Onko Sorites paradoksiin vastausta?
Sorites-paradoksi
Kun Sorites-paradoksi esitetään joukkona ehtolauseita, joku lauseista on aina epätosi, ja muiden joukossa voi olla lauseita, jotka eivät ole enempää tosia kuin epätosiakaan. Keefen mukaan Sorites-paradoksin tapauksessa supervaluationismi välttää paradoksin, koska sen ei tarvitse hyväksyä kaikkia premissejä. Sorites-paradoksi
Sorites-paradoksi ei ole looginen paradoksi, siinä ei ole sisäistä ristiriitaa. Tämä paradoksi ratkeaa kielen tulkitsemisen kautta. Paradoksissa viitataan kielen ilmaisujen "hiekkakasa" eri sisältöihin. Emme voi eksaktisti määrittää missä vaiheessa kasa muuttuu yksittäisten hiekanjyvien joukoksi. Tämän vuoksi jos päättelyketju osoittaa jotain asiaa ristiriitaiseksi ja joutuu pinoparadoksiin, ei asia ole virheellinen, vaan sen sijaan itse päättelyketju on virheellinen.
Epikuros
Epikuroksen ajattelu on jättänyt vaikutuksia koko länsimaisen ajattelun historian varrelle. Epikuroksen paradoksiksi kutsuttu pahan ongelma on kuuluisa perustelu jumalan olemassaoloa vastaan. Theaitetos (dialogi)
Vaikka dialogi ei onnistukaan koskaan antamaan selkeää lopullista vastausta kysymykseen "mitä tieto on?", se antaa lukijalle joitakin epäonnistuneita ja joitakin hedelmällisempiä lähestymistapoja kysymykseen. Dialogia pidetään yhtenä Platonin parhaista ja vaikeimmista, ja nykyaikaisessa epistemologiassa keskustellaan edelleen lähestymistavoista, jotka muistuttavat hyvin paljon dialogin käsittelemiä. Dialogin epäonnistumisen kysymyksen tyydyttävässä käsittelyssä on ehdotettu johtuneen siitä, että Sokrateen kuulustelijat olivat matemaatikkoja, ja keskustelun talletti megaralainen. Parmenides (dialogi)
Zenon käyttää itselleen tyypillistä hyökkäysmenetelmää, nimeltään reductio ad absurdum, ja osoittaa, että jos on pluralistien teorian mukaan olemassa monta, silloin ne ovat sekä samanlaisia että erilaisia; mutta tämä on mahdoton tilanne, sillä erilaiset asiat eivät voi olla samanlaisia, eivätkä samanlaiset asiat erilaisia. Sokrateen mukaan tämä ongelma häviää, jos tehdään ero toisaalta aistittaviin asioihin, ja toisaalta muotoihin tai "ideoihin", joihin aistittavat asiat ovat osallisia. Näin yksi ja sama asia voi olla sekä samanlainen että erilainen, tai yksi ja monta, osallistumalla sekä samanlaisuuden että erilaisuuden ideoihin, ja ykseyden ja moneuden ideoihin. Esimerkiksi Sokrates on itse yksi mies, ja niin hän osallistuu ykseyden ideaan, mutta hänessä on myös monta osaa, ja niin hän osallistuu moneuden ideaan. Ei ole ongelmallista osoittaa, että aistittavilla asioilla on vastakkaisia ominaisuuksia. Hämmästystä aiheuttaisi, ja ansaitsisi Sokrateen ihailun, jos joku osoittaisi, että ideoilla itsellään voisi olla vastakkaisia ominaisuuksia. Condorcet’n paradoksi
Esimerkki: Äänestäjät A, B ja C valitsevat vaihtoehdoista x, y ja z.Tällöin parivertailuissa havaitaan, että kahden kolmasosan mielestä x on parempi kuin y, kahden kolmasosan mielestä y on parempi kuin z, ja kahden kolmasosan mielestä z on parempi kuin x. Condorcet’n menetelmän mukainen paremmuusjärjestys olisi siis x > y > z > x, mikä muodostaa päättymättömän kehän rationaalisen järjestyksen sijasta. Ilmiötä kutsutaan enemmistöpreferenssien intransitiivisuudeksi. Jos esimerkkitilanteessa äänestettäisiin yhdestä parista kerrallaan, voittajaksi voisi päätyä mikä tahansa kolmesta vaihtoehdosta riippuen siitä, missä järjestyksessä äänestykset suoritettaisiin. Hippias (laajempi dialogi)
Sokrates hämää Hippiasta niin, että esittää mukamas jonkun toisen esittämiä kysymyksiä ja pyytää Hippiaalta neuvoja tätä toista vastaan. Tämä toinen henkilö paljastuu karkeaksi mutta kovaksi väittelijäksi, jolta mikään ei jää huomaamatta ja jolle olisi turha mennä väittämään puuta heinää. Hippias on usein vaikeuksissa, koska hänen argumenttinsa eivät mene helposti läpi. Lopulta käy ilmi, että kyseessä on Sokrates itse. Sorites-paradoksi
Ryhmä ihmisiä voi päättää, että: Zenonin paradoksit
Zenonin paradokseista tunnetuin lienee nimellä "Akhilleus ja kilpikonna" -tunnettu tarina. Paradoksin mukaan kerkeäjalkainen Akhilleus ei kilpajuoksussa kykene koskaan ohittamaan kilpikonnaa, sillä ohittaakseen Akhilleuksen on ensin juostava siihen missä kilpikonna on. Kun Akhilleus saapuu tähän paikkaan, on kilpikonna liikkunut siitä eteenpäin. Sama toistuu kilpikonnan uuden sijainnin suhteen. Näin Akhilleus ei koskaan saavuta kilpikonnaa. Tämän paradoksin ratkaisu liittyy siihen, että vaikka äärellinen matka jaettaisiin äärettömän moneen osaan, matka on silti äärellinen. Ideaoppi
Platon oli hyvin tietoinen teoriansa rajoitteista, ja hän esitti omaa kritiikkiään dialogissaan "Parmenides". Siinä Sokrates esiintyy nuorena filosofina, joka väittelee jo iäkästä Parmenidesta vastaan. Dialogi on jossain mielessä leikkimielinen, koska vanhemmalla Sokrateella on ratkaisuja joihinkin ongelmiin, joiden parissa nuoremman esitetään painiskelevan. Numeroituva joukko
