43分30秒こんにちは。掛け算の順序が違うのは間違い!?【掛け算の順序1話目】2021.12.17すんとコウ(すんとこう)育児漫画ブログ。すん(息子)が、学校から持って帰ってきたテスト。掛け算の順序なんて、どっちでもいいや〜ん!!って思ってたけど...という話。...掛け算順序の話を描いたことで、色々な意見が寄せられるので、私の見解をまとめました。私としては、導入は「一つ分×いくつ分」で教えて、テストでは掛け算の順番は気にせず、どっちがどっちでも式にマルくれるといいなぁと思うよ。因みにこれは、あくまで、私の解釈だよ。私の解釈と他人の解釈は違うし、気になったら、自分で考えてみてね。日本語の語順(主語+述語)を考えると、「いくつ分×一つ分」と考えた方が、分かりやすいと思う掛け算に順序はないけど、掛け算に順序はないって教えた方が有用であるっていうエビデンスはあるの?掛け算順序論争について思うこと掛け算順序問題とは?fa-check-circle-o掛け算順序問題とは?掛け算はA×B=B×Aであるのに、文章問題で子供に式を書かせた時、一方の式(A×BもしくはB×A)のどちらかがバツ(間違い)とされる問題である。↑すん(息子)の実際のテスト。9×8でも8×9でも問題ないはずが、「9×8」の時、バツ(間違い)とされる。学校は掛け算を[まとまりの数]×[個数]で教えている【掛け算の順序2話目】2021.12.19すんとコウ(すんとこう)育児漫画ブログ。サクランボを例にして解説したよ。「まとまりの数」×「個数」が大事なんだねぇ...。...2粒ずつ実の付いたサクランボが3房ある場合、この状況だけみると、「2のまとまり」が「3つ分」とイメージしやすいと思います。(でも、イメージしにくい人もいるだろうね。)この状況では、こう考える方が分かりやすく、想像しやすいので、「2×3」が正しい解答である、と思ってしまいがちです。まとまりが3つ"って言うのが理解できたからだよね。考える方が私も分かりやすいと思ったよ。この考え方も正しい解法の一つだから、間違いじゃないよ。暗記した九九だって、「被乗数(かけられる数)×乗数(かける数)」だもんね。この状況は、3粒ずつ実の付いたサクランボが2房あるわけではありません。3粒ずつの実が2房なら、3×2=3+3と想像しやすく、式は「3×2」が正解となり、「2×3」は誤りである。され、"まとまりの数"を考える時は、掛け算の順序を考えましょう、となり、あたかも、掛け算に順序があるように取り扱われているのです。私あくまでも、こう考えたら分かりやすいよねって話なのに、その考えこそが正しく、他の考えは間違いかのように指導するのは問題あると思わない?だって、掛け算はどっちがどっちでもいいんだもの。確かに状況が違うけど、総数"6"だし、状況が違ったとして、2×3でも3×2でもどっちでもいいんだよ。この場合、どっちがどっちの状況か?って大事じゃないからね。状況が違うね、だから何?って話なんだよ。おいたん数学は抽象化して考えることが大事だからね。その状況が、こういう式で表せるかな?と考えてイメージすることはできるけど、数式自体は、その時の状況を表したりできないからね。「3人に2個ずつ配る」という問題は、1、2の配り方以外にも色々な方法(解釈)があります。3個ずつ配って、後で3引いてもいいし、1つずつ数えてもいい。このように、状況が違っても同じ数式で表すことができ、式は、どれも正解になります。他にも、こう考えれば同じ数になるって証明できるよね「2粒ずつの実が3房」と「3粒ずつの実が2房」、状況は違いますが、どちらも、み・を取って数えたらどうでしょう?「2のまとまりが3つ」としても、「3のまとまりが2つ」としても良く、答えは「6つ」。どちらの状況だったとしても、み・を取って数えることができ、「2×3」でも「3×2」でも成り立つことが分かります。因みに、房から実が取れない状況だったとしても、逆の式で表す解釈もできるよ(もうちょい下で説明してるよ)。このように、文章問題だったとしても、解釈の仕方は色々あり、「2×3」と「3×2」の式から、子供達が、"まとまりの数"を理解しているか?していないか?を測ることは出来ないのです。人の頭の中を割って覗くことなんて出来ないし、式の順番が違っても理解している子はいるし、逆に、式の順番が合っていても、理解出来ていない子もいるだろうしね。