「間」だから両端を含んではいけない。ここで分母がすべて5なのだから、分母は1つにまとめられる。$とすれば分子だけ考えれば良くなる。「1×5と2×5の間(ただし1×5と2×5自身は含まない!)」となっていることに気付けば、あとは楽になる。次に問題の「2から3までの間」。$【I】ちなみに分子の計算を$11+12+13+14$$=10+10+10+10+1+2+3+4$$=10*4+(1+4)+(2+3)$$=40+10$$=50$などと工夫できたら暗算が楽になる。$【III】ここで分子の項は4つだけであることに注意しよう。Aさんが使っているスマートフォンは、電池残量が百分率で表示され、0%になると使用できない。このスマートフォンは、充電をしながら動画を視聴するとき、電池残量は4分あたり1%増加し、充電せずに動画を視聴するとき、電池残量は一定の割合で減少する。Aさんは、スマートフォンで1本50分の数学講座の動画を2本視聴することにした。Aさんは、スマートフォンの充電をしながら1本目の動画を視聴しはじめ、動画の視聴をはじめてから20分後に充電をやめ、続けて充電せずに動画を視聴したところ、1本目の動画の最後まで視聴できた。スマートフォンの電池残量が、Aさんが1本目の動画の視聴をはじめたときは25%、1本目の動画の最後まで視聴したときはちょうど0%であったとき、次の1、2の問に答えなさい。$の関係をグラフに表しなさい。これまた情報量が多いので、必要な情報を探しながらグラフに描いていく。$が1つ定まる、という定義であり、その関数の様子を図示したのがグラフだから)。$軸は経過時間(分)を表しているから、まず0分の時点から考えよう。文脈から0分時点の電池残量は25%だったとあるので(0,25)に印をつけよう。次に傾き(変化の割合)を知る必要がある。しなければ、右のどこの点を打てるのかが決まらない。文脈から0~20分は充電しながら視聴していたので、電池が増減する変化の割合は、「電池残量は4分あたり1%増加」があてはまる。「4分で+1%」ということは「20分で+5%」であるから、電池残量は20分目では30%になっているはずである。よって(20,30)に印をつけよう。「1本目の動画の最後まで視聴したときはちょうど0%」とある。動画の長さは50分だったらか(50,0)に印をつけよう。これらを線で結べばよい。Aさんが1本目の動画の最後まで視聴したのち、2本目の動画の最後まで視聴するためには、2本目の動画はスマートフォンの充電をしながら何分以上視聴すればよいか、求めなさい。これは逆算で考えていく。2本目の動画を見終わったときに電池残量が0%になるのが最低条件であるから、そこから逆算する。上の問から、充電せずに動画を視聴した場合の変化の仕方は、グラフの20~50分の部分であった。2本目の動画も50分間だから、この部分はこのまま使える。2本目の動画を見はじめた時は電池残量が0%である。0分目は0%から出発する。充電しながら見るのだから、変化の割合は「電池残量は4分あたり1%増加」。これは「20分で+5%」だったから、20分ごとに5%ずつ上昇するグラフになる。よって、赤いグラフと青いグラフの交点のときが求める時間である。計算せずともグラフから読み取れば40分である。【3】次の(1)から(3)までの問に答えなさい。答えは根号をつけたままでよい。図で、C、DはABを直径とする円Oの周上の点、Eは直線ABと点Cにおける円Oの接線との交点である。$のとき、∠CDAの大きさは何度か、求めなさい。西尾先生からご提供ただきました。西尾先生のブログもご参照くださいませ。接線が引かれているので、円の接線の性質「中心から接点に引いた半径は、接線と垂直」を使えないだろうかと考えて補助線を引いてみる。求める∠CDAは円周角であるから、円周角の定理を使うことを考える。そこでDを円周上のどこかに移動すると解けるかもしれないと考えて補助線を引いてみる。Cが接点であるから、円の接線の性質「中心から接点に引いた半径は、接線と垂直」を使えないだろうかと考えて補助線を引いてみる。すると、OBとOCはともに半径だから二等辺三角形ができる。「二等辺三角形は底角が等しい」が使えそうである。この解法3および下の図は、大阪の「あおい塾」の神田先生からご提供いただきました。大阪方面の方は神田先生のブログもぜひチェックしてみてください。∠ADCが円周角であるから、Dを円周上で動かして利用しやすくなるように考える。角度がわっている∠BECに近づけたら何かあるだろうと考えて、DをBまで動かしてみよう。考えて補助線BCをひく。次に「接弦定理」を思い出して、これを利用してみようと思いつく。考えて補助線ACをひく。...21と2を連立方程式のように解けばよい。[赤の〇]を出すのが目的だから1-2で[緑の〇]を消すのが良い。図で、四角形ABCDは正方形であり、Eは辺DCの中点、Fは線分AEの中点、Gは線分FBの中点である。$のとき、次の1、2の問に答えなさい。―――<解法1>―――やたらと中点が多いので「中点連結定理」を使えないだろうかと考える。中点連結定理に必要なのは、1三角形21辺に中点3中点から伸びる底辺に平行な線の3つである。