半径5ミリくらいの管でも、中で共鳴して空気が振動していれば、粘性の影響が大きい気がするのに...。実はひとつ、考え忘れていることがあります。管端で起きることをよく考える必要があるのです。■エネルギー散逸を見積もる(成功編...たぶん)細い管では、中に音がこもります。管端からあまり外へ出て行かないのです。このため、管が細いほど、外部の音の振幅は内部に較べて小さくなります。これは前回「気柱9」で中と外の波を接続したときの式を眺めていただくとわかるのですが、管が細い場合、管内の音が管外へと透過していくとき、透過波の振幅は管内の振幅の(数定数を除いて)およそa/λ倍になります。波が運ぶエネルギーは振幅の2乗に比例するので、上で求めた管口からのエネルギー放射のスピードPは、正しくは(a/λ)2倍しなければなりません。a2となり、管口からの放射エネルギーは、管の半径aの2乗ではなくて4乗に比例することになります。これに伴い、PとQが同程度の大きさとなる管の半径も異なってきます。[cm])1/6が、粘性の効果と管口からの放射の効果が同程度になる管の半径であることがわかります。以下に表にまとめてみます。8.7この見積もりは数係数を無視して大雑把に行ったので、正しい値は数倍あるいは数分の1くらいかも知れませんが、定性的な傾向は正しくつかめているはずです。表からわかるように、放射と粘性の効果が同程度になる管の半径aは、音の波長が長いほど(振動数が小さいほど)大きくなりますが、ふつうの音(数千ヘルツから100ヘルツ)なら、境目の半径は数ミリから数センチです。微妙なことに、ちょうどよく高校での実験で使われるあたりです。リコーダーのような細い管で、開口端補正が大きいという報告があるのは、やはり粘性の効果が効いているからではないでしょうか。この場合には開口端補正の値は波長のほぼ8分の1になる、というのが私の予想です。リコーダー(半径0.4cm)の開口端補正と、塩ビ管(0.65cm)の開口端補正Δの実験値がのっています。cmより長くなっています。cmで、管の半径の1.2倍程度となっており、やはり理論値(半径の0.61倍)より大きくなっていますが、リコーダーほどではありません。これらの実験値が(粘性の影響を無視した場合の)理論値からずれたのは、ともに粘性の効果によるものでしょう。半径の小さいリコーダーの方が粘性の影響が強く表れたものと思われます。付記(2008.6.27):空気の動粘性係数の値をひと桁まちがえていたので、表などの数値を訂正しました。定性的な結論は変わりません。表皮厚の式にもミスプリ(分母と分子が逆)がありました。混乱した方がいらしたら、申し訳ありません。お知らせ(2月4日)あまり考察する時間がとれなくなってきました。更新は数週間後になると思います。ときどきお越しくださっている皆様、申し訳ありません。粘性の影響を無視した場合の理論値その19回目の今日は、粘性の影響を無視した場合の、円筒形の管の開口端補正の理論値についてお話しします。この理論値についてはすでに、1948年にレビンとシュヴィンガーが厳密な解を与えています。管の内径に較べて音の波長が十分に長い場合には、「開口端補正は半径の0.6133倍」になる、というものです。空気の粘性の影響を考慮すると開口端補正はもっと大きくなると考えており、このブログではその厳密な表式を見出すことを試みています。レビンとシュヴィンガーの方法に粘性の影響を取り入れることができればよいのですが、それはどうも難しそうです。彼らの方法では、粘性の影響を考慮する際に必要な、管内の定常波の具体的な表式を見出すのが大変だからです。そこで今回は、やや単純化したモデルで、(粘性の影響を無視する場合に)開口端補正がどのように求まるのかを説明したいと思います。モデルが現実を正確に反映していないので、「半径の0.6133倍」という厳密な理論値は導出できず、「半径の0.5倍」になってしまうのですが、簡単であることと粘性の影響を考慮しやすいという点がこのモデルの利点です。最後に、モデルを現実に近づけるために、どのような変更が必要かについても述べます。話を始める前に、今後の予定をお話しします。モデル4今回取り扱うのは、モデル1です。これは近似的に現実の状況を反映したモデルで、かつ、粘性の影響を無視したものです。モデル2は、粘性の影響は無視するものの、その他の点では正確に現実を反映しています。このモデルでの開口端補正の理論値は、レビンとシュヴィンガーの結果に一致するはずですが、取り扱いの仕方が異なります。モデル3は、モデル1に粘性の影響を取り入れたもの。モデル4は、モデル2に粘性の影響を取り入れたものです。モデル1(今回)→モデル2→モデル3→モデル4またはモデル1(今回)→モデル3→モデル2→モデル4の順に考察を進めていくつもりです。モデル4での理論値の導出が最終的な目標です。開口端補正は、管内を伝わる音波が作る定常波の腹の位置に関係した概念です。そこで、あらかじめ、反射による位相のずれと定常波の腹の位置について復習しておきます。2つの媒質が接していて、波がある媒質から別の媒質の側へと進もうとするとき、2つの媒質の境界では一般に反射と透過が起こります。このうち境界で反射して戻る波は、もとの波より振幅がやや小さくなっています。別の媒質へと透過していく波が入射波のエネルギーの一部を持ち去るからです。反射波の位相はどうでしょうか。これには大雑把に分けて2つの場合があります。