Roboticsロボット技術の相談やコンサルティングについては、こちらからお問い合わせください。2019-07-06スポンサーリンク前回の記事の続きとして、台車型倒立振子の運動方程式をラグランジュ方程式を用いて求めていく方法を紹介します。倒立振子が台車の上に乗っているシステムを台車型倒立振子と言います。この台車型倒立振子を制御する際には運動方程式を...前回のまで記事では、台車型倒立振子の運動方程式を紹介して、ラグランジュ方程式を用いるために運動エネルギーと位置エネルギーを算出しました。今回の記事では、前回求めた運動エネルギーと位置エネルギーからラグランジュ方程式を用いた運動方程式の求め方を紹介します。運動エネルギーの式を修正いたしました。詳しくはこちらを参照してください。台車型倒立振子とは、下の図のように倒立振子が台車の上に設置されたモデルです。$$と表すことが出来ます。この運動方程式を、前回求めた運動エネルギーと位置エネルギーからラグランジュ方程式を用いて実際に算出していきます。$$と表すことが出来ます。$$を代入して、台車型倒立振子の運動方程式を求めていきます。運動エネルギーと位置エネルギーの詳しい求め方は、こちらの記事を参考にしてください。倒立振子が台車の上に乗っているシステムを台車型倒立振子と言います。この台車型倒立振子を制御する際には運動方程式を...今回取り扱っている台車型倒立振子のモデルでは、変数が台車の変位xと振り子の角度θが含まれています。$$と表すことが出来ます。$$の2式となります。この2つのラグランジュ方程式について、それぞれの変数(xとθ)について解くことで、台車型倒立振子の運動方程式を求めることが出来ます。$$を解くことで、運動方程式を求めていきたいと思います。運動エネルギー(KE)について、ラグランジュ方程式に含まれる運動エネルギー(KE)を変位の時間微分(\(\dot{x}\))で偏微分した結果を求めます。$$そして、求めた結果を時間微分します。$$さらに、位置エネルギー(PE)を変位(x)で微分します。$$今回は、位置エネルギーPEに台車の変位xが含めれていないため、結果は0になります。$$と求めることが出来ました。$$を解いて、運動方程式を求めていきたいと思います。基本的に求め方は台車の変位xの場合と同じです。運動エネルギー(KE)について、ラグランジュ方程式に含まれる運動エネルギー(KE)を棒振り子の角度(θ)の時間微分(\(\dot{\theta}\))で偏微分した結果を求めます。$$そして、求めた結果を時間微分します。$$さらに、位置エネルギー(PE)を角度(θ)で微分します。$$と求めることが出来ます。$$と求めることが出来ました。(おまけ)運動方程式を線形化する今回の記事で求めた台車型倒立振子の運動方程式には、三角関数(sin(θ)やcos(θ))が含まれています。そのため、運動方程式は非線形な関数になっています。この非線形なシステムの取り扱いを簡単にするために、運動方程式を線形化する方法を紹介します。棒振り子の角度θが十分に小さいとします。$$と近似することが出来ます。$$のように扱うことが出来ます。$$のように線形のシステムとして表すことが出来ました。まとめ今回の記事では、台車型倒立振子の運動エネルギーと位置エネルギーをラグランジュ方程式に代入することで、運動方程式を求める方法を紹介しました。非線形な式で表された運動方程式を線形な運動方程式に変換する方法も紹介しました。前回と今回で求めた運動方程式を用いることで、台車型倒立振子を制御することが可能になります。合わせて読みたい算出した運動方程式から状態方程式を求める方法を紹介します。台車の上に倒立振子が設置されているシステムを台車型倒立振子と言います。PMコメント失礼します。今回のように倒立振り子でラグランジュ方程式で運動方程式を求める場合、第一項は運動エネルギー、第二項は位置エネルギー、というように計算してしまうとミスが生じるかと思います。具体的には、θによる微分について、運動エネルギー側にもθを含む項が存在するかと思います。本来であればここも微分される必要がありますが、こちらの記事では位置エネルギーにしか着目していないために見逃しているように思えます。私としては第一項は運動エネルギーだけ、第二項は位置エネルギーだけというように制限して計算するのではなく、素直にラグランジアンを用いて計算すべきではないか、と思うのですがどうなのでしょうか?既に別の記事で指摘済みであったり、こちらの勘違いでしたら申し訳ありません。AMコメントありがとうございます。ご指摘の通り本記事のモデルに対しては、運動エネルギーと位置エネルギーに分ける方法は適当ではありませんでした。正しくはラグランジアンを用いて、素直に確実に計算するべきでした。本記事で紹介したエネルギーを分ける方法は、モデルによっては計算がシンプルになるという利点があります。その一方で、モデルに適用可能かを判断する必要があるため、取り扱いには要注意だと改めて認識いたしました。ご指摘いただき,ありがとうございました。今後ともどうぞよろしくお願いします。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。Arduinoスターターキットこれからを始めたい人におすすめ。作りたいものは大体作れます。R3スマートロボットカーロボットを作ってみたい方におすすめ。Piを始めたい方におすすめ。基本的に必要なものが揃ってます。