¿Cómo calcular el vértice de un triángulo?
Figura de vértice
Por ejemplo, tomando el cubo, hay tres aristas que definen cualquier vértice. Pueden dibujarse tres líneas entre sus puntos medios, y la figura de vértice será entonces un triángulo. Como los ángulos de las tres caras que se encuentran en el vértice son iguales, el triángulo es equilátero. Paradoja de Bertrand
Se escogen dos puntos aleatorios en la circunferencia y se dibuja la cuerda que los une. Para calcular la probabilidad se imagina el triángulo rotado de forma tal que un vértice coincida con uno de los puntos. Observe que si el otro punto final de la cuerda está en el arco entre los puntos finales opuestos al primer punto, entonces la cuerda es más larga que el lado del triángulo. La longitud del arco es un tercio de la circunferencia, por lo tanto la probabilidad de que la cuerda sea más larga que un lado del triángulo inscrito es un tercio (1/3). Se escoge un radio del círculo, se escoge un punto del radio y se construye la cuerda a través de una perpendicular que pasa por este punto. Para calcular la probabilidad se imagina al triángulo rotado de manera que uno de sus lados quede perpendicular al radio. La cuerda es más larga que un lado si se escoge un punto cercano al centro antes de la intersección del lado del triángulo con el radio. El lado del triángulo divide el radio en dos partes, por lo tanto la probabilidad de que la cuerda sea más larga que un lado del triángulo inscrito es un medio (1/2). Coordenadas trilineales
Dado un triángulo de vértices "ABC", la posición del vértice "B" se puede expresar en términos de un par ordenado de coordenadas cartesianas, que se representa algebraicamente como un vector "B", con el vértice "C" como origen. Así mismo, se define el vector de posición del vértice "A" como "A". Entonces cualquier punto "P" asociado con el triángulo de referencia "ABC" puede definirse en un sistema cartesiano como un vector "P" = "k'A" "k'B". Si este punto "P" tiene coordenadas trilineales "x: y: z" entonces la fórmula de conversión de los coeficientes de "k" y "k" en la representación cartesiana a las coordenadas trilineales es, para las longitudes de los lados del triángulo "a", "b", "c" opuestos a los vértices "A", "B", "C", Pirámide (geometría)
Aparte: Se debe calcular la apotema "a", donde "α" es el ángulo del vértice del triángulo rectángulo que coincide con el centro del polígono regular:
Tetraedro
Para calcular la altura que forma un vértice opuesto cualquiera con su cara base solo hay que poner los valores de dicho vértice opuesto en formula_18 y después poner los valores de los tres vértices de la cara opuesta al mismo en formula_19 y formula_20 , luego aplicarlos en la fórmula siguiente: \right|. Triángulo sagrado egipcio
Podemos relacionar un triángulo semejante al triángulo sagrado egipcio con cualquier parábola. El vértice correspondiente a la reunión de la hipotenusa con el cateto proporcional a 4 está en el foco de la parábola. El punto medio de ese cateto es un punto de la parábola, donde culmina el lado recto. Si trazamos un segmento de recta perpendicular al otro extremo del cateto -opuesto al foco- y marcamos un punto distante tres cuartas partes de la longitud de este mismo cateto en el sentido de apertura de la curva, estamos sobre otro punto de la curva. El vértice de la parábola dista del foco una distancia igual a una cuarta parte de la longitud de este cateto proporcional a 4 del triángulo descrito. Para la parábola y = x² los puntos que definen al triángulo son: (0, ¼), (1, ¼) y (1, 1). Este triángulo es ¼ (3, 4, 5). Dado que todas las parábolas tienen la misma forma, siempre se podrá ubicar un triángulo semejante en diferentes escalas. Por la simetría axial de la parábola hay dos triángulos idénticos en cada parábola y un tercero, isósceles, con base proporcional a 8 y altura proporcional a 3, con las hipotenusas de los dos primeros como lados iguales. Función cuadrática
es la coordenada del vértice, y por lo tanto, el vértice es Altura (triángulo)
El extremo de la altura que está en la base o su prolongación, se denomina "pie" de la altura. La longitud de la altura, a menudo simplemente llamada "la altura", es la distancia entre la base extendida y el vértice. El proceso de dibujar la altura desde el vértice al pie se conoce como "bajar la altura" desde ese vértice. Es un caso especial de proyección. Incentro
Se pueden deducir las coordenadas cartesianas del incentro a partir de las coordenadas de los tres vértices del triángulo "A", "B" y "C". Si los vértices tienen por coordenadas formula_1, formula_2, y formula_3, y los respectivos lados opuestos tienen longitudes formula_4, formula_5, y formula_6, el incentro tendrá por coordenadas formula_7: Algoritmo de triangulación voraz
El Algoritmo de Triangulación Voraz es un método para calcular una triangulación de un polígono o de una nube de puntos mediante un método voraz, que consiste en añadir aristas a la solución de una en una uniendo el par de vértices más próximos entre sí, con la condición de que una nueva arista no puede cortar a otra previamente añadida al resultado. Las triangulaciones calculadas mediante el algoritmo de triangulación voraz tienen las siguientes propiedades: Existen varias posibles estrategias para implementar el algoritmo de triangulación voraz. Tal vez, la más sencilla de todas sea la siguiente: Relaciones métricas en el triángulo