入射波と同じ位相で反射する場合(自由端的反射)と、入射波と逆の位相(=πずれた位相)で反射する場合(固定端的反射)です。いずれの場合にも、もとの媒質中では互いに逆向きに進む2つの波(入射波と反射波)が足し合わされて(=干渉して)、進まない波(定常波)が生じます。自由端的な反射では、境界の媒質は波によって動くことができるので、境界は定常波の腹になります。固定端的な反射では、境界の媒質は波によって動かず、境界は定常波の節になります。反射波の位相が入射波に対してどのようにずれるか、ということが、定常波の腹の位置を決めている点に注意して下さい。次に気柱の場合を考えます。図のように管内を進んできた波(波1=入射波)が、開口のところから球面上に広がっていきます(波2=透過波)。それだけではありません。開口部から管内を逆方向に戻っていく波(波3=反射波)もあるはずです。反射波があるのだろう、と疑問に思われるかも知れません。今の場合、管内も管外も媒質はどちらも空気で、2つの異なる媒質が接しているわけではないからです。この場合に反射波が生じるわけを理解するには、音の伝わるメカニズムを考えるとよいでしょう。空気の密度が周囲よりわずかに大きいところができると、その部分の圧力が高くなり、まわりの空気を押しやります。その結果、もとの部分の圧力は下がり、まわりの空気が圧縮されます。それがさらにその周りの空気を圧縮し...ということが繰り返されて音は伝わっていきます。いま、管内の空気は管壁でその動きが制限されています。管外の空気は、そのような制限は受けていません。管外の空気は管内の空気より自由に動けるわけです。管外と管内はおなじ空気という媒質ではありますが、音の伝わり方に違いがあります。この違いのために、管内を進んできて管外へと出て行こうする波は、管口のところで「つまずいて」しまいます(比喩的ですが...)。このときに反射波が生じます。■反射波の位相のずれと開口端補正この反射波の位相は入射波に対してどうずれているでしょうか。開口のところの空気はほとんど自由に動けるので、あたかも開口部が自由端であるかのように反射波が生じるのではないか、と予想されます。実際にもほぼその通りなのですが、厳密には開口部の少し外側に自由端があるかのように反射波が生じます。このずれる距離を開口端補正と呼ぶことはご承知の通りです。ポイントは、開口部で反射して管内を戻っていく波(反射波)の、入射波に対する位相のずれさえ計算できれば開口端補正が計算できる、という点です。■単純化したモデルそこでこの位相のずれを、単純化したモデルで計算してみます。以下では、多少の物理数学の知識(特に、複素関数としての指数関数と、それによる波の記述)を仮定します。詳しくない方は、適当に斜め読みして、結論の部分で、位相のずれ(2δとします)から開口端補正(Δとします)が求まっている、という流れを把握していただければと思います。x軸に沿って伸びた半径aの無限に長くてごく薄い円筒があるとし、開口部がx=0で、円筒はx<0の領域にあるとします。円筒には、円錐台の側面の形をした無限に伸びた「つば」がついていて、その円錐の頂角はα、円錐台の側面の延長は、x軸上の正の部分にある一点Cで交わるとします。(以後はα=180度の場合を考えます。exp(−ikx)とおきます。ここで時間tに依存する因子exp(−iωt)は省略しています。この因子を考慮すれば、上の式で、Aは右向きに進む波(入射波)の複素振幅、Bは左向きに進む波(反射波)の複素振幅です。次に、管外を考えます。波長に較べて広い隙間を通る波はあまり広がらず、狭い隙間を通る波は大きく広がるという、波の回折の特徴を思いだすと、開口部を出て広がる波は、波長にくらべて管の半径が小さい場合には、球面上に大きく広がると考えてよいでしょう。管の半径が小さくない場合には、広がる球面波のエネルギーは前方に集中するので、波の強さが角度に依存するはずですが、今回は各方向に一様に広がると近似することにします。exp(ikr)/rとおくことができます。ここでrはx軸上の点Cからの距離です。この、管内と管外の2つの領域での波の表式がなめらかにつながる、という条件から、入射波と反射波の位相のずれがわかるのです。この2つの表式をどのようにつなげばよいでしょうか。ここでは、少々荒っぽい仮定を導入して、取り扱いが簡単になるようにしましょう。以下の仮定は近似であって、現実の状況を正確に反映したものではありません。管の断面積がπa2であることに注目します。そこで、次の2つの仮定をおきます。(1−2ikb)-1最後の式の右辺の複素数のargument(偏角)を2δとおくと、これが求める位相のずれです。計算すると、この半分、つまりδが(位相であらわした)開口端補正になることがわかります(注)。このモデルでの理論値は厳密解よりやや小さめになりました。その理由は2つあります。1つには、内部と外部の解をなめらかにつなぐ際に荒っぽい(天下り的な)仮定を導入したこと。一つは、開口部から管外へと広がっていく球面波の強さが方向によらないという近似を行ったことです。これらの問題点は、モデル2において改善したいと思っています。以上で、粘性の影響を考慮しない場合の開口端補正についての、単純化したモデル(モデル1)による理論値の話を終わります。注:上で求めた位相のずれδが開口端補正を表していることを簡単に説明しておきます。exp(−ikx)とするとき、上では複素数−B/Aの偏角を2δとおきました。水面で反射して管口へと向かう波を表しています。