Mikä on Boltzmannin vakio?
Boltzmannin vakio
Boltzmannin vakio ("k" tai "k") on fysiikan vakio, joka suhteuttaa lämpötilan energiaan molekyyliä kohti. Se on nimetty itävaltalaisen fyysikon Ludwig Boltzmannin mukaan, joka teki merkittävää työtä statistisen fysiikan teorian parissa, missä tällä vakiolla on suuri merkitys. Boltzmannin vakio kertoo kaasuvakion formula_1 suhteen Avogadron vakioon formula_2, eli
Fuhrmannin lause
Olkoon konveksi ympyrän sisään piirretyn kuusikulmion (vertaa edelle selostettuun) sivut formula_1 ja olkoon kuusikulmion lävistäjät formula_2 ja formula_3 valittu siten, että janoilla formula_4 ja lävistäjällä formula_5 ei ole yhteistä kuusikulmion kärkeä (keskilävistäjä ja vastakkaiset sivut), ja vastaavasti samoin on janoilla formula_6 ja lävistäjällä formula_7 sekä niin on myös janoilla formula_8 ja lävistäjällä formula_3. Tällöin on lävistäjien tulolle on aina voimassa Eulerin–Mascheronin vakio
Sitä merkitään yleensä pienellä kreikkalaisella kirjaimella γ (gamma), ja sen likiarvo 20 desimaalin tarkkuudella on 0,57721566490153286061. Ei tiedetä, onko γ rationaali- vai irrationaaliluku. Vakiota kutsutaan myös joskus Eulerin vakioksi, mutta sitä ei pidä sekoittaa "e":n, joka tunnetaan paremmin Neperin lukuna, kanssa. Hiukkasfysiikan standardimalli
Standardimallissa yhdistetään sähkömagneettisen ja heikon vuorovaikutuksen kuvaava teoria sähköheikosta vuorovaikutuksesta ja vahvan vuorovaikutuksen kuvaava kvanttikenttäteoria, kvanttikromodynamiikka. Nämä teoriat ovat mittateorioita, eli ne kuvaavat fermionien välillä vaikuttavia voimia voiman välittävän bosonin (mittabosonin) avulla. Standardimallin bosonit ovat:Osoittautuu, että mittabosonien mittamuunnokset voidaan kuvata täsmällisesti "mittaryhmäksi" kutsutun unitaarisen ryhmän avulla. Vahvan vuorovaikutuksen mittaryhmä on SU(3) ja sähköheikon vuorovaikutuksen SU(2)×U(1). Siten standardimalli pohjautuu yhdistettyyn sisäiseen symmetriaan SU(3)×SU(2)×U(1), joista ensimmäinen kuvaa värivoimaa ja kaksi viimeistä yhdessä heikkoja ja sähkömagneettisia vuorovaikutuksia. Sähköheikko symmetria on rikkoutunut siten, että sähkömagneettiseen vuorovaikutukseen liittyvä symmetria jää tarkaksi jäännössymmetriaksi ja täten sähkömagneettista vuorovaikutusta välittävä fotoni on massaton. Heikkoa vuorovaikutusta välittävät hiukkaset puolestaan saavat massan symmetriarikossa, josta on vastuussa Higgsin bosoni, teorian ainoa bosoni joka ei ole mittabosoni. Higgsin hiukkasta ei ole toistaiseksi havaittu kokeellisesti, ja sen löytäminen on kokeellisen fysiikan suurimpia tavoitteita. Heinäkuussa 2012 CERNin tutkijat ilmoittivat löytäneensä uuden bosonin, jonka ominaisuudet sopivat hyvin yhteen standardimallin ennustaman Higgsin bosonin kanssa. Eksponenttifunktio
oleva eksponenttifunktio usein ilmiön kuvaajaksi. Tässä formula_58 on ajanhetki ja formula_59 on reaalilukuvakio. Tällöin suureen sanotaan kasvavan tai pienenevän eksponentiaalisesti riippuen siitä, onko vakio "c" positiivinen vai negatiivinen. Jos pääomalle maksetaan jatkuvasti korkoa korolle, se kasvaa ajan myötä eksponentiaalisesti. Myös esimerkiksi Thomas Malthusin esittämässä rajoittamattomassa väestönkasvumallissa vakio on positiivinen, eli hänen mallinsa mukaan väkiluku pyrkii kasvamaan eksponentiaalisesti. Hajoavan radioaktiivisen aineen määrää esittävissä funktioissa vakio puolestaan on negatiivinen eli jäljellä olevan aineen määrä pienenee eksponentiaalisesti. Bosen–Einsteinin statistiikka
mikä on sama kuin Maxwellin–Boltzmannin jakaumalaki. Arthur Eddington
Eddingtonin hienorakennevakiota koskevat otaksumat voitiin kuitenkin pian osoittaa vääriksi. Senaikaisten mittausten mukaan tämän vakion, α, oli hyvin lähellä arvoa 1/136, ja Eddington väitti voivansa todistaa Diracin yhtälön ja Paulin kielto­säännön perusteella teoreettisesti, että tämä vakio oli "tarkalleen" 1/136. Tällöin hän kuitenkin tulkitsi Paulin kieltosääntöä omintakeisella ja alun perinkin hyvin kyseen­alaisella tavalla. Tällä perusteella hän väitti myös, että maailman­kaikkeudessa oli tarkalleen 136 · 2 protonia, mikä luku (noin 1,575 · 10) tunnetaan Eddingtonin lukuna. Myöhemmät tarkemmat mittaukset osoittivat, että hienorakennevakio onkin on lähempänä arvoa 1/137, jolloin Eddington muutti teoriaansa, mutta uskoi edelleen selittäneensä teoreettisin perustein, että tämä vakio oli "tarkalleen" 1/137, mistä väitteestä hän piti kiinni lopun ikänsä. Tämä vähensi Eddingtonin uskottavuutta fyysikoiden keskuudessa. Nykyisten mittausten mukaan hienorakennevakio on noin 1/137,035999679. Millikanin koe
