2021.11.183次方程式の解の公式とは、方程式の係数に対して、有限回の四則演算と累乗根をとる操作の組み合わせによって、解を記述する公式のことでした。今回は、その制限を外して新しい解の公式を導く試みをしたいと思います。今回からは、カルダノの公式を導出した際に考えた(実数係数の)3次方程式$$x^3-3px-2q=0$$について、解の表示を与えてゆきたいと思います。立方根を求める計算が厄介でしたが、そのデメリットを改善しようとしたときに自ずと三角関数が現れる様子を見ていただければと思います。(本記事では、途中計算の方針を示すことで、具体的計算を省略している部分があります。)本記事は【3次方程式の解の公式シリーズ】の第2弾です。あるとすると、その解は\begin{align*}x&=u+v,&\begin{cases}u^3=q+\sqrt{q^2-p^3}\\v=\dfrac{p}{u}\end{cases}\end{align*}と書けていました。これをカルダノの公式と呼んでいましたね。求まってしまえば、あとはその他の式に代入するだけですね。一般には複素数であるため手こずるということです。そこで、それを改善するために極形式を導入しましょう。$$u=re^{i\theta}$$とおくのです。ご存知ない方は、こちらの記事「「iのi乗」は実数?虚数?それとも...。〜指数の拡張〜」をご覧ください。右辺が虚数になってくれなければ「わざわざ極形式を導入する旨み」があまりないので$$q^2-p^3<0$$であるとしましょう。すれば、\begin{align}u^3=q+i\sqrt{p^3-q^2}\tag{1}\end{align}と書くことができます。関する3次方程式を具体的に解いてみましょう。あることに注意しましょう。代入することで\begin{align*}\cos3\theta+i\sin3\theta=\frac{q}{p\sqrt{p}}+i\frac{\sqrt{p^3-q^2}}{p\sqrt{p}}\end{align*}を得ます。範囲で唯一つとることができます。範囲まで限定することができますね。整数として$$3\theta=\cos^{-1}\frac{q}{p\sqrt{p}}+2k\pi$$すなわち\begin{align}\theta=\frac{1}{3}\cos^{-1}\frac{q}{p\sqrt{p}}+\frac{2k}{3}\pi\tag{2}\end{align}と書くことになります。座標を抽出(射影)していると見ることができます。その様子をアニメーションで見てみましょう。詳しい理論について今回は説明の簡潔性を求めたため、途中の式変形などの説明を省略しています。本記事のより詳しい説明は以下の動画をご覧ください。最後にいかがでしたか?今回はカルダノの公式から三角関数を用いた3次方程式の解の表示を導出しました。実はこの公式、ビエトの解と呼ばれており、三角関数の3倍角の公式を用いた導出が知られています。今回は、それを別の方法で導いたことになりますね。みなさんは気付きましたか?「あー、このときは異なる3個の実数解を持つのかー。虚数解を持つときはどうしましょうか。場合を考える必要がありますよね。安心してください、それが次回、第3弾のテーマですから。〜well-definedの意味を考える〜数学という学問には「分類定理」と総称される問題があり、「対象を分類したい!」というひとつの大きなテーマがあります。今回は「分類すること」をテーマとし、高校数学の数学Aにおいて発展的内容として位置付けられる「合同式」を扱いたいと思います。〜空集合の公理から証明する〜今回のテーマは「空集合」です。「空集合は、どんな集合に対しても、その部分集合であると約束する。〜ユークリッドの互除法の応用〜今回のテーマは「分母の有理化」です。中学3年生で平方根について学び、初めて有理化を学びます。その後、高校数学では展開公式を用いた複雑な有理化を学びますね。いったように、「合同式」にまつわる記事を書いてきました。「iのi乗」は実数か?虚数か?それとも...。