部分列の定義もとの数列から一部の項だけを取ってきた数列のことを、部分列といいます。部分列をつくるときには、取ってきた項の順番を入れ替えてはいけません。(n)}\)を満たすとき、数列\(\{s’_n\}\)は数列\(\{s_n\}\)の部分列であるという。(m)\)であるということです。これによって、部分列をつくるときにおける順番の入れ替えがないようにしています。(3)}\)から取ってきたものになります。定義(集積点)数列\(\{s_n\}\)に部分列が存在して、その部分列が点\(s\)に収束したとする。このとき、sを数列\(\{s_n\}\)の集積点という。2つの定義を紹介したところで、いよいよボルツァーノ-ワイエルシュトラスの定理を証明しましょう。有界列\(\{s_n\}\)には少なくとも1つの集積点が存在する。s_n\)が存在します。B_0]\)をおきます。B_0]\)を考えます。区間\(I_0\)の中に\(\{s_n\}\)のすべての項が収まっているため、少なくとも一方の区間には項が無限に含まれます。B_1]\)とおきましょう。2つの区間がともに項を無限に含む場合は、どちらか一方を選択して\(I_1\)とします。B_1]\)を考えます。区間\(I_1\)の中に\(\{s_n\}\)の無限個の項が収まっているため、少なくとも一方の区間には項が無限に含まれます。B_2]\)とおきましょう。2つの区間がともに項を無限に含む場合は、どちらか一方を選択して\(I_2\)とします。B_n]\}\)が得られます。B_n]\)の中に収まります。A_n\}\)は公比\(1/2\)の等比数列であることにも注意すれば、以下の評価式を得ます。\infty)\)です。A_n\)があります。B_n\)があります。\beta\)も得られます。B_n$$の評価ができます。そこで、\(\alpha\)に収束する部分列をつくります。(1)}\)とします。(2)}\)とします。(n)}\)を得ます。したがって、こうして得られた部分列\(\{s’_n\}\)は\(\alpha\)に収束します。よって、\(\{s_n\}\)には少なくとも1つの集積点が存在することになります。【1変数】上に有界な単調増加列は実数の極限値に収束するRECOMMENDこちらの記事も人気です。