さいごに、もう一度、頭の中を整理しよう今回は、組合せについて学習しましょう。場合の数を考えるとき、順列か組合せのどちらかを使う場合がほとんどです。組合せは順列の考え方がベースになっています。順列についての知識が定着していない人はもう一度確認しておきましょう。順列との違いをしっかり理解し、使い分けできるようにしておきましょう。記事の画像が見辛いときはクリックすると拡大できます。組合せとは、いくつかの異なるものから希望の数だけ選んだものや選ぶことです。このような場合、選んだものの並びは考慮されません。A,B,CとB,A,Cは、並びが異なっていても同じものとして扱います。この点が、並ぶ順番が変わると別物として扱う順列とは異なるところです。組合せの総数は、C(combinationまたはchooseの頭文字)という記号を使って表されます。一般に、以下のように定義されています。\end{align*}また、組合せの総数は以下のような性質をもちます。\end{align*}詳細については後述します。これまでのまとめです。組合せの総数は、定義から分かるように、順列の総数から導出されます。具体例で考えてみましょう。4種類のA,B,C,Dから3種類を選ぶときの選び方、つまり組合せの総数はいくつになるでしょうか。今までと同じ要領で樹形図を書きます。異なる4つから3つを選ぶときの樹形図この樹形図では、考え得る候補を左から順に書き並べています。並びが変われば別物として扱っています。このままだと、順列の総数になってしまいます。組合せの場合、並ぶ順序を考慮しません。選ばれたアルファベットが3つとも同じであれば、同じ選び方として扱わなければなりません。これを踏まえて同じ並び(同色の矢印)を調べていきます。1つの組合せに注目すると、同じものと見なせるものが他に5通りあります。1つの組合せについて、6通りの並びが同じ選び方と見なせます。「6通り」となったのは、3つのアルファベットの並べ方(順列の総数)が3!(=6)通りだからです。以上のことから、順列の総数は、組合せのそれぞれについて、並べ方が順列の数(6通り)ずつあることから得られた場合の数と考えることができます。順列の総数は、組合せのそれぞれについて、並べ方が順列の数ずつあることを利用して求めることができる。重複の原因を取り除こう重複の原因は、樹形図を書くときに並びの違いまで考慮したからです。別の言い方をすれば、1つの組合せについて、その並べ方まで考慮したからです。4種類から3種類を取って並べたので、順列の総数は4P3通りです。重複ぶんは組合せのそれぞれについて3!(=6)通りずつあります。この重複ぶんを取り除くために除算すると、組合せの総数が得られます。\end{align*}これまでのまとめです。先ほどの具体例から分かるように、順列の総数は、組合せのそれぞれについて順列を考えた場合の数だと解釈することができました。一般化すれば、異なるn個からr個取って並べるときの順列の総数nPrは、異なるn個からr個を選ぶ組合せの総数nCr通りのそれぞれについて、r!通りの並べ方を考えたときの場合の数となります。この関係から、組合せの総数を導出することができます。通りずつあるのに等しい。\end{align*}組合せの樹形図を書くコツ樹形図を書いて組合せを調べるとき、今まで通りだと重複ぶんを含んでしまいます。先ほどの樹形図から重複ぶんを取り除くと、以下のような樹形図になります。組合せの樹形図このような組合せだけが分かる樹形図を書くにはコツがあります。組合せの樹形図を書くコツアルファベット順(A,B,C,...)に書く。アルファベット順に書くとき、前のものは後のものより右側に書かない。2つ目のコツについて補足しておきます。Bが先頭になる樹では、Bよりもアルファベット順が前になるAを右側に書かないようにします。B,A,CなどのようにAをBよりも右側に書いてしまうと、順序を考慮していることになり、順列になってしまいます。この点に注意して書いていけば、組合せだけを書き出すことができます。組合せの総数はCという記号を使って表されますが、その中でもnC0やnCnの値は定義されています。それぞれの意味を考えれば、特に暗記するものではありません。組合せの総数の性質nC0は、異なるn個から0個を選ぶ組合せの総数のことです。言い換えると、異なるn個から1個も選ばない組合せの総数のことなので、その組合せは1通りしかありません。nCnは、異なるn個からn個を選ぶ組合せの総数のことです。言い換えると、異なるn個から全部を選ぶ組合せの総数のことなので、この組合せも1通りしかありません。\end{align*}また、計算では良く使われる性質にnCrの性質があります。\end{align*}nCrは、異なるn個からr個を選ぶ組合せの総数のことです。異なるn個からr個を選ぶと、n-r個は選ばれずに残ります。取るものを選べば、結果的に取らない(残す)ものを選ぶことになります。この関係を表したのが先ほどの式(組合せの総数の性質その2)です。この性質を利用できるようになると、計算がとてもラクになります。入試でも頻繁に利用する性質なので、式の意味を理解しておきましょう。「異なるn個からr個を選ぶ」は「異なるn個からn-r個を選ばずに残す」と同じ意味。次は組合せを扱った問題を実際に解いてみましょう。場合の数|グループ分けについて今回はグループ分けについて学習しましょう。...場合の数|場合の数について今回は「場合の数」についてです。...場合の数|同じものを含む順列について今回は、同じものを含む順列について学習しましょう。...場合の数|順列について今回は頻出の「順列」を学習しましょう。...図形の性質|重心について今回は重心について学習しましょう。重心は五心の1つです。