【これで分かる】微分とはなにか大学入試に必ずと言っていいほど出題される微分と積分ですが、多くの生徒が苦手意識を持っています。今回は微分を中心に分かりやすく説明していきたいと思います。「微分する」とはどういうこと?微分を学ぶ際にまず出てくるのは、微分係数f’(a)の定義式です。ん~なんだかわけが分かりませんよね。この式を初めて見て、なるほどねって理解できる人はなかなかいないと思います。これは難しく書いていますが、分母はxの増加量を、分子はf(x)の増加量(つまりyの増加量)を表しており、つまり分数部分は中学校で学習した変化の割合(平均変化率)を示しているだけです。2次関数を例に図示すると、次のようになります。中学校で1次関数を学習した時もそうでしたが、関数は傾きが大事なんです。上図を見ても分かるように、赤線(斜辺)の傾きは曲線f(x)の傾きを表しているとは言えませんよね。曲線においては、どの点をとるかで傾きが変化するため、xの増加量hに幅がある限りその曲線の傾きを表すことができないからです。そこで、xの増加量を限りなく0に近づけて(h→0)、点(a,f(a))における傾き=接線の傾きを求めようというのが上の式で、これがx=aで微分する(微分係数を求める)ということになります。上のグラフで、a=4を例に計算してみると、よって、x=4における接線の傾きは、8ということが分かります。導関数の公式を用いても、f’(x)=2xよりf’(4)=8となり、確かですね。傾きにおいては数字の大小よりも、傾きが正(右上がり)なのか、負(右下がり)なのかが重要になってきます。傾きが0の時を極値と呼び、上のグラフの例でみるとx=0の時、傾きが0となり極値(この場合は極小値)をとります。この傾きの正負および極値を調べることで、未知の複雑な関数に遭遇しても、グラフの概形図が書けるようになります。グラフが書けると、なんなのさ?ボール投げ(物理でいうところの斜方投射)を例に見てみましょう。速さv0、角度θでボールを投げた時に、t秒後のボールの高さyは、であるということが分かっています。空気抵抗は考慮しません。この式を見てもなんかピンときませんが、ボールを斜めに投げると放物線を描いて地面に落ちることは(経験上)想像できると思います。速さ14m/秒(時速50kmくらい)、角度45°でボールを投げた場合、放物線の頂点に到達するのは何秒後で、その高さ(最高点)は何mでしょうか。y=f(t)とすると、上で述べたように放物線の頂点(極値)はf’(t)=0であるからよって、投げてから1.0秒後に最高点に達し、その高さは5.0mだということが分かりました。これをグラフ化すると次のようになります。グラフ化すると、ボールを投げて約1秒後に5mほどの高さまで上がり、その後下降に転じて、投げてから約2秒後に地面に落ちる様子がよく分かります。このように、よく分からない数式でもグラフにすることで、物事の動きやピークが視覚的に理解できるといったケースはたくさんあります。今回は高さ方向yを例にあげましたが、これを水平方向xに適用すると、角度をどのくらいで投げると一番遠くに投げられるか、100m投げるには初速何m必要か、といったことも求めることができます。微分・積分は不可欠!ところで、微分は英語で「differential(ディファレンシャル)」といい、dxやdyの頭文字ですね。積分は「integral(インテグラル)」ですが、「integral」には他に「不可欠な」や「なくてはならない」といった意味があります。さまざまな物理の法則は微分・積分から成り立っています。上の斜方投射の公式も、実は微分方程式で導くことができるんです。現代の科学において、微分・積分は不可欠な存在だといえます。さいごに微分は何に役立つか分からずに、苦手意識を持つ生徒も多いと思います。“公式を丸暗記すること”ではなく、忘れても導けるように”本質を理解すること“が重要です。ほんのちょっとした捉え方の違いで、数学力はグッと身につきます。個別指導塾の「好文館」では日本全国を対象に、微分の他、数学の基礎をオンラインにて個別指導しております。お問い合わせ後、お電話やZoomにて学習の進み具合や弱点などを教えてください。