\)当ページはF分布のカイ二乗分布からの期待値(平均)・分散の導出過程(証明)を記しています。F分布に従う確率変数の平均・分散の導出については様々な方法がありますが、ここで紹介する導出方法は、F分布に従う確率変数が2つの互いに独立なカイ二乗分布に従う確率変数をそれぞれの自由度で割ったものの比で表されることを利用した導出方法を紹介します。F分布の期待値・分散を確率密度関数を用いて導出をご参照ください。カイ二乗分布については、カイ二乗分布のわかりやすいまとめにて、まとめました。※お使いの端末によっては、長い数式が右側にはみ出す場合がございます。縮小や右にスクロール、端末を横にするの動作などで解決する場合がございますので、お試しください。分散の導出(証明)導出に利用するガンマ関数についてまずはF分布の期待値と分散をカイ二乗分布を用いて求める際に必要となるガンマ関数のの性質を紹介します。m\)のF分布に従うとします。Zの期待値を考えます。\end{eqnarray*}\)ここまでの式変形は、期待値の性質を利用して行いました。次に、\(E(X)\)と\(E(\frac{1}{Y})\)を考えます。用いたカイ二乗分布の期待値・分散の導出」などをご参照いただければと思います。次に\(E(\frac{1}{Y})\)を求めます。こちらについては、確率密度関数を用いた導出方法に準拠して求めます。w\)とおいています。ここで5行目の\(w\)の積分式について、ガンマ関数の性質1を利用して次のように式変形を行います。\)上記にくわえて、ガンマ関数の性質2を利用することで、最終的に\(E(\frac{1}{Y})\)は以下の値となります。\end{eqnarray*}\)以上より\(E(X)\)と\(E(\frac{1}{Y})\)の値を\(E(Z)\)に代入すると次のように求まります。\end{eqnarray*}\)よって、F分布の期待値を導出することができました。分散の導出(証明)次にZの分散を求めます。\)と表すことができます。これは分散の性質を利用したものです。この性質の証明については、「例題で理解する分散の意味と求め方」をご参照ください。\(E(Z)\)については先ほど求めましたので、\(E(Z^2)\)を求めます。次に、\(E(\frac{1}{Y^2})\)を求めます。\)と表すことができます。\end{eqnarray*}\)となります。\end{eqnarray*}\)となります。よって、F分布の分散を導出することができました。G検定を取得するメリットを解説!最弱オセロを初めて攻略した天才オセロ高校生。TrendCOMMENTコメントを残すコメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。コメント*お名前*メールアドレス*プライバシーポリシーはこちら上に表示された文字を入力してください。