極値問題,マクローリン展開3243通報$$$$はじめに今回取り上げる問題は、陰関数とその関数の極値が与えられた時に、その極値が極大であるか極小であるかを判定する問題です。マクローリン展開も使う面白い問題なっているので、ぜひ考えてみてください。ちなみに、東京大学の編入問題の改題です。関数$y(x)$は$x=1$を含むある区間で定義された連続関数で$$y^3+3xy^2+x^3y=1$$を満たし、$x=1$で極値をとる。このときこの極値が極大であるか極小であるかを判定せよ。極値をとる$x=1$の周りでマクローリン展開をして、周辺の挙動を調べればよい。周辺がすべて$y(1)$よりも大きい(小さい)値であれば、$x=1$では極小(極大)であることがわかる。極値では1階微分は0になってしまうので、2次の項まで展開する必要がある。0$は不適であることが従う。$$となり、$y_2=-3$が従う。$$よって、$x=1$における$y(x)$は極小値であることがわかる。周辺の値は2項目によって必ず$-1$より小さい。ここで周辺の値と述べたが具体的には、3次以下の項が無視できる程度の周辺であることに注意せよ。実際$(x-1)^2$(2次)の項より$(x-1)^3$(3次)の項の方が$x$を$1$に近づけた時に、より早く$0$に収束する。おわりにいかがでしたでしょうか。この判定方法は、増減表を使わない斬新のやり方ですね。このような柔軟な思想は応用問題では特に重要なので、編入する方はぜひ様々な種類の問題に触れて、新しい考え方を学んでみるといいと思います。向けて大学編入の記事を作成しています。編入以外の高専生向けの記事についても書こうとおもってます。高評価したユーザはいませんこの記事に送られたバッジバッジはありません。バッチを贈って投稿者を応援しようバッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。高専生に向けて大学編入の記事を作成しています。編入以外の高専生向けの記事についても書こうとおもってます。陰関数の極値とマクローリン。