Millikanin kokeen avulla saatiin ensimmäiset kohtalaisen tarkat arvot, paitsi alkeisvaraukselle, myös muille atomifysiikan vakioille. Sitä ennen atomien absoluuttisille massoille oli tunnettu vain hyvin karkeita, lähinnä termodynamiikkaan perustuvia, likiarvoja. Eri alkuaineiden atomien massojen suhteet sen sijaan oli kemiallisten reaktioiden avulla määritetty varsin tarkoin ja määritelty atomimassayksikkö alkujaan vetyatomin massaksi. Gramman ja atomimassayksikön suhteen ilmoittaa Avogadron vakio, mutta sen arvoa ei siis tunnettu. Elektrolyysin avulla oli lisäksi Faradayn vakio saatu varsin tarkoin määritetyksi. Kun alkeisvaraus voitiin Millikanin kokeen avulla varsin tarkoin mitata, voitiin Avogadron vakio laskea yksinkertaisesti jakamalla Faradayn vakio alkeisvarauksella, ja täten saatiin ensimmäisen kerran kohtalaisen tarkasti määritetyiksi myös atomien absoluuttiset massat. Maxwellin–Boltzmannin jakauma
eli Lämpösäteily
missä verrannollisuuskerroin formula_13 on Stefanin–Boltzmannin vakio ja formula_14 säteilevän pinnan ala. Kansainvälinen yksikköjärjestelmä
Kilogrammalle on esitetty kahtakin vaihtoehtoista määritelmää. Toisen ehdotuksen mukaan kilogramma olisi 6,0221415/12 · 10 (eli 0,501845125 · 10) kertaa hiili-12-atomin massa. Tämä määritelmä liittyisi läheisesti moolin määritelmään, sillä gramman ja atomimassayksikön suhde olisi edelleen tarkalleen sama kuin Avogadron vakion luku­arvo. Vaihtoehtona olisi määritellä se Planckin vakion avulla, joka saisi tarkkaan määritellyn arvon 6,6260603 · 10 Js. Tällöin kilogramma olisi massa, jota Einsteinin kaavan E=mc mukaan vastaava energia olisi teoriassa sama kuin sellaisella fotonilla, jonka taajuus olisi 1,356392664 · 10 Hz (tosin näin suuritaajuista säteilyä ei tiettävästi ole olemassa). Millsin vakio
Olkoon M("n") "n":s Millsin alkuluku. Jos Riemannin hypoteesi on tosi, niin M("n") on suurin alkuluku luvun formula_6 jälkeen. Tätä voidaan käyttää hyväksi Millsin alkulukujen laskemisessa, ensimmäinen Millsin alkuluku on 2; formula_7 on 8, jota seuraava alkuluku on 11. formula_8 on 1331 jota seuraava alkuluku on 1361 ja niin edelleen. Näin saamme Millsin alkuluvut, edelleen olettaen että Riemannin hypoteesi on tosi. Suurin tunnettu Millsin alkuluku (olettaen että Riemannin hypoteesi on tosi) on 
jossa on 20562 numeroa. Max Planck
Robert Kirchhoff oli Planckin opettaja, ja Planck oli hänen seuraajansa fysiikan professorina. Kirchhoffin mukaan täydellinen musta kappale on sellainen, joka absorboi kaiken siihen kohdistuvan säteilyn. Pysyäkseen termisessä tasapainossa mustan kappaleen on emittoitava yhtä paljon energiaa kuin se absorboi. Mustan kappaleen säteilyä yritettiin ensimmäisen kerran kuvata Stefanin–Boltzmannin lailla. Laki ei kuitenkaan ota huomioon säteilyn spektrijakaumaa, mistä tuli paljon puhuttu ongelma. Wilhelm Wien pääsi askeleen lähemmäs ongelman ratkaisua vuonna 1894 säteilylaillaan. Laki hyväksyttiin yleisesti, ja sen oletettiin olevan oikea, varsinkin kun sitä tukivat tarkat koesarjan mittaukset, jotka suoritettiin vuosina 1897–1899. Wienin laki oli osoittautunut mittauksissa oikeanlaiseksi, mutta se perustui epätyydyttäviin teoreettisiin väitteisiin. Lailta vaadittiin täsmällisempää johtoa. Rydbergin vakio
Bohrin atomimallin avulla voidaan johtaa vetyatomille sen spektriviivojen aallonpituuksien kaava
missä formula_8 on yllä mainittu Rydbergin vakio vetyatomille ja formula_9 spektriviivan aallonpituus, joka syntyy, kun elektroni siirtyy formula_10:neltä energiatilalta formula_11:lle. Hawkingin säteily
missä "c" on valon­nopeus, "h" Planckin vakio, "G" gravitaatio­vakio, "M" aukon massa ja "k" Boltzmannin vakio. Tällaisen kappaleen säteily­teho on Stefan-Boltzmannin lain mukaan Jousivakio
Jousivakio on vakio (symboli k, yksikkö N/m), joka kertoo jousen jäykkyyden ts. kuinka vahvasti se pyrkii palautumaan tasapainoasemaansa. Stefanin–Boltzmannin laki
Verrannollisuuskerrointa σ kutsutaan "Stefanin–Boltzmannin vakioksi". Sen arvo on Vakio
Vakio on matemaattisessa lausekkeessa esiintyvä luku, jonka arvo ei muutu. Sen vastakohta on muuttuja. Joillakin vakioilla kuten piillä ja monilla luonnonvakioilla on omat erikoismerkkinsä.
