2×3も3×2もどっちも一緒って教えられてたから、子供のテスト見るまで、掛け算に順序があるなんて考えたこともなかったし。おいたんに言われて、2×3は、2+2+2だね、3×2は3+3だよね、言われて、なるほど!!って思ったし、小学校時代にそうやって教えてもらえていれば、もっと"まとまりの数"の理解が深まって、分かりやすかったんじゃないかなぁ?って思ったよ。掛け算の順番なんて、どっちがどっちでも良いけど、なんで式はバツなの?って子供に聞かれた時に、"まとまりの数"がちゃんと考えられているかな?一つ分のまとまりはいくつ?それが何個分?って聞いて、それで"まとまりの数"の理解が進めば、それで良いんじゃないかな?と思います。私テストで式がバツだと、ハァ!?って言いたくなるよね。私もそうだし、掛け算なんて、どっちがどっちでも答え一緒だからいいじゃん!!っていうのは、実際正しいし。どこの、「掛け算はどっちがどっちでも答えが同じ」だからいいって言うの、子供にちゃんと説明できる?"まとまりの数"の理解があやふやな人に、そう言っちゃうと、逆に混乱するかもしれないよ?そこら辺は、よく考えて教えてあげたいなーと思います。掛け算順序固定反対派の一部の人たちは、その考え方が、害悪でしかない、掛け算の順序を固定することに一つもメリットはないって言ってるんだよ(私の認識)。「一つ分×いくつ分」だって、正しい解釈の一つなのにね。掛け算の順序はどっちでも良いけど、じゃあ掛け算の順序を少しも固定しないで、"まとまりの数"の理解を促すにはどうすればいいの?これは私が疑問に思っていることです。掛け算の順序はどっちでも良い、掛け算順序固定否定派の、「一つ分×いくつ分」が害悪でしかない、と思っている人たちに聞いてみたいです。時間の例題4/5時間はなん分ですか?4/5分は何時間ですか?4/5時間はなん分か?を考える時、"1時間あたり"60分で、それの4/5倍だから...60×4/5=48(分)これを基に考えると、4/5分は何時間か?は"1分あたり"1/60時間で、それの4/5倍だから、1/60×4/5=4/300=1/75(時間)となる。1分がa時間だと分かった。あとは、aを何倍かすれば良い。いう、"1分あたり"、"一人あたり"、"〇〇あたり"の概念が理解できていれば、abでもbaでもいいし、慣れたら機械的にしても良い。教える方が、私は理解しやすいんじゃないかな?と思いました。私あくまで、私が、こうした方が教えやすそうだな、理解してもらいやすそうだな...と思った話なので、それ以外に分かりやすい解法があれば、是非、教えてください。この問題を解く時、4/5時間はなん分ですか?は、4/5(いくつ分)×60(1時間あたり)=48と考え、4/5分は何時間ですか?を、4/5×1/60=1/75と考えるのも勿論ありだと思います。して(掛け算の順番を固定して)教えることになってるけどね。)これとは別に、掛け算に順序はない、どっちがどっちでもいい!!と主張する人は、4/5時間はなん分ですか?は、60×4/5=48(分)と教えた時、4/5分は何時間ですか?を、4/5×1/60=1/75と教える場合、どうやって教えますか?これ、逆でも構いません。4/5×60=48と教えた時、4/5×1/60=1/75と教える場合、どうやって教えますか?掛け算は交換可能、順番なんてどっちがどっちでも良い...と知っていても、私なら、混乱するし、"〇〇あたり"の理解を深めるためには、固定した方が分かりやすいんじゃないかな?と思います。少なくとも私は、このような時間の問題や、速さの問題で子供がつまずいた時、"〇〇あたり"を考えると分かりやすいよ〜、と、教えたいと思っています。私どんだけ何回書いても誤解する人がいそうなので、また言うけど、「掛け算の順序を守ることが大事」って意味じゃないからね。日本語の語順(主語+述語)を考えると、「いくつ分×一つ分」と考えた方が、分かりやすいと思う先ほどの例題でも出しましたが、「いくつ分×一つ分」としても、「一つ分×いくつ分」としても"まとまりの数"の理解が深まるのなら、どっちでも良いと思いますが、日本語を考えると、「いくつ分×一つ分」と教えた方が、理解されやすいんじゃないかな?と思います。少なくとも私は、日本語でコミュニケーションをとっているので、「いくつ分×一つ分」の方が、理解しやすいし、説明しやすいです。掛け算に順序はないけど、掛け算に順序はないって教えた方が有用であるっていうエビデンスはあるの?これは私も分からないので、そういう論文やデータがあれば、教えていただきたいです。〇〇%有用である、と分かったとして、それが100%でないならば、それは、掛け算に順序はない!!と、数学的に正しい事実を教えても、人によってはそれが理解できない、分かりにくい、ということになるんじゃないでしょうか?