まとめ東大塾長の山田です。このページでは、平均値の定理について詳しく説明しています!形は簡単な平均値の定理ですが、その証明や入試における使い方などをしっかりと把握するのはなかなか難しいです。それらの事項について、一つ一つ丁寧に解説していきます。平均値の定理とは平均値の定理とは、以下のことを指します。区間\([a,b]\)で連続、\((a,b)\)で微分可能な関数\(f(x)\)について\[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(c)\]なる\(c\)が、\(a\)と\(b\)の間に存在する。平均値の定理の意味まず、区間\([a,b]\)で連続、\((a,b)\)で微分可能という言葉についてですが、これは\(a≦x≦b\)で連続で、その端点については微分不可能でもよいということを述べています!平均値の定理そのものについてですが、下図のように図形的に解釈するとわかりやすいです。f(b))\)を結ぶ直線の傾き\(\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)」と「\(x=c\)における接線の傾き\(f'(c)\)」が等しくなるような、\(c\)が存在するということを言っているのです。この説明で、大体の人はイメージをつかむことができたのではないでしょうか。平均値の定理より\[f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)\]となります。「平均値の定理」⇔「\(f(b)-f(a)\)を因数分解する定理」とできます!\(c\)が正確にわからないのが難点ですが、こういった視点も持ち合わせておくと良いでしょう。次に、平均値の定理を証明してみましょう。平均値の定理の証明は1.最大値の原理を用いてロルの定理を証明2.ロルの定理を用いて平均値の定理を証明という2ステップで行われます。最大値の原理とは、「有界閉区間上の連続関数は最大値を持つ」というもので、感覚的には当たり前のものです。ここでの証明は省きます。(その逆の最小値の定理というものも存在します)そしてロルの定理とは以下のことです。(a<c<b)\]を満たす\(c\)が存在する。ロルの定理の証明です。\(f(x)=\rm{const.}\)のとき\(a<c<b\)なる任意の\(c\)で、\[f'(c)=0\]となり成り立ちます。\(f(a)<f(t)\)なる\(t\)が存在するとき最大値の原理より、\(a<c<b\)で\(f(c)\)が最大になるような\(c\)が存在します。0\end{cases}\]より\[f'(c)=0\]となることが分かりました。\(f(a)>f(t)\)なる\(t\)が存在するとき最小値の原理(最大値の原理の逆)より、\(a<c<b\)で\(f(c)\)が最小になるような\(c\)が存在します。0\end{cases}\]より\[f'(c)=0\]となります。平均値の定理の証明ついに平均値の定理の証明です。ロルの定理を用いたいので、関数\(f(x)\)に、「端点の値が等しい」というロルの定理の条件を満たすような\(g(x)\)を考えてみましょう。x\)を考えてみましょう。このとき\[g(a)=g(b)\]なる\(\alpha\)を探します。=-\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]となり、\[g(x)=f(x)-\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]という関数が、\(g(a)=g(b)\)を満たすことが分かりました。(a<c<b)\]なる\(c\)が存在することが分かり\[g^{\prime}(c)=f^{\prime}(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0\]より、平均値の定理が得られました。次に平均値の定理の使い方を学んでいきましょう。平均値の定理を用いる問題は主に2種類あります。「不等式の証明」と「漸化式と極限」です。一つ一つ確認してみましょう。鉄則\(f(b)-f(a)\)を含む不等式の証明問題では、平均値の定理が使われることがほとんど!平均値の定理を用いる不等式の証明においては、上のことが大鉄則になります。不等式が成立することを示せ。p)\)が含まれているので、平均値の定理を用いることが分かります。x)\)とすると、\(f(x)\)は\(x>1\)で連続∧微分可能な関数です。c}(p<c<q)\]なる実数\(c\)が存在することが分かります。漸化式において平均値の定理を用いるのは、その漸化式が解けない\(x_{n+1}=f(x_n)\)で与えられていて、その数列\(x_n\)の極限を求める場合です。その場合、取る手順は以下のようになっています。鉄則1.\(x=f(x)\)の解を求める。\quad(0<r<1)\]を導く。x_{n}=\alpha\]これが主な手順です。これを用いて以下の問題を解いてみましょう。【問】\(f(x)=\displaystyle\frac{x}{2}(1+e^{-2(x-1)})\)とする。≦f^{\prime}(x)<\displaystyle\frac{1}{2}\)を示せ。\(x_0>\displaystyle\frac{1}{2}\)のとき、数列\(\{x_n\}\)を\(x_{n+1}=f(x_n)\)で定める。x_{n}=1\)を示せ。東大の問題といえども、定石通り解けてしまいます。f^{\prime}(x)=\frac{1}{2}\]より以下の増減表を得ます。\(f(1)=1\)に注意しましょう。(\(x_n≠1\))のもとで、平均値の定理より\[\frac{f\left(x_{n}\right)-f(1)}{x_{n}-1}=f^{\prime}(c)\]なる\(c\)が\(1\)と\(x_n\)の間に存在します。=1\)のとき数列\(\{x_n\}\)はすべて\(1\)なので大丈夫。x_{n}=1\]が得られます。まとめお疲れ様でした。区間\([a,b]\)で連続、\((a,b)\)で微分可能な関数\(f(x)\)について\[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(c)\]なる\(c\)が、\(a\)と\(b\)の間に存在する。平均値の定理の使い方I:不等式の証明\(f(b)-f(a)\)を含む不等式の証明問題では、平均値の定理が使われることがほとんど!II:漸化式と極限1.\(x=f(x)\)の解を求める。\quad(0<r<1)\]を導く。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。レベル」まで約2600題の解説授業、いつでも受け放題のWEBテスト、参考書がもはや不要になるレベルアップテキストを完全整備したオンラインスクール。全国の受講者累計3400名を突破しました(2019年10月時点)。Systemの案内を受け取ることができます。詳しくはこちらLINE登録したからといって、とくに料金が発生することもありません。期間限定のためいつまで公開するかもわかりません。気になる方は上記ページより今すぐ登録しておいてください。