さいごにもう一度まとめ今回は、2つの円の交点を通る円や直線について学習しましょう。2つの円の交点を通る円や直線に関する問題は、一見すると難しくて面倒そうな感じのする問題です。決まったパターンで解くことができるので、比較的早く習得することができます。入試でもたびたび出題されますが、確実に解ける問題にしておいて得点源にしましょう。2つの円の交点を通る円や直線2つの円の交点を通る円や直線は、以下の式で表されます。つの円の交点を通る円または直線を表す。この式は2つの円の交点を通る円や直線を表しますが、どのようにして得られたのかピンとこない人もいるでしょう。そこで、2つの円の交点の座標を考えます。交点の座標を求めるには、2つの円の方程式を連立して解きます。この連立方程式から上述の式を導出することができます。\end{align*}の解である。\end{align*}つまり、連立方程式のように別々に記述していたものから、1つの式にまとめたものだと解釈できます。1つにまとめてしまいましたが、交点の座標を代入すると等式が成り立つので全く問題ありません。上式では、カッコの中の式は(※)式の左辺ですが、他方の左辺でも問題ありません。以下の2つの式で考えてみましょう。つの円の交点を通る円または直線を表す。例のように、2つの円の交点を通る円や直線の表し方は2通りあります。3式と4式のどちらを採用するかは、それぞれ展開したときを考えると分かります。カッコのある項を展開したとき、定数kが5つの項に掛けられる3式よりも、3つの項に掛けられる4式の方が扱いやすいでしょう。カッコの中の式は、できるだけ項の少ない方にしよう。上式は2つの円の交点を通る円や直線を表しますが、円の方程式だけを知りたい場合が出てくるでしょう。逆に、直線の方程式を知りたい場合もあるでしょう。そこでポイントになるのが、定数kの値です。つの円の交点を通る円または直線を表す。通る直線kの値が-1以外であれば、(※)式以外の円を表すことができます。2つの円のうち、(※)式の円を表すことはできません。k=0のときであれば、他方の円を表すことができるので注意しましょう。つの円の交点を通る円または直線を表す。つの円の交点を通る直線を表す。k≠-1であるのは、円の方程式がx,yの2次の項をそれぞれもつからです。2つの円の交点を通る直線は1次式なので、これを満たすのはk=-1のときだけです。k≠-1であれば円の方程式、k=-1であれば直線の方程式を表す。2つの曲線の交点を通る曲線2つの円の交点を通る円や直線を表す式を一般化すると、以下のように表されます。つの曲線の交点を通る曲線を表す。f(x,y)=0やg(x,y)=0は、x,yを変数にもつ方程式を表します。ここで扱う円や直線の方程式の左辺を想像すると良いでしょう。次は例題を解きながら、2つの円の交点を通る円や直線を求めてみましょう。2つの円の交点を通る円や直線を調べてみよう次の例題を解いてみましょう。点で交わることを示せ。つの円の交点を通る直線の方程式を求めよ。通る円の中心と半径を求めよ。点で交わることを示せ。例題を解く前に作図しておきましょう。交点の位置や円の中心・半径などをおおまかに予想することができます。作図から、2つの円が異なる2点で交っていることが分かります。例題(1)は、2つの円が異なる2点で交わることを示す問題です。一般に、連立方程式を解けば、交点の座標を求めることができます。「交点の座標を求めよ」とは指示されていませんが、交点の座標を2組求めることができれば何とかなりそうです。ここで厄介なことがあります。扱う2つの方程式が円の方程式であるということです。この場合、連立方程式を解く方法では上手くいきそうにありません。そこで思い出したいのが、2つの円の位置関係です。\end{align*}例題(1)では異なる2点で交わるときを考えるので、外接するときと内接するときを除きます。等号のない不等式が成り立てば良いということです。\end{align*}が成り立つ。これを踏まえて例題(1)を解きます。