いう話を記録しておく。あって、それに影響を及ぼしているであろうなんらかの変数の時系列$X_t$があるとする。なんでもいいんだけど、たとえば売上と広告出稿量とか。$Y_t$に対する$X_t$の効果の大きさをデータから推定したい。いうこと、よくありますよね。話を簡単にするために、分析者は次のことを知っているとしよう。$X_t$の$Y_t$に対する効果は即時的、かつ線形である。V_t$とモデル化できる。$X_t$は定常である。なんでそんなことを知っているのかわからんが、なにか実質的な知識があるのでしょう。(AR(1)過程)に従う。\sigma_E^2)$とモデル化できる。これも、まあ、ありそうな仮定ですわね。思うことはさほど珍しくないと思う。1$)かのどちらかである。これもそれほど変な仮定ではないと思う。自己回帰はふつう正だし、もし負だったらデータの観察でそれと気がつくだろう。>1$なら$V_t$はどっかに飛んでいってしまうはずなので、これも除外できる。1$かは簡単には判断できない。問題さて、分析者が関心を持っているのは$\beta$である。ここで疑問なのは、$\beta$の推定誤差は$\rho$とどういう風に関連しているのか、という点である。次の点について知りたい。$\rho$が大きいとき、つまり結果変数の撹乱項が高い自己相関を持つとき、$\beta$の推定誤差は大きくなるか、それとも小さくなるか。1$と仮定するモデルを推定したとき、$\beta$の推定誤差は大きくなるか。いずれも、私にとってはちょっと切実な疑問だ。算段することが多いと思う。いう場面での手掛かりがほしい。見通しが暗いなら早めに白旗を上げたい。理屈の上からいえば、$\rho=1$かそうでないかでAR(1)過程の挙動はがらっとかわる。実データの背後にあるデータ生成プロセスが$\rho=1$かどうかなんて、どうせわかりっこない。$\rho<1$だよねと信じてAR(1)誤差を仮定したり、いや$\rho=1$にちがいないと信じて差分時系列を分析したりするわけである(そんなことないですか?)。心には常に不安の影が付きまとう。$\rho$についての仮定をしくじることが、$\beta$の推定にとってどのくらい致命的なのかを知りたい。気になって夜も眠れないので(大げさな表現)、簡単なシミュレーションをやってみました。$t=-100,\ldots,100$について、データを次のように生成した。y'_t$から$t=1$以降を切り出し、それぞれを中心化する。1.0$の11通りに動かし、それぞれについて1000個のデータセットを生成した。y_t$を描画すると、こんな感じである。モデルの推定方法として、次の6つを試す。推定にあたっては、次の5つのアプローチを試してみる。持つと判断されたらアプローチ3に進む。アプローチ2と同じなんだけど、$\rho$の範囲について仮定しない。C(FGLS)では撹乱項の定常性が仮定されるので、アプローチ5は選べない。いうように理解しているのだけれど、ここ、全然自信がない。誰か私に教えてくださらないでしょうか。いいや!とにかくシミュレーションしてみたのであります。単位根検定まず、アプローチ4で必要になる単位根検定の結果について紹介しておく。Dickey-Fuller検定を使った。Rコードはこんな感じ。$y_t$がdfIn$y_centeredにはいっている。lags=1と決め打ちしている。5%水準で棄却されたら$\rho<1$と判断し、そうでなかったら$\rho=1$と判断することにして、後者の場合にnDを1としている。素朴に考えると、本当は$\rho=1$であるデータセットのうち95%くらいが$\rho=1$と判断されてほしい($H_0$が真のときに誤って棄却される確率は5%であってほしい)。本当は$\rho<1$である場合は、なるべく多くのデータセットが$\rho<1$と判断されてほしい。$\rho=1$であるデータセットのうち、$H_0$が棄却されなかった($|\rho|=1$と判断された)データセットは95%には到底及ばず、実に68%にとどまる。0.9$のときに9%。0.8$までではほとんど生じない。1$が棄却されない側)に大きくバイアスがかかるようだ。1$かそうでないかなんて、そんなに簡単にはわからないよね、ということである。選手紹介お待たせしました、選手入場です。