さいごに、もう一度まとめ今回は、整式の展開と関係の深い整式の因数分解です。展開と因数分解の関係は、互いに逆の操作になります。セットで学習するのが効率的です。因数分解とは、数や多項式などを積の形で表すことです。積の方で表したとき、掛け合わせる1つ1つを因数と言います。数や式を因数に分解するので、因数分解と言います。15という数を因数分解すれば、3×5という積で表すことができます。この3,5を15の因数と言います。1×15という積でも表すこともできるので、1,15も15の因数です。因数はもとの数や式を構成する部品と考えれば良い。因数分解は、構成する部品の分かる形(=積の形)で表すこと。単項式と言っても、数だけのものや文字を含むものがあります。単項式のうち、数だけのものを因数分解してみます。負の数を使っても積の形で表せますが、今回は省略します。因数を見てみると、6の約数であることが分かります。数を因数分解するとき、もとの数の約数を考えると因数を探しやすくなります。数の因数分解では、約数を考えよう。単項式のうち、文字を含むものを因数分解してみます。単項式2aを因数分解します。文字を含む単項式では乗算の計算記号を補うと、因数を知ることができます。\end{align*}と因数分解することはできない。単項式は、もともと数や文字の積で表され、乗算の計算記号を省略した式です。文字を含む単項式では、数と文字とで分けると、それらが因数。多項式の因数分解であっても、積で表すことに変わりはありません。多項式をいくつかの数や式の積で表すためには、展開の知識が必要になります。展開は、数や式の積を単項式の和で表すことです。展開する前の状態に戻せば、数や式の積で表すことができるはずです。因数分解には様々な解釈の仕方があります。展開前の式に戻せば、乗算する数や式が因数になります。多項式の因数分解では、因数には多項式が含まれるので注意が必要です。展開のやり方が分配法則だけであるのに対して、因数分解のやり方は与式によって異なります。いう意味では、展開よりも因数分解の方が難しさを感じるかもしれません。因数分解の典型的なパターンを2つ取り上げるので、それらをきちんとマスターしておきましょう。展開のやり方は2パターン展開の本質は分配法則なので、基本的には分配法則による展開です。特定の式に当てはまると、乗法公式による展開があります。分配法則による展開と、乗法公式による展開に違いが出るとすれば、展開後の項数です。これは、どちらの方法で展開したかを判断する材料になります。2項式どうしの積を展開するとします。乗法公式に当てはまらなければ、分配法則で展開するしかありません。分配法則を2セット行うと、4つの項ができます。同類項がなければ、項数は4つのままです。それに対して、乗法公式による展開であれば、同類項を整理した後の式で展開できるので、3つ、または2つの項になることがあります。\end{align*}要するに、乗法公式による展開は、分配法則で展開しただけでなく、同類項の整理までを含めた形で展開できます。乗法公式で展開=分配法則で展開+同類項の整理これを踏まえて展開を分類すると、主に2パターンに分類できます。乗法公式に当てはまらず、分配法則で展開するのは、ほとんどが単項式と多項式の積を展開する場合です。単項式と多項式の積を分配法則で展開するときを考えます。単項式をカッコ内の多項式に乗算して展開します。\end{align*}展開後の式を見ると、各項にはaが共通に存在します。共通に存在するaは、各項における因数です。このように、各項に共通して存在し、各項において因数であるものを共通因数と言います。乗法公式に当てはまらず、分配法則で展開した後の式には、共通因数が必ず存在します。\end{align*}共通因数があれば、展開するときにそれを各項に分配したと考えます。分配法則を使う前の式に戻すと、因数分解することができます。戻し方は手順通りにやれば簡単です。共通因数aを先頭に置く。共通因数aの後ろにカッコを書く。カッコの中に、共通因数aを除いた部分b+cをそのまま書く。各項から共通因数を取り出すことを、一般に共通因数でくくると言います。このパターンの因数分解では、共通因数を見つけることがポイントです。共通因数による因数分解は、最優先のパターンなので、必ずマスターしておきましょう。多項式どうしの積を分配法則で展開した場合、先ほどと少し様子が異なります。多項式のどうしの積を分配法則で展開した場合、分配法則を2セット行っています。展開の様子を良く観察すると、前の多項式の各項を、後ろの多項式に乗算しています。\end{align*}この場合、展開後の式には2種類の共通因数が存在することになります。式全体で共通因数が存在しないのが特徴です。そこで同じ共通因数を持つ項だけでそれぞれ因数分解をします。すると、新たな共通因数が現れます。\end{align*}新たな共通因数でくくると、因数分解の終了です。このように共通因数でくくる作業を2セット行うことで、与式を因数分解することができます。展開の計算過程を逆に戻っているだけなので、難しく考える必要はありません。分配法則を2セット行って展開したので、それと逆の作業である因数分解も2セット行います。展開するときの計算過程を省略せずに書き、それを答えの方から辿ってみよう。計算の仕組みを理解するために、計算過程を丁寧に書く習慣を。次からが高校数学でよく出てくる因数分解になります。乗法公式に当てはめて展開した後の式は、同類項を整理した後の式です。分配法則による展開と比べて項数が異なります。共通因数がないので、分配法則の性質を利用しても上手く因数分解できません。共通因数による因数分解と切り離して考えなければなりません。乗法公式で展開した式を因数分解する場合、文字xの1次式どうしの積を展開する乗法公式(4番目)に関する因数分解が重要です。文字xの1次式どうしの積を展開すると、3項式になります。3つの項は、文字xの2次の項、文字xの1次の項、定数項です。文字xの1次式どうしの積の展開は、中学でも学習しています。以外になる場合もあることです。展開後の式で、2次の項の係数が1であれば、定数項の因数を考えるだけで因数分解できます。それに対して、2次の項の係数が1以外であれば、定数項の因数を考えるだけでは上手くいきません。その理由は、1次の項の係数が定数項の因数の和にならないからです。係数や定数項の成り立ちこのような式を因数分解するときに利用するのが、「たすき掛け」という方法です。斜めに乗算することからその名前で呼ばれます。たすき掛けは、定数項だけでなく、2次の項の係数も考慮しており、しかも因数分解を機械的に行うことができる方法です。たすき掛けの手順を図解すると以下のようになります。たすき掛けの手順2次の項の係数と定数項から、因数の組み合わせを考えます。組み合わせをそれぞれ縦に並べ、たすき掛け(=斜め)に乗算します。たすき掛けに乗算するのは、分配法則が原因です(同じカッコ内の項と乗算しないから)。乗算した後の2数の和は、1次の項の係数です。この和を与式の係数と比べることで、因数の組み合わせが正しいか分かります。因数の組み合わせは、2次の項の係数についてはたいてい1通りで済みます。定数項については因数の組み合わせが複数になることが多いです。因数の組み合わせが間違っていれば、1次の項の係数と同じ数になりません。この場合、別の組み合わせを考える必要があります。整式について学習した後は「展開」や「因数分解」について学びます。...数と式|不等式について今回は「一次不等式」について学習します。ついて今回は、集合にも様々なものがあることを学習します。