使っていて、よくわからないことが起きて解説を辿っていくと、最終的にすごく基礎的な説明までさかのぼることになり、難しすぎて断念することがある。今回も仕事の都合で、ちょっとそういうことが起きかけて、大変イライラしたので仕事を放りだし、初期の技術文書をメモを取りながら読んだ。ver.3の頃の古い文書なので(Mplusの最新版は8.5)、当然ながらベイジアンな話は出てこない。変数Mplusでは変数を従属変数\(y\)と独立変数\(x\)に分ける。[\(x\)は完全に外生的な変数だけ、つまり、そこからパスは伸びるが刺さらないような変数だけ。あとはみな\(y\)である]\(y\)は連続変数かも知れないし、二値変数もしれないし、カテゴリ数\(C\)の順序変数かも知れない。個々の\(y\)の裏には、それに対応する連続潜在変数\(y^{*}\)があると考える。y^{*}\)である。\(y=1\)、そうでないとき0とする。\(j\)を変数のインデクスとする。統計モデルMplusの枠組みでは、さまざまなモデルが次の方程式で表現される。左辺の\(\mathbf{y}^*_i\)は\(\mathbf{y}_i\)の裏にある潜在変数ベクトル。\(\mathbf{\eta}_i\)は\(m\)次元の潜在変数ベクトル、\(\mathbf{x}_i\)は\(q\)次元の独立変数ベクトル。測定誤差ベクトル\(\mathbf{\varepsilon}_i\)は他の変数とは独立。[一般化線型モデルであろうがなんだろうが測定誤差項はつくわけだ]二本目が構造方程式。\(\mathbf{B}\)の対角要素は0。\mathbf{B}\)が正則だと仮定する[下でその理由がわかる]。構造方程式では両辺に\(\mathbf{\eta}\)が入っているので、左辺に移そう。Mplusの枠組みでは、\(\mathbf{x}\)のもとで\(\mathbf{y}^{*}\)が条件つき正規性を持つ(周辺分布が正規なわけではない)。\mathbf{\Theta}$$スケーリングMplusでは、潜在反応変数\(\mathbf{y}^{*}_i\)をスケーリングする対角行列\(\mathbf{\Delta}\)というのを考える。\(y\)のすべてがカテゴリカルだったら、\(\mathbf{\Delta}\)の対角には、\(\mathbf{x}\)のもとでの\(\mathbf{y}^{*}\)の条件付きSDの逆数をいれる。\mathbf{\Theta}]^{-1/2}$$ということになる。\)の分散は1になる。\mathbf{I}\)だということにして、残りの部分が\(\mathbf{\Theta}\)だということにする。同じ\(y\)変数を時間を通じて比べたり、群を通じて比べたりするときには、\(\mathbf{\Delta}\)の要素は1時点目ないし1群目で1に標準化しておき、残りの時点ないし群では推定する。ここで\(\mathbf{\Delta}^{-2}\)の対角要素は\(V(\mathbf{y}^{*}|\mathbf{x})\)の分散である。\(y\)の一部がカテゴリカルだったら、\(\mathbf{\Delta}\)の対角要素は、カテゴリカルな\(y\)については上記の通りとし、連続的な\(y\)については1とする。\(y\)のすべてが連続的だったら、\(\mathbf{\Delta}\)の対角要素に\(y\)のSDをいれれば、\(\mathbf{y}^{*}_i\)は分散1に標準化される。\mathbf{\delta}_i$$と書くことにする。\(\mathbf{\nu}\)は閾値パラメータと切り離して識別できないから、通常は1に固定する。\mathbf{\Sigma}^{*}$$と書く。\(\mathbf{\Sigma}^{*}\)の対角は1である。\mathbf{\Pi}\)のことをプロビット傾きという。\(\mathbf{\Sigma}^{*}\)の非対角要素(つまり相関)のことをプロビット残差相関という。\(y\)の条件付き確率\(\mathbf{y}^{*}\)の条件付き正規性の仮定があるから、\(y\)の条件付き確率は下式で表現できる。\(\phi_1\)は単変量の標準正規密度関数である。$$ってことになりますね。\(\phi_2\)は2変量の標準正規密度関数である。推定するパラメータ推定するパラメータをまとめておく。モデルに出てくる閾値のベクトル。二値変数なら閾値を1個、\(C\)カテゴリのカテゴリカル変数なら閾値を\(C-1\)個持つ。長さは変数の数\(p\)。測定方程式における傾き(負荷)の行列。測定方程式の残差の共分散行列。潜在変数の平均・切片のベクトル。潜在変数の間の回帰の傾きの行列。