2020.08.14ここまで「ベクトルの基本事項」や「ベクトルの成分表示と演算」で、ベクトルの和や差・実数倍といった計算方法を見てきました。「和や差があるのなら、積(掛け算)もあるの?」と思われた方もいらっしゃると思います。ベクトルには、掛け算に似た”内積”という演算があります。ここでは、その内積を紹介します。具体的には内積の定義なぜ、内積はこのような定義なのか?といったことを考えていきます。内積の定義いきなりですが、ここで紹介する”内積”は次のように定義されます。\]※ベクトルのなす角とは、下の図のように2つのベクトルの始点を合わせたときにできる角度のことです。内積はこのような定義なのか?なぜ、ベクトルの内積はこのようなよくわからない定義なのか?その理由としては、次の2つのメリットを得られるからです。ベクトルを成分表示したときに、内積はとても簡単な形で書くことができる角度の代わりに内積を計算すれば済むようになるメリット1:内積はとても簡単な形で表すことができるまずひとつ目のメリットは、「成分表示したときに簡単な形で表すことができる」ということから見ていきましょう。ここでポイントとなるのは”余弦定理”です。ついてにて詳しく説明していますので、忘れてしまった方はこちらも参考にしてください。\\\end{align}となります。\\\end{align}と表すことができます。このようにをベクトルを用いると、余弦定理の式の中に内積が隠れていることがわかります(下線部の部分です)。\]と書き直すことができます。y_{2}\end{align}と表すことができます。最後の式からわかるように、ベクトルの内積はそれぞれの成分どうしをかけて足したものになるのです。\]と表すことができる。※このように表せるのは、余弦定理の式の中に内積が隠れているからメリット2:角度の代わりに内積を計算すれば済むようになるもう一つのメリットは「角度を計算する代わりに内積を計算すれば済むようになる」ということです。三角形の面積のふたつ。具体例1:垂直に交わるかどうかの判定まずひとつ目の具体例は、「垂直に交わるかどうかの判定」です。\\\end{align}という2つの表し方ができます。\]という式が導かれます。\)を示せば良いということです。内積を導入した結果、成分どうしのちょっとした計算をするだけで、垂直に交わっているかどうかを判断できるようになったのです。次の具体例は「三角形の面積」です。三角形の面積も、成分どうしの簡単な計算で求めることができるようになります。\\\end{align}と表すことができます。\)を使って表すことができないか考えます。