\]といったような、一定の数を掛けて作った”等比数列”について考えていきます。等差数列の場合と同じように、まずは一般項について和の公式についてを説明します。応用問題として、等比数列の和の公式を導き出した考え方を使って”自然数×等比数列”の形をした数列の和についても考えていきます。どの公式でもこの公式は、どのように導かれたのだろう?と考えることが大事なのは、等比数列でも同じです。等比数列とはある数に、次々と一定数を掛けていくという規則に従って作られた数列のことをいいます。(次々に掛けていく数のことを”公比”といいます。)言い換えればひとつ前の数に一定数を掛けて作った数列とも言えます。\)を次々と掛けて作った数列です。この数列の10番目の数はいくつになるでしょうか?この数列の関係性を表した以下の図を見ながら考えていきましょう。\)との関係性について。\)を何回掛けた数でしょうか。\)を4回掛けた数になっています。\)について強調したものです。)それぞれの関係を、式で表せば次のようになります。\)を9回掛けた数になることがわかります。1536\end{align*}と求めることができます。n番目の数はどのように表すことができるでしょうか。\)をn-1回掛けた数であることがわかります。1}\end{align*}と表すことができるのです。\)を考えてみましょう。\)をn-1回掛けた数といえます。\\\end{align*}と表すことができる。\)との関係性”を意識するということが大事になります。等比数列の和の公式の導き方(3通り)等比数列の一般項は、等差数列と同じように考えれば求めることができました。和の公式も同じように求まるのでは?と思いますが、等差数列とは違って、上下の和は一定になりません。実際に、等比数列\begin{align*}3,6,12,24,48,\cdots\end{align*}で試してみましょう。ここでは、簡単に初項から第5項までの和を考えてみます。等差数列で使った方法がダメだったので、他の方法を考えるしかありません。ここでは、以下の方法で等比数列の和の公式を導いていきます。\)倍したものを引く階差数列を利用して和を求めるまずは、ひとつ目の方法では、”いろいろな場合を考え、試行錯誤を繰り返し、予想を立てる”ということを繰り返して、等差数列の和の公式に迫っていきます。検証」というプロセスは、実際の試験でも役に立つ場面がたくさんあります。した練習だと思って、しばしお付き合いください。0,1\)として考えていきます。初項1、公比2の等比数列まずは初項1、公比2の等比数列を考えてみましょう。\]ここで、具体的にいくつか和を計算してみましょう。\]さて、なにかお気づきの点はないでしょうか。元々の数列と、数列の和を並べてみると、見えてくるかもしれません。\)等比数列の和より1だけ大きい数が、元の数列に出てくる!そこで、以下のような予想を立てることができます。\]が成り立つのでは?この【予想1】は、正しいのでしょうか?他の等比数列の和も考えてみましょう。次は、初項の値を変えて初項3、公比2の等比数列を考えてみましょう。\]さて、元々の数列と、数列の和を並べてみましょう。初項1で、和より1だけ大きい数字が元の数列に現れているここで試したのは初項3で、和より3だけ大きい数字が元の数列に現れているつまり和は初項の分だけ小さくなるのではないか?という予測が立てられそうです。やって考えると、次のような新しい予想を立てることができます。\]が成り立つのでは?【予想1】は外れてしまいましたが、【予想2】はどうでしょうか?さらに、他の等比数列の和も考えてみましょう。今度は公比を変えて初項1、公比3の等比数列を考えてみましょう。\]と書き表すことができます。なにやら、いままでと様子が少し違います。\]となっているはずでした。一度、これらの数列を並べてみましょう。\)こうやって並べてみると気づくことはありませんか?予想していた和は、実際の和の2倍になっている!これは、どういうことでしょうか。公比2の場合、和の1倍より初項1の分だけ大きい数字が元の数列になっているということ。公比3の場合、和の2倍より初項1の分だけ大きい数字が元の数列になっているということです。初項から第n項までの和は、第n+1項の数から初項の分だけ引き、さらに公比より1小さい数で割っているのではないか?と推測できます。\]が成り立つのでは?【予想2】も外れてしまいましたが、新たな予想を立てることができました。次は初項3、公比4の等比数列を考えてみましょう。\]と書き表すことができます。\]が成り立っているのがわかります。255\end{align*}となり、【予想3】が成り立っています。\)の等比数列を考えて、どんな場合でも【予想3】が成り立つのか確かめてみましょう。\)の等比数列ここまでいくつかの等比数列を考えてきて、私たちが導き出した【予想3】は、以下のものでした。\]を考えていきましょう。\\\end{align*}と表せます。次に右辺の式を考えていきましょう。\\\end{align*}と表すことができます。\)は、以下のように因数分解できます。1)\end{align*}と式変形ができ、左辺の式と等しくなりました。\]という式で正しかったのです。1}\end{align*}とも表すことができます。\]と表すことができる※予想した式が正しいことを証明するには「予想した式の(左辺)-(右辺)を計算し、0になることを確かめる」という手順で行っても構いません。\)倍して引く方法”に入っていきましょう。\)倍して引く”は、教科書や参考書に載っている方法です。\)を掛けると”第2項から第n+1項が現れる”ということ。具体的な手順を見ていきましょう。r^{n-1}\end{align*}と表すことができます。\)を掛けた式を考えてみましょう。\)の第2項から第n+1項までの和になっています。\)を計算すると、どういうことが起こるでしょうか。\)までが消えてしまうのです。a_1\end{align*}となり、初項と第n+1項だけが残りました。}\end{align*}となり、等比数列の和の公式を求めることができました。等比数列の階差数列を利用する方法です。※前提知識として、「階差数列の定義や利用・活用について」にて紹介している等比数列の階差数列もまた等比数列になる和を求めたい数列が階差数列となるような数列を見つけられれば、和は計算できるといったことを使用しています。\]の和を、階差数列の考え方を利用して求めていきましょう。\)となるような数列です。1)倍の等比数列になるということです。\)倍の等比数列であるということが言えるのです。a_1\end{align*}と表せます。a_1\end{align*}となります。1)\end{align*}となり、等比数列の和の公式を求めることができるのです。\)を求めてみましょう。\)倍して引く方法の2通りの方法で求めていきます。等比数列の和が複数あると考えて計算する方法まず、ひとつ目の”等比数列の和が複数あると考えて計算する方法”を紹介いたします。和がどんな形になっているか把握するために、求めたい和を具体的に書いてみましょう。ar^{n-1}\end{align*}この式を見て前のnがなかったら、等比数列の和になるのになあ...なんて思いましたか?実は、この式には、等比数列の和がいくつも隠れているのです。\)のような、前についている自然数。\)が2つあると考えることができます。\]と書くことができます。ar^{n-1}\end{align*}と書き直すことができます。\)がn個と並んでいますので、元の式と同じことが確かめられます。\)の等比数列の初項から初項までの和となっています。\}\end{align*}となります。\\\end{align*}と表すことができるのです。\)倍して引く”という方法は、有効な手段になります。実際にやってみましょう。\)のそれぞれの係数と比べて、ひとつ小さくなっていることがわかります。\)の係数がすべて1になるのです。\\\end{align*}と表せます。\}\end{align*}となります。\\\end{align*}となります。ここからはじめる高校数学.メニュートップページホーム検索トップサイドバータイトルとURLをコピーしました。