En matemáticas, el teorema de "la altura de un triángulo rectángulo" establece que: La altura del triángulo rectángulo ABC (véase Figura 1) lo divide en dos triángulos rectángulos semejantes, de forma que Multiplicando los dos miembros de la igualdad por formula_31 se tiene: por lo que Triángulo isósceles
Esto se obtiene dibujando una línea perpendicular desde la base del triángulo, que divide el ángulo del vértice y crea dos triángulos rectángulos. Las bases de estos dos triángulos rectángulos son iguales a la hipotenusa multiplicada por el seno del ángulo bisecado por definición del término "seno". Por la misma razón, las alturas de estos triángulos son iguales a la hipotenusa por el coseno del ángulo bisecado. Usando la identidad trigonométrica formula_17, se obtiene Función cuadrática
y entonces, el vértice de la parábola en forma estándar es Triángulo
Cada par de vértices determina un segmento, que se conoce como lado del triángulo. No importa el orden de los vértices para nombrar un lado de modo AB, BA nombran a un mismo lado. Triángulo escaleno
Los lados se pueden denominar por los dos vértices que lo delimitan: Problema de la galería de arte
Sea formula_3 un polígono simple de formula_1 vértices. Se procede a descomponer a formula_3 en triángulos, esto recibe el nombre de Triangulación de un polígono. Si se coloca una cámara por cada triángulo de la triangulación se necesitarán formula_6 cámaras, debido a un teorema de la triangulación de un polígono que menciona que cualquier triangulación de un polígono simple con formula_1 vértices contiene exactamente formula_6 triángulos. Coordenadas trilineales
La ecuación de la altura desde el vértice "A" hacia "BC" es Circuncónica e incónica
Supóngase que "A, B, C" son distintos puntos no colineales, y que "ΔABC" designa el triángulo cuyos vértices son "A, B, C". Siguiendo la práctica común, "A" denota no solo el vértice, sino también el ángulo "BAC" en el vértice "A", y de manera similar para "B" y "C" como ángulos en "ΔABC". Sean "a" = |"BC"|, "b" = |"CA"|, "c" = |"AB"|, las longitudes de los lados de Δ"ABC". Circungono
Cálculo de G: Para calcular el baricentro del circungono, se calculan los baricentros de los tres triángulos, y a continuación se hace la media ponderada según sus áreas. Para el cálculo del baricentro de cada triángulo, se utiliza la conocida fórmula según la cual el centro de gravedad se obtiene mediante la media aritmética de las coordenadas de sus tres vértices, con las x, por un lado y las y, por otro: Triángulo entero
Cualquier altura trazada desde un vértice sobre su lado opuesto o la extensión de este, dividirá ese lado o su extensión en longitudes que serán números racionales. Triangulación en abanico
En Geometría computacional, la Triangulación en abanico (en inglés, "Fan triangulation") es un método sencillo para calcular una triangulación de un polígono que consiste en elegir un vértice del polígono y trazar todas las diagonales con origen en ese vértice. No todos los polígonos pueden ser triangulados por este método, por lo que generalmente sólo es empleado en polígonos convexos. Triángulo tangencial
Un triángulo dado y su triángulo tangencial están en perspectiva, y el eje de la perspectiva es el eje de Lemoine del triángulo dado. Es decir, las líneas que conectan los vértices del triángulo tangencial y los vértices correspondientes del triángulo de referencia son concurrentes. El centro de la perspectiva, donde se encuentran estas tres líneas, es el punto simediano del triángulo. Teorema de los cuatro vértices
El clásico teorema de los cuatro vértices indica que la función curvatura de una curva plana simple, cerrada y suave tiene al menos cuatro extremos locales (específicamente, al menos dos máximos locales y al menos dos mínimos locales). El nombre del teorema se deriva de la convención de denominar vértice a cada punto extremo de la función de curvatura. Este teorema posee muchas generalizaciones, incluida una versión para curvas espaciales donde un vértice se define como un punto de cambio de torsión. Altura (triángulo)
Sean los vértices y también los ángulos de un triángulo, y sean las longitudes de los lados. El ortocentro tiene coordenadas trilineales Vértice (geometría)
Como consecuencia de la definición anterior, en el punto de encuentro de dos de estos elementos unidimensionales se forma un ángulo. Las esquinas de los polígonos y poliedros son vértices. El vértice de un ángulo es el punto donde los dos segmentos de línea se unen. El "vértice" de un ángulo es el punto donde confluyen o se cruzan dos rectas, semirrectas o segmentos. Estrictamente hablando, el punto donde se cruzan dos curvas no genera un ángulo, pero generalmente es posible calcular el ángulo entre las rectas tangentes a cada curva en el punto de cruce (usando cálculo diferencial). Vértice hidrográfico