Edelliseen esimerkkiin sisältyy paradoksi (katso Galilein paradoksi), joka on kiehtonut matemaatikkoja toista sataa vuotta. Miten voi parillisia lukuja olla yhtä monta kuin luonnollisia lukuja? Eikö parillisia lukuja ole puolet vähemmän kuin luonnollisia lukuja? Cantorin ajatusleikki parinmuodostuksesta osoittaa kuitenkin, että kumpikin lukujoukko on ehtymätön ja jokaiselle alkiolle löytyy aina toisesta lukujoukosta pari. Äärettömien joukkojen tapauksissa joukon "kokoa" kutsutaankin joukon "mahtavuudeksi" erotukseksi äärellisten joukkojen koosta. Äärettömän joukon kokoa ei arvoida numeerisesti vaan sen mahtavuutta arvioidaan vertailujoukon avulla. Vertailun tulos on, että toinen joukko on yhtä mahtava tai mahtavampi kuin toinen joukko. Joukot voidaan asettaa mahtavuusjärjestykseen vertailun avulla. Filosofisia muruja
Kolmas luku käsittelee ”absoluuttista paradoksia”, hullutusta, jonka Jumalan lihaksituleminen saa aikaan. Neljäs ja viides luku käsittelevät oppilaan ja opettajan välistä suhdetta. Arrow’n paradoksi
Löysentämällä epärelevanttien vaihtoehtojen ehtoa poistamalla Smith-joukon kandidaatit, eräät Condorcet’n vaalitavat täyttävät ehdot. Arrow’n paradoksi
On korostettava, että Arrow’n mahdottomuusteoreema koskee vain sellaisia vaalitapoja, joissa äänestäjät asettavat ehdokkaita suositummuusjärjestykseen. Jotkut vaalitavat, joissa äänestäjät pisteyttävät ehdokkaat, täyttävät kaikki Arrow'n kriteerit. Simpsonin paradoksi
Simpsonin paradoksi on tilastotieteessä esiintyvä paradoksi. Kyseinen paradoksi syntyy, kun kahden muuttujan välinen korrelaatio muuttuu päinvastaiseksi, otettaessa huomioon jokin kolmas muuttuja, joka korreloi molempien muuttujien kanssa. Esimerkiksi, jos peruskoululaisille tehtäisiin kaikille sama testi, voitaisiin huomata, että tupakoivat pärjäävät paremmin, kuin sellaiset jotka eivät tupakoi. Mutta kuitenkin, jos tarkasteluun lisätään testattavien ikä ja tutkitaan tupakoinnin vaikutusta ikäryhmien sisällä tulos kääntyy päinvastaiseksi. Russellin paradoksi
Paradoksin idean voi esittää myös konkreettisena esimerkkinä, esimerkiksi kuuluisalla parturin paradoksilla: oletetaan, että kylän parturi ajaa parran niiltä ja vain niiltä kyläläisiltä, jotka eivät aja omaa partaansa. Ajaako hän tällöin oman partansa? Jos parturi ajaa oman partansa, hän ei aja omaa partaansa ja kääntäen. Zenonin paradoksit
Eräs ratkaisu: Paradoksien yleinen ratkaisu liittyy siihen, että teorian aksioomia (systeemiä) on rajoitettu jollakin tavalla tai aksioomat on muotoiltu väärin. Tästä syystä paradoksin olemassaolo antaa yleensä uutta tietoa systeemistä, teoriasta. Liike-paradoksissa yllä siirrytään koko ajan kohti sitä ajanhetkeä, jolloin liike ei ole vielä alkanut ja niinpä liike ei ala. Koska siis tarkastellaan periaatteessa aikaa, jolloin liike ei ole vielä alkanut (hämärä paradoksin tausta-aksiooma), niin liike ei ole vielä alkanut. Jos tarkastellaan ajanhetkeä, jossa liikettä on tapahtunut, liikettä on tapahtunut. Sorites-paradoksi
Paradoksin ensimmäinen muotoilu on laitettu Eubulideen nimiin. Sorites-paradoksi
ja säätää ensimmäisessä premississä esiintyvä hiekkakasan pienin mahdollinen hiekanjyvien määrä jollekin hyväksytylle tasolle. Galilein paradoksi
Galilein paradoksi syntyy kuviteltaessa kahta joukkoa A ja B, joista A on positiivisten kokonaislukujen joukko, ja B muodostuu niistä positiivisista kokonaisluvuista, joiden neliöjuuri on positiivinen kokonaisluku. Toisin sanoen B muodostuu A:n alkioiden neliöistä. Newcombin paradoksi
Olento on kykenevä ennustamaan hyvin luotettavasti, mitä kuka tahansa ihminen päättää tehdä. Jos päätät ottaa pelkän avaamattoman laatikon, laittaa hän siihen miljoonan; jos päätät ottaa molemmat, jää laatikko tyhjäksi. Koe on toistettu 999 ihmisellä eikä lahjoittaja ole vielä kertaakaan erehtynyt. Valehtelijan paradoksi
Valehtelijan paradoksi liitetään usein antiikin Kreikan kreetalaiseen Epimenideehen, jonka väitetään esittäneen sen muodossa "Kaikki kreetalaiset ovat valehtelijoita". Nykyisin tunnetussa muodossa paradoksin muotoili ensimmäisenä Eubulides. Keskiajan filosofiassa paradoksin ja sen muunnelmien käsittely synnytti oman "insolubilia"-kirjallisuutensa. Sokraattinen ongelma
Gregory Vlastos katsoi, että Platonin dialogeissa esiintyy käytännössä kaksi Sokratesta: varhaiskauden dialogien Sokrates ja keskikauden dialogien Sokrates. Näiden opetukset ovat niin erilaisia, etteivät ne voi olla peräisin samalta henkilöltä. Zenonin paradoksit
Zenonin paradoksit ovat Zenon Elealaisen ja hänen oppilaidensa kehittämiä paradokseja, jotka perustuvat liikkeen, moneuden, jatkuvuuden ja äärettömyyden käsitteisiin. Paradoksien tavoitteena oli paljastaa ristiriitoja, jotka seuraavat oletuksesta, että liike, moneus jne. ovat olemassa. Paradokseja on yhteensä yhdeksän kappaletta. Galilein paradoksi
