Mitä topografia tarkoittaa?
Topografia
Topografia tarkoittaa maan pinnanmuotojen yksityiskohtaista kuvaamista. Muodot esitetään yleensä kartalla korkeuskäyrien avulla, joskus myös varjostamalla tai värittämällä eri korkeudella olevat alueet eri väreillä. Topografiaan voidaan liittää myös maanpinnan laatu (metsää vai peltoa); jos halutaan rajoittua pelkästään korkeussuhteiden kuvaamiseen, tätä voidaan kutsua "orografiaksi".
Avoin joukko
Avoimen joukon käsite on eräänlainen reaalilukujen joukossa määritellyn avoimen välin käsitteen yleistys. Metrisessä avaruudessa avoin joukko määritellään sen metriikan avulla tietyt ehdot toteuttavaksi avaruuden osajoukoksi. Yleisessä topologiassa sen sijaan topologinen avaruus määritellään valitsemalla perusjoukosta kokoelma sen osajoukkoja, joita sanotaan "avoimiksi joukoiksi" ja jotka yhdessä määrittelevät avaruuden topologian. Verkkoteoria
Suomessa tästä matematiikan haarasta käytetään yliopistosta riippuen kahta eri nimitystä eli verkko- tai graafiteoria. Myös käsitteiden nimikirjo poikkeaa opetuspaikan mukaan. Samoin verkkoteoriasta on erotettava omana alueenaan vielä verkostojen teoria. Pohjimmiltaan verkko on verkkoteorian määrittämä solmujen eli pisteiden ja niitä yhdistävien välien eli kaarien kokonaisuus. Topologisessa verkkoteoriassa myös välien erottamat alueet huomioidaan. "Verkko" kuvaa verkkomaisen rakenteen riippumatta sen sisällöstä ja tulkinnasta ja esittää, mitä reittejä verkossa eri pisteiden välillä on. Verkkoja on myös lähes kaikkialla luonnossa ja ihmisen toiminnassa. Verkkoteoria on täten osa olemassaolon yleisempää ymmärtämistä. Yleinen topologia
Yleinen topologia on matematiikassa topologian haara, jossa käytetään joukko-opin perusasioita ja konstruktioita. Se on monen muun topologian haara perusta, kuten differentiaalitopologian, geometrisen topologian ja algebrallisen topologian. Toinen yleisen topologian nimitys on pistejoukkotopologia. Paleografia
Paleografialla tarkoitetaan vanhoihin käsialoihin kohdistuvaa tieteellistä tutkimusta, joka kuuluu tekstuaalitieteisiin. Se on yhtä lailla kielitieteilijöiden kuin historioitsijoiden kannalta tärkeä aputiede. Topologin sinikäyrä
Laajennettu topologinen sinikäyrä määritellään lisäämällä suljettuun topologin sinikäyrään vielä pisteiden (0,1) ja (1,1) välinen jana formula_13. Topologisena avaruutena se on polkuyhtenäinen, mutta ei lokaalisti yhtenäinen. Ortografinen projektio (kartografia)
Ortografisen projektion matemaattiset kaavat voidaan johtaa trigonometrian avulla. Ne voidaan ilmoittaa pallopinnan pisteen leveysasteen ("λ") ja pituusasteen ("φ") avulla. Oletetaan, että pallon säde on "R" ja projektion origo on ("λ", "φ"), toisin sanoen näköpisteen ajatellaan olevan maapallon sen kohdan yläpuolella, jonka leveysaste on "λ" ja pituusaste "φ". Tällöin maanpinnan jokainen piste, jonka leveys­aste on "λ" ja pituus­aste "φ", kuvautuu tason pisteeseen "x", "y" , jonka koordinaatit ovat: Stereografinen projektio
Tämä tekee mahdolliseksi lisätä kompleksitasoon luonnollisella tavalla äärettömyyspiste formula_32. Näin saadaan niin sanottu laajennettu taso formula_33. Toisin kuin tavallinen kompleksitaso, laajennettu taso on topologisena avaruutena kompakti. Laajennetun tason jokaista pistettä vastaa kääntäen yksikäsitteisesti piste pallopinnalla, Riemannin pallolla, kun tämä pallo pohjoisnapaa lukuun ottamatta kuvataan stereografisella projektiolla kompleksitasolle ja pohjoisnavan kuvapisteeksi määritellään piste formula_32. Tämä kuvaus on homeomorfismi. Tähän konstruktioon perustuu koko meromorfi­funktioiden teoria. Riemannin pallolle voidaan määritellä myös luonnollinen metriikka, pallometriikka eli Riemannin metriikka, joka määrittää myös sen ja samalla laajennetun tason topologian. Torus
Algebrallisesa topologiassa ympyrän perusryhmä on isomorfinen kokonaislukujen ryhmän formula_22 kanssa. Tästä seuraa, että toruksen perusryhmä on ympyrän perusryhmän suora tulo itsensä kanssa: Projektiivinen geometria
Termillä "projektiivinen gemeotria" tarkoitetaan toisinaan alan perustana olevaa yleistä abstraktia geometriaa, toisinaan tiettyä, erityistä huomiota osakseen saavaa geometriaa, esimerkiksi taso­geometriaa, jota tutkitaan homogeenisten koordinaattien avulla ja johon euklidinen geometria voidaan upottaa, minkä vuoksi projek­tiivista tasoa kutsutaankin myös "laajennetuksi euklidiseksi tasoksi". Geologia
Kivi on materiaali, joka muodostuu mineraaleista ja luokitellaan mineraalisisältönsä mukaan. Kivet luokitellaan yleensä ne muodostaneiden prosessien mukaan magmakiviin, sedimenttikiviin ja metamorfisiin kiviin. Maaperägeologia (kvartäärigeologia) tutkii kiinteää kallioperää peittäviä irtaimia maalajeja. Näihin kuuluvat hiekka, sora ja turve. Topologinen avaruus
Sovellusten kannalta tärkeimpiä metrisiä avaruuksia ovat joukot formula_60 (eriulotteiset euklidiset avaruudet) ja niiden osajoukot, joissa topologia on edellä sanotulla tavalla määritelty euklidisen metriikan avulla. Tästä yleistys on Hilbertin avaruus, joka on (mahdollisesti ääretönulotteinen) täydellinen sisätuloavaruus. Topografikunta
Laitos vastaa myös puolustushallinnon paikkatietotoiminnasta ja hoitaa myös Suomen Open Skies -toimintaan (Avoin taivas -sopimus) liittyviä tehtäviä. Monisto
Monistot ovat kenties yksinkertaisimpia ja parhaiten tunnettuja konsepteja geometriassa ja topologiassa. Niiden lokaali topologia on triviaali, mikä tekee niiden tutkimisesta yksinkertaisempaa. Toisaalta niiden globaali geometria voi olla hyvinkin monimutkainen. Fysiikassa ja matematiikassa monet luonnolliset objektit, kuten symmetriaryhmät ja aika-avaruus, mallinetaan monistoilla. Differentiaaligeometriassa monistoon liitetään differentioituva struktuuri, ja niin sitä voidaan tutkia analyysin menetelmin. Homografia
Kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa keskeisprojektio pisteestä O (keskuksesta) tasolle P, johon piste O ei sisälly, on kuvaus, jolla piste A kuvataan tason P ja suoran OA leikkaus­pisteeseen, jos sellainen on olemassa. Projektio ei ole määritelty, jos piste A sijaitsee O:n kautta kulkevalla, P:n kanssa yhden­suuntaisella tasolla. Projek­tiivisen avaruuden käsite otettiin alun perin käyttöön euklidisen avaruuden laajennuksena lisäämällä siihen äärettö­myydessä olevat pisteet, jotta projektio voidaan määritellä kaikille muille pisteille paitsi O:lle. Stratigrafia
