owner【1変数】数列の収束と発散の定義を解説ツイートシェアはてブLINEPocket今回は、1変数の実数について数列の定義からはじめて、数列の収束と発散についても定義します。最後に、「収束する数列は有界である」定理を証明します。数列の定義まずは数列を定義します。\tag{1}$$のように書きます。この数列\(\{s_n\}\)の\(n\)番目の数を、第\(n\)項や一般項などと呼びます。数列の項\(s_n\)が、十分大きな\(n\)に対してある数\(s\)に任意の近さで近づくとき、この数\(s\)を数列の極限といいます。「十分大きな」や「任意の近さで」などの表現では曖昧なところもあるため、厳密に言い表し直す必要があります。このことを踏まえて、改めて数列の収束を定義しましょう。\tag{3}$$とかく。このとき、\(\forall\)は「すべての」を、\(\exists\)は「ある~が存在して」を意味していて、量化子と呼ばれる記号です。式(2)を日本語で言い換えると、すべての正の数\(\varepsilon\)に対してある自然数\(N\)が存在して、\(N\)以上の自然数\(n\)において\(s_n\)と\(s\)の差の絶対値が\(\varepsilon\)よりも小さくなる。数列の発散また、どんな\(s\)に対しても式(4)が成り立たないとき、数列\(\{s_n\}\)は発散するといいます。\tag{5}$$とかく。定理1(数列の収束と有界)数列\(\{s_n\}\)が収束することは、数列\(\{s_n\}\)が有界であるための十分条件である。\tag{6}$$を満たす。式(6)は、「ある数\(B\)が存在して、すべての自然数\(n\)に対して\(s_n\)の絶対値が\(B\)以下である。仮定より数列\(\{s_n\}\)は収束します。1\)となるような自然数\(N\)が存在します。|s|\end{align}$$を得ます。\{\cdot\}\)は\(\{\cdot\}\)内の最大値を返します。一方で、数列\(\{s_n\}\)が有界であっても、数列\(\{s_n\}\)が収束するとは限らないことを示します。\tag{7}$$は\(B=1\)で有界であると分かりますが、収束はしませんね。よって、数列\(\{s_n\}\)が収束することは、数列\(\{s_n\}\)が有界であるための十分条件になります。(証明終)もう1つ有益な定理を紹介しておきます。背理法により示します。>B\)を仮定します。-B$$が成り立ちます。求核置換反応と脱離反応、どちらが起こるのかRECOMMENDこちらの記事も人気です。