これらの条件をGCの周りでそろえていけば解けそうである。2としてFBの中点Gがある。すると3はGCとなりそうだ。FEが底辺になりそうだが、1の形が未完成。そこで次のように補助線を引く。AEをEの方へ延長し、またBCをCの方へ延長し、その交点をHとした。するとパッと見は$\triangle$BFHで中点連結定理のような図形になった。本当にそうか確かめよう。$\triangle$ADE≡$\triangle$HCEとなるから、AD=CH=BCとなる。CはBHの中点と分かる。FH$であり、同時に$GC=\frac{1}{2}FH$である。確かに中点連結定理の形になっている。あとはFHを求めればよい。cm$―――<解法2>―――まず題意から分かる情報を書き込む。斜めの線の長さと言えば三平方の定理であるが、求める線分GCを含む$\triangle$GBCは直角三角形かどうかわからない。そこで補助線を引いて直角三角形をつくり出そうと考える。この問題では「中点」がやたらと多いので「中点連結定理」が使えないかとも考える。このような思案を経て次のような補助線を引く。$\triangle$AEDに中点連結定理を用いれば、FH=AD×$\frac{1}{2}$=4であり、EH=HD=2である。よってCH=8-2=6だから、CI=IH=3となる。CGを求めるために線分GIの長さが必要になる。それを知るために、さらに補助線を引く。西尾先生からご提供ただきました。西尾先生のブログもご参照くださいませ。この解法がおそらく最短かつエレガントかもしれません。厳密な証明には高校数学の「ベクトル」の知識が必要です。辺ABの中点をHとし、線分HGを書き込みます。AH//EC、かつ、AH=EC、だから四角形AHCEは平行四辺形よってAE=HCもしもHGとGCが一直線上にあれば、GC=HC-HGで求まる。HGとHCが同一直線上にあることが言えますが、厳密には、まだHGとGCが同じ直線上であるとは言えません。作図をすれば、どうやってもHGとGCが同じ直線上になるようにしか描けません。「AGCは一直線だ!」と分かったのが直感的だったとしても、解ければよいと思います。式を使って厳密な証明をするには、高校2年生の「ベクトル」の知識が必要です。四角形FGCEの面積=$\triangle$FBH-$\triangle$GBC-$\triangle$ECHで求めることにする。$\triangle$FBHの面積を求めるためには、その高さを求めたい。そこで次のように補助線を引く。$\triangle$ABH∽$\triangle$FIHである。$$IH=BH-BI=16-4=12$であるから、相似比は$16:12=4:3$である。図で、立体OABCは$\triangle$ABCを底面とする正三角すいであり、Dは辺OA上の点で、$\triangle$DBCは正三角形である。$のとき、次の1、2の問に答えなさい。西尾先生からご提供ただきました。西尾先生のブログもご参照くださいませ。線分ADを含む$\triangle$OABについて考える。問題文で与えられた長さも書き込むと下図のようになる。$\triangle$DBCは正三角形だから、AB=DB=4cmすると$\triangle$OABと$\triangle$BADが相似なのではないかと思えてくるので確かめる。立体ODBCの体積は正三角すいOABCの体積の何倍か、求めなさい。「あおい塾」の神田先生にご協力いただきました。おかげさまで図形問題の解説にあたっては、よりエレガントな解き方を用意することができました。この場を借りて、あらためて御礼申し上げます。あとがきA日程にくらべると、大問3の図形問題が難化した印象です。大問2は数学というよりも読解問題の様相が強いです。どの教科も全体的に論理国語の1点に集約していくような方向性は、あまり好ましくありません。文字列だけで問題文を長くして難易度を上げようとする姿勢は、今後コンピューターを活用していく時代には向けては、あまり相応しいとは言えません。多様な情報提示のあり方で問題を作っていくべきというのが、今後の課題と言ったところでしょう。問題を作成する人たちが、コンピューターで読み書きできる情報が文字列しかない、というのであれば、それは能力上の問題です。こんなにもダラダラと長い問題文になってしまったのか、大いに反省すべきでしょう。(進路が確定するまで在籍していた生徒)が入学した学校の一覧です。お友達登録はこちらLINE登録するとプレゼントがもらえます!【会員限定】お子様の成績と可能性を伸ばす18個のノウハウ塾関係者様のお友達登録はこちらLINE登録するとプレゼントがもらえます!「zoomで簡単。数学を全部解説してみた塾長です。愛知県の公立高校受験。A日程が面接まで終わりました。本日が学科試験に向けた最後の対策です。中学2年生のキミたち。受験が始まっています。今のうちに入試問題を見ておいて欲しいと思います。中2までに習った範囲で、もう半分近く解けるはずなんだよ!そこで、A日程の数学について、フル解説を作りました。考え方や発想法、何年生で解けるようになるかなど、できるだけ詳しく書きました。チャレンジしてみてね。【1】次の(1)~(10)までの問に答えなさい。