自然対数、ネイピア数とは?なぜあの定義なのか、何が自然なのか。勉強法とオススメの参考書をレベル別にまとめてみました。ネイピア数とは?なぜあの定義なのか、何が自然なのか。数IIIに入って、\(e\)っていう謎の数が出てきたよ?あぁ、ネイピア数だね。ネイピア数は定義も性質も重要な数なんだよね。小春でも定義が複雑すぎて覚えられないかも・・・。「ネイピア数\(e\)の意味がわからない。何の数よアレ???」この記事を読むと・・・お金の話を使って、感覚的にネイピア数の定義を覚えられる!ネイピア数のメリットや、活躍する場面がよくわかる。指数・対数を一気に理解したい方への記事は、こちらにまとめてあります。ネイピア数講座|まとめネイピア数講座|ネイピア数の定義まず最初にネイピア数の定義を確認しておきましょう。\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$$左辺の式によって求められる数を、ネイピア数\(e\)と定義しているわけですね。ネイピア数\(e\)は\(e=2.7182818\cdots\)と無理数となっていて、万有率と呼ばれることもあります。小春やっぱり定義見ただけじゃ、どんな数なのか全くわかんないや・・・。皆さんは借金したことありますか?(しないほうがいいよ。)借金をするとき、借す側は利率というものを上乗せして返してもらいます。借りる側は、返すときに借りた時よりも多くのお金を払う必要があります。小春ちゃんが僕から100万円借金するとしよう。ひゃ、100万!?わ、わかった!小春100万円渡す際に、以下のように契約を交わしました。1年後に2倍にして返済すること。小春このとき「利率は年100%」と言います。返済期限は1年間なので、1年後:\(100万円\times(1+1)=2\times100万円\)にして返す必要があります。借金はこのように、お金を借すこと自体に付加価値をつけていきます。楓じゃあ翌年もまた、100万を借りることを考えてみよう。楓ただし、契約内容を年率100%の半年複利に変更して再契約を結びます。複利とは利子がついた金額に、さらに利子が上乗せされることです。年率100%の半年複利なので、借りてから半年後に50%上乗せした金額を返済し、さらに半年後その返済した金額に50%上乗せした金額を返済する必要があります。半年後:\(100万円\times\left(1+\frac{1}{2}\right)=1.5\times100万円\)1年後:\(\left(100万円\times\left(1+\frac{1}{2}\right)\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)=2.25\times100万円\)(※見切れている場合はスクロール)となります。1年で100%利子を上乗せして一回返してもらうと2倍ですが、半年で50%の利子を上乗せして2回返してもらうと2.25倍になります。返済期間を短くするほど、リターンの倍率が増えるというわけです。参考複利についてはこちらが超わかりやすいです!→知るぽると|複利とはそこで借金取りの僕は楓1年間をさらに分割して利子をつけたら儲かるんじゃん!と欲を丸出しにし始めます。年率100%の4ヶ月複利(1年を3分割)の契約を考えてみましょう。すると、4ヶ月後:\(100万円\times\left(1+\frac{1}{3}\right)=1.333\cdots\times100万円\)8ヶ月後:\(\left(100万円\times\left(1+\frac{1}{3}\right)\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)=1.777\cdots\times100万円\)1年後:\(\left(100万円\times\left(1+\frac{1}{3}\right)\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)=2.37\cdots\times100万円\)(※見切れている場合はスクロール)となり、約2.4倍になって返ってきます。楓うひゃヒャヒャヒャ!もっと、もっとおおおおお!・・・(大丈夫かな?)小春さらにヒートアップして、年率100%の1ヶ月複利(1年を12分割)を試してみましょう。1ヶ月後:\(100万円\times\left(1+\frac{1}{12}\right)=1.083\cdots\times100万円\)2ヶ月後:\(\left(100万円\times\left(1+\frac{1}{12}\right)\right)\left(1+\frac{1}{12}\right)=1.173\cdots\times100万円\)・・・1年後:\(100万円\times\left(1+\frac{1}{12}\right)^{12}=2.613\cdots\times100万円\)(※見切れている場合はスクロール)となり約2.6倍に!