多数の光線の束(多数の近接ヌル測地線が束になってるイメージ)を光線束という。なんで以下のような式が必要になるかというと,角径距離や光度距離などの宇宙論的距離は,光線束の断面の変化から定義されるからである。幾何光学近似のおさらいここのまとめを再掲。$x^{\mu}(v)$,これが光線。はアフィンパラメータ。渦無しヌル測地線であった。1$$(ここからの論理展開は別ページの偏差ベクトルの場合と同じ。\xi^{\nu}\end{eqnarray}が得られる。内積は光線に沿って一定であることは以下のようにして示される。ヌルであることから以下のような状況が生じてしまう。以下のように定義する。任意の定数(関数であっても可)である。「直交する」ことになってしまう。何に直交し,何に平行なのか,訳がわからなくなってしまう。(特殊相対論の項と同じ。直交する空間的単位ベクトルであり,観測者にとっては光がやってくる視線方向を表すベクトルになっている。直交するのが3次元空間。${\color{red}{2}}$という意味。以下のように定義できる。視線方向に垂直な空間的2次元面の計量テンソルとみなすことができるだろう。直交する,視線方向に垂直な空間的2次元面上のベクトルとする。とも「直交している」。0$$となることも容易に示すことができる。\nu}$$こそが変形を決める。使って「トレース部分」と「トレースレス部分」に分解する。(トレースとは対角和,計量テンソルによる縮約のこと。呼び,以下のように定義する。呼び,以下のようになる。以下のように定義する。光線束の光学スカラーと呼ぶ。表立っては現れない式になっていることに注意。依存しない,というところが,渦無しヌル測地線の束である光線束の特徴である。対するトランスポート方程式である。ついても同様に導くことができる。k^{\beta}k^{\nu}\end{eqnarray}右辺の面倒な項を別途計算する。なることは次のように理解する。正の固有値となっている。次に,リーマンテンソルを含む項の計算の際は,以下のリーマンテンソルの分解式を使う。ワイルテンソルと呼び,トレースレスである。dS$$となることを導く。