場合の数は、以下の式で表せます。2行2列分を通って元に戻るルートが2つある場合がある。(選んだ2行2列と残った2行2列が、入れ替わった場合は、重複して数えているので、2で割る必要がある。2行2列分を通って元に戻るルートと3行3列分を通って元に戻るルートがある場合がある。(3)従って、である。自然数には素数と合成数がある。1は素数でも合成数でもない。ここで、合成数であり、自然数が2、3、5のいずれでも割り切れないとき、準素数と呼ぶことにする。準素数を小さい順に3つ挙げると、49、77、91です。2011以下の素数は305個ある。2011以下の準素数はいくつあるか。注:この記事に関する投稿の掲載は、2011年9月26日以降とします。夜ふかしのつらいおじさん【1】それぞれ3×4=12乗して下線部の差をとります。途中、相加平均と相乗平均の関係を使います。乗して下線部の差をとります。}のところが正であることを調べます。}の部分は、となり係数の1つ分が余ります。}に移していき、として考えます。}のところが正であることを調べます。}の1重下線のところを計算します。わずらわしいので、係数、底、指数を次のように表すことにします。以上から3つになっても成立が確認できました。夜ふかしのつらいおじさん●試合結果を次のように表すことにします。勝ちは、連勝数で、負けには連敗がないので、ハイフン「-」で表します。{×○○×○×}は、{-2-1-}とします。●勝ちが多い順に考えていきます。・15勝以上はありません。・14勝6敗は、次の場合以外ありません。{2-2-2-2-2-2-2}の1通り・13勝7敗は、次の場合です。56通りなので、計70通り・12勝8敗は、次の場合です。84通りなので、計245通り・11勝9敗は、次の場合です。{2-1-1-1-1-1-1-1-1-1}は、1の位置を考えて、10通りなので、計138通り・10勝10敗は、次の場合です。{-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1}の1通りなので、計11通り・9勝以下はありません。●以上465通りです。マス目に、◯をいれる。△ABCにおいて、BC//B’C’とします。・右上の図で頂点Aから辺BCに直線を引きます。すると、△AB’P’∽△ABPなので、AP’:P’P=B’P’:BPです。同様に、△AC’P’∽△ACPなので、AP’:P’P=C’P’:CPです。よって、B’P’:BP=C’P’:CPです。(B’P’・CP=C’P’・BP)表現を変えると、B’P’:P’C’=BP:PCとなります。・右中の図でBC’とCB’の交点をXとします。AからXを通り底辺BCに直線を引きます。すると、△XC’Q’∽△XBQなので、XQ’:XQ=C’Q’:BQです。同様に、△XB’Q’∽△XCQなので、XQ’:XQ=B’Q’:CQです。よって、C’Q’:BQ=B’Q’:CQです。(C’Q’・CQ=B’Q’・BQ)表現を変えると、B’Q’:Q’C’=CQ:QBとなります。上の内容から、右中の図について、B’Q’:Q’C’=BQ:QCです。辺ABを延長し、延長上に適当にYをとります。・YCとADの交点をPとします。・BPとACの交点をXとします。・YからXを通りBCに線を引きます。・すると、MがBCの中点です。辺の中点が簡単にとれます。夜ふかしのつらいおじさん○NO.1962の解答をみたあとで作りました。この素晴らしい解答は、25の剰余を使っていますが、25進数を考えてもいいかなと思いました。同じ内容になりますが。●25進法で数を表すことを考えます。0から24を表す数字を次のように決めます。}例えば、24はQ、25は10、50は20、55は25となります。(下線が25進法で表した数です)●n日目に読む本の冊数をf(n)で表します。1日目からn日目まで読んだ合計の本の冊数をg(n)とします。g(n)=f(1)+f(2)+・・・+f(n)です。ここで、25進法で表したg(n)の下1桁に注目します。便宜的に、g(0)=0とします。g(n)は、g(0)からg(31)まで、32個あります。数字は25種類あるので、最低でも32−25=7個は、下1桁が同じです。下1桁が同じで差g(n)−g(m)が50(20)になるのは次の6通りです。�E50−0(20−0)問題の内容から、これら6通りのそれぞれは2個以上あることはありません。これら以外は、差をとると、25(10)になります。最低でも1組は差が25(10)になるところがあります。n−m−1個の合計が25(10)となります。