にゃんこ【3分で分かる!】背理法の使い方と証明の書き方をわかりやすく(練習問題付き)はじめに背理法での証明は数学全般でとても重要で、大学入試でも超頻出です。今回は東京工業大学に通う筆者が、これから背理法の勉強を始める人にはもちろん、理解が曖昧で復習したい人にも分かりやすく背理法とは何か、また、その書き方・どんなときに背理法を使うべきかを解説します!最後には背理法による証明を身につけるための練習問題も用意しました。背理法の書き方・定型文1:〜でないと仮定する。背理法の書き方・定型文2:これは〜であることに矛盾する。最後に背理法とは背理法とは、ある主張を証明するのに、その主張が正しくないと仮定して矛盾を導くことで行う証明方法のことです。例として「太郎くんが犯人じゃないこと」の証明を考えてみましょう。太郎くんが犯人だと仮定すると、太郎くんは犯行時刻に現場にいたはずです。太郎くんはそのとき別の場所にいたことが確認されており、現場にはいませんでした。よって太郎くんは犯人ではありません。(証明終)このように、背理法はという流れで証明していく方法です。背理法で証明を書くにあたって、絶対に書かなければいけない定型文が存在します。これはこの場で覚えてしまいましょう。背理法の書き方・定型文1:〜でないと仮定する。背理法で証明するときは必ず「〜でないと仮定する。その前に「〜であることを背理法で証明する。」という一文を加えると、より丁寧な証明になります。背理法の書き方・定型文2:これは〜であることに矛盾する。背理法の証明の締めくくりは「これは〜であることに矛盾する。よって背理法により〜であることが示された。背理法の書き方・実例さきほど紹介した「太郎くん」の例でこの定型文の使い方をみてみましょう。太郎くんが犯人でないことを背理法で証明する。太郎くんが犯人であると仮定する。すると、太郎くんは犯行時刻に現場にいたはずだ。太郎くんはそのとき別の場所にいたことが分かっており、矛盾する。よって太郎くんは犯人でないことが証明された。これは簡単な例ですが、数学でも同じように定型文を使います。証明問題が出題されたとき、背理法以外にも、普通に式変形して証明する、対偶を証明するなど、証明方法はたくさんあります。実は、どんな定理でも背理法を使って証明することができます。逆に、絶対に背理法でないと証明できない定理は存在しません。どのような問題・どういう場面のときに背理法が有効なのでしょうか?背理法による証明を使うとき1:否定した方が数式で表しやすいときたとえば「\(\sqrt{2}\)が無理数であること」の証明。「整数の分数」で表せますよね。「無理数であること」を直接証明するのは難しいですが、「有理数であると仮定して矛盾を導く」のは比較的簡単にできるのです。背理法による証明を使うとき2:〜でないこと、を証明するとき「aとbが互いに素であること」の証明を考えてみてください。これは「aとbが1以外に公約数をもたないこと」の証明ですね。このように否定を証明するときにも背理法が使えることが多いです。背理法による証明・実例ただし、これら2つの条件に当てはまっているからといって必ずしも背理法が良いとは限りませんし、この2つに当てはまっていなくても背理法の方が良い例もあります。いうときに背理法が有効かは、大学の数学科の人ですら分かりません。時間がかかってしまうかもしれませんが、証明問題をみたら最初は直接証明を試みて、行き詰まったら背理法や他の方法を試してみるのがおすすめです。高校生が最も覚えていなくてはいけない背理法の証明は、「\(\sqrt{2}\)が無理数であること」の証明です。同様に\(\sqrt{3}\)や\(\sqrt{5}\)などについても問われることがあるので、証明全体をまるごと覚えておくと良いでしょう。例題\(\sqrt{2}\)が無理数であることを証明せよ。例題の解答・解説\(\sqrt{2}\)が無理数であることを背理法で証明する。\(\sqrt{2}\)が無理数でないと仮定する。このとき、\(\sqrt{2}\)は有理数であるので、\(\sqrt{2}\)は互いに素な自然数a,b(つまりa,bとも正の整数で、aとbの公約数は1のみ)を用いて\(\frac{a}{b}\)と表せる。(これは有理数の定義です。有理数について詳しく知りたい方は以下の記事をご覧ください)【3分で分かる!】有理数と無理数の違いと見分け方(練習問題付き)2020.08.10\(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\)\(\sqrt{2}b=a\)両辺を2乗して、\(2b^2=a^2\)ここで左辺と右辺を見比べることにより、\(a^2\)は2の倍数であることがわかる。