Stratigrafia (latinan sanoista "stratum", "kerros" ja "graphia", "tutkimusala") on geologisten muodostumien ajoittamista sekä toistensa suhteen että absoluuttisesti. Ajoittamisen avulla pyritään saamaan kokonaiskuva planeetan kiinteän kuoren muuttumisesta ajan kuluessa ja edelleen ymmärtämään kuorta muokanneita prosesseja. Lambertin oikeapintainen tasoprojektio
Toisaalta projektiossa eivät pallo­pinnan käyrien väliset kulmat säily. Missään kuvauksessa joltakin pallon alueelta jollekin tason alueelle eivät säilykään sekä pinta-alat että kulmat. (Jos molemmat säilyisivät, kyseessä olisi lokaali isometria, jossa Gaussin kaarevuus säilyisi, mikä ei kuitenkaan ole mahdollista, koska pallo­pinnalla ja tasolla on eri suuri kaarevuus.) Se seikka, että taso­kuviot eivät voi täydellisesti vastata pallo­pinnan alueita, onkin kartografian perustava ongelma. Metrinen avaruus
Avaruuden formula_31 osajoukko formula_50 on avoin, jos jokaisella pisteellä formula_51 on kuulaympäristö formula_38 siten, että formula_53. Metrisen avaruuden avointen joukkojen kokoelma muodostaa erään formula_2:n topologian, ns. tavallisen topologian formula_55; siten jokainen metrinen avaruus on luonnollisella tavalla topologinen avaruus. Itse asiassa kutsumme topologisen avaruuden formula_56 topologiaa formula_57 metristyväksi jos ja vain jos on olemassa jokin formula_2:n metriikka formula_15 siten, että formula_60. Geometria
Geometrian peruskäsitteitä ovat muun muassa piste, suora, taso, avaruus, ympyrä, ellipsi, kolmio, neliö, pallo, lieriö, kartio, säännöllinen monitahokas, käyrä, pinta, kappale, kulma, pituus, pinta-ala ja tilavuus. Projektiivinen taso
Jos "K" is a topologinen avaruus, voidaan "K"P:n topologia määritellä tulotopologiana, aliavaruuden topologiana tai tekijätopologiana. Jordanin käyrälause
Jordanin käyrä on topologiassa jokainen sellainen tasossa oleva käyrä, joka muodostaa suljetun silmukan eikä leikkaa itseään.
Jordanin käyrälause on topo­loginen lause, jonka mukaan jokainen Jordanin käyrä jakaa tason kahteen osaan, "sisä­puoleen" ja "ulko­puoleen", joiden välisenä rajana se on, niin että jokainen polku, joka yhdistää toisinaan kaksi sen eri puolilla olevaa pistettä,
leikkaa Jordanin käyrän vähintään yhdessä pisteessä. Vaikka tämä lause näin esitettynä vaikuttaa intuitiivisesti selvältä, sitä ei ole helppo todistaa alkeellisilla menetelmillä. Sen selvimmät todistukset perustuvat algeb­ralli­seen topo­logiaan, ja samaan tapaan lause voidaan yleistää myös useampi­ulotteisiin avaruuksiin. Ortografinen projektio (kartografia)
Ortografinen projektio on tasoprojektioiden ryhmään kuuluva karttaprojektio. Stereo­grafisen ja gnomonisen projektion tavoin se kuuluu perspektiivisiin projektioihin, joissa pallon­pinta ajatellaan projisoiduksi sitä sivuavalle taso­pinnalle. Ortografisessa projektiossa näkö­pisteen ajatellaan olevan äärettömän kaukana. Se siis näyttää pallonpuoliskon sellaisena kuin se näyttäisi kaukaa avaruudesta katsottuna, jolloin horisonttia vastaa maapallon isoympyrä. Alueiden muodot ja pinta-alat vääristyvät huomattavasti varsinkin kartan reunoilla, mutta mikäli kartan keskipiste on navalla, etäisyydet leveyspiiriä pitkin tulevat kuvatuiksi oikeassa suhteessa. Suo
Geologiassa suo määritellään suokasvien maatumisesta muodostuneeksi turvekerrostumaksi, jonka paksuus on yli 30 senttimetriä, pinta-ala vähintään 20 hehtaaria ja tuhkapitoisuus alle 40 %. Biologisen suomääritelmän mukaan suo on sellainen maastokuvio, jossa kivennäismaata peittävä orgaaninen maalajikerros on turvetta tai jonka aluskasvillisuudesta 75 % on suokasvillisuutta. Kolmen neljäsosan vaatimus perustuu A. K. Cajanderin metsätyyppioppiin, joka on pitkään ollut Suomen metsä- ja myös suoluokittelun perustana. Metsätieteellisiä soita puolestaan ovat geologiset suot ja biologiset soistumat, mutta myös alle 20 hehtaarin laajuiset suot. Teleologia
Teleologia (kreik. "telos", ”lopputulos”; "logos", ”oppi”) eli tarkoitusperäisyys tai päämäärähakuisuus on a) filosofinen oppi, jossa pohditaan tarkasteltavan kohteen (esimerkiksi jonkin toiminnan) tavoitetta b) oppi esimerkiksi kaikkeuden rakenteen ja järjestyksen tarkoitusperäisyydestä. Teleologialla tarkoitetaan kuvaus- ja selitystapaa, jossa jonkin tapahtuman tai prosessin olemassaoloa ja luonnetta selitetään viittaamalla sen tulokseen, päämäärään. Teleologia on keskeistä Aristoteleen ajattelussa. Torus
Topologiassa torus on mikä tahansa pinta, joka on homeomorfinen kahden ympyrän karteesisen tulon "S" × "S" kanssa, kun tämä varustetaan tulotopologialla. Se on kompakti kaksiulotteinen monisto, jonka genus on 1. Topologinen torus voidaan muodostaa taivuttamalla pitkä ja kapea suorakulmio lieriöksi, liimaamalla sen vastakkaiset sivut yhteen ja sen jälkeen vielä taivuttamalla näin saatu lieriö pituussuunnassa ympyrän muotoon ja liimaamalla sen vastakkaiset päät yhteen. Matemaattisesti symmetrisempi toruksen topologisen määritelmän toteuttava pinta on kuitenkin Cliffordin torus, joka kahden ympyrän karteesisena tulona saatava pinta. Sellaisenaan sitä ei tosin ei voida toteuttaa kolmiulotteisessa avaruudessa formula_1, mutta se voidaan kyllä upottaa neliulotteiseen avaruuteen formula_2. Geodeesi
Geodeesi eli geodeettinen viiva on ”suoran viivan” käsitteen yleistys ”kaareviin avaruuksiin”, esimerkiksi pallopinnalle tai yleisessä suhteellisuusteoriassa kaarevaan aika-avaruuteen. Geodeesin olennainen ominaisuus on, että "lokaalisti" (minkä tahansa pisteen pienessä ympäristössä tarkasteltuna) se muistuttaa suoraa viivaa ja (mikäli avaruudessa on olemassa etäisyysmitta) tarjoaa jossakin mielessä lyhimmän etäisyyden pisteiden välillä. Tarkka matemaattinen määritelmä vaihtelee riippuen siitä, millaista avaruutta tarkastellaan. Fenomenografia
Fenomenografia on kvalitatiivisen eli laadullisen tutkimuksen yksi tutkimussuuntaus. Fenomenografia sanana muodostuu kreikankielisistä sanoista "fainomenon" (ilmiö) ja "graphein" (kuvata, merkitä, kirjoittaa, mitata). Karkeasti sanottuna fenomenografia tutkii ihmisten moninaisia – ja usein ristiriitaisiakin - käsityksiä maailmassa esiintyvistä ilmiöistä ja asioista ja pyrkii kuvaamaan niitä. Pääpaino tutkimuksessa on laadullisesti ja sisällöllisesti erilaisten käsitysten vertailemisessa, ei niinkään ilmiöissä tai tutkittavissa henkilöissä itsessään. Fenomenografian tavoitteena on siis päästä käsiksi ihmisten erilaisiin päätelmiin, tulkintoihin ja ajatuksiin ja vertailla niitä – etsiä samankaltaisuuksia, erilaisuuksia ja poikkeavuuksia. Käsitysten sisältö ja käsitysten suhteutuminen toisiinsa ovat erityisesti mielenkiinnon kohteena. Topologia (matematiikka)
