なかけんの数学ノートなかけんの数学ノート数学I数学A数学II数学B数学III数学C新課程対応しました。【問題】コンピュータの画面に、記号○と×のいずれかを表示させる操作をくり返し行う。このとき、各操作で、直前の記号と同じ記号を続けて表示する確率は、それまでの過程に関係なく、pであるとする。最初に、コンピュータの画面に記号×が表示された。操作をくり返し行い、記号×が最初のものも含めて3個出るよりも前に、記号○がn個出る確率を$P_n$とする。記号○がn個出た段階で操作は終了する。$P_2$をpで表せ。$P_3$をpで表せ。4$のとき、$P_n$をpとnで表せ。「○が表示される確率はp」というのが普通ですが、ここでは、「前回と同じ記号が表示される確率がp」となっていて、ちょっと見慣れない表現になっています。そのため、普通なら「○か×か」を考えますが、この問題では、「前回と同じ記号かどうか」に着目して考えていきます。(1)(2)は、あてはまる場合をすべて書き出して計算するほうが確実です。(3)は、×が1回だけの確率はすぐに求められます。問題は×が2回のときです。「前回と異なる記号が表示される回数」で場合分けをします。1回目2回目が「××」なら、「前回と異なる記号が表示される」のは1回だけです。「×○」なら、「前回と異なる記号が表示される」のは3回となります。そのため、1回目2回目が「××」か「×○」かで状況が変わってくるので、場合を分けて考えていきます。この問題は理系第2問とほぼ同じ問題です。コンピュータの画面に、記号○と×のいずれかを表示させる操作をくり返し行う。このとき、各操作で、直前の記号と同じ記号を続けて表示する確率は、それまでの過程に関係なく、pであるとする。最初に、コンピュータの画面に記号×が表示された。操作をくり返し行い、記号×が最初のものも含めて3個出るよりも前に、記号○がn個出る確率を$P_n$とする。記号○がn個出た段階で操作は終了する。$P_2$をpで表せ。$P_3$をpで表せ。3$のとき、$P_n$をpとnで表せ。【解答】(3)(A)2回目以降すべて○の場合、(B)2回目が×で3回目以降がすべて○の場合、(C)3回目からn+1回目までの間で1回×で他はすべて○の場合、の3つの場合を考えればよい。(A)2回目以降すべて○の場合2回目が○になる確率は、$1-p$。n$のとき、i回目が○のときに$i+1$回目も○になる確率はp。よって、こうなる確率は、$(1-p)p^{n-1}$。(B)2回目が×で3回目以降がすべて○の場合2回目が×になる確率は、$p$。このとき、3回目が○になる確率は、$1-p$。n+1$のとき、i回目が○のときに$i+1$回目も○になる確率はp。よって、こうなる確率は、$p(1-p)p^{n-1}=(1-p)p^n$。(C)3回目からn+1回目までの間で1回×で他はすべて○の場合3回目以降で×となるのがk回目であるとする。n+1$のとき、$i$番目と$i+1$番目に表示された記号を並べると、「×○」となるのが2回、「○×」となるのが1回、「○○」は$n-2$回となる。よって、$k$回目が×となる確率は、$(1-p)^3p^{n-2}$となる。n+1$の$n-1$通りであるため、(C)が起こる確率は、$(n-1)(1-p)^3p^{n-2}$となる。×が1回か2回かで場合分けが必要です。次に、2回目が○か×かでも場合分けが必要です。これによって、「○×」や「×○」と続く回数が異なってくるからです。(3)を解くときに(1)(2)を参考にしながら解くと、場合分けしやすいです。(1)と(2)があるので、(3)の答えが成り立つか確認してみましょう。(以下は、動画のサンプルです)About当サイト「なかけんの数学ノート」は、数学の過去問の解き方や数学の考え方を解説していくサイトです。広告]このサイトについて当サイト「なかけんの数学ノート」は、数学の過去問の解き方や数学の考え方を解説していくサイトです。▲なかけんの数学ノート。