2019年1月20日どうも(^^)/本日は、点変換の内容を書きたいと思います。点変換に対してラグランジュ方程式の形が変わらないことを確認する。再度ラグランジュ方程式を用いる理由ラグランジュ方程式が点変換に対して不変ラグランジュ方程式が点変換に対して不変であることの証明まとめ点変換とは?点変換とは何でしょうか。一般座標\({q}\)(自由度\(f\))に対して、別の座標\({Q}\)(自由度\(f\))に変換するとき、\begin{align*}Q_{1}=Q_{1}(\{q\},t)\end{align*}\begin{align*}Q_{2}=Q_{2}(\{q\},t)\end{align*}・・・\begin{align*}Q_{f}=Q_{f}(\{q\},t)\end{align*}と、座標変換に対して元の座標と新しい別の座標が一対一に対応している変換のことを点変換と言います。座標変換に対して元の座標と新しい別の座標が一対一に対応しているので、下記のようにも書けます。\begin{align*}q_{1}=q_{1}(\{Q\},t)\end{align*}\begin{align*}q_{2}=q_{2}(\{Q\},t)\end{align*}・・・\begin{align*}q_{f}=q_{f}(\{Q\},t)\end{align*}これは何も珍しい話ではないです。座標の表し方はデカルト座標(\(x,y,z\))のみではなかったはずです。極座標表示で下記のようにすることもできます。(3)\end{align*}と書けます。これを変数がわかるように書くと、\begin{align*}x=x(r,\phi,\theta)\end{align*}\begin{align*}y=y(r,\phi,\theta)\end{align*}\begin{align*}z=z(r,\phi,\theta)\end{align*}これは逆に、(1)(2)(3)式を式変形すると、\begin{align*}r=r(x,y,z)\end{align*}\begin{align*}\phi=\phi(x,y,z)\end{align*}\begin{align*}\theta=\theta(x,y,z)\end{align*}とできます。(5)\end{align*}と書けるのです。これは元の座標の変数を使って、新しい座標の変数を作ったことになります。(6)\end{align*}とできます。以上のように点変換を説明しましたが、解析力学では正準変換と言うのを勉強しましたが、点変換は正準変換の一部なのです。正準変換のポイントは、正準変換は変数を座標だけではなく運動量も含めて、変数変換したときに、ハミルトンの正準方程式が変わらないということでした。ポイント解析力学の枠組みでこのように座標の変換に対して基礎方程式(ラグランジュ方程式、ハミルトンの正準方程式)が変わらないとするだけでなくて、もっと一般的に運動量も含めて(すなわち、運動量も座標と同等の独立変数として扱う)、ハミルトンの正準方程式の形を不変に保つことができるのです。(7)\end{align*}↑そういう変換ができるのです。これを正準変換と言います。点変換は正準変換の一部(座標のみ変換)であることがわかると思います。(3)\end{align*}のように問題に応じて、\(r,\phi,\theta\)のように座標変換をすると思いますが、このように座標変換をすると、運動方程式だけを使うと少々厄介なことが起こるのでしたよね。(10)\end{align*}※\(\frac{dr}{dt}=\dot{r}\)、\(\frac{d^2r}{dt^2}=\ddot{r}\)このように見た目ががらりと変わってしまいます。これでは、各座標系に対して、運動方程式の形を覚えておかなければならないため、”少々厄介”だと言いました。見え方が変わっただけです。これをより一般的な座標系と一般的な速度を用いて、座標系の取り方に依らない運動法則の記述の仕方を与えてくれたのが、ラグランジュ方程式です。(13)\end{align*}さえ覚えておけば、ラグランジアン\(L=T-U\)=(運動エネルギー)ー(ポテンシャルエネルギー)を作って、(11)(12)(13)に代入すれば、運動方程式が導出できます。ラグランジュ方程式が点変換に対して不変しかし、ここで気になることがあります。本当に点変換(座標変換)に対して、ラグランジュ方程式は不変なのでしょうか?愚問と言えば愚問かもしれません(笑)なぜなら、ラグランジュ方程式は最小作用の原理に従って、一般座標と一般速度から導出したのですから、そもそもどんな座標系だったかは説いていなかったので、「いまさら何を」と言う感じです(笑)一般運動量も含めた座標変換である正準変換に対して、ラグランジュ方程式と等価なハミルトンの正準方程式が不変になるような変換が可能であるのです。ま、そうは言わずに勉強だと思って一応確認してみましょう(^^)/下記のような、\begin{align*}Q_{1}=Q_{1}({q},t)\end{align*}\begin{align*}Q_{2}=Q_{2}({q},t)\end{align*}・・・\begin{align*}Q_{f}=Q_{f}({q},t)\end{align*}という座標変換(点変換)に対して、ラグランジュ方程式が不変である。