\]といった自然数の2乗の和を扱います。ここで紹介する1からnまでの2乗の和の公式は、以下のようになります。1)\end{align*}この公式を、いろんな方法で導いていきます。最初から全部を理解しようとしなくても大丈夫です。どれかひとつでも納得できるものがあって、自分で導くことができるようになれば十分です。階差数列を利用する方法のふたつあり、それぞれいくつか紹介いたします。数を正方形に並べて求める方法の3通りをご紹介いたします。石を工夫して並べて、2乗の和を求める方法まずひとつめの方法は石を工夫して並べて求める方法です。ここでは、理解しやすいように準備として、奇数の和は平方数になることを見る次に、具体的な数列の和を求める最後に、一般的な数列の和を求めるといった順番でご紹介いたします。準備:奇数の和は平方数になるまず、あらかじめ意識しおいてほしいことは奇数の和は平方数になるということ。これは、以下の図のように、石を順番にL字に並べてみればひと目でわかります。1個,3個,5個,...と順番にL字に並べていくと、1辺の長さが1,2,3,...の正方形ができます。\]と数えることもできます。\)になるということ。一般に、1から順番に奇数をn個並べたときも同じように考えられます。1から順番に数えて、n個目の奇数は、2n-1。準備が終わったので、ここから2乗の和を求めていきましょう。4の場合」について考えていきます。\]を求めていきます。求めたい2乗の和は、以下の図のように並べた●の数です。これらの石を、以下の図のように、上下反転させてもう1組置きます。空いた隙間を○で埋めて大きな長方形を作ります。このようにして●と○を並べていくと、実は○の数も、”1から4までの2乗の和”になっているのです。それは、準備で見た”奇数の和は平方数になる”ということと大きな関係があるのです。そのことを、以下の図を使って考えていきます。枠で囲った○は、どれも奇数個あります。同じ色で囲った○の数を足してみると、どの色で囲ったものも平方数になることがわかります。これは、いま求めたい2乗の和の形になっています。●と○を並べた大きな長方形には、2乗の和が3つあるということです。\)個の石が並べられています。90\end{align*}個並べられています。これは、いま求めたい1から4までの2乗の和のちょうど3倍になっています。\]と求めることができます。\)個の長方形ができます。)\end{align*}と導くことができます。次にご紹介する方法は数を正三角形に並べて求める方法です。\)はnをn回足しているということを見ます。\]の公式を導きます。\)は、どういうことを表しているのか?ということ。いうこともなにも、nを2回かけているだけだろ?とお思いのことだと思います。掘り下げてn×nは、どういうことを表してるのでしょうか?小学校のときに、はじめて掛け算を習ったときのことを思い出してみてください。3×4なら3を4回足しているんだよ!と教わったと思います。この考え方をすると、n×nは、nをn回足しているということです。\)は、nをn回足しているということを表しているのです。1から5までの2乗の和を求めるまずは、具体的に「n=5の場合」を求めてみましょう。\)は、5を5回足している(5が5個)と考えることができます。そこで、これらの数字は、以下のように正三角形の形に並べることができます。求めたいのは、この図に出てくる数の合計です。この正三角形に加えて、120°回転したものと240°回転したものを用意します。これら3つの正三角形において、同じ場所にある数を足してみるとどうなるでしょうか。\)となり、どれも11になります。他の場所の数でも、和はすべて11になります。図で表すと、以下のようになります。165\end{align*}と計算できます。数字がどれも11の正三角形は、元の正三角形を3つ足してできたものでした。1からnまでの2乗の和を求めるさて、1からnまでの2乗の和も同じように求めていきましょう。n=5の場合と同じように、120°回転したものと240°回転したものを追加し、同じ場所にある数を足します。すると、どの場所の和も2n+1になります。\frac{1}{2}n(n+1)\end{align*}個あります。\]と表すことができます。\]と導くことができます。次にご紹介する方法は数を正方形に並べて求める方法です。準備として平方数のもうひとつの表し方を紹介します。\]の公式を導きます。奇数の和は平方数になるということは、すでに述べてきました。\]となることはすぐに確かめられます。\)は、また違った形で表すことができます。\underline{1}\end{align*}と書き換えることができます。1\end{align*}と表せるのです。この並び方は、あたかも1,2,3,...と順番にnまで行き、そこからn-1,n-2,...と折り返して再び1まで戻っていると見え、とてもおもしろい形になっています。この形を利用すると、1からnまでの2乗の和の公式を導き出すことができます。5の場合」について考えていきます。\]を求めていきます。「石を工夫して並べて、2乗の和を求める方法」の”奇数の和は平方数になる”では、石をL字に並べて説明しました。1\end{align*}と表せることを見ました。それらのことを考えると、実は、同じようにL字に並べることができるのです。\]と表せますので前半の1から4を右へ後半の3から1を上へ並べていくと、以下の図のようになります。\]をL字に並べたのが、以下の図です。1^2,2^2,3^2,4^2,5^2\)となっていることが確かめられます。この図の数字の並び方に注目してみてください。上の図で区切ったL字と逆のL字の形に、同じ数字が並んでいることがわかります。それぞれの数字の個数を数えると1が9個2が7個3が5個4が3個5が1個あることが確かめられます。55\end{align*}と計算できます。1からnまでの2乗の和を求めるこの方法で、1からnまでの2乗の和を求めてみましょう。同じように、L字に並べたのが以下の図です。逆のL字の形で区切った図が以下の通りです。2n-(2n-1)個あるとわかります。k\{2n-(2k-1)\}\end{align*}と表すことができます。\frac{1}{2}n(n+1)\end{align*}となります。\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\end{align*}と計算でき、1からnまでの2乗の和を求めることができるのです。階差数列を利用して、2乗の和を計算する方法ここまでは、図形を用いた方法で2乗の和を求めてきました。ここからは階差数列を利用して2乗の和を求める方法をご紹介します。\)の階差数列を利用して計算する方法の3つを紹介いたします。※前提知識として、「階差数列」で紹介しているm次式の数列の階差数列は、(m-1)次式の数列になる和を求めたい数列が階差数列となるような数列を見つければ、和は計算できるといったことを用います。\]の和を、階差数列の考え方を利用して求めます。\)となるような、nの3次式で表される数列です。\)を求めることができれば、1からnまでの2乗の和を求めることができるということです。c\end{align*}と計算できます。\]となってほしいのです。0\end{cases}となればいいわけです。\frac{1}{6}\end{cases}となります。d\end{align*}と表せます。a_1\end{align*}と表せます。a_1\end{align*}と表せます。\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\end{align*}となり、1からnまでの2乗の和の公式を求めることができます。\]の階差数列を利用して、2乗の和を求める方法です。1\end{align*}と計算できます。a_1\end{align*}と表せます。a_1\end{align*}と表せます。(この式を(1)とします。3n\end{align*}と計算できます。1\end{align*}とΣを分けることができます。3n\end{align*}と書き換えることができます。(この式を(2)とします。\)は、1をn回足したものです。