formula_2 Antiikin filosofia
Parmenideella oli suuri merkitys varsinaisten filosofisten ongelmien muotoilussa. Hänelle rationaalisuus tarkoitti ennen kaikkea tehtyjen päätelmien ristiriidattomuutta. Tavoitellessaan ristiriidattomuutta hän päätyi ensimmäisenä filosofina voimakkaaseen ristiriitaan arkikokemusten kanssa. Parmenideen oppilas Zenon Elealainen jatkoi tätä työtä ja esitti useita paradokseja, jotka pakottivat kyseenalaistamaan joko käytetyn logiikan tai arkikokemuksen. Herakleitos puolestaan ratkaisi ongelman toteamalla, että todellisuus itsessään on ristiriitainen. Hän sanoi kaiken maailmassa virtaavan, kun taas todellista tietoa saadaan vain muuttumattomista asioista. Melissos
Tässä ajattelussa on vastaavanlainen paradoksi kuin Zenonin tunnetummissa paradokseissa, sekä suuressa määrässä myös nykyisessä ajattelussa esiintyvissä paradokseissa. Paradoksi koostuu ensisijaisesti siitä, että älyn ja aistien antamat tulokset poikkeavat toisistaan täysin. Melissoksen abstraktit argumentit osoittivat, että ykseyden muutos on mahdotonta — aistit kuitenkin kertovat, että kuuma muuttuu kylmäksi, kova pehmeäksi, elävä kuolleeksi ja niin edelleen. Epimenides
Ei tiedetä varmasti, milloin Epimenides tuli yhdistetyksi tähän paradoksiin. Hän ei varsinaisesti tarkoittanut esittää ironiaa tai paradoksia runossaan, ei myöskään Kallimakhos, eikä Paavali. Ensimmäinen varma viittaus Epimenideen paradoksiin sellaisena kun sen tunnemme tänään on Bertrand Russellilta vuodelta 1908. Gorgias (dialogi)
Sokrates ja Gorgias käyvät filosofin ja sofistin välisen väittelyn, joka vastaa pienemmässä mittakaavassa tuon ajan Ateenassa käytyjä väittelyitä näiden kahden ryhmän välillä. Sofistit olivat relativisteja, jotka katsoivat, että retoriikka oli hyödyllinen työkalu, joka kykeni paikkaamaan inhimillisen tiedon aukkoja, Platon ja muut filosofit puolestaan uskoivat ylimaallisen, täydellisen tiedon olemassaoloon. Tämän tiedon löytämiseksi filosofit käyttivät dialektiikkaa. Platonin mukaan retoriikka oli dialektiikan kieroutuma, joka vahingoitti sielua luomalla vääriä uskomuksia. Zenonin paradoksit
Zenonin neljä tunnetuinta paradoksia ovat kaikki suunnattuja liikkeen käsitettä vastaan. Nämä neljä paradoksia ovat dikotomia-paradoksi, Akhilleus (ja kilpikonna) -paradoksi, nuoli-paradoksi ja stadion-paradoksi. Ne tunnetaan pelkästään Aristoteleen esittämässä muodossa ("Fysiikka", kirjat VI ja VIII). Aristoteles antoi kuvausten lisäksi selitykset sille, miksi paradoksit ovat virhepäätelmiä. Aristoteleen käyttämää lähdettä ei tiedetä; hän on saattanut tuntea ne suullisen perimätiedon kautta. Sorites-paradoksi
Timothy Williamson ja Roy Sorensen ovat ehdottaneet, että kiinteät rajat ovat kyllä olemassa, mutta ne ovat välttämättä tuntemattomia. Sofisti (dialogi)
"Sofisti" jatkaa "Theaitetos"-dialogin asetelmasta: edellisessä dialogissa keskustelleet Theodoros ja Theaitetos jatkavat seuraavana päivänä keskustelua Sokrateen kanssa, ja paikalla on edelleen myös keskustelua seuraava nuorempi Sokrates. Kyreneläisten mukana on elealainen vieras, joka johtaa keskustelua. Tutkijoiden mukaan tämä vieras on todennäköisesti kuvitteellinen hahmo. Vieras muistuttaa kuitenkin monin tavoin elealaista Parmenidesta. Analyyttinen filosofia
Russell ei ollut kiinnostunut Fregen teoriassa ilmausten "mielestä", vaan siitä mihin ilmaukset viittaavat. Hän esitti teoriansa 1905 julkaistussa artikkelissa "On Denoting". Russell löysi Fregen ajattelusta paradoksin, jota on kutsuttu ns. Russellin paradoksiksi. Russelin mukaan Fregen käsitys ilmausten jakamisesta merkitykseen ja viittauksen kohteisiin johti ristiriitaan logiikan perustavan lain, ristiriidan lain kanssa. Ristiriidan lain mukaan jokainen väite on joko tosi tai epätosi. Condorcet’n menetelmä
Condorcet’n paradoksista johtuen yksiselitteistä voittajaa ei ole kaikissa Condorcet-vaalitavalla toteutetuissa äänestyksissä. Wassily Leontief
Leontiefin tunnetuimmat tutkimukset käsittelevät yleistä tasapainoteoriaa sekä panos–tuotos-analyysia. Lisäksi Leontief tutki kansainvälistä kauppaa ja kehitti nimeään kantavan Leontiefin paradoksin: maailman pääomarikkain valtio Yhdysvallat vie hyödykkeitä, joiden tuottamiseen tarvitaan suhteellisen paljon työvoimaa mutta tuo hyödykkeitä, joiden tuottamiseen tarvitaan suhteellisen paljon pääomaa. Tämä havainto on suorassa ristiriidassa kansainvälisen kaupan perusmallin, Heckscherin–Ohlinin teoreeman, kanssa. Stokesin yhtälö
Stokesin yhtälö Hirtettävän paradoksi
Hirtettävän paradoksille ei ole löydetty täysin yleisesti hyväksyttyä selitystä ja sitä pidetään yksinkertaisesta muodostaan huolimatta hyvin mutkikkaana. Luettelo paradokseista
Tämä on luettelo paradokseista.Antinomiat osoittavat vikoja yleisesti hyväksytyissä aksioomissa, määritelmissä tai järkeilyssä. Suurin osa on Russellin paradoksin erityistapauksia tai muunnelmia.