Reaalilukujen joukossa formula_18 nimitetään "tavan­­omaiseksi topo­logiaksi" metriikan Karttaprojektio
Nämä projektiot lienee helpointa ymmärtää tällaisten geometris-optisten konstruktioiden avulla, mutta ne voidaan määritellä myös matemaattisilla kaavoilla. Perusasentoisessa ortografisessa projektiossa leveyspiiriä φ vastaa ympyrä, jonka säde on R · k · formula_1, gnomonisessa taas R ·k · formula_2 ja stereografisessa 2 · R · k · formula_3, missä R on maapallon säde ja k kartan mittakaava navan kohdalla. Jos sivuamispiste ei ole navalla, muodostuvat kaavat monimutkaisemmiksi. Geologinen kartta
Geologinen kartta on visuaalinen esitys geologisesta eli maahan liittyvästä paikkatiedosta. Geologisessa kartassa kuvataan eri värisävyin ja karttamerkein Maan koostumusta ja rakennetta: erilaisia geologisia alueita, kuten maaperä-, maannos-, mineraali- ja kallioperäalueita sekä geologisia muodostumia ja kohteita. Geologiset kartat kuvaavat myös maa- ja kallioperään varastoitunutta vettä eli pohjavesialueita sekä soiden turvealueita. Geologiset kartat voivat olla myös paleontologisia ja kuvata maapallon kehityshistorian eri vaiheita ja geologisia alueita ja kohteita temporaalisesta näkökulmasta. Topologinen aliavaruus
Topologinen aliavaruus on topologinen avaruuden osajoukko varustettuna alkuperäisen avaruuden topologian indusoimalla topologialla. Aliavaruuden topologiaa sanotaan myös "indusoiduksi topologiaksi" eli "relatiivitopologiaksi". Monisto
Toinen ekvivalentti tapa määritellä topologinen monisto juontaa Whiteheadilta ja Vebleniltä . Oletetaan että formula_10 on joukko. Määritellään joukon formula_10 topologisen moniston struktuuriksi laskennallinen joukko formula_12:n alijoukkoja formula_13, missä formula_14, ja bijektiivisiä kuvauksia formula_15, jotka toteuttavat seuraavat kolme aksioomaa. Sanomme, että funktiot formula_23 ovat koordinaatti­funktioita, ja että joukot formula_13 muodostavat kartaston. Kuvauksia formula_25 sanomme koordinaattimuunnoksiksi. Kuvaukset formula_23 indusoivat formula_10:lle topologian, joka on numeroituva Hausdorffin avaruus . Kokonaislukua formula_28 edellisessä määritelmässä kutsutaan moniston ulottuvuudeksi, ja se on yksinkertaisin topologinen invariantti monistolle. Torus
Topologisesti torukseksi voidaan kuitenkin käsittää yhtä hyvin myös mikä tahansa pinta, joka on homeomorfinen näin määritellyn toruksen kanssa. Edellisessä osiossa käsitellyistä geometrisista toruksista vain rengasmainen torus on torus myös tässä topologisessa mielessä. Cliffordin torus voidaan kuvata homeomorfisesti tällaiselle geometriselle torukselle esimerkiksi projisoimalla se stereografisesti formula_1:een "S³":n käsin.
Toisaalta topologinen torus voi olla geometriselta muodoltaan mutkikkaampikin: esimerkiksi myös tavallisen (korvallisen) kahvikupin pinta on homeomorfinen tavallisen toruksen kanssa, mikä on antanut aiheen määritellä topologi leikillisesti "henkilöksi, joka ei näe eroa munkkirinkilän ja kahvikupin välillä". Infografiikka
Termi "infografiikka" on lyhenne yhdyssanasta "informaatiografiikka" eli "tietografiikka". Käsite on melko uusi ja vakiintumaton, ja sillä on joskus tarkoitettu esimerkiksi samaa kuin tiedon visualisoinnilla. Randy Krumin (2013) mukaan infografiikkaan kuuluu tiedon visualisointikaavioiden lisäksi kuitenkin myös kuvitusta ja tekstiä, jotka yhdessä luovat kokonaisen kertomuksen. Laajimmillaan infografiikat muistuttavatkin enemmän artikkeleita tai puheita kuin pelkkiä kaavioita. Homogeeninen avaruus
Topologiassa avaruus formula_1 on homogeeninen avaruus, jos jokaista paria formula_2 kohti on olemassa homeomorfismi formula_3, jolla formula_4. Esimerkiksi Hilbertin kuutio formula_5 on homogeeninen avaruus. Topologia
Käsite topologia tarkoittaa tai esiintyy termeissä: Homografia
Projektiivisen geometrian peruslause käsittää seuraavat kolme väitettä:Jos projektiiviset avaruudet määritellään aksioomien avulla, kuten synteettisessä geo­metriassa tehdään, lauseen kolmas osa on pelkkä määritelmä. Jos projek­tiiviset avaruudet sen sijaan määritellään lineaarialgebrallisesti, lauseen ensimmäinen osa seuraa suoraan määritelmästä. Topologin sinikäyrä
Topologin sinikäyrä on tason pistejoukko, jonka muodostavat suorien "x = 0" ja "x = 1" väliin jäävä osa funktion y = sin (1/x) kuvaajasta sekä origo. Topologisena avaruutena sillä on joukko erikoisia ominaisuuksia, joiden vuoksi sitä käytetään usein esimerkkinä oppikirjoissa. Aleksandrovin kompaktisointi
Olkoon "X" topologinen avaruus. Lisätään siihen yksi piste, jolle yleensä käytetään merkintää ∞, ja muodostetaan täten laajennettu avaruus formula_1. Tälle avaruudelle "X", jota sanotaan X:n Aleksandrovin eli yhden pisteen kompaktisoinniksi, määritellään topologia siten, että siinä avoimia joukkoja ovat kaikki ne "X":n osajoukot, jotka ovat "X":n topologiassa avoimia, sekä sellaiset joukot formula_2, jotka sisältävät pisteen ∞ ja joiden komplementti "X":ssä on suljettu ja kompakti joukko. Kanta (topologia)
Olkoon "X" mielivaltainen joukko ja "B" kokoelma sen osajoukkoja. Tällöin "B" on jonkin "X":n topologian kanta, jos se toteuttaa seuraavat ehdot:Jos "X":n osajoukkojen kokoelma "B" ei toteuta molempia ehtoja, se ei ole minkään "X":n topologian kanta. Se on kuitenkin alikanta, samoin kuin jokainen kokoelma "X":n osajoukkoa. Kääntäen jos "B" toteuttaa molemmat ehdot 1 ja 2, on olemassa yksikäsitteinen "X":n topologia, jonka kanta "B" on; sitä sanotaan "B":n "generoimaksi" topologiaksi. Tämä onkin hyvin yleinen tapa määritellä avaruuksien topologiat. Välttämätön, mutta ei riittävä ehto sille, että "B" generoi "X":lle jonkin topologiaan, on että "B" on suljettu leikkausten suhteen eli kahden siihen kuuluvan joukon leikkauskin aina kuuluu siihen tai on tyhjä; silloin nimittäin joukko "B" = "I" voidaan muodostaa edellä selitetyllä tavalla. Genus (matematiikka)
Genus on topologiassa pinnan niin sanottujen kahvojen lukumäärä. Genus on siis kokonaisluku, joka kertoo montako erillistä silmukkaa myöten pinnan voi leikata auki niin että se pysyy yhtenäisenä.