年率100%の1日複利(1年を365分割)にしてみると、1日後:\(100万円\times\left(1+\frac{1}{365}\right)=1.002\cdots\times100万円\)2日後:\(\left(100万円\times\left(1+\frac{1}{365}\right)\right)\left(1+\frac{1}{365}\right)=1.005\cdots\times100万円\)・・・1年後:\(100万円\times\left(1+\frac{1}{365}\right)^{365}=2.714\cdots\times100万円\)(※見切れている場合はスクロール)となり約2.7倍になりました。楓おっしゃああ、年率100%の1秒複利(1年の31536000分割)すればもっと儲かるぞおおおひ、ひええええええ小春1秒後:\(100万円\times\left(1+\frac{1}{31536000}\right)=1.000\cdots\times100万円\)2秒後:\(\left(100万円\times\left(1+\frac{1}{31536000}\right)\right)\left(1+\frac{1}{31536000}\right)=1.000\cdots\times100万円\)・・・1年後:\(100万円\times\left(1+\frac{1}{31536000}\right)^{31536000}=2.718\cdots\times100万円\)(※見切れている場合はスクロール)小春うわあああ!2.7倍になっ・・・あ、あれ?!1日複利とあんまり変わらない?そういうこと。確かに複利は細かく返済期限を設けるほど、元金が多くなって返ってきます。細かくするほど、その倍率の増え方は緩やかになっていき、利益の差もなくなっていきます。楓1日複利と1秒複利は大して変わらないでしょ。このように、返済期限を細かく設定しまくると、倍率はある一定の値に近づくことが予想されます。年率100%の瞬間複利、つまり\(\infty\)で1年を分割したときのリターンは何倍なのでしょうか。ポイント$$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$を計算すれば値が得られますが、これこそネイピア数の定義です。小春つまり欲の強い借金取りが喜ぶ数字ってことだね。ネイピア数講座|ネイピア数のメリットこの借金取りが超喜びそうなネイピア数ですが、これが高校数学で扱われる理由は皆さんを借金取りにしたいから、ではありません。実は数学上、かなり便利な性質があります。x\)と表すこともある。x\)と表すこともあるのですが、常用対数も同様に表すことがあり、ごちゃごちゃになってしまいます。常用対数について復習したい人はこちらを参考にしてください。naturalの略)で表すことの方が多い気がします。楓というか単にこっちの方が書くの楽じゃん?この自然対数、何が自然かというと数学の世界では「あ、また出てきた」的なノリで出てくる数だからです。トキワの森のキャタピーくらい出ます。x\)を微分すると、\(\frac{1}{x}\)になることはかなり頻繁に使います。x\right)'=\frac{1}{x}$$無限に微分できる\(e^x\)\(e\)の指数関数\(y=e^x\)は、かなり便利な関数です。何回微分しても値が変わらないからです。ポイント\(y=e^x\)とするとき、\(y'=\left(e^x\right)'=e^x\)証明自体は非常に簡単なので、リミットさえ理解しておけば3秒でわかります。大事なのはこの微分しても変わらないという性質が、後々かなり便利になるということです。\(\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{x^2}{2}}\)社会科学や統計学などで度々目にすることになるのが、この正規分布です。ポイント平均を\(\mu\)、分散を\(\sigma^2\)とするとき、確率密度関数$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}exp\left(-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right)$$に従う確率分布を正規分布という。※\(e^x\)をexp(x)と表すことがある。この(標準)正規分布のグラフは、図のようになります。自然界にはこの正規分布に従うものがあり、多数のデータを集約して扱う統計なんかもこれがかなり有用です。【大学数学】オイラーの公式\(e^{i\pi}=-1\)数学を極める気がないという人は、ここはすっ飛ばしてください。理系で数学が好きな方は、大興奮間違いなしの数式がオイラーの公式です。\theta$$この記事では証明なんかよりも、この式の美しさに気づいて欲しいです。左辺は自然対数、虚数、そして\(\theta\)という有名な変数たちが指数関数で構成されています。