Onko nolla suurin ei-positiivinen luku ja pienin ei-negatiivinen luku?
Kokonaisluku
Koska lukuteoriassa käytetään kokonaislukujen osajoukkoja, on paikallaan esitellä niiden nimityksiä. Ne kiertävät pääsääntöisesti sen tosiasian, että nolla ei ole positiivinen tai negatiivinen luku. Positiivisuus ja negatiivisuus yhdessä luvun nolla kanssa voidaan joskus ilmaista esimerkiksi seuraavilla tavoilla: 0 (luku)
Luonnollisen luvun määritelmässä ei oteta nollaa aina mukaan, mutta joskus näin tehdään. Nolla on suurin ei-positiivinen luku ja pienin ei-negatiivinen luku. Nolla itse ei ole positiivinen eikä negatiivinen.
Kokonaisluku
Lukujen positiivisuus- ja negatiivisuus vaikuttavat tulon ja osamäärän laatuun. Jos laskutoimituksen molemmat luvut ovat saman merkkiset, saadaan positiivinen tulos. Jos luvut ovat eri merkkiset, saadaan negatiivinen tulos. Tämä voidaan merkitä luonnollisten lukujen formula_20 ja formula_17 avulla, missä negatiivisuus ilmaistaan miinus-merkillä:
Kahden luvun jakolaskun tulos saadaan vastaavalla tavalla. Kokonaisluku
Luvun itseisarvo merkitään pystyviivoilla |a|. Silloin itseisarvojen tulokest voidaan kirjoittaa esimerkiksi |-4| = |+4| = 4. Kaksi erisuuruista kokonaislukua ovat toistensa vastalukuja, jos niillä on sama itseisarvo. Huomaa, että nollalla ei ole muotoja −0 ja +0, vaan on olemassa vain yksi nolla. Nollan itseisarvo on nolla itse. Vastaluku
Jossakin vaiheessa matematiikan historiaa otettiin käyttöön negatiiviset luvut, jotta vähennyslaskua voitiin soveltaa rajoituksetta luonnollisille luvuille. Jos vähennettävä on suurempi kuin vähentäjä, tulee erotukseksi positiivinen luku. Näin on, kun lasketaan esimerkiksi formula_4. Jos vähentäjä on suurempi kuin vähennettävä, merkitään erotukseksi "vastaluku". Näin käy esimerkiksi, kun formula_5. Vastaluvun merkkinä oleva miinus (-) lienee vähennyslaskusta peräisin. Nollakulma
Nollakulma on geometriassa kulma, jossa kulman kylkien väliin ei jää tilaa eli sen suuruus on 0°. Nollakulma on pienin terävä kulma. Polynomi
Suurinta lukua "n", jolla "a" ≠ 0 kutsutaan polynomin asteeksi. Alla esiintyvien laskulakien säilyttämiseksi myös nollapolynomin tapauksessa määritellään sille erikseen, että aste = -∞. Polynomin "f"("x") astetta merkitään deg("f"("x")), joka selkeyden vuoksi usein lyhennetään muotoon deg "f"("x"). Asteet toteuttavat muun muassa seuraavat laskulait:
Mikäli kyseessä oleva rengas on lisäksi kokonaisalue, on säännössä 1 voimassa yhtäsuuruus. Pariton luku
Kokonaisluku on pariton, jos se ei ole jaollinen luvulla kaksi. Parittomuus oli alkujaan luonnollisen luvun ominaisuus, mutta kun negatiiviset luvut tulivat yleiseen käyttöön, laajennettiin sääntöä koskemaan myös niitä. Liukuluku
Lopuksi standardi määrittelee tuloksen laskutoimitukselle, jolle ei ole mielekästä vastausta edes äärettömien tai nollien avulla esitettynä. Esimerkiksi positiivisen ja negatiivisen äärettömän summa on tällainen: taustalla on ajatus, jonka mukaan emme tiedä kumpi ääretön on suurempi, joten mikään vastaus ei kelpaa. Jokaisen luvun jokainen laskutoimitus epäluvun kanssa tuottaa epäluvun: esimerkiksi epäluku kertaa nolla "ei" ole nolla vaan epäluku. 8 (luku)
Kahdeksan on pienin nelibittinen binääriluku. Se on myös kuudes Fibonaccin luku. Supremum
Ajatellaan negatiivisten reaalilukujen joukkoa, johon nolla ei kuulu. Kyseisellä joukolla ei ole suurinta alkiota sillä jokaiselle osajoukon alkiolle on aina olemassa toinen, suurempi alkio. Siis jokaiselle x formula_14 on olemassa x/2 formula_14, jolle x < x/2. Jokainen reaaliluku joka on suurempi tai yhtäsuuri kuin nolla on yläraja negatiivisten reaalilukujen joukolle. Siis nolla on negatiivisten reaalilukujen joukon pienin yläraja eli supremum. Siis negatiivisten reaalilukujen joukolla on supremum mutta ei suurinta alkiota eli maksimia. Täydellinen luku
Täydellinen luku on luonnollinen luku, joka on itseään pienempien tekijöidensä summa. Täydellisiä lukuja ovat esimerkiksi 6 ja 28, koska 1 + 2 + 3 = 6 ja 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Positiiviset kokonaisluvut, jotka eivät ole täydellisiä, ovat joko runsaita tai vajaita. Negatiivinen luku
Esim. Luku
Desimaalipilkun oikealla puolella kunkin numeron paikka-arvo on kymmenesosa edellisen paikka-arvosta. Niinpä esimerkiksi luku 123,456 tarkoittaa: 1 sata, 2 kymmentä, 3 ykköstä, 4 kymmenesosaa, 5 sadasosaa ja 6 tuhannesosaa. Negatiivisen reaaliluvun alkuun kirjoitetaan miinusmerkki. Liukuluku
IEEE-745 määrittelee myös positiivisen ja negatiivisen äärettömän. Käsitteellisesti ne eivät vastaa niinkään matemaattista äärettömyyttä vaan mitä tahansa lukua, joka ylittää tai alittaa esitettävissä olevien lukujen alueen. Äärettömilläkin voidaan osittain laskea, esimerkiksi mikä tahansa positiivinen normaali luku jaettuna positiivisella äärettömällä antaa tulokseksi positiivisen nollan. Luonnollinen logaritmi
