xに正の実数を入れると、それが「10の何乗か」を答えてくれる関数です。仕組みとか計算方法とか、とりあえず細かい話は横に置いておきましょう。対数関数はxを決めるとyは「〇乗」を表す値になります。$そして実は、これで「何桁の数か」も分かります。(y+1)桁の数と考えられるからです。次のことが分かる関数です。桁数を知って何に利用する?物理や化学では、桁数を求める計算をよく使います。極端に大きな数や極端に小さな数を扱うからです。10^{23}$個などと言われます。602000000000000000000000個です。数が多すぎて原子を1つ1つ数える人はいないですし、数えたところでその数字の利用価値はないです。そんな細かい数字の正確さよりも「24桁の数」というサイズ感の方が重要です。酸やアルカリの強さを計算するときや、電波で通信したりコンピューターの性能を表すときなんかもそうです。大きすぎる数や小さすぎる数を扱う時、桁数を知ることがまず重要になってきます。いう時に対数関数が良く使われます。あらゆる数を「10の〇乗」で表したらどうなるか?突然ですが、もしも「指数でしか数字を理解できない」そんな宇宙人がいたらどうでしょう。彼らの宇宙語は、いったいどんな数でしょうか?その翻訳には対数関数が使えます。私たちが日常使っている数を「10の何乗か」つまり「指数」に言い換えられるからです。翻訳に取り掛かりましょう。宇宙語で3$こんな感じでしょう。宇宙語で2と3の間の数?$となりそうです。これ以上は計算(翻訳)ができません。?」と思う方がいるかもしれません。ナイスチャレンジ!ですが、残念ながら違います。値を確認すればわかります。電卓で計算できますから、ちょっとやってみましょう。計算できますから、これと指数の法則を使って確かめてみます。\dots$となりました。$ということになりました。先程よりは範囲を絞れましたが、まだよくわかりません。正確に計算する方法があります。数IIの教科書や参考書の巻末、あるいはセンター試験の問題冊子の巻末などに「常用対数表」が載っています。常用対数表は「10の何乗か」が分かる一覧表です。数が、それぞれ10の何乗か載っています。0.01刻み)についてyの値が小数第4位までズラリと並んでいます。その表を使えば近似の計算ができます。10の何乗か計算してみましょう。常用対数表で見ると$y=\log_{10}{5}=0.6990\dots$つまり$5=10^{0.6990\dots}$です。\dots}$よって500の場合は次のようになります。$500=10^{2.6990\dots}$$\log_{10}{500}=\log_{10}{10^{2.6990\dots}}=2.6990\dots$一般に、この数は無理数になります。終わりのない小数になります。他の数についても同様です。\dots}$よって$713=10^{2.8531\dots}$$\log_{10}{713}=2.8531\dots$などと求められます。他にも、$3=10^{0.4771\dots}$$11=10^{1.0414\dots}$$59=10^{1.7709\dots}$$500=10^{2.6990\dots}$$713=10^{2.8531\dots}$$1280=10^{3.1072\dots}$・・・そして、10のn乗の数は(n+1)桁の数でした。・・・この様に対数関数はどんな数でも全て「10の〇乗」で表せますし、「〇桁」とも表せます。(ただし後でやりますが正の実数に限ります)。計算サイト余談ですが、常用対数表の代わりにコンピューターを使えば速いです。やりたいこと対数関数は「正の数」を「指数だけの表現」に言い直す関数ということが分かりました。それを式で書くと、次のようになります。乗さて、指数でしか数を数えられない宇宙人の話しでした。彼らは、日常的に小数を使うようです。無理数をどうやって読み上げるのかは不明ですが。次に対数関数をもうすこし一般化します。