エビデンスは大事だと思いますが、教育に絶対はないと思います。掛け算順序論争について思うこと同じことを何度も書きますが、この掛け算順序シリーズは、おいたん(兄)から聞いた話が面白く、数学の面白さを広めたかった話です。掛け算(高校までの普通の掛け算)を定義する方法は一通りではなく、定義の仕方によって可換性は小学生にも自明になります。いった、ある定義や枠組みで証明することが難しくても、同値な別の定義や枠組みを用いることで証明できる事は数学ではよくあるそうで、身近にもそんな例があって面白いよねってことを伝えたかった記事です。子供がテストでバツをもらった時に、こう言う考え方でバツになってるんだよ、ということを伝えたかった話です。言って、「掛け算に順序がある、掛け算の順序を固定し、強制的に教えるのが大事」というのを広めたかった訳ではありません。「掛け算の順序を固定して指導する」という方法は、学習指導要領には書いていません。(「一つ分×いくつ分」で考える事は大事だよ、とは書かれていますが、「一つ分×いくつ分」の順に固定して指導せよ、とは書かれていません。)テストでの判断は、現場の先生に任せられている、という現状だと思います。いえ、実際は同調圧力等により、現場の先生の中にも、掛け算の順序が違う事で、泣く泣くバツを付ける人もいれば、バツをつけられて、算数が嫌いになる子供もいることでしょう。したら、そんな事は考えず、片方の式しか書かれていない答案を見て、何の疑問も持たず、機械的にマル付けをしているだけかもしれない...。掛け算の順序で正誤を判断されるということは、まとまりの数(単位あたりの量)を理解している人にとっては、学校が掛け算の順序を求めているから、こう回答する...というような忖度そんたくをして、(数学的に正しくない理解を曲げてまで、丸をもらうために)掛け算の順番を式に書いていることになり、これは、科学にとってはプラスどころか、マイナスであるとすら思います。そこは、掛け算順序否定派の人たちの考え方に同意します。掛け算順序否定派の人たちが、世の中を変えようと訴え続け、しかし、優しい言葉の訴えでは全然世の中が変わらなかったので、凄い強い言葉で訴えるようになった...というのにも、理解は示せます。理解は示せるだけで、私はそういう行動をしようと思いません。いった強い言葉で行動するのが正しいとは、私は思いません。掛け算順序固定で教える事に一つもメリットがない、エビデンスもない...という人もいますが、一つもメリットがないというエビデンスもまた、ありません。(これは私の認識なので、既にあるようなら教えていただきたいです。「掛け算順序を固定して教えることに」というのは、「掛け算順序固定を強制して教えること」という意味ではありません。私は、メカニズムが分かっているからといって、そのメカニズムに合わないと無意味か?というと、そんな事は全然なく、また、そこが難しく、解明されていないところだと思っています。こと教育に関して、入力と出力の間にはブラックボックスがあり、Aと入力したからと言って、Aの出力が出る訳ではない...ということを、理解しておく必要があるのではないかな?とも思います。掛け算を「場面」で導入している部分、私は、掛け算を累加で教えていると思っていたし、子供たちも累加で教えてもらっているという認識でした。(某数学者に強く批判されたので、修正しました。詳しくは【掛け算順序番外編】より)ここでも、掛け算を累加で導入していない(入力)としても、子供は累加であると認識している(出力)ならば、それは掛け算は累加であるという教育ではないのか?と思います。サンドイッチ法では全然無意味だ。いうようなことも書きましたが、それも果たして本当に無意味でしょうか?意味を理解せずやっていたとしても、ある日突然、「分かった!!」となる日がくることもあるのではないでしょうか。おいたん概念の理解は置いておいて、定義と論理を書き写す。期間を空け、2回、3回繰り返すことで、自然と紐解け、理解が進むこともあったよ。理解が進まないこともあるけどね。強い言葉を使って、掛け算順序を肯定する人も、否定する人も、このあたりのことをよくよく考えてみて欲しいと思います。私は、掛け算順序擁護派でも否定派でもどちらでもありませんが、今回、この漫画を描いたことで、掛け算順序を擁護していると捉えられたようです。実際、正しい解釈の一つとして、私なりに分かりやすく描いたので、それが、見る人にとっては、「掛け算の順序を固定することこそ正しい!!」と主張しているように解釈されたのでしょう。そんなつもりは全然ありませんが、掛け算の順序を固定して教える事は、教えやすいし、理解されやすいのではないかな?とは思っています。掛け算の順序を固定することは害悪でしかない、一つもメリットがないという掛け算順序固定否定派の人たちには、"まとまりの数"の取り扱いがあやふやな人に、掛け算順序を固定せず、"まとまりの数"の理解を、どうやって教えますか?