Tämän sivun alussa oleva luonnollisen logaritmifunktion kuvaaja ilmentää joitakin ominaisuuksia, jotka ovat yhteisiä kaikille logaritmifunktioille kantaluvusta riippumatta. Tärkeimpiä niistä ovat: luvun 1 logaritmi on 0, ja luvun 0 logaritmi on -∞. Luonnollisen logaritmin erikois­asema ilmenee parhaiten ehkä siinä pisteessä, jossa logaritmi on kaikilla kantaluvuilla nolla, nimittäin luvun 1 kohdalla. Siinä kohdassa nimittäin luonnollisen logaritmin, ja vain sen, kuvaajan kulmakerroin on myös 1, toisin sanoen kuvaaja leikkaa x-akselin 45 asteen kulmassa. Jos logaritmi­funktion kanta­luku on suurempi kuin "e", kuten on esimerkiksi 10-kantaisen eli Briggsin logaritmin laita, kulma­kerroin on tässä kohdassa pienempi kuin 1, ja jos kantaluku on pienempi kuin "e", kuten esimerkiksi 2-kantaisella logaritmilla, kulma­kerroin on tässä kohdassa suurempi kuin 1. Kaikkien menetelmien, joilla luvulle "e" tai luonnollisille logaritmeille voidaan laskea likiarvoja, voidaan katsoa perustuvan viime kädessä juuri tähän ominaisuuteen. Tästä seuraa myös, että kun annettu luku on tarpeeksi lähellä lukua 1, sen luonnolliselle logaritmille saadaan hyvä likiarvo yksin­kertaisesti vähentämällä luvusta 1. Esimerkiksi luvun 1,01 luonnollinen logaritmi on noin 0,00995 eli noin viiden tuhannesosan tarkkuudella 0,01. Samaan tapaan voidaan todeta, että luvun 0,99 luonnollinen logaritmi on hyvin lähellä lukua -0,01. Tämä pätee sitä tarkemmin, mitä lähempänä yhtä alku­peräinen luku on. Samassa mielessä kuin luku 1 itse on yhteinen kaikille lukujärjestelmille, voidaan luonnollista logaritmia pitää luku­järjestelmästä riippumattomana. Tämän erikois­asemansa vuoksi tätä logaritmi­funktiota on alettu nimittää "luonnolliseksi" (, ). Ordinaali
Kardinaaliluvun käsite liittyy joukkoon, jolla ei tarvitse olettaa olevan mitään erityistä matemaattista struktuuria. Sen sijaan ordinaalit liittyvät niin läheisesti niin sanottuihin hyvin­järjestettyihin joukkoihin, että joidenkuiden matemaatikkojen mielestä ordinaalin ja hyvin­järjestyksen käsitteillä ei tarvitse tehdä mitään eroa. hyvin­järjestetty joukko on täydellisesti järjestetty joukko, eli joukko, jonka kahdesta eri alkiosta jompikumpi on aina pienempi kuin toinen, ja jossa lisäksi ei ole ääretöntä "laskevaa" sarjaa (joskin äärettömiä nousevia sarjoja voi olla); yhtä­pitävästi voidaan sanoa että sen jokaisella ei-tyhjällä osa­joukolla on pienin alkio. Ordinaaleilla voidaan merkitä minkä tahansa hyvin­järjestetyn joukon alkioita (pienin niistä saa tunnukseksi luvun 0, toiseksi pienin luvun 1, seuraava luvun 2 ja niin edelleen), ja niillä voidaan mitata joukon "pituus", joksi saadaan pienin ordinaali, jolla ei ole merkitty mitään joukon alkiota. Tätä "pituutta" sanotaan joukon "järjestys­tyypiksi". Kokonaisluku
Algebralla tarkoitetaan lukujen laskutoimitusten ominaisuuksia. Edellä todettiin, että vähennyslasku voidaan kokonaisluvuilla käsitellä aina vastalukujen yhteenlaskulla. Tämän vuoksi kokonaislukujen algebrassa käsitellään vain yhteenlaskusääntöjä. Kokonaislukujen kertolaskun tulos on aina kokonaisluku, mutta lukujen jakolaskun tulos ei aina ole kokonaisluku. Jakolaskun tulosten aukottomaan käsitteltyyn tulee käyttää rationaalilukujen algebraa. Seuraavat laskutoimituksien ominaisuudet ovat voimassa kaikille kokonaisluvuille a, b ja c. Niissä käytetään vain yhteenlaskua ja kertolaskua:Kokonaisluvuille on olemassa käänteisalkiot yhteislaskun suhteen, mutta ei kertolaskun suhteen. Yhteenlaskussa käänteisalkioita kutsutaan vastaluvuiksi ja sellainen voidaan osoittaa jokaiselle kokonaisluvulle. Positiivisen kokonaisluvun vasta-alkio on negatiivinen kokonaisluku, ja päinvastoin. Nollan vastaluku on nolla itse. Kertolaskussa käänteisalkioita eli käänteislukuja voidaan määrittää vasta rationaaliluvuille, tosin ykkösen käänteisluku on luku yksi itse. Jakoyhtälö
Olkoon b > 0 ja joukko A = {a - nb, formula_8}. Hyvän järjestyksen periaatteen nojalla joukossa A on pienin positiivinen alkio formula_9. Nyt formula_10, koska muuten formula_11 olisi vielä pienempi kokonaisluku. Näin siis formula_12 Negatiivinen luku
Esim. Negatiivinen luku
Jokaista positiivista lukua vastaa yksikäsitteinen negatiivinen luku (ja kääntäen), joka on sen vastaluku. Toisin sanoen jokaista reaalilukua formula_3 on olemassa jokin reaaliluku formula_4, joka toteuttaa ehdon formula_5. Se, että vastaluku välttämättä on myös yksikäsitteinen nahdään olettamalla, että formula_6 ja formula_7. Silloin formula_8. Vastaluvun yksikäsitteisyys oikeuttaa sen, että luvun formula_9 vastalukua merkitään symbolilla, joka riippuu vain formula_9:stä; luvun formula_9 vastaluvun merkki on formula_12. Kun positiivisia lukuja on tapana merkitä ilman etumerkkiä: 1, 2, 4598, 0,75 jne, niin numeroin kirjoitetun negatiivisen luvun ensimmäinen merkki on formula_13: formula_14 jne. Luonnollinen luku
Luonnollisia lukuja ovat tavalliset arkipäiväiset luvut, joilla ilmaistaan "lukumäärää" ("minulla on "kuusi" omenaa") tai "sijoittumista" ("tulin "kolmantena" maaliin"). Nykyään on tavallista nimittää eli "nominalisoida" kohteita numeroilla ("tulin ensin bussilla "32" ja vaihdoin sitten "6":een"). Positiivisten kokonaislukujen yhteenlaskeminen perustuu luonnollisiin lukuihin, josta matematiikan moninaisuus on alkujaan lähtöisin. Äärettömyys
Analyysissä äärettömällä voidaan tarkoittaa lukua, joka on kaikkia reaalilukuja suurempi. Sitä merkitään symbolilla ∞. Tämä luku ei siis kuulu reaalilukujen joukkoon. Voidaan määritellä laajennettu reaalilukujoukko, johon kuuluvat reaaliluvut, positiivinen ääretön ∞ ja negatiivinen ääretön −∞. Tässä laajennetussa joukossa eivät kuitenkaan päde kaikki reaalilukujen tavalliset laskusäännöt. Kokonaisluku
Kokonaisluvuilla ei kuitenkaan ole pienintä lukua tai suurinta lukua, vaikka lukujen keskinäinen järjestys on hyvin järjestynyt. Tämä johtuu positiivisten lukujen äärettömästä lukumäärästä ja siitä, että negatiivisia lukuja on vastalukuina yhtä paljon. Koska suurinta positiivista kokonaislukua ei voi osoittaa, ei voi myös pienintä eli negatiivisinta lukuakaan osoittaa. Ordinaali
