Mikä on logiikassa paradoksi?
Paradoksi
Paradoksi (kreikan sanoista παρά 'vastaan' ja δοξα 'oppi' tai 'näkemys') on väite, joka on vain näennäisesti looginen tai epälooginen. Näennäisesti looginen väite voi johtaa loogiseen ristiriitaan tai järjenvastaiseen tilanteeseen. Näennäisesti epälooginen väite puolestaan voi olla loogisesti selitettävissä. Valehtelijan paradoksi
Valehtelijan paradoksi tarkoittaa filosofiassa ja logiikassa lausetta "tämä lause on epätosi". Valehtelijan paradoksi
Näyttää siltä että jos lause on tosi, se on epätosi, ja kääntäen, joten kyseessä on paradoksi. Valehtelijan paradoksi eroaa tavanomaisesta lauseesta, esim. "luku 3 on pariton", siten että se sisältää viittauksen itseensä, jolloin lausetta ei voi koota lauseen ulkopuolisista osista (luvut, oliot, käsitteet, loogiset symbolit yms.).
Zenonin paradoksit
Stadion-paradoksi koskee ”yhtä suuria kappaleita, jotka liikkuvat stadionilla yhtä suurien kappaleiden ohi vastakkaisista suunnista yhtä suurella nopeudella”, ja sen mukaan ”puolet ajasta on yhtä pitkä kuin kaksinkertainen aika”. Aristoteles
Aristoteles kehitti logiikkansa todennäköisesti Akatemiassa saamiensa kokemusten perusteella. Platon oli jo kehittänyt Sokrateen menetelmää dialektiseksi filosofiaksi, jossa totuus pyritään samaan selville kysymysten ja vastausten avulla. Aristoteles jatkoi tätä työtä, ja periaatteena hänellä oli se, että tällaisen logiikan avulla väittelijä (alun perin: sokraattiseen keskusteluun osallistuva) voi puolustaa ja kritisoida erilaisia väittämiä pelkästään niiden loogisen totuusarvon perusteella, välittämättä siitä, mitä mieltä itse on kyseisistä väittämistä. Theseuksen laiva
Theseuksen laiva on identiteetin ja muutoksen ongelmaan liittyvä korvausparadoksi, joka tunnetaan myös Theseuksen paradoksina. Se nostaa esiin kysymyksen, onko olio, jonka kaikki osat on vaihdettu, edelleen identiteetiltään sama kuin alkuperäinen olio. Doksastinen logiikka
Doksastinen (< kreik.) logiikka on käsityksiin, luuloihin tai uskomuksiin liittyvä modaalilogiikan alue.
Modaaliteetit ovat logiikassa asiantilan tai lauseen yleinen laji, joka yleisesti liittyy kysymykseen sen totuudesta. Modaliteetit muodostavat yhteenkuuluvien käsitteiden ryhmiä joista yhtenä on doksastiset eli totena pitämisen eli "uskomisen" modaliteetit ovat totenapitäminen, mielipiteen puuttuminen ja epätotenapitäminen. Paradoksi
Usein paradoksit liittyvät intuitiivisesti todeksi koettuihin asioihin. Niihin usein liittyy myös sisäänrakennettu, joskus vaikeasti havaittava oletus, systeemin rajaus tai sanojen käyttäminen eri moodeissa. Poikkeusparadoksi
Poikkeusparadoksi muistuttaa jossain määrin valehtelijan paradoksia. Samantapainen paradoksi on myös seuraava: "Jos kaikki on mahdollista, on mahdotonta että mikään olisi mahdotonta".
tai: "tiedän etten tiedä mistään mitään" Antiikin filosofia
Parmenideella oli suuri merkitys varsinaisten filosofisten ongelmien muotoilussa. Hänelle rationaalisuus tarkoitti ennen kaikkea tehtyjen päätelmien ristiriidattomuutta. Tavoitellessaan ristiriidattomuutta hän päätyi ensimmäisenä filosofina voimakkaaseen ristiriitaan arkikokemusten kanssa. Parmenideen oppilas Zenon Elealainen jatkoi tätä työtä ja esitti useita paradokseja, jotka pakottivat kyseenalaistamaan joko käytetyn logiikan tai arkikokemuksen. Herakleitos puolestaan ratkaisi ongelman toteamalla, että todellisuus itsessään on ristiriitainen. Hän sanoi kaiken maailmassa virtaavan, kun taas todellista tietoa saadaan vain muuttumattomista asioista. Grellingin–Nelsonin paradoksi
Paradoksi voidaan ratkaista muuttamatta käsitteen heterologinen merkitystä muuntamalla sen määritelmää siten, että se käsittää kaikki epäautologiset sanat paitsi sanan ”heterologinen”. Sanaan ”epäautologinen” liittyy sama paradoksi kuin sanaan ”heterologinen”, johon tämä ratkaisu ei päde, koska kielelliset säännöt määrittävät sen merkityksen sanasta ”autologinen” eroavaksi. Samankaltainen määritelmänmuutos koskien sanaa ”autologinen” (kuten sen määritteleminen ei-”epäautologiseksi” tai vastaavaksi) saattaa vaikuttaa ratkaisevan paradoksin, mutta paradoksi käsittää silti sanojen ”autologinen” ja ”heterologinen” synonyymit kuten ”itseäkuvaava” ja ”itseäkuvaamaton”, joisen merkityksiä olisi myös määriteltävä uudelleen, jolloin näillä muutoksilla olisi seuraamuksia ja niin edelleen. Grellingin–Nelsonin paradoksin poistamiseksi kielestä pelkästään sanojen ”autologinen” ja ”heterologinen” (ja niiden synonyymien) määritelmien muuntelu ei riitä, vaan siihen vaaditaan paljon enemmän kielen muuntelua. Näiden ongelmien laajuutta voidaan verrata matemaattisia joukkoja käsittelevään Russellin paradoksiin seuraavin perustein. Abilenen paradoksi
Abilenen paradoksi on esimerkki ryhmäajattelun ja avoimen kommunikaation puutteen huonoista puolista, joita hyvässä yrityshallinnossa on syytä oppia varomaan. Toisten miellyttämisen tarve voi tiimityössä johtaa huonoon päätöksentekoon. Arkisemmassa mittakaavassa ilmiö muistuttaa pariskuntaa, joka vuosikaudet on jakanut aamiaisleipänsä niin, että kantapaloja rakastava antaa kantapalat toiselle, joka itse asiassa inhoaa niitä – ja kumpikin luulee tekevänsä uhrauksen toisen hyväksi. Zenonin paradoksit
Eräs ratkaisu: Tässä tarkastellaan vain yhtä ajanhetkeä, nykyhetkeä. Aika siis pysäytetään. Koska aikaa ei kulu ja nopeus on matka jaettuna ajalla (aika ja matka siis nollia), tullaan epämääräiseen tilaan. Tarkastelemalla hetkeä, jossa aikaa ei kulu, ei ole liikettä. Nuolen liike muodostuu rajattomasta määrästä lyhyitä nykyhetkiä (joissa nuoli on lähes paikallaan (vrt. hidastus)), ei yhdestä nykyhetkestä. Kaksosparadoksi
Kaksosparadoksi on näennäinen paradoksi, joka liittyy erityiseen suhteellisuusteoriaan. Antioksidantit
