【フーリエ変換】非周期関数を考える。複素フーリエ級数展開の周期性を無限大にしよう。【フーリエ変換】非周期関数を考える。複素フーリエ級数展開の周期性を無限大にしよう。2022年6月29日こんにちは(@t_kun_kamakiri)(^^)/この記事ではフーリエ変換について説明したいと思います!フーリエ変換にまつわる理論面でのお話は知らないといけないことをがとても多いです。前回の記事はこちら直交関数系をベクトルの線形結合と類似して考えてみよう。使って任意関数を表そう。【複素フーリエ級数展開】オイラーの公式を使ってフーリエ級数展開式を使って書き変えよう。\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{ik_{n}x}\tag{1}\end{align*}と書けるよ、という話をしたいと思います。これは複素フーリエ級数展開と呼ばれています。dx\tag{2}\end{align*}※\(e^{ik_{n}x}\)は\(2L\)周期関数ですので、任意関数\(f(x)\)も同じ\(2L\)周期関数に限った話であることに注意しましょう。x}\)(\(k_n=\frac{n\pi}{L}\))が\(2L\)の周期性を持っているため、それらの正弦波で級数展開で記述できる\(f(x)\)も\(2L\)の周期性を持っているのでした。x}\)で記述できるフーリエ変換というのが本記事の内容です。本記事の内容はこちら複素フーリエ級数展開の\(2L\)周期性を無限大にして、フーリエ変換を得る。\infty\)とするフーリエ変換の意味まとめ複素フーリエ級数展開の復習まずはじめに複素フーリエ級数展開の復習をしておきましょう。複素フーリエ級数展開を得る流れは以下の通りです。x}\)で級数展開をしている\(2L\)の周期性のある関数\(f(x)\)を表現しているそれと比べてフーリエ変換でのポイントさえ押させておけば、複素フーリエ級数展開からフーリエ変換に移行することができます。フーリエ変換のポイント任意の関数\(f(x)\)連続的な正弦波\(e^{ikx}\)の重ね合わせ非周期関数\(f(x)\)をフーリエ変換で表現している(\(f(x)\)に周期性が無くても良い)以上のポイントを踏まえてフーリエ変換を示していきましょう。n\)の複素共役同士の掛け算の積分は値が0になるを満たします。これらの関数の集合を正規直交関数系と呼びます。dx\tag{5}\end{align*}となります。x}\)で展開されている)は変わっていません。\infty\)とするカマキリまたまた、ひと工夫を!\begin{align*}F_{n}=\frac{L}{\pi}c_{n}\end{align*}と置きます。dx\tag{6}\end{align*}ここで、\(k_{n}=\frac{n\pi}{L}\)であるから、\(\frac{\pi}{L}\)が図のように関数をブロックで分割したときの幅となります。絵のように、\(f(x)\)は離散的で幅が\(\frac{\pi}{L}\)のブロックを足していく(灰色)ということは、幅を無限に小さくした際には積分(赤線)を計算しているということを意味しています。このとき、とびとびの値だった\(\frac{n\pi}{L}\)が連続的な値\(k\)に変わります。dx\tag{7}\end{align*}これらの変換のことを「フーリエ変換」と「逆フーリエ変換」と呼びます。「フーリエ変換」と「逆フーリエ変換」とはどういう変換の事なのかというのは(7)式を見れば表式はわかると思います・・・・が、その変換の意味するところは何かということまで理解して覚えておきましょう(^^)/フーリエ変換ではなくフーリエ級数展開で考えることにします。フーリエ級数展開は下記のようにある関数\(f(x)\)を、\(\sin\)波や\(\cos\)波や正弦波\(e^{ikx}\)などの様々な異なる波数の波に分解して波の空間(波数空間)に変換する方法のことです。どんな関数も異なる波数の\(sin\)波の和で書いてやるのです。※以下の場合は周期関数\(f(x)\)に関して、例を挙げています。x\)(周期1/10)の波が10個か・・・」と、波のくせに数えれるという恩恵を受けることができます。フーリエ級数展開)した後の関数(波数空間での関数)のこと「1個、10個、3個」は各波数の波の振幅と考えることができます。カマキリ↑上の説明はフーリエ変換というよりは、フーリエ級数展開したときの解説でありますが、似たようなものです(離散的か連続、周期関数か非周期関数かの違い)フーリエ変換も同じ考え方をして、ある波数\(k\)の波に対して重み(どれだけの強さを持っているか)を掛けて、全ての波数\(k\)で積分する。いう意味があるというのがわかります。まとめ今までのところをまとめておきましょう(^^)/フーリエ変換のポイント任意の関数\(f(x)\)連続的な正弦波\(e^{ikx}\)の重ね合わせ非周期関数\(f(x)\)をフーリエ変換で表現している(\(f(x)\)に周期性が無くても良い)フーリエ変換は、ある波数\(k\)の波に対して重み(どれだけの強さを持っているか)を掛けて、全ての波数\(k\)で積分する。いう意味があるというのがわかります。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。付いている欄は必須項目です【複素フーリエ級数展開】オイラーの公式を使ってフーリエ級数展開式を使って...【フーリエ変換の意味をイメージでわかりやすく】フーリエ変換によって異なる...製造業コミュニティ製造業コミュニティは製造業で働く方や製造業へ就職を考えている学生の方が匿名で気軽に情報交換を出来るオンラインコミュニティです。本が聴けるアプリAudible(オーディブル)☟30日間の無料体験(最初の1冊は無料)プロフィールカマキリ(^^)大学の専攻は物性理論で、Fortranを使って数値計算をしていました。CAEを用いた流体解析は興味がありOpenFOAMを使って勉強しています。CAE解析(流体解析)notenoteで内容は主に「プログラミング言語」の勉強の進捗を書いています。「現在勉強中の内容」「日々思ったこと」も日記代わりに書き記しています。1DCAEの操作方法などを動画にしています。(音声はありません_(._.)_)製造業コミュニティをやっています。Facebookを使った実名登録。製造業ブロガーコミニティ案内オンライン家庭教師のご要望あればご連絡ください。Amazonのアソシエイトとして、当メディアは適格販売により収入を得ています。・当メディアはGoogleによるユーザーに合わせた自動広告が表示されます。Twitterカマキリ☟こちら日々の「思ったこと」「勉強している内容」を発信しています。4Pythonを使ってTwitterAPIで自作botを作りました。製造業コミュニティの方々と運営しています。botを作るのかを知りたい方はこちら。【超丁寧に解説】Pythonを使ってTwitterAPIでGoogleスプレッドシートに書いた内容を画像付きでツイート投稿する。【フーリエ変換】非周期関数を考える。複素フーリエ級数展開の周期性を無限大にしよう。宇宙に入ったカマキリ。