Konditionaaliset paradoksit pätevät vain tiettyjen oletusten vallitessa. Jotkin näistä osoittavat tuon oletuksen vääräksi tai epätäydelliseksi, jotkin ovat muunlaisia paradokseja. Arrow’n paradoksi
Yksinkertaistettuna teoreeman mukaan yhteisön tulee päästä sopuun yhteisistä preferensseistä ja panna tietyt vaihtoehdot järjestykseen. Jokaisella yksilöllä on omat preferenssinsä ja pitäisi löytää jonkinlainen sosiaalisten preferenssien funktio, joka yhdistää kaikkien yksilöiden preferenssit yhteisiksi. Tällaisella funktiolla eli vaalitavalla tulisi olla kourallinen uskottavia ominaisuuksia:Arrow’n teoreema sanoo, että jos äänestäjiä on enemmän kuin kaksi ja valintavaihtoehtoja enemmän kuin kolme, ei mikään ehdokkaiden järjestykseen pistämiseen perustuva vaalitapa voi täyttää kaikkia viittä ehtoa. Sorites-paradoksi
Soritesparadoksia voidaan kuvata myös siten, että kun poistamme tukasta hiuksen, pysyy tukka tukkana; samalla kuitenkin jossain vaiheessa nypintää henkilö muuttuu kaljuksi. Sokraattinen menetelmä
Sokraattinen menetelmä (, "elenkhos", 'kumoaminen') on Sokrateen kehittämä dialektinen, dialogia hyödyntävä kysely- ja opetusmenetelmä. Se on eräänlainen kyseenalaistava ristikuulustelu tiedon tai mielipiteiden löytämiseksi tai väitteiden kumoamiseksi. Menetelmän on kuvannut ja formalisoinut Platon varhaisemmissa niin sanotuissa sokraattisissa dialogeissaan, kuten "Euthyfronissa" ja "Theaitetoksessa", esittäen Sokrateen keskustelujen pääkuulustelijana. Sokrates käytti menetelmää erityisesti moraalin avainkäsitteiden selvittämiseen. Menetelmä on yksi merkittävimmistä panoksista, jonka Sokrates on antanut länsimaiseen ajatteluun. Sorites-paradoksi
Paradoksia kuvataan yleensä hiekkakasalla; paradoksi rakentuu siitä, mikä on hiekkakasa; kun meillä on olemassa hiekkakasa, ja otamme siitä yhden hiekanjyvän pois, se on yhä hiekkakasa, josta voimme ottaa hiekanjyvän ilman että se lakkaa olemasta hiekkakasa. Tätä jatkettaessa loputtomiin törmätään kuitenkin ristiriitaan, koska hiekkakasassa ei ole ääretöntä määrää hiekanjyväsiä. Pinoparadoksin voi rakentaa myös toiseen suuntaan; yksi hiekanjyvä ei ole hiekkakasa. Jos lisätään yhteen toinen jyvä, saadaan kaksi jyvää, mutta tämäkään ei ole vielä kasa. Jossain vaiheessa hiekanjyvät kuitenkin muodostavat kasan. Platonin poliittinen filosofia
Keskeinen ongelma Platonin filosofian suhteen on niin kutsuttu sokraattinen ongelma, eli Sokrateen ja Platonin ajattelujen erottaminen toisistaan. Platonin poliittisen filosofian suhteen ongelma ei ole aivan yhtä suuri: "Valtion" ajatuksia pidetään usein monia muita ajatuksia selkeämmin juuri Platonin omina; "Laeissa" Sokrates ei esiinny lainkaan; ja "Valtiomiehessä" Sokrates esiintyy vain dialogin alussa. Epäperäiset Platonin teokset
"Oikeamielisyydestä" on lyhyt dialogi, joka käsittelee käsitystä oikeasta. Sokrates esittää, että oikeamielisyys edellyttää tietoa oikeasta, ja ettei kukaan ole väärämielinen jos vain tietää oikeasta. Dialogi muistuttaa "Hyveestä" -dialogia. Aasialainen paradoksi
Aasialainen paradoksi on kansanterveydellinen ristiriita, jonka mukaan Aasian maissa tautien yleisyys ei selity vain tunnetuilla tautien riskitekijöillä. Aasialainen paradoksi osoittaa, että tauteihin liittyvissä yleistyksissä on syytä olla varovainen eikä yleistyksiä voida tehdä pelkästään yhtä muuttujaa tarkastelemalla. Sorites-paradoksi
Supervaluationismi on semantiikka, joka on tarkoitettu viittauksen kohdetta vailla olevien singulaaristen termien ja epämääräisyyden käsittelyyn. Ajatellaan esimerkiksi lausetta ”Pegasos pitää lakritsista”, jossa Pegasoksella ei ole viittauksen kohdetta. Mikä lauseen totuusarvo olisi? Pegasos-myyttikään ei tarjoa mitään ratkaisua. Toisaalta voimme ajatella lausetta ”Pegasos pitää lakritsista tai Pegasos ei pidä lakritsista”, joka on muotoa formula_1 (eli "Lp" tai ei-"Lp"). Eikö jälkimmäinen lause olisi aina tosi, riippumatta lauseen muusta sisällöstä? Supervaluationismin mukaan sen tulisi olla. Zenonin paradoksit
Koottomuutta ja ääretöntä kokoa koskevan argumentin mukaan jos on olemassa monia asioita, ne ovat niin pieniä ettei niillä ole kokoa. Toisaalta kaikilla olemassa olevilla moneuden osilla on oltava koko, koska muulloin koko kokonaisuudellakaan ei olisi mitään kokoa. Tällöin asioiden osat ovat jonkun etäisyyden päässä toisistaan, ja edelleen näiden osat joidenkin etäisyyksien päässä toisistaan, niin että asioilla on loppujen lopuksi ääretön koko. Sokrates
Dialogimuoto mahdollisti oppilaiden kannustamisen itsenäiseen ajatteluun sekä erilaisten draamallisten asetelmien, ironian ja huumorin käytön. Sen avulla oli myös mahdollista välttää dogmaattisia kannanottoja eli sitoutumista tiukasti minkään keskustelun yksittäisen osapuolen kantaan. Platonilla monet dialogit päättyvät "aporiaan", jossa varsinaista kysymystä ei saada ratkaistua lainkaan. Kolmioepäyhtälö
Esimerkkinä tästä on suppean suhteellisuusteorian kaksosparadoksi. Olbersin paradoksi
Nykyinen käsitys ongelman ratkaisusta on, että kaikkeus ei ole ikuinen, vaan sillä on ollut alku ja se laajenee. Koska kaikkeudella siis on ollut alku, se ei ole äärettömän vanha ja näin kaikkien tähtien valo ei ole ehtinyt saavuttaa meitä. Koska tähdet loittonevat meistä, punasiirtymä heikentää niiden kirkkautta. Koska valolla on äärellinen nopeus, näemme kaukana olevat kohteet sellaisina kuin ne olivat menneisyydessä. Kaikkeuden alussa ei ollut tähtiä, joten meistä tarpeeksi kaukana olevat tähdet eivät vielä näy. Condorcet’n paradoksi
