なにそれ全然わかんない]最適化手法でもって確率が高い領域を見つけて初期値を得るという手もある。閉形式で書けるならMLEを使うのが早いし、他の手法もある(大域最適解を見つけるのが難しいけど、ともあれ確率の高い領域の値を初期値にするのは良いことである)。事前分布が注意深く選ばれているならばそこからドローしても良い。Gibbsサンプラーのような方法だと、最初に更新するパラメータには初期値がいらないので、初期値が一番あてにならないパラメータから更新をはじめるという手もある。\theta\)は残る。ある種の中心極限定理に基づき、このモンテカルロ誤差の近似的な標本分布を求めることができる。以下の参考文献を参照なさい[メモ省略]。\)に関心があるとしよう。\(h\)がidentity関数なら平均ベクトルに関心があることになる。\infty\)のとき\(\mu_h\)に概収束する。\Sigma)\)に分布収束する。\(\Sigma\)はは目標分布における\(h\)の共分散構造とマルコフ連鎖のせいで生じる系列ラグ共分散を表している。F\)という仮定の下での期待値だという意味である。\)が必要だといっているわけではないことに注意。[ここで分位点の推定と期待値関数の推定の話が1p弱。前節で述べたように、モンテカルロ誤差の近似的な標本分布を求めることができる。これを使ってシミュレーションの信頼性を評価できる。\(\mu_h\)の信頼区間について考えよう。\(\Sigma_n\)を中心極限定理の下での\(\Sigma\)の推定量とする。\(\Sigma_n\)をどうするかである。(3)初期系列推定量、がある。以下ではもっとも計算しやすいバッチ平均推定量について述べる。多変量バッチ平均推定量は、マルコフ連鎖の重複しないバッチについて考え、それぞれのバッチの標本平均から、標本共分散行列を構築する。\(a\)をバッチ数、\(b\)をバッチサイズとしよう(\(n=ab\)である)。h(X_{kb+t})$$と定義する。[はいはい、バッチごとの平均の共分散を調べる訳ね]バッチ平均推定量の漸近特性については研究が進んでいるけれど、相関が高いときの小標本のパフォーマンスは疑わしい。最近では有限標本でのパフォーマンスを改善する提案があって[...メモ省略]バッチ平均推定量のパフォーマンスはバッチサイズの選択で決まる。シミュレーションの停止\(n\)の決め方にはいくつかのアプローチがある。単純なのは、とりあえずなにかに決めといて、モンテカルロ誤差を推定し、それが大きすぎたらチェーンを伸ばす、という方法である。期待値ベクトルの推定に焦点を当てよう。Var_F(h(X_1))\)とし、その行列式を\(|\Lambda|\)とする。有効標本サイズという。有効標本サイズが十分に大きいということは、目標分布の変動にくらべてモンテカルロ誤差が十分に小さいということである。依存する、つまり関心ある量がなにかに依存するという点に注意。ESSはどのくらい大きければよいのか。いま、\(\mu_h\)の\(100(1-\alpha)%\)信頼区間を構成して、そのvolumeが\(F\)の下での\(h\)のvariabilityの\(\epsilon\)番目のfractionであるようにしたい[←このくだり、全然理解できない...]。この場合、シミュレーションは次を満たしたときに停止できる。0\)のとき、信頼区間がカバーする確率は\(1-\alpha\)に収束する。\)の初期の推定はプアだから)。p}\)にするとよい。これは事前に計算できる。平均の信頼区間の幅をどうしたいか決めて、そのために必要な標本サイズを求めることがあるけれど、上の式も考え方は同じである。信頼区間の幅に相当するのが\(\epsilon\)である。典型的には0.05以下とするのがよい。課題2の意味での収束評価にはGelman-Rubin-Brooksの診断がよく用いられている[これってPSRのことだよね...]。オリジナルでは、\(m\)本の独立なチェーンから\(\Sigma\)を推定する。\(m\)は小さいので、この統計量は変動が大きいんだけど、前の節で述べた\(\Sigma\)を使えば改善できる。あることが示されている。これは一本のチェーンから求められるし、複数のチェーンから求める方法も提案されている。\)がどのくらい小さくなったら停止するか。p}}}$$で停止すればよいといわれている。ESSを使ったほうがよいだろう。解釈しやすいし、変動が小さいし、計算が楽だから。\)も、推定を目指しているのであって(つまり課題2)、標本の代表性を調べているのではない(課題1ではない)、という点に注意すること。拡張thinningとは[...中略...]。推定量の分散は大きくなるが、\(h\)の評価に時間がかかるときとか、問題が高次元すぎてMCMC標本を全部メモリに置いておけないときには有用である。複数の並列チェーンもよく使われる。複数チェーンだからといって短くてよいということにはならないので注意。(精度がすごく下がる)。MCMCによる不確実性の定量化。最後に、MCMCの出力を視覚化しながら分析するワークフローを示そう。液晶プロジェクターの信頼性をベイジアン信頼性モデルで評価するという事例を取り上げる。メーカーいわく、ランプの寿命は1500時間である。そこで同じランプを31種類のプロジェクターに取り付けて故障までの時間を測った。\(i\)での故障時間を\(t_i\)とする。