無理数である」ことを示したように、小数部分は循環することなく無限に続くことがわかっています。だいたいの値がわかっているからです。本記事では、いくつもある方法の中でも少し高度なものを紹介しようと思います。解きたい東大入試の紹介。公式の導出をガッツリ理解したい人は必見!ウォリス積分についてスターリングの公式についてウォリスの公式の導出の流れを確認。Excelで求める最後に。解きたい東大入試の紹介。(例えば、内接する正多角形を描く。(例えば、外接する正多角形を描く。大きいことを証明せよ。いうものがありましたが、これも上記の前者の方法で評価してあげることで示す方法が複数考えられます。今回、解きたい問題はこれです。示したい主張を簡単に数式で書けば\(\pi>3.05\)です。公式の導出をガッツリ理解したい人は必見!ご紹介するウォリスの公式を用いた結果を確認するのは難しくないのですが、本記事で公式の導出過程まで詳しく見ていると大変なことになりそうです。今回は「得られた結果について考えること」に焦点を当てたいので、ピントをぼかさないためにも公式の導出は流れを述べるに留めたいと思います。その導出過程の行間を埋めて、成り立ちをガッツリと理解したい方は以下の関連動画をご覧になってください。これらで扱われた知識を用いれば、問題なく読み進められると思います!ウォリス積分についてスターリングの公式についてウォリスの公式の導出の流れを確認。d\theta$$をウォリス積分と呼びます。解釈すると$$I_0=\frac{\pi}{2}$$$$I_1=1$$であることがわかります。単調減少であることもわかります。対して部分積分を施すことで$$nI_n=(n-1)I_{n-2}$$という漸化式を得ます。I_1=\frac{\pi}{2}$$となります。かけることで$$nI_nI_{n+1}<n{I_n}^2<nI_{n-1}I_n$$すなわち$$\frac{n}{n+1}\times\frac{\pi}{2}<n{I_n}^2<\frac{\pi}{2}$$を得ます。よって、はさみうちの原理より$$\lim_{n\to\infty}n{I_n}^2=\frac{\pi}{2}\tag{1}$$を得るのです。とき$$I_{2k+1}=\frac{2k}{2k+1}I_{2k-1}$$となります。\frac{2l}{2l+1}=\frac{2}{3}\times\frac{4}{5}\times\cdots\times\frac{2k}{2k+1}$$と書けるのです。\frac{(2l)^2}{(2l)^2-1}\end{align}となります。\frac{(2l)^2}{(2l)^2-1}\tag{2}\end{align}を得ます。\frac{(2l)^2}{(2l)^2-1}\\&=\frac{4}{3}\times\frac{16}{15}\times\frac{36}{35}\times\frac{64}{63}\times\frac{100}{99}\times\cdots\end{align}を得るのです。これがウォリスの公式です。\frac{(2l)^2}{(2l)^2-1}$$とおくと、定義から$$\frac{a_k}{a_{k-1}}=\frac{(2k)^2}{(2k)^2-1}>1$$ですから、単調増加します。a_k\end{align}と書き表すことができます。\(\pi>2\times1.46=2.92\)などがわかります。Excelで求めるさて、示したいことは$$\pi>3.05$$ですね。3.05$$となるものを見つければ良いわけです。