owner【第3回】水素原子の波動関数の求め方をわかりやすく解説ツイートシェアはてブLINEPocket『【第1回】水素原子のシュレディンガー方程式と動径方程式』と『【第2回】水素原子の波動関数の求め方をわかりやすく解説』にはじまり水素原子のシュレディンガー方程式を解くことで波動関数ψの角度φ依存式Φ(φ)を求めました。今回は角度θ依存式Θ(θ)を求めて球面調和関数Y(θ,φ)を求めます。\tag{2}$$で表されることを説明してきました。,\phi\)を1つずつ含む3つの式に分解することができることも示してきました。その3式を改めて示します。\tag{5}$$このとき、\(m\)は整数です。,\phi\)の方程式です。(3)式のことを動径方程式と呼ぶのでした。\tag{6}$$となりました。,\phi)\)を計算しましょう。水素原子のシュレディンガー方程式の角度\(\theta\)に依存する式(4)を改めて以下に示します。\tag{7}$$これは(5)式と違って定係数の微分方程式ではないため。解くのが容易ではありません。\tag{8}$$とおいて変数変換しましょう。\le\)となります。\tag{13}$$が得られます。この方程式のことを特にルジャンドル方程式といいます。\tag{14}$$になります。\tag{16}$$でなくてはなりません。\tag{17}$$となります。\(m=0\)のときの関数\(P(x)\)をルジャンドル多項式といって、ふつう\(P_l(x)\)で表します。\tag{18}$$となって、これを解けば良いことがわかります。\tag{19}$$で記述されます。具体的に\(l=0,1,2,3,4\)のときのルジャンドル多項式を以下に示します。\tag{20}$$このように、\(P_l(x)\)は\(l\)が偶数のときに偶関数となって奇数のときに奇関数になります。ルジャンドル多項式について以下の式が成り立つことも分かっています。\tag{22}$$で定義されます。n\)のときに\(0\)になることからルジャンドル多項式には直交性が成り立つことがわかります。\(l=n\)のときには\(\frac{2}{2l+1}\)が得られて規格化を実行することができます。\tag{23}$$に従うように波動関数の定数\(A\)の値を決めることです。このとき、\(*\)は共役な複素数をとることを表しています。ルジャンドル多項式は虚数を含まないため、実質\([AP_l(x)]^*=[AP_n(x)]\)です。1\)となるからです。\tag{24}$$となります。\tag{25}$$で与えられます。したがって、\(m\)の絶対値が等しければルジャンドル陪関数の式は一致します。\tag{28}$$となります。n\)のとき積分値が\(0\)になることからルジャンドル陪関数についても直交性が成り立つことがわかります。Θ(θ)の式ルジャンドル陪関数とその規格化定数が得られたところで\(\Theta(\theta)\)を求めましょう。\end{align}$$となります。)=\Theta(\theta)\Phi(\phi)\)を計算して終わりにしましょう。この関数は定数\(l\)と\(m\)に関して規格化および直交していて球面調和関数と呼ばれています。,\phi)\)の角度部分のみを完全に記述しているのです。)\)から得られた動径方程式を解いて\(R(r)\)を求めた後に、最終的な水素原子の波動関数を記述します。【第2回】水素原子の波動関数の求め方をわかりやすく解説RECOMMENDこちらの記事も人気です。