さいごに、もう一度、頭の中を整理しよう今回は、集合にも様々なものがあることを学習します。複数の集合を扱うので、ベン図を使って視覚的に捉えると理解しやすいでしょう。新しい法則も出てくるので、しっかり使えるようにしておきましょう。記事の画像が見辛いときはクリックすると拡大できます。物事の全体像を把握するのに役立つのは「可視化」です。数学で言えば、グラフや図形を描くことです。この単元では集合やそれに属する要素を扱います。今後は先ほども述べたように複数の集合を扱います。集合を扱うにあたって、その表し方には2通りの方法がありました。論理|集合と要素について特に、要素を書き並べる方法を使えば集合の要素を把握できるので、問題を解ける場合が多いでしょう。要素の数が多くなってくると煩雑になり、把握し辛くなるデメリットがあります。そのような場合、要素を取りこぼす可能性が高くなります。それを防ぐのがベン図です。ベン図で可視化することによって、「どの集合に属しているか」や「共通の要素はどれか」といったことを視覚的に把握することができます。ミスの多い人は手を動かさないことが多い。いくつかの種類がありました。今回は、2つの集合が包含関係のある場合ではなく、たとえば2つの集合が一部だけ重なるような場合を扱います。いった集合を扱います。今後は、包含関係にある集合だけでなく、部分的に重なる集合についても扱います。出題頻度が高い単元なので、演習をこなしてしっかりマスターしましょう。全体集合をUとし、またその部分集合をA,Bとします。この部分集合A,Bに共通な要素があるとき、その集まりを共通部分と言います。共通部分は集合の1つですが「~集合」と言わないので注意しましょう。部分集合A,Bの共通部分は、記号∩を用いて「A∩B」と表されます。\end{align*}また、部分集合A,Bの共通部分A∩Bは、ベン図にすると部分集合A,Bが重なった部分になります。共通部分も集合の1つなので、共通の要素が分かったら集合の表し方に則って表します。全体集合をUとし、その部分集合をA,Bとします。和集合とは、部分集合A,Bの少なくとも一方に属する要素の集合のことです。「少なくとも一方」とあるので、両方の集合に同時に属する必要はありません。部分集合A,Bの和集合は、記号∪を用いて「A∪B」と表されます。\end{align*}また、部分集合A,Bの和集合A∪Bは、ベン図にすると部分集合A,Bを合わせた部分になります。和集合A∪Bの要素は、単純に2つの部分集合A,Bの要素を合わせたものではありません。2つの部分集合A,Bが重なっているときは注意が必要です。このことはベン図を見ると良く分かります。部分集合A,Bの重なる部分が共通部分A∩Bです。単純に部分集合A,Bの要素を合わせてしまうと、共通部分A∩Bのぶんだけ要素が重なってしまいます。二重になった共通部分A∩Bを取り除く必要があります。\end{align*}共通部分と和集合の関係は、集合に属している要素の個数を数える問題ではよく利用されます。和集合も集合の1つなので、要素が分かったら集合の表し方に則って表します。部分集合Aの補集合とは、部分集合Aに属さない要素の集合のことです。全体集合Uが定義されていれば、補集合に属する要素の個数は有限個です。この補集合を上手に利用すると、共通部分や和集合を簡単に求めることもできます。)をのせて表記します。\end{align*}また、部分集合Aの補集合は、ベン図にすると部分集合Aの外側の部分になります。補集合について部分集合Aの補集合の要素は、全体集合Uから部分集合Aを取り除いた後の残りの要素になります。この補集合を利用すれば、全体集合Uの要素から部分集合Aの要素を求めることもできます。\end{align*}補集合も集合の1つなので、属する要素が分かったら集合の表し方に則って表します。\end{align*}補集合を利用する考え方は、逆側からの視点での考え方になります。1つの事柄を複数の視点から捉えようとすることは、問題を解く上でとても大切です。正攻法で上手くいきそうにないとき、このような違った視点が持てると、思いのほか簡単に解ける場合もあるので意外と侮れません。補集合と言っても、色々な集合の補集合があります。部分集合や共通部分などの補集合があります。色々な補集合の関係を式で表したものが「ド・モルガンの法則」です。\end{align*}ベン図を描いてみると、これらの式が成り立つことが分かります。ド・モルガンの法則はベン図で理解しようド・モルガンの法則を機械的に利用する問題では、部分集合の要素が与えられることがほとんどで、補集合の要素が与えられるのはまれです。基本的には補集合の要素を自分で求める必要があります。要素であっても、自力で求めることは可能です。扱う要素の個数が多くなると面倒になります。そのときに有効なのが「ド・モルガンの法則」です。入試でも頻出なので使いこなせるようにしておきたいところです。なると覚える必要があるわけですが、形が似ているので間違えそうです。いくつかのポイントを押さえると、簡単にそして機械的に扱うことができるようになります。「機械的に扱える」ことが利点です。\end{align*}2つの式を観察してみると、以下のようなことが分かります。̄が入れ替わるここでの全体とは、左辺や右辺の全体という意味で、共通部分や和集合のことを指します。この2つのことに気づけば、理屈が分からなくても、機械的に扱うことができるようになります。」:(全体なら各集合へ)⇔(各集合なら全体へ)共通部分や和集合の記号「⋂,⋃」:(⋂なら⋃へ)⇔(⋃なら⋂へ)図解すると以下のようになります。補集合を扱った式が出てきたとき、2つのポイントを踏まえて変形してみましょう。変形後の方が明らかに要素を求めやすい場合があります。次は、共通部分や和集合を扱った問題を実際に解いてみましょう。数と式|整式の言い方や表し方について今回は、整式についてもう少し掘り下げます。...数と式|平方根について今回は平方根について学習します。...数学1・A|2017センター試験・第1問を解いてみよう今さら、センター試験の過去問を解いても意味がないと思うかもしれません。...数と式|連立不等式について今回は連立不等式について学習します。...数と式|整式の因数分解に関する問題を解いてみよう整式の因数分解を扱った問題を解いてみましょう。