Solo hay un vértice hidrográfico entre tres cuencas oceánicas diferentes, ubicado en América del Norte: al sur de este punto comienza la línea divisoria de aguas entre los océanos Atlántico y Pacífico, al norte la que está entre el Pacífico y el Ártico y finalmente al este, la que que está entre el Ártico y el Atlántico. Es el pico Triple Divide , que culmina a sobre el nivel del mar (Montañas Rocosas) en Montana, en los Estados Unidos. Cuadrilátero bicéntrico
Si "a", "b", "c", y "d" son las longitudes de los lados "AB", "BC", "CD", y "DA" respectivamente en un cuadrilátero bicéntrico "ABCD", entonces sus ángulos de vértice se pueden calcular con la función tangente: Altura (triángulo)
Como las coordenadas baricéntricas son todas positivas para un punto en el interior de un triángulo, pero al menos una es negativa para un punto en el exterior, y dos de las coordenadas baricéntricas son cero para un punto de vértice, las coordenadas baricéntricas dadas para el ortocentro muestran que el ortocentro está en el interior de un triángulo agudo, en el vértice del ángulo recto de un triángulo rectángulo y en el exterior a un triángulo obtuso. Ángulo
La trisección del ángulo es un problema clásico que consiste en dividir un ángulo dado en tres partes iguales usando solo regla y compás. En general, es imposible de resolver con esas condiciones. Dado un espacio vectorial, cuyo cuerpo es el conjunto de los números reales y en el que existe un producto escalar entre vectores formula_20, se define el ángulo formado por dos "vectores" no nulos formula_21 e formula_22 mediante la expresión: formula_23 Si el cociente anterior es 0, se dice que ambos vectores son ortogonales o perpendiculares. El cociente anterior está en el intervalo formula_24 debido a la desigualdad de Cauchy-Schwarz, lo que garantiza que siempre puede aplicarse el arcocoseno. Normalmente, se toma la rama del arcocoseno de forma que el ángulo que forman dos vectores siempre está en el intervalo formula_25 (geométricamente, se elige el "menor" de los ángulos que forman dos vectores). Las principales propiedades que cumple el ángulo de dos vectores son las siguientes: Resolución de triángulos
De las fórmulas anteriormente (caso ALA) se puede definir la longitud de la altura del triángulo: Este método se utiliza en cabotaje. Se definen los ángulos mediante la observación de la nave desde dos puntos conocidos. Si se quiere medir la altura de una montaña o un edificio alto, se determinan los ángulos desde dos puntos del terreno a la parte superior. Sea la distancia entre estos dos puntos. De las fórmulas del caso ALA se obtiene: Altura (triángulo)
Las coordenadas trilineales para los vértices del triángulo órtico vienen dadas por Triángulo
En general, hay varios métodos aceptados para calcular la longitud de un lado y la medida de un ángulo. Mientras que ciertos métodos pueden ser adecuados para calcular los valores de un triángulo rectángulo, otros pueden ser requeridos en situaciones más complejas. Altura (geometría)
En el plano, la altura de una figura geométrica relativa a un lado, considerado como horizontal, es la distancia que hay desde el punto más alto de la figura hasta dicho lado. La altura de un triángulo respecto de un lado es el segmento perpendicular a dicho lado o a su prolongación y que pasa por el vértice opuesto, y por extensión, la longitud de dicho segmento. En todo triángulo:Para un triángulo ΔABC cualquiera, conociendo la longitud de sus lados (a, b, c), se pueden calcular las respectivas longitudes de las alturas (h, h, h) aplicando las siguientes fórmulas: Grafos sin triángulos
Un conjunto independiente de v"n" vértices en un grafo sin triángulos de n vértices es fácil de encontrar: o bien hay un vértice con mayor que v"n" vecinos (en cuyo caso los vecinos son un conjunto independiente ) o todos los vértices tienen menos de v"n" vecinos (en cuyo caso cualquier conjunto independiente maximal debe tener al menos v"n" vértices). Esta cota se pueden mejorar ligeramente: en cada grafo sin triángulos existe un conjunto independiente de formula_1 vértices, y en algunos grafos sin triángulos cada conjunto independiente tiene formula_2 vértices. Una forma de generar grafos sin triángulos en el que todos los conjuntos independientes son pequeños es el proceso de eliminación de triángulos " en el que se genera un grafo sin triángulos maximal añadiendo iterativamente aristas elegidas al azar que no completen un triángulo. Con probabilidad muy alta, este proceso produce un grafo con el número de independencia formula_2. También es posible encontrar un Grafo regular con las mismas propiedades. Triángulo rectángulo especial
Sea la longitud del lado de un decágono regular inscrito en la circunferencia de radio unidad, donde "Φ" es el número áureo. Por otro lado, sea la longitud del lado de un hexágono regular en la circunferencia unidad, y sea {2}} }} la longitud del lado de un pentágono regular en la circunferencia unidad. Entonces, , por lo que estas tres longitudes forman los lados de un triángulo rectángulo. El mismo triángulo forma la mitad de un rectángulo dorado. También se puede encontrar que dentro de un icosaedro regular de longitud de lado "c", el segmento de línea más corto desde cualquier vértice "V" hasta el plano de sus cinco vértices vecinos tiene la longitud "a", y que los puntos finales de este segmento junto con cualquiera de los vértices vecinos de "V" forman a su vez los vértices de un triángulo rectángulo con los lados "a", "b" y "c". Escáner 3D
