ベイズ統計の区間推定を解説!頻度論との違いも!2018/06/222020/04/14ベイズ統計の区間推定を解説!頻度論との違いも!ベイズ統計ライター:古澤嘉啓TwitterFacebookベイズ統計にも頻度論的統計と同様に区間推定が存在します。このページではベイズ統計における区間推定について説明します。頻度論における区間推定の考え方について説明します。ひとつ例を考えて見ましょう。母分散既知の正規分布に従う標本からデータをn個取ってきたとき、母平均に関する区間推定は、有意水準を\(\alpha\)とすると、$$\bar{X}-Z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}\leq\mu\leq\bar{X}+Z_{\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}$$と表せられます。このような区間は信頼区間と呼ばれています。頻度論はパラメータを定数、データを確率変数として考えるので、上記の式を書き直すと、$$変数\leq定数\leq変数$$となり、区間が変数となることがわかります。得られるデータによって区間が変動するのです。よって95%信頼区間は「データを得て100個の信頼区間を作ったとき、95個の信頼区間が真のパラメータを含む」というように解釈されます。対して、ベイズ統計ではパラメータを確率変数、データを定数として考えるので、上記の式は、$$定数\leq変数\leq定数$$と書き換えられ、区間が定数となります。ベイズ統計の区間推定では、真のパラメータがその区間に存在する確率そのものが得られます。このような区間は信用区間(確信区間)と呼ばれています。確率変数\(\theta\)の分布は事後分布によって与えられていますから、\(100(1-\alpha)\)%信用区間は以下のように与えられます。平均身長\(\mu\)を調べたい。日本人男性全員を調査することは不可能なので、無作為に標本抽出をした。このデータから日本人男性全体の身長を推測したい。(1)得られた標本から作成された95%信頼区間が\(160\leq\mu\leq180\)であった。(2)得られた標本から作成された95%信用区間が\(160\leq\mu\leq180\)であった。(1)今回作成された\(160\leq\mu\leq180\)という区間内に真の平均身長\(\mu\)を含む確率は95%である。「真の平均身長が165cm〜175cmである確率」などは存在せず、あくまでもこの区間内に真値を含むか否かでしか測れない。(2)真の平均身長\(\mu\)を確率変数とみなす。このとき、確率変数\(\mu\)が\(160\leq\mu\leq180\)の値をとる確率が95%である。「真の平均身長が165cm〜175cmである確率」などが存在する。得られたデータから、真の平均身長をとる値を確率的に推測できる。信用区間の定義は以下のようになります。信用区間\(\theta\)の\(100(1-\alpha)\%\)区間とは、$$P\{C|X=x\}=1-\alpha$$を満たすような部分集合\(C\subset\Theta\)である。\(\theta\)は連続型の確率変数とします。(HPD区間)の2つが有名です。両裾を等しく切り捨てる!\(\alpha_1=\alpha_2=\frac{\alpha}{2}\)と言うように\(\alpha_1\)、\(\alpha_2\)を選んだとき、得られる信用区間を等裾事後信用区間と言います。\(95\%\)等裾事後信用区間は以下のようになります。最頻値を含まない可能性がある等裾事後信用区間には問題点があります。それは信用区間を考えたとき、最頻値を必ずしも含まないというものです。指数分布を例に考えて見ましょう。指数分布における等裾事後信用区間は以下のようになります。取りうる確率が高い(信用度の高い)\(\theta=0\)の部分が信用区間に入っていません。これを信用区間に採用するのは議論の余地がありそうです。(HPD区間)という。\(k\)は$$P(C|X=x)=1-\alpha$$となるように選ばれる。式にすると難しいですが、考え方は簡単です。以下の画像のように、\(\alpha_1+\alpha_2=\alpha\)になるように\(k\)の高さを調整すれば良いのです。これは必ず最頻値を含みます。事後分布が単峰型でなくても扱うことができます。ベイズ統計における区間推定のまとめいかがでしたでしょうか。ベイズ統計の区間推定をまとめると次のようになります。・信頼区間(頻度論)...頻度論はパラメータを定数、データを確率変数として考える。よって、95%信頼区間は「データを得て100個の信頼区間を作ったとき、95個の信頼区間が真のパラメータを含む」と解釈される。・信用区間(ベイズ論)...ベイズ統計ではパラメータを確率変数、データを定数として考える。(HPD区間)...\(\alpha_1+\alpha_2=\alpha\)になるように\(k\)の高さを調整し切り捨てた形になる。G検定を取得するメリットを解説!最弱オセロを初めて攻略した天才オセロ高校生。TrendCOMMENTコメントを残すコメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。コメント*お名前*メールアドレス*プライバシーポリシーはこちら上に表示された文字を入力してください。