【超簡単】極限って何?数学のリミットが意味することを図的に理解してみよう。勉強法とオススメの参考書をレベル別にまとめてみました。何?数学のリミットが意味することを図的に理解してみよう。授業で習った極限って、結局「代入すればいい」みたいな感じだったけど、どうなの?それはかなり危険な理解で、今後の数学の意味が全てわからなくなる危険性さえあるよ。楓イメージと一緒に理解すると、全く難しくありません。極限というのは、簡単に説明すると2つの点を、一方の点を動かすことで近づけるということをイメージしています。この近づける、というのはかなり微妙なニュアンスを含んでいます。点Bを点Aに近づける場合、点Bは点Aと完全に重なることはありません。楓2点間の距離は、\(0.000\cdots\)と無限に0に近づくけど、決して0にはならないってとこが大事。数直線上において、『点Bを点Aに近づける』という考え方でも、右から近づくのか、左から近づくのか、が考えられます。楓どっちから近づけるか、は主に関数の極限で考えるよ。このような極限の考え方に何の意味があるのでしょうか。実は数学の計算には「\(x=1\)だと困るけど、\(x=0.999\cdots\)だと嬉しい」ことがたくさんあります。これについては、後述する『極限を考えるメリット』でご紹介します。数列の極限と、関数の極限の違いについてお話しします。数列の極限は、基本的に番目がどんどん大きくなっていったとき、数列が全体的にどんな値に近づくかを考えます。このとき、数列を関数のグラフだと思って考えるとイメージしやすくなります。数列\(a_n=2n\)において、番目\(n\)をどんどん大きくしていった場合、$$2,4,6,8,\cdots,$$と各項の値は無限大に大きくなっていきます。\infty$$のように表します。楓まぁ、グラフ見りゃずーっと大きくなるだろうねって感じ。一方で、数列\(b_n=\frac{1}{n}\)において、番目\(n\)をどんどん大きくしていった場合、$$1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,$$と各項の値はどんどん小さく、最終的に0に超近くなっていきます。0$$のように表します。小春グラフを考えると、値がどんどん小さくなって最終的に0に近づいていきそうなのがわかるね。収束するときは必ず極限値と呼ばれる、『大体この値に近くなる』値が必要だよ。\(b_n\)の場合、極限値は0だね。数列の極限について、詳しくは別記事で取り扱います。関数の極限は、数列の極限と基本的には同じですがより広い意味で扱います。\frac{\pi}{2}\)といった特定の値に近づけることも考えます。厄介なのが、近づけ方を考える点です。冒頭でも書いた通り、関数の極限では『右から近づけるのか』、『左から近づけるのか』まで考慮します。次のグラフの\(x=3\)付近の値について考えてみましょう。右から近づける→点Bに収束と、極限値が異なることがわかります。このように近づけ方によって極限値が変わる場合、関数の極限では極限がないものとして定義します。そのため、グラフをイメージできる人がこの単元は強くなります。ちなみに数列の極限は\(n\rightarrow\infty\)のみを考え、\(n\)が自然数しかとらないことから、この極限が一致しない問題は起きません。関数の極限について、詳しくは別記事で取り扱います。数IIIをする人は是非ご覧ください。冒頭でも話しましたが、極限を考えていいことがあるのでしょうか?数学では極限という考えが出現してから、『等しくなる』と『近くなる』は明確に区別されました。『近くなる』ということが数学的に定義できたことで、数学の世界で「〜とみなすことができる」という妥協がOKになりました。1つ簡単な例を見てみましょう。数学では\(\frac{1}{0}\)という数は存在しません。証明\(\frac{1}{0}\)という数が存在すると仮定する。0をかけて0以外の数になるような\(a\)は存在しない。以上より、\(\frac{1}{0}\)という数は存在しない。ここで、関数\(f(x)=\frac{1}{x}\)の\(x\)を右から0に近づけてみましょう。すると、グラフを見てもらうとわかる通り、\(f(x)\)はどんどん大きくなっていきます。\(x\)を0に近づけると、関数\(f(x)\)は無限大に発散するということが言えます。0}\frac{1}{x}=\infty$$と書き表すことができますね。0}\frac{1}{n}はどんどん大きくなることを表す$$(※見切れている場合はスクロール)というわけで、特別に\(\frac{1}{0}\)を考えられるわけです。極限基本講座|極限の計算にはウソがあるここまでみてきた極限ですが、極限の計算方法が結構厄介なので、ここで紹介しておきます。極限で初めて出てきたリミットには、分配法則のような性質があります。その分配法則が成り立つのは、収束する時のみという制限が設けられています。かかわらず、理系脳の方たちは、この条件を無視して解答にたどり着くことができます。この計算方法が大きな分かれ目なので、こちらの記事でじっくり紹介しますね。楓それでは覚えておくべき事柄をまとめましょう。まとめ数列の極限は\(n\rightarrow\infty\)のみを考える。グラフを意識すると考えやすくなる。関数の極限は\(x\)をいろんな値に近づけることができるが、近づけ方も考える必要がある。極限を考えると数学的に「おおよそどんな値になるか」を考えられる。極限の理解は、高校数学のうちでは直感的なもので十分です。N\)論法というものを使います)。それゆえ、数学の中ではイレギュラーな『証明は詳しくわかんないけど、公式だけ覚えて解いてね』というニュアンスが感じられます。言っても、大学で数学を学ぶ上でもこの直感は非常に大事です。極限が何を意味しているかをぜひ理解してください。以上、「イメージできる極限」でした。差がつくポイント、役立つテクニックなど総まとめ2【感覚で理解できる!】常用対数とは?意味と使い方を徹底解説!!3自然対数、ネイピア数とは?なぜあの定義なのか、何が自然なのか。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。*サイト次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。新しい投稿をメールで受け取る関連記事sinの極限と応用公式|三角関数の極限の不定形はこいつで対処しろ【不定形】種類・なぜ解にならないのか・回避方法をまとめました。【収束・発散の速さ】絶対に覚えておきたい極限の裏公式|見た瞬間に極限がヒラメク!【はさみうちの原理】の使い方や、使う問題の見分け方を直感で分かるようになろう【分数関数収束の必要条件】暗記なし!「分子が収束することが必要である」に隠された本当の意味PREV【微分可能とは?】連続性とイメージが大事。かえで)半年で理転し、志望校もオールA判定の高校3年生。小春の熱意に負け、数学を教えることになる。意味のない暗記数学をかなり嫌う。こはる)あるきっかけから、理転を目指すことになった高校3年生。高2の時点で高校数学全範囲を網羅した楓(かえで)から数学を教わる。ちなみになんちゃって制服。差がつくポイント、役立つテクニックなど総まとめ2【感覚で理解できる!】常用対数とは?意味と使い方を徹底解説!!3自然対数、ネイピア数とは?なぜあの定義なのか、何が自然なのか。