前回は、流体力学にケルビンの循環定理というものを示しました。下記のような疑問に対してヒントを得るためです。渦が生成されるのか?渦を生成する要因は何か?これらの”渦が生成するためのヒント”をいくつか与えられたらなと思います。※完全なメカニズムまでは説明しきれないですが。本記事の内容は、ヘルムホルツの渦定理というのを解説します。カマキリ渦は奥深い渦が生成するための仕組みを理解するために、以下の内容を順番に投稿していきたいと思います。ケルビンの循環定理とは何か?まずはケルビンの循環定理の復習を行います。記の3つの条件を課すと、「流れに沿って変化する循環の時間変化を考えると、循環は変化しない」。U\)バロトロピー流れ(密度が圧力のみの関数)\(\rho=f(p)\)流体の粘性項が無い循環が変化しない(保存)\begin{align*}\frac{D\Gamma_{c}}{Dt}=0\end{align*}ここから重要な結論を導くことができます。渦度はその名の通り渦を定義する一つの物量であります。循環は下記の絵のように渦度に関係する量です。その循環が、下記の3つの条件を課すと、時間変化しないということをケルビンの循環定理が教えてくれます。循環が0・・・・つまり渦度が0・・・・渦がない状態から始まったら上記の条件のもとでの流れであると、ケルビンの循環定理より循環はず~っと0である、つまり渦はどう頑張っても生成できないということを教えてくれています。確かに上記の3つの条件を課すことは実現象ではあまりに限定され過ぎた流れでしょう。上記のような条件を課さなければケルビンの循環定理は成り立たないということになります。言い換えると、上記の3つの条件のうちのどれかでも崩れると、渦を生成しても良いという結論になります。=0\)→ずっと渦あり渦管を考えるヘルムホルツの渦定理を説明しする前に、渦管について考えてみます。渦糸:渦管を断面積を無限小にしたもの今回は上の渦管について考えていきます。渦管固有の量になる循環は閉曲線\(C\)の取り方に依らない要するに、渦管のどの部分の閉曲線をとって循環を計算しても同じだよということを示すことができます。下記の絵のように、渦管を考えます。その渦管の側面に沿って閉曲線\(C\)と閉曲線\(C^{‘}\)、それからそれをつなぐ点\(A,B,C,D\)を用意します。※「\(A\)と\(D\)」「\(B\)と\(C\)」はほぼくっついている状態と思ってください。閉曲線\(C^{‘}\)で線積分\(B\)から\(A\)で線積分この流れで線積分を実行していくと、最終的に1周して元の位置に戻ってきますので、同じ値同士を引き算していることになります。d\boldsymbol{r}\tag{1}\end{align*}となります。これは、渦管上で適当に選んだ2つの循環が同じであるということを意味しています。渦管固有の量になる循環は閉曲線\(C\)の取り方に依らないということです。※これはケルビンの循環定理が成り立つかどうかに関わらず、一般的な結論であることに注意してください。ヘルムホルツの渦定理では、ヘルムホルツの渦定理をみていきます。考え方をわかりやすくするために、渦面というのを考えます。渦面というのは渦線に沿って貼られる曲面というものです。絵を描いてみましょう。先ほどは一本の渦管のまわりで閉曲線を書きましたが、複数の渦管のまわりに閉曲線を作った状態を考えます。そこで、適当な曲線を引いて、その曲線上の各点に通る渦線が作る面を考えます。流れに沿って渦面は渦面として保たれる(渦面上で循環0)渦面上で流れに沿って渦面は渦面として保たれるというのを示すことができます。それは、下記の絵のように渦面上に適当に閉曲線を描きます。渦面上で閉曲線を描くと、閉曲線との法線ベクトル\(\boldsymbol{n}\)は渦度\(\boldsymbol{\omega}\)と垂直であるので、内積が0になります。\bigg)\cdot\boldsymbol{n}dS=\iint_{S}\boldsymbol{\omega}\cdot\boldsymbol{n}dS=0\tag{3}\end{align*}これを見ると渦面は循環が0ということになるので、ケルビンの循環定理より「渦面は渦面のとしてずっと変わらない(保たれる)」ということになります。くどいようですが、ケルビンの循環定理はどんな時でも成り立つというものではなく、下記の条件のときに定理であることを再確認しておきましょう。U\)バロトロピー流れ(密度が圧力のみの関数)\(\rho=f(p)\)流体の粘性項が無い渦管もひとつの渦面ですよね。こんな感じで渦面をグルっと巻いて渦管を作ります。