教科書の導入がこういう「状況」や、絵に描かれたような「場面」だと、その場面のみ、掛け算が使えると思い込む子や、状況によっては唯一正しい掛け算の式が存在する...と思い込む子も出てくる可能性があります。さくらんぼの問題だと、房から実を取って考えてもいいし、実を面積と捉えて考えてもいい。おいたん実を面積で考えられるのは、より抽象化して考えられるようになってるということだね。さっきも言ったけど、より抽象化して考えられるようになることは数学にとってとても大事なことだよ。私でも、描かれた「場面」だけ見ると、実を取って考えるのはダメ!!とか、「実」は「面積」じゃないから、ダメ!!と思い込む人が出てきそうだよね。式と状況を紐付ける必要は全然ないから、テストでバツにする必要はないよね。掛け算順序問題におけるサンドイッチ法サンドイッチ法とは?お皿が3枚あります。そのお皿に、リンゴが5個ずつのっています。全部で何個でしょう?という問題が出された時、5(個)×3=15(個)というように、答えが「◯個」になるならば、「個」が付いた数で「サンドイッチ」になるように書く。この方法だと、「一つ分×いくつ分」という式が作れるので、テストでマルはもらえるけど、マルを貰えても、"まとまりの数"を理解したことになるでしょうか?私このやり方覚えていたら、テストでマルだからと言って、"まとまりの数"を理解しているかどうかは分からないよね。このように、テストでマルであっても、バツであっても、子どもが"まとまりの数"を理解しているかどうか?を測ることは出来ません。私テストでバツを貰うと、答えが違うからバツだと思うし、先生の考え方と違うからバツ...なんて、おかしくない?私バツだったらがっかりするし、やる気もなくなるよね。"まとまりの数"を理解したかどうか?なんて本人でないと分からないのに、それをテストでどうやって判断するんですか?少なくとも、「掛け算は可換である」という事は正しい事実であり、正しい事実ならば、「2×3」でも「3×2」でも、どちらも正しくないと、おかしくないですか?私だから私は、テストで判断するのはやり過ぎじゃない?って考えだよ。学習指導要領には何て書いてる?学習指導要領(がくしゅうしどうようりょう)は、文部科学省が告示する初等教育および中等教育における教育課程の基準である。先生が子供に、どう教えるか?を書いた指導書みたいなもんだね。この学習指導要領を見ると...乗法に関わる数学的活動を通して,次の事項を身に付けることができるよう指導する。次のような知識及び技能を身に付けること。乗法の意味について理解し,それが用いられる場合について知ること。乗法が用いられる場面を式に表したり,式を読み取ったりすること。乗法に関して成り立つ簡単な性質について理解すること。(平成29年告示)(68ページ)私(イ)の項目がちょっと気になるところではあるけど、ここでは、掛け算順序については、特に触れられてないね。学習指導要領の解説には、掛け算の順序について触れられていました(長いので、引用の下にまとめてみたよ。乗法は,一つ分の大きさが決まっているときに,その幾つ分かに当たる大きさを求める場合に用いられる。,「1皿に5個ずつ入ったみかんの4皿分の個数」を求めることについて式で表現することを考える。「5個のまとまり」の4皿分を加法で表現する場合,5+5+5+5と表現することができる。各々の皿から1個ずつ数えると,1回の操作で4個数えることができ,全てのみかんを数えるために5回の操作が必要であることから,4+4+4+4+4という表現も可能ではある。5個のまとまりをそのまま書き表す方が自然である。このように乗法は,同じ数を何回も加える加法,すなわち累加の簡潔な表現とも捉えることができる。言い換えると,(一つ分の大きさ)×(幾つ分)=(幾つ分かに当たる大きさ)と捉えることができる。乗法は,幾つ分といったことを何倍とみて,一つ分の大きさの何倍かに当たる大きさを求めることであるという意味も,併せて指導する。mリレー」のように,表す順序を日本と逆にする言語圏があることに留意する。ここで述べた被乗数と乗数の順序は,「一つ分の大きさの幾つ分かに当たる大きさを求める」という日常生活などの問題の場面を式で表現する場合に大切にすべきことである。乗法の計算の結果を求める場合には,交換法則を必要に応じて活用し,被乗数と乗数を逆にして計算してもよい。乗法による表現は,単に表現として簡潔性があるばかりでなく,我が国で古くから伝統的に受け継がれている乗法九九の唱え方を記憶することによって,その結果を容易に求めることができるという特徴がある。