoitukset näille laskutoimituksille. Tavallisissa tasovektoreissa toinen joukko on tason pisteiksi ajateltavat vektorit ja toinen reaaliluvut, laskutoimitukset ovat vektorien summa ja vektorin ja reaaliluvun tulo. Algebra
Algebra on geometrian ja analyysin ohella yksi matematiikan päähaaroista. Algebrassa tutkimuskohteina ovat laskutoimitusten yleiset ominaisuudet jossakin perusjoukossa, jossa ne on määritelty. Tällaisia laskutoimituksia voivat olla esimerkiksi yhteen- ja kertolasku. Laskutoimitusten määritteleminen joukkoon tuottaa algebran perusrakenteet: ryhmän, renkaan ja kunnan. Esimerkiksi vektorit muodostavat ryhmän, kokonaisluvut renkaan, rationaaliluvut ja reaaliluvut kunnan. Algebrallinen luku
Määritelmästä seuraa algebran peruslauseen mukaisesti, että polynomin nollakohdan formula_8 avulla voidaan päätellä sen yhden tekijän olevan binomi formula_9. Algebralliseen lukuun voidaan liittää useita polynomeja, joissa on tämä tekijä. Sitä polynomia, jonka aste on matalin, kutsutaan minimaalipolynomiksi. Minimaalipolynomin aste on samalla algebrallisen luvun aste. Varisto (matematiikka)
Klassisessa algebrallisessa geometriassa (ja myös jossain määrin modernissa algebrallisessa geometriassa), tutkimuksen pääkohteena ovat algebralliset varistot. Affiini algebrallinen varisto määritellään jaottomaksi algebralliseksi joukoksi kunnassa formula_1. Algebrallinen joukko formula_2:ssä määritellään polynomien kokoelman nollakohtien joukoksi, missä polynomin kertoimet ovat algebrallisesti suljetussa kunnassa formula_1. Sitä kutsutaan jaottomaksi, jos häviävien polynomien ideaali on pääideaali. Polynomirenkaan tekijärengas on affiinin algebrallisen variston koordinaatistorengas. Se on kokonaisalue koska se on alkuideaalin tekijärengas. Projektiivinen algebrallinen varisto on affiinin variston sulkeuma projektiivisessa avaruudessa. Näillä määritelmillä pääsee jo hyvään alkuun algebrallisen geometrian opettelussa. Malliteoria
Malliteoria on logiikan osa-alue, joka tutkii matemaattisia struktuureita kuten ryhmiä, graafeja ja kuntia. Malli eli struktuuri koostuu perusjoukosta ja tämän alkioiden välisiä suhteita kuvaavista funktioista. Nelivektori
tai mitä tahansa ortogonaalisia tai jopa käyrä­viivaista koordinaatistoa]]. On huomattava, että tässä ala­indekseinä käytetyt tunnukset eivät ole indeksejä, jotka saavat lukuarvoja. Yleisessä suhteellisuus­teoriassa on käytettävä paikallista käyrä­viivaista koordinaatistoa. Geometrisesti neli­vektoreitakin voidaan kuvata nuolilla, mutta aika-avaruudessa, ei pelkästään avaruudessa. Suhteellisuus­teoriassa nuolet piiretään aika-avaruus-diagrammiin eli Minkowskin diagrammiin. Jäljempänä neli­vektoreita sanotaan usein lyhyesti vektoreiksi. Algebrallinen geometria
on säännöllinen, jos se voidaan kirjoittaa polynomiksi. Tämä tarkoittaa sitä, että on olemassa polynomi "p" joukossa Algebran peruslause
Matematiikassa algebran peruslause sanoo, että jokaisella yhden muuttujan polynomilla formula_1, jonka aste formula_2 ≥ formula_3 ja jonka kertoimet ovat reaali- tai kompleksilukuja, on ainakin yksi nollakohta kompleksilukujen joukossa. Toisin sanoen kompleksilukujen kunta on algebrallisesti suljettu kunta, ja siten yhtälöllä formula_4 on asteluvun mukainen määrä juuria. Juurista voi tosin olla joitakin keskenään samoja, joten juurten kertaluku täytyy ottaa huomioon juurten lukumäärää laskettaessa. Analyyttinen geometria
Analyyttinen geometria on geometrian osa-alue, joka soveltaa geometristen ongelmien ratkaisemiseen matemaattista analyysiä ja algebraa. Geometriset ongelmat saadaan muutettua algebrallisiksi yhtälöiksi ottamalla käyttöön ns. karteesinen koordinaatisto. Koordinaatiston otti käyttöön ranskalainen René Descartes (Cartesius) vuonna 1637 teossarjassaan, jonka osat olivat Metodin esitys, Optiikka ja Meteorologia sekä analyyttisen geometrian perusteet sisältänyt tutkielma Geometria (). Teoksen ansiosta Descartesia pidetään nykyisin analyyttisen geometrian perustajana. Algebrallinen rakenne
Isomorfismin heikompi muoto on homomorfismi. Isomorfismi on aina bijektio, homomorfismi kuvaa mahdollisesti useampia alkioita samaksi. Homomorfismissa rakenteen sisältä löytyy joukko, joka vastaa toisen rakenteen alkioita mahdollisesti tietyllä tavalla ryhmiteltynä.
Esimerkiksi luonnolliset luvut muodostavat monoidin, jossa laskutoimituksena on yhteenlasku. Kokonaisluvut muodostavat yhteenlaskun suhteen ryhmän ja samalla renkaan ja kokonaisalueen, jossa laskutoimituksina ovat yhteen- ja kertolasku. Rationaaliluvut muodostavat kunnan, joka on laajemman reaalilukujen kunnan alikunta. Mutta algebrallisten rakenteiden alkiot eivät välttämättä ole lukuja, vaan esimerkiksi ryhmän alkiot voivat olla myös jossakin joukossa määriteltyjä, tietyt ehdot täyttäviä kuvauksia, jolloin laskutoimituksena on kuvausten yhdistäminen. Algebrallinen geometria
Kuten säännöllisen funktio affiinissa avaruudessa, säännölliset funktiot V:ssä muodostavat renkaan, jota merkitään k[V]. Tämä rengas on nimeltään V:n koordinaattirengas.