Onko matematiikka tieteen ala?
Matematiikka
Matematiikka on deduktiiviseen päättelyyn perustuva formaali eli käsitteellinen tiede. Matematiikassa tutkitaan muun muassa lukuja, määriä, rakenteita, muutoksia ja avaruuksia. Matemaattisen formalismin mukaan matematiikka on aksiomaattisesti määriteltyjen abstraktien rakenteiden tutkimista symbolisen logiikan ja matemaattisen merkintäjärjestelmän keinoin. Matematiikkaa käytetään fysikaalisten ja käsitteellisten suhteiden ilmaisemisen "kielenä", jonka kielioppi ja käsitteistö on määritelty äärimmäisen tarkkaan. Tämä mahdollistaa asioiden ilmaisemisen yksikäsitteisesti, kun oletetaan loogisten rakenteiden pysyvän muuttumattomina.
Charles Hermite
Hermite ei ollut kiinnostunut matemaattisesta filosofiasta, mutta varsinkin hänen kirjeenvaihtonsa sisältää runsaasti osoituksia hänen käsityksistään matematiikan tutkimuksesta ja sen kohteista. Ne osoittavat, ettei Hermite niinkään ollut platonilainen, vaan hän vastusti käsitystä, että matemaatikko luo kohteita vapaasti oman mielensä mukaan, mikä oli ollut esimerkiksi Richard Dedekindin käsitys. Hermitelle matematiikka oli verrattavissa luonnontieteisiin; sen tuli perustua syvennettyyn havaintoon, jota tukevat laskelmat sekä funktioiden ja lukujen ominaisuudet. Hermite vastusti esimerkiksi epäeuklidisen geometrian ideaa, sikäli kuin se asetti aksioomansa "a priori", sekä liian kuvitteelliseksi katsomaansa sanastoa kuten "äärettömyydessä olevaa pistettä" projektiivisessa geometriassa, sillä hänen mielestään tällainen terminologia vain peitti ja hämärsi yksinkertaisen ja täsmällisen analyyttisen ominaisuuden. Hän vastusti myös liian rajoittavien perusteiden tutkimusta kuten Leopold Kroneckerin aritmetisointia, tämä kun elämänsä lopulla halusi palauttaa koko matematiikan positiivisilla kokonaisluvuilla suoritettaviin laskutoimitukseen; Hermiten mielestä tällaiset pyrkimykset eivät kunnioittaneet matematiikan luonnollista historiallista kehitystä. Hänen näkemystään tästä kehityksestä tukivat hänen voimakkaat uskonnolliset vakaumuksensa. Toisaalta häntä ihastuttivat suuresti hänen aikanaan löydetyt epäjatkuvien funktioiden uudet ominaisuudet. Matematiikan filosofia
Matematiikan filosofian teemoja ovat muun muassa:Termit "matematiikan filosofia" ja "matemaattinen filosofia" voidaan nähdä joko samoina tai erillisinä. Viimeksi mainittu voidaan käsittää kolmella tavalla. Ensinnäkin se voidaan ymmärtää pyrkimyksenä määritellä jokin filosofinen aihealue, kuten estetiikka, etiikka, logiikka, metafysiikka tai teologia täsmällisemmässä ja tiukemmin määritellyssä muodossa. Tällainen oli tyypillistä skolastisille filosofeille sekä Gottfried Leibnizin ja Baruch Spinozan järjestelmille. Toiseksi se voidaan käsittää jonkin matemaatikon tai matemaatikkoyhteisön työfilosofiana. Kolmanneksi sen voidaan katsoa viittaavan matemaattisen filosofian lähestymistapaan, jota Bertrand Russell sovelsi teoksessaan "Introduction to Mathematical Philosophy" ("Johdanto matemaattiseen filosofiaan"). Matematiikan historia
400-luvulla eaa. kreikkalainen matematiikka levisi ympäri helleenistä maailmaa Etelä-Italiaan, Traakiaan ja Vähään-Aasiaan. Vaikka tuolloin eli monia merkittäviä matemaatikkoja, yhtäkään heidän itsensä kirjoittamaa tekstiä ei ole säilynyt. Tuolloin syntyivät kolme klassista geometrian ongelmaa, ympyrän neliöiminen, kuution kahdentaminen ja kulman kolmiajako pelkästään harpin ja viivoittimen avulla. Vaikka kreikkalaiset eivät ratkaisseet ongelmia, niiden tutkiminen johti moniin uusiin löytöihin. Erityisesti täsmentyi tarkan arvon ja likiarvon käsitteiden ero. Kreikkalaiset ymmärsivät ensimmäisinä, ettei tarkkakaan likiarvo vastaa koskaan tarkkaa arvoa. Hippokrates Khioslainen (noin 470–410 eaa.) onnistui ympyrän neliöintiä tutkiessaan neliöimään tietynmuotoisia kuunsirppejä ja onnistui siten ensimmäisenä laskemaan täsmällisesti käyräviivaisen kuvion pinta-alan. Ateenalainen Hippias (noin 460–400 eaa.) keksi tavan suorittaa kulman kolmiajako käyttämällä apuna "kvadratrix"-nimistä käyrää. Koska käyrää ei voinut luoda harpin ja viivoittimen avulla, ratkaisu ei ollut hyväksyttävissä. Hippias oli kuitenkin keksinyt ensimmäisen käyrän, joka ei ollut ympyränkaari tai suora. Ensimmäisen geometrisen ratkaisun kuution kahdentamiseen esitti tarentumilainen Arkhytas. Hänen ratkaisunsa perustui kahdennettavan kuution mukaan sopivasti piirrettävien kartion, lieriön ja reunapisteensä ympäri pyörähtävän ympyrän muodostaman toruksen leikkauspisteeseen, joka määritti uuden kuution kärjen paikan. Ratkaisu osoittaa kreikkalaisen matematiikan olleen hyvin abstraktilla tasolla ottaen huomioon, ettei heillä ollut käytössä nykyisenkaltaista analyyttistä geometriaa tai edes koordinaatistoa. Matematiikan filosofia
Konstruktivismin mukaan matemaattisen entiteetin olemassaolon todistamiseksi se on välttämättä ensin löydettävä (tai ”konstruoitava”). Kuten intuitionismi, konstruktivismi katsoo, että matematiikkaan tulee hyväksyä vain sellaiset matemaattiset entiteetit, jotka voidaan eksplisiittisesti konstruoida tietyssä mielessä. Matematiikka ei ole merkityksettömillä symboleilla pelattua peliä, vaan koskee entiteettejä, jotka voimme luoda suoraan mentaalisen toiminnan kautta. PISA
Matematiikan PISA-tutkimuksessa mitataan arkielämän matematiikan taitoja, joista raportissa käytetään nimitystä "matemaattinen lukutaito". Mukana ei ole sellaista matematiikkaa, jota tarvitaan esimerkiksi suomalaisissa lukio- ja ammattiopinnoissa. Vuonna 2005 julkaistujen esimerkkitehtävien joukossa ei esimerkiksi ollut juuri lainkaan algebraa tai geometriaa. Suomalaisten matematiikan professorien mukaan PISA-tutkimuksen perusteella ei siksi voida päätellä osaamista esimerkiksi murtoluvuilla laskennassa, yhtälön ratkaisussa, geometrisessa päättelyssä, kappaleiden tilavuuden laskennassa tai algebran lausekkeiden käsittelyssä. Matematiikan historia
Kaarle Suuren yhdistettyä suuren osan Länsi-Eurooppaa Frankkien valtakuntaan 700-luvun lopulla oppineisuuden taso alkoi vähitellen kääntyä nousuun. Kaarle Suuri pyrki kehittämään valtakuntansa koululaitosta ja avasi kirjastoja tärkeimpiin kaupunkeihin. Kuuluisin valtakunnan oppinut oli Englannista kutsuttu matemaatikko Alkuin Yorkilainen. Antiikin matemaattisia teoksia ei kuitenkaan ollut juurikaan säilynyt tai saatavilla lännessä. Matematiikka rajoittui vielä geometrian alkeisiin ja ajanlaskun ylläpitoon. Lukuun ottamatta matematiikkaa harrastaneen paavi Sylvester I:n Boëthiuksen teoksiin laatimia kommentaareja Länsi-Euroopan matematiikan osaaminen ei juuri lisääntynyt ennen 1100-lukua.