Useimmat antioksidantit ovat molekyylejä, joille on tyypillistä eräänlainen syklinen reaktiosarja, jossa kyseinen yhdiste vuoroin hapettuu ja pelkistyy. Tästä seuraa paradoksi, jossa antioksidantiksi tunnettu yhdiste saattaakin toimia "pro-oksidanttina" eli hapetusreaktioita kiihdyttävänä tekijänä. Ilmiö on parhaillaan intensiivisen tutkimuksen kohteena, mutta sen merkitystä synteettisten antioksidanttilisien käytön kannalta ei tällä hetkellä tarkkaan ottaen tunneta. Saat sen mistä luovut
Tommy Hellstenin seitsemän paradoksia ovat Galileo Galilei
Galileo teki yhden pienen, mutta profeetallisen matemaattisen tuotoksen, Galilein paradoksin. Se sanoo, että on olemassa yhtä monta täydellistä neliötä kuin on kokonaislukuja, vaikka kaikki kokonaisluvut eivät ole neliöitä. Paradoksin ratkaisi 250 vuotta myöhemmin Georg Cantor. Dialektiikka
Logiikan ja dialektiikan välille on tehty erottelu, jonka mukaan logiikka tutkii kokemusta edeltäviä ajattelun lakeja. Dialektiikka sen sijaan tutkii kahden yhdessä ajattelevan ihmisen muodostamaa yhteisöä. Dialektiikka ottaa huomioon molempien keskustelijoiden kokemukset, ennakkoluulot ja taustaoletukset. Näin ollen dialektiikka mahdollistaa sen, että filosofisen keskustelun lähtökohdat voivat olla ihmisten arkisissa uskomuksissa ja käytännössä. Zenonin paradoksit
Kuvitellaan, että kappale A pysyy paikallaan, ja kappaleet B ja C liikkuvat vastakkaisiin suuntiin (B oikealle ja C vasemmalle), kumpikin yhden kappaleen osan verran suhteessa kappaleeseen A. Kappaleen A suhteen kappaleet B ja C liikkuvat lyhimmässä mahdollisessa ajassa kumpikin yhden kappaleen osan verran, mutta toisiinsa nähden ne liikkuvat kaksi kappaleen osaa. Esisokraatikot
Parmenideella oli suuri merkitys varsinaisten filosofisten ongelmien muotoilussa. Hänelle rationaalisuus tarkoitti ennen kaikkea tehtyjen päätelmien ristiriidattomuutta. Tavoitellessaan ristiriidattomuutta hän päätyi ensimmäisenä filosofina voimakkaaseen ristiriitaan arkikokemusten kanssa. Parmenideen oppilas Zenon Elealainen jatkoi tätä työtä ja esitti useita paradokseja, jotka pakottivat kyseenalaistamaan joko käytetyn logiikan tai arkikokemuksen. Herakleitos puolestaan ratkaisi ongelman toteamalla, että todellisuus itsessään on ristiriitainen. Hän sanoi kaiken maailmassa virtaavan, kun taas todellista tietoa saadaan vain muuttumattomista asioista. Aikamatkustus
Niin sanottu kaksosten paradoksi on usein toistettu havainnollistus siitä, mitä tällainen aikamatkustus merkitsisi. Tarinassa toinen nuori kaksonen jää maan päälle ja toinen lähtee valtavan nopealla aluksella avaruuteen. Toisen kaksonen palaa maan päälle ja on edelleen nuori, mutta toinen on maan päällä tullut jo vanhukseksi. Dilemma
Dilemma (, "kaksois-olettamus") eli pulma on ongelma, johon on olemassa vähintään kaksi mahdollista vastausta. Retoriikassa vastaukset ovat usein epätyydyttäviä, mutta vastausten ei välttämättä pidä olla epätyydyttäviä, jotta ongelma voitaisiin luokitella dilemmaksi. Tyydyttävätkin vastaukset tekevät siis ongelmasta dilemman. Propositiologiikassa käytettäven symbolein dilemma voidaan esittää muodossa:
formula_1
Selväsanaisesti sanottuna se tarkoittaa: ”Lause A tai lause B tiedetään todeksi, mutta molemmat tuottavat lauseen C, joten lauseiden A ja B saamista totuusarvoista riippumatta ne tuottavat joka tapauksessa lauseen C.” Zenonin paradoksit
Kuvitellaan, että Akhilleus juoksee kilpaa kilpikonnan kanssa. Hän juoksee kymmenkertaista nopeutta kilpikonnaan nähden, mutta lähtee pisteestä A, 100 jalkaa pisteestä T1 lähtevää kilpikonnaa myöhemmin. Saadakseen kilpikonnan kiinni, Akhilleuksen tulee ensin saavuttaa piste T1. Kuitenkin kun hän on saavuttanut pisteen T1, kilpikonna on edennyt 10 jalkaa pisteeseen T2. Akhilleus juoksee edelleen pisteeseen T2. Kun hän on saavuttanut tämän pisteen, kilpikonna on edelleen yhden jalan hänen edellään pisteessä T3, ja niin edelleen. Näin Akhilleus ei voi koskaan saavuttaa kilpikonnaa. Gabrielin torvi
Näennäinen paradoksi muodosti osan äärettömyyden luonteesta käydyssä keskustelussa, johon osallistuivat monet aikakauden huomattavimmat ajattelijat kuten Thomas Hobbes, John Wallis ja Galileo Galilei. Zenon Elealainen
Zenonin paradoksien yleinen ratkaisu liittyy siihen, että teorian aksioomia (systeemiä) on rajoitettu jollakin tavalla tai aksioomat on muotoiltu väärin. Tästä syystä paradoksin olemassaolo antaa yleensä uutta tietoa systeemistä, teoriasta. Esimerkiksi Akhilleus-paradoksin ratkaisu liittyy siihen, että vaikka äärellinen matka jaettaisiin äärettömän moneen osaan, matka on silti äärellinen. Paradoksi voidaan ratkaista myös yksinkertaisesti laskemalla yhtälöiden avulla piste, missä Akhilleus ohittaa kilpikonnan. Tuottavuus
Paradoksi-koulukunta tulkitsee ilmiön paradoksiksi ja esittää syitä näkemäänsä paradoksiin. Tunnetuin tutkimus jakaa tuottavuusparadoksin syyt neljään kategoriaan: työtulosten ja panostusten väärin mittaaminen, opettelemisesta ja sopeutumisesta johtuvat viiveet, saatujen tuottojen uudelleen jakaminen ja haaskaaminen sekä epäonnistunut IT-johtaminen . Zenon Elealainen
Zenonin paradokseista tunnetuin lienee nimellä "Akhilleus ja kilpikonna" -tunnettu tarina. Paradoksin mukaan nopeajalkainen Akhilleus ei kilpajuoksussa kykene koskaan ohittamaan kilpikonnaa, sillä ohittaakseen Akhilleuksen on ensin juostava siihen missä kilpikonna on. Kun Akhilleus saapuu tähän paikkaan, on kilpikonna liikkunut siitä eteenpäin. Sama toistuu kilpikonnan uuden sijainnin suhteen. Näin Akhilleus ei koskaan saavuta kilpikonnaa. Toinen tunnettu paradoksi on lentävän nuolen paradoksi, jonka mukaan lentävä nuoli ei voi olla liikkeessä, koska sen on aina oltava jossain paikassa. Jos ja vain jos
Jos ja vain jos (lyhennys: joss) on konnektiivi eli looginen yhdistäjä, jota käytetään logiikassa ja sitä soveltavilla aloilla kuten matematiikassa ja filosofiassa. Sitä käytetään ilmaisemaan, että yhden loogisen lauseen totuusarvo riippuu toisesta lauseesta niin, että toinen lause on toisen välttämätön ja riittävä ehto. Zenonin paradoksit
