owner【1変数】リーマン積分の定義と判定条件・リーマン和をわかりやすく解説ツイートシェアはてブLINEPocket今回はリーマン積分を定義し、リーマン積分が可能であるための必要十分条件に関する定理を紹介します。この記事では、以下のように有界な関数\(f\)を仮定します。\tag{1}$$を満たしているとします。いうのも、このように有界な関数に限って考えないと、リーマン積分を定義するにあたってダルブー和が定義できなくなってしまうからです。この仮定が成り立たない関数については、別の記事で解説します。それでは、有界な関数\(f\)のリーマン積分を定義しましょう。そのために、まずはダルブー和の定義と関連する2つの補題を証明します。リーマン和ダルブー和の定義まずは閉区間\([a,b]\)を小さい部分区間に分割します。x_n\}$$を置きます。$$をそれぞれ、下ダルブー和と上ダルブー和と定義します。\tag{2}$$です。S(D)\)となっていて、関数\(f\)の積分をこれら2つのダルブー和で挟むのが定義の方針です。\([a,b]\)の分割\(D^\prime\)が\(D\)の点をすべて含むとき、\(D^\prime\)を\(D\)の細分といいます。分割\(D\)に点を1つ加えると、下ダルブー和の値は大きくなるか変化しません。上ダルブー和の値は小さくなるか変化しません。したがって、上の補題1が得られます。S(D_2)$$が成り立つ。S(D_2)$$が得られます。上の2つの不等式を組み合わせれば補題2の不等式が得られます。これら2つの補題から分かることがあります。補題2の不等式が、分割\(D_2\)の固定された任意の分割\(D_1\)に関する式であると捉えるましょう。すると、\(s(D_1)\)は\(S(D_2)\)によって上から押さえられていることから、\(s(D_1)\)は上に有界であり、ゆえに上限が存在します。逆に、補題2の不等式が、分割\(D_1\)の固定された任意の分割\(D_2\)に関する不等式であると捉えるましょう。すると、\(S(D_2)\)は\(s(D_1)\)によって下から押さえられていることから、\(S(D_2)\)は下に有界であり、ゆえに下限が存在します。そこで、\(s(D)\)の上限を下積分、\(S(D)\)の下限を上積分と呼ぶことにします。加えて、下積分と上積分の記号を以下のように取り入れます。s(D)$$これでいよいよリーマン積分を定義することが出来ます。\mathbb{R}\)は、上積分と下積分が一致するとき、リーマン積分可能であるという。f(x)dx$$で表すことにする。有界関数\(f\)がリーマン積分可能であるための必要十分条件を与えます。\varepsilon$$である。上積分と下積分が一致するならば、下ダルブー和の集合と上ダルブー和の集合が任意の近さにあります。逆に、下ダルブー和の集合と上ダルブー和の集合が任意に近さにあるとすれば、上積分と下積分は一致します。よって、2つの仮定は同値の関係にあります。\varepsilon\)を満たします。\varepsilon\)を満たすことが分かります。有界関数\(f\)がリーマン積分可能であるための必要十分条件として、以下のような定理も与えられています。\varepsilon$$である。\delta\)を満たすすべての分割の集合である。証明まずは十分性を証明します。\varepsilon$$も満たすことが分かります。したがって、先に証明した定理1より十分性は成り立ちます。次に、必要性を証明します。\}\)をとることが出来ます。s(D)\)を置きます。\tilde{D}\)を作ることを考えましょう。s(D^\prime)\)とします。x_{i+1}\)の評価が得られます。\tag{4}$$となります。\varepsilon\)を満たします。\end{align}$$を得ます。\(\Delta\)の値を任意に小さくすることが分かったので、必要性も成り立ちます。\xi_n\)をとります。$$をリーマン和といいます。F_i\)の評価を得ます。S(D)\)も成り立ちます。0\)のときの\(\sigma\)の極限はリーマン積分になります。f(x)dx$$です。解析学ツイートシェアはてブLINEPocketfeedlyクロロ反応剤によるケトンやカルボン酸などのカルボニル化合物への酸化反応カルボニル化合物のヒドリド還元によるアルコールの合成法RECOMMENDこちらの記事も人気です。