ありのままに生きる読者になるありのままに生きる社会不適合なぼっちおやじが、自転車、ジョギング等々に現実逃避する日々を綴っています。・空間と時間(時空)は大きな質量の近くでは曲がっている。物体が見られるような運動をするのは、この曲がった時空の中で物体が”直線”にそって進もうとするため。・「幾何学的な測定」により空間に何か問題があるような、平面上の幾何学とは幾何学が違う空間を「曲がった空間」と定義する。・球面上では内角が三つとも直角な三角形もある。・球面上では、三角形の角の和は常に180°よりも大きい。余剰分は三角形の面積に比例する。三角形の面積が非常に小さい時は180°に近くなる。・球面上の円周は半径の2π倍よりも小さい。球面に沿う半径をrmeas、余剰の半径をrexcessとすると次式となる。(21.2)・曲がった空間:幾何学的な差が生じる空間(三角形の角の和が180°と異なる、円周を2πで割った値が半径と等しくない、正方形が閉じた形にならない)・鞍の形をした面上の円は、円周は2πrで計算したよりも大きくなり、C/2πよりも小さく、余剰な半径は負となる。・球面や西洋梨などの面はすべて「正」の曲率をもつ。・鞍の形の面などは「負」の曲率をもつ。・ユークリッド幾何の規則が成り立たなくて正あるいは負の食い違いを示す空間を曲がった空間という。・円筒は曲がっていない。・円筒上では、局所的な測量では空間が曲がっていることを知り得ない。・空間の中に与えられた1点から等しい距離にある点をつらねて一つの球が決定する。この球面上に細かい正方形の格子を張りめぐらせてせその小さな面積を足しあわせ、球の面積を測定する。全面積Aは4πと半径の2乗との積なので、予測される半径は√(A/4π)で求められる。測定した半径から予測された半径を引いたものをとり、これを余剰半径とする。rexcess=rmeas−(測定した面積/4π)^1/2上式は、3次元世界の平均曲率。我々の空間は曲がっている。・アインシュタインは空間が曲がっていると言い、その曲率の原因は物質であると言った。・物質は連続的に分布し、場所により好きなだけ変化しているとする。<空間の平均曲率に関するアインシュタインの法則>・物質が存在する空間領域があるとき、その中の密度が一定であるような充分小さな球をとる。その球の「余剰半径」は球の中の質量に比例する。(21.3)ここでGは重力定数、cは光速度、M=4πρr^3/3は球の中の質量。・地球の表面のずっと外における平均曲率はゼロ。曲率成分のすべてがゼロであることを意味しない。・中に質量がない球の表面をとれば、その上の平均はゼロということ。・曲率のいろいろの成分と平均曲率の場所による変化の間にはある関係が存在する。・あらゆる場所の平均曲率がわかれば、各点における曲率を詳しく知ることができる。・地球の外の平均曲率は高さにより違うので、空間は曲がっている。この曲率が重力として観測される。・物質のかたまりがあるところで3次元空間は局所的な曲率をもつ。空間の測定と時間の測定とは関連している。・宇宙船で飛んでいる人の時計は我々の時間よりも”ゆっくり”進む。<時空における直線>・空間における直線に相当するものは、時空では一様な速度で一定の方向に進む運動のこと。・空間における最短距離に相当するものは、時空においては”最長”の時間。・直線運動は、時計をある地点、ある時刻から別の地点、別の時刻へ移すときにその時計の時間の読みが最大になるような運動。重力と等価原理<等価原理の基礎>・もしも完全に一様な重力場ならば、それは一定の加速度をもつ装置の中で完全にまねすることができる。・宇宙船内にいる場合(宇宙船の外を観察できず、エンジン音等がないとする)、宇宙船が1gで加速しているのか、地上にとどまっているのか区別できない。重力場における時計の速さ・加速しているロケット船の先端に時計A、後端に時計Bを固定する。先端の時計が1秒ごとに閃光を発し、後端で閃光の到着を時計Bの読みと比べる。第1の閃光は距離L1を、第2の閃光はより短い距離L2を通過する。(L2>L1となるのは、ロケットが加速しているため、第2の閃光のときはより大きな速さになっているから)第2の閃光の方が短い時間で達するため、これらの閃光が時計Bにたっするときの時間間隔は1秒よりも短い。⇒ロケット船が加速されているとき、後端の時計に比べて先端の時計は速く進む。・ロケット線が地球の重力場の中で静止していても「同じことがおこる」。・高い棚の上にある時計の方が、棚の下にある時計よりも速く時を刻む。・重力場の中では、ちがう場所においた時計はちがう速さで進む。・高いところにおいた時計はすべて速く進むように見え、心臓の鼓動もその他すべても速く進む。・誰かが押してくれない限り、重力場と加速度座標系とは区別できない。・加速しつつあるロケット船において、発信器と受信器は常に同じ速度。加速度をg、光がAから高さの差がHのBへ達する時間をtとする。ロケットはその間gtだけ速度を得て、この時間は約H/c。光がBに達する間にロケット船の速さはgH/c(=v)だけ増す。加速度もロケット船の長さも充分小さく、速度がcに比して小さいとするとv^2/c^2の項は無視できる。