Kaikilla numerovakioilla (1,2,3 jne) on omat merkkinsä. Faradayn vakio
Faradayn vakion virallinen arvo on NIST:n mukaan 96 485,3383 C/mol. Laskuissa käytetään usein likiarvoa 96 500 C/mol (tai As/mol). Kilogramma
Vuonna 2011 CGPM tarttui tapaan määrittää kilogramma Planckin vakion avulla, joka saisi tarkkaan määrätyn arvon 6,6260 · 10 Js. Käytännössä tämä Planckin vakioon perustuva mittanormaali voitaisiin toteuttaa sähkösuureiden kvanttinormaaleihin perustuen wattivaa’an avulla. Stefanin–Boltzmannin vakio
Stefanin–Bolzmannin lain mukaan mustan kappaleen säteilyn intensiteetti on suoraan verrannollinen lämpötilan neljänteen potenssiin. Verrannollisuuskerroin on Stefanin–Boltzmannin vakio. Jatkuvien funktioiden väliarvolause
Lause esitetään usein myös seuraavasti: jos jatkuvan funktion arvot suljetun välin päätepisteissä ovat erimerkkiset, on funktiolla tällä välillä ainakin yksi nollakohta. Tämä vastaa tapausta "u" = 0, ja sitä kutsutaan usein Bolzanon lauseeksi. Lause on nimetty matemaatikko Bernard Bolzanon mukaan. Psykrometrivakio
missä "p" on ilmanpaine, "c" ilman ominaislämpökapasiteetti vakiopaineessa (kuivalla ilmalla 1004 J kg °C), "L" latentti energia (2,47 MJ kg) sekä formula_3 veden ja kuivan ilman molekyylipainojen suhde (n. 0,622). Erityisesti jos valitaan "p" = 1013 hPa ja oletetaan ilma kuivaksi, saadaan yleiskäyttöiseksi psykrometrivakion arvoksi formula_4. Keskeinen raja-arvolause
Tällä tavoin saatuja jakaumia Ξ sanotaan "vakaiksi jakaumiksi". Normaali­jakauma selvästikin on vakaa, mutta on olemassa muitakin vakaita jakaumia, esimerkiksi Cauchyn jakauma, jolla ei ole odotusarvoa eikä varianssia ja jota sen vuoksi ei sen enempää keskeinen raja-arvolause enempää kuin suurten lukujen lakikaan koske. Millsin vakio
Vakio on nimetty William H. Millsin mukaan, joka todisti sen olemassaolon vuonna 1947 tietämättä kuitenkaan mitään sen arvosta. Todistus perustui seuraavaan Guido Hoheiselin ja Albert Inghamin tulokseen alkulukujen väleistä: Ludwig Boltzmann
jossa formula_2 on Boltzmannin vakio (1.3806505(24) × 10 J K) ja "W" on "termodynaaminen todennäköisyys". Termodynaaminen todennäköisyys voidaan laskea kaavasta: Elektronivoltti
Tietyillä fysiikan alueilla, esimerkiksi plasmafysiikassa on käytännöllistä käyttää elektronivolttia lämpötilan yksikkönä. Elektronivoltin muunnos kelvin-asteiksi (symboli K) määritellään käyttäen Boltzmannin vakiota "k": Ultraviolettikatastrofi
Sähkömagneettiset aallot ovat termodynaamisessa tasapainossa tietyssä lämpötilassa T. Säteily saavuttaa termodynaamisen tasapainon vuorovaikuttamalla boksin seinän materiaalin kanssa. Jokainen aalto on yhdistetty harmoniseen värähtelijään seinässä, jolla on sama taajuus. Olkoon aaltomoodia vastaava energia E. Tällöin säteilyn energiatiheys yksikkötilavuudessa yksikkötaajuusintervallia kohti on 
formula_25 josta formula_26. Tasajakoteoreeman (engl. "theorem of equipartition") mukaan harmonisen värähtelijän keskienergia termaalisessa tasapainossa on formula_27, missä k = Boltzmannin vakio ja T systeemin lämpötila. Tämä siis seurausta, koska harmonisella värähtelijällä on kaksi vapausastetta, eli kaksi itsenäistä jonkun suureen neliöstä riippuvaa energiatermiä vaikuttamassa sen kokonaisenergiaan, ja jokainen vapausaste saa keskimäärin energiaa 0,5kT edestä termaalisessa tasapainossa. formula_28 on siis jokaiseen aaltomoodiin yhdistettävä energia, jolloin mustan kappaleen spektri klassisesti olisi formula_29. Pallotrigonometria
Pallotrigonometrian ensimmäisen kosinilauseen todistamiseksi oletetaan pallon säteeksi 1. Merkitään pallokolmion kärkipisteitä samoilla kirjaimilla kuin sen kulmia ja pallon keskipistettä formula_1:lla. Tason formula_29 normaalivektori on formula_30 ja tason formula_31 normaalivektori on formula_32. Kerrottavien vektorien pituus on 1, joten ristitulojen pituudet ovat formula_33 ja formula_34. Lisäksi formula_35, formula_36 ja formula_37. Normaalivektorien pistetulon avulla voidaan ilmaista tasojen formula_29 ja formula_31 välisen kulman kosini eli formula_40:
formula_41 Edellä käytettiin tietoa kertomisjärjestyksen vaihtamismahdollisuudesta skalaarikolmitulossa ja vektorikolmitulon laskukaavaa. Stefanin–Boltzmannin laki
Stefanin–Boltzmannin laki on fysikaalinen laki, jonka mukaan mustan kappaleen säteilemä teho pinta-alaa kohti on suoraan verrannollinen lämpötilan neljänteen potenssiin: Tasapainovakio
Koska aktiivisuus on dimensioton suure, on myös tasapainovakio yksikötön. Muissa tapauksissa, kuten konsentraatioilla laskettaessa, yksiköistä päästään eroon jakamalla suureet referenssisuureella. Konsentraation tapauksessa perustilaksi on sovittu 1 mol/dm. Planckin laki
Missä formula_6 on säteilyn aallonpituus (m), c valonnopeus (m/s), h Planckin vakio (Js), k Boltzmannin vakio (J/K) ja T absoluuttinen lämpötila (K) Faradayn vakio
Faradayn vakio (merkitään tunnuksella F) määritellään Avogadron vakion ja alkeisvarauksen tulona: Planckin vakio
Usein on kätevämpää käyttää vakion formula_4 sijasta sen johdannaista formula_5, jonka määritelmä on