Paradoksia on mahdollisesti käytetty puolustamaan Parmenideen monismia sellaisia hyökkäyksiä vastaan, joissa on pyritty osoittamaan, että parmenidelaisen Yhden on sijaittava jossain muussa paikassa kuin itsessään. Zenonin paradoksit
Eino Kailan mukaan liikkeen paradoksit eivät ratkea millään kuvaustavalla, jossa liike (tai aika) hajotetaan osiin eli siirtymiseksi kohdasta A kohtaan B, koska tällöin liikkeen ”liikkuminen” kadotetaan, emmekä pysty kuvaamaan pisteiden välillä tapahtuvaa siirtymistä, koska niiden välille voidaan aina kuvitella uusi piste. Kailan mukaan liike ei ole varsinaisesti siirtymistä pisteestä toiseen, eikä aika ole siirtymistä hetkestä toiseen vaan molemmat ovat katkeamattomia kontinuumeja eli jatkumoita (Valitut teokset, 1). Vasta pysähtyessään voidaan todeta mihin pisteeseen liike päättyi. Insolubilia
Vaikka valehtelijan paradoksi tunnettiin jo antiikin aikana, filosofien kiinnostus siihen vaikuttaa sammuneen, kunnes se keksittiin uudelleen 1100-luvulla. Keskiaikainen kiinnostus saattaa olla saanut alkunsa Aristoteleen teoksesta "Sofistiset kumoamiset" (180a27-b7), jota keskiajan "insolubilia"-kirjallisuudessa lainataan toistuvasti alusta saakka. Muita antiikin ajan lähteitä, jotka olisivat periaatteessa saattaneet toimia innoituksena ongelman tutkimiseen, ovat Augustinus, Cicero, sekä Kirjeessä Titukselle oleva lainaus Epimenideeltä. Ne eivät kuitenkaan esiinny keskiaikaisessa "insolubilia"-kirjallisuudessa. Dialektiikka
Zenon Elealainen on antiikin kreikkalaisen dialektiikan isä. Filosofi kuului elealaiseen koulukuntaan, jonka parissa opiskeli. Zenon on tullut myöhemmin tunnetuksi humoristisista paradokseistaan. Näissä niin kutsutuissa Zenonin paradokseissa puolustetaan usein totunnaisia ajattelutapoja rikkovia näkemyksiä. Filosofi puolustaa paradokseissa muu muassa näkemystä, jonka mukaan liike ja moneus ovat mahdottomia. Kaksosparadoksi
Näennäinen paradoksi syntyy ajatuksesta, että Mikon ja Pekan tilanne olisi symmetrinen. Pekan koordinaatistosta käsin Mikko nimittäin liikkuu myös huippusuurella nopeudella, jolloin Pekan näkökulmasta Mikko vanhenee hitaammin. Tässä vaiheessa molemmat ovat oikeassa, sillä kaksosten omista inertiaalikoordinaatistoista katsoen toinen kaksonen todella vanhenee hitaammin, ja kaikki inertiaalikoordinaatistot ovat tasa-arvoisia. Tractatus logico-philosophicus
Wittgenstein päätyi itsekin pitämään Tractatuksen näkemyksiä kielellisinä paradokseina: Platon
Sokrateen ajatus, että hyve on käytännöllistä tietoa, tulee esille dialogissa "Protagoras" ja siihen liittyvissä pienemmissä dialogeissa. Ne luovat Platonin etiikan perustan kumoamalla yleisiä näkemyksiä, joita moraaliin ja hyveisiin liitettiin. Vaikka sanoja etiikka ja fysiikka ei edes esiinny Platonin teoksissa eikä dialektiikkaakaan esitetä erillisenä alana, Platonia voidaan silti pitää filosofian klassisen kolmijaon – dialektiikka (ja logiikka), fysiikka ja etiikka – alullepanijana. Hänellä oli todennäköisesti tavoitteenaan kehittää sokraattinen menetelmä tieteelliseksi dialektiseksi (loogiseksi metafyysiseksi) järjestelmäksi, joka tarjoaisi perustan sekä inhimilliselle tiedolle (fysiikka) että toiminnalle (etiikka). Tämän vuoksi hän erotti yleisen tietoon tähtäävän tutkimuksen ja ymmärryksen ainakin jossain määrin fysiikkaan ja etiikkaan liittyvistä asioista. Dialogeista "Theaitetos", "Sofisti", "Parmenides" ja "Kratylos" ovat etupäässä dialektisia, "Protagoras", "Gorgias", "Valtiomies" ja "Filebos" etupäässä eettisiä, ja "Timaios" käsittelee etupäässä fysiikkaa. Platonin voidaan kuitenkin nähdä olleen menestyksekkäämpi dialektiikassa ja etiikassa kuin fysiikassaan. Paradox
Paradox voi tarkoittaa muun muassa seuraavia asioita: Analogia (kielifilosofia)
Analogia, eli yhdenmukaisuus, on termi tavalle selittää asioiden yhdenmukaisuutta, verrattavuutta tai vastaavuutta. Monimutkaisia asioita voidaan selittää rinnastamalla niitä yksinkertaisimpiin tai selitettävälle tutumpiin ilmiöihin. Tällöin voidaan sekä sitä, mihin rinnastetaan, että itse rinnastamista sanoa analogiaksi. Vertaa metafora. Esimerkiksi jonkin ilmiön aiheuttamaa riippuvuutta voidaan selittää ja verrata huumeiden käytön aiheuttamaan riippuvuuteen, joka yleensä on paremmin tunnettu ilmiö. Menon (dialogi)
Tämän jälkeen Menon esittelee tietoteoreettisen ongelman, joka tunnetaan "Menonin paradoksina": Kaikkivoipaisuuden paradoksi
Ludwig Wittgensteinin mukaan kysymys, johon ei millään keinolla voida saada järkevää vastausta, on itsessään virheellinen ja epälooginen. Tällöin kysymyksen muotoa tulisi muuttaa. Peruslogiikan kannalta katsottuna Jumala ei voi tukistaa kaljua, koska teko on mahdoton eikä mahdotonta ole olemassa. Jumala ei siis inhimillisestä näkökulmasta katsottuna kykene luomaan nelikulmaista ympyrää. Sorites-paradoksi
Sumea logiikka mahdollistaa loogisten tilojen jatkumon, jossa on äärettömän monta totuusarvoa. Jatkumo voidaan jakaa alueisiin, jotka vastaavat esimerkiksi sellaisia luokkia kuin ”varmuudella kasa”, ”enimmäkseen kasa”, ”osittain kasa”, ”hieman kasa” ja ”ei kasa”. Mooren paradoksi
Mooren paradoksi on pragmatiikkaan ja logiikkaan liittyvä paradoksi. Nimeä "Mooren paradoksi" käytti ensimmäisenä tiettävästi filosofi Ludwig Wittgenstein. Esimerkiksi väite ”Sataa, mutta en pidä totena että sataa.” (= ”Sataa, mutta ei sada.”). Väite voi olla totta, mutta sanoja ei voi itse pitää totena sitä mitä sanoo. Filosofi G. E. Moore totesi, että henkilö, joka ajattelee näin, on älyllisessä umpikujassa. Mooren paradoksia tarkastellaan muun muassa Jaakko Hintikan teoksessa "Knowledge and Belief" (1962). Luettelo paradokseista
Tämä on luettelo paradokseista.Antinomiat osoittavat vikoja yleisesti hyväksytyissä aksioomissa, määritelmissä tai järkeilyssä. Suurin osa on Russellin paradoksin erityistapauksia tai muunnelmia.
