さいごにもう一度まとめ今回は、2直線の交点を通る直線について学習しましょう。この単元では、とても便利な方程式が出てきます。これと同様の式があとの単元でも出てきます。直線の方程式と直線上にある点の座標との関係を理解していればそれほど難しく感じません。不安のある人はこれまでに学習した内容を確認しながら取り組みましょう。2直線の交点を通る直線2点を通る直線の方程式の求め方2直線の方程式が与えられ、それらの交点と他の1点を通る直線の方程式を求めるとします。このとき、以下の手順で求めるのがこれまでの解法です。2直線の交点と他の1点を通る直線の方程式の求め方2直線の方程式を連立して解いて、2直線の交点の座標を求める。2点(交点と他の1点)を通る直線の方程式(公式)を利用して求める。2点を通る直線の方程式は以下の通りです。\end{align*}[1],[2]の両方を満たす式を使えるようになると便利です。図形と方程式|直線の方程式について2直線の交点を通る直線の方程式これまでの解法であれば、上述のような手順で進めていきますが、ここでは違った視点から直線の方程式を求めます。2直線の交点は、両方の直線上にある点です。直線上にある点の座標は、その直線の方程式の解でした。したがって、交点の座標は、2直線の方程式、つまり連立方程式の解となります。ここがこの単元の要点です。これまでであれば、2直線の方程式を連立していましたが、これを1つの方程式で表すことを考えてみましょう。2直線の交点を通る直線の方程式は、以下のように表せます。\end{align*}と表せる。上述の方程式が、2直線の交点を通る方程式となるのかを考えてみましょう。\end{align*}が成り立つ。\end{align*}の形になるので、直線を表す。通る直線の方程式である。交点を通る直線の方程式は無数に存在します。直線の方程式が決まるには、少なくとも2点が必要です。交点を通る直線の候補を表すのが直線3の方程式です。直線3の方程式では、2直線1,2上の交点以外の点の座標を代入しても等式が成り立ちません。定数kの値が定まっていないからです。等式が成り立つのは、2直線1,2の交点の座標を代入したときだけです。直線3の方程式が交点の座標を解にもつ、言い換えると直線3は2直線1,2の交点を通ることだけは確実に言えるわけです。交点を通る直線は無数に存在する2直線の交点を通る直線の方程式は、定数kを用いて一般化された形で表されます。特定の直線の方程式は、定数kの値が定まることによって得られます。定数kの値が決まるのは、他の1点の座標が与えられたときです。2直線の交点を通る直線の方程式を求める手順2直線の交点を通る直線の方程式を考える。(定数kを用いて表す)他の1点の座標を利用して、定数kの値を定める。直線の方程式には、x,yの2つの変数が用いられています。このような式を以下のように表すことがあります。\end{align*}などと表す。\end{align*}などと表す。このような表し方を利用すると、2直線の交点を通る直線は以下のように表せます。\end{align*}と表せる。直線の方程式をそのまま使うよりも簡潔に記述できます。円などの直線以外の図形も方程式で表されますが、同じようにこの表し方を用いることができます。方程式が複雑であればあるほど、この表し方の良さが発揮されますが、直線の方程式くらいではあまり感じられないかもしれません。2直線の交点を通る直線の方程式を求めてみよう次の例題を考えてみましょう。通る直線の方程式を求めよ。例題の解答・解説まず、2直線1,2の交点を通る直線を導きます。与えられた2直線の方程式が、中途半端な形になっているので注意しましょう。一般形で用いるので、「~=0」の形に変形しましょう。\end{align*}は、直線1,2の交点を通る直線を表す。定数kの値が定まっていないので、2直線1,2の交点を通る直線はいくつもある状態です。交点だけでは直線はただ1つに決まらない問題では、他の1点の座標が与えられているので、直線の方程式を決定することができます。他の1点の座標は、求めたい直線の方程式の解でなければなりません。座標を3式に代入したとき、等式が成り立たなければなりません。これによって、定数kの値が決まります。\end{align*}定数kの値が定まりました。k=-3のとき、点(5,4)の座標を3式に代入すると、等式が成り立ちます。このことは、点(5,4)の座標を代入したとき、等式が成り立つ定数kの値を求めたので明らかです。求めたkの値を3式に代入して、交点と点(5,4)を通る直線の方程式を求めます。\end{align*}得られた直線の方程式に、交点や点(5,4)の座標を代入してみましょう。等式が成り立つので、交点や点(5,4)の座標がちゃんと方程式の解になっています。このことから、得られた直線は、交点や点(5,4)を通ることが分かります。この解法では「2直線の交点の座標を求めなくて良い」ことが最大の利点です。計算量が連立方程式を解くよりも少なくて済むので、積極的に利用したい解法です。例題の別解・解説これまでの知識で解くと、以下の通りです。\end{align*}別解の方が素直な解法ではありますが、計算量が多くなります。次は、2直線の交点を通る直線を扱った問題を実際に解いてみましょう。図形と方程式|直線の方程式について今回は、直線の方程式について学習しましょう。...図形と方程式|2つの円の位置関係について今回は、2つの円の位置関係について学習しましょう。...図形と方程式|垂線の長さの最小について今回は、垂線の長さの最小について学習しましょう。...図形と方程式|座標を利用した証明(垂心)について今回は、座標を利用した証明について学習しましょう。...図形と方程式|円の接線の求め方4パターンこれまで円の接線の求め方を学習してきました。