と、聞いてみたいです。掛け算の交換法則なんて、教えて貰えばすぐ分かるじゃん?九九表覚えれば、「掛け算は入れ替えてもいいんだ〜」って気付くだろうし。私これ、"掛け算"を教えてるんじゃなくて、"まとまりの数"の取り扱いを教えるために"掛け算"を使ってるんじゃないかと思うんだよね。なると、毎週水曜日にポンジュース出てたよ。PM以前のブログの記述に比べて概ね常識的でまともな事が記述されていて、感心いたしました。>数学的に間違いがあれば、ご指摘ください。直後に書かれている以下の部分は数学的な間違い、または数学とは関係のない思想なのではないでしょうか?>「でもさ、2×3も、3×2も、答え一緒じゃん!!」「答えは一緒でも『式が表しているもの』が違う」>ここは、掛け算を累加で定義すると、可換は自明ではないため、答えが合っているだけではダメで、私の解答が"違う"となります。掛け算の定義によらず、結局は自然数の掛け算には交換法則が成り立ちます。回答者がどんな知識を持っているかは交換法則が成り立つかどうかに関係ありません。「2×3も、3×2も、答え一緒じゃん!!」は正解とされなければおかしいです。片方を「分かっているから正解」と評価し片方を「分かっていないから不正解」と評価するのは数学的に正しいこととお考えなのでしょうか?>極端な話、数学者じゃなければ、どっちでもいいよね。PM夏の介さんは「式が表しているものが違う」という部分に違和感を持っているのですね。「式が表しているものが違う」というのは、私の思想ではなく、矛盾もしていません。夏の介さんが言われていることと、私が言っている事は、意味が違うからです。「式は、状況や場面を表すものであって、場面が違う」と解釈しているようです。式は、状況や場面を表すものではありません。「ただのラベル(名前)を定義し、ラベルに意味を持たせたもので、そのラベルの指すものが違う」という意味です。「2×3」というただの「ラベル(名前)」に、「2+2+2」と定義し、意味を持たせました。「3×2」は、「3×2」という名前に、「3+3」という意味を持たせました。「2×3」と「3×2」は、定義より、表しているものが違います。任意の自然数m、nに対して「m×n」と「n×m」をイコールで結ぶためには、証明が必要になります。「m×n」と「n×m」を、累加でない別の定義(より厳密には、定義という言葉を使わない方が良いのですが)で、可換性はすぐに分かります。夏の介さんは、>仮に「掛け算を累加で定義すると、可換は自明ではない」としても、と仰っていますが、「掛け算は累加で定義しても可換は自明だ」と思っているのですか?この一文から、私はそう読み取りました。「仮に」ではなく、掛け算を累加で定義すると、可換は自明ではありません。(もし、掛け算は累加で定義しても可換は自明だと思っているのなら、掛け算順序4話目をよく読んでみてください。)掛け算順序4話目で書いた、「掛け算を累加で定義すると可換は自明ではない」は、おいたん(兄)に何回説明してもらっても、中々理解することができなかった箇所です。私は、長時間かけて理解できたから記事にしましたが、記事をサラッと読んだだけですぐに理解できる話ではなかったな...と思っています。(機会があれば、もう少し分かりやすく、書き直したいと思います。)余談ですが、掛け算順序固定否定派の人の中に、私の記事を、「掛け算順序固定擁護派の記事、非難する記事!!」と思っている人がいて、私の記事をデマだと言い回っているせいで、真に正しい事実を知ろうとしない人を見かけました。これは、掛け算順序論争をやっている弊害だな...などと思いました。それが本当に真実かどうかは、その人にとっては大して問題ではないのだと思います。夏の介さんは、私の記事を、「掛け算順序擁護派の記事」としてしか見ていないのではないですか?そのようなバイアスは取っ払って、もっとじっくり、何回か読んでもらえると私が言いたい事が分かるのではと思います。>回答者が掛け算の可換性を知っていてもいなくても、>回答者が掛け算の可換性を証明していてもいなくても、>「2×3も、3×2も、答え一緒じゃん!!」は正解とされなければおかしいです。「「2×3も、3×2も、答え一緒じゃん!!」は正解とされなければおかしい」という解釈で合っていますか?私は、小学生なら、「答え一緒だから」という理由で、テストでマルでいいと思います。大人でも、必要ない人はそれでいいと思います。数学を学んでいる人、自然数とは何かを定義し、任意の自然数m、nに対しm×n=n×mを証明しようとしている人にとっては、これではダメだと思います。数学を勉強する時は、教科書の行間を自分の頭で考えて埋め、論理を積み上げていく学問だと、おいたんから聞きました。