(\diamondsuit\diamondsuit)\end{align*}を示すことに他なりません。ここから大事なのは、腕力です。(\diamondsuit\diamondsuit)\end{align*}です。※ここでは、単なる座標変換に対してラグランジュ方程式が不変であることを示したいので、ラグランジアンが座標が時間に陽に依存している場合は考えないものとします。(15)\end{align*}ここで、少しずつ整理していきましょう。ここで、力学的な状態は互いに独立な変数\(\{q_{i}\},\{\dot{q}_{i}\}\)を指定すれば、その後の運動はラグランジュ方程式に従って決定されるということでしたから、座標変換後の独立な変数\(\{Q_{i}\},\{\dot{Q}_{i}\}\)として議論を進めていくことになります。\dot{Q}_{i}}=0\end{align*}となります。\dot{Q}_{i}}=0\end{align*}\(Q_{k},\dot{Q}_{i}\)は互いに独立なので0になります。Q_{i}}\end{align*}であることが示されます。下記に証明しておきます。Q_{j}}\frac{dQ_{j}}{dt}\end{align*}となります。ここで、両辺\(\dot{Q}_{j}\)で偏微分します。Q_{j}}\dot{Q}_{j}\end{align*}となります。(17)\end{align*}となります。(18)\end{align*}となります。ここで、(\(\diamondsuit\diamondsuit\))の形に近づけるために時間微分をしましょう。Q_{i}}\end{align*}が示されます。下記に証明しておきます。(21)\end{align*}となります。(22)\end{align*}が示されました。(23)\end{align*}となります。(23)式ー(14)式を計算してみましょう。(24)\end{align*}(24)式の右辺の中身をよくみると、元の変数(\(q_{i},\dot{q}_{i}\))によるラグランジュ方程式(\(\diamondsuit\))があるので、右辺は0になります。(\diamondsuit\diamondsuit)\end{align*}を示すことができました(^^♪つまり、座標変換(点変換)に対してラグランジュ方程式が不変であることが示せました(^^)/まとめ一般座標\({q}\)(自由度\(f\))に対して、別の座標\({q}\)(自由度\(f\))に変換するとき、\begin{align*}Q_{1}=Q_{1}(\{q\},t)\end{align*}\begin{align*}Q_{2}=Q_{2}(\{q\},t)\end{align*}・・・\begin{align*}Q_{f}=Q_{f}(\{q\},t)\end{align*}と、座標変換に対して元の座標と新しい別の座標が一対一に対応している変換のことを点変換と言います。点変換は、正準変換の一部(座標のみを変換)であることを述べました。点変換に対して、ラグランジュ方程式が不変であるということを証明しました。\begin{align*}Q_{1}=Q_{1}(\{q\},t)\end{align*}\begin{align*}Q_{2}=Q_{2}(\{q\},t)\end{align*}・・・\begin{align*}Q_{f}=Q_{f}(\{q\},t)\end{align*}という座標変換(点変換)に対して、ラグランジュ方程式が不変である。ラグランジュ形式とハミルトン形式の違いを理解しておこう。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。製造業コミュニティ製造業コミュニティは製造業で働く方や製造業へ就職を考えている学生の方が匿名で気軽に情報交換を出来るオンラインコミュニティです。本が聴けるアプリAudible(オーディブル)☟30日間の無料体験(最初の1冊は無料)プロフィールカマキリ(^^)大学の専攻は物性理論で、Fortranを使って数値計算をしていました。CAEを用いた流体解析は興味がありOpenFOAMを使って勉強しています。CAE解析(流体解析)notenoteで内容は主に「プログラミング言語」の勉強の進捗を書いています。「現在勉強中の内容」「日々思ったこと」も日記代わりに書き記しています。1DCAEの操作方法などを動画にしています。(音声はありません_(._.)_)製造業コミュニティをやっています。Facebookを使った実名登録。製造業ブロガーコミニティ案内オンライン家庭教師のご要望あればご連絡ください。Amazonのアソシエイトとして、当メディアは適格販売により収入を得ています。・当メディアはGoogleによるユーザーに合わせた自動広告が表示されます。Twitterカマキリ☟こちら日々の「思ったこと」「勉強している内容」を発信しています。4Pythonを使ってTwitterAPIで自作botを作りました。製造業コミュニティの方々と運営しています。botを作るのかを知りたい方はこちら。【超丁寧に解説】Pythonを使ってTwitterAPIでGoogleスプレッドシートに書いた内容を画像付きでツイート投稿する。宇宙に入ったカマキリ。