1100-luvulla eurooppalaisten yhteydet arabialaiseen maailmaan lisääntyivät ja arabian kielen taito levisi eurooppalaisten oppineiden piiriin. Tärkein yhteys oli Espanja, jossa Toledo kasvoi merkittäväksi oppineisuuden ja käännöstyön keskukseksi, mutta myös Sisilian ja Bysantin kautta saatiin tietoa Arabiasta. Ensimmäinen arabiasta käännetty matemaattinen teos oli "Elementa" vuonna 1142, Muita tärkeitä 1100-luvulla tehtyjä käännöksiä olivat Ptolemaioksen "Almagest" ja al-Khwarizmin "Algebra". Käännökset levisivät yliopistoihin, joita alettiin perustaa 1100-luvulla taloudellisen kasvun turvin yhteiskunnallisten olojen vakauduttua. Erityisesti trigonometria saavutti vahvan aseman Länsi-Euroopassa. Käännösten myötä intialaiset numerot saapuivat Eurooppaan. Ne yleistyivät vähitellen, sillä jo paavi Sylvester I oli käyttänyt niitä kirjoituksissaan, mutta vasta 1200-luvulla ne syrjäyttivät roomalaisten numeroiden käytön matemaatikkojen piirissä. Intialaisten numeroiden käyttöönottoa edisti 1200-luvun merkittävin eurooppalainen matemaatikko Fibonacci kirjassaan "Liber Abaci", jossa hän perusteli niiden etuja roomalaisiin numeroihin nähden. Matematiikassa hän keskittyi algebraan ja lukuteoriaan, hän tutki arabiasta käännettyjen teosten opastamana etenkin Diofantoksen suosimia indeterminoituja ongelmia ja laski likimääräisratkaisuja kolmannen asteen yhtälöille mahdollisesti Kiinasta arabialaisten kautta opitulla Hornerin metodilla. Toinen huomattava 1200-luvun matemaatikko oli Nemorarius, joka esitti ensimmäisenä oikein kaltevalla tasolla olevaan kappaleeseen vaikuttavan voiman ja kirjoitti lukuisia puolifilosofisia aritmetiikkaa ja geometriaa käsitteleviä teoksia. Königsbergin siltaongelma
Eulerin ratkaisua Königsbergin siltaongelmaan pidetään matematiikan historian ensimmäisenä teoreemana, joka koskee nykyisin graafiteoriana tunnettua matematiikan alaa. Tätä puolestaan pidetään nykyään yleisesti kombinatoriikan haarana (kombinatorisia ongelmia oli toki tutkittu jo paljon aikaisemmin). Filosofia ja tiede
Historiallisesti filosofia on luettu tieteisiin tai jopa samaistettu niiden kanssa. Esimerkiksi antiikin Kreikassa filosofiaa ei pelkästään pidetty tieteenä, vaan se oli sama asia kuin tuon ajan tiede. Kaikki tiede oli syntynyt filosofiana, ja myös mm. matematiikka luettiin sen osaksi tai esiasteeksi (Platon). Aristoteles jakoi perustiedettä, filosofiaa, eri osiin (teoreettinen ja käytännöllinen filosofia). Tieteellinen vallankumous
Suuri muutos matematiikan kehittymisessä tapahtui 1400-luvun puolivälissä, kun Bysantti menetti Konstantinopolin turkkilaisille 1453. Ratkaisevassa asemassa oli myös kaupan vilkastumisesta johtunut talouden virkistyminen. Tehokkaalle laskennolle tuli tarvetta. Samaan aikaan käynnissä olleille löytöretkille tarvittiin entistä parempia karttoja, joiden tekemiseen myös tarvittiin matemaattista tietoutta. Matematiikka lähti siis nousuun käytännön tarpeiden ja kaupankäynnin ansiosta. Arabian vaikutus on tässä oleellinen, sillä Fibonacci oli jo 1200-luvulla tehnyt työtä arabialaisen (tai oikeammin intialaisen) numerojärjestelmän yleistymisen eteen Euroopassa. Lukujärjestelmän muutos oli suuri edistysaskel, sillä arabialaisella järjestelmällä kyetään tehokkaampaan laskemiseen. Keskiajan ja uuden ajan taitekohdan aikaan valmistetuissa puupiirroksissa usein kuvataankin kaksi matemaatikkoa, joista toisella on käytössä helmitaulu ja toisella arabialaiset numerot. Näistä jälkimmäisellä on iloinen ja aiemmalla hyvin hapan ilme. Renessanssi­aikana taas otettiin käyttöön nykyäänkin käytössä olevat merkinnät yhteen- ja vähennyslaskulle. Kvanttikemia
Kvanttikemia on fysikaalisen kemian ala, jossa käytetään kvanttimekaniikkaa kemian ongelmien tarkasteluun. Atomien elektronien ja molekyylien käyttäytymistä ja reaktioita mallinnetaan matemaattisesti fysiikan ja matematiikan antamin keinoin. Kvanttikemia on läheistä sukua teoreettiselle fysiikalle. Matematiikan filosofia
Formalismin ei kuitenkaan tarvitse tarkoittaa, että matematiikassa on kyse vain merkityksettömästä symbolisesta pelistä. Formalisti voi toivoa, että on olemassa joku tulkinta, jolla ”pelin” säännöt pitävät. Rahoitusmatematiikka
Rahoitusmatematiikka tai finanssimatematiikka on sovelletun matematiikan tutkimusalue, joka tutkii rahoitusmarkkinoita. Rahoitusmatematiikko työskentelee esimerkiksi analyytikkona rahoitus- ja vakuutusyhtiössä. Tieteellinen vallankumous
Aristoteles asetti myös tarkat menetelmät siitä, miten luontoa pitää tutkia. Siihen ei kelvannut matematiikka, sillä hänen näkemyksensä mukaan luontoa pitää kuvailla ilmiön todellisten syiden perusteella eikä matematiikka siis abstraktin luonteensa vuoksi kelpaa. Edes optiikan ja tähtitieteen kaltaiset tieteenalat eivät kelvanneet, koska ne sekoittivat luonnon kuvaamisen ja geometrisen ajattelun keskenään. Siispä tällaisten tieteiden avulla ei voida Aristoteleen mielestä saavuttaa minkäänlaista tietoa luonnosta. Matematiikan alueet kuten aritmetiikka ja geometria kyllä kuuluivat Euroopan varhaisten yliopistojen opetus­suunnitelmiin, mutta opetuksessa selvitettiin seikkaperäisesti näiden olevan ”alempiarvoisia” menetelmiä verrattuna luonnonfilosofiaan, jota siis opetettiin filosofisissa ja teologisissa tiedekunnissa. Myös Euroopassa riehunut musta surma ja satavuotinen sota halvaannuttivat osaltaan eurooppalaista tiedettä. "Science and Technology in World History" -kirjassa (s. 193) esitetyn diagrammin mukaan eurooppalaisten tieteilijöiden lukumäärä oli ollut kasvu­suunnassa 1350-luvulle saakka, mutta epidemian vuoksi se heidän lukumääränsä romahti. Vasta sata vuotta myöhemmin tieteilijöiden määrä ylitti vuosien 1325–1350 tason. Kunta (matematiikka)
Kunta () matematiikassa on epäformaalisti sanottuna joukko, johon on määritelty neljä peruslaskutoimitusta siten, että laskutoimitukset noudattavat tavallisia laskulakeja, ja laskutoimitusten tulos kuuluu samaan joukkoon. Esimerkiksi rationaaliluvut muodostavat kunnan, mutta kokonaisluvut eivät, koska jakolaskun tulos ei ole välttämättä kokonaisluku. Kuntia tutkiva matematiikan ala on algebra. Lisää matematiikan iloja
Lisää matematiikan iloja on Theoni Pappasin kirjoittama kirja, joka on jatkoa kirjalle Matematiikan ilot. Kirja esittelemee matematiikan kansanperinnettä ja historiaa. Suomeksi kirjan on kustantanut Terra Cognita ja suomentanut Juha Pietiläinen. Kirjassa on 319 sivua. Matematiikan filosofia
Matematiikan filosofia on osittain päällekkäistä metafysiikan kanssa sikäli, että jotkut siihen kuuluvat näkemykset ovat realistisia matemaattisten olioiden suhteen, ja katsovat näiden olioiden olevan olemassa joko transsendentaalisesti, fysikaalisesti tai mentaalisesti. Platonisen realismin mukaan matemaattiset oliot ovat olemassa transsendentaalisessa ei-fysikaalisten olioiden todellisuudessa. Matemaattisen empirismin mukaan matemaattiset oliot ovat tavallisia fysikaalisia olioita. Tämä tarkoittaa, että esimerkiksi kolmiot ovat olemassa fysikaalisesti. Intuitionismin mukaan kaikki matemaattiset totuudet ovat kokemuksellisia ja matematiikka on ihmisten suorittamaa konstruktiivista mentaalista toimintaa. Muut matematiikanfilosofiset näkökannat, kuten formalismi ja fiktionalismi, eivät myönnä matemaattisten olioiden olemassaoloa ja ovat näin antirealistisia. Sukupuoli ja psykologia
Aiemmin luultiin, että pojat olisivat matemaattisesti lahjakkaampia kuin tytöt, mutta väite on sittemmin osoittautunut virheelliseksi. Matematiikan professori Jonathan Kane Wisconsin-Whitewaterin yliopistosta tutkija Janet Mertzin kanssa havaitsivat tutkimuksissa, että useiden mittausten nojalla tytöt pärjäävät matematiikassa siinä missä pojatkin. Monissa maissa keski- ja ylätasolla matemaattista sukupuolieroa ei ilmene ollenkaan. 