夏の介さんがもし数学科出身であれば、ゼミで”教科書にそうかいてあるから”を理由に論理展開はしないと思います。(いくつか定理を証明せず使用する事はあるかもしれませんが。)こういう、論理を追っていく話は、私には新鮮で面白く、記事にしたいと思いました。この、新鮮で面白かった部分を漫画に描いたつもりでした。(おいたんに「何で?」と言われて、私が説明できませんでした。その問答が面白く、漫画にした...という感じです。「2×3も、3×2も、答え一緒じゃん!!」と2×3の数しか示せていないので、ダメです。(記事に書いてる)漫画では、任意の自然数m、nに対し、m×n=n×mを示せ。私は、証明せずに、交換法則は成り立つから成り立つ。掛け算順序を守るべき理由のように読まれたなら、それは大変な誤解です。>同じ問題に対し同じ回答をした2人の回答者がいた場合、>片方を「分かっているから正解」と評価し>片方を「分かっていないから不正解」と評価するのは>数学的に正しいこととお考えなのでしょうか?これは「小学校のテストの掛け算の式で正誤を判断する場合」という解釈でいいですか?であれば、これはもう、数学の話ではありません。私は寧ろ、同じ回答しても、個々人によって、正解、不正解をした方が良いのではないかな?と思います。同じ回答でも、「この子は分かっているな、マル。」「この子は分かってなさそうだな、バツ」として、バツにした子には、個別に教える...というくらい、きめ細かい対応が出来るといいんじゃないかな?と思います。バツにしないまでも、サンカクにして、相手の理解を確認しながら教えることができるのなら、それに越した事はないと思います。>数学者ならばそんな属人的なものを基準にしたりせず、>客観的な事実から論理的に「どっちでもいい」とするのではないでしょうか?殆どの数学者はそもそも掛け算順序論争に興味ないと思います。おいたん(兄)が、この話をしてくれたのは、論争に入るためではなく、私と甥っ子の為に話してくれたことであり、それについて、おいたんは議論する気は全くありません。私が「議論しない」と言いつつ、つい返信してしまうので、それに対して、親切心で色々教えてくれただけです。コメントに返信するとことも、「議論したい」と思われそうだな...と思いつつ返信しています。この記事にも書いているように、テストの掛け算の式でマルバツを付けるのは「反対」です。「全部で何個でしょう?」というような「総数」を問うている問題は、「どっちでもいい」です。PM>一つもメリットがないというエビデンスもまた、ありません。回答し、この回答に対して、一律にバツをつけて何のフォローもしない、というのは、私は反対です。人的資源の限られた学校教育において、順番を固定して教えることが良いかと言われると、導入時はそうだとしても、テストで正誤を判断するやり方は、やめた方が良いと思っています。言え、「左側に”まとまりの数”を書くんだよ〜」と教え、テストでも「先に”まとまりの数”を書いてね〜」等言っていた場合、順序が逆だったら、「あれ?この子は分かってないのかな?」と判断する材料の一つに使う事も出来ると思っています。いう前提条件がない状態で、学校教育で一律にバツをつける必要はなく、それが全員に有用であるとも思えません。何の前提条件もない状態(例えば、学年が上がって、小2の導入で、左側に”まとまりの数”を書くように教えたからと言って、小3でも暗黙の了解で左側に「一つ分」でなければならない)で、掛け算の順序で正誤を判断されるということは、まとまりの数(単位あたりの量)を理解している人にとっては、学校が掛け算の順序を求めているから、こう回答する...というような忖度をして、(数学的に正しくない理解を曲げてまで、丸をもらうために)掛け算の順番を式に書いていることになり、これは、科学にとってはプラスどころか、マイナスであるとすら思います。繰り返しになりますが、”〇〇あたりの量”を意識する練習の一環として、掛け算の順序を固定し、指導するのはありだと思っています。ゴルゴ・サーディーンさんは、”〇〇あたりの量”を意識する練習の一環としても、掛け算の順序を固定し、指導するのは問題ありだと考えていますか?私は、“〇〇あたりの量”を教えるのに、色々な教え方があっていいし、分かりやすく教えられるのなら、それに越した事はないと思っています。PM私の認識だと、しらこさんは勘違いしている点があると思います。「掛け算順序固定」はダメだと言われることがありますが、「掛け算順序固定強制」が省略されての発言と考えられます。「固定強制」のメリットが無いと言われています。言い方を変えると、順序自由にさせることで失われるメリットが無いと言うことです。順序固定したほうが解りやすい子がいたとしても、自由(つまり固定で解いても構わない)にさせることではメリットは失われません。