a\)の範囲で自由粒子が運動している場合を考えてみましょう。この問題は一次元の箱の中の粒子と呼ばれています。今回は、この自由粒子についてエネルギーを求めたり波動関数の規格化を実行していきたいと思います。a\)で直線的な運動している自由粒子のことを想定します。ここで、自由粒子とはポテンシャルエネルギー\(V(x)=0\)を満たす粒子のことを指します。x軸を離れてy軸やz軸方向に運動することはありません。時間に依存しないシュレディンガー方程式を以下に示します。$$\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2m}{\hbar^2}[E-V(x)]\psi(x)=0\tag{1}$$この式の導出については、以下の記事を参考にしてください。参考:時間に依存しないシュレディンガー方程式を導出しよう一次元の箱の中の粒子はポテンシャルエネルギー\(V(x)=0\)なので、(1)式に代入すると、$$\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{2mE}{\hbar^2}\psi(x)=0\tag{2}$$になります。ここで、粒子の波動関数\(\psi(x)\)が何を表しているのか考えてみましょう。シュレディンガー方程式は、粒子が古典的波動方程式とド・ブロイ波長に従うことから得られる式です。両端が固定された弦が振動しているときの変位\(u(x,t)\)は以下の波動方程式を満たします。t}\tag{4}$$となって、\(\psi(x)\)が時間変化に対する振幅であると見なせます。ところが、一次元の箱の中の粒子はx軸に沿って直線的に運動するため、振幅を考えることはありません。方程式(3)から解(4)を得る過程は『古典的な波動方程式の解き方』および『時間に依存しないシュレディンガー方程式を導出しよう』を参考にしてください。そこでエルヴィン・シュレディンガーは当時、\(e\psi^*(x)\psi(x)\)を電化密度、\(e\psi^*(x)\psi(x)dx\)を\(x\)と\(x+dx\)の間における電荷量であると解釈することで\(\psi(x)\)を理解しようとしました。このようなシュレディンガーが\(\psi(x)\)の解釈から数年後、マックス・ボルンというドイツ人物理学者が別の解釈をしました。それは、\(\psi^*(x)\psi(x)dx\)を\(x\)と\(x+dx\)の間における粒子の存在確率とすることでした。\(\psi^*(x)\psi(x)\)が連続型確率分布における確率密度になるということです。シュレディンガーは当時、この確率論的な解釈を受け入れることができませんでしたが、今となってはこの解釈が一般的に受け入れられています。続いて、境界条件を求めましょう。a\)の領域に制限されているため、\(x<0\)または\(x>a\)の領域に粒子が存在する確率はゼロ、すなわち\(x<0\)または\(x>a\)において\(\psi(x)=0\)です。\(\psi(x)\)が連続関数であることも合わせると境界条件は、$$\psi(0)=\psi(a)=0\tag{5}$$になります。どのように解くかというと、まず2変数関数である\(u(x,t)\)が2つの1変数関数\(X(x)\)と\(T(t)\)の積であると仮定します。\tag{8}$$が得られます。x}\tag{10}$$が得られます。このとき、\(A\)と\(B\)は定数です。詳しくは『古典的な波動方程式の解き方』を参照してください。x}\tag{12}$$になります。ここで、$$k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\tag{13}$$とおくと、(12)式は、$$\psi(x)=A\cos{kx}+B\sin{kx}\tag{14}$$さて、(5)式の境界条件\(\psi(0)=0\)を(14)式に代入すれば\(A=0\)を得られます。\(\psi(a)=0\)でもあることから、$$\psi(a)=B\sin{ka}=0\tag{15}$$これを解くと\(B=0\)または\(\sin{ka}=0\)になりますが、1つ目は\(A=0\)と合わせると\(\psi(x)=0\)になってこれは無意味な解ですから、2つ目の方程式を解けば、$$ka=n\pi\tag{16}$$になります。このとき、\(n\)は自然数です。\(\sin{}\)が\(0\)になるのは角度が\(\pi\)の整数倍であるときです。\tag{17}$$このとき、\(\hbar=h/2\pi\)であることを利用しました(定義)。\(E\)に下付き文字の\(n\)がついているのは、\(E\)が自然数\(n\)に依存して離散的(とびとび)な値をとっているからです。(17)式に変数として含まれている自然数\(n\)を量子数といい、粒子のエネルギーが量子化されていると表現します。この分野が量子力学といわれる所以が垣間見えます。(16)式を(14)式に代入して量子化された\(\psi(x)\)も求めます。x}{a}}\tag{18}$$\(B\)の値については、これから説明する規格化によって求めることができます。次に、波動関数\(\psi(x)\)の定数\(B\)を規格化により求めます。\psi^*(x)\psi(x)dx=1\tag{19}$$になります。a\)のどこかにはいるため、粒子の存在確率を\(x=0\)から\(x=a\)のときまで足せば\(1\)になるからです。\frac{a}{2}&=1\\B&=\sqrt{\frac{2}{a}}\end{align}$$となって、\(B\)の値が得られました。これを(18)式に代入して波動関数\(\psi(x)\)を決定します。a\)に閉じ込められた自由粒子、すなわち一次元の箱の中の粒子が満たす波動関数です。このように、(19)式の条件を満たすように定数\(B\)の値を決定する流れを規格化といい、得られた\(B\)の値を規格化定数とよびます。時間に依存しないシュレディンガー方程式を導出しようRECOMMENDこちらの記事も人気です。