194640通報$$$$今回は高校数学で出てくる整数の証明問題をできるだけ短く解いてみます。(問題1)$n^2$が偶数であるとき、$n$も偶数であることを証明しなさい。この問題は対偶を習ったあたりで出てくるので元の命題の対偶を証明するのが一般的ですね。(証明1)元の命題の対偶は「$n$が奇数のとき、$n^2$も奇数」である。$n$が奇数のとき、整数$k$を用いて$n=2k+1$と表すことができ、$(2k+1)^2=2(2k^2+2k)+1$より、対偶が真なので元の命題も真である。対偶を取ると記述量が増えてしまうので対偶を取らずに証明してみます。(証明2)$n$が$2$で割りきれる最大の回数を$k$とする。$n^2$が偶数なので$2k\geq1$より、$k\geq1$。従って、$n$は偶数である。対偶を取っていない分短くなりましたが、新たな変数を定義すると記述量が増えてしまうので、新たに変数を定義せずに証明してみます。(証明3)$n(n-1)$は偶数なので、$n=n^2-n(n-1)$は偶数である。