さいごにもう一度まとめ今回は、2つの2次方程式の解の種類の判別について学習しましょう。ここでは、2つの2次方程式がもつ解の種類について判別します。どちらの2次方程式も特定の解をもつので、それぞれについて解の種類を判別しなければなりません。2次方程式の解が実数解や虚数解であるための条件2次方程式が実数解や虚数解など、特定の解をもつときを考えます。2次方程式の解の種類は、判別式の値によって判別できることを利用します。2次方程式において、解の種類と判別式の値との関係は以下のようにまとめることができます。\end{align*}単に実数解と言う場合、1つ(重解)でも2つでも構いません。方程式|2次方程式の解と判別式について複素数と方程式|2次方程式の解の種類の判別について複素数と方程式|重解や虚数解をもつ条件について2つの2次方程式がともに実数解をもつとき2つの2次方程式がともに実数解をもつとき、判別式の値の条件は以下のようになります。&\text{とする。&\text{を満たすときである。\end{align*}2つの2次方程式がともに実数解をもつので、それぞれの判別式Dの条件はD≧0でなければなりません。判別式の条件から得られる範囲は、「かつ」が用いられているので、共通部分となる範囲です。共通部分となる範囲でなければ、2つの2次方程式はともに実数解をもつことはありません。少なくとも一方の2次方程式が実数解をもつとき少なくとも一方の2次方程式が実数解をもつとき、判別式の値の条件は以下のようになります。&\text{とする。&\text{を満たすときである。\end{align*}2次方程式が実数解をもつので、それぞれの判別式Dの条件はD≧0でなければなりません。先程と異なるのは、一方だけが実数解をもつ場合でも良いということです。ともに実数解をもつことがあっても構いません。判別式の条件から得られる範囲には、「または」が用いられています。このことから、和集合となる範囲でなければなりません。次の例題を解いてみましょう。\end{align*}定数aの値の範囲を求める問題です。与えられた2次方程式を見ると、係数や定数項に定数aが含まれることに気付きます。2次方程式の解についての条件が与えられているので、判別式を利用します。判別式は、係数や定数項を用いて表されます。このことから、判別式の条件から、定数aの条件に置き換えることができます。\end{align*}2次方程式の係数や定数項を用いて、判別式を表します。どちらの方程式の判別式かを区別できるように区別しておきましょう。\end{align*}2つの判別式は、定数aについての2次式で表されます。定数aの値の範囲を求めやすいように、2次式をそれぞれ因数分解しておきましょう。次は、ともに虚数解をもつための条件を考えます。\end{align*}虚数解をもつための条件は、判別式Dの値が負(D<0)であることです。ともに虚数解をもつので、2つの条件は同時に成り立たなければなりません。「一方の条件、かつ他方の条件」という形になります。判別式の条件から、定数aについての2次不等式を2つとも満たす解が求める範囲です。それぞれの不等式の解の共通部分が「かつ」を満たす範囲となります。解き方は、それぞれの不等式で解を求め、その後に解の共通部分となる範囲を求める手順で解きます。\end{align*}判別式の値の条件から、定数aの値の範囲を得ることができました。定数aがこの範囲の値であれば、2つの2次方程式がともに虚数解をもちます。判別式は、2次方程式の係数や定数項によって定まります。2次方程式と判別式は1対1で対応します。1つの2次方程式につき、判別式は1つです。方程式が2つあるような場合には、それぞれに対応した判別式があるので注意しましょう。\end{align*}判別式については、(1)の結果を利用します。\end{align*}少なくとも一方が虚数解をもつので、一方だけが虚数解をもち、他方が実数解をもつこともあります。そのような条件を満たすのは、2つの条件を合わせた範囲(和集合)です。2つの判別式の条件から得られる範囲の和集合を求めます。\end{align*}判別式については、(1)の結果を利用します。(3)では、2次方程式1だけが虚数解をもちます。2次方程式2についても考えます。2の方は虚数解をもたない、言い換えると実数解をもつということです。\end{align*}判別式の値の条件は同時に成り立つ必要があります。共通部分となる範囲を求めます。\end{align*}次は、2つの2次方程式の解の種類の判別を扱った問題を実際に解いてみましょう。方程式|割られる式や余りの決定について今回は、割られる式や余りの決定について学習しましょう。...複素数と方程式|重解や虚数解をもつ条件について今回は、2次方程式が重解や虚数解をもつときの条件について学習しましょう。...複素数と方程式|2重解をもつ条件について今回は、2重解をもつ条件について学習しましょう。...複素数と方程式|2次方程式の解と判別式について今回は、2次方程式の解と判別式について学習しましょう。...複素数と方程式|高次式の因数分解について今回は、高次式の因数分解について学習しましょう。ここで扱う整式は高次式です。