記号を用いた式に表したり,その式を具体的な場面に即して読み取ったり,式を読み取って図や具体物を用いて表したりすることを重視する必要がある。その際,乗法の式から場面や問題をつくるような活動も,乗法についての理解を深め,式を用いる能力を伸ばすために大切である。用いた式の簡潔さや明瞭さを味わうことができるようにする。5の式から,「プリンが3個ずつ入ったパックが5パックあります。プリンは全部で何個ありますか。」という問題をつくることができる。このとき,上で述べた被乗数と乗数の順序が,この場面の表現において本質的な役割を果たしていることに注意が必要である。「プリンが5個ずつ入ったパックが3パックあります。プリンは全部で幾つありますか。」という場面との対置によって,被乗数と乗数の順序に関する約束が必要であることやそのよさを児童が理解することが重要である。このようにかけ算の式を具体的な場面と関連付けるようにすること,さらに,読み取ったことを,○などの図を用いたり,具体物を用いたりして表現することが,式を読み取る能力を伸ばすためには大切である。「内容の取扱い」の(4)で「主に乗数が1ずつ増えるときの積の増え方や交換法則を取り扱うものとする」と示されているように,ここでは,乗法に関して乗数が1増えれば積は被乗数分だけ増えるという性質や,乗法についての交換法則について児童が自ら調べるように指導する。乗法九九を構成するときに乗数が1増えれば積は被乗数分だけ増えること,乗法についての交換法則などを活用し,効率よく乗法九九などを構成したり,計算の確かめをしたりすることも大切である。ここで「主に」と書かれているのは,児童の実態に応じて,図などと関連付けながら,乗法についての結合法則や分配法則に基づいた考えに触れてもよいことを意味している。乗法九九は,以後の学年で取り扱う乗法や除法の計算の基盤となるものとして必要なものである。したがって,乗法九九を構成したり理解したりする際には,体験的な活動や身近な生活体験などと結び付けるなどして指導の方法を工夫することが重要である。どの段の乗法九九についても十分に習熟し,確実に計算することができるようにするとともに,それらを生活や学習に活用することが大切である。(平成29年告示)解説(114〜116ページ)私なりに要約すると...要約1皿に5個ずつ入ったみかんの4皿分の個数は、5×4。4×5ができなくもないけど、5×4と考える方が自然だよね。(一つ分)×(いくつ分)=(幾つ分かに当たる大きさ)と考えられるね。海外歴が長い子は、「一つ分×いくつ分」が逆の場合もあるから、注意してね。「一つ分×いくつ分」は、日常生活の場面を式で表現する場合に大切だよ。計算結果を求めるときには、掛け算の交換法則を使って、逆にしてもいいよ。3×5を教える時、「プリンが3個ずつ入ったパックが5パックあります。「プリンが5個ずつ入ったパックが3パックあります。プリンは全部で何個ありますか?」ではないよね。「一つ分×いくつ分」の約束が必要なんだよ。要するに、掛け算の順序を考えるのは大事だけど、式はどっちで求めてもいいんだよ。掛け算を累加で定義すると、可換は自明ではない(証明が必要)という意味だよね。最初にも言ったけど、プリンが3個ずつ入ったパックが5パックあります。プリンが5個ずつ入ったパックが3パックあります。状況が違うね、だから何?という話だよ。どちらも総数は同じだよね。掛け算を累加で定義すると掛け算が可換である事は自明ではない【掛け算の順序4話目】2021.12.23すんとコウ(すんとこう)育児漫画ブログ。掛け算の順序が数学的に大事なお話。...私でもこの学習指導要領の解説、人によっては、「一つ分×いくつ分」の順序を教えることこそが大切!!って解釈しかねないと思うね。実際、順番にした方がわかりやすいよ、的なこと書かれてるし。「一つ分×いくつ分」と順序を固定して教えてはいけないの?「一つ分×いくつ分」について、否定的な感じで書きましたが、相手の理解が進むのなら、私は、「一つ分×いくつ分」と固定して教えても良いと思います。「一つ分×いくつ分」が、あくまで"まとまりの数"の理解を進めるために用いるものであって、教える側が、「一つ分×いくつ分」の式をもって、"まとまりの数"の概念の理解が進んでいるかを判断するものではない、と私は思います。