しらこさんが疑問に思っている、「批判派はどう教えるのか?」は、「固定して教える」とかになるでしょう。ほとんどの教師は教科書と同じ順序に固定して教えているはずで、そのことを批判している人を私は知らないです。批判されているのは「逆順はダメ」と扱う教師です。PMコメントありがとうございます。私も、エイリュウさんと同じ考えです。「掛け算順序固定」では分かりにくかったですね。「掛け算順序固定強制」がダメという意味で発信していました。意図を読み取っていただき、ありがとうございます。『掛け算順序固定で教えることに、一つもメリットがない、エビデンスもない...という人もいますが、一つもメリットがないというエビデンスもまた、ありません。』という文言に引っかかっている人がいて、何故この文に引っかかるのか分かりませんでしたが、「掛け算順序固定を”強制”して教えることに」と考えると、納得できました。あれば、「掛け算順序固定を”強制”して教えることに」は、私も、メリットどころか、デメリットしかないと思っています。注釈を書き加えたいと思います。掛け算順序を固定して教えることも反対の人がいるのかな?と勘違いしてしまいました。ご指摘、ありがとうございます。この回答(解釈)も的外れだったり、私の勘違い等ありましたら、ご指摘いただければと思います。PM他の人へのコメントなどから、気になったことについて書きます。載せているテスト画像は「あめはぜんぶでいくつひつようですか」という総数を求める問題に対して「逆順はダメ」と扱っている、まさに批判対象の例です。本文にも書いてあるとおり、「まとまりの数」は考え方により変わります。順序指定しても「まとまりの数」の理解度は測れません。「掛け算には、まとまりの数を先に書くルールがある」という間違った認識をもたせないようにするべきでしょう。重要なのは「画像問題における必要な飴の数」と「8×9」と「72」が”同じ”と認識できることでしょう。それができれば「9×8」も同じと解ります。PM>ゴルゴ・サーディーンさんは、”〇〇あたりの量”を意識する練習の一環としても、掛け算の順序を固定し、指導するのは問題ありだと考えていますか?はい。(仮に、一時的な措置として順序固定を使った場合、どこかの時点で「解除することを明言すること」が、許容するための条件です。PM>ほとんどの教師は教科書と同じ順序に固定して教えているはずで、そのことを批判している人を私は知らないです。>批判されているのは「逆順はダメ」と扱う教師です。この件、いまようやく理解されたのでしょうか?昨年12月の時点で、私が「学校では『1.5×1000ですね。1000×1.5でも問題ありません』というふうにはしてくれません。」と申し上げていたのですが。PM>ほとんどの教師は教科書と同じ順序に固定して教えているはずで、そのことを批判している人を私は知らないです。>批判されているのは「逆順はダメ」と扱う教師です。この件、いまようやく理解されたのでしょうか?エイリュウさんがコメントで言われている、>批判されているのは「逆順はダメ」と扱う教師です。「逆順はダメ」と、何の前提条件もなく”強制的に”扱う教師と私は認識しています。「逆順はダメ」と、何の前提条件もなく”強制的に”扱う教師は、私もダメだと思います。(この部分は、今理解した訳ではなく、最初からダメだと思っていました)ただ、私は、「逆順はダメ」と扱う教師の中にも、前提条件をつけていた場合や、導入でそのように教えていた場合、”〇〇あたりの量”を意識する練習の一環としては、「逆順はダメ」と扱ってもいいのではと思っています。ゴルゴ・サーディーンさんは、”〇〇あたりの量”を意識する練習の一環としても、掛け算の順序を固定し、指導するのは問題ありだと考えているようですので、私とは考えが異なります。私は、「いかなる理由があっても、「逆順はダメ」と扱う教師は批判されなければならない」とは思いません。子どもの理解度を考慮しながら、一時的に「逆順はダメ」と扱っても良いと思います。(繰り返しになりますが、一律に、何が何でも「逆順はダメ」と扱う教師は論外です。)ゴルゴ・サーディーンさんが12月に言われていた、>「学校では『1.5×1000ですね。1000×1.5でも問題ありません』というふうにはしてくれません。」の部分と、引用されている方のツイートを見て、私は、「前条件を付けていた場合や、導入でそのように教えていた場合」と、認識しています。(これは、この時も、現在も、この認識に違いはありません。)私は、この引用ツイを読んだ時(今現在も)、お子さんが「”〇〇あたりの量”×◯倍」と教えてもらっている段階であるから、先生は△にして、”〇〇あたりの量”というのが読み取れてるか確認をしたのだろうと解釈し、この担任の先生が”絶対ダメ”と強制的に教えているようには見えませんでした。