Konditionaaliset paradoksit pätevät vain tiettyjen oletusten vallitessa. Jotkin näistä osoittavat tuon oletuksen vääräksi tai epätäydelliseksi, jotkin ovat muunlaisia paradokseja. Zenonin paradoksit
Liikettä vastaan suunnattujen neljän paradoksin lisäksi Aristoteles esitti myös kaksi muuta, vähemmän tunnettua paradoksia: paikan paradoksin ja hirssinjyvän paradoksin. Hirtettävän paradoksi
Tuomari kertoo kuolemaantuomitulle, että tämä hirtetään seuraavalla viikolla (ma–pe) keskipäivällä, mutta päivä tulee tuomitulle yllätyksenä. Hän ei tiedä sitä ennen kuin teloittaja koputtaa hänen sellinsä oveen hirttopäivänä keskipäivällä. Sorites-paradoksi
Kun Sorites-paradoksi esitetään joukkona ehtolauseita, joku lauseista on aina epätosi, ja muiden joukossa voi olla lauseita, jotka eivät ole enempää tosia kuin epätosiakaan. Keefen mukaan Sorites-paradoksin tapauksessa supervaluationismi välttää paradoksin, koska sen ei tarvitse hyväksyä kaikkia premissejä. Logiikka
Aristoteelinen logiikka eli syllogistiikka on yksinkertaista yksipaikkaisten (subjekti-objekti-predikaatti) väitelauseiden logiikkaa, joka erittelee syllogismeja. Syllogismi koostuu kahdesta premissistä, jotka puolestaan koostuvat kahdesta termistä ja jakavat keskenään yhteisen termin. Premisseistä edetään johtopäätökseen, joka yhdistää premissien alussa toisiinsa liittymättömät termit. Aristoteelinen logiikka kehittyi myöhemmin perinteiseksi logiikaksi eli termilogiikaksi. Kaikkivoipaisuuden paradoksi
Paradoksi esitetään usein muodossa ”Voiko Jumala luoda niin suuren kiven, ettei hän itsekään voi sitä nostaa?”. Jos hän voi luoda sellaisen kiven, hän ei voi nostaa sitä ja kääntäen. Molemmissa tapauksissa on olemassa teko, jota hän ei voi tehdä, joten hän ei ole kaikkivoipa. Insolubilia
Keskiaikainen "insolubilia"-kirjallisuus vaikuttaa pitävän näitä paradokseja vaikeina, mutta ei todella ratkaisemattomissa olevina; ja vaikka niitä pidettiin mielenkiintoisina ja tutkimisen arvoisina, niitä ei kuitenkaan pidetty logiikan keskeisenä alueena. Näin tutkimus eroaa nykyaikaisesta itseensä viittaavien paradoksien, kuten Russellin paradoksi, tutkimuksesta, koska viimeksi mainitun tapauksessa ongelmia pidetään usein pohjimmiltaan ratkaisemattomina, mutta hyvin keskeisinä logiikan perusteille. Logiikka
Logiikassa argumentit ovat lausejonoja, joiden viimeinen lause on johtopäätös edellisistä lauseista, alkuehdoista eli premisseistä. Perinteinen näkökulma keskittyy argumenttiskeemoihin. Argumenttiskeemat ovat käsitteellisiä rakenteita, joiden pätevyys perustuu niiden loogiseen muotoon. Zenonin paradoksit
Ei ole varmuutta siitä, laatiko Zenon paradoksinsa todistaakseen Parmenideen olleen oikeassa väittäessään, etteivät liike, moneus jne. ole todellisia, vai oliko paradoksien tarkoituksena lähinnä osoittaa nämä monen kreikkalaisen filosofisen koulukunnan hyväksymät käsitteet ristiriitaisiksi, mikä on auttanut elealaisen koulukunnan monismin puolustamisessa. On ehdotettu, että paradoksit olisi suunnattu esimerkiksi pythagoralaisia tai atomisteja vastaan, tai niitä vastaan, jotka kannattivat asioiden (kuten tilan tai ajan) loputonta jaettavuutta osiin. Zenonin paradoksit
Hirssinjyvän paradoksin mukaan ”mikä tahansa hirssin osa aiheuttaa äänen pudotessaan”. Aristoteleen mukaan kuitenkin ”mikään ei estä sitä, ettei tällainen osa liikuta missään ajassa sitä ilmaa, jota koko vakka liikuttaa pudotessaan. Eikä se siis vakassa liikuta edes sen suuruista osaa koko ilmasta, jota se liikuttaisi, jos se olisi itsekseen, sillä mikään osa ei edes ole olemassa koko vakassa muuten kuin potentiaalisesti”. Aika
Ajan olemuksesta, eli "Mitä aika on?", on väitelty jo antiikin Kreikan ajoista lähtien, ja filosofit ovat esittäneet siitä keskenään vastakkaisia käsityksiä. Kiistelyä on herättänyt se, onko aikaa olemassa ihmisten kellojen ulkopuolellakin vai onko se puhtaasti ihmisen luoma käsite, ja siitä, onko aika liikettä ja muutosta vai peräkkäisten hetkien sarja.