exp(−ikx)に加えて、管外のスピーカーなどから管内に入射して、水面へと進む波が存在します。exp(−ikx)と同じ位相を持つように水面の位置を調節しているわけですから、結局、水面から管口へ進む波と、逆方向へと進む波はほぼ同じ振幅になっているはずです。両者の位相は2δだけずれています。よって、管内の音波の波形(速度ポテンシャル)は、以下の量に比例するでしょう。(πの整数倍)を満たす位置にあることを示しています。お知らせ公式にあらわれる発散の除去に手間取っています。小さな進展や思いついたアイデアはこちらのホームページで報告しています。日が空いてしまいましたが、8回目の今日は、円筒形の管の開口端補正の長さについてお話しします。どんな順番で書くべきかちょっと迷いました。いうのは、物理数学(波動方程式の円筒座標での分離やベッセル関数)を使わないで説明する方法を思いつかなかったからです。そこで、まず、最初に大まかな話の流れを図で説明してから、計算の概略を補足でつけることにしようと思います。円筒形の管の内部の空気が、外からの決まった振動数の音波によって振動し、定常波が生じているとします。管の一方は空いており(開口)、他方は閉じている(あるいは水面などの存在によって固定端になっている)とします。管の長さは十分に長いとします。細い管(外からの音の波長に較べて管の半径が十分に小さい管)では、管内の空気の振動はこれまでと同様、奥までとどく正弦波モードと、開口付近に局在する無数の指数減衰モードの重ね合わせになります。それぞれの振動モードでの空気の振動の様子を、管の断面で切って見てみましょう。正弦波モードの場合、空気は断面のどこでも一様に、管口から奥へ、奥から管口へと軸に沿った方向に振動しています。いっても、その振動の振幅は通常の音の強さならごくごく小さい距離ですが。これを次のような図で表すことにします。プラス記号はある時刻に空気が向こうに向かって動いていることを示します。振動の半周期だけ後の時刻なら、手前に向かって動いていることを示すマイナス記号を書くべきでしょう。管壁に近い部分の空気も、中心付近と同様の振幅で振動しています。厚さ0.1ミリにも満たない表皮層の部分の空気だけは違います。管壁のごくごく近くの表皮層では管壁に近づくほど振幅は小さくなり、管壁に接するところの空気は動いていません。空気の粘性のためです(第3回参照)。上の図が示しているのは、表皮層の部分を除いた、管の内部の振動状態です。これから示す図も同様です。次に、指数減衰モードの場合ですが、以下のようにさまざまな振動状態(無数)があります。太鼓の膜の振動に似ています。違いもあって、太鼓の場合には縁のところが振動しないのですが(固定端)、今の場合には管壁のところの空気は振動します(自由端)。左上の図は指数減衰モードではなくて正弦波モードですが、比較のために入れてあります。点線は節線(空気が振動しない場所)です。見てわかるように、節線には半径方向に放射状に走るものと、円形のものとがあります。左の2つの図は、半径方向の節線がないモード、いいかえると、円周に沿って移動しても半径が同じなら振動状態が変わらない振動モード(軸対称な振動モード)です。これらのモードは、円形に広がる波と管壁から中心へと円形に縮む波とが重ね合わされた結果生じているものです(実際には波は管の軸に沿った方向にも進みますが今は断面に沿った方向の進行に注目しています)。この下には、円形の節線が2本あるモード、3本あるモード、...などの図が続いています。次に、他の図(中央や右側の4つの図)に注目します。これらは、半径方向の節線を1つあるいは2つもつ振動モードです。半径を一定に保ちながら円周に沿って移動すると、空気の振動の様子が違っています(軸対称でない振動モード)。ある時刻に、ある場所で空気が手前向きに動いているとして、別の場所では向こう向きに動いていることもあります。これらは、円周に沿って回転しながら広がる波と、逆方向に回転しながら中心に向かって縮む波とが重ね合わされた結果生じているものです。この右には、半径方向の節線が3本あるモード、4本あるモード、...などの図が続いています。指数減衰モードは無数にあって、各モードは、半径方向の節線の数m=0,1,2,...と円形の節線の数n=0,1,2,...の組(m、n)で指定できます。(m、n)=(0,0)のモードだけは例外で、これはおなじみの正弦波モードです。詳しく言うと、mが1以上のモード(軸対称でないモード)は、半径方向の隣り合う節線どうしがなす角度の半分だけ回転してやると(例えばm=1のモードなら90度、m=2のモードなら45度回転)、回転前とは独立な振動モードを表します。それらをm=ー1,m=ー2などと表すことにすれば、結局、指数減衰モードのそれぞれは、整数m=...、ー2,ー1,0,1,2,...と整数n=0,1,2,...の組(m、n)で指定できることになります(ただし(m、n)≠(0,0))。■指数減衰モードの減衰率と(m、n)上では断面で切って振動状態を見ましたが、管の軸に沿った方向に空気の振動状態はどう変化しているでしょうか。答を言えば、断面図に現れる節線の数(mやn)が多いモードほど、管口から奥へと進むにつれ定常波の振動の振幅は急激に減衰します。これは、第6回で調べた、一辺が無限に長い長方形の断面をもつ管の場合と同様な結果です。