5/3+7/4の問題の部分でも、親御さんが提示したやり方では、まだ理解できない段階だったのではと思っています。私は、この担任の先生は、お子さんの理解度をよく見て判断されていると解釈し、子供が納得できるよう前提条件を提示し、指導していると思いました。(私は、掛け算の順序はどちらでも問題ないと思っているし、掛け算順序を固定して教えることも、この引用ツイートも前提条件があったのではと推測できるし、不当な指導だと思っていません。AM>掛け算順序固定反対派の一部の人たちは、その考え方が、害悪でしかない、掛け算の順序を固定することに一つもメリットはないって言ってるんだよその「一部の人たち」の主張を知りたいです。最初に掛け算を教える際に左右に異なる意味付けをして教えることに反対する意見は聞いたことがありません。一部の人たちは、何を「害悪でしかない」と言っているのでしょうか?>サンドイッチ法では全然無意味だ。いうようなことも書きましたが、それも果たして本当に無意味でしょうか?意味を理解せずやっていたとしても、ある日突然、「分かった!!」となる日がくることもあるのではないでしょうか。ある日突然分かった、となったとして、それがサンドイッチが無意味ではないことを意味しないでしょう。理解しているかどうかを見るための掛け算順序、とされていたのに、サンドイッチで理解していなくても教える側が求める順序に書けるというのだから、教える側が何のための順序指導なのかわかっていなくて混乱していることを示しているだけです。PM>その「一部の人たち」の主張を知りたいです。最初に掛け算を教える際に左右に異なる意味付けをして教えることに反対する意見は聞いたことがありません。一部の人たちは、何を「害悪でしかない」と言っているのでしょうか?積分定数さんから、このようなコメントをいただけるとは、思っていませんでした。あまりにも衝撃的過ぎて、かなり驚いています。私と積分定数さんとのツイッターのやり取り、何度読み返しても、積分定数さんは、(掛け算を教える時や、前提条件等があったとしても)どのような理由があっても掛け算を固定して教えることは許さないという立場だと受け取れます。>掛け算順序固定反対派の一部の人たちは、その考え方が、害悪でしかない、掛け算の順序を固定することに一つもメリットはないって言ってるんだよは、積分定数さんを筆頭に、一部の人たちを想定して書きましたが、積分定数さんはそうではないようですので、認識を改めたいと思います。今回のまとめ記事でも、掛け算順序固定否定派と思われる人たちから揶揄されたり、批判されたりするので、その人たちは、前提条件があった場合や、導入時等、”〇〇あたりの量”を意識する練習の一環としても、掛け算の順序を固定し、指導するのは問題ありだと考える人が一定数いると認識しています。ゴルゴ・サーディーンさんは、”〇〇あたりの量”を意識する練習の一環としても、掛け算の順序を固定し、指導するのは問題ありだと考えていますか?の問いに、はい。(仮に、一時的な措置として順序固定を使った場合、どこかの時点で「解除することを明言すること」が、許容するための条件です。)と回答されています。ゴルゴ・サーディーンさんだけでなく、他にも、導入時等の場合であっても、掛け算の順序を固定する教え方は問題があると考えている掛け算順序固定否定派の人たちもいるのではないでしょうか?>ある日突然分かった、となったとして、それがサンドイッチが無意味ではないことを意味しないでしょう。理解しているかどうかを見るための掛け算順序、とされていたのに、サンドイッチで理解していなくても教える側が求める順序に書けというのだから、教える側が何のための順序指導なのかわかっていなくて混乱していることを示しているだけです。世の中には“まとまりの数”が全然理解できない子もいます。文章問題を見て、その文章がどのような状況を示しているか、絵に描けない子もいます。“まとまりの数”を(掛け算を固定しようがしまいが)どのような教え方をしても、理解できない子が一定数いる...と私は思いますが、積分定数さんはそのような子供は存在しないと思っていますか?勿論、学校全体で一律に、「文章問題が出たら、サンドイッチで書け」と教えるのは問題だし、サンドイッチを強制するのは以ての外です。それこそ、積分定数さんが仰るように、教える側がよく分かっていない、混乱しているだけだと思います。私は、比例の概念が分からない人や、相手との物理的な距離感がわからない人がいる...という話を聞いたことがあり、つい先日も、ママ友から、ウチの子は、掛け算の文章問題を読んで、絵に書いてみてと言っても書けず、どうやって教えればいいか、どうすれば理解してもらえるか分からず悩んでいる...という話を聞きました。“まとまりの数”というものは何かわからないけど、とりあえずこうやって書けば答えが出る...