Kreikkalaisen filosofi Parmenidesin mukaan (n. 450 eaa.) aika ja liike olivat harhaa. Hänen oppilaansa Zenon Elealainen kehitti väitteiden todistamiseksi kaksi kuuluisaa paradoksia, ”Akhilleus ja kilpikonna” ja ”lentävän nuolen paradoksi”. Pari sukupolvea myöhemmin elänyt Platon uskoi, että aika oli luotu yhdessä maailmankaikkeuden kanssa ja oli olemassa itsenäisesti. Hän piti aikaa tyhjänä säiliönä, joka voitiin täyttää siinä liikkuvilla asioilla ja tapahtumilla. Hänen oppilaansa Aristoteleen mukaan aikaa ei kuitenkaan ole olemassa tapahtumista riippumatta, vaan aika on muutosta ja liikettä. Aristoteles päätteli, että aika ei koostu peräkkäisistä jakamattomista ”nyt”-hetkistä, kuten Zenon nuoliparadoksinsa kautta oli pyrkinyt sanomaan. Aristoteleen mukaan nyt-hetkien sarjaa ei ole olemassa, koska sellaiset hetket eivät ole voineet kadota oman kestonsa aikana tai seuraavassa nyt-hetkessä. Modaalilogiikka
Modaalilogiikka ("aleettinen modaalilogiikka") on logiikan alue, jolla tutkitaan aleettisten modaliteettien eli välttämättömyyden ja mahdollisuuden loogisia piirteitä. Usein termi "modaalilogiikka" ymmärretään kokonaisnimityksenä kaikkien modaliteettien logiikoille. Muita modaliteetteja ovat muun muassa episteeminen, temporaalinen ja deonttinen. Condorcet’n paradoksi
Esimerkki: Äänestäjät A, B ja C valitsevat vaihtoehdoista x, y ja z.Tällöin parivertailuissa havaitaan, että kahden kolmasosan mielestä x on parempi kuin y, kahden kolmasosan mielestä y on parempi kuin z, ja kahden kolmasosan mielestä z on parempi kuin x. Condorcet’n menetelmän mukainen paremmuusjärjestys olisi siis x > y > z > x, mikä muodostaa päättymättömän kehän rationaalisen järjestyksen sijasta. Ilmiötä kutsutaan enemmistöpreferenssien intransitiivisuudeksi. Jos esimerkkitilanteessa äänestettäisiin yhdestä parista kerrallaan, voittajaksi voisi päätyä mikä tahansa kolmesta vaihtoehdosta riippuen siitä, missä järjestyksessä äänestykset suoritettaisiin. Filosofisia muruja
Kolmas luku käsittelee ”absoluuttista paradoksia”, hullutusta, jonka Jumalan lihaksituleminen saa aikaan. Neljäs ja viides luku käsittelevät oppilaan ja opettajan välistä suhdetta. Sorites-paradoksi
Sorites-paradoksi (< , "sōros", kasa, pino; adj. , "sōritēs") tai Eubulideen paradoksi on kielellinen paradoksi, joka syntyy monien predikaattien epämääräisyydestä: emme osaa sanoa täsmällisesti missä vaiheessa jokin pienistä eroista kasautuva ominaisuus muuttuu toiseksi tai lakkaa olemasta. Zenonin paradoksit
Paikan paradoksin mukaan ”jos kaikki oleva on jossakin paikassa, on selvää, että on olemassa myös paikan paikka ja näin äärettömästi”. Jumalan olemassaolo
"Kaikkivoipuuden paradoksi" eli kaikkivoivan paradoksi on ryhmä paradokseja, jotka käsittelevät sitä, mitä kaikkivoipa olento voi tehdä. Erityisesti ne käsittelevät sitä, pystyykö kaikkivoipa olento toimimaan siten, että se rajoittaa hänen kaikkivoipuuttaan. Pystyi olento siihen tai ei, kaikkivoipuus voidaan kyseenalaistaa molemmissa tapauksissa. Modaliteetti
Aristoteelisessa logiikassa ”apodiktinen” on ”dialektisen” vastakohta: tieteellinen todistaminen asettuu todennäköisyyksiin ja mahdollisuuksiin liittyvää päättelyä vastaan. Immanuel Kant asetti apodiktisen assertorista ja problemaattista vastaan teoksessaan "Puhtaan järjen kritiikki". Dialektiikka
Filosofi käyttää paradokseissaan hyödykseen menetelmää, jota on kutsuttu matematiikan alueella epäsuoran todistamisen menetelmäksi. Epäsuoran todistamisen menetelmä tarkoittaa sitä, että keskustelussa pyritään osoittamaan tietyn väitteen seuraukset ristiriitaisiksi. Kun keskustelussa on osoitettu, että tietyllä näkemyksellä on ristiriitaisia seurauksia, näin voidaan päätellä että sen vastakohta on totta. Grellingin–Nelsonin paradoksi
Oletetaan, että kuvailevat sanat (kuten adjektiivit) voidaan luokitella ”autologisiksi” ja ”heterologisiksi” seuraavasti:Vaikuttaisi siltä, että kaikki adjektiivit voidaan luokitella auto- tai heterologisiksi, koska jokainen adjektiivi joko kuvaa itseään tai ei. Grellingin–Nelsonin paradoksi ilmenee, kun yritetään luokitella sanaa ”heterologinen”. Esimerkiksi kuvitteellisen ”pönkihtävä”-sanan autologisuutta voidaan kokeilla määrittämällä, onko ”pönkihtävä” pönkihtävä sana. Jos vastaus on ”kyllä”, ”pönkihtävä” on autologinen. Jos vastaus on ”ei”, se on heterologinen. Toisaalta voidaan kysyä onko ”heterologinen” heterologinen sana. Jos vastaus on ”kyllä”, ”heterologinen” on autologinen (mikä johtaa ristiriitaan). Jos vastaus on ”ei”, ”heterologinen” on heterologinen (mistä seuraa taas ristiriita, koska ei-heterologinen eli autologinen sana kuvaisi itseään). Zenonin paradoksit
Dikotomia-paradoksin mukaan liike on mahdotonta, koska ”paikan suhteen liikkuvan täytyy saapua matkan puoliväliin, ennen kuin se saapuu perille”. Tämä puoliksi jakaminen jatkuisi loputtomiin. Argumentum ad logicam
Argumentum ad logicam on argumentaatiovirhe, joka merkitsee premissivirhepäätelmää; se tunnetaan myös nimellä ”argumentointi virhepäätelmään vedoten”. Sen yleinen kaava on:Tässä Y:n vastalause X:n non sequiturista on kyllä totta ja argumenttina validi, mutta siitä kuitenkaan ei seuraa, etteikö Misse voisi olla kissa. Loogisesti tämä tilanne on NOTin käyttöä tilanteessa, jossa operandin pitäisi olla OR. Siispä Y syyllistyy "argumentum ad logicamiin". Gottfried Leibniz
Leibniz on merkittävin loogikko Aristoteleen ja vuoden 1847, jolloin Boole ja De Morgan julkaisivat nykyaikaisen logiikan alullepanneita teoksia, välisenä aikana. Leibniz määritteli keskeisiä ominaisuuksia, joita nykyään kutsutaan sellaisilla nimillä kuin konjunktio, disjunktio, negaatio, identiteetti, osajoukko ja tyhjä joukko. Leibnizin logiikka ja periaatteessa koko hänen filosofiansa voidaan palauttaa kahteen periaatteeseen:Mitä kohtaan (1) tulee, yksinkertaisten ajatusten joukko on paljon suurempi kuin mitä Leibniz ajatteli. Kohdan (2) suhteen Leibniz oli oikeassa siinä, että logiikan voidaan katsoa perustuvan symmetrisiin yhdisteisiin, mutta ne eivät vastaa sen enempää yhteen- kuin kertolaskuakaan. 1900-luvun alkupuolella muotoutunut formaali logiikka vaatii vähimmillään myös negaation sekä kvantifioitujen muuttujien käyttöä. Curryn paradoksi
Curryn paradoksin nimellä kulkee myös taikuri Paul Curryn vuonna 1953 tuottama 13*5 kokoinen suorakulmainen kolmio, joka leikataan osiksi, jotka uudelleen järjestelyllä sopivat täysin 13*5 suorakulmaiseen kolmioon siten, että yksi neliö jää tyhjäksi.
