軌跡の問題の解き方をわかりやすく解説!(練習問題つき)はじめに:軌跡の解き方をわかりやすく解説!軌跡の問題とは、例えば以下のような問題のことです。初見の人には「そもそも何を答えればいいの?」となる問題ですよね。そこでこの記事では、「軌跡」という言葉の意味から具体的な問題の解き方までわかりやすく解説します!これから軌跡を学習する人にも、一通り学んだ後に改めて知識を確認したい人にも有益な内容になっていますので、ぜひ最後まで読んでみてくださいね〜。軌跡とは?筆者が初めて軌跡の問題を見たときは、「軌跡......?」と困惑したものですが、同じような感想を抱いた方も多いと思います。学校では「軌跡」という言葉の意味を説明しないまま問題の解説に移ってしまうので、「『軌跡』って、結局どういう意味だっけ?」と疑問に思っている人も少なくないでしょう。そこで、軌跡の解き方の解説に入る前に、まずは「軌跡」の言葉の意味を確認しておきましょう。「点が一定の条件に従って動くときに描く図形。一定の条件を満たす点全体の集合」と規定されています。注目すべきは、軌跡とは点の条件を反映した図形であるということです。シンプルに言い換えれば、「軌跡とは点の条件」なのです。数学においては「軌跡=点の条件」と覚えておきましょう。「軌跡」という言葉の意味が理解できたところで、早速解き方を見ていきましょう。軌跡の問題の解き方は至ってシンプルです。求めたい点の条件を方程式にする。与えられている条件をもとに、出てきた方程式をyとxの関係がわかるように書き直す。要は点の条件を求めればいいわけです。問題によっては、簡単に条件を式に直せないこともありますが、大抵は練習の積み重ねでなんとかなります。B(0,6)からの距離の比が2:1になる点Pの軌跡を求めよ。解答・解説2点間の距離の比が一定になるような点の軌跡を、古代ギリシアの天文学者アポロニウスの名をとって「アポロニウスの円」と呼びます。この「アポロニウスの円」の問題は軌跡の最も基本的な問題として頻出なので、最初に確認しておきましょう!問題演習を始めるに当たって、もう一度解き方の基本を確認しておきます。求めたい点の条件を方程式にする。与えられている条件をもとに、出てきた方程式をyとxの関係がわかるように書き直す。点Pを(x,y)とおきます。これで1つ目のステップは完了したので、2つ目のステップ「点の条件を方程式にする」に進みます。今与えられている条件は、APとBPの距離の比が2:1になるということです。2BPなので、が成り立ちます。ここまでで2つ目のステップが完了したので、最後のステップ「与えられている条件をもとに、出てきた方程式をyとxの関係がわかるように書き直す」に移りましょう。上式を、xとyを使って書き直すとこのxとyについての2次式をさらに整理するとという、中心(1,8)、半径2√5の円の方程式が得られました。点Pの条件を式にすると円の方程式になるので、条件を満たす点Pは中心(1,8)、半径2√5の円上にあることがわかります。これだけでは十分ではありません。ここまでの考察では、「点Pが中心(1,8)、半径2√5の円上にある」ということがわかっただけで、「点Pは中心(1,8)、半径2√5の円の円周全体を動く=点Pの軌跡は円である」ということはまだわかっていないからです。幸いなことに、この問題では特に距離の比以外の点Pの条件が与えられていないので、他の条件を確かめなくても「点Pの軌跡は円である」ということが言えます。この問題の答えは「点Pの軌跡は中心(1,8)、半径2√5の円である」になります。他の問題では複数個条件があることが多いので、しっかり確かめてくださいね。以下の放物線における頂点Pの軌跡を求めよ。次に、求めたい点の条件を式に直します。この問題の点の条件は「放物線の頂点であること」なので、平方完成してこの条件を式に直せばいいですね。y)の条件式はになります。さあ、点の条件を式にできたので、条件式をyとxの関係に直すステップに移りましょう。f(x)」という式にしたいのですが、yを含む式にxが出てきません。そこで、1つ目の式からaをxで表し、yの式に代入します。f(x)の式に変更することができました。0という条件があるので、この条件式をxの式に置き換えて定義域とする必要があります。5」という定義域が導かれます。