missä formula_7 on vakio pii. Vakiota formula_5 kutsutaan puolestaan joko Diracin vakioksi (Paul Diracin mukaan) tai redusoiduksi Planckin vakioksi. Puhekielessä yleisiä ilmauksia ovat myös h-viiva ja englannin kielestä lainattu h-bar [hoobaar]. Tätä vakiota käytettäessä kvantin energian lauseke saa muodon Eulerin–Mascheronin vakio
Eulerin–Mascheronin vakio on matemaattinen vakio, jota käytetään pääosin lukuteoriassa. Se määritellään harmonisen sarjan ja luonnollisen logaritmin erotuksen raja-arvona: Stefanin–Boltzmannin vakio
missä formula_2 on Boltzmannin vakio, formula_3 valon nopeus ja formula_4 Planckin vakio. Maxwellin–Boltzmannin jakauma
missäSe on pienempi kuin kaasuosasten keskinopeus Planckin vakio
missä "h" on Planckin vakio, "c" valonnopeus, "k" Boltzmannin vakio, sekä "T" mustan kappaleen absoluuttinen lämpötila. Tasapainovakio
jossa a on aktiivisuus, f on aktiivisuuskerroin, c on konsentraatio ja c° on referenssikonsentraatio, eli 1 mol/dm, mikä tarkoittaa, että aktiivisuudesta supistuu yksiköt pois. Aktiivisuus voidaan määritellä myös osapaineilla, jolloin kaavassa konsentraatioiden paikalle tulee paine (referenssipaine = 1 bar). Tasapainovakiokin on siis aina dimensioton. Metastabiliteetti
Kemiassa atomien tai molekyylien muodostama systeemi on meta­stabiili, jos sen molaarinen Gibbsin energia ei ole pienin mahdollinen, mutta aktivoitumisenergia, kota siirtyminen tähän stabiiliin tilaan edellyttää, on suurempi kuin vallitseva lämpötila kerrottuna Boltzmannin vakiolla. Meta­stabiili tila vastaa siis Gibbsin energian lokaalia minimiä, stabiili eli pienimmän energian tila taas sen kaikkein pienintä arvoa. Von Kármánin vakio
missä "u" on keskimääräinen virtausnopeus korkeudella "z" reunan yläpuolella. Rosoisuuskorkeus (tai rosoisuuspituus) "z" on se korkeus, jolla "u" näyttää menevän nollaan. Kaavassa "κ" on von Kármánin vakio (n. 0,41), ja formula_2on kitkanopeus, joka riippuu virtauksen pohjan leikkausjännityksestä "τ" : Cahenin vakio
Cahenin vakio on transkendenttinen. (Davison ja Shallit 1991). Se on yksi harvoista transkendenttiluvuista, joiden ketjumurtolukuesitys tunnetaan täysin: Jos muodostetaan sarja
jossa termit muodostavat rekursion
niin Cahenin vakion ketjumurtolukuesitys on
(Davison ja Shallit 1991).
Davison, J. Les; Shallit, Jeffrey O. (1991). "Continued fractions for some alternating series". Monatshefte für Mathematik 111: 119–126. doi:10.1007/BF01332350 Catalanin vakio
jossa formula_2 on Dirichlet'n betafunktio. Vaimennusvakio
Vaimennusvakio formula_1 (myös D) on suotimen ominaisuutta kuvaava suure, joka kuvaa järjestelmän värähtelyn vaimenemista. Amplitudin muutoksen riippuvuus vaimennusvakiosta on Frits Bolkestein
Paul van Buitenen Hienorakennevakio
jossa formula_9 on Coulombin vakio, formula_3 on alkeisvaraus, formula_4 on redusoitu Planckin vakio, formula_5 on valon nopeus tyhjiössä sekä formula_13 on tyhjiön permittiivisyys. Törmäysteoria
Tässä N on Avogadron luku, σ on reaktioon osallistuvien molekyylien A ja B vaikutusala, k on Boltzmannin vakio, T on lämpötila kelvineinä ja μ on reagoivien molekyylien redusoitu massa. Planckin pituus
Planckin pituus (merkitään formula_1) on pituuden yksikkö, joka on noin 1,6 · 10 metriä ja on yksi Planckin yksiköistä. Planckin pituus voidaan laskea käyttämällä kolmea luonnonvakiota: valonnopeutta, Planckin vakiota ja gravitaatiovakiota. Planckin pituus on käytännössä lyhin matka jota voidaan käyttää fysiikan laskuissa (ottaen huomioon yleisen suhteellisuusteorian ja Heisenbergin epätarkkuusperiaatteen). Himmeä nuori aurinko -paradoksi
jossa "T" laskettu pintalämpötila, "F" aurinkovakio eli Auringon säteilyvoima planeetan, tässä siis Maan, radan kohdalla, "A" planeetan säteilynheijastuskyky, ns. Bondin albedo ja "formula_2" Stefan-Bolzmannin vakio. Tulokseksi saatava "T" antaa planeetan pintalämpötilan ilman kasvihuone-ilmiötä. Se on Maalle noin 255 K eli −18 °C. Faradayn vakio
missä "N" on Avogadron vakio (n. 6,02 x 10 mol) ja "q" on elektronin varaus (n. 1,602 x 10 coulombia). Spektriviiva
missä "n" ja "n" ovat kokonais­lukuja ja R Rydbergin vakio. Näistä näkyvän valon aallon­pituus­alueella ovat kuitenkin vain ne, joissa "n" on 2. Niiden osalta säännön­mukaisuus todettiin jo vuonna 1885, ja nämä spektri­viivat muodostavat Balmerin sarjan. Maxwellin–Boltzmannin jakauma
missäYleisin kaasuosasen nopeus formula_26 lasketaan kaavasta Ludwig Boltzmann
Ludwig Eduard Boltzmann (20. helmikuuta 1844 – 5. syyskuuta 1906) oli itävaltalainen fyysikko ja professori Grazissa, Münchenissä, Leipzigissa ja Wienissä. Hän sovelsi tilastollisia menetelmiä termodynamiikkaan, selvensi entropian käsitettä ja edisti merkittävästi teoreettisen fysiikan kehitystä. Pierre-Louis Lions
Pierre-Louis Lions (s. 1956) on ranskalainen matemaatikko. Hän on tutkinut epälineaarisia differentiaaliyhtälöitä ja saanut tutkimuksistaan Fieldsin mitalin vuonna 1994. Tuolloin hän työskenteli Paris-Dauphinen yliopistossa. Hän onnistui ensimmäisenä ratkaisemaan ja todistamaan Boltzmannin yhtälön. Von Kármánin vakio