Kolmiosta esiintyy myös versio, jossa on tasakylkinen kolmio (joka koostuu itse asiassa kahdesta Curryn kolmiosta), jonka kanta on 10 ja korkeus 12. Tällöin tyhjä kahden ruudun tila muodostuu uudelleenjärjestelyllä tasakylkisen kolmion keskelle. Curryn paradoksi
Lista itsessään ei ole paradoksaalinen, kolmas kohta on. Oletetaan että väite "listan kolmas kohta on tosi" pätee. Tällöin tiedämme että "jos listan kolmas kohta on tosi, on koko lista tosi" on tosi, koska juuri totesimme kolmannen kohdan pätevän. Tästä voimme päätellä että koko lista on tosi, jolloin kolmas kohta on tosi, jolloin listan jokainen kohta on tosi... Principles of Mathematics
Keväällä 1901 Russell kuitenkin löysi teorian rakenteesta loogisen virheen, joka tunnetaan Russellin paradoksina, ja lisäsi sen käsittelyn teoksen kymmenenneksi luvuksi. Hän työskenteli teoksen parissa vielä vuoden, ja se valmistui lopulta kesäkuussa 1902. Tämän jälkeen hän ilmoitti Gottlob Fregelle löytämästään paradoksista. Joulukuussa 1902 Russell kirjoitti teoksen esipuheen, ja teos valmistui painosta toukokuussa 1903. Kaikkivoipaisuuden paradoksi
Kaikkivoipaisuuden paradoksi eli kaikkivoivan paradoksi (omnipotentin paradoksi) on ryhmä paradokseja, jotka käsittelevät sitä, mitä kaikkivoipa olento voi tehdä. Erityisesti ne käsittelevät sitä, pystyykö kaikkivoipa olento toimimaan siten, että se rajoittaa hänen kaikkivoipaisuuttaan. Pystyi olento siihen tai ei, kaikkivoipaisuus voidaan kyseenalaistaa molemmissa tapauksissa. On esitetty erilaisia näkemyksiä paradoksin premissien virheellisyydestä. Kaikkivoipaisuuden paradoksi
Sen sijaan siitä, että ”"x" ei voi luoda niin suurta kiveä, ettei "x" voi sitä nostaa”, ei seuraa, että olisi jokin teko, jota "x" ei voisi tehdä. Kyseinen lause tarkoittaa loogisesti samaa kuin ”Jos "x" voi luoda kiven, "x" voi sen nostaa.” Epikuros
Epikuroksen ajattelu on jättänyt vaikutuksia koko länsimaisen ajattelun historian varrelle. Epikuroksen paradoksiksi kutsuttu pahan ongelma on kuuluisa perustelu jumalan olemassaoloa vastaan. Curryn paradoksi
Curryn paradoksi menee seuraavasti; Implikaatio
Logiikassa puhutaan yleensä materiaalisesta implikaatiosta, joka on totuusarvoltaan tosi, kun sen etujäsen on totuusarvoltaan epätosi tai takajäsen tosi. Sama voidaan ilmaista myös niin, että implikaatio on epätosi ainoastaan siinä tilanteessa, että sen etujäsen on tosi samalla kun sen takajäsen on epätosi – ”todesta ei seuraa epätosi”. Ekvivalenssista implikaatio eroaa siten, että ekvivalenssi (”jos ja vain jos…niin”) on tosi vain silloin, kun lauseet ovat joko molemmat tosia tai molemmat epätosia, implikaatio myös silloin, jos etujäsen (ehto) on epätosi mutta takajäsen tosi. Matematiikan filosofia
Logisismi on näkemys, jonka mukaan matematiikka on palautettavissa logiikkaan, ja siksi vain logiikan osa-alue. Logisistien mukaan matematiikka on tunnettavissa "a priori" ja analyyttisesti. Näin logiikka on matematiikan oikea perusta, ja kaikki matemaattiset totuudet ovat välttämättä loogisia totuuksia. Joukko-oppi
Joukko-opin toinen tärkeä kehitysvaihe sattui 1900-luvun alkuun, kun havaittiin, että Cantorin joukko-oppi johti erinäisiin risti­riitoihin, joita sanotaan anti­nomioksi tai para­dokseiksi. Bertrand Russell ja Ernst Zermelo löysivät toisistaan riippumatta yksin­kertaisimman ja tunnetuimman paradoksin, jota nykyisin tunnetaan Russellin paradoksina. Se käsittelee kaikkien niiden joukkojen joukkoja, jotka eivät ole itsensä alkioita, mikä johtaa risti­riitaan, sillä tämän joukon olisi oltava itsensä alkio siinä ja vain siinä tapauksessa, ettei se sellainen ole. Vuonna 1899 Cantor oli itse asettanut kysymyksen siitä, mikä on kaikkien joukkojen joukon kardinaliteetti, ja havaitsi myös tämän kysymyksen johtavan paradoksiin. Russell käytti para­doksiaan teemana vuonna 1903 laatimassaan yhteen­vedossa manner­maisesta matematiikasta "The Principle of Mathematics" opuksessaan. Logiikka
Propositiologiikka eli lauselogiikka tai lausekalkyyli on logiikan alue, jossa tutkitaan propositiosymboleja (kuten formula_1, formula_2, formula_3) sekä luonnollisen kielen lausekonnektiiveja (kuten ”ei”, ”ja” ja ”tai”) vastaavia loogisia konnektiiveja (kuten formula_4) sisältävien formaalikielen lauseiden ominaisuuksia. Näistä ominaisuuksista keskeisimpiä ovat totuus ja lauseiden väliset päättelysuhteet. Propositiologiikka on välttämätön pohja kaikille muille logiikan lajeille. Hirtettävän paradoksi
Hirtettävän paradoksi on looginen paradoksi, jonka voi sanallisessa muodossa esittää näin: Condorcet’n paradoksi
Useat 1900-luvun politiikantutkijat ovat todenneet, että Condorcet’n paradoksi syntyy yleensä tilanteissa, joissa äänestäjät hahmottavat vaihtoehdot useamman kuin yhden poliittisen ristiriitaulottuvuuden (esim. vasemmisto–oikeisto-ulottuvuus) kautta. Aasialainen paradoksi
Aasialaiseksi paradoksiksi nimetään myös sitä, että Intiassa diabetes ja sydäntaudit ovat kaupungeissa yleisempiä kuin ravinnon rasvamäärä ja lihavuus edellyttäisivät. Uudet riskitekijät voivat myös selittää tautien runsautta. Logiikka