右辺はサインコサインと虚数で構成され、複素数平面を体現してます。この式は、三角関数と指数関数、そして定数\(e\)と\(\pi\)が複素数の世界では深い関わりがあることを表しているのです。ネイピア数講座|まとめそれでは最後にまとめをしておきましょう。\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$$複利計算として考えると、理解しやすくなる。数学の世界ではキャタピーくらい普通に出てくる。ネイピア数は主に数IIIで扱うことが多く、理系学生の人しか馴染みがないかもしれません。この世の中で定義されている定数について理解を深めておくことは、あなたにとってもかなり有用な知識となるはずです。紹介した標準正規分布は、文系の方でも学ぶ機会がいくらでもある統計学でも、かなり重要なポジションにあるものだということだけは忘れないでくださいね。以上、「ネイピア数について」でした。差がつくポイント、役立つテクニックなど総まとめ2【感覚で理解できる!】常用対数とは?意味と使い方を徹底解説!!3自然対数、ネイピア数とは?なぜあの定義なのか、何が自然なのか。PMご指摘ありがとうございます!おっしゃる通りです><助かりました、修正しますね。PMすみません、自然対数の底を省略・・・省略と言うのも腹立たしい程苦しめられたのでこれ以降は「サボる」と表記させて頂きます。してしまうのか全く理解できません。解説では「こっちの方が書くのが単に楽」とか「キャタピーくらい出るから」とありますが、それは書く側の都合なので全く納得がいきません。意味のない暗記数学を嫌うとキャラ設定にありましたが底をサボること自体、教えを受ける側には意味がないと思います。高校2年までは数学は得意教科でした。勉強の為に再び対数の勉強をしたところ再び底の表記がサボられたlogが出現しました。今度は取り返しがつくように1から徹底的に調べ上げ、分野によってサボられる底の値が違うことを知りました。その後はテキストの中で底がサボられているlogに底を直接書き込むようにしています。正直に申し上げますが、底を書かないことは混乱を招いてしまいます。サボってついていけない学生に対して「慣れろ」と言う輩もいますが正直傲慢です。「楽だから」「何度も書きたくないから」とか言うのは教える側としてあってはならないと思っています。底の表記のサボりに正当な理由があれば、論理的に教えていただけるとこれ以上の感謝はしてもしきれないです。PMコメントありがとうございます。数IIIに対して、私も理転する際、大変苦しめられたのでお気持ち十分よくわかります。数学教育を専攻した上で、上記の回答をさせていただくと、端的に言えば、そこは本質ではないと捉えられているからだと思います。不等号≦は、大学数学では≤と省略されます。一本でさえ謎に省略します笑しかし英語圏の発想を考えれば、割と自然だと私は思います。Kenのように省略されますが、英語圏ではしばしば、あまり意味をなさない、文脈や雰囲気から大体分かるものは省略される文化があります。これが元になっているとすれば、まぁ省略するという文化は、悪いとか以前に自然な流れかなと考えます。自然対数を省略しているのか、常用対数を省略しているのかわからないという考え自体は、皆持っている発想です。xという省略法もあります。こちらを用いていただければ、お悩みは改善するかなと。ここからは私個人の思いですが、投稿者様はこの混乱が起因して数学に大変苦しめられたということですが、ご自身で底を書き加えたり工夫なさっていることは大変素晴らしいことだと思いますし、私もその心意気は見習う必要があります。その表記に関する嫌悪感を抱いたまま、この公式が覚えられないのは表記が悪いせいだ、とご自分でハードルを作ってしまっているのであれば、少しもったいない気がいたします。ご自身で底を加えたりできる能力があるので、公式を暗記ものとしてではなく、何故その公式が導かれたのか、どのようにしてこの公式を証明するのかなどに着目なさると、もっと楽できるのかなと感じました。昔の自分のように共感したため、大変長くなってしまいましたが、少しでもお役に立てれば幸いです。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。*サイト次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。【対数の性質】定義を考えれば当たり前。かえで)半年で理転し、志望校もオールA判定の高校3年生。小春の熱意に負け、数学を教えることになる。意味のない暗記数学をかなり嫌う。こはる)あるきっかけから、理転を目指すことになった高校3年生。高2の時点で高校数学全範囲を網羅した楓(かえで)から数学を教わる。ちなみになんちゃって制服。差がつくポイント、役立つテクニックなど総まとめ2【感覚で理解できる!】常用対数とは?意味と使い方を徹底解説!!3自然対数、ネイピア数とは?なぜあの定義なのか、何が自然なのか。