次に対角線(どちらでもよい)で折り、重なることを確認する。ACで折ったとすると、AB=AD、BC=CD、∠B=∠Dとなる。ない2辺の長さが等しい台形(等脚台形)のいずれかだと分かる。四角形は正方形もしくは長方形だと分かる。等しい保証はなく、図5の様な四角形も考えられる。角度に制限はないために、菱形であってもこの条件を満たす事が分かる(図6)よってこの場合、四角形は正方形もしくは菱形だと分かる。この四角形は正方形だと分かる。(長方形・台形は対角線で追ってもきっちり重なる事はない)よって、最低2回折れば、四角形は正方形だと確認できる。M1は辺a2,a4と直交する必要がある。よってa2,a4は平行。この条件を満たす最も一般的な四角形は、中線M1を対称軸とする2等辺台形(図-2)。この時、M1で折り返すと、辺a1とa3が重なるのは明らか。[問題2]図-2の2等辺台形の中線M2が対称軸ならば、a2=a4。全ての頂点角は等しい(360/4=90°)。頂点角は全て90°なので長方形。[問題3]問題1,2と同様に考えれば、正ひし形。[問題4]補1.四角形の形を一意に定める最低の折り返し数は、2。[証明?]四角形の頂点を平面座標で表せば、1頂点に2自由度で、2×4=8自由度。平行移動(自由度2)と剛体回転(自由度1)の任意性,相似図形は同一視することから(自由度1)、形だけを定める自由度は、8−2−1−1=4。中線が対称軸の場合、両端点で辺に直行していなければならないので、1中線対称軸に対して、自由度に関する独立な制約条件が最大2個生じる(注.四角形に限る)。対角線が対称軸の場合、両端点は、向かい合う2頂点の2等分線になっていなければならないので、1対角対称軸に対して、自由度に関する独立な制約条件が最大2個生じる(注.四角形に限る)。よって最も効率良く行って、4/2=2回の折り返しで、四角形の形は一意に定まる。終わり][解答]右図のように、対称軸M,Dがあるとする。�Bより対称軸M,Dがある四角形は正方形。補1.より、これ以上少ない折り返し数で四角形の形は一意に定まらない。従って最低2回の折り返しが必要。横の線により、等脚台形になることがわかる。対角線で、隣り合う辺の長さがすべて同じになる。∠A=∠B、∠C=∠Dなる台形。全ての内角が同じなので、長方形。2回目でBC=CD、DA=ABが成り立つ。全ての辺が同じ長さなので、菱形。△ABD≡△CBDが得られ、∠A=∠C。したがって□ABCDは長方形であるのでAD=BC。全ての辺の長さが同じであるので正方形と分かる。したがって、2回でよい。ねこまとめ四角形の中でも特殊な四角形の定義を整理してみます。・・・4角がすべて直角、かつ4辺がすべて等しいこれらの包含関係をベン図にしてみました。従って、たとえば2番の問題で「長方形」とかけば、それは「正方形」も含んでいることになります。いう問題を見る機会がありました。解答を見ると、正方形は除かれていました。小学校の算数では、そういう指導なのでしょうか?私が偶然みかけたその問題がいけないのでしょうか?さて、次に等脚台形です。「台形、かつ平行でない1組の対辺の長さが等しい」でしょうか?それとも「台形、かつ平行な辺の両端の角が等しい」でしょうか?それによって、平行四辺形との包含関係が違ってきます。仮に等脚台形の定義を「台形、かつ平行でない1組の対辺の長さが等しい」とします。これには以下の(ア)、(イ)のような2つのタイプがあります。(ア)のタイプは平行四辺形ですから、等脚台形は平行四辺形を包含することになります。ベン図でかくと、以下のようになります。この場合、問題1の答え方は大変複雑になります。平行四辺形を除く等脚台形と長方形、という感じでしょうか。等脚台形の定義が、「台形、かつ平行な辺の両端の角が等しい」とします。先程の図の(イ)のタイプです。平行四辺形との交わりがちょうど長方形になります。ベン図でかくと、以下のようになります。この場合の問題1の答え方は、等脚台形ということになります。私は漠然と前者の定義をイメージしていました。して考えてみると、後者の定義が妥当だと思われます。私の手元にはっきりと等脚台形の定義が記述されたものがありません。どなたかおわかりでしたら、教えてください。