■開口端補正に影響しないモードここで紹介している仮説によると、指数減衰モードが正弦波モードとうまく打ち消し合って、管壁での摩擦熱の発生量を抑えるような各モードの重ね合わせの比率から、開口端補正の長さが決まります。一辺が無限に長い長方形の管の場合には、指数減衰モードのうち、向かい合う2つの面で空気の振動方向が逆になっているような振動モードは開口端補正に寄与しませんでした。そのような指数減衰モードは、正弦波モードと一方の面で強め合うならば、他方の面では弱めあい、2つの面での効果が打ち消し合うからです。同様なことが、円筒形の管でも起こります。軸対称でない指数減衰モード(mがゼロでないモード)は、開口端補正に寄与しないのです。管壁のある部分(例えば先ほどの図で+と書いたところ)でそれらのモードと正弦波モードが強め合っても、別の場所(ーと書いたところ)では弱め合うからです。開口端補正に影響するのは、軸対称なモード(m=0,つまり、先ほどの図で一番左側の列にある無数のモード)だけです。■軸対称な指数減衰モードの減衰率そこで、n=1,2,...に対して、(m、n)=(0,n)のモード(軸対称な指数減衰モード)の減衰率pnを知る必要があります。この減衰率が、開口端補正を求める公式に現れるからです(第7回参照)。正のn番目の零点です。ベッセル関数のグラフは例えばこのページで見ることができます。変形したような関数だと思ってみると、だいだいの様子が理解できます。10.2、...となっています。微分したものになっています。(z)■円筒形の管の開口端補正の長さを表す公式あとは、第7回で述べた公式(*)にこの減衰率を代入すれば、円筒形の管の開口端補正がわかります。結果を開口端補正の長さΔのほうで示すと、次のようになります。軸対称な指数減衰モードのうち、最初のN個が励起されていると仮定しています。C、...は以下のような定数です。}......管の半径aが波長λに較べて小さい管では、開口端補正の長さΔはaの一次関数でよく近似でき、aが0に近づく極限では波長の8分の1に近づきます。■発散の問題ベッセル関数の零点ξnは、だいたいnに比例して大きくなるので、係数Aは、長方形の管の場合と同様、N→∞の極限で対数的に発散してしまいます。この発散を処理して有限の答を得ることが目下の課題です。長方形の管のところで述べたアイデアを追究することで、実験結果を説明する公式を得ることが可能だと予想しています。■補足(計算の概略)上で省略した計算の概略をお話しします。多少の物理数学の知識を仮定します。(1)を満たすと考えることができます(cは音速)。ー∇ψの関係にあります(電位と電場の関係をイメージして下さい)。(注:表皮層内では空気が渦巻くので、速度場はスカラー場ψの勾配∇ψだけで表すことはできず、もっと詳しい考察が必要になりますが、ここでは立ち入りません。)空気は管壁を突き破っては動けないので、管壁のところでは、速度場vの管に垂直な成分は零でなければなりません。nは管壁に垂直なベクトル(法線ベクトル)です。(1)の定常解で、境界条件(2)を満たすものを求めれば、(粘性による管壁でのエネルギー散逸を無視した場合の)管内の定常波がわかります。いま、半径aの管がx軸に沿ってx>0の方向に無限にのびていて、x=0の位置に開口があるとします。円筒座標をとり、中心軸(x軸)からの距離をr、角度をθとします。∂2/∂θ2となります。<波動方程式の定常振動解>波動方程式(1)の変数分離形の管内での解を通常のようにして求めることができます。Y0(αr)はr=0で対数的に発散するので、速度ポテンシャルを表すには適しません。成り立つ必要があります。0これを満たすαは無数にあります。k2}であることがわかりました(これを少し変形すると、上で紹介した減衰率の表式に一致します)。n=0のモードは減衰率pnが純虚数になるのでx方向に減衰しません。これは正弦波モードに対応しています。(補足おわり)*今後は、表皮層でおきることを詳しく考え、エネルギー一定の条件下で開口端補正を求める話を書いていく予定です。次回の更新はすこし遅れるかも。開口端補正の長さ7回目の今日は、前回やり残した、開口端補正の長さを管の太さ(幅)で表す公式を導きたいと思います。引き続き、幅(一辺)がaで、他の辺が無限に長い長方形の管について考えますが、最後に、円筒形の管の場合の開口端補正の長さについてもお話しします。材料はすべて揃っているので、あとは式に代入するだけなのですが、本題に入る前に、管口付近に局在するモードでの管内の空気の振動の様子について図で説明しておこうと思います。これは、出てきた公式の物理的意味を理解するために、あとで必要になります。上の図は、n=1の指数減衰モード(管壁に垂直な方向の節の数nが1のモード)での、ある瞬間の管内の空気の速度を示しています。左端が開口で、右へ行くほど振動の振幅は小さくなります。半周期後には、各場所の速度は逆向きになります。図からわかるように、壁のすぐそばの空気の振動は、上下の壁で逆向きになっています。上の図は中央に1つだけ節があるモードの振動の様子ですが、一般に、壁と壁の間に奇数個の節があるモード(n=1,3,5,...)では、上下の壁で空気の速度が逆向きになります。それに対して、壁と壁の間に偶数個の節があるモード(n=2,4,6,...)では、上下の壁で空気の速度が同じ向きになります。節の数nが大きいモードほど、奥へ(右方向へ)の振動の振幅の減衰の仕方が急激になります。nが大きいほど、開口付近に局在しています。n=0のモードだけは特別で、奥へ行っても減衰しません。