さいごにもう一度まとめ今回は1次不定方程式について学習しましょう。マーク形式の入試でも1次不定方程式を扱った問題が出題されています。得点源にできると有利なので、十分に演習をこなしておきましょう。整数の性質|約数と倍数について整数の性質|最大公約数と最小公倍数について整数の性質|除法の性質と整数の分類について整数の性質|ユークリッドの互除法について数学1・A|2017センター試験・第4問を解いてみよう1次不定方程式の単元で学習することこの単元では、以下のような事柄を学習します。新しい用語や定理が出てきます。文言通りに正しく覚えることが大切です。1次不定方程式について厳密に言えば、2元1次不定方程式です。この方程式は、2種類の文字を含む1次式を使った等式です。中学では、方程式の解がただ1つに定まらない例として、連立方程式の単元で挙げられています。以下、単に1次不定方程式と記載します。1次不定方程式は以下のような式です。\end{align*}係数は基本的に整数です。応用問題になると、係数が分数や小数になるかもしれません。このような1次不定方程式を満たす解は、ただ1つに定まらず、無数にあるのが特徴です。連立方程式になると、解はただ1つに定まります。1次不定方程式は、一般に以下のように定義されます。&\text{で表される式。\end{align*}1次不定方程式の無数にある解の中でも、整数x,yの組のことを整数解と言います。この整数解を求めることを1次不定方程式を解くと言います。用語のまとめ1次不定方程式:2種類の文字x,yを含む1次式を用いた等式。係数は0でない整数1次不定方程式の整数解:1次不定方程式を満たす整数x,yの組1次不定方程式を解く:整数解を求めることこの単元では、1次不定方程式の解き方や整数解の表し方を中心に学習します。1次不定方程式の解き方と解の表し方1次不定方程式の解き方には少し工夫が必要です。言うと、1次不定方程式の解は整数解であっても無数にあるからです。&\text{のように無数にある。\end{align*}ただ1つに定まらない整数解をどのようにして求め、そしてどのようにして表すのか、ここが答案作成のポイントになります。1次不定方程式の解き方1次不定方程式と整数解の関係は、一般に以下のように表されます。\end{align*}と表される。2つの整数a,bが互いに素であることを忘れないようにしましょう。すべての整数解は任意の整数kを用いて表されます。無数にある整数解を書き並べるには限界があるので、一般化するしかありません。このように、すべての整数解は一般化された解で表され、一般解と言われます。実際に具体例で確認してみましょう。整数解をすべて求めよ。1組の整数解を見つけることから始めましょう。方程式のx,yに自分で整数を代入します。等式が成り立つのは、左辺の式の値が右辺と等しくなるときです。このときのx,yの値が方程式の整数解です。整数解の1組くらいはすぐに見つかります。慌てずに代入して確かめてみましょう。&\text{より、等式が成り立つ。\end{align*}整数解を見つけたら、この整数解を1式に代入します。このとき、2式の左辺は整数解を代入しただけにしておきましょう。次に、1式を2式(整数解の1組を1に代入した式)で減算します。ここからが1次不定方程式の解き方で大切なところです。テクニカルですが、よく考えられており、興味深いところです。\end{align*}この減算によって、右辺が0になります。\end{align*}1,2式を減算して右辺を0にすることで、3式を導出できます。整数解の1組を見つけたら、3式を導出しましょう。a(x-p)+b(y-q)=0$を導出しよう。3式を導出したら、左辺と右辺の関係を調べます。ここで上述した、2つの係数a,bの関係が効いてきます。左辺は5の倍数で、右辺は2の倍数です。2と5は互いに素であるにもかかわらず、両辺が等しいことを表すのが3式です。等式が成り立つには、右辺が2の倍数であれば、左辺も2の倍数であるはずです。左辺が5の倍数であれば、右辺も5の倍数であるはずです。このような関係から、左辺のx-1は2の倍数であり、右辺のy-2は5の倍数であると言えます。