と思っていくつか問題を解いているうちに、「分かった!!」と突然理解できる子もいるだろうし、そういった、”まとまりの数”が全然理解できない子たちの為に、「サンドイッチみたいに挟むといいよ」と教えることは意味がないでしょうか?ありとあらゆる手段を尽くして、それでもどうしても分かってもらえない...。仕方なく、サンドイッチを教える...というのは、教える側が混乱しているとは、私は思えません。サンドイッチなら分かる、挟めばいい...でもどうして挟んだら答えが出るんだろう?と考える子がいるかもしれない。そんなことは全く考えず、ただ機械的にやる子が圧倒的に多いとしても、そもそもサンドイッチで答えを出す子は”まとまりの数”の取り扱いがうまくできないからであって、”まとまりの数”を理解できている子であればわざわざそんな教え方はしないのではないかなと思います。(分かっている子に、サンドイッチで教えるのは無駄であり、有害でしかないと思います。)余談ですが、「夏の介」さんという方から、積分定数さんかと思ってしまうほど酷似する内容の質問を受けました。コメントに返信しておりますので、もし、積分定数さんがまだモヤモヤされているようなら、夏の介さんとのコメントのやり取りを見返してもらえると理解してもらえるのではないかと思います。PM「こういう子もいるかもしれない」と言い出すなら、どんな指導法も「絶対的には否定できない」と言う話になるでしょう。「1+1=5と教えて、1+1=2としたらバツにする」という教え方だって、「その方が理解が進む子は絶対いないとは断言できない」から否定できなくなってしまいます。あなたは、論の立て方がアンフェアです。PMあなたの言う、「順序固定」が具体的に何を指しているのかもよく分かりません。「「掛け算順序固定を”強制”して教えることに」は、私も、メリットどころか、デメリットしかないと思っています。」とんことですが、具体的にどのような教え方が「強制」なのでしょうか?テストで一方の順序のみを正解として他方をバツとすることは強制という認識でしょうか?それから「まとまりの数」をどう教えるのか?という話ですが、7人に5個ずつ配るには何個必要か?なら、「1人がもらう個数か?」とか「何人いるの?」などと言えばいいでしょう。「"まとまりの数"の理解」とは具体的にどういう事でしょうか?どういう状態になれば「理解が深まった」となるのでしょうか?その辺がさっぱり分からないのです。「"まとまりの数"の理解があやふやな人に、そう言っちゃうと、逆に混乱するかもしれないよ?」、じゃあそういう子には言わなければいいでしょう。子供が逆順にしてもマルにすればいいだけです。マルが付くことで混乱する子はいるのでしょうか?また「"まとまりの数"の理解があやふやな人」の意味がよく分からないのですが、「7人に5個ずつ配るには何個必要か?」で、この問題文の意味が分からないという意味でしょうか?仮にそういう子に教えるのであれば、教えるべきは掛け算の順序ではないでしょう。PM>ママ「やっぱり、答えが同じだから先はどっちでもいい!!って言うと、混乱するよね...。すんちゃんって元々の話では掛け算の順序は逆でも気にしてなくて学校で罰を貰ってきてて、その上で正しく掛け算の交換法則は理解できていたんじゃなかったの?それが今になって「2つのまとまりが、3つだから、2×3じゃないとダメじゃん!」とか言い出したのは、「答えが同じだから先はどっちでもいい!!」と言ったから混乱したのではなくて、学校なり「おいたん」なりが「掛け算は逆にすると意味が違う」と洗脳したからなのでは?マッチポンプとしか言いようがない。PMいや、違うんですよ...。1話目でテストを持って帰って来た→2話目で、累加で定義している(これに私も納得)→すんに確認すると、すんも、累加であるという認識で、2のまとまりが3つある場合は2×3という認識で、3×2ではありませんでした。そこで、さくらんぼの話(2粒実のついたさくらんぼ3房)、「2×3って言ったけど、3×2でもいいんだよ?」って言ってみると、すんはすごい驚いて、「え?何で??」と言っていたので「2粒実のついたさくらんぼ3房」は「2×3であって3×2ではない」という認識でした。「掛け算は逆にすると意味が違う」というのも少しニュアンスが違っており、「式が表しているものが違う」という話を、「掛け算は累加で定義すると可換は自明ではない」という説明のために、私に言っただけです(すんには言っていない)。台風さんは、「掛け算は逆にすると意味が違う」というのは、「式は、状況や場面を表すものであって、場面が違う」という解釈で発言されましたか?もし、「式は、状況や場面を表すものであって、場面が違う」と解釈されての発言なら、おいたんが言った「式が表しているものが違う」という意味とは別物になります。