さいごにもう一度まとめ今回は相加平均と相乗平均を利用した不等式の証明について学習しましょう。今回も不等式の証明の応用になります。不等式の証明では、差をつくることが基本です。ある特定の条件を満たす場合、予め分かった関係を利用して不等式を証明することができます。積が定数となる正の数の和について、以下のような関係が成り立ちます。&\text{が成り立つ。&\text{と言う。\end{align*}不等式の左辺を相加平均、右辺を相乗平均と言います。相加平均と相乗平均の関係は、2つの数が正であるときに成り立ちます。証明は以下のようになります。\end{align*}また、等号が成り立つ条件を求めます。&\text{のときである。\end{align*}このような相加平均と相乗平均の大小関係を不等式の証明に利用します。一般には、上述の不等式よりも、変形後の不等式を利用します。\end{align*}左辺の分母を払って(両辺を2倍して)不等式を変形しています。この形で利用することが多いので注意しましょう。相加平均と相乗平均の大小関係を利用できる問題について相加平均と相乗平均の大小関係を利用するのに適している条件があります。相加平均と相乗平均の大小関係を利用できる条件2つの数は、積が定数となる正の数。2つの数や式が逆数の関係である。正の数であることは絶対条件です。この条件がないと、相加平均と相乗平均の大小関係は成り立ちません。2つの数の積が定数になるので、逆数になることは想像できます。逆数を扱っている問題がほとんどで、式を見ればすぐに気付くでしょう。最小値を求める問題は、等号が成り立つ条件を求める問題と捉えると良いでしょう。相加平均と相乗平均の関係に慣れよう(その1)相加平均と相乗平均の大小関係を利用して、不等式を証明してみましょう。\text{のとき、次の不等式を証明せよ。&\text{また、等号が成り立つのはどのようなときか。\text{のとき、次の不等式を証明せよ。&\text{また、等号が成り立つのはどのようなときか。\end{align*}不等式を見ると分かるように、左辺は積が定数となる逆数の和です。このような条件を満たすとき、相加平均と相乗平均の大小関係を利用することができます。左辺を見て、2つの数が分かります。この2数について、相加平均と相乗平均の関係を利用します。\end{align*}2数が正であることに言及しておきましょう。関係を利用する断りも記述しておきましょう。不等式の右辺を整理します。右辺はほとんどの場合、整理すると定数になります。\end{align*}2つの数が決まり、関係を表す不等式に代入すれば、証明したい不等式を導くことができます。最後に、等号が成り立つ条件を求めます。&\text{のときである。相加平均と相乗平均の大小関係を利用しましたが、これまで通りの解法で解くこともできます。左辺と右辺の差を作ります。&\text{のときである。\end{align*}別解のように、基本通りの解法でも簡単に証明できるものもあります。相加平均と相乗平均の大小関係を利用しなければならないわけではありません。型にはめて解くことができるのは大きな利点なので、臨機応変に使い分けましょう。\text{のとき、次の不等式を証明せよ。&\text{また、等号が成り立つのはどのようなときか。\end{align*}(2)も相加平均と相乗平均の大小関係を利用して解くことができます。工夫が必要なので、少し難しく感じるかもしれません。左辺のカッコの中だけを見れば、それぞれが逆数の和です。左辺全体では逆数の和の積になっています。左辺全体で逆数の和になっていることが必要です。このままだと上手くいきそうにないので、不等式の左辺を展開して整理します。\end{align*}定数項ができましたが、与式よりもましな形になりました。定数項のことは後回しにして、逆数の和に注目します。相加平均と相乗平均の大小関係を利用します。\end{align*}不等式の右辺を整理します。\end{align*}今回はここで終わってはいけません。このままでは、展開後の左辺の一部だけで、同じではないからです。展開後の左辺にしないと、与式に戻りません。展開後の左辺に揃えるために、後回しにした定数項を両辺に加えます。\end{align*}このように定数項を後回しにする証明問題は、入試レベルでは頻出です。展開してから相加平均と相乗平均の大小関係へ。最後に、等号が成り立つ条件を求めます。&\text{のときである。\end{align*}(2)のように、関係を利用できそうな感じがしても、単純に利用するだけでは上手くいかない問題もあります。このような場合、自分で利用できる形に変形することが必要で、解ける人とそうでない人との差がはっきりします。入試レベルでは頻出なので、演習をこなしておきましょう。例題1は不等式の証明問題でしたが、積が定数となる2数を決めることが最大のポイントです。2数が決まりさえすれば、基本的に相加平均と相乗平均の関係に代入すれば与式を導くことができます。関係を利用して与式を作り上げるイメージを持つと良いでしょう。相加平均と相乗平均の関係に慣れよう(その2)例題2は、例題1(2)と同じように工夫が必要な問題です。とき、次の式の最小値を求めよ。例題2は、不等式の証明問題ではなく、与式の最小値を求める問題です。この問題でも相加平均と相乗平均の大小関係を利用することができます。ここで、相加平均と相乗平均の大小関係を振り返ってみます。\end{align*}関係を利用するときに注意したいのは、文字a,bに対応する数式です。この数式は「逆数になっていれば、単項式でも良いし、多項式でも構わない」ことに注意しましょう。このことを踏まえて与式を観察すると、このままだと上手くいかないことに気付くでしょう。\end{align*}定数項ができましたが、それよりも優先するのは逆数の和です。逆数の和がなければ、自分でつくりましょう。分数の分母を参考にして、逆数の和を作ろう。逆数の和ができたので、相加平均と相乗平均の大小関係を利用します。\end{align*}不等式の右辺を整理します。\end{align*}例題1(2)と同じように、ここで終わってはいけません。変形後の左辺にしないと、与式に戻りません。変形後の左辺に揃えるために、後回しにした定数項を両辺に加えます。\end{align*}与式が最小値となるのは、不等式において等号が成り立つときです。等号が成り立つ条件を求めます。&\text{のときである。\end{align*}例題2は、不等式の証明問題ではなく、式の最小値を求める問題です。相加平均と相乗平均の大小関係は不等式で表されます。このことを利用して、式の最小値を求めます。問題によっては、手を加えないと解けないものもあります。入試レベルであれば、簡単に解ける方が少ないので、演習をこなしておきましょう。次は、相加平均と相乗平均を利用する不等式の証明を扱った問題を実際に解いてみましょう。式と証明|分数式の加法や減法について今回は、分数式の加法や減法について学習しましょう。...式と証明|繁分数式の計算について今回は繁分数式の計算について学習しましょう。...式と証明|3次式の展開について今回から数学2「式と証明」について学習します。...式と証明|式の大小比較について今回は式の大小比較について学習しましょう。...式と証明|3次式の因数分解について今回は、3次式の因数分解について学習しましょう。