2023年1月16日こんにちは(@t_kun_kamakiri)本記事では流体解析の離散化である有限体積法について基礎的な解説を行います。有限体積法はOpenFOAMなど流体解析でも使われる離散化の方法です。流体解析用ソフトの多くが有限体積法を採用しており、人によってはプログラムを実装したことがないがために有限体積法のイメージが付かないという方も多いかと思います。有限体積法のわかりやすい解説記事もなかなかないため、自身で勉強したことをわかりやすく解説する記事を残しておこうと思っています。前回の記事では1次元熱拡散方程式の有限体積法の離散化を行いました。あわせて読みたい1次元熱拡散方程式(熱伝導方程式)の有限体積法を解説(1)以下で簡単におさらいをしておきましょう。t\end{align*}となります。以下のもとで行った離散化の式であることに注意する必要があります。空間微分を中心差分とは異なる方法、時間積分は陰解法などで行った場合は上記の離散化式も形を変えますし、解の振る舞いも変わります。連続な場に対しての偏微分方程式をどのように離散化して近似するかも重要だということです。前回の記事では、以上のような結果を導きました。今回はこちらの式を使ってより具体的な境界条件と物理量の設定を行い計算を行います。有限体積法の基礎を体験するため、できるだけ手を動かしながら体験できるような内容にしています。条件設定まずは解きたい問題を設定します。x}$が0を意味します。C\end{matrix}\right.\end{align*}解くべき方程式は1次元の熱拡散方程式(熱伝導方程式)で以下の式に従います。c}=10^{-6}$とします。kg]$は熱容量、$\rho[kg/m^{3}]$は密度。k]$コントロールボリューム(以下CVと略す)は5つあり、格子点は1~5の5つの場合を考えます。C$と均一に保たれているとします。C$としたとき全体の温度分布が時間によってどのように変化するのか求めます。t=2$本記事では手計算での結果を解説しますが、厳密解との比較も行います。次回の記事ではOpenFOAMを使ったシミュレーションの結果との比較も行います。解析設定をどのようにするのかによって結果が変わってくるのを体験することができるでしょう。離散化では、具体的な境界条件と物性値を有限体積法で離散化して得られた式に代入していきましょう。t\end{align*}これらを以下の形になるようにまとめます。x}\big(T_{B}-T_{P}^{o}\big)\end{align*}このようになります。具体的な数値を代入して表にまとめましょう。10^{-3}}{2}$※全体を$10^{5}$を掛けてまとめます。175\begin{align*}50\big(T_{B}-T_{P}^{o}\big)\end{align*}格子点5について、$S_{u}$の$T_{P}^{o}$があるので$a_{P}^{o}-\big(a_{W}+a_{W}\big)$の中にまとめることに注意すると、各格子点$T_{P}$については以下のようになります。t$は$n+1$ステップ、$t$は$n$ステップに対応し上付き文字で表記しています。t$の温度$T_{P}$の値を求めるのに$t$での両隣の温度が必要であることがわかります。$n+1$ステップに対して$n$ステップでの温度が決まれば、時間に対しては温度$T_{P}$のまわりの温度で決まっていくということになります。具体的な値を代入して結果を求める以上の式をExcelに入力してグラフにしてみましょう。C$だったのが境界条件によって徐々に温度が拡散していっているのがわかります。t$と物性値により不安定になることが知られています。結果だけを示すと以下の条件の安定条件がありうす。8$と時間刻みを大きくすると以下のように解が振動します。<8$という条件が必要であるということです。$T_{B}=0$ときの厳密解と比較$T_{B}=0$の場合は厳密解を求めることができます。$T_{B}=0$の場合はすぐにはわかりませんでしたので、どなたかわかる方いたらコメントください_(._.)_厳密解は、\begin{align*}T(x,t)=T_{0}\frac{4}{\pi}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m+1}}{2m-1}\exp(-D\lambda_{m}^2t)\cos(\lambda_{m}x)\tag{5}\end{align*}※$\lambda_{m}=\frac{2m-1}{2L}$まとめ有限体積法で1次元熱拡散方程式を解きました。解析設定や境界上によって結果が変わってくるということを意識しておく必要があります。C$境界条件は物理的に現象が変わる重要な条件ですが、空間刻みや時間刻みによる解析条件によって解の振る舞いが変わってしまうというのは思わしくありません。勉強にはこの本で間違いないです。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。付いている欄は必須項目です1次元熱拡散方程式(熱伝導方程式)の有限体積法を解説(1)【OpenFOAM】snappyHexMeshを使ったメッシュ境界層がう...製造業コミュニティ製造業コミュニティは製造業で働く方や製造業へ就職を考えている学生の方が匿名で気軽に情報交換を出来るオンラインコミュニティです。本が聴けるアプリAudible(オーディブル)☟30日間の無料体験(最初の1冊は無料)プロフィールカマキリ(^^)大学の専攻は物性理論で、Fortranを使って数値計算をしていました。CAEを用いた流体解析は興味がありOpenFOAMを使って勉強しています。CAE解析(流体解析)notenoteで内容は主に「プログラミング言語」の勉強の進捗を書いています。「現在勉強中の内容」「日々思ったこと」も日記代わりに書き記しています。1DCAEの操作方法などを動画にしています。(音声はありません_(._.)_)製造業コミュニティをやっています。Facebookを使った実名登録。製造業ブロガーコミニティ案内オンライン家庭教師のご要望あればご連絡ください。Amazonのアソシエイトとして、当メディアは適格販売により収入を得ています。・当メディアはGoogleによるユーザーに合わせた自動広告が表示されます。Twitterカマキリ☟こちら日々の「思ったこと」「勉強している内容」を発信しています。4Pythonを使ってTwitterAPIで自作botを作りました。製造業コミュニティの方々と運営しています。botを作るのかを知りたい方はこちら。【超丁寧に解説】Pythonを使ってTwitterAPIでGoogleスプレッドシートに書いた内容を画像付きでツイート投稿する。宇宙に入ったカマキリ。