Esta técnica se llama triangulación porque el punto de láser, la cámara y el emisor del láser forman un triángulo. La longitud de un lado del triángulo definido por la cámara y el emisor del láser es conocida. El ángulo del vértice del emisor de láser se sabe también. El ángulo del vértice de la cámara (paralaje) puede ser determinado mirando la ubicación del punto del láser en la cámara. Estos tres valores permiten determinar el resto de las dimensiones del triángulo, y por tanto, la posición de cada punto en el espacio. Triángulo rectángulo
Un triángulo rectángulo escaleno muy conocido, es el que tiene el cateto menor igual a la mitad de la hipotenusa, y estos dos lados forman un ángulo agudo de 30º y el otro ángulo de 60º, (30-90-60) y se obtiene al bisecar un triángulo equilátero por su altura; resultan estas razones entre dichos lados. Si admitimos que el lado del triángulo equilátero es formula_2 y mediante una altura se obtienen dos triángulos rectángulos, tal que en cada uno la hipotenusa es formula_2 ; cateto opuesto al ángulo de 30º, formula_4 y cateto opuesto al ángulo de 60º, formula_5, se obtienen los siguientes valores de los respectivos senos: Ortocentro
Dado un triángulo cualquiera (excluyendo un triángulo rectángulo), el 'triángulo órtico o triángulo pedal respecto del dado, es el que tiene por vértices los pies de las tres alturas de este, es decir, las proyecciones de los vértices sobre los lados. Triángulo rectángulo
donde m es la proyección ortogonal del cateto b sobre la hipotenusa c ("véase figura 1) y n es la proyección ortogonal del cateto a también sobre la hipotenusa c". Un triángulo rectángulo puede dividirse en dos triángulos rectángulos, obteniendo tres triángulos semejantes entre sí (el original y los dos divididos). Para esto, la medida de cada cateto es media proporcional entre la medida de la hipotenusa y la medida de la proyección de éste sobre ella. Triángulo escaleno
dado un triángulo "ABC", las medidas de los lados opuestos a los vértices: "A", "B" y "C" son respectivamente: "a", "b", "c", y sus ángulos: formula_1 entonces: Teorema de Viviani
Este teorema se puede demostrar fácilmente comparando áreas de triángulos. Sea ABC un triángulo equilátero donde "h" es la altura y "s" la longitud de cada lado, y sea "S(x)" una función para el área. P es un punto arbitrario en el interior del triángulo, y "ℓ", "m", "n" son las distancias entre P y cada uno de los lados. Al unir cada uno de los vértices del triángulo con P, generamos tres triángulos ABP, ACP y BCP. Triangulación
siendo "S" la superficie, "b" la longitud de cualquiera de los lados del triángulo y "h" la distancia perpendicular entre la base y el vértice opuesto a dicha base. Vértice (curva)
Si una curva plana es bilateralmente simétrica, tendrá un vértice en el punto o puntos donde el eje de simetría cruza la curva. Por lo tanto, la noción de un vértice para una curva está estrechamente relacionada con la de un vértice óptico, el punto donde un eje óptico cruza la superficie de una lente. Función cuadrática
El vértice también es el punto máximo si , o el punto mínimo si . Resolución de triángulos
Conocidos: los lados (en unidades angulares). Se calculan los ángulos del triángulo mediante el teorema del coseno (esférico): Triángulo podal
Más específicamente, considérese un triángulo "ABC", y un punto "P" que no es uno de los vértices "A, B, C". Trácense las perpendiculares desde "P" a los tres lados del triángulo (puede ser necesario extender los lados). Denominando "L", "M" y "N" a las intersecciones de las líneas ortogonales desde "P" a los lados "BC", "AC" y "AB", el triángulo podal es entonces "LMN". Triángulo
Euclides había demostrado este resultado en sus "Elementos" (proposición I-32) de la siguiente manera: se traza una paralela a la línea (AB) que pasa por C. Siendo paralelas, esta recta y la recta (AB) forman con la recta (AC) ángulos iguales, codificados en color rojo en la figura de la derecha (ángulos alternos-internos). Del mismo modo, los ángulos codificados en color azul son iguales (ángulos correspondientes). Por otro lado, la suma de los tres ángulos del vértice "C" es el ángulo llano. Así que la suma de las medidas del ángulo de color rojo, del ángulo verde y del azul es un ángulo de 180° (o π radianes). En conclusión, la suma de los ángulos de un triángulo es 180°. Parábola (matemática)
Para trisecar formula_73, colocar su cateto formula_74 en el eje "x" de manera que el vértice formula_75 esté en el origen del sistema de coordenadas. El sistema de coordenadas también contiene la parábola formula_76. El círculo unitario con radio 1 alrededor del origen se cruza con el otro cateto del ángulo formula_77 y, desde este punto de intersección, se debe dibujar la perpendicular sobre el eje "y". El paralelo al eje "y" que pasa por el punto medio de esa perpendicular y la tangente en el círculo unitario en formula_78 se intersecan en formula_56. El círculo alrededor de formula_56 con radio formula_81 se cruza con la parábola en formula_82. La perpendicular de formula_82 al eje "x" interseca el círculo unitario en formula_84, y formula_85 es exactamente un tercio de formula_73. Triángulo podal
