2023年3月30日どうも(^^)/本記事では、量子力学的効果によって出現する量子流体が従う方程式であるグロス・ピタエフスキー方程式(非線形シュレディンガー方程式)から、流体力学でよく見られるような連続の式を導きたいと思います。結論を先に示しておきます。質量保存則(連続の式)の導出ここにタイトルを入力(2)式の「連続の式」を(1)式のGP方程式から導出します。量子流体が(1)式のGP方程式に従うと言っても・・・”流体”と名を付けている以上はやはり通常の流体力学との類似性などが気になりますよね。前回の記事の復習Gross-Pitaevskii方程式から「連続の式」を導く速度場を定義する速度場は位相の勾配で記述できる量子流体での速度場は通常の流体よりもかなり制限が厳しい?まとめ前回の記事の復習まずは前回の記事の復習をさらっとしたいと思います。大多数のボース粒子が非常に小さい温度の場合に、量子力学的効果によって出現する流体は量子流体と呼ばれています。量子流体は、低温状態で出現するボース・アインシュタイ凝縮によるものです。ボース・アインシュタイ凝縮によって、最低エネルギー準位に大多数の粒子が落ち込むことにより、大多数の粒子を1つの波動関数(秩序変数)\(\psi(\boldsymbol{r})\)で記述でき、以下の方程式に従います。t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\boldsymbol{r},t)+V_{ex}\psi(\boldsymbol{r},t)+g|\psi(\boldsymbol{r},t)|^2\psi(\boldsymbol{r},t)\tag{1}\end{align*}ただし、グロス・ピタエフスキー方程式は以下の状況を仮定していることに注意。ボース・アインシュタイ凝縮を起こしているので、大多数の粒子の状態をまとめて1つの波動関数\(\psi\)と書く。ボース・アインシュタイ凝縮を起こした大多数の粒子を捕獲ポテンシャルで捕獲する。捕獲ポテンシャル:(\(V_{ext}=\frac{m\omega^2\boldsymbol{r}^2}{2}\))粒子間の相互作用は近接でのみ作用する(\(U_{int}=g\delta(\boldsymbol{r_{1}}-\boldsymbol{r_{2}})\))※近接のみ作用するというのは希薄な気体であるという意味です。Gross-Pitaevskii方程式から「連続の式」を導くさて、GP方程式から連続の式を導いていきたいと思います。出発点は、もちろんGP方程式です。t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(\boldsymbol{r},t)+V_{ex}\psi(\boldsymbol{r},t)+g|\psi(\boldsymbol{r},t)|^2\psi(\boldsymbol{r},t)\tag{3}\end{align*}※変数\(\boldsymbol{r},t)\)があると、式変形が煩雑に見えますので、\(\psi(\boldsymbol{r},t)=\psi\)と表記することにします。t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+V_{ex}\psi(\boldsymbol{r},t)+g|\psi|^2\psi\tag{4}\end{align*}変数を書かないだけでだいぶすっきりとした見た目になったところで・・・・では、連続の式を導いてみましょう!!まずは、(4)式の複素共役の式を用意します。t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi^{*}+V_{ex}\psi^{*}+g|\psi|^2\psi^{*}\tag{5}\end{align*}そして、(4)×\(\psi^{*}\)-(5)×\(\psi\)を計算して整理します。煩雑なので、左辺と右辺を別々で計算してみましょうかね。t}\end{align*}右辺\begin{align*}&=\bigg(-\frac{\hbar^2}{2m}\big(\nabla^2\psi\big)\psi^{*}+V_{ex}\psi\psi^{*}+g|\psi|^2\psi\psi^{*}\bigg)-\bigg(-\frac{\hbar^2}{2m}\big(\nabla^2\psi^{*}\big)\psi+V_{ex}\psi^{*}\psi+g|\psi|^2\psi^{*}\psi\bigg)\\&=-\frac{\hbar^2}{2m}\big(\psi^{*}\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\psi^{*}\big)\\&=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla\cdot\big(\psi^{*}\nabla\psi-\psi\nabla\psi^{*}\big)\end{align*}最後の式変形は、各自で試してみましょう(^^)/というわけで、(左辺)=(右辺)とすることで、完成です。t}+\frac{\hbar}{2mi}\nabla\cdot\big(\psi^{*}\nabla\psi-\psi\nabla\psi^{*}\big)=0\tag{6}\end{align*}※量子力学をすでに学んだことがある人にとっては、別段目新しい式変形に見えないことでしょう。(左辺)が単位時間当たりの\(|\psi|^2\)の変化ということになりますね。\(|\psi|^2\)が低温状態の多体粒子で何を意味していたかというと、粒子数密度\(n=|\psi|^2\)を表しているのでした。前の記事を読んでいない方は、↓こちらをどうぞ。速度場を定義するさて、ここで速度というのを定義してみます。(左辺)が単位時間当たりの粒子数密度\(n=|\psi|^2\)の変化を表しているであれば、その他の項はそれをもたらした原因というふうに解釈できます。