ownerシュレディンガー方程式と固有値問題|ハミルトン演算子の導入ツイートシェアはてブLINEPocket“シュレディンガー方程式”とネットで検索すると、以下のような式がヒットするかと思います。H}\)はハミルトン演算子と呼ばれるものです。演算子については次の項で解説します。(1)式はシュレディンガー方程式の最もシンプルな表記法であって、他にも表し方がいくつかあります。H}=E\)になる気がしますが、そうはならないことも含めて、今回はなぜシュレディンガー方程式がこのようにシンプルな形で表されるのかを解説していきたいと思います。シュレディンガー方程式は固有値問題である演算子とは演算子(operator)とは何なのでしょうか。実は、高校で数学を習った際に、その具体例に触れています。dx\)は\(f(x)\)を\(x\)について不定積分するという演算記号になります。このように、「対象に対して○○を実行してね。」を表す記号を演算子といいます。演算子は大文字の上に^(ハット)を付けて表されます。下の例を見てみましょう。A}\)を実行すれば\(g(x)\)が得られることを意味しています。f(x)]$$であると約束します。演算子は右から順番に作用させましょうねということです。f(x)$$が成り立つとき、これら2つの演算子は交換可能(可換)であるといいます。可換でないときもあるので注意が必要です。operation)のみを扱うことになります。線形演算子とは、以下の条件を満たす演算子のことです。$$\hat{\,A}[pf(x)+rg(x)]=p\hat{\,A}f(x)+g\hat{\,A}g(x)\tag{2}$$このとき、\(p,q\)は定数です。高校数学でなじみの深い微分積分の演算子であれば、無意識のうちに線形性を利用していたと思います。g(x)dx$$逆に、(2)式を満たさない演算子は非線形になります。シュレディンガー方程式は固有値問題である演算子について解説したところで、いよいよ(1)式の疑問を解いていきましょう。そもそも、シュレディンガー方程式を演算子\(\hat{\;H}\)を使わずに表記すると、以下の式になります(一次元にのみ運動する粒子の場合)。$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+V(x)\psi(x)=E\psi(x)\tag{3}$$このとき、\(\hbar=h/2\pi\)で、\(V(x)\)は粒子のポテンシャルエネルギー、\(E\)は粒子の全エネルギーすなわち運動エネルギーと位置エネルギーの和です。ここで、左辺を\(\psi(x)\)で括ると、$$[-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V(x)]\psi(x)=E\psi(x)\tag{4}$$になります。H}\psi(x)=E\psi(x)\tag{1}$$になります。H=E\)を得るのは無意味なことだと分かります。左辺が演算子なのに対して右辺は粒子の全エネルギー値であるため、そもそも等式が成り立ちません。演算子、$$\hat{\;H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V(x)$$のことをハミルトン演算子(ハミルトニアン)と呼びます。シュレディンガー方程式(1)を見るに、粒子の波動関数\(\psi(x)\)にハミルトニアン演算子\(\hat{\;H}\)を作用させると、\(\psi(x)\)の\(E\)倍が計算できることになります。関数に演算子を作用させると元の関数の定数倍が返される図式になっています。f(x)=af(x)\)を満たす関数\(f(x)\)および定数\(a\)を求めよ。A\)の固有関数、定数\(a\)を固有値といって、この2つを決める問題を固有値問題といいます。(1)式を見れば、シュレディンガー方程式を解くことも固有値問題であることが分かります。したがって、粒子のエネルギーを求める演算子はハミルトニアンになるわけです。ポテンシャルエネルギー\(V(x)=0\)のとき、粒子の運動エネルギーと全エネルギーは一致します。{K_x}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\tag{6}$$になります。これも覚えておきましょう。一次元の箱の中の粒子|エネルギーと波動関数の規格化RECOMMENDこちらの記事も人気です。