これはおなじみの正弦波モードです。振動の様子は第3回で示した図の周期的な繰り返しになります。前回、節の数がnであるモードの減衰率pnを求めました。(k=2π/λに注意)であることを導きました。(*)と、各モードの寄与の単純な和になることもお話ししました(結果は簡単ですが、計算は大変なので、説明は省きました)。重要なポイントを復習しておきます。波長λに較べて管の幅aが小さい場合にはθnたちは小さいので、δ≒π/4となります。λ/8と、波長のほぼ8分の1になるのでした。今回はさらに詳しく、上の式(*)の右辺のθnたちの効果もちゃんと考えたいと思います。その前に1つ、ちょっとした修正が必要です。第4回では、指数減衰モードでの空気の速度が、上下の壁のところで同じ向きであると仮定して議論を進めましたが、上で見たように、nが奇数のモードではその条件は成立していません。計算してみるとわかるのですが、nが奇数のモードは開口端補正に全く寄与しないのです。これは、nが奇数のモードの場合、それが正弦波モードと上の壁で強め合うならば、下の壁では弱め合うからです。共鳴するときの正弦波モードの腹の位置は、管壁でのまさつ熱の発生量を最小にする位置ですが、それはnが奇数のモードがどの程度強く励起されているかには全くよらないことがわかります。いうわけで、(*)の式は以下のように修正しなければなりません。数番目のモードの寄与だけが現れるのです。(**)ただし、N=2m(mは自然数)とおきました。■公式あとは式(**)が幅aのどのような関数なのかを調べるだけです。小さい量なので、この量で展開してみましょう。...を用いることができます。結果を開口端補正の長さΔのほうで示すと、次のようになります。A5、...は以下のような定数です。1/m5}......幅aが波長λに較べて小さい管では、A3以降の項は無視できるほど小さいので、開口端補正の長さΔはaの一次関数でよく近似でき、aが0に近づく極限では波長の8分の1に近づきます。円筒形の管の場合にも結論から言えば、Δは、管の半径aの関数として上と同様な公式で与えられます。A5、...の値は異なります。先ほどは、これらの定数には、1,2,3,...という等間隔に並ぶ整数を、何乗かして分母においた分数の和が現れました。この等間隔の整数の起源をさかのぼると、上下の管壁が自由端になるという境界条件にたどりつきます。0を満たす正の実数yがy=1,2,3,...であったということです。ベッセル関数というのは、円筒状に広がる波(離れるにつれ振幅は減衰する)を表す場合にいつも現れる関数で、三角関数の兄弟のようなものです。ベッセル関数という名で呼ばれる関数は無数にあって、添え字の0はそのうち「第0次」のベッセル関数であることを表す記号です。0を満たす正の実数ρがρ=ξ1、ξ2、ξ3、...(こんどは等間隔ではありません)であるとして、これらが、1,2,3,...の代わりに円筒形の管のΔを表す公式に登場します。一辺が無限に長い長方形の管では、指数減衰モードのうち、上下の壁のところで空気の動きが逆になっているモードは開口端補正に寄与しませんでした。これに類似したことは円筒形の管でもおこります。管の断面の円周に沿って回ったとき、ある場所では空気は奥の方へと動いているが、同じ瞬間に、円周の別の場所では管口へ向かって動いているようなモードは、開口端補正に寄与しません。したモードは、管壁で反射しつつ、回りながら進む波に対応しています。したモードは考える必要はなく、円周上の点が同じ位相で振動しているモードだけを考えればよいことになります。円筒形の管については、また後日、詳しくお話しする予定です。ついて、さらに考えるべきことがあります。mのように振る舞います。A5、...は有限値に近づくので問題ありません)。これは明らかにおかしな結果です。なにがまずかったのでしょうか。発散が起きてしまった理由は、指数減衰の各モードは、(管壁でのまさつ熱の発生を最小にするような)任意の振幅をとることができる、と仮定したことです。これは、必要なら外からいくらでもエネルギーが供給される、と仮定したことにほかなりません。実際には、指数減衰モードが期待した振幅で励起されるとは限りません。節の数が大きなモードは、管口付近にしか存在しないため、励起されにくく、また、波の形がなめらかではないので、粘性によりエネルギーを失いやすいのです。■発散の問題の解決法こうした現実の物理的状況を取り入れる一番簡単な方法は、定数A1を計算する和においてmを無限大だとは考えずに、m=4とかm=7とか、他の適当なところで止めた有限和を考えることです。θ6+...)とすることです。c2、c4、c6、...は「手でおく」定数で、最初の方は1に近い値をとりますが、あとへ行くほど減少して0に近づきます。各モードがどの程度期待どおりに励起されているかを表す定数です。これらの具体的な値は、モードが励起されるメカニズム(管壁の振動や音波の非線形性による他のモードとの相互作用)やエネルギー散逸のメカニズムを考慮して決めるとよいでしょう。A1の発散をなくすことができます。c2、c4、c6、...を決める際には、管の材質で決まる(内部の空気の振動ではない)管自体の固有振動の周期など、気柱共鳴の現象とは無関係な物理現象の考察が必要になるので、不満が残ります。直観的には、そうした外部の環境要因とは無関係な、最大公約数的な公式がありそうに思えます。