前回は、一般速度\(\dot{q}_{i}\)を部分的に変換するラウシアンというのを紹介しました。紹介したと言っても表にまとめてみただけです(笑)そして本日はその続きで、ラウシアンを導入するまでの手続きをゴリゴリ式を書きながらやっていきたいと思います。一般座標:\(q_{1},q_{2},\cdot\cdot\cdot,q_{i},\cdot\cdot\cdot,q_{m},\xi_{1},\xi_{2},\cdot\cdot\cdot,\xi_{j},\cdot\cdot\cdot,\xi_{n}\)一般速度:\(\dot{q}_{1},\dot{q}_{2},\cdot\cdot\cdot\dot{q}_{i},\cdot\cdot\cdot,\dot{q}_{m},\dot{\xi}_{1},\dot{\xi}_{2},\cdot\cdot\cdot,\dot{\xi}_{j},\cdot\cdot\cdot,\dot{\xi}_{n}\)であるとします。見にくいので↓下記のように書きます。(1)\end{align*}と書けます。全部で\(m+n=f\)個の自由度があるものとします。(2)\end{align*}が成り立ちます。前回の記事はこちら運動量保存則:並進対称(ネーターの定理):ランダウ=リフシッツの”力学”ルジャンドル変換からハミルトンの正準方程式の導出\(\dot{\xi}_{j}\)については、一般運動量に変換しないつもりなので、2のような関係式は導入しません。あとは、両者ラグランジュ方程式を満たしますので、↓こちらも用意しておきましょう。(5)\end{align*}に対して、全微分を考えます。(5)\end{align*}※今、ラグランジアンは時間\(t\)に陽に依存しないとしています。(5)式第一項についてまずは(3)式を使い、その後(2)式を使います。\dot{q}_{i}}dq_{i}=\frac{d}{dt}p_{i}dq_{i}=\dot{p}_{i}dq_{i}\end{align*}(5)式第三項について(2)式を使います。\dot{q}_{i}}d\dot{q}_{i}=p_{i}d\dot{q}_{i}\end{align*}これらを(5)式に代入します。(6)\end{align*}次は、(6)式の第三項\(p_{i}d\dot{q}_{i}\)に着目します。\begin{align*}d(p_{i}\dot{q}_{i})=p_{i}d\dot{q}_{i}+\dot{q}_{i}dp_{i}\end{align*}ですので、これの第一を使います。(7)\end{align*}↑こんな感じになりました。(7)\end{align*}(7)式の左辺の全微分の形ですが、ラウシアン(ラウス関数)を導入します。(8)\end{align*}変数がわかるように書くと、\begin{align*}R(\{q_{i}\},\{\xi_{i}\},\{p_{i}\}\{\dot{\xi}_{i}\})=\sum_{i}p_{i}\dot{q}_{i}-L(\{q_{i}\},\{\xi_{i}\},\{\dot{q}_{i}\}\{\dot{\xi}_{i}\})\end{align*}ごちゃごちゃしていますが、よーく見ると、\(\{\dot{q}_{i}\}\)が\(\{p_{i}\}\)に変わっていますよ。(9)\end{align*}と書けますね。ラウシアン(ラウス関数)の全微分ラウシアン(ラウス関数)の全微分を考えます。(5)式と同じ感じでするだけです。(9)\end{align*}とを比較します。(14)\end{align*}(11)(12)は、見るからにハミルトンの正準方程式と同じ形ですね!(^^)!(13)(14)をもう少し式変形します。言ってももとのラグランジュ方程式に代入するだけです(笑)。(15)\end{align*}\(L\)が\(R\)に変わっただけですね。(15)\end{align*}系のエネルギーエネルギーについては↓こちらの記事をご参考ください。(16)\end{align*}と書きます。(17)\end{align*}まとめ何をしたくて、何をしたかをまとめます。(1)\end{align*}ですが、一般速度\(\{\dot{q}_{i}\}\)だけ一般運動量\(\{p_{i}\}\)に変えたい。一般速度\(\{\dot{\xi}_{j}\}\)については一般速度\(\{\dot{\xi}_{j}\}\)のままにしておく。(8)\end{align*}※変数を書くと、\(R(\{q_{i}\},\{\xi_{i}\},\{p_{i}\}\{\dot{\xi}_{i}\})=\sum_{i}p_{i}\dot{q}_{i}-L(\{q_{i}\},\{\xi_{i}\},\{\dot{q}_{i}\}\{\dot{\xi}_{i}\})\)を導入して、\(\{\dot{q}_{i}\}\)が\(\{p_{i}\}\)に変換。(15)\end{align*}\(\{q_{i}\}\)や\(\{p_{i}\}\)についてはハミルトンの正準方程式を使い、\(\{\xi_{i}\}\)や\(\{\dot{\xi}_{i}\}\)についてはそのままラグランジュ方程式を使うということになります。(17)\end{align*}と書けます。ラグランジュ形式とハミルトン形式の違いを理解しておこう。kamakiri宇宙に入ったカマキリ解析力学ガリレイの相対性原理に対してラグランジュ方程式は変わらない。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。製造業コミュニティ製造業コミュニティは製造業で働く方や製造業へ就職を考えている学生の方が匿名で気軽に情報交換を出来るオンラインコミュニティです。本が聴けるアプリAudible(オーディブル)☟30日間の無料体験(最初の1冊は無料)プロフィールカマキリ(^^)大学の専攻は物性理論で、Fortranを使って数値計算をしていました。CAEを用いた流体解析は興味がありOpenFOAMを使って勉強しています。CAE解析(流体解析)notenoteで内容は主に「プログラミング言語」の勉強の進捗を書いています。「現在勉強中の内容」「日々思ったこと」も日記代わりに書き記しています。1DCAEの操作方法などを動画にしています。(音声はありません_(._.)_)製造業コミュニティをやっています。Facebookを使った実名登録。製造業ブロガーコミニティ案内オンライン家庭教師のご要望あればご連絡ください。Amazonのアソシエイトとして、当メディアは適格販売により収入を得ています。・当メディアはGoogleによるユーザーに合わせた自動広告が表示されます。Twitterカマキリ☟こちら日々の「思ったこと」「勉強している内容」を発信しています。4Pythonを使ってTwitterAPIで自作botを作りました。製造業コミュニティの方々と運営しています。botを作るのかを知りたい方はこちら。【超丁寧に解説】Pythonを使ってTwitterAPIでGoogleスプレッドシートに書いた内容を画像付きでツイート投稿する。宇宙に入ったカマキリ。