勉強法とオススメの参考書をレベル別にまとめてみました。【実数解の個数】グラフの形や極値、x軸に着目して条件を見つけよう!2021年1月15日TwitterSharePocketHatenaLINEコピーする今回の例題\(x^3-3x^2-9x-m=0\)が異なる3つの実数解を持つとき、定数\(m\)の値の範囲を求めよ。【難易度:】3次方程式のグラフの形を考えて、極値や\(x\)軸に着目する。方程式の問題を、あえて三次関数に持ち込むのね。解答\(f(x)=x^3-3x^2-9x-m\)とする。\end{align}\(f'(x)=0\)のとき、\(x=-3,1\)。よって増減表は次のようになる。$$\nearrow$$つまり\(y=f(x)\)のグラフは以下のようになる。ここで、\(f(x)\)が3つの異なる実数解を持つとき、\(y=f(x)\)は\(x\)軸(\(y=0\))と次のように交われば良い。よって、次の条件が成り立てば良い。f(3)<0$$であれば良い。<0$$より\(-27<m<5\)極大値と極小値に着目すると、$$(極大値)\times(極小値)<0$$であれば良い。$$1は\(5<m<-27\)より不適2より\(-27<m<5\)解答のポイント似たような問題は、どのように解けばいいのでしょうか。ここからは、問題を解く上での観点を紹介します。解答の流れ方程式\(f(x)=0\)の解\(x\)は、\(y=f(x)\)と\(y=0\)、つまり\(x\)軸との交点の\(x\)座標を表していることに着目します。実数解の個数が3つ→\(x\)軸との交点が3つである実数解の個数が2つ→\(x\)軸との交点が2つである実数解の個数が1つ→\(x\)軸との交点が1つである実数解の個数が0→\(x\)軸との交点がないということが言えますね。→実数解1つと言えることがわかります。よって実数解の個数を判断する条件として、極値と\(x\)軸の関係を調べればOK。位置に着目するか、符号に着目するか解答では2つの方法を示しました。解法1では極大値が\(x\)軸よりも大きいこと、極小値が\(x\)軸よりも小さいことを利用しています。このとき極大値\(\times\)極小値は必ず負になることがわかります。これを利用しているのが解法2。極大値\(\times\)極小値が正になるときは、実数解の個数が1つだね。結局どちらも同じことを言っているので、計算量などでお好きな方を選んでください。まとめまとめ方程式\(f(x)=0\)の実数解の個数を調べるためには、\(y=f(x)\)のグラフを考えて、\(x\)軸との交点を調べれば良い。問題\(x^3-3a^2x+4a=0\)が異なる3つの実数解を持つとき、定数\(a\)の値の範囲を求めよ。\end{align}メモここで\(a\)の値によって、極大値・極小値の個数が変わることに注意してください。(i)\(a=0\)のとき、\(x=0\)で\(f'(x)=0\)となるが、その前後で符号が変わらないため単調増加。実数解は1つしか存在しない。a\)のとき極値をとる。\end{align}(※見切れている場合はスクロール)これにより\(a^2-2>0\)。今回は極大値\(\times\)極小値の条件を使ったけど、なぜだかわかる?小春あ、極値の値が\(a\)の符号によって変わるってことは場合分けが増えるのか!楓その通り!しかも場合分けすると増減表も書き直しになるからめんどくさいんだよね。差がつくポイント、役立つテクニックなど総まとめ2【感覚で理解できる!】常用対数とは?意味と使い方を徹底解説!!3自然対数、ネイピア数とは?なぜあの定義なのか、何が自然なのか。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。*サイト次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。かえで)半年で理転し、志望校もオールA判定の高校3年生。小春の熱意に負け、数学を教えることになる。意味のない暗記数学をかなり嫌う。こはる)あるきっかけから、理転を目指すことになった高校3年生。高2の時点で高校数学全範囲を網羅した楓(かえで)から数学を教わる。ちなみになんちゃって制服。差がつくポイント、役立つテクニックなど総まとめ2【感覚で理解できる!】常用対数とは?意味と使い方を徹底解説!!3自然対数、ネイピア数とは?なぜあの定義なのか、何が自然なのか。