連続な関数どうしの和・差・積・商も連続である連続な関数の定義まずは関数における連続を定義します。\varepsilon$$が成り立つとき、関数\(f(x)\)は\(x_0\)で連続であるという。A\)で連続であるとき、関数\(f(x)\)は連続であるという。\varepsilon\)が成り立つとき、関数\(f(x)\)は\(x_0\)で連続であるといいます。次に、関数が連続であることと同値な条件を与える定理の紹介と証明をします。\mathbb{R}\)がある。A\)で連続であるとします。\varepsilon\)が成り立つといえます。\delta\)が成り立ちます。\varepsilon\)であるといえます。f(x_0)\)となります。したがって、(1)式は成立します。逆に(1)式が成り立つとき、\(f(x)\)が\(x_0\)で連続であることは背理法により示されます。\tag{2}$$を得ます。A\)を\(x_n\)とします。\varepsilon\)が成り立ちます。ところが、(2)式を満たす\(\varepsilon\)が存在することと矛盾してしまうことから、(2)式の仮定は誤りです。よって、\(f(x)\)は\(x_0\)で連続です。(証明終)連続な関数どうしの和・差・積・商も連続である次に、\(x_0\)で連続な関数どうしで和・差・積・商をとってできた関数の連続性についての定理を与えます。A\)連続で、\(\lambda\)は実数であるとする。0)$$もまた、\(x_0\)で連続である。関数\(f(x)\)と\(g(x)\)はともに\(x_0\)で連続であるため、上に述べた定理が使えます。そこで、\(x_0\)に収束する\(A\)の元の点列\(\{x_n\}\)をとります。g(x_0)\)にそれぞれ収束します。f(x_0)+f(x_0)\)となります。これは関数が連続であることの定義を満たしているため、\(f(x)+g(x)\)は\(x_0\)で連続であることがいえます。g(x)\)、\(f(x)/g(x)\)も\(x_0\)で連続であることがいえます。収束列どうしの和、差、積、商の収束自体に興味のある方は、以下の記事を参考にしてみてください。【1変数】2つの収束列のあいだで和、積、商をとった数列も収束するRECOMMENDこちらの記事も人気です。