Un vértice, "L' " del "triángulo antipodal" de "P" es el punto de intersección de la perpendicular a "BP" por "B" y la perpendicular a "CP" por "C". Sus otros vértices, "M' " y "N' ", están construidos de forma análoga. Sus coordenadas trilineales vienen dadas por Triángulo isósceles
Si el ángulo del vértice es agudo (lo que implica que el triángulo isósceles es un triángulo agudo), entonces el ortocentro, el centroide y el circuncentro caen dentro del triángulo. Si el ángulo del vértice, y por lo tanto el triángulo, es obtuso, entonces el centroide también queda en el interior del triángulo, pero el circuncentro cae fuera de él (más allá de la base) y el ortocentro también cae fuera del triángulo (más allá del vértice). Circunferencia inscrita y exinscrita en un triángulo
Las coordenadas trilineales de los vértices del triángulo explícito están dadas por: Resolución de triángulos
El método general para resolver el problema es utilizar relaciones trigonométricas fundamentales. Existen otras relaciones generales (a veces útiles en la práctica): el Teorema de la cotangente y las Fórmulas de Mollweide.Se especifican las longitudes de los tres lados . Para encontrar los ángulos , puede ser utilizado el teorema del coseno: Entonces, el ángulo . Vértice (geometría)
En geometría, un vértice es el punto donde se encuentran dos o más elementos unidimensionales (curvas, vectores, rectas, semirrectas o segmentos). Triángulo isósceles
Si el triángulo isósceles es obtuso, recto o agudo, depende del ángulo del vértice. En Geometría euclidiana, los ángulos de la base no pueden ser obtusos (más de 90°) o rectos (igual a 90°), porque sus medidas sumarían al menos 180°, el total de todos los ángulos en cualquier triángulo euclidiano. De aquí se deduce que un triángulo es obtuso o recto si y solo si uno de sus ángulos es obtuso o recto, respectivamente, y un triángulo isósceles es obtuso, recto o agudo si y solo si su ángulo de vértice es respectivamente obtuso, recto o agudo. Coordenadas baricéntricas (n-simplex)
y análogamente los lados "b" y "c" por lo que la frontera del triángulo estará formada por los puntos tales que alguna de sus coordenadas baricéntricas sea cero. Y los vértices satisfacen que una de sus coordenadas baricéntricas es uno y las otras son nulas. Vértice hidrográfico
Un vértice o tripunto hidrográfico, también a veces menos precisamente tripunto hidrológico, es un punto en la superficie de la tierra donde se encuentran tres cuencas hidrográficas, es decir, donde se cruzan dos líneas divisorias de agua. Los tripuntos van desde picos de montañas prominentes hasta picos menores y simples cambios de pendiente en una cresta que de otra manera no serían notables. La altitud de un vértice hidrográfico puede ser de miles de metros hasta apenas estar sobre el nivel del mar. Los tripuntos son una característica hidrográfica común de cualquier terreno que tenga ríos, arroyos y/o lagos. Triángulo rectángulo
donde a y b de la ecuación representan las medidas de los dos catetos que coinciden con los dos lados y las correspondientes alturas del rectángulo ("véase" fig. ar1). Triángulo
Si un triángulo cualquiera ("en el plano euclidiano" ℝ²), tiene alguno de sus vértices ("supongamos el" A) ubicado en (0, 0) —"el origen de las coordenadas cartesianas"—, y las coordenadas de los otros dos vértices ("supongamos" B "y" C) vienen dadas por B = ("x", "y") y C = ("x", "y"), entonces el área puede ser calculada como ½ del valor absoluto del determinate ("reducido a los dos vértices arbitrarios B y C"). Resolución de triángulos
La resolución de triángulos (del latín "solutio triangulorum") es uno de los principales problemas de los que se ocupa la trigonometría. Consiste en determinar las dimensiones características de un triángulo (sus ángulos y las longitudes de sus lados), cuando algunos de estos datos son conocidos. El triángulo se encuentra en un plano o en una esfera. Aplicaciones que requieren la resolución de triángulos incluyen la geodesia, la astronomía, la construcción y la navegación. Coordenadas trilineales
De forma más general, si se elige un origen arbitrario donde las coordenadas cartesianas de los vértices son conocidas y representadas por los vectores "A", "B" y "C"; y si el punto "P" tiene coordenadas trilineales "x": "y": "z", entonces las coordenadas cartesianas de "P" son la media ponderada de las coordenadas cartesianas de los vértices utilizando las coordenadas baricéntricas "ax", "by" y "cz" como pesos. Por lo tanto, la fórmula de conversión de las coordenadas trilineales "x, y, z" al vector de coordenadas cartesianas "P" del punto está dada por Problema de Lambert
forman un triángulo en el plano definido por los vectores formula_9y formula_11 como se muestra en en figura 1. La distancia entre los puntos formula_14 y formula_15 es formula_16, la distancia entre los puntos formula_14 y formula_18 es formula_19 y la distancia entre los puntos formula_15 y formula_18 es formula_22. El valor de formula_23 es positivo o negativo dependiendo de cuál de los puntos formula_14 y formula_15 está más alejado del punto formula_18. El problema geométrico a solucionar consiste en encontrar todas las elipses que pasan por los puntos formula_14y formula_15 y tienen un foco en el punto formula_18. Triángulo equilátero