Kane ja Mertz uskovatkin, että erot kumpuavat sosiokulttuurisista tekijöistä. Joitain eroja matemaattisissa kyvyissä kuitenkin on sukupuolten välillä, mutta tämä erilaisuus taidoissa vaihtelee maiden välillä, joten sen ei voi olettaa johtuvan geneettisistä eroista sukupuolten välillä. Tutkijat ovat myös havainneet, matemaattiset taidot ovat paremmat sekä tytöillä että pojilla maissa, jossa sukupuolten välinen tasa-arvo on paremmalla tolalla kuin niissä, joissa se ei ole. Teologia
Aristoteles luki teologian matematiikan ja fysiikan ohella yhdeksi teoreettisen filosofian osa-alueeksi, ja korkea-arvoisemman kohteensa ansiosta näitä kahta muuta korkea-arvoisemmaksi. Teologian kohteena olivat kaikkein jumalallisimmat kysymykset, kuten ”ensimmäisen liikuttajan” tutkiminen. Tätä kautta termi on päätynyt lukuisiin läntisiin ja itämaisiin uskonnollisiin perinteisiin. Plotinokselle teologia oli ainoa tiede, joka oli tieteen nimen arvoinen. Algebra
Algebra on yksi puhtaan matematiikan päähaaroista geometrian, analyysin, topologian, kombinatoriikan ja lukuteorian ohella. Taloustiede
Mikrotaloustieteellä on yleisesti hyväksytty ja taloustieteen opetusohjelmissa systemaattisesti käytetty yhtenäinen uusklassiseen taloustieteeseen perustuva teoriapohja. Valtavirtataloustieteen teoria on sovellettua matematiikkaa. Teoria perustuu ihmisten käyttäytymisestä tehdyille oletuksille, kuten preferenssien rationaalisuudelle. Osa taloustieteen koulukunnista ei hyväksy joko uusklassista teoriaa tai matemaattista lähestymistapaa. Matematiikka
Avaruuksien tutkiminen saa alkunsa geometriasta. Ensin kehitettiin euklidinen geometria, josta trigonometria on eriytynyt omaksi erikoisalakseen. Myöhemmin osoittautui, ettei euklidinen geometria ole ainoa looginen mahdollisuus, ja sen ohella onkin kehitetty myös epäeuklidisia geometrioita. Sovellettu matematiikka
Sovellettu matematiikka on siis eri aikoina tarkoittanut eri asioita. Nykyisin tietokoneiden ansiosta avautuu koko ajan uusia sovellusalueita omine ongelmineen. Sovelletun matematiikan käsite onkin usein liian epämääräinen kuvaamaan kaikkea tätä, joten nykyisin käytetään paljon seuraavia termejä puhuttaessa eri näkökulmista ja lähtökohdista matematiikan sovelluksiin: numeerinen analyysi/matematiikka, tieteellinen laskenta, (matemaattinen) mallintaminen. Matematiikka
Matematiikan filosofia on filosofian osa-alue, joka tutkii matematiikan filosofisia perusteita, oletuksia ja seurauksia. Kombinatoriikka
Kombinatoriikka on matematiikan osa-alue, joka tutkii tietyt ominaisuudet toteuttavien joukkojen lukumääriä. Enumeratiivinen kombinatoriikka laskee saadun joukon alkioiden lukumäärän. Matroiditeoria tutkii joukkojen konstruoimista ja analysointia. Ekstremaalinen kombinatoriikka pyrkii löytämään jollakin tapaa optimaalisen kokoelman objekteja. Algebrallinen kombinatoriikka tutkii, mitä algebrallisia rakenteita joukon alkioille voidaan muodostaa. Ballistiikka
Ballistiikka (kreikan sanasta "ba’llein" ’heittäminen’) on lentävien kappaleiden liikeratoja tutkiva dynamiikan sovellettu tiede. Ilmassa etenevän kappaleen liikerata ei ole suora maan vetovoiman ja ilmanvastuksen takia. Ballistiikassa puhutaan kappaleen "lentoradasta". Fysiikka
Olennaisena osana fysiikan opiskeluun kuuluu matematiikan opiskelu, sillä ”matematiikkaa hallitsemattomasta ihmisestä ei tule fyysikkoa”. Tavallisesti fysiikkaa yliopistossa pääaineena opiskelevat lukevat matematiikkaa sivuaineena ja yleensä se kuuluukin pakollisena opintoihin. Muita tyypillisiä sivuaineita ovat kemia, biologia sekä tietotekniikka. Fysiikkaa voidaan opiskella myös poikkitieteellisesti. Esimerkiksi Jyväskylän yliopistossa nanotieteen koulutusohjelmassa opiskellaan fysiikkaa, kemiaa ja biologiaa. Sovellettu matematiikka
Sovelletun matematiikan tavoitteena on mallintaa erilaisia ilmiötä, kuvailla niitä ja jos mahdollista, niin myös yrittää ymmärtää niitä. Perinteisesti matematiikkaa on sovellettu etenkin luonnontieteissä, mutta viime aikoina on noussut esille myös monia muita kiinnostavia kohteita, esimerkiksi salakirjoitusjärjestelmät ja optiokaupat. Sovellettu matematiikka ei siis voi olla mikään yhtenäinen matematiikan alue, vaan tarpeen mukaan voidaan joutua käyttämään minkä tahansa matematiikan osa-alueen työkaluja. Antiikin tiede
Miletoslaisten rinnalla eli Italiassa joonialaista alkuperää olevan matemaatikon Pythagoraan ympärille muodostunut koulukunta nimeltä pythagoralaisuus, jonka opit olivat tieteen, mystiikan ja filosofian sekoituksia. He omaksuivat myös ajatuksia persialaiselta Zarathustralta. Pythagoralaiset olivat ensimmäinen koulukunta, joka korosti matemaattisuutta luonnonfilosofiassa. He eivät kuitenkaan käyttäneet matematiikkaa niinkään luonnonilmiöiden kuvantamiseen – kuten nykyään tehdään ja vaikka heidän mukaansa kaikki oli ilmoitettavissa numeerisesti – vaan he pitivät lukuja maailmankaikkeuden perustana, vastaavina kuin miletoslaiset pitivät alkuaineita. He olivat tässä mielessä siis idealisteja, kun miletoslaiset olivat materialisteja. Pythagoralaisille maailma oli enemmän kuin oli päältä päin nähtävissä. Heillä oli ideaoppi, jonka perusperiaate oli samankaltainen kuin Platonillakin, joka oli saanut matemaattisen oppinsa pythagoralaisilta: ajatukset täydellisen suorasta viivasta ja kolmiosta ovat osa matematiikkaa, joita ei reaali maailmasta voi löytää. Tämä on perusta nykyiselle matemaattiselle idealismille. Ajatustensa hengessä he kehittivät matematiikan teoreettista ja abstraktia puolta siinä missä babylonialaiset ja egyptiläiset olivat jääneet pohtimaan matematiikan käytännön sovelluksia. Heidän saavutuksiin kuuluu nykyaikaisen matemaattisen vaiheittaisen todistuksen keksiminen, lukujen jaotteleminen (muun muassa parittomiin ja parillisiin), numerologian perustaminen, Pythagoraan lauseen todistaminen. Irrationaalisuuden havaitseminen oli niin suuri takaisku pythagoralaisten maailmankuvalle, että he pyrkivät pitämään koko seikan salassa kultin ulkopuolisilta. Aiemmin oli luultu, että kaikkien geometristen ongelmien ratkaisuna on kokonais- tai rationaaliluku. Pythagoralaisten mielestä Maa ei ollut kosmoksen keskipiste, kuten miletoslaiset väittivät, vaan kiersi jonkinlaista tulta (ei kuitenkaan Aurinko). Esitysteoria
Esitysteoria on matematiikan osa-alue, joka tutkii abstrakteja algebrallisia rakenteita esittämällä niiden alkiot vektoriavaruuksien lineaarisina muunnoksina sekä tutkii moduleja näiden rakenteiden suhteen. Matematiikan filosofia
Matemaattinen fiktionalismi sai alkunsa kun Hartry Field osoitti teoksessaan "Science Without Numbers" (1980), kuinka tiedettä tehdään ilman matematiikkaa. Hän esitti Newtonin mekaniikan täydellisen aksiomatisoinnin, joka ei viitannut lukuihin tai funktioihin lainkaan. Hän esimerkiksi hyödynsi Hilbertin aksioomien ”välillisyyden” ("betweenness") käsitettä luonnehtiessaan avaruutta ilman avaruudellisia koordinaatteja. Hilbertin geometria oli matemaattista, koska se puhuu abstrakteista pisteistä, mutta Fieldin teoriassa nämä pisteet ovat konkreettisia fysikaalisen avaruuden pisteitä, joten erillisiä matemaattisia olioita ei tarvita. Konstruktivismi (matematiikka)
Konstruktivismi sekoitetaan usein intuitionismiin, mutta intuitionismi on itse asiassa vain yksi konstruktivismin muoto. Kuten intuitionismi, konstruktivismi katsoo, että matematiikkaan tulee hyväksyä vain sellaiset matemaattiset entiteetit, jotka voidaan eksplisiittisesti konstruoida tietyssä mielessä. Matematiikka ei ole merkityksettömillä symboleilla pelattua peliä, vaan koskee entiteettejä, jotka voimme luoda suoraan mentaalisen toiminnan kautta. Intuitionismin mukaan matematiikka kuitenkin perustuu intuitioon ja on siksi välttämättä subjektiivista. Konstruktivismi ei jaa tätä näkemystä, ja siksi sen mukaan matematiikka on objektiivista. Matemaatikon apologia
Toinen syy oli se, että toisen maailmansodan alussa pasifistinen Hardy halusi oikeuttaa ajatuksensa, että matematiikkaa tulisi kehittää matematiikan itsensä takia, ei sen tuomien sotilaallisten sovellusten takia. Matematiikkaa tulisi kehittää sen puhtauden, sisäisen täydellisyyden ja peruskäsitteiden selkeyden takia. Hardy halusi kirjoittaa kirjan, jossa hän selittäisi matemaattisen filosofiansa seuraavalle matemaatikoiden sukupolvelle. Hänen tavoitteenaan oli kirja, joka puolustaisi matematiikkaa sen sisäsyntyisen tärkeyden perusteella ja inspiroisi tulevien sukupolvien puhtaita matemaatikkoja. Hardy tavoitti tätä selittämällä tarkoin pelkän ”puhtaan matematiikan” ansiota, eikä hän turvautunut sovelletun matematiikan ansioihin oikeuttaakseen matematiikan kokonaistärkeyttä. Koska Hardy oli ateisti, hän oikeuttaa matematiikkaa kanssaihmisilleen, ei jumalalle. Yritysjuridiikka
