先生が同じ問題ばかり出してくるとは限らないので数字を変えて解いてみましょう。(問題2)$n^2$が$3$の倍数であるとき、$n$も$3$の倍数であることを示せ。n$は$3$の倍数にならないときもあるので、少し工夫が必要です。n^2-(n-1)n(n+1)$は$3$の倍数である。□$3$の倍数には何を掛けても$3$の倍数のままなので$n^2$が$3$の倍数$\Rightarrow$$n^3$が$3$の倍数としたのがポイントです。上に挙げたもの以外の数字、例えば$5$のときだと$n=n^5-(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5n(1-n^2)$と変形することで同様に解くことができます。(問題3)$n^2$を$3$で割った余りが$0$または$1$であることを示せ。この問題は数Aで出てきたと思います。(証明1)(i)$n=3k$のとき、$n^2=9k^2=3(3k^2)$より、$n^2$を$3$で割った余りは$0$である。(ii)$n=3k+1$のとき、$n^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1$より、$n^2$を$3$で割った余りは$1$である。(iii)$n=3k+2$のとき、$n^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1$より、$n^2$を$3$で割った余りは$1$である。従って、$n^2$を$3$で割った余りは$0$または$1$である。場合分けが多いので、書いていると手が疲れますね。従って、次のような証明を思いつきました。(証明2)$(n-1)n(n+1)$は$3$の倍数なので、$n\cdot(n-1)n(n+1)=n^2(n^2-1)$も$3$の倍数である。これより、$n^2,n^2-1$のいずれか一方は$3$の倍数なので、$n^2$を$3$で割った余りは$0$または$1$である。今回はここまでにします。お読みいただきありがとうございました。高評価したユーザはいませんこの記事に送られたバッジバッジはありません。バッチを贈って投稿者を応援しようバッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。