$$はじめにここでは円分体$K=\Q(\z)$とその最大実部分体こと実円分体$K^+=K\cap\R=\Q(\z+\z^{-1})$における単項イデアル$(p)$の分解法則について解説する。n$の場合と$p|n$の場合に分けられる。n$のとき$p^f\equiv1\pmod{n}$なる自然数$f$のうち最小のもの(つまり$p$の$(\Z/n\Z)^\times$における位数)を$f_p$とおき、$f_p$が偶数のとき$f_p/2$を、$f_p$が奇数のとき$f_p$を$f'_p$とおく。このとき以下の分解法則が成り立つ。n$の分解法則$p$は$\O_K$において$\dis(p)=\prod^{\varphi(n)/f_p}_{i=1}\mf{p}_i\quad(N(\p_i)=p^{f_p})$と$\O_\k$において$\dis(p)=\prod^{\varphi(n)/2f'_p}_{i=1}\mf{p}_i\quad(N(\p_i)=p^{f'_p})$と異なる素イデアルの積に分解される。n')$とおき、$p^f\equiv1\pmod{n'}$なる自然数$f$のうち最小のものを$f_p$とおき、$f_p$が偶数のとき$f_p/2$を、$f_p$が奇数のとき$f_p$を$f'_p$とおく。このとき以下の分解法則が成り立つ。$p|n$の分解法則$p$は$\O_K$において$\dis(p)=\prod^{\varphi(n')/f_p}_{i=1}\mf{p}_i^{\varphi(p^{e_p})}\quad(N(\p_i)=p^{f_p})$と$\O_\k$において$\dis(p)=\prod^{\varphi(n')/2f'_p}_{i=1}\mf{p}_i^{\varphi(p^{e_p})}\quad(N(\p_i)=p^{f'_p})$と異なる素イデアルの積に分解される。I\not\subseteq\bigcup^m_{i=1}I_i$が成り立つ。数学的帰納法により示す。$m=1$のときは自明。j}I_i$としてよい。I-\bigcup^m_{i=1}I_i$となることを示す。I_j$となるがこれは$x_m$の取り方に矛盾。