みや【3分で分かる!】重解を持つとは?意味や求め方をわかりやすくはじめに重解は、高次方程式における特殊な解であり、色々な問題の中で出てくるものです。いう意味のものなのか、いまいちはっきりとつかめていない人も多く、初歩的なミスをしがちです。ここでは、特に二次方程式の重解について、いろんな角度から解説していきたいと思います。まとめ:重解と判別式そもそも「重解」の意味とは?まず、そもそも重解とは何かを一度確認しておきます。簡単に言えば高次方程式の解で2つの解が同じ値であるときのその解のことを言いますが、もう少し重解について考えてみましょう。二次方程式\(ax^2+bx+c=0\)(ただし\(b^2-4ac≧0\)の時)を考えてみましょう。}\)(ルート)の中身が\(0\)とならねばなりませんから\(b^2-4ac=0\)である必要があります。したがって、二次方程式が重解を持つための必要十分条件は、\[b^2-4ac=0\]であることがわかりました。この\(b^2-4ac\)を判別式\(D\)といいます。二次方程式に限り、重解をもつかどうかを調べるには判別式が\(0\)であるかどうかを調べれば良いのです。判別式について復習したい人は以下の記事を読んでみましょう。【3分で分かる!】2次方程式の判別式の求め方・使い方をわかりやすく2020.07.16さて、次は重解を別のやり方、二次関数で捉えてみたいと思います。二次関数\(y=ax^2+bx+c\)のグラフと\(x\)軸の共有点の\(x\)座標は、二次方程式\(ax^2+bx+c=0\)の実数解で与えられます。その実数解の個数は、その二次方程式の判別式\(D=b^2-4ac\)の正負で決まります。二次関数\(y=ax^2+bx+c\)のグラフと\(x\)軸の位置関係は、以下のような種類があります。二次方程式\(ax^2+bx+c=0\)の解が重解になるのは、上の図で言えば真ん中の\(x\)軸と二次関数のグラフが一点で接している場合です。この接している一点を接点といい、接点の値が二次方程式\(ax^2+bx+c=0\)の重解となります。逆に、二次方程式が重解を持つとき、その関数のグラフは\(x\)軸とある1点で接するということになりますね。今度は例題で確認してみましょう。左側の辺を因数分解をすると、\((x-3)^2=0\)となります。よって、この二次方程式の解は\(x=3\)(重解)となります。}=3^2-9=0\)と、たしかに\(0\)になっていますね。}-ac\)として計算をした方が、あとあと4で割る手間も省け、値自体もスッキリするのでオススメです。実際に問題を解くときは、判別式でいちいち確認していては時間の無駄ですので、具体的な値が出るときは判別式は基本的に使いません。次は、三次方程式の問題に挑戦してみましょう。三次方程式の解にも重解があります。それは三次方程式が重解と、他の1解をもつときです。最初に断ったように、重解は二次方程式だけに関係するものではありません。高次(二次以上)の方程式であれば重解を持ち得ます。\(x^3-7x^2+15x-9=0\)を解け。解答・解説この問題の場合、因数定理を使います。因数定理については【3分で分かる!】因数定理の証明と使い方をわかりやすく(練習問題付き)2017.04.09を参照してください。ここで、\(f(x)=x^3-7x^2+15x-9\)とすると、\(f(1)=1-7+15-9=0\)より\(f(x)=0\)は\(x=1\)を因数にもつ。二次の部分をさらに因数分解をすると、\((x-1)(x-3)^2=0\)となります。よって、三次方程式\(x^3-7x^2+15x-9=0\)の解は、\[x=1とx=3(重解)\]となります。三次方程式でも四次方程式であっても、重解が解になりうるということに注意が必要です。三次方程式の解には、3つの全く別の値の解、重解1つと重解とは別の値をとる解1つというパターンの他に、3つの解の値が全部同じになる3重解というものもあります。具体的には三次方程式\(x^3=1\)の解が\(x=1\)だだひとつになる、といった具合です。解説を読んで理解したら、どんどん問題を解いて練習しましょう!練習問題1二次方程式\(x^2-ax+1=0\)について、\(a\)の値によって、解の個数がどのように変化するかを調べよ。練習問題1の解答・解説この問題をみたときに、まず思い浮かんではしいのは判別式です。判別式を用いる問題だ、と気づくことさえできればゴールは見えてきます。\(D=a^2-4\)\(D\)の正負によって解の個数が変わってくるので、\(D\)の符号に着目します。\(a^2>4\)ゆえに\(a<-2,a>2\)同様に他の場合についても調べていきます。2\)のとき、重解\(-2<x<2\)のとき、解なしとなります。練習問題2二次方程式\(x^2-kx+4=0\)の解が重解となるような定数\(k\)を求めよ。今回の問題も主役は判別式です。判別式がいかに強烈な武器になるかをわかってもらえると思います。4\)のとき二次方程式は重解を持つことがわかります。まとめ:重解と判別式いかがでしたか?練習問題を解いていてお気付きの方もいるかもしれませんが、二次方程式で重解が絡む問題には判別式がつきものといっても過言ではありません。重解がどのようなもので、いつ判別式を持ち出せばよいのかをしっかり判断できるようになれば、怖いもの無しです。練習を重ねて、マスターしてみてください!!!2次関数のグラフの描き方についての記事もあわせてご覧くださいね。さんの意見を聞かせてください!合格サプリWEBに関するアンケートアンケートに回答する!RECOMMENDこちらの記事も人気です。キャンパスライフ2022.10.1大学生協の入学準備サポートで大学生活のスタートダッシュを切ろう!数学2020.7.18【3分で分かる!】logを簡単に!対数の問題のパターンをわかりやすく数学2020.9.18軌跡の問題の解き方をわかりやすく解説!(練習問題つき)数学2021.11.8【3分で分かる!】三角関数のグラフの書き方を全パターンわかりやすく数学2020.5.19【3分で分かる!】円の接線を求める公式とその使い方をわかりやすく数学2022.1.11【3分で分かる!】メネラウスの定理の覚え方や使い方をわかりやすく(証明付き)科目別解説2016.11.13【時制】現在時制と現在進行形ABOUTこの記事をかいた人みや東大法学部4年。公共政策における社会保障やロールズの正義論を関心分野に法律を勉強中。