対してこれが成り立つ。不動点である極限順序数が存在する。最初のそのようなものは次の列の極限である。}任意の弱到達不能基数はまたアレフ関数の不動点である[4]。おいて次のように示せる。弱到達不能基数とする。後続基数になりしたがって弱到達不能でない。正則でなくゆえに弱到達不能でない。選択公理の役割[編集]任意無限順序数の濃度はアレフ数である。すべてのアレフはある順序数の濃度である。これらの最小元はその始数である。各有限集合は整列可能であるが、その濃度としてアレフをもたない。上すべての集合の整列の存在と同値であり、これは選択公理と同値である。集合論は、選択公理を含み、すべての無限集合はその濃度としてあるアレフ数をもつ(すなわちその指数と等濃である)ことを意味し、したがってアレフ数の始数はありとあらゆる無限濃度の代表類として仕える。おいて濃度が研究されるとき、各無限集合がその濃度としてあるアレフ数をもつことを証明することはもはや可能ではない。濃度がアレフ数であるような集合はちょうど整列できる無限集合である。設定において濃度の代表を構成する代替的な方法として使われる。ブルーバックス〉、2021年、125頁。9784065225509。2012年9月1日閲覧。978-1-55608-010-4。978-1-55608-010-4。(日時は個人設定で未設定ならばUTC)。表示-継承ライセンスの下で利用可能です。追加の条件が適用される場合があります。詳細は利用規約を参照してください。本文の横幅制限を有効化/。