Seuraavat määritelmät aritmeettiselle ja geometriselle genukselle löytyvät Qing Liun kirjasta "Algebraic Geometry and Arithmetic Curves": Karttaprojektio
Tasoprojektiossa eli atsimutaalisissa projektioissa maanpinta ajatellaan projisoiduksi tasolle, joka sivuaa maapalloa jossakin pisteessä. Tästä keskipisteestä katsottuna kaikki suunnat näkyvät oikeina. Projektiota sanotaan perus- eli normaaliasentoiseksi, jos tämä sivuamispiste on pohjois- tai etelänavalla. Jos se on päiväntasaajalla, on kyseessä poikittaisasentoinen eli transversaali, ja jos se on jossakin muualla, on kyseessä vinoasentoinen projektio. Perusasentoisessa projektiossa pituuspiirit ovat suoria ja leveyspiirit samankeskisiä ympyröitä, ja niitä käytetään varsinkin napaseutujen kartoissa.
Ns. "perspektiivisiä" tasoprojektioita ovat "ortografinen", "stereografinen" ja "gnomoninen" projektio. Jokainen näistä voi olla normaali-, poikittais- tai vinoasentoinen. Orto­grafinen projektio näyttää maapallon sellaisena kuin se näyttäisi kaukaa avaruudesta katsottuna; myös jos valokuvataan karttapallo kameran sijaitessa riittävän kaukana siitä, saadaan ortografisen projektion mukainen kartta. Kartassa voi näkyä enintään puolet maapallon pinnasta. Projektiota käytetään yleisesti myös Kuun kartoissa, koska se näyttää Kuun sellaisena kuin se näkyy Maasta käsin kaukoputkella; Kuustahan on aina sama puoli kääntyneenä maata kohti. Typografia
Typografia (kreik. τύπος ’muoto’ + γραφή ’kirjoitus’) on tekstin ja kirjainten asettelua, jonka tarkoituksena on helpottaa viestin perillemenoa antamalla tekstille oikeanlainen visuaalinen muoto. Typografian tekijää sanotaan typografiksi ja erityisesti kirjainten suunnitteluun erikoistunutta sanotaan kirjainsuunnittelijaksi. Algebrallinen topologia
Yleisesti kaikki algebrallisen topologian konstruktiot ovat funktoriaalisia. Juuri algebrallisen topologian tuloksena syntyivät käsitteet kategoria, funktori ja luonnollinen muunnos. Perusryhmät, homologia- ja kohomologiaryhmät eivät ole annetun topologisen avaruuden ainoita invariantteja siinä mielessä, että nämä ryhmät ovat samat kaikilla keskenään homeomorfisilla avaruuksilla. Avaruuksien välinen jatkuva kuvaus indusoi ryhmien välille ryhmähomomorfismin ja näitä homomorfismeja voidaan käyttää avaruuden rakenteen tutkimiseen. Spiraali
Spiraali eli kierukka on viiva tai kuvio, joka kiertää itseään leikkaamatta monta kierrosta saman keskipisteen tai akselin ympäri. Geometriassa spiraali on tasokäyrä, joka itseään leikkaamatta kiertää äärettömän monta kertaa saman keskipisteen ympäri ja jota pitkin liikkuva piste loittonee koko ajan keskipisteestä tai lähestyy sitä. Ortografinen projektio (kartografia)
Laajemmassa merkityksessä ortografiseksi voidaan sanoa mitä tahansa projektiota, jossa näköpisteen ajatellaan olevan äärettömän kaukana ja projektioviivat sen vuoksi ovat yhdensuuntaisia. Tällä tavoin pallopinta voidaan ajatella projisoiduksi mille tahansa pinnalle, esimerkiksi lieriön pinnalle. Jos tällöin lieriön akseli yhtyy pallon akseliin, saadaan kartta, jossa alueiden muodot vääristyvät vain napojen läheisyydessä. Tällainen karttaprojektio on Lambertin oikeapintainen lieriöprojektio. Homologia
Homologia rakennelma vaikuttaa kenties mielivaltaiselta, mutta se tulee esiin luonnollisella tavalla, kun käsitellään simpleksejä ja topologisia avaruuksia. Lyhyesti, standardi formula_11-simpleksi formula_12 on joukko vektoreita formula_9-ulotteisessa euklidisessa avaruudessa 
ja formula_9-simpleksi formula_16 topologisessa avaruudessa formula_10 on jatkuva kuvaus formula_12:stä formula_10:ään:
formula_16:n reuna formula_22 on määritelty formaaliksi summaksi formula_16 rajoitettu formula_12:n alisimplekseihin, missä suunnistus vaikuttaa etumerkkiin. Esimerkiksi, jos formula_10 on viiva formula_26, niin silloin formula_27 ja formula_28. Olkoon formula_29 rengas. Tällöin voidaan konstruoida formula_29-moduuli, jonka virittäjät ovat kaikki formula_11-simpleksejä formula_10:ssä formula_33. Nyt meillä on formula_29-moduleista koostuva ketjukompleksi, jonka jäsenten välillä on määritelmässä vaaditut homomorfismit. Piste (geometria)
Geometriassa, topologiassa ja muilla näille rinnasteisilla matematiikan aloilla piste on yksinkertaisin olio, jolla muut oliot voidaan määritellä. Geometriassa, joka käsittelee tilan muotoja ja niiden mittaamista, pisteellä ei ole mitattavaa pituutta, pinta-alaa, tilavuutta tai muutakaan useampiulotteista suuretta. Piste on siten abstrakti käsite, jolla halutaan merkitä paikkaa geometrisessä konstruktiossa. Homografia
Jos on annettu kaksi yhtä moni­ulotteista projek­tiivista "P"("V") ja "P"("W"), homo­grafia on vektori­avaruuksien välisen isomorfismin formula_2 indusoima kuvaus "P"('V"):sta "P"("W"):hen. Koska "f" on lineaarinen, tällainen iso­morfismi indusoi bijektion "P"('V"):sta "P"("W"):hen. Kaksi isomorfismia, "f" ja "g", indusoivat saman homo­grafian, jos ja vain jos "K":ssa on alkio "a", joka ei ole nolla-alkio ja jolle "g" = "af". Homotopia
Topologiassa kahden jatkuvan funktion sanotaan olevan homotooppisia keskenään, jos ne voidaan muuntaa jatkuvalla kuvauksella toisikseen. Homotopian avulla voidaan määrittää homotopia- ja kohomotopiaryhmiä, jotka ovat tärkeitä käsitteitä algebrallisessa topologiassa. Homografia
Homografia eli projektiivinen muunnos on projek­tiivisessa geo­metriassa projek­tiivisten avaruuksien välinen isomorfismi, jonka indusoivat niiden vektori­avaruuksien välinen isomorfismi, josta ne on johdettu. Se on bijektio, jossa suorat kuvautuvat suoriksi ja näin ollen kollineaatio. Joissakin projek­tiivisissa avaruuksissa voi olla myös kolline­aatioita, jotka eivät ole homo­grafioita, mutta projek­tiivisen geo­metrian perus­lauseen mukaan vähintään kaksi­ulotteisissa reaali­sissa projek­tiivisissa avaruuksissa jokainen kolli­neaatio on samalla homo­grafia. Joskus homo­grafioista käytetään myös nimityksiä projektivi­teetti tai projek­tiivinen kolline­aatio. Vektorikimppu
