owner剛体回転子のエネルギー準位と慣性モーメントツイートシェアはてブLINEPocket振動する二原子分子は調和振動子モデルによって近似できますが、回転する二原子分子は剛体回転子と呼ばれるモデルによって近似することができます。今回は、この剛体回転子モデルについて、慣性モーメントを定義しがらエネルギー準位を求めます。剛体回転子と運動エネルギーいま、質量がそれぞれ\(m_1\)と\(m_{\;2}\)の2つの質点が重心座標(質量中心)を原点として回転運動しています。このとき、質量\(m_1\)の質点は原点から\(r_1\)離れていて、\(m_2\)の方は\(r_2\)離れているものとし、質点間距離\(r\)は固定されています。\tag{1}$$このようなモデルを剛体回転子と呼びます。剛体とは、外力を加えても変形しない物体のことをいいます。\end{align}$$慣性モーメントここでは、慣性モーメント\(I\)について解説します。質量\(m\)の質点が角速度\(\omega\)で半径\(r\)の回転運動をしています。\end{align}$$になるわけですが、ここで慣性モーメント\(I\)を定義します。\tag{6}$$となるのですが、(4)式の1行目と見比べてみてください。速度\(v\)の代わりに角速度\(\omega\)を用いて運動エネルギーを表した式が(6)式であると解釈することができます。\omega$$このとき、慣性モーメント\(I\)が質量\(m\)に対応することになります。以上の対応関係を利用すれば、運動量\(p\)に対応する式も\(I\)と\(\omega\)を用いて表すことができます。\tag{7}$$\(L(=I\omega=mvr)\)を角運動量といいます。運動エネルギー\(K\)を運動量(または角運動量\(L\))を用いて表してみます。\tag{9}$$となります。剛体回転子のハミルトン演算子はなしを剛体回転子の運動エネルギーに戻して(3)式を再び示します。\tag{3}$$前項で、回転系の運動エネルギーが\(\frac{1}{2}I\omega^2\)で表されることを確認しました。\tag{11}$$になります。ここで、(10)式のおき方についてもう少し解説します。(11)式の分母・分子に\((m_1+m_2)\)をかけて式変形していきます。\tag{13}$$が成り立ちます。\tag{19}$$これを慣性モーメント\(I\)の定義式(5)と比較してみます。r^2$$したがって、剛体回転子モデルは質量\(\mu\)の質点が半径\(r(=r_1+r_2)\)の回転運動しているものだと解釈できます。このようにして、剛体回転子モデルの二体問題は換算質量\(\mu\)と2つの質点間の距離\(r\)を考えれば一体問題として扱うことができるのです。剛体回転子のエネルギー準位ここでは、剛体回転子のハミルトン演算子\(\hat{\;H}\)を求めてみます。シュレディンガー方程式は、$$\hat{\;H}\psi(x)=E\psi(x)\tag{20}$$で表されます。ここで、\(\psi(x)\)は波動関数、\(E\)は粒子の全エネルギーです。\tag{21}$$なのですが、今回は重力や復元力などの保存力は仮定していないためポテンシャルエネルギー\(V(x)=0\)になります。このとき、\(\hbar=h/(2\pi)\)です。\tag{22}$$これは、ラプラス演算子が運動エネルギーを求める演算子\(\hat{\;K}\)に等しいことを示しています。\tag{23}$$これが剛体回転子のハミルトン演算子になります。このとき、\(\nabla^2\)はラプラス演算子と呼ばれるものです。y^2})\)でなく極座標系で表した方が楽なのですが、ここでは結論だけ示すに留めます。\tag{29}$$が得られます。,\phi)\)とおき直せます。\tag{30}$$この偏微分方程式を解くことで、剛体回転子のエネルギー準位\(E\)が求められます。\tag{31}$$したがって、剛体回転子のエネルギー準位が離散的な値、すなわちとびとびの値を取ることが分かります。物理化学ツイートシェアはてブLINEPocketfeedly水素原子のエネルギー準位とリュードベリ定数を導出しようばねでつながれた調和振動子の二体問題|質量中心座標と換算質量RECOMMENDこちらの記事も人気です。