頂点に接する側面の面積をA,B,Cとし、底面の面積をDとすると、Aˆ(2)+Bˆ(2)+Cˆ(2)=Dˆ(2)が成り立つ。ˆは、べき乗(冪乗)記号とする。頂点に接する各辺の長さをa,b,c、底面に接する各辺の長さをd,e,fとする。d,eを長さとする二辺のなす角度をθとする。辺と面の各名称の位置関係は下図の通りとする。ピタゴラスの定理は、2次元直交座標の原点を頂点として、x,yの各座標軸上の2点を取った直角三角形において成立し、上記関係式は、3次元直交座標の原点を頂点として、x,y,zの各座標軸上の3点を取った直角三角錐において成立する。n次元直交座標の原点を頂点として、各座標軸上のn点を取ったn次元直角図形において、この関係式を拡張することができるか。Aˆ(2)+Bˆ(2)=Cˆ(2)を満たす数の組について、そのような長さを三辺とする三角形は必ず存在するか。あればその三角形は直角三角形である。同様に、Aˆ(2)+Bˆ(2)+Cˆ(2)=Dˆ(2)を満たす数の組について、そのような面積の三角錐は必ず存在するか。あればその三角錐は直角三角錐か。n次元においてはどうか。Aˆ(2)+Bˆ(2)+Cˆ(2)=Dˆ(2),・・・というピタゴラスの定理の拡張は、通常、n次元直交座標において原点を中心、式の左辺を成分、右辺を半径とする円,球・・・として捉える。ベクトルの成分と長さとしても捉えられるが、その幾何的根拠はともに、左辺を辺、右辺を対角線とする長方形,直方体,・・・である。この考え方では、任意のn次元で式と辺の長さが対応されているが、本ページの拡張では、2次元の場合には式と辺の長さが対応し、3次元の場合には式と側面の面積が対応している点が異なる。問題2の前半「Aˆ(2)+Bˆ(2)=Cˆ(2)を満たす数の組について、そのような長さを三辺とする三角形は必ず存在するか。あればその三角形は直角三角形である。」Aˆ(2)+Bˆ(2)=Cˆ(2)を満たす数の組があるとき、2次元直交座標に原点を中心として半径Cの円を取れば、(A,B)の点は半径Cの円上にある。(A,B)と原点を結ぶ直線、(A,B)から各座標軸への垂線(と平行線)、これら三直線を3辺とする三角形を取れば、3辺の長さはA,B,Cである。長さCの辺の対角の角度をθとすると、余弦定理より、Cˆ(2)=Aˆ(2)+Bˆ(2)−2ABCosθである。三角形なので0°<θ<180°において、Cosθ=0となるのは、θ=90°のみであり、Cˆ(2)=Aˆ(2)+Bˆ(2)が成立すれば、その三角形もやはり直角三角形である。