上記のように確率変数がある確率分布に従っているということを”にょろにょろ”を使って表現することがよくあるので、覚えておきましょう。上のスライドでは、saikoro関数という確率分布に従って、サイコロの目xが出現することを表しています。統計学では、様々な事象を様々な確率分布に当てはめて事象の推論を行います。地震はポワソン分布という分布という確率分布に従って発生していると仮定すると、これから~~年の間に地震が起こる確率は~~%であると推定することができます。分布はあくまで仮定であって、真の事象が起こる分布は誰にも分からないというのが統計学の”きも”になるので、補足程度に覚えておいてください。www.medi-08-data-06.workさて少し話がそれましたが、ここでサイコロの目が4以下になる確率を求めてみます。4以下ということは、1,2,3,4の目のうちのどれかがでる確率ですので、となって、48%ぐらいの確率ですね。この上記の式はシグマの記号を使って、と表すこともできます。np.array([1,2,3,4])print(np.sum(saikoro(num)))>0.47619047619047616ルーレットの確率:積分を使って次に、1から20で一周するルーレットを考えてみます。このルーレットを回して5以下の数が出る確率を求めてみます。先ほど同様にとすれば求まりそうですが、ルーレットは数字と数字の間を滑らかにうごくため、1と2の間に止まる可能性もあります。5が出たと思っても、厳密には5.1かもしれないし、4.99999かもしれません。このようにルーレットの場合は、一つの数字がでる確率を求めることが出来ません。すべての確率変数が出る確率を足すと1になることは分かっています。この条件から、ある確率変数が出る確率を直接求めるのをあきらめて、他の確率変数と比べた時の相対的な出やすさを高さにした確率分布にしてしまいます。ルーレットの確率分布を図にしてみましょう。0未満、もしくは20より大きい数はルーレットには存在しないので、確率は0になっています。0から20の間ですが、高さが0.05になっていますよね。これは、面積が1になるという条件から、導き出した値です。ここで、間違えやすいポイントですが、この0.05という数字は確率ではなく、相対的な出やすさであることです。0から20の間のどの数字も同じ出やすさであることを表しています。この相対的出やすさのことを確率密度と呼び、四角の面積が確率となります。すべての数字がでる確率は、ですし、5以下の数字が出る確率は、と求めることができます。入力xの値を変化させて、それぞれの確率をアニメーションにしてみました。このように、確率変数を入力すると、その値の確率密度(相対的な出やすさ)が出力され、関数の面積が確率となる関数を確率密度関数と呼びます。今回はこの確率密度関数をroulette関数と呼ぶことにします。このルーレットでは、確率密度関数が四角形になったので、底辺×高さで確率を求めることができました。多くの確率密度関数はぐにゃぐにゃと曲がった形をしています。ここで登場するのが積分です。実際にroullet関数を使って5以下の数字が出る確率を積分を使って求めてみます。積分の基本的な考え方は、とても小さい幅の底辺、確率密度を高さとした長方形を足し合わせてるイメージです。することで、確率密度関数が曲線になっても面積を求めることができます。この小さい幅をdxで表し、5以下の数字が出る確率を積分を使って数式で表すとです。微分したら、積分したい関数となるような関数を見つける。その関数に上の数字を入れた値から、下の数字を入れた値を引く。今回のroulette関数は0から20の間では、出力は0.05なので、y=0.05という関数になります。分からないと思いますの、実際に積分をしてみると0.25と同じ結果になりましたね。重要なのでここでもう一度、確率分布の種類はたくさんありますが、確率変数を入力すると、その確認もしくは確率密度が出力される関数であることを意識しておけば、怖くありません。積分を行うには、Rではintegrate、pythonではscipy.integrate.quadを使います。それぞれ関数の定義の仕方にクセがあるので注意してください。積分の最後に、積分を使って平均値を算出する方法をご紹介します。平均値はの期待値の形で表すことができました。www.medi-08-data-06.work今回学んだ用語で言い換えるとを足し合わせたものです。これを使って偏ったサイコロの平均値を求めてみてみると、となります。この考え方を使うと積分でも平均値を算出することができます。これを計算するためには、部分積分法を使いますが、よく分からないという方は、確率分布の平均値が上記の式で表されるということだけでも覚えておいてください。Studyplus(スタディプラス)もちろん平均値は真ん中の10ですね。このように確率密度関数の平均値を積分を使って求める方法は頻出なので覚えておきましょう。確率密度関数についてさらに知りたい方は、以下の記事をご覧ください。1.1102230246251565e-13)まとめ最後に今回の内容をまとめておきます。確率分布とは、物事の起こりやすさを表したもの。確率変数を入力すると、確率が出力される関数を確率質量関数という。確率ではなく、相対的な起こりやすさを確率密度という。確率変数を入力すると、確率密度が出力される関数を確率密度関数という。積分とは、関数の面積を求める手法である。積分を使うと、確率密度関数から確率や平均値を求めることが出来る。確率は特に統計学を中心に学びたい方は、しっかりとマスターしておきたいところです!※本記事は筆者が個人的に学んだことをまとめた記事になります。所属する組織の意見・見解とは無関係です。数学の記法や詳細な理論、用語等で誤りがあった際はご指摘頂けると幸いです。参考データサイエンスで必要となる数学がほとんど網羅されています。方には、少し難易度が高いですが、数式の導出など丁寧にまとめてあり、脱初心者を目指す方にはとてもおすすめです。単行本(ソフトカバー)統計学を数式から理解したい方は、こちらがおすすめです。学んだこと、日々の所感をまとめていきます。※本ブログは筆者が個人的に学んだこと感じたことをまとめたブログになります。所属する組織の意見・見解とは無関係です。medi_data0826引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。