Luonnollisia lukuja, joihin tässä yhteydessä luetaan myös nolla, voidaan käyttää kahteen tarkoitukseen: niillä voidaan ilmaista joukon suuruus, tai niillä voidaan ilmaista kohteen "sijainti", kun ne on asetettu peräkkäis­järjestykseen. Tavan­omaisessa kielessä luonnollisia lukuja vastaavat edellisessä tapauksessa kardinaali- eli perus­lukusanat (yksi, kaksi, kolme jne.), jälkimmäisessä tapauksessa ordinaali- eli järjestys­lukusanat (ensimmäinen, toinen, kolmas jne.) Matematiikassa näillä ei kuitenkaan äärellisten lukujen tapauksessa ole oleellista eroa, sillä jokaista äärellistä kardinaali­lukua vastaa yksi äärellinen ordinaali­luku ja päinvastoin. Näin ollen kaikki tavat, joilla tietty äärellinen määrä kohteita voidaan asettaa peräkkäiseen järjestykseen, ovat keskenään isomorfisia. Äärettömien joukkojen tapauksessa asia on kuitenkin toisin; joukon "suuruutta" ja alkion paikkaa jonossa on kuvattava eri käsittein, joista ensinmainittu johtaa äärettömiin kardinaalilukuihin, jälkimmäinen ordinaaleihin. Näin on tehtävä, koska äärettömänkin joukon "suuruus", mahtavuus eli kardinaliteetti, on yksi­käsitteisesti määritettävissä, mutta on useita keskenään ei-isomorfisia tapoja hyvin­järjestää sen alkiot, kuten jälkempänä tarkemmin kuvataan. Shapiron epäyhtälö
Olkoon "n" positiivinen kokonaisluku ja "x,x...,x" positiivisia reaalilukuja. Jos "n" on parillinen ja "n"<13 tai "n" on pariton ja "n"<24, on voimassa
formula_1. Tässä indeksit on luettava modulo "n". Tapaus "n"=3 on nimeltään Nesbittin epäyhtälö. Alkion kertaluku (modulaariaritmetiikka)
Alkion kertaluku modulaariaritmetiikassa tarkoittaa pienintä positiivista eksponenttia, jolla potenssiinkorotuksen jakojäännökseksi tulee ykkönen tietyllä positiivisella kokonaisluvulla jaettaessa. Reaaliluku
Joukolla formula_58 ei ole täydellisyysominaisuutta. Esimerkiksi niiden rationaalilukujen joukko, joiden neliö on lukua 2 pienempi, on epätyhjä ja ylhäältä rajoitettu, mutta sillä ei ole (rationaalista) pienintä ylärajaa. 0
0 eli nolla tai Nolla tarkoittaa muun muassa seuraavia asioita: Luonnollinen luku
Kielissä on erilliset nimet eli lukusanat pienille luvuille. Suomen kielessä nämä kardinaalilukusanat ovat "yksi", "kaksi", "kolme", ..., "yhdeksän" ja "kymmenen". Järjestysluvuilla on monissa kielissä eri nimet. Suomessa nämä ordinaalilukusanat ovat "ensimmäinen", "toinen", "kolmas", ..., "yhdeksäs" ja "kymmenes". Suuremmat kymmenjärjestelmän luvut ilmaistaan yhdistelemällä kymmenluvut ja yksikköluvut toisiinsa. Esimerkiksi luku 23 sanotaan "kaksikymmentä kolme". Suuremmissa luvuissa otetaan käyttöön omat lukusanat, vaikka lukujen numeraaliset merkinnät säilyttävät yksinkertaisuutensa. 0 (luku)
Nolla ilmaisee lukumäärää ”ei yhtään”. Nollaa alettiin käyttää suhteellisen myöhään ja tapa on peräisin intialaisilta. Nollaa ei ole perinteisesti pidetty luonnollisena lukuna ja vasta 1800-luvun lukuteoreetikot alkoivat keskustella sen asemasta. Kyseessä on heidänkin mukaansa lähinnä määrittelykysymys. Pienin yhteinen jaettava
Kahden tai useamman kokonaisluvun pienin yhteinen jaettava eli pienin yhteinen monikerta, p.y.j., on matematiikassa pienin kokonaisluku, joka on tasan jaollinen kyseessä olevilla luvuilla. Käytännössä p.y.j. ilmaantuu esimerkiksi murtolukujen yhteen- ja vähennyslaskussa (ks. esimerkki alla). Se on mahdollista määrätä jakamalla luvut alkutekijöihinsä ja kertomalla niiden tekijöiden korkeimmat potenssit. Taksiluku
Matematiikassa "n":nnellä taksiluvulla, tavallisesti merkintänä Ta("n") tarkoitetaan pienintä kokonaislukua, joka on esitettävissä kahden positiivisen kokonaisluvun kuutioiden summana "n":llä eri tavalla. G. H. Hardy ja E. M. Wright osoittivat vuonna 1954 että sellainen luku löytyy jokaiselle positiiviselle kokonaisluvulle "n". Heidän todistuksensa on helposti muunnettavissa proseduuriksi, joka luo sellaisia lukuja. Tämä todistus ei kuitenkaan osoita, että kyseiset luvut olisivat pienimpiä mahdollisia kyseisellä "n":n arvolla. Siksi todistus on hyödytön luvun Ta("n") etsimisessä. Toistaiseksi tunnetaan vain seuraavat kuusi taksilukua:: Alkuluku
Alkuluku on lukua 1 suurempi luonnollinen luku, joka ei ole jaollinen muilla positiivisilla kokonaisluvuilla kuin yhdellä ja itsellään. Alkulukujen joukkoa merkitään kirjaimella P. Ensimmäiset alkuluvut ovat 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Alkulukuja on ääretön määrä. Lukua 1 suurempaa kokonaislukua, joka ei ole alkuluku, sanotaan yhdistetyksi luvuksi. Lukua 1 ei lueta alkuluvuksi, vaikka se onkin jaoton luku, jotta alkulukuja koskevien matemaattisten lauseiden muotoilu olisi yksinkertaisempaa. Alkulukujen laskemiseksi on olemassa useita algoritmeja. Yksi yksinkertaisimmista algoritmeista on Eratostheneen seula, joskin se on työläs ja hidas suurten alkulukujen etsimiseen. Numeroituva joukko
Edellisen esimerkin mukaisesti parilliset positiiviset luvut ovat numeroituvasti ääretön joukko. Samoin ovat esimerkiksi kokonaislukujen (formula_33), algebrallisten lukujen ja rationaalilukujen joukot (formula_34) numeroituvia.. Sitä vastoin esimerkiksi reaalilukujen joukko formula_14 ei ole numeroituva vaan ylinumeroituva eli aidosti mahtavampi kuin mikään edellä mainituista. Nollamatriisi
ja kertolaskussa Eratostheneen seula
Kun halutaan tietää kaikki sataa pienemmät alkuluvut, kirjoitetaan listaan luvut 2—100. Aloitetaan pienimmästä luvusta kaksi, joka on alkuluku, ja poistetaan sillä jaolliset luvut 4, 6, 8, ..., 100. Nyt pienin jäljellä oleva luku on kolme, sekin alkuluku, jonka monikerrat 6, 9, 12, ..., 99 poistetaan. Koska neljä on poistettu, se ei ole alkuluku, ja siirrytään viiteen. Kun on poisto-operaatioissa on saavutettu sadan neliöjuuri 10, kaikki muut kuin alkuluvut on poistettu listasta. Palermon asteikko
Palermon asteikon nollakohta on niin sanottu taustauhka eli keskimääräinen tapaus. Tämäkin on käytännössä nollaa suurempi. Palermon asteikko on logaritminen eli riskin kymmenkertaistuminen kasvattaa lukua vain yhdellä. 
