定義することができる。概念はゲオルク・カントールまでさかのぼる。彼は濃度の概念を定義し無限集合には異なる濃度があることに気付いた。アレフ数は集合の大きさを測るものだが、一方無限大は一般に(関数や数列が「無限大に発散する」とか「限りなく増大する」という形で現れる)実数直線上の非有限極限、あるいは拡大実数直線の極点として定義される。すべての自然数からなる集合の濃度であり、無限基数である。あることは、可算無限である—すなわち自然数全体の成す集合との間に全単射(一対一対応)がある—ことと同値である。そのような集合の例はすべての平方数からなる集合,すべての立方数からなる集合,すべての四乗数からなる集合,......,すべての累乗数からなる集合,すべての素数の冪からなる集合,すべての偶数からなる集合,すべての奇数からなる集合,すべての素数からなる集合,すべての合成数からなる集合,すべての整数からなる集合,すべての有理数からなる集合,すべての代数的数からなる集合,すべての計算可能数からなる集合,すべての定義可能数(英語版)からなる集合,すべての有限長の二進文字列からなる集合,任意に与えられた可算無限集合のすべての有限部分集合からなる集合。ε0(イプシロン数も参照)は可算無限集合からとれる[2]。の)集合の整列である。他のどんな無限基数よりも小さい。それ自身順序数でありすべての可算順序数より大きく、したがって不可算集合である。間に基数は存在しないことを意味している。使えば、さらに次のことが証明できる。番目に小さい無限基数である。