代数学の基本定理の証明はざまざまなやり方があり、例えばリューヴィルの定理などを用いる解析的な方法や、巻き数などを使う位相的な証明、あるいは奇数次の実係数多項式が少なくとも一つの実根を持つ事実にガロワ理論を組み合わせた証明などがある。任意の空でない複素正方行列は少なくとも一つの複素固有値を持つ。なるという意味である。上の超越次数は連続体濃度に等しい。(前の節を参照)を満足する。同型であることが示せる。自身に同型な真の部分体を無数に含むことがわかる。複素ピュイズー級数(English版)体に同型である(が、その同型を決めるには選択公理が必要となる)。代数的側面のみならず、近傍や連続性などの解析学や位相空間論の分野で考慮の対象となる性質も備えている。適当な意味で収束の概念を考えることのできる位相体を成すことに注意しよう。加法、乗法および逆元を取ることについて閉じている。