Palermon asteikon luvulla 0 merkitään keskimääräistä asteroidia samassa tai suuremmassa kokoluokassa. Jos Palermon asteikon luku on alle −2, asteroidi ei ole todennäköisesti vaarallinen.
Jos Palermon luku on +2, se merkitsee 100 kertaa suurempaa riskiä. Palermon asteikon lukua −0,25 suurempaa arvoa pidetään normaalia suurempana uhkana. Erdősin-Szekeresin konjektuuri
Olkoon "f"("N") pienin sellainen luku, että kaikista "f"("N") pistettä sisältävissä pistejoukoissa, joissa kaikki pisteet ovat samassa tasossa eivätkä mitkään kolme samalla suoralla, on "N" pistettä siten, että ne yhdistämällä voidaan muodostaa kupera "N"-kulmio. Armstrongin luku
Armstrongin luku eli Armstrong-luku on sellainen n numeroa sisältävä positiivinen kokonaisluku, jonka numeroiden n:nsien potenssien summa on itse luku. Negatiivinen luku
Egyptiläis-kreikkalainen Diofantos (noin 200-luvulla jaa.) kutsui sellaisia laskuja absurdeiksi, joiden tulos oli negatiivinen. Esimerkiksi yhtälön 4x + 20 = 0 juuret eivät merkinneet mitään eikä niitä kannattanut yrittää ymmärtää. Ordinaali
Yleensä α:nnelle äärettömälle ordinaalille käytetään merkintää formula_47. Sen kardinaliteettia merkitään formula_48. Esimerkiksi ω:n eli ω:n kardinaliteetti on formula_49, joka on myös ω:n ja ε:n kardinaliteetti, sillä nämäkin ovat numeroituvia ordinaaleja. Niinpä jos valinta-aksiooma hyväksytään, ω voidaan samastaa formula_49, paitsi että merkintää formula_49 käytetään, kun on kysymys kardinaaleista ja merkintää ω, kun on kysymys ordinaaleista. (Eri merkintöjä käytetään, koska esimerkiksi formula_52 = formula_49 kardinaalina, mutta formula_54 ordinaalina). Samoin formula_55 on pienin ylinumeroituva ordinaali (sen osoittamiseksi, että sellainen on olemassa, voidaan tarkastella luonnollisten lukujen hyvinjärjestysten ekvivalenssiluokkia: jokainen sellainen määrittelee numeroituvan ordinaalin, ja formula_55 on tämän joukon järjestystyyppi), formula_57 on pienin ordinaali, jonka kardinaliteetti on suurempi kuin formula_58 ja niin edelleen, ja formula_59 on ordinaalien formula_60 raja-arvo, kun arvot "n" ovat luonnollisia lukuja (jokainen kardinaalien raja-arvo on kardinaali, ja niin ollen tämä raja-arvo on itse asiassa ensimmäinen kardinaali, joka on suurempi kuin formula_60). Itseään kuvaava luku
Itseään kuvaava luku (tai merkkijono, jos huomioon otetaan alkunollat), on sellainen luku, jossa luvun paikka (indeksi) merkkaa sen numeron määrää koko luvussa, alkaen nollasta. Kymmenjärjestelmässä luvun pituus on täten maksimissaan 10 (kantaluku 10, "b"). Ensimmäinen numero (luvun paikka, "d") ilmaisee nollien määrän koko luvussa, seuraava ykkösten määrän jne. Itseään kuvaava luku ei kuitenkaan ole vain kymmenjärjestelmän ominaisuus. Myös 16-kantainen luku C210000000001000 toteuttaa kaavan. 3 (luku)
Kolme on toiseksi pienin alkuluku, pienin pariton alkuluku ja pienin Fermat'n alkuluku. Se on myös toiseksi pienin kolmioluku.
Luku 3 on ainoa kokonaisluku, joka on Neperin luvun e ja luvun pii välissä. Dedekindin leikkaus
Rationaalilukujen joukossa Dedekindin leikkauksia on sikäli kahdenlaisia, että joukolla B saattaa olla pienin alkio, mutta ei välttämättä ole. Esimerkiksi jos muodostetaan Dedekindin leikkaus, jossa
joukolla B on pienin alkio, nimittäin luku 2. Tässä leikkauksessa joukkoon A kuuluvat kaikki rationaaliluvut, jotka ovat pienempiä kuin 2, joukkoon B luku 2 ja kaikki sitä suuremmat rationaaliluvut. Sen sijaan Dedekindin leikkauksessa, jossa
joukolla B ei ole pienintä alkiota. Reaalilukujen joukko voidaan muodollisesti konstruoida asettamalla jokaista tällaista Dedekindin leikkausta vastaamaan uusi luku, jollaisia sanotaan irrationaaliluvuiksi. Edellä mainitussa esimerkissä tämä luku on formula_5. Alternoiva ryhmä
Ryhmä "A" on Abelin ryhmä, jos ja vain jos "n" ≤ 3, ja yksinkertainen, jos ja vain jos "n" = 3 tai "n" ≥ 5 .