洗練された方法は、問題の設定自体を変えてしまうことでしょう。第4回では正弦波モードの振幅を一定と仮定しましたから、指数減衰モードがどれほど大きなエネルギーを持ってもよかったのです。これが問題を引き起こしました。その代わりに、管内の定常波の総エネルギーを一定とおけばよいでしょう。その条件のもとで、管壁でのエネルギー散逸を最小にするように、正弦波モードの腹の位置(つまり開口端補正)と各指数減衰モードの振幅を決めれば、無限大はあらわれないはずです。計算上の困難があって、十分に調べていないのでまだあまり書けないのですが、研究が進んだらまた報告します。次回は、円筒形の管とベッセル関数の話をする予定です。指数減衰モード(2)6回目の今日は、前回に引き続いて、気柱内の管口付近に局在する定常波のモード(指数減衰モード)についてお話しします。今回の目標は、管の太さが指数減衰モードにどう関係しているのかを調べることです。管が細い(あるいは幅が狭い)ほど、指数減衰モードの減衰率(管口から奥へ入るときに振幅が減衰する程度)が大きくなることを示します。これは、開口端補正の長さを管の太さで表す公式を導くための重要なステップです。以下では、音の波長λは与えられた定数と考えます。音速(これは気温や気圧、湿度で決まります)と音源の振動数が与えられれば、λは決まるからです。前回お話ししたように、管内に生じる定常波は一般に、逆方向に進む2つの波を重ねあわせたものとみなせます。そのうち、正弦波モードは、管の軸に沿った方向に進む波を重ね合わせたものですが、指数減衰モードは、管壁で何度も反射しながら斜め方向にジグザクに進む波を重ね合わせたものです。そこで、斜め方向に進む波に注目します。波の波長をλとします。これは、図の青線の間隔(ある時刻の、となりあう波の山と山の間の最短距離)です。左右方向に歩いていったときの波の山どうしの間隔、つまり左右方向の波長λLや、同じようにして定義される上下方向の波長λTは、λとは異なります。λ/λTの関係があります。(*)の関係が、各方向の波長の間に成り立つことがわかります。左右方向の波長λLは、上の式からわかるように、一般にはλより大きくなります。(実数の2乗は0以上であることを思い出して下さい。)図から考えても明らかですね。真横に進む波では、図からわかるようにλTが無限大となるので、左右方向の波長λLとλは一致します。気柱共鳴の実験で測定しているのはふつう、管壁で反射したりせずに真横に進む正弦波モードの波長ですが、この正弦波モードの場合にはλLとλは一致すると考えて構いません(注)。注:管壁で課すべき境界条件が自由端条件でない場合には、λLとλは少しずれてきますが、今回は自由端境界条件を仮定することにします。■管内を斜めに進む波の各方向の波長2枚の広い平行な板が、距離aを隔てて向かい合っているとします。板は左右方向にのびているとします。この間に生じる定常波の、各方向への波長を考えます。板の所では、山は山として、谷は谷として反射されるとします(自由端境界条件)。上下方向(板に垂直な方向)の波の波長を考えます。この場合には、上下方向の波の波長λTは、板どうしの間隔aと関係してきます。板のところが(上下方向にみたときの)定常波の腹になるからです。節の数nが多いモードほど、上下方向の波長λTは短くなります。(この項と、関連する以下の部分にケアレスミスがあったので、ちょっと書き直しました。左右方向(板に平行な方向)の波長λLは、上下方向の波長が決まれば自動的に式(*)から決まります(下に再掲)。(*)節の数nが多いモードになるほど、λTが短くなり、λLは逆に長くなります。最初に示した図からわかるように、このことは、波の進む方向が、左右方向からだんだんと上下方向へと傾くことを意味します。上下方向の節の数が多いモードというのは、管の内壁で何回も反射しながら進む波に対応しているのです。図から明らかなように、上下方向の波長λTは、音の波長λを越えて小さくなることはできません。これを式★とあわせて考えると、十分に大きなnに対しては関係(*)を満たすような進行波は存在しないことがわかります。この事情は、屈折の法則を満たす屈折角がない状況で全反射がおきることに似ています(前回の解説を参照)。この場合、遠方まで届く屈折光はなく、境界付近からわずかに漏れ出す光は、境界から離れると急激に減少するのでした。気柱の場合には、これは管口付近にだけ存在し、奥へ進むと振幅が急激に減衰するモード(指数減衰モード)に対応しています。ふつう気柱共鳴に使うのは、音の波長λに較べて細い管(aが小さい)です(λは数十センチ、aは数センチくらい)。そのような状況では、さらに興味深いことがおこります。式★からわかるように、そのような管では、n=1のモードに対してすら、λTは波長より十分に小さいのです。事実上すべての斜めに進む波が、指数減衰モードに対応することになります。奥まで届くのは、真横に進む正弦波モードだけです。左右方向の座標をxとします。cos((2π/λL)x)のように書くことができます。λは波の波長で、Aは定数です(Aの値は上下方向の座標によって違いますが、いまは縦座標は一定として考えています)。上の式で、座標xがλLだけ増えれば、ちょうど位相(=cosの中の角度の部分=(2π/λL)x)が、2π(一周)だけ増えます。波長には、位相が2πだけ変わる長さ、という意味があります。指数減衰モードの減衰率を管の太さaで表すために、波数という量を考えます。