合格サプリ【3分で分かる!】東大入試でも出た!加法定理の公式の証明とその使い方をわかりやすくはじめに加法定理は三角関数を扱う上で、最も基本的な定理です。加法定理を全く知らない人から、塾や授業で理解しきれていない人のためにも加法定理の公式やその証明、使い方のコツを詳細な解説と例題を通してお伝えします。正弦(sin)、余弦(cos)の加法定理の公式は以下の通りです。大学受験では必須の公式ですので、必ず暗記してください。tanの加法定理の公式はこちらの記事で確認してください!【3分で分かる!】タンジェント(tan)の加法定理の公式とその使い方をわかりやすく2020.05.12加法定理を使うと何ができるのか。sin75°という値を求めることを考えてみましょう。\sin30°$$上記のように、有名角のsin・cosに分解することができます。これが加法定理の威力です。三角関数の可能性が広がりますね!実際には、このような具体的な角度を求める場合だけでなく、他の多くの定理を導くときにも用いるとても重要な定理です。加法定理の証明は東大の入試問題にもなったことがあるこれから加法定理の証明を行います。なんと加法定理の証明は、1999年に東京大学でも出題されました。いって、加法定理の証明は特別難しいわけではありません!基本的な知識で証明することができますので、一緒に見ていきましょう。証明の中でも説明が必要なところは黄色い欄で解説してますので、数学が苦手な人も安心してくださいね。上記の図のように、単位円上に点A,Bがあり、OAとx軸がなす角度をα、OBとx軸がなす角度をβとする。この時それぞれの点の座標は、\(A(cosα、sinα)、B(cosβ,sinβ)\)となる。(1)\end{align}が成り立つ。三角形の2辺と間の角がわかれば、その対辺の長さは余弦定理から導けましたよね。余弦定理を復習したい人はこの記事を参考にしてください。(2)\end{align}が成り立つ。点A,Bの距離の2乗を1余弦定理と2距離の公式の2つから求めて連立させることで、cos(α-β)の値をα、βで表すことが出来ました。自分で証明する際もこの2つを利用することを覚えておきましょう。最初に紹介した4つの加法定理のうち、余弦(cos)で符号が負のものが証明できています。ここで、\(cos(-β)=cosβ,sin(-β)=-sinβ\)であるから、上記の式はこれは三角関数の基本的な性質を利用したものです。cosはxの値なため、x軸を中心に反転させても符号は変わりませんが、sinはy座標であるため、反転させると符号が変わってしまいます。これでcosの加法定理は正負ともに揃いました。後は、sinの加法定理です。sinの加法定理はこのcosの式をsinに変換することで導くことができます。cos→sinの変換も三角関数の基本的な性質から導けますね。(5)\)が導かれる。(6)\)が成り立つ。次に公式の覚え方を紹介します。加法定理で1番有名な覚え方は以下のようなものです。加法定理の公式を覚える上での注意点は、sinとcosで右辺の符号が異なることです。符号のミスが無いように気をつけましょう。右辺は常にα、β、α、βという順番になっています。+β)=sinαcosβ+cosβsinα\)といった間違いをしないように注意しましょう。ゴロでの覚え方では、他にも...・サンタは最高、コッソリ侵入sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(+)でサンタです。・コサインはいつもコソコソ、みんな興味津々cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβみんな、で-(minus)です。幸子sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβなどがあります。公式を覚えて証明を学んだところで、実際に加法定理を使ってみます。加法定理の使い方~有名角の場合~すでに例を上げsin75°と同様、cos105°、sin15°などは、30°・45°・60°などの有名角の値を元に求めることができます。実際に、cos105°の値を求めてみましょう。\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\end{align}加法定理を利用することで簡単に求めることができましたね。加法定理の使い方~一般角の場合~以上は有名角を利用したものでしたが、次の場合はどうでしょう。αは第2象限の角、βは第3象限の角とする。(α-β)$$の値を求めよ解答・解説まずは素直に加法定理を適用してみましょう。sinは「咲いたコスモス、コスモス咲いた」の順番でしたね。\(sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ\)ここで代入して求めたいところですが、既知の値はsinαとcosβのみです。与えられていないsinβ、cosαを先に求める必要があります。いうときに利用できる三角関数の性質はこれです。\(sin^{2}θ+cos^{2}θ=1\)それでは実際に解いてみましょう。\(sin^{2}α+cos^{2}α=1\)\(sinα=\frac{3}{5}を代入して\)\((\frac{3}{5})^2+cos^{2}α=1\)この式を整理すると\(cos^{2}α=\frac{16}{25}\)となります。ここからが一番ミスが多いところなので注意してください。cosα=4/5としたいところですが、cosαは-4/5かもしれません。やって判断すればいいでしょうか。ここで利用するのが問題文冒頭の条件です。「αは第2象限の角とする」つまり、cosα<0ということになります。第2象限は、x軸負、y軸正の領域のことでしたね。第1象限、第2象限がわからない場合は三角関数の性質から勉強し直すと良いでしょう。よって、\(cosα=-\frac{4}{5}\)だとわかります。同様にsinβも求めます。\)「βは第3象限の角とする」となっているので、sinβは負です。よって\(sinβ=-\frac{2\sqrt{2}}{3}\)となります。あとは\(sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ\)この式に代入すれば答えを求めることができます。まとめ加法定理は公式を覚えていれば使えます。「咲いたコスモス、コスモス咲いた」「コスモスコスモス、咲いた咲いた」と唱えてまずは覚えてしまいましょう。その際に、sinとcosで符号が入れ替わることに注意してください。証明は、距離の公式と余弦定理を思い出せれば導けるので、距離の公式・余弦定理についても合わせて確認してくださいね。さんの意見を聞かせてください!合格サプリWEBに関するアンケートアンケートに回答する!RECOMMENDこちらの記事も人気です。