El triángulo equilátero tiene 3 ejes de simetría, cada uno pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto. Por simetría del triángulo equilátero, se tiene que:Fórmulas relativas al valor del lado formula_1 de un triángulo equilátero: {2}|1=Aplicando el teorema de Pitágoras a una mitad del triángulo dividida por la altura se tiene que: formula_3}} {3} Aplicando semejanza sobre la mitad del triángulo y uno de los pequeños. Triángulo
Usando un lado que se llama, en este contexto, "base" y su "altura", perpendicular ( y medida) trazada del vértice puesto a dicho lado o a su prolongación. La altura correspondiente se subindiza con letra del lado. Triángulo podal
En geometría, se obtiene un triángulo podal al proyectar ortogonalmente un punto cualquiera sobre los lados de un triángulo, siendo estas proyecciones los vértices de dicho triángulo. Triángulo escaleno
Un triángulo es un polígono cerrado de tres segmentos, cada uno de estos segmentos que forman el polígono es un lado del triángulo, y el punto donde se cortas dos lados es un vértice. Gran círculo
Si tres puntos de la superficie esférica son unidos por arcos de círculo máximo menores a 180º, la figura obtenida se denomina triángulo esférico. Los lados del polígono así formado se expresan por conveniencia como ángulos cuyo vértice es el centro de la esfera y no por su longitud. Este arco medido en radianes y multiplicado por el radio de la esfera es la longitud del arco. En un triángulo esférico los ángulos cumplen que: 180° < formula_1 + formula_2 + formula_3 < 540° Tetraedro
Un tetraedro ("no necesariamente regular") se define en ℝ conociendo las coordenadas de sus cuatro vértices, por ejemplo formula_14. Cualquiera de sus cuatro caras se define por el triángulo formado por los tres vértices de la misma, cada una de las caras define un plano ("plano por tres puntos") base de la altura que forma con el vértice opuesto, siendo dicho vértice opuesto el punto restante que no se usó al definir la cara. Se puede imaginar un tetraedro pensando en que su base está definida por el triángulo formado por tres vértices cualquiera del mismo a los que llamaremos formula_15 y formula_16 y que existe un vértice opuesto a esa base al que llamaremos formula_17 . Triángulo de Reuleaux
Partiendo de un triángulo equilátero de lado a delíniese, haciendo centro en uno de los vértices del triángulo y con radio a, un arco de circunferencias que una entre sí a los dos vértices restantes, repítase la operación para cada vértice y ya se habrá obtenido el triángulo de Reuleaux buscado. Borrando el triángulo inicial, el espacio central que delimitan en común las tres cirunferencias es el triángulo de Reuleaux, una curva de anchura constante. Función cuadrática
El vértice de una parábola es el lugar donde pasa de descender a ascender. Por lo tanto, también es un punto máximo o mínimo, donde la inclinación de la curva se anula al cambiar de signo. Si la función cuadrática está en forma de vértice, el vértice es . Usando el método de completar el cuadrado, se puede convertir la fórmula estándar Triángulos agudos y obtusos
con la desigualdad de la izquierda acercándose a la igualdad en el límite solo cuando el ángulo del vértice de un triángulo isósceles se aproxima a 180°, y con la desigualdad de la derecha acercándose a la igualdad solo cuando el ángulo obtuso se aproxima a 90°. Triángulo
La altura del lado a puede hallarse mediante la siguiente fórmula  formula_44 donde h es la altura indicada; a, b, c los lados y p el semiperímetro del triángulo. Para las otras dos alturas basta cambiar el denominador por el lado respectivo en la fórmula formula_45. Dado un triángulo y sus tres alturas h, h y h y el radio r de su círculo inscrito (inradio), cabe la siguiente igualdad: Triángulos agudos y obtusos
Si C es el ángulo más grande y "h" es la altura desde el vértice "C", entonces para un triángulo agudo Sin pérdida de generalidad
Podemos suponer que el triángulo es rectángulo, y se trata entonces de ver que sus otros dos ángulos (digamos a y b) suman un ángulo recto. Trazando paralelas a los catetos por los vértices se obtiene un rectángulo en el que se observa que a+b es recto. Altura (triángulo)
Si el triángulo es oblicuo (no contiene un ángulo recto), el triángulo podal de las alturas del triángulo original se llama triángulo órtico o triángulo de alturas. Es decir, los pies de las alturas de un triángulo oblicuo forman el triángulo órtico . Además, el incentro (el centro del círculo inscrito) del triángulo órtico , coincide con el ortocentro del triángulo original . Triángulo
Conociendo la longitud de los tres lados a, b y c, se puede calcular el área para cualquier triángulo euclideo. Primero se calcula el semiperímetro s y luego se aplica la fórmula de Herón, ("no se requiere conocer la altura").Si se aplica la Transformación de Ravi a los lados del triángulo tenemos que los lados son x+y, y+z, z+x y el área del triángulo es Triángulo
