オススメその4今回は、漸化式と極限について学習しましょう。漸化式は数学B「数列」で学習します。隣接2項間の漸化式は入試でも頻出なので、しっかりマスターしておきたいところです。今回は極限の話がメインなので、隣接2項間の漸化式についての詳しい解説は後述します。忘れた人はご確認下さい。漸化式と極限を扱った問題を解いてみよう次の問題を考えてみましょう。&\text{を求めよ。極限を求める問題です。極限を求めるためには、漸化式から数列{an}の一般項anを求める必要があります。特性方程式を用いて漸化式を変形し、新しい数列の一般項から数列{an}の一般項anを求めます。\end{align*}数列{an}の一般項anを求めたら、極限値を求めます。例題1の結果から、一般項anの極限値について以下のことが分かります。&\text{となる。\end{align*}以上のことから、漸化式an+1=pan+q(p,qは定数,p≠1)で表される数列{an}では、その一般項anの極限値は特性方程式の解αの値に近づくことが分かります。このことを知っていると、極限値を予測したうえで問題に取り組むことが可能になります。極限値を視覚的に見て予測する次は一般項anの極限値を視覚的に捉えてみましょう。特性方程式のαをxに置き換えてみます。\end{align*}特性方程式がxについての方程式になりました。この式は以下のように解釈することができます。座標を求める式である。\end{align*}以上のことから、特性方程式の代わりにグラフの交点の話に置き換えると、漸化式の変形を以下のように解釈できます。&\text{と変形できる。\end{align*}さらに先ほどの極限値の話も加えると、漸化式と極限の関係をグラフを使って以下のように解釈できます。&\text{となる。\end{align*}このことから、一般項anは、n→∞のとき、2つのグラフの交点のx座標に近づくことが分かります。このように漸化式をグラフと関連付けることは、極限値が視覚的に見える(予測できる)というメリットがあります。高校数学では抽象的な数式を扱うことが多いので、イメージの湧かない人が多いかもしれません。グラフで視覚化できると、問題に取り組みやすくなるのではないかと思います。次は、いくつかの例をグラフを使って考えてみましょう。扱いの難しそうな漸化式ですが、グラフを使えば極限値を予測することができます。\end{align*}2つのグラフを図示すると以下のようになります。図からn→∞のとき、anは2つのグラフの交点のx座標3に近づくことが予想されます。グラフを用いずに極限値を予測するとすれば以下のようにします。\end{align*}一般項anの極限値が3であると予測したうえで答案を作成します。実際の記述では、一般項anを求めてから、n→∞のときの極限値を求めます。次の問題でも極限値を予測してみましょう。こちらも一見して扱いにくそうな漸化式です。こんな漸化式でもグラフを使えば極限値を予測できます。&\text{のグラフを足し合わせて図示する。\end{align*}2つのグラフを図示すると以下のようになります。図からn→∞のとき、anは2つのグラフの交点のx座標1に近づくことが予想されます。例題のような隣接2項間の漸化式であれば、グラフを用いて極限値を予測できます。極限値を予測したうえで問題に取り組めるので、ほとんどの場合で答案を手際よく作成できるようになります。実際には漸化式から一般項を求めたり、証明が必要だったりするので、あくまでも予測として利用しましょう。例題2,3のような問題は、一般に誘導型の問題になっています。例題3は、以下のような小問形式で出題されます。