次のように定義します。\{F_{[2],n}\}=\{0,1,3,8,21,55,144,\cdots\}\qquad(n=0,1,2,3,\cdots)}$この数列は、次のように三項間漸化式で定義することができます。\{F_{[3],n}\}=\{0,2,8,34,144,610,\cdots\}\qquad(n=0,1,2,3,\cdots)}$この数列は、次のように三項間漸化式で定義することができます。$$$k$の倍数項の場合ここまでの例を一般化すると次のようになります。\{F_{[3],n}\}=\{F_{[1],0},F_{[1],k},F_{[1],2k},F_{[1],3k},F_{[1],4k},\cdots\}\qquad(n=0,1,2,3,\cdots)}$この数列は、次のように三項間漸化式で定義することができます。対して「フィボナッチ数の「aの整数倍項」からなる数列」というものを考えたいと思います。「あれ?項数は整数しかないのでは?」と思われたかもしれません。実数の項に当たるものが考えられるようにフィボナッチ数を一般化する必要があります。そのために、まずはフィボナッチ数の一般項を連続化した関数を考えます。なるような関数で、なるべく自然なものを考えたいですね。複素数を使うと、いい感じに連続化することができます。ビネの公式をベースに考えてみましょう。}$フィボナッチ数を非整数に対しても定義して連続化したいのですが、負の数のべき乗の部分がじゃまで連続化できなさそうに見えます。$e^{i\pi}=-1$を使って次のように書き換えてみるとどうでしょうか。{5}}}}$負の数のべき乗の部分は複素数平面上での回転に変換されて、連続かつ微分可能ないい感じの式になりました。表記することにします。表記することにします。}$ですから、フィボナッチ数・リュカ数を連続化した関数としてふさわしいと思います。フィボナッチ関数を使えば、先ほどの議論を整数以外に拡張することができます。場合は通常のフィボナッチ数になることに注意してください。用いて三項間漸化式で定義することができます。すれば、次のようになります。\left\{F_{\left[\frac{1}{3}\right],n}\right\}=\left\{f\left(\frac{0}{3}\right),f\left(\frac{1}{3}\right),f\left(\frac{2}{3}\right),f\left(\frac{3}{3}\right),f\left(\frac{4}{3}\right),f\left(\frac{5}{3}\right),f\left(\frac{6}{3}\right),f\left(\frac{7}{3}\right),\cdots\right\}\qquad(n=0,1,2,3,\cdots)}$具体的には次のような感じになります。■の部分には何らかの複素数が入りますが、見やすさのために■で表記しています。連続化フィボナッチ関数を使って、フィボナッチ数を3倍の間隔に「補間した」数列となっていることがわかります。先ほどの式を使うと、この数列を三項間漸化式で定義することができます。$$なぜこの式が成立するかこの式が成立する背景には、三項間漸化式についての次の性質があります。ついて次は同値である。$として、$n$を1つずらせば$X_n=C\alpha^n+D\beta^n$を得る。ときも成り立っていることが容易に確かめられる。満たすことがわかります。前半部の様々な式はこれを使うことで得られます。良ければ試してみてください。複素数範囲になるので、グラフ化するには3つの軸が必要になり立体グラフにすることになります。マイナスの部分では偏角の回転が強調されて螺旋状になっていることがわかりますね。プラスの部分では回転部分の半径が小さくなってほとんどわからなくなっています。おわりに今回の記事の肝の部分を再掲します。ついて次は同値である。高評価したユーザはいませんこの記事に送られたバッジバッジはありません。バッチを贈って投稿者を応援しようバッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。バッチを贈るコメントapu_yokai連続化したフィボナッチ数を三項間漸化式で定義する。