Yritysjuridiikka (Vaasan yliopistossa tieteenalasta käytettävä nimitys on talousoikeus) on kauppatieteellinen tieteenala, jonka tarkoituksena on tutkia liiketoimintaa ja ohjeistaa sen päätöksentekoa oikeudellisesta näkökulmasta. Se on yksi liiketoimintaosaamisen tieteenaloista ja oppiaineista muun muassa yrityshallinnon, laskentatoimen, rahoituksen, markkinoinnin ja tietojohtamisen ohella. Joissakin yliopistoissa myös liiketoimintaan liittyvät vero-oikeudelliset asiat luetaan yritysjuridiikan alaan. Matematiikan historia
Arkhimedes oli paitsi matemaatikko, myös keksijä ja historian ensimmäinen matematiikkaa lähtökohtanaan käyttänyt fyysikko. Lukuun ottamatta Pythagoraan teoriaa kielen pituuden vaikutuksesta sävelkorkeuteen kaikki fysiikka oli Arkhimedekseen asti ollut spekulatiivista ja filosofista. Arkhimedes selitti matematiikan avulla nosteen ja vipulain, jolla hän saattoi laskea monimutkaistenkin kappaleiden painopisteitä. Nämä yhdistämällä hän pystyi laskemaan, miten erimuotoiset kappaleet ja veneet kelluvat ja loi siten hydrostatiikan perustan. Vipulakiaan apuna käyttäen Arkhimedes kehitti ekshaustiomenetelmän huippuunsa ja laski esimerkiksi pallosegmentin pinta-alan ja tilavuuden ja spiraalin sisään jäävän pinta-alan. Arkhimedes onnistui myös ensimmäisenä ratkaisemaan yleisen kolmannen asteen yhtälön reaaliarvoiset juuret. Matematiikka
Matematiikka ei tutki ympäröivää, fysikaalista todellisuutta, vaan käsitteellisiä riippuvuussuhteita. Tämän takia sitä ei yleensä lueta luonnontieteisiin, vaikka matematiikan ja matemaattisten menetelmien soveltaminen on tärkeä osa luonnontieteitä ja monet matematiikan tutkimusongelmat ovat peräisin luonnontieteistä, erityisesti fysiikasta. Esimerkiksi Isaac Newtonin kehittämä mekaniikka ja painovoimateoria vaikutti suuresti differentiaali- ja integraalilaskennan kehittymiseen. Matematiikan historia
Matematiikka kehittyi Kiinassa ilman tiedonvaihtoa muiden korkeakulttuurien kanssa ainakin ajanlaskun alkuun asti, myöhemmistä yhteyksistä etenkin Intiaan on vain hajanaisia tietoja ja tiedonkulun suunta on epäselvä. Kuten helleenisellä alueella, myös Kiinassa suuri osa alkuperäisistä lähteistä on tuhoutunut, osin moniin dynastianvaihdoksiin liittyneiden murroskausien välillä. Vanhin säilynyt teos Zhou Bi Suan Jing on luultavimmin peräisin 300-luvulta eaa. Se käsittelee tähtitieteellisiä mittauksia, alkeisgeometriaa ja murtolukulaskentaa. Tätä kuuluisampi on noin vuodelta 250 eaa. oleva Yhdeksän lukua, joka on ilmeisesti varhaisin teos, jossa käytetään negatiivisia lukuja. Kumpikaan teoksista ei yllä kreikkalaisten tutkielmien loogisen täsmällisyyteen, vaan muistuttaa Babyloniassa ja Egyptissä tehtyjä ongelmakokoelmia, joissa tehtävät liittyvät käytännön mittauksiin. Matematiikan historia
Egyptiläisten matematiikka näyttää kehittyneen varhain tasolle, joka on mahdollistanut pyramidien rakentamisen, tonttien mittauksen ja kehittyneen talouden toiminnan. Ahmesin papyruksen jälkeen sen kehitys tuntuu kuitenkin pysähtyneen. Ilmeisesti matematiikkaa kehitettiin vain käytännön tarpeisiin. Suurimpia heikkouksia egyptiläisten matematiikassa oli ehkä käytännöllisyydestä johtuva likimääräisyys. Egyptiläisten käyttämä piin arvo oli 3+13/81, mikä sinänsä ei ole huono likiarvo. He näyttävät kuitenkin olettaneen sen olevan tarkka, koska tiesivät sen olevan melkein oikein. Vastaavasti egyptiläiset laskivat nelikulmion pinta-alan olevan vastakkaisten sivujen keskiarvon tulo, mikä antaa lähellä neliötä oleville nelikulmioille tarkkoja likiarvoja. Tästä on johdettu myös kolmion alalle kaava, jonka mukaan ala on kahden sivun keskiarvo kerrottuna kolmannen puolikkaalla. Tämä osoittaa egyptiläisten osanneen johtaa kaavasta toinen kaava ja jopa käyttäneen yhden sivun pituutena nollaa. Kaava kuitenkin on alkuperäisestä likimääräisyysoletuksesta johtuen väärä. Fysiikka
Fysiikka on 'matemaattinen tiede'. Teoreettinen fysiikka ja yleensäkin teorioiden muodostaminen on kulkenut rinta rinnan matemaattisen kehityksen kanssa. Matematiikan historia
700-luvulta eaa. lähtien kreikkalaiset olivat alkaneet perustaa siirtokuntia Välimeren ja Mustanmeren rannikolle. Tämä toi lisää yhteyksiä myös vanhoihin matematiikan keskuksiin, Babyloniaan ja Egyptiin, ja oli ilmeisesti yksi syy nopeaan matematiikan kehittymiseen. Ensimmäiset nimeltä tunnetut kreikkalaiset matemaatikot olivat Thales (noin 624–548 eaa.) ja Pythagoras (noin 580–500 eaa.). Heidän teoksistaan yksikään ei ole säilynyt, mutta monet myöhemmät matemaatikot viittaavat heihin teoksissaan. On kuitenkin kiistanalaista, mitkä kaikki heidän nimiinsä yleensä laitettavista keksinnöistä olivat todella heidän itsensä kehittämiä. Thaleen ansioksi lasketaan yleensä geometrisen deduktiivisen päättelyn kehittäminen. Pythagoras ja hänen seuraajansa perustivat koulukunnan, jonka mukaan kaikki oli esitettävissä kokonaislukujen ja niiden suhteiden avulla. He olivat siis ensimmäisiä, jotka pyrkivät kuvaamaan luontoa säännönmukaisesti matematiikan avulla. Pythagoras havainnoi, kuinka värähtelevän kielen pituus vaikuttaa sävelkorkeuteen ja tutki, missä suhteessa kielten pituuksien tulee olla, jotta saadaan tuotettua yhteen oktaavialaan kuuluvat sävelet. He myös ottivat käyttöön alkuluvun ja kultaisen leikkauksen käsitteet. Pythagoralainen lukujen palvonta johti erilaisten lukujonojen tutkimiseen, ja tiettyjä lukuja pidettiin ”arvokkaampina” kuin toisia. Tämä johti siihen, että he erottivat toisistaan puhtaan matematiikan ja laskutekniikkaan keskittyvän "logistiikan". Tämä saattoi hidastaa lukujen merkintätavan kehittymistä, kun käytännön laskemista pidettiin alempiarvoisena. Kreikkalaiset merkitsivät lukuja aluksi roomalaisia numeroita muistuttavalla järjestelmällä. Viimeistään 400-luvulla eaa. siirryttiin joonialaiseen merkintätapaan, joka muistutti paikkajärjestelmää. Täydellistä paikkajärjestelmää ei alettu koskaan käyttää, eikä joonialaista merkintää käytetty murtolukuihin. Pythagoralaiset pitivät niitä kahden kokonaisluvun suhteena eikä suuruudeltaan kokonaislukujen väliin sijoittuvina erillisinä lukuina. Fysiikka
Kaikki luonnonlait kuuluvat fysiikan aihealueeseen. Fysiikan tutkimuskohteisiin kuuluvat painovoima, sähkömagnetismi, heikko vuorovaikutus ja vahva vuorovaikutus. Fysiikka on kokeellinen ja eksakti luonnontiede. Kokeellisuus eli empiirisyys tarkoittaa sitä, että luonnonilmiöitä koskevat havainnot ja mittaukset ovat kaiken fysikaalisen tiedon pohja. Fysikaalinen tieto on aina kokeellisesti koeteltua. Eksaktisuus merkitsee, että fysiikan tulokset pyritään ilmaisemaan matemaattisessa muodossa ilmiön havaittuja säännönmukaisuuksia esittävinä lakeina, joiden avulla voidaan tehdä ilmiötä koskevia kvantitatiivisia ennusteita. Fysiikkaa sovelletaan muiden muassa koneissa ja teollisuudessa. Jyväskylän yliopiston matematiikan ja tilastotieteen laitos
Kandidaatin tutkinnon pääaine on matematiikka tai tilastotiede. Opetuksen painopisteet ovat matemaattinen analyysi, tilastotiede sekä stokastiikka. Matematiikan pääaineopiskelija voi opintojen alkuvaiheessa opiskelija hakea matematiikan aineenopettajakoulutukseen, jossa pääaine on matematiikka. 
Maisterin tutkinnossa pääaineeksi voi valita matematiikan, stokastiikan, tilastotieteen tai soveltavan matematiikan. Matematiikan opettajan maisterin tutkinnon pääaine on matematiikka. Matematiikan historia
Pappoksen jälkeen matematiikan kehitys Euroopassa loppui vuosisadoiksi. Hänen jälkeensä vain etevimmät matemaatikot kykenivät ymmärtämään kokonaan antiikin tekstejä ja tyytyivät vain kommentoimaan ja selittämään niitä. Aleksandrian aika matematiikan keskuksena loppui vuonna 415, kun fanaattiset kristityt murhasivat vanhoja helleenisiä arvoja ja pakanuutta puolustaneen Hypatian, joka oli oppinut matemaatikko. Aleksandrian kirjaston yhteydessä toiminut yliopisto oli tosin suljettu jo aiemmin, mutta murha pelästytti muut oppineet, jotka jättivät kaupungin. Länsi-Roomassa matematiikan harjoittaminen ei ollut koskaan saavuttanut merkittävää asemaa, ja valtakunnan romahdettua sekavat olot eivät antaneet mahdollisuuksia yliopistotoimintaan. Kauimmin antiikin matematiikka eli Bysantissa, jossa esimerkiksi Eutokios teki vielä 500-luvun alussa merkittäviä kommentaareja Arkhimedeen ja Apollonioksen töihin. Bysantissa matematiikan keskuksena oli säilynyt Platonin Akatemia, mutta keisari Justinianus I lakkautti opiston vuonna 527 pitäessään sen uusplatonistista filosofiaa uhkana kristinuskolle. Matematiikan kauneus
Pythagoras (sekä hänen koulukuntansa pythagoralaisuus) uskoivat numeroiden kirjaimelliseen olevaisuuteen. Irrationaalilukujen olemassaolon löytyminen oli heille šokki – heille sellaisten numeroiden olemassaolo, joita ei voitu esittää kahden luvun suhteena, oli luonnossa oleva virhe. Nykyajan näkökulmasta katsottuna Pythagoraan numeroiden mystinen käsittely oli paremminkin numerologiaa kuin matematiikkaa.
