1981個塗ったときから2025個塗ったときまでである。「まぁ、そういうことだ。あとは、一人で考えなさい。「まぁ、似たようなもんじゃないの?好きにしなさい。「図形描画だと、少しずれてしまいましたね。数えると、(1)は、16cmですね。「いやぁ、そのまま数えると、(3)なんて無理だろうよ。「面倒なことは好かん。ア〜エの矢印の方向からそれぞれ見てごらん。あとは、一人で考えなさい。「アの方から見て、見える長さは4cm(黄線)。ウの方から見ても4cmですね(赤線)。「まぁ、そういうことだ。あとは、一人で考えなさい。「角が欠けていても、結局4×4の正方形の周りの長さと同じなんですね。いうことは、(2)は、13〜16個ですね。12個にしてしまうと、出っ張っている部分がなくなって長方形になってしまいますもんね。「まぁ、そういうことだ。あとは、一人で考えなさい。「(3)で、2003個のときの図形より少し大きな正方形を考えると、45×45(=2025)の正方形です。形の周りの長さは、この正方形の周の長さと同じだから45×4=180cmですね。「まぁ、そういうことだ。あとは、一人で考えなさい。(4)は最小が1981個で、最大が2025個ということになりますね。「まぁ、そういうことだ。「二日酔いで頭が痛いんだよ。解答・その10(ペンネ−ム:マセがき)図形の周の長さが変化するのは、元の図形が正方形か長方形だったときに、ひとつだけ飛び出した形となるときのみで、この場合周の長さが3cm増えて、1cm減るため、差し引き2cm増加します。その他の場合は、周の長さが2cm増えて、2cm減ることとなるため、差し引き、増減は無い状態となります。ここで、図形が正方形となるのは、nを自然数として、方眼のマスの数がn2となるときなので、1・4・9・16・25・・・・個塗ったときになります。長方形となる場合は、n2+n個を塗ったときとなるので、2・6・12・20・30・・・個塗ったときになります。よって、周の長さが変化するのは、n2+1個とn2+n+1個塗ったときのみとなります。x個のマスを塗ったときの周の長さを求めてみましょう。xの正の平方根より小さい最大の整数を求めて、これをaとおきます。このaが今の形に塗る直前の最も大きい正方形の一辺の長さになります。次に、aが求められたら、a2+aとxを比較します。ここで、xがこの値より大きい場合は、直前で最大であった正方形の次にできる長方形も、既に塗り終えていることになります。よって、x個のマスを塗ったときにできる図形の周の長さは、x>a2+aのときは、4a+4となり、x≦a2+aのときは、4a+2となります。最後にx個のマスを塗ったときと周の長さが同じになる範囲を求めてみましょう。x>a2+aのときは、既に長方形は塗り終えているので、このまま塗り進めていくと、一辺の長さが(a+1)の正方形ができ、そこまで塗ったとき、すなわち、(a+1)2個が周の長さが同じになる最大値となります。最小値は最後に塗り終えた長方形を塗った次に、一つ飛び出したところとなるため、a2+a+1個となります。x≦a2+aのときは、長方形と正方形が逆になるため、最大値はa2+a個となり、最小値がa2+1個となります。方眼を15個塗った図形は右図の水色の部分である。)でそれぞれ一定になっている。...[答]解答・その12(ペンネ−ム:理一郎坊ちゃん)一辺がkの正方形をKと呼び、一辺が一の正方形をMと呼ぶ。Kの周囲は4*k、Mの周囲は4。KにMを1個加えると、4辺が加わることになるが、KとMの1辺ずつが重なり図形の中に含まれてしまうので、4−2=2辺増える。4−2−2=0となり、辺の数は増えない。これらの現象が繰り代えされることになる。KにMが1個からk個加わるとき、周囲は4*k+2。ここまででこの図形は、一辺が、kとk+1の長方形になる。k2+k+1個目のMを加えると、周囲は2増えて4k+4。以後Mを(k+1)2個になるまで加えても、周囲は4*k+4。k=3とすると、32<32+3<15<16より。(2)13,14,(15),16個。32+3+1から(3+1)2まで。442=1936、442+44+1=1981<2003<452=2025より、一辺45の正方形と等しい。(4)1981,2025。解答・その13(ペンネ−ム:夜ふかしのつらいおじさん)以下のように色を塗る順番に自然数をつけていきます。表1のように「1」を中心に上下左右に1つずつ正方形を大きくしていきます。すると正方形の左上は{1,9,25,49,・・・}のように奇数の平方数です。表2のように「1234」を中心に上下左右に1つずつ正方形を大きくしていきます。すると正方形の右下は{4,16,36,64、・・・}のように偶数の平方数です。図3のように凹型6角形の状態で数を増やすとき面積は1平方センチメートル増えますが周の長さは変わりません。図4のように長方形の状態で数を増やすとき周の長さは2センチメートル増えます。表5の太線で囲まれた数が長方形から飛び出す数で周の長さを2増やします。左上に増える数{2,10,26,・・・}は、奇数の平方数に1を加えた数です。左下に増える数{3,13,31,・・・}は、上の数に図6のように奇数を加えた数です。右下に増える数{5,17,37,・・・}は、偶数の平方数に1を加えた数です。右上に増える数{7,21,43,・・・}は、上の数に図7のように偶数を加えた数です。=4n2+2n+1となります。(1)方眼を15個塗ったときの周の長さは、16個のときと同じです。16個のときは、1辺が4センチメートルの正方形です。求める周の長さは、4×4=16センチメートルです。(2)13,14,(15),16個のときが同じ長さです。(3)上の式で2003に近いものを探します。すると良いと思います。2163この表より次のようになっていることが分かります。方眼を2003個塗ったときの周の長さは、2025個のときと同じです。2025個のときは、1辺が45センチメートルの正方形です。求める周の長さは、4×45=180センチメートルです。(4)1981と2025です。正方形や長方形から一つ飛び出す毎に周の長さが変わるので、(1)を考慮すると、15個塗ったのと同じ周長となるのは13,14,16個塗った時である。22これより各列の方眼数の増加と共に周長の同じ物が2,3,4,5と増えていくことが分かる。因って各列の周長を平均で以下の様に表す。Σ2N=N(N+1)より、N=44と45の間にあることが分かる。N=44で塗られた方眼の最大数は1980であるから2003はN=45に属することが分かる。因って平均周長は4N+1であるから181となる。この値は180と182の平均である。以上より2003個塗った方眼の周長は180cmである。(4)(3)より周長180cmの塗られた方眼数の最初は1981、最後は45番目であるから44を加え2025となる。これらは最も小さい数と最も大きい数に対応しているので、これらが求めるものである。1cmの方眼の個数をk(自然数)個とし、図形の周をLcmとする。(1)長方形が完成されたとき、横の長さをncmとすると、縦は(n−1)cmとなる。(2)正方形が完成されたとき、2辺の長さをncmとする。浩)まぁ、まずはロジックを考えてみましょ。それが分かれば15も2003も同じです。※nは全ての自然数を形づくるパターンがある事が分かる。うか』によって変わってくる事が分かる。