[8]ハミルトンの代数的な見方に対するこだわりは、複素数をさらに拡張した四元数の発見へと結び付いた。代数的な姿をより明確にする特徴付けは、体および多項式の概念に基づく構成によって示される。体とは有理数全体の成す集合のように四則演算ができてよく知られたいくつかの性質を満たすものである。通常の多項式の和および積に関して多項式環と呼ばれる環を成すことに注意する。含む体となることは示すことができる。二つの平方根として含む。よって表すならば、この体における(抽象代数学的に与えられた)加法および乗法は前節で述べた(形式的に与えられた)加法と乗法の定義式に整合する。(a,b\in\mathbb{R})[/math]により、複素数を行列で表現することができる。複素数の加法および乗法は、この対応によって通常の行列の和(English版)および行列の積に写される。複素共軛は行列の転置に対応することが確認できる。上の(原点を中心とする)相似拡大(English版)と回転の合成を引き起こすことに対応する。テンプレート:Absテンプレート:Expは対応する複素数の絶対値の平方である。−1-倍となる任意の行列に取り換えて、別の行列表現が無数に考えられる(後述、また実二次正方行列の項も参照)。values."「複素解析」"複素変数の函数の研究は複素函数論と呼ばれ、純粋数学の多くの分野のみならず応用数学においても広汎な応用がもたれる。実函数論や数論等における命題の最も自然な証明が、複素解析の手法によって為されることもしばしば起こる(例えば素数定理。代数学の基本定理のルーシェの定理による証明)。実函数が一般に実二次元のグラフとして視覚的に理解することができたのとは異なり、複素函数(English版)のグラフは実四次元となるから、その視覚化に際しては二次元や三次元グラフ(English版)に色相(もしくは明度や彩度、輝度)による次元を加えたり、あるいは複素函数の引き起こす複素数平面の動的な変換をアニメーションで表したりすることが有効になる。実解析における収斂級数や連続性などの概念は、いわゆるε-δ論法において実数の絶対値を用いたところを複素数の絶対値で置き換えることにより、複素解析においても自然に考えられる。複素数列が収束するための必要十分条件は、その実部および虚部の成す実数列がともに収束することである。|z_2|[/math]が成立する。対して無限個の複素解を持つ。i\arg(w)[/math]と表すことができる。整数倍を加える違いを除いて一意であるから、複素対数函数もまた多価函数である。範囲にあるように制限したものを取ることが多い。z)[/math]として定義される。対数函数は多価であったから、その結果として複素数の複素数乗も一般には多価になる。一般には成り立たない)。一般に、対数函数の適当な枝をとって一価函数として扱うとき、実数の実数乗の場合に成立していた指数法則や対数法則は、複素数の複素数乗では一般に成り立たない。複素数である場合には一般には成立しない。正則函数であるとは、それがコーシー–リーマン方程式を満足するときに言う。とき、かつそのときに限る。実函数として微分可能だがコーシー–リーマン方程式を満たさず複素微分可能でない。複素解析には実解析に無いいくつかの特徴がある。任意に小さな開集合上で一致するならば、それらは全体でも一致する。ことができ、正則函数といくつかの特徴が共通する。