Vektorikimppu on matemaattinen konstruktio, jossa jonkin avaruuden, nk. pohja-avaruuden, pisteisiin liitetään vektoriavaruus. Näiden vektoriavaruuksien oletetaan liittyvän yhteen "jatkuvasti", ts. tarvitaan topologian käsitteistö. Geologia
Geologia (kreikan sanoista γη- ("ge-", "maa") ja λογος ("logos", "tiede")) on tieteenala, joka tutkii Maata ja sen historiaa, rakennetta, koostumusta sekä sen muotoutumiseen vaikuttavia tapahtumia. Tutkimuksen kohteena ovat maankuoren kivet ja kiviä synnyttävät prosessit. Geologian sovelluksilla on taloudellista merkitystä etenkin malmien, mineraalien ja fossiilisten polttoaineiden etsinnässä. Topologia (matematiikka)
On osoittautunut, että kaikki topologiset käsitteet voidaan määritellä avoimen joukon käsitteen avulla. Tämän vuoksi tämä käsite on nykyisin otettu topologian perus­käsitteeksi. Teknisenä terminä topo­logialla tarkoitetaan sellaista kokoelmaa jonkin perus­joukon osajoukkoja, joka täyttää seuraavat ehdot:Tällöin kyseisen kokoelman alkioita sanotaan (perusjoukon) avoimiksi joukoiksi ja perusjoukon ja sen topologian muodostamaa paria topologiseksi avaruudeksi. Homografia
Historiallisesti homografian käsite on otettu käyttöön visuaalisen perspektiivin ymmärtämiseksi, selittämiseksi ja tutkimiseksi ja erityisesti sen selvittämiseksi, millä tavoin kaksi tasokuviota näyttävät erilaisilta eri näkökulmista katsottuina. Topos
Topos voidaan kääntää "keskustelun aiheeksi", "väittelyn linjaksi" tai "yhteiseksi (jaetuksi) paikaksi". Curtius laajensi käsitettä tutkimalla topoksia yhteisinä paikkoina, joita ovat esimerkiksi perinteisestä materiaalista tehdyt uudet tulkinnat, erityisesti standardisoituneet miljöökuvaukset, mutta hän ulotti tutkimuksensa lähes jokaiseen kirjallisuuden meemiin. Esimerkiksi antiikin klassisen taruston tavasta tappaa päähenkilönsä on olemassa yleinen käsitys, topos "kaikkien tulee kuolla", jota Curtius pitää tavallaan lohdullisena kerrontana, koska usein kun henkilö kohtaa kuolemansa hän pysähtyy reflektoimaan, että jopa historian suurmiehetkin ovat kuolleet. Hieman erilaisena topoksena Curtius pitää luonnon (taivas, meret, eläimet jne.) kutsumista tai manaamista paikalle erilaisten kerronnallisten tarkoitusperien vuoksi, kuten todistamaan valan vannomista, iloitsemista ja jumalan ylistämistä tai jakamaan päähenkilön surun. Homografia
Keskeiskollineaatio on homogragia, joka määrittelee ("n"+1) × ("n"+1) -matriisi ("homografiamatriisi"), jolla on "n"-ulotteinen ominaisavaruus. Se on homologia, jos matriisilla on toinenkin ominaisarvo, jolloin se on dia­gonali­soituva. Se on elaatio, jos kaikki ominais­arvot ovat yhtä suuret eikä matriisi ole dia­gonali­soituva. Topologinen avaruus
Luonnollisten lukujen topologia, joka sisältää tyhjän joukon ja koko joukon lisäksi vain parilliset ja parittomat luvut avoimina joukkoina, ei ole formula_27. Luonnollisten lukujen alkusegmenttitopologia, jossa avoimia ovat joukot formula_44 kaikilla termin formula_45 arvoilla on formula_27 mutta ei formula_31. Luonnollisten lukujen kofiniittinen topologia on formula_31 mutta ei formula_37. Tyyppiesimerkki formula_37-topologiasta on reaalilukujen tavallinen topologia, jossa avoimia ovat avoimet välit ja niiden unionit. Arkeologia
Arkeologia on tieteenä hyvin spatiaalinen, eli ilmiöiden sijaintia käsittelevä. Kohteiden sijainti on yleensä hyvin tiedossa, ja löytöjen levintää sekä asuinpaikkojen sijoittumista analysoimalla saadaan niistä arvokasta tietoa. Arkeologi hyödyntää spatiaalisia menetelmiä tunnistaakseen ilmiöihin, niiden sijaintiin ja levintään liittyviä ominaisuuksia ja säännönmukaisuuksia. Hän yrittää myös ymmärtää, mitkä tekijät ovat vaikuttaneet kohteen muotoutumiseen. Spatiaaliseen analyysiin kuuluvat erilaiset sijaintitietoa hyödyntävät analyysit kuten karttojen visuaalinen tarkastelu ja tilastollinen analyysi. Nykyisin siinä käytetään paikkatietojärjestelmiä. Spatiaalisiin analyyseihin liittyvät korologiset menetelmät ja kartografia. Topologinen avaruus
Topologinen avaruus on järjestetty pari formula_1, missä formula_2 on joukko ja formula_3 on sellainen sen osajoukkojen kokoelma (ns. topologia), jonka jäseniä ovat
ts. formula_3 toteuttaa topologiset aksioomat Verkkotopologia
Väylätopologia on vanhin käytössä olevista topologioista. Siinä verkon laitteet on kytketty yhteen yhdistävään kaapeliin, jonka molemmat päät on kytketty terminaattoriksi kutsuttuun vastukseen. Esimerkiksi 10Base2 ja 10Base5 ovat väylätyyppisiä verkkoja, joita ei enää rakenneta. Väylätopologian heikkous on siinä, että sen käyttö perustui kilpavarausmenettelyyn (CSMA/CD), jolloin verkkoa saattoi käyttää vain yksi laite kerrallaan ja jokainen laite joka yritti liikennöidä verkossa yhtä aikaa jonkin toisen laitteen kanssa aiheutti törmäyksen ja ruuhkautti verkkoa. Näin ollen laitteiden määrä oli rajattu. Väylärakenteessa kaikki verkossa olevat koneet saavat sanoman samaan aikaan. Kaapelina käytetään joko koaksiaali- tai valokuitukaapelia. Väylärakenteen ongelmana on, että mikäli kaapeli menee epäkuntoon, on verkko tämän jälkeen kahdessa osassa ja lakkaa toimimasta. Reuna (topologia)
Topologiassa ja yleisemminkin matematiikassa topologisen avaruuden "X" osajoukon reuna on niiden pisteiden joukko, joita voidaan lähestyä sekä "S":n sisä- että ulkopuolelle. Täsmällisemmin sanottuna se on niiden pisteiden joukko, jotka kuuluvat "S":n sulkeumaan, mutta eivät ole "S":n sisäpisteitä. "S":n reunalla olevia pisteitä sanotaan "S":n reunapisteiksi.