Viime vuosikymmeninä Kármánin vakion arvoa on tutkittu säännöllisesti. Eri katsauksissa "κ":n arvoiksi ilmoitetaan lukuja väliltä 0,35–0,42. Yli kahdeksantoista tutkimuksen johtopäätös on, että "κ" on vakio ja se on likimain 0,40. Planckin vakio
Bohr esitti ensi kertaa redusoidun Planckin vakion. Kulmaliikemäärän sallitut arvot ovat kokonaiskulmaliikemäärälle ("J") ja kulmaliikemäärälle tietyssä suunnassa ("J")
Pienin mahdollinen kulmaliikemäärä eli kvantti on siis formula_5, kun formula_23. Lämpötila
Tilastollinen lähestymistapa johtaa liike-energian keskiarvoa sisältävään määritelmään. Absoluuttinen lämpötila T on suoraan verrannollinen atomijoukon liike-energian odotusarvoon formula_1 nähden
missä formula_3 on Bolzmannin vakio. Tämä selittää sen, miksi vain "absoluuttinen lämpötilan" Kelvin-asteikko kelpaa fysiikassa lämpötilan suureeksi suoraan. Planckin vakio
Oletus kvantista oli alun perin matemaattinen temppu, jolla mustan kappaleen säteilystä saadut koetulokset saatiin sovitettua jollekin käyrälle. Tämä yhtälö, eli Planckin laki, oli ensimmäinen asiayhteys missä Planckin vakio esiintyi. Myöhemmin kuitenkin osoittautui, että energiakvantti (tässä tapauksessa fotoni) oli luonnossa esiintyvä asia, ei ainoastaan matemaattinen oletus. Planckin laki antaa mustan kappaleen säteilyn energiatiheysjakauman formula_16 säteilyn taajuuden formula_17 funktiona Ilmastomalli
missä vasen puoli edustaa Auringosta saatavaa energiaa, oikea puoli Maan luovuttamaa energiaa Stefanin-Boltzmannin lain mukaan. S on aurinkovakio (1367 W·m), a Maan albedo (noin 0,3), r on Maan säde (6,371×10) ja ε on Maan efektiivinen emissiivisyys (0,612). Efektiivisen emissiivisyyden käyttäminen huomioi kasvihuoneilmiön. Vapausaste (termodynamiikka)
Statistisessa mekaniikassa oletetaan ideaalikaasun molekyylien nopeuden kunkin koordinaatti­akselin suunnassa noudattavan normaalijakaumaa, jossa keskiarvo kunkin akselin suunnassa on 0 (vastakkaisiin suuntiin liikkuu yhtä monta molekyyliä) ja keskihajonta
missä "T" on kaasun lämpötila, "m" molekyylin massa ja "k" Boltzmannin vakio. Kun etenemis­liikkeen vapaus­asteita on kolme, noudattaa etenemis­liikkeen liike-energia, joka on verrannollinen nopeuden neliöön, khii-jakaumaa vapausaste­luvulla 3, ja sen odotusarvo on
Tämä tulos pätee kuitenkin vain yksiatomisille kaasuille, joissa pyörimis- ja värähdys­liikkeen vapaus­asteita ei tarvitse ottaa huomioon. Useampiatomisten kaasujen tapauksessa luku 3 on tässä korvattava kaikkien vapausasteiden lukumäärällä. Maxwellin–Boltzmannin jakauma
Maxwellin jakauma (tai Maxwellin–Boltzmannin jakauma) on muotoa Ultraviolettikatastrofi
Ultraviolettikatastrofi on seurausta klassisen tilastomekaniikan tasajakoteoreemasta, jonka mukaan kaikkien tasapainossa olevan järjestelmän moodien (vapausasteiden) keskimääräinen energia on ½"kT", missä "k" on Boltzmannin vakio ja "T" on lämpötila. Klassisen sähkömagnetismin mukaan, sähkömagneettisten moodien lukumäärä 3-ulotteisessa kaviteetissa per taajuus, on suhteessa taajuuden neliöön. Tästä seuraa, että säteilytehon per taajuus pitäisi seurata Rayleigh-Jeansin lakia ja olla suhteessa taajuuden neliöön. Siksi sekä annetun taajuuden teho että kokonaissäteilyteho kasvavat äärettömyyksiin kun taajuus kasvaa korkeammaksi ja korkeammaksi, mikä on selvästikin mahdotonta. Bosen–Einsteinin statistiikka
Fermin–Diracin statistiikassa oletetaan tällöin, että kuhunkin laatikkoon mahtuu vain yksi pallo, kun taas kummassakin muussa statistiikassa laatikoiden vetoisuus on rajoittamaton. Maxwellin–Bolzmannin statistiikkaa johdettaessa kuitenkin oletetaan, että ainakin periaatteessa pallot voidaan yksilöidä, kun taas Bosen–Einsteinin statistikassa tämä oletetaan periaatteessakin mahdottomaksi, minkä vuoksi jakaumia johdettaessa symmetriset alkeistapaukset muodostetaan eri tavalla. Jos laatikoiden välisiä kuviteltuja rajaseiniä merkitään pystyviivoilla (|), niin Maxwellin–Boltzmannin jakaumassa kutakin alkeistapausta esittää tapa, jolla tietty määrä eri kirjaimia voidaan sijoittaa näiden viivojen väliin. Tällaisia tapoja on kaikkiaan formula_1. Sitä vastoin Bosen–Einsteinin jakaumassa kutakin alkeistapausta esittää merkkijono, jossa on "n-1" pystyviivaa ja "p" ympyrää. Voidaan osoittaa, että tällaisten tapojen lukumäärä on formula_2. Planckin vakio
missä formula_10 on säteilyn kulmataajuus eli taajuus kerrottuna formula_11:llä. Planckin vakio
Planckin vakio on modernissa fysiikassa, ja etenkin kvanttimekaniikassa, usein vastaantuleva luonnonvakio, jonka likiarvo on 
Kahdeskymmeneskuudes yleinen paino- ja mittakonferenssi päätti marraskuussa 2018, että Planckin vakio kiinnitetään arvoon
Uusi määritelmä astuu voimaan 20. toukokuuta 2019. Entalpia
Tilastollisessa termodynamiikassa entalpian lauseke on
missä formula_57 on entalpia lämpötilassa formula_58, formula_59 on kanoninen jakaumafunktio, formula_60 on Boltzmannin vakio ja formula_61. Maxwellin–Boltzmannin jakauma
