́が自然数になる場合線分APは小三角形の頂点を通ります。すると)30/3=10です。場合の回答は40となりました。頂点を何回通るのかという事だった気がします。因数により因数にAPを含む場合は頂点を通る。通る回数はn/APの既約分数の分母でnを割った数。因数にAPを含まない場合(APとnが互いに素)は上下段しか頂点は通らない。点を通らないようなPを選ぶことは可能でしょうか。まいましたが)・・・。この答えは不可能です。nとAPが互いに素とはならないからです。角形の頂点は通りませんね。央)でその数はnになることは自明です。正三角形がありますので合計します。(1+30)×30÷2+(1+29)×29÷2=15×60=900個です。BC=30BP=10である。この比率で通る直線は3段目の左側から1番目を通ります。6段目の左側から2番目を通ります。なると2つに分けられる正三角形は3段当たり4個と分かります。30÷3×4=40個です。(3)(直線QRが横切る辺ACと平行な直線+辺ABと平行な直線+辺ACに平行な直線—(重複した線三角形の数)×3で計算します。下の図は5段目までの図で黄色い部分が重複して数えますので差し引きます。26+26+3−2=53になります。3辺ありますので3倍します。いのタイルは最終段の数だけ使用しますので30段で終わりますので30枚使用となります。解答・その9(ペンネ−ム:転位反応)(1)小正三角形と正三角形ABCの相似比は1:30なのでそれらの面積比は、1:900∴小正三角形の数は900(2)正三角形ABCの頂点Aから3段目までの正三角形ADEを考える。正三角形ADEと正三角形ABCの相似比は1:10なので直線APは、辺DE上の点でDQ=1を満たす点Qを通る。正三角形ADEについて、直線APによって二つの部分に分けられる小正三角形は4個ある。∴正三角形ABCについては、4×10=40(3)求める小正三角形の数は、三角形QRSの周が小正三角形の頂点を通過するかどうかによって決まる。直線QRについて題意を満たす小正三角形の数は、(30−4)×2+1=53。題意を満たす小正三角形の数は何れも53。頂点Q、R、S近傍で各2つずつ重複して数えているため、53×3−6=153∴三角形QRSについて153x=1,2,3に対して、yは整数値を取らないので、直線QRは小正三角形の何れの頂点も通らない。直線QRについて題意を満たす小正三角形の数は、(30−4)×2+1=53。題意を満たす小正三角形の数は何れも53。黒と白のタイルは同数となるはずである。ところが、黒が465−435=30枚多いので、(あ)のタイルは30枚必要となる。作図すると、三辺はどの小三角形の頂点とも交わらず一辺につき53個の小三角形に関係している。解答・その11(ペンネ−ム:falcon@中学教師)<答え>(1)900個(2)40個(3)153個(4)30枚<考え方>(1)上の段から1個、3個、5個・・・と増えていきます。30段目には三角形の個数が59になるのでそれを全て足し合わせると900個となります。(2)直線APは3段ごとに小三角形の頂点を通過します。その3段の間に2つの部分に分けられる小三角形は4個あります。2つの部分に分けられる小三角形は10×4=40個となります。(3)三角形QRSの各辺は小三角形を1+2×26=53個通ります。単純に三角形QRSの辺の数から3倍して159個。これでは端々で重複して数えてしまう小三角形が2個ずつあるので、そのぶんを引いて153個。(4)いろいろなやり方で考えてはみましたが、30枚より少なくくが思いつかなかったです。30段あるので302=900個。(別解として、面積が900倍になるので900個。3段の正三角形を考えれば、4個が分割され、格子点を通るので、4/3×30=40個。できず、悩んでました(^^;;で、仕方なく背理法による方程式で証明することにしました。UTが平行になるような点Uを取ると、点Uも格子点になります。AU=x、UT=yとおくと、三角形の相似から、以下の式が成立します。26.667÷3.333=(x−3.333)÷y変形して、3.333x−26.667y=3.3332x、yは整数なので、これは矛盾です。よって、QR上に格子点はありません。RS、QS上も同様に格子点はありません。3、26、23で合計52個ですので、QRに分割される三角形の数は52+1=53個です。2つの線分によって分割される三角形が2個ずつあります。よって題意の個数は、51×3=153個。最下段を(あ)の図形で埋めてしまえば、後は(い)の図形で埋めることができるので30個。(市松模様に埋めてしまえば、これが最小であることもわかります。)解答・その13(ペンネ−ム:SOU)x軸を底辺y軸を左側の斜辺として見ます。方程式はy=-3x+30で、格子点を通る。26.667となるがこれはこの三角形の中で整数解を持たないので、yが1動く度に必ず2つの三角形を分断する。//(4)△を▲として、▽と色を分ける。(い)の図形はこの2つの三角形が組になっている。▲は▽よりも30個多いので、どんな取り方をしても、少なくとも30個の▲はペアが作れず余る。//解答・その14(ペンネ−ム:夜ふかしのつらいおじさん)(1)相似の関係にある図形の面積は対応する長さの2乗に比例します。よって、小三角形は900個あります。(2)AB:BP=3:1なのでAPは右の図のようになっています。上から3段目までで2つの部分に分けられる小正三角形は4個あります。よって4×10=40個です。(3)小三角形の底辺の左端から下に8個小三角形分左下に下がり底辺の右端を結ぶ線を引きます。1つ横線を下がるにつれ底辺は1/8(=0.125)ずつ増えていきます。(赤で表示)点Qがある小三角形においてQRが底辺のどの位置を横切るかを調べます。ところを横切ることがわかります。いくつ足しても整数にはなりません。線分QRが横線を1本横切ると小三角形2個を通ることになります。Qを含む小三角形は上から4個目めの横線が底辺になるところにあります。そこから29個目の横線が底辺になる小三角形まで横線は29−4+1=26本あります。よってQRが横切る小三角形は2×26+1=53個あります。次にQRを考えますが、図の青の小三角形と赤○をつけた小三角形が重なっています。よって、三角形QRSが横切る小三角形は3×(53−2)=153個になります。(4)上から菱型で隙間なく覆っていくと一番下のところで30個の小三角形が残ります。最下段の左端の小三角形を菱型で覆うと下から2段目のところで半端の小三角形ができます。半端な小三角形を他の小三角形とつなげて菱型をつくるといままで菱型だった部分を崩してしまいます。この半端な小三角形をつなげることができないので30個の小三角形を減らすことができません。(あ)の小三角形は30個必用です。