Platonin filosofiassa on olemassa kaksi maailmaa: todellinen fyysinen maailma, jossa me elämme, ja toinen, abstrakti maailma, joka sisältää muuttumattoman totuuden – johon kuuluu myös matematiikka. Hän uskoi todellisen maailman olevan vain abstraktin maailman heijastuma. Matematiikan filosofia
Formalismin mukaan matemaattisia väittämiä voidaan pitää väittäminä, jotka koskevat tiettyjen merkkijonojen käsittelysääntöjen seuraamuksia. Esimerkiksi ”pelissä” nimeltä Euklidinen geometria (joka koostuu ”aksioomiksi” kutsutuista merkkijonoista sekä ”päättelysäännöistä”, joiden avulla annetuista merkkijonoista voidaan tuottaa uusia merkkijonoja) voidaan todistaa, että Pythagoraan lause pätee (eli voidaan tuottaa merkkijono, joka vastaa Pythagoraan lausetta). Matemaattiset totuudet eivät koske lukuja, joukkoja, kolmioita ja niin edelleen — eivätkä oikeastaan mitään todella olemassa olevaa. Matemaattinen vitsi
Matemaattinen vitsi on huumorin muoto, jossa vitsi perustuu johonkin matemaattiseen faktaan tai stereotypioihin matemaatikoista. Yleensä vitsin tajuaminen edellyttää jonkinlaista matemaattista osaamista. Matematiikka
Matematiikan ensimmäisten vaiheiden tarkka selvittäminen on mahdotonta, sillä ihmiskunta oppi laskemaan ennen kirjoitustaidon syntyä. Niinpä mitään kirjallisia dokumentteja ensimmäisistä laskusäännöistä tai geometrisista hahmotelmista ei ole jäljellä. Matematiikan varhaishistoriaa voidaan tutkia parhaiten arkeologisten löytöjen, kielitieteen ja eläinten tarkkailun avulla. On todettu, että monet eläimet kykenevät erottamaan ainakin viittä alkiota pienempien joukkojen kokoeron. Siten voidaan olettaa, että jonkinlainen luvun käsite on hyvin vanha. Tätä tukee myös monien kielten kieliopillisen luvun jaottelu yhteen ja moneen, jossain tapauksessa kahteen ja kolmeenkin. Materiaalitiede
Materiaalitiede on luonnontieteiden ja insinööritieteiden rajapintaan sijoittuva poikkitieteellinen tutkimusala. Materiaalitiede kattaa kaikki materiaalit, metallit, puolijohteet, polymeerit, keraamit, lasit, biomateriaalit, jne. Materiaalitieteen lähialoja ovat mm. materiaalifysiikka, nanotiede, epäorgaaninen kemia, polymeeriteknologia ja lujuusoppi. Materiaalitiedettä sovelletaan kaikkialla teollisuudessa, mm. elektroniikassa, optiikassa, energiatekniikassa, koneenrakennuksessa, kemiantekniikassa ja lääketieteellisessä tekniikassa. Matematiikan filosofia
Länsimaisen matematiikan filosofian juuret ovat Platonissa, joka tutki matemaattisten olioiden ontologista asemaa, ja Aristoteleessa, joka tutki logiikkaa ja äärettömyyteen liittyviä ongelmia. Antiikin kreikkalainen matematiikan filosofia sai paljon vaikutteita geometriasta. Esimerkiksi tiettynä aikana kreikkalaiset olivat sitä mieltä, ettei 1 (yksi) ole luku, vaan ennemminkin pituuden yksikkö. Varhaiset kreikkalaiset ajatukset luvuista kuitenkin joutuivat väistymään, kun irrationaaliluvut keksittiin luvun 2 neliöjuuren löytämisen myötä. Tämä johti koko kreikkalaisen matemaattisen ajattelun uudistamiseen. Neljän tieteen kisat
Peruskoulun matematiikkakilpailu on suunnattu lähinnä yhdeksäsluokkalaisille mutta on avoin muillekin peruskoululaisille. Kouluissa pidettävän alkukilpailun perusteella valitaan 20 loppukilpailijaa, ja loppukilpailun kolme parasta palkitaan rahapalkinnoin. Matematiikan kauneus
Numeroiden ja symbolien käsittelystä saatavaa tyydytystä tarvitaan kenties kaikessa matematiikassa.
Koska matematiikkaa tarvitaan tieteessä ja tekniikassa, on todennäköistä, että mikä tahansa teknologinen yhteiskunta tukee tätä estetiikkaa, ainakin sen tieteenfilosofiassa, jos ei muualla. Geminos
Hänen matemaattiset teoksensa jakoivat matematiikan puhtaaseen ja sovellettuun matematiikkaan. Puhtaaseen matematiikkaan kuuluivat lukuteoria ja lukujen erilaiset ominaisuudet. Sovellettuun matematiikkaan kuuluivat maanmittaus, musikaalinen harmonia, optiikka, tähtitiede, mekaniikka ja kirjanpito. Tilastotieteilijä
Tilastotiede on aineistojen analysointiin ja mallintamiseen perustuva tiede, jonka juuret ulottuvat aina 1500-luvulle saakka. Aatelisherrojen uhkapeliharrastuksesta kehittyi myöhemmin todennäköisyyslaskenta. 1600-luvulla keskiaikainen yhteiskuntajärjestyksen hajoaminen sekä Euroopan johtavien valtioiden talouksien kehittyminen rahataloudeksi vauhdittivat tilastotieteen kehitystä. Oleellinen kasvu tieteenalalla tapahtui 1800-luvulla, jolloin luonnontieteet sekä yhteiskunta- ja käyttäytymistieteet kiinnostuivat tilastollisista menetelmistä. Matemaattisen tilastotieteen kehittyminen katsotaan alkaneen 1900-luvulla. Myöhemmin teknisten apuvälineiden, laskimien ja erityisesti tietokoneiden kehittyminen mahdollistivat tilastollisten menetelmien yleistymisen. Kemian filosofia
Jaap van Brakelin mukaan Kantin näkemys kemiasta on vaikuttanut merkittävästi siihen, että kemia on saanut filosofiassa fysiikkaa vähemmän huomiota. Kant ajatteli, että kemia ei ole todellinen tiede, koska se pohjautuu pelkästään kokeellisiin tuloksiin eikä sen taustalla ole matemaattista teoriaa. Myöhemmin hän tosin lievensi kantaansa. Joachim Schummer on etsinyt syitä kemian aliarvostukseen filosofian historiallisesta kehityksestä. Filosofialla tarkoitettiin 1800-luvun vaihteessa filosofisissa tiedekunnissa harjoitettuja tieteitä. Niistä suurin oli matematiikka, johon sisältyi myös soveltavaa matematiikkaa, kuten mekaniikkaa ja geometrista optiikkaa. Kemiaa ja biologiaa opetettiin pääasiassa lääketieteellisissä tiedekunnissa. Fysiikka irtautui filosofiasta 1800-luvulla ja psykologia 1900-luvun alkuun mennessä. Schummer tiivistää, että karkeasti arvioituna mitä myöhemmin tieteenala on irronnut filosofiasta, sitä enemmän sitä tutkitaan filosofiassa. Näin voidaan selittää, miksi matematiikkaa, psykologiaa ja fysiikkaa on tutkittu filosofiassa jo pitkään. Fysiikan asemaa selittää myös se, että tieteenfilosofian ammattimaistuessa 1900-luvulla suuri osa oppituoleista myönnettiin filosofisesti suuntautuneille teoreettisille fyysikoille, jotka olivat tutkineet kvanttimekaniikan tai suhteellisuusteorian filosofiaa. Biologian filosofia alkoi muodostua omaksi alakseen vasta 1970-luvulla ja kemian filosofia 1990-luvulla. Matematiikan filosofia
Monet kreikkalaisen matematiikan ajatukset säilyivät 1600-luvulle saakka. Tuolloin huomio alkoi kiinnittyä yhä enemmän matematiikan ja logiikan väliseen suhteeseen. Tämä näkökulma oli keskiössä ennen kaikkea Gottlob Fregen ja Bertrand Russellin matematiikan filosofiassa, mutta se joutui myöhemmin kyseenalaistetuksi matematiikan kehityksen myötä. 1900-luvun matematiikan filosofiaa hallitsivat kiinnostus formaaliin logiikkaan, joukko-oppiin ja matematiikan perustaan. Vuosisadan aikana matematiikan ontologiaa ja tietoteoriaa koskevat näkemykset jakaantuivat eri koulukuntiin. Tämä on johtunut erilaisista reaktioista joihinkin uusiin yllättäviin ja intuition vastaisiin löytöihin formaalin logiikan ja joukko-opin alueilla. Tämä on johtanut epäilyksiin, jonka mukaan matematiikka sellaisena kuin se on tunnettu, ja matemaattinen analyysi erityisesti, eivät ole niin varmalla ja täsmällisellä pohjalla kuin on luultu. Jotkin suuntaukset ovat pyrkineet ratkaisemaan uudet ongelmat, jotkin puolestaan ovat katsoneet, ettei matematiikka ole oikeutettu asemaansa kaikkein luotettavimman tiedon lähteenä. Elektroniikka
Laajempia määritelmiä ovat antaneet alaa tutkivat insinöörit sekä standardointijärjestö. Suomen Akatemian tieteen keskustoimikunnan elektroniikkajaoston mietintö vuodelta 1974 on seuraavanlainen: ”"Elektroniikka on teknologia, jossa puolijohdeainetta, elektroniputkia ja muita elektronisia komponentteja käytetään hyväksi toteutettaessa mitä erilaisimpia järjestelmiä, tiedonsiirtoa ja käsittelyä, koneistojen automaattista valvontaa ja ohjausta ynnä prosessisuureiden niin tieteellistä kuin käytännöllistäkin mittausta varten."”