Para un triángulo genérico ("en el espacio euclidiano" ℝ³), cuyas coordenadas son { A = ("x", "y", "z"), B = ("x", "y", "z") y C = ("x", "y", "z") }, entonces el área viene dada por la suma pitagórica de las áreas de las respectivas proyecciones sobre los tres planos principales (es decir "x" = 0, "y" = 0 y "z" = 0):Esta fórmula es válida aún en el plano ℝ ( por tanto en el plano complejo), con el cuidado de considerar la tercera coordenada igual a 0. Sin embargo para ℝ, n > 3, uno de los vectores se usa como base, luego se obtiene el coseno del ángulo que forman los lados concurrentes en A, por medio del producto escalar de los vectores correspondiente a dichos lados. Después el seno de tal ángulo, que propicia hallar la altura del triángulo. En estos espacios está definido el producto escalar ( interno) de vectores . Sean a y b dos vectores de n componentes cualesquiera de un espacio euclídeo. El producto interno es  = suma de ab para i = 1,2..., n Malla de triángulos 3D
Un método de compresión de una malla con pluralidad de vértices, es decir, que cada vértice se caracteriza por un grado igual al número de bordes incidentes y con la casi totalidad de vértices en un orden consecutivo. Así generamos una lista con la tipología de los grados de los vértices en orden consecutivo y el código de secuencia de señales con la tipología de la lista. Altura (triángulo)
Para cualquier punto dentro de un triángulo equilátero, la suma de las perpendiculares a los tres lados es igual a la altura del triángulo. Esta propiedad es conocida como el teorema de Viviani. Triángulo escaleno
Los ángulos se pueden nombrar también por la letra del vértice: Ápice (geometría)
En un triángulo isósceles, el ápice es el vértice donde se encuentran los dos lados de igual longitud, opuesto al tercer lado desigual. Puntos de Brocard
En un triángulo "ABC" con lados "a", "b", y "c", donde los vértices se llaman "A", "B", y "C" en orden contrario a las manecillas del reloj, hay exactamente un solo punto "P" tal que los segmentos de línea "AP", "BP", y "CP" forman el mismo ángulo ω, con los respectivos lados "c", "a", y "b", es decir que Sin pérdida de generalidad
¿Por qué se puede suponer eso? Porque el caso general de un triángulo arbitrario podemos deducirlo usando el "caso rectángulo" como sigue: Llamamos "a" al ángulo mayor y "b", "c" a los otros dos. Trazamos la altura del triángulo por el ángulo a, que lo divide en dos ángulos a1 y a2 (con a1+a2=a). Tenemos dos triángulos rectángulos. Uno de ellos tiene un ángulo recto, otro vale b y otro a1, de modo que b+a1=recto. El otro tiene un ángulo recto, otro vale c y otro vale a2, de modo que c+a2=recto. Los ángulos del triángulo inicial suman entonces:  a+b+c = (a1+a2)+b+c = (b+a1)+(c+a2) = recto+recto = llano Triángulo ascendente
El objetivo del triángulo se calcula midiendo la altura del triángulo, -la distancia entre las dos líneas de tendencia tomada desde el punto uno-. Esta distancia se proyecta desde el punto donde el precio perfora la formación, es decir la línea horizontal, y otorga un objetivo mínimo de hasta donde continuará la tendencia. Colinealidad
Este determinante es, por la fórmula de Herón, igual a > 16 veces el cuadrado del área de un triángulo con longitudes laterales "d" ("AB"), "d" ("BC"), y "d" ("AC"); entonces, si este determinante es igual a cero es equivalente a verificar si el triángulo con vértices "A", "B" y "C" tiene área cero (por lo que los vértices son colineales). Función trigonométrica
Para definir las razones trigonométricas del ángulo: formula_1, del vértice "A", se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será: Triángulo rectángulo
La altura h correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo (véase Figura 1) también puede obtenerse reemplazando a los valores m y n de la ecuación del presente teorema por sus respectivos equivalentes dados por el teorema del cateto. Abanico de triángulos
Un abanico de triángulos es un elemento primitivo en los gráficos por computadora en 3D que ahorra tiempo de almacenamiento y procesamiento. Describe un conjunto de triángulos conectados que comparten un vértice central (a diferencia de la tira de triángulos que conecta el siguiente punto del vértice con los dos últimos vértices usados para formar un triángulo). Si N es el número de triángulos en el abanico, el número de vértices que lo describen es N+2. Esta es una mejora considerable con respecto a los vértices 3N que son necesarios para describir los triángulos por separado. La tubería de renderizado puede aprovechar al realizar solo las transformaciones de visualización y los cálculos de iluminación una vez por vértice. Los abanicos de triángulos están obsoletos en Direct3D10 y versiones posteriores. Triángulo isósceles
Un triángulo con exactamente dos lados iguales tiene exactamente una simetría rotacional, que pasa por el vértice del ángulo y también pasa por el punto medio de la base. Por lo tanto, el eje de simetría coincide con (1) la bisectriz del ángulo del vértice, (2) la mediana trazada desde la base, (3) la altura desde el vértice del ángulo y (4) la mediatriz de la base. Malla de triángulos 3D
