2020.05.10スポンサーリンクこんにちは、ゆるカピ(@yurucapi_san)です。こんな人のための記事です。Aさん曲げモーメントって講義で教わったけど、数式ばっかりでなんか難しそう...。曲げ変形の流れをわかりやすく解説してほしいな。「曲げモーメント」って構造力学のなかでめちゃくちゃ重要な話なんですが、数式とか記号とかよくわからない図ばっかりで気が滅入っちゃいますよね。今回は、なるべく数式の細かな誘導はせずに本質的なところだけをまとめてみました。構造設計実務歴7年目(組織設計事務所)大学院時代に構造力学のTAを経験、ほか構造力学の指導経験あり一級建築士試験ストレート合格ゆるカピもっと詳しく知りたい人はこちらにもまとめています。この記事からわかること曲げ変形がどんな変形なのか曲げモーメントと応力、ひずみはどうやって求めたらいいのか断面二次モーメントとはなんなのか実際、ほとんどの人にとっては試験で使える程度のことを覚えちゃえばOK。深く悩まずサクッと覚えちゃいましょう。構造力学で考える変形は4つあります。今回はそのうちの曲げ変形を扱います。軸変形、せん断変形については過去の記事を確認してみてください。3回】こんにちは、ゆるカピです。今回は「引張と圧縮」について解説していきます。今回は「せん断」について解説していきます。「せん断」という単語は構造力学を勉強しない限りなかなか聞かない単語です。それくらい馴染みのない話なので、しっかり意識して学習しておきましょう!この記事を書...www.yurutto-kenchikulife.com曲げ変形のイメージ曲げ変形はどんな変形でしょうか。細長い棒の両端を持って曲げるように力を加えると棒は弓なりに曲がります。このような弓なりに曲がる変形のことを曲げ変形と呼んでいます。それでは、曲げ変形が生じた時に、その部材の内部にはどんな力のやりとりがあるのでしょうか。梱包材に入っている発泡スチロールの両端を持って曲げると、中央部のある側面から裂け始めるのを経験したことはあるでしょうか。実は、裂け始めたほうには引張力が、その反対側には圧縮力が作用しています。曲げ変形は、引張力と圧縮力が同時に作用する変形ともいえます。ゆるカピちょっと柔らかめな棒材があったら実際に曲げてみると理解しやすいよ。力のモーメントと曲げモーメントの違い本題に入る前に、第2回で取りあげた「力のモーメント」と「曲げモーメント」の違いについて簡単に説明します。構造力学を学び始めの頃は、この2つのモーメントを混同しやすいです。違いがよくわからずに試験で使っている人も多いと思います。Aさんてっきり一緒だと思ってた•••。どちらも同じ「モーメント」の名称がついていますが、簡単に言うと、力のモーメントは外力、曲げモーメントは部材の内部に作用する内力のことをいいます。先ほどの発泡スチロールで例えるなら、手で発泡スチロールの両端にかけた力が力のモーメント、曲げた時に発泡スチロールに作用する内力が曲げモーメントです。この違いを理解していないと、あとで解説する軸力・せん断力・曲げモーメントを合わせた断面力と外力との力のつり合いに対する理解が不十分になり、思わぬミスをしてしまいます。2つのモーメントの違いについて、頭の片隅にでも置いておきましょう。曲げ変形では引張力と圧縮力が同時に作用しているとお伝えしました。梁部材中央の曲げ変形では、下側に引張ひずみ、上側に圧縮ひずみが生じています。これは引張ひずみから圧縮ひずみに切り替わる、引張も圧縮も生じない部分もあることを意味しています。0$となる位置を中立軸と呼んでいます。一方で、これは曲げ応力というひとつの応力に対して複数のひずみが生じていることを意味します。応力とひずみの関係がよくわからない・・・ということになってしまいます。この問題を解決してくれるのが、平面保持の仮定という考え方です。ゆるカピこのあたりの用語はなんとなーくの理解で大丈夫です。梁の変形に関して計算を簡単にするために以下のような約束事を決めています。変形後も、部材に直角な断面は直角なままである。(平面保持の仮定)変形後も、部材に直角な断面の形状は変化しない。(断面形状不変の仮定)変形は微小である。)この仮定条件は詳しく説明すると数式だらけでわけがわからなくなるので、ここではざっくりとした説明とします。1つ目は平面保持の仮定(あるいはベルヌーイ・オイラーの仮定)と呼ばれるもので、第4回でお話ししたようなせん断変形は考えません、というものです。2つ目も結論的には1つ目と同じ話です。3つ目は今回の話と直接関係はありませんが、今はたわみが大きくなりすぎると辻褄が合わなくなるよ、という理解で大丈夫です。この仮定に基づくと、純粋に曲げ変形だけを考えればいいことになります。微小変形ということに着目して、この曲げ変形を円弧状の変形とみなすというのが、曲げに関するひずみを求めるうえで重要なカギとなります。円弧状の変形とすると、梁の引張ひずみ、圧縮ひずみは断面内で一様の分布になります。\phi$の変化率と考えることができます。この変形は厳密には3次曲線なのですが、円弧で考えたほうがはるかに便利なので、微小変形の範囲に限定して使っています。このあたりは工学的な発想ですね。ひずみを求めてみる長方形から台形状の形に変化した時のひずみは、水平方向の変位から求めることができます。1$$また、曲率半径$\rho$(ロー)、中立軸からの任意の距離$y$を使って同じようにひずみを求めることができます。\frac{y}{\rho}$$ゆるカピ数式と記号ばっかりで難しいと思うかもしれないけど、やってるのは相似の比較だけ。\frac{y}{\rho}$$という式が出てきます。これで、ひずみ→曲げ応力、曲げ応力→曲げモーメントの導出へのステップの準備ができました。ゆるカピたぶん、これが一番単純にひずみと曲率の関係を導き出す方法じゃないかな。曲げ応力を求めるひずみが求められたので、早速フックの法則に従って曲げ応力を求めます。\frac{y}{\rho}$$$\sigma$の添字$b$は英語の「bend」からきています。軸応力と見分けるためにつけます。曲げモーメント$M$からのアプローチで、曲げ応力$\sigma_b$との関係を見てみましょう。軸応力を求める時は引張力や圧縮力を断面積で割って求めていました。同じように、曲げモーメントを求めるために曲げ応力に断面積を掛けるとしたいのですが、中立軸を境に引張から圧縮に切り替わるため少し工夫が必要です。方法としては、曲げ応力と微小面積の積に中立軸からの距離$y$を掛ける、いわゆる積分を行います。Aさん積分はちょっと苦手だなあ•••。ゆるカピ難しいから考え方だけ説明するよ。細かい計算過程が知りたい人は参考書を読んでね。結果の式は以下のようになります。dA$$まず、力のつり合いから考えていきましょう。梁断面には引張力と圧縮力が合わさって曲げモーメントが生じています。引張力の合計と圧縮力の合計はつり合っているので(じゃないと別の曲げモーメントか軸力がかかっていることになる)、偶力と考えることができます。力に距離を掛けてモーメントのつり合いを考えると、偶力とそのモーメントとの関係がわかります。距離)で曲げモーメントを求めることができるということです。\frac{1}{\rho}$$となります。