難関大学合格にむけた数学の入試問題の解説をしています。例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)格子点同士を結ぶ2つの線分のなす角について考察する問題です。例題は実戦要素が強く、2直線のなす角の扱い整数問題の捌き方が問われてきます。関係を用いて加法定理で処理する複素数平面と見て回転処理で捌くという路線が考えられます。関係を用いて加法定理で処理するという路線が計算量が少なく済む傾向にあります。ベクトル、複素数平面の処理は「線分の回転」であり、長さの情報を含んだ処理です。処理は「直線のなす角」という見方の処理であり、長さについては言及しておらずあくまで「なす角」に関する処理だからです。設定するということです。関係性が狂ってしまいます。この問題は解けるかもしれませんが、できれば他問題にも通じる一般性をもった処理の方が望ましいでしょう。反時計回りを角度の正の向きとして設定すれば、上のどちらの絵をかいたとしても\(\angle{\mathrm{BAC}}=\beta-\alpha\)という関係が成り立ちます。\frac{c-b}{1-(c+a)(b+a)}\end{eqnarray}$$ということになります。仮定して矛盾を狙う背理法が想起されるでしょう。\frac{c-b}{1-(c+a)(b+a)}=\sqrt{3}\)という等式を得ます。何をするでもなく左辺は有理数、右辺は無理数ですから直ちに矛盾が生じます。\frac{c-b}{1-(c+a)(b+a)}=1\)を得ることになります。分母を払い、整理すると\(bc-2b-4c+10=0\)という等式を得ることになります。求めるという整数問題に帰着したわけです。この方程式については\((b-4)(c-2)=-2\)というように整数問題の基本の一つ積の形をつくり、約数拾いという整数問題における3大手法の一つを狙っていく定番の形です。ここが乗りきれれば、あとは問題なく手なりに進んでいけます。約数拾いの際ですが、無駄に全て拾って時間と手間をかけすぎてしまうのも問題です。符号チェック偶奇チェックなど見るべきポイントを見て労力を少しでも軽減させる工夫をしましょう。類題1について類題1はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)古くからある古典的な有名事実です。例題では放物線上の3点の格子点という特殊なシチュエーションで考えましたが、より一般的なシチュエーションからの問いかけです。本問の場合、格子点ではなく、有理点という設定で考えています。複素数平面を用いて回転処理として正三角形であることを捌くという方針を【解1】として扱っています。」という路線からも解くことはでき、それについては【解3】で扱っています。追加類題について追加類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。まともに計算でぶつかると大変な思いをするのが目に見えています。この問題はシンプルにアッサリ終わる「明日誰かに話したい」というオチの問題です。☛大学入試の数学は「正しく」勉強すれば報われることを伝えたいと思います。【目標】:サイト名に込めました。声お問い合わせプライバシーポリシーMathClinic主に難関大学合格にむけた数学の入試問題の解説をしています。MathClinic。