サービスは、全てオンラインで受講が可能です。地方の方、仮面浪人の方、社会人受験の方など、広く皆さんにご受講いただけます。)まずはいつも通り問題をどうぞ。東大理系では昔から空間図形が頻出だと言われています。物凄い難問が含まれます。(一方で、易しい問題もありますが。)その点で、この問題は実に東大らしい問題だと思いますね。・空間図形ばかりでなく、別単元の考えも用いるなどなど、よく練られた問題だと思いました。入試で出題されたら、得点し辛いような気もしますが、これからの受験生にとって練習問題として非常におススメ。解いていない方は、ぜひチャレンジしてみて下さい。(1)切断=次元下がる、移動=次元上がるでは(1)から見ていこうと思いますが、(1)は図形が共通する条件。実は、この問題が一番重たかったりします。空間図形の超重要な定石の手段として「切断して平面図形にする」というのがありますが、ここでも非常に効果的です。ちなみに、座標を一つ固定するとか、z=tの平面で考えるとか、全て切断してるのと同じです。空間図形を切断すると平面図形になりますから、グッと解きやすくなるということです。ちなみに、切断すると次元が一つ下がり、移動すると次元が上がります。言い換えれば、切断は次元を一つ下げる行為で、移動は次元を一つ上げる行為なのです。この問題は、球が移動しているので4次元になるかと思いきや、4時限目の時間は固定されている(別に時間の前後を意識しなくて良い)ので、結局3次元の問題です。xyzどこの軸で切断する?次にどの軸で切断するかの判断なのですが、皆さんは何を基準に判断してますか?今回はV1とV3の共通部分の体積を求めるのですが、ポイントはどの軸に対して動いているか、を考えること。V1とV3の移動に関係ないy軸方向で切断するのが良いyのです。y軸で切断するということで、y=tを代入してみると、その切断面が円になります。球を切断したら、必ず円になりますから。最終的に求めるのはV1とV3の共通部分ですが、いきなりでは難しいので別々に書いて考えるのも良いでしょう。空間図形は紙に図示するのが難しいからと言って、頭の中で空間図形をイメージして取り組む人が多いですが、紙に描いた方が圧倒的に解きやすくなります。いうか、空間図形の問題の解答力は、紙に書く力とかなり相関があるような気がしますね。半径で場合分けさて、y=tの切断面には円が二つ登場するわけですが、同一平面上に書こうとすると半径の大きさが気になるはず。そこで、半径を場合分けして図を描けば、(1)が解けます。手書きの解答をどうぞ。(2)円が図形を含む条件=中心から遠いところを探す(2)は、(1)の延長の問題です。今度はV2が登場しますので、先ほどの図にV2を書き込もうとすれば、方針が立ちます。V2が、V1かつV3を含むということで、先ほどの共通部分の中で、中心から最も遠い場所を探せば答えが出ます。円は中心からの距離が等しい点の集合ですから、図形的な処理をする場合、中心からの距離を考えるのがセオリーです。常に+不等式=最大最小問題さて、ここでは2次不等式が出ますが、2次不等式が常に成り立つ条件ですね。これは最大最小問題にすり替えて解きます。「クラス全員が赤点ではない」条件は、「クラスの最低点が赤点ではない」と言い換えられます。これと同じで、「f(x)≧0が常に成り立つ」条件は、「f(x)の最小値≧0」と同値なのです。この言い換えは、かなり使えます。頻出ですので、ぜひ知っておきましょう。(1)よりは解きやすいような気がしますが、突然の2次不等式に驚かないように。次に(3)ですが、結論から言うとド・モルガンの法則を使います。この発想が中々出ない方も多いのではないでしょうか?空間図形と絡める問題は非常に珍しいですので、個人的にはとても興味深いと思いました。どこから連想するかと言えば、やはりSとTの定義からでしょうか。SはV1の体積で、TはV1かつV2の体積ですが、これだけで全体の体積を求めるということは、V2の体積とかV3の体積、それらの共通部分など、難しいところもSとTを使って求められるはず。この辺りから、集合を発想するのでしょうね。難しいなぁでは、手書きの解答です。(4)計算のみ!最後の(4)ですが、(3)まで解けてしまったら、(4)はもらったようなものでしょう。SとTを求めれば答えが出ます。興奮して手が止まらないのではないでしょうか?Sは簡単に求められます。TはV1とV2の共通部分ですが、これも慣れていれば簡単。言っても、Tを求めるだけでもそこそこ難しい問題なんですけどね。(1)と同じように、切断してから図を描けば解けるでしょう。最後に計算をして終わり。計算ミスが誘発されそうな雰囲気ですので、ご注意を。まとめさて、さいごに一言ですが、ここまで読んできて(1)や(2)が解けなくても、(3)と(4)が解けるのに気づいたでしょうか?東大は、小問構成の場合が多く、それらが誘導問題になっています。(1)が解けなくても(2)が解ける場合も見受けられます。いつも言っていますが、ペンを持つ前に問題文を最後まで読むこと!(1)から取り組んで0点だった人も、(3)と(4)で10点くらいもらえるかもしれません。(特に(4)のSを求めるところなら、カンタン!)こういう、作戦面も含めて練習に良い問題でした。東大理系を目指すなら、今後必須の問題でしょう。サービスは、全てオンラインで受講が可能です。地方の方、仮面浪人の方、社会人受験の方など、広く皆さんにご受講いただけます。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。date*日本語が含まれない投稿は無視されますのでご注意ください。敬天塾のHPに掲載しているサービスに関する知的財産権その他一切の権利は著作権者に帰属します。著作権者に無断で文章や画像、動画等の著作物の情報を転載することは、法律で禁止されています。