"A" on pienin ei-kommutatiivinen yksinkertainen ryhmä. Sen kertaluku on 60 ja se on pienin ei-ratkeava ryhmä. 1 (luku)
1 (yksi) on pienin positiivinen luonnollinen luku. Lukua 1 edeltää kokonaisluvuissa luku 0 ja seuraa luku 2. 1 voidaan kirjoittaa joko suorana pystyviivana, jossa on vasemmassa yläreunassa pieni alaspäin kääntyvä viiva, tai ainoastaan pystyviivana. Jälkimmäinen tapa on opetushallituksen nykyinen oikeinkirjoitussuositus, jota opetetaan Suomen kouluissa. Esseetyylisessä tekstissä numero yksi kirjoitetaan yleensä kirjaimin. Irrationaaliluku
Irrationaaliluku on matematiikassa reaaliluku, jota ei voi esittää kahden kokonaisluvun suhteena, rationaalilukuna (formula_1), jossa "m" ja "n" ovat kokonaislukuja. Irrationaaliluvun pääominaisuus on se, ettei sitä voida esittää päättyvänä tai jaksollisena desimaalilukuna. Irrationaalilukua käsitellään usein kyseistä tarkoitusta varten kehitetyllä symbolilla. Esimerkiksi piitä merkitään "π":llä ja Neperin lukua "e":llä. Oktaedriluku
Oktaedriluku on positiivinen kokonaisluku, joka on muotoa formula_1, jossa "n" on positiivinen kokonaisluku. 
Esimerkiksi 44 on oktaedriluku, koska formula_2.
Oktaedriluku saa nimensä siitä, että sen määrästä pisteitä voidaan muodostaa oktaedrin muotoinen kappale. Ensimmäisiä oktaedrilukuja ovat 1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670 ja 891. Luku
Rationaaliluvut ovat lukuja, jotka voidaan esittää murtolukuina, joissa osoittaja on kokonaisluku, ja nimittäjä nollasta eroava luonnollinen luku. Murtoluvut merkitään kirjoittamalla osoittaja ja nimittäjä allekkain sekä niiden väliin viiva. Murtoluvussa formula_3 eli "m/n" osoittaja "m" tarkoittaa yhtä suurten murto-osien lukumäärää ja nimittäjä "n" sitä määrää tällaisia murto-osia, jotka yhdessä muodostavat luvun 1. Sama rationaaliluku voidaan esittää murtolukuna usealla eri tavalla, esimerkiksi formula_4 ja formula_5 ovat yhtä suuret, toisin sanoen:
Jos osoittajan "m" itseisarvo "m" on suurempi kuin "n", on murtoluvun itseisarvo suurempi kuin 1. Murtoluvut voivat olla positiivisia, negatiivisia tai nolla. Rationaalilukujen joukkoon sisältyvät myös kokonaisluvut, sillä jokainen kokonaisluku voidaan esittää murtolukuna, jonka nimittäjä on 1. Esimerkiksi luku −7 voidaan esittää murtolukuna formula_7. Rationaalilukujen joukkojen symboli on "Q", joka usein kirjoitetaan myös muodossa formula_8. Negatiivinen luku
Vaikka kirjoituksia negatiivisista luvuista ei ole säilynyt, saattoivat ne olla yleisessä käytössä, ainakin laskuteknisesti kirjanpitolaskennassa. Ensimmäinen kiinalainen maininta negatiivisista luvuista löydetään kirjasta "Tšiu-tšang suan-su" (Yhdeksän matematiikan taitoa käsittelevää kirjaa, noin 202 eaa. – 220 jaa.), jossa on mainittu myös paljon vanhempaakin materiaalia. Siinä selostetaan laskusauvojen käyttöä. Niillä oli kahdet värit sen mukaan, oliko sauvaa esittävä luku negatiivinen (musta) tai positiivinen (punainen). Kirjassa on myös esimerkkejä yhtälöryhmistä, joista saadaan negatiivisia juuria. 0 (luku)
Varhaisimmissa lukujärjestelmissä ei ollut nollan käsitettä lainkaan. Niissä luvut olivat laadullisia. Luvut vastasivat kysymyksiin, kuten "kuinka monta halkoa olemme kasanneet". Tällaisessa lähtötilanteessa nollalla ei ole juurikaan merkitystä. Algebrallinen luku
Määritelmästä seuraa algebran peruslauseen mukaisesti, että polynomin nollakohdan formula_8 avulla voidaan päätellä sen yhden tekijän olevan binomi formula_9. Algebralliseen lukuun voidaan liittää useita polynomeja, joissa on tämä tekijä. Sitä polynomia, jonka aste on matalin, kutsutaan minimaalipolynomiksi. Minimaalipolynomin aste on samalla algebrallisen luvun aste. Keskenään jaottomat luvut
Lukuteoriassa kokonaislukuja formula_1 ja formula_2 sanotaan keskenään jaottomiksi tai suhteellisiksi alkuluvuiksi tai alkuluvuiksi toistensa suhteen, jos formula_1:n ja formula_2:n suurin yhteinen tekijä on 1. Luku 1 on keskenään jaoton jokaisen kokonaisluvun kanssa, ja luku 0 on keskenään jaoton vain 1:n ja −1:n kanssa. 7 (luku)
7 on neljänneksi pienin alkuluku. Se on myös toiseksi pienin Mersennen alkuluku: formula_1. Lisäksi 7 on toinen keskitetty kuusikulmioluku ja toiseksi pienin onnellinen luku. Negatiivinen luku
Negatiivisilla luvuilla ei ole reaalisia neliöjuuria, vaan kompleksisia. Liukuluku
Analogisesti äärettömien kanssa nollia on kaksi, positiivinen ja negatiivinen. Ne kuvaavat paitsi matemaattisen tarkkaa nollaa, myös lukuja joiden suuruus alittaa ei-normalisoitujen lukujenkin esitettävissä olevat arvot. 4 (luku)
Luku 4 saadaan korottamalla luku 2 toiseen potenssiin. Neljä on toiseksi pienin parillinen kokonaisluku ja pienin kokonaisluku, jolla on vähintään kaksi tekijää lukua itseään huomioon ottamatta. Neljä on myös toiseksi pienin neliöluku. Käänteisluku
Positiivisen reaaliluvun ja sen käänteisluvun summa on aina vähintään 2 eli Harshad-luku
Harshad-luku (tai Nivenin luku) on positiivinen kokonaisluku, joka on jaollinen numeroidensa summalla annetussa kantaluvussa. Esimerkiksi 1729 on Harshad-luku kymmenjärjestelmässä, koska 1 + 7 + 2 + 9 = 19 ja 1729 on jaollinen 19:llä. Ensimmäisiä Harshad-lukuja kymmenjärjestelmässä ovat 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54 ja 60 (A005349 OEIS:ssä). Ordinaali
