本記事は数学の徹底解説シリーズに含まれます。数学の記事一覧へ初学者の分かりやすさを優先するため,多少正確でない表現が混在することがあります。致命的な間違いがあればご指摘いただけると助かります。,$FG=GF$ならば,$V$の中に$F,G$に共通した固有ベクトルが存在する。テプリッツの定理の証明に利用される定理です。複素ベクトル空間では任意の線型変換は固有値をもつので,$F$の一つの固有値を$\alpha$とし,それに対する$F$の固有空間を$W$とします。G(v)\end{alignat}が成り立ちます。W$となることが分かります。W$が成り立つので,$W$は$G$に関して不変です。ゆえに,$G$の$W$への縮小が考えられ,かつ固有空間の定義より$W$は$\{0\}$ではありませんので,$W$の中に固有ベクトル$w_{0}$が存在します。$F$の固有空間が$W$であることから,$W$の固有ベクトルは$F$にも属します。したがって,$FG=GF$ならば,$V$の中に$F,G$に共通した固有ベクトル$w_{0}$が存在することが示されました。※コメントに返信があったらメールで通知する。私はロボットではありません。