2π/波長で定義される量で、場所による位相の変化の度合いの尺度です。2π/周期で定義され、時刻による位相の変化の度合いの尺度であるのと同様です。kL2の関係があります。この式は、ルートの中が正の量であると仮定して得られたものです。先ほど述べたように、狭い管(今は2枚の板です)ではaが小さく、ルートの中は負の量ですから、波数kLは虚数になってしまいます。x)には、なんらかの意味があるのでしょうか。■オイラーの公式(指数関数と三角関数の関係)実はこの問題は、数の範囲を複素数にまで拡張すると、三角関数と指数関数の間に関係が生じる、という深くて美しい数学に関係しています。isinθと表されます。i、自然対数の底eという、数学で重要な3つの定数の間にある、神秘的にすら見える関係式が現れます。詳しい説明は解説書にゆずり、ここではオイラーの公式を認めて話を進めます。上の式は、指数関数を三角関数で表す式ですが、逆に、三角関数を指数関数で表す式を求めてみましょう。cosθこれで、コサインを指数関数で表す式が得られました。各辺どうし引いて2で割ると、サインを指数関数で表す式も得ることができます。±pixを代入してみます。pixとおくことにしましょう。exp(+px))/2を得ます。この右辺の第1項は右方向へ減衰率pで減衰する指数減衰モードを表し、第2項は左方向へ同じ割合で減衰する項を表しています(注)。純虚数の波数は、減衰する定常波のモードの、減衰率を表していたのです。ようにサインとコサインの重ね合わせで表されます。exp(+px)の重ね合わせになります。重ね合わせの重みは、水面の位置(x=L)で振幅がゼロになるように選ぶべきです(固定端)。大きく、第2項のexp(+px)は無視できるほど小さくなります。}となります(k=2π/λ)。ここで、nは板の間に存在する節の数を表します。ふつう、波長λに較べて管の幅aは十分に小さいとみなせます。−...)で近似できます。あって、減衰率は幅aが減るとともに、幅aに反比例して増大します。管の幅が狭いほど、減衰率は大きいのです。この結果は、2枚の平行板が「管」をなす場合に導かれたものですが、定性的には任意の形の断面をもつ管で成立します。次回は、上の結果を基にして、開口端補正の長さΔを管の幅aで表す表式を導きます。できれば円筒形の管も扱いたいと思っています。指数減衰モード(1)5回目の今日は、気柱内の管口付近に局在する定常波のモード(指数減衰モード)についてお話しします。管内の定常波については、おなじみの正弦波モードだけに注目するのがふつうです。前回の考察で示したように、共鳴している気柱において開口端補正の長さが決まるメカニズムには、指数減衰モードが重要な役割を演じています。前回の考察はちょっと式に頼りすぎ、あまり物理的イメージが伝わらなかったかも知れないので、今回は最初に、開口端補正の長さと指数減衰モードがどう関係しているのかを直観的に説明したあとで、指数減衰モードが生じるわけをお話ししたいと思います。指数減衰モードは管口付近に局在する定常波の振動モードです。その振幅は管口のところで一番大きく、奥へ入るにつれ急激に減少します。振幅の減少は単調で、正弦波モードのように、節(振動しないところ)はありません。開口のところが腹(つまり開口端補正がゼロ)であるような正弦波モードをコサインモード、開口のところが節(つまり開口端補正が波長の1/4)であるような正弦波モードをサインモードと呼ぶことにします。現実の管に生じる正弦波モードは、コサインモードとサインモードをある割合で足し合わせたものです。後者の割合が大きいほど、開口端補正は長くなります。この正弦波モードに、さらに指数減衰モードをある割合で足し合わせたものが、管内の実際の定常波になります。指数減衰モードは管口付近でだけ大きな値を持つので、コサインモードとの重なりが大きく、サインモードとはあまり重なりがありません。コサインモードに指数減衰モードを逆の符号で重ね合わせれば、両者が打ち消し合って、管口付近で振幅の小さな定常波が生じることになり、管壁でのまさつによるエネルギー損失を小さく抑えることができます。これが、管口付近がだいたい(正弦波モードの)腹になる理由です。詳しく考えれば、指数減衰モードにコサインモードだけを(逆の符号で)重ねあわせるときより、少しのサインモードを追加で加える方が、よりエネルギー損失を小さくできるのです。これが、開口端補正が生じる理由です。追加すべきサインモードの割合は、指数減衰モードの具体的な形によって決まります。このあとで見るように、その形は管の太さ(幅)によって変わるので、管の太さが開口端補正の長さに関係してくるのです。管が太いと、指数減衰モードの振幅は管の奥へ進んでもゆっくりとしか減少しません。この場合にはコサインモードとの重なりが大きく、開口端補正はゼロに近くなります。逆に、管が細いと、指数減衰モードは管の奥へいくにつれ、急激に減少します。この場合にはサインモードとの重なりが相対的に増え、開口端補正は大きくなります。管が無限に細い場合には、開口端補正の長さは波長の1/8になるのです。■全反射とはまず、管口付近に指数減衰モードが生じるわけを、高校物理でおなじみの全反射のたとえを使って直観的に説明します。そのあとで、同じことを数式を使って説明します。全反射は、2つの媒質の境界で起きる現象です。普通は境界面で、透過と反射の両方が起きるのですが、波が入射する角度によっては、反射だけになって透過が起きない場合があります。