投稿一覧2021.08.282次関数の虚数解をパイソンのグラフで見える化してみた塾長です。実在しない数なのか?について考えてみます。2次方程式と2次関数のおさらい解の公式まず中学3年生が1学期で習う「2次方程式の解の公式」を思い出してみましょう。高校1年生になると、さらに「判別式」を習います。1学期の後半または2学期の初めくらいです。$のグラフと判別式Dとの関係について習います。$の解を、次の連立方程式の解とします。$$$x-y$平面上で2式それぞれのグラフを描くと、その交点が解になっているのでした。$の判別式をDとする。とき、2個(交わる)この様子を直感的なグラフで表すと、次のようになります。導入して、$x$を実数から複素数へ拡張します。すると方程式の解を必ず求めることができるようになります。$$と表すことができる。ここまでが中3、高1、高2の二次方程式と二次関数のおさらいです。複素数の世界では必ず共有点がある?素朴な疑問さて、ここで塾長は、ふと疑問に思いました・・・せっかく複素数まで拡張して、判別式$D<0$の場合でも解が求まるようになったのに、対応するグラフの共有点が無いままって、寂しくない?寂しいですよね!?疑問です。なんとかして、このモヤモヤを解消する必要があります。問題解決というヤツです。仮説を立ててみるそこで、もしかしたら、グラフを複素数まで拡張すれば、共有点が2つに見えるのではないか?という仮説を立ててみました。本当にそうなるのでしょうか?コンピューターの力を借りて、そのグラフを描くことにチャレンジすることにしました。仮説を立てて確かめるってヤツです。4次元のグラフは描けない!!コンピューターは具体的な数値しか扱うことができません。そこで今回は、つぎの関数を例に、グラフを描いてみることにします。$$もちろん、これの判別式Dは負です。i$$という虚数解です。今回の目的を次のように設定します。数直線上の1つの実数$x$を、また別の数直線上の1つの実数$y$へ移し変える関数のグラフということになります。「2本の数直線」があれば、話ができます。グラフは、x軸とy軸で構成される「平面(2次元空間)」の上に描くことができるということです。直線は「1次元」ですから、2本の直線で表現できる空間は、せいぜい「2次元空間」となります。ここで$x$を複素数に拡張します。そこで2つの実数$a,b$を使って$x=a+bi$としましょう。$$すると、式の計算結果$y$も複素数になります。そこで2つの実数$c,d$を使って$y=c+di$としましょう。実数平面上の座標$(a,b)$を別の実数平面上の座標$(c,d)$に移し変える関数のグラフということになります。「2つの平面」があれば、話ができます。グラフは、平面a-bと平面c-dで構成される「4次元空間」の中で描くことができるということです。平面は「2次元」ですから、2つの平面で表現できる空間は、せいぜい「4次元空間」となります。拡張し過ぎた上の考察から、コンピューターで「4次元のグラフ」を描けば、今回はミッションクリアできそうです。・・・ん?無理です!私たちはどんなに精神を研ぎ澄ませても、3次元までしか空間の広がりを認識することができません。グラフを描くことも見ることもできません。これはコンピューターでも表示できません。(計算だけならできます。表示が無理ということです)グラフを3次元にまとめる!ということで、何とかして3次元で済ませる方法を考えなければいけません。グラフを3次元で描けるようにするという「課題」が生まれてしまいました。世界では、最終的に解決する「目的」のことを「問題」と呼びます。問題を解決する過程(途中)で乗り越えるべき「目標」のことを「課題」と呼びます。そもそも何がしたかったのか?道に迷ったら、目的の再確認です。目的さえ達成すればよいのです。したら「やらなくても良いこと」で悩んでいたりするかもしれません。共有点が2つあることをグラフで描きたかったのでした。あ、な~るほど!次元を減らす目的の式をじーっと眺めていたら、思いつきました。$なのですから、$y$の方は2次元も必要ありませんね。0(ゼロ)の時だけ考えればよいのですから。そこで、yの次元を2次元から1次元に減らす!ことを考えましょう。グラフ表示の方針ということで、グラフに表示する方針をまとめましょう。実数の世界のグラフは、横軸がx軸、縦軸がy軸です。今回は$x$を複素数$a+bi$へ拡張したのですから、そのグラフは、$x軸$を複素平面$a+bi$へ拡張(平面:2次元)$y軸$も複素平面$c+di$へ拡張(平面:2次元)としたかったのですが、無理でした。4次元になってしまい、描けないからです。そこで次の方針としたのでした。縦軸だったy軸は、実数の数直線のままこれなら3次元の立体的なグラフで表すことができます。失敗!そもそもグラフは実数しか描けません。そのため、1つの複素数を2つの実数の組に対応させ、それを平面上に表すのでした。