式は、状況や場面を表すものではありません。この辺の話、夏の介さんとやり取りした話ですので、よろしければ、この記事にある夏の介さんのコメントと、私の返信を読んでいただけると分かるのではと思います。ツイッターは暫くミュートにしており、台風さんからのリプに気付きませんでした。(キーワード検索で、台風さんがリプくれていたのに気づきました。「おいたんは2つを混同してしまったから、掛け算順序は「どっちでもよくない」と言っているということか?」は、違います。おいたんは、最初から混同していません。おいたんは、掛け算の順序は、初めからどっちでもいいんです。伝えたいことが違うだけです。ここの話も、まとめ記事に書きました。おいたんは4話目「掛け算を累加で定義すると可換は自明ではない(証明が必要)」の話を、2話目からしています。2話目から、おいたんに、「掛け算を累加で定義した時、可換であることを証明せよ」と言われているのに、私が証明せず「a×bもb×aも同じ」と掛け算の交換法則を知っていることを持ち出して話しています(証明してない)。この、「掛け算を累加で定義すると可換は自明ではない」という話は、小学生にしているわけではなく、数学者であったとしても、どっちでもいいと思っている人にとっては、どっちでもいいです。この、「掛け算を累加で定義すると可換は自明ではない」という話を持ち出して、小学生の掛け算順序に物申すつもりはありません。(匿名でないコメントには、誤解が生じないよう極力返しているので、それが教育の話になってしまっているかもしれませんが、掛け算順序について何か言いたかった訳ではありません。PM>おいたんは、最初から混同していません。掛け算でA×B=B×Aが自明でないとしても、九九が既習ならば9×8=8×9=72は自明ですよね。9×8と8×9はどっちでもよくない」とするのはおかしいのでは?>小学生にしているわけではなく、数学者であったとしても、どっちでもいいと思っている人にとっては、どっちでもいいです。どっちでもいいと言っていたしらこさんをおいたんさんは「どっちでもよくない」と否定していますよ。PM「私と積分定数さんとのツイッターのやり取り、何度読み返しても、積分定数さんは、(掛け算を教える時や、前提条件等があったとしても)どのような理由があっても掛け算を固定して教えることは許さないという立場だと受け取れます。」だから、あなたが「(掛け算を教える時や、前提条件等があったとしても)どのような理由があっても掛け算を固定して教えることは許さない」がどういう意味で言っているのか分からないので、「通りです」とも「いいえ違います」とも言えないのです。私の立場を説明します。現在、教科書では1つ分×いくつ分で掛け算を導入するけど、私はこれには反対で、同数累加で導入すべき、a×bはaをb個足した値、と導入すべきと考えています。a×bのaとbに異なる意味付けをして導入することには異論はありません。子供が正しい答えを出したのなら、式によらず正解とみなすべきです。前提条件云々は関係ありません。「1つ分×いくつ分に書くようにと授業で教えていた」というなら、そのように教えること自体が間違っている、という立場です。PM私も含めて、掛け算の順序指導を批判している人は、現実の掛け算順序指導を批判しています。それに対して、「これこれこういう前提があれば、否定できないのでは」と言っても、そんな授業が行われているかどうかすら分からないし、仮に行われていても、我々が批判している「現実の大半の順序指導」への批判への反論にはなり得ません。そもそもあなたは、前提条件の具体的内容すら言わないで極めて漠然としたものしか述べていません。エビデンス云々を言うなら「掛け算に順序がある」という噓出鱈目を教えている側に言うべきでしょう。あなたの言い分は、「1+1=5である」と教えていることを批判して「その教え方が有効であることのエビデンスはあるのか?」に対して、「1+1=5を教えることが有害であるというエビデンスがあるのか?」「1+1=2と教えることが有効である海老ですがあるのか?」と言っているようなものです。>(仮に、一時的な措置として順序固定を使った場合、どこかの時点で>「解除することを明言すること」が、許容するための条件です。)>と回答されています。>ゴルゴ・サーディーンさんだけでなく、他にも、導入時等の場合であっても、>掛け算の順序を固定する教え方は問題があると考えている掛け算順序固定否>定派の人たちもいるのではないでしょうか?誤解されておられるようです。私は「導入時等の場合であっても、掛け算の順序を固定する教え方は問題がある」とは言っていません。これが掛算である」これはOK。書いてはいけない」これはNG。日常とり肉と唐揚げすんとコウ(すんとこう)育児漫画ブログ。どこまでが素材でどこまでが料理名か?ってよく分からんよね。