Äärellisten kokoelmien tapauksessa ordinaali­luvut vastaavat täysin luonnollisia lukuja eli positiivisia kokonaislukuja. Sen sijaan äärettömille kokoelmille on olemassa useampiakin "järjestyksen" käsitteitä. Sitä niistä, joka lähinnä voidaan katsoa yleistykseksi äärellisen joukon järjestyksestä "yksi toisensa jälkeen", sanotaan hyvin­järjestykseksi. hyvin­järjestyksen voidaan ajatella merkitsevän sitä, että kohteet merkitään nimi- tai numerolapuilla "yksi toisensa jälkeen", mutta sallitaan, että jotkin nimilaput tulevat vasta äärettömän monen edeltäjän jälkeen. Esimerkiksi luonnollisten lukujen joukon {0,1,2...} jälkeen voidaan jonon loppuun lisätä symboli ω, joka on pienin ääretön ordinaali. Näin joukko {0,1,2...,ω) jatkuu ylös äärettömään. Jotkin ordinaalit ovat jonkin edeltäjänsä välitön seuraaja, "seuraajaordinaali"', kuten on laita luonnollisten lukujen {1,2...}, mutta toiset ordinaalit kuten ω eivät ole minkään toisen ordinaalin välittömiä seuraajia, ja sellaisia sanotaan "rajaordinaaleiksi". Operaation suhteen suljettu joukko
Binäärioperaatioissa formula_7 on kyse kaksimuuttujaisesta funktiosta formula_8 eli merkinnästä formula_9, jonka tulos kuuluu tai ei kuulu samaan joukkoon formula_2. Vähennyslaskun laskuoperaatio luonnollisten lukujen joukossa eli pari formula_11 ei ole suljettu vähennyslaskuoperaation suhteen, koska vähennettäessä pienemmästä luvusta suurempi, saadaan tuloseksi negatiivinen kokonaisluku, joka ei kuulu luonnollisiin lukuihin. Yhteenlaskun suhteen luonnolliset luvut, eli pari formula_12, muodostavat suljetun joukon, koska kahden pienen luonnollisen luvun summa on aina suurempi luku, joka kuuluu aina luonnollisiin lukuihin. Vastaavasti voidaan todeta, että kahden luvun kertolasku formula_13 on suljettu operaation suhteen. Jakolasku formula_14 taas ei ole suljettu operaation suhteen, koska tulokseksi tuleva murtoluku ei ole aina luonnollinen luku. 50 (luku)
50 on pienin luku, joka voidaan kahdella tavalla esittää kahden positiivisen kokonaisluvun neliöiden summana:
5 + 5 = 50 ja 7 + 1 = 50 Binäärioperaatio
Kokonaislukujen yhteenlasku (+) ja kertolasku ovat kommutatiivisia ja assosiatiivisia binäärioperaatiota. Yhteenlaskun neutraalialkio on 0 ja kertolaskun neutraalialkio on 1. Vastaavasti myös esimerkiksi rationaalilukujen ja reaalilukujen yhteen- ja kertolaskut ovat binäärioperaatioita. Desimaaliluku
Desimaaliluvut ovat kymmenjärjestelmään perustuva tapa merkitä reaalilukuja tai niiden likiarvoja, varsinkin sellaisia, jotka eivät ole kokonaislukuja. Merkinnän muodostavat kokonaisosa, joka on suurin kyseistä lukua pienempi kokonaisluku, sekä desimaalierotin (desimaalipilkku tai -piste) sekä sen jäljessä olevat numerot, joista ensimmäinen tarkoittaa kymmenesosia, toinen sadasosia, kolmas tuhannesosia ja niin edelleen. Esimerkiksi 2,522 merkitsee: kaksi kokonaista, viisi kymmenesosaa, kaksi sadasosaa ja kaksi tuhannesosaa. Murtoluku
Murtolukua, jonka osoittaja on itseisarvoltaan pienempi kuin nimittäjä, sanotaan "varsinaiseksi murtoluvuksi". Päinvastaisessa tapauksessa on kyseessä "epämurtoluku". Jokainen positiivinen varsinainen murtoluku on arvoltaan pienempi kuin 1, epämurtoluku taas suurempi kuin 1. Jos osoittaja ja nimittäjä ovat yhtä suuret, murtoluku on arvoltaan tasan 1. Murtoluvun käänteisluku saadaan vaihtamalla sen osoittaja ja nimittäjä keskenään. Esimerkiksi luvut formula_2 ja formula_3 ovat toistensa käänteislukuja. Varsinaisen murtoluvun käänteisluku on siis epämurtoluku ja päinvastoin. Luvun ja sen käänteisluvun tulo on 1. Modulaarinen aritmetiikka
Kokonaislukujen joukkoa {0, 1, 2, ..., "n" - 1} sanotaan pienimmäksi jäännös­luokka­systeemiksi modulo n. Mitä tahansa "n" kokonais­luvun joukko, jossa mitkään kaksi eri lukua eivät ole keskenään kongru­entteja modulo "n", sanotaan täydelliseksi jäännös­luokka­systeemiksi modulo n. Plus-miinus (jääkiekko)
Ottelun alussa kaikilla pelaajilla +/− on 0. Lukuarvo voi olla positiivinen, nolla tai negatiivinen. Yksinkertainen ryhmä
Abelin ryhmä on yksinkertainen jos ja vain jos se on syklinen ja sen kertaluku on alkuluku. Ei-Abelin ryhmien luokittelu on hankalampaa. Pienin ei-Abelin yksinkertainen ryhmä on alternoiva ryhmä A, jonka kertaluku on 60, ja toisaalta jokainen kertalukua 60 oleva yksinkertainen ryhmä on isomorfinen tämän kanssa. Toiseksi pienintä kertalukua oleva ei-Abelin ryhmä on kertalukua 168 ja se on isomorfinen PSL(2,7):n kanssa. Edelleen jokainen yksinkertainen kertalukua 168 oleva ryhmä on isomorfinen PSL(2,7):n kanssa. Positiivinen luku
Positiivinen luku on nollaa suurempi luku. Pienin positiivinen kokonaisluku on 1 (yksi). Positiivisten lukujen etumerkki on + (plus), mutta sitä ei yleensä merkitä. Negatiivinen luku
Positiivisen ja negatiivisen luvun tulo tuottaa negatiivisen luvun. Sen sijaan kahden negatiivisen luvun tulo tuottaa, kuten yllä, positiivisia lukuja: Monikulmioluku
Esimerkiksi luku 10 on kolmioluku, sillä 10 kiveä voidaan asettaa tasasivuiseksi kolmioksi.
Sama luku 10 ei voi olla neliöluku, mutta luku 9 sitä vastoin voi olla.
Joskus sama luku voi olla sekä kolmio- että neliöluku. Pienin tällainen luku on 36.
