さいごにもう一度まとめ今回は恒等式の係数決定について学習しましょう。恒等式は扱い自体はそれほど難しい式ではありません。方程式に似ているので、恒等式が方程式の一種だと勘違いしている人がいます。恒等式は、方程式とは全く意味が異なる式です。恒等式と方程式との違いを知り、使い分けできるようにしましょう。恒等式とは恒等式とは、式に含まれている各文字にどのような値を代入しても、その両辺の式の値が存在する限り、つねに成り立つ等式のことです。等式がつねに成り立つとき、その等式をそれらの文字についての恒等式と言います。文字にどのような値を代入しても等式が成り立つのは、両辺の式がともに同じときです。一方の式の係数が不明であっても、恒等式になるのであれば、係数が他方の式のものと同じでなければなりません。恒等式の定義を踏まえて、以下の等式が恒等式かどうかを調べてみましょう。&\text{次の等式が恒等式であるかどうかを調べよ。\end{align*}例題1(1)の与式について、左辺を展開して、右辺と比べてみましょう。&\text{よって、右辺と一致しないので恒等式ではない。\end{align*}例題1(1)の等式では、左辺と右辺が一致しないので、特定の値でしか等式は成り立ちません。ちなみに、x=0のとき、等式は成り立ちます。これは方程式の解になります。特定の値のときだけ等式が成り立つものが方程式です。恒等式と方程式とは全く別物なので、混同しないように気を付けましょう。文字にどんな値を代入しても等式が成り立つのが恒等式、文字に特定の値を代入すると等式が成り立つのが方程式。例題1(2)の与式について、左辺を展開して、右辺と比べてみましょう。\end{align*}よって、右辺と一致するので恒等式である。例題1(2)の等式では、左辺と右辺が一致しました。aやbにどんな値を代入しても等式が成り立ちます。恒等式では、等式を満たす文字の値を考えるのではありません。恒等式となるために、左辺や右辺の係数がどのようになれば良いかを考えます。恒等式にはいくつか性質があります。その性質を利用して問題を解いていきます。2つの整式がxについての式であるときを考えます。次数は等しく、両辺の同じ次数の項の係数はそれぞれ等しい。性質その1の1では、右辺が0であるので、xにどんな値を代入しても等式が成り立つためには、係数がすべて0でなければなりません。性質その1の2では、両辺がxについての整式であるので、たとえば、左辺が3次式であれば、右辺も3次式でなければなりません。次数だけでなく、同じ次数の項の係数はともに等しくなければなりません。他にも性質があります。ついての恒等式である。この性質は少し分かりづらいですが、恒等式と方程式の違いを理解していれば分かる性質です。証明は省きますが、一般に「n次方程式の異なる解はn個以下である」ことが知られています。2次方程式は、最大で2個の解をもちます。等式P=Q、すなわちP-Q=0は、恒等式か方程式のどちらかだと考えられます(厳密に言えば、定数=0のときもある)。ここで、もし、等式P-Q=0が方程式であれば、n個の異なるxの値だけで成立します。(n+1)個の異なるxの値で等式が成立したとすれば、等式は方程式ではありません。方程式の異なる解の条件を満たさないからです。このような等式が恒等式です。未知の係数のことを未定係数と言います。この未定係数を求めるには、恒等式の性質を利用します。求め方には2通りの方法があります。恒等式の性質その1を利用した方法です。この方法では、両辺の同じ次数の項の係数がそれぞれ等しいことを利用します。数値代入法は、恒等式の性質その2を利用した方法です。この方法では、両辺に適当な数字をいくつか代入して、連立方程式などを解きます。こちらの方が直接的で、とっつきやすいですが、注意点があります。結局、係数を求めるために特定の値しか代入していないので、必要条件が成り立つだけで、十分ではありません。逆の確認が必要になります。詳しくは別記事で解説します。式と証明|恒等式の係数決定(数値代入法)についてここでは係数比較法を取り上げます。係数比較法を利用して解いてみよう次の問題を解いてみましょう。利用するために、等式の右辺を展開して整理します。\end{align*}左辺はxについて降べきの順に整理されているので、右辺も同様に整理します。両辺にある同じ次数の項について、係数を比較します。同じ次数の項では、係数がともに等しくなるので、係数の関係式を導出することができます。\end{align*}3つの方程式を連立した連立方程式であっても、解き方は2つのときと変わりません。連立方程式の解き方の基本は、代入法や加減法を利用して、文字を1種類ずつ消去していくことです。解答例2⃣で省略した計算は以下のようになります。\end{align*}係数比較法を利用する場合、連立方程式を解くことが中心になります。未知の係数のぶんだけ式が必要で、それらを上手に使って係数を決定します。3つの方程式を連立して解きます。次は、恒等式の係数比較法を扱った問題を実際に解いてみましょう。式と証明|2つ以上の文字を含む整式の割り算について今回は、2つ以上の文字を含む整式の割り算について学習しましょう。...式と証明|分数式の恒等式について今回は分数式の恒等式について学習しましょう。...式と証明|条件が比例式の等式の証明について今回は条件が比例式の等式の証明について学習しましょう。...式と証明|分数式の加法や減法の応用について今回は分数式の加法や減法の応用について学習しましょう。