速度場の定義\begin{align*}\boldsymbol{v}=\frac{\hbar}{2mi}\frac{\psi^{*}\nabla\psi-\psi\nabla\psi^{*}}{|\psi|^2}\tag{7}\end{align*}※もちろん、\(\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}(\boldsymbol(r),t)\)です。とこのように定義します。t}+\nabla\cdot\big(n\boldsymbol{v})=0\tag{8}\end{align*}連続の式が導くことができました。これが量子流体が従う連続の式ということになります。本当に、(7)式が速度場とおいても良いのかと疑問に思われるかもしれませんが、少なくとも速度場というからには(7)式が速度の次元を持っているということを確認できれば、(7)式は速度場と考えても良いでしょう。各自で(7)式の次元を確認してみると良いでしょう。速度場は位相の勾配で記述できる大多数の粒子を秩序変数\(\psi\)で記述できるということを前回の記事で示しました。そこで、\(\psi\)をより一般的な複素数関数で以下のように書けるとします。\begin{align*}\psi=\sqrt{n}e^{i\theta}\tag{8}\end{align*}一般的な複素関数を絶対値の大きさの部分と位相の部分に分けて書いただけですが、それぞれに意味があります。先ほど、(7)式で速度場を定義できたのですから、(7)式に(8)式を代入して、速度場がどのように記述されるのかを見ておきましょう。\begin{align*}\boldsymbol{v}=\frac{\hbar}{2mi}\frac{\psi^{*}\nabla\psi-\psi\nabla\psi^{*}}{|\psi|^2}\tag{8}\end{align*}を丁寧に計算していきます。\psi^{*}=\big(\sqrt{n}\big)e^{-i\theta}-\sqrt{n}i\big(\nabla\theta\big)e^{-i\theta}\end{align*}となるので、\begin{align*}&\psi^{*}\nabla\psi-\psi\nabla\psi^{*}\\&=\bigg(\big(\sqrt{n}\big)e^{i\theta}+\sqrt{n}i\big(\nabla\theta\big)e^{i\theta}\bigg)\sqrt{n}e^{i\theta}-\bigg(\big(\sqrt{n}\big)e^{-i\theta}-\sqrt{n}i\big(\nabla\theta\big)e^{-i\theta}\bigg)\sqrt{n}e^{-i\theta}\\&=2ni\nabla\theta\end{align*}ですので、速度場は、\begin{align*}\boldsymbol{v}=\frac{\hbar}{2mi}\frac{2ni}{n}\nabla\theta=\frac{\hbar}{m}\nabla\theta\tag{9}\end{align*}となりました(^^)/量子流体での速度場は通常の流体よりもかなり制限が厳しい?速度場が位相の勾配\begin{align*}\boldsymbol{v}=\frac{\hbar}{m}\nabla\theta\tag{10}\end{align*}で記述できるということを示しましたが、これはかなり厳しい制限があるということになります。\boldsymbol{v}=\frac{\hbar}{m}\nabla\times\nabla\theta=0\tag{11}\end{align*}となります。これは、\(\theta\)が微分可能な関数であれば常に渦度\(\boldsymbol{\omega}\)は0、つまり渦無し流れになるということを意味しています。通常の流体であれば、粘性によって渦度は0であったしても、渦度が突然出現するなんてことがあるのですが、量子流体の場合はそれがないと言っているのです・・・・が、しかし、\(\theta\)が微分可能な関数でなくて、特異な点が合った場合はどうなるのでしょうか?それは、(11)式が成り立つ保証はなくなるので、渦度が必ず0というわけではなく、渦度が出現する可能性があるということになります。速度場\begin{align*}\boldsymbol{v}=\frac{\hbar}{m}\nabla\theta\tag{10}\end{align*}と定義することにより、以下のような連続の式を導出することができました。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。量子流体の「オイラー方程式」を導出する製造業コミュニティ製造業コミュニティは製造業で働く方や製造業へ就職を考えている学生の方が匿名で気軽に情報交換を出来るオンラインコミュニティです。本が聴けるアプリAudible(オーディブル)☟30日間の無料体験(最初の1冊は無料)プロフィールカマキリ(^^)大学の専攻は物性理論で、Fortranを使って数値計算をしていました。CAEを用いた流体解析は興味がありOpenFOAMを使って勉強しています。CAE解析(流体解析)notenoteで内容は主に「プログラミング言語」の勉強の進捗を書いています。「現在勉強中の内容」「日々思ったこと」も日記代わりに書き記しています。1DCAEの操作方法などを動画にしています。(音声はありません_(._.)_)製造業コミュニティをやっています。Facebookを使った実名登録。製造業ブロガーコミニティ案内オンライン家庭教師のご要望あればご連絡ください。Amazonのアソシエイトとして、当メディアは適格販売により収入を得ています。・当メディアはGoogleによるユーザーに合わせた自動広告が表示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