透明な液体中を進んできた光が液面に斜めに入射した場合、ふつうは一部が液面で反射して液体中へと戻り、残りが空気中へと透過(屈折)します。反射する光は反射の法則(入射角=反射角)を満たす方向へと反射します。屈折する光は屈折の法則(スネルの法則)を満たす方向へと進みます。図は、液面に入射する光線の一部を何億倍にも拡大したものです。光の波長(数百ナノメートル)が目に見えるくらいまで拡大しています。図の矢印が光の進行方向を、平行な線が光の波の山(や谷)を表します。2:1屈折する方向は、図のように2つの媒質それぞれの中での波長の比率によって決まっています(図では、下側の液体中での波長が、空気中での波長の半分であるとしています)。2:1」という関係を満たすことができない、ということがわかると思います。この場合には、透過(屈折)は起きず、反射のみが起きます(図がごちゃごちゃするので、反射する波は書いていませんが)。透過光がないといっても、実際には液面近くの空気中には、ごくわずかに光はもれだしています。その強度は液面から上へと進むと急激に減衰するので、空気中の離れたところまでは事実上、届かないのです。その様子を、ホイヘンスの原理から見てみましょう。上の図からわかるように、液面には下方から次々に波がやってきます。ある時刻に、液面のある場所は山、隣は谷、その隣は山といった具合です。液面の各場所は少しずつずれた位相で、同じ周期で振動しています。それが新たな波源となって、球面上の波を四方八方に送り出します。液面の下側の十分に離れたところには、水面の各部からの波が到達します。ある場所は、ちょうど液面各部からの波が同じ位相で到達して、強めあう点になっています。その場所がちょうど、反射光が到達するところで、反射の法則を満たす方向の延長上の点です。他のたいていの場所は、水面各部からの波がばらばらの位相で到達するため、波が打ち消し合ってしまいます。そのような場所は、反射の法則を満たす方向の延長上にはありません。液面の上側、空気中の十分に離れたところでも同様な議論ができます。液面各部からの波が同じ位相で到達して、強めあう点がちょうど、屈折光が到達するところで、屈折の法則を満たす方向の延長上の点にあたります。ところが、液面に下方から入射する光の角度が浅い場合には、液面の各点の振動の位相の場所による違いが、空気中の波の波長よりも速いペースで変わってしまうため、液面の上側の空気中の遠くの点で、液面各部からの球面波が同じ位相で到達して強めあうことが、決して起きなくなってしまうのです。そのために、屈折光(透過光)が遠方まで届きません。全反射が起きている場合でも、液面に十分に近い空気中の点では、ごくそばの液面からの球面波が、他の部分からの球面波によって打ち消されず、少しだけ残るので、いくらかは光が届きます。これが液面からわずかに漏れ出す光です(気柱での指数減衰モードに対応)。液面から離れると、液面の各部からの光がほとんど完全に打ち消しあうので、漏れ出す光の強度は急激に弱まります。上で見た全反射では、波が斜めに進んでいます。実は、気柱内でも波は斜めに進んでおり、それが指数減衰モードの生じるわけに関係しているのです。定常波は一般に、逆方向に進む2つの波の重ね合わせとみることができます。ふつう、気柱内の定常波は、気柱の奥の方へと進む波と、奥の固定端(水面など)で反射して管口に向かって戻る波を重ね合わせたもの、として説明されます。気柱内の定常波のうち、正弦波モードについてはこの理解でOKです。指数減衰モードの方は、管壁で反射しながら斜めにジグザクに奥の方へと進む波と、同様に反射しながら管口へと戻る波を重ね合わせたものとして理解できるのです。簡単のため、2枚の広い平面板が距離aを隔てて平行に向かい合っており、外から斜めに入射して、その間を反射しながら奥の方へと進む、波長λの波があるとしましょう。平面板は、波の山を山として反射するとします(自由端)。図がごちゃごちゃするので、右の方にある固定端で反射して戻ってくる波は書いていません。定常波が生じているなら、その戻ってくる波の山や谷は、上の図の入射波とうまく重なって、進まない波ができているはずです。山と山が重なるところは定常波の腹、山と谷だと節です。上の図の状況では板の間隔aに較べて波長λが小さいので、左の管口のところで、上端が定常波の腹で、下端も腹になっており(中央にも腹が一個あります)、自由端の条件を満たしています。波長λが同じで板の間隔aが上の状況の半分になっても、上端が腹、下端も腹で、間には腹がない状態で、自由端の条件を満たすことができます。半分よりほんの少しだけ板の間隔が狭くなったらどうでしょうか。この場合には、そのままでは自由端の条件を満たすことはできませんが、もし、波がもう少し下の方から深い角度で入射するならば、自由端の条件を満たすことができるでしょう。間隔aが狭くなったらどうでしょうか。この場合にはもはや、波が斜めからどのような角度で入射しようとも、自由端の条件を満たすことができません(注)。言いかえれば、反射を繰り返して奥へ進むにつれ、いろんな場所で反射した波どうしが打ち消し合って、振幅は急激に減衰するのです。これが管口付近に指数減衰モードが生じるわけの、直観的な説明です。注:真横から波が入射する場合は例外的です。この場合には、自由端の条件は常に満たされます。これが正弦波モードです。減衰の程度と間隔aとの関係の定量的な話をこのあと書くつもりだったのですが、眠くなってきたので、次回にします。