\(n-1\)回目までに、\(Y_{n}\)が条件を満たしている場合と、満たしていない場合の2通りがあって、満たしていない場合は、さらに、不等式の下側にある場合と上側にある場合で、合計3通りあるから、一つずつ図を書いてみるよ。\(Y_{n-1}\)が条件を満たしているとき。X_{n}+\frac{1}{Y_{n-1}}\)を使って計算すればいいよね。一つずつ代入していけば良さそうだけど、\(X_{n}=3\)を代入したとき、\(Y_{n}\)の不等式の左の値が\(1+\sqrt{3}\)を超えちゃうから、それ以上の\(X_{n}\)を入れてもダメだね。2\)の2通りあるってことか。次は、\(Y_{n-1}\)が条件を満たしていないとき。不等式の左側にある場合を考えるよ。X_{n}+\frac{1}{Y_{n-1}}\)の式からだよ。それと、\(X_{1}=Y_{1}\)だね。\(X_{n}\)、つまり\(n\)回目のさいころの出目の最小値が1だからね。2\)の時にはもう、\(Y_{n}\)の条件を満たさないことがわかる。\(X_{n}=1\)の1通りしかないね。いいねぇ、ようこちゃん。\(0<\frac{1}{Y_{n-1}}\)の部分は、、、まぁ、いいか。式の形から、負になることはないよね。2\)のときだけOKだね。これは嬉しい結果よね。\(Y_{n}\)が条件を満たしていないときは、両方とも\(X_{n}\)が1通りしかないんだもん。2\)の2通りが適する。2\)のそれぞれ1通りが適する。\(Y_{n-1}\)が条件を満たす確率は\(p_{n-1}\)と置けるし、\(Y_{n-1}\)が条件を満たさない確率は\(1-p_{n-1}\)と置けるね。これなら、すぐに漸化式を作れるんだ。2の方、\(Y_{n-1}\)が不等式の下側と上側にいるときで、\(X_{n}\)の許される数が違ったら、簡単にはいかないんだ。複雑に見えるけど、\(Y_{n}\)の満たす条件式が絶妙なんだよね。\frac{1}{6}\)だね。\frac{1}{6}p_{n}+\frac{1}{6}$$としてもいいんだよね。あと一歩だね、ようこちゃん。あとは特性方程式を解いて、計算だ。\right)$$かな?すご〜い。その場合、\(n=1\)の時も成り立っていることを確かめておかないといけないんだよ。\frac{1}{6}\)で、出てきた式に\(n=1\)を代入しても\(\frac{1}{6}\)になるから大丈夫、みたいなことを書いておかないとね。勉強になります!でも、重要なところはちゃんとできてるし、さすが、ようこちゃん!そんなことないよ〜。まみが教えてくれたことをそのまま当てはめてみただけだからね。わかりやすかったよ!え、そうかな。最後は、まみがまとめてよ。場合の数や確率を漸化式を立てて解く問題の、攻め方をまとめておくね。問題の条件から連続試行の間での「縛りワード」や「縛り式」を見抜く。これがあると漸化式を立てて解ける問題になりやすい。漸化式が使えると思ったら、「最初の一歩」か「最後の一歩」で場合分け。手順としては、\(n-1\)回目までの試行を\(p_{n}\)とおいて、場合分けが容易にできそうなら、「最後の一歩」で場合分けして、それが難しいのなら「最初の一歩」で場合分けしてから、残りを\(p_{n-1}\)などを使って表す。この時、\(n=1\)などの初期条件に注意。漸化式は\(n\geq2\)など、初期条件より大きい値からしか成立しないこともあるので、最後に確認が必要なことがある。2が漸化式の魅力だね。漸化式を使わないなら、\(n\)回分の試行全部を考えて計算しなくちゃいけないのに、漸化式を使えるなら、たった1歩か2歩だけ考えればいいんだから。あとは、漸化式を解くパターンは一通り身につけていないとダメだね。漸化式ができたのに、解けませんでした、じゃ悲しいもんね。確率や場合の数は「数列」とものすごく相性がいいから、大学入試なんかで確率の勉強をするときは、「数列」をしっかりやっとかないと痛い目をみるかも。まみのおかげで解き方のコツを掴んだ気がする。ありがと!数学は任せてよ。その代わり、物理はお願いね。京大の良問に学ぶ平面図形の3つの解法〜初等幾何、ベクトル、座標平面〜平面図形を解くとき最低でも3つの解法を準備しておく必要があります。一つ目は初等幾何です。メネラウスの定理やチェバの定理など有名な定理、合同・相似の条件を活かします。二つ目は、ベクトルです。うまくベクトルを設定できれば、初等幾何的に難しい問題でも計算問題に変えられます。三つ目は座標平面で解くです。京大の良問で紹介します。京大理系の問題を使って複素数(平面)に慣れよう〜良問を通じて複素平面の解き方を考察する〜最近複素平面が解禁され、数学における大学入試の一つの大きなテーマとなっている。京大は、複素平面をまともに扱う問題も出題しているが、それ以外にも複素数平面を背景にして、複素数独特の計算を利用した出題も行なっている。どちらも他の単元とは趣向の異なる計算テクニックがあるため、それらに慣れておこうというのがこの記事の目的。〜京大数学良問から整数を学ぶ〜整数に関する問題は、難関大学の入試問題では頻出の単元です。教科書には系統的な解き方が載っておらず、どうしてもセンスで勝負という見方になりがちです。「整数問題」はセンスではなく、「論理」の勝負。この記事では、どんな人でも習得可能な論理を武器にすれば、問題を解けることを紹介していこうと思います。大学入試に現れる不等式の証明を一気に復習する〜最難関大学(京大)に現れる良問を使って〜不等式の証明において(左辺ー右辺)の手法はいうならば、戦場で剣を持って戦うようなもので、剣の達人なら生き残るかもしれませんが、銃や盾、時にはバズーカを使って戦うことができれば、より有利な状況を築けるはずです。この記事では、銃や盾、バズーカのような手法も含めておさらいして、適材適所に対応することをお手伝いします。ありませんが、難関大と呼ばれる大学の入試では、工夫を凝らした面白い融合問題が出題されます。今回は、京都大学の問題を通して、高校数学の数列の世界を概観していきたいと思います。京都大学の理系数学に最近登場した定積分計算問題〜次の定積分を計算せよ〜京都大学の入試にいつしか当たり前のように出題されるようになった「定積分を求めよ」という問題。2007年の前期乙入試が初出だが、論理的思考を問う問題に定評があった京大入試が計算のみの問題を出題してきたことから、計算能力を重視する傾向が強くなったことを感じます。今までどのようなタイプが出題されてきたか、まとめてみます。date*日本語が含まれない投稿は無視されますのでご注意ください。指導経験:塾講師として4年間。中学1年生から高校3年生まで経歴:文理両方の学位を取得。好きな漫画:「ハンターハンター」「ダイヤのA」コメント:眠らないウサギになれたらなぁ。質問・悩みお待ちしています。指導経験:塾講師として4年間。中学1年生から高校3年生まで経歴:文理両方の学位を取得。好きな漫画:「ハンターハンター」「ダイヤのA」コメント:眠らないウサギになれたらなぁ。質問・悩みお待ちしています。