Maxwellin–Boltzmannin jakauma (Maxwellin–Boltzmannin statistiikka, MB-statistiikka) on todennäköisyysjakauma, jota käytetään kuvaamaan fysiikan ja kemian tilastollisia ilmiöitä. Esimerkiksi ilman molekyylien nopeusjakauma noudattaa Maxwellin–Boltzmannin jakaumaa. Jakauma voidaan johtaa tilastollisesta mekaniikasta ja sen avulla voidaan selittää kaasujen ominaisuuksia kuten paine. Balmerin sarja
missä formula_5 on Rydbergin vakio. Vaimennusvakio
Vaimennusvakio saadaan siirtofunktion biquadranttisesta muodosta 
jossa formula_3 on järjestelmän vahvistus ja formula_11 ominaiskulmataajuus. Millsin vakio
Mikäli Riemannin hypoteesi on tosi, Millsin vakio on Brownin liike
Koska keskimääräinen siirtymä oli mikroskoopin avulla mitattavissa, tätä kaavaa voitiin kääntäen käyttää Boltzmannin vakion suuruuden määrittämiseen, minkä Jean Perrin tekikin muutamaa vuotta myöhemmin. Kun Boltzmannin vakiolle "k" oli saatu likiarvo, Avogadron vakio "N" pystyttiin määrittämään relaatiosta formula_3, missä "R" on kaasuvakio. Tämä oli yksi ensimmäisistä Avogadron vakion määrityksistä, ja se kumosi osaltaan atomin olemassaolosta vielä tuohon aikaan esiintyneet epäilykset. Logaritminen tuulilaki
Neutraalissa stationäärisessä pintakerroksessa potentiaalilämpötila formula_4 on vakio korkeuden suhteen. Tällaisessa pintakerroksessa ei esiinny nostevoimia ja myös kinemaattinen lämmönvuo formula_5= 0. Tuuliprofiili neutraalissa ilmakerroksessa noudattaa logaritmista tuulilakia, eli tuulen nopeus formula_6 korkeuden formula_7 funktiona on formula_8, jossa formula_9 on rosoisuusparametri ja formula_10 Von Kármánin vakio (0,4). Rosoisuusparametrin yksikkö on formula_11 ja Karmanin vakio on dimensioton luku. Rosoisuusparametri kertoo pinnan aerodynaamisen rosoisuuden. Tyypillisiä arvoja ovat jäälle formula_12, nurmikolle formula_13, metsälle 1 ja Helsingin keskustalle 1,5. Siirroskorkeus formula_14 tarvitaan, jos rosoisuuselementit ovat hyvin suuria. Se voidaan arvioida kaavalla formula_15, jossa formula_16 on rosoisuuselementin korkeus, esimerkiksi puun pituus. Vasta siirroskorkeuden yläpuolella alkaa vaikuttaa logaritminen tuulilaki. Fysiikan historia
Ludwig Boltzmann oli 1800-luvun termodynamiikan kärkinimi. Hän selvensi entropian käsitettä. Boltzmannin mukaan entropia on suora seuraus atomien olemassaolosta. Tuohon aikaan atomeja ei ollut täysin hyväksytty kuvaamaan kaikkeuden rakennetta. Boltzmann osoitti myös termodynamiikan toisen pääsäännön olevan seurausta hiukkasten liikkeiden tilastollisista ominaisuuksista. Boltzmannin työt olivat aikanaan kiisteltyjä, mutta aikaa myöten työt johtivat uuden fysiikan haaran, statistisen fysiikan, kehittymiseen. Rayleigh’n–Jeansin laki
Vakio k on "Boltzmannin vakio". Planckin laki
missä "h" on Planckin vakio, c valonnopeus, k Boltzmannin vakio, sekä T mustan kappaleen absoluuttinen lämpötila. Vakiofunktio
Vakiofunktio on matematiikassa sellainen funktio, joka saa kaikilla muuttujan arvoilla aina saman arvon. Tällaisen funktion kuvaaja on vaakasuora eli se muistuttaa siinä mielessä lineaarista funktiota. Jos vakiofunktion arvoksi tulee aina c, voidaan kirjoittaa
missä c on reaaliluku.
Vakiofunktiot ovat lineaarisen funktion erikoistapauksia, jossa kulmakerroin a = 0. Funktion lauseke sivenee tällöin
Samoin voidaan ajatella potenssifunktion, jonka asteluku on 0, olevan vakiofunktio
Nollafunktio saa vain arvon 0 ja on siten vakiofunktioiden erikoistapaus. Max Planck
Planck alkoi pohtia lakia uudella tavalla. Hän lähestyi asiaa käyttämällä apunaan Boltzmannin ajatusta entropiasta molekyylitason kaaoksena. Planck ei kuitenkaan hyväksynyt Boltzmannin käsitystä entropian ja irreversiibeliyden todennäköisyyteen perustuvasta luonteesta vaan tulkitsi Boltzmannin ajatusta omalla tavallaan. Planck lähti liikkeelle Boltzmannin yhtälönä tunnetusta kaavasta S=k log W. On kuitenkin huomattava, ettei Boltzmann koskaan esittänyt yhtälöä tässä muodossa, vaan sen teki ensimmäisenä Planck. Selvittääkseen molekyylitason epäjärjestyksen kombinatorisen lausekkeen "W" Planck otti käyttöön termin, jota hän kutsui energia-alkioksi. Planck oletti mustan kappaleen oskillaattoreiden kokonaisenergian jakautuvan äärelliseen määrään osaenergioita ε, joita hän siis kutsui energia-alkioksi. Hän kertoi tästä uudesta lain johtamisesta Berliinin tiedeakatemian kokouksessa 14. joulukuuta 1900. Tätä päivää pidetään yleisesti kvanttimekaniikan syntymäpäivänä, vaikka kvanttimekaniikan tutkiminen alkoi varsinaisesti kaksikymmentä vuotta myöhemmin. Planckin energia
Planckin energian määrittää yhtälö
formula_2,
jossa c on valonnopeus tyhjiössä, formula_3 on redusoitu Planckin vakio ja formula_4 on gravitaatiovakio. Planckin energia on ekvivalentti Planckin massan kanssa yhtälön E=mc² perusteella. Kertomalla Planckin energia vakiolla
formula_5
voidaan yksinkertaistaa joitakin gravitaatioyhtälöitä. Hiukkasfyysikot ja kosmologit käyttävät usein tällaista redusoitua Planckin energiaa, jonka yhtälö on
formula_6.
