このことは以下のように書けます(どれも同じ意味)。CAT}`$を定義すればいいですね。\cat{C}`$これを決めていけばいいわけです。S}}^{\id_S}`$とすればよさそうです。S)^S`$と、関手と同じ形で書けます。自然変換の成分引数を下付き添字にしているのは単なる(場合によって好ましくない)習慣です。対して、次の可換図式を確認する必要があります。}\cat{C}`$これは、比較的容易に確認できるでしょう。反変な部分も持つので細工が必要です。ここでは、状態空間は対象だけ考える(状態空間のあいだの射を考えない)ことにします。言えます(一応の定義上は)。インデックスされた自己関手の族とも言えます。このモノイド圏のなかのモノイド対象がモナドなので、次のように定義します。“モノイド圏内のすべてのモノイド対象とモノイド準同型射からなる圏”です。「モナドはモノイドだ」という立場ですが、一言注意しておくと、モナドのあいだの射はモノイド準同型射に限りません。他のタイプのモナドの射(例えば、双加群類似物としての射)も考えます。「モナドはラックス2-関手だ」と考えたほうがいいときもあります。「モノイドだ」の見方がガチガチにこびり付いている人がいるみたいですが、他の定義・見方もありますからね。