この定理は系のほうがわかりやすいかもしれません。定数でない整関数$f:\C\to\C$に対して、その値域$\operatorname{Im}f$は高々一つの点を除いて$\C$に等しい。$f(z)$が定数でない整関数であるとすると、定義から$g(z)=f(\frac1z)$は$z=0$以外に特異点を持たない。ここで、$z=0$が$g$の真性特異点であるならば、Picardの大定理によって高々一つの例外を除くすべての複素数値を取ることがわかる。$z=0$が$g$の極や可除特異点であるならば、その主要部を除去した関数$h(z)$を考えると、これはほかに特異点を持たず有界であるから、Liouvilleの定理によって定数となる。よって$g(z)$は$z^{-1}$の多項式で表せ、それが定数ではないことから代数学の基本定理からすべての複素数値をとることがわかる。従って、このときの$f(z)=g(\frac1z)$も、高々一つの例外を除きすべての複素数値をとる。有界な整関数は定数に限る。任意の複素係数多項式は複素根を持つ。像の閉包は、$\C$である。系について語るより、元の定理の美しさを語ったほうがいい気がしますね。正則関数というものの定義は非常に単純なのに、ここまで強い制約がかかっているのだと実感します。整列集合という概念が非常に単純な構造しかもっていないことを主張する定理です。整列集合の比較定理$X,Y$を整列集合とすると、次のうち唯一つが成立する。\end{aligned}というか個人的に整列集合が好きです。超限帰納法っていいですよね。なんか、簡単に定義されたものが強い制約がかかっている状態が好きなのかなという気がしてきました。中学三年生の時に思いついて放置されたのち、高校一年生の授業を聞いていてそのアイデアを思い出し証明したような公式です。証明が書いてあるので読みたい人は読んでもらって、主張は以下のようになります。\alpha=s-a,\beta=s-b,\gamma=s-c$$これはなんとなく見つけたときにはカタカナ表記だったのでカタカナのままなのですが、母国語表記でもいいと思います。実質的にヘロンの公式と同じですね。証明を読んでみるとわかると思うのですが、平面図形の面積を求めるために立体図形を使っているんですね。「紙面の奥側に補助線を書く」という幾何の解き方はあまり見たことがないので個人的に面白いと思いました。そもそも中学三年生の時はここまでうまくいくと思っていませんでしたしね。おわりにどうでしたか。感動できるものとか感心するものとかがあったりしたでしょうか。そもそも僕が解析偏重心というのもあるので解析分野のものが多くなったのですが、個人的に初等幾何で思い出せるものがあったというのが意外でした。誰かの参考になるのでしたら幸いです。高評価したユーザはいませんこの記事に送られたバッジバッジはありません。バッチを贈って投稿者を応援しようバッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。🐟🍊みかん🍊🐟が感動した定理とその。