_{m+1}\\\end{aligned}}}よって、パスカルの三角形の性質を備え、パスカルの三角形の各項を二項係数で表すことができることが証明された。各係数について考察していこう。小さい数で試してみる。{\begin{aligned}(a+b)^{0}=1\\(a+b)^{1}&=1a+1b\\(a+b)^{2}&=1a^{2}+2ab+1b^{2}\\(a+b)^{3}&=1a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+1b^{3}\\(a+b)^{4}&=1a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+1b^{4}\\\end{aligned}}}おそらくここまで書けば分かるだろう。これもパスカルの三角形になっているのである。先ほどの二項係数との関係と合わせて、次の定理が成り立つことが予想できる。関する数学的帰納法で証明する。