Useat 1900-luvun politiikantutkijat ovat todenneet, että Condorcet’n paradoksi syntyy yleensä tilanteissa, joissa äänestäjät hahmottavat vaihtoehdot useamman kuin yhden poliittisen ristiriitaulottuvuuden (esim. vasemmisto–oikeisto-ulottuvuus) kautta. Sokraattinen dialogi
Esimerkiksi Platonin dialogissa "Parmenides" Parmenides ja Zenon tapaavat nuoren Sokrateen. Tämä olisi teoriassa ajoituksellisesti mahdollista, mutta ei todennäköistä. Vielä selvempi ristiriita on dialogissa "Meneksenos", jossa Sokrates pitää hautajaispuheen, joka liittyy vuoden 386 eaa. tapahtumiin — eli tapahtumiin kolmetoista vuotta hänen kuolemansa jälkeen. Platon on kuitenkin ollut taitava luomaan illuusion historiallisesta paikkansapitävyydestä, ja usein henkilöitä ja tapahtumia on erehdytty ajoittamaan hänen dialogiensa mukaan. Selvemmin keinotekoisia ovat Ksenofonin dialogit. Hän ilmoittaa useissa teoksissaan (esimerkiksi "Pidot", "Muistelmia", "Talouden taito") olleensa itse paikalla, mutta tämä ei voi pitää paikkansa. Tällainen ilmoitus vaikuttaa olevan lähinnä keino esittää teoksen sisältö kertomuksena ilman erillistä kertojahahmoa. Newcombin paradoksi
Toisaalta todisteet osoittavat, että jos otat pelkän suljetun laatikon, saat miljoona dollaria, ja jos otat molemmat, saat tuhat. Olisi typerää ottaa molemmat. Toisaalta jo joutuessasi valinnan eteen, on suljetussa laatikossa valmiiksi joko miljoona, tai sitten ei. Oli suljettu laatikko tyhjä tai ei, ansaitset kummassakin tapauksessa tuhat dollaria enemmän kuin muuten. Universaalien ongelma
Eräs klassinen ratkaisu universaalien ongelmaan on realismi sellaisena kuin se esiintyy Platonin keskikauden ajattelussa, jonka keskeisin teos on "Valtio". Platonin ratkaisun mukaan jokaista ominaisuutta vastaa idea. Nämä ideat ovat olemassa yksilöllisinä, ajattomina ja täydellisinä entiteetteinä omassa metafyysisessä todellisuudessaan. Platonin ideat vastaavat sitä, mistä on myöhemmin käytetty nimeä universaalit. Jollakin tavalla jonkun värin idea, kuten Vihreys, toteutuu omissa kuvissaan, samalla tavalla kuten prototyyppiä käytetään kopioiden tekemiseen tai kappale jättää varjon. Abstraktimmin esitettynä, yksittäiset väri-ilmentymät (yksittäisen lehden vihreys, sama vihreä sammakossa) osallistuvat samaan Vihreän ideaan. Platon esitti dialogissaan "Parmenides" kuitenkin itse useita ongelmia omassa opissaan. Eräs näistä oli myöhemmin kolmannen ihmisen argumenttina tunnettu ongelma. Curryn paradoksi
Curryn paradoksi menee seuraavasti; Arrow’n paradoksi
Arrow’n paradoksi tai Arrow’n mahdottomuusteoreema on vaalitapoihin liittyvä teoreema, jonka mukaan mikään sellainen vaalitapa, jossa äänestäjät laittavat osan tai kaikki ehdokkaista suosituimmuusjärjestykseen, ei voi täyttää Arrow’n määrittämiä viittä maalaisjärjen mukaista kriteeriä. Teoreeman kehittäjä Kenneth Arrow voitti tutkimuksiaan esittävällä kirjalla "Social choice and individual values" Nobelin taloustieteiden palkinnon 1972. Platon
Kysymystä siitä, missä määrin Platonin dialogien Sokrates vastaa historiallista Sokratesta, kutsutaan sokraattiseksi ongelmaksi. Joka tapauksessa Platonin dialogeja ei ole tarkoitettu sanatarkoiksi esityksiksi tämän opetuksista. Platon halusi välittää Sokrateesta jälkipolville tietynlaisen kuvan, johon hän halusi myös itse samaistua. Parmenides (dialogi)
Vaikka Sokrates ei kykenekään puolustamaan ideateoriaa Parmenideen argumentteja vastaan, Parmenides vaikuttaa kuulustelua seuraavassa siirtymäosassa puolustavan teoriaa itse. Hän väittää, että ilman ideoita dialektiikka ei ole mahdollista, ja että Sokrates ei kyennyt puolustamaan teoriaa koska hän on saanut liian vähän harjoitusta. Seuraavaksi Parmenides kuvaa, minkälaista harjoitusta hän suosittaa. Dialogin loppuosan muodostaa tällaisen harjoituksen läpikäynti. Siinä nuori Aristoteles-niminen hahmo ottaa roolin Parmenideen kuulustelijana Sokrateen sijasta. Paradoksi
Paradoksi (kreikan sanoista παρά 'vastaan' ja δοξα 'oppi' tai 'näkemys') on väite, joka on vain näennäisesti looginen tai epälooginen. Näennäisesti looginen väite voi johtaa loogiseen ristiriitaan tai järjenvastaiseen tilanteeseen. Näennäisesti epälooginen väite puolestaan voi olla loogisesti selitettävissä. Galilein paradoksi
formula_1 Kaksiluonto-oppi
Toisella vuosisadalla alkoi kirkollisen keskustan reaktioissa hahmottua yhtenäinen linja, jonka soteriologinen ydinajatus on, että ”yhden ja saman” Kristuksen täytyi olla ihmisten pelastuksen tähden kokonaan jumalallinen ja kokonaan inhimillinen. Jo varhain oli tiedossa, että kristillisen uskon salaisuus on lopulta ilmaistavissa ainoastaan paradoksin muodossa. Jumalan olemassaolo
"Kaikkivoipuuden paradoksi" eli kaikkivoivan paradoksi on ryhmä paradokseja, jotka käsittelevät sitä, mitä kaikkivoipa olento voi tehdä. Erityisesti ne käsittelevät sitä, pystyykö kaikkivoipa olento toimimaan siten, että se rajoittaa hänen kaikkivoipuuttaan. Pystyi olento siihen tai ei, kaikkivoipuus voidaan kyseenalaistaa molemmissa tapauksissa. Sokrates
Sokrateen väite omasta tietämättömyydestään voidaan näin nähdä tarkoituksellisena paradoksina ja yhtenä sokraattisen ironian ilmenemismuotona: vaikka se on joskus tulkittu skeptisismin ilmaukseksi, Sokrateen voi toisaalta ymmärtää tarkoittavan sitä, että hän ei ole mistään asiasta ehdottoman varma, mutta hänellä on kuitenkin tietoa siinä mielessä, että hänellä on paljon tosia käsityksiä, joille hän on saavuttanut hyvät perusteet tutkimusmenetelmänsä kautta. Tämän vuoksi Sokrates saattoi samanaikaisesti väittää esimerkiksi, ettei hänellä ole hyvettä koskevaa tietoa, mutta kuitenkin esittää erilaisia moraalisia näkemyksiä. Sokrates
