数学2TwitterFacebookB!HatenaPocketLINELINECopyこれまで円の接線の求め方を学習してきました。今回は、円の接線の求め方を整理してみましょう。接線の接線の求め方にはいくつかあります。円の接線を求める問題は入試でも頻出なので、問題で与えられる条件に応じて使い分けられるようになっておきましょう。2次方程式の解や点と直線の距離など、色々な知識を必要とします。関連のある分野についての復習を怠らないようにしましょう。さいごにもう一度まとめ円の接線の求め方は4パターン円の接線の求め方は、以下の4パターンです。円の接線の公式を利用する接線と円の半径との関係を利用する中心と接線の距離と、円の半径との関係を利用する接点と重解の関係を利用する問題で与えられた条件に応じて、これらを使い分けられるようにしましょう。円の接線の公式を利用する1つ目のパターンでは、円の接線の公式を利用します。ちなみに円の接線の公式は以下のようになります。円の接線の方程式は、円の方程式に似ているので比較的覚えやすい式です。\end{align}中心以外の点を原点とする円の接線の方程式は、以下のようになります。\end{align}とする。\end{align}となり、1式は原点を中心とする円の接線の方程式を含むことが分かる。カッコの中の式が似ているので注意しましょう。一方は定数になりますが、他方は変数x,yが用いられているので、ちゃんと1次関数の式になります。この公式(1式)は原点を中心とする円の接線の方程式も含むので、こちらの式を覚えておけば応用が利くでしょう。接線の公式を利用するために必要な条件は2つです。必要な条件とは、円の方程式と接点の座標の2つです。公式を利用した解法が最も楽な解法かもしれませんが、公式だけを覚えただけではメリットは少ないかもしれません。出題されるとすれば、図形の平行移動なども併せて出題される可能性があるからです。そのためには、公式の導出過程をきちんと理解しておくことが大切です。公式の導出過程は前回の記事(円上の点における接線について)で解説しているので、そちらを参考にしましょう。図形と方程式|円上の点における接線について接線と円の半径との関係を利用する2つ目のパターンでは、接線と円の半径との関係を利用します。この関係を利用するには、円の中心と接点の座標が必要です。例題を解きながら確認しましょう。おける接線の方程式を求めよ。接線と円の半径との関係とは、具体的には接線と円の半径は垂直である関係のことです。この関係を利用すれば、接線の傾きを求めることができます。\end{align*}接線の傾きを求めるには、垂直な2直線の傾きの関係を利用します。\end{align*}が成り立つ。\end{align*}が成り立つ。図形と方程式|平行または垂直な直線の方程式についてまた、接線の方程式を求めるには、傾きと1点の座標を利用します。公式があるので、それに代入するだけです。図形と方程式|直線の方程式について円の中心と接点の座標が最初から与えられている場合、このパターンを利用することが多いかもしれません。計算も簡単なので少ない負担で解くことができるでしょう。中心と接線の距離と、円の半径との関係を利用する3つ目のパターンでは、中心と接線の距離と、円の半径との関係を利用します。この関係を利用するには、2つ目のパタンと同様に円の中心と接点の座標が必要です。例題を解きながら確認しましょう。おける接線の方程式を求めよ。中心と接線の距離と、円の半径との関係とは、具体的には中心と接線の距離が、円の半径に等しいという関係のことです。この関係を利用すれば、接線の傾きを求めることができます。軸に垂直な直線は求める接線でない。\end{align*}と表せる。\end{align*}複雑な計算に見えますが、それほど難しくありません。絶対値と根号を外すために、両辺を2乗してから両辺を整理するのが計算のポイントです。最初から接点が特定されているので、傾きmの値が1つだけに定まることを知っておけば不安なく利用できるでしょう。円の半径は、中心と接点の距離から得られます。図形と方程式|平面上の2点間の距離についてまた、円と接線の距離は、点と直線の距離の公式から得られます。図形と方程式|三角形の面積について2つ目と3つ目のパターンは必要な条件が同じですが、一般的には、3つ目のパターンを利用すると簡単に解けることが多いです。入試レベルでも、3つ目のパターンを意識した問題が多く出題されます。「中心と接線の距離=半径」を利用しよう。最優先は「中心と接線の距離=半径」のパターン。接点と重解との関係を利用する4つ目のパターンでは、接点と重解との関係を利用します。接点と重解の関係とは、具体的には接線x座標が2次方程式の重解に等しいという関係のことです。この関係を利用すれば、接線の傾きを求めることができます。