正三角形はFig.1のように3つの頂点を含む平面で切断するか、これと平行な平面で可能。正方形はFig.2のように平行な4辺の中点を通る平面か、これと平行な平面で可能。正六角形Fig.3のように6辺の中点を通る平面で切断することによって可能。七角形以上は立方体が6面体であることからできない。90°より大きくできない。正五角形の頂角は全て108°であることより正五角形はできない。立方体ABCD−EFGHに直交座標をいれる。△AFH:一辺の正三角形となる。立方体の各面に平行な平面で切ると一辺1の正方形となる。ここで、正五角形が出来ないか考察する。すると従って正五角形とならない。正五角形はできないものかといろいろ計算し,等五辺形までは行き着いたのですが,残念ながらこの五辺形は一平面上にありませんでした。正五角形および正七角形以上は,キチンと証明できたわけではありませんが,無理なのではないでしょうか。解答・その8(ペンネ−ム:夜ふかしのつらいおじさん)●正n角形の1つの内角の大きさは、なので、次のようになります。(正六角形)ができるのはすぐにわかります。正三角形と正方形は問題ないと思います。正六角形は図で各辺の中点を結んだものです。●念のため図形ABCDEFが正六角形であることを確かめます。対称性から各辺の長さ、内角が等しいことはわかります。点A、B、C、D、E、Fが同一平面上にあることを調べます。上の図のように、一辺の長さが1の立方体をおきます。各点の座標を次のようにとります。この式は、点C、D、Eの座標を代入しても成立するので、点A、B、C、D、E、Fは同一平面上にあります。●問題は、正五角形や正七角形以上ができないことです。正五角形以上は、一つの内角が鈍角(直角より大)です図のように一辺の長さ1の立方体をおきます。点A、B、Cの座標はZ座標とします。します)より、となるので、θは鈍角にはなりません。(cosθの値が負のときに、鈍角になります。なり、θ=90°となります)つまり、平面が3つの平行な辺を横切るような場合は正五角形以上にはなりません。とき、5角形になることはありますが、正五角形にはなりません)平面が平行な3つの平行な辺を横切らないような場合は、6角形ができます。5角形と7角形以上はできません。正多角形の辺の数は最大で6が考えられる。平面を形成するには少なくとも3辺が必要である。ついては、以下の図の通り。正五角形について検証を行う。立方体の展開図と正三角形及び正六角形の切断線を以下に示した。同様な方法で五つの面を切断する線を引くことはできない。よって、正五角形は形成できない。3種類がすべてである正五角形が不可能であることの論証に苦労しました今月もまた「単純なのにむずかしい」いい問題でした解答・その12(ペンネ−ム:Ryu1128)立方体は、正六面体です。平面と平面の交差は直線(線分)になります。よって、任意の平面と下記線分方程式との交差部は線分になるか解無しとなります。立方体を、A(0,0,0)を原点として各々の頂点を(x,y,z)の立体座標で表現します。H(0,0,1)立方体の各辺の方程式は次のように12の線分方程式なります上から順番に(1)〜(12)とします。任意の平面方程式を次のようにおきます。ax+by+cz-d=0・・・(13)うまく任意の平面を12辺と交差させて交差した線分の長さが全て一致し且つ、任意の平面状におけるとなりあう線分の交差角度が全て一致すると正12角形が出来ます。頂面から(どの面から切ってもよいのですが)入るとして、立方体の切られる辺(又は頂点)は最大6です。その理由は全ての面(6面)を切った場合多角形の頂点は6になるからです。切られた段面は必ずその頂点が両隣の面と共有することになります。平面で切るため立方体の一つの面を切る場合最大でも2辺しか切ることができません。立方体は6面でありその全ての面を切った場合6×2辺÷2(共有)で頂点数は6となります。正多角形の定義の議論は避けて通るために正2角形は考えません・・・。通るようにすれば良いわけ(他にも立方体の各頂点から同じ値をとることも)ですから可能です。他にも解はBCDから等距離を取ると3種類あります。つぎに正方形ですが床、屋根壁に平行な平面で切ると全て正方形になります。x2+z2=1と(13)の連立で表される平面群も立方体を正方形に切ります。正5角形を飛ばして正6角形を考えます。前述したとおり6面を全て切る平面を考えます。床から入って、4壁を通り、屋根へ抜ける平面を考えます。このとき床と屋根を切る辺及び対面する壁を切る辺は平行になります。AB、BF、FG、GH、HD、DA上に点k1〜k6を取ります。(i=1〜2)《対角線が等しい》が言えれば正6角形が出来ます。取ると上記条件を全て満たします。よって正6角形は可能です。最後に飛ばした正5角形ですが、5角形は6角形に切る場合の一面において立方体の辺を切らずに頂点を切ることによってのみ可能です。6角形で検討した通り、頂点の対辺以外の隣り合わない辺は必ず平行となってしまうため正五角形に切るのは不可能です。このことは、壁に平行でないどんな平面で切っても切られた壁は平行になってしまうことから明らかです。解答・その13(ペンネ−ム:ちょろんは太太)立方体は、面が6枚であるので、1平面と交わってできる直線は6本まで。それより大きいものは、できない。上図のように、正三角形は、3頂点を通る面で切れば作られる。正四角形は、4辺の中点を通る面できればよい。正六角形も、図のように、6辺の中点を通る面で切れば、作ることができる。立方体は、3組の2枚の平行面で作られている。2組の平行線がなければならない。正五角形の各辺は平行ではないので、切り口に正五角形を作ることはできない。�B)切り口が七角形以上にはならないことを示します.(証明)立方体が6面であることと補題1(に相当する議論)により自明です。[考え方]上記の正三角形以外は辺の長さではなく、辺の位置関係を考慮すればよい。次の1°と2°を考慮すれば十分である。辺は立方体の面上にあり、いずれの面もその上にある辺は高々1つである。立方体の対面上に2つの辺があれば、それらは平行である。限られる(七角形以上はできない)。2°より、正五角形は平行な辺をもたないのでできない。[2°の補足]平行な2つの平面を別の平面で切断したときにできる切り口は、2つの平行な直線になる。