あるならば、安直ではありますが、yの実部だけをグラフに採用すればよいかもしれません。$の実部$c$(直線:1次元)それでは、この案でグラフを描いてみましょう。馬の鞍みたいな形のグラフになりました。最後の考察で、このグラフも少し使いますから、とりあえず「馬の鞍型」のグラフとでも呼んでおきましょう。これで目的は果たせたでしょうか・・・?うーん、何だかよく分かりません。$x$を複素数に拡張したおかげで、確かに平面$y=0$との共有点は存在しそうです。「共有点が2つ」である様子が、これでは分かりません。考えてみたら、これはダメです。4次元でグラフを描き、それを平面$c=0$でカットした切り口が、求める3次元のグラフが本当のグラフです(※)。4次元のグラフは描けませんが、本来はそんな感じです。考えると、無条件に$y$の虚部を捨ててしまったのがダメでした。(※)【豆知識】4次元の立体を平面で切ると、その切り口が3次元の立体になります。私たちの世界は3次元です。私たちの世界で立体は3次元です。スイカを包丁で切った時の断面を想像してみてください。スイカは3次元の球です。それを2次元の平面でスパッと切ると、切り口が2次元の円になります。4次元の世界は、私たちの世界よりも1つ次元が上ですから、上の考察をすべて1つずつランクアップして考えます。4次元の中で球体を切ると、切り口が3次元の球になります。成功!そこで、数学的に条件を壊さないことを考えます。$y=c+di=0$すなわち、$c=0$かつ$d=0$の場合を考えたグラフであれば目的を達成できるわけです。ところで、$|y|=0$も同様に$c=0$かつ$d=0$です。縦軸を$|y|$とすれば、これは実数ですから、うまく1次元に収まります。$(直線:1次元)それでは、この案でグラフを描いてみましょう。i$$の所で平面$y=0$に突き刺さっていそうです。共有点は「2だけ」ですから、平面$y=0$上で、それぞれ1点ずつ、チョン、チョンと、くっ付いているはずです。グラフの解像度の問題で「点」まで鋭利に描き切れていません。念のため、100倍に拡大してみましょう。i$の付近を100倍に拡大してあります。i$も同時に描くのは不可能なので、1つだけで確認します。i$の位置へ、グラフが突き刺さっている感じがしますよね。このグラフを1000倍にしても、10000倍にしても、ずっとこんなグラフになります。「1点に突き刺さ差っている!」のですから、倍率をどこまで上げても、こんな感じです。これで本当に「たった2点」だけの共有点を持つ!ことが、グラフで表示できたのではないかと思います。思ったより大変でした。教えてエライ人!上のような考察をFacebookにアップしていたら、色々な人からご意見をいただきました。なかでも吉田先生には色々と教えていただきました。いうことで、今回のエライ人は、吉田信夫先生です!吉田先生はあの「大学への数学」で原稿を書かれていた先生の内の1人です。”を磨こう!」はこちらです。グラフで虚数解を見える化するにあたり、いろいろとご指導をいただきました。数学的におかしな用語の使い方についてもご指摘いただき、修正することができました。今回やってしまった用語の誤用を2つ紹介します。どこが間違っているのか、考えてみてください。誤用1:「$y=x^2-2x+2$の判別式の値は負です。誤用2:「複素数$x=a+bi$と実数$y$において、$y=|x^2-2x+2|$のグラフ(a,b,y)は、平面$y=0$と2点で接しています。」わかりますか?私は吉田先生に指摘されるまで気づかなかったです。「それは違反です」という感じで、御用とあいなりました。大学入試の2次試験で記述回答を予定している人は、気を付けてくださいね。上のものは次の点で間違っていました。誤用1:関数に対して判別式を語ったところがアウト。判別式は方程式「$0=x^2-2x+2$」に対して定義されるもの。誤用2:「接する」は「微分可能な領域」で定義されるもの。今回は尖っていて微分不可(微分する向きによって微分係数が異なる)。i$で「接する」ようなyの取り方も教えていただきました。$(直線:1次元)それでは、この案でグラフを描いてみましょう。yの値が2乗されているので、グラフが大きくなりすぎて「2点」どころではなくなってしまいました。i$の付近を100倍に拡大してみましょう。おお、本当に滑らかに接してそうですね!例によって「1点」で接しているので、このグラフを1000倍にしても、10000倍にしても、ずっとこんなグラフになります。次元を減らすもう1つの方法さらにさらに、吉田先生からもう1つのグラフ表示の方法を教えていただきました。どのように動くかを図示します。満たすような「yの実部」と「yの虚部」をそれぞれ平面(a,b)上に図示します。関係式として表現されるため、グラフの次元は(a,b)の2次元だけで済みます。1つの複素平面だけで示すやり方です。