_n]\)が得られます。_n]\)の中に収まります。したがって、区間の長さが公比\(1/2\)の等比数列であることにも注意すれば、以下の評価式を得ます。\mid\)はともに収束することが分かります。_n\}\)はともにコーシー列です。_n\}\)はともに収束します。\infty)\)も得られるため、極限値は同じになります。そこで極限値を\(\xi\)とおきます。_n\)が成り立つことが分かります。\xi\)となるため、\(\xi\)は\(X\)の上界です。これは、上限の定義で触れた式(1)を満たします。_m\)が存在します。_m\)は上界ではないので、上限の定義で触れた式(2)を満たします。以上、\(\xi\)が上限の条件式(1)(2)を満たすことが分かったため、証明終了です。同じようにして、\(X\)が下に有界な場合は下限が存在することになります。s_{n+1}\)が成り立つ数列のことを指します。\varepsilon\)」が成り立ちます。\varepsilon$$これは、\(\{s_n\}\)が極限\(\xi\)に収束することを意味しています。同じようにして、下に有界な単調減少列についても実数の極限値に収束することになります。【1変数】コーシー列の定義から実数の構成までを解説RECOMMENDこちらの記事も人気です。