owner【第1回】水素原子のシュレディンガー方程式と動径方程式ツイートシェアはてブLINEPocket水素原子に関するシュレディンガー方程式は厳密に解くことができます。今回は水素原子のシュレディンガー方程式を立てることから始めて動径方程式および波動関数の角度依存式が剛体回転子のシュレディンガー方程式と同一であるところまでを解説したいと思います。水素原子のシュレディンガー方程式シュレディンガー方程式まず、時間に依存しない3次元のシュレディンガー方程式を以下に示します。\tag{2}$$で与えられます。\tag{3}$$で与えられます。シュレディーンがー方程式の導出については以下の記事にて解説していますので参考にしてください。(参考:時間に依存しないシュレディンガー方程式を導出しよう)水素原子のシュレディンガー方程式それでは水素原子のシュレディンガー方程式を解いていきましょう。水素原子は核を原点として、そのまわりを1つの電子が回転運動しているモデルと見なすことができます。核には陽子が1つ含まれているので、核と電子のあいだにクーロン力が働きます。\tag{4}$$となります。このとき、\(\varepsilon_0\)は真空における誘電率、\(r\)は核と電子のあいだの距離、\(e\)は電気素量、すなわち陽子(電子)の電荷です。\tag{5}$$が得られます。前項では3次元直交座標系で考えていましたが、水素原子モデルでは電子が回転しているため極座標系で解いた方が良さそうです。\tag{7}$$になります。ラプラス演算子の極座標変換については省略して別記事にて解説します。\tag{9}$$となります。\tag{12}$$となって、左辺の第1項および第3項が\(r\)に関わる式で第2項が\(\theta\)と\(\phi\)に関する式といった形に別れました。このような方程式(12)の形から、変数分離法が利用できると予想できます。\tag{13}$$の関数になると仮定するのです。(12)式に代入してみましょう。\tag{15}$$となって、第1項は\(r\)のみの関数で第2項は\(\theta\)と\(\phi\)のみの関数になっているのがわかると思います。このように第1項目と第2項目の変数が異なる場合には各項がともに定数にならないといけません。\tag{17}$$となるはずです。このとき、各項の頭にあった\(\hbar^2\)は定数なので\(\beta\)の中に入れました。したがって、(16)式は水素電子の半径に関する式であり、(17)式は水素電子の角度に関する式が与えられたことになります。加えて(16)式のことを動径方程式と呼びます。\tag{18}$$で与えられています。剛体回転子とは、2つの質点があいだの距離を一定にしながら回転しているモデルのことを指します。このとき\(I\)は剛体回転子の慣性モーメントです。詳しいことは以下の記事を参考にしてください。,\phi)\)は剛体回転子のシュレディンガー方程式と全く同じであることがわかりました。今回の解説はここまでにさせてもらって、次回の記事では(17)式を具体的に解いていきます。水素原子のエネルギー準位とリュードベリ定数を導出しようRECOMMENDこちらの記事も人気です。