Sähköalan kansainvälinen standardisoimisjärjestö International Electrotechnical Commission (IEC) sanoi vuonna 1956, että ”"elektroniikka on se tieteen ala, joka käsittelee sähkön johtumista tyhjiössä, kaasussa ja puolijohteessa sekä näihin ilmiöihin perustuvien laitteiden sovellutuksissa."” STEM
STEM on englanninkielinen lyhenne sanoista science, technology, engineering, mathematics. Sillä tarkoitetaan luonnontieteiden ja insinöörityön aloja. STEM-alat ovat tunnetusti miesvaltaisia. Euroopassa on verkosto EU STEM Coalition, joka fasilitoi jäsenmaiden STEM-organisaatioita ja tukee maiden STEM-strategioita. Suomen STEM-organisaatio on Maija Akselan johtama LUMA-keskus Suomi, jonka tavoitteena on innostaa ja kannustaa lapsia ja nuoria matematiikan, luonnontieteiden ja teknologian harrastamiseen ja opiskeluun uusien tiede- ja teknologiakasvatuksen avausten kautta, tukea opettajia elinikäiseen oppimiseen varhaiskasvatuksesta korkeakouluihin koko Suomessa, sekä vahvistaa tutkimuspohjaista opetuksen kehittämistyötä. Matematiikan historia
Eukleides tunnetaan parhaiten teoksestaan "Stoikheia", "Alkeet¨". Teos tunnetaan myös latinankielisellä nimellään Elementa. Se on tärkein tietolähde antiikin Kreikan matematiikasta. Alkeet on nimensä mukaisesti matematiikan perusteiden oppikirja, eikä käsittele aikansa edistyksellisintä matematiikkaa. Eukleides on kirjoittanut teoksensa aiempien tutkimusten perusteella, ja luultavasti hyvin vähän sen sisällöstä on hänen itsensä kehittämää. Eukleideen ansio on kirjan loogisessa rakenteessa ja pyrkimyksessä matematiikan perusteiden selkeään esitykseen tietyistä aksioomista lähtien. Vaikka hänen logiikkansa ei täytä nykyisiä täsmällisyysvaatimuksia, se oli antiikin matemaatikoille täysin riittävää. 13 kirjasta koostuva Elementa alkaa tasogeometrialla, sisältää Eudoksoksen suhteen määritelmän pohjalta kehitetyn verrantojen teorian ja ekshaustiomenetelmän, käsittelee lukuteoriaa ja päättyy Platonin kappaleiden käsittelyyn. Eukleides kirjoitti muitakin teoksia, jotka sisälsivät enemmän hänen omaa tutkimustaan, mutta nämä ovat pääosin hävinneet. Muiden lähteiden viittausten mukaan hän oli tutkinut ainakin kartioleikkauksia ja kehittänyt jonkinlaista analyyttistä geometriaa. Numeerinen analyysi
Numeerinen analyysi on matematiikan osa-alue, joka pyrkii löytämään likimääräisratkaisuja matemaattisiin ongelmiin, joita ei voi tai ei kannata ratkaista tarkasti. Numeerisia menetelmiä sovelletaan usein muun muassa fysiikan tarpeisiin esimerkiksi differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi. Numeerisia menetelmiä ovat esimerkiksi yhtälöiden numeerinen ratkaiseminen, approksimointi ja numeerinen integrointi. Sudoku
Sudoku on luonteeltaan matemaattista, vaikka siihen ei sisällykään aritmetiikkaa. Sudoku kuuluu yhdistelmiä laskevaan matematiikan haaraan kombinatoriikkaan. Sudoku vaatii matematiikan tavoin abstraktia ajattelua, hahmontunnistusta, loogista päättelyä ja algoritmien laatimista. Sovellettu matematiikka
Sovellusalat eivät myöskään pysy samoina ajan kuluessa; esimerkiksi lukuteoriaa, jota pidettiin aivan erityisen "puhtaana" matematiikkana, on viime aikoina käytetty salakirjoitusjärjestelmien suunnittelussa. Myös lineaarialgebran merkitys on muuttunut: 1900-luvun alkupuolella se oli vain eräs osa algebraa, jota opetettiin vain harvoille, kun taas nykyään lineaarialgebra on välttämätöntä sovellusten ja numeerisen laskennan kannalta. Principles of Mathematics
The Principles of Mathematics on Bertrand Russellin vuonna 1903 julkaisema matematiikan perusteita käsittelevä teos, jossa Russell pyrkii osoittamaan, että kaikki matematiikka voitaisiin palauttaa logiikkaan logisismin ohjelman mukaisesti. Aristoteleen matematiikka
Aristoteleen matematiikan filosofia voidaan nähdä kaikkien eksaktien tai matemaattisten tieteiden filosofiana ja monella tavalla vastakkaisena platonismille. Matematiikan Aristoteles katsoi sijoittuvan metafysiikan ja fysiikan väliselle alueelle. Aristoteles itse hyödynsi matematiikkaa useilla eri tavoilla tutkielmissaan. Ensinnäkin, hän kykeni hyödyntämään hänen aikansa matemaatikkojen tekniikoita logiikassaan. Toiseksi, hän käytti matemaattisia argumentteja joidenkin teorioidensa kuvaamiseen ja todistamiseen. Tämä pätee erityisesti fysiikan alan teorioihin. Mekaniikka
Mekaniikka on tieteenala, joka tutkii vuorovaikutuksia ja liikeilmiöitä. Mekaniikka voidaan jakaa statiikkaan ja dynamiikkaan. Mekaniikka voidaan myös jaotella kontinuumimekaniikkaan ja partikkelimekaniikkaan. Klassinen mekaniikka perustuu partikkelimekaniikkaan. Matematiikan kauneus
Unkarilainen mathemaatikko Paul Erdős (vaikkakin ateisti) puhui kuvitellusta kirjasta, johon Jumala on kirjoittanut kaikki kauneimmat matemaattiset todistukset. Kun Erdős halusi erityisesti korostaa jotain todistusta, hän toi ilmi, että "Tämä löytyy Kirjasta!" Tämä näkemys tuo ilmi sen idean, että matematiikka – olennaisena perustuksena, jolle universumimme lait on perustettu – on luonnollinen ehdokas sille, mikä on personoitu Jumalaksi eri uskonnoissa. Ohjelmistotekniikka
Ohjelmistotekniikka on tietotekniikan tieteenhaara, joka tutkii ohjelmistojen kehittämistä ja siihen liittyviä kysymyksiä. Se voidaan jakaa kahteen osa-alueeseen seuraavasti:Omana tieteenhaaranaan ohjelmistotekniikka on vielä verrattain nuori. Esimerkiksi Tampereen teknillisessä korkeakoulussa 1980-luvulla ohjelmistotekniikkaa opiskellut diplomi-insinööri valmistui matematiikan tai elektroniikan laitokselta. Geotieteet
Geotieteet, myös maatiede tai maatieteet, on yhteisnimitys luonnontieteille, jotka tutkivat Maan ja sen ilmakehän rakennetta sekä ilmiöitä. Niiden tutkimuksessa sovelletaan fysiikkaa, matematiikkaa, kemiaa ja biologiaa. Ne eivät siten kuulu selkeästi vain yhteen edellä mainituista neljästä luonnontieteen alasta, vaan ne luetellaan yleensä erillään muista luonnontieteistä. Geologia, ilmatiede ja maantiede ovat alueen keskeisimmät tutkimusalat. Näennäistiede
Tieteen ja näennäistieteen raja voi olla joskus liukuva. Tiedemies voi puolustaa teoriaansa kuin uskonkappaletta. Esimerkiksi historiantutkimuksen todistusaineisto on joskus kiistanalaista, väärennöksille altista ja monitulkintaistakin. Toisaalta näennäistieteissä (kuten astrologiassa) voidaan käyttää matematiikkaa samaan tapaan kuin oikeassa tieteessäkin. Kirjeitä nuorelle matemaatikolle
Kirjeitä nuorelle matemaatikolle () on brittiläisen matemaatikon Ian Stewartin vuonna 2006 julkaistu kirja, joka esittelee matematiikkaa alana ja urana. Stewart mainitsee teoksen olevan osittainen päivitys G. H. Hardyn teokselle "Matemaatikon apologia". Teoksen on julkaissut suomeksi Terra Cognita vuonna 2007. Sen on suomentanut Juha Pietiläinen. Alkuteoksen kustansi Basic Books. Matematiikan historia
Algebra oli ensimmäinen matematiikan ala, jossa eurooppalaiset matemaatikot ylittivät selvästi antiikin ja Arabian tutkijoiden saavutukset. Sekä Nicolas Chuquet että italialainen Luca Pacioli julkaisivat 1400-luvun lopulla laajalle levinneet algebran kokoomateokset, ja myös Saksassa julkaistiin vastaavia kirjoja. Algebran kehityksen kannalta merkittävin teos oli kuitenkin Geronimo Cardanon 1545 julkaisema Ars magna, jossa hän esittelee kolmannen ja neljännen asteen yhtälöiden ratkaisukaavat. Hän ei ollut kehittänyt niitä itse, vaan kolmannen asteen yhtälölle ratkaisun oli kehittänyt Niccolo Tartaglia tai Scipione dal Ferro, ja neljännen asteen yhtälölle Cardanon oppilas Ludovico Ferrari. Ratkaisukaavoista ei ollut suurta käytännön hyötyä, sillä neljättä korkeammankin asteen yhtälöitä oli osattu ratkaista jo aiemmin likimääräisesti halutulla tarkkuudella. Sen sijaan ratkaisukaavat pakottivat matemaatikot hyväksymään negatiiviset luvut ja niiden neliöjuuret. Aiemmin oli todettu, ettei yhtälöille, joilla on imaginaarisia juuria, ollut ratkaisua. Nyt negatiivisen luvun neliöjuuri esiintyi kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavassa eräänlaisena välivaiheena, vaikka lopputulos oli reaaliluku. Cardano osasi käyttää kaavoja ilman varsinaista kompleksiluvun käsitettä, mutta vuonna 1570 italialainen matemaatikko Rafael Bombelli esitteli imaginaariyksikön -1:n neliöjuurena ja muotoili laskusäännöt kompleksilukujen peruslaskutoimituksille. Hän käytti imaginaariyksiköstä nimityksiä "plussan miinus" ja "miinuksen miinus" riippuen sen merkistä. Matematiikan historia