Varhaisin matematiikan ja geometrian käyttö logiikassa ja filosofiassa löytyy jo antiikin Kreikasta Eukleideelta, Platonilta ja Aristoteleelta. Rohkein yritys soveltaa logiikkaa matematiikkaan on epäilemättä ollut filosofi-loogikoiden Gottlob Frege ja Bertrand Russell logisismi. Heidän ajatuksensa oli, että matemaattiset teoriat olivat loogisia tautologioita, ja he pyrkivät osoittamaan tämän palauttamalla matematiikan logiikkaan. Tämä kuitenkin epäonnistui, mistä esimerkkinä Fregen ohjelman lamaannuttanut Russellin paradoksi ja Hilbertin ohjelman romuttanut Gödelin epätäydellisyyslause. Galilein paradoksi
Molemmissa joukoissa on äärettömästi alkioita. Intuitiivisesti näyttäisi A kuitenkin sisältävän enemmän alkioita kuin B, sillä A:ssa on äärettömästi "virtuaalialkioita", joita ei ole B:ssä. Matemaattisesti ovat A ja B ovat yhtä mahtavat. Tässä tapauksessa on kyseessä ns. numeroituva äärettömyys. Paradoksi
Monet paradoksit ovat olleet merkittäviä matematiikan, logiikan ja filosofian sekä erityisesti uskontojen historiassa. Russellin paradoksi
Formaalisti Russelin paradoksi määritellään seuraavasti: Oletetaan, että joukon M alkioita ovat kaikki sellaiset (normaalit) joukot, jotka eivät kuulu itseensä. Joukko A on siis joukon M alkio vain, jos joukko A ei ole itse oma alkionsa. Paradoksi seuraa kysymyksestä, kuuluuko joukko M tällöin yhtenä alkiona itseensä? Jos kuuluisi, niin ei tulisi M:n oman määritelmän perusteella kuulua; jos taas ei kuulu, niin silloin tulisi saman määritelmän mukaan kuulua. Logiikka
Looginen analyysi voi usein "paljastaa" jonkin todellisuutta koskevan piilevän oletuksen, kuten tässä sen, että miehet eivät ole naisia. Esimerkin 3 päättely voi joissakin yhteyksissä olla pätevää, esimerkiksi uimahallissa Eskon pohtiessa kumpaan pukuhuoneeseen hänen tulisi mennä. Mutta loogisesti pätevää, deduktiivista se ei ole. Turingin kone
Tähän liittyy Kurt Gödelin vuonna 1931 esittämä epätäydellisyyslause, jonka mukaan matematiikassa on väistämättä paradokseja, jotka johtavat siihen että matematiikan ristiriidattomuutta ei voi todistaa. Tämä johtaa siihen, että on olemassa lauseita, jotka ovat tosia, mutta niitä ei voi todistaa. Hirtettävän paradoksi
Hirtettävän paradoksille ei ole löydetty täysin yleisesti hyväksyttyä selitystä ja sitä pidetään yksinkertaisesta muodostaan huolimatta hyvin mutkikkaana. Epimenides
Edellä mainittu kohta Epimenideen runosta "Kretika" on antanut myös nimen paradoksille, joka tunnetaan nimellä "Epimenideen paradoksi". Se on yksi versio ns. valehtelijan paradoksista. Parakonsistentti logiikka
Parakonsistentteja logiikoita voidaan käyttää formalisoimaan päättelyä, joka käyttää informaatiota, joka on keskenään ristiriitaista. Parakonsistentit loogikat eivät ole klassisen logiikan laajennus, vaan päinvastoin ne ovat aleettisesti konservatiivisempi lähestymistapa logiikkaan. Kuitenkin parakonsistentin logiikan pohjalta on mahdollista argumentoida esimerkiksi ”tosien ristiriitojen” ("dialetheia") puolesta. Symbolinen logiikka
Se luetaan seuraavasti "Otsikko on tosi, jos Runko tulee todeksi". Säännön runko koostuu predikaattikutsuista, joita sanotaan säännön tavoitteiksi (goal). 
Prologin sisäänrakennettu toiminto pilkku (codice_1) tarkoittaa logiikan konjuktiota, kun taas puolipiste (codice_2) tarkoittaa disjunktiota. Konjunktioita ja disjunktioita voi esiintyä runko-osassa, mutta ei säännön otsikossa. Valehtelijan paradoksi
Valehtelijan paradoksi liitetään usein antiikin Kreikan kreetalaiseen Epimenideehen, jonka väitetään esittäneen sen muodossa "Kaikki kreetalaiset ovat valehtelijoita". Nykyisin tunnetussa muodossa paradoksin muotoili ensimmäisenä Eubulides. Keskiajan filosofiassa paradoksin ja sen muunnelmien käsittely synnytti oman "insolubilia"-kirjallisuutensa. Grellingin–Nelsonin paradoksi
Loogisesti esitettynä sanan ”autologinen” tilanne on seuraava: Kaikkivoipaisuuden paradoksi
Tämä ei silti tarkoita, että kaikkivaltiaan Jumalan täytyisi rajoittua peruslogiikan sääntöihin, jos hän on ajan ja materian ulkopuolella. Tällöin Jumala kykenisi tekemään asioita, jotka ovat hänelle mahdottomia siitä yksinkertaisesta syystä, että hän pystyy mihin vain. Inhimillisestä näkökulmasta ei siis ole väliä kuinka tämä tapahtuu, koska sen ei tarvitse olla loogisesti mahdollista. Raamatun Jumalan kaikkitietävyyttä ei selvästikään rajoita ihmisen vapaa tahto, sillä Jumala tietää huomisen samoin tavoin kuin ihminen muistaa eilisen. Alan Ross Anderson
Logiikan filosofian suhteen Anderson oli platonisti (tai realisti). tai looginen monisti; hän katsoi, että on olemassa ”yksi tosi logiikka” ja uskoi sen olevan relevanssilogiikka. Dialektiikka
Kun ihminen yrittää muodostaa todellisuudesta kokonaisnäkemyksen, dialektiikka synnyttää ns. järjen antinomiat. Antinomia tarkoittaa loogista ristiriitaa tai paradoksia. Kantin mukaan antinomiat syntyvät siitä, että järki pyrkii saattamaan loppuun kaikki havaintosarjat niin, että muodostaisi niistä kokonaisuuden. Kokemus ei kuitenkaan voi saattaa loppuun kaikkien sarjojen kokonaisuuksia. Kantin mukaan järki ei voi saattaa loppuun sarjoja silloin, kun ihminen pyrkii ymmärtämään esimerkiksi Jumalaa tai pohtii aineen loputonta jaettavuutta. Logiikka