これまでのパターンとは問題で与えられる条件が異なるので注意しましょう。おける接線の方程式を求めよ。例題を見ると分かるように、円の方程式と接点の座標が与えられていることが条件です。接線の傾きを求めるために、円と接線の共有点が接点の1つだけであることを利用します。共有点、すなわち接点のx座標は、円と接点の方程式を連立することで得られます。円と接点の方程式を連立すると、xについての2次方程式を導出することができます。ここでは接点のx座標を求める必要がないので、判別式を利用します。2次方程式の判別式の値が0になるとき、2次方程式は重解をもちます。2次方程式が重解をもつとき、円と接線の共有点は1つだけになります。このことを利用すれば、接線の傾きを求めることができます。実際に例題を解いてみましょう。\end{align*}4つ目のパターンでは、共有点の個数が、2次方程式の解の個数に対応していることを利用します。この性質は、図形の関係と方程式の解とをつなぐ大切な性質です。円の方程式が絡む場合、計算が非常に面倒になることが多いのが欠点です。円が絡む問題では、判別式を利用するパターンを利用するのは最終手段にしましょう。判別式を導出するとき、1次の項の係数が偶数であれば、基本的な公式ではなく次の公式を利用しましょう。\end{align*}とおく。図形と方程式|円と直線の位置関係について図形と方程式|円と直線の共有点の座標について2次関数|2次方程式の解の判別について複素数と方程式|2次方程式の解と判別式についてまた、判別式を整理するとき、3項式の乗法公式を利用します。数と式|整式の展開と乗法公式について円が絡む問題では、判別式を利用するのは最終手段にしよう。複数の方法で解ける、最適な解法を選択する円の接線を求めると言っても、色々な方法で解くことができます。与えられた条件によっては使えない方法もあります。複数の解決方法を知っているだけでは、最適な解法を選択できずに時間を掛けてしまうかもしれません。試験では、限られた時間で問題を解かなければなりません。時間内で解くためには、どんな条件であれば利用できるのかを知っておくことも必要です。複数の方法で解けることはもちろんですが、最適な解法を選択できるところまでを意識して学習しましょう。booksさいごのセンター試験では、共通テストを意識した問題が出題されていました。これまでに見慣れない形式での出題がいくつか見られました。難易度に関して言えば、これまでのセンター試験とそれほど変わりません。出題形式に変化があれば、思った以上に難しく感じるものです。実際、2020年の数学の平均点は前年よりも下がっているので、難しく感じた受験生が多かったと考えられます。傾向の変化に対応するためには、やはり「解き慣れる」ことでしょう。色んなレベルや形式の問題をこなすことが一番の近道です。基本となる問題を扱った問題集です。問題数は138問です。問題集は問題、解答という流れが一般的ですが、本問題集はその問題のアプローチの仕方、解答から得られる色々な意味なども「ブラッシュアップ」「ちょっと一言」などを通して解説しています。問題編冊子44頁、解答編冊子224頁の構成となっています。昔からある有名なレベル別問題集です。3年の1学期までに基礎レベル1を解いて、教科書内容の補完をしてしまいましょう。夏休みになったら、共通テストレベル2で実戦練習をこなすと良いでしょう。9月~10月くらいまでにこの2冊を何度も周回して仕上げれば、秋からの2次対策にスムーズに移行できるでしょう。新入試に対応するための改訂版が2020年2月に出版されています。とあるものを購入しましょう。RinkerAmazon楽天市場Yahooショッピング大事なことは、自分に合った教材を徹底的に活用することです。どの教材を選ぶにしても、自分の目で中身を確認し、納得してから購入することが大切です。さいごにもう一度まとめ円の接線の公式を利用できれば、最短で解ける。円の方程式と接点の座標が必要。接線と半径の関係や、中心と接線の距離と半径との関係を利用するには、中心と接点の座標が必要。接点と重解の関係を利用するには、判別式や3項式の展開の公式を知っておくことが必要。円が絡む問題では、中心と接線の距離の公式を利用する頻度が高いのでしっかり覚えておこう。図形と方程式|2つの円の交点を通る円や直線について今回は、2つの円の交点を通る円や直線について学習しましょう。...図形と方程式|垂線の長さの最小について今回は、垂線の長さの最小について学習しましょう。...図形と方程式|円に切り取られる線分の長さについて今回は、円によって切り取られる線分の長さについて学習しましょう。...複素数と方程式|2次方程式の解の種類の判別について今回は、2次方程式の解の種類の判別について学習しましょう。...図形と方程式|円と直線の共有点の座標について今回は、円と直線の共有点の座標について学習しましょう。