注意すべき点として、実数体にケイリー–ディクソン構成を施したことにより、順序に関する性質が失われていることである。高次元へ進めば実数や複素数に関してよく知られた性質が失われていくことになる。O、の4種類しかない(フルヴィッツの定理(English版))[15]。ケイリー–ディクソン構成の次の段階で得られる十六元数環ではこの構造は無くなってしまう。R-線型空間と見ての)の正則表現と近しい関係にある。wz[/math]とすると、これは線型代数学でよく知られた仕方によって(適当な基底を選ぶことにより)、行列で表現することができる。[/math]で表現される(つまり、行列表現の節で述べた行列に他ならない)。標準的な線型表現だが、唯一の表現ではない。上に別の複素構造を与える。これは線型複素構造(English版)の概念によって一般化することができる。