ありロピタルの単調性定理ロピタルの定理,不等式,平均値の定理870通報$$$$はじめにロピタルの定理は大学入試の受験生に人気がありますね。そのロピタルの定理に関連する定理を紹介します。命題2や命題4、コーシーの平均値の定理あたりは大学数学の範囲といっていいと思いますが、この記事の主定理3は高校数学の範囲で証明できます。分数関数の単調性の判定に便利そうです。x}$の大小を比較せよ。知恵袋にあった問題です。記事を読む前にこの問題を考えてみましょう。鮮やかな解答ができる人には価値が無い記事かもしれません。この問題が解けるようになりたい人は続きを読むといいかもしれません。こちら(追記)同じ問題を見つけました。模範解答も[15,p165]にあり、Jensenの不等式を利用したものでした。Jensenの不等式を利用した解答は簡潔で上手いと思うのですが、今の自分にはできそうな気がしません。\end{align*}問題1がロピタルの単調性定理を使って解けることに気が付いて加筆しました。見直せていないので、誤植やミスがあるかもしれません。単調性と導関数の符号$f$を区間$I$上で定義された実数値関数とする。f(b)$$が成り立つとき、$f$は$I$上狭義単調増加であるという。f(b)$$が成り立つとき、$f$は$I$上広義単調増加であるという。微分可能な関数については導関数の符号を調べることにより、単調性を判定できる。準備として平均値の定理を取り上げる。b$とし、関数$f$は区間$[a,b]$で連続、$(a,b)$で微分可能であるとする。$$を満たす実数$c$が存在する。平均値の定理を用いることにより次の事実が示せる。区間$I$上で定義された連続関数$f$は区間$I$の内部$\mathring{I}$で微分可能であるとする。\mathring{I})$ならば、$f$は狭義単調増加である。\mathring{I})$ならば、$f$は広義単調増加である。\mathring{I})$ならば、$f$は定数関数である。最初はこの定理が自明なものに思えるかもしれない。実数の連続性が関わっている。$f$は区間$[-1,1]$上の有理数に対して次のように定義されているとする。0}$は有理数の値だけをとりながら$0$に近づける極限を表す。2/3>1/3$であり$f$は単調増加でない。この例は有理数の世界では導関数の符号から関数の単調性が導けないことを示唆する。$f(x)$が狭義単調増加だからといって微分係数の符号が正とは限らない。$f(x)=x^3$は$f'(0)=0$だが狭義単調増加である。f'(x)>0\}$が$I$で稠密になることである。証明などは解析入門I(小平著)[5]を参照。ロピタルの定理はコーシーの平均値の定理を用いて証明されることが多い。そのコーシーの平均値の定理はラグランジュの平均値の定理の一般化である。$g$を区間$[a,b]$で連続、区間$(a,b)$で微分可能な実数値関数とする。$$を満たす$c$が存在する。ロピタルの定理といえば、注意したいことがある。