Yksi redusoitu Planckin energia on noin 0,390 × 10 joulea eli 2,43 × 10 gigaelektronivolttia. Musta kappale
Mustan kappaleen suurimman intensiteetin aallonpituus saadaan Wienin siirtymälaista ja intensiteetti Stefanin-Boltzmannin laista. Mössbauerin ilmiö
Kun kirjoitetaan liikemäärän ja energian säilymislait, saadaan yhtälöryhmä (olettaen, että ytimen massa ei muutu reaktiossa)
missä formula_2 ja formula_3 ovat ytimen massa ja alkunopeus, formula_4 ytimen loppunopeus, formula_5 ytimen saama viritysenergia, formula_6 valon nopeus, formula_7 fotonin taajuus ja formula_8 Planckin vakio. Boltzmannin vakio
Klassisen ekvipartitioteoreeman mukaan termisessä tasapainossa olevan termodynaamisen järjestelmän keskimääräinen energia vapausastetta kohti on "½kT", missä "T" on lämpötila. Ideaalikaasun hiukkasilla on kolme vapausastetta, joten ideaalikaasun keskimääräinen energia hiukkasta kohti on "3/2kT". Moninin–Obuhovin samanlaisuusteoria
missä "z" on korkeus, formula_2 kitkanopeus ja "k" von Kármánin vakio (~ 0,4). Ei-neutraalissa tilanteessa Moninin–Obuhovin teoria esittää tätä korjattavaksi "universaalifunktiolla" formula_3, jolloin Alkeisvaraus
Alkeisvaraus (merkitään yleensä formula_1 tai formula_2) on luonnonvakio. Sen tarkin tunnettu arvo on formula_3 coulombia. Max Planck
Planck oli aiemmissa termodynamiikan töissään tutustunut entropiaan ja irreversiibeliyteen eli palautumattomuuteen. Planck yritti selittää palautumattomia prosesseja puhtaasti termodynamiikan avulla. Planckin itävaltalainen kollega Ludwig Boltzmann taas lähestyi asiaa tilastollisen fysiikan avulla. Planck ei hyväksynyt Boltzmannin lähestymistapaa missään muodossa. Hän kielsi minkäänlaisen yhteyden todennäköisyyden ja entropian välillä ja uskoi vankasti termodynamiikan toisen pääsäännön pitävyyteen. Planckin tutkimukset johtivat hänet tutkimaan sähkö- ja termodynamiikan välistä yhteyttä vuonna 1895. Planck tutki palautumattomuuden ongelmaa sähködynamiikan avulla. Hän esitti, että säteilyprosessien irreversiibeliys johtui siitä, että Maxwellin yhtälöt eivät olleet aikasymmetrisiä. Boltzmann osoitti kaksi vuotta myöhemmin, että Planckin tulkinta oli väärä. Tässä vaiheessa Planckin piti löytää toinen tapa mustan kappaleen säteilyspektrin määrittämiseksi. Uusi yritys tuotti "Annalen der Physik" -lehdessä vuosina 1897–1900 julkaistun kuuden artikkelin sarjan. Vuonna 1899 Planck löysi oskillaattorin entropialle lausekkeen, josta hän johti onnistuneesti Wienin säteilylain. Planck uskoi onnistuneensa, mutta kokeet osoittivat, ettei laki vastannut täsmällisesti todellisuutta. Tätä useimmat fyysikot Planck mukaan lukien eivät osanneet odottaa. Otto Lummerin ja Ernst Pringsheimin kokeet vuonna 1899 ja lopullisesti Heinrich Rubensin ja Ferdinand Kurlbaumin kokeet vuonna 1900 osoittivat Wienin säteilylain paikkansapitämättömyyden. Boltzmannin kone
Boltzmannin kone on verkko, jossa solun tila on binäärinen. Solu voi sisältää solmuja, jotka näkyvät ulospäin ja jotka eivät. Konetta käytetään erityisestä mallinnettassa asioita, joissa on mukana piilomuuttujia, joihin ei tästä syystä voida käyttää esimerkiksi Markov-ketjuja. Millsin vakio
Millsin vakio on matematiikassa pienin sellainen positiivinen reaaliluku "A", jolle kaksoiseksponenttifunktion formula_1 lattiafunktion Planckin paine
Planckin paine on paineen yksikkö, jota merkitään p. Planckin paine on johdettu Planckin perusyksiköistä kaavalla, 
formula_1 4.63309 × 10 Pa
jossa formula_2 on Planckin voima, formula_3 on valonnopeus tyhjiössä, formula_4 on Diracin vakio ja formula_5 on yleinen gravitaatiovakio. Klassinen elektronin säde
missä formula_23 on Coulombin vakio, formula_19 hienorakennevakio ja formula_25 redusoitu Planckin vakio. Joseph Loschmidt
Joseph Loschmidt (1821–1895) oli muun muassa kineettistä kaasuteoriaa tutkinut itävaltalainen fyysikko. Hänen mukaansa on nimetty Loschmidtin luku, tosin sitä kutsutaan useimmiten nimellä Avogadron vakio, mooliin sisältyvien molekyylien määrän. Hän laski vakion vuonna 1865. Luonnonvakio
Luonnonvakio on suure, jonka numeerinen arvo on universaali, eli paikasta riippumaton, ja ajasta riippumaton. Luonnonvakiota voidaan verrata matemaattiseen vakioon, kuten piihin. Luonnonvakioita ovat muun muassa Planckin vakio "h", valon nopeus tyhjiössä "c", gravitaatiovakio "γ" ja tyhjiön permittiivisyys eli sähkövakio "ε". Näiden ilmoitetut lukuarvot saattavat muuttua historian saatossa, mutta se johtuu mittaustekniikoiden parantumisesta, ei vakion arvon muuttumisesta. Hawkingin säteily
Hawkingin säteilyn lämpötilan voi laskea kaavasta 
jossa c on valonnopeus, h on Planckin vakio, G on painovoimavakio, M on mustan aukon massa ja k on Boltzmannin vakio. Catalanin vakio
Catalanin vakio on nimetty belgialaisen matemaatikon Eugène Charles Catalanin mukaan. Fysiikan historia
