下記の記事で正準変換についてまとめ、その後母関数の変換についての記事を書きました。↓この記事でも詳しく書いていますが、ここでは概要を書いていきます。前回の記事はこちら正準変換:変数変換(第18.1報)ハミルトン形式では一般座標\(\{q_{i}\}\)と一般運動量\(\{p_{i}\}\)を指定することで<<力学的な状態>>は定まります。位相空間内ではそれらを変数とした状態点として定まります。その状態点の初期状態(\(\{q_{i}(0)\},\{p_{i}(0)\}\))を決めれば、あとは系の運動はハミルトンの正準方程式に従って時間発展して、時刻歴変化として系の状態が決定されます。僕たちがすることはハミルトニアンの正準方程式を立て、それを手計算でも数値計算でも良いので解ければ、問題は解けたことになります。そんな都合よくハミルトンの正準方程式を立てたからと言って問題が解けたとはとても言い難いのです。方程式は立てることができても解析的に(手計算で)解けるほど方程式がシンプルでかつ閉じているとは限らないからです。数値計算で解けば良いではないかと言っても、もとの式が単純だと離散化するのもちょっと面倒なのです。方程式をシンプルな形にするかの方が大事なのです。そこで、今まで議論してきた解析力学の枠組みさえ外れずにもっと良い変数の選び方ができるはずです。次のことを考えるわけです。解析力学の枠組みでこのように座標の変換に対して基礎方程式(ラグランジュ方程式、ハミルトンの正準方程式)が変わらないとするだけでなくて、一般座標と一般運動量も含めて(すなわち、運動量も座標と同等の独立変数として扱う)、ハミルトンの正準方程式の形を不変に保つように変数変換しよう。(2)\end{align*}↑そういう変換ができるはずです。これを正準変換と言います。(4)\end{align*}が成り立るようにさえしていれば、ハミルトン形式から外れていないのでOKではないかと考えているのです。デタラメに変換していつでも都合の良いように34式が成り立つわけがないので、そうなるための条件が存在します。(7)\end{align*}です。これさえ満たしていれば、34式を使っても文句ないでしょうというのが出てきます。ここで、\(W_{1}\)のことを母関数と言い正準変換はこの関数によって特徴づけられます。母関数\(W_{1}\)の変数はここでは\(\{q_{i}\}\)と\(\{Q_{i}\}\)です。あとで触れますが母関数の変数の選び方は\(\{q_{i}\}\)と\(\{Q_{i}\}\)だけではありません。元の変数\(\{q_{i}\}\)と\(\{p_{i}\}\)から一組選び、新しい変数\(\{Q_{i}\}\)と\(\{P_{i}\}\)から一組選ぶ方法の合計4パターンの変数の選び方があるのです。※本記事の後半でまとめを記載しています。「もっと良い変数の選び方ができる」はずと思って変数を変換したのです。単なる数学的なお遊びではなかったのです(笑)正準変換を上手に(どうやってするかは具体的にはわかりませんが(笑))変換することを考えます。上手にとは、もともとのハミルトニアン\begin{align*}H(q_{1},q_{2}\cdot\cdot\cdot,q_{k},\cdot\cdot\cdot,q_{f},p_{1},p_{2}\cdot\cdot\cdot,p_{k},\cdot\cdot\cdot,p_{f})\end{align*}に対して正準変換を施して、\(k\)番目の座標\(Q_{k}\)に依存しないハミルトニアン\({H}’\)にできたとしましょう。このような座標のことを循環座標と言います。(9)\end{align*}一般運動量が定数になった!!(‘▽’)正準変換を行って、ハミルトニアン\({H}’\)が一般座標を含まないようにすることができれば問題はとても解きやすくなります。いや、解けたと言っていいでしょう。(11)\end{align*}とこうなっているのです。P_{i}=\alpha_{i}}\end{align*}※右辺は\(P_{i}\)でまず微分して、\(P_{i}=\alpha_{i}\)を代入するという意味です。(12)\end{align*}※\(Q_{i}(0)\)は初期状態となります。(9)\end{align*}として求まるため、原理的には問題は解けたことになります。もとの\(\{q_{i}\}\)や\(\{p_{i}\}\)の戻したいときは、12からもできるでしょうし、母関数を通して56式からでもできるしょう。して正準変換の嬉しさを見出すことができたのです。(7)\end{align*}ここでの母関数\(W_{1}\)の変数は\(\{q_{i}\}\)と\(\{Q_{i}\}\)ですが、母関数の変数の選び方は\(\{q_{i}\}\)と\(\{Q_{i}\}\)だけではありません。いうのを導出も含めて下記の記事に書きました。