Platonin teoksia lukiessa saa käsityksen, että Sokrates puhuu usein asioiden mystisestä puolesta, kuten jälleensyntymisestä ja mysteeriuskonnoista. Tämä pannaan kuitenkin useammin Platonin kuin Sokrateen nimiin. Ajatusta Sokrateen taipumuksesta mystiikkaan ei voida kuitenkaan täysin hylätä, sillä myös Ksenofonin teokset antavat ajatukselle tukea. Filosofisen polun huipentuma sellaisena, kuin se kuvataan Platonin "Pidoissa" ja "Valtiossa", on ”Kauneuden meri”, hyvän idean näkeminen ja kokeminen mystisenä ilmestyksenä. Viisauden saavuttaminen on mahdollista ainoastaan tällä tavalla. "Pidoissa" Sokrates antaa kunnian filosofista polkua koskevasta puheestaan opettajalleen papitar Diotimalle, joka ei ollut edes varma siitä, olisiko Sokrates kykenevä saavuttamaan korkeimmat mysteerit. "Menonissa" Sokrates viittaa Eleusian mysteereihin ja sanoo Menonille, että tämä ymmärtäisi Sokrateen antamat vastaukset paremmin, jos osallistuisi initiaatioriitteihin seuraavalla viikolla. Zenonin paradoksit
Akhilleus-paradoksi väittää ”ettei nopein juoksija voi koskaan tavoittaa hitainta juoksijaa, sillä takaa-ajoasemassa olevan täytyy ensiksi tulla siihen kohtaan, josta häntä pakeneva aloitti juoksunsa, joten hitaammalla täytyy aina olla jonkin verran etumatkaa”. Paradoksi
Usein paradoksit liittyvät intuitiivisesti todeksi koettuihin asioihin. Niihin usein liittyy myös sisäänrakennettu, joskus vaikeasti havaittava oletus, systeemin rajaus tai sanojen käyttäminen eri moodeissa. Sokraattinen ongelma
Vlastosin mukaan Platonin tarkoituksena ei ollut esittää muistelmia Sokrateen filosofoinnista, vaan luoda se uudelleen draamallisessa muodossa Sokrateen tyyliin filosofoivan päähenkilön kautta. Sokraattinen dialogi
Täsmällisimmin termillä viitataan dialogeihin, joissa päähenkilönä on Sokrates, mutta tyylilajiin kuuluu myös muunlaisia teoksia: esimerkiksi Platonin "Lait" ja Ksenofonin "Hieron" ovat sokraattisia dialogeja, joissa joku muu viisas mies johtaa keskustelua ("Laeissa" tuntematon ateenalainen, "Hieronissa" Simonides Keoslainen). Samoin dialogien tyyli voi vaihdella: Platonin dialogit sisältävät yleensä vain keskustelijoiden puheenvuorot, kun taas Ksenofonin dialogit on kirjoitettu eteneväksi kertomukseksi, joihin sisältyy myös tilanteen kuvausta. Zenonin paradoksit
Eräs ratkaisu: Tässä tapauksessa systeemiä on rajoitettu niin, että lähtökohtaisesti koskaan ei tarkastella ajanhetkeä, jolloin Akhilleus ohittaa kilpikonnan. Tarkastellaan vain ajanhetkiä, jotka lähestyvät asymptoottisesti ohitushetkeä. Ja näin Akhilleus ei tavoita koskaan kilpikonnaa. Vertaa edellinen paradoksi. Valehtelijan paradoksi
Paradoksin ratkaisuksi on esitetty muun muassa (Arthur Prior, 1914-1964), että jokainen lause sanoo epäsuorasti olevansa totta. Esimerkiksi "on totta, että kaksi plus kaksi on neljä" on merkitykseltään sama kuin lause "kaksi plus kaksi on neljä". Näin ollen lause "tämä lause on epätosi", sanoisi todellisuudessa "tämä lause on tosi ja tämä lause on epätosi". Tämä on logiikan kielellä lause "A ja ei-A", joka on epätosi ja jossa ei ole mitään paradoksaalista. Kuitenkin paradoksi kiinnostaa yhä nykyfilosofejakin. Sokrates
Sokraattinen ongelma koskee näin ollen erityisesti sitä, missä määrin Platonin dialogien Sokrateessa on historiallista Sokratesta. Sokrateen ja Platonin näkemysten erottamiseksi on kuitenkin vain vähän selviä todisteita, ja sokraattisen ja platonisen osuuden erottaminen dialogeista on hyvin vaikeaa. On mahdotonta sanoa, oliko esimerkiksi ideaoppi Platonin keksintö vai oliko se jossain muodossa jo Sokrateen luoma ajatus. Standpoint-teoria
Standpoint-teoria ratkaisee feminismin ns. näkökulmasidonnaisuuden paradoksin, joka viittaa relativistisen tietoteorian ja yhteiskuntakriittisen tutkimusotteen yhteensopimattomuuteen. On kysytty, miten voi kritisoida hallitsevan luokan näkökulmaa, jos oma näkökulma ei ole sen todempi? Standpoint-teoria antaa mahdollisuuden vertailla ja asettaa näkökulmia paremmuusjärjestykseen. Hardingin mukaan sana objektiivisuus tulee käsittää uudelleen siten, että sillä tarkoitetaan poliittisesti sitoutunutta näkökulmaa ja pyrkimystä tehdä tutkimusta sorretun luokan näkökulmasta. Näin ollen feminismi edustaa objektiivista näkökulmaa ja on tiedollisesti miesten näkökulmaa parempi. Joukko-oppi
Joukko-opin toinen tärkeä kehitysvaihe sattui 1900-luvun alkuun, kun havaittiin, että Cantorin joukko-oppi johti erinäisiin risti­riitoihin, joita sanotaan anti­nomioksi tai para­dokseiksi. Bertrand Russell ja Ernst Zermelo löysivät toisistaan riippumatta yksin­kertaisimman ja tunnetuimman paradoksin, jota nykyisin tunnetaan Russellin paradoksina. Se käsittelee kaikkien niiden joukkojen joukkoja, jotka eivät ole itsensä alkioita, mikä johtaa risti­riitaan, sillä tämän joukon olisi oltava itsensä alkio siinä ja vain siinä tapauksessa, ettei se sellainen ole. Vuonna 1899 Cantor oli itse asettanut kysymyksen siitä, mikä on kaikkien joukkojen joukon kardinaliteetti, ja havaitsi myös tämän kysymyksen johtavan paradoksiin. Russell käytti para­doksiaan teemana vuonna 1903 laatimassaan yhteen­vedossa manner­maisesta matematiikasta "The Principle of Mathematics" opuksessaan. Newcombin paradoksi
Paradoksi kuuluu seuraavasti: Mahtiolento toisesta galaksin osasta antaa sinulle kaksi laatikkoa: ensimmäinen on auki ja toinen suljettu. Avoimessa laatikossa on tuhannen dollarin seteli. Suljetussa laatikossa on joko miljoona dollaria tai ei mitään. Saat valita joko molemmat laatikot tai pelkän suljetun laatikon. Sokraattinen ongelma
Keskikauden dialogien Sokrates: Tuottavuusparadoksi
