【転置行列の性質】積の転置行列の証明あり。性質】積の転置行列の証明あり。2021年4月14日こんにちは(@t_kun_kamakiri)(^^)/前回では、「行列の計算方法」についての記事をまとめました。前回の記事はこちら【転置行列の性質】積の転置行列の証明あり。今回は転置行列について解説を行います。積の転置行列\({}^t\!(AB)={}^t\!B\,{}^t\!A{}\)の証明これから線形代数を学ぶ学生や社会人のために「役に立つ内容にしたい」という思いで記事を書いていこうと考えています。積の転置は積の左右を入れ替えた転置の積を与える\({}^t\!(AB)={}^t\!B\,{}^t\!A{}\)の証明まとめ参考にする参考書はこれ転置行列の定義$(m,n)$型行列$A$の縦横を逆にした$(n,m)$行列を$A$の転置行列と言います。$A$の転置行列\({}^t\!A\)と書きます。※転置行列を$A^{T}$と表記することもあります。カマキリ言葉にするとよくわかりませんね。具体的に$(m,n)$型行列$A$の転置行列を書いてみましょう。一般的すぎるとわかりにくいですね・・・カマキリもっと具体的な行列で解説をします。行列$A$を3行2列の行列とします。a_{32}\\\end{pmatrix}\)となり、2行3列の行列になります。このように行列$A$の$(i,j)$成分の値は$a_{ij}$ですが、転置行列\({}^t\!A\)の$(i,j)$成分の値は$a_{ji}$となっています。具体的に言うと$A$の$(1,2)$成分の値は$a_{12}$ですが、転置行列\({}^t\!A\)の$(1,2)$成分の値は$a_{21}$となっているということです。成分の添え字が入れ替わっていることに注意しましょう。行と列を入れ替えたので、成分の添え字が入れ替わっているということですね。カマキリでは、以下の行列の転置行列はどうなるでしょうか?行列$A$を4行3列の行列とします。12\\\end{pmatrix}$この行列$A$の転置行列(行と列を入れ替える)を考えてみましょう。12\\\end{pmatrix}\)となり、3行4列の行列になります。転置行列は行と列を入れ替えた行列だということが理解できたことでしょう(^^)積の転置は積の左右を入れ替えた転置の積を与えるでは、転置行列で重要な基本法則をいくつか紹介します。\({}^t\!({}^t\!A)=A\)\({}^t\!(A+B)={}^t\!A+{}^t\!B\)\({}^t\!(cA)=c{}^t\!A\)\({}^t\!(AB)={}^t\!B\,{}^t\!A{}\)この中で一番曲者は\({}^t\!(AB)={}^t\!B\,{}^t\!A{}\)でしょう。いうことで、今回は\({}^t\!(AB)={}^t\!B\,{}^t\!A{}\)の証明をして本記事を終えたいと思います。\({}^t\!(AB)={}^t\!B\,{}^t\!A{}\)の証明$(l,m)$型の行列$A$と、$(m,n)$型の行列$B$を考えます。このとき行列の積$AB$の$(i,j)$成分は以下のように書けます。+a_{im}b_{mj}\end{align*}となります。$m$の数が同じなので行列の掛け算が行えますね。こちらは前回の記事(行列の計算)でも解説を行いましたので怪しい方は↓こちらの記事をご参考ください。前回の記事はこちら【行列の定義と計算方法】高校生からわかる線形代数入門。\({}^t\!(AB)\)の成分だけを考えて計算を進めてみましょう。\begin{align*}{}^t\!(AB)_{ij}&=\sum^{m}_{k=1}{}^t\!(a_{ik}b_{kj})\\&\underset{iとj\\を入れ\\替え}{=}\sum^{m}_{k=1}a_{jk}b_{ki}\\&=\sum^{m}_{k=1}b_{ki}a_{jk}\\&=\sum^{m}_{k=1}{}^t\!b_{ik}{}^t\!a_{kj}\\&=({}^t\!B\,{}^t\!A)_{ij}\end{align*}よって、\begin{align*}{}^t\!(AB)={}^t\!B\,{}^t\!A\end{align*}となります。BA$なので安易に行列の積を入れ替えてはいけなません。\begin{align*}{}^t\!(AB)\underset{これは間違い}{=}{}^t\!A\,{}^t\!B\end{align*}まとめ$(m,n)$型行列$A$の縦横を逆にした$(n,m)$行列を$A$の転置行列と言い、$A$の転置行列\({}^t\!A\)と書きます。簡単に言うと転置行列とは行と列を入れ替えた行列のことです。転置行列の基本的な性質は以下となります。\({}^t\!({}^t\!A)=A\)\({}^t\!(A+B)={}^t\!A+{}^t\!B\)\({}^t\!(cA)=c{}^t\!A\)\({}^t\!(AB)={}^t\!B\,{}^t\!A{}\)特に4番目の\({}^t\!(AB)={}^t\!B\,{}^t\!A{}\)は必ず覚えておきましょう!次回の記事はこちら【行列式の計算(サラスの公式)】大学一年生にも超わかりやすく解説する。参考にする参考書はこれ当ブログでは、以下の2つの参考書を読みながらよく使う内容をかいつまんで、一通り勉強すればついていけるような内容を目指していこうと思います。01:35時点)Amazon楽天市場YahooAmazonの情報を掲載しています大事なところをかいつまんで、「これはよく使うよな。【なぜ行列式の計算するのか?】逆行列を持つ条件とは。使って任意関数を表そう。【フーリエ変換】非周期関数を考える。複素フーリエ級数展開の周期性を無限大にしよう。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。付いている欄は必須項目ですナブラ演算子の基礎を理解する3つのメリット。【なぜ行列式の計算するのか?】逆行列を持つ条件とは。製造業コミュニティ製造業コミュニティは製造業で働く方や製造業へ就職を考えている学生の方が匿名で気軽に情報交換を出来るオンラインコミュニティです。本が聴けるアプリAudible(オーディブル)☟30日間の無料体験(最初の1冊は無料)プロフィールカマキリ(^^)大学の専攻は物性理論で、Fortranを使って数値計算をしていました。CAEを用いた流体解析は興味がありOpenFOAMを使って勉強しています。CAE解析(流体解析)notenoteで内容は主に「プログラミング言語」の勉強の進捗を書いています。「現在勉強中の内容」「日々思ったこと」も日記代わりに書き記しています。1DCAEの操作方法などを動画にしています。(音声はありません_(._.)_)製造業コミュニティをやっています。Facebookを使った実名登録。製造業ブロガーコミニティ案内オンライン家庭教師のご要望あればご連絡ください。Amazonのアソシエイトとして、当メディアは適格販売により収入を得ています。・当メディアはGoogleによるユーザーに合わせた自動広告が表示されます。Twitterカマキリ☟こちら日々の「思ったこと」「勉強している内容」を発信しています。4Pythonを使ってTwitterAPIで自作botを作りました。製造業コミュニティの方々と運営しています。botを作るのかを知りたい方はこちら。【超丁寧に解説】Pythonを使ってTwitterAPIでGoogleスプレッドシートに書いた内容を画像付きでツイート投稿する。性質】積の転置行列の証明あり。宇宙に入ったカマキリ。