AB=3cm、BD=12cmです。次に、△BDFについて考えます。BC=4cm、CD=8cmです。述べる必要がありません。頂点Eの位置がどこにあろうと、問題は成立します。辺AC上の点を左からF、Gとする。△FEC:△GEC:△GDC:△ADC:△ABC=1:2:3:4:5より、これは、fc:(e+f)c:(e+f)(b+c):(d+e+f)(b+c):(d+e+f)(a+b+c)=1:2:3:4:5となる。(1/2sinCが全てに共通にあるので消しました。a:b:c=3:4:8となります。a+b+c=15より、b=4(これがxの値)となります。考えると、S(1),S(2),...,S(n)の比はそれぞれの水平の辺*斜辺の比です。したがって、1*(0+1)=0+1,1*(1+1)=1+1,2*(1+1/2)=2+1,3/2*(2+2/3)=3+1,8/3*(3/2+3/8)=4+1,のようになります。水平の辺(1),斜辺(1),水平の辺(2),斜辺(2),...の数列は、(1,1,1),1/2,2/3,3/8,8/15,15/48,48/105,...のようになり奇数番目は(2*4*...*2n)/(1*3*5*...*(2n+1))偶数番目は(1*3*5*...*(2n-1))/(2*4*...2n)となります(ただし、n=1のとき奇数番目=2/3、偶数番目=1/2に対応します)。数列からとった1、1/2、3/8が水平の辺の比です。8/8+4/8+3/8=15/8となり、分子に15が現れたので答えは二番目の分数の分子です。×4/3=4(答)となります。分子に下の三角形を分母にもってきた形でちょっときれいですね。(2項係数の中央の値)/(2項係数の和)の形になってこれもきれいですね。「相変わらず、短絡的だねぇ。「△ABFと△AFCの面積比が1:4で高さが等しいので、底辺BFとFCの比も1:4です。5分の4で12cmです。「次は、△DFGと△DGCの面積比が1:2で高さが等しいので、底辺FGとGCの比も1:2。「よくできたね、少年A。「そんなモーレツな名前はイヤですよ。ここはかっこよく、アンソニーっていうのはどうですかねぇ。「死刑にされたくないです。「どうも文句が多いな。mhayashiまとめ本当にたくさんの方から解答をいただきました。図を添えていただいた方も多く、心から感謝いたします。条件が少ないような感じもしますが、「面積を等分している」というのがかなり強い条件になります。三角形の面積を比較するには、底辺と高さの比を考えればよいということに思いいたれば、この問題は案外シンプルなものだということにお気づきだと思います。いい問題ですよね!!この問題は5つの三角形ですが、それを一般化するとどうなるか、小学名探偵さん、Toruさんが考えてくださいました。ここにもいろいろな数学の要素が見え隠れしています。