溝口-五十嵐-桂田による教科書にも書いてあるようですね。(図書館に無く確かめていません。)$f(x)$が微分可能な実数値関数で$\displaystyle\lim_{x\to\infty}(f(x)+f'(x))=0$ならば$\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=0$が成り立つ。$g(b-0)=0$とする。(a,b)$)であるとする。(a,b)$であり、$\frac{f'(x)}{g'(x)}$が狭義単調増加(resp.狭義単調減少)ならば$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'>0\;(\text{resp.}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'<0)$であり、$\frac{f(x)}{g(x)}$は狭義単調増加(resp.狭義単調減少)である。h_x(x).$他の場合も同様。$$を満たす$c\in(y,x)$が存在する。$(f(x)-f(y))/(g(x)-g(y))$は$y$に関して狭義単調増加である。コーシーの平均値の定理を用いた上記の方法は、$a=-\infty$の場合狭義単調増加であることを言うために少し複雑になった。a$の場合は同様の方法でもっと簡単に示せる。b)$を$\mathring{I}$の点とする。b$を満たす$c$が存在する。実数の連続性の議論や$\epsilon$-$\delta$論法をやっていない、慣れていない場合は次の証明は飛ばした方が良いと思います。f'(b)$の場合を証明する。f'(a)$の場合も同様である。$f$は微分可能だから連続で$g$も連続である。[a,b])$をとる。$g'(c)=0$、したがって、$f'(c)=\gamma$が成り立つ。$c=a$または$c=b$となることがないことを示せば証明が終わる。$c=a$と仮定する。$f'(a)<\gamma$より$g'(a)<0$である。0$が導かれて、矛盾が生じる。$c=b$と仮定しても同様に矛盾を導くことができる。よって、$c=a$または$c=b$となることはなく、証明が完了した。命題4を用いるとロピタルの単調性定理は次のように書ける。$g(b-0)=0$とする。(a,b)$)であるとする。(a,b)$であり、$\frac{f'(x)}{g'(x)}$が狭義単調増加(resp.狭義単調減少)ならば$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'>0\;(\text{resp.}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'<0)$であり、$\frac{f(x)}{g(x)}$は狭義単調増加(resp.狭義単調減少)である。x}{x(\pi-x)}$は$(0,\pi/2]$で狭義単調に増加し、$[\pi/2,\pi)$で狭義単調に減少することがわかる。x)'/(x)'$は区間$(-\pi/2,0]$で狭義単調減少、$[0,\pi/2)$で単調増加である。$$は区間$(-\infty,\infty)$上で狭義単調増加である。$$$n$は奇数だからこれは狭義単調増加である。よって、ロピタルの単調性定理より$f(x)$も$(-\infty,1)$と$(1,\infty)$で狭義単調増加である。$f(x)$は連続関数だから、$(-\infty,\infty)$で狭義単調増加である。(\frac{\pi}{2}-x)}$の大小関係を調べればよい。x}$は$(0,\pi/2)$上で狭義単調減少である。x}$$も$(0,\pi/2)$上で狭義単調減少である。x<\pi/2$のときは不等号の向きが逆になる。高評価したユーザはいませんこの記事に送られたバッジバッジはありません。バッチを贈って投稿者を応援しようバッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。バッチを贈るコメントNEKOロピタルの。