2021年5月4日こんにちは(@t_kun_kamakiri)。本日は、「1次元のバーガース方程式」の一般解のお話をします。前回の記事までで、「1次元の移流方程式」「1次元の拡散方程式」「1次元バーガース方程式」をPythonで実装するというのをやりました。バーガース方程式の理解には「拡散方程式」の一般解と関係しているので、そちらの記事を読んでいることが前提となります。本件の基本的な内容はこちらのサイトにそってやっていきます。この記事ではこんな人を対象にしています。本記事シリーズの最終目標は、ナビエストークス方程式をPythonで実装することですが、いきなりナビエストークス方程式を実装するのは難しいので各項の意味を確認しながら進めていきたいと思います。今回の内容はこちら一次元のバーガース方程式は、コール・ホップ変換により拡散方程式になる(導出過程を載せます)一次元のバーガース方程式の一般解ちなみに、☟バーガース方程式というのはナビエストークス方程式の「圧力項」のみを無視(外力項も無視)した使った偏微分方程式です。今回のメインの話は、「バーガース方程式」をコール・ホップ変換という特殊な魔法のような変換をすることにより、拡散方程式に変換することができるというものです。拡散方程式には一般解が存在するため、バーガース方程式の一般解は容易に求まるというのが今回の内容です。本記事の主題を以下にまとめておきます。カマキリとても奥が深いんですね、「バーガース方程式」って!!バーガース方程式についての内容は詳しくは、非線形波動などの非線形性のお話でよく見かけますので推薦図書としては以下を挙げておきます。20:21時点)Amazon楽天市場YahooAmazonの情報を掲載しています☟以下のように乱流を極めたい方は以下の参考書もお勧めです・・・バーガース方程式の話もちょっとあります。23:13時点)Amazon楽天市場YahooAmazonの情報を掲載していますでは、まずはバーガース方程式のお話からしていきます。p|\)において近似される以下の式で記述されます。\tag{1}\end{align*}圧力項より移流項の方が十分大きいとは、例えば流速がものすごく大きい極音速領域や流速の空間変動が急激な場合などが考えられます。ここからいくつかバーガース方程式の特徴を以下に列挙します。本記事のメインの内容は「コール・ホップ変換」についてですね(^^)/というわけで、さっそくコール・ホップ変換について見ていきましょう。x}\tag{2}\end{align*}\(phi\)が従う方程式は、1次元の拡散方程式に変換されます。x^2}\tag{3}\end{align*}これがコール・ホップ変換です。t}}\phi_0(s)ds\tag{4}\end{align*}となります。※\(\phi_0\)は初期状態です。一般解\(\phi\)が求まるのであれば、(2)式を使うことでバーガース方程式の一般解\(u\)も求まるというわけです。繰り返しになりますが、それを絵にまとめたのが☟こちらです。カマキリ本当にバーガース方程式をコール・ホップ変換をすることで1次元拡散方程式に変換されるのかな?それを以下で確かめたいと思います。確認!バーガース方程式をコール・ホップ変換をすることで1次元拡散方程式に変換される再び、1次元バーガース方程式を持ってきます。x}\big(\frac{u^2}{2}\big)\)となることを用いて、それを右辺にまとめてやります。x}\bigg)\tag{5}\end{align*}これでちょっとすっきりしました。x}\)の変換をしてみましょう。t}\bigg)\tag{6}\end{align*}※\(x\)と\(t\)の微分の入れ替えは行ってもいいの?って思う人もいるかもしれませんが、それはこちらの記事をお読みください。