Reunaoperaatiolla tarkoitetaan annetun joukon reunan määrittämistä. Joukon "S" reunalle käytetään merkintöjä bd("S"), fr("S"), and ∂"S". Hydrografia
Hydrografialla tarkoitetaan vesialueen topografisten ominaisuuksien kartoittamista. Hydrografiassa tutkinnan alaisia asioita ovat mm. syvyydet, vuorovedet sekä hylkyjen, riuttojen, merkkien, poijujen ja rannikon ominaisuuksien kartoittaminen. Tarkoituksena on varmistaa vesialueiden turvallisuus merenkululle sekä tuottaa lisätietoa navigointia ajatellen. Uniforminen avaruus
Topologiassa (matematiikka), uniforminen avaruus on joukko, jolla on tasainen rakenne. Uniformit avaruudet ovat topologisia avaruuksia, joita kuvataan lisäksi rakenteella, jotka määrittävät uniformit (tasaiset) ominaisuudet, kuten täydellisyyden, tasaisen jatkuvuuden ja tasaisen suppenemisen. Topologia (matematiikka)
Yleisesti jos formula_8 ja formula_9 ovat joukon formula_1 kaksi topologiaa ja formula_11, sanotaan että formula_8 on karkeampi eli heikompi kuin formula_9. Vastaavasti topologia formula_9 on hienompi eli vahvempi kuin formula_8. Jos on annettu kaksi saman avaruuden topologiaa joista kumpikaan ei ole toisen osajoukko, ei näiden kahden topologian karkeutta voida vertailla keskenään. Käyrä
Topologisessa tarkastelussa on huomattava, että käyrä ja sen kuvaaja ovat kaksi eri asiaa. Kahden eri käyrän kuvaajat voivat olla samat. Esimerkiksi fysikaalisesti tulkittuna käyrää pitkin voidaan kulkea eri nopeuksilla tai Jordan-käyrää voidaan kiertää useita kertoja. Normi (matematiikka)
Jokainen normiavaruus on luonnollisella tavalla metrinen avaruus. Nimittäin jos formula_18 on normiavaruus, niin kuvaus formula_19, formula_20 on metriikka. Kutsumme tämmöisen ns. normimetriikan virittämää topologiaa "tavalliseksi topologiaksi". Geodesia
Geodesia eli maanmittausoppi on tiede, joka mittaa ja esittää maapallon kokoa ja muotoa ja kohteiden sijaintia sen pinnalla. Geodesia tutkii myös Maan painovoimakentän rakennetta, alanimeltään fysikaalinen geodesia. Kanta (topologia)
Topologisen avaruuden kanta ei kuitenkaan ole yksikäsitteinen. Monet kannat, erisuuretkin, saattavat generoida saman topologian. Esimerkiksi sellaisten avointen välien joukko, joiden molemmat päätepisteet ovat rationaalilukuja, on myös reaalilukujoukon tavanomaisen topologian kanta, samoin kuin toisaalta sellaistenkin avointen välien joukko, joiden molemmat päätepisteet ovat irrationaalilukuja, mutta nämä kaksi joukkoa ovat täysin erillisiä ja molemmat sisältyvät kaikkien avointen välien joukkoon. Toisin kuin vektoriavaruuden kanta lineaarialgebrassa, topologisen avaruuden kanta ei välttämättä ole maksimaalinen; itse asiassa ainoa maksimaalinen kanta on avaruuden topologia (eli kaikkien avointen joukkojen kokoelma) itse. Mikä tahansa annetun kannan generoimaan topologiaan kuuluva avoin joukko voidaan lisätä kantaan, jolloin tuloksena on kanta, joka generoi saman topologian. Pienintä mahtavuutta, joka topologisen avaruuden jollakin kannalla on, sanotaan tämän avaruuden "painoksi". Koreografia
Koreografia on sananmukaisesti tanssin kirjoittamista, mutta tunnetaan myös tanssikompositiona eli tanssin säveltämisenä. Sanan alkuperä on antiikin Kreikassa, jossa "choregus" tarkoitti "dityrambi"-esityksen harjoittajaa. Koreografialla viitataan useimmiten tanssin liikkeiden suunnitteluun, mutta sitä esiintyy myös muissa ihmisen liikkumista sisältävissä lajeissa kuten taitoluistelussa, taitouinnissa tai joukkuevoimistelussa. Koreografia sisältää kaiken, mitä esiintyjien täytyy tietää ja opetella teoksen esittämiseksi koreografin haluamalla tavalla. Torus
Topologiassa torus on suljettu pinta, jonka määritellään kahden ympyrän karteesisena tulona varustettuna tulotopologialla:"S" × "S". Sen voidaan ajatella sijaitsevan kompleksisessa koordinaattiavaruudessa formula_18, ja se on formula_19-säteisen 3-pallon "S" osajoukko. Topografia
Topografiasta saadaan tietoa joko paikan päällä korkeusmittarilla ja takymetrillä tai nykyisin yhä useammin GPS-laitteistolla, tai sitten kaukokartoituksen keinoin. Topologinen kartta
Kartan nimi viittaa matematiikan osa-alueeseen nimeltä topologia, joka tutkii sitä, mikä säilyy muutoksessa. Aivan erityyppinen on topografinen kartta, jossa nimenomaan kuvataan pinnanmuodot, korkeuskäyrät ja yksityiskohdat tarkasti. Aihekartat
Aihekartat (Topic Maps) ovat 1999 standardoitu (ISO13250) menetelmä tallentaa tietämystä tietokoneen ymmärtämään muotoon. Aihekartat koostuvat aiheista (Topics), aiheiden välisistä yhteyksistä (Associations) ja aiheiden ilmentymistä (Occurrences). Aihekarttojen rakenteesta puhuttaessa viitataankin usein ns. TAO-malliin. Aihekartta voidaan visualisoida verkkona, jossa verkon solmuina ovat aiheet ja verkon kaarina assosiaatiot. Ilmentymät ovat verkon solmuihin linkitettyjä resursseja, kuten teksti- ja kuvatiedostoja. Aihekartat ovat yksi ontologioiden ja Semanttisen Webin toteutusteknologioista. Pinta (geometria)
Olkoon formula_1 topologinen avaruus. Tällöin joukon formula_2 pinta on mikä tahansa jatkuva kuvaus formula_3, missä joukko formula_4 on yhtenäinen. Topologia (matematiikka)
Ensimmäisestä ehdosta nähdään, että avaruuden formula_1 topologiaan kuuluvat ainakin alkiot formula_2 ja formula_1. Edelleen näiden joukkojen kokoelma toteuttaa myös kaksi muuta topologian ehtoa, jolloin kyseistä topologiaa kutsutaan minitopologiaksi tai indiskreetiksi topologiaksi. Myös formula_1:n potenssijoukko on eräs formula_1:n topologia, diskreetti topologia. Siten formula_1:n indiskreettitopologia on aina formula_1:n diskreetin topologian osajoukko. Avoin joukko