「一つ分×いくつ分」で考えたとき、そう考える方が分かりやすい人もいれば、分かりにくい人もいるでしょう。分かりにくい人には別の方法で教えてあげればいいだけのこと。全員が「一つ分×いくつ分」で理解が進むか?というと、そういうわけではないと思います。教える時は「一つ分×いくつ分」だけど、テストでバツにするのはやり過ぎと思うよ。テストでバツにまでする必要はない、っていうのが私の意見です。すんに、「2×3も3×2も答え同じだからどっちでもいい」って言ってみたママすんちゃん、掛け算って、「一つ分×いくつ分」で習ったでしょ?すんうん。ママじゃあ、、、2粒ずつ実のついたさくらんぼが、3房あります。実は全部でいくつでしょう?すんえ〜っと、2×3で6!!ママ正解!!すんちゃん、よく分かってるね!!すんへへっ。ママじゃあこの問題、2×3じゃなくて、3×2だと、ダメなの?すんうん、ダメだよ。2つのまとまりが、3つだから、2×3じゃないとダメじゃん!!ママ実はこれ、2×3でも、3×2でもいいんだよ。すんえっ!?なんで???私だって、2×3も3×2も、実の数はどっちも同じだから。すんえっ!?確かに答えは同じだけど...。(混乱)ママやっぱり、答えが同じだから式はどっちでもいい!!って言うと、混乱するよね...。ママだって、実を房から外して並べ替えれば、3×2にもできるでしょ?すんあっ!!ほんとだ!!ママ房から外さなくても、左を1、右を2として数えたら、3のまとまりが2つ。すんほんとだ〜!!私だから、2×3でも3×2でもいいんだよ。この段階でも、「一つ分×いくつ分」で教えてるから、私(ママ)は、掛け算を固定して教えています。すん(息子)は、その方が分かりやすそうでした。私すんは、2×3を2+2+2、3×2を3+3と解釈してるっぽいからね。私"まとまりの数"の取り扱いがあやふやな人(すん)に、掛け算は可換だからどっちでもいい!!って言ったら、混乱するんじゃないかな?勿論、"まとまりの数"の理解を深めるためなら、掛け算の順序に拘る必要はないよ。掛け算の順番に注目するんじゃなくて、相手が、分かっているか?分かっていないか?に注目した方がいいと思うよ。すん(息子)に、こんな問題を出してみました。私(ママ)すんちゃんは本当にまとまりの数を理解しているなぁ...。ママ(私)すんちゃん、他は間違い?すんうん。2個のまとまりが3つでしょ?だったら、2×3と、2+2+2だよ。ママ(私)じゃあさ、お皿に乗ってるりんご、全部お皿から取り出して並べたら...すんあっ!!分かった!!ママ、待って!!そして次はこれ↓。やって数えても、総数は"6"だもんね。すんうん!!ママ(私)これ、1+5もマルだし、1+1+1+1+1+1もマルなんだよ?分かる??すんうん!!分かるよ!!だって、全部で何個でしょう?だから、答えが"6"なら正解なんでしょ?ママ(私)そうだよ。全部の数を聞いてる問題だから、本当はどんな式でも答えが"6"なら正解なんだよ。ママ(私)でも本当に、「答えが同じ」ならどんな式でもいいのかな?不安になってきた...。ママ(私)すんちゃん、この問題、答え、「6」でしょ?「答えが全部同じ」っていうの、8-2も、答え「6」になるけど、式は「8-2」でもいい?すんダメだよ?だって、「8-2」は、数えても「8-2」にならないもん。それに、文章問題は、文章問題に出てくる数字を使いなさいって先生が言ってた!!ママ(私)そうだね。この問題は、「3枚のお皿にリンゴが2個ずつのっています、全部でいくつでしょう?」だもんね。すん(息子)はまだ割り算を習っていませんが、答えが"6"なら、18÷3でもいい。8-2などの引き算でもいい。8-2や18÷3とする場合、どういった解釈をしたのか?が大事になる。ここは、「3枚のお皿に、2個ずつリンゴが乗っていると、全部でいくつでしょう?」なので、その問題を読んで、論理的に式を求めることができるのなら、18÷3でも、8-2でもいい。おいたん数学的な解釈は色々できるからね。色々な解釈をする事は、数学には大事だからね。6枚のお皿に、2個ずつりんごが乗っています。りんごは全部でいくつでしょう?という問題だったら、3×4でも4×3でも構わない。3人に49個ずつ飴を配りました。全部でいくつ配りましたか?この問題、わざわざ49×3(もしくは3×49)しますか?(勿論、する人もいる)頭の中で、50×3して、3引く(147)ってしませんか?おいたん問題を解く上で、どう解釈するか?