難関大学合格にむけた数学の入試問題の解説をしています。例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)有名曲線の一つである「等角螺旋」と呼ばれる曲線について扱った問題です。対数螺旋、ベルヌーイの螺旋など様々な呼ばれ方がありますが、性質的なものと関連付けると等角螺旋という呼び方が「名が体を表す」ような呼び方なのでここではそう呼ばせてもらいます。本問は教科書的な力で言えば微分法の基本的な運用力ベクトルを用いて座標平面上の角度を扱う力パラメータ表示された曲線の弧長を求める力が問われています。上記の力をはかるためには、別に等角螺旋を題材にする必要はありませんが、等角螺旋はオウムガイの殻など自然界の様々なところで観察される興味深い曲線です。題材が題材なだけに深入りしだすとキリがない部分があります。ここでは等角螺旋という名が表す通り、「螺旋の進行方向が、時刻によらず中心に対して一定の角を保っている」という性質を中心にピックアップしてみます。定数)と表される曲線が等角螺旋です。\\y=ae^{b\theta}\sin{\theta}\end{array}\right.\end{eqnarray}$$となります。ついて座標平面上で、ベクトルのなす角を立式するには「内積の利用」を考えます。よらない一定値であることを証明したいわけです。}||\vec{v}|}\)という形で見て計算していけばよいことになります。この計算を進めるにあたっては基本的な微分法の計算になりますので、落ち着いて処理していきましょう。残ったら、どこかで計算ミスをしていることが分かります。dt\)を用いて計算していけばよいことになります。ままでも計算は進めていけますので問題はないはずです。発展類題について発展類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。)類題は等角螺旋そのものではありませんが、等角螺旋のもつ進行方向が、中心に対して一定の角を保っているという性質を抽出し、相似な三角形で近似しているような出題です。このあたりは等角螺旋のもつ「自己相似構造」を匂わせるような含みがあり、等角螺旋を題材としながらもそのままストレートに扱わず、アクセントを効かせて含みをもたせるような問い方だなと感じます。その他の有名曲線についてその他の有名曲線についても取り扱っています。問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。おける接線に、定点から下ろした垂線の足の軌跡を「垂足曲線」と言います。本問は円の垂足曲線を扱った問題です。ような表示だと複雑になりますから、パラメータ表示(媒介変数表示)を用いて表現します。こちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。本問はサイクロイド3兄弟の一人、エピサイクロイドという有名曲線を扱った問題です。こちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。本問はサイクロイド3兄弟の一人、ハイポサイクロイドという有名曲線を扱った問題です。こちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。本問は円の伸開線(インヴォリュート)と呼ばれる有名曲線を扱った問題です。円に巻き付いた糸をたわむことなくほどいていったときの糸の先の軌跡です。セロハンテープを伸ばすイメージに似ていますね。本問では丁寧に図がついていますが、イメージして自分で図がかけると、立式のポイントを体で覚えられると思います。問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。複素数平面の顔をしていますが、一皮むけば、有名曲線が現れます。その有名曲線特有の知識がなければ解けないとかはないのでご安心ください。動くとしか書いていません。描く曲線の長さは特定されません。問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。いうことができるでしょう。これから述べる背景的なものや、経験的な部分でアドバンテージをもてることはありますので是非今後の糧にしておきたい問題です。問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。サイクロイドという有名曲線を扱った問題です。サイクロイドの中でも一番シンプルな地面を転がるタイプです。パラメーター表示された曲線の扱いがしっかりしていれば、サイクロイドだということを知らなかったり、見抜けなかったとしても、問題自体は解くことができます。パラメータ表示された曲線の扱いと言う部分の確認として利用してみてください。例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。有名曲線の一つである「等角螺旋」と呼ばれる曲線について扱った問題です。対数螺旋、ベルヌーイの螺旋など様々な呼ばれ方がありますが、性質的なものと関連付けると等角螺旋という呼び方が「名が体を表す」ような呼び方なのでここではそう呼ばせてもらいます。例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。カテナリー(懸垂線)と呼ばれる有名曲線を扱った問題を見ていきます。カテナリー(懸垂線)は鎖やロープの両端をもってぶら下げたときにできる曲線と紹介されるのが有名です。例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。リサジュー曲線と呼ばれる有名曲線について扱った問題です。リサージュ曲線という呼ばれ方もあり、呼ばれ方に多少揺れがあります。個人的にはリサージュの方が言いやすいですけど。こちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。デカルトの正葉線という曲線についての問題です。項目的には極座標で表された曲線が囲む面積ということになります。問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。アルキメデスの螺旋(渦巻線)と呼ばれる有名曲線を扱った問題です。与えられる曲線をアルキメデスの螺旋(渦巻線)と言います。本問はアルキメデスの螺旋の弧長について計算させる問題です。結局差が付くのは最後の積分計算でしょう。問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。極方程式はウルサイ議論が多く、記述で抜かりなくまとめるには神経を使うので疲れる分野に感じる人も多いでしょう。そのあたりについては「方程式」という言葉の意味を噛み砕いていけば、押さえるべき部分というのがある程度は見えると思います。問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。パラメータ表示された曲線に関する概形と面積について考える定番の話題です。概形を図示することになりますが、それに向けてうまく工夫して考えるように誘導がついています。誘導に乗れるかどうかということは、誘導のありがたみを感じることができるかどうかということです。問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。ルーローの三角形と呼ばれる有名図形を扱った問題です。出典は1987年度の某全国模試です。本問のオチは原点にあるルーローの三角形の一頂点の軌跡を捉え、その曲線の長さを求めるという問題です。頭の中でどのような動きをするのかを追っていく必要があり、動的処理から逃げることはできません。ロータリーエンジンの原理にも使われていたり、パナソニックのルーロという掃除機もこのルーローの三角形が元となっているなど、実用的にも色々応用されています。例題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。類題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。トロコイドという有名曲線を扱った問題です。円周上の定点の軌跡はサイクロイドと呼ばれる有名曲線です。基本的にはサイクロイドに準ずる態度でトロコイドのパラメータ表示を得ていきます。サイクロイドについての問題を扱っています。問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。アステロイドに光を当てたときにできる影について考える問題です。立式さえできれば、曲線の長さという基本的な計算になりますので、この影が表す図形をどのように立式するかがポイントになってきます。イメージを掴みたいと思います。☛大学入試の数学は「正しく」勉強すれば報われることを伝えたいと思います。【目標】:サイト名に込めました。声お問い合わせプライバシーポリシーMathClinic主に難関大学合格にむけた数学の入試問題の解説をしています。MathClinic。