Topologinen avaruus määritellään valitsemalla annetusta joukosta "X" kokoelma sen osajoukkoja, joita nimetään avoimiksi. Tämä kokoelma on valittava niin, että se toteuttaa edellä todetut, jo metrisissä avaruuksissa pätevät tulokset:Tätä avoimien joukkojen kokoelmaa sanotaan joukon "X" topologiaksi. Pyrografia
Pyrografia eli polttopiirustus on menetelmä jolla tehdään kuvioita kuumennetun työkalun avulla. Polttopiirustusta on käytetty muun muassa puun, nahan tai sametin kuviointiin. Se on ollut kansantaiteessa käytetty menetelmä. Topologinen avaruus
Käytännössä yleensä tutkitaan äärettömiä topologioita. Äärellinen topologia voi olla helpommin ymmärrettävä esimerkki joistakin topologian peruskäsitteistä, mutta toiset käsitteet ovat mielekkäitä vain äärettömissä joukoissa. Äärettömään joukkoonkin voidaan määrittää topologia, jossa on äärellinen määrä alkioita (esimerkiksi koko formula_9, tyhjä joukko ja vain luvun 1 sisältävä joukko muodostavat topologian reaalilukujen joukolle), mutta käytännön merkitystä niillä ei juuri ole. Topologia (matematiikka)
määräämää topologiaa. Rotaatio (geometria)
Geometriassa rotaatio eli kierto on eräs yhtenevyyskuvaus. Siinä tasokuvio kierretään jonkin kiinteän pisteen ympäri taikka kolmiulotteisen avaruuden kappaleet jonkin akselin ympäri siten, että jokaisen pisteen vastinpiste kuvauksessa on samalla etäisyydellä tästä kiinteästä pisteestä tai akselista kuin alkuperäinen piste, mutta eri suunnassa. Verkkotopologia
Fyysisellä topologialla tarkoitetaan sitä, miten koneet on fyysisesti liitetty toisiinsa kaapeleilla. Fyysinen rakenne ei ota kantaa siihen, miten paketit liikkuvat johdoissa. Kun verkon rakennetta aletaan tarkastella siinä liikkuvien pakettien kannalta, tulee eteen verkon looginen rakenne. Verkon fyysinen rakenne voi olla erilainen kuin sen looginen rakenne. Pohjatutkimus
Kartoituksella tarkoitetaan rakennusalueen topografian selvittämistä esimerkiksi takymetrimittauksin. Rakennusalueen kartoituksessa esitetään yleensä tontin rajat ja rajapyykit numeroineen. Kartoituksessa on tarkoitus tuoda esille tontilla sijaitsevat olemassa olevat rakenteet, suuret lohkareet, ojat, rantaviiva, vesistöraja, merkittävät puut ja maalajien vaihtelut esimerkiksi kalliosta maaksi. Tärkeätä on myös kartoittaa mahdolliset kunnallistekniset järjestelmät. Olemassa olevien kaapeleiden sijainti tulee varmistaa kaapelinäytöllä. Avoin joukko
Avoin joukko on topologian keskeisin peruskäsite. Avoimien joukkojen avulla voidaan suoraan määritellä mm. topologian keskeiset käsitteet "raja-arvo", "jatkuvuus" ja "yhtenäisyys". Stereografinen projektio
Kartografian perusongelma on, että kuvattiinpa pallopinta tasolle millä tavalla tahansa, eivät kartassa voi sekä kulmat (ja näin ollen alueiden muodot) että pinta-alojen suhteet näkyä oikein. On kuitenkin olemassa karttaprojektioita, joissa pinta-alojen suhteet ovat oikein, ja toisia, joissa kulmat ovat oikein. Edelliset soveltuvat varsinkin tilastollisiin karttoihin, jälkimmäisiä navigointiin. Tekijäavaruus (topologia)
Topologiassa ja siihen liittyvillä matematiikan aloilla tekijäavaruus on, intuitiivisesti ilmaistuna tulos, joka saadaan samastamalla toisiinsa tai ”liimaamalla yhteen” jotkin annetut topologisen avaruuden pisteet. Toisiinsa samastettavat tai ”yhteen liimattavat” pisteet määritellään ekvivalenssirelaatiolla. Tavallisimmin tämä tehdään uuden topologisen avaruuden konstruoimiseksi jonkin ennestään tunnetun avulla. Tekijätopologia käsittää ne ne joukot, joiden alkukuva siinä kanonisessa projektiossa, jolla jokainen lähtöavaruuden alkio kuvataan sitä vastaavalle ekvivalenssiluokalle, on avoin joukko. Typografia
Typografiaan kuuluu muun muassa kirjasintyypin valinnat, kirjainkoko, tekstin "väri", rivin pituus ja tasaus, riviväli, orpo- ja leskirivit, sanavälit, merkkivälit, palstavälit, sisennykset, otsikointityyli, anfangit ja tekstin korostukset. Myös typografisen merkistön käyttö (kuten oikeanlaisten numerojen ja murtolukujen, ligatuurien, lainausmerkkien tai viivojen valitseminen) kuuluu typografiaan. Topologia (matematiikka)
Topologian alaan kuuluvia käsitteitä käytettiin differentiaali- ja integraali­laskennassa jo 1600-luvulla. Seuraavalla vuosi­sadalla muun muassa Leonhard Euler käsitteli eräissä artikke­leissaan topo­logian alaan kuuluvia kysymyksiä. Pornografia
Pornografia (kreikan sanoista πόρνη ("pornē") ’prostituoitu’ + γραφή ("grafē") ’kirjoitus’), lyhyemmin porno, on seksuaalista kiihottumista aiheuttavaa tai sellaiseksi tarkoitettua kuvallista tai kirjallista aineistoa. Taso
Taso on geometriassa kaksiulotteisen avaruuden yleisnimitys. Taso tarkoittaa tasaista kaksiulotteista pintaa, joka jatkuu rajoittamattomasti kaikkiin suuntiin. Tasosta voidaan rajoittaa vain pieni osa. Intuitiivisesti sitä voidaan havainnollistaa esimerkiksi äärettömällä taululla tai paperilla. Laajennettu kompleksitaso
Laajennetulle tasolle määritellään topologia, jonka kannan muodostavat kompleksitason avoimet kiekot sekä sellaiset joukot, joihin kuuluvat äärettömyyspiste sekä kaikki kompleksiluvut, joiden itseisarvo on jotakin vakiota suurempi, eli muotoa 
olevat joukot. Tällöin laajennettu taso on topologisena avaruutena kompakti. Holografia