Muita monikulmiolukuja ovat muun muassa kolmioluvut, neliöluvut, viisikulmioluvut ja kuusikulmioluvut. Itseään kuvaava luku
Yleisimmin esitetty ongelma kuuluu seuraavasti: "”Pystytkö keksimään kymmennumeroisen luvun, jossa ensimmäinen numero kertoo nollien määrän, seuraava ykkösten, kolmas kakkosten ja niin edelleen?”" Komplementti (tietotekniikka)
Negatiiviset luvut voidaan esittää binäärilaskennassa lisäämällä luvun esitysmuotoon yksi bitti, merkkibitti, jonka toinen arvo tarkoittaa positiivista lukua ja toinen arvo negatiivista lukua. Tällöin kuitenkin positiivisten ja negatiivisten lukujen yhteenlasku täytyy käsitellä erikoistapauksena ja muuttaa se esimerkiksi tarvittaessa vähennyslaskuksi. Esimerkiksi +3 + -3 täytyy muuttaa vähennyslaskuksi 3 - 3. Ei ole myöskään kovin yksinkertaista käsitellä negatiivisia tuloksia antavia laskutoimituksia. 64 (luku)
64 (kuusikymmentäneljä) on luonnollinen luku, jota edeltää 63 ja seuraa 65. 64 on pienin epätriviaali luku, joka on sekä neliö- että kolmioluku. 64 on jaksollisessa järjestelmässä Gadoliniumin järjestysluku. Shakkilaudassa on 64 ruutua. Neutraalialkio
Esimerkiksi kertolaskun neutraalialkio reaalilukujen joukossa on luku 1, sillä mikä tahansa reaaliluku formula_8 kerrottuna yhdellä on luku formula_8 itse eli formula_10 Tämän vuoksi neutraalialkiota kutsutaan myös kertolaskun yksikköalkioksi eli ykkösalkioksi. Reaalilukujen yhteenlaskun neutraalialkio on luku 0, koska nollan lisääminen lukuun formula_8 on luku formula_8 eli formula_13 Tällöin neutraalialkiota kutsutaan myös yhteenlaskun nolla-alkioksi. Surreaaliluku
Surreaaliluku on matematiikassa luku, joka voi olla itseisarvoltaan myös pienempi tai suurempi kuin mikään positiivinen reaaliluku. Surreaalilukujen kunta sisältää reaalilukujen lisäksi sekä äärettömän suuret että äärettömän pienet luvut. 0 (luku)
Yhteenlaskussa toinen operandi voi olla nolla. Nolla ei vaikuta summaan, joka saa toisen operandin arvon. Nollaa kutsutaankin yhteenlaskussa neutraalialkioksi.
Vähennyslaskussa nolla liittyy vastaluvun käsitteeseen.
Kun kertolaskussa toinen operandi on nolla, saadaan tuloksi nolla.
Jakolaskussa nolla voi olla vain osoittajana.
Jos nolla asetetaan nimittäjäksi, on tulos määrittelemätön.Potenssimerkinnässä sallitaan kaksi nollan käyttötapaa.
Jos molemmat ovat nollia, on tulos määrittelemätön. Nollan kertoma eli
määritelmän mukaan. Polynomin jakokulma
Luvut tarkoittavat osamäärän termien kertoimia, ja viimeinen luku on jakojäännös. Ensimmäinen luku (1) tarkoittaa tässä toisen asteen termin kerrointa, toinen luku ensimmäisen asteen ja kolmas nollannen asteen eli vakion kerrointa. Termien asteet luetaan siis kasvavasti oikealta vasemmalle, ja jakojäännöksen vasemmalla puolella olevan luvun aste on 0. Outo luku
Kymmenen pienintä outoa lukua ovat 70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10 430, 10 570 ja 10 792 . Outoja lukuja on todistettavasti ääretön määrä. Lisäksi outojen lukujen joukolla on positiivinen tiheys. Ei tiedetä, onko olemassa yhtään paritonta outoa lukua, mutta jos on, niiden on oltava suurempia kuin formula_1. Negatiivinen luku
Luonnolliset luvut ja yhteenlaskuoperaattori yhdessä muodostavat vaihdannaisen monoidin formula_1. Tässä monoidissa alkioilla ei ole käänteisalkiota, eikä myöskään yhteenlaskun käänteistoimitus, vähennyslasku, ole määritelty kaikille lukupareille. Sen takia luonnollisten lukujen monoidi laajennetaan kokonaislukujen ryhmäksi formula_2, jossa jokaisella luvulla on vastaluku, ja vähennyslasku on määritelty kaikille kokonaislukupareille. Vastaluku
Positiivisesta luvusta voidaan tehdä negatiivinen liittämällä sen eteen miinusmerkki. Etumerkkiä voidaan pitää unaarioperaationa, jolla positiivinen luku muutetaan vastaluvukseen (formula_6). Kun negatiivisen luvun vastaluku on sen positiivinen itseisarvo, toimii miinusmerkki negatiivisen luvun eteen laitettuna vastalukuoperaationa (formula_7). Tämä voidaan ilmaista yleisesti positiiviselle kokonaisluvulle formula_2, joka ei ole nolla. Tällöin merkintä Kertomafunktio
Jos formula_3 ja formula_1 on ei-negatiivinen kokonaisluku, niin silloin ­formula_5. Toisin sanoen jos sijoitetaan luvun formula_6 paikalle luku formula_1, niin laskeva kertoma on sama asia kuin tavallinen luvun formula_1 kertoma formula_9. Negatiivinen luku
Vasta symbolisten laskulausekkeiden merkitsemisen tullessa yleiseksi alettiin kirjoittaa lukujen välissä laskumerkkejä sanojen et eli & (+) ja minus (−) sijasta. Miinus lyhennettiin yksinkertaisesti formula_23 tai formula_24. Armstrongin luku
Esimerkiksi pienin Armstrong³-luku on Lagrangen indeksilause
Lagrangen lauseen käänteistulos ei päde yleisesti äärellisille ryhmille, sillä on olemassa ryhmiä, joilla ei ole kertalukua "n" olevia aliryhmiä, vaikka luku "n" jakaisikin ryhmän kertaluvun. Kertaluvultaan pienin esimerkki on alternoiva ryhmä "A". Se on kertalukua 12 oleva ryhmä, mutta sillä ei ole kertalukua 6 olevaa aliryhmää. Kuitenkin Lagrangen lauseen käänteistulos pätee esimerkiksi kaikille Abelin ryhmille. Luonnollinen luku
Luonnollisia lukujaformula_3 käsitetään intuitiivisesti lukumääriä ilmaisevaksi lukujoukoksi. Se, kuuluuko luku nolla luonnollisiin lukuihin, vaihtelee tämän takia tarpeen mukaan. Nollan puuttuminen joukosta yksinkertaistaa joitakin laskulakeja, toisinaan sitä tarvitaan joskus yksinkertaistamaan niitä. Jos nolla kuuluu joukkoon, merkitään joukkoaformula_4, ja ellei, sitä merkitäänformula_5 taiformula_6. Joukkoaformula_4 on kutsuttu myös käsitteellä "epänegatiiviset kokonaisluvut". 0 (luku)
Luvun desimaaliesityksen paikkamerkinnässä nolla ilmaisee puuttuvaa kymmenpotenssikerrointa. Esimerkiksi luvussa 4206 nollalla on merkitty kymmenien lukumäärää. Luku muodostetaan siten, että lasketaan yhteen 4 tuhatta, 2 sataa ja 6. Kymmeniä ei luvun muodostamiseen tarvita, joten niiden lukumäärää merkitään nollalla. 0 (luku)
Intialaiset saivat nollan käsitteen ilmeisesti kreikkalaisilta. He liittivät sen lukujärjestelmäänsä menestyksekkäällä tavalla. Nollaa pidettiin ilmeisesti myös lukuna, jolla voitiin laskea. Brahmagupta kirjoitti Keski-Intiassa vuoden 628 jaa. tienoilla kirjan Brahmasphuta Siddhāntan. Siinä hän luettelee joitakin nollaan ja negatiivisiin lukuihin liittyviä ominaisuuksia vapaasti suomennettuna: "Nollan ja negatiivisen luvun summa on negatiivinen. Nollan ja positiivisen luvun summa on positiivinen. Kahden nollan summa on nolla. Positiivisen ja negatiivisen luvun summa on lukujen erotus tai nolla, jos ne ovat yhtä suuret. Positiivien- tai negatiivisen luvun jakolaskun tulos, kun nolla on jakajana, on murtoluku, jossa nolla on jakaja. Nolla jaettuna positiivisella tai negatiivisella luvulla on nolla tai murtoluku, jossa osoittajana on nolla ja nimittäjänä on mainittu luku. Nolla jaettuna nollalla on nolla." Viimeinen lause, jossa nolla jaetaan nollalla, ei vastaa nykykäsitystä laskun tuloksesta. Onnellinen luku
Jos jokin luku on onnellinen, kaikki sen luvun numeroista numeroiden järjestystä vaihtamalla tai nollia lisäämällä saadut luvut ovat myös onnellisia lukuja, koska laskujärjestys on yhteenlaskussa merkityksetön, ja koska
n + 0 = n Matemaattinen merkintä
Negaatio. Etenkin logiikassa käytetty symboli, joka kuvaa, että jonkin tapahtuma ei tapahdu. 
