ある可算集合の可算和は可算であるという事実から従う。おける状況に類似である。自然数からなるすべての有限集合は再び自然数である最大元を持ち、有限集合の有限和は有限である。多少エキゾチックに聞こえるかもしれないが実は有用な概念である。応用例は可算の操作に関して「閉じるようにする」ことである。部分集合の任意の集まりによって生成されるσ-代数を明示的に記述しようとすること(例えばボレル階層(英語版)を見よ)。これは代数(ベクトル空間や群など)における「生成」のたいていの明示的な記述よりも難しい。和、積、などに関して閉じているだけでよいからだ。すべてに渡ってすべてのそれの和集合をとる、ということをその操作(σ-代数の生成)は含む。同値である」ことが従う。その公理系において証明も反証もできない。定理でないことを示したときに証明された。定理でないことを(当時は新奇な)強制法の手法によって示したときに証明された。\}\}}の最小上界である。好きなだけ大きいと仮定できる。それへの非有界関数が存在し、それの設定を避けることを強制されるだけである(イーストンの定理(英語版)を見よ)。定義するために、基数の後者演算を定義する必要がある。割り当てる(選択公理が成り立てば、これは次に大きい濃度である)。するとアレフ数を次のように定義できる。