Tuottavuusparadoksi on nimitys ilmiölle, johon talouden nobelisti Robert Solow kiinnitti huomiota sarkastisella kommentillaan ”näemme tietokoneiden aikakauden kaikkialla, mutta emme tuottavuustilastoissa”. (You can see the computer age everywhere but in the productivity statistics) Ilmiö on tulkittu paradoksiksi, näennäisesti järjenvastaiseksi, sen perusteella, että huima tietotekniikan kehitys ja panostus eivät ole tulostuneet positiivisina tuottavuuslukuina. Ilmiötä sinänsä ei ole kiistetty, mutta sen tulkinnassa on kaksi koulukuntaa. Mooren paradoksi
Wittgensteinin mukaan henkilö, joka toimii Mooren paradoksin mukaisesti, syyllistyy oman väitteensä ns. epistemologiseen häpäisyyn. Sorites-paradoksi
Eräs lähestymistapa on käyttää hystereesiä. Se voidaan määritellä muistin omaavaksi järjestelmäksi, joka voi olla miten monessa tilassa tahansa. Järjestelmällä voi olla tieto siitä, minkälaisesta tilasta hiekkakasa lähti. Samansuuruisia hiekkamääriä voidaan tällöin pitää kasoina tai ei, riippuen siitä, mikä niiden historia on. Jos suuri hiekkakasa (joka on eittämättä kasa) pienenee vähitellen, se säilyttää asemansa kasana silloinkin, kun sen tämänhetkinen hiekan määrä on vain muutamia hiekanjyviä. Jos tämä tila kuitenkin jatkuu pitkään, se voi menettää kasan asemansa. Georges Sorel
Yksi hänen työnsä kestävimpiä perintöjä on myytin käsite, joka on vaikuttanut niin Mussolinin poliittiseen toimintaan kuin Roland Barthesin poliittiseen teoriaan. Hänen käsityksensä myyttien voimasta ihmisten elämässä inspiroi marxisteja ja fasisteja ja hän myös puolusti väkivaltaa poliittisena metodina. . Sorel oli kiinnostunut ihmisen irrationaalisesta ja intuitiivisesta puolesta. Hänet lasketaan tuolloin vaikuttaneeseen järjen kaikkivoipuutta ja positivismia vastaan suunnattuun "anti-intellektuaaliseen" intellektuellien vallankumoukseen. Hän kritisoi voimakkaasti mm. Ernest Renanin teoriota inhimillisen toiminnan laskennallisesta intressipohjaisuudesta. Theseuksen laiva
Theseuksen laiva on identiteetin ja muutoksen ongelmaan liittyvä korvausparadoksi, joka tunnetaan myös Theseuksen paradoksina. Se nostaa esiin kysymyksen, onko olio, jonka kaikki osat on vaihdettu, edelleen identiteetiltään sama kuin alkuperäinen olio. Condorcet’n paradoksi
Condorcet’n paradoksi on sosiaalisen valinnan teoriaan liittyvä enemmistösääntöä koskeva paradoksi, joka osoittaa, että tietyissä tilanteissa enemmistön tahtoa ei ole mahdollista määrittää. Paradoksi perustuu siihen havaintoon, että vaikka yksittäisten äänestäjien preferenssit äänestettävien vaihtoehtojen suhteen olisivat transitiivisia, äänestäjien enemmistön preferenssit eivät välttämättä ole sitä. Paradoksi on nimetty keksijänsä, 1700-luvulla eläneen ranskalaisen matemaatikon ja valistusfilosofin Nicolas de Condorcet’n mukaan. Hippias (lyhyempi dialogi)
Hippias epäilee, ettei Sokrates ole keskustelussa täysin rehellinen. Sokrates vastaa, että jos hän on hankala, hän ei ole sitä tahallaan. Lopuksi Sokrates myöntää, ettei ole samaa mieltä itsensä kanssa, ja on hämmentynyt omista johtopäätöksistään. Epimenides
Edellä mainittu kohta Epimenideen runosta "Kretika" on antanut myös nimen paradoksille, joka tunnetaan nimellä "Epimenideen paradoksi". Se on yksi versio ns. valehtelijan paradoksista. Simpsonin paradoksi
Vuonna 2000 Pearl esitteli kirjassaan
do()-operaattorin. Sen ja kausaalilaskennan avulla Simpsonin paradoksin aiheuttamat ongelmat saadaan katoamaan. Isoisäparadoksi
Yleisesti paradoksiin on esitetty vastaukseksi että ajassa ei olisi mahdollista mennä menneisyyteen tai tulevaisuuteen, ja aikaa voisi ainoastaan hidastaa tai nopeuttaa aikamatkaajan näkökulmasta. Olbersin paradoksi
Olbersin paradoksiksi kutsutaan kysymystä ”miksi taivas on yöllä pimeä?” Paradoksi tuli tunnetuksi kun Heinrich Olbers julkaisi ongelmaa koskevan tutkielman vuonna 1826. Ongelma on kuitenkin tätä vanhempi – tiedetään, että Kepler oli pohtinut ongelmaa jo vuonna 1610. Ksanthippe
Sokrates vastaa: Sokraattinen ongelma
Tutkijat katsovat kuitenkin yleisesti, ettei Platonin dialogeja ole tarkoitettu sanatarkoiksi kuvauksiksi Sokrateen käymistä keskusteluista, ja vain pieni osa, jos lainkaan, niistä on suoria kuvauksia tämän ajattelusta. Monet dialogeista vaikuttavat käyttävän Sokratesta Platonin omien ajatusten puhetorvena. Toisaalta yleisesti on katsottu, että ainakin Platonin varhaisimmissa dialogeissa historiallisen Sokrateen ääni on jossain määrin kuultavissa. Koska Platonin dialogeissa esiintyvät ajatukset vaikuttavat kehittyvän, kun varhaisista dialogeista edetään kohti keskivaiheen ja myöhäiskauden dialogeja, monet tutkijat ovat katsoneet, että dialogit alkoivat ajan kuluessa esittää yhä vähemmän Sokrateen ajatuksia ja yhä enemmän Platonin omia ajatuksia. Siitä, mitkä tietyt piirteet Platonin dialogeissa edustavat historiallista Sokratesta, ei kuitenkaan ole yksimielisyyttä. Sokraattisessa ongelmassa on kyse tästä. Sorites-paradoksi
Toinen lähestymistapa on käyttää moniarvoista logiikkaa. Kahden loogisen tilan, ”kasa” ja ”ei-kasa”, sijasta voidaan käyttää kolmiarvoista järjestelmää, esimerkiksi ”kasa”, ”epävarma” ja ”ei-kasa”. Kolmiarvoinen järjestelmä ei kuitenkaan ratkaise varsinaista ongelmaa täysin, koska tällöin seuraa kysymys, mihin vedetään raja toisaalta ”kasan” ja ”epävarman” välille, ja toisaalta ”epävarman” ja ”ei-kasan” välille. Kolmas totuusarvo voidaan ymmärtää esimerkiksi ”totuusaukkona” ("truth gap"). Hirtettävän paradoksi
Tuomittu järkeilee seuraavasti: Toisaalta, jos teloittaja koputtaa oveen keskiviikkoaamuna, niin hirttäminen on kuin onkin yllätys. Zenon Elealainen