1300-luvulla Euroopan tärkeimmiksi matematiikan tutkimuksen keskuksiksi nousivat Oxfordin ja Pariisin yliopistot. Vaikka matemaattisten menetelmien osaaminen ei ollut vielä samalla tasolla kuin antiikin Kreikassa ja Arabiassa, 1200- ja 1300-luvun Euroopassa syntyi lukuisia uusia ajatuksia ja näkökulmia. Geometrian ja algebran puutteellisen osaamisen takia tutkimus suuntautui skolastikkoja kiinnostaneisiin optiikkaan ja kinematiikkaan liittyvään matematiikkaan. Thomas Bradwardine (1290–1349) otti käyttöön liikelakeja tutkiessaan kokonaislukupotenssit ja kokonaislukujuuret, ja pariisilainen Nicole Oresme (1323–1382) laajensi tämän yleisiin murtolukupotensseihin ja esitti nykyisiä potenssien laskusääntöjä vastaavat lait. Hankalat merkinnät ja puutteellinen teoria estivät häntä kehittämästä irrationaalipotenssien käsitettä. Oresme kuvasi ensimmäisenä muuttuvaa suuretta koordinaatiston käyränä. Hän kuitenkin rajoittui lineaarisiin funktioihin kuvatessaan nopeutta ajan funktiona, mutta esitti, että kappaleen kulkema matka saadaan laskemalla kuvaajan alle jäävä pinta-ala. Hän yritti laajentaa ajatustaan myös kahden muuttujan funktioihin, mutta algebrallisen osaamisen puuttuessa joutui tyytymään kuvallisiin hahmotelmiin. Toinen uusi 1300-luvulla syntynyt ajatus oli päättymättömien sarjojen summan laskeminen. Oresme osoitti ensimmäisenä harmonisen sarjan hajaantuvan ja laski monien suppenevien sarjojen summia. Hänen voidaan katsoa olevan viimeinen merkittävä keskiajan eurooppalainen matemaatikko. 1300-luvun puolivälissä musta surma levisi Eurooppaan, satavuotinen sota alkoi rasittaa Ranskaa ja Englantia ja matematiikan tason nousu pysähtyi. Renessanssin alkaessa 1400-luvulla tutkimuksen keskus siirtyi Italiaan, Saksaan ja Puolaan. Fysiikka
Fysiikka (, "fysis" eli luonto) on ainetta, energiaa ja perusluonteisia luonnonlakeja tutkiva tiede. Fysiikka pyrkii löytämään luonnosta lainalaisuuksia, joita voidaan kuvata matemaattisesti ja koetella kokeellisesti. Fysiikka on luonnontiede, joka tutkii kaikkeutta käsitellen aineen, energian, avaruuden ja ajan käyttäytymistä, perusvuorovaikutuksia ja näiden muodostamia kokonaisuuksia. Tämän vuoksi fysiikkaa voidaan pitää perustavanlaatuisena tieteenä, johon muun muassa kemian, maatieteiden, biologian ja muiden luonnontieteiden ”ydintietämys” pohjautuu. Fysiikan tutkijoita nimitetään fyysikoiksi. Matematiikan historia
Kreikkalainen kulttuuri suosi tieteiden, etenkin filosofian, logiikan ja matematiikan harjoitusta. Siksi matematiikka kehittyi antiikin Kreikassa aivan uudelle tasolle verrattuna esihelleeniseen aikaan. Kreikkalaiset tekivät monia tärkeitä yksittäisiä matemaattisia löytöjä, mutta tärkeintä oli matematiikan muuttuminen omaksi tieteenalakseen, jollaisena se nykyään tunnetaan. Babyloniassa ja Egyptissä matematiikka oli ollut lähinnä käytännöllistä. Sitä ei hahmotettu abstraktina loogisena järjestelmänä, jossa tietyt aksioomat eli peruslauseet ja niistä johdetut säännöt ovat voimassa. Tämänkaltainen ajatusmalli syntyi antiikin Kreikassa. Teoreettinen ja käytännöllinen filosofia
Teoreettisen filosofian tehtävänä on tutkia olemassaoloa ja inhimillistä tietoa koskevia kysymyksiä. Siihen luetaan logiikka, ontologia, metafysiikka, tietoteoria, mielen filosofia, kielifilosofia ja tieteenfilosofia, sekä useat erityistieteiden filosofiat, kuten matematiikan filosofia. Aristoteleella teoreettisten tieteiden alaan kuuluivat myös sellaiset tieteet kuin fysiikka, tähtitiede, kemia, biologia ja psykologia. Nykyään näitä osa-alueita vastaavat omat erityistieteensä. Matemaatikon apologia
Toinen toistuva teema on matematiikan vertaaminen ”nuoren miehen peliin”. Kaikkien, joilla on matemaattisia kykyjä, tulisi kehittää ja käyttää taitojaan ollessaan nuoria, ennen kuin heidän kykynsä luoda uutta matematiikka alkaa hiipua keski-iässä. Tämä näkemys kuvastaa Hardyn kasvavaa masennusta heikkenevien matemaattisten voimien takia. Hardylle oikea matematiikka oli itsessään luovaa, ei niinkään selittävää toimintaa. Neljän tieteen kisat
Lukion matematiikkakilpailussa on kolme sarjaa. Sarjat on jaettu ikäluokittain, mutta käytännössä perussarjaan saavat osallistua lukion ensimmäisen vuosikurssin, välisarjaan ensimmäisen ja toisen vuosikurssin ja avoimeen sarjaan kaikkien vuosikurssien oppilaat. Loppukilpailuun valitaan avoimesta sarjasta 15 ja välisarjasta neljä parasta sekä perussarjan paras. Alku- ja loppukilpailun perusteella valitaan kirjevalmennusryhmä ja näistä myöhemmin valmennusryhmä, jolle pidetään yliopistolla valmennusleiri, jonka perusteella valitaan joukkue kansainvälisiin matematiikkaolympialaisiin eli IMO-kilpailuun. Uusi matematiikka
Uusi matematiikka ( tai "New Math") on nimitys, jota käytettiin 1960- ja 1970-luvuilla ensin Yhdys­valloissa, myöhemmin myös useimmissa Euroopan maissa toteutetusta varsin perusteellisesta, mutta lyhyt­aikaiseksi jääneestä koulujen matematiikan opetuksen uudistuksesta. Siihen kuului monissa maissa muun muassa joukko-opin käyttäminen keskeisenä osana matematiikan perusopetusta. Uusplatonismi
Nicolaus Cusanus laajensi platonilaista ajatusta siitä, että matematiikka oli täydellisen varmuuden muoto, radikaaliksi teesiksi, jonka mukaan matematiikka edusti jumalallisia ideoita. Tämä uusplatonilaisten laajalti omaksuma kanta muodostui kokonaisen uuden tieteen pohjaksi. Sydänkeskiajalla tieteellistä tutkimusta hallitsi kvalitatiivinen, empiirinen aristoteelinen tiede, johon oli yhdistynyt arabifilosofi Averroeksen oppi siitä, että fyysisen maailman tutkimuksen ei tulisi koskaan sisältää Jumalaa tai muuta metafysiikkaa koskevia pohdiskeluita. Vastakohtana tälle, uusplatonilaiset uskoivat, että fyysinen maailma oli perusteiltaan matemaattinen ja että tieto tästä matematiikasta tarjoaisi pääsyn jumalalliseen mieleen. Maantiede
Maantiede (kreik. "geografia", ’maan piirtäminen’) on tieteenala, joka tutkii Maan pintaa ja maan pinnalla esiintyviä sekä ihmisen että luonnon aikaansaamia ilmiöitä. Maantiede etsii näiden ilmiöiden säännönmukaisuuksia ja syitä sekä eri ilmiöiden välisiä vuorovaikutussuhteita. Maantieteen tutkimuskohteita ovat esimerkiksi Maan elollisen ja elottoman luonnon prosessit, niiden historia, väestö, kulttuuri, asutus, talous ja ympäristö sekä ympäristönmuutokset kaikissa ajan ja alueiden mittakaavoissa. Matemaattinen empirismi
Nykyaikaista matemaattista empirismiä ovat kannattaneet muun muassa W. V. O. Quine ja Hilary Putnam. Sen mukaan matematiikka on korvaamatonta empiirisille tieteille, ja jos haluamme uskoa tieteiden kuvaamien ilmiöiden olevan todellisia, meidän on uskottava myös näiden tieteiden käyttämien kuvausten vaatimiin matemaattisiin entiteetteihin. Esimerkiksi koska fysiikan täytyy puhua elektroneista selittääkseen, kuinka sähkölamppu toimii, elektronien täytyy olla olemassa. Vastaavasti, koska fysiikan täytyy käyttää lukuja elektroneja koskevissa selityksissä, lukujen täytyy olla olemassa. Tällainen näkemys on naturalistinen ja katsoo matemaattisten entiteettien olemassaolon olevan paras selitys havaintokokemuksille. Tämä kaventaa matematiikan ja muiden tieteiden välistä kuilua. Matematiikan filosofia
Nykyaikaista matemaattista empirismiä ovat kannattaneet muun muassa W. V. O. Quine ja Hilary Putnam. Sen mukaan matematiikka on korvaamatonta empiirisille tieteille, ja jos haluamme uskoa tieteiden kuvaamien ilmiöiden olevan todellisia, meidän on uskottava myös näiden tieteiden käyttämien kuvausten vaatimiin matemaattisiin entiteetteihin. Esimerkiksi koska fysiikan täytyy puhua elektroneista selittääkseen, kuinka sähkölamppu toimii, elektronien täytyy olla olemassa; vastaavasti, koska fysiikan täytyy käyttää lukuja elektroneja koskevissa selityksissä, lukujen täytyy olla olemassa. Tällainen näkemys on naturalistinen, ja katsoo matemaattisten entiteettien olemassaolon olevan paras selitys havaintokokemuksille. Tämä kaventaa matematiikan ja muiden tieteiden välistä kuilua. Ryhmä (algebra)
Ryhmiä itsessään tutkiva matematiikan ala on ryhmäteoria. Toisaalta ryhmä on algebran peruskäsite, joka toimii "rakennuspalikkana" määriteltäessä sellaisia matematiikan rakenteita kuten rengas ja kunta. Matematiikan kauneus
Matematiikan kauneudella tarkoitetaan sitä, että monet matemaatikot saavat esteettistä mielihyvää työstään ja matematiikasta yleensäkin ja kuvaavat tätä tunnetta sanomalla matematiikkaa (tai jotain sen osa-aluetta) ”kauniiksi”. Joskus matemaatikot kuvaavat matematiikkaa taiteeksi, ja sitä verrataan erityisesti musiikkiin tai runouteen. Bertrand Russell luonnehti matematiikan kauneutta seuraavasti:
Paul Erdős luonnehti matematiikan sanoinkuvaamattomuutta kirjoittaessaan: "Miksi numerot ovat kauniita? Yhtä hyvin voisi kysyä, miksi Beethovenin 9. sinfonia on kaunis. Jos joku ei näe syytä, kukaan ei voi sitä hänelle selittää. Minä "tiedän" numeroiden olevan kauniita. Jos ne eivät ole kauniita, ei mikään muukaan ole." Diskreetti matematiikka
Diskreetti matematiikka on matematiikan osa-alue, joka keskittyy diskreettien ("epäjatkuvien") rakenteiden tutkimiseen. Suurin osa tutkimuksesta keskittyy numeroituviin joukkoihin, kuten luonnollisten lukujen joukkoon. Sovellettu matematiikka
Sovellettu matematiikka on matematiikan osa-alue, jossa matematiikan tietoa soveltamalla pyritään ratkaisemaan tosielämän ongelmia. Tieteellinen vallankumous
