G$なら、次の(1)、(2)が成り立つ。(1)(簡約法則)$ac=bc$なら、$a=b$(2)$ab=c$なら、$a=cb^{-1},b=a^{-1}c$(1)$ac=bc$の両辺に右から$c^{-1}$をかければよい(2)$ab=c$の両辺に右から$b^{-1}$をかけて$a=cb^{-1}$を得る。同様に、$b=a^{-1}c$を得る。この時$ab=ac$なら、$b=c$であることを証明せよ。証明$ab=ac$の両辺に左から$a^{-1}$をかければよい$G$を群とする。(1)群の単位元は一つに限る。G$に対してその逆元は一意に定まる。G$なら$(a^{-1})^{-1}=a$(1)$e_{1},e_{2}$が単位元としての性質を満たしているとするとき、$e_{1}e_{2}=e_{1}$($e_{2}$は単位元)$=e_{2}$($e_{1}$は単位元)となり、単位元の一意性が確認できた。G$の逆元を$b_{1},b_{2}$とすると、$b_{1}=(b_{2}a)b_{1}=b_{2}(ab_{1})=b_{2}$(3)実際$(b^{-1}a^{-1})ab=b^{-1}(a^{-1}a)b=b^{-1}b=1$同様に$ab(b^{-1}a^{-1})=1$したがって$ab$の逆元は$b^{-1}a^{-1}$(4)$aa^{-1}=a^{-1}a=1$であるがこれを$(a^{-1})^{-1}$を定義する関係式とみなすことができるので$a=(a^{-1})^{-1}$である。X$のことを$X$の置換という。,\tau$を$X$の置換とする。\tau$として定義する。$X$の置換全体は上で定義した演算により群となる。単位元は恒等写像$\textrm{id}_{X}$であり、$\sigma$の逆元は写像としての逆写像$\sigma^{-1}$である。結合法則は写像の合成について結合法則が成り立つことから従う。集合$X$の置換全体からなる群を$X$の置換群という。n\}$とするとき、$X_n$の置換を$n$次の置換という。$n$次の置換全体からなる群を$\mathfrak{S}_n$($\mathfrak{S}$はドイツ文字の「S」)で表す。$\mathfrak{S}_{n}$を$n$次の対称群という。\end{pmatrix}$とも書く。n$でなくてもよいものとする。2$となっているものである。\end{pmatrix}$である。$\tau^{-1}$は$\tau$の上下を交換して整理したものである。おわり互換と巡回置換については後日追加しときます()次回は部分群について書くと思います。高評価したユーザはいませんこの記事に送られたバッジバッジはありません。バッチを贈って投稿者を応援しようバッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。バッチを贈るコメントFefr好きなこと書きます簡単な命題と置換群の。