Holografia (kreikaksi "όλος-hòlòs" koko + "γραφή-grafè" kirjoittaminen, piirtäminen) on tiede ja menetelmä, jossa lasersäteen avulla luodaan kolmiulotteinen (3-D) kuva, eli hologrammi. Se on tekniikka, joka sallii valonsäteen hajautua esineestä kuvattavaksi ja myöhemmin uudelleenkonstruoitavaksi siten, että kappale on samassa paikassa suhteessa kuvausmediaan kuin se oli kuvaushetkellä. Kuva muuttuu kun paikka ja näyttöjärjestelmän suunta muuttuu juuri samalla tavalla kuin esine olisi vielä paikallaan. Projektiivinen geometria
Projektiivinen geo­metria on geometrian ala, joka tutkii ominaisuuksia, jotka säilyvät keskeisprojektioissa tasolta tasolle. Projektiivisessa geo­metriassa pisteiden oletetaan sijaitsevan projek­tiivisessa avaruudessa, jossa voidaan intui­tiivisesti ajatella olevan "enemmän" pisteitä kuin yhtä moni­ulotteisessa euklidisessa avaruudessa, ja näiden "yli­määräisten" pisteiden eli ideaalipisteiden voidaan ajatella olevan äärettömän kaukana. Projek­tiivisessa geo­metriassa sallitaan myös sellaiset geo­metriset muunnokset, joissa nämä ideaali­pisteet kuvautuvat tavan­omaisen avaruuden pisteille tai päin­vastoin. Topologinen avaruus
Mistä tahansa joukosta formula_2 voidaan muodostaa topologinen avaruus määrittelemällä kokoelmaan formula_3 kuuluviksi ainoastaan joukko formula_2 ja tyhjä joukko. Tällainen topologinen avaruus ei ole Hausdorffin avaruus, paitsi jos joukkoon formula_2 kuuluu vain yksi piste. Tällaista topologiaa sanotaan "minitopologiaksi". Konkurrenssi
Konkurrenssi tarkoittaa geometriassa suorien leikkautumista, jossa suorilla, puolisuorilla tai janoilla on kaikille yhteinen leikkauspiste tai kohtaamispiste. Tasogeometriassa kaksi suoraa ovat aina konkurrentteja, elleivät ne ole yhdensuuntaiset. Avaruusgeometriassa kaksi suoraa leikkaavat toisensa vain, mikäli ne ovat sekä koplanaariset että erisuuntaiset. Topologia (matematiikka)
Järjestelmällisesti topo­logiaa alettiin kuitenkin kehittää vasta 1800-luvun lopulla. Avoimen joukon käsitteen otti euklidisissa avaruuksissa käyttöön Georg Cantor 1880-luvulla. Metrisen avaruuden käsitteen määritteli Fréchet vuonna 1906. Topologisen avaruuden käsitteen määritteli peri­aatteessa ensimmäisenä F. Hausdorff vuonna 1914, joskin hänen antamaansa määritelmään sisältyi eräs lisäehto, jonka täyttäviä avaruuksia sanotaan nykyään Hausdorff-avaruuksiksi. Yleisemmän topo­logisen avaruuden käsitteen, jossa tämä lisä­ehto ei välttämättä ole voimassa, määritteli Kazimier Kuratowski vuonna 1922. Topologin sinikäyrä
Suljettu topologin sinikäyrä voidaan määritellä lisäämällä topologin sinikäyrään sen kosketuspisteiden joukko eli pisteiden (0,-1) ja (0,1) välinen jana formula_12. Se on samalla topologin sinikäyrän sulkeuma. Tämä joukko on suljettu ja rajoitettu ja näin ollen Heinen–Borelin lauseen mukaan kompakti avaruus, mutta sillä on muutoin samankaltaisia ominaisuuksia kuin topologin sinikäyrällä: se on yhtenäinen, mutta ei lokaalisti yhtenäinen eikä polkuyhtenäinen. Geologinen ajanlasku
Geologinen ajanlasku on geologiassa ja paleontologiassa käytetty stratigrafiaan perustuva mittausmenetelmä, joka jakaa maapallon historian kansainvälisesti sovittuihin ajanjaksoihin. Ajanjaksoilla voi olla päällekkäisiä historiallisia ei-kansainvälisiä nimityksiä. Kansainvälinen International Commission on Stratigraphy -järjestö (ICS) on perustettu muun muassa standardisoimaan ajanjaksojen nimityksiä ja ajoituksia. Topologia (matematiikka)
Tyypillisiä topologisia ominaisuuksia ovat kuvauksen jatkuvuus ja raja-arvo sekä alueen yhtenäisyys, samoin alueessa mahdollisesti olevien "reikien" lukumäärä. Sen sijaan monet tärkeät geo­metriset käsitteet kuten etäisyydet ja kulmat eivät ole topologisia käsitteitä, sillä ne eivät yleensä säily homeo­morfis­meissa. Topos
Topostutkija Ernst Robert Curtiuksen mukaan topokset ovat "temaattisista tyylillisiin ulottuvia kaavamaistuneita elementtejä, jotka välittyvät kirjallisissa perinteissä ja muodostavat niiden rakennusmateriaalin". Maailmankaikkeuden metrinen laajeneminen
Avaruuden lopullinen topologia on määritettävissä vain "a posteriori", havaintojen perusteella, koska ei ole olemassa sellaisia ehdottomia edellytyksiä, joiden nojalla voitaisiin päätellä "a priori", onko fysikaalinen avaruus esimerkiksi yhdesti yhtenäinen tai kompakti. Vaikka jotkin kosmo­logiset mallit kuten Gödelin maailmankaikkeus sallivat jopa eris­kummallisia, itsensä leikkaavia maailman­viivoja, lopulta kysymys siitä, elämmekö jonkin­laisessa "Pac-Man-avaruudessa", jossa riittävän kauas tiettyyn suuntaan matkattaessa palaisimme lopulta lähtö­paikkaamme, on empiirinen kysymys, joka on tai ei ole ratkaistavissa riippuen koko maailman­kaikkeuden geo­metriasta. Toistaiseksi havainnot ovat sopusoinnussa sen käsityksen kanssa, että avaruus on ääretön ja yhdesti yhtenäinen, vaikka emme kykenekään selvittämään, ovatko kosmologiset horisontit yksin­kertaisen vai mutkikkaampien ehdotettujen mallien mukaiset. Maailman­kaikkeus saattaa olla mitta­suhteiltaan ääretön tai äärellinen, mutta havainnot, joiden pohjalta kosminen inflaatio on päätelty, viittaavat myös siihen, että "maailmankaikkeus koko­nai­suu­des­saan" on paljon laajempi kuin havaittava maailmankaikkeus, ja siten mitkään reunat tai epä­tavalliset geo­metriat tai topo­logiat eivät ole suoraan havaittavissa, koska valo ei ole vielä ehtinyt kulkea niin pitkiä matkoja, joilla sellaiset ilmiöt, jos niitä esiintyy, ovat yhä mahdollisia. Käytännön kannalta voidaan hyvällä syyllä otaksua, että maailman­kaikkeus on avaruudellisilta ulottuvuuksiltaan ääretön eikä sillä ole reunaa tai tavan­omaisesta käsityksestä poikkeavia yhtenäisyys­ominaisuuksia.