難関大学合格にむけた数学の入試問題の解説をしています。問題はこちら(画像をクリックするとPDFファイルで開きます。いう形で与えられる数をフェルマー数と言います。フェルマー数を小さい方から並べると\(a_{0}=2^{1}+1=3\)\(a_{1}=2^{2}+1=5\)\(a_{2}=2^{4}+1=17\)\(a_{3}=2^{8}+1=257\)\(a_{4}=2^{16}+1=65537\)となり、ここまでは全て素数です。合成数となることがオイラーによって発見されました。素数を生み出し続けるいわば「素数生成式」の発見は数学者にとって大きな夢でしょう。そこに挑んだ数々の数学者たちの想いやドラマも多々あります。本問はそんな様々あるトピックスの一端です。ように\(a_{n+1}=(2^{2^{n}}-1)a_{n}+2\)という関係が成立します。証明ということになると、もちろん左辺から右辺に式変形していく。右辺から左辺に式変形していく。いずれかを考えることになるでしょう。いう路線の方がやりやすいと思います。その他の関係フェルマー数の隣接2項間の関係としては\(a_{n+1}=(a_{n}-1)^{2}+1\)という関係もあります。証明については【総括】で触れてあります。a_{n-1}+2\)という関係が成り立ちます。今回の問題では「数学的帰納法」という解法縛りがあるため、方針面で困ることはないはずです。準備済みのため、あとは指数だらけの式変形でミスしないことに集中すればよいでしょう。数学的帰納法という解法縛りがなければ、\(A^{2}-B^{2}=(A+B)(A-B)\)という和と差の積を繰り返し用いながら、直接書き下していくこともできます。それについては【総括】の中で触れてあります。実は原題はこの設問はありませんでした。フェルマー数にまつわる大きな性質の一つであるため、この流れの中で盛り込むことにしました。性質を用いると、ほぼ即座に矛盾します。結果から即言えないか?」と見えるかどうかについては、差がつくと思います。☛大学入試の数学は「正しく」勉強すれば報われることを伝えたいと思います。【目標】:サイト名に込めました。声お問い合わせプライバシーポリシーMathClinic主に難関大学合格にむけた数学の入試問題の解説をしています。MathClinic。