$$はじめにどうもこんにちは、🐟🍊みかん🍊🐟です。今回は僕が遭遇した時に感動した定理をあげて、それに対して系をあげていこうと思います。ちなみに追記されていく可能性があります。証明は書いたり書かなかったりします。解析学Stokes-Cartanの定理Stokes-Cartanの定理$M$を向き付け可能な区分的に滑らかな多様体とし、$\omega$を微分形式とする。このとき、次の等式が成り立つ。$$最近知った超強い定理です。微分形式をきちんと学んだ状態でこの定理を初見遭遇すると本当に震えるほど感動します。したらみなさんから感動を奪ってしまったかもしれません。あれば申し訳ないです。この定理はまさに「伏線回収」と呼ぶに相応しいと思います。上の式で出てきた$d$は通常の微分ではなく外微分というもので、要するに全微分を一般の微分形式に拡張したものと考えることができます。すさまじく強い定理なので、系がたくさんあります。系に強い主張があるから感動したわけではないです。\end{aligned}FTCが系というのはなかなか凄いですね。ちなみに、ベクトル解析の数多くの公式も導くことができます。\end{aligned}「系」感が半端じゃないですね。ちなみに上記二つの定理と次の定理はほとんど同じ証明手法を取っていて、そこから「あやしい」と感じていたので感動が深まったというのはあると思います。Greenの定理$xy$平面上の領域$D$において、$D$の内部で$C^1$級である連続関数$P(x,y),Q(x,y)$に対して次の等式が成り立つ。\end{aligned}運用のコツとしては外微分の逆をするのは大変なので、境界側から式変形するといいです。なってしまいますが、きちんと学ぶとこの定理の美しさがよくわかると思います。starなどを用いることで記述できます。これらも同一の背景を持っていたんですね。Greenの定理が出てきたのでCauchyの積分定理を証明しておきます。u_y=-v_x$を用いた。これを多重積分経路化して、留数の定義を当てはめると留数定理が出てきますね。ここから発展させると複素解析の多くの定理を「系」にできる気がしてきましたが、Stokes-Cartanが内包しているというよりは複素解析が凄いだけな気がするので、この辺でやめときます。あるのでこちらを見てほしいです。主張の内容としては次の通りです。これには主張に不備がありますが、そのあたりの話も含めて上で示した記事です。系というと、代入して計算できるものとか...?二年生の夢これは思い入れが深い等式です。$$に似た積分と級数で、僕が中学二年生当時よくわかっていないものがありました。$$このうち、前者二つが等しいと主張するのがこの節での主定理です。