が大事なので、そこに何の解釈もなく、答えが合っているからと言って、突然意味のない式を書いても、意味がないよね。式変形するだけであれば、そこに解釈は必要ないけどね。本当はこういう多様な解釈も認めないといけないよね。掛け算順序固定反対派の人たちは、ここは認めてるのかな?(某数学者の人が認めてるのは知ってる)私でもこんなこと言ってたら、答えがすぐ分かる問題なら、その答えが導き出せる式なら全部マルってことになるよね。答えが分かってる、とか、掛け算の交換法則を知っている、っていう理由でOKなら、全部マルだね。おいたんでもそれが、超難問だったら?イコールで結べるかどうか分からない問題は証明が必要になるよね。「◯×△」と「□÷☆」を、イコールで結びたいなら、証明しないといけないよね。掛け算を累加で定義すると掛け算が可換である事は自明ではない【掛け算の順序4話目】2021.12.23すんとコウ(すんとこう)育児漫画ブログ。掛け算の順序が数学的に大事なお話。...掛け算のテストで順序にバツが付けられる。掛け算の話から数学の面白い話【掛け算シリーズ】2022.1.4すんとコウ(すんとこう)育児漫画ブログ。すん(息子)のテストを発端に、おいたん(兄)に数学の面白い話をしてもらった話。...数学の面白さを伝えたい、掛け算はこうやって考えることもできるよね、と言いたかったです。(決して、掛け算に順序がある、といいたかった訳ではありません。)掛け算順序1話目が、すん(息子)のテストがきっかけだったので、掛け算順序論争をするのかと勘違いした人、すみません。小学校に関する掛け算順序について、議論する気はありません。1話目で、すん(息子)の話をし、ペルソナはすん(息子、小2)と見せかけて、2話目以降は私(ママ)。ペルソナが私(ママ)であっても、「掛け算を累加で定義すると可換は自明ではない」という事は、知る必要もないし、知らなくていい。私が知りたくて、面白かったから、描き始めました。掛け算を累加で定義すると、可換は自明じゃないって話、私は理解するのに苦労したけど、理解したら、「そっか!!数学って面白い!!」と思ったから、そこを理解できるように、分かりやすく描きたかったし。何度でも言うけど、小学生にそんな事、求めてないよ。数学的に間違った事は描いていないつもりだけど、私の理解の仕方や、解釈に誤りがあるかもしれないから、数学的に間違いがあれば、ご指摘ください。↑ここは、掛け算を累加で定義すると、可換は自明ではないため、答えが合っているだけではダメで、私の解答が"違う"となります。小学生にはどっちでもいいよ。「掛け算は可換か?非可換か?」を学んでいる人以外は、どっちでもいいしね。私ここは、私に、「掛け算を累加で定義すると可換は自明ではない」ということを伝えるために、「式が表しているものが大事」と言ったんだよ。本当にどっちがどっちでもいいなら、「A×B=B×A」なんて式すら必要ないし、存在しないでしょ?「A×B=B×A」と言う式が存在する以上、何かしら理由があるんだよ。おいたん式には定義によって決められた意味があるよ。「式が表しているものが違う」というのは、そういうことだよ。「2×3」は、ただのラベル(名前)であって、「2×3」に、どういった意味をもたせるか?それが定義なんだよ。式が場面を表す、という解釈の話ではないよ。私ここら辺の話、大学数学の話みたいだよ。私も最初は全然分からなかったけど、そっか〜!!おもしろ〜い!!ってなったよ。数学って、面白いね!!一つ分(被乗数)×いくつ分(乗数)で考えるのは間違いなの?いいえ。間違いではありません。学校で習う「一つ分(被乗数)×いくつ分(乗数)」だって、正しい解法の一つです。有効であればそれを用いればいいし、必要なければ使わなければいい。掛け算順序論争の否定派の人たちが言っているのは、「一つ分×いくつ分」も「いくつ分×一つ分」も正しいのに、「一つ分×いくつ分」のみが正しい、唯一の解法だと主張するのは間違っている、と言っています。全部でいくつ?って聞かれても、色々な解釈があるもんね。式に答えがあるように採点されると、その式以外は「間違い」と思っちゃいそうだもんね。私自身がそうであること、また、周りの話や、今回、すん(息子)に問題を出してみて、改めて「一つ分×いくつ分」で考える事は有効だと実感しました。私ここ、誤解しないで欲しいけど、「掛け算に正しい順序がある」と教えるのではなく、"まとまりの数"の理解を深めるために、「一つ分×いくつ分」で考えた方が、分かりやすいよ。