Logiikka (kreikan sanasta "λογική" [logikē], johdettu sanasta "λόγος" [logos], ”sana”, ”järjestys”, ”järki”) on tieteenala, joka tutkii päättelyn ja ajattelun muotoja, erityisesti deduktiivista päättelyä. Päättely on deduktiivista, jos se säilyttää totuuden siten, että oletusten ollessa tosia johtopäätös ei voi olla epätosi. Logiikka on perinteisesti nähty filosofian osana, mutta 1900-luvulla osa logiikan saralla tehtävästä tutkimuksesta eriytyi matematiikan osaksi. Logiikan tutkimus on myös muodostunut osaksi tietojenkäsittelytiedettä. Parallelismi (filosofia)
Parallelismi on esiintynyt filosofian historiassa ennen kaikkea kahdessa muodossa: joko Jumala on säätänyt tapahtumien koordinoinnin etukäteen (Gottfried Leibnizin ennalta-asetetun harmonian periaate), tai Jumala säätää koordinoinnin tapahtumien sattuessa (Nicolas Malebranchen okkasionalismi). Russellin paradoksi
Russellin paradoksin keksiminen johti aksiomaattisen joukko-opin keksimiseen. Nykyään puhutaankin, että "M = { x : x∉x }" on luokka eikä joukko. Aksiomaattisen joukko-opin kehittämiseen vaikutti suuresti Kurt Gödel. Hän todisti epätäydellisyyslauseensa todeksi ja todisti samalla, ettei matematiikkaa voi osoittaa sisäisesti täysin ristiriidattomaksi. Myös Alan Turing käytti Gödelin tulosta todistaessaan pysähtymisongelman ratkaisemattomuuden. Newcombin paradoksi
Paradoksi kuuluu seuraavasti: Mahtiolento toisesta galaksin osasta antaa sinulle kaksi laatikkoa: ensimmäinen on auki ja toinen suljettu. Avoimessa laatikossa on tuhannen dollarin seteli. Suljetussa laatikossa on joko miljoona dollaria tai ei mitään. Saat valita joko molemmat laatikot tai pelkän suljetun laatikon. Zenonin paradoksit
Samanlaisuutta ja erilaisuutta koskevan argumentin mukaan jos on olemassa monia asioita, niiden täytyy olla sekä samanlaisia että erilaisia keskenään, mikä on ristiriitaista. Argumentista ja sen perusteluista ei kuitenkaan tiedetä mitään muuta. Georg Cantor
Cantorin ajatukset kohtasivat matemaatikkopiireissä runsaasti vastustusta. Cantorin vastustajista tunnetuimpia oli Leopold Kronecker. Henri Poincarén väitetään sanoneen: "Tulevat sukupolvet toteavat, että joukko-oppi oli sairautta, josta olemme onneksi parantuneet". Osaksi vastustuksen voidaan katsoa johtuneen matemaatikoiden piintyneistä ajatustavoista ja ennakkoluuloista. Joukon käsitteen epämääräisyys antoi kuitenkin pian aihetta myös vakaville vastaväitteille. Merkittävät loogiset paradoksit, joista tunnetuimpia lienee Russellin paradoksi, osoittivat "liian suuriin" joukkoihin liittyvän erittäin vakavia loogisia ongelmia. Russellin paradoksi syntyy, kun ajatellaan muodostettavaksi joukko, jonka alkioina ovat ne joukot, jotka eivät ole itsensä alkioita. Tällöin kyseinen joukko on itsensä alkio, jos ja vain jos se ei ole itsensä alkio. Paradoksien vuoksi matemaatikoiden oli lähdettävä etsimään joukko-opille sellaista aksiomaattista perustaa, jonka avulla paradoksit tai niitä aiheuttavat joukot voitaisiin sulkea teoriasta pois. Aksiomaattista lähestymistapaa kehitti saksalainen Ernst Zermelo (1871–1956). Bertrand Russell ja Alfred North Whitehead ja kehittivät "Principia Mathematica" -teoksessaan (1910–1913) samaan tarkoitukseen joukkoja luokittelevan tyyppiteorian. Zenonin paradoksit
Kuvitellaan, että nuoli lentää yhtämittaisesti eteenpäin jonkin ajan verran. Jos otetaan mikä tahansa hetki kyseisenä aikana, on mahdotonta, että nuoli lentäisi tuolloin, koska kyseisen hetken pituus on nolla. Näin nuoli ei voi olla kahdessa paikassa yhtä aikaa. Jokaisella ajan hetkellä nuoli on yhtä liikkumaton, ja näin se on liikkumaton koko kyseisenä aikana lentäessään. Mooren paradoksi
Wittgensteinin mukaan henkilö, joka toimii Mooren paradoksin mukaisesti, syyllistyy oman väitteensä ns. epistemologiseen häpäisyyn. Kaukovaikutus
Tämä ajatuskoe, joka tunnetaan EPR-paradoksina, perustuu lokaliteetin peri­aatteeseen. Paradoksi esitetään usein seuraavassa muodossa: kaksi hiukkasta vuoro­vaikuttaa ja lentää sen jälkeen päinvastaisiin suuntiin. Vielä sittenkin, kun hiukkaset ovat niin kaukana toisistaan, että mikään klassinen vuoro­vaikutus niiden välillä ei olisi mahdollinen, toisen hiukkasen mittaaminen kuitenkin määrittää toista hiukkasta koskevien mittausten tulokset. Tämä näyttää olevan ristiriidassa sen suhteellisuusteorian perus­peri­aatteen kanssa, ettei mikään signaali kahden paikan välillä voi kulkea valoa nopeammin. Einstein kutsui tätä kvantti­mekaniikan ennustamaa ilmiötä, jonka hän yritti osoittaa mahdottomaksi, "aavemaiseksi kaukovaikutukseksi." Numeroituva joukko
Edelliseen esimerkkiin sisältyy paradoksi (katso Galilein paradoksi), joka on kiehtonut matemaatikkoja toista sataa vuotta. Miten voi parillisia lukuja olla yhtä monta kuin luonnollisia lukuja? Eikö parillisia lukuja ole puolet vähemmän kuin luonnollisia lukuja? Cantorin ajatusleikki parinmuodostuksesta osoittaa kuitenkin, että kumpikin lukujoukko on ehtymätön ja jokaiselle alkiolle löytyy aina toisesta lukujoukosta pari. Äärettömien joukkojen tapauksissa joukon "kokoa" kutsutaankin joukon "mahtavuudeksi" erotukseksi äärellisten joukkojen koosta. Äärettömän joukon kokoa ei arvoida numeerisesti vaan sen mahtavuutta arvioidaan vertailujoukon avulla. Vertailun tulos on, että toinen joukko on yhtä mahtava tai mahtavampi kuin toinen joukko. Joukot voidaan asettaa mahtavuusjärjestykseen vertailun avulla.