ownerフックの法則の運動方程式と調和振動子の全エネルギーツイートシェアはてブLINEPocket二原子分子における分子内振動は、調和振動子と呼ばれるモデルを使って近似することができます。調和振動子とは、質点がフックの法則に従って運動するときの系のことを指します。今回は、1つの質点がばねにつながれた場合の調和振動子モデルについて、運動方程式(微分方程式)や全エネルギーを求めていきます。調和振動子とフックの法則まず、質量\(m\)の質点がばねを介して水平につながれている状態を考えます。本来、物体は大きさをもっていますが、質点は質量中心に大きさが集中している点だと見なされます。質点に対する摩擦や重力などの影響は無視します。壁とばねがつながる地点を原点とし、ばねの自然長、すなわち伸びても縮んでもいないときの長さを\(l_0\)とします。そこで、何らかの原因でばねが伸び縮みして長さが\(l\)に変化すると、ばねは自然長の長さに戻ろうとします。このときのばねの力のことを復元力といいます。\tag{1}$$で表すことができます。これをフックの法則といいます。このとき、ばねの変位が正のときは伸びた状態であるため、復元力は縮む方向、すなわち負の値をとります。ばねの変位が負のときは逆に復元力は正の値をとります。このことから、フックの法則にはマイナスの符号が掛けられています。\tag{3}$$さらに、\(l\)を消去して\(x\)で表ます。\tag{7}$$この方程式は、\(x\)と\(d^2x/dt^2\)の1次方程式であることと、各項の係数が定数であることから、定係数の線形微分方程式だと分かります。\tag{8}$$になります。\tag{9}$$です。次に、前項で考えた調和振動子の全エネルギーを計算します。簡単のために、(8)式で\(A=0\)の場合を考えます。\tag{10}$$これは、振幅が\(B\)の余弦波です。全エネルギー\(E\)、は位置エネルギー\(V\)と運動エネルギー\(K\)の和で与えられるため、まずは位置エネルギーを求めます。\tag{12}$$このとき、\(C\)は積分定数です。\tag{13}$$定積分をしたので、積分定数\(C\)は消えています。\end{align}$$よって、全エネルギー\(E\)には保存則が成り立ちます。これは復元力以外に力が働かない仮定のもと成り立ってることに注意してください。各エネルギーの時間変化をグラフに表した図を以下に示します。物理化学ツイートシェアはてブLINEPocketfeedlyばねでつながれた調和振動子の二体問題|質量中心座標と換算質量シュレディンガー方程式と固有値問題|ハミルトン演算子の導入RECOMMENDこちらの記事も人気です。