「渦面は渦面のとしてずっと変わらない(保たれる)」→「渦管は渦管のままずっと変わらない(保たれる)」ということになります。渦管固有の量になる循環は閉曲線\(C\)の取り方に依らない渦管は渦管のまま保たれるです。「循環は渦管に固有の量であり、ぞの渦管は保たれる」ということになります。これが、ヘルムホルツの渦定理と呼ばれるものです。※ただし、上の結論はケルビンの循環定理が成り立つ条件下であることに注意。まとめ渦管のどの部分の閉曲線をとって循環を計算しても同じヘルムホルツの渦定理:循環は渦管に固有の量であり、ぞの渦管は保たれる※ただし、ヘルムホルツの渦定理はケルビンの循環定理が成り立つ条件下であることに注意。補足:一本の渦糸についてここでは一本の渦管について考えます。「一本の渦管を無限に細くしていったものを渦糸という」という説明は上でしました。この渦糸の細さ(断面積)を\(s\)というふうに書くことにします。\bigg)\cdot\boldsymbol{n}dS=\boldsymbol{\omega}\iint_{S}\cdot\boldsymbol{n}dS=\boldsymbol{\omega}s\tag{4}\end{align*}補足:渦線は「境界から境界へ伸びる」か「渦輪を作るか」しかない上で解説した渦管のどの部分の閉曲線をとって循環を計算しても同じというのは、渦管(渦管の側面である渦線)上のどこをとっても循環が同じっていうことですよね。どこまでも渦管の循環は同じなのかというと・・・・そういうわけではなく、下記の2つに限られるということになります。1.渦管が無限に続くか、境界から境界まで伸びる無限に伸びるというのは現実的ではないので、渦線が切れることなく境界から境界まで伸びるというイメージになります。2.自分自身で閉じてしまって渦輪をつくる補足については以上です。初心者から中級者で流体力学を学ぶのにおすすめの参考書を以下に列挙しておきます。流体力学は、「工学向け」か「理学向け」で内容が結構変わってきます。工学向けでは以下の3冊をお勧めします。09:20時点)Amazon楽天市場YahooAmazonの情報を掲載しています👆こちらは、初心者でもわかりやすく理解できると思います。演習書としては以下のものが、難しすぎず・・・がっつり練習できます。僕は、理学部出身なので主に愛用していた書籍を紹介します。07:13時点)Amazon楽天市場YahooAmazonの情報を掲載しています👆こちらの書籍は流体力学を学ぶために一番最初に購入した本なのですが、今まで読んだ流体力学の中で一番わかりやすいと思っています。残念過ぎるのは「前編」だけを書いて著者がお亡くなったため、「後編」がないという参考書です。それなのに絶版にならずに書籍で見かけるんですから、相当有名なんだろうなと思います。優しい参考書としては「今井氏」の流体力学がお勧めですね。10:03時点)Amazon楽天市場YahooAmazonの情報を掲載しています※最後に「1000ページ」くらいの乱流力学の教科書も紹介しておきます(笑)買ってしまった。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。製造業コミュニティ製造業コミュニティは製造業で働く方や製造業へ就職を考えている学生の方が匿名で気軽に情報交換を出来るオンラインコミュニティです。本が聴けるアプリAudible(オーディブル)☟30日間の無料体験(最初の1冊は無料)プロフィールカマキリ(^^)大学の専攻は物性理論で、Fortranを使って数値計算をしていました。CAEを用いた流体解析は興味がありOpenFOAMを使って勉強しています。CAE解析(流体解析)notenoteで内容は主に「プログラミング言語」の勉強の進捗を書いています。「現在勉強中の内容」「日々思ったこと」も日記代わりに書き記しています。1DCAEの操作方法などを動画にしています。(音声はありません_(._.)_)製造業コミュニティをやっています。Facebookを使った実名登録。製造業ブロガーコミニティ案内オンライン家庭教師のご要望あればご連絡ください。Amazonのアソシエイトとして、当メディアは適格販売により収入を得ています。・当メディアはGoogleによるユーザーに合わせた自動広告が表示されます。Twitterカマキリ☟こちら日々の「思ったこと」「勉強している内容」を発信しています。4Pythonを使ってTwitterAPIで自作botを作りました。製造業コミュニティの方々と運営しています。botを作るのかを知りたい方はこちら。【超丁寧に解説】Pythonを使ってTwitterAPIでGoogleスプレッドシートに書いた内容を画像付きでツイート投稿する。宇宙に入ったカマキリ。