にゃんこ【3分で分かる!】2次関数のグラフの描き方をわかりやすくはじめに二次関数のグラフは数学全般でとても重要で、グラフを描く問題が出題されるだけでなく、グラフを描かないと解けない問題もあります。今回は東京工業大学に通う筆者が、これから二次関数の勉強を始める人にはもちろん、理解が曖昧で復習したい人にも分かりやすく二次関数のグラフの描き方を解説します!二次関数のグラフの描き方を身につけるための例題・練習問題も用意しました。順番に解説していきます。二次関数のグラフの描き方1:上に凸か下に凸か確かめる二次関数のグラフは必ず上に凸または下に凸となります。上に凸なグラフとは、このように上側が出っ張っているグラフのことです。逆に下に凸なグラフとは、このように下側が出っ張っているグラフのことです。二次関数のグラフが上に凸か下に凸か調べるのは非常に簡単で、\(y=ax^2+bx+c\)の\(x^2\)の係数\(a\)が正ならば下に凸、負ならば上に凸です。具体的に言うと、\(y=x^2+2x+3\)は\(x^2\)の係数が\(1\)で、これは正なので下に凸です。\(y=-3x^2+x-4\)は\(x^2\)の係数が\(-3\)で、これは負の数なので上に凸となります。どっちがどっちか忘れてしまったら、\(y=x^2\)のグラフを思い出してください。これはグラフの形からして下に凸ですね。\(y=x^2\)は\(x^2\)の係数\(1\)が正なので、\(x^2\)の係数が正なら下に凸だと分かります。二次関数のグラフの描き方2:平方完成する平方完成とは、\(y=ax^2+bx+c\)の形の式を\(y=a(x-p)^2+q\)の形に変形することです。平方完成の方法が分からない方はこちらの記事をご覧ください。平方完成の簡単なやり方とコツをわかりやすく2020.05.08二次方程式のグラフを描くにあたって最も重要な過程ですので、きちんとマスターしましょう。二次関数のグラフの描き方3:グラフの頂点を求める平方完成したあとの\(y=a(x-p)^2+q\)の式のpとqを用いると、グラフの頂点は\((p,q)\)だとわかります。そこで、グラフ用紙の\((p,q)\)の場所に点を打っておきます。平方完成するのが面倒という場合は、\(y=ax^2+bx+c\)の式から直接頂点の座標を求める方法もあります。この場合、頂点の座標は、\((-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a})\)です。平方完成をするのが面倒だという場合は、この式を覚えてしまいましょう。二次関数のグラフの描き方4:軸との交点を求めるx軸とy軸、それぞれとの交点を求めなければいけません。y軸との交点は必ず1つだけあります。それは、\(y=ax^2+bx+c\)のグラフの\((0,c)\)の点です。ここもプロットしましょう。(y軸は\(x=0\)の点を集めた線なので、\(x=0\)を代入すると\(y=c\)が出るので、\(x=0\)かつ\(y=c\)である点\((0,c)\)が交点となります。)x軸との交点は0〜2個あります。\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)の実数解の数と同じです。\sqrt{b^2-4ac}}{2a},0)\)となります。この点もグラフに描き入れましょう。二次方程式の解の求め方について詳しく知りたい方はこちらをご覧ください【3分で分かる!】二次方程式の問題の解き方をわかりやすく2020.06.30二次関数のグラフの描き方5:点をなめらかな線でつなぐ最後に、求めた頂点や交点をなめらかな曲線でつなぐと完成です。具体的な描き方は、次の例題をみてください。例題\(y=x^2+4x+3\)のグラフをかけ。グラフの描き方の5つのステップにしたがって解いていきましょう!二次関数のグラフの描き方1:上に凸か下に凸か確かめる\(x^2\)の係数\(1\)は正なので下に凸です。二次関数のグラフの描き方2:平方完成する\(y=x^2+4x+3\)\(=(x^2+4x)+3\)\(=(x+2)^2-2^2×1+3\)\(=(x+2)^2-1\)となります。二次関数のグラフの描き方3:グラフの頂点を求める\(y=(x+1)^2+2\)より、頂点は\((-2,-1)\)と分かります。頂点の座標の公式\((-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a})\)に\(a=1\)、\(b=4\)、\(c=3\)を代入しても頂点\((-2,-1)\)を求めることができます。二次関数のグラフの描き方4:軸との交点を求めるy軸との交点は、\((0,3)\)です。x軸との交点を求めるために二次方程式\(x^2+2x+3=0\)を解きます。\(x^2+4x+3=(x+1)(x+3)\)と因数分解できるので\((x+1)(x+3)=0\)より解は\(x=-1,-3\)です。よってx軸との交点は\((-1,0)\)、\((-3,0)\)です。二次関数のグラフの描き方5:点をなめらかな線でつなぐ最後に、上で求めた頂点\((-2,-1)\)、交点\((0,3)\)、\((-1,0)\)、\((-3,0)\)をなめらかな線でつなぎます。問題\(y=-3x^2-12x+15\)のグラフをかけ。例題に比べて複雑な式になっていますが、本質は変わっていません。落ち着いて、二次関数のグラフの描き方の5つのステップを思い出しましょう。二次関数のグラフの描き方1:上に凸か下に凸か確かめる\(x^2\)の係数\(-3\)は負なので上に凸です。二次関数のグラフの描き方2:平方完成する\(y=-3x^2-12x+15\)\(=-3(x^2+4x)+15\)\(=-3(x+2)^2-2^2×(-3)+15\)\(=-3(x+2)^2+27\)となります。二次関数のグラフの描き方3:グラフの頂点を求める\(y=-3(x+2)^2+27\)から、頂点は\((-2,27)\)です。座標の公式の\((-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a})\)に\(a=-3\)、\(b=-12\)、\(c=15\)を代入しても頂点\((-2,27)\)を求めることができます。二次関数のグラフの描き方4:軸との交点を求めるy軸との交点は、\((0,15)\)です。x軸との交点を求めるために二次方程式\(-3x^2-12x+15=0\)を解きます。\(-3x^2-12x+15=-3(x-1)(x+5)\)と因数分解できるので\((x-1)(x+5)=0\)より解は\(x=1,-5\)です。よってx軸との交点は\((1,0)\)、\((-5,0)\)です。二次関数のグラフの描き方5:点をなめらかな線でつなぐ最後に、上で求めた頂点\((-2,-1)\)、交点\((0,3)\)、\((-1,0)\)、\((-3,0)\)をなめらかな線でつなぎます。二次関数のグラフの問題はセンター試験でも出題されます。この記事を読んでマスターしてください!また、二次関数のグラフを描く問題では、グラフを平行移動する問題もよく出題されます。平行移動に関してはこちらをご覧ください。皆さんの意見を聞かせてください!合格サプリWEBに関するアンケートアンケートに回答する!RECOMMENDこちらの記事も人気です。数学2020.5.8【3分で分かる!】グラフの平行移動の公式とその証明・例題についてわかりやすく数学2020.6.25【3分で分かる!】二次関数の頂点の求め方をわかりやすく(練習問題付き)ABOUTこの記事をかいた人はるにゃんこ都内の大学で数学を勉強しています。顔が石川佳純に似ているらしいです。