このページでは、曲線の長さを求める公式について詳しくまとめています!色々な表示形式における公式の説明をした後に、例題を用いて公式の使い方を覚え、最後に公式の証明を行うことで、この分野に関する体系的な知識を身に着けることができます。曲線の長さまずは、公式の形とそれについての補足説明を行います。関数の表示のされ方によって、公式の形は異なります(本質的にはすべて同じ)。それぞれ場合の公式についてまとめました。補足(定理の前提条件)これらの公式、便利なように思えてルートの中に二乗の和が登場してしまうので、計算量が多くなってしまいがちです。(実際に計算が遂行できるような関数はあまり多くない)また、定理の前提条件を抑えておくと以下で扱う証明のときに役立ちます。≦\beta\)において連続∧微分可能である必要があります。これはのちの証明の際にもう一度扱います。公式の形は頭に入ったでしょうか?実際に問題を解くことで確認してみましょう。曲線の長さ\(L\)を求めよ。解答それぞれに当てはまる公式を用いていきましょう!それでは解答です。\\&=\frac{3}{2}\end{aligned}\)となります。dx\\&=\frac{1}{2}\left[e^x-e^{-x}\right]_0^1\\&=\frac{1}{2}\left(e-\frac{1}{e}\right)\end{aligned}\)となります。=4\end{aligned}\)となります。最後に導出を行いましょう。媒介変数表示の公式を導出できれば、残り二つも簡単に求めることができるので、媒介変数表示の公式を証明する方針で行きます。証明の方針としては、曲線の長さを折れ線で近似して、折れ線の本数を増やしていくことで近似の精度を上げていき、結局は極限を取ってあげると曲線の長さを求めることができる、という仮定のもとで行っていきます。