Keskiajalla luonnonfilosofien ajatukset perustuivat pitkälti Aristoteleeseen, mutta Platonin, Epikuroksen ja muiden antiikin filosofien kuten skeptikkojen, stoalaisten, uusplatonistien ja pythagoralaisten tekstien löytäminen nakersi skolastista, humanismiin ja kirjallisuuteen perustuvaa asennetta, ja aiheutti asennemuutoksen oppineiden keskuudessa. Platonin ajatukset vaikuttivat matematiikan arvon nousuun erittäin keskeisesti. Platonin mukaisesti matematiikka nähtiin tietynlaisena perustavanlaatuisena tieteenä, joka heijasteli periaatteittensa kautta kaikkein perustavanlaatuisinta (jumalallista) alkuperää. Matematiikan ajateltiin olevan siten ainoa keino, jolla luonnosta voitiin saada oikeata ja tarkkaa tietoa. Ajan matemaatikot korostivat tätä piirrettä, sillä he katsoivat matematiikan olevan täysin immuuni skeptikkojen – joiden lukumäärä Euroopassa oli kasvamassa – epäilyjä kohtaa. Platonin ja pythagoralaisten lähteiden löytö renessanssi­aikana vaikutti eurooppalaiseen luonnonfilosofiaan kahdella tavalla. Yhtäältä se nosti algebran ja geometrian arvoon luonnon kuvaamisessa, mutta toisaalta se innosti kabbalistista lukumystiikkaa. Sarja (matematiikka)
Matematiikassa sarja on äärettömän lukujonon termien yhteenlasku. Sarjateoria on tärkeä analyysin osa-alue, ja se kehittyi differentiaali- ja integraalilaskennan rinnalla 1600-luvun lopulta lähtien. Matematiikka
Matematiikan historia on hyvin pitkä. Matematiikka on fysiikan ja tähtitieteen ohella vanhimpia tieteenaloja. Käyrä
Matematiikassa käyrä on halutulla välillä jatkuva pisteiden joukko avaruudessa. Käyrän ei välttämättä tarvitse noudattaa mitään matemaattista mallia. Yksinkertaisimmillaan käyrä on suora viiva. Fiktionalismi (matematiikka)
Osoitettuaan, kuinka tiedettä tehdään ilman matematiikkaa, Field esitteli matematiikan uudelleen ”hyödyllisenä fiktiona”. Hän osoitti matemaattisen fysiikan olevan konservatiivinen laajennos hänen ei-matemaattisesta fysiikastaan (toisin sanoen jokainen fysikaalinen tosiasia, joka voidaan todistaa matemaattisessa fysiikassa, on todistettavissa Fieldin järjestelmässä), niin että matematiikassa on kyse luotettavasta prosessista, jonka fysikaaliset sovellutukset ovat kaikki tosia, vaikkakin sen omat lauseet ovat epätosia. Näin kun harjoitamme matematiikkaa, voimme nähdä itsemme ikään kuin kertomassa kertomusta, ja puhumassa luvuista ikään kuin ne olisivat olemassa. Logiikka
Logiikka (kreikan sanasta "λογική" [logikē], johdettu sanasta "λόγος" [logos], ”sana”, ”järjestys”, ”järki”) on tieteenala, joka tutkii päättelyn ja ajattelun muotoja, erityisesti deduktiivista päättelyä. Päättely on deduktiivista, jos se säilyttää totuuden siten, että oletusten ollessa tosia johtopäätös ei voi olla epätosi. Logiikka on perinteisesti nähty filosofian osana, mutta 1900-luvulla osa logiikan saralla tehtävästä tutkimuksesta eriytyi matematiikan osaksi. Logiikan tutkimus on myös muodostunut osaksi tietojenkäsittelytiedettä. Maantiede
Maantiede jaetaan yleismaantieteeseen ja aluemaantieteeseen. Yleismaantiede jakautuu edelleen luonnonympäristöä ja myös avaruutta tutkivaksi luonnonmaantieteeksi ja maapalloa ihmisen toiminnan kenttänä tutkivaksi kulttuurimaantieteeksi. Yleismaantieteessä keskitytään etsimään syy- ja riippuvuussuhteita eri ilmiöiden välille. Aluemaantiede taas tutkii tietyin perustein hahmottunutta rajattua aluetta kuten valtiota, kuntaa tai tiettyä kulttuuripiiriä. Nämä tutkimusalueet haarautuvat edelleen tarkemmiksi kokonaisuuksiksi. Maantieteen tutkimusalue on laaja: Sillä on yhteisiä tutkimuskohteita muun muassa biologian, sosiologian, yhteiskuntatieteiden ja fysiikan kanssa.
Alla olevaan osa-alueiden luetteloon on merkitty sulkeisiin mahdollinen muu sivuava tieteenala. Jakoa fyysiseen maantieteeseen ei aina tehdä erikseen. Tällöin klimatologia, hydrogeografia ja geomorfologia tulevat eliömaantieteen rinnalle erillisiksi luonnonmaantieteen haaroiksi. Kulttuurimaantiede jaotellaan useampiin osa-alueisiin kuin tässä on esitetty, mutta jaottelukäytäntö vaihtelee.Maantieteellä on pitkät perinteet, joskin sen sisältö on aikojen saatossa kehittynyt ja muuttunut huimasti. Maapallon uskottiin pitkään olevan litteä, mikä käsitys pysyi vallalla pitkälti keskiajalle asti, vaikka jo 500-luvulla eaa. matemaatikko Pythagoras uskoi maapallon olevan todellisuudessa pyöreä. Myös antiikin ajan kuulut filosofit Platon ja Aristoteles jakoivat saman ajatuksen. Aristoteles perusteli kantaansa sillä, että Maan varjo Kuun pinnalla oli pyöreä. Lisäksi hän havainnoi, kuinka Pohjantähti sijaitsi pohjoisemmissa maissa korkeammalla kuin etelämmissä. Intuitionismi
Intuitionismi on matematiikan filosofian suuntaus, jonka mukaan matematiikka on ihmismielen konstruktiivista toimintaa. Toisin sanoen matematiikka ei koostu analyyttisestä toiminnasta, jossa olemassaolon monisyisiä syväominaisuuksia paljastettaisiin ja sovellettaisiin. Sen sijaan logiikassa ja matematiikassa on kyse sisäisesti johdonmukaisten menetelmien soveltamisesta vielä monisyisempien mentaalisten rakenteiden ymmärtämiseksi. Ohjelmistotekniikka
Ohjelmistotekniikka on kuitenkin eriytynyt omaksi tieteenhaarakseen erityisesti ehkä kahdesta syystä; ensinnäkin ohjelmistot ovat nykyään monta kertaluokkaa laajempia kuin ohjelmistot 30 vuotta sitten. Ohjelmistojen koot ovat kasvaneet tuhansista lähdekoodiriveistä jopa kymmeniä miljoonia rivejä käsittäviksi mammuteiksi, ja niiden mutkikkuus on kasvanut arviolta samassa suhteessa. Toiseksi ennen ohjelmistot olivat lähes poikkeuksetta numeerista laskentaa suorittavia sovelluksia; matematiikka oli sikäli hyvin keskeistä. Nykyään ohjelmistot tekevät lähestulkoon mitä hyvänsä, eikä niiden sovellusalueeseen liity välttämättä mitään numeerista laskentaa. Lukuteoria
Lukuteoria on yksi vanhimmista matematiikan aloista, sillä sen juuret ulottuvat kauas menneisyyteen aina 4 000 vuoden päähän. Alkuperäisessä muodossaan lukuteoria käsitteli luonnollisten lukujen ominaisuuksia, lähinnä niiden jaollisuutta. Nykyään lukuteoria keskittyy myös luonnollisia lukuja huomattavasti laajempien lukujoukkojen tutkimiseen. Matemaattinen fysiikka
Matemaattinen fysiikka on tutkimusala, jossa sovelletaan matemaattista lähestymistapaa tai matemaattisia menetelmiä, esimerkiksi matemaattista analyysia fysiikan ongelmiin. Matematiikan filosofia
Intuitionismin mukaan matematiikka on ihmismielen konstruktiivista toimintaa. Se ei koostu analyyttisestä toiminnasta, jossa olemassaolon monisyisiä syväominaisuuksia paljastetaan ja sovelletaan. Sen sijaan logiikassa ja matematiikassa on kyse sisäisesti yhdenmukaisten menetelmien soveltamisesta vielä monisyisempien mentaalisten rakenteiden ymmärtämiseksi. Sage (ohjelmisto)
Sage on useille alustoille saatava matemaattinen ohjelmisto. Se soveltuu sekä symboliseen että numeeriseen laskentaan. Sage kattaa laajasti eri matematiikan osa-alueita, muun muassa algebraa, kombinatoriikkaa, analyysia ja lukuteoriaa. Laskettavuus
Laskettavuus tai laskettavuusteoria on teoreettisen tietojenkäsittelytieteen haara, joka tutkii ongelmien ratkeavuutta ja ratkaisemisen tehokkuutta algoritmisesti. Käytännössä laskettavuusteoriassa pyritään selvittämään, voidaanko jokin ongelma ratkaista tietokoneiden avulla vai ei, ja jos voidaan, kuinka tehokkaasti. Tehokkuus voi tarkoittaa joko laskennan vaatimaa aikaa tai muistikapasiteettia. Solmuteoria
On vaikea sanoa mihin matematiikan alaan solmuteoria kuuluu. Luonnollisin lähestymistapa on ajatella solmuteorian kuuluvan algebralliseen topologiaan. Solmuteoriaa voi kuitenkin tehdä myös kombinatorisesti tutkimalla solmukaavioita esimerkiksi tasoverkkoina. Matemaatikon apologia
Nämä sovelletun matematiikan kuvaukset tarkoittavat, että niiden sovellettuus ei tee alasta ”rumaa”, ”triviaalia” ja ”tylsää”, vaan se että useimmiten juuri "rumat", "triviaalit" ja "tylsät" matematiikan alat saavat käytännön sovelluksia. Hardy kuvailee matematiikan eri aloja näillä sanoilla riippuen siitä, miten alkuperäisiä, syviä ja kauniita niiden peruskäsitteet ovat Hardyn määritelmien mukaan. Hardy painottaa tätä kommentoidessaan Carl Friedrich Gaussin nimiin pantua lausahdusta: ”Jos matematiikka on tieteiden kuningatar, lukuteoria on matematiikan kuningatar.” Joidenkuiden mielestä syynä tähän on lukuteorian äärimmäinen hyödyttömyys sovellutusten kannalta, mikä sai Gaussin kuvaamaan lukuteoriaan edellä mainitulla tavalla. Hardy kuitenkin huomauttaa, että tämä ei ole oikea syy. Vaikka lukuteorian käytännön sovellutus löytyisi, kukaan ei siitä syystä pyrkisi syöksemään ”matematiikan kuningatarta” valtaistuimelta. Hardyn mukaan Gauss tarkoitti, että lukuteorian peruskäsitteet ovat muiden matematiikan haarojen peruskäsitteitä syvemmät ja elegantimmat. Matemaattisen käsitteen sovellettavuus ei siis ollut syynä siihen, että Hardy piti sovellettua matematiikkaa puhdasta matematiikkaa alhaisempana. Syynä oli sovelletun matematiikan yksinkertaisuus ja suorasanaisuus, minkä takia Hardy kuvasi kyseistä matematiikan haaraa edellä mainitulla tavalla. Hardyn mukaan esimerkiksi Rollen lausetta, vaikka se onkin differentiaalilaskennalle jossain määrin tärkeä, ei voi verrata Leonhard Eulerin, Évariste Galois'n ja muiden puhtaiden matemaatikkojen tuottaman matematiikan hienouteen ja paremmuuteen.