Edelleen on epäselvää, laatiko Zenon paradoksinsa todistaakseen Parmenideen olleen oikeassa, kuten tärkeimmät historialliset lähteet väittävät, vai oliko paradoksien tarkoituksena vain osoittaa nämä kreikkalaisten hyväksymät käsitteet ristiriitaisiksi. Grellingin–Nelsonin paradoksi
Paradoksi voidaan ratkaista muuttamatta käsitteen heterologinen merkitystä muuntamalla sen määritelmää siten, että se käsittää kaikki epäautologiset sanat paitsi sanan ”heterologinen”. Sanaan ”epäautologinen” liittyy sama paradoksi kuin sanaan ”heterologinen”, johon tämä ratkaisu ei päde, koska kielelliset säännöt määrittävät sen merkityksen sanasta ”autologinen” eroavaksi. Samankaltainen määritelmänmuutos koskien sanaa ”autologinen” (kuten sen määritteleminen ei-”epäautologiseksi” tai vastaavaksi) saattaa vaikuttaa ratkaisevan paradoksin, mutta paradoksi käsittää silti sanojen ”autologinen” ja ”heterologinen” synonyymit kuten ”itseäkuvaava” ja ”itseäkuvaamaton”, joisen merkityksiä olisi myös määriteltävä uudelleen, jolloin näillä muutoksilla olisi seuraamuksia ja niin edelleen. Grellingin–Nelsonin paradoksin poistamiseksi kielestä pelkästään sanojen ”autologinen” ja ”heterologinen” (ja niiden synonyymien) määritelmien muuntelu ei riitä, vaan siihen vaaditaan paljon enemmän kielen muuntelua. Näiden ongelmien laajuutta voidaan verrata matemaattisia joukkoja käsittelevään Russellin paradoksiin seuraavin perustein. Aikamatkustus
Yhtäkään vapaan tahdon ongelmaan tai isoisäparadoksiin esitetyistä ratkaisuista ei voida todistaa tai kunnolla edes teoreettisesti osoittaa oikeiksi. Tarjotut ratkaisuehdotukset kuitenkin osoittavat, että aikamatkustuksesta mahdollisesti syntyvät paradoksit eivät vielä itsessään tee aikamatkustuksesta mahdotonta, sillä ne ovat mahdollisia ratkaista. Grellingin–Nelsonin paradoksi
Voidaan kysyä onko sana ”autologinen” ”autologinen”. Tähän voidaan vastata kahdella eri tavalla:Tämä on sanan ”heterologinen” tilanteen vastakohta: ”heterologinen” ei voi loogisesti olla autologinen tai heterologinen, mutta ”autologinen” voi olla kumpi tahansa, joskaan ei kumpiakin yhtä aikaa. Mooren paradoksi
Mooren paradoksi on pragmatiikkaan ja logiikkaan liittyvä paradoksi. Nimeä "Mooren paradoksi" käytti ensimmäisenä tiettävästi filosofi Ludwig Wittgenstein. Esimerkiksi väite ”Sataa, mutta en pidä totena että sataa.” (= ”Sataa, mutta ei sada.”). Väite voi olla totta, mutta sanoja ei voi itse pitää totena sitä mitä sanoo. Filosofi G. E. Moore totesi, että henkilö, joka ajattelee näin, on älyllisessä umpikujassa. Mooren paradoksia tarkastellaan muun muassa Jaakko Hintikan teoksessa "Knowledge and Belief" (1962). Euthydemos (dialogi)
Euthydemos asettaa sokraattisen menetelmän ja siitä seuraavan opetustavan sofistien käyttämiä menetelmiä vastaan sofistien tappioksi. Euthydemos ja Dionysodoros yrittävät läpi dialogin saada Sokrateen ansaan petollisina ja merkityksettöminä esitetyillä argumenteillaan, joiden tarkoituksena olisi heidän oman filosofisen ylivoimaisuutensa osoittaminen. Platon kuvaa Euthydemoksen ja Dionysodoroksen argumentaatiotavan "eristisenä" eli ”riidanhaluisena”, mikä on peräisin kreikan sanasta "eris", ”riita”. Eristinen argumentti on suunniteltu niin, että kaikki sen kumoamisyritykset epäonnistuvat. Lopputuloksena syntyvät päätelmät ovat kuitenkin erikoisia. Euthydemos esimerkiksi yrittää osoittaa valehtelemisen mahdottomaksi seuraavalla tavalla: Russellin paradoksi
Formaalisti Russelin paradoksi määritellään seuraavasti: Oletetaan, että joukon M alkioita ovat kaikki sellaiset (normaalit) joukot, jotka eivät kuulu itseensä. Joukko A on siis joukon M alkio vain, jos joukko A ei ole itse oma alkionsa. Paradoksi seuraa kysymyksestä, kuuluuko joukko M tällöin yhtenä alkiona itseensä? Jos kuuluisi, niin ei tulisi M:n oman määritelmän perusteella kuulua; jos taas ei kuulu, niin silloin tulisi saman määritelmän mukaan kuulua. Sokraattinen ongelma
Varhaiskauden dialogien Sokrates: Naturalistinen virhepäätelmä
Hedonisti saattaisi vastata toteamalla vain moraalisen hyvän ja mielihyvän korreloivan täysin. Iso osa kritiikistä väittää myös Mooren yleisesti ottaen vain puhuvan analyysin paradoksista, eikä niinkään tietystä etiikan luonteeseen läheisesti liittyvästä ongelmasta. Olbersin paradoksi
Olbersin ajatuksena oli se, että jos avaruus olisi äärettömän suuri ja vanha, kaikkeus olisi tähtien täyttämä ja tähtien valo ulottuisi kaikkialle. Katsoisipa mihin suuntaan tahansa, niin jollain etäisyydellä siinä suunnassa olisi tähti. Tällöin jokainen näkösäde lopulta kohtaisi jonkin tähden pinnan. Koska pintakirkkaus ei riipu etäisyydestä, loistaisi taivas yöllä ja päivällä keskimäärin yhtä kirkkaana kuin tyypillisen tähden pinta. SETI
Havaittavien signaalien puuttuminen viittaa siihen, ettei tähtienvälistä sivilisaatiota ole olemassa. Tämä tunnetaan Fermin paradoksina. Vuonna 1977 havaittua "Wow-signaalia" on usein pidetty todisteena Maan ulkopuolisesta älystä, mutta koska signaalia ei ole havaittu uudestaan, sen pohjalta ei voida tehdä kovin mullistavia johtopäätöksiä. Braessin paradoksi
Jos nyt välille A-B rakennetaan nollan minuutin yksisuuntainen pikayhteys, pahenee tilanne. Kukaan ei tule valitsemaan STARTin ja B:n välistä reittiä, koska reitti START-A-B kestää pahimmassa tapauksessa 40 minuuttia, joka on kuitenkin vähemmän kuin 45 minuuttia. Tultuaan A:han kaikki kuljettajat valitsevat mieluiten jatkoreitin B-END joka kestää enimmillään 40 minuuttia. Kaikki kuljettajat kulkevat siis reitin START-A-B-END, jonka matka-aika on 40+40=80 minuuttia. Uusi pikayhteys pidentää siis kaikkien autoilijoiden matka-aikaa.