指数のお化け団子です。これだけでは解きようがありません。$このように対数を使えば求める事ができます。0$$\log_{n}{x}=\frac{\log_{m}{x}}{\log_{m}{n}}$対数を使えば指数でグチャっとなった式を解きほぐせる1カ月も悩んだ生徒に15分講義したらスッキリ学校の授業が全く分からない!これは偏差値の低い高校だから起こる、というものではありません。少なくとも生徒たちの生の声を聞く限り、むしろハイレベル(偏差値60~65くらい)の高校の方が、そういう生徒の割合が高いです。この傾向は公立高校の方が私立高校よりも顕著です。高校の先生にしてみれば、生徒の優秀さに期待して「高度な授業を見せてやりたい。」という熱意があると思います。それはなかなか厳しいのが現実のようです。多くの生徒たちが、ついて行けなくなっている印象です。優秀な高校の生徒であろうと、基礎を飛ばして応用はできないということですね。予備校のハイレベルコースならともかく、現役の高校生は単元の基礎から初めてなのですから。このことから、基礎と応用の間は、思ったほど距離が離れているワケではないのかもしれません。基礎の奥深い理解こそが、応用とも言えますね。偏差値の高い進学校では、教科書の予習はしてくるのが前提でしょう。確かに、現在はネットで多くのことを自分で調べられるようになりましたから、予習はし易いと想像できます。「高校は義務教育ではない」と言ってしまえばそれまでですが。それでは100歩譲って、自分で予習しても学校の授業について行けなかったとしたら、その理由は何でしょうか?それが上で述べたような「目的が分からない」ということだと思います。要は納得感の問題です。食わず嫌いで頭に入らなくなっています。「この数式は何がしたいのか?」という話をします。解法や暗記ポイントとは全く違う視点なのですが、優秀な生徒ほど、案外こうした動機付けが功を奏します。数学の授業なんですが、ここ1か月の間、ぜんぜん何やってるか分かりません!」と助けを求めて来る生徒に、私が15分講義しただけでスッキリして帰る、という場合も珍しくありません。そのような場合、私は大したことはしていません。「何を受け入れるべきか?」というポイントを先に教えるだけです。細かい計算や確認は、むしろ本人に任せてしまいます。チェックはしますけどね。任せた上で、詰まった所だけフォローする方が効率的な場合もあるからです。単元の「目的」が生徒の学習脳を動かす?上記のような経験から言えることは何でしょうか。「単元の目的を共有する」これが学習の効率を高めるのだと私は思います。このことは偏差値とは関係ないことも分ってきました。どのようなレベルの高校の生徒だとしても、単元の目的を明確にしてあげると、勉強が加速します。いざ問題を解き始めれば、生徒たちの頭の中には「自分で理解して、自分で解き切りたい」という欲求が強く働いています。そのため、解法の全てを解説してしまうと、むしろしつこいというか、嫌がられます。「あー、そこまでは自分で解けたかもしれないのに、なんで先に言っちゃうの!」というふうに思われれしまいます。推理小説で、先に犯人の名前を言われてしまうような、ネタばらしをされたような、そんな感覚です。解く過程の全てまで教えてしまうのは、親切な事ではありません。本人が自分の頭を使う機会を奪ってしまいます。成長のチャンスを奪ってしまうのです。脳は動かさなければさび付いていきます。動かす機会を奪ってはいけません。うちは余計な解説はしない、という指導水準になっています。それが講師の腕の見せ所です。逆に、このことに納得できないと、成績は伸びません。「手とり足とり教えます」これが親切だと思われるのは錯覚です。いう塾には自分の子供を入れたくないですね。頭が悪くなりそうです。〈余談〉高校の関数が難しいのには理由がある!?実は、高等数学の関数が「難しい」と感じるのには、ちゃんとした理由があります。それは関数の振る舞いが、人間のもつ「経験則」と合わないからです。グラフの意味をなかなか想像できないからです。人間は過去に繰り返された経験から「きっと次も同じようになるだろう」と予想して未来に備えるように進化してきました。次のように、他の動物よりも「経験則」を細かく把握できます。川の水位が毎日3cmずつ増えているから、きっと明日も今日より3cm増えるだろう。(比例という経験則)村の人口が2倍、3倍に増えていけば、自分の収穫高は1/2、1/3に減っていく。(反比例という経験則)つまり次のように理解するのが人間の持つ感覚です。して減る」→「反比例」このように小学校や中学校からお馴染みの「比例」や「反比例」は、人間が本能的に持つ経験則を数字で表したものです。グラフの読み書きは練習する必要がありますが、グラフの意味は人生経験に置き換えて理解することができます。比例や反比例までなら義務教育で全員に学ばせても、そう無理はないだろう、ということです。「比例や反比例の感覚で納得ができる」ということになるわけです。逆に比例や反比例で解釈できないものは「わかり難い関数」ということになります。これが関数が容易か難しいかの本質です。三角関数や対数関数は、比例や反比例ではありません。11月~12月にかけて、多くの高校2年生が対数関数で頭を抱えます。した生徒の理解構造まで把握したうえで、高等数学は教える必要があります。式の意味だけを説明したところで、ほとんどの生徒は納得できないわけです。単元の目的を共有し、そして教え過ぎない。新しい概念を導入する時は、生徒がそれまでに学んできた知識体系、つまり理解構造を意識して教える。そのようなことが大切だと思います。