Esim. Jos A : "Sataa", niin ¬A : "Ei sada". Vajaa luku
Vajaa luku tai köyhä luku on positiivinen kokonaisluku, jonka itseään pienempien tekijöiden summa on pienempi kuin luku itse. Murtoluku
Murtoluvuista, joilla on sama positiivinen nimittäjä, on se suurempi, jolla on suurempi osoittaja. Murtoluvuista, joissa sekä osoittaja että nimittäjä ovat positiivisia ja joilla on sama osoittaja, on se suurempi, jolla on pienempi nimittäjä. Niinpä esimerkiksi formula_12 on pienempi kuin formula_13, mutta formula_12 on suurempi kuin formula_15. 2 (luku)
Luku 2 on pienin alkuluku ja samalla ainoa parillinen alkuluku.Luku 2 on myös verrannollinen sen kertomaan eli formula_1. Jos jokin luku korotetaan potenssiin kaksi, sanotaan tätä lukua kyseisen luvun neliöksi. Se kuuluu myös sekä Fibonaccin lukuihin että Catalanin lukuihin. Neliöjuurifunktio
Neliöjuurifunktio ei ole parillinen tai pariton, sillä se ei ole määritelty reaalilukujen negatiivisilla arvoilla. Määrittelyalueessaan se on aidosti kasvavana monotoninen. Sen pienin arvo on samalla funktion ainoa nollakohta, joka sijaitsee origossa. Funktio saa siten aina positiivisia arvoja ja vain origossa se saa arvon nolla. Ordinaali
Jokaisella ordinaalilla nollaa lukuun ottamatta on pienin alkio, nolla. Sillä voi olla myös suurin alkio, mutta ei välttämättä ole. Esimerkiksi ordinaalin 42 suurin alkion 41 ja ordinaalin ω+6 suurin alkio ω+5. Toisaalta ω:lla ei ole suurinta alkiota, sillä ei ole suurinta luonnollista lukua. Jos ordinaalin suurin alkio on α, se on α:ta seuraava alkio, ja sitä sanotaan "seuraajaordinaaliksi" ja merkintään α+1. Kun ordinaalit määritellään von Neumannin mukaisesti, α:n seuraaja on formula_2, sillä sen alkioita ovat α:n alkiot sekä α itse. 30 (luku)
30 (kolmekymmentä) on parillinen kokonaisluku. Sitä edeltää 29 ja sitä seuraa 31. Se on pienin tunnettu Giugan luku. Se on myös Harshad-luku kymmenjärjestelmässä. Normaali luku
Normaali luku on reaaliluku, jonka päättymättömässä "b"-kantaisessa esityksessä jokainen numero, 2 numeron pari ja niin edelleen jokainen n numeron ryhmä esiintyy keskimäärin yhtä usein. Voidaan osoittaa, että melkein kaikki reaaliluvut ovat normaaleja, mutta todistus ei ole konstruktiivinen ja vain muutama konkreettinen esimerkki normaalista luvusta tunnetaan. Luku voi olla normaali vain jonkin tietyn kannan suhteen, esimerkiksi desimaalijärjestelmässä mutta ei binäärijärjestelmässä. Mikäli luvun jokainen yksittäinen numero esiintyy yhtä usein, mutta parit tai isommat ryhmät välttämättä eivät, luvun sanotaan olevan yksinkertaisesti normaali. Luku, joka ei ole normaali, on epänormaali. Luku
Luvun vastaluku määritellään luvuksi, joka lisättynä annettuun lukuun antaa summaksi nollan. Positiivisen luvun vastaluku on negatiivinen luku. Kokonaislukujen joukko saadaan luonnollisten lukujen joukosta lisäämällä siihen jokaisen luvun vastaluku. Luvun vastaluku merkitään lisäämällä sen eteen miinusmerkki (−), esimerkiksi luvun 7 vastaluku on −7, ja 7 + (−7) = 0. Reaaliluku
"Reaalilukujen" joukko formula_2 koostuu rationaaliluvuista ja irrationaaliluvuista. Rationaaliluvuksi kutsutaan lukua, jonka desimaalikehitelmä on päättyvä tai päättymätön jaksollinen, ja irrationaaliluvuksi lukua, jonka desimaalikehitelmä on päättymätön ja jaksoton. Esimerkiksi formula_3 ja formula_4 ovat rationaalilukuja, ja 0,1010010001... ja formula_5 ja formula_6 ovat irrationaalilukuja. Reaaliluvut ja suoran pisteet vastaavat täysin toisiaan. Lähes täydellinen luku
Lähes täydellinen luku on positiivinen kokonaisluku "n", jonka tekijöiden summa on yhtä paljon kuin formula_1. Esimerkiksi 4 on lähes täydellinen luku, koska formula_2. Kymmenen ensimmäistä lähes täydellistä lukua ovat 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 ja 512. Ainoat tunnetut lähes täydelliset luvut ovat muotoa formula_3, jossa k on luonnollinen luku, mutta ei ole osoitettu, että kaikki lähes täydelliset luvut noudattaisivat tätä muotoa. Lähes täydelliset luvut ovat myös vajaita lukuja. −0
−0 (negatiivinen nolla tai miinusnolla) on joissakin yhteyksissä käytettävä esitys nollalle. Luku 0 ei matemaattisessa mielessä ole positiivinen tai negatiivinen luku, mutta tietyissä tilanteissa nollankin yhteydessä etumerkkejä käytetään.