\(a\)は自然数なので、\(a^2\)が偶数であるということは\(a\)も偶数である。(奇数は2乗しても奇数です)\(a\)は2の倍数だったので、ある自然数cを用いて\(a=2c\)と表せる。これを\(2b^2=a^2\)に代入すると、\(2b^2=(2c)^2\)\(2b^2=4c^2\)\(b^2=2c^2\)さきほどと同じように\(b^2\)は2の倍数であり、したがって\(b\)も2の倍数であることが分かる。ここで、aもbも2の倍数。これは最初に述べたaとbは互いに素という条件に矛盾する。よって背理法により\(\sqrt{2}\)が無理数であることが示された。背理法の証明の練習問題それでは問題を解いて背理法を使った証明の練習をしましょう。問題1\(\sqrt{5}\)が無理数であることを証明せよ。基本的には\(\sqrt{2}\)のときと同じです。\(\sqrt{5}\)が無理数でないと仮定する。このとき、\(\sqrt{5}\)は有理数であるので、\(\sqrt{5}\)は互いに素な自然数a,bを用いて\(\frac{a}{b}\)と表せる。\(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\)\(\sqrt{5}b=a\)両辺を2乗して、\(5b^2=a^2\)ここで左辺と右辺を見比べることにより、\(a^2\)は5の倍数であることがわかる。\(a\)は自然数なので、\(a^2\)が5の倍数であるということは\(a\)も5の倍数である。\(a\)は5の倍数だったので、ある自然数cを用いて\(a=5c\)と表せる。これを\(5b^2=a^2\)に代入すると、\(5b^2=(5c)^2\)\(5b^2=25c^2\)\(b^2=5c^2\)さきほどと同じように\(b^2\)は5の倍数であり、したがって\(b\)も5の倍数であることが分かる。ここで、aもbも5の倍数。これは最初に述べたaとbは互いに素という条件に矛盾する。よって背理法により\(\sqrt{5}\)が無理数であることが示された。次の問題は少し応用になります。このパターンもよく出題されるので証明を覚えておきましょう。問題2\(1+\sqrt{2}\)が無理数であることを証明せよ。問題2の解答・解説\(1+\sqrt{2}\)が有理数であると仮定する。すると、ある有理数qを用いて\(1+\sqrt{2}=q\)と書ける。\(1+\sqrt{2}=q\)\(1=q-\sqrt{2}\)\(1=q^2-2q\sqrt{2}+2\)(両辺を2乗)\(2\sqrt{2}q=q^2+2-1\)\(2\sqrt{2}q=q^2+1\)\(\sqrt{2}=\frac{q^2+1}{2q}\)このとき、右辺の\(\frac{q^2+1}{2q}\)は、有理数のかけ算や足し算・割り算のみでできているので、有理数です。左辺の\(\sqrt{2}\)は無理数。(無理数)\(=\)(有理数)となってしまうので矛盾します。したがって背理法より\(1+\sqrt{2}\)が無理数であることが証明されました。背理法が有効なのは無理数であることの証明だけではありません。数列も勉強しているなら、次の応用問題にも挑戦してみてください。問題3\(a_1=2\)、\(a_{n+1}=\frac{a_n-9}{a_n-5}\)で定められる数列{\(a_n\)}に対し、すべての自然数nの対して\(a_n≠3\)であることを示せ。問題3の解答・解説ある自然数nに対して\(a_n=3\)と仮定する。すると、\(a_n=\frac{a_{n-1}-9}{a_{n-1}-5}=3\)\(a_{n-1}-9=3(a_{n-1}-5)\)\(a_{n-1}-9=3a_{n-1}-15)\)\(2a_{n-1}=6)\)\(a_{n-1}=3\)つまり、\(a_n=a_{n-1}=3\)であることが分かった。ここで、\(a_{n-1}=3\)であることから、同様に\(a_{n-2}=3\)であり、これを繰り返せば\(a_n=a_{n-1}=a_{n-2}=・・・=a_1=3\)である。これは\(a_1=2\)であることに矛盾する。よって背理法により、すべての自然数nの対して\(a_n≠3\)であることが示された。大学入試において証明問題は必ずといっていいほど出題されます。さんの意見を聞かせてください!合格サプリWEBに関するアンケートアンケートに回答する!RECOMMENDこちらの記事も人気です。~英文法単元別解説~現代文2020.9.23現代文の文章を速読するためのトレーニング法!〜要約のススメ〜ABOUTこの記事をかいた人はるにゃんこ都内の大学で数学を勉強しています。顔が石川佳純に似ているらしいです。