Muchos paquetes de software de gráficos y dispositivos de hardware puede funcionar de manera más eficiente en triángulos que se agrupan en mallas que en un grupo de triángulos que se presentan individualmente. Esto es porque normalmente los gráficos por ordenador hacen operaciones sobre los vértices (en las esquinas de triángulos). Con cada uno de los triángulos, el sistema tiene que funcionar en tres vértices de cada triángulo. En una gran malla, puede haber ocho o más triángulos reunidos en un único vértice. Así, procesando los vértices una sola vez, es posible hacer una fracción del trabajo y lograr un efecto idéntico. Triángulo
Si un triángulo genérico ("en el plano euclidiano" ℝ²), tiene sus tres vértices ubicados de modo arbitrario ("ninguno en el origen"), entonces la ecuación es: Ley de las cotangentes
Usando las notaciones habituales para un triángulo (véase la figura en la parte superior derecha), donde , , son las longitudes de los tres lados, , , son los vértices opuestos a esos tres lados respectivos, , , son los ángulos correspondientes en esos vértices, y es el semiperímetro, es decir, , entonces Trigonometría esférica
Si tres puntos de la superficie esférica son unidos por arcos de círculo máximo menores a 180º, la figura obtenida se denomina triángulo esférico. Los lados del polígono así formado se expresan por conveniencia como ángulos cuyo vértice es el centro de la esfera y no por su longitud. Este arco medido en radianes y multiplicado por el radio de la esfera es la longitud del arco. En un triángulo esférico los ángulos cumplen que: 180° < formula_1 + formula_2 + formula_3 < 540° Teorema de Morley
Otro de los triángulos de Morley que también es triángulo central se denomina segundo triángulo de Morley y viene dado por los siguientes vértices: Semiperímetro
En cualquier triángulo, los puntos donde el excircle toca al triángulo y el vértice opuesto a la partición del triángulo, el perímetro del triángulo se divide en dos partes iguales Si se conecta a cada uno de esos puntos de tangencia con el vértice opuesto por una línea (que se muestra de color rojo en la figura), estas tres líneas se encuentran en el punto de Nagel del triángulo. Triángulo áureo
Como los ángulos de un triángulo suman 180°, los ángulos de la base son, por lo tanto, 72° cada uno. El triángulo áureo también se puede encontrar en un decágono, o un polígono de diez lados, conectando el centro con dos vértices adyacentes. Esto formará un triángulo áureo, porque: 180 (10-2) / 10 = 144 grados es el ángulo interior formado por dos lados consecutivos del decágono, que queda bisecado por la línea que une el vértice con el centro, 144/2 = 72. Raíz cuadrada de cinco
Los triángulos rectángulos de tales proporciones se pueden encontrar dentro de un cubo: los lados de cualquier triángulo definido por el punto de centro de un cubo, una de esos vértices, y el punto medio de un lado situado en una las caras que contienen ese vértice y frente a ella, están en el cociente √2:√3:√5. Esto sigue de las relaciones geométricas entre un cubo y las cantidades √2 (cociente borde-a-cara-diagonal, o la distancia entre los bordes opuestos), √3 (cociente borde-a-cubo-diagonal) y √5 (la relación mencionada arriba). Resolución de triángulos
Nota:  El área se calcula por la fórmula de Herón formula_9 donde formula_10 En este caso se conocen las longitudes de los lados y el ángulo entre estos lados. El tercer lado puede determinarse a partir del teorema del coseno: Para calcular el segundo ángulo se utiliza el teorema del coseno: Finalmente, . formula_13 Teoría de Ramsey
Por ejemplo, consideremos un grafo completo de orden "n", es decir, hay "n" vértices y cada vértice está conectado a todos los otros vértices por medio de una arista. Un grafo completo de orden 3 se llama triángulo. Ahora bien, cada arista puede tener uno de los siguientes colores: rojo o azul. ¿Cómo de grande debe ser "n" para poder garantizar que exista un triángulo azul o un triángulo rojo?. Resulta que la respuesta es 6. Véase el artículo sobre el teorema de Ramsey para una prueba rigurosa. Relaciones métricas en el triángulo
Los elementos principales de un triángulo son: vértices, lados y ángulos. Altura (triángulo)
Las coordenadas trilineales para los vértices del triángulo tangencial están dadas por Triángulo
Para nombrar la "longitud" de un lado, por lo general se utiliza el nombre del vértice opuesto, convertido a minúscula latina: formula_5 para BC, formula_6 para AC, formula_7 para AB. Altura (triángulo)
En geometría plana, una altura de un triángulo es cada uno de los segmentos que une un vértice con un punto de su lado opuesto o de su prolongación y es perpendicular a dicho lado. Triángulo isósceles
En un triángulo isósceles que tiene exactamente dos lados iguales, los lados iguales se llaman "patas" y el tercer lado se llama base. El ángulo incluido por las patas se denomina "ángulo del vértice" y los ángulos que tienen la base como uno de sus lados se llaman "ángulos de la base" . El vértice opuesto a la base se llama ápice. Triángulo anal
El triángulo anal puede ser descrito tanto por sus vértices como por sus lados.