Planck esitteli ideansa Saksan fyysikkoseuran jäsenille 14. marraskuuta 1900. Huolimatta siitä, että energiaa voitiin Planckin mukaan kuvata kahdella päinvastaisella tavalla, ideaan ei kohdistettu suurtakaan huomiota. Planck itsekin epäili omaa teoriaansa. Työnsä yhteydessä Planck määritteli luonnonvakion, jota kutsutaan Planckin vakioksi. Planck oletti, että kvantin energia on formula_1, jossa formula_2 on Planckin vakio, formula_3 on taajuus ja formula_4 on 1, 2, 3, ... Albert Einstein osoitti myöhemmin, että sähkömagneettinen säteily koostui kvanteista, joiden energia on formula_5. Einstein käytti tätä ja Niels Bohrin kehittämää atomimallia hyväkseen ja johti Planckin säteilylain uudelleen vuonna 1917. Tilastollinen fysiikka
1900-luvun alussa ymmärrettiin klassisen ja kvanttistatistiikan erot, ja tasapainoilmiöiden tilastollista fysiikkaa sovellettiin rutiininomaisesti. Klassisen Maxwellin–Boltzmannin jakauman asemesta bosoneiksi kutsutuille alkeishiukkasille sovelletaan Bosen–Einsteinin, fermioneille taas Fermin–Diracin statistista jakaumalakia. 1900-luvun puolessa välissä ymmärrettiin syvällisemmin informaatioteorian ja tilastollisen fysiikan yhteys ja sovellusalue laajeni fysiikan ulkopuolelle. Kilogramma
Kilogramman uusi määritelmä astuu voimaan 20. toukokuuta 2019. 26. yleinen paino- ja mittakonferenssi (CGPM) äänesti aiheesta kokouksessaan 13.–16. marraskuuta 2018. Uudessa määritelmässä Planckin vakion arvo lukitaan siten, että se on täsmälleen 6,62607015 · 10 Js. Koska yksi joulesekunti on yksikkönä sama kuin yksi kilogramma kertaa neliömetri per sekunti (1 kg m s), määräytyy kilogramma jatkossa Planckin vakion, metrin ja sekunnin kautta. Samassa CGPM:n konferensissa päätettiin, että kilogramman prototyypin, kappaleen "K", massa on 1 kg, mutta vain samalla suhteellisella tarkkuudella, jolla Planckin vakio voitiin konferenssin aikaan mitata (suhteellinen virhe 1,0 · 10). Kappaleen "K" massa tullaan jatkossa määrittämään kokeellisesti. Hawkingin säteily
missä "A" on kappaleen pinta-ala, ja "T" sen lämpötila ja formula_7 Stefan-Boltzmannin vakio, jolle voidaan esittää myös lauseke: Henryn vakio
Henryn vakio riippuu sekä liukenevasta aineesta että liuottimesta. Vakio voidaan määrittää kokeellisesti mittaamalla liuenneen aineen osapainetta liuoksista, joissa liuenneen aineen pitoisuus on tunnettu. Tämän lisäksi vakio riippuu lämpötilasta. Henryn vakion riippuvuus lämpötilasta aineelle i voidaan esittää niin kutsutulla Krichevsky-Kasarnovsky-yhtälöllä: Lämpöenergia
Yksittäisen hiukkasen liike-energia on 
missä "m" on hiukkasen massa ja "v" sen nopeus. Kun tietyssä määrässä kaasua on "N" atomia, sen lämpöenergia on näiden energioiden summa, kun oletetaan, ettei säiliöstä vuoda mitään ulos:
missä viiva nopeuden neliötä tarkoittavan merkin päällä tarkoittaa, että kyseessä on koko kaasu­määrästä laskettu keskiarvo. Näin saatu kokonais­lämpö­energia on suoraan verrannollinen makro­skooppiseen lämpötilaan; verrannollisuus­kertoimen määrittävät vapaus­asteiden lukumäärä, joka tässä tapauksessa on sama kuin avaruuden ulottuvuuksien lukumäärä eli 3, sekä Boltzmannin vakio. Boltzmannin vakio on systeemin mikroskooppiseen malliin liittyvien suureiden ja makro­skooppisen lämpötilan välinen muunto­kerroin. Tämä formalismi on ideaalikaasun tilanyhtälön teoreettisena perustana, ja se osoittaa, että ideaali­kaasun tapauksessa sisä­energia "U" on kokonaan lämpöenergiaa: Bohrin atomimalli
Täydelliseen atomin kuvaamiseen tarvitsee käyttää koko kvanttimekaniikan teoriaa, joka muotoutui useiden ihmisten työn tuloksena vuosia Bohrin mallin julkaisun jälkeen. Louis de Broglie esitti vuonna 1924 teorian, jonka mukaan elektronillakin on aaltoluonne, ja sille pätee sama liikemäärän (p) ja aallonpituuden (formula_25 välinen yhteys formula_26 kuin fotonillekin (h on Planckin vakio). Aaltoluvun (k) avulla yhtälö voidaan esittää myös muodossa formula_27formula_28. Sijoittamalla tämän kaavaan (1) saamme formula_29, eli formula_30, jonka voimme tulkita seisovaksi aaltoliikkeeksi. Elektronin kulmaliikemäärän ja samalla energian kvantittuminen selittyy siten, että sen kiertoradalle eli ympyrän kehälle on mahduttava tietty kokonaislukumäärä elektronin aallonpituuksia, jolloin elektroni itse asiassa on seisova aalto. Koska seisova aaltoliike ei välitä energiaa, ei elektroni niin ollen säteile sähkömagneettista säteilyä, ja atomi on vakaa. Gammafunktio
Gammafunktio on funktio, jolle käytetään symbolia formula_1 (iso gamma), ja joka voidaan tulkita kertoman yleistyksenä reaali- ja kompleksiluvuille. Sen arvo on Riemannin integraalilla merkittynä
formula_2.
Gammafunktio on määritelty kaikilla arvoilla paitsi ei-positiivisilla kokonaisluvuilla. Näissä pisteissä integraalin raja-arvo on ääretön. Kaikista kertomafunktion yleistyksistä gammafunktio on erityinen, sillä Bohrin-Mollerupin lauseen mukaan se on ainoa, joka on logaritmisesti konveksi ts. sen luonnollinen logaritmi on konveksi. Tasapainovakio
tasapainovakio on