元の変数\(\{q_{i}\}\)と\(\{p_{i}\}\)から一組選び、新しい変数\(\{Q_{i}\}\)と\(\{P_{i}\}\)から一組選ぶ方法の合計4パターンの変数の選び方があるのです。t}\)このようにしてみると、正準変換後のハミルトニアン\({H}’\)は変数をどれを使っても(母関数をどれを使っても)変わらないことがわかります。いうことは、7式のように母関数\(W_{1}\)の変数を\(\{q_{i}\}\)と\(\{Q_{i}\}\)としましたが、上の変換公式に従いさえすれば母関数としては元の変数\(\{q_{i}\}\)と\(\{p_{i}\}\)から一組、新しい変数\(\{Q_{i}\}\)と\(\{P_{i}\}\)から一組選べば良いということになります。母関数\(W_{1}\),\(W_{2}\),\(W_{3}\),\(W_{4}\)に対応しているのだろうなと。下記にこれらの関数を使った熱力学の概要を書いておきますが、数学的な手続きは全く同じでそうだとするならば、この母関数も話はここでは終わらず、熱力学でいうところのマクスウェルの関係式というのが解析力学にも登場するはずです。以下の熱力学的関数を変換する際にルジャンドル変換が使われます。内部エネルギーからエンタルピー\(U(S,V)=H(S,P)-PV\)or\(H(S,P)=U(S,V)+PV\)等圧条件下にある系で、吸熱すると内部のエネルギーと外部にする仕事を考えた熱力学の関数がエンタルピー\(H\)です。内部エネルギーからヘルムホルトの自由エネルギーへ\(F(T,V)=U(S,V)-TS\)化学変化を含めた熱力学的系の等温過程において、系の最大仕事(潜在的な仕事能力)、自発的変化の方向、平衡条件などを表す指標となります。温度が決定している状態で、系の平衡状態を決めるのは、内部エネルギー\(U\)が最小だけでは情報が足らず、エントロピー\(S\)(乱雑さ)も考慮して系の状態が決定される熱力学の関数がヘルムホルツの自由エネルギー\(F\)です。温度が高い場合は式を見てお分かりのように、\(TS\)があるのでエントロピー\(S\)を大きくした方がヘルムホルツの自由エネルギー\(F\)は最小の方向に向かいますね。高温化では状態はランダム(激しく運動する)な方向に系が状態を取りたがるというような理解の仕方ができます。ヘルムホルトの自由エネルギーからギブスの自由エネルギーへ\(G(T,P)=F(T,V)+PV\)等温等圧過程(容積が変化を考慮)の自由エネルギーを考えたい場合に威力を発揮する熱力学の関数がギブスの自由エネルギー\(G\)です。参考図書いくつかおすすめの解析力学の参考書を挙げておきます。下記のような小教程もあります。↑こちらは「スバラシク実力がつくと評判」シリーズの解析力学の参考書です。著者は高校数学を教える予備校の講師で、とてもわかりやすいと評判です。その方が書いた書籍なので高校生でも読みこなすことができるくらいわかりやすく、かつちゃんと大学の物理の内容を扱っています。1998-09-01Amazon楽天市場この2冊は解析力学の名著ですね。数学的な解説も多く、解析力学を深く学ぶ人には挑戦するには申し分ない内容です。1971-09-10Amazon楽天市場こちらは「力学」と「解析力学」の演習問題を扱っている演習問題集になります。ラグランジュ形式とハミルトン形式の違いを理解しておこう。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。製造業コミュニティ製造業コミュニティは製造業で働く方や製造業へ就職を考えている学生の方が匿名で気軽に情報交換を出来るオンラインコミュニティです。本が聴けるアプリAudible(オーディブル)☟30日間の無料体験(最初の1冊は無料)プロフィールカマキリ(^^)大学の専攻は物性理論で、Fortranを使って数値計算をしていました。CAEを用いた流体解析は興味がありOpenFOAMを使って勉強しています。CAE解析(流体解析)notenoteで内容は主に「プログラミング言語」の勉強の進捗を書いています。「現在勉強中の内容」「日々思ったこと」も日記代わりに書き記しています。1DCAEの操作方法などを動画にしています。(音声はありません_(._.)_)製造業コミュニティをやっています。Facebookを使った実名登録。製造業ブロガーコミニティ案内オンライン家庭教師のご要望あればご連絡ください。Amazonのアソシエイトとして、当メディアは適格販売により収入を得ています。・当メディアはGoogleによるユーザーに合わせた自動広告が表示されます。Twitterカマキリ☟こちら日々の「思ったこと」「勉強している内容」を発信しています。4Pythonを使ってTwitterAPIで自作botを作りました。製造業コミュニティの方々と運営しています。botを作るのかを知りたい方はこちら。【超丁寧に解説】Pythonを使ってTwitterAPIでGoogleスプレッドシートに書いた内容を画像付きでツイート投稿する。宇宙に入ったカマキリ。