soundは考えています。「細い管での開口端補正の長さは、波長の8分の1」になるという仮説を順を追って説明し、関心のある皆様と情報交換をするのがこのブログ開設の目的です。最近は経済・財政にも関心をもっています。(岩波書店)統計的推定の良書。最小2乗法からAR、ARIMAモデル、状態空間モデル、非ガウス型のモンテカルロフィルタまで。具体例と理論のバランスが絶妙。書名に似合わず、専門的な内容も多い。レビュー的な要素もあり、全体像が見える。VAN法の解説もある。(著)周辺から巨富を集めて繁栄する帝国とその内部に同居する貧困のありさま。税制の違いが我が国の家計消費支出に与える影響についてカテゴリー「気柱共鳴の物理」の14件の記事2008年12月までの記事の一覧いつのまにやら記事もかなり増えてきました。このあたりで2008年12月までの記事の一覧を作っておきます。・その他の経済記事の順にリストアップします。現在のWSの最大の関心事です。・日本の財政赤字(3)消費税率アップという「苦い薬」はホントに良薬ですか、Yさん?・日本の財政赤字(4)ガソリン暫定税率廃止でほかの税収は1.9兆円<増える>のですが...誰も言わないね・日本の財政赤字(5)「消費税率を10%に上げて、サラリーマンが基礎年金保険料を払わなくて済むようになれば、消費が大きく落ち込むことはない」ってホントだろうか?・日本の財政赤字(6)財政赤字は消費性向で決まる---増税や歳出削減で財政再建はできない・日本の財政赤字(7)景気が良くなると長期金利が上がるってホントなの?・日本の財政赤字(8)名目成長率が4%超なら累積債務は持続可能になる・日本の財政赤字(9)---ガソリン暫定税率廃止が税収に与える影響(池田税制の復活による内需主導型成長で財政は黒字になる、というのがWSの持論です。上げても税収は増えない以上です。前回の更新からずいぶん時間が経ってしまいました。11回目の今日は復習をかねて、空気の粘性を無視した場合の話で不十分だった点を補います。具体的には、レビンとシュビンガーによる開口端補正の理論値を紹介し、それと、このブログの第9回で扱ったモデル1による理論値とを比較します。(空気の粘性は考慮せず)以前お話ししたように、管壁がきわめて薄い円筒形の管の、空気の粘性を無視した場合の理論値については、1948年にレビンとシュヴィンガーが厳密な解を与えています。http://prola.aps.org/abstract/PR/v73/i4/p383_1グラフの横軸は管の太さ(内径)で、縦軸は開口端補正の長さです。具体的には、管の内径をa、開口端補正の長さをΔ、音の波長をλ、波数をk=2π/λとして、縦軸にはΔ/a、つまり、開口端補正の内径に対する割合をとってあります。横軸にはka=2πa/λ、つまり波長に対する内径の割合(を位相に換算したもの)をとってあります。レビンとシュビンガーの理論値では、音の波長に較べて管が十分に細い場合、つまり、グラフの左の方では、「開口端補正は半径の約0.61倍」になっています。管が太くなると、開口端補正の半径に対する割合は減少します。m/sであるとします。cm≒0.369...なので、グラフの左の方をみて、Δ/a≒0.6であることが読みとれます。cmということになります。■モデル1による理論値(空気の粘性は考慮せず)上のグラフには、このブログの第9回で扱ったモデル1による理論値も合わせて示しました。モデル1は、開口から放射される球面波の強さが向きによらないという単純化した仮定をおいたモデルです。そのため、厳密な考察をしているレビンとシュビンガーの理論値からは当然ずれます。やりすぎと思えるほどの単純化をしたわりには、管の太さが増えると、開口端補正の半径に対する割合が減少するなど、傾向は正しく出ていますが...。グラフの左のはしでは、モデル1の開口端補正は内径の0.5倍になっています。約0.61倍というレビンとシュビンガーによる理論値からは少しずれています。全体に、彼らの理論値のグラフに較べて、モデル1の理論値は下にずれている、つまり、開口端補正が小さく出ています。これは、モデル1では、開口付近で空気が実際より自由に運動できると仮定されているためと考えられます。■空気の粘性を考慮するとどうなるだろうか上では粘性の影響を考えませんでしたが、それを考えるとどうなるか、予想を述べます。上のグラフで、横軸はそのままにして、縦軸にΔ/λ、つまり「波長に対する開口端補正の割合」をとって書き直したのが次の図です。管が太くなるにつれ、波長に対する開口端補正の割合は(非常に太い管の場合を除いて)増加することがわかります。非常に細い管では、上の割合はほとんどゼロになっています。図の左端近くの領域では、開口端補正は内径の0.5倍〜0.6倍なので、波長に較べて非常に小さいからです。soundの予想では、空気の粘性の影響は細い管ほど大きく現れます。非常に細い管では開口端補正は波長の8分の1、つまり0.125倍になるはずです。粘性の影響を正しく考慮した場合には、上のグラフは修正されるはずです。グラフは左の方で再び上がり、左端では0.125のところで縦軸と交わるでしょう。全体として、グラフはU字型の谷の形になるはずです。その正しい形を求めることが、いまの研究課題です。粘性が効く管の太さ10回目の今日は、粘性の影響が問題となる管の太さ(半径)についてお話しします。気柱で共鳴がおきているとき、スピーカーなどから1秒間に入射するエネルギーと、管から出ていくエネルギーの量が同じになっています。エネルギーが出ていくメカニズムには主に2つがあると考えられます。管口からの音波の放射と、管壁での摩擦によるエネルギー散逸(熱の発生)です。管内の音の定常波は、これらのエネルギー散逸の合計が最小になるように各振動モードを重ね合わせたものです。直観的には、音の波長に較べて太い管では、管口からの放射によるエネルギー散逸が主になり、逆に細い管では、粘性によるエネルギー散逸が主になる、と考えられます。開口端補正もそれに応じて決まるはずです。0.61」がよい近似となるでしょう。1/8」がよい近似となるはずです。そこで、両者の境目となる管の太さがどのくらいなのかを定性的に考えてみます。これは前回お話ししたモデル3(粘性の影響を考慮した単純化モデル)の考察のための下準備です。■エネルギー散逸を見積もる(失敗編)管の半径をa、空気の平均密度をρ、音波による空気の振動速度(の最大値)をV、波長をλ、音速をcとします。a2の程度です(1/2やπのような数係数はすべて1に置きかえています。量のおよその大きさを見積もるための大雑把な議論なので)。Vただし、dは表皮厚(第3回参照)でd=√{ν/ω}〜√{νλ/c}です。PとQの表式を較べると、Pは半径aの2次関数、Qは1次関数で、いずれも原点を通ります。aが大きいときにはPの方が急激に増えます。逆にaが小さいときにはPはQに較べて小さくなります。PとQの大小関係が入れ替わる半径aはどれくらいでしょうか。cmとしてみましょう。