医療職からデータサイエンティストへ医療職からデータサイエンティストへ統計学、機械学習に関する記事をまとめています。確率分布は統計学を学び始めると必ず出てくるワードなんですが、初めて聞いたときは、なんじゃそりゃ〜〜って感じで全然理解できませんでした。SPSSやSASS、EZRなどの統計ソフトは値を入れれば、それっぽい結果が返ってくるので、学ぶ必要性を感じない人も多いかもしれません....(私もその一人でした)しかし!確率分布を知らないと誤った統計解析をしてしまったり、結果の解釈が分からなかったり大変なことになる場合があります。今回はそんな確率分布達をできるだけわかりやすくまとめていきます!途中、期待値や分散を式で書いたり、Rを使ってシミュレーションしたりしますが、ざっくりと理解したい方は読み飛ばしてくださいね。そもそも確率分布とは、簡単に言ってしまうと物事の起こりやすさを表したものになります。一度重要なので確率分布とは物事の起こりやすさを表したものになります!例えば、日本人身長の起こりやすさをグラフにしてみます。これの意味するところは身長160cmの起こりやすさは0.02、130cmの起こりさすさは0.006なので、160cmは130cmに比べて約3倍起こりやすいとなります。ここで注意するのは、この正規分布は起こりやすさを表しているのであって、確率を表している訳ではないということです。単位は何なんだと思うかもしれませんが、起こりやすさを相対的に表すただの数値であることに注意してください。ここを確率と理解していると今後どんどんはまってゆきます、、、、ちなみに私ははまりました。このグラフの身長のことを確率変数、この起こりやすさの分布のことを確率分布と呼びます。確率変数が分かりにくければ、起こりやすさを知りたい変数ぐらいの理解でも大丈夫です。distribution)まず、確率変数が二値の場合によく使われるのがベルヌーイ分布です。今回は箱の中から二種類の玉を選ぶ問題で例えてみます。今箱の中に青玉が70個、赤玉が30個あるとします。この箱から玉を取り出した時の確率分布はどうなるでしょうか?この時青玉を引く確率は70%、赤玉を引く確率は30%ですね。確率分布を表すとこんな感じです。正規分布と大きく違うのは、縦軸が確率を表していることです。確率も起こりやすさを表す数値の一種と考えれば当然ですね。表現できない正規分布のような分布(ぴったり160cmになる確率は0%です)を連続型確率分布と呼びます。青だったら1、赤だったら0として、となります。1)で0.7、赤(x=0)で0.3となります。Rでも実行してみます。distribution)ベルヌーイ分布は、箱から一個の玉を取り出した時、青玉がどれぐらい出やすいかを表した分布でした。先ほどの箱から玉を10個取り出した時に、青玉は何個あるかという個数が従う分布が二項分布になります。確率分布をグラフ化すると10個中7個青玉がある確率(m=7)が一番高くて27%、10個とも青玉である確率(m=10)は3%、一個も青玉が入っていない確率(m=0)はさらに小さいことが分かります。二つによって、分布の形が変わります。式で表すと、となります。実際にmに7を入れると0.27となります!また、期待値と分散は、です。2.141932と書くこともできます。distribution)先ほどの玉の入った箱に、今度は1万個の玉を入れて、青玉は変わらず70個、残りは赤玉にします。ここから、1000個の玉を取り出した時に、青玉の数が従う二項分布を考えてみましょう。グラフにするとこんな感じです。先ほどの同じように一番確率が高いのは7個の時ですが分布の裾が大きくなっています。この時の分散と平均を計算してみるととなって、平均と分散がほとんど同じ値になります。小さい、もしくはその両方の場合に、平均値≒分散となる分布をポワソン分布と呼びます。式で表すととなります。変化させて、グラフ化してみるとこんな感じになります。一単位あたりに平均的に何回イベントが起こるか分かっていれば、確率分布を求めることができるところにあります。平均的に5年間で3回地震が発生する地域で、次の5年間で1回も地震が発生しない確率を求めてみましょう。確率としてグラフにしてみるとこんな感じになります。グラフと同じになりますね。ポワソン分布は、他にも以下のように様々な確率分布を求めることができます!1時間に特定の交差点を通過する車両の台数。1ミリリットルの希釈された水試料中に含まれる特定の細菌の数(細菌数検査における最確法)。単位面積あたりの雨粒の数。1ページの文章を入力するとき、綴りを間違える回数。1日に受け取る電子メールの件数。1時間あたりの電話がかかってくる件数。ある一定の時間内の店への来客数。1分間のWebサーバへのアクセス数。1時間あたりのウィキペディアの最近更新したページの編集数もおおよそポアソン分布。1キロメートルあたりのある通り沿いのレストランの軒数。1ヘクタールあたりのエゾマツの本数。1立方光年あたりの恒星の数。単位時間あたりの放射線の計数値であるカウント毎分やカウント毎秒(半減期による減衰や外部からの放射能などによる変動がないと仮定して)。distribution)先ほどのポアソン分布は、単位時間あたりに発生するイベントの回数が従う分布でした。それでは、5年間で3回地震が発生する地域で、地震が一回起きた後、次の地震が起こるまでの期間はどれぐらいでしょうか?この発生期間が従う分布が指数分布です。指数分布を式で表すと、と表されます。変化させた指数分布はこんなグラフになります。ベルヌーイ分布、二項分布、ポアソン分布は離散型の確率分布でしたが、この指数分布は、連続型の確率分布となるので、積分することで確率を求めることができます。指数分布の0~1の面積になる(5年で3回起こる地震なので、5年が一単位)ので、グラフに表すと以下のようになります。この指数分布の平均と分散は以下のように表すことができます。起こるイベントなので、平均が上記のようになることは納得できますね!5年に3回起こる地震であれば、平均でに一回は起こるということです。Rで実行してみるとこんな感じになります。